Transcript Document

หน่วยที่ 2
อนุพนั ธ์และการประยุกต์
อ.ภิรมย์ คงเลิศ
เรื่องที่ 2.1.2
สูตรเบื้องต้น
สาหรับการหาอนุพนั ธ์
สูตร 1
กาหนดให้ f(x) = c เมื่อ
d
(c)
dx
c เป็ นค่าคงตัว
=0
ตัวอย่าง
จงหาอนุพนั ธ์ของฟั งก์ชนั
f(x) = 9
แล้ว
วิธีทา เนื่องจาก 9 เป็ นค่าคงตัว ดังนั้น
d
จากสูตร 1 จะได้ว่า (9)
dx
=0
สูตร 2
n
กาหนดให้ f(x) = x เมื่อ n เป็ นจานวนจริงใด ๆ
d n
แล้ว
( x ) = nxn-1
dx
ตัวอย่าง
จงหาอนุพนั ธ์ของฟั งก์ชนั
f(x) = x3
วิธีทา
3
x
จาก f(x) =
เมื่อเทียบกับสูตร 2 แล้วจะได้ n
ดังนั้น d 3
( x ) = 3x3-1
dx
2
= 3x
=3
สูตร 3
กาหนดให้ f(x) = cg (x) เมื่อ c เป็ นค่าคงตัว
d
แล้ว d
(cg ( x )) = c ( g ( x))
dx
dx
ตัวอย่าง
จงหาอนุพนั ธ์ของฟั งก์ชนั
f(x) =
3
10x
วิธีทา จากสูตร 3 จะได้ว่า
d
( f ( x ))
dx
=
=
=
=
d
3
(10 x )
dx
d 3
10 ( x )
dt
10(3x
30x
2
31
)
สูตร 4 สูตรอนุพนั ธ์ผลรวม
กาหนดให้ f(x) = u(x) + v(x) เมื่อ u และ v
เป็ นฟั งก์ชนั ของ x ที่สามารถหาอนุพนั ธ์ได้ แล้ว
d
d
d
(u ( x)) +
( f ( x)) =
(v( x))
dx
dx
dx
สูตร 5 สูตรอนุพนั ธ์ผลต่าง
กาหนดให้ f(x) = u(x) - v(x) เมื่อ u และ v
เป็ นฟั งก์ชนั ของ x ที่หาอนุพนั ธ์ได้ แล้ว
d
d
d
(u ( x)) ( f ( x)) =
(v( x))
dx
dx
dx
ตัวอย่าง
จงหาอนุพนั ธ์ของฟั งก์ชนั
5
4
2
f(x) = 4x + 3x – 8x + 3
วิธีทา
จาก
ดังนั้น
d
( f ( x))
dx
f(x) =
5
4
2
4x + 3x – 8x + 3
=
d
d
d
4
5
2
(
3
x
)
(
8
x
)
(4 x )
dx
dx
dx
+
-
+
d
(3)
dx
=
d 5
4 (x )
dx
+
d 4
d 2
3 (x ) 8 (x )
dx
dx
-
+
d
(3)
dx
= (4)(5x ) + (3)(4x ) - (8)(2x) + 0
4
=
20x 4
+
3
12x 3
- 16 x
สูตร 6 สูตรอนุพนั ธ์ผลคูณ
กาหนดให้ f(x) = u(x)v(x) เมื่อ u และ v
เป็ นฟั งก์ชนั ของ x ที่หาอนุพนั ธ์ได้ แล้ว
d
d
d
( f ( x)) = u ( x) (v( x)) + v( x) (u ( x))
dx
dx
dx
ตัวอย่าง
3
2
จงหาอนุพนั ธ์ของ f(x) = (2x + 1) (x + 4)
วิธีทา
จากสูตร 6 โดยกาหนดให้
และ
จาก
d
( f ( x))
dx
=
u(x) =
2
v(x) = x + 4
d
u ( x) (v( x ))
dx
3
2x + 1
d
+ v( x) dx (u ( x))
=
+
d
d
d
d
= (2x  1)( dx ( x )  dx (4)) + (x  4)( dx (2x )  dx (1))
= (2x  1)(2x  0) + (x  4)(6x  0)
= (2x  1)(2x) + (x  4)(6x )
= (4x  2x) +(6x  24x )
= 10x  24x  2x
d
( x  4) (2 x 3  1)
dx
d 2
(2 x  1) ( x  4)
dx
2
3
3
2
2
3
2
3
2
2
3
4
4
4
2
2
2
สูตร 7 สูตรอนุพนั ธ์ผลหาร
u(x)
กาหนดให้ f(x) =
v(x)
เมื่อ u และ v เป็ นฟั งก์ชนั ของ x ที่สามารถหา
อนุพนั ธ์ได้ และ v(x)  0 แล้ว
d
( f ( x))
dx
=
d
d
v( x) (u ( x))  u ( x) (v( x))
dx
dx
2
v( x)
ตัวอย่าง
3

2x
จงหาอนุพนั ธ์ของ f(x) =
3  2x
วิธีทา
จากสูตร 7 โดยกาหนดให้ u(x) = 3 – 2x
และ v(x) = 3 + 2x จาก
d
( f ( x))
dx
=
d
d
v( x) (u ( x))  u ( x) (v( x))
dx
dx
2
v( x)
d
( f ( x))
dx
=
d
d
(3  2 x) (3  2 x)  (3  2 x) (3  2 x)
dx
dx
3  2 x 2
=
d
d
d
d
(3  2 x)( (3)  (2 x))  (3  2 x)( (3)  (2 x))
dx
dx
dx
dx
3  2 x 2
=
(3  2 x)(0  2)  (3  2 x)(0  2)
3  2 x 2
=
(3  2 x)(2)  (3  2 x)(2)
=
 6  4x  6  4x
=
3  2 x 
2
3  2 x 
2
 12
3  2 x 
2
เรื่องที่ 2.1.3
กฎลูกโซ่
ถ้ากาหนดให้ y
= f(u) โดยที่ u = g(x) แล้ว
dy
=
dx
dy du

du dx
พิจาณาการหาอนุพนั ธ์ของฟั งก์ชนั y = x  1
2
จาก y = x  1
2
กาหนดให้ y=f(u)= u และ u=g(x)= x  1
2
dy dy du
จากกฏลูกโซ่
=

dx du 1dx
=
=
=
1 2
( u )(2 x)
2
1

1 2
( x  1) 2 (2 x)
2 x
x2 1
; u = x 1
2
ตัวอย่าง
จงหาอนุพนั ธ์ของ y =
2
2
วิธีทา
จาก y = ( x  1)
2
กาหนดให้ y = u โดยที่
( x 2  1) 2
ซึ่งจะได้
dy
du
= 2u
และ
u=x
du
dx
2
1
= 2x
จาก กฎลูกโซ่
dy
dx
=
dy du

du dx
= (2u).(2x)
= 4ux
dy
จะได้
= 4( x 2  1) x
dx
2
= 4 x( x  1)
= 4x  4x
3
สูตร 7
n
กาหนดให้ f(x) = (u(x))
เมื่อ n เป็ นค่าคงตัว แล้ว
d
d n
n 1 du
( f ( x)) = (u ) = nu
dx
dx
dx
เรื่องที่ 2.1.4
อนุพนั ธ์ของฟั งก์ชนั อดิศยั
1) อนุพนั ธ์ของฟั งก์ชนั ลอการิทึม
ถ้ากาหนดให้ u = f(x) เป็ นฟั งก์ชนั ที่สามารถ
หาอนุพนั ธ์ได้ และ b > 0
สูตรที่ 8
d
(
log
u)
=
b
dx
สูตรที่ 9
d
dx
.
(ln u)
=
1 du
u ln b dx
1 du
u dx
ตัวอย่าง
จงหาอนุพนั ธ์ของ
วิธีทา
f(x) = log3 (5x
2
 2x)
จาก f(x) = log3 (5x  2x)
2
กาหนดให้ u = 5 x  2 x
2
จะได้ว่า
f(x) =
log3 u
ดังนั้น
จะได้
d
( f ( x))
dx
d
( f ( x))
dx
=
d
(log 3 u )
dx
=
 1  du


 u ln 3  dx
=

d
1
 2
 (5 x 2  2 x)
 (5 x  2 x) ln 3  dx
=


1

10x  2
2
 (5 x  2 x) ln 3 
=
10x  2
2
ln 3(5 x  2 x)
2) อนุพนั ธ์ของฟั งก์ชนั เอกซ์โปเนนเชียล
สูตรที่ 10
d
dx
u
(e )
สูตรที่ 11
d
dx
u
(a ) =
=
du
u
(e )
dx
du
u
a ln a
dx
ตัวอย่าง
จงหาอนุพนั ธ์ของ
f(x) =
5e
วิธีทา
f(x) = 5e
กาหนดให้ u = 2 x
u
จะได้ว่า
f(x) = 5e
จาก
2x
2x
ดังนั้น
จะได้
d
d
( f ( x)) =
(5e u )
dx
dx
d u
= 5 (e )
dx
u du
= 5e
dx
d
2x d
( f ( x)) = 5e
(2 x)
dx
dx
= 5e (2)
= 10e 2 x
2x
3) อนุพนั ธ์ของฟั งก์ชนั ตรีโกณมิติ
สูตรที่ 12
สูตรที่ 13
สูตรที่ 14
du
d
sin u   cos u
dx
dx
d
du
cos u    sin u
dx
dx
d
du
2
tan u   sec u
dx
dx
สูตรที่ 15
สูตรที่ 16
สูตรที่ 17
d
du
2
cot u    cos ec u
dx
dx
d
du
sec u   sec u tan u
dx
dx
d
du
cos ecu    cos ec u cot u
dx
dx
ตัวอย่าง
จงหาอนุพนั ธ์ของ f ( x)  sin 2 x  cos3x
วิธีทา จาก f (x)
d
( f ( x))
dx
=
=
=
=
= sin 2 x  cos 3x
d
d
(sin 2 x)  (cos 3 x)
dx
dx
d
d
(cos 2 x) (2 x)  ( sin 3x) (3x)
dx
dx
(cos2 x)(2)  ( sin 3x)(3)
2 cos 2 x  3 sin 3x
เรื่องที่ 2.1.5
อนุพนั ธ์อนั ดับสูง
อนุพนั ธ์ของฟั งก์ชนั f(x)
d
ซึ่งเขียนแทนด้วย
dx
(f (x)) หรือ f´(x) ซึ่งเรียกว่า อนุพนั ธ์อนั ดับ
หนึ่งของฟั งก์ชนั f(x) และถ้า f´(x) เป็ นฟั งก์ชนั
ที่สามารถหาอนุพนั ธ์ได้
เราจะเรียกอนุพนั ธ์ของฟั งก์ชนั f´(x) ว่า
อนุพนั ธ์อนั ดับสองของฟั งก์ชนั f(x) ซึ่งเขียน
2
d
แทนด้วย
( f ( x)) หรือ f ´´(x)
d(x)
และเรียกอนุพนั ธ์ของ f ´´(x) ว่า
อนุพนั ธ์อนั ดับ3 สามของฟั งก์ชนั f(x) ซึ่งเขียน
d
แทนด้วย
( f ( x)) หรือ f ´´´(x)
d(x)
โดยการหาอนุพนั ธ์เช่นนี้ต่อไปเรือ่ ยๆ
ก็จะได้อนุพนั ธ์อนั ดับสูงของฟั งก์ชนั f(x)
y = f(x)
สัญลักษณ์สาหรับอนุพนั ธ์อนั ดับสูงของ
dy
อนุพนั ธ์อนั ดับหนึ่ง : y´, f ´(x),
dx
d
y
อนุพนั ธ์อนั ดับสอง : y´´, f ´´(x),
dx
d
y
อนุพนั ธ์อนั ดับสาม : y´´´, f ´´´(x),
dx
(4)
(4)
อนุพนั ธ์อนั ดับสี่ : y , f (x),d y
dx
(n)
(n)
d
y
อนุพนั ธ์อนั ดับ n : y , f (x) ,
dx
2
2
3
3
4
2
n
n
ตัวอย่าง
f(x) = 2x3– 5x + 7
จงหา f(x)
วิธีทา
จาก f(x) = 2x3– 5x + 7
d
d
3– 5x + 7)
(2
x
f(x) = dx (f (x)) = dx
ถ้ากาหนดให้
=
d
d
d
3
(5x) +
(2x ) –
(7)
dx
dx
dx
2
6x – 5 + 0
=
2
= 6x – 5
d
(f´ (x))
f(x) =
d(x)
d
d
2
= (6x ) + (5)
dx
dx
= 12x
x
d
= (6 2 – 5)
dx
เรื่องที่ 2.1.6
อนุพนั ธ์โดยปริยาย
พิจารณา
2
x
+
2
y
= 25
y
y
5
y=
25  x
2
-5
-5
5
5
x
x
-5 y   25  x
2
จาก x  y  25
จัดให้อยูใ่ นรูปของฟั งก์ชนั โดยปริยาย
จะได้ x2 + y2 - 25 = 0
d 2
d
2
( x  y  25) =
( 0)
2
2
dx
dx
d
d 2 d 2 d
( 0)
( x )  ( y )  (25) =
dx
dx
dx
dx
dy
2 x  (2 y )
0 = 0
dx
x
dy
= 
y
dx
ตัวอย่าง
จงหา
dy
dx
ของ x  4x  y  12  0
2
2
วิธีทา จาก x  4x  y  12  0
2
2
d 2
2
( x  4 x  y  12)
dx
d 2 d
d 2 d
( x )  (4 x)  ( y )  (12)
dx
dx
dx
dx
dy
2 x  4  (2 y )  0
dx
=
d
( 0)
dx
=
0
=
0
dy
(2 y)
dx
dy
dx
=
- 2x-4
( x  2)
=
y
เรื่องที่ 2.2.1
ค่าต ่าสุด ค่าสูงสุด
และความเว้าของฟั งก์ชนั
บทนิยาม 2.2.2
ฟั งก์ชนั f(x) มีค่าต ่าสุดสัมพัทธ์ที่จดุ c1
เมื่อ f(c1)  f(x) สาหรับทุกค่าของ x บนช่วง
(a, b)
ฟั งก์ชนั f(x) มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่จดุ c2
เมื่อ f(c2)  f(x) สาหรับทุกค่าของ x บนช่วง
(a, b)
และเรียกค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต ่าสุดสัมพัทธ์
ของฟั งก์ชนั ว่า ค่าสุดขีดสัมพัทธ์
ฟั งก์ชนั f(x) มีค่าต ่าสุดสัมบูรณ์ที่จดุ c3
เมื่อ f(c3)  f(x) สาหรับทุกค่าของ x บนโดเมน
ฟั งก์ชนั f(x) มีค่าสูงสุดสัมบูรณ์ที่จดุ c4
เมื่อ f(c4)  f(x) สาหรับทุกค่าของ x บนโดเมน
และเรียกค่าสูงสุดสัมบูรณ์หรือค่าต ่าสุดสัมบูรณ์
ของฟั งก์ชนั ว่า ค่าสุดขีดสัมบูรณ์
ค่าต ่าสุดและค่าสูงสุดของฟั งก์ชนั
บทนิยาม 2.2.3
เราเรียก c ว่า ค่าวิกฤต (critical value) ของ f
ถ้า f ´(c) = 0 หรือ f´(c) หาค่าไม่ได้ และเรียก
(c,f(c)) ว่าจุดวิกฤตของ f
ตัวอย่าง กาหนดให้ f(x) = x2-6x+10
จงหาค่าวิกฤตของ f(x)
f(x) = x 2- 6x + 10
f (x) = 2x-6
f (x) = 0 เพื่อหาค่าวิกฤต
f (x) = 2x-6 = 0
x=3
แสดงค่า x = 3 เป็ นค่าวิกฤต
วิธีทา จาก
จะได้
กาหนดให้
จะได้ว่า
สามารถวาดกราฟของ f(x) = x2-6x+10
ได้คร่าวๆ ดังนี้
เรื่องที่ 2.2.2
การประยุกต์ค่าต ่าสุด
และค่าสูงสุด
1.
อ่านโจทย์ให้ละเอียดและทาความเข้าใจ
สถานการณ์ของโจทย์ ซึ่งอาจจะวาดภาพ
ประกอบ ถ้าเป็ นไปได้
2.
กาหนดตัวแปรและสร้างฟั งก์ชนั ของตัวแปร
เดียวจากโจทย์ และหาค่าของตัวแปรที่ทาให้
ฟั งก์ชนั ให้ค่าต ่าสุดหรือสูงสุด
3.
ดาเนินการตามขั้นตอนในการหาค่าต ่าสุด
หรือค่าสูงสุดของฟั งก์ชนั ที่ได้จากข้อ 2 โดย
การหาค่าวิกฤตของฟั งก์ชนั
ตัวอย่าง
ต้องการทากล่องกระดาษแบบไม่มีฝารูป
สี่เหลี่ยมจัตรุ สั ยาว 20 นิ้ว โดยตัดมุมทั้งสี่ออกเป็ น
รูปสี่เหลี่ยมจัตรุ สั เล็กๆ ถ้าต้องการให้กล่องที่ได้มี
ปริมาตรมากที่สุด จะต้องตัดมุมออกเป็ นรูป
สี่เหลี่ยมจตุรสั ขนาดด้านละเท่าใด
วิธีทา 1. สามารถวาดภาพคร่าวๆ ได้ดงั นี้
2. กาหนดตัวแปรและสร้างฟั งก์ชนั ของตัวแปร
เดียวจากโจทย์ และหาค่าของตัวแปรที่ทาให้
ฟั งก์ชนั ให้ค่าต ่าสุดหรือสูงสุด
กาหนดให้
x แทน ความยาวของด้านของสี่เหลี่ยม
จตุรสั ของมุมที่ตอ้ งการตัดออก
V แทนปริมาตรของกล่อง
ซึ่งมีค่า กว้าง x ยาว x สูง
จากภาพจะพบว่า กล่องที่ตอ้ งการมี
ความกว้าง = 20-2x
ความยาว = 20-2x
ความสูง = x
จากสูตรการหาปริมาตรของกล่อง (V) เท่ากับ
ความกว้าง x ความยาว x ความสูง
2
ดังนั้นจะได้ V =x(20  2x) ; 0 < x < 10
=
= 400x  80x  4x
d
= dx (400 x  80 x  4x
= 400 160x  12x
x(400 80x  4x 2 )
2
จะได้
dV
dx
3
2
2
3
)
3. ดาเนินการตามขั้นตอนในการหาค่าต ่าสุดหรือ
ค่าสูงสุดของฟั งก์ชนั ที่ได้จากข้อ 2 โดยการหา
ค่าวิกฤตของฟั งก์ชนั
กาหนดให้
dV
dx
=
0
เพื่อต้องการหาค่าวิกฤต (x)
ที่ทาให้กล่องมีปริมาตรมากที่สุด
จะได้ว่า
=0
100  40x  3x = 0
(3x  10)(x  10) = 0
10
x = 10, 3
400 160x  12x 2
2
10
ดังนั้นจะต้องตัดมุมออกด้านละ นิ้ว
3
เรื่องที่ 2.2.3
กฏโลปิ ตาล
เมื่อพิจารณาฟั งก์ชนั บางฟั งก์ชนั เช่น
f(x) =
ln x
x 1
มาหาค่าลิมิตเมื่อ x  1 จากความรูท้ ี่ได้เรียนมา
ในหน่วยที่ 1 จะพบว่า เรายังไม่สามารถสรุปได้ว่า
 ln x 
lim 
 มีค่าหรือไม่
x 1

x 1
 ln x 
lim 

x 1

x 1
นั้นมีค่า
แต่ยงั ไม่สามารถตอบได้ในทันที เนื่องจาก
เมื่อพิจารณาลิมิตของตัวเศษของฟั งก์ชนั ดังกล่าว
มีค่าเท่ากับ 0
และลิมิตของตัวส่วนฟั งก์ชนั ก็มีค่าเท่ากับ 0
เช่นกัน เราจะเรียกรูปแบบของลิมิตดังกล่าวว่า
รูปแบบยังไม่กาหนด (Indeterminate Forms)
รูปแบบยังไม่กาหนดมีท้งั หมด 7 รูปแบบด้วยกัน
0 
นั ่นคือ , , 0  ,   , 00 , 0 ,1
0 
1. รูปแบบ
2.
 2

 x 4
0
เช่น lim 

0
 x2 
x  2


รูปแบบ

 ln x 
เช่น lim 

x 

x
3. รูปแบบ0   เช่น lim x (csc x ) 
x0
4. รูปแบบ 
5. รูปแบบ 0 0
6. รูปแบบ 
0

7. รูปแบบ 1
1 1 
เช่น lim   
 x x 
x0
เช่น lim  x x 
 
x0
 1


เช่น lim  x x 

x  


1



เช่น lim  (x  1) x 
 

x0


กฏโลปิ ตาล
ให้ f และ g เป็ นฟั งก์ชนั ต่อเนื่องและหาอนุพนั ธ์
ได้บนช่วง (a, b) ที่มี c อยู่ โดยที่ g ( x)  0
สาหรับทุกค่า x  (a, b) ยกเว้นที่ x  c
ถ้า
lim f ( x )  0  lim g ( x )
x c
หรือ
x c
lim f ( x )    lim g ( x )
xc
xc
f ( x)
และ lim
หาค่าได้ แล้ว
x c g ( x)
f ( x)
f ( x)
lim
 lim
x c g ( x )
x c g ( x )
กฏโลปี ตาลยังใช้ได้เมื่อ
หรือ x  

หรือ x  c

หรือ x  c
x 
รูปแบบยังไม่กาหนดแบ่งออกเป็ น 3 กลุ่ม
1. รูปแบบยังไม่กาหนด
0
0

และ

0
0
ในการหาค่าลิมิตของฟั งก์ชนั ที่มีรูปแบบ และ

นั้น สามารถใช้กฎโลปี ตาลมาคานวณหา

0

โดยถ้าผลลัพธ์ที่ได้ยงั อยูใ่ นรูปแบบ และ
0

อีกก็สามารถใช้กฏโลปี ตาลต่อไปได้เรือ่ ยๆ
ตัวอย่าง
จงหา
 x2  4 

lim 
 x2 
x  2

วิธีทา สามารถแก้ปัญหาโจทย์ได้ 2 วิธีคือ
วิธีที่ 1 แยกตัวประกอบ
 x2  4 

lim 
 x2 
x  2

=
lim x  2
x2
=
 ( x  2)( x  2) 
lim 

x2


x2
4
วิธีที่ 2 ใช้กฏโลปิ ตาล
2
x  4 และ g(x)
กาหนดให้ f(x) =
2

จะพบว่า lim  x  4 

x2

=
0 และ
lim x  2
0 ทาให้ได้ว่า
x2
 x2  4 
0


อยูใ่ นรูปแบบ
lim
0
 x2 
x  2

=
=x–2
จาก กฏโลปิ ตาล
f (x)
lim
g(x )
xa
จะได้ว่า
=
 x2  4 

lim 
 x2 
x  2

f ( x )
lim
g ( x )
xa
=
;
g(x)  0
 2x 
lim  
1 

x2
= lim 2x 
x2
= 2(2)
= 4