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Calcolare la derivata della funzione
f (x, y) = (x2 − y 2 )ex
2
−y 2
nel punto (1, 1), rispetto alla generica direzione ~u = v~i + w~j.
soluzione. Calcoliamo il gradiente di f : si ha
2
2
2
2
∂f
(x, y) = 2xex −y + (x2 − y 2 )ex −y 2x =
∂x
= 2xex
mentre
2
−y 2
(1 + x2 − y 2 )
2
2
2
2
∂f
(x, y) = −2yex −y + (x2 − y 2 )ex −y (−2y) =
∂y
= −2yex
2
−y 2
(1 + x2 − y 2 ).
Ne segue che
∂f
∂f
∂f
(1, 1) = ∇f (1, 1) · (v~i1 + w~j) =
(1, 1)v +
(1, 1)w2 = 2v − 2w.
∂~u
∂x
∂y