Determina massimi e minimi relativi della funzione

𝒚 = 𝒙

𝟑

− 𝒙

𝟐

= 𝒙

𝟑

− 𝒙

𝟐 𝟏 𝟑

Dominio

: Poiché si tratta di una funzione irrazionale con indice dispari il Dominio è tutto ℛ = −

∞

; +

∞

La funzione è continua in tutto ℛ Per determinare i max e min determiniamo gli intervalli di monotonia e, pertanto, calcoliamo la derivata prima della funzione Y’ = 1 3 𝑥 3 − 𝑥 2 − 2 3 3𝑥 2 − 2𝑥 = 𝑥 3𝑥−2 3 𝑥 3 − 𝑥 2 2 Il

Dominio della derivata prima

è dato imponendo 𝑥 3 − 𝑥 2 = 𝑥 2 𝑥 − 1 ≠ 0 → x ≠ 0 𝑣 𝑥 ≠ 1 , quindi D y’ = ℛ − 0 ; 1 . Deduciamo che la funzione è continua in ℛ ma

non è derivabile

in x = 0 e x = 1! Studiamo il segno della derivata per determinare la monotonia della funzione 𝑥 3𝑥−2 3 𝑥 3 − 𝑥 2 2 > 0 → 𝑥 3𝑥 − 2 > 0 (osserviamo che il denominatore essendo sicuramente positivo – è un quadrato - non influisce sul segno!) Abbiamo lo schema Deduciamo che

x = 0 è l’ascissa di un punto di massimo e x = 2/3 è l’ascissa di un punto di minimo

. Ricordiamo che il punto di massimo di ascissa x = 0 è un punto di non derivabilità! Classifichiamolo. A tale proposito calcoliamo l’andamento della derivata a destra e a sinistra di 0. lim 𝑥→0 − 𝑥 3𝑥−2 3 𝑥 3 − 𝑥 2 2 = lim 𝑥→0 − 3 𝑥 3 3𝑥 −2 3 [𝑥 2 𝑥− 1 ] 2 = lim 𝑥→0 − 3 𝑥 3 3𝑥−2 𝑥 4 𝑥− 1 2 3 = 𝑠𝑒𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 = lim 𝑥→0 − 3 3𝑥−2 3 𝑥 𝑥− 1 2 = −2 0 − = +

∞

Analogamente

lim 𝑥→0 + 3 𝑥 3 3𝑥−2 3 [𝑥 2 𝑥− 1 ] 2 = lim 𝑥→0 + 3 𝑥 3 3𝑥−2 𝑥 4 𝑥− 1 2 3 = 𝑠𝑒𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 = lim 𝑥→0 + 3 3𝑥−2 3 𝑥 𝑥− 1 2 = −2 0 + = −

∞

Pertanto concludiamo dicendo che la funzione ha nel punto di ascissa x = 0 un massimo relativo che è una

cuspide.

Il grafico della funzione è il seguente