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Determina massimi e minimi relativi della funzione
π = π
π
β π
π
= π
π
β π
π π π
Dominio
: PoichΓ© si tratta di una funzione irrazionale con indice dispari il Dominio Γ¨ tutto β = β
β
; +
β
La funzione Γ¨ continua in tutto β Per determinare i max e min determiniamo gli intervalli di monotonia e, pertanto, calcoliamo la derivata prima della funzione Yβ = 1 3 π₯ 3 β π₯ 2 β 2 3 3π₯ 2 β 2π₯ = π₯ 3π₯β2 3 π₯ 3 β π₯ 2 2 Il
Dominio della derivata prima
Γ¨ dato imponendo π₯ 3 β π₯ 2 = π₯ 2 π₯ β 1 β 0 β x β 0 π£ π₯ β 1 , quindi D yβ = β β 0 ; 1 . Deduciamo che la funzione Γ¨ continua in β ma
non Γ¨ derivabile
in x = 0 e x = 1! Studiamo il segno della derivata per determinare la monotonia della funzione π₯ 3π₯β2 3 π₯ 3 β π₯ 2 2 > 0 β π₯ 3π₯ β 2 > 0 (osserviamo che il denominatore essendo sicuramente positivo β Γ¨ un quadrato - non influisce sul segno!) Abbiamo lo schema Deduciamo che
x = 0 Γ¨ lβascissa di un punto di massimo e x = 2/3 Γ¨ lβascissa di un punto di minimo
. Ricordiamo che il punto di massimo di ascissa x = 0 Γ¨ un punto di non derivabilitΓ ! Classifichiamolo. A tale proposito calcoliamo lβandamento della derivata a destra e a sinistra di 0. lim π₯β0 β π₯ 3π₯β2 3 π₯ 3 β π₯ 2 2 = lim π₯β0 β 3 π₯ 3 3π₯ β2 3 [π₯ 2 π₯β 1 ] 2 = lim π₯β0 β 3 π₯ 3 3π₯β2 π₯ 4 π₯β 1 2 3 = π ππππππππππππ = lim π₯β0 β 3 3π₯β2 3 π₯ π₯β 1 2 = β2 0 β = +
β
Analogamente
lim π₯β0 + 3 π₯ 3 3π₯β2 3 [π₯ 2 π₯β 1 ] 2 = lim π₯β0 + 3 π₯ 3 3π₯β2 π₯ 4 π₯β 1 2 3 = π ππππππππππππ = lim π₯β0 + 3 3π₯β2 3 π₯ π₯β 1 2 = β2 0 + = β
β
Pertanto concludiamo dicendo che la funzione ha nel punto di ascissa x = 0 un massimo relativo che Γ¨ una
cuspide.
Il grafico della funzione Γ¨ il seguente