Transcript Seconda lezione

LA PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI:
Fino ad ora abbiamo visto come determinare l’errore di una grandezza
misurata direttamente. Spesso però capita che il valore della grandezza
che si vuole determinare non è misurabile, ma deve essere ricavato
a partire da misure di altre grandezze ad essa correlate
Esempio:
Concentrazione di una soluzione:
c
m
V
Noto l’errore dm sulla massa di soluto pesato e l’errore dV sul volume di
soluzione, come si ricava l’errore sulla concentrazione dc?
NON E’ BANALMENTE:
dc 
dm
dV
LA PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI:
Fino ad ora abbiamo visto come determinare l’errore di una grandezza
misurata direttamente. Spesso però capita che il valore della grandezza
che si vuole determinare non è misurabile, ma deve essere ricavato
a partire da misure di altre grandezze ad essa correlate
Esempio:
Concentrazione di una soluzione:
c
m
V
Noto l’errore dm sulla massa di soluto pesato e l’errore dV sul volume di
soluzione, come si ricava l’errore sulla concentrazione dc?
La relazione che lega le tre variabili c, m e V, è una relazione di tipo funzionale
(la grandezza concentrazione è espressa in funzione delle altre due): c = f(m, V)
Generalizziamo e consideriamo una generica funzione f di N variabili x1, x2, …xN :
y  f ( x1 , x2 ,....xN )
Noti gli errori dxi sulle singole variabili,
come si ricava l’errore su y?
PARENTESI: LE DERIVATE PARZIALI
Data una generica funzione y = f(x) avrete già visto cosa è e come si
calcola la derivata della funzione rispetto alla sua variabile
Esempi:
f ( x)  k
f ( x)  x
f ( x)  ax  b
f ( x)  x n
df
0
dx
df
1
dx
df
a
dx
df
 nx n 1
dx
PARENTESI: LE DERIVATE PARZIALI
Data una generica funzione y = f(x) avrete già visto cosa è e come si
calcola la derivata della funzione rispetto alla sua variabile
Esempi:
f ( x)  k
f ( x)  x
f ( x)  ax  b
f ( x)  x n
df
0
dx
df
1
dx
df
a
dx
df
 nx n 1
dx
PARENTESI: LE DERIVATE PARZIALI
Data una generica funzione y = f(x) avrete già visto cosa è e come si
calcola la derivata della funzione rispetto alla sua variabile
Esempi:
f ( x)  k
f ( x)  x
f ( x)  ax  b
f ( x)  x n
df
0
dx
df
1
dx
df
a
dx
df
 nx n 1
dx
PARENTESI: LE DERIVATE PARZIALI
Data una generica funzione y = f(x) avrete già visto cosa è e come si
calcola la derivata della funzione rispetto alla sua variabile
Esempi:
f ( x)  k
f ( x)  x
f ( x)  ax  b
f ( x)  x n
df
0
dx
df
1
dx
df
a
dx
df
 nx n 1
dx
PARENTESI: LE DERIVATE PARZIALI
Data una generica funzione y = f(x) avrete già visto cosa è e come si
calcola la derivata della funzione rispetto alla sua variabile
Esempi:
f ( x)  k
f ( x)  x
f ( x)  ax  b
f ( x)  x n
df
0
dx
df
1
dx
df
a
dx
df
 nx n 1
dx
PARENTESI: LE DERIVATE PARZIALI
Data una generica funzione y = f(x) avrete già visto cosa è e come si
calcola la derivata della funzione rispetto alla sua variabile
Esempi:
f ( x)  k
f ( x)  x
f ( x)  ax  b
f ( x)  x n
df
0
dx
df
1
dx
df
a
dx
df
 nx n 1
dx
Nelle funzioni ad una sola variabile del tipo y = f(x) la derivata non può che
essere fatta rispetto all’unica variabile x. Nel caso in cui si ha a che fare con
una funzione a più variabili del tipo y = f(x1, x2, x3,…xN), la derivata può essere
eseguita rispetto ad ognuna delle singole variabili xi considerando le altre
variabili come costanti.
PARENTESI: LE DERIVATE PARZIALI
Considerando una funzione a due variabili y = f(x1, x2), la derivata parziale
di f rispetto ad x2 si indica come: f
Esempi:
x2
f ( x1 , x2 )  ax1  bx2
f
a
x1
f ( x1 , x2 )  x1  x2
f
 x2
x1
f ( x1 , x2 )  x1n  x2
f
 nx n 1  x2
x1
f
 x1n
x2
c
1

m V
c
m
 2
V
V
c
m
V
f
b
x2
f
 x1
x2
LA PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI:
Data una generica funzione a più variabili (tra loro indipendenti)
y = f(x1, x2, x3,…xN), si può dimostrare che l’errore sulla grandezza derivata è
dato da:
Espressione che può essere
anche riscritta come:
Ci sono casi particolari in cui questa formula generale è semplificata
LA PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI:
a : 4.5  0.3 cm
Si consideri il trapezio in figura.
Ricavare l’area ed il suo errore
Esempio:
ab
4.5  5.1
A
h 
 2.2  10.56 cm 2
2
2
A
A h
 ;
a 2
a
b
h h
2
2
A h
 ;
b 2
h : 2.2  0.2 cm
A a  b

h
2
b : 5.1  0.1 cm
 A
  A
  A

h
 h
  ab

d A   d a    db    d h    d a    db   
d h 
 a
  b
  h

2
 2
  2

2
2
2
2
2
2
 2.2
  2.2
  4.5  5.1

dA  
 0.3   
 0.1  
 0.2   0.1089  0.0121  0.9216
2
 2
  2
 

2
d A  1.0426  1.021078
2
2
A  (11  1) cm2
LA PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI:
SOMMA (E DIFFERENZA):
Consideriamo per semplicità una funzione a due variabili del tipo:
f ( x1 , x2 )  a  x1  b  x2
con
x1  d x1 x2  d x2
f
a
x1
Calcolando le derivate parziali si ottiene:
f
b
x2
Sostituendo i valori nella formula generale si ha:
 f

2
 f

2
d f  
 d x   
 d x   (a  d x ) 2  (b  d x ) 2
 x1
  x2

1
2
1
2
Somma in quadratura degli errori assoluti
(moltiplicati per i rispettivi coefficienti):
LA PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI:
SOMMA (E DIFFERENZA):
Esempio:
Consideriamo la media di N misure e calcoliamo l’errore sulla media :
x1  x2  x3  ...x N
1
1
1
x
  x1   x2  ....  x N
N
N
N
N
L’errore sulle singole variabili xi sappiamo essere la deviazione standard Sx
2
2
2
2
1
1  1 
1 
1 
S x    S x   ... S x   N   S x   N  S x
N
N  N 
N 
N 
dx  
1
dx 
Sx
N
Ritroviamo l’espressione della deviazione
standard della media già introdotta
LA PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI:
PRODOTTO (E RAPPORTO):
Consideriamo sempre una funzione a due variabili del tipo:
f ( x1 , x2 )  k  x1  x2
a
b
con x1  d x1 x2  d x2
Calcolando le derivate parziali si ottiene:
f
a 1
b
 k  a  x1  x2
x1
2
f
b 1
a
 k  b  x2  x1
x2
Sostituendo i valori nella
formula generale si ha:
2
 f
  f

a 1
b
b 1
a



df  
 d x1   
 d x2   (k  a  x1  x2  d x1 ) 2  (k  b  x2  x1  d x2 ) 2
 x1
  x2

Questo risultato può essere meglio espresso considerando l’errore relativo:
df
f
LA PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI:
PRODOTTO (E RAPPORTO):
df
f


(k  a  x1

a 1
 x2  d x1 ) 2  (k  b  x2
b
b 1
 x1  d x2 ) 2
a

f
1
k  x1  x2
a
k  x
1
b
 (k  a  x1
1
a
 x2

b 2
a 1
 (k  a  x1
 a  x1a 1  x2 b  d x
1
 
a
b

x1  x2

 x2  d x1 ) 2  (k  b  x2
b 1
a 1
1
b
 x2  d x1 ) 2 
b
k  x
a
1
2
  b  x2 b 1  x1a  d x
2
 
a
b
 
x1  x2
 




2
Somma in quadratura degli errori relativi
(moltiplicati per i rispettivi esponenti):
 x1  d x2 ) 2 
 x2
a

b 2
 ( k  b  x2
b 1
 x1  d x2 ) 2 
a
LA PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI:
PRODOTTO (E RAPPORTO):
Esempio:
Ritornando all’esempio del calcolo dell’errore sulla concentrazione,
abbiamo ora tutti gli elementi necessari :
Concentrazione di una soluzione:
c
m
V
Noto l’errore dm sulla massa di soluto pesato e l’errore dV sul volume di
soluzione, come si ricava l’errore sulla concentrazione dc?
c
dc
m
V
 c  m1  V 1
d 
 d  
 1  m     1  V 
c
V 
 m 
2
2
d 
 d  
 d c  c  1  m     1  V 
V 
 m 
2
2