FUNZIONI REALI DI DUE VARIABILI REALI

Ricordiamo che …

Una funzione di due variabili è del tipo z = f(x , y) Si definisce funzione reale di due variabili reali una relazione che associa ad ogni coppia di numeri reali (x,y) appartenenti al Dominio uno ed un solo numero reale z Assegnando a x e y due valori del Dominio si ottiene il valore di z e, quindi, il punto P(x ; y ; z) x y

Esempio

: z = 3x-y+9 Se x = 2 e y = 7 si ottiene z = 8 Il punto è P(2 ; 7 ; 8) z

Questo punto può essere rappresentato nello “spazio” P(2 ; 7 ; 8)

2 8 P 7

Dominio di una funzione a due variabili

• Il Dominio è il sottoinsieme del prodotto cartesiano R X R costituito da tutte le coppie (x,y) di numeri reali che hanno per corrispondente un ed un solo numero reale Z

Dominio di una funzione a due variabili

Per determinare il dominio di una funzione a due variabili e’ necessario procedere alla sua classificazione: • Funzione intera o Funzione Fratta • Funzione razionale o irrazionale • Funzione trascendente : logaritmica, esponenziale

Grafico di una funzione a due variabili

Rappresentare graficamente una funzione di due variabili è piuttosto complesso poiché si tratterebbe di tracciare il grafico di una superficie in sistema di assi cartesiani x,y,z e questo non è sempre agevole.

Esistono programmi svolti dal calcolatore che danno l'idea di queste immagini: sono molto suggestive, ma non sempre evidenziano certi comportamenti della funzione.

Piano di equazione z = -3x+2y+10

z = 2 x

2

- y

z = xy

z = x

2

+ y

2

- 25

z = y

2

- x

2

Linee di livello

E’ possibile avere delle informazioni sul grafico della funzione tracciando le sue

“linee o curve di livello”.

Le linee di livello sono la proiezione ortogonale sul piano x,y di tutti i punti aventi la stessa quota z = K In pratica è come se si tagliasse la superficie con dei piani orizzontali a differenti quote e si trasferisse il risultato di questo “taglio” sul piano x,y

Per costruire le linee di livello occore partire da un sistema:   z z   f(x, k y) f(x,y) = k equazione della generica linea di livello Assegnando dei valori alla quota z si identificano le varie linee di livello che sono quindi rappresentabili sul piano x,y ponendo accanto a ciascuna di esse la relativa quota z y k1 k2 k3 x rappresentazione delle linee di livello sul piano xy senza prospettiva

Clicca per visualizzare le linee di livello

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linea di livello Z piano z = k X Y piano xy

DERIVATE PARZIALI

Nello studio dell’analisi si incontra il concetto di derivata; data una funzione y = f(x) si definisce la sua derivata come:

h

lim  0

f

(

x



h

) 

f

(

x

) 

y

' 

derivata h

Il rapporto a fianco del simbolo del limite viene detto

RAPPORTO INCREMENTALE

Nel caso di una funzione a due variabili è necessario scrivere due definizioni

h

lim  0

f

(

x



h

,

y

) 

h f

(

x

,

y

) Questa scrittura definisce la derivata parziale rispetto a x in quanto la y viene considerata costante

y’ x

lim

h

 0

f

(

x

,

y



h

) 

f

(

x

,

y

)

h

Questa scrittura definisce la derivata parziale rispetto a y in quanto la x viene considerata costante

y’ y

Esempio :

z = x 2 y +2x -y 2 Z’ x = 2x+2 Z’ y = -1-2y Ovviamente sono valide tutte le regole di derivazione applicate nello studio delle funzioni ad una sola variabile y = f(x)

DERIVATE SUCCESSIVE

Anche nel caso di funzioni a due variabili è possibile procedere al calcolo delle derivate successive.

Z’’ x x significa che a partire dalla z’ x devo ancora derivare rispetto alla x Z’’ x y significa che a partire dalla z’ x devo ancora derivare rispetto alla y Z’’ y x significa che a partire dalla z’ y devo ancora derivare rispetto alla x Z’’ y y significa che a partire dalla z’ y devo ancora derivare rispetto alla y

Teorema di Schwarz

Esso afferma che le due derivate seconde z’’ x y e z’’ y x sono uguali

Z’’ XY = Z’’ YX

Esempio.

Data la funzione z = 3x 2 +5xy-y 3 verificare il Teorema di Schwarz Z’x = 6x+5y Z’ y = 5x-3y 2 Z’’x y = 5 Z’’y x = 5

PIANO TANGENTE

Nello studio dell’analisi matematica è stato più volte ricordato il significato geometrico della derivata prima, che rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente in un determinato punto alla funzione.

Assegnato un punto P(x 0 ,y 0 ) appartenente ad una funzione y = f(x) è possibile ricavare la retta tangente a partire dall’equazione del fascio proprio di rette passante per P y-y 0 = m·(x-x 0 ) dove è rappresentato dalla derivata prima della funzione f’(x 0 ,y 0 )

In analogia su quanto detto per le funzioni ad una variabile, è possibile scrivere l’equazione del piano tangente in un punto P(x 0 ,y 0 ,z 0 ) ad una superficie: Z = f(x 0 ,y 0 )+f’ x (x 0 ,y 0 ) ·(x-x 0 ) + f’ y (x 0 ,y 0 ) ·(y-y 0 ) Dove f’x e f’y sono le derivate prime parziali della funzione z = f(x,y) calcolate nel punto di tangenza P(x 0 ,y 0 ,z 0 ) Il piano tangente può esser utilizzato per approssimare la superficie nell’intorno dl punto di tangenza.

MASSIMI E MINIMI

Si ricorda la definizione di

massimo relativo

: Un punto M è di massimo relativo se esiste un suo intorno o intervallo I nel quale il punto M > P(x,y) per ogni punto P appartente all’intervallo Analoga la definizione di

minimo relativo

.

Se poi la disuguaglianza è valida per tutto il dominio, si avrà un

massimo assoluto

o

minimo assoluto.

Max assoluto Max. relativo Min relativo Min assoluto

MASSIMI E MINIMI LIBERI Esistono due metodi per la ricerca dei massimi e minimi liberi: A) Metodo delle derivate B) Metodo delle linee di livello

Metodo delle derivate

Assegnata ala funzione z = f(x,y) si procede al calcolo delle derivate parziali prime che vengono poste uguali a zero:  

f f

'

x

'

y

 0  0 CONDIZIONE NECESSARIA MA NON SUFFICIENTE I punti le cui coordinate sono le soluzioni del sistema sono detti

PUNTI CRITICI O STAZIONARI

: fra tali punti si devono ricercare i massimi ed i minimi della funzione. Per decidere se si tratta effettivamente di massimo o di minimo, occorre esaminare il

determinante hessiano

.

H  f f ' ' xx '' yx f f ' ' xy '' yy

Ora occorre andare a verificare il valore di H nel o nei punti critici precedentemente ricavati.

Sia P(x 0 , y 0 ) un punto critico Se H (x 0 , y 0 ) > 0 e ƒ'' XX (X0, Y0) > 0 in P si ha un

minimo

relativo ƒ'' XX (X0, Y0) < 0 in P si ha un

massimo

relativo .

Se H (x 0 , y 0 ) < 0 In P si ha un

punto di sella

Se H (x 0 , y 0 ) è dubbio il comportamento della funzione in P è dubbio e bisogna utilizzare un altro metodo o esaminare la funzione nell’intorno di P

Esempio:

determinare gli eventuali massimi e minimi relativi della funzione Z = x² – xy + 2y² + 3x + 2y

calcolo delle derivate parziali prime: Z' X = 2x – y + 3 Z‘ y = – x + 4y + 2 Le due derivate prime vengono messe a sistema ponendole uguali a zero: 2  

x x

 

y

4 

y

3   2 0  0 Le soluzioni del sistema sono:

x y

   2  1 Abbiamo ottenuto dunque un solo punto critico o stazionario Ora si procede al calcolo delle derivate seconde: Z'' XX = 2 Z'' YY = 4 Z'' XY = Z'' YX = – 1

Si procede quindi al calcolo del determinante Hessiano: 2  1  1  8  1  7 4 In questo caso l’Hessiano ci fornisce già un valore numerico cioè è puntuale. Poiché H >0 il nostro punto critico può essere un massimo o un minimo: Per arrivare alla conclusione si analizza la Z ’’xx che essendo uguale a 2 ci porta alla conclusione che il punto P(-2,-1, 4) è un punto di minimo

Metodo delle linee di livello

Il metodo consiste nel tracciare le linee di livello della funzione z = f(x,y):   z z  f(x,  k y) Una volta tracciate le linee di livello si andrà ad analizzarle per capire se esse degenerano in un punto.

In tale punto ci sarà il massimo o il minimo a seconda dell’andamento del valore della z

MASSIMO E MINIMI VINCOLATI In molte applicazioni sorge il problema di determinare gli eventuali massimi minimi di una funzione le cui variabili non sono indipendenti ma devono soddisfare certe condizioni; si parla in tal caso di massimi-minimi vincolati. In economia ad esempio nell’ottimizzare la funzione dei profitti di un’impresa che produce e vende un prodotto si tiene conto del vincolo espresso dalla funzione di domanda del bene.

Dunque un problema di massimo-minimo vincolati si presenta in questo modo: Z=f(x,y) da massimizzare – minimizzare con vincolo g(x,y) =0 Esempio Determinare il massimo-minimo della funzione z = x 2 +y 2 - 4 con il vincolo x + y-2=0

Massimi-minimi vincolati Esistono sostanzialmente tre metodi di risoluzione A) Metodo di sostituzione B) Metodo della funzione Lagrangiana C) Metodo delle linee di livello tangenti

Metodo di sostituzione

Procedimento : • • • Si esplicita il vincolo rispetto ad una variabile (x o y indifferentemente) Si sostituisce l’espressione ricavata nella funzione iniziale eliminando dunque una variabile Si procede come per il calcolo di massimi-minimi in una funzione ad una variabile Esempio: trovare max.-min della funzione:

z



x

3 

xy

 8 3 con vincolo Si esplicita nel vincolo rispetto ad y

y



x

 12 2 2

y



x

 12  0 E si sostituisce nella funzione z ottenendo così una funzione con una sola variabile:

z

 2

x

3  3

x

2  36

x

 48 6

Il problema ora è diventato un problema di analisi di funzione ad una sola variabile. Si procede quindi al calcolo della derivata prima che viene posta uguale a zero:

z '



x

2 

x

 6

x

2

x

1 

x

 6  2  0

x

2   3 Si sono ottenuti due punti critici. Ora si può procedere in due modi: Con lo studio della crescenza/decrescenza o con lo studio della derivata seconda: + 0 - - - - - - - 0 + + -3 2 z’’= 2x+1 z’’(2) = 2 min (2,-5,2/3) z’’(-3)=-5 Max(-3,-15/2,43/2) Max min

Metodo della funzione Lagrangiana Assegnata la funzione z=f(x,y) e il vincolo g(x,y) si costruisce una nuova funzione detta

FUNZIONE LAGRANGIANA

: Z = f(x,y) + λ·g(X,Y) λ è detto moltiplicatore di Lagrange e trasforma un problema di massimo – minimo vincolato in un problema di massimo – minimo libero vincolato.

La funzione Lagrangiana è una funzione a tre variabili: x, y, λ Condizione necessaria, ma non sufficiente affinchè Z abbia un massimo (minimo) vincolato è data dal contemporaneo annullamento delle derivate parziali prime rispetto a ( λ, x, y).

 

Z

'

x

  

Z Z

'

y

'   0 0  0 Le soluzioni del sistema sono dette punti critici o punti stazionari A questo punto si procede al calcolo di un determinante detto Hessiano Orlato: 0

H



g

'

x g

'

y g

'

x Z

"

xx Z

"

yx g

'

y Z

"

xy Z

"

yy

Dove g’x e g’y sono le derivati parziali del vincolo e Z’’ xx Z’’ xy Z’’ yy le derivate parziali seconde della funzione Lagrangiana Per ogni punto critico p(x 0 ,y 0 , λ 0 ) deve essere calcolato il valore dell’Hessiano orlato e verificare se: H (X0, Y0, λ0) > 0  H (X0, Y0, λ0) < 0  H (X0, Y0, λ0) = 0  in P0 la funzione ha un massimo vincolato in P0 la funzione ha un minimo vincolato non si può dire nulla ed occorre studiare la funzione nei punti del vincolo prossimi a P0

Metodo delle linee di livello tangenti

• Si rappresenta graficamente la funzione per curve di livello evidenziando la relazione esistente fra il variare della variabile z e le curve • Si rappresenta graficamente il vincolo (nello stesso sistema cartesiano) • Si cercano, fra tutte le curve di livello che sono tangenti al vincolo: nei punti di tangenza, se ci sono, si avranno max-min vincolati