Transcript due problemi di matematica

PROBLEMA: un punto innamorato... ma tanto sfortunato
Una semicirconferenza
di centro O e diametro AB ha il raggio dipendente dal tempo t secondo la legge
√
oraria r (t) = 2 t ; all’istante t = 0 s, un punto P, trattenuto da B, si libera da esso nel disperato tentativo di raggiungere il suo grande amore A, ed inizia il moto da B verso A lungo la semicirconferenza e
√
secondo la legge oraria BP(t) = 2 t2 . Si chiede di:
1. determinare l’espressione analitica della funzione y = A(t) , dove A(t) è l’area del triangolo
AOP ,
∧
2. determinare se il massimo valore di y = A(t) si ha in corrispondenza dell’angolo α = PAB
π
maggiore o minore di ,
3
3. studiare e rappresentare y = A(t) tenendo conto dei limiti geometrici ed evitando lo studio della
derivata seconda,
4. calcolare le soluzioni della seguente disequazione, non tenendo conto dei limiti geometrici:
Z x
0
A(t)dt ≥ − x 2 cos x + 2x sin x + 2 sin x .
5. determinare, con un minimo di fantasia matematica, una nuova legge oraria di P, BP(t) , che non
sia lineare, affinchè l’amore di P per A sia "platonico e tendente all’addio", corrispondente alla ben
∧
nota condizione per la l’angolo α(t) = PAB:
lim α(t) =
t →+ ∞
π
4
PROBLEMA: un cono... nel cono
Dato un cono circolare retto C di altezza 2 e raggio di base 1, indicare con V il vertice e con H il piede
dell’altezza; tagliando C con un piano parallelo al cerchio di base si individua un cerchio Σ, di centro
P ∈ VH. Porre x = VP, indicare con VC il volume del cono di base Σ ed altezza PH e con VT il volume
del tronco di cono individuato dal taglio.
(a) Calcolare l’angolo di apertura θ di C in gradi, primi e secondi (sistema sessagesimale); determinare il valore di x che rende massimo VC e, in tale condizione, calcolare l’angolo di apertura β del
cono di volume VC .
VC
e rappresentarla graficamente, non tenendo conto delle
VT − VC
limitazioni geometriche e di eventuali discontinuità di terza specie; verificare che f(x) presenta un
asintoto obliquo ed un asintoto verticale.
(b) Determinare la funzione f ( x ) =
(c) Calcolare l’area della regione piana R delimitata da f(x), dall’asse x, dalle rette x=0 e x=1; valutare
se è finita l’area della regione di piano delimitata da f(x) e dagli asintoti, con f ( x ) ≥ 0 . Considerando R come base di un solido W le cui sezioni con piani ortogonali all’asse x hanno, per ciascun
x, area A( x ) = x e x , calcolare il volume di W.
(d) Verificare che il punto d’intersezione Q tra gli asintoti di f(x) è anche il centro di simmetria di f(x);
determinare la funzione g(x) ottenuta traslando f(x) in modo che Q coincida con l’origine degli
assi cartesiani. Scrivere, senza fare i calcoli, l’integrale definito che fornisce il volume del solido
ottenuto da una rotazione completa attorno all’asse y della parte di g(x) delimitata da x ≤ 2 e
2 ≤ y ≤ 3.