Transcript ESTATE 2009 GEOMETRIA SOLIDA 4 5 1 2 V(x)

ESTATE 2009 GEOMETRIA SOLIDA
Esercizio 1
Un cateto di un triangolo rettangolo misura 2a, dove a è una lunghezza nota.
L’angolo acuto ad esso adiacente ha il coseno uguale a
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.
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a) condotta per il vertice dell’angolo retto una retta t che non attraversa il triangolo ed
indicata con x la misura dell’angolo che essa forma con il cateto maggiore, esprimere in
funzione di x il volume V(x) del solido generato dalla rotazione completa del triangolo
attorno alla retta t.
1 3
b) verificato che risulta V(x)= πa (4sinx + 3cos x) , con x appartenente ad un intervallo da
2
determinare,trovare il valore dell’angolo per cui risulta
5
V(x) = πa 3
2
Esercizio 2 Un cono retto è circoscritto ad una sfera di raggio r e γ è la circonferenza di
contatto tra la superficie S laterale del cono e quella sferica.
La circonferenza γ divide la superficie sferica in due calotte S1 ed S2 con S1 < S2 .
Si esprimano S, S1 , S2 in funzione di r e dell’ampiezza x dell’angolo di semiapertura del cono
e si determini il valore di x tale che sia:
2S S2
=
S2 S1
Esercizio 3
Nella piramide ABCV la base è il triangolo ABC rettangolo in B, lo spigolo VC è perpendicolare
alla base e la faccia ABV ha un angolo retto in B. Sapendo che VA=8, VAˆ B =
trova l’ampiezza dell’angolo
30° , CBˆ V = 45° ,
ACˆ B e il volume della piramide.
Esercizio 4
€
€
E’ dato il quadrato ABCD di lato a.Si consideri un punto P sul lato AD e si esprimano in
funzione di a e€dell’ampiezza x dell’angolo APB i volumi V ,V ,V dei solidi generati
rispettivamente, dai triangoli APB, PDC, BPC in una rotazione completa attorno alla retta AD.
Trovare il valore dell’angolo per cui risulti:
2V1 + V2
=1
V3
Esercizio 5
In una sfera di raggio r è inscritto un cilindro: un cono ha la base in comune con il cilindro ed
il vertice nel centro della sfera.
Determinare l’angolo di semiapertura x del cono sapendo che il rapporto tra l’ area della
superficie totale del cilindro e quella del cono è 2.
Esercizio 6
E' data una circonferenza di centro O e diametro AB = 2r e sia MN una corda
perpendicolare in H a questo diametro e sia T il punto d'incontro delle tangenti nei punti M ed
N.
c) si fa ruotare la figura attorno ad AB. Calcolare in funzione di AOˆ M = x le aree A1 , A2
delle calotte limitate sulla sfera dal cerchio generato da MN. Trovare il valore di x in modo
che sia
A1
= 3+2 2
A2
d) nella rotazione precedente il triangolo TMN genera un cono. Calcolare in funzione di x il
rapporto tra l'area della sfera inscritta nel cono e l'area di base del cono e porre il
rapporto uguale a 4/3.
Esercizio 7
Data una sfera di diametro AB=2r, si conduca perpendicolarmente ad AB un piano che la
intersechi. Si consideri quindi un solido formato dalla calotta di vertice A e dal cono di vertice
B, aventi per base il cerchio sezione.
Si determini l’angolo di semiapertura del cono sapendo che l’area del solido suddetto è
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πr
2
Esercizio 8
Dividere una superficie sferica di centro O e raggio r mediante un piano in modo che l’area
laterale del cono avente per base la sezione AB del piano con la sfera ed apotema AM
5 , aumentata dell’area della calotta sferica ABC, sia 4 πr 2 , essendo C, dalla parte
x
5
opposta ad M rispetto alla sezione AB. (porre AOM=x sol = tg
2
5
Esercizio 9
€
In un semicerchio di raggio r si conducano due corde AB e BC negli estremi del diametro AC
=r
€
e si faccia ruotare la figura attorno a questo diametro.Calcolare l’angolo x=BAC affinché il
€ m tra Ae B9) sia i
volume generato dal segmento circolare AMB (con
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della sfera generata
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dal semicerchio (x=30°)
Esercizio 10
Data una semicirconferenza di raggio R e diametro AB, condurre il raggio OM e le tangenti
nei punti A B ed M . Determinare l’angolo AOM in m,odo che
€ il volume del solido ottenuta
dalla rotazione del trapezio ACDB attorno ad AB sia
AB.(COA=x x=60°)
€
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del volume della sfera di diametro
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