Transcript Esercizi sulla propagazione degli errori

Esercizi
Si deve preparare una soluzione di NaCl con una concentrazione pari a c=1 g/l con errore
inferiore all’1%. Viene utilizzato un matraccio da 50 ml il cui errore è certificato pari a 0.25
ml. Calcolare la massa di NaCl che deve essere pesata e l’errore minimo che si può fare
sulla pesata
La concentrazione è il rapporto tra la massa di soluto pesata e il volume della soluzione
c
La massa da pesare si calcola quindi come prodotto tra concentrazione e volume:
g
m  c  V  1  50ml  50mg
l
L’errore su tale massa deve essere tale da garantire un errore sulla concentrazione inferiore
all’1%, noto l’errore sul volume, cioè:
2
2
 m    V 
 
     0.01
c
 m  V 
c
Da cui:
m
V
Esercizi
Si vuole misurare l'area e il perimetro di un campo da basket, usando un metro
che la precisione di ± 10 cm. Si trova che il lato maggiore del campo misura
18.05 m, il lato minore 6.45 m. Trovare area A e perimetro p del campo, coi
rispettivi errori.
AREA:
A
A  l1  l2  116.4225 m2
 l 
2
 l 
2
ERRORE RELATIVO SULL’AREA:
2
2
 10   10 
  
  0.0165
  1    2   
A
 18.05   6.45 
 l1   l2 
2
A=116 ± 2 m2
ERRORE ASSOLUTO SULL’AREA:  A  A  0.0165  1.92 m
PERIMETRO:
p  2l1  2l2  49 m
1
1
ERRORE ASSOLUTO SUL PERIMETRO:
 p  (2 l ) 2  (2 l ) 2  (2  0.1) 2  (2  0.1) 2  0.28 m
1
1
p=49.0 ± 0.3 m
Esercizi
Si vuole determinare il volume della sfera con un errore inferiore al 5%. Specificare
con quale errore percentuale deve essere noto il diametro della sfera.
Il volume della sfera è pari a:
4
V    r3
3
avendo indicato con r il raggio della sfera:
Detto d il diametro della sfera, l’espressione del volume si può riscrivere come:
4 d 
V    
3 2
V
3
Il diametro deve essere noto con un errore d tale per cui:
  
  3 d   0.05
V
 d 
 d
3
 d
2
Da cui:
d


0
.
05

 0.017

d

E il raggio?
d
O analogamente:
d
 d 
d  2r   d    r   2 r
 r 
2

d
d

 1.7 %
2 r  r

2r
r
Esercizi
Si determina il volume di un cilindro misurandone il diametro e l’altezza. Se i risultati delle
due misure sono: diametro: (8 ± 1) cm, altezza: (40 ± 1) cm
Si chiede: Quale è l’errore sul volume? E quale il suo errore relativo (percentuale)?
Se si potesse migliorare una sola delle due misure, quale bisognerebbe scegliere per
ottenere un errore più piccolo sul volume?
Il volume di un cilindro è il prodotto dell’area di base per l’altezza:
2
2
d 
8
V   r  h      h  3.14     40  2009.6 cm 3
2
2
2
ERRORE RELATIVO SUL VOLUME:
V
 d 
2
 h 
2
2
2
 1  1 
  2       2      0.0625  0.000625  0.2512  25%
V
 8   40 
 d   h
ERRORE ASSOLUTO SUL VOLUME:
V  0.2512 V  0.2512  2009.6  504.81
V=2000 ± 500 cm3
Nell’espressione del volume del cilindro il diametro è elevato al quadrato. Ciò fa si
che nella formula di propagazione per prodotti e rapporti compare il fattore
moltiplicativo (2) in corrispondenza dell’errore relativo sul diametro. E’ quindi il
diametro ad avere un peso maggiore nel calcolo dell’errore sul volume.
Esercizi
Un chimico deve prelevare 50 ml di soluzione utilizzando una pipetta da 10 ml. Effettua
pertanto 5 pipettate. Sapendo che la precisione nominale della pipetta è pari a 0.15 ml,
calcolare l’errore associato al volume totale prelevato
Il volume totale prelevato è la somma del volume di 5 pipettate:
Vtot  V1  V2  V3  V4  V5
L’errore sul volume totale si ricava quindi utilizzando la formula di propagazione
degli errori per somme e differenze:
V  (V ) 2  (V ) 2  (V ) 2  (V ) 2  (V ) 2
tot
1
2
3
4
5
Gli errori sui singoli volumi Vi sono tutto pari a 0.15 ml (precisione della pipetta). Quindi:
V 
tot
0.152  0.152  0.152  0.152  0.152
 5  0.15  5  0.15  0.34 ml
2
Esercizi
La portata di un fluido che scorre con velocità v attraverso un condotto di sezione circolare A è
definita come: Q = A * v = * r2 * v, ove r è il raggio della sezione del condotto.
Supponendo che l’errore sul valore del raggio sia pari allo 0.6%, e quello sul valore della
velocità sia pari al 2%, calcolare quanto vale l’errore percentuale sulla determinazione della
portata.
La formula che esprime la portata è un prodotto. Vale quindi :
Q
    
  v   2 r  
Q
 v   r 
2
2
0.022  2  0.0062
 0.023
L’ERRORE PERCENTUALE SULLA PORTATA E’ QUINDI DEL 2.3%: