Transcript Problema 1 Su un piano α sono appoggiati una sfera di raggio r, un

Problema 1
Su un piano α sono appoggiati una sfera di raggio r, un cono di vertice V, altezza 2r e raggio di
base r e un cilindro che ha, rispetto al cono, altezza uguale e volume triplo.
Un piano β si muove parallelo ad α , intersecando i tre solidi.
a) Indicata con x la distanza di V dal piano β, si trovi il rapporto fra la somma dei volumi dei due
solidi individuati da β con il cono e la sfera nel semispazio che contiene V e il volume del solido
individuato da β col cilindro nel semispazio che non contiene V. Per il calcolo del volume, W,
1
del segmento sferico di altezza h si può usare la formula: W = π h 2 ( 3r − h ) , dove r
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rappresenta il raggio della sfera.
b) Studiare la funzione y = f ( x ) , dopo aver posto r =1, prescindendo dalle limitazioni del
problema, evidenziando la parte di grafico interessata a quelle limitazioni. In particolare si
indichino le coordinate del flesso, verificando che esso ha ascissa 4.
c) Dimostrare, servendosi del calcolo integrale, la formula del volume della calotta sferica
utilizzata al punto a)
d) Determinare per quale valore della distanza x il rapporto di cui al punto a) è uguale a 2,
servendosi di un metodo di un algoritmo numerico a scelta e fornendo il risultato con tre cifre
decimali esatte.
Quesiti
1
Sia f la funzione polinomio definita, per ogni x reale, da f ( x 2 + 1) = x 4 + 5 x 2 + 3 . Allora f ( x 2 − 1) è
data, per ogni x, da
A) x 4 + 5 x 2 + 1 ; B) x 4 + x 2 − 3 ; C) x 4 − 5 x 2 + 1 D) x 4 + x 2 + 3 E) Nessuna di queste
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Siano a, b, c le lunghezze dei lati di un triangolo. Se:
1
1
3
+
=
a+b b+c a+b+c
Allora l’angolo opposto al lato di lunghezza b è:
A) 30°
B) 45°
C) 60°
D) 90°
E) nessuno dei precedenti
3
Risolvere il sistema:
 x − log y = 1

 y − log x = 1
Si tenga conto che il logaritmo è da intendersi logaritmo naturale e si ricordi la proprietà:
e x > 1 + x ∀x ≠ 0
4
Indiana Jones è stato morso da un terribile scorpione velenoso. L’unico antidoto è una fiala che si
trova in mezzo ad altre tre, di cui due contenenti acqua distillata e uno contenente un liquido che
annulla l’effetto dell’antidoto. Le quattro fiale ed il loro contenuto sono del tutto indistinguibili ai
sensi. Il nostro eroe ha solo la possibilità di prendere un numero di fiale a suo piacimento, versarle
in un recipiente e bere la sostanza così ricavata.
Qual è la strategia migliore per Indiana Jones, cioè quella che gli permette di realizzare la
probabilità massima di prendere l’antidoto e che questo sia efficace?
Tale probabilità massima vale:
1
1
1
1
1
1
A) p <
B) p =
C) < p <
D) p =
E) p >
4
4
4
2
2
2
5
Andrea non ricorda con certezza qual è la formula che esprime il raggio della circonferenza inscritta
in un triangolo in funzione dell’area, A, e il semiperimetro, p, del triangolo stesso: è indeciso se
A
p
scrivere r = o r = . Con quali considerazioni si può scegliere la formula giusta senza eseguire
p
A
calcoli e senza ricordare quella giusta?
6
Per ciascun numero reale x, sia f(x) il minimo dei numeri 4x+1, x+2 e -2x+4. Allora il massimo di
f(x) è :
1
1
2
5
8
A)
B)
C)
D)
E)
3
2
3
2
3
7
Nel 2009 la nazione col consumo di sigarette medio pro capite più alto era la Serbia, con 7,8
sigarette al giorno per cittadino.
1. Supponendo che i Serbi che non fumano rappresentino il 25% della popolazione
complessiva, qual è il numero medio di sigarette al giorno consumate da un fumatore?
2. Qual è la probabilità, su dieci serbi presi a caso, che almeno uno sia un fumatore? E che ci
siano esattamente cinque fumatori?
8
Sia {an } una successione il cui termine generale è dato dall’area di un quadrato che si ottiene come
mostra la figura:
Il lato del quadrato iniziale è 3; il lato di ciascun quadrato è metà del lato del quadrato precedente.
Calcolare la somma delle aree dei quadrati della successione.
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Il valore di 5 5 ( ) è uguale a:
A) 25log5 ( w + 1)
B) 25 + log5 ( w + 1)
2 + log w+1
C) 52 + w + 1
D) 25w + 25
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Sul pianeta Keplero55, abitato da kepleriani, l’anno è costituito da 180 giorni. Qual è la probabilità
che in un gruppo di 10 kepleriani almeno due compiano gli anni nello stesso giorno?