Ω e O e O , O ∈Ω e 2 O ∈Ω . 3 2 r . 3 1 3 3 1 8 2 2 3 2 4 12 12 3 AH
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13. LA GEMMA DI EMMA
SOLUZIONE (di Emanuele Campeotto – Liceo Bertoni Udine)
1 e 2 di centri O1 e O2 ,
rispettivamente e di raggio r , tali che O1 2 e O2 1 .
Siano date due sfere
La regione comune alle due sfere è costituita da due calotte
sferiche con base un cerchio
3
r.
2
di raggio
O2
O1
Consideriamo ora l’ottaedro di lato l . Essendo per sua natura
un antiprisma, esso è iscrivibile in un cilindro.
Il raggio della base è pari ai
equilatero.
Calcoliamo l’altezza.
Riferendoci alla figura a fianco:
2
dell’altezza del triangolo
3
2
2
3 1 3 3 2 1 2 8 2 2 2
AH AK KH
l
l l l l l
12
12
3
2 3 2 4
6
AH
l.
3
(infatti AK è l’altezza del triangolo equilatero di lato l , mentre
KH è la metà del raggio di base del cilindro.)
2
2
2
A
Il problema diventa ora inscrivere un cilindro con raggio di base
C
6
3
l nella parte delle due sfere.
l e altezza
3
3
Se osserviamo un sezione delle due sfere, passante per i due
centri, il problema diventa costruire un rettangolo WXYZ con i
lati in proporzione
H
O
K
2
.
2
B
Riferendoci alla figura a lato, applichiamo il Teorema di Pitagora
al
triangolo
O2 MW , dove O2W r , WM
3
l
3
R
e
W
1
1 6
O2 M OT MT r
l:
2
2 3
O2W 2 WM 2 O2 M 2
1
1
6
r 2 l 2 r
l
3
2
6
6 60
6
r
6
6
M
O1
T
Y
Z
S
10 1 r .
La superficie dell’ottaedro è A(l ) 2 3l . Per i dati del problema la soluzione cercata è:
2
6
A 2 3
6
O2
2
1
1
1
6
r2 l2 r2 l2
rl
3
4
6
6
6l 2 2 6rl 9r 2 0 la cui unica soluzione accettabile è
l
X
2
1
10 1 10 2 3
6
2
10 1 100
3
11 2 10 100 269,94 .
3