Transcript Studio del segno della derivata prima della seguente funzione *** f (x)

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*** Studio del segno della derivata prima della seguente funzione ***
f (x) =
x2 - 1
x-4
Dominio della funzione
]-∞;4[ ⋃ ]4;∞[
oppure
ℝ-{4}
Derivata della funzione:
f ' (x) =
x2 - 8 x + 1
(x - 4)2
I seguenti fattori sono sempre positivi quindi vengono esclusi dallo studio del segno:
(x - 4)2
Si studia il segno dei seguenti fattori:
x2 - 8 x + 1
Studio del segno del seguente fattore:
x2 - 8 x + 1
Calcolo del Δ
Δ = b2 -4ac = ( - 8 )2 -4( 1 )( 1 ) = 60
Essendo il Δ > 0, il trinomio assume i seguenti segni:
a >0 → positivo per i valori esterni alle radici e negatico per i valori interni
a <0 → negativo per i valori esterni alle radici e positivo per i valori interni
Determinazione delle radici:
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2
x1,2 =
-b± Δ
2a
=
-( - 8 )± 60
2( 1 )
=
8±2
15
2
→
x1 = 4 -
15
x2 = 4 +
15
a = 1 > 0 quindi:
-∞
4-
4+
15
∞
15
x2 - 8 x + 1
+
-
0
+
0
Studio del segno finale della derivata
-∞
4-
4
15
4+
∞
15
x2 - 8 x + 1
↗
︵
↘
↘
︶
Massimi e minimi relativi e punti di flesso a tangente orizzontale
determinati con lo studio del segno della derivata prima
4-
15
; 8-2
4+
15
; 2 4+
15  → Massimo relativo - Punto stazionario
15
*** Grafico della funzione ***
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→ Minimo relativo - Punto stazionario
↗
3
40
20
2
-20
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4
6
8