Transcript quesito tangente parabole

classi 5 ALSA - 5 BL
a.s. 2016-2017
A proposito del quesito proposto ... una soluzione (con le derivate)
Date le parabole p1 : y = −x2 − 4x e p2 : y = −2x2 + 4x, determinare l’equazione della comune retta t tangente
ad esse.
y
t
4
p1
2
p2
x
−4
−2
2
Indicati con (α ; −α2 − 4α) un punto di p1 e (β ; −2β 2 + 4β) un punto di p2 , le rette tangenti alle rispettive parabole
sono:
y − (−α2 − 4α) = y ′ (α)(x − α)
e
y − (−2β 2 + 4β) = y ′ (β)(x − β)
Essendo y ′ (α) = −2α − 4 e y ′ (β) = −4β + 4, si ha:
y − (−α2 − 4α) = (−2α − 4)(x − α)
e
y − (−2β 2 + 4β) = (−4β + 4)(x − β)
e quindi, con calcoli spiccioli:
y = (−2α − 4)x + α2
e
y = (−4β + 4)x + 2β 2
affinchè le due rette siano la stessa retta, devono essere uguali, nella forma esplicita, gli stessi coefficienti numerici,
e quindi
®
α2 = 2β 2
−2α − 4 = −4β + 4
√
calcolando, ad esempio, β, si trova la soluzione accettabile β = 4 − 2 2 e quindi, sostituendo e con calcoli spiccioli,
si ottiene
√
√
y = (−12 + 8 2)x + 48 − 32 2