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Analisi e geometria 1
prof. ARIOLI/LANZARONE - Esercitazione
12/01/2016
Esercizio 1 Siano dati i punti A(4, 0, 1), B(−1, 1, 0) e C(−4, −1, 0). Determinare:
→
−
−
a) i vettori →
a = C − A e b = B − A;
b) l’area del triangolo ABC;
→
−
−
c) la proiezione del vettore →
a sul vettore b .
−
Esercizio 2 Dati i punti A(1, 0, −1), B(2, −3, 4) e detto →
v = B − A , determinare:
−
a) le componenti del vettore →
v;
−
b) la lunghezza di →
v;
−
c) il vettore opposto di →
v;
d) il punto C, allineato con A e B, distante da A il triplo che da B.
Esercizio 3 Considerato il triangolo T di vertici A(1, 0, −1), B(2, −3, 4), D(2, 4, 1) determinare:
a) il perimetro di T;
b) l’altezza relativa al lato AB;
c) l’area del triangolo T;
d) Il volume del tetraedro avente per base T e vertice E(2, 0, 3).
Esercizio 4 Stabilire se le rette:
→
−
r : (x, y, z) = (1 + 2t, 1 + 2t, 2 + 2t) t ∈ R
→
−
s : (x, y, z) = (−2 + u, 2 + u, u) u ∈ R
sono parallele.


1 + 2t
−
Esercizio 5 Verificare se le rette →
r =  3t 
4−t

2 − t0
−
t∈Re→
s = 1 + 4t0 
2 − t0

Esercizio 6 Stabilire se le rette:
→
−
r : (x, y, z) = (3 + t, 3 + t, 2 − 2t) t ∈ R
→
−
s : (x, y, z) = (1 + u, 1 + u, u) u ∈ R
sono ortogonali.
1
t0 ∈ R sono complanari.
Esercizio 7 eterminare gli eventuali punti di intersezione delle rette:
→
−
r : (x, y, z) = (t, 1 + 2t, −2t) t ∈ R
→
−
s : (x, y, z) = (1 − u, 3 + u, −2 + u) u ∈ R.
Esercizio 8 Determinare gli eventuali punti di intersezione delle rette
→
−
r : (x, y, z) = (t, 1 + 2t, −2t) t ∈ R
1
→
−
s : (x, y, z) = ( u, 2 + u, 1 − u) u ∈ R.
2
Esercizio
9 Dopo

 aver verificato che
 le rette 
1−t
1
→
−
→
−
r =  −t  t ∈ R
s =  1+v 
−3 + 2t
−1 − v
−
−
dicolare ed incidente sia ad →
r che ad →
s.
→
−
v ∈ R, sono sghembe, determinare la retta t perpen-
−
Esercizio 10 Determinare la retta →
r passante per il punto A(8, −9, 2) e che interseca l’asse delle y e la
→
−
retta s di equazione:


1+t
→
−
s =  −2t  t ∈ R.
3 − 3t
Esercizio 11 Dati i punti A(1, 2, 3) e B(2, 4, 5), determinare le equazioni parametriche della retta AB,
−−−−−→
dopo aver calcolato il versore versAB. Determinare quindi le coordinate del punto D, di intersezione
−−→
della retta AB con il piano zx. Calcolare poi la distanza AD.
Esercizio 12 Calcolare l’equazione del luogo dei punti (x, y) per cui la distanza di (x, y) da (0, 2) sia
pari alla distanza di (x, y) dall’asse delle x.
Esercizio 13 Calcolare l’equazione cartesiana della retta passante per P (1, 1, 1) e ortogonale al piano di
equazione 2x + y − z = 1.
Esercizio 14 Dati i punti A(3, 0, 0), B(0, −8, 0), C(0, 0, 3) e la retta
→
−
r = (t, 2t, 4t) t ∈ R,
determinare:
a) una equazione vettoriale del piano π passante per i punti A, B, C.
−
b) la posizione della retta →
r rispetto al piano π;
−
c) una equazione vettoriale del piano π1 passante per →
r e perpendicolare a π;
−
d) l’equazione cartesiana della retta →
r1 intersezione del piano π con il piano π1 .
Esercizio 15 Considerati i punti A(1, 1, 1), B(2, −1, 0) e C(3, 0, 1):
a) determinare l’equazione del piano π che li contiene.
b) Sia D(−1, −2, 3). Verificare che D non appartiene al piano π.
c) Calcolare la distanza fra il punto D ed il piano trovato al punto a).
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