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Sessione straordinaria 2016
Seconda prova scritta
Ministero dellβIstruzione, dellβ Università e della Ricerca
X02C β ESAME DI STATO DI ISTRUZIONE SECONDARIA SUPERIORE
IU
R
Indirizzo: IB72 β SCIENTIFICO COMUNICAZIONE OPZIONE SPORTIVA
IM
Tema di: MATEMATICA
Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario.
AT
T
PROBLEMA 1
1.
π₯ 3 + 3π₯ β 4
π(π₯) =
π₯3
studia tale funzione e tracciane il grafico G;
LI
Data la funzione reale di variabile reale π, così definita:
utilizzando il grafico G determina il codominio della funzione assegnata. Dopo aver
determinato lβequazione della retta tangente a G nel suo unico punto di massimo relativo,
calcola lβarea della regione piana delimitata da tale retta, dal grafico G, dal semiasse positivo
delle π¦ e dal semiasse positivo delle π₯;
3.
scrivi lβequazione della normale a G nel suo punto di ascissa 1 e determina la misura, in gradi e
primi sessagesimali, dellβangolo che tale retta (che si suppone orientata nel verso delle π¦
crescenti) forma con lβasse delle π₯;
4.
utilizzando il grafico G, stabilisci come varia, al variare del parametro reale π, il numero di
soluzioni π₯π dellβequazione
FO
R
M
E
AG
2.
(1 β π)π₯ 3 + 3π₯ β 4 = 0
N
che soddisfano le condizioni:
8
3
C
O
1 β€ π₯π β€
A
PROBLEMA 2
π(π₯) = π ππ(π₯) β π₯ β cosβ‘(π₯)
C
O
PI
La funzione π: β β β è così definita:
1) Dimostra che π è una funzione dispari, che per π₯ β ]0, π] si ha π(π₯) > 0 e che esiste un solo
valore π₯0 β ]0,2π] tale che π(π₯0 ) = 0. Traccia inoltre il grafico della funzione per π₯ β [0,5π].
2) Determina il valore dellβintegrale definito:
π
2
β« π(π₯)ππ₯
0
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e, sapendo che risulta:
0
π3 π
=
β ,
48 8
R
β« π
2 (π₯)ππ₯
IU
π
2
IM
prova che risulta verificata la disequazione:
anche non conoscendo il valore di π.
3) Verifica che, qualsiasi sia π β β, risulta:
(2π+1)π
π(π₯)ππ₯ = 4,
LI
β«
0
AG
2ππ
β«
AT
T
π 3 + 18π < 96
π(π₯)ππ₯ = 0.
0
M
E
4) Dimostra che i massimi della funzione π 2 (π₯) giacciono su una parabola e i minimi su una retta,
e scrivi lβequazione della parabola e della retta.
Calcolare il limite:
π ππ(πππ (π₯) β 1)
π₯β0
ππβ‘(πππ 2 (π₯))
lim
N
FO
1.
R
QUESTIONARIO
In media, il 4% dei passeggeri dei tram di una città non paga il biglietto. Qual è la probabilità
che ci sia almeno un passeggero senza biglietto in un tram con 40 persone? Se il numero di
persone raddoppia, la probabilità raddoppia?
3.
Determinare il parametro reale π in modo che i grafici di π¦ = π₯ 2 e di π¦ = βπ₯ 2 + 4π₯ β π,
risultino tangenti e stabilire le coordinate del punto di tangenza.
A
C
O
2.
PI
4. Tre circonferenze di raggio 2 sono tangenti esternamente una allβaltra. Qual è lβarea della
regione interna che esse delimitano?
Un'azienda produce, in due capannoni vicini, scatole da imballaggio. Nel primo capannone si
producono 600 scatole al giorno delle quali il 3% difettose, mentre nel secondo capannone se
ne producono 400 con il 2% di pezzi difettosi. La produzione viene immagazzinata in un unico
capannone dove, nel corso di un controllo casuale sulla produzione di una giornata, si trova una
scatola difettosa. Qual è la probabilità che la scatola provenga dal secondo capannone?
6.
In un semicerchio di raggio π = 10 è inscritto un triangolo in modo che due vertici si trovino
sulla semicirconferenza e il terzo vertice si trovi nel centro del cerchio. Qual è lβarea massima
che può assumere tale triangolo?
C
O
5.
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7. Calcolare, se esiste, il limite della seguente successione esplicitando il procedimento seguito:
IU
R
3 βπ
lim (1 + )
πββ
π
M
E
AG
LI
AT
T
IM
8. Data la funzione π(π₯) = βπ₯ 4 + 2π₯ 2 + 8, sia g la retta passante per i punti π΄(0,8) e π΅(2,0).
Si calcoli lβarea della regione tratteggiata indicata in figura.
R
9. Data lβequazione differenziale: π¦ β²β² + 2π¦ β² + 5π¦ = 5π₯. Quale delle seguenti funzioni ne è una
soluzione? Si giustifichi la risposta.
FO
a) π¦ = π βπ₯ [π ππ(5π₯) + πππ β‘(5π₯)] + π₯
c) π¦ = π βπ₯ [π ππ(2π₯) + cosβ‘(2π₯)] + π₯ β
2
5
d) π¦ = π βπ₯ + 5π₯
C
O
N
b) π¦ = 5π βπ₯ + π₯
C
O
PI
A
10. Si consideri, nel piano cartesiano, la regione limitata R, contenuta nel primo quadrante,
compresa tra l'asse y ed i grafici di π¦ = 2π₯ e π¦ = π₯ 2 . Si determinino i volumi dei solidi che si
ottengono ruotando R attorno all'asse x e all'asse y.
__________________________
Durata massima della prova: 6 ore.
È consentito lβuso della calcolatrice non programmabile.
È consentito lβuso del dizionario bilingue (italiano-lingua del paese di provenienza) per i candidati di madrelingua non italiana.
Non è consentito lasciare lβIstituto prima che siano trascorse 3 ore dalla dettatura del tema.