Transcript Breve storia della geometria proiettiva - Corso Monografico

Breve storia della geometria proiettiva
Enrico Rogora
25 ottobre 2016
1
Introduzione
La geometria proiettiva, come disciplina matematica indipendente, fiorisce
nel secolo XIX. Molti sono però i risultati che ne anticipano lo sviluppo. Lo
scopo di questo capitolo è quello di tracciarne una breve storia e di metterne in luce l’importanza per lo sviluppo della geometria nel diciannovesimo
secolo.
2
La matematica ellenistica e le proprietà grafiche
Molti risultati della geometria ellenistica riguardano proprietà di incidenza
tra punti e rette. Tra questi citiamo il Teorema di Menelao e il teorema
di Pappo sul birapporto, che ne è una conseguenza. Il teorema di Pappo
esprime nel linguaggio della geometria di Euclide, un risultato fondamentale
di Geometria proiettiva, l’invarianza del birapporto per sezioni.
Teorema di Menelao 1 Sia dato un triangolo ABC e tre punti: D, sulla
retta BC; E sulla retta AC; F sulla retta AB. Allora i tre punti sono allineati
se e solo se
AF BD CE
= −1
F B DC EA
1
Il teorema si trova enunciato nelle Sferiche di Menelao e anche nell’Almagesto di Tolomeo. Entrambi lo estendono ad analoghe relazioni sulla sfera e ne danno applicazioni
all’astronomia. Una dimostrazione del teorema si può trovare in [187], p. 61, come conseguenza di un teorema di Carnotsulle intersezioni di un piano con un poligono gobbo. Per
una dimostrazione elementare, cfr. [79], pp. 38-39.
1
Il teorema di Menelao.
Teorema di Pappo sul birapporto Nella proposizione 129 dei commenti
ai porismi di Euclide Pappo dimostra che quattro rette a, b, c, d passanti per
un medesimo punto O segano su una trasversale qualunque del piano non
passante per O quattro punti A, B, C, D tali che il birapporto
(A, B, C, D) =
AC AD
:
BC BD
non dipende dalla trasversale, ma solo dalle quattro rette a, b, c e d fissate2 .
Cominicamo a dimostrare il teorema nel caso in cui le due trasversali
siano parallele e seghino le rette fisse nei punti A, B, C, D e A0 , B 0 , C 0 , D0
rispettivamente.
La similitudine del triangolo OAC con il triangolo OA0 C 0 implica la
proporzione
AC : A0 C 0 = OC : OC 0 .
La similitudine del triangolo OBC con il triangolo OB 0 C 0 implica la proporzione
BC : B 0 C 0 = OC : OC 0 .
Le due proporzioni implicano l’uguaglianza dei rapporti semplici
A0 C 0
AC
= 0 0.
BC
BC
Analogamente la similitudini dei triangoli OAD e OA0 D0 e la similitudini dei
triangoli OBD e OB 0 D0 implicano l’uguaglianza dei rapporti semplici
AD
A0 D0
= 0 0.
BD
BD
L’uguaglianza dei due rapporti semplici implica infine l’uguaglianza dei birapporti.
2
La definizione di birapporto è la stessa di [187]. Il birapporto è il rapporto di due rap(A,B,C)
AC
porti semplici (A, B, C, D) = (A,B,D)
, dove (A, B, C) = BC
. Il birapporto (A, B, C, D)G
definito in [92] è legato al nostro dall’uguaglianza (A, B, C, D)G = 1 − (A, B, C, D).
2
Consideriamo ora il caso in cui le due trasversali abbiano una delle quattro
intersezioni con le rette fisse in comune, diciamo A = A0 .
Per dimostrare che (A0 , B 0 , C 0 , D0 ) = (A0 , B 00 , C 00 , D00 ), si applica il teorema di Menelao al triangolo A0 B 0 B 00 , rispetto alle rette OC e OD .
Il teorema di Pappo sul birapporto.
Rispetto alla retta OC, il teorema di Menelao fornisce la relazione
A0 C 0 B 0 O B 00 C 00
·
·
= −1.
C 0 B 0 OB 00 C 00 A0
Rispetto alla retta OD, il teorema di Menelao fornisce la relazione
A0 D0 B 0 O B 00 D00
·
·
= −1.
D0 B 0 OB 00 D00 A0
Si ha quindi
A0 C 0 B 0 O B 00 C 00
A0 D0 B 0 O B 00 D00
·
·
= 0 0·
·
.
C 0 B 0 OB 00 C 00 A0
D B OB 00 D00 A0
Eliminando il fattore comune
B0O
,
OB 00
abbiamo
A0 D0 B 00 D00
A0 C 0 B 00 C 00
·
= 0 0 · 00 0 .
C 0 B 0 C 00 A0
DB D A
L’uguaglianza (A0 , B 0 , C 0 , D0 ) = (A0 , B 00 , C 00 , D00 ) si ottiene quindi con una
semplice manipolazione algebrica, osservando che, quando si scambiano gli
estremi di un segmento [X, Y ] il numero XY cambia di segno, ovvero XY =
−Y X.
Il caso generale di due trasversali qualsiasi si riconduce ai due casi particolari appena trattati, tracciando la parallela alla prima trasversale per il
punto di intersezione della seconda con la retta a.
3
Si noti come, nell’ultima parte della dimostrazione del teorema di Pappo
sul birapporto, abbiamo usato l’identificazione di AB con un numero e abbiamo operato algebricamente con questi numeri. La matematica greca non
precedeva in questo modo. La dimostrazione di Pappo era più geometrica e
meno generale, in quanto doveva trattare diversamente i casi corrispondenti
a posizioni relative diverse dei punti, non disponendo il concetto di numeri
negativi. L’algebra dei segmenti orientati venne introdotta molto più avanti.
Una sua formulazione completa e soddisfacente con l’illustrazione della sua
potenza nelle applicazioni geometriche si trova nei lavori di Möbius.
La teoria del birapporto fu sviluppata da Möbius in [126], da Steiner in
[193] e da Chasles in [44], che lo chiama rapporto anarmonico.
Un altro risultato proiettivo della matematica antica è il teorema di Pappo
sull’esagono.
Teorema di Pappo sull’esagono Siano A, B e C tre punti allineati su
una retta r e siano a, b e c tre punti allineati su una seconda retta s. Siano
X =< A, b > ∩ < a, B >, Y =< A, c > ∩ < a, C > e Z =< B, c > ∩ <
b, C >. Allora X, Y e Z sono allineati.
Il teorema è detto dell’esagono con riferimento all’esagono AbCaBc. È
un caso particolare del teorema dell’esagono di Pascal, cfr. p. 22, quando la
conica che iscrive l’esagono si spezza in due rette. Utilizzando le coordinate
omogenee, la dimostrazione è semplicissima. Per una dimostrazione sintetica,
cfr. [54], p. 38. Nella versione affine bisogna considerare i casi particolari che
occorrono quando una o più delle coppie di rette che si intersecano nel caso
generale, diventano parallele. È questo un esempio elementare del potere di
unificazione che si ottiene con l’introduzione dei punti impropri.
Il teorema di Pappo sull’esagono.
Esercizio Dimostrare il teorema di Pappo usando le coordinate omogenee.
4
2.0.1
Lettura - Pappo
Il brano che segue, tratto dal libro VII delle Collezioni Matematiche, contiene
la dimostrazione del cosiddetto Teorema di Pappo nel caso in cui le due
rette su cui si scelgono i lati dell’esagono sono parallele. Nella proposizione
successiva considera il caso in cui le due rette si intersecano. I due casi sono,
dal punto di vista affine, distinti. La geometria proiettiva permetterà di
unificare le due situazioni e di darne un’unica dimostrazione.
Ora che queste cose sono state dimostrate, sia richiesto di
dimostrare che, se AB e Γ∆ sono parallele, e alcune linee rette
A∆, AZ, BΓ, BZ le intersecano, e E∆ e EΓ sono unite, ne
risulta che la retta attraverso H, M e K è retta.
Infatti siccome ∆AZ è un triangolo, e AE è parallelo a ∆Z,
e EΓ è stato tracciato attraverso l’intersezione di ∆Z in Γ, per
il precedente lemma ne segue che |DeltaZ sta a ZΓ, come il rettangolo contenuto da ΓE, HΘ sta al rettangolo contenuto da ΓH,
ΘE. Ancora, siccome ΓBZ è un triangolo, e BE è stata tracciata
parallela a Γ∆, e ∆E è stata tracciata attraverso l’intersezione
di ΓZ∆ in ∆, ne segue che come ΓZ sta a Z∆ come il rettangolo contenuto da ∆E, ΛK . Ma anche ∆Z sta a ZΓ come il
rettangolo contenuto da ΓE, HΘ sta al rettangolo contenuto da
ΓH, ΘE come il rettangolo contenuto da ∆K, ΛE sta al rettangolo contenuto da ∆E, KΛ. Questo è stato ridotto a la lemma
precedente. Siccome due rette EΓ, E∆ sono state tracciate su
due rette ΓM Λ, ∆M Θ, il rettangolo contenuto da ΓE, HΘ sta
al rettangolo contenuto da ΓH, ΘE come il rettangolo contenuto da ∆K, EΛ sta al rettangolo contenuto da ∆E, ΛK, perciò
la curva attraverso H, M , K è retta. Ciò infatti fu dimostrato
precedentemente.
5
Il teorema di Pappo. Il caso in cui i vertici stanno su rette parallele.
3
La riscoperta della prospettiva nel rinascimento
La prospettiva, con il nome di scenografia, era una teoria ellenistica ben
sviluppata, basata sull’ottica euclidea3 . Ne è prova inequivocabile l’affresco
della stanza delle maschere sul Palatino.
L’esistenza di una teoria ellenistica della prospettiva basata sull’ottica euclidea, nonostante nel passato sia stata messa in dubbio,
può essere considerata certa. Sono infatti disponibili non solo
molte testimonianze letterarie sull’antica scenografia (come era
allora detta la teoria) e su dipinti in cui era applicata, ma anche
passi scientifici che riportano elementi della teoria (Pappo, Coll.
VI, prop 15) e dipinti nei quali la prospettiva centrale è applicata
con rigore.(un esempio inequivocabile è fornito dall’affresco della stanza delle maschere, sul Palatino, scoperto nel 1961). Cfr.
[170], nota 15, p. 75.
3
L’ottica geometrica è il fondamento teorico della prospettiva. La trattazione scientifica
dell’ottica geometrica ellenistica ci è pervenuta in due trattati, scritti da Euclide il primo
e da Eliodoro di Larissa il secondo.
6
L’affresco nella stanza delle maschere in cui viene applicata la prospettiva centrale.
Con il rifiorire delle arti nel Rinascimento, in particolare della pittura e
della architettura, si diffonde l’interesse nella geometria e in particolare nella
teoria della prospettiva4 da parte di autori quali Leon Battista Alberti, Piero
della Francesca e Leonardo da Vinci. I principi matematici della prospettiva sono esposti in maniera organica, svincolati dalle applicazioni pittoriche,
nell’opera di Guidobaldo del Monteı.
La considerazione delle figure geometriche dal punto di vista
della Prospettiva, tende a porre in rilievo le loro proprietà grafiche, discernendole dalle proprietà metriche e induce cosı̀ ad una
concezione più generale delle figure stesse.
Inoltre nella prospettiva sono implicitamente contenute le due
operazioni del proiettare e del segare, fondamentali per la Geometria proiettiva. La prima operazione trova infatti riscontro nel
processo della visione, per cui si conducono dal centro dell’occhio
4
Per approfondire il tema del rapporto tra matematica e pittura consigliamo la lettura
di [43]. Sul ruolo scientifico degli artisti nel rinascimento, cfr. [170], pp. 66 – 80.
7
(centro di proiezione) tutti i raggi luminosi che vanno ai punti
di una figura; e la seconda operazione corrisponde alla formazione della immagine della figura veduta sopra un quadro assegnato
(piano di proiezione). Cfr. [81], p. 392.
Prospettografo a sportello di Dürer.
3.1
Omologia
Lo studio delle proprietà delle figure preservate dalla rappresentazione in
prospettiva dei pittori porta alla considerazione delle prospettività Una prospettività è una trasformazione tra due piani distinti, nello spazio, che si
costruisce proiettando il primo piano da un punto esterno P (centro di proiezione), e segando le rette per P con l’altro piano. Una prospettività è
caratterizzata dall’esistenza di una retta di punti fissi, l’intersezione dei due
piani.
8
Combinando prospettività si ottengono trasformazioni più complicate.
Una omologia tra un piano π in sè è la composizione di due prospettività
p1 : π → π 0 p2 : π 0 → π.
Il centro dell’omologia è l’intersezione P del piano π con la retta r congiungente i centri di proiezione P1 e P2 delle prospettività p1 e p2 rispettivamente.
L’asse dell’omologia è l’intersezione u del piano π con il piano π 0 . L’asse è
una retta di punti fissi.
Torneremo a considerare le omologie del piano in 4.2.
9
3.1.1
Lettura - Guidobaldo dal Monte
Desidererei che fosse ben chiaro che l?oggetto proprio e peculiare della prospettiva non è niente affatto diverso dall?oggetto
della geometria dalla quale dipende. Anzi i volumi, le superfici, le
linee, i punti, analizzati dal cultore della prospettiva riguardano
la natura affine e l?analisi dell?oggetto geometrico. Perché, sebbene la linea manchi di spessore e il punto di parti, pur tuttavia
sosteniamo che ambedue sono visibili; [...] Infatti la prospettiva,
come considera in senso matematico il volume e allo stesso modo
la superficie, cosı̀ anche considera la linea e il punto da un proprio punto di vista, il quale esamina tutte le cose non come nudi
e puri enti geometrici, ma con qualche eccezione, affinché insegni
ad esporre l?aspetto molteplice delle cose visibili; perciò tiene in
considerazione e presuppone la superficie, la linea e il punto come
enti visibili, non tenendo conto del colore degli oggetti, ma come
i vari e diversi angoli si presentano nelle relazioni tra di loro,
rispetto agli oggetti, offrendo la diversa conformazione delle cose
visibili.[96]
4
Desargues, Cartesio e Pascal
Tra i primi ad applicare i metodi della prospettiva allo studio della Geometria
e in particolare alla teoria delle coniche sono stati Desargues e Pascal5 .
Desargues, architetto e ingegnere militare, studiò con attenzione l’opera
matematica di Apollonio di Perga sulle sezioni coniche[4]. Fu il primo a sfruttare la loro proprietà comune di essere sezioni di un medesimo cono, ovvero
proiezioni di un medesimo cerchio6 . L’importanza di questo punto di vista si
ricollega al nuovo spirito di generalità che pervade la matematica del seicento. Non sono più solo le proprietà delle singole configurazioni geometriche ad
attrarre l’attenzione dei matematici ma le proprietà generali comuni a classi
di configurazioni sempre più ampie7 .
Anche l’introduzione dei punti impropri o punti all’infinito per studiare
le proprietà geometriche delle relazioni di incidenza di una figura è dovuta a
Desarguesanche se non li definı̀ in modo rigoroso.
5
Per approfondimenti, cfr. Freguglia P., La Rivoluzione scientifica: i domini della
conoscenza. Lo sviluppo della matematica di Apollonio: Desargues, Pascal, in [104].
6
Più precisamente, ogni conica si può trasformando un cerchio con un’omologia, la
trasformazione ottenuta componendo due prospettività, cfr. p. 8.
7
Si pensi ai contributi di Luca Valerio e di Bonaventura Cavalieri nella teoria delle aree
e dei volumi e a quelli di Cartesio relativi alle costruzioni geometriche.
10
Le ambiguità nelle definizioni di Desargues non impedirono però che l’introduzione dei punti impropri si rivelasse estremamente utile per lo studio
delle coniche e per la dimostrazione di nuove e importanti proprietà. L’opera
di Desargues rimase praticamente sconosciuta per quasi due secoli. Tra i
pochi che la studiarono e ne fecero maturare le idee, ricordiamo Pascal e de
La Hire.
4.1
Desargues sui triangoli omologici
Il primo risultato di Desargues che vogliamo discutere riguarda le proprietà
dei triangoli omologici .
Due triangoli di vertici A, B, C e A0 , B 0 , C 0 si dicono:
prospettivi rispetto a un punto se le rette generate dalle coppie di vertici
corrispondenti < A, A0 >; < B, B 0 >; < C, C 0 >, passano per un punto
O, che si dice centro di omologia;
Centro di omologia.
prospettivi rispetto a una retta se le coppie di lati omologhi < A, B >,
< A0 , B 0 >; < A, C >, < A0 , C 0 >; < B, C >, < B 0 , C 0 >, si intersecano
in punti allineati su una retta r, che si dice asse di omologia.
Asse di omologia.
11
Si noti che le condizioni di prospettività tra due triangoli dipendono dalla
corrispondenza scelta tra i vertici. In altre parole, se A, B, C e A0 , B 0 , C 0
sono prospettivi rispetto a un punto, non è detto che A, B, C e B 0 , A0 , C 0 lo
siano. L’ordine con cui si scrivono i vertici di due triangoli, o più in generale
di due poligoni con lo stesso numero di lati, determina implicitamente una
corrispondenza tra i vertici e i lati dei poligoni, che nel seguito ammetteremo
senz’altro.
Teorema di Desargues dei triangoli omologici Due triangoli ABC e
A0 B 0 C 0 , privi di vertici e di lati in comune, sono prospettivi rispetto a un
punto se e solo se sono prospettivi rispetto a una retta.
Non è difficile dare del teorema una dimostrazione analitica8 , introducendo coordinate omogenee nel piano proiettivo. Per una dimostrazione sintetica, cfr. [60], p. 5; [187], pp. 6-8; [54], p. 19. In queste dimostrazioni
sintetiche si dimostra una delle due condizioni, a partire dall’altra, prima per
due triangoli non complanari e poi per due triangoli complanari, passando
per un terzo triangolo non complanare ma prospettivo ad entrambi e utilizzando, per concludere, il risultato che si era dimostrato nel caso dei triangoli
non complanari.
Questo è un esempio elementare di un teorema che, pur avendo completamente senso nel piano, conviene dimostrare passando allo spazio. L’idea di
passare a spazi di dimensione più elevata si rivelerà particolarmente feconda
con l’introduzione degli spazi di dimensione maggiore di tre, cfr. [166].
8
Esercizio dimostrare il teorema di Desargues usando le coordinate omogenee.
12
Il teorema dei triangoli omologici di Desargues.
Definizione Due triangoli prospettivi rispetto a un punto o equivalentemente rispetto a una retta si dicono omologici
Il teorema dei triangoli omologici di Desargues è un risultato fondamentale della geometria proiettiva. Per comprendere il senso preciso di questa
affermazione, è necessaria una piccola digressione. La nozione di spazio proiettivo può essere assiomatizzata, senza riferimento a proprietà topologiche
o di ordinamento, con un piccolo insieme di assiomi che regolano l’uso di tre
13
soli concetti primitivi: punto, retta e incidenza. Cfr. per esempio [54]9 . Per
ogni corpo K, lo spazio P (Kn ) dei sottospazi unodimensionali di Kn è un
modello degli assiomi di spazio proiettivo. Spazi proiettivi siffatti si dicono
coordinatizzabili . Esistono esempi di spazi proiettivi non coordinatizzabili,
come ad esempio il piano di Fano, per cui si rimanda a [54], p. 91.
Il teorema di Desargues è vero per ogni spazio proiettivo coordinatizzabile,
per ogni spazio proiettivo di dimensione diversa da due e per ogni piano
proiettivo in cui vale il teorema di Pappo. Esistono però piani proiettivi
non-desarguesiani, tra cui il piano di Moulton, cfr. [129], per i quali non vale
il teorema di Desargues.
Anche il teorema di Pappo sull’esagono, cfr. p. 4 è fondamentale in questo
senso. Nel caso di piani proiettivi coordinatizzabili, il teorema di Pappo è
equivalente alla commutatività del corpo K.
Abbiamo enunciato e discusso i teoremi di Desargues sui triangoli omologici e il teorema di Pappo sull’esagono nel contesto dei piani proiettivi, dove
ogni coppia di rette si interseca. È possibile considerare tali teoremi anche in
un contesto affine, nella maniera in cui erano stati enunciati originariamente,
ma è necessario considerarne diversi casi, quando una o più delle coppie di
rette sono parallele. L’introduzione dei punti impropri da parte di Desargues
è suggerita proprio dalla possibilità di trattare uniformemente i diversi casi,
a patto di considerare nuovi punti all’infinito definiti da coppie di rette parallele. Questi nuovi punti, per quanto riguarda le proprietà di incidenza di
rette e punti, divengono indistinguibili dai punti ordinari.
9
Gli assiomi per lo spazio projettivo riguardano tre soli concetti primitivi, punto retta e
incidenza, a partire dai quali si possono definire le nozioni: intersecare; piano; quadrangolo
completo; proiettività. Gli assiomi sono:
1. Esiste un punto e una retta che non sono incidenti;
2. Ogni retta è incidente con almeno tre punti distinti;
3. Ogni coppia di punti distinti sono incidenti con una sola retta;
4. Se A, B, C e D sono quattro punti distinti, tali che AB interseca CD, allora AC
interseca BD;
5. Se ABC è un piano, allora c’è almeno un punto che non è nel piano ABC;
6. Ogni coppia di piani distinti hanno almeno due punti in comune;
7. I tre punti diagonali di un quadrangolo completo non sono mai collineari;
8. Se una projettività lascia invariante oguno di tre punti distinti su una retta, lascia
invariante ogni punto della retta.
14
4.2
L’omologia piana
Due triangoli omologici sono trasformati l’uno nell’altro da una trasformazione geometrica particolare, l’omologia piana, che come vedremo, risulta
completamente determinata da una coppia di triangoli omologici.
Abbiamo già detto come si definisce una omologia utilizzando l’immersione di un piano nello spazio in 3.1. È possibile definire un’omologia senza
riferimento all’immersione del piano nello spazio, il che risulta particolarmente conveniente per studiarne le sue proprietà Una omologia in un piano π si
determina assegnando un punto fisso P , una retta di punti fissi u e l’immagine A0 di un punto qualsiasi A ∈ π. L’immagine di un qualunque altro punto
B, si costruisce nel modo seguente. Sia B 00 =< A, b > ∩u. L’immagine B 0 di
B sarà allora
B 0 =< B 00 , A0 > ∩ < P, B >
Costruzione dell’omologia di centro e asse fissato che trasforma A in A’
L’omologia piana era già stata considerata dai pittori rinascimentali nella
maniera descritta in 3.1. L’estensione allo spazio è dovuta a Poncelet.
15
Trasformazione di una conica per omologia
4.3
Desargues sulle involuzioni
Un altro importante risultato di Desargues, fondamentale per la teoria delle
coniche e per i successivi sviluppi della geometria proiettiva sintetica, è il
teorema di Desargues sulle involuzioni .
Ogni conica interseca una retta fissata in due punti. Le coppie segate dalle
coniche di un fascio, cioè dalle coniche per quattro punti è una involuzione
sulla retta.
Tre coppie di punti a, a0 b, b0 e c, c0 si dicono in involuzione se esiste un
punto O, che Desargues chiama il ceppo dell’involuzione tale che
Oa · Oa0 = Ob · Ob0 = Oc · Oc0 .
Geometricamente, tre coppie di punti su una retta del piano sono in
involuzione se e solo se esiste un quadrangolo tale che le tre coppie di lati
16
opposti segano la retta nelle tre coppie assegnate10 .
Punti in involuzione.
Da ciò segue che assegnate due coppie (A, A0 ), (B, B 0 ) di punti su una
retta, ad ogni punto C della retta è associato uno e un solo punto C 0 tale che
la coppia (C, C 0 ) è in involuzione con le coppie date.
La costruzione di C 0 si può fare nel modo seguente.
Costruzione dell’immagine di un punto C nell’involuzione determinata dalle coppie
(A, A0 ), (B, B 0 ).
10
Esercizio: in queste ipotesi, come si costruisce il ceppo?
17
Date tre coppie in involuzione, ci chiediamo quali sono le coppie D, D0 in
involuzione con due qualsiasi delle date?
Desargues fornisce una costruzione per determinarle tutte.
Teorema di Desargues sulle involuzioni Data una conica e un quadrangolo inscritto in essa; una retta secante la conica, che non passi per un
vertice del quadrangolo, la incontra in due punti, i quali sono coniugati nell’involuzione a cui appartengono le intersezioni delle tre coppie di lati opposti
del quadrangolo. Per una dimostrazione, cfr. [54], p. 87.
Il teorema di Desargues dell’involuzione.
Per risolvere il problema di determinare le coppie in involuzione con tre
coppie date su una retta r basta quindi costruire un quadrangolo K, L, M, N i
cui lati opposti intersecano la retta r nei punti a, a0 , b, b0 , c, c0 . Le altre coppie
dell’involuzione si ottengono intersecando r con le coniche per K, L, M, N .
Si noti che ognuna delle coppie originarie si ottiene con questa costruzione,
in quanto esse corrispondono alle coniche degeneri che passano per i vertici
del quadrangolo.
Il teorema di Desargues permette di definire in maniera geometrica una
funzione σ : r → r. Per ogni punto x ∈ r definiamo sigma(x) = x0 , dove x0
è l’intersezione, diversa da x, della conica per i cinque punti K, L, M, N, X
con la trasversale r. Ovviamente σ 2 = Id. Inoltre, σ è una proiettività, nel
senso che preciseremo più avanti, cfr. p. 48.
18
La teoria delle involuzioni di Desargues è strettamente collegata a quella
delle coniche. Chasles e Von Staudt ne diedero una formulazione indipendente. Per essi un’involuzione su una retta r non è altro che una proiettività
σ : r → r tale che σ 2 = 1.
Le involuzioni di una retta proiettiva reale si dividono in due classi. Le
involuzioni iperboliche che ammettono due punti fissi, ovvero due punti P e
Q tali che σ(P ) = P e σ(Q) = Q e le involuzioni ellittiche che non ammettono punti fissi. Geometricamente le prime corrispondono a quaterne di punti
per i quali passano due coniche tangenti ad r. La distinzione naturalmente
viene meno sulla retta proiettiva complessa, dove ogni involuzione ammette
due punti fissi. Le involuzioni ellittiche sono però estremamente importanti
dal punto di vista storico perché su di esse si fonda la definizione sintetica
di punto complesso di Von Staudt, esposta in [192] e quella più semplice ma
altrettanto utile per la geometria sintetica di coppia di punti complessi coniugati considerata da Corrado Segre. Si rimanda a [180] per una discussione
approfondita.
4.4
Desargues e le coniche
Terminiamo queste considerazioni sul contributo di Desargues alla geometria
proiettiva osservando che Desargues assume un nuovo punto di vista relativamente al modo in cui conviene concepire una conica: egli definisce una una
conica semplicemente come una qualunque trasformazione di un cerchio per
proiezioni e sezioni11 . Il vantaggio di questa nuova concezione riguarda la maniera con cui è possibile dimostrare un teorema che riguarda le sole proprietà
di incidenza, che non vengono modificate per proiezioni e sezioni. Al fine di
dimostrare una siffatta proiettività per le coniche, è quindi sufficiente, per
Desargues, dimostrarla per il cerchio. Questo è il principio che utilizza anche Pascal per dimostrare il suo famoso teorema sull’esagono iscritto ad una
conica e che Ponceletimpiegherà sistematicamente estendendolo allo spazio.
Questo principio, detto principio della proiezione o principio dell’omografia è una delle nuove idee che si svilupperanno fino ad imporsi decisamente
nel secolo diciannovesimo. Questo principio verrà sviluppato in tutta la sua
portata nel programma di Erlangen di Klein, cfr. p. ??
Lo spirito di generalità che, come abbiamo osservato, caratterizza le ricerche di Desargues, trova la manifestazione più elevata in Cartesio. Osserva
Enriques a proposito del contributo di Cartesio alla geometria12 , che:
11
Equivalentemente, una qualunque trasformazione per omologia.
L’algebra dei segmenti di Cartesio è un’algebra geometrica che non ha bisogno dei
numeri. Un’algebra geometrica per gli spazi proiettivi è sviluppata in [100] and [101].
12
19
Prescindendo dall’uso delle figure e ravvicinando sotto uno
stesso tipo di equazione, enti geometrici di forma differente, si
veniva ad introdurre nella Geometria quello stesso carattere di
astrazione e di universalità che è proprio dei procedimenti analitici13 .
In conseguenza del lavoro di Cartesio si verifica una perdita di interesse nell’approccio sintetico alla geometria, e il cammino iniziato da Desargues e da
Pascal verso una teoria proiettiva delle coniche non fu percorso da altri per
più di un secolo, con le eccezioni significative di De la Hire che pose i fondamenti della teoria delle polari e di Lambert, nel cui trattato di prospettiva
del 1759 [116] si discutono le applicazioni del metodo delle proiezioni alla
gnomonica e ad altre tecniche.
4.5
Lettura - Desargues Broullon project
Abbozzo provvisorio di un saggio sulle sezioni piane di un cono
Ognuno si formerà la propria opinione sia su quello che deduciamo sia sulla maniera in cui lo deduciamo, e vedremo che la
nostra ragione sta tentando di afferrare , da una parte, le quantità
infinite e dall’altra, insieme a queste, quantità cosı̀ piccole che le
loro estremità opposte coincidono; e vedremo che queste quantità
sono oltre la nostra comprensione, non solo perché sono grandi o
piccole oltre ogni immaginazione, ma anche perché il modo usuale
di ragionare ci conduce a dedurre dalle loro dimensioni proprietà
che non possono avere.
In questo lavoro ogni line retta è, se necessario, prolungata infinitamente in entrambe le direzioni. Indichiamo questa estensione infinita in entrambe le direzioni per mezzo di una fila di punti,
allineati con la retta, che la allungano in entrambe le direzioni.
Per esprimere che un certo numero di rette sono parallele
l’una all’altra o sono tutte dirette verso il medesimo punto noi
diremo che che queste rette appartengono alla stessa prescrizione
(ordonnance), che indicherà che sia in un caso che nell’altro è
come se convergessero nello stesso posto.
Il posto al quale un certo numero di rette si può assumere che
converga, sia in un caso che nell’altro, verrà detto il bersaglio
(but) della prescrizione di rette.
13
F. Enriques, [81], p. 392.
20
Per esprimere che stiamo considerando il caso in cui le rette sono parallele tra loro diciamo che le rette appartengono alla
stessa prescrizione, il cui bersaglio è a una distanza infinita lungo
ognuna di esse in entrambe le direzioni.
Per esprimere che stiamo considerando il caso in cui tutte
le rette sono dirette verso lo stesso punto diciamo che le rette
appartengono alla stessa prescrizione, il cui bersaglio è a una
distanza finita lungo ognuna di esse.
In questa maniera due rette nello stesso piano appartengono
alla medesima prescrizione, il cui bersaglio è a distanza finita o
infinita.
4.6
Lettura - Lettera di Cartesio a Desargues, 30 Aprile 1639
Signore,
la franchezza che ho potuto notare nel vostro temperamento,
e la riconoscenza che ho per voi, mi convincono di scrivere qui
liberamente ciò che posso congetturare del Traité des sections coniques, di cui il reverendo padre Mersenne mi ha inviato il project.
Voi potete avere due obiettivi, che sono ottimi e lodevolissimi, ma
che non richiedono entrambi lo stesso modo di procedere. L’uno
è scrivere per i dotti, e insegnar loro alcune nuove proprietà di
queste sezioni, che non conoscono; l’altro è scrivere per i curiosi
che non sono dotti e fare si che questa materia intesa fino a oggi
da pochissimi, e che tutta via è utilissima per la prospettiva, la
pittura, l’architettura ecc, diventi comune e facile per tutti coloro
che vorranno studiarla nel vostro libro. Se vi proponete il primo, non mi sembra necessario utilizzare termini nuovi: i dotti
infatti, avendo già consuetudine con quelli di Apollonio, non li
cambieranno facilmente con altri, per quanto migliori, e cosı̀ i
vostri termini non serviranno che a rendere le vostre dimostrazioni più difficili, e a distoglierli dal leggerle. Se vi proponete il
secondo, è sicuro che i vostri termini, che sono francesi, e nella
cui scoperta si nota sia ingegno che grazia, saranno accolti, da
persone non prevenute, molto meglio di quelli degli antichi; e per
molti potranno servire persino di stimolo, per indurli a leggere i
vostri scritti come leggono quelli che trattano di armi, di caccia,
di architettura, senza voler diventare né cacciatori, né architetti, solo per saperne parlare in termini appropriati. Se però avete
21
questa intenzione bisogna che vi decidiate a scrivere un grosso
libro, spiegandovi tutto cosı̀ ampiamente, chiaramente e distintamente , che questi signori, che studiano solo sbadigliando, e che
non possono affaticare l’immaginazione per capire una proposizione di geometria, né voltare le pagine per guardare le lettere
di una figura, non trovino niente nel vostro discorso, che sembri
loro più difficile da comprendere della descrizione di un palazzo
incantato in un romanzo. E a questo scopo mi sembra che, per
rendere le vostre dimostrazioni più facili, non sarebbe inopportuno usare i termini e il calcolo dell’aritmetica, cosı̀ come ho fatto
nella mia Geometria: dato che ci sono molte più persone che
sanno cos’è una moltiplicazione, di quante sappiano cosa sia una
composizione di rapporti, ecc.
Quanto al modo in cui considerate le linee parallele come se si
unissero a un bersaglio a distanza infinita, per poterle includere
nello stesso genere di quelle che tendono verso un punto, è un
modo ottimo, sempre che ve ne serviate, come certamente fate,
per far capire ciò che è oscuro in una di queste specie, per mezzo
dell’altra ove è più chiaro, e non al contrario.
4.7
Pascal
Teorema dell’esagono di Pascal Le coppie di lati opposti di un esagono
iscritto in una conica si intersecano in tre punti allineati.
22
Il teorema dell’esagono di Pascal.
Nell’opuscolo di Pascal sulle coniche [138] le dimostrazioni sono appena
accennate. Del teorema sull’esagono iscritto si può solo dire che la dimostrazione veniva fatta prima per il cerchio, ricorrendo ad alcune proposizioni della
teoria delle trasversali e poi trasportata al caso generale per proiezione. Esistono diverse dimostrazioni del teorema di Pascal. Per quelle di Mac Laurin,
Carnot Gergonne e Dandelin si rimanda a [187], pp. 246-253. Per le dimostrazioni di Steiner e Plücker si veda p.62 e p. 73. Per una dimostrazione
moderna, cfr. [54], p. 85.
Si noti che la retta che congiunge i punti di intersezione dei lati opposti
varia al variare dell’ordinamento del punto rispetto al quale si definiscono i
lati opposti. Le permutazioni di 6 punti sono 720 ma ad ogni permutazione
cicilica di un ordinamento dei vertici corrisponde la stessa retta di Pascal.
Anche il ribaltamento dell’ordine dei vertici
A1, A2, A3, A4, A5, A6 7→ A6, A5, A4, A3, A2, A1
non cambia le corrispondenti rette di Pascal. Quindi, assegnati 6 vertici di
una conica ci sono 60 rette di Pascal distinte.
Per ogni esagono iscritto in una conica si può dimostrare che esistono
esattamente tre esagoni, sugli stessi vertici, ad esso disgiunti, cioè tali che
nessun lato di questi sia anche un lato di quello. Le rette di Pascal degli
esagoni disgiunti da un esagono fissato, si incontrano in un punto, detto punto
di Kirkman. Variando l’ordine dei vertici dell’esagono varia il punto, e ci sono
60 punti di Kirkman distinti. La configurazione delle sessanta rette di Pascal
e dei 60 punti di Kirkman, che si distribuiscono in maniera che ci sono tre
punti per ogni retta e per ogni punto passano tre rette, determinano un piano
proiettivo finito, cioè una struttura di incidenza che verifica gli assiomi di [54]
per gli spazi proiettivi, di cui abbiamo fatto menzione a p. 13. In questo
piano proiettivo, ogni retta contiene tre punti. Per una breve panoramica
della ricca combinatoria associata all’Hexagrammum mysticum di Pascal, si
rimanda a [136]. Lo studio di configurazioni di questo genere è un tratto tipico
di un importante filone di ricerca della geometria proiettiva dell’ottocento,
in cui seppero distinguersi Steiner, Cayley e anche alcuni geometri italiani,
come Cremona e Veronese.
5
Monge e la sua scuola
La rinascita dell’interesse nella geometria sintetica alla fine del settecento è da
collegarsi all’emergere di problemi relativi all’ingegneria meccanica, civile e
23
militare, alla gnomonica, al taglio delle pietre, alla progettazioni di macchine.
Questi problemi portano alla necessità di sviluppare soluzioni grafiche più
rapide di quelle che si potevano ottenere con i procedimenti analitici. A tal
fine Gaspard Monge pone i fondamenti della geometria descrittiva in [127],
studiando dettagliatamente le proprietà delle proiezioni ortogonali.
Il suo metodo delle doppie proiezioni ortogonali permette di rappresentare
una figura dello spazio sul piano attraverso due proiezioni ortogonali su due
piani perpendicolari π1 e π2 , il secondo dei quali viene poi ruotato in senso
antiorario per sovrapporlo al primo. L’immagine di un punto A sarà quindi
una coppia di punti A1 , A2 , allineati lungo una retta ortogonale alla linea di
terra L.T. = π1 ∩ π2 . La distanza di A1 dalla linea di terra si dice aggetto e
quella di A2 si dice quota.
Illustrazione del metodo della doppia proiezione ortogonale.
Monge è anche considerato il padre della geometria differenziale, di cui
dà una esposizione organica in [128] e di cui parleremo nel capitolo ??, sulla
storia della geometria differenziale.
Monge fu insegnante molto bravo e molto attento ai problemi dell’insegnamento. Fu anche uno dei fondatori dell’Ècole Polytechnique, n’istituzione
che ebbe grande importanza per lo sviluppo della matematica francese, cfr.
[113]. Monge tenne per molti anni due corsi innovativi all’Ècole Polytechnique: un corso di geometria descrittiva e uno di geometria differenziale,
formando un’intera generazione di matematici francesi, tra cui Poncelet, cui
dedicheremo il paragrafo successivo, Briançon, cui si deve la scoperta del
teorema duale del teorema dell’esagono di Pascal e Gergonne, fondatore nel
1810 della prima rivista interamente dedicata alla matematica, gli Annales
de Gergonne, che fu teatro, tra l’altro, di un’aspra polemica sulla priorità
24
del concetto di dualità, cfr. p. 27, nota 6. Pur essendo a Poncelet che si
attribuisce tradizionalmente il merito di aver posto le fondamenta della Geometria proiettiva, è innegabile che molte delle idee sono già presenti, almeno
in forma embrionale, nell’opera di Monge (cfr. [44]).
Nella Geometria di Monge e della sua scuola non c’è ancora
la Geometria proiettiva. Ivi si fa uso sistematico del metodo della
proiezione soltanto nel caso particolare delle proiezioni ortogonali. Ma i concetti analitici, profondamente assimilati e luminosamente trasformati, hanno ormai portato ad un più alto grado
di generalità la concezione degli enti geometrici coll’introduzione
degli elementi immaginari e con quella dell’introduzione del principio di continuità, di cui Ponceletdoveva fare più tardi un uso
cosı̀ fecondo. Cit. da [81], p. 395.
L’influenza di Monge sullo sviluppo della geometria è molto grande. Chasles la paragona addirittura a quella di Cartesio.
Monge potè fare dell’Algebra colla Geometria come Cartesio
aveva fatto della Geometria coll’Algebra Citazione da [44].
5.1
Lazare Carnot
Contemporaneo di Monge è Lazare Carnot, un altro dei precursori della
Geometria proiettiva, con le idee presentate nella sua opera principale [39].
A Carnot si deve lo sviluppo della teoria delle trasversali, cfr. [44], p. 215,
il cui primo esempio è il teorema di Menelao.
Caratteristica dell’opera di Carnotè il costante tentativo di generalizzare
teoremi di geometria piana allo spazio. Carnot trova ad esempio una formula
per il volume del tetraedro in funzione dei suoi sei spigoli, che generalizza la
formula per il calcolo dell’area di un triangolo a partire dalle lunghezze dei
suoi lati, e dimostra l’analogo tridimensionale della famosa legge dei coseni
della trigonometria che porta oggi il suo nome: per un tetraedro le cui facce
hanno area a, b, c e d rispettivamente, vale la relazione
a2 = b2 + c2 + d2 − 2cd cos B − 2bd cos C − 2bc cos D
dove, B è l’angolo compreso tra le facce di area c e d, C è l’angolo compreso
tra le facce di area b e d, D è l’angolo compreso tra le facce di area b e c.
25
5.2
Lettura - Monge
La geometria descrittiva ha due oggetti: il primo è quello di
stabilire i metodi per rappresentare sulla carta da disegno che ha
solo due dimensioni, - cioè, lunghezza e larghezza, - tutti i solidi
della natura che hanno tre dimensioni, - lunghezza, larghezza e
profondità, - purché, però, questi solidi siano passabili di definizione rigorosa. Il secondo oggetto è di fornire i mezzi di riconoscere in accordo una descrizione esatta delle forme dei solidi e to
dedurre di qui tutte le verità che seguono dalle loro forme e dalle
loro rispettive posizioni.
6
Poncelet
Jean Victor Poncelet, allievo di Monge, è considerato il fondatore della moderna geometria proiettiva. Nel suo Traité [146] Poncelet espone i principi
fondamentale su cui fonda lo studio delle proprietà invarianti delle figure rispetto alle operazioni di proiezione e sezione, cioè le proprietà proiettive delle
figura. Nel trattato di Poncelet le idee della scuola di Monge sono fuse in un
grande disegno che porta al rifiorire della geometria sintetica, che per circa
mezzo secolo avrà grande successo.
la dottrina delle proprietà proiettive, quella della prospettiva
in rilievo14 , il principio o legge di continuità infine la teoria delle
polari reciproche e la teoria delle trasversali estesa a linee e superfici curve, non formano semplicemente delle classi, più o meno
estese, di problemi e di teoremi, ma costituiscono propriamente,
per la geometria pura, dei principi, dei metodi di indagine e di
invenzione, dei mezzi di estensione e di esposizione del genere di
quelli che hanno il nome di principio di esaustione, di metodo
degli infinitesimi, ecc. Citazione da [149], pp. 217-18.
Le idee principali della sua opera furono sviluppate durante la prigionia
a Saratov, dove fu condotto dai russi a seguito della disfatta dell’armata
napoleonica in Russia15 .
L’opera di Poncelet è dominata dal Principio di proiezione, che abbiamo
già visto in opera in Desargues, e cioè l’idea di ricondurre mediante proiezioni
e sezioni lo studio proiettivo delle figure a casi particolarmente semplici.
14
Si tratta dell’omologia tridimensionale, cfr. paragrafo 3.1.
Per una biografia di Poncelet e gli intrecci con la sua attività scientifica, si rimanda
alla voce Poncelet in [190].
15
26
A Poncelet si deve anche l’introduzione e lo studio dell’omologia solida,
che svolge nello spazio un ruolo analogo a quello delle dell’omologia piana
ma che, a differenza di quella, non può interpretarsi come composizione di
proiezioni e sezioni a meno di passare, ma i tempi non erano ancora maturi,
allo spazio proiettivo quadridimensionale.
Sempre a Poncelet si devono molte applicazioni della teoria della polarità
e il riconoscimento della sua fondamentale importanza, il principio di dualità,
che verrà svincolato da Gergonne dalla teoria della polarità16 , lo studio e le
applicazioni delle configurazioni armoniche, l’introduzione della nozione di
centro delle medie armoniche, e il principio di continuità.
Ponceletsi avventura nello studio generale delle curve algebriche di ordine
maggiore di due, affrontando, tra gli altri, il problema di determinazione il
numero delle tangenti comuni a due curve algebriche di gradi m e k rispettivamente, che attirerà l’attenzione dei geometri negli anni successivi. Per
affrontare questo problema, Ponceletdimostra la formula
d∗ = d(d − 1) − 2δ − 3κ.
che lega il grado d di una curva dotata di soli punti doppi nodali o cuspidali
semplici, la sua classe d∗ (ovvero il numero di tangenti che posso condurre
da un punto generico alla curva), il numero δ dei nodi e il numero κ delle
cuspidi. Questa formula fu scoperta anche da Plücker , a cui è usualmente
attribuita.
A Ponceletsi devono anche i primi studi sui poligoni di Poncelet, cioè i
poligoni che sono contemporaneamente iscritti a una conica data e circoscritti
ad una seconda conica, anch’essa assegnata. Per i legami con la teoria delle
funzioni ellittiche, questo problema ebbe un interesse rilevante nel corso del
diciannovesimo secolo, cfr. [118], pp. 26-30.
6.1
Elementi ideali
Poncelet considerava in maniera sistematica i punti impropri, già introdotti
da Keplero e Desargues, e i punti immaginari .
Come già Desargues, Poncelet, dall’osservazione che rette parallele ad una
medesima direzione possono essere trasformate per proiezione e sezione in
rette passanti per il medesimo punto è condotto ad interpretare una direzione
16
Poncelet e Gergonne ebbero una violenta disputa per rivendicare la priorità della
scoperta del principio di dualità, di cui resta traccia negli Annales de Gergonne pubblicati
tra il 1826 e il 1829, cfr. [150, 89, 90, 151, 152, 153]. Sembra che questa disputa sia una
delle ragioni per cui Poncelet decise di spostare i suoi interessi dalla geometria proiettiva
alla meccanica, cfr. la biografia di Poncelet in [190].
27
comune come un punto all’infinito, equivalente ai punti ordinari, per il quale
passano tutte le rette parallele a quella direzione.
Concepı̀ inoltre la totalità dei punti all’infinito di un piano come elementi
di un retta all’infinito, che può dunque proiettarsi sopra un altro piano nei
punti di una retta e la totalità dei punti all’infinito dello spazio come elementi
di un piano all’infinito
Per quanto riguarda la maniera in cui Poneceletintrodusse gli elementi
immaginari vale la pene leggere le parole stesse dell’autore.
[... Sia] mn una retta tracciata nel piano di una sezione conica
qualunque C. [...] Sia O il punto medio o centro della corda
M N che interseca la curva si trova all’intersezione di questa retta
con il diametro AB coniugato alla sua direzione17 . Il punto di
intersezione O0 delle due tangenti alle estremità della corda è,
con riferimento a questo stesso diametro, il coniugato armonico
del punto O18 , ovvero
OA 19
O0 A
=
.
O0 B
OB
Ne segue che la costruzione dei punti O e O0 si può fare indipendentemente dai punti M ed N , e si possono definire quindi
in tutti i casi possibili, anche quando la retta mn è esterna alla
curva. [....]
Supponiamo infatti che la retta mn si trasporti in m0 n0 esterna
alla curva; sia O0 il punto dove incontra, in quella nuova posizione, la direzione indefinita del diametro AB che contiene il punto
di mezzo delle corde parallele a m0 n0 ; supponiamo che, dal punto
O0 si conducano le tangenti O0 M e O0 N alla curva, come sarà
evidentemente possibile nella situazione attuale, esse verranno a
determinare due punti di contatto M ed N e una corda corrispondente, la cui direzione, necessariamente coniugata a quella
del diametro AB, sarà parallela a m0 n0 e intersecherà questo diametro nel punto O richiesto; poiché si avrà evidentemente [...] tra
i punti O, O0 , la relazione armonica che avevamo notato prima.
17
Il diametro coniugato di una conica rispetto ad un fascio di rette parallele è la retta
che congiunge i punti medi delle corde staccate dalle rette del fascio che intersecano la
conica, con la conica stessa.
18
Se la conica è un’iperbole, il diametro è sempre secante. È sempre possibile però
ricondursi al caso di un’ellisse, o addirittura di un cerchio, per proiezione e sezione.
19
Torneremo sulla condizione di armonicità nel prossimo paragrafo. Ci basti osservare
per ora che tale condizione è invariante per proiezioni e sezioni, grazie al teorema di Pappo.
28
[...]
Comunque, i punti O e O0 , considerati come appartenenti alla
retta mn, esistono indipendentemente dalla realtà o meno delle
intersezioni M ed N tra la retta e la curva
[...]
Supponendo che non si vogliano creare dei termini nuovi per
riferirsi alla retta mn e a ciò che gli appartiene, e che si voglia
continuare a pensarla come una secante alla curva anche quando
cessi si intersecarla, noi diremo, alfine di conservare l’analogia
tra le idee e il linguaggio, che i suoi punti di intersezione con la
curva, e di conseguenza la corda corrispondente, sono immaginari, che essa è secante ideale di questa curva; e la distingueremo
quindi da tutte le rette interamente non costruibili nel suo corso
e nella sua direzione, la quale conserva inoltre la denominazione,
già ammessa, di retta immaginaria.
In generale si potrà designare con l’aggettivo immaginario l’intero oggetto che, da assoluto e reale che era, in una data figura,
sarà divenuto interamente impossibile o non costruibile nella figura correlativa, quella che ci immaginiamo che provenga dalla
prima attraverso il movimento progressivo e continuo di qualche
sua parte, senza violare le leggi primitive del sistema20 . L’epiteto
ideale servirà a designare il modo particolare di esistenza di un oggetto che, rimanendo al contrario reale nella trasformazione della
figura primitiva, cesserà tuttavia di dipendere, in maniera assoluta e reale da altri oggetti che lo definiscono graficamente, perché
questi oggetti saranno divenuti immaginari, in maniera tale che
accanto ai nomi che si hanno già in geometria per esprimere i
diversi modi di esistenza che si vogliono confrontare, come gli infinitamente piccoli e gli infinitamente grandi, bisogna anche avere
quello per esprimere la non esistenza, al fine di dare giustezza e
precisione al linguaggio del ragionamento geometrico.
Traduzione di un estratto dai punti 48-53 di [146].
6.2
Lettura – Il principio di continuità (Enriques –
Chisini)
Ora la concezione che gli enti geometrici si presentino naturalmente in sistemi continui si è concretata in un principio più
20
Si tratta di un’applicazione del Principio di continuità di cui parleremo nel paragrafo
6.2.
29
preciso per quel che riguarda le figure della geometria elementare
e poi della geometria proiettiva e algebrica.
Diciamo anzitutto del suo aspetto elementare. La geometria
d’Euclide non pone alcun legame fra figure diverse che si lasciano
dedurre l’una dall’altra con una variazione continua dei dati. Per
esempio: l’angolo iscritto in un arco di cerchio è costante (Euclide, III, 27), ed è uguale all’angolo della corda con la tangente
in uno degli estremi (III, 32). La seconda proprietà si deduce
dalla prima come caso particolare (caso limite), ma per Euclide
costituisce un caso affatto nuovo.
L’atteggiamento di Euclide a tale riguardo non deriva soltanto
da scrupoli di rigore, bensı̀ anche dalla circostanza che, per effetto d’una variazione continua dei dati, le proprietà delle figure
subiscono talvolta una modificazione apparentemente discontinua.
Per es., dato nel piano un punto P in relazione a due rette parallele a e b, se P è interno alla striscia ab sarà costante la somma
delle sue distanze da a e b, se diventa esterno risulta costante la
differenza.
30
In modo analogo cambiano le proprietà metriche delle coniche,
quando si passa dall’ellisse alla parabola e all’iperbole, sebbene il
passaggio si possa fare in modo continuo.
Però un’intuizione geometrica più sviluppata riesce a scoprire,
anche in questi casi, qualche cosa che rimane costante nell’apparente cambiamento, spiegando altresı̀ come le somme si scambino
con le differenze in virtù della polidromia della funzione
p
(x − x0 )2 + (y − y 0 )2 + (z − z 0 )2
che esprime la distanza nello spazio di due punti di coordinate x,
y, z e x’, y’, z’.
Uno dei primi che abbiano riflettuto su questo aspetto della
continuità geometrica è Keplero, nei Paralipomena ad Vitellionem (1572). Qui si trovano osservazioni sul passaggio dall’una
all’altra specie di coniche e sul fuoco ”cieco” (cioè all’infinito) della parabola; e si parla d’un’analogia fra le varie coniche, che può
servire di guida alla scoperta delle loro proprietà o meglio all’estensione delle proprietà dall’uno all’altro caso: ”plurimum namque amo analogias, fidelissimos meos magistros, omnium naturae
arcanorum conscios”.
Questo principio di analogia o di continuità (intorno a cui
meditò, fra gli altri, il Boscovich) ha ricevuto il massimo sviluppo
agl’inizi del sec. XIX, con la fondazione della geometria proiettiva
da Monge a Poncelet.
31
Monge ha espresso la felice intuizione che certe proprietà delle figure, dimostrate nell’ipotesi dell’esistenza di alcuni elementi (per es., dei punti intersezioni di date linee e superficie), si
estendono al caso in cui questi vengano a mancare, diventando
immaginari. Cosı̀ egli dimostrava la proprietà fondamentale della
polare d’una retta rispetto ad una quadrica, riferendosi al caso in
cui per la retta data passino due piani tangenti alla quadrica.
Del metodo cosı̀ introdotto vuol fornire una giustificazione L.
Carnot, De la corrélation des figures de Géométrie e Géométrie
de position (Parigi 1801,1804). Poncelet riprende queste speculazioni e afferma più nettamente la visione unificata che si ottiene
per ciascuna famiglia o sistema di figure variabili con continuità,
affrancandosi dalle diseguaglianze fra i loro elementi. In una lettera a Terquem del 23 novembre 1818 egli scrive di avere riconosciuto un assioma primitivo, comune all’algebra e alla geometria, nel ”principe de permanence ou de continuité indéfinie des
lois mathématiques des grandeurs variables par succession insensible”. E di questo principio svolge poi diverse applicazioni importanti; soprattutto se ne vale per giustificare la veduta che i punti
all’infinito nel piano formano una retta e nello spazio un piano,
mettendola cosı̀ alla base dell’edificio della geometria proiettiva.
Poncelet non si è preoccupato di dimostrare il suo principio:
”une de ces véritées premières qu’il est impossible de ramener à
des idées plus simples parce qu’elles ont leur source et leur certitude immédiates dans notre manière de voir autant que dans les
faits, dans la nature des choses”. Perciò egli incorreva nella critica di Cauchy, che, riferendo sopra una memoria di Poncelet all’Accademia delle scienze di Parigi (il 5 giugno 1820), formulava
delle riserve sull’applicazione illimitata di quel principio.
Ma le applicazioni fattene da Poncelet erano tutte esatte, perché
egli le limitava implicitamente agli enti algebrici, per cui riesce
sempre valido. E proprio da codeste applicazioni si può desumerne il vero significato.
Il progresso della geometria proiettiva e algebrica ha giustificato, e liberato da ogni veduta di continuità, molte teorie che ne
dipendevano nel concetto di Poncelet: per es., la teoria geometrica
degli immaginari, fondata rigorosamente da Staudt.
Nondimeno quella veduta porge un criterio unificativo di dottrine diverse, e in pari tempo ne svela il vero significato, chiarendone la genesi. Il principio di continuità di Poncelet resta
principio vivo di costruzione e di scoperta, nella nostra geometria
32
algebrica. E d’altronde il suo valore può essere definito con un’analisi rigorosa. La quale riconosce in esso un metodo generale di
dimostrazione che si può dividere in tre principi, logicamente concatenati e successivamente dimostrabili. Anzitutto un principio di
passaggio al limite. Si può enunciare come segue: se Y1 , Y2 ,...,
Yn sono elementi d’una figura variabile, dipendenti analiticamente
da più parametri x1 , x2 , ..., xn , ogni relazione analitica
f (x1 , x2 , . . . , xn , Y1 , Y2 , . . . , Yn ) = 0,
che venga verificata nell’intorno di un gruppo di valori x1 , x2 ,...,
xn dei parametri x, risulta verificata anche al limite quando le
diverse x tendono alle omonime x.
Oltre all’esempio elementarissimo dell’angolo iscritto in un
arco di cerchio (Euclide, III, 27,32) cui si è accennato innanzi,
si possono citare come applicazioni di questo principio i casi particolari del teorema di Pascal sull’esagono iscritto in una conica,
dove all’esagono si sostituisce il pentagono derivante dall’avvicinare indefinitamente due vertici, ecc. (v. coniche). Quest’applicazione si trova già indicata nel trattato di Simson (libro V,
prop. 48).
In secondo luogo si ha un principio di estensione delle proprietà geometriche. Esso si può enunciare come segue: ogni
relazione analitica:
f (x1 , x2 , . . . , xn ; y1 , y2 , . . . , yn ) = 0,
relativa agli elementi d’una figura variabile, la quale sia verificata
nell’intorno di un gruppo di valori x1 , x2 , ..., xn dei parametri x,
risulta verificata anche per qualsiasi altro gruppo di valori dei
parametri x stessi.
Questo principio permette di assumere come valide in tutti
i casi quelle relazioni che siano state dimostrate in base a figure in un certo senso particolari, dove si presentino come reali
certi elementi (o coppie di elementi) che possano anche riuscire
immaginari.
Nel campo della geometria elementare si può dare il seguente
esempio.
33
Si considerino due cerchi C1 e C2 tagliantisi in due punti A e
B. La retta AB = a è il luogo dei punti P per cui sono uguali
le tangenti P T1 e P T2 condotte ai due cerchi. Ciò usualmente si
riconosce osservando che è ad un tempo
P T1 = P A · P B ; P T2 = P A · P B.
Si conduca ora un qualsiasi cerchio C a tagliare C1 in A1 e
B1 e C2 in A2 e B2 . Le due rette A1 B1 e A2 B2 concorrono in
un punto O della retta a. La qual cosa segue osservando che le
tangenti condotte da O a C1 e C e a C2 e C sono eguali, quindi
in particolare eguali quelle condotte a C1 e C2 .
Cosı̀ nel caso della figura, possiamo enunciare che presi due
cerchi C1 e C2 , ogni altro cerchio del piano taglia questi due in
due coppie di punti A1 , B1 e A2 , B2 , tali che le rette A1 B1 e
A2 B2 s’incontrano sempre in punti di una retta a (qualunque sia
il terzo cerchio secante). In realtà questa deduzione è fondata
sull’esistenza dei due punti reali A e B, comuni ai due cerchi
C1 e C2 . Ora il principio di continuità permette di affermare
che l’enunciato si avvera comunque si prendano i cerchi C1 e C2 ,
anche non secantisi, come nel caso della fig. [seguente].
34
In terzo luogo si ha il principio di induzione dal caso limite al
caso generale. Il fatto che le proprietà analitiche delle figure variabili per continuità si conservano attraverso a un passaggio al
limite, può essere utilizzato in senso inverso a quello dato dal primo principio, cioè desumendo le proprietà d’una figura variabile
da quelle d’un suo caso limite. In particolare rientra in questo
principio la cosiddetta conservazione del numero, ampliamente
applicata alle questioni di Geometria numerativa.
Si cerchi, ad es., il numero delle intersezioni di due curve algebriche di ordini m e n rappresentate (in coordinate cartesiane)
rispettivamente dalle due equazioni:
f (x, y) = 0 ; φ(x, y) = 0
(dei gradi rispettivi m e n). Questo numero è dato dal grado
della risultante R(x) = 0, ottenuta eliminando la y fra le due
equazioni precedenti ( v. algebra, n. 46). Poiché al variare per
continuità delle due curve f e φ non varia il grado di R (purché si
evitino particolari posizioni rispetto agli assi di riferimento), cosı̀
il problema posto si potrà risolvere considerando due particolari
curve f e φ, degli ordini m e n. Si assuma precisamente la f
degenere in m rette e la φ degenere in n rette; si trovano cosı̀ mn
punti di intersezione, onde si deduce che in generale le due curve
f e φ hanno mn punti in comune.
35
Quando si voglia applicare questo tipo di procedimento a casi
più generali, occorre tener presenti due ordini di complicazioni:
il risultante R, il cui grado dà il numero richiesto, può acquistare
delle radici infinite o multiple, oppure può diventare identicamente nullo. Convenienti avvedimenti tecnici, che qui non è possibile
indicare, permettono di applicare il principio della conservazione
del numero nel modo più largo.
Un altro metodo assai notevole, e di portata generale, che
rientra in questo terzo principio, è il cosiddetto metodo di piccola
variazione. Esso si applica principalmente allo studio della forma
delle curve piane, algebriche e reali, e consiste nel far variare per
continuità una curva per modo che essa acquisti dei punti doppı̂
o anche si spezzi: dall’esame del caso limite si deducono poi le
proprietà di forma della curva, fuori del limite.
Ma non si deve ritenere che queste osservazioni esauriscano
il valore della veduta di continuità come criterio di ricerca. Il
criterio che abbiamo visto dominare lo sviluppo storico dell’analisi infinitesimale, e poi (con l’introduzione dei punti all’infinito e
degli immaginari) informare nel secolo scorso la Geometria proiettiva e algebrica, resterà - anche per l’avvenire - come principio
costruttivo della scienza.
Enriques F., e Chisini O., voce Continuità, in [102].
I metodi di Poncelet, anche se criticabili dal punto di vista logico, erano in
grado di risolvere problemi difficili, come ad esempio il problema di Apollonio,
cioè quello di determinare le circonferenze tangenti a tre circonferenze date.
Il problema di Apollonio chiede trovare i cerchi tangenti a tre cerchi dati. A secondo delle
posizioni dei tre cerchi dati, si hanno al più 8 cerchi tangenti, detti Cerchi di Apollonio.
36
6.3
Lettura - Poncelet: dalla Mémoire sur les centres
de moyennes harmoniques
Discorso preliminare21
Nel trattato che ho pubblicato22 l’anno scorso sulle proprietà
proiettive delle figure, mi sono occupato non tanto di fare una
raccolta di teoremi e di problemi di Geometria, quanto di stabilire principi generali e fecondi, per mezzo dei quali si possono
affrontare gli uni e gli altri, per cosı̀ dire, senza esitazione, e alla
maniera in cui si procede nell’applicazione dell’algebra alla geometria, cioè nell’analisi delle coordinate: io credo di aver messo,
in fatti, ogni lettore geometra nella situazione di poter scoprire da
sé stesso, e dimostrare, se necessario, quella massa di proposizioni
che appartengono alle figura composte, in generale, di punti, di
rette, di sezioni coniche, di piani e di superficie di secondo ordine
qualunque, proposizioni che, a causa della loro elegante semplicità e della loro utilità nelle arti, gli antichi cosı̀ come i moderni,
hanno coltivato con una sorta di predilezione, e che per la maggior parte e fino a questi ultimi tempi, essendo stati trattati con
metodi cosı̀ particolari e cosı̀ diversi gli uni dagli altri e sovente cosı̀ difficoltosi, è stato quasi impossibile coglierne l’unità e
indovinarne l’origine comune.
Che mi sia permesso qui di fissare un istante l’attenzione dell’Accademia su qualcuno di questi principi generali, che non sono
ancora abbastanza apprezzati, e che a me paiono tanto nuovi e
tanto importanti per la Geometria; questa esposizione succinta
getteerà qualche luce sull’oggetto delle ricerche che mi occupano
in questo momento e mi sarà da guida nella maniera più naturale
e filosofica.
Tra questi principi io metterò in prima linea, per l’estensione
delle conseguenze che ne derivano, quelli che si ricollegano alla
dottrina delle proiezioni, per mezzo della quale si trasformano
delle figure molto generali in altre del tutto particolari e viceversa; in modo tale che se le proprietà dell’una sono conosciute, se
ne conclude immediatamente le proprietà dell’altra, per lo meno
21
[149], pp. 21? – 217
Questa memoria, redatta nel corso dell’anno 1823, è stata presentata da Mr Arago
verso la fine di Novembre, dello stesso anno, all’epoca del suo soggiorno a Metz. Si può
leggere, alla pagina 349 del tomo XVI degli Annales de Mathématiques, pubblicati da M.
Gergonne, il rapporto che ne è stato fatto all’accademia reale delle scienze da M. Cauchy.
22
37
quelle di queste proprietà la cui natura è sufficientemente generale
da conservarsi nelle diverse proiezioni centrali della figura, e che,
per questa ragione, io ho chiamato proiettive nell’opera citata.
Il carattere di questa sorta di proprietà non è difficile da stabilire per ciò che concerne le relazioni puramente descrittive o grafiche; si riconosce sempre al semplice enunciato, e ho fornito altrove
le leggi sulle modifiche cui sono soggette, nei casi particolari in
cui certi oggetti si allontanano all’infinito, o assumono posizioni
particolari, come quella del parallelismo o dell’asintotismo.
Quanto alle relazioni puramente metriche o concernenti i rapporti di misura delle linee, i loro caratteri di proiettabilità, se cosı̀
mi posso esprimere, non possono essere presentati in una maniera
interamente generale, a causa della complessità delle espressioni,
e ho dovuto limitarmi a stabilirle per una classe particolare di
relazioni metriche, e tuttavia ancora molto estese, perché comprende tutto ciò che si conosce attualmente sulle proprietà proiettive delle figure, e ne indicano un’infinità di altre che non lo
sono ancora. Credo anche che non esiste alcuna relazione metrica
proiettiva che non possa essere ricondotta a questa classe particolare attraverso trasformazioni opportune del calcolo23 . Ma
questa stessa restrizione è un grande vantaggio, perché indipendentemente dal carattere di semplicità che impone alle relazioni
metriche, le rende ancora atte a restare applicabili, non solo alle
proiezioni o prospettive ordinarie della figura, ma anche alle proiezioni sferiche fatte dal centro della sfera e per le quali le semplici
distanze sono sostituite dai seni degli archi dei grandi cerchi corrispondenti, e a questa specie di proiezione molto più generali cui
ho fatto riferimento, fatte di espressioni convenienti, prospettive
in un piano o piane, e prospettive nello spazio o in rilievo; genere
di proiezioni sulle quali non abbiamo ancora detto nulla, scritto
nulla, e che meritano tuttavia tutta l’attenzione dei geometri, e
particolarmente quella degli scultori, che mancano ancora di precetti rigorosi e generali per il tracciamento di quelle opere che si
è conviene chiamare basso rilievi.
In effetti, credo di aver stabilito questi precetti nel supplemento messo in fondo alla mia opera, e, nella stessa maniera
che io avevo mostrato, nella prima parte, come, per la proiezione
centrale ordinaria, si possono riportare le figure composte di sezioni coniche e di linee concorrenti, in altre molto più elementari
23
Si veda la nota II al termine di questa Memoria.
38
composte unicamente di cerchi e di rette parallele, io ho anche
dimostrato, in quel supplemento, che i modi di estendere alle
superfici del secondo ordine in generale, e con l’aiuto del rilievo
prospettico, le proposizioni che concernono semplicemente le sfere
e i sistemi di sfere; e io credo di aver mostrato delle applicazioni
molto belle per far cogliere lo spirito generale del metodo, e nel
far apprezzare tutta l’utilità e l’importanza.
Un altro principio di ampia applicazione, al quale può darsi
che non si sia prestata sufficiente attenzione nella Geometria razionale, è il principio di continuità, in virtù del quale si dà alle
differenti proposizioni della geometria, l’estensione e la generalità
che a loro mancano solitamente, secondo la visione limitata a cui
giunge spesso chi considera le figure e i risultati dei ragionamenti
che si applicano.
Ammettere e utilizzare la legge di continuità mi era abbastanza indispensabile per dare ai principi della dottrina delle proiezioni e alle diverse conseguenze che ne derivano, la certezza e l’estensione necessaria oltre a quelle che offrono i mezzi di interpretare
e di introdurre apertamente in Geometria, la considerazione dell’infinito e degli immaginari che giocano un ruolo cosı̀ importante
e cosı̀ necessario nell’analisi algebrica, e si può dire, in tutte le
applicazioni del calcolo. La conseguenza dell’accettazione della
continuità è stata la teoria delle secanti e delle corde ideali e, di
tutto l’oggetto che , senza smettere di esistere effettivamente nelle
trasformazioni di una medesima figura eppure ha cessato di dipendere in una maniera puramente geometrica, da altri oggetti ai
quali si rapportava, e che lo definivano o lo costruivano a partire
dalla figura primitiva.
Infine, segnalerò un ultimo principio, che non ho dovuto né
voluto esporre in tutta la generalità che gli è propria, nel Traité
des propriétés projectives, e che costituisce ciò che ho chiamato
la Teoria delle polari reciproche, per analogia con quello che i
geometri avevano già chiamato il polo e la polare delle rette e
delle superfici del secondo ordine,
A prima vista, si potrebbe credere che il principio di cui si
tratta è meno generale e meno vasto dei precedenti, per il fatto che esso non costituirà che una teoria particolare relativa alle
rette e alle superfici del secondo ordine, ma si ingannerà, perché
è tale che a un semplice enunciato di una proposizione sufficientemente generale dell’estensione, o per esprimermi con maggior
precisione, di una relazione proiettiva e di situazione, si è sempre
39
in condizioni di assegnare, sul campo, un’altra del tutto diversa,
ugualmente generale e che sarà sovente molto difficile da stabilire
con metodi diretti, salvo il caso in cui la proprietà nuova sia la
stessa, cosa di cui si hanno esempi.
6.4
Insieme armonico
Insiemi interessanti per la geometria proiettiva sono quelli che si ottengono
intersecando un quadrangolo con una trasversale.
Un quadrangolo è l’insieme costituto da: 4 punti nessuna terna dei quali
è allineata, detti i vertici del quadrangolo; 6 rette che congiungono le coppie
di vertici, dette i lati del quadrangolo; 3 punti che si ottengono intersecando
le diagonali , cioè le coppie di lati non adiacenti, dette i punti diagonali .
I lati di un quadrangolo tagliano, su ogni retta che non passa per i vertici,
6 punti, che possono ridursi a 5 o a 4 se la retta passa per uno o due punti
diagonali. Un insieme tagliato da un quadrangolo su una retta che non
contiene i suoi vertici si dice insieme quadrangolare.
I punti ABDCEF formano un insieme quadrangolare sulla retta u. Tale insieme si
indica (AD)(BE)(CF ), dove le coppie di punti sono tagliate da coppie di lati opposti.
Presi 5 punti distinti su una retta è univocamente determinato il sesto punto che, insieme ai precedenti, costituisce un insieme quadrangolare.
L’unicità segue dal teorema dei quadrangoli omologici:
Siano KLM N , K 0 L0 M 0 N 0 senza elementi comuni riferiti tra loro in modo
che 5 coppie di lati omologhi KL, K 0 L0 ; KM , K 0 M 0 ; KN , K 0 N 0 ; LM , L0 M 0 ;
LN , L0 N 0 ; determinino 5 punti appartenenti a una retta r non passante per
alcuno degli 8 vertici. Allora anche la sesta coppia di lati omologhi M N ,
40
M 0 N 0 si intersecherà in un punto della retta r e le congiungenti i punti
omologhi passeranno per un punto O. Cfr. [81], p. 54 e [54] p. 21.
Teorema dei quadrangoli omologici.
Esercizio Descrivi la costruzione del sesto quadrangolare, dopo 5 punti
assegnati su una retta.
Definiamo armonica ogni quaterna segata dai lati di un quadrangolo
completo su una trasversale che passa per due punti diagonali.
I punti ABDC formano una quaterna armonica, che si indica (AB)(CD) e coincide con
(AA)(BB)(CD). Il quadrangolo M N KL ha i due punti A e B, intersezioni delle coppie
di lati opposti, sulla retta u.
41
Esercizio Il coniugato armonico del punto all’infinito della retta < A, B >
è il punto medio del segmento AB, ovvero (AB)(∞(A + B)/2).
Questa definizione offre un modo per costruire, con la riga, il coniugato
armonico di un punto C rispetto ad una cppia A, B di punti assegnati. Il
teorema dei quadrangoli omologici mostra che il coniugato armonico di C
rispetto ad A, B non dipende dalla scelta dal quadrangolo.
La teoria degli insiemi armonici è fondamentale per la trattazione di Von
Staudt della geometria proiettiva, in quanto non dipende da alcuna nozione
metrica. La sua origine è molto antica, cfr. 44 ed è collegata alla teoria delle
proporzioni.
La teoria delle proporzioni è uno dei capitoli più antichi della matematica.
Accanto alla proporzione aritmetica e a quella geometrica si considera subito
anche quella armonica.
Quattro numeri (o segmenti) a, b, c and d sono in:
proporzione aritmetica se
a − b = c − d;
proporzione geometrica se
ad = bc;
proporzione armonica se
1 1
1 1
− = − .
a b
c d
Dati tre segmenti, la costruzione del quarto proporzionale relativamente alla
proporzione aritmetica, geometrica e armonica, si può fare con la riga e il
compasso, cfr. [?].
Le media aritmetica, geometrica e armonica di due numeri o di due segmenti a e c è il numero o il segmento b tale che a, b, b and c stanno nella
corrispondente proporzione.
Le medie aritmetiche e armoniche si possono definire a partire dalle
proporzioni geometrica:
• b è la media aritmetica di a e c se e solo se
(a − b) : (b − c) = a : a
• b è la media geometrica di a e c se e solo se
(a − b) : (b − c) = a : b
42
• b è la media armonica di a e c se e solo se
(a − b) : (b − c) = a : c
È possibile caratterizzare una quaterna armonica A, B, C, D basta chiedere che i punti C e D, allineati con A e B dividano, internamente ed esternamente, il segmento AB in modo tale che AB sia medio armonico fra AC
e AD, ovvero, cfr. [187] p. 25, che
1
1
2
=
+
.
AB
AC AD
Attraverso la costruzione del quarto armonico è possibile definire la nozione di polare senza eccezione, cfr. sezione 44.
La condizione si può esprimere chiedendo che, rispetto a un’origine O
fissata, l’ascissa d di D verifichi l’equazione
1 1
1 1
1 1
−
−
−
+
+
=0
x a
x b
x c
dove a, b, c sono le ascisse di A, B, C rispettivamente.
Esercizio Verificare l’asserto.
Partendo da questa formula Poncelet, sviluppando un’idea di Mac Laurin,
già applicata nello studio delle curve algebriche da Cotes in [53], generalizzò
la costruzione del coniugato armonico, definendo la nozione di centro delle
medie armoniche di un insieme finito A1 , . . . , Am di punti allineati. Si tratta
del punto che verifica l’equazione
m X
1
1
−
= 0.
x
a
i
i=1
Useremo questa nozione per definire la polare prima di ogni curva algebrica
qualsiasi nel paragrafo 6.6.
De Jonquiéres in [108], definı̀ l’insieme dei centri armonici di grado r di
un insieme finito A1 , . . . , Am di punti allineati e la polare r-esima di un punto
rispetto a una curva. I centri armonici di grado r sono i punti che verificano
l’equazione
X 1 1
−
= 0.
x a r
dove x1 − a1 r indica un prodotto di r fattori ottenuti scegliendo r elementi
distinti da A1 , . . . , An e la somma è estesa a tutte le possibili scelte.
43
6.5
Lettura - Cremona, sulla storia del rapporto armonico
La proporzione armonica (harmonica medietas) e le sue proprietà erano note
anche agli antichi24 . IAMBLICO, filosofo pitagorico del quarto secolo (dopo
Cristo) racconta che essa era in uso presso i Babilonesi, e che PITAGORA
l’importò in Grecia25 . Suo primo nome era υπoναντ ια; ecco la ragione di
tale denominazione. Siano a, b, c tre grandezze in ordine decrescente; se esse
formano una proporzione continua aritmetica si ha ab < cb ; se la proporzione
è armonica si ha l’opposto, cioè ab > cb ; nella proporzione geometrica si ha
b
= bc.
a
ARCHITA (quinto secolo a. C.) diede a questa proporzione il nome di armonica a cagione del suo uso nella musica; IAMBLICO la chiama proporzione
musicale. Il primo scrittore presso cui se ne trovi la teoria è NICOMACO
(tempi di TIBERIO) nativo di GERASA (Arabia)26 .
LAHIRE27 chiama armonicali quattro rette uscenti da uno stesso punto
e tali che una trasversale qualunque sia da esse divisa armonicamente. Al
sistema di tali quattro rette BRIANCHON28 diede il nome di fascio armonico.
La denominazione di media armonica è di MACLAURIN29 e quella di centro
delle medie armoniche è di PONCELET30 .
6.6
Polarità - teoria sintetica
La considerazione delle polari di un punto rispetto a una conica è molto
antica, anche se l’introduzione dei termini polo e polare, sono molto più
recenti e sono dovuti a Servois in [185] e a Gergonne in [88], rispettivamente.
I teoremi fondamentali della polarità rispetto a una conica si trovano già in
in Apollonio e in Pappo, cfr. [44], pp. 19-20. Sviluppi significativi si hanno
con il lavoro di De la Hire (cfr. [70]) e Poncelet (cfr [146]).
La definizione sintetica di polare di un punto rispetto a una conica si
basa sulla costruzione del quarto armonico, vista nel paragrafo precedente.
24
PAPPI ALEXANDRINI, Mathematicae Collectiones a Federico Commandino in
latinum conversae et commentariis illustratae. Bononiae 1660.
25
IAMBLICI CHALCIDENSIS ex Coelesyria in NICOMACHI GERASENI Arithmeticam introductio, etc. Daventrae 1668. Vedi anche TERQUEM: Bulletin de Bibliographie,
etc. 1855.
26
NICOMACHI GERASENI, Arithmeticae, libri duo. Parisiis 1538.
27
Traité des sections coniques, 1685.
28
Mémoire sur les lignes du second ordre. Paris 1817.
29
De linearum geometricarum proprietatibus generalibus tractatus, 1750.
30
Mémoire sur les centres des moyennes harmoniques, 1828 (tomo 3.◦ del giornale di
CRELLE).
44
Precisamente, sia P un punto fissato nel piano e sia Γ una conica. Sia t
una retta qualsiasi condotta da P , che intersechi la conica Γ in due punti,
A e B. Sia P il coniugato armonico di P rispetto a A e B. Al variare della
trasversale t condotta da P si può dimostrare che il punto M si muove su una
retta, cfr. [?], p. xx. Questa retta è la polare di P rispetto alla conica. Si
noti che solo per le rette passanti per P che sono secanti la conica è possibile
costruire il punto M , ma basta che la conica abbia più di un punto reale per
determinare completamente, con questa costruzione, la retta polare.
La polare di P rispetto a una conica. Il punto M , che descrive un segmento della retta
polare, è il coniugato armonico di P rispetto alle due corrispondenti intersezioni con la
conica
Dualmente si definisce il polo di una retta rispetto a una conica. La polarità
rispetto a una conica associa ad ogni punto una retta e a ogni retta un punto
in maniera da preservare le relazioni di incidenza tra punti e rette.
Esercizio Si definisca un elemento come una coppia formata da un punto
e da una retta incidenti. Un elemento si può identificare con una terna di
numeri (x, y, p) dove (x, y) sono le coordinate del punto e p è il coefficiente
angilare della retta (passante per il punto). Qual è l’immagine dell’elemento
(x, y, p) rispetto alla polarità associata alla parabola di equazione y = x2 ?
(Trasformata di Legendre).
In maniera analoga si definisce nello spazio la Polarità rispetto a una
quadrica e si ottiene una corrispondenza fra punti e piani, fra piani e punti,
che preserva l’incidenza.
La definizione sintetica di polare venne presto superata da una definizione
analitica che è quella in uso anche oggi. La discuteremo nel paragrafo ??.
È anche possibile sviluppare una teoria della polarità che prescinda dalla
nozione di conica, e usare la polarità per definire le coniche, come mostra
Von Staudt in [191].
45
Le polarità rientrano, come casi particolari, fra le cosiddette
reciprocità [cfr. p. ??] e sono precisamente reciprocità involutorie. Questa ultima proprietà caratterizza completamente le
polarità piane, mentre nello spazio le reciprocità involutorie sono di due tipi: le polarità e le correlazioni focali o sistemi nulli.
Citazione dalla voce Polarità in [102].
La costruzione proiettiva della polare di una conica si generalizza a curve
di grado qualunque con la nozione di centri armonici, che abbiamo discusso
a p. 43. Per curve di grado d, si hanno d − 1 curve polari. Per costruire la
polare r-sima di P rispetto a una curva C, si interseca una retta per P con
C e si considerano i centri armonici di grado r delle d intersezioni della retta
con la curva data (cfr p. ??). Il luogo di tali centri, al variare della retta per
P , definisce la polare r-esima del punto rispetto alla curva, che ha grado r.
La nozione di polare r−esima di un punto rispetto a una curva di grado
qualsiasi fu magistralmente utilizzata da Cremona che la pose a fondamento
della sua teoria geometrica delle curve del piano ([59]) e delle superfici dello
spazio ([64]).
6.7
Omologia
31
Una prospettività è una trasformazione tra due piani distinti, nello spazio,
che si costruisce proiettando il primo piano da un punto esterno P (centro di
proiezione), e segando le rette per P con l’altro piano. Una prospettività è
caratterizzata dall’esistenza di una retta di punti fissi, l’intersezione dei due
piani.
31
togliere quanto abbiamo già detto nel paragrafo su Desargues
46
Abbiamo già preso in considerazione la definizione dell’omologia piana, cfr. p.
15. Questa trasformazione si può pensare ottenuta da semplici trasformazioni
dello spazio.
Una omologia tra un piano π in sè è la composizione di due prospettività
p1 : π → π 0 p2 : π 0 → π.
Il centro dell’omologia è l’intersezione P del piano π con la retta r congiungente i centri di proiezione P1 e P2 delle prospettività p1 e p2 rispettivamente.
47
L’asse dell’omologia è l’intersezione u del piano π con il piano π 0 . L’asse è
una retta di punti fissi.
Dimenticando l’immersione dei due piani nello spazio, l’omologia del
piano si può definire in modo equivalente come richiamato a p. 15.
L’estensione dell’omologia piana allo spazio è dovuta a Poncelet. Anche l’omologia spaziale può avere applicazioni pratiche, per esempio alla
costruzione dei bassorilievi, cfr. [66].
Una proiettività tra piani o rette si lascia definire come composizione di
proiezioni e sezioni, che appaiono quindi come i generatori più semplici delle
traformazioni proiettive. Se però vogliamo considerare le trasformazioni di
un piano proiettivo in sé, senza riferimento all’immersione in uno spazio proiettivo, allora le proiettività più semplici sono le omologie. Una proiettività
si può definire allora come composizione di un numero finito di omologie.
Questa definizione si può estendere allo spazio.
6.8
Principio di dualità
La prima dualità che fu esplicitamente osservata è la dualità sferica, osservata da Viète e Snellius. Il caso più elementare di dualità sferica è quello
relativo ai criteri di eguaglianza dei triangoli sferici, che, a differenza del caso
euclideo, si presentano a coppie: da una parte sia ha l’eguaglianza di due
triangoli aventi eguali due lati e l’angolo compreso ovvero i tre lati, dall’altra
si ha l’uguaglianza di due triangoli aventi eguali due angoli e il lato compreso,
ovvero i tre angoli. La dualità sferica, che associa ad ogni proposizione relativa ad un poligono sferico la proposizione duale che si ottiene scambiando
tra loro lati e angoli, si può dimostrare con la considerazione della cosiddetta
polarità sferica, che associa ad un punto P della sfera, la circonferenza massima tagliata sulla sfera dal piano per il centro, ortogonale al vettore OP e
orientata con la regola della mano destra.
Polarità sferica
48
Poncelet osserva che, fissata una conica nel piano (risp. quadrica nello
spazio) è possibile associare ad ogni punto P del piano (risp. dello spazio)
la retta polare di P rispetto alla conica (risp. il piano polare di P rispetto
alla quadrica). Applicando sistematicamente la trasformazione polare agli
elementi di una figura è possibile costruire una seconda figura in maniera che
punti e rette della prima vengono trasformate in rette e punti della seconda.
Poncelet chiamava la seconda figura polare reciproca della prima e osservara
che la polare reciproca della seconda mi restituisce la prima. Il nome dualità
per la trasformazione polare reciproca, si deve a Gergonne, che mise in luce
l’indipendenza di tale nozione dal riferimento ad una conica.
a differenza della dualità sferica, [la dualità di Poncelet] [...]
non consente alcun confronto fra gli elementi metrici (misure di
segmenti e di angoli) delle due figure, mentre invece, e in ciò
sta l’essenziale, conserva i rapporti posizionali, cioè le relazioni
d’appartenenza tra punti e rette, e quindi associa a punti allineati
d’una delle due figure, rette concorrenti in un punto dell’altra, e
viceversa. Cosı̀ ad ogni proprietà d’una figura piana, la quale
si esprima mediante relazioni d’appartenenza tra punti e rette
(una tal proprietà dicesi grafica o posizionale) se ne può associare
un’altra, relativa ad una nuova figura, la quale (figura e proprietà)
si deduce dalla prima scambiando tra di loro le parole ”punto” e
”retta”; e in ciò appunto consiste la legge di dualità nel piano.
Per quanto applicabile soltanto alle proprietà grafiche, nondimeno
ha una portata assai vasta; e il Poncelet stesso ne segnalò alcune
importanti applicazioni alle curve piane.
[...]
La concezione, per dir cosı̀, ristretta del Poncelet, secondo cui
le leggi di dualità restavano vincolate alla trasformazione per polari reciproche, fu oltrepassata dal Gergonne, il quale ne riconobbe
il vero carattere di principi generali e ne indicò il fondamento
logico, affermando la possibilità di costruire nello spazio due geometrie, per dir cosı̀, parallele, una avente per elemento il punto,
l’altra il piano, egualmente coerenti e logicamente equivalenti. Tale veduta si precisa rigorosamente cosı̀: le proprietà grafiche delle
figure spaziali discendono tutte da un gruppo di proposizioni fondamentali, che, in una sistemazione deduttiva della geometria di
posizione vengono assunte in veste di postulati (postulati di appartenenza, dell’ordine, della continuità) i quali restano complessivamente inalterati, e soltanto si permutano tra di loro, quando
nei loro enunciati si scambino mutuamente le parole ”punto” e
49
”piano” lasciando inalterata la parola ”retta”. Ne consegue che
qualsiasi ragionamento impostato su quei postulati si mantiene
valido anche se (adattando opportunamente il linguaggio) lo si
legge con le parole cosı̀ scambiate, onde lo stesso si può dire anche di ogni conclusione, e in definitiva di ogni proprietà grafica
dello spazio32 . Più raffinatamente si può osservare che i concetti espressi dalle parole ”punto”, ”retta”, ”piano” sono suscettibili
di due determinazioni concrete, soddisfacenti ai postulati predetti,
la prima delle quali si ha attribuendo a quelle parole il significato
ordinario, la seconda invece intendendo che esse denotino gli enti
comunemente designati coi nomi di ”piani” ”rette” ”punti”, onde
i due aspetti duali della geometria di posizione, appariscono come
due interpretazioni concrete di una geometria astratta, nella quale si badi soltanto alla coerenza logica del sistema deduttivo, prescindendo dal significato concreto dei concetti fondamentali e solo
ammettendo che i postulati pongano tra essi relazioni logicamente
compatibili.
S’è parlato soltanto della legge di dualità nello spazio, perché è
stato chiarito da Pasch e da Enriques che quella relativa al piano
ne è conseguenza.
L’interpretazione analitica delle leggi di dualità fu data da J.
Plücker (1831) , il quale mostrò che i due aspetti duali della geometria di posizione (nello spazio, e analogamente nel piano e nella
stella) sono suscettibili di due trattazioni analitiche parallele, le
quali si deducono una dall’altra scambiando le coordinate puntuali
(cartesiane, o, più in generale, proiettive) con le coordinate planari da lui introdotte, dette appunto plückeriane. Tutto dipende
in sostanza da ciò che la condizione d’appartenenza d’un punto
di coordinate omogenee x1 , x2 , x3 , x4 ad un piano di coordinate
(plückeriane, associate) omogenee u1 , u2 , u3 , u4 si esprime con la
relazione u1 x1 + u2 x2 + u3 x3 + u4 x4 , = 0 che è simmetrica rispetto
alle due serie di variabili xi , ui [...] su che può anche impostarsi
una dimostrazione analitica della legge in discorso. Citazione
da Commessatti A., voce Dualità in [102].
7
Möbius
L’opera di August Ferdinand Möbius è di poco posteriore a quella di Poncelet.
Nel suo Calcolo baricentrico, [126] segue un approccio analitico-algebrico alla
32
Cfr. p.e. i primi capitoli di [81].
50
Geometria che porta nuovi importanti contributi anche alla Geometria proiettiva. A Möebius si deve il concetto generale di corrispondenza biunivoca,
la considerazione del ruolo delle omografie, che per la geometria proiettiva è
analogo al ruolo del movimento per la geometria elementare e l’introduzione
delle correlazioni .
Möbius stabilisce un metodo per determinare il baricentro di un qualsiasi sistema di punti e, usando le coordinate baricentriche riesce a definire
analiticamente i punti impropri. È quindi considerato uno degli inventori
delle coordinate omogenee, con Feuerbach, Bobillier e Plücker , cfr. [31],
pp. 614-615. Le coordinate omogenee (x0 , x1 , x2 ) sono legate ad un punto
di coordinate affini X, Y dalla relazione X = xx01 ; Y = xx20 . Si viene quindi a
perdere la biunivocità tra coordinate e punti del piano, in quanto le coordinate (ρx0 , ρx1 , ρx2 ) descrivono le stesso punto di coordinate (x0 , x1 , x2 ), ma
grazie ad esse, possiamo considerare anche i punti all’infinito di coordinate (0, x1 , x2 ). Le rette sono il luogo dei punti e cui coordinate omogenee
verificano un’ equazione lineare omogenea (a0 x0 + a1 x1 + a2 x2 ), e la retta
all’infinito è semplicemente la retta di equazione x0 = 0. Le proiettività sono
le trasformazioni
2
X
xi =
aij xj
det(aij ) 6= 0.
j=0
Nel calcolo baricentrico Möbius introduce anche le sue trasformazioni
, che sono la forma analitica delle omografie della retta in
proiettive az+b
cz+d
coordinate affini. Il gruppo delle trasformazioni proiettive della retta si dice
anche gruppo delle trasformazioni lineari fratte ogruppo di Möbius
Möbius considera diversi gruppi di trasformazioni, che chiama Verwandtschaften, e le loro mutue inclusioni. Nel gruppo di trasformazioni di Möbius
z0 =
az + b
cz + d
ad − bc 6= 0
riconosce e studia i sottogruppi delle congruenze, delle similarità e delle
affinità.
Nel piano proiettivo e nello spazio proiettivo definisce le proiettività come
le trasformazioni continue che mandano rette in rette, introduce la nozione
di correlazione tra un piano (risp. spazio) proiettivo e il suo duale, come
una trasformazione che manda punti in rette (risp. piani) e rette (risp. piani) in punti, e studia dettagliatamente nuovi esempi di proiettività quali
l’involuzione armonica e i sistemi nulli.
51
È il primo ad introdurre il principio dei segni in geometria33 e a definire in
maniera uniforme e senza eccezioni, il rapporto semplice di tre punti allineati
e il birapporto di quattro punti allineati.
L’importanza che agli assegna alle trasformazioni e alla loro classificazione
lo pongono tra i precursori del programma di Erlangen di Klein, cfr. [113].
Möbius è noto anche per aver dato il primo esempio di superficie ad una
sola faccia, il nastro di Möbius, ottenuto congiungendo le due estremità di
un nastro dopo una torsione.
Il nastro di Möbius
Il piano proiettivo reale, ottenibile da una semisfera quozientando i ponti
antipodali del suo equatore, è una superficie che contenente nastri di Möbius
Nel piano complesso esiste un aperto omeomorfo al nastro di Möbius
Il piano proiettivo reale, a differenza di quello complesso, non è orientabile. Infatti, muovendosi lungo un tale nastro, è possibile ripassare per lo
stesso punto rovesciandosi.
33
Cfr. [63] e [44], p. xx (parte 1)
52
La formica della figura ripassa per lo stesso punto del nastro di Möbius rovesciandosi
7.1
Birapporto
La distanza euclidea è un esempio ben noto di invariante numerico per rotazioni e traslazioni. Un invariante numerico per trasformazioni proiettive
è invece il birapporto di quattro punti allineati. In versione geometrica, il
birapporto, o meglio il suo modulo, era noto fin dal tempo dei greci ed era
collegato alla teoria delle proporzioni .
Per definire il rapporto semplice è necessario considerare grandezze con
segno. Il rapporto semplice di tre punti allineati A, B, C, nell’ordine dato, è il
rapporto dei segmenti orientati AC e AB, che denotiamo (ABC). Il rapporto
semplice dipende dall’ordine dei tre punti ma non dipende dall’ordine scelto
sulla retta. Il valore numerico di questo rapporto è il numero λ tale che
C = A + λ · AB, dove AB è il vettore che parte da A e termina in B.
Il rapporto semplice è invariante per trasformazioni affini.
Il birapporto 34 di quattro punti allineati A, B, C e D nel dato ordine,
denotato con il simbolo (ABCD) è il rapporto (ABCD) = (BCD)/(ACD)
di due rapporti semplici. Si verifica immediatamente che vale anche
(ABCD) = (BD/BC) : (AD/AC) = (AC/AD) : (BC/BD) =
(AC/BC) : (AD/BD). (1)
Il birapporto è invariante per trasformazioni proiettive della retta. Il
risultato, che come abbiamo già detto è noto anche a Pappo, cfr. p. 2, è
uno dei risultati fondamentali della geometria proiettiva, specialmente nello
studio delle relazioni metriche invarianti per trasformazioni proiettive.
Le proiettività della retta si possono definire come le trasformazioni invertibili che preservano il birapporto.
34
Möbius usa il termine ratio bisectionalis, cfr. [126] p. 244; Steiner usa il termine
Doppelverhältnifs, [193], p. 7; Chasles usa il termine fonction anharmonique, [44], p. 34.
53
Il birapporto ha un’espressione
nee.
(ABCD) = semplice in
a0 a1 c0 c1 ·
b0 b1 c0 c1 termini di coordinate omoge
a0 a1 d0 d1 b0 b1 d0 d1 dove A = [a1 , a2 ], B = [b1 , b2 ], ecc.
Abbiamo già osservato che il birapporto dipende dall’ordine della quaterna A, B, C and D. Non tutte le permutazioni però danno valori differenti.
In generale, solo sei diversi valori distinti del birapporto si possono ottenere
permutando gli elementi di una quaterna di punti allineati, cfr. [81], p. xx.
È facile esprimere la condizione di armonicità con il birapporto: quattro
punti allineati costituiscono una quaterna armonica se e solo se il loro birapporto vale −1. Permutando l’ordine degli elementi di una quaterna armonica
si ottengono solo tre valori distinti del birapporto.
7.2
Proiettività tra forme di prima specie
Due punteggiate, o fasci di rette o di piani, si dicono proiettivi
[...] quando sono ottenuti l’uno dall’altro con un numero finito
di proiezioni e sezioni. La proiettività conserva tutti i birapporti,
e in particolare i gruppi armonici. Viceversa, per una corrispondenza biunivoca comunque data fra le dette figure, la proprietà di
conservare i gruppi armonici è già sufficiente per affermare che
essa è una proiettività. Per es., tra due punteggiate r, r’ riferite
come sezioni di uno stesso fascio di rette si ha una proiettività,
per la quale il punto rr0 = U corrisponde a sé stesso, cioè è unito
[...]. Viceversa, due punteggiate r, r’ di uno stesso piano, proiettive e non sovrapposte, per le quali il punto rr0 sia unito, sono
sezioni di uno stesso fascio di rette. Esse si dicono allora prospettive. Dualmente per i fasci di rette di uno stesso piano proiezioni
di una medesima punteggiata.
Teorema fondamentale. - Tra due punteggiate esiste una e
una sola corrispondenza proiettiva, la quale a tre punti distinti,
comunque assegnati sulla prima, fa corrispondere ordinatamente
tre punti pure distinti e arbitrari sulla seconda. Analogamente
per 2 qualunque forme di 1a specie. Nasce quindi il problema della costruzione di una proiettività; cioè, quando una proiettività
è individuata mediante 3 coppie di elementi omologhi, realizzare
con costruzioni l’effettivo passaggio dall’una all’altra figura per
54
proiezioni e sezioni, in guisa che si corrispondano le coppie di
elementi dati; costruendo inoltre per ogni ulteriore elemento di
una delle due l’elemento omologo dell’altra. Ad es., per due punteggiate non sovrapposte r, r’ in uno stesso piano si dimostra
che, indicate con AA’, BB’ due qualunque loro coppie di punti
omologhi, le intersezioni delle coppie di rette AB’, A’B (rette associate) appartengono tutte a una medesima retta, chiamata asse
di proiettività (o di collineazione) delle due punteggiate. Se si
conoscono pertanto tre coppie di punti omologhi AA’, BB’, CC’
[...], due qualunque fra le tre coppie di rette associate AB’, A’B;
BC’, B’C; AC’, A’C determinano con le loro intersezioni punti
dell’asse di collineazione u, e perciò quest’asse: proiettando allora
un ulteriore punto D di r dal punto A’, e prendendo l’intersezione
di DA’ con u, quest’ultimo punto verrà proiettato da A sulla r’
nel punto D’, omologo di D. Dualmente per fasci di rette in un
piano.
Due punteggiate, o fasci di rette o di piani, proiettivi possono
essere sovrapposti (cioè una stessa forma pensata due volte). In
tal caso, se la proiettività non è identica (cioè se due elementi
omologhi generici sono distinti) vi sono al più due elementi uniti.
Secondo che ve ne sono due, uno, o nessuno, la proiettività si dirà
iperbolica, parabolica, o ellittica. In ogni proiettività iperbolica la
quaderna formata dai due elementi uniti e da una coppia qualsiasi
di elementi omologhi distinti ha birapporto costante (caratteristica
o invariante assoluto della proiettività).
Adottando sulle due forme coordinate proiettive o loro casi
particolari, per es. ascisse se si tratta di due punteggiate, le coordinate x, x’ di due elementi omologhi soddisfano a un’equazione
di 1◦ grado rispetto a ciascuna di queste due variabili (o bilineare), a coefficienti costanti, del tipo αxx0 + βx + γx0 + δ = 0 (con
αδ − βγ 6= 0).
[...]
Citazione da Enriques F., Fano G., voce Geometria in [102].
55
Costruzione di una proiettività tra due rette assegnate le immagini di tre punti
7.3
Omografie
Si dicono omografici due piani riferiti fra loro in modo che
a ogni punto o retta dell’uno corrisponda un punto o una retta
dell’altro, e a un punto e una retta che si appartengono un punto
e una retta che anche si appartengono. Ne sono esempi due piani
riferiti per proiezioni e sezioni, o anche un piano che si pensi
comunque spostato nello spazio come figura rigida, intendendo
omologhi l’antica e la nuova posizione di ogni singolo punto o
retta. Si può individuare un’omografia tra due piani dando di 4
punti dell’uno, di cui 3 qualunque non allineati, i corrispondenti
nell’altro, anch’essi a 3 a 3 non allineati; oppure, dualmente,
dando 4 coppie di rette omologhe, tali che, in ciascuno dei due
piani, 3 qualunque delle 4 rette non appartengano a un fascio.
Si dicono prospettivi due piani non sovrapposti riferiti come
sezioni di una medesima stella: in questo caso la retta intersezione dei due piani è per l’omografia luogo di punti uniti, e
viceversa.
Un’omografia tra piani sovrapposti o ha soltanto un numero
finito, non superiore a tre, sia di punti uniti sia di rette unite (e
se ne ha tre, sono i vertici e i lati di un triangolo); oppure ha
un’intera retta luogo di punti uniti, e un fascio di rette unite. In
quest’ultimo caso l’omografia si dice omologia piana; la retta u
56
di punti uniti è il suo asse, il centro U del fascio di rette unite
è il centro della omologia [...]. Per es., due piani sovrapposti,
proiezioni di un terzo piano da due centri distinti, sono omologici. In ogni omologia piana due punti corrispondenti distinti
sono allineati col centro di omologia; due rette corrispondenti distinte s’incontrano sull’asse. La quaderna formata da due punti
corrispondenti distinti, dal centro, e dall’intersezione della loro
congiungente con l’asse ha birapporto costante (caratteristica o
invariante assoluto dell’omologia). In un piano esiste una e una
sola omologia avente un dato centro e un dato asse, e nella quale
inoltre si corrispondono o due punti assegnati distinti, allineati col centro, oppure due rette assegnate e distinte, incontrantisi
sull’asse.
Assunte in due piani omografici coordinate proiettive omogenee di punto x1 , x2 , x3 ; x01 , x02 , x03 , e di retta u1 , u2 , u3 ; u01 , u01 ,
u03 , le coordinate di punto e di retta nell’un piano sono funzioni
lineari omogenee, a coefficienti costanti e di determinante non
nullo, delle coordinate omonime nell’altro piano. Si hanno cosı̀
quattro sostituzioni lineari omogenee del tipo seguente:

 ρx01
ρx02

0
 ρx30
 τ u1
τ u02

τ u03
= a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 ,
= a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 ,
= a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 ;
= A11 u1 + A12 u2 + A13 u3 ,
= A21 u1 + A22 u2 + A23 u3 ,
= A31 u1 + A32 u2 + A33 u3 ;

 σx1 =
σx2 =

σx
3 =

 ωu1 =
ωu2 =

ωu3 =
A11 x01 + A21 x02 + A31 x03 ,
A12 x01 + A22 x02 + A32 x03 ,
A13 x01 + A23 x02 + A33 x03 ;
a11 u01 + a21 u02 + a31 u03 ,
a12 u01 + a22 u02 + a32 u03 ,
a13 u01 + a23 u02 + a33 u03 ;
dove gli Aik sono i complementi algebrici degli aik entro A =
(aik ) 6= 0 e ρ, σ, τ , ω sono fattori di proporzionalità. Uno qualunque di questi quattro sistemi di equazioni determina completamente gli altri.
In due piani propri omografici od omologici si chiama retta limite la retta di ciascuno di essi che ha per corrispondente nell’altro la retta impropria. Nell’omologia le rette limiti sono parallele
all’asse.
Citazione da Enriques F., Fano G., voce Geometria in in
[102].
7.4
Reciprocità e polarità
Si dicono reciproci o correlativi due piani riferiti fra loro in
modo che a ogni punto dell’uno corrisponda una retta dell’altro,
57
a una retta del primo un punto del secondo, e ad un punto e una
retta del primo che si appartengono, una retta e un punto pur
essi appartenentisi. [..]
Una reciprocità tra piani sovrapposti si chiama polarità piana
quando due elementi omologhi (punto e retta) si corrispondono
sempre in doppio modo (ossia al punto, come elemento sia del
primo sia del secondo piano, corrisponde sempre nell’altro la stessa retta); la retta si dice allora polare di quel punto, e il punto
polo della retta. Una reciprocità fra piani sovrapposti è una polarità, ogni qualvolta esiste un triangolo tale che ai suoi vertici,
come punti di uno stesso dei due piani, corrispondano nell’altro
piano i lati di questo triangolo rispettivamente opposti (triangolo autopolare, o autoconiugato). In ogni polarità vi sono infiniti
triangoli autopolari. Esiste una e una sola polarità avente un dato triangolo autopolare, e che a un punto dato non appartenente
a nessun lato di questo triangolo fa corrispondere una retta data,
non passante per nessun vertice.
In una polarità piana possono esservi punti autoconiugati e
rette autoconiugate, cioè punti appartenenti alla propria polare, e
viceversa; o anche non esservene. Se vi è un punto autoconiugato, ve ne sono infiniti, e cosı̀ pure infinite rette autoconiugate; e
sono i punti e le tangenti di una conica. La polarità si dice allora
non uniforme. Se non vi sono elementi autoconiugati, la polarità
si dice uniforme, perché priva di elementi comunque eccezionali. La ricerca analitica dei punti autoconiugati conduce allora a
un’equazione di secondo grado priva di soluzioni reali [...]); si dice perciò che questa polarità definisce una conica immaginaria.
Citazione dalla voce Reciprocità, [102].
In modo analogo si definiscono le reciprocità fra spazi, come corrispondenze
biunivoche fra i punti dell’uno e i piani dell’altro, tali che ai punti di ogni
piano contenuto nel primo spazio, corrispondano i piani di una stella passanti
per un punto, nel secondo spazio. Esistono due tipi di reciprocità involutorie
di uno spazio in sé: le polarità ordinarie, che definiscono ciascuna, come luogo
dei punti autoconiugati (e inviluppo dei piani autoconiugati) una quadrica,
reale o immaginaria, e i sistemi nulli , in cui ogni punto è autoconiugato.
Analiticamente, i due casi si differenziano con riferimento alla matrice che
descrive la correlazione. Le polarità ordinarie sono caratterizzate da matrici
simmetriche; i sistemi nulli, da matrici antisimmetriche.
58
8
Steiner
Jakob Steiner ebbe un percorso educativo molto singolare. Imparò a scrivere
solo a quattordici anni e decise, contro il parere del padre, di entrare nell’istituto Pestalozzi all’età di diciotto35 , dove viene incoraggiato a imparare
la matematica secondo il suo originalissimo punto di vista, molto geometrico e intuitivo. In [193] presenta una sorta di manifesto del suo pensiero
matematico.
Il presente lavoro è un tentativo di scoprire l’organismo attraverso il quale i più diversi fenomeni spaziali si collegano l’uno
all’altro. Esiste un numero limitato di semplicissime relazioni
fondamentali che insieme costituiscono lo schema per mezzo del
quale i restanti teoremi possono essere sviluppati logicamente e
senza difficoltà. Attraverso l’opportuna scelta di poche relazioni
fondamentali si diventa padroni dell’intero campo. L’ordine sostituisce il chaos e diventa possibile vedere come tutte le parti si
integrano in maniera naturale nell’ordine più perfetto e formano
gruppi ben definiti. In questa maniera si ottengono, simultaneamente, gli elementi da cui la natura procede quando, con la più
grande economia possibile e nel modo più semplice, assegna alle
figure infinite proprietà. Qui la cosa principale non è né il metodo sintetico, né il metodo analitico, ma la scoperta della mutua
dipendenza delle figure e del modo in cui le loro proprietà passano
dalle più semplici a quelle più complesse. Questa connessione e
transizione è la vera sorgente di tutte le restanti proposizioni individuali della Geometria. Le proprietà delle figure della cui stessa
esistenza bisognava convincersi attraverso ingegnose dimostrazioni e che, quando furono scoperte, apparvero come meravigliose, si
rivelano oggi come necessarie conseguenze delle proprietà comuni
di questi nuovi elementi fondamentali.
Il programma steineriano di costruire la geometria proiettiva procedendo
dal semplice al complicato, venne di fatto realizzato partendo dalle figure più
semplici, le cosiddette forme geometriche fondamentali (cfr. par. 8.1), e dalle
trasformazioni più semplici , quelle proiettive, per generare figure sempre più
complicate, p. es. coniche, quadriche, cubiche gobbe, ecc. Nelle sue mani
le proiettività assumono un nuovo ruolo e vengono utilizzate per generare
35
Pestalozzi fu un pedagogista e riformista svizzero. Noto come educatore e riformatore
del sistema scolastico. Un ruolo fondamentale, nel suo sistema educativo, era assegnato
alla intuizione.
59
proiettivamente le figure geometriche (cfr. par. 8.2), e le proprietà proiettive delle figure generate proiettivamente vengono studiate nella maniera più
semplice a partire dalla generazione proiettiva stessa, cfr. ??. Si scoprirà in
breve però che la generalità delle figure ottenute con il metodo di Steiner è
in realtà piuttosto limitata, cfr [113], p. 117.
A Steiner si devono moltissimi risultati, tutti dimostrati con metodi puramente sintetici. Dimostrò in [194] che tutte le costruzioni della geometria
euclidea si possono effetture con il solo uso della riga purché sia già tracciato
un solo cerchio; introdusse nuovi strumenti per la risoluzione del problema
isoperimetrico nel piano; studiò approfonditamente innumerevoli configurazioni di punti e rette, come quella che si ottengono dalle rette di Pascal del
Hexagrammum mysticum; dimostrò, usando solo metodi sintetici, che una
superficie generale di terzo ordine in P3 contiene soltanto ventisette rette;
enunciò in [195] molti teoremi sulle curve algebriche piane, che vennero completamente dimostrati da Cremona in [59] Steiner non apprezzava nè l’algebra
nè l’analisi e credeva che il calcolo frenasse il pensiero mentre la geometria
lo stimolasse. Dopo un lungo periodo di insegnamento nelle scuole superiori, caratterizzato da rapporti difficili con i superiori, ottenne finalmente un
posto di professore straordinario all’Università di Berlino nel 1834. È particolarmente significativa la sua amicizia con Jacobi e con Crelle, che pubblica,
nella sua rivista, più di sessanta dei suoi lavori L’affievolirsi della vena creativa, che lo portò anche ad appropriasi di risultati altrui senza riconoscerne
la paternità (cfr. [113] p. xx), l’inasprirsi del suo carattere polemico e la
cattiva salute amareggiarono gli ultimi anni della sua vita.
8.1
Forme geometriche fondamentali
Gli elementi fondamentali della geometria proiettiva sono: punti, rette e
piani 36 , cfr. [81], p. 5. Una figura geometrica è un insieme di elementi
fondamentali. Se gli elementi di una figura geometrica sono omogenei, la
figura si chiama forma geometrica.
Alcune forme geometriche particolarmente semplici dette forme geometriche fondamentali sono considerate già nei lavori di Desargues sistematicamente da Steiner, che li chiama Grundgebilde . Sono:
1. La retta punteggiata, cioè la figura costituita da tutti i punti di una
retta, detta sostegno della forma.
2. Il fascio di piani , cioè la figura di tutti i piani contenenti una retta,
detta asse del fascio.
36
Seguendo l’approccio assiomatico, cfr. [54], p. 6 , il piano può essere definito dai
concetti primitivi di punto e retta.
60
3. Il fascio di raggi, cioè la figura di tutte le rette per un punto, detto
centro e contenuto in un piano, detto piano del fascio.
4. Il piano punteggiato, cioè la figura di tutti i punti di un piano, detto
sostegno del fascio.
5. Il piano rigato, cioè la figura di tutte le rette di un piano, detto sostegno.
6. La stella di raggi , cioè la figura di tutte le rette per un punto, detto
centro della stella.
7. La stella di piani , cioè la figura di tutti i piani per un punto, detto
centro della stella5t.
8. Lo spazio punteggiato, cioè la figura di tutti i punti dello spazio.
9. Lo spazio di piani , cioè la figura di tutti i piani dello spazio.
Steiner divise le forme geometriche fondamentali in tre tipi o Stufen. Quelle
del primo tipo sono 1-3, quelle del secondo tipo sono 4-7, quelle del terzo tipo
sono 8-9. Forme dello stesso tipo sono isomorfe come spazi proiettivi astratti.
Tra due forme di prima specie esistono dei rapporti elementari: da un fascio si passa ad una punteggiata per sezione e da una punteggiata ad un fascio
per proiezione. Componendo queste operazioni elementari si definiscono le
proiettività.
L’idea di costruire una forma di primo tipo aggregando elementi diversi,
punti, rette o piani, e l’idea che generatori elementari diversi possono dare
luogo a forme geometriche isomorfe, si rivelerà importante per lo sviluppo
della geometria algebrica e della teoria geometrica delle equazioni differenziali, dove si costruiscono spazi i cui elementi sono a loro volta oggetti geometrici
complessi, come spazi di ipersuperfici oppure spazi di getti.
8.2
Generazione proiettiva
Illustriamo il metodo di Steiner della generazione proiettiva di una figura
con l’esempio della generazione proiettiva di una conica.37 Esistono due
costruzioni, una duale dell’altra. Per la prima costruzione, si parte da due
37
L’idea nasce dalla semplice osservazione che scegliendo tre punti A, B e C non allineati,
la circonferenza per i tre punti si può definire come il luogo dei punti che vedono il segmento
AB sotto lo stesso angolo di C, o il suo supplementare. Scegliendo tre punti qualsiasi C,
D ed F della circonferenza, gli altri punti punti sono all’intersezione delle rette omologhe
rispetto alla particolare proiettività tra i fasci per A e B, determinati dalle tre coppie di
rette omologhe < A, C >, < B, C >, < A, D >, < B, D >, < A, E >, < B, E >.
61
rette r ed s e da una proiettività σ : t → s. La famiglia delle rette {<
P, σ(P ) >}P ∈r inviluppa una conica.
Dualmente, si parte da due fasci di rette, per i punti P e P 0 rispettivamente e da una proiettività τ tra loro. I punti {r ∩ τ (r)}r⊃P , descrivono una
conica.
L’idea di definire nuove figure a partire da figure più semplici, utilizzando
operazioni proiettive, generalizzando le generazioni proiettive delle coniche
che abbiamo appena discusso, fu impiegata sistematicamente da Steiner.
Queste varietà sono esempi di varietà determinantali, cfr. [113] p. 117,
cioè varietà definite da minori di una matrice di forme, cfr. [154, 168, 74, 97].
L’interpretazione determinantale della generazione proiettiva delle coniche è la seguente. Siano φ + tψ and φ + tψ due fasci di rette, riferite proiettivamente. I punti di intersezione di due rette omologhe, cioè corrispondenti allo stesso valore di t, verificano l’uguaglianza φ(P ) + tψ(P ) = 0 e
φ(P ) + tψ(P ) = 0, quindi t = −φ(P )/ψ(P ) = −φ(P )/ψ(P ). Le coordinate
di P risolvono perciò l’equazione φψ − φψ = 0. Il membro a sinistra è il
determinante della matrice
φ ψ
.
φ ψ
Dalla generazione proiettiva si possono dare facilmente dimostrazioni sintetiche di molti teoremi sulle coniche. Fra questi, quella del teorema di Pascal
e di Brianchon, sugli esagoni iscritti e circoscritti alla conica.
Teorema di Pascal – ”Dimostrazione di Steiner” Il teorema fondamentale, cfr. p. 54, afferma che una proiettività tra due forme di prima
specie è assegnata univocamente specificando tre elementi nella prima forma
e i corrispondenti tre elementi nella seconda. Abbiamo visto a p. 55 come
costruire con la riga la proiettività tra due punteggiate che manda i punti A, B, C nei punti A0 , B 0 , C 0 rispettivamente. Dualizzando la costruzione,
possiamo costruire la proiettività tra due fasci di rette, che manda le rette
a, b, c del fascio,per il punto P , nelle rette a0 , b0 , c0 del fascio, per il punto P 0 .
62
Le rette dello stesso colore si corrispondono
Consideriamo le tre coppie di punti a·b0 , a0 ·b, a·c0 , a0 ·c, b·c0 , b0 ·c. Nella figura,
la prima coppia è costituita dall’intersezione della retta rossa per P con quella
blu per P’ e dalla retta blu per P con quella rossa per P’, ecc. Quindi ogni
coppia corrisponde a una coppia di colori distinti che posso estrarre dai tre
colori utilizzati. Le tre rette che congiungono gli elementi di ogni coppia, si
intersecano, per il duale del teorema di Pappo dell’esagono, in un punto Q
che diremo punto di collineazione
Per ogni coppia di colori, p.e. rosso blu, otteniamo due punti (retta rossa per P
intersecata retta blu per P’; retta blu per P intersecata retta rossa per P’). Congiungendo
ognuna delle tre coppie di punti otteniamo tre rette che concorrono un punto Q.
Sia ora r una qualunque retta per P . Intersechiamola con una qualunque
delle tre rette che abbiamo scelto per P 0 , diciamo la retta verde c0 , e sia M
il punto di intersezione. Congiungiamo M a Q e intersechiamo questa retta
con c, la retta verde, corrispondente a c0 , del fascio per P . Sia N il punto di
intersezione. La retta immagine di r nella proiettività determinata dalle tre
coppie colorate, sarà allora r0 =< P 0 , N >.
63
Costruzione dell’immagine r0 di r con la proiettività determinata dalle coppie (a, a0 ),
(b, b0 ), (c.c0 ).
L’intersezione X tra r ed r0 al variare della retta r nel fascio di rette per
P descrive, come ha dimostrato Steiner, un conica. Tale conica passa per
P , P 0 e per l’intersezione di tutte le coppie di rette omologhe. Nel disegno,
passa quindi per le intersezioni delle coppie dello stesso colore.
Costruzione dell’immagine r0 di r con la proiettività determinata dalle coppie (a, a0 ),
(b, b0 ), (c, c0 ).
Viceversa, data una conica e due suoi punti, diciamo A ed E, La scelta
di tre punti B, C e D determina una proiettività tra il fascio delle rette per
A e il fascio delle rette per E che manda < A, C > in < E, C >, < A, B >
in < E, B >, e < A, D > in < E, D >.
Indichiamo che queste rette sono legate da una proiettività utilizzando la
notazione
A(CBD)∧E(CBD).
(2)
64
Dato un qualsiasi altro punto F del piano, il punto F appartiene alla
conica, se e solo se le rette < A, F > e < E, F > sono omologhe in questa
proiettività, ovvero scriveremo, se e solo se
A(CBDF )∧E(CBDF ).
(3)
Consideriamo quindi sei punti A, B, C, D, E, F dei quali supporremo (lasciando da parte i casi di degenerazione) che mai tre siano allineati. Da
due di questi A, E, proiettiamo gli altri quattro; la condizione necessaria e
sufficiente affinché i sei punti appartengano ad una conica, è quindi espressa
(3).
Segando il primo fascio con la retta CD, il secondo colla CB, la condizione
su traduce in
(4)
CHDM ∧CBKN.
dove H, M , K, N indicano i punti sezioni delle rette cui corrispondono. Questa condizione esprime che i punti M e N si corrispondono nella proiettività
che manda C in C. H in B e D in K.
Le due punteggiate sono anzi prospettive, perché C è punto unito (cfr.
p. ??); quindi la condizione (4) esprime che le congiungenti punti omologhi
HB, DK, M N passano per uno stesso punto P , il centro di proiezione; In
altre parole, il punto P , intersezione delle due prime rette, si trova allineato
con i punti M ed N . Ora i punti
P = AB · DE,
N = BC · EF,
M = CD · F A
sono le intersezioni delle coppie di lati opposti (1◦ e 4◦ , 2◦ e 5◦ , 3◦ e 6◦ ) dell’esagono semplice ABCDEF . Si conclude che la condizione primitiva equivale
a quella espressa dal verificarsi del teorema di Pascal. (Dimostrazione tratta
da [42], pp. 370-371).
65
9
Von Staudt: I fondamenti della Geometria
Proiettiva
Nella metà del XIX secolo vi furono aspre polemiche tra i sostenitori dei metodi sintetici e analitici nella geometria proiettiva, che si accusavano gli uni
con gli altri di non riuscire a separare correttamente i concetti proiettivi da
quelli metrici. Da una parte il concetto fondamentale che veniva utilizzato
nella presentazione sintetica della geometria proiettiva, ovvero il birapporto
di quattro punti su una retta, era introdotto utilizzando le lunghezze degli
intervalli. Dall’altra parte l’introduzione delle coordinate proiettive era anch’essa basata sulle distanze dai lati del triangolo di riferimento o su altri
concetti metrici. Sorse quindi il problema di fondare la geometria proiettiva senza far uso di concetti metrici. Questo problema attrasse l’attenzione
di von Staudt, anche lui come Möbius studente di Gauss che dedicò molti
anni e due libri, [193, 194] al tentativo di creare una geometria proiettiva
indipendente da qualsiasi concetto metrico.
Per fare ciò Von Staudt partı̀ dall’osservazione che se una corrispondenza
tra forme di prima specie preserva gli insiemi armonici , allora preserva i
birapporti. Poiché gli insiemi armonici sono definibili con costruzioni esclusivamente grafiche (cfr. 6.4), la sua definizione di proiettività non fa uso di
concetti metrici.
Con Von Staudt le relazioni grafiche, che costituiscono la parte sostanziale della geometria proiettiva, vengono ordinate in un
corpo di dottrina completamente distinto da quello delle proprietà
metriche. Tale purezza di metodo rende possibile l’esame critico
dei postulati della nuova scienza ( Klein, Lüroth e Zeuthen,
Darboux, Pasch, De Paolis ecc.) e ne fa riconoscere il grande
carattere di generalità, per cui essa abbraccia entro di sè anche la
Geometria (non euclidea) che prescinde dal postulato di Euclide
sulle parallele ( Cayley, Klein). Citazione da [81], p. 401.
9.1
I fondamenti della geometria proiettiva
La geometria proiettiva muove dai concetti fondamentali di
punto, retta, piano, come elementi costitutivi delle figure, e da alcune relazioni molto semplici fra essi (postulati). Questi elementi
si suppongono indifferentemente propri e impropri (salvo fare su
di essi opportune ipotesi, quando delle proprietà dimostrate si vogliano fare applicazioni metriche; queste saranno qui indicate in
66
carattere più minuto). Essa si vale delle leggi di dualità nel piano e nello spazio; e può costruirsi come sistema logico-deduttivo,
fondato sui seguenti postulati: 1. Postulati di appartenenza: due
punti distinti individuano una retta, alla quale essi appartengono; un punto e una retta che non si appartengono individuano un
piano, al quale essi appartengono; e i loro duali nello spazio; 2.
Postulati dell’ordine e suo carattere proiettivo, i quali esprimono
proprietà dell’ordine naturale secondo cui l’intuizione ci presenta disposti i punti di una retta (nonché le rette e i piani di un
fascio), come pure il fatto che quest’ordine si conserva per proiezioni e sezioni; 3. Postulato della continuità, generalmente nella
forma di R. Dedekind. Enriques F., n [81].
Il principio di dualità, prima dedotto da una trasformazione delle figure per
reciprocità, segue, nella trattazione assiomatica della geometria proiettiva,
dal fatto che gli elementi fondamentali entrano simmetricamente nelle proposizioni grafiche elementari che costituiscono i postulati della Geometria
proiettiva, cfr. [81], p. 401.
9.2
Coordinate proiettive e definizione proiettiva di
birapporto
La procedura usuale per introdurre su una retta un sistema di coordinate,
cioè per associare ad ogni punto un numero e viceversa, utilizza il compasso
e quindi concetti metrici. Von Staudt mostra come sia possibile introdurre
le coordinate con costruzioni univocamente proiettive. Utilizzando le coordinate proiettive Von Staudt introduce il birapporto, da lui indicato con il
termine tedesco Wurf , di una quaterna di punti allineati, mostrando quindi
l’indipendenza della geometria proiettiva da quella metrica.
Per introdurre le coordinate proiettive è possibile seguire una via, suggerita dalla rete di Möbius, discussa da Klein in [113], p. 124.
La rete di Möbius è l’immagine prospettiva di una scacchiera.
67
La corrispondenza tra numeri razionali e punti della retta può essere
posta utilizzando il parallelismo. Tracciamo una retta a e fissiamo su di essa
due punti, A0 e A1 . Tracciamo una retta b parallela as a e fissiamo su di
essa un punto B0 . Tracciamo da A1 la parallela alla retta < A0 , B0 >, che
intersecherà b in B1 . La parallela da B1 alla retta < B0 , A1 > segherà a
in A2 . Iterando la costruzione determineremo il punto Ai che corrisponde
all’intero i.
Figura 1: Costruzione del punto immagine di n
Vediamo ora come costruire i punti corrispondenti a nk . Congiungiamo i
punti Bn e A1 e tracciamo le parallele alla retta < Bn , A1 >, per i punti Bk e
intersechiamole con la retta < B0 , A1 >. Tracciando per queste intersezioni
le parallele a < A0 , B0 > e intersecandole con la retta a si ottengono i punti
A 1 , A 2 , . . . , A n−1 .
n
n
n
Unendo ripetutamente queste costruzioni si può ottenere qualsiasi valore
razionale sulla scala. Questa costruzione non è però proiettiva. La costruzione della parallela presuppone l’uso del compasso e quindi si basa su nozioni
metriche.
È possibile reinterpretare la costruzione in maniera puramente proiettiva,
sostituendo la richiesta di parallelismo con quella di passaggio per un punto
fissato di una retta fissata, che si può pensare come la retta all’infinito della
costruzione precedente. In altre parole, applicheremo una trasformazione
proiettiva che manda la retta all’infinito in una retta i al finito e sostituiamo
la costruzione di una parallela con quella di una retta per un punto di i.
68
Figura 2: Costruzione dei punti immagine di
k
n
Più precisamente, come indicato in in [113], p. 124, cominceremo con
due rette, a ed i, dove la seconda corrisponde alla retta all’infinito della
precedente costruzione affine. Il punto di intersezione I1 = i ∩ a corrisponde
alla direzione della retta a. Su a scegliamo due punti A0 e A1 , come nella
costruzione precedente. Alla retta b parallela ad a corrisponde ora una retta
b passante per I1 . Per il punto I2 = b ∩ i, dovranno passare tutte le rette che
nella costruzione precedente erano parallele a b.
La direzione della retta A1 B0 della precedente costruzione affine, corrisponde ora al punto I3 =< A1 , B0 > ∩i, per il quale devono passare tutte le
rette che prima erano parallele a < A1 , B0 >.
Con questa costruzione si possono rappresentare sulla retta a tutti i numeri razionali. Per rappresentare i numeri irrazionali, Von Staudt osserva
che definendo un numero reale con le sezioni di Dedekind di razionali, esso
è univocamente determinato dai razionali e quindi, attraverso un argomento
non perfettamente rigoroso, stabilisce un corrispondenza tra punti e numeri
reali in modo che il numero associato ad un punto si possa interpretare a
tutti gli effetti come il birapporto con i tre punti fissati A0 , A1 e I1 . Von
Staudt dimostra anche che la costruzione dipende solo da A0 , A1 e I1 e che
è indipendente dalle altre scelte.
Si noti che questa costruzione si può fare in una qualsiasi geometria che
soddisfi gli assiomi di incidenza. Non bastano tali assiomi però a garantire
che la corrispondenza sia iniettiva, né che sia suriettiva, né che permetta
69
Figura 3: Costruzione di Staudt
di definire un ordine sulla retta che sia in accordo con l’ordine dei numeri
razionali, né che sia continua. È necessario per questo, come osserva Klein,
aggiungere opportuni assiomi di ordine e continuità agli assiomi di incidenza.
Diversi matematici, tra cui Darboux, De Paolis ed Enriques, completano
la costruzione puramente proiettiva delle coordinate, superando le obiezioni
mosse da Klein.
To be able to consider von Staudt’s approach as a rigorous
foundation of projective geometry, one need only add explicitely
the topological axioms which are tacitly used by von Staudt [..]
how can one formulate the topology of projective space without
the support of a metric? Von Staudt was still far from raising
this question, which a quarter of a century later would become
urgent [...] Felix Klein noticed the gap in Von Staudt’s approach;
he was aware of the need to formulate the topology of projective
space independently of Euclidean space [...] The italians were the
first to find truly satisfactory solutions for the problem of a purely
projective foundation of projective geometry, which von Staudt
had tried to solve.
Freudenthal The impact of Von Staudt Foundations of
Geometry
70
Nell’approccio completamente sintetico e non metrico alla geometria proiettiva di Von Staudt, le coniche si possono definire in maniera puramente
proiettiva, a partire dalle correlazioni, cfr.7.4, come il luogo dei punti autoconiugati di una polarità, cioè il luogo dei punti che appartengono alla propria
polare. La definizione si estende alle quadriche38 .
Un altro contributo fondamentale di Von Staudt riguarda la teoria geometrica dei punti complessi. Per Von Staudt un punto complesso è una retta
orientata con una involuzione ellittica. La teoria è complicata e verrà completamente superata nell’approccio analitico con l’introduzione delle coordinate
proiettive complesse. Esiste però la possibilità di una semplice teoria sintetica
delle coppie di punti complessi coniugati che, per quasi tutte le applicazioni
alla geometria, è sufficiente. Questa teoria è dovuta a Corrado Segre, cfr.
[180].
Per associare ad ogni numero razionale α un punto P (α) di una retta
proiettiva è possibile anche utilizzare la costruzione del coniugato armonico.
Indichiamo con q(A, B, C) il coniugato armonico di C rispetto alla coppia
(A, B) e procediamo nel modo seguente. Scegliamo tre punti O, U e I sulla
retta, cui associamo rispettivamente 0, 1 e ∞ e quindi O = P (0), U = P (1)
e I = P (∞). Per n, m interi positivi definiamo:
• P (n) = q(P (n − 1), P (∞), P (n − 2));
• P (−n) = q(P (1 − n), P (∞), P (2 − n));
• P ( n1 ) = q(P (1), P (−1), P (n));
• P (m
) = q(P ( m−1
), P (∞), P ( m−2
));
n
n
n
• P (− m
) = q(P ( 1−m
), P (∞), P ( 2−m
));
n
n
n
A questo punto, è possibile usare il postulato di continuità di Dedekind per
associare ad ogni numero reale un punto della retta proiettiva e viceversa.
Esercizio Qual è il legame tra le due coordinatizzazioni?
10
Plücker
L’approccio analitico alla geometria proiettiva, iniziato da Möbius, venne
ulteriormente sviluppato da Plücker . Egli basò il suo approccio sull’uso delle coordinate omogenee, che introdusse in [141], indipendentemente
e contemporaneamente a Möbius, Feuerbach e Bobillier.
38
Per una dimostrazione del teorema di Pascal a partire da questo approccio alle coniche,
cfr. [?], p. xx.
71
Utilizzando l’approccio analitico fu in grado di giustificare in maniera convincente il principio generale di dualità. Nel piano, per esempio, introdusse
accanto alle coordinate omogenee di punto x0 , x1 , x2 le coordinate omogenee
di retta u0 , u1 , u2 , legate alle precedenti dall’equazione di incidenza
u0 x0 + u1 x1 + u2 x2 = 0.
(5)
che esprime analiticamente la condizione di incidenza tra punto e retta. Fissati i valori delle coordinate ui , l’equazione di incidenza ha come soluzioni
le coordinate dei punti della retta di coordinate ui . Viceversa, fissati i valori
delle coordinate xi , l’equazione di incidenza ha come soluzioni le coordinate
delle rette del fascio per il punto di coordinate xi . La dualità, secondo l’approccio analitico di Plücker , è semplicemente conseguenza della simmetria
con cui le coordinate di punto e quelle di retta entrano nella relazione di
incidenza (5).
L’approccio di Plücker , pur essendo caratterizzato da un uso degli strumenti analitici più sistematico rispetto agli altri geometri proiettivi a lui
contemporanei, è comunque molto geometrico e si può dire che mostri una
completa fusione delle formule con le costruzioni geometriche, cfr. [113], p.
xx. Nei lavori di Plücker , le equazioni sono sempre tradotte in termini
geometrici e le operazioni analitiche sono sempre riferite al loro contenuto
geometrico. I calcoli vengono evitati finché possibile e l’intuizione geometrica è costantemente utilizzata per motivarli e semplificarli. Questo punto di
vista eclettico era in stridente contrasto con le vedute integraliste di Steiner, che polemizzò fortemente con Plücker . Steiner minacciò di smettere di
pubblicare sulla rivista del suo amico e sostenitore Crelle, se questi avesse
continuato a pubblicare i lavori di Plücker . La polemica convince Plücker
ad abbandonare la matematica per occuparsi di fisica, dove produsse risultati
di grande rilievo nel campo sperimentale, [113], p. xx. Tornò ad occuparsi di
geometria verso la fine della carriera, in tempo per spalancare le porte ad un
nuovo e promettente campo di ricerche, la geometria delle rette dello spazio,
trattata in [145]. Si tratta di un lavoro di importanza fondamentale, in quanto aggiunge una nuova prospettiva alla geometria: uno spazio geometrico non
solo può essere generato da elementi diversi dai punti, come Poncelet, Steiner
e Möbius avevano già capito e ampiamente utilizzato, ma può anche avere
una dimensione maggiore di tre e una struttura globale diversa da quella di
uno spazio proiettivo.
Plücker diede anche importanti contributi alla teoria delle curve algebriche, dimostrando, tra l’altro, le formule di Plücker per le curve algebriche
piane dotate di singolarità non troppo elevate, che vincolano gli invarianti
proiettivi della curva e della sua duale, e di cui tratteremo nel capitolo [158]
72
dedicato alla teoria delle curve algebriche piane. Una di queste formule era
già nota a Poncelet, come abbiamo già ricordato a p. 27.
Plücker fu il maestro di Felix Klein, che curerà l’edizione postuma del
secondo volume dell’opera di Plücker sulla geometria delle rette, da cui trasse
grande ispirazione per la sua visione della geometria. Un’altro grandissimo
geometra che sviluppò le idee di Plücker fu Sophus Lie, la cui teoria geometrica delle equazioni differenziali si può ritenere come uno sviluppo dell’idea
plückeriana di considerare geometricamente spazi di enti omogenei.
Torneremo a parlare del lavoro di Plücker nella sezione sulle curve algebriche piane e in quella sulla geometria superiore.
10.1
Dimostrazione di Plücker del teorema di Pascal
Presentiamo una dimostrazione del teorema di Pascal sull’esagono circoscritto ad una conica, dovuta a Plücker (cfr. [113]), per illustrare in un semplice
esempio le caratteristiche della sua matematica, che fonde intuizione geometrica e strumenti analitici, e perché si tratta di un caso particolare del
teorema di Cayley - Bacharach(cfr [?])
Siano p, p0 , q, q 0 e r, r0 le coppie di rette opposte in un esagono completo
inscritto in una conica. Allora pqr − µp0 q 0 r0 è un fascio di curve del terzo
ordine per i nove punti di intersezione delle due cubiche p + q + r e p0 + q 0 + r0 .
Siccome 6 dei nove punti sono su una conica per ipotesi, possiamo scegliere il
parametro µ imponendo il passaggio per un settimo punto della conica. Per
il teorema di Bezout, questa cubica contiene la conica come componente e
quindi si spezza in una conica e in una retta, che contiene gli altri tre punti39
39
Per l’attribuzione di questa dimostrazione a Plücker, cfr. [82], note Libro II, p.238,
dove viene riportato il riferimento a [141], Bd1, p. 267.
73
11
La diffusione della geometria proiettiva in
Europa
Nella prima metà del diciannovesimo secolo, esplose l’interesse per la geometria proiettiva. Dice Cremona nella prolusione al primo corso di Geometria
superiore insegnato nelle Università italiane
Se il nostro secolo ha procacciato all’analisi straordinari aumenti, la geometria non è certamente rimasta immobile, Poncelet, Steiner, Möbius, Chasles co’ loro meravigliosi metodi di
derivazione hanno rivelato mondi sconosciuti, hanno creato una
nuova scienza. Si è questa giovane figlia del genio del secolo attuale, questa splendida geometria impropriamente detta superiore
e che assai meglio appellerebbesi moderna, ch’io son chiamato a
farvi conoscere
In Francia, dopo la generazione di Poncelet, Gergonne e Briançhon, ricordiamo i contributi di Chasles e de Jonquières.
11.1
Chasles
In [44] Chasles presenta un’analisi storica accurata dello sviluppo della geometria, dai greci ai suoi tempii, corredata di numerosi approfondimenti e
complementi originali. Quasi tutto quello che pubblicò successivamente trae
origine da questo suo primo lavoro. Purtroppo non vengono considerati i
contributi dei matematici tedeschi perché l’autore non conoscva il tedesco.
Si trovò cosı̀ a introdurre concetti e tecniche sviluppati contemporaneamente
anche da altri, come per esempio la nozione di birapporto, di cui fece largo
uso, e che anche Möbius aveva introdotto indipendentemente. I libri [46, 45]
ebbero grande influenza per lo sviluppo della geometria proiettiva in Francia
e in Italia. Furono, insieme ai libri di Steiner, i riferimenti principali di Cremona. In essi introdusse i concetti di birapporto, fascio di curve e involuzione
e li applicò allo studio delle proprietà delle coniche.
Tra i suoi contributi più importanti ci sono i lavori sul numero di coniche
tangenti a cinque coniche assegnate. Il problema fu risolto in maniera errata
da Steiner che diede come risposta 7776. Per ottenere la risposta esatta,
3264, Chasles sviluppò per primo i metodi della geometria enumerativa, che
solo nella seconda metà del secolo scorso ricevette fondamenti adeguati, cfr.
[109].
Negli ultimi anni della sua vita Chasles fu amareggiato da una frode ai
suoi danni che ne minò la reputazione. Gli furono venduti manoscritti falsi
74
di Newton e Pascal in base ai quali risultava che Pascal avesse preceduto
Newton nella formulazione della legge universale della gravitazione. Chasles
presentò all’Accademia di Francia quei manoscritti come autentici, sollevando una grande controversia che portò all’accusa di frode nei confronti di chi
aveva venduto i manoscritti a Chasles. Nel processo che seguı̀, Chasles dovette ammettere di aver ingenuamente creduto non solo all’autenticità dei
manoscritti di Newton e Pascal, ma anche di altri attribuiti a Galileo e a
Cleopatra e scritti in Francese!
11.2
de Jonquières
Un’altra figura prestigiosa per la geometria proiettiva francese fu quella di
de Joinquières. Allievo di Chasles, dimostrò subito grandi capacità nell’ affrontare e risolvere i problemi che gli vengono posti dal maestro. Scelse la
carriera militare nella marina francese, dove arrivò a ricoprire la carica di
Ammiraglio, e continuò ad occuparsi di geometria nei ritagli di tempo. Pur
non avendo la creatività di Poncelet e Steiner diede contributi originali a molte questioni di geometria. Scoprı̀ i primi esempi di trasformazioni birazionali
diversi dalle trasformazioni quadratiche, che vennero poste all’attenzione dei
geometri in tutta la loro generalità da Cremona. Pur riscoprendole indipendentemente da de Jonquières, Cremona ne darà ampio credito al matematico
francese appena viene a conoscenza dei suoi risultati.
Ha una dura polemica con Chasles sulla priorità della scoperta del principio di corrispondenza, che è fondamentale nell’approccio du Chasles ai problemi di geometria enumerativa. In un dettagliato articolo pubblicato da
Corrado Segre [181], si restituiscono a de Jonquières i meriti della scoperta. L’interessante corrispondenza tra de Jonquières e Cremona è raccolta in
[167].
11.3
Cayley, Sylvester e Salmon
Alla metà degli diciannovesimo secolo i matematici britannici svilupparono
per primi un nuovo approccio algebrico alla geometria proiettiva. Si tratta
della teoria degli invarianti . Nasce nel 1848 con un articolo di G. Boole, per
essere poi sviluppata da Cayley, Sylvester e Salmon, che ne danno numerose
applicazioni alla geometria.
Una curva algebrica piana o una superficie dello spazio, sono descritte da
un polinomio omogeneo in tre o in quattro variabili rispettivamente. Tale
descrizione dipende dalla scelta di un sistema di riferimento proiettivo. Cambiando il riferimento, l’equazione che descrive la curva o la superficie cambia
per una sostituzione lineare delle variabili. L’idea della teoria degli invarianti
75
è che gli oggetti analitici che si possono costruire con i coefficienti di un polinomio omogeneo e che hanno significato geometrico devono essere invarianti
o covarianti per sostituzioni lineari. Di qui il programma di determinare i covarianti dei polinomi omogenei di dato grado in un numero fissato di variabili
e di fornirne l’interpretazione geometrica. Tra i covarianti di una polinomio
omogeneo ci sono ad esempio le polari e l’Hessiana, che sono fondamentali
per lo studio delle proprietà geometriche della varietà algebrica associata al
polinomio. Daremo maggiori dettagli nel capitolo sulla storia della teoria
degli invarianti.
12
La geometria proiettiva in Italia
Mentre in Francia e in Germania le teorie proiettive eran oggetto di ricerche numerose e coi trattati del Poncelet, del Möbius,
dello Steiner e dello Staudt, nel venticinquennio intercorso tra il
1822 e il 1847, raggiungevano un assetto presso che definitivo,
in Italia ben poco di esse era penetrato.; quando il Cremona, con
le note apposte, sugli esemplari a stampa, alla prolusione con la
qule nel 1860 inaugurò il suo corso di geometria superiore nell’Università di Bologna, volle pur dare un qualche cenno di quanto
in Italia si veniva facendo per diffondere e far progredire le nuove
teorie geometriche, egli non potè citare che i saggi del Bellavitis e
alcuni corsi di lezioni tenuti dal Gabba nell’Università di Pavia.
Nè miglior conoscenza si ebbe fra di noi delle belle ricerche
algebrico-geometriche del Plücker, del Salmon, del Cayley e del
Sylvester, con le quali mediante l’introduzione di sistemi di coordinate più adatti di quello cartesiano alle nuove esigenze, la geometria analitica veniva ad essere svecchiata e sveltita, ed a stabilire fra le nuove teorie algebriche e la geometria proiettiva legami altrettanto stretti quanto quelli già fissati, fin dai tempi del
Descartes fra l’algebra ordinaria e la geometria classica de greci.
Bisognò che si arrivasse al 1860 perché con la creazione di
cattedre apposite, affidate a Bologna, al Cremona, ed a Napoli, al
Battaglini, l’importanza della geometria moderna fosse ufficialmente riconosciuta. [175], pp. 122-123.
Gli interessi scientifici di Luigi Cremona si riferirono quasi esclusivamente
alla geometria proiettiva. Gli fu conferito per due volte il premio Steiner per
i suoi lavori sulle curve e sulle superfici e in particolare per le sue indagini
sulle superfici del terzo ordine. Secondo le parole del necrologio di Noether,
76
questi lavori hanno nutrito una generazione di matematici tedeschi. Il suo
nome è indissolubilmente legato alla scoperta delle trasformazioni razionali
del piano proiettivo in sé, chiamate oggi trasformazioni di Cremona.
Se io dovessi con poche parole, necessariamente imprecise, caratterizzare la posizione scientifica del Cremona, direi che nella
geometria algebrica, ramo da lui prediletto, egli chiude un’epoca
per aprirne una nuova.
Egli chiude l’epoca d’oro della geometria proiettiva, disciplina che, elevata al grado di scienza dal Poncelet sul principio del
secolo scorso, fu stimata degna di stare a fianco della geometria
elementare tramandata dai Greci, grazie al rigore dei metodi e
all’elegante semplicità dei risultati. La proiettiva, dopo aver fatto
le sue prove nello studio di figure elementari quali le coniche, affrontò verso la metà del secolo passato le ricerche sopra enti più
elevati, come le curve e le superficie algebriche. Queste ricerche
avevano veramente avuto inizio prima che il Cremona si affacciasse alla scienza; ma i metodi erano ancora imperfetti, molti
teoremi erano stati enunciati senza dimostrazione, e mancavano
i legami fra i vari risultati. Riprendendo le questioni dell’origine
il Cremona rivelò subito la potenza del suo ingegno. Egli perfezionò anzitutto i procedimenti di indagine fondendo nel modo
più abile l’intuizione geometrica con alcuni risultati tolti dall’algebra. E questi procedimenti seppe adoperare con tale sagacia da
permettere alla nuova algebra geometrica di scoprire, spesso senza sforzo, proprietà riposte che l’algebra classica, appesantita dal
bagaglio delle formole, solo con fatica riuscı̀ a ritrovare. Egli poté
cosı̀ ricostruire in modo organico la teoria generale delle curve e
superficie algebriche, ed esporla in due monografie40 che possono
riguardarsi come una trattazione completa del soggetto, tenendo
conto dell’epoca in cui apparvero. In varie memorie staccate approfondı̀ poi lo studio delle curve sghembe dei primi ordini, della
superficie cubica e di alcune particolari superficie del quarto e del
quinto ordine. Questi lavori sono ammirabili, non solo per l’acume con cui la ricerca è condotta, ma pure per la eleganza della
forma, per il sentimento artistico che la ispira. Il gusto del bello
doveva essere una dote della famiglia Cremona; essa appare infatti tanto negli scritti del grande matematico, quanto nei quadri
del fratello minore Tranquillo che, morto quarantenne, ha pur la40
citecremona1, cremona5
77
sciato un nome cospicuo come uno dei più originali ed espressivi
pittori italiani del secolo scorso.
Nel campo della geometria proiettiva algebrica Luigi Cremona
lavorò con tale intensità e profondità da togliere ai successori la
speranza di facili raccolti. Non già che siano esauriti i problemi,
ma quelli che restano sembrano esigere per la loro risoluzione uno
sforzo spesso superiore all’interesse dell’argomento. E perciò che
possiamo vedere in Luigi Cremona il maggiore e forse l’ultimo dei
grandi cultori della geometria algebrica proiettiva.
Egli ebbe però, come già accennai, il merito e la fortuna di
aprire un nuovo indirizzo di ricerche. Trova questo il suo inizio
in due memorie del 1863 – 6441 ove sono studiate quelle trasformazioni alle quali il suo nome è rimasto legato, trasformazioni
fra due piani che mutano punti in punti e rette in curve algebriche. Alle dette memorie altre si riattaccano ove la teoria delle
trasformazioni cremoniane viene estesa allo spazio ed applicata
ad ottenere la rappresentazione piana della superficie cubica e di
altre particolari superficie. Introdurre nella geometria un nuovo
gruppo di trasformazioni, non costruite artificialmente, ma imposte dalla natura stessa dei problemi, vuol dire, in primo luogo,
offrire il mezzo di trasportare proprietà note di enti semplici ad
enti più complessi ottenuti dai primi mediante le dette trasformazioni; ma vuol dire, in secondo luogo, dar origine allo studio
di quelle proprietà geometriche che non vengono alterate dalle
trasformazioni stesse. Di queste due parti del programma che
la scoperta del Cremona permetteva di formulare, egli svolse la
prima; essa comprende, come dissi, i procedimenti impiegati da
lui per rappresentare birazionalmente sopra un piano particolari superficie, i quali procedimenti segnano l’inizio di un capitolo
che pres più tardi un ampio sviluppo. La seconda parte del programma, ravvivata anche con idee provenienti da altre scuole, ha
ispirato le principali ricerche che nel campo della geometria algebrica furono condotte nell’ultimo cinquantennio. Ed anche in
queste ricerche i metodi che il Cremona aveva adoperato o introdotto nella geometria algebrica proiettiva, dimostrarono la loro
fecondità. Castelnuovo G., [41]
41
cremona2,cremona8
78
Riferimenti bibliografici
[1] Abel N. H., Oeuvres Complètes, 2 voll., Holmboe B., (ed.), Gröndal,
Christiania, 1839.
https://archive.org/details/oeuvrescomplte01abel
https://archive.org/details/oeuvrescomplte02abel
[2] Abel N. H., “Recherches sur les fonctions elliptiques”, J. für Math., 2,
(1827), 101 – 181.
https://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PID=PPN243919689_
0002%7Clog18
[3] Abel N. H., “Mémoire sur une propriété générale d’une classe trés
étendue de fonctions transcendantes”, Mémoires présentés par divers
savants 8, Paris, 1841. Anche in Ouvres complètes, 145 – 211.
[4] Apollonio di Perga, Treatise on conic sections, Heath T. L. (ed.),
Cambridge University Press, Cambridge, 1896.
[5] Arbarello E., Cornalba M., Griffith P., Harris J., Geometry of algebraic
curves, vol. I, Springer, New York, 1985.
[6] Arbarello E., Cornalba M., Griffith P., Geometry of algebraic curves,
vol. II, Springer, New York, 2011.
[7] Boole G., “Researches on the theory of analytical transformations, with
a special application to the reduction of the general equation of the
second order”, Cambridge Mathematical Journal, 2, (1841), 65 – 73.
[8] Boole G., “Exposition of a general theory of linear transformations, Part
I”, Cambridge Mathematical Journal, 3, (1841), 1 – 20.
[9] Boole G., “Exposition of a general theory of linear transformations, Part
II”, Cambridge Mathematical Journal, 3, (1842), 106 – 119.
[10] Avellone M., Brigaglia A., Zappulla C., “The foundation of projective
geometry in Italy from De Paolis to Pieri”, Archive for History of Exact
Sciences, 56 (5), (2002), 363 – 425.
[11] Ayres F., Projective geometry, Schaum outline series, Mc Graw Hill,
New York, 1967.
79
[12] Babbit D., Goodstein J., “Federigo Enriques’s Quest to Prove the Completeness Theorem”, Notices of the American Mathematical Society, 58
(2), (2011), 240 – 249.
[13] Baker, Principles of geometry, Cambridge University Press, Cambridge,
1923.
https://archive.org/details/principlesofgeom03bake
[14] Bellacchi G. Introduzione storica alla teoria delle funzioni ellittiche,
Tipografia Berbera, Firenze, 1894.
https://archive.org/details/introduzionestor00belluoft
[15] Bellavitis G., ”Saggio di geometria derivata” in Nuovi saggi d. imperiale
regia Accad. di scienze lettere ed arti in Padova, 4, (1838), 243 – 288.
https://books.google.it/books?id=yNBOAAAAYAAJ&pg=PA243&lpg=
PA243&dq=saggio+di+geometria+derivata+bellavitis&source=bl&
ots=TvxVinV22V&sig=e4mkaAEyJlKVbo6ia01IYczvILo&hl=it&sa=X&
ved=0CDYQ6AEwA2oVChMI34CC5ZDQyAIVidMaCh0KzwA6#v=onepage&q=
saggio%20di%20geometria%20derivata%20bellavitis&f=false
[16] Becchi A., Bertoloni Meli D., Gamba E., eds. Guidobaldo del Monte
(1545 – 1607). Theory and Practice of the Mathematical Disciplines
from Urbino to Europe, Edition Open access.
http://www.edition-open-sources.org/proceedings/4/toc.html
[17] Beltrametti M., Carletti E., Gallarati D., Monti Bragadin G. Lezioni di
geometria analitica e proiettiva, Bollati Boringhieri, Torino, 2002.
[18] Beltrametti M., Carletti E., Gallarati D., Monti Bragadin G. Lectures
on curves, surfaces and projective varieties, EMS, Zurich, 2009.
[19] Bertini E., “La geometria delle serie lineari sopra una curva piana secondo il metodo algebrico”, Annali di Matematica pura e applicata, 22
(2), (1894), 1-40.
[20] Bertini E., Introduzione alla Geometria proiettiva degli iperspazi,
Spoerri, Pisa, 1907.
[21] Bertini E., “Della vita e delle opere di Luigi Cremona”, in Opere
matematiche di Luigi Cremona, Milano, 3, 1917, v-xxii.
http://www.luigi-cremona.it/download/Scritti_biografici/
Biografia_Bertini.pdf.
80
[22] Betti E., “Sopra gli spazi di un numero qualunque di dimensioni”, Annali
di matematica pura ed applicata, 4 (1), (1871), 140 – 158.
http://rcin.org.pl/Content/35231/WA35_18220_7084_
Sopra-gli-spazi.pdf
[23] Bianchi L., Lezioni di geometria analitica, Pisa, Spoerri, 1915.
[24] Borgato M. T. “Continuity and discontinuity in italian mathematics
after the unification: from Brioschi to Peano”, Organon, 41, 2009.
[25] Bosse, Maniére universelle de M. Desargues pour pratiquer la
perspective, etc., Pierre Des-Hayes, Paris, 1648.
[26] Bottazzini U., “Luigi Cremona” in Dizionario biografico degli italiani,
ad vocem.
[27] Bottazzini U., Va’ pensiero: Immagini della matematica nell’Italia
dell’ottocento, Il mulino, Bologna, 1994.
[28] Bottazzini U., L’Italia dall’Unità alla prima guerra mondiale”, in La
matematica, vol. 1, a cura di Bartocci C., e Odifreddi P., Einaudi,
Torino.
[29] Bottazzini U., “Francesco Brioschi e la cultura scientifica nell’Italia postunitaria”, Bollettino dell’Unione Matematica Italiana, S. 8, vol 1-A, La
matematica nella società e nella Cultura, 1, (1998), 59 – 78.
[30] Bottazzini U., Nastasi P., La patria ci vuole eroi, Zanichelli, Bologna,
2013.
[31] Boyer C.B., Storia della matematica, Mondadori, Milano 1990.
[32] Briançon, Charles Julien., Journal de l’Ecole polythecnique, chaier 13,
Paris, 1806.
[33] Brigaglia A. Il risorgimento della matematica italiana: da Genocchia a
Cremona.
http://docplayer.it/21260035-Il-risorgimento-e-la-rinascita-della-matematica
html
[34] Brigaglia A., “Luigi Cremona e la nuova scuola della nuova Italia: dagli
obiettivi ai contenuti e alla loro valutazione”, in XXV Convegno Nazionale UMI-CIIM sull’insegnamento della matematica ”Valutare in matematica”, Siena, 27-29 Ottobre 2005, Anichini G. e D’Aprile M. (eds.),
UMI, Bologna, 2006, 31-40.
81
[35] Brigaglia A., Di Sieno S., “The Luigi Cremona Archive of the Mazzini
Institute of Genoa”, Historia Mathematica, 38 (1), (2011), 96 – 110.
[36] Brioschi F., La teorica dei determinanti e le sue principali applicazioni,
Bizzoni, Pavia, 1854.
[37] Briot B., Bouquet J. C., Leçons de Géométrie Analytique, Delagrave,
Paris, 1893.
[38] Brunschvicg L., Les étapes de la philosophie mathématique, F. Alcan,
Paris, 1912.
https://archive.org/details/lestapesdelaph00brun
[39] Carnot L.N.M., Géométrie de position, J.B.M.Duprat, Paris, 1803.
[40] Casorati F., Teorica delle funzioni di variabile complessa, Tipografia dei
fratelli Fusi, Pavia, 1868.
http://mathematica.sns.it/opere/18/
[41] Castelnuovo G., “Luigi Cremona, nel centenario della nascita Commemorazione”, in Rendiconti della Reale Accademia dei Lincei, s. VI, 12,
(1930), 613 – 618.
http://www.luigi-cremona.it/download/Scritti_biografici/
Biografia_Castelnuovo.pdf.
[42] G. Castelnuovo, Lezioni di geometria analitica e proiettiva, Albrighi e
Segati, Roma, 1904.
https://archive.org/details/lezionidegeoanal00castrich
[43] Catastini L., Ghione F., Forme del pensiero artistico, Springer, Milano,
2011.
[44] Chasles M., Aperçu historique sur l’origine et le développement des
méthodes en géométrie, Gauthier-Villars,Imprimeur-Libraire, Paris,
1875.
https://archive.org/details/aperuhistoriq00chas
[45] Chasles M., Traité des sectiones-coniques, Gauthier-Villars, Paris, 1865.
[46] Chasles M., Traité de Géométrie Supérieure, Gauthier-Villars, Paris,
1880.
https://archive.org/details/traitdegomtries03chasgoog
82
[47] Chasles M., Les trois livres de porismes d’Euclide, rétablis pour la première fois d’aprés la notice et les lemmes de Pappus, etc., Mallet –
Bachelier, Paris 1860.
http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k99381n.r=Les+trois+
livres+de+porismes+d’Euclide.langFR
[48] Ciani E., Il metodo delle coordinate proiettive omogenee nello studio degli
enti algebrici, Spoerri, Pisa 1915.
[49] Clebsch A., “Über die Anwendung der Abelschen Functionen in der
Geometrie”, J. für Math., 63, (1864), 189 – 243.
https://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PID=
GDZPPN002152231
[50] Clebsch A., Vorlesungen über Geometrie, Lindemann, Lipsia 1875-6.
Trad. francese di A. Benoist, Parigi, 1876, (t. I).
[51] Cooke R., “Abel’s Theorem”, in Rowe D. E. - Mc Cleary J., The history
of modern mathematics, vol I, Academic Press, New York, 1989.
[52] Conforto F., Superficie razionali, Zanichelli, Bologna, 1939.
[53] Cotes R., Harmonia Mensurarum, Cantabrigiae, 1722.
http://www.e-rara.ch/zut/content/titleinfo/1255698
[54] Coxeter H, Projective geometry, Springer, New York, 2003.
[55] Coxeter H., Introduction to Geometry (2nd ed.), John Wiley & Sons,
New York, 1969.
[56] Coxeter H., regular Polytopes, Dover publications, New York, 1973.
[57] Coxeter H., Non euclidean geometry, 6th ed., The mathematical
association of America,Washington, 1998.
[58] Cramer G., Introduction à l’analyse des lignes courbes algébriques,
Cramer & Philibert, Geneve, 1850.
[59] Cremona Luigi, Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane,
Tipi Gamberini e Parmeggiani, Bologna, 1862.
https://archive.org/details/introduzioneadun00cremuoft
83
[60] Cremona L., “Sulle trasformazioni geometriche delle curve piane. Nota
I”, Annali di Matematica pura ed applicata, 6, (1864), 153-168.
https://it.wikisource.org/wiki/Sulle_trasformazioni_
geometriche_delle_figure_piane._Nota_I_(Cremona)
[61] Cremona L., “Sulle trasformazioni geometriche delle curve piane. Nota
II”, Memorie dell’ Accademia delle Scienze dell’ Istituto di Bologna, s.
II, t. V, (1865), 3 – 35. Giornale di Matematiche, III, (1865), 269 – 280,
363 – 376.
https://it.wikisource.org/wiki/Sulle_trasformazioni_
geometriche_delle_figure_piane,_nota_II_(Cremona)
[62] Cremona L., Elementi di geometria projettiva, Roma, Paravia, 1873.
[63] Cremona L., “Prolusione ad un corso di geometria superiore”, Il
Politecnico, 10, 1861, 22 – 42.
[64] Cremona L., Preliminari ad una teoria geometrica delle superfici, Tipi
Gamberini e Parmeggiani, Bologna, 1866.
https://archive.org/details/preliminaridiuna00cremuoft.
[65] Cremona L., “Considerazioni di storia della geometria ecc.”, Il Politecnico, 9, (1860), 286 – 323. Anche in Opere, vol. 1, 185 –
222.
[66] Cremona L., “Trattato di prospettiva - rilievo di M. Poudra”, Il
Politecnico, 11, (1861), 103-108. Anche in Opere, vol. 1, 254 – 259.
[67] Cremona L., Opere, 3 voll., Hoepli, Milano, 1914 – 17,
http://mathematica.sns.it/opere/446/
[68] Dahan-Dalmedico A., Peiffer J., Une histoire des mathématiques,
éditions du Seuil, Paris, 1986.
[69] De Gua J. P., Usage de l’Analyse de Descartes pour découvrir sans le
sécours du calcul différentiel les propiétés ou affections principales des
lignes géométriques de tous les ordres, Paris, 1740.
[70] De la Hire, Sectiones conicae, Michallet, Paris, 1685.
http://bdh-rd.bne.es/viewer.vm?id=0000084822&page=1
84
[71] Del Centina A (a cura di). Storia delle Funzioni ellittiche e abeliane,
http:/web.unife.it/progetti/geometria/divulg/
Funzioniellittiche/index.htm
[72] Del Centina La memoria parigina di Abel.
http://dm.unife.it/geometria/storia/Pristem.pdf
[73] Desargues G., Oeuvres réunies et analysées par M. Poudra, Leiber,
Paris, 1864, t. I: Broullion-project d’une atteints aux événemenis des
rencontres d’un cone avec un plan (1639).
http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k993793
[74] Dolgachev, Classical algebraic geometry: a modern view, Cambridge
University Press, Cambridge, 2012.
[75] Dolgachev I., Luigi Cremona and cubic surfaces, Incontro di Studio n.36,
Luigi Cremona, Convegno di Studi matematici, Istituto Lombardo di
Scienze e Lettere, Milano, 2005, pp. 55-70.
[76] D’Ovidio E., Geometria Analitica (3a ed.), F. lli Bocca, Torino, 1903.
https://archive.org/details/geometriaanalit01ovidgoog
[77] Edwards H., Essays on constructive mathematics, Springer, New York,
2005.
[78] Edwards H., “Abel’s view of Abel theorem”.
http://math.nyu.edu/faculty/edwardsd/baltimore.pdf
[79] El Kacimi Alaoui Aziz, Géométrie euclidienne élémentaire, Ellipses,
Paris, 2012.
[80] Encyclopedia of Mathematcs, Springer.
https://www.encyclopediaofmath.org
[81] Enriques F., Lezioni di geometria proiettiva, Zanichelli, Bologna, 1898.
[82] Enriques F., Chisini O., Lezioni sulla teoria geometrica delle equazioni
algebriche di una variabile, 3 voll., Zanichelli, Bologna, 1912-1923.
[83] Enriques F., Lezioni di Geometria Descrittiva, Zanichelli, Bologna, 1902.
[84] Euler L., Introductio in analysim infinitorum, 1748. In Leonhardi Euleri
Opera Omnia,, S. I, vol. 8, Teubner, Berlin, 1922.
85
[85] Freudenthal, “The impact of Von Staudt Foundations of Geometry”,
in Geometry – Von Staudt’s point of view, Springer Netherlands,
Dordrecht, (1981), 401 – 425.
[86] Fulton W., Algebraic curves, an introduction to algebraic geometry,
Addison Wesley, Boston, 1989.
http://www.math.lsa.umich.edu/~wfulton/CurveBook.pdf
[87] Gauss K. F., Disquisitiones generales circa superficies curvas, Typis Dieterichianis, Göttingen, 1828. https://archive.org/details/
disquisitionesg00gausgoog
[88] Gergonne J. D., “Géométrie analitique. Théorie analitique des pôles des
lignes et des surfaces du second ordre”, Annales de Mathématiques pures
et appliquées, 3, (1812-13), 293 – 30.
http://archive.numdam.org/ARCHIVE/AMPA/AMPA_1812-1813__3_
/AMPA_1812-1813__3__293_0/AMPA_1812-1813__3__293_0.pdf
[89] Gergonne J. D., “Réflexion sur le précédent article”, Annales de
Mathématiques pures et appliquées, 17, (1826-27), 272 – 276.
http://archive.numdam.org/ARCHIVE/AMPA/AMPA_1826-1827__17_
/AMPA_1826-1827__17__272_1/AMPA_1826-1827__17__272_1.pdf
[90] Gergonne J. D., “Polémique mathématique. Réclamation de M. le capitaine Poncelet (extraite du bulletin universel des annonces et nouvelles scientifiques); avec des notes”, Annales de Mathématiques pures et
appliquées, 18, (1827-28), 125.
[91] Gibson C.G., Elementary Geometry of Algebraic Curves: An Undergraduate Introduction, Cambridge University Press, Cambridge,
1998.
[92] Gray J., Worlds Out of Nothing: A Course in the History of Geometry
in the 19th Century, Springer, London, 2007.
[93] Gray J. “Who would have won the fields Medals a Hundred Years ago?”,
Mathematical conversations, 7 (3), (1985), 418 – 28.
[94] Griffiths P., “Variation on a theorem of Abel”, Inventiones Math., 35,
(1976), 321 – 390.
[95] Gueraggio A., Nastasi, P., L’Italia degli scienziati, Bruno Mondadori,
Milano, 2010.
86
[96] Guidobaldo dal Monte, I sei libri della prospettiva di Guidobaldo dei
marchesi Del Monte dal latino tradotti interpretati (ed. R. Sinisgalli),
L’Erma di Bretschneider Editrice, Roma, 1984.
[97] Harris J., Algebraic geometry, a first course, Springer, New York, 1992.
[98] Hermite C., Histoire de la Science, in Enciclopédie de la Pléiade, 1957,
p. 630.
[99] Hesse O., Vorlesungen aus der analytischen Geometrie der gerade Linie,
des Punktes und des Kreises in der Ebene, Teubner, Leipzig, 1873.
http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;
idno=ABR0978.0001.001
[100] Hestenes D., “The design of linear algebra and geometry”, Acta
Applicandae Mathematicae, 23, (1991), 65-93.
[101] Hestenes D., Ziegler R., “Projective geometry with clifford algebra”,
Acta Applicandae Mathematicae, 23, (1991), 25 – 63.
[102] Istituto dell’Enciclopedia Italiana, Enciclopedia Italiana di Scienze Arti
e Lettere. 1929.
[103] Istituto dell’enciclopedia Treccani. Il contributo italiano alla storia del
pensiero - Scienze.
[104] Istituto dell’enciclopedia Treccani. Storia della scienza.
[105] Istituto dell’enciclopedia Treccani. Dizionario biografico degli italiani.
[106] Jessop C. M., A treatise on the Line complex, Cambridge University
Press, Cambridge, 1903.
https://archive.org/details/treatiseonlineco00jessuoft
[107] de Jonquières E., Mélanges de Géométrie pure, Mallet – Bachelier,
Paris, 1856.
https://archive.org/details/mlangesdegomtri00unkngoog
[108] de Jonquières E., ”Mémoire sur la théorie des poles et polaires etc.”
Journal de M. Liouville, S. 2, 2, (1857), 249 – 266.
http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1857_2_2_A21_0.pdf
87
[109] Kleiman S. L., “Chasles’s enumerative theory of conics : a historical
introduction”, in Studies in algebraic geometry, MAA Stud. Math. 20,
Math. Assoc. America, Washington, (1980), 117 – 138.
[110] Kleiman S., “What is Abel’s theorem anyway”, in The legacy of Niels
Henrik Abel, Springer, New York, 2002.
[111] Kleiman S., Laksov D., “Schubert Calculus”,
Mathematical Monthly, 79 (10), (1972), 1061 – 1082.
The American
[112] Klein F., “Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische
Forschungen”, Math. Ann., 43 (1893), 63?100
[113] Klein F., Developement of mathematics in the 19th century in Lie
Groups Series, vol.9, Math Ci Press, Brookline, Massachussetts, 1979.
[114] Klein F., On Riemann’s Theory of Algebraic Functions and their
Integrals, Dover publications, Mineola N. Y., 1963.
http://www.gutenberg.org/ebooks/36959
[115] Kolmogorov A. N., Yushkevich A. P. (ed.), Mathematics of the 19th
Century, Boston, Birkhäuser, 1996.
[116] Lambert, Freye perspektive, 2e ed., Zürich, 1774.
[117] Legendre A. M., Traité des fonctions elliptiques, 3 voll., Huzard –
Courcier, Paris, 1825-1828.
http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k110147r
http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k1101484
http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k110149h
[118] Loria G., , Il passato ed il presente delle principali teorie geometriche,
2. ed., Clausen, Torino, 1896.
[119] Loria G., “Luigi Cremona et son oeuvre mathématique”, Biblioteca
Matematica, 5 (3), (1904), 125 – 195.
http://www.luigi-cremona.it/download/Scritti_biografici/
Biografia_Loria.pdf.
[120] Mac-Laurin C., Geometria organica sive descriptio linearum curvarum
universalis, Innys, London, 1720.
https://archive.org/details/geometriaorgani00maclgoog
88
[121] Mac-Laurin C., A treatise of algebra in three parts, London, 1720. A
french translation with additions is in[107]
https://archive.org/details/atreatisealgebr03maclgoog
[122] H.P. Manning, The Geometry of fourth dimension, The Macmillan
Company, New York, 1914.
[123] Masetti M., La prospettiva e la costruzione dello spazio figurativo,
Youcanprint Self - Publishing, Trecase, 2014.
[124] Masetti M., La prospettiva scenica e tridimensionale, Pitagora,
Bologna, 2009.
[125] Masotti A., I matematici nella storia di Milano, Storia di Milano,
Fondazione Treccani, Milano, vol. XVI, 24 – 28.
[126] Möbius, Der barycentrische Calcul, Barth, Leipzig, 1827.
http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k99419h/f25
[127] Monge G., Geometrie descriptive, 7a ed., Bachelier, Paris, 1847.
https://archive.org/details/gomtriedescript00monggoog
[128] Monge G., Application de l’Analyse à la géométrie, 5a ed., Bachelier,
Paris, 1850.
https://archive.org/details/applicationdela00monggoog
[129] Moulton F. R., “A Simple Non-Desarguesian Plane Geometry”
Transactions of the American Mathematical Society 3 (2), (1902),
192-195.
[130] Munford D., Curves and their Jacobians, University of Michigan Press,
Ann Arbor, 1975.
[131] Nastasi P., “I congressi degli scienziati (1839-1847)”,
matematica pristem , 78, (2011).
Lettera
[132] Newton I., Philosophiae naturalis principia mathematica, Streater,
London, 1686.
http://www.gutenberg.org/ebooks/28233
89
[133] Newton I., Geometria analytica sive specimina artis analyticae, ed. by
Horsley, 1779.
http://dla.library.upenn.edu/cocoon/dla/medren/pageturn.
html?id=MEDREN_6064928&fullview=true&rotation=0&fq=
collection_facet%3A%22Lawrence%20J.%20Schoenberg%
20Collection%22%20AND%20century_facet%3A%2218th%20century%
22&currentpage=8
[134] Newton I., Enumeratio linearum tertii ordinis, 1704.
https://archive.org/details/isaacinewtonien00newtgoog
[135] Noether M., “Luigi Cremona”, Math. Ann., 59, (1904), 1–19.
http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PID=
GDZPPN002259761
[136] Odifreddi P., “Hexagrammum mysticum”, Le Scienze, febbraio 2012,
p. 18.
[137] Pappus of Alexandria, Book 7 of the collection, Part 1. Introduction,
Text and Translation, ed. by Alexander Jones, Springer, New York, 1986.
[138] Pascal B., Essai pour les coniques.
http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b86262279
[139] Picard, Lectures on analysis, vol II.
[140] J. Plücker, Analytisch-geometrische Entwicklungen, vol. 1, Baedeker,
Essen, 1828.
https://archive.org/details/analytischgeome00plgoog
[141] J. Plücker, Analytisch-geometrische Entwicklungen, vol. 2, Baedeker,
Essen, 1831.
https://archive.org/details/analytischgeome01plgoog
[142] J. Plücker, Theorie der algebraischen Curven, Marcus, Bonn, 1839.
https://archive.org/details/bub_gb_y-XnP4ghQoIC
[143] J. Plücker, System der analytischen Geometrie, Duncker und Hunbolt,
Berlin, 1835.
https://archive.org/details/systemderanalyt00plgoog
90
[144] J. Plücker, System der Geometrie des Raumes in neuer analytischer
Behandlungsweise, Scheller, Düsseldorf, 1846.
https://archive.org/details/systemdergeometr00pluoft
[145] J. Plücker, Neue Geometrie des Raumes gegründet auf die Betrachtung
der geraden Linie als Raumelement vol. 1, Teubner, Leipzig, 1868.
https://archive.org/details/neuegeometriede00pluegoog
[146] Poncelet J. V., Traité des propriétés projectives des figures, GauthierVillars, Paris, 1822.
https://archive.org/details/applicationsdana02poncuoft
[147] Poncelet J. V., Applications d’analyse et de géométrie, vol.1, Gauthier
Villars, Paris, 1862.
http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k90213q
[148] Poncelet J. V., Applications d’analyse et de géométrie, vol.2, Gauthier
Villars, Paris, 1864.
http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k902142
[149] Poncelet J. V., “Mémoire sur les centres de moyennes harmoniques”,
J. für Math. 3, (1828), 213 – 312.
http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=
PPN243919689_0003&DMDID=DMDLOG_0025&LOGID=LOG_0025&PHYSID=
PHYS_0221
[150] Poncelet J. V., “Philosophie mathématique. Analyse d’un mémoire
présenté à l’académie royale des sciences”, Annales de Mathématiques
pures et appliquées, 17, (1826-27), 265 – 272.
http://archive.numdam.org/ARCHIVE/AMPA/AMPA_1826-1827__17_
/AMPA_1826-1827__17__265_0/AMPA_1826-1827__17__265_0.pdf
[151] Poncelet J. V., “Note sur divers articles du bulletin des sciences de 1826
et de 1827, relatifs à la théorie des polaires réciproques, à la dualité des
propriétés de situation de l’étendue, etc.”, Annales de Mathématiques
pures et appliquées, 18, (1827-28), 125-142 .
http://archive.numdam.org/ARCHIVE/AMPA/AMPA_1827-1828__18_
/AMPA_1827-1828__18__125_1/AMPA_1827-1828__18__125_1.pdf
91
[152] Poncelet J. V., “Préambule omis dans l’impression de l’analyse
du mémoire de M. Poncelet”, Annales de Mathématiques pures et
appliquées, 18, (1827-28), 142-145.
http://archive.numdam.org/ARCHIVE/AMPA/AMPA_1827-1828__18_
/AMPA_1827-1828__18__142_1/AMPA_1827-1828__18__142_1.pdf
[153] Poncelet J. V., “Post-scriptum supprimé. Dans l’impression de l’analyse du mémoire de M. Poncelet”, Annales de Mathématiques pures et
appliquées, 18, (1827-28), 145 – 149 .
http://archive.numdam.org/ARCHIVE/AMPA/AMPA_1827-1828__18_
/AMPA_1827-1828__18__145_1/AMPA_1827-1828__18__145_1.pdf
[154] Reye Th., Geometrie der Lage, Baumgärtner, Leipzig, 1866. Trad.
italiana di Faifofer A., Tip. Emiliana, Venezia, 1884.
https://archive.org/details/diegeometrieder05reyegoog
[155] Riemann B., Habilitationsschrift, Abhandlungen der Königlichen
Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 1854.
http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Geom/
[156] Riemann B., “Theorie der Abelschen Functionen”, J. für Math., 54,
(1857), 101 – 155. Anche in Oeuvres mathématiques, Gauthier-Villars
1898, pp. 88-144.
http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/AbelFn/
[157] Rogora E., Breve storia dell’analisi complessa. Note del corso
monografico di Storia della Matematica, 2015-16.
[158] Rogora E., Breve storia della teoria delle curve algebriche. Note del
corso monografico di Storia della Matematica, 2015-16.
http://corsomonografico.wikidot.com/appunti
[159] Rogora E., Breve storia della geometria differenziale. Note del corso
monografico di Storia della Matematica, 2015-16.
http://corsomonografico.wikidot.com/appunti
[160] Rogora E., Breve storia della teoria degli invarianti. Note del corso
monografico di Storia della Matematica, 2015-16.
http://corsomonografico.wikidot.com/appunti
92
[161] Rogora E., Breve storia della nascita della geometria algebrica. Note
del corso monografico di Storia della Matematica, 2015-16
http://corsomonografico.wikidot.com/appunti
[162] Rogora E., Breve storia della geometria non euclidea. Note del corso
monografico di Storia della Matematica, 2015-16.
http://corsomonografico.wikidot.com/appunti
[163] Rogora E., Breve storia della geometria proiettiva. Note del corso
monografico di Storia della Matematica, 2015-16.
http://corsomonografico.wikidot.com/appunti
[164] Rogora E., Breve storia della matematica italiana nel risorgimento.
Note del corso monografico di Storia della Matematica, 2015-16
http://corsomonografico.wikidot.com/appunti
[165] Rogora E., Breve storia della teoria degli integrali ellittici e abeliani.
Note del corso monografico di Storia della Matematica, 2015-16.
http://corsomonografico.wikidot.com/appunti
[166] Rogora E., Breve storia della geometria superiore. Note del corso
monografico di Storia della Matematica, 2015-16.
http://corsomonografico.wikidot.com/appunti
[167] Rogora E., ”Lettere di de Jonquières a Cremona”.
[168] Room T., Geometry of determinantal loci, Cambridge University Press,
Cambridge, 1938.
[169] Russo L., La rivoluzione dimenticata, Feltrinelli, Milano, 1996.
[170] Russo L., Santoni, E., 2010 Ingegni minuti, Feltrinelli, Milano, 2010.
[171] David Rowe, Geometria Superiore, in Storia della scienza, Roma,
Istituto dell’Enciclopedia italiana, 2003.
http://www.treccani.it/enciclopedia/
l-ottocento-matematica-geometria-superiore_
(Storia-della-Scienza)/
[172] Salmon G., Treatise on Conic Sections, Longman, London, 1855.
Traduzione italiana di S. Dino, Pellerano, Napoli, 1885.
93
[173] Salmon G., Treatise on the higher plane curves, Hodges, and Smith,
Dublin, 1852.
https://archive.org/details/atreatiseonhigh01salmgoog
[174] Sannia, A. Lezioni di geometria proiettiva, Napoli, Pellerano, 1891.
https://archive.org/details/lezionidigeomet03unkngoog
[175] Scorza G., “La scuola geometrica italiana”, in Borgagli Petrucci G.
(ed.), L’Italia e la Scienza, Le Monnier, Firenze, (1932), 117 – 145.
[176] Scuola di incoraggiamento d’arti e mestieri, sito della scuola.
http://85.18.35.194/Siam/index.php=.
[177] Segre C., “Introduzione alla Geometria sopra un ente algebrico semplicemente infinito”, Annali di Matematica Pura e Applicata, 22 (1),
(1894), 41 – 142.
[178] Segre C., Quaderno delle lezioni n. 17.
http://www.corradosegre.unito.it/I11_20.php
[179] Segre C., Mehredimensionale Räume, Encyklopädiee, V. III, T. 2,
H.2B, C7, Teubner, Leipzig, 1921 – 1934, 769 – 970.
http://gdz.sub.uni-goettingen.de/en/dms/loader/toc/?PID=
PPN36060997X
[180] Segre C., ”Le coppie di elementi imaginari nella geometria proiettiva
sintetica” Mem. R. Acc. Scienze Torino, 38, (1886), 3-24.
[181] Segre C., ”Intorno alla storia del principio di corrispondenza e dei
sistemi di curve”, Biblioteca mathematica, 6, (1892), 33-47
[182] Semple J. G., Roth L, Introduction to algebraic geometry, Clarendon
Press, Oxford, 1949.
[183] Sernesi E., Geometria I, Seconda edizione, Bollati Boringhieri, Torino,
2000.
[184] Sernesi E., “Una breve introduzione alle curve algebriche”, in Atti del
Convegno di Geometria Algebrica, Genova Nervi, 12-17 Aprile 1984,
Gallarati D. (ed), Tecnoprint, Bologna, (1984), 7 – 38.
http://www.mat.uniroma3.it/users/sernesi/nervi.pdf
94
[185] Servois F. J., ”Questions résolues. Solution, avec la règle seulement,
du dernier des deux problèmes proposés à la page 259 de ce volume”
Annales de Mathématiques pures et appliquées, 1, (1810-11), 332 – 336.
http://archive.numdam.org/ARCHIVE/AMPA/AMPA_1810-1811__1_
/AMPA_1810-1811__1__332_1/AMPA_1810-1811__1__332_1.pdf
[186] F. Severi, “La géométrie algébrique italienne. Sa rigeur, ses méthodes,
ses problèmes”, Colloque de Géométrie Algébrique, Liège, 1949, Masson
et Cie, Paris, 1950.
[187] F. Severi, Complementi di geometria proiettiva, Zanichelli, Bologna,
1906.
[188] Siegel C. L., Topics in Complex Function Theory, Vol. 1: Elliptic
Functions and Uniformization Theory, Wiley-Interscience, New York,
1988.
[189] Snyder V., ”Room on determinantal loci”, Bull. Amer. Math. Soc. 45
(7), (1939), 499-501.
[190] MacTutor History of Mathematics archive
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk
[191] Staudt G., Geometrie der Lage, Korn, Nürnberg, 1847.
https://archive.org/details/geometriederlage00stauuoft
[192] Staudt G., Beiträge zur Geometrie der Lage, Korn, Nürnberg, 1856.
[193] J. Steiner, Systematische Entwicklung der Abhängigkeit geometrischer
Gestalten voneinander, Engelmann, Leipzig, 1896.
https://archive.org/details/systematischeen00steigoog
[194] J. Steiner, Die geometrischen Konstruktionen ausgeführt mittels der
geraden Linie und eines festen Kreises, Dümmler, Berlin 1833.
https://archive.org/details/diegeometrischen00steiuoft
[195] J. Steiner, “Allgemeine Eigenschaften algebraischer Kurven”, J. für
Math., 47, (1854), 1 – 6,
http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PID=
GDZPPN002148285
95
[196] Veronese G.,Commemorazione del Socio Luigi Cremona, Rendiconti
della Reale Accademia dei Lincei, (5), 12, (1903), 664 – 678.
http://www.luigi-cremona.it/download/Scritti_biografici/
Commemorazione_Veronese.pdf
[197] Veronese G., “Behandlung der projectivischen Verhältnisse der Räume
von verschiedenen Dimensionen durch das Princip Projicirens und
Schneidens”, Math. Ann., 19, (1882), 61 – 234.
[198] Veronese G., Fondamenti di Geometria a più dimensioni e a più specie
di unità rettilinee, esposti in maniera elementare, Padova, Tipografia
del Seminario di Padova, 1891.
[199] Volterra V., “Betti, Brioschi, Casorati, trois analystes italiens”,
relazione al congresso internazionale dei matematici di Parigi del 1900.
http://www.mathunion.org/ICM/ICM1900/Main/icm1900.0043.
0057.ocr.pdf
[200] Walker R. J., Algebraic curves, Springer, New York, 1991.
[201] Weierstrass K., Formeln und Lehrsätze zum Gebrauche der elliptischen Functionen, nach Vorlesungen und Aufzeichnungen des Herrn K.
Weierstrass, berbeitet und heraungegeben von H. A. Scwarz, Gottingen
1883.
[202] Wikipedia
https://www.wikipedia.org
[203] I.M. Yaglom, Felix Klein and Sophus Lie, Birkhäuser, Boston, 1988.
[204] Ziegler, in Selected topics in 3-dimensional Synthetic Projective
Geometry.
http://www.reinesdenken.ch/fileadmin/user_upload/Literatur%
20Mathematik/00%20Introduction_MPK_Print.pdf
96
Indice analitico
Affinità, 51
Aggetto, 24
Alberti, Leon Battista
(1404-1472), 7
Algebra
dei segmenti orientati, 4
Apollonio di Perga (262 a.C. – 190
a.C.), 10, 36, 44
Armonico
coniugato, 43, 71
insieme, 42, 66
Armonico coniugato, 28
costruzione, 42
Asse
di collineazione, 55
di un fascio, 60
armonico di grado r, 43
delle medie armoniche, 43
di omologia, 47, 57
di una stella, 61
Ceppo, 16
Cerchi
di Apollonio, 36
Chasles, Michel (1793 – 1880), 4,
19, 25, 53, 74, 75
Condizione di incidenza, 72
Condizioni che determinano una
proiettività tra piani, 56
Congruenze, 51
Conica, 19
definizione di Von Staudt, 45
secondo Steiner, 61
secondo Von Staudt, 71
Conica immaginaria, 58
Coordinate
baricentriche, 51
omogenee, 51, 71
plückeriane, 50
proiettive, 66, 71
Correlazione, 51, 57
focale, 46
Corrispondenza biunivoca, 51
Costruzione
del sesto quadrangolare, 41
Costruzione della proiettività
assegnate tre coppie di
punti omologhi, 55
Cotes, Roger (1682-1716), 43
Covarianti, 76
Crelle, August Leopold (1780 –
1855), 60, 72
Cremona Luigi (1830 – 1903), 23,
46, 60, 74–77
Criteri di uguaglianza dei triangoli
sferici, 48
Bacharach, Isaak (1854 – 1942),
73
Baricentro, 51
Birapporto, 1, 2, 4, 52–54, 66, 67,
74
e ordinamento, 54
invarianza, 1, 66
secondo Von Staudt, 67
Bobillier, Etiènne (1798 – 1840),
51, 71
Boole, George (1815 – 1864), 75
Briançon, Charles Julien
(1783-1864), 24, 62, 74
Calcolo baricentrico, 50, 51
Carnot, Lazare (1753 – 1823), 1,
23, 25
Cavalieri, Bonaventura
(1598–1647), 10
Cayley, Arthur (1821 – 1895), 23,
66, 73, 75
Centro
armonico, 46
97
Dürer, Albrecht (1471 – 1528), 8
Dandelin, Germinal Pierre (1794 –
1847), 23
Darboux, Jean Gaston (1842 –
1917), 66, 70
de Jonquières, Ernest J. P. (1820
– 1901), 43, 74, 75
de la Hire, Philippe (1640 – 1718),
11, 20, 44
De Paolis, Riccardo (1854 – 1892),
66, 70
Dedekind, Richard (1831 – 1916),
69, 71
Desargues, Gerard (1593 – 1662),
10, 11, 16, 18–20, 26, 27,
60
Descartes, René (1596 – 1650), 10,
14, 19, 20, 25
Diametro coniugato, 28
Dualità, 49, 72
applicazioni, 49
legge di, 49
proprietà, 49
secondo Gergonne, 50
sferica, 48, 49
Fano, Gino (1871 – 1952), 14
Fascio
di coniche, 16
di curve, 74
di piani, 60
di raggi, 61
Feuerbach, Karl Wilhelm (1800 –
1834), 51, 71
Figura
duale, 49
geometrica, 60
Fondamenti della geometria
proiettiva, 66
Forma
del primo tipo, 61
del secondo tipo, 61
del terzo tipo, 61
geometrica, 60
fondamentale, 60
geometrica fondamentale, 59,
60
prospettive, 54
Formula
area triangolo, 25
di Plücker - Poncelet, 73
di Poncelet - Plücker, 27
volume tetraedro, 25
Formule
di Plücker, 72
Funzioni
ellittiche, 27
Elemento, 45
di spazio, 49
immaginario, 25, 28
Eliodoro di Larissa (ca 300 – ca
400), 6
Enriques, Federigo (1871 – 1946),
19, 50, 70
Euclide di Alessandria (IV sec. ac
– III sec. a.c.), 1, 6
Galilei, Galileo (1564 – 1642), 75
Gauss, Carl Friedrich (1777 –
1855), 66
Generazione proiettiva, 60, 61
Geometria
delle rette, 72
descrittiva, 24
differenziale, 24
enumerativa, 74, 75
Curva
algebrica, 27
classe, 27
cuspidi, 27
nodi, 27
98
proiettiva, 25
superiore, 72
Gergonne, Joseph Diaz (1771 –
1859), 23, 24, 27, 44, 49,
74
Getti, 61
Grandezze
con segno, 53
Gruppo
delle trasformazioni lineari
fratte, 51
di Möbius, 51
Guidobaldo del Monte
(1545-1607), 7
Lüroth, Jacob (1844 – 1910), 66
Leonardo da Vinci (1452-1519), 7
Lie, Sophus (1842 – 1899), 73
Linea di terra, 24
Möbius, August Ferdinand (1790
– 1860), 4, 50–53, 66, 67,
71, 72, 74
Maclaurin, Colin (1698 – 1746),
23, 43
Matrice
di un sistema nullo, 58
di una polarità, 58
Media
aritmetica, 42
armonica, 42, 43
geometrica, 42
Menelao di Alessandria (ca. 70 –
ca. 140), 1
Metodo delle doppie proiezioni
ortogonali, 24
Monge, Gaspard (1746 – 1818),
24–26
Moulton, Forest Ray (1872 –
1952), 14
Movimento, 51
Hessiana, 76
Hexagrammum mysticum, 23, 60
Inavriante assoluto, 55
Insieme
quadrangolare, 40
Invariante, 53
Invarianti, 76
Invarianza
del birapporto, 53
del rapporto semplice, 53
Involuzione, 16, 74
armonica, 51
ellittica, 19, 71
iperbolica, 19
Nastro di Möbius, 52, 53
Newton, Isaac (1642 – 1727), 75
Noether, Max (1844 – 1921), 76
Jacobi, Carl Gustav Jacob (1804 –
1851), 60
Johann Heinrich Lambert (1728 1777), 20
Omografia, 51, 56
della retta, 51
Omologia, 8–10, 15, 46–48
asse, 9, 11, 48, 57
centro, 9
centro di, 11
costruzione, 15
solida, 27
Opere
Apollonio, Coniche, 10
Euclide, Porismi, 2
Kepler, Johannes (1571 – 1630),
27
Kirkman, Thomas Penyngton
(1806 – 1895), 23
Klein, Felix Christian (1849 –
1925), 19, 52, 66, 67, 70,
73
99
Menelao, Sferiche, 1
Tolomeo, Almegesto, 1
Ottica, 6
Postulati
di appartenenza, 67
di ordinamento, 67
Postulato
di continuità, 67
Principio
dei segni, 52
dell’omografia, 19
di continuità, 25, 27, 29
di corrispondenza, 75
di dualità, 27, 67, 72
di proiezione, 19, 26
Problema
delle coniche tangenti a cinque
coniche, 74
di Apollonio, 36
isoperimetrico, 60
Programma di Erlangen, 19, 52
Proiettività, 48, 59, 61
della retta, 53
e birapporto., 53
ellittica, 55
iperbolica, 55
parabolica, 55
preserva il birapporto, 54
tra forme di prima specie, 54
Proiezione, 8, 61
e sezione, 7
ortogonali, 24
Proporzione
aritmetica, 42
armonica, 42
geometrica, 42
Proporzioni
teoria delle, 42, 53
Proposizione duale, 48
Proprietà
grafica, 49
proiettiva, 26
Prospettiva, 6, 7
Prospettività, 8, 12, 46
Pappo di Alessandria (ca. 290 –
ca. 350), 1, 2, 4, 44, 53
Pascal, Blaise (1623-1662), 10, 11,
19, 20, 23, 62, 73, 75
Pasch, Moritz (1843 – 1930), 50,
66
Pestalozzi, Johann Heinrich ( 1746
– 1827), 59
Piani
correlativi, 57
omografici, 56
prospettivi, 56
Piano
di Fano, 14
proiettivo finito, 23
punteggiato, 61
rigato, 61
all’infinito, 28
di Moulton, 14
Piero della Francesca
(1416/1417-1492), 7
Plücker, Julius (1801 – 1868), 23,
27, 50, 51, 71–73
Polare, 20, 27, 43–45, 58, 76
r-esima, 43, 46
retta, 49
Polarità, 45, 57, 58, 71
ordinaria, 58
rispetto a una quadrica, 45
sferica, 48
uniforme, 58
Polo, 44, 45, 58
Poncelet
poligono di, 27
Poncelet, Jean Victor (1788 1867), 15, 19, 24–28, 36,
43, 48–50, 72–75, 77
100
Prospettografo, 8
Punti
in involuzione, 16
autoconiugati, 58
immaginari, 27
impropri, 27
uniti di una proiettività, 55,
56
Punto
complesso, 19
di collineazione, 63
di Kirkman, 23
all’infinito, 10, 28, 51
autociniugato, 58
fisso
di una proiettività, 19
improprio, 4, 10, 51
impropro, 14
Rete di Möbius, 67
Retta
di Pascal, 23
immaginaria, 29
punteggiata, 60
all’infinito, 28
di Pascal, 60
unita
di una proiettività, 56
Rette
autoconiugate, 58
Salmon, George (1819 – 1904), 75
Secante ideale, 29
Segre, Corrado (1863 – 1924), 19,
71, 75
Servois François-Joseph
(1767-1847), 44
Sezione, 8, 61
Similarità, 51
Sistema
nullo, 46
Sistema nullo, 51, 58
Snellius, Willenrord (1580 –
1626), 48
Sostegno
di un fascio, 61
di una punteggiata, 60
Sostituzioni lineari, 76
Spazi
correlativi, 58
Spazio
di piani, 61
proiettivo
coordinatizzabile, 14
punteggiato, 61
Stanza delle maschere, 6
steiner, 60
Steiner, Jacob (1796-1863), 4, 23,
53, 59–62, 72, 74–76
Stella
Quadrangoli omologici, 42
Quadrangolo, 40
diagonale, 40
diagonali, 40
lato, 40
vertice, 40
Quadrica definita da una polarità,
58
Quarto proporzionale, 42
Quaterna
armonica, 41, 54
Quota, 24
Rapporto
semplice, 2, 52
anarmonico, vedi Birapporto4
semplice, 53
Reciprocità, 46, 57
involutorie
v. Polarità, 46
Relazione
di incidenza, 45
101
di piani, 61
di raggi, 61
Superficie
cubica, 60
Sylvester, James Joseph (1814 –
1897), 75
degli invarianti, 75
delle trasversali, 25
Tolomeo, Claudio, (ca 100 – ca
175), 1
Trasformazioni
birazionali, 75
polare reciproche, 49
quadratiche, 75
Triangoli
omologici, 11, 13, 15
prospettivi, 11
Triangolo
autopolare, 58
Teorema
dei quadrangoli omologici, 40
di Bezout, 73
di Briançon, 24
di Cayley - Bacharach, 73
di Desargues
involuzioni, 16, 18
triangoli omologici, 12, 13
di Menelao, 1, 3, 25
di Pappo
birapporto, 1, 2, 4
esagono, 4, 14, 28
di Pascal, 4, 19, 22–24, 62
Dimostrazione di Plücker, 73
Teorema di Briançon, 62
Teorema di Pappo duale, 63
Teorema fondamentale delle
proiettività, 54
Teoria
Valerio, Luca (1553 – 1618), 10
Varietà determinantali, 62
Veronese Giuseppe (1854 – 1917),
23
Viète, Françoise (1540 – 1603), 48
Von Staudt, Karl (1798-1867), 19,
42, 45, 66, 69–71
Wurf, 67
Zeuthen, Hieronymus Georg (1839
– 1920), 66
102