Transcript Aldagai anitzeko funtzioakII

Aldagai Anitzeko Funtzioak
Maila gainazalak eta maila lerroak
• Dagoeneko aipatu dugunez, z=f(x,y) bi
aldagaiko funtzio errealaren grafoa hiru
dimentsiotan marraztu daiteke (x,y,z=f(x,y))
puntuen bidez. z balioa altueratzat edo
garaieratzat hartuta, esan genezake
funtzioaren grafoa erliebe batena dela. z
bereko puntuek maila lerro bat osatzen dute.
Maila lerro bakoitzari c garaiera bat dagokio,
eta maila lerro baten ekuazioa c=f(x,y) da.
Maila gainazalak eta maila lerroak
Maila gainazalak eta maila lerroak
Maila gainazalak eta maila lerroak
Adibidea: Aztertu hurrengo funtzioaren maila
lerroak: z  1  x 2  y 2
Maila
 lerroen ekuazioa c  f (x, y)  z da
Beraz: 1  x 2  y 2  c edo x 2  y 2  1  c
Hau da m aila lerroak dira 1  c (hortaz c  1) erradiodun
zirkunferentziak jatorrian zentratuak.
Maila gainazalak eta maila lerroak
Maila lerro guztiak plano horizontaletan
daudenez, denak jarri daitezke plano horizontal
berean. Horrela ere egiten da erliebe mapa bat
marraztean. Mapa bateko maila lerroek garaiera
eta garaiaren aldaketei buruzko informazioa
ematen dute.
Maila gainazalak eta maila lerroak
Hiru aldagaiko funtzioa, u=u(x,y,z) ezin da hiru
dimentsioko espazioan grafikatu; u-rentzako laugarren
ardatz bat beharko genuke. Halere, bere definizio-eremua
bai grafikatu daitekeela hiru dimentsiotan. u(x,y,z)
funtziorako balio berbera duten puntuak elkarrekin
hartuta, gainazal bat (maila gainazala, alegia) osotu
daiteke hiru dimentsiotan.
Maila gainazal bakoitzari c balio bat dagokio, eta
maila gainazal horren ekuazioa c=u(x,y,z) da.
Norabide batekiko deribatua
Hiru aldagaiko u=u(x,y,z) funtzioarekin arituko gara.
Demagun funtzioa deribagarria dela (hortaz jarraia) eta M
definizio eremuko puntuan gaudela, non koordenatuak (x,y,z)
diren.
M puntutik aldentzen hasten bagara u funtzioaren
balioa (konstante izan ezean) aldatuz ere joango da.
Aldaketa hau, orokorrean, hartutako norabidearen menpekoa
izango da. Hau da, nahiz eta distantzia berdinean aldendu
M-tik, ezberdinak izango dira funtzioak hartuko dituen balioak
norabide desberdinetan abiatzen garenean.
Demagun hurrengo irudiaren norabidetik aldentzen garela.
Norabide batekiko deribatua
Ds
Norabide batekiko deribatua
Gehikuntza totalak, Du-k, emango digu
u=u(x,y,z) funtzioaren balioan izango dugun
aldaketa: Du=u(x+Dx,y+Dy,z+Dz)-u(x,y,z).
Lehenengo hurbilketan, hurbilketa linealean
alegia honela hurbildu genezake gehikuntza
totala deribatu partzialen bidez:
u
u
u
Du  Dx  Dy  Dz
x
y
z
Norabide batekiko deribatua
eta lehengo irudian ikusten den bezala, Dx, Dy
eta Dz honela ere adieraz daitezke:
u
u
u
Du  Ds cos   Ds cos   Ds cos 
x
y
z
Beraz:

Du u
u
u
 cos   cos   cos 
Ds x
y
z
eta Ds-ren limite infinitesimala hartuta lortzen
da s norabidearekiko
deribatua:

lim
Ds 0
Du u u
u
u

 cos   cos   cos 
Ds s x
y
z
Norabide batekiko deribatua
Aurreko ekuazioak erakusten digu nola kalkulatu edozein
norabideariko deribatua, deribatu partzialak ezagutzen
ditugunean.
Ekuazio hori uler daiteke ere bi bektoreen arteko
biderkaketa eskalarra balitz bezala, non bektoreen
koordenatuak, hurrenez hurren, ondoko hauek baitira:
u u u 
 , ,  eta cos,cos,cos 
x y z 
Hortaz, norabide batekiko deribatua uler daiteke projekzio
bat bezala: deribatu partzialen bektorearen projekzioa kosinu
zuzentzaileek adierazten diguten norabidean.

Norabide batekiko deribatua
Adibidea: Bedi u  x 2  y 2  z 2 funtzioa. Kalkulatu
horren deribatua M(1,1,1) puntuan eta 2 xˆ  yˆ  3zˆ
bektorearen
norabidean.

u
u
u
 2x (1,1,1)  2 ;
 2y (1,1,1)  2 ;
 2z
2
x M
y M
z M  (1,1,1)
cos 
Beraz:
Dx
2
2
Dy
1
Dz
3


;
cos



;
cos



Ds
Ds
Ds
14
14
14
2 2 12  32
u
2
1
3
12
 2
 2
 2

s
14
14
14
14
Gradientea
Aurreko atalean adierazi dugunez, norabide
batekiko deribatua uler daiteke bektore berezi
baten projekziotzat hartutako norabidean.
Bektore horren koordenatuak deribatu
partzialak dira eta bektore berezi honi
funtzioaren (u-ren) gradientea deitzen zaio eta
u (edo grad u) idazten ohi da:
u
u
u
u  grad u  xˆ  yˆ  zˆ
x
y
z
Gradientea
Ikusi dugunaren arabera, funtzio baten gradientea proiektatuz
norabide batean, lor dezakegu norabide horrekiko deribatua. Ezaugarri
honek baimentzen digu gradienterako baliokidea den beste hurrengo
definizioa ere onartzeko:
Definizioa: Bedi hiru aldagaiko u=u(x,y,z) funtzioa, bere definizio
eremuan deribagarria dena. Bere gradientea da bektore bat
zeinaren norabidean funtzioaren aldakuntza haundiena baitugu eta
bere moduluak ematen digu norabide horrekiko deribatuaren
balioa.
Hau da bektore honek (bere norabideak) erakusten digu zein
direkzioan u funtzioa handitzen den gehien eta bere modulua (bere
luzera) da norabide horrekiko deribatua, hain zuzen.
Gradientea
Aurreko definizioa erraz uler daiteke bektoreen
arteko biderkaketa eskalarraren interpretazio
geometrikoa gogoratuz:
Espazioko bi bertoreen arteko biderkaketa eskalarraren
balioa da bektoreen moduluen (luzeren) eta haien
arteko angeluaren kosinuaren balioaren biderkaketa:
r
r
r
r
u r u r u r
r
u  i 
j  k ; s  cos i  cos j  cos k
x
y
x
r
u r r u
u
u
r
 u  s  cos  cos  cos  u  s  cos
s
x
y
x
r
r
(non  , u eta s bektoreen arteko angelua baita)
Gradientea
Baina kosinu zuzentzaileei dagokien bektorea,
s,
r
unitarioa
denez (bere luzera 1 da):
s 1
r
r
u r r u
u
u
r
 u  s  cos  cos  cos  u  s  cos  u  cos
s
x
y
x
u
Hortaz,
haundiena lortuko dugu cos  1 denean:
s
r r r
r
cos  1    0  u || s (u eta s paraleloak dira)
u r
eta, orduan:  u
s
Gradientea
Adibidea: Kalkulatu u  x 2  y 2  z 2 funtzioaren
gradientea. Kalkulatu funtzioaren gradientea
M(1,1,1) puntuan
eta
funtzioaren
deribatua

gradientearen norabidean.
r
u
u
u
u  grad u  xˆ  yˆ  zˆ  2x xˆ  2y yˆ  2z zˆ
x
y
z
r
u(1,1,1)  2 xˆ  2 yˆ  2 zˆ
Dx
2
2
1



 cos  cos
2
2
2
Ds
12
3
2 2 2
r
u
1
1
1
6
Beraz:
 2
 2
 2

 2 3  u  22  22  22
s
3
3
3
3
cos 
Gradientea
Gogora dezagun maila lerroetan funtzioak ez zirela
aldatzen (konstanteak bait ziren f(x,y)=c). Era berean
maila gainazaletan funtzioak ez ziren aldatzen
(konstanteak bait ziren f(x,y,z)=c).
Honek esan nahi du funtzioaren deribatua maila lerro
baten (maila gainazal baten) norabidean zero dela eta,
ondorioz, gradientea ortogonala izango da maila
lerroekiko (maila gainazalekiko):
r
r
u r r r
r
0
 u  s  u  s  cos  u  cos  cos  0 (u  0 bada)
s
r
r
cos  0  u eta s ortogonalak dira
Gradientea
Gradientea
Taylor-en formula bi aldagaiko
funtziorako
Gogora dezagun, z=f(x,y), bi aldagaiko
funtziorako gehikuntza totalaren adierazpen
hurbildua deribatu partzialen bidez:
f (x, y)
f (x, y)
Dz 
Dx 
Dy
x
y
Gehikuntza kalkulatzen badugu (a,b) puntutik
(x,y) puntura goazenean:

Dz  f (x, y)  f (a,b) ; Dx  x  a ; Dy  y  b
f (x, y)
f (x, y)
f (x, y)  f (a,b) 
(x  a) 
(y  b)
x
y
Taylor-en formula bi aldagaiko
funtziorako
f (x, y)
f (x, y)
f (x, y)  f (a,b) 
(x  a) 
(y  b)
x
y
Goiko adierazpen hurbildu hau osotzeko, beharko genuen R1
kondarreko gaia, aldagai bakardun funtziorako Taylor-en
formula gertatzen zen bezala:


f (x, y)
f (x, y)
f (x, y)  f (a,b) 
(x  a) 
(y  b)  R1
x
y
eta aldagai bakardun funtzioekin antzera, Taylor-en polinomioren maila
handitu daiteke goi-ordenako deribatuen bidez (bi aldagaiko
funtzioen kasuan, deribatu partzialen bidez):
f (x, y)  Tn (x, y)  Rn
1
s f
non Tn (x, y)   
p
s p
p!(s

p)!

x

y
s0 p 0
n
s
(x  a) p (y  b) s p
(a,b )
Taylor-en formula bi aldagaiko
funtziorako
Noski, aurreko Taylor-en formula erabili ahal izateko,
funtzioa eta bere (n+1)-garren ordenarainako deribatu
partzialak jarraiak izan behar dira (a,b) puntuaren
inguruan.
Behin Taylor-en polinomioren maila, n, aukeratuta,
s-k n+1 balio ezberdinak hartuko ditu. s bakoitzeko s+1
batugaiak ditugu. Guztira Tn(x,y) polinomioak (n+1)(n+2)/2
batugai edukiko ditu. Ikustagun nola geratzen den bi aldagaiko
funtziorako Taylor-en formula n=3 kasurako:
s  0 denean gai bakarra dugu (p  0) :
1 0 f
0
0
(x

a)
(y

b)
 f (a,b)
0
0
0!0! x y (a,b )
Taylor-en formula bi aldagaiko
funtziorako
s  1 denean berriz, bi gai ditugu (p  0, 1) :
1 1 f
1 1 f
0
1
(x  a) (y  b) 
(x  a)1 (y  b) 0 
0
1
1
0
0!1! x y (a,b )
1!0! x y (a,b )

f
f
(x  a)  (y  b)
x
y
s  2 denean, hiru (p  0, 1, 2) :
1 2 f
1 2 f
1 2 f
0
2
1
1
(x  a) (y  b) 
(x  a) (y  b) 
(x  a) 2 (y  b) 0 
0
2
1
1
2
0
0!2! x y (a,b )
1!1! x y (a,b )
2!0! x y (a,b )
1 2 f
2 f
1 2 f
2
2

(x  a)(y  b) 
2 (x  a) 
2 (y  b)
2 x
xy
2 y
Taylor-en formula bi aldagaiko
funtziorako
s  3 denean, lau (p  0, 1, 2, 3) :
1 3 f
1 3 f
0
3
(x  a) (y  b) 
(x  a)1 (y  b) 2 
0
3
1
2
0!3! x y (a,b )
1!2! x y (a,b )
1 3 f
1 3 f
2
1
(x  a) (y  b) 
(x  a) 3 (y  b) 0 
2
1
3
0
2!1! x y (a,b )
3!0! x y (a,b )
1 3 f
1 3 f
1 3 f
1 3 f
3
2
2
3

(x  a) (y  b) 
3 (x  a) 
2
2 (x  a)(y  b) 
3 (y  b)
6 x
2 x y
2 xy
6 y
Beraz, n  3, kasurako Taylor en form ula honelakoa da:
f
f
1 2 f
2 f
1 2 f
2
2
f (x, y)  f (a,b)  (x  a)  (y  b) 
(x  a)(y  b) 
2 (x  a) 
2 (y  b) 
x
y
2 x
xy
2 y
1 3 f
1 3 f
1 3 f
1 3 f
3
2
2
3

(x  a) (y  b) 
3 (x  a) 
2
2 (x  a)(y  b) 
3 (y  b)  R3
6 x
2 x y
2 xy
6 y
Taylor-en formula bi aldagaiko
funtziorako
Kontutan izan behar da aurreko formulan
deribatu partzial guztiak (a,b) puntuan
kalkulatzen direla.
Kontutan ere izango dugu Tn(x,y), Taylor-en
polinomioa eta f(x,y) berdinak direla (a,b)
puntuan n-garren deribatuetaraino
Aldagai anitzeko funtzioaren maximo
eta minimoak
Gogora dezagun funtzioaren jarraitasuna aztertzean aipatu
genuena: Definizio eremu itxi eta bornatu batetan funtzio
jarrai batek gutxienez maximo bat eta minimo bat ditu beti.
Horiek izango lirateke maximo eta minimo absolutuak
definizio eremuan.
Halere maximo eta minimo erlatiboak ere definitu
daitezke hurrengo erara:
Definizoa: Bedi z=f(x,y)funtzio jarraia.(x0,y0) puntuan
funtzioaren maximo (erlatiboa) dugu baldin eta puntu
horren inguru hurbilean, puntan bertan izan ezik,
funtzioaren balioak (x0,y0) puntukoa baino txikiagoak
badira:
f (x, y)  f (x 0, y 0 )
Aldagai anitzeko funtzioaren maximo
eta minimoak
Definizoa: Bedi z=f(x,y)funtzio jarraia.(x0,y0) puntuan funtzioaren
minimo (erlatiboa) dugu baldin eta puntu horren inguru hurbilean,
puntan bertan izan ezik, funtzioaren balioak (x0,y0) puntukoa baino
handiagoak badira:
f (x, y)  f (x 0, y 0 )

f funtzioaren maximoei ete minimoei mutur deritze.
Aldagai anitzeko funtzioaren maximo
eta minimoak
Adibidea: z=(x-1)2+(y-2)2-1 funtzioak mutur bat (minimoa) dauka
(1,2)
puntuan:
Izan ere, f(1,2)=-1 da eta, bai (x-1)2, bai (y-2)2 biak beti positiboak
direnez, (1,2) puntua ez diren beste (x,y) puntu guztietarako
f(x,y)>f(1,2).
Adibidea: z=(1/2)-sin(x2+y2) funtzioak mutur bat (maximo) hartzen
du (0,0) puntuan:
Izan ere, f(0,0)=1/2 da eta (0,0) puntuaren inguru hurbilean non
x2+y2<p den, sin(x2+y2)>0 eta ondorioz, (0,0) puntua ez diren beste
(x,y) puntu guztietarako f(x,y)<f(0,0).
Aldagai anitzeko funtzioaren maximo
eta minimoak
Ohi bezala, bi aldagaiko funtzioaren maximo eta
minimoaren definizioak zabaldu daitezke aldagai gehiagoko
funtziotara.
Bestaldetik, aldagai bakardun funtzioaren muturretan
funtzioaren lehenengo deribatua anulatu egiten zen
(edo ez zen existitzen). Aldagai anitzeko funtzioekin ere,
(edozein norabiderekiko) lehen deribatua ere anulatu behar
da (edo ez existitu). Horretarako beharrezkoa da lehen
ordenako deribatu partzialak zero izatea:
f
f
f
0
 0 eta
 0 ( f bi aldagaiko funtzioa bada, f  f (x, y))
s
x
y
Aldagai anitzeko funtzioaren maximo
eta minimoak
Teorema: z=f(x,y) funtzioak (x0,y0) puntuan mutur bat
badu, orduan puntu horretan bertan, lehen ordenako
deribatu partzialak edo nuluak dira edo ez dira
existitzen. (Halako puntuei puntu kritiko deritze).
Teoremak muturren existentziarako beharrezko
baldintza zehazten du. Baldintza hori ez da nahikoa
puntuan mutur bat izateko, baina muturren bilaketa
hasteko informazioa ematen du: kritikoak ez diren
puntuak ezin dira mutur izan. Puntu kritikoak puntu
egonkorrak ere deitzen dira.
Aldagai anitzeko funtzioaren maximo
eta minimoak
Adibidea: z=x2-y2 funtzioaren deribatu partzialak
hauek dira:
z
z
 2x ;
 2y
x
x
Deribatu hauek edozein (x,y) puntuan existitzen dira. Soilik
anulatzen dira (biak batera) (0,0) puntuan. Puntu hori kritikoa da.
Hala ere
 ez da muturra (ez maximo ezta minimo ere). (0,0)
puntutik X ardatzetik aldentzen hasten bagara, z funtzioa
goratzen da, baina Y ardatzetik aldenduz gero kontrakoa dugu.
Holako puntu bati zaldi-aulki puntua deitzen zaio.
Aldagai anitzeko funtzioaren maximo
eta minimoak
Aldagai anitzeko funtzioaren maximo
eta minimoak
Demagun kalkula daitekela Taylor-en formula (x0,y0)
puntuan bigarren ordenako deribatu partzialetaraino:
f (x, y)  f (x 0, y 0 ) 
f
f
(x  x 0 ) 
(y  y 0 ) 
x (x ,y )
y (x ,y )
0
1 2 f

2 x 2
0
0
0
2 f
1 2 f
(x  x 0 ) 
(x  x 0 )(y  y 0 ) 
2

x

y
2

y
)
(x ,y )
(y  y 0 ) 2
2
(x 0 ,y 0
0
0
(x 0 ,y 0 )
(x0,y0) puntua kritikoa bada lehen ordenako deribatu
partzialak anulatu egiten dira:
1 2 f
f (x, y)  f (x 0, y 0 ) 
2 x 2
2 f
1 2 f
(x  x 0 ) 
(x  x 0 )(y  y 0 ) 
2

x

y
2

y
)
(x ,y )
(y  y 0 ) 2
2
(x 0 ,y 0
0
0
(x 0 ,y 0 )
Aldagai anitzeko funtzioaren maximo
eta minimoak
1 2 f
f (x, y)  f (x 0, y 0 ) 
2 x 2
2 f
1 2 f
(x  x 0 ) 
(x  x 0 )(y  y 0 ) 
2

x

y
2

y
)
(x ,y )
(y  y 0 ) 2
2
(x 0 ,y 0
0
0
(x 0 ,y 0 )
Eskuinean duguna positiboa bada (x,y) puntu guztietarako (x0,y0)
puntuaren inguru hurbilean, orduan, bertan f(x,y)>f(x0,y0) eta
(x0,y0) puntua minimo izango dugu. Berriz negatiboa bada (x0,y0)
puntuaren inguru hurbil baten (x,y) puntu guztietarako, orduan
f(x,y)<f(x0,y0) eta maximoa izango dugu. Bi kasu horietako bat
gerta ezean, puntu kritikoa ez da muturra izango.
Azter dezagun ba eskuinean daukaguna. 2 zenbakiaz
biderkatuko eta (y-y0)2 faktoreaz zatituko dugu:
2


 f
x  x0
2 f
x  x0  2 f


  2
x 2 (x ,y )y  y 0 
xy (x ,y ) y  y 0 y 2
0 0
0 0
2
(x 0 ,y 0 )
Aldagai anitzeko funtzioaren maximo
eta minimoak
Aurrekoa zilegi izango da soilik, noski, y eta y0 desberdin
direnean (y-y0=0 ez denean) eta eragiketak horiek egin eta gero
ez dugu jatorrizko gaiaren zeinua aldatzen (karratu bat beti
positiboa delako).
Orain hurrengo izendapenak hartuz gero:
2 f
x 2
(x 0 ,y 0
2 f
2 f
A ;
B ; 2

x

y
y
)
(x ,y )
0
0
C ;
(x 0 ,y 0 )
x  x0
l
y  y0
gai hori hurrengo parabolaren erara geratzen da:

Al2  2Bl  C
non l den parabolaren (bigarren mailako polinomiaren) aldagaia.

Aldagai anitzeko funtzioaren maximo
eta minimoak
Parabolaren adarrak goruntz doaz (parabolak minimo bat dauka)
“A” positiboa denean eta hori, uler daiteke bai l-ren inifinituranzko limitea
kalkulatuta, edo parabolaren bigarren deribatua kalkulatuz.
Era berean argudiatu daiteke parabolaren adarrak beheruntz doazela
(maximo bat daukala) “A” konstantea negatibo denean.
Edozein kasutan parabolak ez du ebakiko X ardatza (hau da, ez ditu zero
edo erro errealak izango) “AC-B2”>0 denean, zeren baldintza horrenpean
erroen ekuazioaren diskriminantea negatiboa baita eta, ondorioz, erroak
zenbaki konplexuak baitira.
Hortaz, A>0 eta AC-B2>0 batera betetzen direnean, parabola beti
positiboa izango da l guztietarako eta, ondorioz, minimo bat izango dugu.
Berriz, A<0 eta AC-B2>0 aldi berean ditugunean, parabola beti
negatiboa izango da eta, ondorioz, maximoa izango dugu.
Aldagai anitzeko funtzioaren maximo
eta minimoak
Bestaldetik AC-B2<0 bada, orduan parabolak bi erro
erreal desberdin izango ditu eta honek esan nahi du
positiboa izango dela l balio batzuentzako eta negatiboa
beste batzuentzat. Kasu honetan, puntu kritikoa ez da
muturra izango (ez maximo ezta minimo ere).
Azkenik, AC-B2=0 denean, ezin da zehaztu muturrik ala ez
izango den ezta, muturra izatekotan, zein motakoa izango
zen. Azterketa sakonago egin beharko liteke (hirugarren
ordenako deribatu partzialak aztertuz).
Aurreko guztia jasotzen da hurrengo teoreman:
Aldagai anitzeko funtzioaren maximo
eta minimoak
Teorema: Bedi z=f(x,y) funtzioaren (x0,y0) puntu kritiko bat.
Demagun puntu horren inguruan funtzioa definituta eta
funtzioaren hirugarren ordenarainoko deribatu partzialak, horiek
barne, jarraiak direla. Bedi (x0,y0) puntuan kalkulatutako
hurrengo matrizea (Hessiano izenekoa):
Orduan, (x0,y0) puntuan:
 2 f
 2
x
H   2
 f

yx
 2 f 

xy 
 2 f 

y 2 (x ,y
0
0)
1: f (x, y) funtzioak maximoa du baldin

 2 f (x 0 , y 0 )
H  0 eta
0
x 2
badira. H hessianoaren determinantea da.
Aldagai anitzeko funtzioaren maximo
eta minimoak
2 : f (x, y) funtzioak minimoa du baldin
 2 f (x 0, y 0 )
H  0 eta
0
2
x
badira.
3 : f (x, y) funtzioak ez du ez maximorik ez minimorik baldin
H  0 bada.



4 : Hessianoaren determinantea nulua bada
H  0, muturra egon daiteke,
baina azterketa luzatu egin behar da.

Aldagai anitzeko funtzioaren maximo
eta minimoak
Adibidea:
Aurkitu beheko funtzioaren maximoak eta minimoak
z  x 2  xy  y 2  3x  2y 1
Puntu kritikoak bilatzeko
:
z
z
 2x  y  3 ;
 x  2y  2
x
y
biak definituta daude XYplano osoan
z
0

2x  y  3  0
x
4
1

 
x y
3
3
x  2y  2  0
z  0

y
Aldagai anitzeko funtzioaren maximo
eta minimoak
Hessianoa kalkulatzeko
:
 2z
 2z
 2z
 2z
2 ;
 1 
;
2
x 2
xy
yx
y 2
4 1
deribat u hauek ( , ) puntu kritikoan ebaluatu beharko genituzke
3 3
baina, konstant e direnez XY
plano osoan,ez da behar eta hessianoaren
determinant ea hauxe da puntu kritikoan (izan ere,
planoko puntu guzt iet an)
:
2 -1
30
-1 2
 2z
et a 2
 2  0 denez, ondorioz,puntu kritikoan minimoa dugu.
x ( 4 , 1 )
3 3
2
2
4 1  4   4 1 1   4  1 
4
Bere balioa z( , )           3  2 1  
3 3  3   3 3 3   3  3 
3
4
zmin   da.
3

Aldagai anitzeko funtzioaren maximo
eta minimoak
Adibidea:
Aurkitu beheko funtzioaren maximoak eta minimoak
z  x 3  y 3  3xy
Puntu kritikoak bilatzeko
:
z
z
 3x 2  3y ;
 3y 2  3x
x
y
biak berriro ere definituta daude XY
plano osoan
z
x 2  y  0  y  x 2

0

x

x  0  y  0

  2
2
4
z  0
y  x  0  x  y  x Puntu kritikoak
x  1  y  1


y
Aldagai anitzeko funtzioaren maximo
eta minimoak
Hessianoa kalkulat zeko:
 2z
 2z
 2z
 2z
 3 
;
2  6x ;
2  6y
x
xy
yx
y
ondorioz:
H (0,0)  9  0
eta
H (1,1)  36  9  27  0
Hortaz, (0,0) puntuan ez dago ez maximo ezta minimo ere,
 2 z

et a (1,1) puntuan minimo bat 
 6  0 delako
x 2

 (1,1)

Minimo horren balio da
: z(1,1)  zmin  1


Aldagai anitzeko funtzioaren maximo
eta minimoak
Adibidea:
Deskonposat u emandako
a zenbaki positiboa hiru batugai
positibotan,zeintzuen arteko biderkadura ahalik et a handien
izango den.
Bi bat ugairi x eta y deitzen badiegu, hirugarrena izango daa - x - y
Gure problema da hurrengo definizio eremuan daukagun u funtzioaren
maximoa aurkit zea: u(x, y) = xy(a - x - y)
x  0

y  0

a - x - y  0  x  y  a
Aldagai anitzeko funtzioaren maximo
eta minimoak
:
P untu kritikoak bilatzeko
u
u
 x(a  x  2y)
 y(a  x  y)  xy  y(a  2x  y) ;
y
x
plano osoan
Berriro hauek definituta daude XY
(baina definizio eremua da lehengo triangeluaren barnekaldea)
u
0

y(a  2x  y)  0  (y  0 nahi dugulako)a  2x  y  0
x


 
x(a  x  2y)  0  (x  0 nahi dugulako)a  x  2y  0
u  0

y

2x  y  a
a

xy
3
x  2y  a
Egiaztatzeko puntu kritiko hau maximoa dela hessianoa kalkulatuko :dugu
Aldagai anitzeko funtzioaren maximo
eta minimoak
Hessianoa kalkulatzeko:
 2u
 2u
 2z
 2u
 a  2x  2y 
;
2  2y ;
2  2x
x
xy
yx
y
ondorioz:
H ( a ,a )
3 3
2a
 3
a
3
a
2
a
3 
0
2a
3
3
 2u
2a
et a 2

 0 (a positiboa zelako),benet an, maximo mat dugu bert an
x ( a , a )
3
3 3
et a eskat utako deskonposaket aren hiru batugaiak dira elkarren berdinak
(hau da, hirurak diraa/3).
Maximo eta minimo baldintzatuak
Funtzioaren balio maximo eta minimoen aurkikuntzari buruzko
problemetan, sarritan, funtzioaren aldagaiak ez dira independenteak;
erlazionaturik daude baldintza batzuren bidez (adibidez, ekuazio
batzuk bete behar dituztenean).
Ohiko adibidea da kostu merkeeneko potearena. Hau da, nola
kalkulatu zilindro baten erradio eta altuera lortzeko V bolumeneko
potea ahalik eta material gutxien erabilita (ahalik eta azalera txikien
izanda):
S(r,h)  2prh  2pr 2 (funtzio honen minimoa nahi dugu)
V  pr 2h
(emandako konstantea,
nahi dugun bolumenaren balioa)
Maximo eta minimo baldintzatuak
Horrelako problemetan nola aritu behar den aztertuko dugu. Bi
aldagaiko funtzioarekin hasiko gara. Demagun f=f(x,y) funtzioaren
maximoak eta minimoak kalkulatu nahi ditugula baina j(x,y)=0 lotura
edo baldintzarekin.
Potearen kasuan S(r,h)  2prh  2pr 2 (funtzioa) 


2
(lotura edo baldintza)
V  pr h = 0

Normalean j(x,y) era inplizituan emandako funtzioa izango dugu.
Bestela y=y(x) izango genuen eta erlazio hori f=f(x,y) funtzioan
ordezkatuz, f, aldagai bakardun funtzio bezala izango genuen eta bere

maximo edo minimoak aztertuko genituen f-ren x-rekiko lehen
deribatu arruntaren bidez.
Maximo eta minimo baldintzatuak
Dena den, nahiz eta y=y(x) era esplizituan ez izan, zilegia da
(lotura dela eta) y aldagaia x-ren funtziotzat hartzea eta, orduan, f-ren
deribatu totala x-rekiko honela idatziko dugu:
df f f dy
 
dx x y dx
f-ren muturretan anulatu egingo da:
f f dy

0
x y dx
 j(x,y)-rako, antzeko erlazioa erdietsi daiteke j(x,y) =0
Baina loturarako,
ekuazioa x-rekiko deribatuz:

j j dy

0
x y dx
Maximo eta minimo baldintzatuak
Orduan, edozein l koefiziente indeterminaturako:
f f dy  j j dy 
 
 l 
 0
x y dx  x y dx 
edo, gauza bera den:
f
j  f
j dy
  l    l   0
x
x  y
y dx

Orain, l koefiziente indeterminatua aukeratzen badugu
hurrengo erlazioa bete dadin:

f
j
l
0
y
y
erlazio hori goian ordezkatuz hurrengo hau ere izango dugu:

f
j
l
0
x
x
Maximo eta minimo baldintzatuak
Ondorioz, mutur puntuetan, hiru ekuazio hauek beteko dira:

f
j
l
 0 
y
y


f
j
l
 0 
x
x

j(x, y)  0 


non, ezezagunak, x, y eta l diren, ekuazio
hauetatik kalkulatuko ditugunak.
Muturretan ekuazio horiek beteko dira, baina, soluzioak ondo aztertutuko
ditugu, ezen muturrak ez direnak ere ager daitezkeen.

Goiko ekuazioak
erdietsi daitezke, baita ere, hurrengo (hiru aldagaiko) F
funtzio laguntzailearen bidez:
F(x, y, l)  f (x, y)  lj(x, y)
Goian ditugun ekuazioak dira F-ren deribatu partzialak x, y eta l–rekiko.

Maximo eta minimo baldintzatuak
Azkeneko era honetan errazagoa da metodoa zabaltzea edozein aldagaikopurutarako:
Demagun n aldagaiko f(x1, x2,…, xn) funtzioaren maximo eta minimoak
kalkulatu nahi ditugula, x1, x2,…, xn aldagaien arteko baldintzak ondoko m
(m<n) ekuazioak izanik:
j1(x1, x 2 ,K , x n )  0 

j2 (x1, x 2 ,K , x n )  0 

M

jm (x1, x 2 ,K , x n )  0

Mutur baldintzatuak kalkulatzeko hurrengo funtzioa erabiliko dugu:
F(x1, x 2 ,K , x n , l1, l2 ,K , lm )  f (x1, x 2,K , x n )  l1j1 (x1, x 2,K , x n ) 

 l2j2 (x1, x 2,K , x n ) K  lmjm (x1, x 2,K , x n )
Maximo eta minimo baldintzatuak
Funtzio laguntzaile honen x1, x2,…, xn aldagaiekiko deribatu partzialak
berdin zero hartzen lortzen ditugu hurrengo n ekuazio:

f
j1
jm
l
K  lm
 0 
x1 1 x1
x1

f
j
j

 l1 1 K  lm m  0 
x 2
x 2
x 2


M

f
j
j

 l1 1 K  lm m  0
x n
x n
x n

n ekuazio eta lehengo m ekuazio (loturen ekuazioak) batera askatuz,
kalkula daitezke x1, x2,…, xn, l1, l2,…, lm (guztira n+m) ezezagunak. Lehen
bezala, arretaz aztertuko beharko dugu ea soluzioak benetako muturrak diren.

Maximo eta minimo baldintzatuak
Adibidea:
Potearen problema
:
AurkituS(r,h) - ren minimoaV = pr 2 h baldintzarekin.
S(r,h) = 2prh + 2pr 2

V - pr 2 h = 0
Hortaz, funtzio lagunt zailea ondoko hau da
:
F(r,h, l)  2prh + 2pr 2  l V - pr 2 h 
eta deribat u partzialak:
F
 2ph  4 pr  2prlh  0
r
F
 2pr  pr 2 l  0
h
F
 V - pr 2 h
l
Maximo eta minimo baldintzatuak
F
2
 2pr  pr 2 l  0  l 
h
r
F
V
 V - pr 2 h  h  2
l
pr
F
V
2 V
 2ph  4pr  2prlh  0  2p 2  4pr  2pr
r
pr
r pr 2
2V
V
4V
3
3
4pr  2  0  r 
h
r
2p
p
2
3
 V 
Neurri horiekin lortzen den azalera :daS = 6p  
2p 
et a azalera hori minimo bat dela uler daiteke azt ert uz
- ren
S limiteak:
r >> eta h<< direnean (pote zabala eta altuera txikikoa),
alde batet ik eta,
bestaldetik r<< eta h>> direnean (pote estua eta oso altua).