Slide 1

1

Ekuazioak 3. DBH
Alfredo Ortega Loza
Unitate honetan, hauek ikasi edo gogoratuko ditugu:
•Ekuazioak eta identitateak bereizten
•Lehenengo mailako ekuazioak askatzen
•Buruketak askatzen
•2. mailako ekuazioak askatzen
•Ekuazio-sistemak askatzen
•2. mailako ekuazio-sistemak askatzen

Berdintzak

2

Berdin ikurra duten adierazpeni berdintza
esaten zaie.
Berdintzak zenbakizkoak izan daitezke:
3·(5 – 4) = 2 + 1



45/5 = 18/2



Algebraikoak ere,
izan daitezke:

Berdintzaren ezkerreko aldeari
lehen atala esaten zaio, eta
eskuinekoari, bigarren atala.
Batuketa edo kenketa ikurren
arteko letra eta zenbakimultzoei, berriz, gai deritze.

3x – 5 = x/4 +1



5a + 2b = 10a/2 + (9/2)b – (5/2)b



Kopiatu koadernoan

Identitateak

3

Berdintza algebraikoak –letrak dituztenak–
identitateak edo ekuazioak izan daitezke:
Identitateak:

3x + (5 – 1)·2 = 2x + x + 8
5a – a = 2 (7a – 5a)

Gogoratu: zenbakien
eta letren artean ezer
ez dagoenean,
BIDER (·) ikurra
irakurri behar da beti.

Ezezagunak (letra) edozein balio izanda ere,
bete egingo da berdintza. Askatzen saiatuz
gero, 0 = 0 lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazioak

4

Ekuazioak:
3x = 2x + 1. EMA.: x = 1
5a – 3 = 2 (7a – 5a). EMA.: a = 3

Ezezagunaren balio batzuetarako baino ez
da betetzen berdintza.
Balio horiek topatzeari ekuazioa askatzea
(edo ebaztea) esaten zaio.

Kopiatu koadernoan

5

Ekuazio baliokideak
Ekuazioen propietateak:

Ekuazio baten bi aldeetan batuketa edo
kenketa bera egiten badugu, hasierakoaren
ekuazio baliokide bat (emaitza berbera
duena) lortuko dugu.
Ekuazio baten bi aldeak zero ez den
adierazpen batekin biderkatzen edo
zatitzen baditugu, hasierakoaren ekuazio
baliokide bat lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (1)

6

Ekuazioetarako erregelak:

x+7=3

–x = 3 – 2x

x+7–7=3–7

–x + 2x = 3 – 2x + 2x

x=3–7

–x + 2x = 3

x = –4

x=3

Ekuazioaren alde batean
batzen dagoena kentzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazioaren alde batean
kentzen dagoena batzen
pasatzen da beste aldera.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (2)

7

3x



3
x

Kopiatu koadernoan

Ekuazioetarako erregelak:
x
3x – 7 = 2
2 1
4
3x – 7 + 7 = 2 + 7
x
 2  2  1 2
4
3x = 9
9
3
9
3

x=3

Ekuazioaren alde batean
biderkatzen dagoena zatitzen
pasatzen da beste aldera.

x

 1

4
4

x

 4  (  1)

4
x  4  (  1)

x = –4
Ekuazioaren alde batean
zatitzen dagoena biderkatzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazio-ebazpenak

8
Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio eta identitate
hauek :

 Letrak dituzten
gai guztiak
berdintzaren alde
batera eraman
behar ditugu, eta
zenbakiak,
bestera.

1) x – 3 + 5x = 4x – 7. EMA.: –2

 Parentesiak
badaude, beste
ezer baino lehen
kendu behar
ditugu.

2) 7x – 5 + 2x + 6 = –3x + 8 – x.
EMA.: 7/13
3) 2x – (6x + 1) = 3x – 5(2 – x). EMA.: 3/4
4) 7(x + 3) = 7 + 8x – 1 . EMA.: 15
5) 3x +7 – 2(x – 3) = 3(x + 4) – 2x + 1.
EMA.: Edozein; identitatea da

6) 4 – (3 – x) + 6 = 2x + 2(2x – 3).
EMA.: 13/5
7) 5 – x(3 + 1) = 2x – 6(3 – 2x).
EMA.: 23/18

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

9

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio hauek :
8)

 Izendatzaileak
badaude,
izendatzaileen
MKTa lortu behar
dugu, eta,
ondoren,
berdintzaren
alde biak MKT
horrekin
biderkatuko
ditugu.

9)

1

x + 2=

2

x - 5 . E M A : 42

3

4

x

- 3  (x - 1) = 2 x -

7 - x

2

10)

1

(x - 2) -

8

11)

. E M A : 32/29.

3
2

(2 x + 6) + x = - 4 .E M A : -6/5

3

x - 1

-

x + 1

2
12) - 4  (3 - x)

=x -

3

5

.E M A : 1

3
+ 4x =

3

 (2 x - 1) - (x + 1) E M A : 4/3.

5

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

10

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
13)

x

-

x - 3

6

14)

=1 -

2x - 5

4

6x - 1

-

5x - 6

5

=

2x + 1

7
x - 2

15) 1 -

5

- 2

- 5x =

3x - 5

7x

(x - 1)

x - 8

2
18) 2 -

3  (2 + x)

=x +

3
-

3
x - 1
5

E M A : 25/41.

2

4

17)

E M A : 34/19.

3

3

16)

E M A : 23/7.

3

E M A : -13/38.

2
-

4  (4 x + 2)

=

5
- (2 x - 1) =

5x - 3

E M A : 2.

7
x - 5
E M A : 19/9

2

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

11

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
19) x -

x

-

x - 1

2

=

6

20) - 4 x - 3 -

x

- 2  (x - 1) E M A :11/13.

6

6x + 4

= 3 - 4  (x - 1) E M A : -37/3.

7
21) 3 -

x + 1

- (4 x - 1) = x - (3 - 4 x) E M A : 13/19.

2
x 22)

1
2 -

3
2

23)

x -

x + 2

-

2

x

- 3
3 = 2 - x - 2
E M A : 2.
4
6
12
1

3x - 1

+

4
(x + 2) (3 x - 1)

= 0 . E M A : 0.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

12

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

Buruketen emaitzak lortzeko, pauso hauek dira
garrantzitsuenak:

Proposatzen den buruketa ondo ulertu. Behar diren
irakurketa guztiak egin, zer eskatzen duten ondo ulertzeko
eta azaltzen diren baldintzak ondo kontrolatzeko

Azpimarratu datu garrantzitsuenak
Ixa esleitu. Ixaren aldamenean beti idatzi zer den
Dituzun datu guztien artean, erlazioren bat topatu.
Buruketak berak ematen du askotan

Sortu duzun ekuazioa askatu
Bukatzeko, egiaztatu emaitza dituzun datu guztiekin
Kopiatu koadernoan

13

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

24) Bi zenbakiren arteko batura 76, da eta bata bestea
baino lau unitate handiagoa da. Bilatu zenbakiok. EMA.:
36, 40.
25) Ondoz ondoko hiru zenbakiren arteko batura
laurogeita hamahiru da. Zein dira zenbaki horiek. EMA.:
30, 31, 32.
26) Zenbaki baten herenaren eta hirukoitzaren arteko
batura berrogei da. Aurkitu zenbakia. EMA.: 12.
27) Bi mila laurehun metro ibili ondoren, distantziaren
herena falta zaigu bukatzeko. Zein da distantzia? EMA.:
3.600 m.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

14

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

28) Pertsona batek duen muxika-kopurua honela banatuta
geratu da: erdiak saldu egin zituen, laurdenak anaiari eman
zizkion eta, oraindik, ehun eta hogei muxika geratu zaizkio.
Zenbat muxika zituen? EMA.: 480 muxika.

29) Zuk hamabi urte badituzu eta zure aitak zure adinaren
zortzi herena, zenbat urte ditu zure aitak? EMA.: 32 urte.
30) Ondoz ondoko bi zenbaki ditugu. Handienaren
herenaren eta txikienaren arteko batura txikienaren
bikoitzaren herena da. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 2, 3.
31) Andonik Kepak baino bost euro gehiago ditu. Baina
Andonik Kepari lau euro emango balizkio, Keparen dirutza
Andonirenaren bikoitza bihurtuko litzateke. Zenbat dauka
bakoitzak? EMA.: 7 eta 2 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

15

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

32) Orain dela lau urte ume baten adinaren hirukoitza
orain duenaren bikoitza zen. Zenbat urte ditu? EMA.: 12
urte.
33) Pertsona baten adina beste lagun batenaren bikoitza
da. Orain dela zazpi urte, bi pertsonen urteen batura
lehenengoaren gaur egungo adina izan zen. Kalkula
itzazu bi pertsonen adinak. EMA.:14 eta 28 urte.
34) Aita batek berrogeita bi urte ditu, eta semeak hamar.
Zenbat urte pasa behar dira aitaren adina semearenaren
hirukoitza izateko? EMA.: 6 urte
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

16

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

35) Gripea zela eta, gela bateko sei ikasle ez ziren eskolara
etorri. Eta, honela, ikasle guztien hiru laurdenak baino bi
gehiago etorri ziren. Zenbat ikasle ziren gelan? EMA.: 32
ikasle.
36) Laukizuzen-itxurako bizkotxo batean, hiru zati egin ditugu.
Lehenengoa bizkotxoaren herena da, bigarrena bostena eta
hirugarrena lau bederatzirena; 4 cm geratu zaigu sobran.
Zenbatekoa da bizkotxoaren luzera? EMA.: 180 cm.

37) Hemendik hamaika urtera, Enekoren adina duela
hamahiru urte zuenaren bikoitza izango da. Zenbat urte ditu?
EMA.: 37 urte.00
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

17

2. mailako ekuazioak ezezagun bakarrekoak badira,
honela adieraziko ditugu:
ax2 + bx + c = 0
a, b eta c zenbaki osoak dira, eta a ezin da zeroren
berdina izan (a  0).
Ekuazio horiek formula honek askatzen ditu beti:

x

b

b  4 ac
2

2a
Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

18

x

Adibide gisa, askatu
honako ekuazio hau:

x

b  4 ac
2

2a

GOGORATU: letra baten
aurrean ezer ikusten ez
duzunean, 1 zenbakia dago

2x2 – x – 1 = 0
a=2
b = –1
c = –1

b

 (  1) 

(  1)  4  2  (  1)
2

22
4



1 1 8
4

Kopiatu koadernoan



1 3
4



1

4
2
4



1
2



2. mailako ekuazioak

19
x

b

b  4 ac
2

2a

Askatu honako ekuazio hauek:
38) x2 – x – 2 = 0 EMA.: 2, –1
39) 3x2 – 7x – 6 = 0 EMA.: 3, –2/3
40) 4x2 – 8x + 3 = 0 EMA.: 3/2, 1/2
41) x2 + 4x + 4 = 0 EMA.: –2

42) x2 + 8x + 3 = 0 EMA.: –0,4; –7,6
43) x2 + 2x + 2 = 0 EMA.: emaitzarik
ez.

Emaitza bakarra
lortzen badugu,
emaitza horri emaitza
bikoitza esango
diogu.
Batzuetan, erroak ez
du emaitzarik, eta,
orduan, esaten dugu
ekuazioak ez duela
emaitza errealik.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

20

Modu horrek 2. mailako ekuazio guztietarako balio
badu ere, badaude beste modu errazago batzuk:
1) b = 0 denean

Adibidea:

ax2 + 0x + c = 0

3x2 – 75 = 0

ax2 + c = 0

3x2 = 75

ax2 = –c
x 
2

x 
2

75
3

c

5

a
x

c

x   25 

–5

a

Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

21

GOGORATU: biderkadura bat zero bada,
biderkagairen bat zero delako da
2) c = 0 denean

Adibidea:

ax2 + bx + 0 = 0

5x2 – 7x = 0

ax2 + bx = 0

x·(5x – 7) = 0

x·(ax + b) = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

5x – 7 = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

ax + b = 0
x = –b/a
Kopiatu koadernoan

x = 7/5

22

2. mailako ekuazioak

Ebatzi honako ekuazio hauek:
44) 3x² + 5x – 2 = 0 EMA.: 1/3; –2
45) 4x² – 36 = 0 EMA: 3, –3.
46) 2x² – 15x + 7 = 0 EMA: 7, 1/2

52) 2x2 – 3 = x2 – 2x EMA.: 1,
–3
53) x – 2 = x2 EMA.:
emaitzarik ez.

47) 3x² – 75x = 0 EMA: 0, 25.
48) 7x² – 9x + 2 = 0 EMA.: 1, 2/7

54 ) 1 +

= 2x

EMA.: –1/2, 1

x

49) 2x² – 2x – 24 = 0 EMA.: 4, –3

50) x²/3 – 12 = 0 EMA: 6, –6

1

55 ) 1 +

1
x

=x -

1
x

EMA.: –1, 2

51) (x – 2)(x + 1) = 0 EMA: 2, –1
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

23

2. mailako ekuazioak. Buruketak

56) Bi zenbakiren artean, 5eko aldea dago, eta haien
arteko biderkadura 66 da. Zein dira zenbakiok? EMA.: 6,
11; –11, –6.
57) Laukizuzen batek hogei zentimetroko diagonala du.
Zein izango da azalera, altuera baino lau cm luzeago
badu oina? EMA.: 12 cm, 16 cm.
58) Bila ezazu zirkunferentzia baten luzera, haren azalera
28,26 m² bada. EMA.: 18,84 m.
59) Triangelu zuzen batean, hipotenusaren luzera 10 cm
da. Bila itzazu katetoen luzerak, bata bestea baino 2 cm
luzeagoa bada. EMA.: 6 cm, 8 cm.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

24

2. mailako ekuazioak. Buruketak

60) Demagun 7 cm-ko alanbre bat daukagula. Nondik
tolestuko dugu muturretako bat bestetik 5 cm-ra egon dadin
angelu zuzen bat osatu ondoren? EMA.: 4 cm, 3 cm.
61) Ondoz ondoko bi zenbakiren arteko biderkadura
honako hau da zenbaki horien arteko batura gehi bost
unitate. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 3, 4; –2, –1.
62) Triangelu zuzen baten azalera 90 cm2 da. Bilatu
katetoak, haien arteko aldea 3 cm-koa bada. EMA.: 12 cm
eta 15 cm.
63) Banatu 9 zenbakia bi zatitan, bakoitzaren berbiduren
arteko batura 41 izan dadin. EMA.: 4, 5.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

25

Bi ezezaguneko ekuazio-sistemak:
Bi ekuazio aldi berean betetzen badira, ekuazio-sistema
bat dugu. Bi ekuazioak zenbaki berberetarako bete
behar dira.
Adibidez:

2x  y  4 

x  2 y   3

Sistema honen emaitza x = 1 eta y = 2 da, edo beste
modu batez adierazita, (1, 2) da.
Begiratu ea egia den.
Kopiatu koadernoan

26

Ekuazio-sistemak

Lau era ditugu ekuazio-sistemak ebazteko, baina
mementoz hiru besterik ez dugu ikasiko:
1. Ordezkatzea
2. Berdintzea
3. Laburtzea

Kopiatu koadernoan

Ekuazio-sistemak

27
1. Ordezkatzea
2x  y  4 

x  2 y   3

y  4  2x



x  8  4 x   3

Ekuazio batean,
ezezagun bat bakandu:
y  4  2x 

x  2 y   3

Beste ekuazioan,
ezezagun hori ordeztu

Beste ekuazioan
ordeztu
y  4  2x 

5 x  3  8

y  4  2x

5x  5 

y  4  2x



x  2  ( 4  2 x )   3

y  4  2x

x 1 

Kopiatu koadernoan

y  4  2  1

x 1 

y  2

x  1

Ekuazio-sistemak

28

Askatu sistema hauek, ordezkatze-metodoa erabiliz:
3 x  8 y  10 
64 )
 EMA. : ( 6 ,  1)
x y 5 

2x  3y  7 
65 )
 EMA. : ( 2 ,  1)
5 x  2 y  12 



1
2
67 )
EMA. : ( 4 , )

x y
x
2
  y
3
4

3x

68 )

 4y  8

3x  1  2 y  2
 EMA. : (  1,  3 )
x  y  4


2 x  12  4 y 

66 ) 2 x
 EMA. : ( 0 ,  3 )
 2 y  6

5


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

29

Ekuazio biak
berdindu

2. Berdintzea
2x  y  4 

x  2 y   3

4  2x 

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

3 x
2

y  4  2x

Ekuazio bietan, ezezagun
bera bakandu:
8  4x  3  x

y  4  2x 

 2 y  3  x 

y  4  2x

3 x 
y
2 


 5 x  5

x 1

Kopiatu koadernoan

y  4  2 1

y2

Ekuazio-sistemak

30

Askatu sistema hauek, berdintze-metodoa erabiliz:
2 x  y  0
69 )
 EMA. : (  1, 2 )
x  y 1

3x  y  4

70 ) x
 EMA. : ( 2 , 2 )
 y3

2


x 5  4y
x
71 )
y 
2


1
 y 1 
72 ) 4
 EMA. : ( 2 ,  )
2
2( x  y )  3

x

73 )

x5 y


 EMA. : (  3, 2 )
5 x  2 y   19 


1

EMA.
:
(
3
,

)

2
2



Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

31
3. Laburtzea
2x  y  4 

x  2 y   3

Ezezagun bera duten bi
gaiak ekuazio bietan
berdinak izatea da
helburua; berdinak
baina aurkako zeinua
dutela. Horretarako,
ekuazioetako bat
zenbaki oso batez
biderkatuko dugu:
2  (2 x  y  4)

x  2 y  3 

4x  2 y  8 

x  2 y   3

Ekuazio bien
arteko batuketa
egin, gaiz gai.
4x  2 y  8



x  2 y  3 

5x  0 y  5
5x  5
x 1

Kopiatu koadernoan

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

2 1  y  4

y  42

y2

Ekuazio-sistemak

32

Askatu sistema hauek, laburtze-metodoa erabiliz:
x  y  9
74 )
 EMA. : ( 5 , 4 )
x  y 1

75 )

3x  y  3
1
EMA.
:
(
, 2)

6 x  y  0
3

76 )

2 x  3 y  4
 EMA. : (1,  2 )
x  2y  5 


 y  0
77 ) 2
 EMA. : ( 4 ,  2 )
y
 x  3
2

x

5 
1 1

78 )
EMA.
:
(
, )
6 
2
3
3 y  3  4 x  2 
x 1  y 

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

33

Askatu sistema hauek, zure ustez errazena den metodoaz:
6 x  5 y  4
79 )
 EMA. : (1,  2 )
x  y  1

82 )

3x  y  1


 EMA. : Ez du
x  2 y  2  2x  y

emaitzarik

3x  5  2 y


80 ) x
 EMA. : (3 , 2 )
 y  2x  3

3


x
83 )
x

(Sistema

y 1
2
y2
3

bateraezin a)


1

 EMA. : (  8 ,  19 )
 1


3x  y  2
1

y  EMA. : ( ,  1)
81 ) x

3
3
9 


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

34

Ekuazio-sistemak. Buruketak

84) Ostatu batean, ohe bateko eta biko gelak daude. Orotara 50
gela eta 87 ohe daude. Mota bakoitzeko zenbat gela dago?
EMA.: 13, 37 gela
85) Txakur-txapelketa batean, txakurrak eta beraien jabeak
daude. Guztira hirurogeita hamazortzi buru eta berrehun eta
hamasei hanka daude. Zenbat txakur eta pertsona daude?
EMA.: 48 pertsona, 30 txakur.
86) Bi zenbakiren arteko batura hamalau da. Handienari bat
gehitzen badiogu, txikienaren bikoitza lortzen da. Aurki itzazu
zenbakiak. EMA.: 9, 5.
87) Bi zenbakiren arteko batura 150 da, eta kendura txikienaren
laukoitza da. Aurki itzazu zenbakiok. EMA.: 125, 25
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

35

Ekuazio-sistemak. Buruketak

88) Zenbaki baten hirukoitzari beste baten laukoitza
gehitutakoan, zazpi izango da emaitza; lehenengoaren
bikoitzari bigarrena gehitutakoan, berriz, hiru izango da
emaitza. Bilatu zenbakiok. EMA.: 1, 1.
89) Bi anaia-arreben adinen arteko batura 17 da; bost urte
barru, batena bestearenaren bikoitza izango da. Zenbat
urte dituzte? EMA.: 13, 4 urte.
90) Dendara joan eta alkandora bat eta praka batzuk erosi
ditut. Markatuta dituzten prezioen artean, 100 euro egiten
dute, baina, merkealdia dela eta, alkandoran % 20ko
deskontua egin didate, eta, praketan, % 30ekoa. Guztira,
73,50 euro pagatu dut. Zenbat balio du bakoitzak? EMA.:
35 eta 65 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

36
2
x + y = 24 
91 )
 EMA. : (2, 20); (  4, 8)
y = 2x + 16 

Ekuazio-sistemak
x y 7 
92 ) 2
 EMA. : ( 3, 4 ); ( 4 , 3 )
2
x  y  25 

93) 60 euro ditugu lagun batzuen artean banatzeko. Hiru
lagun gehiago bagina, bakoitzari euro bat gutxiago
egokituko litzaiguke. Zenbat gara? EMA: 12 lagun.

94) Loradenda batean, tulipan sortak egiteko hari batzuk
daude. Tulipanak binaka jarriz gero, 4 tulipan geldituko dira
sobran, eta hirunaka jarriz gero, hari bat sobran. Zenbat
tulipan eta zenbat hari daude? EMA: 7, 18.
95) Bi zenbakiren arteko kendura 3 da, eta zenbakion
berbiduren arteko batura, 117. Bila itzazu zenbakiok. EMA:
(–6, –9); (9, 6).
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

37

Ekuazio-sistemak

96) Bi zenbakiren arteko kendura 6 da, eta
biderkadura, 216. Bila itzazu zenbakiok. EMA: (–12, –
18); (18, 12).
97) Triangelu zuzen baten hipotenusa 10 m luze da,
eta perimetroa, 24 m-koa da. Zenbat luze dira bi
katetoak? EMA.: 6 cm, 8 cm.
98) x4 + 3x² – 4 = 0 EMA.: 1, –1
99) x × (x + 5) × (x – 2) = 0 EMA: 0, –5, 2.
100) x4 – 5x² + 4 = 0 EMA: 2, –2, 1, –1.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira


Slide 2

1

Ekuazioak 3. DBH
Alfredo Ortega Loza
Unitate honetan, hauek ikasi edo gogoratuko ditugu:
•Ekuazioak eta identitateak bereizten
•Lehenengo mailako ekuazioak askatzen
•Buruketak askatzen
•2. mailako ekuazioak askatzen
•Ekuazio-sistemak askatzen
•2. mailako ekuazio-sistemak askatzen

Berdintzak

2

Berdin ikurra duten adierazpeni berdintza
esaten zaie.
Berdintzak zenbakizkoak izan daitezke:
3·(5 – 4) = 2 + 1



45/5 = 18/2



Algebraikoak ere,
izan daitezke:

Berdintzaren ezkerreko aldeari
lehen atala esaten zaio, eta
eskuinekoari, bigarren atala.
Batuketa edo kenketa ikurren
arteko letra eta zenbakimultzoei, berriz, gai deritze.

3x – 5 = x/4 +1



5a + 2b = 10a/2 + (9/2)b – (5/2)b



Kopiatu koadernoan

Identitateak

3

Berdintza algebraikoak –letrak dituztenak–
identitateak edo ekuazioak izan daitezke:
Identitateak:

3x + (5 – 1)·2 = 2x + x + 8
5a – a = 2 (7a – 5a)

Gogoratu: zenbakien
eta letren artean ezer
ez dagoenean,
BIDER (·) ikurra
irakurri behar da beti.

Ezezagunak (letra) edozein balio izanda ere,
bete egingo da berdintza. Askatzen saiatuz
gero, 0 = 0 lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazioak

4

Ekuazioak:
3x = 2x + 1. EMA.: x = 1
5a – 3 = 2 (7a – 5a). EMA.: a = 3

Ezezagunaren balio batzuetarako baino ez
da betetzen berdintza.
Balio horiek topatzeari ekuazioa askatzea
(edo ebaztea) esaten zaio.

Kopiatu koadernoan

5

Ekuazio baliokideak
Ekuazioen propietateak:

Ekuazio baten bi aldeetan batuketa edo
kenketa bera egiten badugu, hasierakoaren
ekuazio baliokide bat (emaitza berbera
duena) lortuko dugu.
Ekuazio baten bi aldeak zero ez den
adierazpen batekin biderkatzen edo
zatitzen baditugu, hasierakoaren ekuazio
baliokide bat lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (1)

6

Ekuazioetarako erregelak:

x+7=3

–x = 3 – 2x

x+7–7=3–7

–x + 2x = 3 – 2x + 2x

x=3–7

–x + 2x = 3

x = –4

x=3

Ekuazioaren alde batean
batzen dagoena kentzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazioaren alde batean
kentzen dagoena batzen
pasatzen da beste aldera.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (2)

7

3x



3
x

Kopiatu koadernoan

Ekuazioetarako erregelak:
x
3x – 7 = 2
2 1
4
3x – 7 + 7 = 2 + 7
x
 2  2  1 2
4
3x = 9
9
3
9
3

x=3

Ekuazioaren alde batean
biderkatzen dagoena zatitzen
pasatzen da beste aldera.

x

 1

4
4

x

 4  (  1)

4
x  4  (  1)

x = –4
Ekuazioaren alde batean
zatitzen dagoena biderkatzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazio-ebazpenak

8
Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio eta identitate
hauek :

 Letrak dituzten
gai guztiak
berdintzaren alde
batera eraman
behar ditugu, eta
zenbakiak,
bestera.

1) x – 3 + 5x = 4x – 7. EMA.: –2

 Parentesiak
badaude, beste
ezer baino lehen
kendu behar
ditugu.

2) 7x – 5 + 2x + 6 = –3x + 8 – x.
EMA.: 7/13
3) 2x – (6x + 1) = 3x – 5(2 – x). EMA.: 3/4
4) 7(x + 3) = 7 + 8x – 1 . EMA.: 15
5) 3x +7 – 2(x – 3) = 3(x + 4) – 2x + 1.
EMA.: Edozein; identitatea da

6) 4 – (3 – x) + 6 = 2x + 2(2x – 3).
EMA.: 13/5
7) 5 – x(3 + 1) = 2x – 6(3 – 2x).
EMA.: 23/18

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

9

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio hauek :
8)

 Izendatzaileak
badaude,
izendatzaileen
MKTa lortu behar
dugu, eta,
ondoren,
berdintzaren
alde biak MKT
horrekin
biderkatuko
ditugu.

9)

1

x + 2=

2

x - 5 . E M A : 42

3

4

x

- 3  (x - 1) = 2 x -

7 - x

2

10)

1

(x - 2) -

8

11)

. E M A : 32/29.

3
2

(2 x + 6) + x = - 4 .E M A : -6/5

3

x - 1

-

x + 1

2
12) - 4  (3 - x)

=x -

3

5

.E M A : 1

3
+ 4x =

3

 (2 x - 1) - (x + 1) E M A : 4/3.

5

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

10

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
13)

x

-

x - 3

6

14)

=1 -

2x - 5

4

6x - 1

-

5x - 6

5

=

2x + 1

7
x - 2

15) 1 -

5

- 2

- 5x =

3x - 5

7x

(x - 1)

x - 8

2
18) 2 -

3  (2 + x)

=x +

3
-

3
x - 1
5

E M A : 25/41.

2

4

17)

E M A : 34/19.

3

3

16)

E M A : 23/7.

3

E M A : -13/38.

2
-

4  (4 x + 2)

=

5
- (2 x - 1) =

5x - 3

E M A : 2.

7
x - 5
E M A : 19/9

2

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

11

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
19) x -

x

-

x - 1

2

=

6

20) - 4 x - 3 -

x

- 2  (x - 1) E M A :11/13.

6

6x + 4

= 3 - 4  (x - 1) E M A : -37/3.

7
21) 3 -

x + 1

- (4 x - 1) = x - (3 - 4 x) E M A : 13/19.

2
x 22)

1
2 -

3
2

23)

x -

x + 2

-

2

x

- 3
3 = 2 - x - 2
E M A : 2.
4
6
12
1

3x - 1

+

4
(x + 2) (3 x - 1)

= 0 . E M A : 0.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

12

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

Buruketen emaitzak lortzeko, pauso hauek dira
garrantzitsuenak:

Proposatzen den buruketa ondo ulertu. Behar diren
irakurketa guztiak egin, zer eskatzen duten ondo ulertzeko
eta azaltzen diren baldintzak ondo kontrolatzeko

Azpimarratu datu garrantzitsuenak
Ixa esleitu. Ixaren aldamenean beti idatzi zer den
Dituzun datu guztien artean, erlazioren bat topatu.
Buruketak berak ematen du askotan

Sortu duzun ekuazioa askatu
Bukatzeko, egiaztatu emaitza dituzun datu guztiekin
Kopiatu koadernoan

13

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

24) Bi zenbakiren arteko batura 76, da eta bata bestea
baino lau unitate handiagoa da. Bilatu zenbakiok. EMA.:
36, 40.
25) Ondoz ondoko hiru zenbakiren arteko batura
laurogeita hamahiru da. Zein dira zenbaki horiek. EMA.:
30, 31, 32.
26) Zenbaki baten herenaren eta hirukoitzaren arteko
batura berrogei da. Aurkitu zenbakia. EMA.: 12.
27) Bi mila laurehun metro ibili ondoren, distantziaren
herena falta zaigu bukatzeko. Zein da distantzia? EMA.:
3.600 m.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

14

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

28) Pertsona batek duen muxika-kopurua honela banatuta
geratu da: erdiak saldu egin zituen, laurdenak anaiari eman
zizkion eta, oraindik, ehun eta hogei muxika geratu zaizkio.
Zenbat muxika zituen? EMA.: 480 muxika.

29) Zuk hamabi urte badituzu eta zure aitak zure adinaren
zortzi herena, zenbat urte ditu zure aitak? EMA.: 32 urte.
30) Ondoz ondoko bi zenbaki ditugu. Handienaren
herenaren eta txikienaren arteko batura txikienaren
bikoitzaren herena da. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 2, 3.
31) Andonik Kepak baino bost euro gehiago ditu. Baina
Andonik Kepari lau euro emango balizkio, Keparen dirutza
Andonirenaren bikoitza bihurtuko litzateke. Zenbat dauka
bakoitzak? EMA.: 7 eta 2 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

15

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

32) Orain dela lau urte ume baten adinaren hirukoitza
orain duenaren bikoitza zen. Zenbat urte ditu? EMA.: 12
urte.
33) Pertsona baten adina beste lagun batenaren bikoitza
da. Orain dela zazpi urte, bi pertsonen urteen batura
lehenengoaren gaur egungo adina izan zen. Kalkula
itzazu bi pertsonen adinak. EMA.:14 eta 28 urte.
34) Aita batek berrogeita bi urte ditu, eta semeak hamar.
Zenbat urte pasa behar dira aitaren adina semearenaren
hirukoitza izateko? EMA.: 6 urte
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

16

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

35) Gripea zela eta, gela bateko sei ikasle ez ziren eskolara
etorri. Eta, honela, ikasle guztien hiru laurdenak baino bi
gehiago etorri ziren. Zenbat ikasle ziren gelan? EMA.: 32
ikasle.
36) Laukizuzen-itxurako bizkotxo batean, hiru zati egin ditugu.
Lehenengoa bizkotxoaren herena da, bigarrena bostena eta
hirugarrena lau bederatzirena; 4 cm geratu zaigu sobran.
Zenbatekoa da bizkotxoaren luzera? EMA.: 180 cm.

37) Hemendik hamaika urtera, Enekoren adina duela
hamahiru urte zuenaren bikoitza izango da. Zenbat urte ditu?
EMA.: 37 urte.00
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

17

2. mailako ekuazioak ezezagun bakarrekoak badira,
honela adieraziko ditugu:
ax2 + bx + c = 0
a, b eta c zenbaki osoak dira, eta a ezin da zeroren
berdina izan (a  0).
Ekuazio horiek formula honek askatzen ditu beti:

x

b

b  4 ac
2

2a
Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

18

x

Adibide gisa, askatu
honako ekuazio hau:

x

b  4 ac
2

2a

GOGORATU: letra baten
aurrean ezer ikusten ez
duzunean, 1 zenbakia dago

2x2 – x – 1 = 0
a=2
b = –1
c = –1

b

 (  1) 

(  1)  4  2  (  1)
2

22
4



1 1 8
4

Kopiatu koadernoan



1 3
4



1

4
2
4



1
2



2. mailako ekuazioak

19
x

b

b  4 ac
2

2a

Askatu honako ekuazio hauek:
38) x2 – x – 2 = 0 EMA.: 2, –1
39) 3x2 – 7x – 6 = 0 EMA.: 3, –2/3
40) 4x2 – 8x + 3 = 0 EMA.: 3/2, 1/2
41) x2 + 4x + 4 = 0 EMA.: –2

42) x2 + 8x + 3 = 0 EMA.: –0,4; –7,6
43) x2 + 2x + 2 = 0 EMA.: emaitzarik
ez.

Emaitza bakarra
lortzen badugu,
emaitza horri emaitza
bikoitza esango
diogu.
Batzuetan, erroak ez
du emaitzarik, eta,
orduan, esaten dugu
ekuazioak ez duela
emaitza errealik.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

20

Modu horrek 2. mailako ekuazio guztietarako balio
badu ere, badaude beste modu errazago batzuk:
1) b = 0 denean

Adibidea:

ax2 + 0x + c = 0

3x2 – 75 = 0

ax2 + c = 0

3x2 = 75

ax2 = –c
x 
2

x 
2

75
3

c

5

a
x

c

x   25 

–5

a

Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

21

GOGORATU: biderkadura bat zero bada,
biderkagairen bat zero delako da
2) c = 0 denean

Adibidea:

ax2 + bx + 0 = 0

5x2 – 7x = 0

ax2 + bx = 0

x·(5x – 7) = 0

x·(ax + b) = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

5x – 7 = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

ax + b = 0
x = –b/a
Kopiatu koadernoan

x = 7/5

22

2. mailako ekuazioak

Ebatzi honako ekuazio hauek:
44) 3x² + 5x – 2 = 0 EMA.: 1/3; –2
45) 4x² – 36 = 0 EMA: 3, –3.
46) 2x² – 15x + 7 = 0 EMA: 7, 1/2

52) 2x2 – 3 = x2 – 2x EMA.: 1,
–3
53) x – 2 = x2 EMA.:
emaitzarik ez.

47) 3x² – 75x = 0 EMA: 0, 25.
48) 7x² – 9x + 2 = 0 EMA.: 1, 2/7

54 ) 1 +

= 2x

EMA.: –1/2, 1

x

49) 2x² – 2x – 24 = 0 EMA.: 4, –3

50) x²/3 – 12 = 0 EMA: 6, –6

1

55 ) 1 +

1
x

=x -

1
x

EMA.: –1, 2

51) (x – 2)(x + 1) = 0 EMA: 2, –1
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

23

2. mailako ekuazioak. Buruketak

56) Bi zenbakiren artean, 5eko aldea dago, eta haien
arteko biderkadura 66 da. Zein dira zenbakiok? EMA.: 6,
11; –11, –6.
57) Laukizuzen batek hogei zentimetroko diagonala du.
Zein izango da azalera, altuera baino lau cm luzeago
badu oina? EMA.: 12 cm, 16 cm.
58) Bila ezazu zirkunferentzia baten luzera, haren azalera
28,26 m² bada. EMA.: 18,84 m.
59) Triangelu zuzen batean, hipotenusaren luzera 10 cm
da. Bila itzazu katetoen luzerak, bata bestea baino 2 cm
luzeagoa bada. EMA.: 6 cm, 8 cm.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

24

2. mailako ekuazioak. Buruketak

60) Demagun 7 cm-ko alanbre bat daukagula. Nondik
tolestuko dugu muturretako bat bestetik 5 cm-ra egon dadin
angelu zuzen bat osatu ondoren? EMA.: 4 cm, 3 cm.
61) Ondoz ondoko bi zenbakiren arteko biderkadura
honako hau da zenbaki horien arteko batura gehi bost
unitate. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 3, 4; –2, –1.
62) Triangelu zuzen baten azalera 90 cm2 da. Bilatu
katetoak, haien arteko aldea 3 cm-koa bada. EMA.: 12 cm
eta 15 cm.
63) Banatu 9 zenbakia bi zatitan, bakoitzaren berbiduren
arteko batura 41 izan dadin. EMA.: 4, 5.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

25

Bi ezezaguneko ekuazio-sistemak:
Bi ekuazio aldi berean betetzen badira, ekuazio-sistema
bat dugu. Bi ekuazioak zenbaki berberetarako bete
behar dira.
Adibidez:

2x  y  4 

x  2 y   3

Sistema honen emaitza x = 1 eta y = 2 da, edo beste
modu batez adierazita, (1, 2) da.
Begiratu ea egia den.
Kopiatu koadernoan

26

Ekuazio-sistemak

Lau era ditugu ekuazio-sistemak ebazteko, baina
mementoz hiru besterik ez dugu ikasiko:
1. Ordezkatzea
2. Berdintzea
3. Laburtzea

Kopiatu koadernoan

Ekuazio-sistemak

27
1. Ordezkatzea
2x  y  4 

x  2 y   3

y  4  2x



x  8  4 x   3

Ekuazio batean,
ezezagun bat bakandu:
y  4  2x 

x  2 y   3

Beste ekuazioan,
ezezagun hori ordeztu

Beste ekuazioan
ordeztu
y  4  2x 

5 x  3  8

y  4  2x

5x  5 

y  4  2x



x  2  ( 4  2 x )   3

y  4  2x

x 1 

Kopiatu koadernoan

y  4  2  1

x 1 

y  2

x  1

Ekuazio-sistemak

28

Askatu sistema hauek, ordezkatze-metodoa erabiliz:
3 x  8 y  10 
64 )
 EMA. : ( 6 ,  1)
x y 5 

2x  3y  7 
65 )
 EMA. : ( 2 ,  1)
5 x  2 y  12 



1
2
67 )
EMA. : ( 4 , )

x y
x
2
  y
3
4

3x

68 )

 4y  8

3x  1  2 y  2
 EMA. : (  1,  3 )
x  y  4


2 x  12  4 y 

66 ) 2 x
 EMA. : ( 0 ,  3 )
 2 y  6

5


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

29

Ekuazio biak
berdindu

2. Berdintzea
2x  y  4 

x  2 y   3

4  2x 

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

3 x
2

y  4  2x

Ekuazio bietan, ezezagun
bera bakandu:
8  4x  3  x

y  4  2x 

 2 y  3  x 

y  4  2x

3 x 
y
2 


 5 x  5

x 1

Kopiatu koadernoan

y  4  2 1

y2

Ekuazio-sistemak

30

Askatu sistema hauek, berdintze-metodoa erabiliz:
2 x  y  0
69 )
 EMA. : (  1, 2 )
x  y 1

3x  y  4

70 ) x
 EMA. : ( 2 , 2 )
 y3

2


x 5  4y
x
71 )
y 
2


1
 y 1 
72 ) 4
 EMA. : ( 2 ,  )
2
2( x  y )  3

x

73 )

x5 y


 EMA. : (  3, 2 )
5 x  2 y   19 


1

EMA.
:
(
3
,

)

2
2



Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

31
3. Laburtzea
2x  y  4 

x  2 y   3

Ezezagun bera duten bi
gaiak ekuazio bietan
berdinak izatea da
helburua; berdinak
baina aurkako zeinua
dutela. Horretarako,
ekuazioetako bat
zenbaki oso batez
biderkatuko dugu:
2  (2 x  y  4)

x  2 y  3 

4x  2 y  8 

x  2 y   3

Ekuazio bien
arteko batuketa
egin, gaiz gai.
4x  2 y  8



x  2 y  3 

5x  0 y  5
5x  5
x 1

Kopiatu koadernoan

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

2 1  y  4

y  42

y2

Ekuazio-sistemak

32

Askatu sistema hauek, laburtze-metodoa erabiliz:
x  y  9
74 )
 EMA. : ( 5 , 4 )
x  y 1

75 )

3x  y  3
1
EMA.
:
(
, 2)

6 x  y  0
3

76 )

2 x  3 y  4
 EMA. : (1,  2 )
x  2y  5 


 y  0
77 ) 2
 EMA. : ( 4 ,  2 )
y
 x  3
2

x

5 
1 1

78 )
EMA.
:
(
, )
6 
2
3
3 y  3  4 x  2 
x 1  y 

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

33

Askatu sistema hauek, zure ustez errazena den metodoaz:
6 x  5 y  4
79 )
 EMA. : (1,  2 )
x  y  1

82 )

3x  y  1


 EMA. : Ez du
x  2 y  2  2x  y

emaitzarik

3x  5  2 y


80 ) x
 EMA. : (3 , 2 )
 y  2x  3

3


x
83 )
x

(Sistema

y 1
2
y2
3

bateraezin a)


1

 EMA. : (  8 ,  19 )
 1


3x  y  2
1

y  EMA. : ( ,  1)
81 ) x

3
3
9 


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

34

Ekuazio-sistemak. Buruketak

84) Ostatu batean, ohe bateko eta biko gelak daude. Orotara 50
gela eta 87 ohe daude. Mota bakoitzeko zenbat gela dago?
EMA.: 13, 37 gela
85) Txakur-txapelketa batean, txakurrak eta beraien jabeak
daude. Guztira hirurogeita hamazortzi buru eta berrehun eta
hamasei hanka daude. Zenbat txakur eta pertsona daude?
EMA.: 48 pertsona, 30 txakur.
86) Bi zenbakiren arteko batura hamalau da. Handienari bat
gehitzen badiogu, txikienaren bikoitza lortzen da. Aurki itzazu
zenbakiak. EMA.: 9, 5.
87) Bi zenbakiren arteko batura 150 da, eta kendura txikienaren
laukoitza da. Aurki itzazu zenbakiok. EMA.: 125, 25
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

35

Ekuazio-sistemak. Buruketak

88) Zenbaki baten hirukoitzari beste baten laukoitza
gehitutakoan, zazpi izango da emaitza; lehenengoaren
bikoitzari bigarrena gehitutakoan, berriz, hiru izango da
emaitza. Bilatu zenbakiok. EMA.: 1, 1.
89) Bi anaia-arreben adinen arteko batura 17 da; bost urte
barru, batena bestearenaren bikoitza izango da. Zenbat
urte dituzte? EMA.: 13, 4 urte.
90) Dendara joan eta alkandora bat eta praka batzuk erosi
ditut. Markatuta dituzten prezioen artean, 100 euro egiten
dute, baina, merkealdia dela eta, alkandoran % 20ko
deskontua egin didate, eta, praketan, % 30ekoa. Guztira,
73,50 euro pagatu dut. Zenbat balio du bakoitzak? EMA.:
35 eta 65 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

36
2
x + y = 24 
91 )
 EMA. : (2, 20); (  4, 8)
y = 2x + 16 

Ekuazio-sistemak
x y 7 
92 ) 2
 EMA. : ( 3, 4 ); ( 4 , 3 )
2
x  y  25 

93) 60 euro ditugu lagun batzuen artean banatzeko. Hiru
lagun gehiago bagina, bakoitzari euro bat gutxiago
egokituko litzaiguke. Zenbat gara? EMA: 12 lagun.

94) Loradenda batean, tulipan sortak egiteko hari batzuk
daude. Tulipanak binaka jarriz gero, 4 tulipan geldituko dira
sobran, eta hirunaka jarriz gero, hari bat sobran. Zenbat
tulipan eta zenbat hari daude? EMA: 7, 18.
95) Bi zenbakiren arteko kendura 3 da, eta zenbakion
berbiduren arteko batura, 117. Bila itzazu zenbakiok. EMA:
(–6, –9); (9, 6).
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

37

Ekuazio-sistemak

96) Bi zenbakiren arteko kendura 6 da, eta
biderkadura, 216. Bila itzazu zenbakiok. EMA: (–12, –
18); (18, 12).
97) Triangelu zuzen baten hipotenusa 10 m luze da,
eta perimetroa, 24 m-koa da. Zenbat luze dira bi
katetoak? EMA.: 6 cm, 8 cm.
98) x4 + 3x² – 4 = 0 EMA.: 1, –1
99) x × (x + 5) × (x – 2) = 0 EMA: 0, –5, 2.
100) x4 – 5x² + 4 = 0 EMA: 2, –2, 1, –1.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira


Slide 3

1

Ekuazioak 3. DBH
Alfredo Ortega Loza
Unitate honetan, hauek ikasi edo gogoratuko ditugu:
•Ekuazioak eta identitateak bereizten
•Lehenengo mailako ekuazioak askatzen
•Buruketak askatzen
•2. mailako ekuazioak askatzen
•Ekuazio-sistemak askatzen
•2. mailako ekuazio-sistemak askatzen

Berdintzak

2

Berdin ikurra duten adierazpeni berdintza
esaten zaie.
Berdintzak zenbakizkoak izan daitezke:
3·(5 – 4) = 2 + 1



45/5 = 18/2



Algebraikoak ere,
izan daitezke:

Berdintzaren ezkerreko aldeari
lehen atala esaten zaio, eta
eskuinekoari, bigarren atala.
Batuketa edo kenketa ikurren
arteko letra eta zenbakimultzoei, berriz, gai deritze.

3x – 5 = x/4 +1



5a + 2b = 10a/2 + (9/2)b – (5/2)b



Kopiatu koadernoan

Identitateak

3

Berdintza algebraikoak –letrak dituztenak–
identitateak edo ekuazioak izan daitezke:
Identitateak:

3x + (5 – 1)·2 = 2x + x + 8
5a – a = 2 (7a – 5a)

Gogoratu: zenbakien
eta letren artean ezer
ez dagoenean,
BIDER (·) ikurra
irakurri behar da beti.

Ezezagunak (letra) edozein balio izanda ere,
bete egingo da berdintza. Askatzen saiatuz
gero, 0 = 0 lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazioak

4

Ekuazioak:
3x = 2x + 1. EMA.: x = 1
5a – 3 = 2 (7a – 5a). EMA.: a = 3

Ezezagunaren balio batzuetarako baino ez
da betetzen berdintza.
Balio horiek topatzeari ekuazioa askatzea
(edo ebaztea) esaten zaio.

Kopiatu koadernoan

5

Ekuazio baliokideak
Ekuazioen propietateak:

Ekuazio baten bi aldeetan batuketa edo
kenketa bera egiten badugu, hasierakoaren
ekuazio baliokide bat (emaitza berbera
duena) lortuko dugu.
Ekuazio baten bi aldeak zero ez den
adierazpen batekin biderkatzen edo
zatitzen baditugu, hasierakoaren ekuazio
baliokide bat lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (1)

6

Ekuazioetarako erregelak:

x+7=3

–x = 3 – 2x

x+7–7=3–7

–x + 2x = 3 – 2x + 2x

x=3–7

–x + 2x = 3

x = –4

x=3

Ekuazioaren alde batean
batzen dagoena kentzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazioaren alde batean
kentzen dagoena batzen
pasatzen da beste aldera.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (2)

7

3x



3
x

Kopiatu koadernoan

Ekuazioetarako erregelak:
x
3x – 7 = 2
2 1
4
3x – 7 + 7 = 2 + 7
x
 2  2  1 2
4
3x = 9
9
3
9
3

x=3

Ekuazioaren alde batean
biderkatzen dagoena zatitzen
pasatzen da beste aldera.

x

 1

4
4

x

 4  (  1)

4
x  4  (  1)

x = –4
Ekuazioaren alde batean
zatitzen dagoena biderkatzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazio-ebazpenak

8
Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio eta identitate
hauek :

 Letrak dituzten
gai guztiak
berdintzaren alde
batera eraman
behar ditugu, eta
zenbakiak,
bestera.

1) x – 3 + 5x = 4x – 7. EMA.: –2

 Parentesiak
badaude, beste
ezer baino lehen
kendu behar
ditugu.

2) 7x – 5 + 2x + 6 = –3x + 8 – x.
EMA.: 7/13
3) 2x – (6x + 1) = 3x – 5(2 – x). EMA.: 3/4
4) 7(x + 3) = 7 + 8x – 1 . EMA.: 15
5) 3x +7 – 2(x – 3) = 3(x + 4) – 2x + 1.
EMA.: Edozein; identitatea da

6) 4 – (3 – x) + 6 = 2x + 2(2x – 3).
EMA.: 13/5
7) 5 – x(3 + 1) = 2x – 6(3 – 2x).
EMA.: 23/18

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

9

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio hauek :
8)

 Izendatzaileak
badaude,
izendatzaileen
MKTa lortu behar
dugu, eta,
ondoren,
berdintzaren
alde biak MKT
horrekin
biderkatuko
ditugu.

9)

1

x + 2=

2

x - 5 . E M A : 42

3

4

x

- 3  (x - 1) = 2 x -

7 - x

2

10)

1

(x - 2) -

8

11)

. E M A : 32/29.

3
2

(2 x + 6) + x = - 4 .E M A : -6/5

3

x - 1

-

x + 1

2
12) - 4  (3 - x)

=x -

3

5

.E M A : 1

3
+ 4x =

3

 (2 x - 1) - (x + 1) E M A : 4/3.

5

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

10

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
13)

x

-

x - 3

6

14)

=1 -

2x - 5

4

6x - 1

-

5x - 6

5

=

2x + 1

7
x - 2

15) 1 -

5

- 2

- 5x =

3x - 5

7x

(x - 1)

x - 8

2
18) 2 -

3  (2 + x)

=x +

3
-

3
x - 1
5

E M A : 25/41.

2

4

17)

E M A : 34/19.

3

3

16)

E M A : 23/7.

3

E M A : -13/38.

2
-

4  (4 x + 2)

=

5
- (2 x - 1) =

5x - 3

E M A : 2.

7
x - 5
E M A : 19/9

2

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

11

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
19) x -

x

-

x - 1

2

=

6

20) - 4 x - 3 -

x

- 2  (x - 1) E M A :11/13.

6

6x + 4

= 3 - 4  (x - 1) E M A : -37/3.

7
21) 3 -

x + 1

- (4 x - 1) = x - (3 - 4 x) E M A : 13/19.

2
x 22)

1
2 -

3
2

23)

x -

x + 2

-

2

x

- 3
3 = 2 - x - 2
E M A : 2.
4
6
12
1

3x - 1

+

4
(x + 2) (3 x - 1)

= 0 . E M A : 0.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

12

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

Buruketen emaitzak lortzeko, pauso hauek dira
garrantzitsuenak:

Proposatzen den buruketa ondo ulertu. Behar diren
irakurketa guztiak egin, zer eskatzen duten ondo ulertzeko
eta azaltzen diren baldintzak ondo kontrolatzeko

Azpimarratu datu garrantzitsuenak
Ixa esleitu. Ixaren aldamenean beti idatzi zer den
Dituzun datu guztien artean, erlazioren bat topatu.
Buruketak berak ematen du askotan

Sortu duzun ekuazioa askatu
Bukatzeko, egiaztatu emaitza dituzun datu guztiekin
Kopiatu koadernoan

13

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

24) Bi zenbakiren arteko batura 76, da eta bata bestea
baino lau unitate handiagoa da. Bilatu zenbakiok. EMA.:
36, 40.
25) Ondoz ondoko hiru zenbakiren arteko batura
laurogeita hamahiru da. Zein dira zenbaki horiek. EMA.:
30, 31, 32.
26) Zenbaki baten herenaren eta hirukoitzaren arteko
batura berrogei da. Aurkitu zenbakia. EMA.: 12.
27) Bi mila laurehun metro ibili ondoren, distantziaren
herena falta zaigu bukatzeko. Zein da distantzia? EMA.:
3.600 m.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

14

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

28) Pertsona batek duen muxika-kopurua honela banatuta
geratu da: erdiak saldu egin zituen, laurdenak anaiari eman
zizkion eta, oraindik, ehun eta hogei muxika geratu zaizkio.
Zenbat muxika zituen? EMA.: 480 muxika.

29) Zuk hamabi urte badituzu eta zure aitak zure adinaren
zortzi herena, zenbat urte ditu zure aitak? EMA.: 32 urte.
30) Ondoz ondoko bi zenbaki ditugu. Handienaren
herenaren eta txikienaren arteko batura txikienaren
bikoitzaren herena da. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 2, 3.
31) Andonik Kepak baino bost euro gehiago ditu. Baina
Andonik Kepari lau euro emango balizkio, Keparen dirutza
Andonirenaren bikoitza bihurtuko litzateke. Zenbat dauka
bakoitzak? EMA.: 7 eta 2 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

15

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

32) Orain dela lau urte ume baten adinaren hirukoitza
orain duenaren bikoitza zen. Zenbat urte ditu? EMA.: 12
urte.
33) Pertsona baten adina beste lagun batenaren bikoitza
da. Orain dela zazpi urte, bi pertsonen urteen batura
lehenengoaren gaur egungo adina izan zen. Kalkula
itzazu bi pertsonen adinak. EMA.:14 eta 28 urte.
34) Aita batek berrogeita bi urte ditu, eta semeak hamar.
Zenbat urte pasa behar dira aitaren adina semearenaren
hirukoitza izateko? EMA.: 6 urte
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

16

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

35) Gripea zela eta, gela bateko sei ikasle ez ziren eskolara
etorri. Eta, honela, ikasle guztien hiru laurdenak baino bi
gehiago etorri ziren. Zenbat ikasle ziren gelan? EMA.: 32
ikasle.
36) Laukizuzen-itxurako bizkotxo batean, hiru zati egin ditugu.
Lehenengoa bizkotxoaren herena da, bigarrena bostena eta
hirugarrena lau bederatzirena; 4 cm geratu zaigu sobran.
Zenbatekoa da bizkotxoaren luzera? EMA.: 180 cm.

37) Hemendik hamaika urtera, Enekoren adina duela
hamahiru urte zuenaren bikoitza izango da. Zenbat urte ditu?
EMA.: 37 urte.00
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

17

2. mailako ekuazioak ezezagun bakarrekoak badira,
honela adieraziko ditugu:
ax2 + bx + c = 0
a, b eta c zenbaki osoak dira, eta a ezin da zeroren
berdina izan (a  0).
Ekuazio horiek formula honek askatzen ditu beti:

x

b

b  4 ac
2

2a
Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

18

x

Adibide gisa, askatu
honako ekuazio hau:

x

b  4 ac
2

2a

GOGORATU: letra baten
aurrean ezer ikusten ez
duzunean, 1 zenbakia dago

2x2 – x – 1 = 0
a=2
b = –1
c = –1

b

 (  1) 

(  1)  4  2  (  1)
2

22
4



1 1 8
4

Kopiatu koadernoan



1 3
4



1

4
2
4



1
2



2. mailako ekuazioak

19
x

b

b  4 ac
2

2a

Askatu honako ekuazio hauek:
38) x2 – x – 2 = 0 EMA.: 2, –1
39) 3x2 – 7x – 6 = 0 EMA.: 3, –2/3
40) 4x2 – 8x + 3 = 0 EMA.: 3/2, 1/2
41) x2 + 4x + 4 = 0 EMA.: –2

42) x2 + 8x + 3 = 0 EMA.: –0,4; –7,6
43) x2 + 2x + 2 = 0 EMA.: emaitzarik
ez.

Emaitza bakarra
lortzen badugu,
emaitza horri emaitza
bikoitza esango
diogu.
Batzuetan, erroak ez
du emaitzarik, eta,
orduan, esaten dugu
ekuazioak ez duela
emaitza errealik.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

20

Modu horrek 2. mailako ekuazio guztietarako balio
badu ere, badaude beste modu errazago batzuk:
1) b = 0 denean

Adibidea:

ax2 + 0x + c = 0

3x2 – 75 = 0

ax2 + c = 0

3x2 = 75

ax2 = –c
x 
2

x 
2

75
3

c

5

a
x

c

x   25 

–5

a

Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

21

GOGORATU: biderkadura bat zero bada,
biderkagairen bat zero delako da
2) c = 0 denean

Adibidea:

ax2 + bx + 0 = 0

5x2 – 7x = 0

ax2 + bx = 0

x·(5x – 7) = 0

x·(ax + b) = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

5x – 7 = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

ax + b = 0
x = –b/a
Kopiatu koadernoan

x = 7/5

22

2. mailako ekuazioak

Ebatzi honako ekuazio hauek:
44) 3x² + 5x – 2 = 0 EMA.: 1/3; –2
45) 4x² – 36 = 0 EMA: 3, –3.
46) 2x² – 15x + 7 = 0 EMA: 7, 1/2

52) 2x2 – 3 = x2 – 2x EMA.: 1,
–3
53) x – 2 = x2 EMA.:
emaitzarik ez.

47) 3x² – 75x = 0 EMA: 0, 25.
48) 7x² – 9x + 2 = 0 EMA.: 1, 2/7

54 ) 1 +

= 2x

EMA.: –1/2, 1

x

49) 2x² – 2x – 24 = 0 EMA.: 4, –3

50) x²/3 – 12 = 0 EMA: 6, –6

1

55 ) 1 +

1
x

=x -

1
x

EMA.: –1, 2

51) (x – 2)(x + 1) = 0 EMA: 2, –1
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

23

2. mailako ekuazioak. Buruketak

56) Bi zenbakiren artean, 5eko aldea dago, eta haien
arteko biderkadura 66 da. Zein dira zenbakiok? EMA.: 6,
11; –11, –6.
57) Laukizuzen batek hogei zentimetroko diagonala du.
Zein izango da azalera, altuera baino lau cm luzeago
badu oina? EMA.: 12 cm, 16 cm.
58) Bila ezazu zirkunferentzia baten luzera, haren azalera
28,26 m² bada. EMA.: 18,84 m.
59) Triangelu zuzen batean, hipotenusaren luzera 10 cm
da. Bila itzazu katetoen luzerak, bata bestea baino 2 cm
luzeagoa bada. EMA.: 6 cm, 8 cm.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

24

2. mailako ekuazioak. Buruketak

60) Demagun 7 cm-ko alanbre bat daukagula. Nondik
tolestuko dugu muturretako bat bestetik 5 cm-ra egon dadin
angelu zuzen bat osatu ondoren? EMA.: 4 cm, 3 cm.
61) Ondoz ondoko bi zenbakiren arteko biderkadura
honako hau da zenbaki horien arteko batura gehi bost
unitate. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 3, 4; –2, –1.
62) Triangelu zuzen baten azalera 90 cm2 da. Bilatu
katetoak, haien arteko aldea 3 cm-koa bada. EMA.: 12 cm
eta 15 cm.
63) Banatu 9 zenbakia bi zatitan, bakoitzaren berbiduren
arteko batura 41 izan dadin. EMA.: 4, 5.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

25

Bi ezezaguneko ekuazio-sistemak:
Bi ekuazio aldi berean betetzen badira, ekuazio-sistema
bat dugu. Bi ekuazioak zenbaki berberetarako bete
behar dira.
Adibidez:

2x  y  4 

x  2 y   3

Sistema honen emaitza x = 1 eta y = 2 da, edo beste
modu batez adierazita, (1, 2) da.
Begiratu ea egia den.
Kopiatu koadernoan

26

Ekuazio-sistemak

Lau era ditugu ekuazio-sistemak ebazteko, baina
mementoz hiru besterik ez dugu ikasiko:
1. Ordezkatzea
2. Berdintzea
3. Laburtzea

Kopiatu koadernoan

Ekuazio-sistemak

27
1. Ordezkatzea
2x  y  4 

x  2 y   3

y  4  2x



x  8  4 x   3

Ekuazio batean,
ezezagun bat bakandu:
y  4  2x 

x  2 y   3

Beste ekuazioan,
ezezagun hori ordeztu

Beste ekuazioan
ordeztu
y  4  2x 

5 x  3  8

y  4  2x

5x  5 

y  4  2x



x  2  ( 4  2 x )   3

y  4  2x

x 1 

Kopiatu koadernoan

y  4  2  1

x 1 

y  2

x  1

Ekuazio-sistemak

28

Askatu sistema hauek, ordezkatze-metodoa erabiliz:
3 x  8 y  10 
64 )
 EMA. : ( 6 ,  1)
x y 5 

2x  3y  7 
65 )
 EMA. : ( 2 ,  1)
5 x  2 y  12 



1
2
67 )
EMA. : ( 4 , )

x y
x
2
  y
3
4

3x

68 )

 4y  8

3x  1  2 y  2
 EMA. : (  1,  3 )
x  y  4


2 x  12  4 y 

66 ) 2 x
 EMA. : ( 0 ,  3 )
 2 y  6

5


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

29

Ekuazio biak
berdindu

2. Berdintzea
2x  y  4 

x  2 y   3

4  2x 

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

3 x
2

y  4  2x

Ekuazio bietan, ezezagun
bera bakandu:
8  4x  3  x

y  4  2x 

 2 y  3  x 

y  4  2x

3 x 
y
2 


 5 x  5

x 1

Kopiatu koadernoan

y  4  2 1

y2

Ekuazio-sistemak

30

Askatu sistema hauek, berdintze-metodoa erabiliz:
2 x  y  0
69 )
 EMA. : (  1, 2 )
x  y 1

3x  y  4

70 ) x
 EMA. : ( 2 , 2 )
 y3

2


x 5  4y
x
71 )
y 
2


1
 y 1 
72 ) 4
 EMA. : ( 2 ,  )
2
2( x  y )  3

x

73 )

x5 y


 EMA. : (  3, 2 )
5 x  2 y   19 


1

EMA.
:
(
3
,

)

2
2



Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

31
3. Laburtzea
2x  y  4 

x  2 y   3

Ezezagun bera duten bi
gaiak ekuazio bietan
berdinak izatea da
helburua; berdinak
baina aurkako zeinua
dutela. Horretarako,
ekuazioetako bat
zenbaki oso batez
biderkatuko dugu:
2  (2 x  y  4)

x  2 y  3 

4x  2 y  8 

x  2 y   3

Ekuazio bien
arteko batuketa
egin, gaiz gai.
4x  2 y  8



x  2 y  3 

5x  0 y  5
5x  5
x 1

Kopiatu koadernoan

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

2 1  y  4

y  42

y2

Ekuazio-sistemak

32

Askatu sistema hauek, laburtze-metodoa erabiliz:
x  y  9
74 )
 EMA. : ( 5 , 4 )
x  y 1

75 )

3x  y  3
1
EMA.
:
(
, 2)

6 x  y  0
3

76 )

2 x  3 y  4
 EMA. : (1,  2 )
x  2y  5 


 y  0
77 ) 2
 EMA. : ( 4 ,  2 )
y
 x  3
2

x

5 
1 1

78 )
EMA.
:
(
, )
6 
2
3
3 y  3  4 x  2 
x 1  y 

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

33

Askatu sistema hauek, zure ustez errazena den metodoaz:
6 x  5 y  4
79 )
 EMA. : (1,  2 )
x  y  1

82 )

3x  y  1


 EMA. : Ez du
x  2 y  2  2x  y

emaitzarik

3x  5  2 y


80 ) x
 EMA. : (3 , 2 )
 y  2x  3

3


x
83 )
x

(Sistema

y 1
2
y2
3

bateraezin a)


1

 EMA. : (  8 ,  19 )
 1


3x  y  2
1

y  EMA. : ( ,  1)
81 ) x

3
3
9 


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

34

Ekuazio-sistemak. Buruketak

84) Ostatu batean, ohe bateko eta biko gelak daude. Orotara 50
gela eta 87 ohe daude. Mota bakoitzeko zenbat gela dago?
EMA.: 13, 37 gela
85) Txakur-txapelketa batean, txakurrak eta beraien jabeak
daude. Guztira hirurogeita hamazortzi buru eta berrehun eta
hamasei hanka daude. Zenbat txakur eta pertsona daude?
EMA.: 48 pertsona, 30 txakur.
86) Bi zenbakiren arteko batura hamalau da. Handienari bat
gehitzen badiogu, txikienaren bikoitza lortzen da. Aurki itzazu
zenbakiak. EMA.: 9, 5.
87) Bi zenbakiren arteko batura 150 da, eta kendura txikienaren
laukoitza da. Aurki itzazu zenbakiok. EMA.: 125, 25
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

35

Ekuazio-sistemak. Buruketak

88) Zenbaki baten hirukoitzari beste baten laukoitza
gehitutakoan, zazpi izango da emaitza; lehenengoaren
bikoitzari bigarrena gehitutakoan, berriz, hiru izango da
emaitza. Bilatu zenbakiok. EMA.: 1, 1.
89) Bi anaia-arreben adinen arteko batura 17 da; bost urte
barru, batena bestearenaren bikoitza izango da. Zenbat
urte dituzte? EMA.: 13, 4 urte.
90) Dendara joan eta alkandora bat eta praka batzuk erosi
ditut. Markatuta dituzten prezioen artean, 100 euro egiten
dute, baina, merkealdia dela eta, alkandoran % 20ko
deskontua egin didate, eta, praketan, % 30ekoa. Guztira,
73,50 euro pagatu dut. Zenbat balio du bakoitzak? EMA.:
35 eta 65 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

36
2
x + y = 24 
91 )
 EMA. : (2, 20); (  4, 8)
y = 2x + 16 

Ekuazio-sistemak
x y 7 
92 ) 2
 EMA. : ( 3, 4 ); ( 4 , 3 )
2
x  y  25 

93) 60 euro ditugu lagun batzuen artean banatzeko. Hiru
lagun gehiago bagina, bakoitzari euro bat gutxiago
egokituko litzaiguke. Zenbat gara? EMA: 12 lagun.

94) Loradenda batean, tulipan sortak egiteko hari batzuk
daude. Tulipanak binaka jarriz gero, 4 tulipan geldituko dira
sobran, eta hirunaka jarriz gero, hari bat sobran. Zenbat
tulipan eta zenbat hari daude? EMA: 7, 18.
95) Bi zenbakiren arteko kendura 3 da, eta zenbakion
berbiduren arteko batura, 117. Bila itzazu zenbakiok. EMA:
(–6, –9); (9, 6).
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

37

Ekuazio-sistemak

96) Bi zenbakiren arteko kendura 6 da, eta
biderkadura, 216. Bila itzazu zenbakiok. EMA: (–12, –
18); (18, 12).
97) Triangelu zuzen baten hipotenusa 10 m luze da,
eta perimetroa, 24 m-koa da. Zenbat luze dira bi
katetoak? EMA.: 6 cm, 8 cm.
98) x4 + 3x² – 4 = 0 EMA.: 1, –1
99) x × (x + 5) × (x – 2) = 0 EMA: 0, –5, 2.
100) x4 – 5x² + 4 = 0 EMA: 2, –2, 1, –1.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira


Slide 4

1

Ekuazioak 3. DBH
Alfredo Ortega Loza
Unitate honetan, hauek ikasi edo gogoratuko ditugu:
•Ekuazioak eta identitateak bereizten
•Lehenengo mailako ekuazioak askatzen
•Buruketak askatzen
•2. mailako ekuazioak askatzen
•Ekuazio-sistemak askatzen
•2. mailako ekuazio-sistemak askatzen

Berdintzak

2

Berdin ikurra duten adierazpeni berdintza
esaten zaie.
Berdintzak zenbakizkoak izan daitezke:
3·(5 – 4) = 2 + 1



45/5 = 18/2



Algebraikoak ere,
izan daitezke:

Berdintzaren ezkerreko aldeari
lehen atala esaten zaio, eta
eskuinekoari, bigarren atala.
Batuketa edo kenketa ikurren
arteko letra eta zenbakimultzoei, berriz, gai deritze.

3x – 5 = x/4 +1



5a + 2b = 10a/2 + (9/2)b – (5/2)b



Kopiatu koadernoan

Identitateak

3

Berdintza algebraikoak –letrak dituztenak–
identitateak edo ekuazioak izan daitezke:
Identitateak:

3x + (5 – 1)·2 = 2x + x + 8
5a – a = 2 (7a – 5a)

Gogoratu: zenbakien
eta letren artean ezer
ez dagoenean,
BIDER (·) ikurra
irakurri behar da beti.

Ezezagunak (letra) edozein balio izanda ere,
bete egingo da berdintza. Askatzen saiatuz
gero, 0 = 0 lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazioak

4

Ekuazioak:
3x = 2x + 1. EMA.: x = 1
5a – 3 = 2 (7a – 5a). EMA.: a = 3

Ezezagunaren balio batzuetarako baino ez
da betetzen berdintza.
Balio horiek topatzeari ekuazioa askatzea
(edo ebaztea) esaten zaio.

Kopiatu koadernoan

5

Ekuazio baliokideak
Ekuazioen propietateak:

Ekuazio baten bi aldeetan batuketa edo
kenketa bera egiten badugu, hasierakoaren
ekuazio baliokide bat (emaitza berbera
duena) lortuko dugu.
Ekuazio baten bi aldeak zero ez den
adierazpen batekin biderkatzen edo
zatitzen baditugu, hasierakoaren ekuazio
baliokide bat lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (1)

6

Ekuazioetarako erregelak:

x+7=3

–x = 3 – 2x

x+7–7=3–7

–x + 2x = 3 – 2x + 2x

x=3–7

–x + 2x = 3

x = –4

x=3

Ekuazioaren alde batean
batzen dagoena kentzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazioaren alde batean
kentzen dagoena batzen
pasatzen da beste aldera.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (2)

7

3x



3
x

Kopiatu koadernoan

Ekuazioetarako erregelak:
x
3x – 7 = 2
2 1
4
3x – 7 + 7 = 2 + 7
x
 2  2  1 2
4
3x = 9
9
3
9
3

x=3

Ekuazioaren alde batean
biderkatzen dagoena zatitzen
pasatzen da beste aldera.

x

 1

4
4

x

 4  (  1)

4
x  4  (  1)

x = –4
Ekuazioaren alde batean
zatitzen dagoena biderkatzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazio-ebazpenak

8
Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio eta identitate
hauek :

 Letrak dituzten
gai guztiak
berdintzaren alde
batera eraman
behar ditugu, eta
zenbakiak,
bestera.

1) x – 3 + 5x = 4x – 7. EMA.: –2

 Parentesiak
badaude, beste
ezer baino lehen
kendu behar
ditugu.

2) 7x – 5 + 2x + 6 = –3x + 8 – x.
EMA.: 7/13
3) 2x – (6x + 1) = 3x – 5(2 – x). EMA.: 3/4
4) 7(x + 3) = 7 + 8x – 1 . EMA.: 15
5) 3x +7 – 2(x – 3) = 3(x + 4) – 2x + 1.
EMA.: Edozein; identitatea da

6) 4 – (3 – x) + 6 = 2x + 2(2x – 3).
EMA.: 13/5
7) 5 – x(3 + 1) = 2x – 6(3 – 2x).
EMA.: 23/18

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

9

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio hauek :
8)

 Izendatzaileak
badaude,
izendatzaileen
MKTa lortu behar
dugu, eta,
ondoren,
berdintzaren
alde biak MKT
horrekin
biderkatuko
ditugu.

9)

1

x + 2=

2

x - 5 . E M A : 42

3

4

x

- 3  (x - 1) = 2 x -

7 - x

2

10)

1

(x - 2) -

8

11)

. E M A : 32/29.

3
2

(2 x + 6) + x = - 4 .E M A : -6/5

3

x - 1

-

x + 1

2
12) - 4  (3 - x)

=x -

3

5

.E M A : 1

3
+ 4x =

3

 (2 x - 1) - (x + 1) E M A : 4/3.

5

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

10

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
13)

x

-

x - 3

6

14)

=1 -

2x - 5

4

6x - 1

-

5x - 6

5

=

2x + 1

7
x - 2

15) 1 -

5

- 2

- 5x =

3x - 5

7x

(x - 1)

x - 8

2
18) 2 -

3  (2 + x)

=x +

3
-

3
x - 1
5

E M A : 25/41.

2

4

17)

E M A : 34/19.

3

3

16)

E M A : 23/7.

3

E M A : -13/38.

2
-

4  (4 x + 2)

=

5
- (2 x - 1) =

5x - 3

E M A : 2.

7
x - 5
E M A : 19/9

2

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

11

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
19) x -

x

-

x - 1

2

=

6

20) - 4 x - 3 -

x

- 2  (x - 1) E M A :11/13.

6

6x + 4

= 3 - 4  (x - 1) E M A : -37/3.

7
21) 3 -

x + 1

- (4 x - 1) = x - (3 - 4 x) E M A : 13/19.

2
x 22)

1
2 -

3
2

23)

x -

x + 2

-

2

x

- 3
3 = 2 - x - 2
E M A : 2.
4
6
12
1

3x - 1

+

4
(x + 2) (3 x - 1)

= 0 . E M A : 0.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

12

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

Buruketen emaitzak lortzeko, pauso hauek dira
garrantzitsuenak:

Proposatzen den buruketa ondo ulertu. Behar diren
irakurketa guztiak egin, zer eskatzen duten ondo ulertzeko
eta azaltzen diren baldintzak ondo kontrolatzeko

Azpimarratu datu garrantzitsuenak
Ixa esleitu. Ixaren aldamenean beti idatzi zer den
Dituzun datu guztien artean, erlazioren bat topatu.
Buruketak berak ematen du askotan

Sortu duzun ekuazioa askatu
Bukatzeko, egiaztatu emaitza dituzun datu guztiekin
Kopiatu koadernoan

13

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

24) Bi zenbakiren arteko batura 76, da eta bata bestea
baino lau unitate handiagoa da. Bilatu zenbakiok. EMA.:
36, 40.
25) Ondoz ondoko hiru zenbakiren arteko batura
laurogeita hamahiru da. Zein dira zenbaki horiek. EMA.:
30, 31, 32.
26) Zenbaki baten herenaren eta hirukoitzaren arteko
batura berrogei da. Aurkitu zenbakia. EMA.: 12.
27) Bi mila laurehun metro ibili ondoren, distantziaren
herena falta zaigu bukatzeko. Zein da distantzia? EMA.:
3.600 m.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

14

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

28) Pertsona batek duen muxika-kopurua honela banatuta
geratu da: erdiak saldu egin zituen, laurdenak anaiari eman
zizkion eta, oraindik, ehun eta hogei muxika geratu zaizkio.
Zenbat muxika zituen? EMA.: 480 muxika.

29) Zuk hamabi urte badituzu eta zure aitak zure adinaren
zortzi herena, zenbat urte ditu zure aitak? EMA.: 32 urte.
30) Ondoz ondoko bi zenbaki ditugu. Handienaren
herenaren eta txikienaren arteko batura txikienaren
bikoitzaren herena da. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 2, 3.
31) Andonik Kepak baino bost euro gehiago ditu. Baina
Andonik Kepari lau euro emango balizkio, Keparen dirutza
Andonirenaren bikoitza bihurtuko litzateke. Zenbat dauka
bakoitzak? EMA.: 7 eta 2 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

15

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

32) Orain dela lau urte ume baten adinaren hirukoitza
orain duenaren bikoitza zen. Zenbat urte ditu? EMA.: 12
urte.
33) Pertsona baten adina beste lagun batenaren bikoitza
da. Orain dela zazpi urte, bi pertsonen urteen batura
lehenengoaren gaur egungo adina izan zen. Kalkula
itzazu bi pertsonen adinak. EMA.:14 eta 28 urte.
34) Aita batek berrogeita bi urte ditu, eta semeak hamar.
Zenbat urte pasa behar dira aitaren adina semearenaren
hirukoitza izateko? EMA.: 6 urte
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

16

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

35) Gripea zela eta, gela bateko sei ikasle ez ziren eskolara
etorri. Eta, honela, ikasle guztien hiru laurdenak baino bi
gehiago etorri ziren. Zenbat ikasle ziren gelan? EMA.: 32
ikasle.
36) Laukizuzen-itxurako bizkotxo batean, hiru zati egin ditugu.
Lehenengoa bizkotxoaren herena da, bigarrena bostena eta
hirugarrena lau bederatzirena; 4 cm geratu zaigu sobran.
Zenbatekoa da bizkotxoaren luzera? EMA.: 180 cm.

37) Hemendik hamaika urtera, Enekoren adina duela
hamahiru urte zuenaren bikoitza izango da. Zenbat urte ditu?
EMA.: 37 urte.00
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

17

2. mailako ekuazioak ezezagun bakarrekoak badira,
honela adieraziko ditugu:
ax2 + bx + c = 0
a, b eta c zenbaki osoak dira, eta a ezin da zeroren
berdina izan (a  0).
Ekuazio horiek formula honek askatzen ditu beti:

x

b

b  4 ac
2

2a
Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

18

x

Adibide gisa, askatu
honako ekuazio hau:

x

b  4 ac
2

2a

GOGORATU: letra baten
aurrean ezer ikusten ez
duzunean, 1 zenbakia dago

2x2 – x – 1 = 0
a=2
b = –1
c = –1

b

 (  1) 

(  1)  4  2  (  1)
2

22
4



1 1 8
4

Kopiatu koadernoan



1 3
4



1

4
2
4



1
2



2. mailako ekuazioak

19
x

b

b  4 ac
2

2a

Askatu honako ekuazio hauek:
38) x2 – x – 2 = 0 EMA.: 2, –1
39) 3x2 – 7x – 6 = 0 EMA.: 3, –2/3
40) 4x2 – 8x + 3 = 0 EMA.: 3/2, 1/2
41) x2 + 4x + 4 = 0 EMA.: –2

42) x2 + 8x + 3 = 0 EMA.: –0,4; –7,6
43) x2 + 2x + 2 = 0 EMA.: emaitzarik
ez.

Emaitza bakarra
lortzen badugu,
emaitza horri emaitza
bikoitza esango
diogu.
Batzuetan, erroak ez
du emaitzarik, eta,
orduan, esaten dugu
ekuazioak ez duela
emaitza errealik.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

20

Modu horrek 2. mailako ekuazio guztietarako balio
badu ere, badaude beste modu errazago batzuk:
1) b = 0 denean

Adibidea:

ax2 + 0x + c = 0

3x2 – 75 = 0

ax2 + c = 0

3x2 = 75

ax2 = –c
x 
2

x 
2

75
3

c

5

a
x

c

x   25 

–5

a

Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

21

GOGORATU: biderkadura bat zero bada,
biderkagairen bat zero delako da
2) c = 0 denean

Adibidea:

ax2 + bx + 0 = 0

5x2 – 7x = 0

ax2 + bx = 0

x·(5x – 7) = 0

x·(ax + b) = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

5x – 7 = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

ax + b = 0
x = –b/a
Kopiatu koadernoan

x = 7/5

22

2. mailako ekuazioak

Ebatzi honako ekuazio hauek:
44) 3x² + 5x – 2 = 0 EMA.: 1/3; –2
45) 4x² – 36 = 0 EMA: 3, –3.
46) 2x² – 15x + 7 = 0 EMA: 7, 1/2

52) 2x2 – 3 = x2 – 2x EMA.: 1,
–3
53) x – 2 = x2 EMA.:
emaitzarik ez.

47) 3x² – 75x = 0 EMA: 0, 25.
48) 7x² – 9x + 2 = 0 EMA.: 1, 2/7

54 ) 1 +

= 2x

EMA.: –1/2, 1

x

49) 2x² – 2x – 24 = 0 EMA.: 4, –3

50) x²/3 – 12 = 0 EMA: 6, –6

1

55 ) 1 +

1
x

=x -

1
x

EMA.: –1, 2

51) (x – 2)(x + 1) = 0 EMA: 2, –1
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

23

2. mailako ekuazioak. Buruketak

56) Bi zenbakiren artean, 5eko aldea dago, eta haien
arteko biderkadura 66 da. Zein dira zenbakiok? EMA.: 6,
11; –11, –6.
57) Laukizuzen batek hogei zentimetroko diagonala du.
Zein izango da azalera, altuera baino lau cm luzeago
badu oina? EMA.: 12 cm, 16 cm.
58) Bila ezazu zirkunferentzia baten luzera, haren azalera
28,26 m² bada. EMA.: 18,84 m.
59) Triangelu zuzen batean, hipotenusaren luzera 10 cm
da. Bila itzazu katetoen luzerak, bata bestea baino 2 cm
luzeagoa bada. EMA.: 6 cm, 8 cm.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

24

2. mailako ekuazioak. Buruketak

60) Demagun 7 cm-ko alanbre bat daukagula. Nondik
tolestuko dugu muturretako bat bestetik 5 cm-ra egon dadin
angelu zuzen bat osatu ondoren? EMA.: 4 cm, 3 cm.
61) Ondoz ondoko bi zenbakiren arteko biderkadura
honako hau da zenbaki horien arteko batura gehi bost
unitate. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 3, 4; –2, –1.
62) Triangelu zuzen baten azalera 90 cm2 da. Bilatu
katetoak, haien arteko aldea 3 cm-koa bada. EMA.: 12 cm
eta 15 cm.
63) Banatu 9 zenbakia bi zatitan, bakoitzaren berbiduren
arteko batura 41 izan dadin. EMA.: 4, 5.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

25

Bi ezezaguneko ekuazio-sistemak:
Bi ekuazio aldi berean betetzen badira, ekuazio-sistema
bat dugu. Bi ekuazioak zenbaki berberetarako bete
behar dira.
Adibidez:

2x  y  4 

x  2 y   3

Sistema honen emaitza x = 1 eta y = 2 da, edo beste
modu batez adierazita, (1, 2) da.
Begiratu ea egia den.
Kopiatu koadernoan

26

Ekuazio-sistemak

Lau era ditugu ekuazio-sistemak ebazteko, baina
mementoz hiru besterik ez dugu ikasiko:
1. Ordezkatzea
2. Berdintzea
3. Laburtzea

Kopiatu koadernoan

Ekuazio-sistemak

27
1. Ordezkatzea
2x  y  4 

x  2 y   3

y  4  2x



x  8  4 x   3

Ekuazio batean,
ezezagun bat bakandu:
y  4  2x 

x  2 y   3

Beste ekuazioan,
ezezagun hori ordeztu

Beste ekuazioan
ordeztu
y  4  2x 

5 x  3  8

y  4  2x

5x  5 

y  4  2x



x  2  ( 4  2 x )   3

y  4  2x

x 1 

Kopiatu koadernoan

y  4  2  1

x 1 

y  2

x  1

Ekuazio-sistemak

28

Askatu sistema hauek, ordezkatze-metodoa erabiliz:
3 x  8 y  10 
64 )
 EMA. : ( 6 ,  1)
x y 5 

2x  3y  7 
65 )
 EMA. : ( 2 ,  1)
5 x  2 y  12 



1
2
67 )
EMA. : ( 4 , )

x y
x
2
  y
3
4

3x

68 )

 4y  8

3x  1  2 y  2
 EMA. : (  1,  3 )
x  y  4


2 x  12  4 y 

66 ) 2 x
 EMA. : ( 0 ,  3 )
 2 y  6

5


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

29

Ekuazio biak
berdindu

2. Berdintzea
2x  y  4 

x  2 y   3

4  2x 

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

3 x
2

y  4  2x

Ekuazio bietan, ezezagun
bera bakandu:
8  4x  3  x

y  4  2x 

 2 y  3  x 

y  4  2x

3 x 
y
2 


 5 x  5

x 1

Kopiatu koadernoan

y  4  2 1

y2

Ekuazio-sistemak

30

Askatu sistema hauek, berdintze-metodoa erabiliz:
2 x  y  0
69 )
 EMA. : (  1, 2 )
x  y 1

3x  y  4

70 ) x
 EMA. : ( 2 , 2 )
 y3

2


x 5  4y
x
71 )
y 
2


1
 y 1 
72 ) 4
 EMA. : ( 2 ,  )
2
2( x  y )  3

x

73 )

x5 y


 EMA. : (  3, 2 )
5 x  2 y   19 


1

EMA.
:
(
3
,

)

2
2



Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

31
3. Laburtzea
2x  y  4 

x  2 y   3

Ezezagun bera duten bi
gaiak ekuazio bietan
berdinak izatea da
helburua; berdinak
baina aurkako zeinua
dutela. Horretarako,
ekuazioetako bat
zenbaki oso batez
biderkatuko dugu:
2  (2 x  y  4)

x  2 y  3 

4x  2 y  8 

x  2 y   3

Ekuazio bien
arteko batuketa
egin, gaiz gai.
4x  2 y  8



x  2 y  3 

5x  0 y  5
5x  5
x 1

Kopiatu koadernoan

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

2 1  y  4

y  42

y2

Ekuazio-sistemak

32

Askatu sistema hauek, laburtze-metodoa erabiliz:
x  y  9
74 )
 EMA. : ( 5 , 4 )
x  y 1

75 )

3x  y  3
1
EMA.
:
(
, 2)

6 x  y  0
3

76 )

2 x  3 y  4
 EMA. : (1,  2 )
x  2y  5 


 y  0
77 ) 2
 EMA. : ( 4 ,  2 )
y
 x  3
2

x

5 
1 1

78 )
EMA.
:
(
, )
6 
2
3
3 y  3  4 x  2 
x 1  y 

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

33

Askatu sistema hauek, zure ustez errazena den metodoaz:
6 x  5 y  4
79 )
 EMA. : (1,  2 )
x  y  1

82 )

3x  y  1


 EMA. : Ez du
x  2 y  2  2x  y

emaitzarik

3x  5  2 y


80 ) x
 EMA. : (3 , 2 )
 y  2x  3

3


x
83 )
x

(Sistema

y 1
2
y2
3

bateraezin a)


1

 EMA. : (  8 ,  19 )
 1


3x  y  2
1

y  EMA. : ( ,  1)
81 ) x

3
3
9 


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

34

Ekuazio-sistemak. Buruketak

84) Ostatu batean, ohe bateko eta biko gelak daude. Orotara 50
gela eta 87 ohe daude. Mota bakoitzeko zenbat gela dago?
EMA.: 13, 37 gela
85) Txakur-txapelketa batean, txakurrak eta beraien jabeak
daude. Guztira hirurogeita hamazortzi buru eta berrehun eta
hamasei hanka daude. Zenbat txakur eta pertsona daude?
EMA.: 48 pertsona, 30 txakur.
86) Bi zenbakiren arteko batura hamalau da. Handienari bat
gehitzen badiogu, txikienaren bikoitza lortzen da. Aurki itzazu
zenbakiak. EMA.: 9, 5.
87) Bi zenbakiren arteko batura 150 da, eta kendura txikienaren
laukoitza da. Aurki itzazu zenbakiok. EMA.: 125, 25
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

35

Ekuazio-sistemak. Buruketak

88) Zenbaki baten hirukoitzari beste baten laukoitza
gehitutakoan, zazpi izango da emaitza; lehenengoaren
bikoitzari bigarrena gehitutakoan, berriz, hiru izango da
emaitza. Bilatu zenbakiok. EMA.: 1, 1.
89) Bi anaia-arreben adinen arteko batura 17 da; bost urte
barru, batena bestearenaren bikoitza izango da. Zenbat
urte dituzte? EMA.: 13, 4 urte.
90) Dendara joan eta alkandora bat eta praka batzuk erosi
ditut. Markatuta dituzten prezioen artean, 100 euro egiten
dute, baina, merkealdia dela eta, alkandoran % 20ko
deskontua egin didate, eta, praketan, % 30ekoa. Guztira,
73,50 euro pagatu dut. Zenbat balio du bakoitzak? EMA.:
35 eta 65 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

36
2
x + y = 24 
91 )
 EMA. : (2, 20); (  4, 8)
y = 2x + 16 

Ekuazio-sistemak
x y 7 
92 ) 2
 EMA. : ( 3, 4 ); ( 4 , 3 )
2
x  y  25 

93) 60 euro ditugu lagun batzuen artean banatzeko. Hiru
lagun gehiago bagina, bakoitzari euro bat gutxiago
egokituko litzaiguke. Zenbat gara? EMA: 12 lagun.

94) Loradenda batean, tulipan sortak egiteko hari batzuk
daude. Tulipanak binaka jarriz gero, 4 tulipan geldituko dira
sobran, eta hirunaka jarriz gero, hari bat sobran. Zenbat
tulipan eta zenbat hari daude? EMA: 7, 18.
95) Bi zenbakiren arteko kendura 3 da, eta zenbakion
berbiduren arteko batura, 117. Bila itzazu zenbakiok. EMA:
(–6, –9); (9, 6).
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

37

Ekuazio-sistemak

96) Bi zenbakiren arteko kendura 6 da, eta
biderkadura, 216. Bila itzazu zenbakiok. EMA: (–12, –
18); (18, 12).
97) Triangelu zuzen baten hipotenusa 10 m luze da,
eta perimetroa, 24 m-koa da. Zenbat luze dira bi
katetoak? EMA.: 6 cm, 8 cm.
98) x4 + 3x² – 4 = 0 EMA.: 1, –1
99) x × (x + 5) × (x – 2) = 0 EMA: 0, –5, 2.
100) x4 – 5x² + 4 = 0 EMA: 2, –2, 1, –1.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira


Slide 5

1

Ekuazioak 3. DBH
Alfredo Ortega Loza
Unitate honetan, hauek ikasi edo gogoratuko ditugu:
•Ekuazioak eta identitateak bereizten
•Lehenengo mailako ekuazioak askatzen
•Buruketak askatzen
•2. mailako ekuazioak askatzen
•Ekuazio-sistemak askatzen
•2. mailako ekuazio-sistemak askatzen

Berdintzak

2

Berdin ikurra duten adierazpeni berdintza
esaten zaie.
Berdintzak zenbakizkoak izan daitezke:
3·(5 – 4) = 2 + 1



45/5 = 18/2



Algebraikoak ere,
izan daitezke:

Berdintzaren ezkerreko aldeari
lehen atala esaten zaio, eta
eskuinekoari, bigarren atala.
Batuketa edo kenketa ikurren
arteko letra eta zenbakimultzoei, berriz, gai deritze.

3x – 5 = x/4 +1



5a + 2b = 10a/2 + (9/2)b – (5/2)b



Kopiatu koadernoan

Identitateak

3

Berdintza algebraikoak –letrak dituztenak–
identitateak edo ekuazioak izan daitezke:
Identitateak:

3x + (5 – 1)·2 = 2x + x + 8
5a – a = 2 (7a – 5a)

Gogoratu: zenbakien
eta letren artean ezer
ez dagoenean,
BIDER (·) ikurra
irakurri behar da beti.

Ezezagunak (letra) edozein balio izanda ere,
bete egingo da berdintza. Askatzen saiatuz
gero, 0 = 0 lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazioak

4

Ekuazioak:
3x = 2x + 1. EMA.: x = 1
5a – 3 = 2 (7a – 5a). EMA.: a = 3

Ezezagunaren balio batzuetarako baino ez
da betetzen berdintza.
Balio horiek topatzeari ekuazioa askatzea
(edo ebaztea) esaten zaio.

Kopiatu koadernoan

5

Ekuazio baliokideak
Ekuazioen propietateak:

Ekuazio baten bi aldeetan batuketa edo
kenketa bera egiten badugu, hasierakoaren
ekuazio baliokide bat (emaitza berbera
duena) lortuko dugu.
Ekuazio baten bi aldeak zero ez den
adierazpen batekin biderkatzen edo
zatitzen baditugu, hasierakoaren ekuazio
baliokide bat lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (1)

6

Ekuazioetarako erregelak:

x+7=3

–x = 3 – 2x

x+7–7=3–7

–x + 2x = 3 – 2x + 2x

x=3–7

–x + 2x = 3

x = –4

x=3

Ekuazioaren alde batean
batzen dagoena kentzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazioaren alde batean
kentzen dagoena batzen
pasatzen da beste aldera.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (2)

7

3x



3
x

Kopiatu koadernoan

Ekuazioetarako erregelak:
x
3x – 7 = 2
2 1
4
3x – 7 + 7 = 2 + 7
x
 2  2  1 2
4
3x = 9
9
3
9
3

x=3

Ekuazioaren alde batean
biderkatzen dagoena zatitzen
pasatzen da beste aldera.

x

 1

4
4

x

 4  (  1)

4
x  4  (  1)

x = –4
Ekuazioaren alde batean
zatitzen dagoena biderkatzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazio-ebazpenak

8
Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio eta identitate
hauek :

 Letrak dituzten
gai guztiak
berdintzaren alde
batera eraman
behar ditugu, eta
zenbakiak,
bestera.

1) x – 3 + 5x = 4x – 7. EMA.: –2

 Parentesiak
badaude, beste
ezer baino lehen
kendu behar
ditugu.

2) 7x – 5 + 2x + 6 = –3x + 8 – x.
EMA.: 7/13
3) 2x – (6x + 1) = 3x – 5(2 – x). EMA.: 3/4
4) 7(x + 3) = 7 + 8x – 1 . EMA.: 15
5) 3x +7 – 2(x – 3) = 3(x + 4) – 2x + 1.
EMA.: Edozein; identitatea da

6) 4 – (3 – x) + 6 = 2x + 2(2x – 3).
EMA.: 13/5
7) 5 – x(3 + 1) = 2x – 6(3 – 2x).
EMA.: 23/18

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

9

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio hauek :
8)

 Izendatzaileak
badaude,
izendatzaileen
MKTa lortu behar
dugu, eta,
ondoren,
berdintzaren
alde biak MKT
horrekin
biderkatuko
ditugu.

9)

1

x + 2=

2

x - 5 . E M A : 42

3

4

x

- 3  (x - 1) = 2 x -

7 - x

2

10)

1

(x - 2) -

8

11)

. E M A : 32/29.

3
2

(2 x + 6) + x = - 4 .E M A : -6/5

3

x - 1

-

x + 1

2
12) - 4  (3 - x)

=x -

3

5

.E M A : 1

3
+ 4x =

3

 (2 x - 1) - (x + 1) E M A : 4/3.

5

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

10

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
13)

x

-

x - 3

6

14)

=1 -

2x - 5

4

6x - 1

-

5x - 6

5

=

2x + 1

7
x - 2

15) 1 -

5

- 2

- 5x =

3x - 5

7x

(x - 1)

x - 8

2
18) 2 -

3  (2 + x)

=x +

3
-

3
x - 1
5

E M A : 25/41.

2

4

17)

E M A : 34/19.

3

3

16)

E M A : 23/7.

3

E M A : -13/38.

2
-

4  (4 x + 2)

=

5
- (2 x - 1) =

5x - 3

E M A : 2.

7
x - 5
E M A : 19/9

2

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

11

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
19) x -

x

-

x - 1

2

=

6

20) - 4 x - 3 -

x

- 2  (x - 1) E M A :11/13.

6

6x + 4

= 3 - 4  (x - 1) E M A : -37/3.

7
21) 3 -

x + 1

- (4 x - 1) = x - (3 - 4 x) E M A : 13/19.

2
x 22)

1
2 -

3
2

23)

x -

x + 2

-

2

x

- 3
3 = 2 - x - 2
E M A : 2.
4
6
12
1

3x - 1

+

4
(x + 2) (3 x - 1)

= 0 . E M A : 0.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

12

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

Buruketen emaitzak lortzeko, pauso hauek dira
garrantzitsuenak:

Proposatzen den buruketa ondo ulertu. Behar diren
irakurketa guztiak egin, zer eskatzen duten ondo ulertzeko
eta azaltzen diren baldintzak ondo kontrolatzeko

Azpimarratu datu garrantzitsuenak
Ixa esleitu. Ixaren aldamenean beti idatzi zer den
Dituzun datu guztien artean, erlazioren bat topatu.
Buruketak berak ematen du askotan

Sortu duzun ekuazioa askatu
Bukatzeko, egiaztatu emaitza dituzun datu guztiekin
Kopiatu koadernoan

13

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

24) Bi zenbakiren arteko batura 76, da eta bata bestea
baino lau unitate handiagoa da. Bilatu zenbakiok. EMA.:
36, 40.
25) Ondoz ondoko hiru zenbakiren arteko batura
laurogeita hamahiru da. Zein dira zenbaki horiek. EMA.:
30, 31, 32.
26) Zenbaki baten herenaren eta hirukoitzaren arteko
batura berrogei da. Aurkitu zenbakia. EMA.: 12.
27) Bi mila laurehun metro ibili ondoren, distantziaren
herena falta zaigu bukatzeko. Zein da distantzia? EMA.:
3.600 m.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

14

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

28) Pertsona batek duen muxika-kopurua honela banatuta
geratu da: erdiak saldu egin zituen, laurdenak anaiari eman
zizkion eta, oraindik, ehun eta hogei muxika geratu zaizkio.
Zenbat muxika zituen? EMA.: 480 muxika.

29) Zuk hamabi urte badituzu eta zure aitak zure adinaren
zortzi herena, zenbat urte ditu zure aitak? EMA.: 32 urte.
30) Ondoz ondoko bi zenbaki ditugu. Handienaren
herenaren eta txikienaren arteko batura txikienaren
bikoitzaren herena da. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 2, 3.
31) Andonik Kepak baino bost euro gehiago ditu. Baina
Andonik Kepari lau euro emango balizkio, Keparen dirutza
Andonirenaren bikoitza bihurtuko litzateke. Zenbat dauka
bakoitzak? EMA.: 7 eta 2 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

15

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

32) Orain dela lau urte ume baten adinaren hirukoitza
orain duenaren bikoitza zen. Zenbat urte ditu? EMA.: 12
urte.
33) Pertsona baten adina beste lagun batenaren bikoitza
da. Orain dela zazpi urte, bi pertsonen urteen batura
lehenengoaren gaur egungo adina izan zen. Kalkula
itzazu bi pertsonen adinak. EMA.:14 eta 28 urte.
34) Aita batek berrogeita bi urte ditu, eta semeak hamar.
Zenbat urte pasa behar dira aitaren adina semearenaren
hirukoitza izateko? EMA.: 6 urte
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

16

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

35) Gripea zela eta, gela bateko sei ikasle ez ziren eskolara
etorri. Eta, honela, ikasle guztien hiru laurdenak baino bi
gehiago etorri ziren. Zenbat ikasle ziren gelan? EMA.: 32
ikasle.
36) Laukizuzen-itxurako bizkotxo batean, hiru zati egin ditugu.
Lehenengoa bizkotxoaren herena da, bigarrena bostena eta
hirugarrena lau bederatzirena; 4 cm geratu zaigu sobran.
Zenbatekoa da bizkotxoaren luzera? EMA.: 180 cm.

37) Hemendik hamaika urtera, Enekoren adina duela
hamahiru urte zuenaren bikoitza izango da. Zenbat urte ditu?
EMA.: 37 urte.00
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

17

2. mailako ekuazioak ezezagun bakarrekoak badira,
honela adieraziko ditugu:
ax2 + bx + c = 0
a, b eta c zenbaki osoak dira, eta a ezin da zeroren
berdina izan (a  0).
Ekuazio horiek formula honek askatzen ditu beti:

x

b

b  4 ac
2

2a
Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

18

x

Adibide gisa, askatu
honako ekuazio hau:

x

b  4 ac
2

2a

GOGORATU: letra baten
aurrean ezer ikusten ez
duzunean, 1 zenbakia dago

2x2 – x – 1 = 0
a=2
b = –1
c = –1

b

 (  1) 

(  1)  4  2  (  1)
2

22
4



1 1 8
4

Kopiatu koadernoan



1 3
4



1

4
2
4



1
2



2. mailako ekuazioak

19
x

b

b  4 ac
2

2a

Askatu honako ekuazio hauek:
38) x2 – x – 2 = 0 EMA.: 2, –1
39) 3x2 – 7x – 6 = 0 EMA.: 3, –2/3
40) 4x2 – 8x + 3 = 0 EMA.: 3/2, 1/2
41) x2 + 4x + 4 = 0 EMA.: –2

42) x2 + 8x + 3 = 0 EMA.: –0,4; –7,6
43) x2 + 2x + 2 = 0 EMA.: emaitzarik
ez.

Emaitza bakarra
lortzen badugu,
emaitza horri emaitza
bikoitza esango
diogu.
Batzuetan, erroak ez
du emaitzarik, eta,
orduan, esaten dugu
ekuazioak ez duela
emaitza errealik.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

20

Modu horrek 2. mailako ekuazio guztietarako balio
badu ere, badaude beste modu errazago batzuk:
1) b = 0 denean

Adibidea:

ax2 + 0x + c = 0

3x2 – 75 = 0

ax2 + c = 0

3x2 = 75

ax2 = –c
x 
2

x 
2

75
3

c

5

a
x

c

x   25 

–5

a

Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

21

GOGORATU: biderkadura bat zero bada,
biderkagairen bat zero delako da
2) c = 0 denean

Adibidea:

ax2 + bx + 0 = 0

5x2 – 7x = 0

ax2 + bx = 0

x·(5x – 7) = 0

x·(ax + b) = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

5x – 7 = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

ax + b = 0
x = –b/a
Kopiatu koadernoan

x = 7/5

22

2. mailako ekuazioak

Ebatzi honako ekuazio hauek:
44) 3x² + 5x – 2 = 0 EMA.: 1/3; –2
45) 4x² – 36 = 0 EMA: 3, –3.
46) 2x² – 15x + 7 = 0 EMA: 7, 1/2

52) 2x2 – 3 = x2 – 2x EMA.: 1,
–3
53) x – 2 = x2 EMA.:
emaitzarik ez.

47) 3x² – 75x = 0 EMA: 0, 25.
48) 7x² – 9x + 2 = 0 EMA.: 1, 2/7

54 ) 1 +

= 2x

EMA.: –1/2, 1

x

49) 2x² – 2x – 24 = 0 EMA.: 4, –3

50) x²/3 – 12 = 0 EMA: 6, –6

1

55 ) 1 +

1
x

=x -

1
x

EMA.: –1, 2

51) (x – 2)(x + 1) = 0 EMA: 2, –1
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

23

2. mailako ekuazioak. Buruketak

56) Bi zenbakiren artean, 5eko aldea dago, eta haien
arteko biderkadura 66 da. Zein dira zenbakiok? EMA.: 6,
11; –11, –6.
57) Laukizuzen batek hogei zentimetroko diagonala du.
Zein izango da azalera, altuera baino lau cm luzeago
badu oina? EMA.: 12 cm, 16 cm.
58) Bila ezazu zirkunferentzia baten luzera, haren azalera
28,26 m² bada. EMA.: 18,84 m.
59) Triangelu zuzen batean, hipotenusaren luzera 10 cm
da. Bila itzazu katetoen luzerak, bata bestea baino 2 cm
luzeagoa bada. EMA.: 6 cm, 8 cm.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

24

2. mailako ekuazioak. Buruketak

60) Demagun 7 cm-ko alanbre bat daukagula. Nondik
tolestuko dugu muturretako bat bestetik 5 cm-ra egon dadin
angelu zuzen bat osatu ondoren? EMA.: 4 cm, 3 cm.
61) Ondoz ondoko bi zenbakiren arteko biderkadura
honako hau da zenbaki horien arteko batura gehi bost
unitate. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 3, 4; –2, –1.
62) Triangelu zuzen baten azalera 90 cm2 da. Bilatu
katetoak, haien arteko aldea 3 cm-koa bada. EMA.: 12 cm
eta 15 cm.
63) Banatu 9 zenbakia bi zatitan, bakoitzaren berbiduren
arteko batura 41 izan dadin. EMA.: 4, 5.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

25

Bi ezezaguneko ekuazio-sistemak:
Bi ekuazio aldi berean betetzen badira, ekuazio-sistema
bat dugu. Bi ekuazioak zenbaki berberetarako bete
behar dira.
Adibidez:

2x  y  4 

x  2 y   3

Sistema honen emaitza x = 1 eta y = 2 da, edo beste
modu batez adierazita, (1, 2) da.
Begiratu ea egia den.
Kopiatu koadernoan

26

Ekuazio-sistemak

Lau era ditugu ekuazio-sistemak ebazteko, baina
mementoz hiru besterik ez dugu ikasiko:
1. Ordezkatzea
2. Berdintzea
3. Laburtzea

Kopiatu koadernoan

Ekuazio-sistemak

27
1. Ordezkatzea
2x  y  4 

x  2 y   3

y  4  2x



x  8  4 x   3

Ekuazio batean,
ezezagun bat bakandu:
y  4  2x 

x  2 y   3

Beste ekuazioan,
ezezagun hori ordeztu

Beste ekuazioan
ordeztu
y  4  2x 

5 x  3  8

y  4  2x

5x  5 

y  4  2x



x  2  ( 4  2 x )   3

y  4  2x

x 1 

Kopiatu koadernoan

y  4  2  1

x 1 

y  2

x  1

Ekuazio-sistemak

28

Askatu sistema hauek, ordezkatze-metodoa erabiliz:
3 x  8 y  10 
64 )
 EMA. : ( 6 ,  1)
x y 5 

2x  3y  7 
65 )
 EMA. : ( 2 ,  1)
5 x  2 y  12 



1
2
67 )
EMA. : ( 4 , )

x y
x
2
  y
3
4

3x

68 )

 4y  8

3x  1  2 y  2
 EMA. : (  1,  3 )
x  y  4


2 x  12  4 y 

66 ) 2 x
 EMA. : ( 0 ,  3 )
 2 y  6

5


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

29

Ekuazio biak
berdindu

2. Berdintzea
2x  y  4 

x  2 y   3

4  2x 

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

3 x
2

y  4  2x

Ekuazio bietan, ezezagun
bera bakandu:
8  4x  3  x

y  4  2x 

 2 y  3  x 

y  4  2x

3 x 
y
2 


 5 x  5

x 1

Kopiatu koadernoan

y  4  2 1

y2

Ekuazio-sistemak

30

Askatu sistema hauek, berdintze-metodoa erabiliz:
2 x  y  0
69 )
 EMA. : (  1, 2 )
x  y 1

3x  y  4

70 ) x
 EMA. : ( 2 , 2 )
 y3

2


x 5  4y
x
71 )
y 
2


1
 y 1 
72 ) 4
 EMA. : ( 2 ,  )
2
2( x  y )  3

x

73 )

x5 y


 EMA. : (  3, 2 )
5 x  2 y   19 


1

EMA.
:
(
3
,

)

2
2



Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

31
3. Laburtzea
2x  y  4 

x  2 y   3

Ezezagun bera duten bi
gaiak ekuazio bietan
berdinak izatea da
helburua; berdinak
baina aurkako zeinua
dutela. Horretarako,
ekuazioetako bat
zenbaki oso batez
biderkatuko dugu:
2  (2 x  y  4)

x  2 y  3 

4x  2 y  8 

x  2 y   3

Ekuazio bien
arteko batuketa
egin, gaiz gai.
4x  2 y  8



x  2 y  3 

5x  0 y  5
5x  5
x 1

Kopiatu koadernoan

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

2 1  y  4

y  42

y2

Ekuazio-sistemak

32

Askatu sistema hauek, laburtze-metodoa erabiliz:
x  y  9
74 )
 EMA. : ( 5 , 4 )
x  y 1

75 )

3x  y  3
1
EMA.
:
(
, 2)

6 x  y  0
3

76 )

2 x  3 y  4
 EMA. : (1,  2 )
x  2y  5 


 y  0
77 ) 2
 EMA. : ( 4 ,  2 )
y
 x  3
2

x

5 
1 1

78 )
EMA.
:
(
, )
6 
2
3
3 y  3  4 x  2 
x 1  y 

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

33

Askatu sistema hauek, zure ustez errazena den metodoaz:
6 x  5 y  4
79 )
 EMA. : (1,  2 )
x  y  1

82 )

3x  y  1


 EMA. : Ez du
x  2 y  2  2x  y

emaitzarik

3x  5  2 y


80 ) x
 EMA. : (3 , 2 )
 y  2x  3

3


x
83 )
x

(Sistema

y 1
2
y2
3

bateraezin a)


1

 EMA. : (  8 ,  19 )
 1


3x  y  2
1

y  EMA. : ( ,  1)
81 ) x

3
3
9 


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

34

Ekuazio-sistemak. Buruketak

84) Ostatu batean, ohe bateko eta biko gelak daude. Orotara 50
gela eta 87 ohe daude. Mota bakoitzeko zenbat gela dago?
EMA.: 13, 37 gela
85) Txakur-txapelketa batean, txakurrak eta beraien jabeak
daude. Guztira hirurogeita hamazortzi buru eta berrehun eta
hamasei hanka daude. Zenbat txakur eta pertsona daude?
EMA.: 48 pertsona, 30 txakur.
86) Bi zenbakiren arteko batura hamalau da. Handienari bat
gehitzen badiogu, txikienaren bikoitza lortzen da. Aurki itzazu
zenbakiak. EMA.: 9, 5.
87) Bi zenbakiren arteko batura 150 da, eta kendura txikienaren
laukoitza da. Aurki itzazu zenbakiok. EMA.: 125, 25
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

35

Ekuazio-sistemak. Buruketak

88) Zenbaki baten hirukoitzari beste baten laukoitza
gehitutakoan, zazpi izango da emaitza; lehenengoaren
bikoitzari bigarrena gehitutakoan, berriz, hiru izango da
emaitza. Bilatu zenbakiok. EMA.: 1, 1.
89) Bi anaia-arreben adinen arteko batura 17 da; bost urte
barru, batena bestearenaren bikoitza izango da. Zenbat
urte dituzte? EMA.: 13, 4 urte.
90) Dendara joan eta alkandora bat eta praka batzuk erosi
ditut. Markatuta dituzten prezioen artean, 100 euro egiten
dute, baina, merkealdia dela eta, alkandoran % 20ko
deskontua egin didate, eta, praketan, % 30ekoa. Guztira,
73,50 euro pagatu dut. Zenbat balio du bakoitzak? EMA.:
35 eta 65 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

36
2
x + y = 24 
91 )
 EMA. : (2, 20); (  4, 8)
y = 2x + 16 

Ekuazio-sistemak
x y 7 
92 ) 2
 EMA. : ( 3, 4 ); ( 4 , 3 )
2
x  y  25 

93) 60 euro ditugu lagun batzuen artean banatzeko. Hiru
lagun gehiago bagina, bakoitzari euro bat gutxiago
egokituko litzaiguke. Zenbat gara? EMA: 12 lagun.

94) Loradenda batean, tulipan sortak egiteko hari batzuk
daude. Tulipanak binaka jarriz gero, 4 tulipan geldituko dira
sobran, eta hirunaka jarriz gero, hari bat sobran. Zenbat
tulipan eta zenbat hari daude? EMA: 7, 18.
95) Bi zenbakiren arteko kendura 3 da, eta zenbakion
berbiduren arteko batura, 117. Bila itzazu zenbakiok. EMA:
(–6, –9); (9, 6).
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

37

Ekuazio-sistemak

96) Bi zenbakiren arteko kendura 6 da, eta
biderkadura, 216. Bila itzazu zenbakiok. EMA: (–12, –
18); (18, 12).
97) Triangelu zuzen baten hipotenusa 10 m luze da,
eta perimetroa, 24 m-koa da. Zenbat luze dira bi
katetoak? EMA.: 6 cm, 8 cm.
98) x4 + 3x² – 4 = 0 EMA.: 1, –1
99) x × (x + 5) × (x – 2) = 0 EMA: 0, –5, 2.
100) x4 – 5x² + 4 = 0 EMA: 2, –2, 1, –1.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira


Slide 6

1

Ekuazioak 3. DBH
Alfredo Ortega Loza
Unitate honetan, hauek ikasi edo gogoratuko ditugu:
•Ekuazioak eta identitateak bereizten
•Lehenengo mailako ekuazioak askatzen
•Buruketak askatzen
•2. mailako ekuazioak askatzen
•Ekuazio-sistemak askatzen
•2. mailako ekuazio-sistemak askatzen

Berdintzak

2

Berdin ikurra duten adierazpeni berdintza
esaten zaie.
Berdintzak zenbakizkoak izan daitezke:
3·(5 – 4) = 2 + 1



45/5 = 18/2



Algebraikoak ere,
izan daitezke:

Berdintzaren ezkerreko aldeari
lehen atala esaten zaio, eta
eskuinekoari, bigarren atala.
Batuketa edo kenketa ikurren
arteko letra eta zenbakimultzoei, berriz, gai deritze.

3x – 5 = x/4 +1



5a + 2b = 10a/2 + (9/2)b – (5/2)b



Kopiatu koadernoan

Identitateak

3

Berdintza algebraikoak –letrak dituztenak–
identitateak edo ekuazioak izan daitezke:
Identitateak:

3x + (5 – 1)·2 = 2x + x + 8
5a – a = 2 (7a – 5a)

Gogoratu: zenbakien
eta letren artean ezer
ez dagoenean,
BIDER (·) ikurra
irakurri behar da beti.

Ezezagunak (letra) edozein balio izanda ere,
bete egingo da berdintza. Askatzen saiatuz
gero, 0 = 0 lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazioak

4

Ekuazioak:
3x = 2x + 1. EMA.: x = 1
5a – 3 = 2 (7a – 5a). EMA.: a = 3

Ezezagunaren balio batzuetarako baino ez
da betetzen berdintza.
Balio horiek topatzeari ekuazioa askatzea
(edo ebaztea) esaten zaio.

Kopiatu koadernoan

5

Ekuazio baliokideak
Ekuazioen propietateak:

Ekuazio baten bi aldeetan batuketa edo
kenketa bera egiten badugu, hasierakoaren
ekuazio baliokide bat (emaitza berbera
duena) lortuko dugu.
Ekuazio baten bi aldeak zero ez den
adierazpen batekin biderkatzen edo
zatitzen baditugu, hasierakoaren ekuazio
baliokide bat lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (1)

6

Ekuazioetarako erregelak:

x+7=3

–x = 3 – 2x

x+7–7=3–7

–x + 2x = 3 – 2x + 2x

x=3–7

–x + 2x = 3

x = –4

x=3

Ekuazioaren alde batean
batzen dagoena kentzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazioaren alde batean
kentzen dagoena batzen
pasatzen da beste aldera.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (2)

7

3x



3
x

Kopiatu koadernoan

Ekuazioetarako erregelak:
x
3x – 7 = 2
2 1
4
3x – 7 + 7 = 2 + 7
x
 2  2  1 2
4
3x = 9
9
3
9
3

x=3

Ekuazioaren alde batean
biderkatzen dagoena zatitzen
pasatzen da beste aldera.

x

 1

4
4

x

 4  (  1)

4
x  4  (  1)

x = –4
Ekuazioaren alde batean
zatitzen dagoena biderkatzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazio-ebazpenak

8
Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio eta identitate
hauek :

 Letrak dituzten
gai guztiak
berdintzaren alde
batera eraman
behar ditugu, eta
zenbakiak,
bestera.

1) x – 3 + 5x = 4x – 7. EMA.: –2

 Parentesiak
badaude, beste
ezer baino lehen
kendu behar
ditugu.

2) 7x – 5 + 2x + 6 = –3x + 8 – x.
EMA.: 7/13
3) 2x – (6x + 1) = 3x – 5(2 – x). EMA.: 3/4
4) 7(x + 3) = 7 + 8x – 1 . EMA.: 15
5) 3x +7 – 2(x – 3) = 3(x + 4) – 2x + 1.
EMA.: Edozein; identitatea da

6) 4 – (3 – x) + 6 = 2x + 2(2x – 3).
EMA.: 13/5
7) 5 – x(3 + 1) = 2x – 6(3 – 2x).
EMA.: 23/18

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

9

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio hauek :
8)

 Izendatzaileak
badaude,
izendatzaileen
MKTa lortu behar
dugu, eta,
ondoren,
berdintzaren
alde biak MKT
horrekin
biderkatuko
ditugu.

9)

1

x + 2=

2

x - 5 . E M A : 42

3

4

x

- 3  (x - 1) = 2 x -

7 - x

2

10)

1

(x - 2) -

8

11)

. E M A : 32/29.

3
2

(2 x + 6) + x = - 4 .E M A : -6/5

3

x - 1

-

x + 1

2
12) - 4  (3 - x)

=x -

3

5

.E M A : 1

3
+ 4x =

3

 (2 x - 1) - (x + 1) E M A : 4/3.

5

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

10

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
13)

x

-

x - 3

6

14)

=1 -

2x - 5

4

6x - 1

-

5x - 6

5

=

2x + 1

7
x - 2

15) 1 -

5

- 2

- 5x =

3x - 5

7x

(x - 1)

x - 8

2
18) 2 -

3  (2 + x)

=x +

3
-

3
x - 1
5

E M A : 25/41.

2

4

17)

E M A : 34/19.

3

3

16)

E M A : 23/7.

3

E M A : -13/38.

2
-

4  (4 x + 2)

=

5
- (2 x - 1) =

5x - 3

E M A : 2.

7
x - 5
E M A : 19/9

2

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

11

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
19) x -

x

-

x - 1

2

=

6

20) - 4 x - 3 -

x

- 2  (x - 1) E M A :11/13.

6

6x + 4

= 3 - 4  (x - 1) E M A : -37/3.

7
21) 3 -

x + 1

- (4 x - 1) = x - (3 - 4 x) E M A : 13/19.

2
x 22)

1
2 -

3
2

23)

x -

x + 2

-

2

x

- 3
3 = 2 - x - 2
E M A : 2.
4
6
12
1

3x - 1

+

4
(x + 2) (3 x - 1)

= 0 . E M A : 0.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

12

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

Buruketen emaitzak lortzeko, pauso hauek dira
garrantzitsuenak:

Proposatzen den buruketa ondo ulertu. Behar diren
irakurketa guztiak egin, zer eskatzen duten ondo ulertzeko
eta azaltzen diren baldintzak ondo kontrolatzeko

Azpimarratu datu garrantzitsuenak
Ixa esleitu. Ixaren aldamenean beti idatzi zer den
Dituzun datu guztien artean, erlazioren bat topatu.
Buruketak berak ematen du askotan

Sortu duzun ekuazioa askatu
Bukatzeko, egiaztatu emaitza dituzun datu guztiekin
Kopiatu koadernoan

13

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

24) Bi zenbakiren arteko batura 76, da eta bata bestea
baino lau unitate handiagoa da. Bilatu zenbakiok. EMA.:
36, 40.
25) Ondoz ondoko hiru zenbakiren arteko batura
laurogeita hamahiru da. Zein dira zenbaki horiek. EMA.:
30, 31, 32.
26) Zenbaki baten herenaren eta hirukoitzaren arteko
batura berrogei da. Aurkitu zenbakia. EMA.: 12.
27) Bi mila laurehun metro ibili ondoren, distantziaren
herena falta zaigu bukatzeko. Zein da distantzia? EMA.:
3.600 m.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

14

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

28) Pertsona batek duen muxika-kopurua honela banatuta
geratu da: erdiak saldu egin zituen, laurdenak anaiari eman
zizkion eta, oraindik, ehun eta hogei muxika geratu zaizkio.
Zenbat muxika zituen? EMA.: 480 muxika.

29) Zuk hamabi urte badituzu eta zure aitak zure adinaren
zortzi herena, zenbat urte ditu zure aitak? EMA.: 32 urte.
30) Ondoz ondoko bi zenbaki ditugu. Handienaren
herenaren eta txikienaren arteko batura txikienaren
bikoitzaren herena da. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 2, 3.
31) Andonik Kepak baino bost euro gehiago ditu. Baina
Andonik Kepari lau euro emango balizkio, Keparen dirutza
Andonirenaren bikoitza bihurtuko litzateke. Zenbat dauka
bakoitzak? EMA.: 7 eta 2 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

15

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

32) Orain dela lau urte ume baten adinaren hirukoitza
orain duenaren bikoitza zen. Zenbat urte ditu? EMA.: 12
urte.
33) Pertsona baten adina beste lagun batenaren bikoitza
da. Orain dela zazpi urte, bi pertsonen urteen batura
lehenengoaren gaur egungo adina izan zen. Kalkula
itzazu bi pertsonen adinak. EMA.:14 eta 28 urte.
34) Aita batek berrogeita bi urte ditu, eta semeak hamar.
Zenbat urte pasa behar dira aitaren adina semearenaren
hirukoitza izateko? EMA.: 6 urte
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

16

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

35) Gripea zela eta, gela bateko sei ikasle ez ziren eskolara
etorri. Eta, honela, ikasle guztien hiru laurdenak baino bi
gehiago etorri ziren. Zenbat ikasle ziren gelan? EMA.: 32
ikasle.
36) Laukizuzen-itxurako bizkotxo batean, hiru zati egin ditugu.
Lehenengoa bizkotxoaren herena da, bigarrena bostena eta
hirugarrena lau bederatzirena; 4 cm geratu zaigu sobran.
Zenbatekoa da bizkotxoaren luzera? EMA.: 180 cm.

37) Hemendik hamaika urtera, Enekoren adina duela
hamahiru urte zuenaren bikoitza izango da. Zenbat urte ditu?
EMA.: 37 urte.00
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

17

2. mailako ekuazioak ezezagun bakarrekoak badira,
honela adieraziko ditugu:
ax2 + bx + c = 0
a, b eta c zenbaki osoak dira, eta a ezin da zeroren
berdina izan (a  0).
Ekuazio horiek formula honek askatzen ditu beti:

x

b

b  4 ac
2

2a
Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

18

x

Adibide gisa, askatu
honako ekuazio hau:

x

b  4 ac
2

2a

GOGORATU: letra baten
aurrean ezer ikusten ez
duzunean, 1 zenbakia dago

2x2 – x – 1 = 0
a=2
b = –1
c = –1

b

 (  1) 

(  1)  4  2  (  1)
2

22
4



1 1 8
4

Kopiatu koadernoan



1 3
4



1

4
2
4



1
2



2. mailako ekuazioak

19
x

b

b  4 ac
2

2a

Askatu honako ekuazio hauek:
38) x2 – x – 2 = 0 EMA.: 2, –1
39) 3x2 – 7x – 6 = 0 EMA.: 3, –2/3
40) 4x2 – 8x + 3 = 0 EMA.: 3/2, 1/2
41) x2 + 4x + 4 = 0 EMA.: –2

42) x2 + 8x + 3 = 0 EMA.: –0,4; –7,6
43) x2 + 2x + 2 = 0 EMA.: emaitzarik
ez.

Emaitza bakarra
lortzen badugu,
emaitza horri emaitza
bikoitza esango
diogu.
Batzuetan, erroak ez
du emaitzarik, eta,
orduan, esaten dugu
ekuazioak ez duela
emaitza errealik.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

20

Modu horrek 2. mailako ekuazio guztietarako balio
badu ere, badaude beste modu errazago batzuk:
1) b = 0 denean

Adibidea:

ax2 + 0x + c = 0

3x2 – 75 = 0

ax2 + c = 0

3x2 = 75

ax2 = –c
x 
2

x 
2

75
3

c

5

a
x

c

x   25 

–5

a

Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

21

GOGORATU: biderkadura bat zero bada,
biderkagairen bat zero delako da
2) c = 0 denean

Adibidea:

ax2 + bx + 0 = 0

5x2 – 7x = 0

ax2 + bx = 0

x·(5x – 7) = 0

x·(ax + b) = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

5x – 7 = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

ax + b = 0
x = –b/a
Kopiatu koadernoan

x = 7/5

22

2. mailako ekuazioak

Ebatzi honako ekuazio hauek:
44) 3x² + 5x – 2 = 0 EMA.: 1/3; –2
45) 4x² – 36 = 0 EMA: 3, –3.
46) 2x² – 15x + 7 = 0 EMA: 7, 1/2

52) 2x2 – 3 = x2 – 2x EMA.: 1,
–3
53) x – 2 = x2 EMA.:
emaitzarik ez.

47) 3x² – 75x = 0 EMA: 0, 25.
48) 7x² – 9x + 2 = 0 EMA.: 1, 2/7

54 ) 1 +

= 2x

EMA.: –1/2, 1

x

49) 2x² – 2x – 24 = 0 EMA.: 4, –3

50) x²/3 – 12 = 0 EMA: 6, –6

1

55 ) 1 +

1
x

=x -

1
x

EMA.: –1, 2

51) (x – 2)(x + 1) = 0 EMA: 2, –1
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

23

2. mailako ekuazioak. Buruketak

56) Bi zenbakiren artean, 5eko aldea dago, eta haien
arteko biderkadura 66 da. Zein dira zenbakiok? EMA.: 6,
11; –11, –6.
57) Laukizuzen batek hogei zentimetroko diagonala du.
Zein izango da azalera, altuera baino lau cm luzeago
badu oina? EMA.: 12 cm, 16 cm.
58) Bila ezazu zirkunferentzia baten luzera, haren azalera
28,26 m² bada. EMA.: 18,84 m.
59) Triangelu zuzen batean, hipotenusaren luzera 10 cm
da. Bila itzazu katetoen luzerak, bata bestea baino 2 cm
luzeagoa bada. EMA.: 6 cm, 8 cm.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

24

2. mailako ekuazioak. Buruketak

60) Demagun 7 cm-ko alanbre bat daukagula. Nondik
tolestuko dugu muturretako bat bestetik 5 cm-ra egon dadin
angelu zuzen bat osatu ondoren? EMA.: 4 cm, 3 cm.
61) Ondoz ondoko bi zenbakiren arteko biderkadura
honako hau da zenbaki horien arteko batura gehi bost
unitate. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 3, 4; –2, –1.
62) Triangelu zuzen baten azalera 90 cm2 da. Bilatu
katetoak, haien arteko aldea 3 cm-koa bada. EMA.: 12 cm
eta 15 cm.
63) Banatu 9 zenbakia bi zatitan, bakoitzaren berbiduren
arteko batura 41 izan dadin. EMA.: 4, 5.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

25

Bi ezezaguneko ekuazio-sistemak:
Bi ekuazio aldi berean betetzen badira, ekuazio-sistema
bat dugu. Bi ekuazioak zenbaki berberetarako bete
behar dira.
Adibidez:

2x  y  4 

x  2 y   3

Sistema honen emaitza x = 1 eta y = 2 da, edo beste
modu batez adierazita, (1, 2) da.
Begiratu ea egia den.
Kopiatu koadernoan

26

Ekuazio-sistemak

Lau era ditugu ekuazio-sistemak ebazteko, baina
mementoz hiru besterik ez dugu ikasiko:
1. Ordezkatzea
2. Berdintzea
3. Laburtzea

Kopiatu koadernoan

Ekuazio-sistemak

27
1. Ordezkatzea
2x  y  4 

x  2 y   3

y  4  2x



x  8  4 x   3

Ekuazio batean,
ezezagun bat bakandu:
y  4  2x 

x  2 y   3

Beste ekuazioan,
ezezagun hori ordeztu

Beste ekuazioan
ordeztu
y  4  2x 

5 x  3  8

y  4  2x

5x  5 

y  4  2x



x  2  ( 4  2 x )   3

y  4  2x

x 1 

Kopiatu koadernoan

y  4  2  1

x 1 

y  2

x  1

Ekuazio-sistemak

28

Askatu sistema hauek, ordezkatze-metodoa erabiliz:
3 x  8 y  10 
64 )
 EMA. : ( 6 ,  1)
x y 5 

2x  3y  7 
65 )
 EMA. : ( 2 ,  1)
5 x  2 y  12 



1
2
67 )
EMA. : ( 4 , )

x y
x
2
  y
3
4

3x

68 )

 4y  8

3x  1  2 y  2
 EMA. : (  1,  3 )
x  y  4


2 x  12  4 y 

66 ) 2 x
 EMA. : ( 0 ,  3 )
 2 y  6

5


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

29

Ekuazio biak
berdindu

2. Berdintzea
2x  y  4 

x  2 y   3

4  2x 

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

3 x
2

y  4  2x

Ekuazio bietan, ezezagun
bera bakandu:
8  4x  3  x

y  4  2x 

 2 y  3  x 

y  4  2x

3 x 
y
2 


 5 x  5

x 1

Kopiatu koadernoan

y  4  2 1

y2

Ekuazio-sistemak

30

Askatu sistema hauek, berdintze-metodoa erabiliz:
2 x  y  0
69 )
 EMA. : (  1, 2 )
x  y 1

3x  y  4

70 ) x
 EMA. : ( 2 , 2 )
 y3

2


x 5  4y
x
71 )
y 
2


1
 y 1 
72 ) 4
 EMA. : ( 2 ,  )
2
2( x  y )  3

x

73 )

x5 y


 EMA. : (  3, 2 )
5 x  2 y   19 


1

EMA.
:
(
3
,

)

2
2



Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

31
3. Laburtzea
2x  y  4 

x  2 y   3

Ezezagun bera duten bi
gaiak ekuazio bietan
berdinak izatea da
helburua; berdinak
baina aurkako zeinua
dutela. Horretarako,
ekuazioetako bat
zenbaki oso batez
biderkatuko dugu:
2  (2 x  y  4)

x  2 y  3 

4x  2 y  8 

x  2 y   3

Ekuazio bien
arteko batuketa
egin, gaiz gai.
4x  2 y  8



x  2 y  3 

5x  0 y  5
5x  5
x 1

Kopiatu koadernoan

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

2 1  y  4

y  42

y2

Ekuazio-sistemak

32

Askatu sistema hauek, laburtze-metodoa erabiliz:
x  y  9
74 )
 EMA. : ( 5 , 4 )
x  y 1

75 )

3x  y  3
1
EMA.
:
(
, 2)

6 x  y  0
3

76 )

2 x  3 y  4
 EMA. : (1,  2 )
x  2y  5 


 y  0
77 ) 2
 EMA. : ( 4 ,  2 )
y
 x  3
2

x

5 
1 1

78 )
EMA.
:
(
, )
6 
2
3
3 y  3  4 x  2 
x 1  y 

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

33

Askatu sistema hauek, zure ustez errazena den metodoaz:
6 x  5 y  4
79 )
 EMA. : (1,  2 )
x  y  1

82 )

3x  y  1


 EMA. : Ez du
x  2 y  2  2x  y

emaitzarik

3x  5  2 y


80 ) x
 EMA. : (3 , 2 )
 y  2x  3

3


x
83 )
x

(Sistema

y 1
2
y2
3

bateraezin a)


1

 EMA. : (  8 ,  19 )
 1


3x  y  2
1

y  EMA. : ( ,  1)
81 ) x

3
3
9 


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

34

Ekuazio-sistemak. Buruketak

84) Ostatu batean, ohe bateko eta biko gelak daude. Orotara 50
gela eta 87 ohe daude. Mota bakoitzeko zenbat gela dago?
EMA.: 13, 37 gela
85) Txakur-txapelketa batean, txakurrak eta beraien jabeak
daude. Guztira hirurogeita hamazortzi buru eta berrehun eta
hamasei hanka daude. Zenbat txakur eta pertsona daude?
EMA.: 48 pertsona, 30 txakur.
86) Bi zenbakiren arteko batura hamalau da. Handienari bat
gehitzen badiogu, txikienaren bikoitza lortzen da. Aurki itzazu
zenbakiak. EMA.: 9, 5.
87) Bi zenbakiren arteko batura 150 da, eta kendura txikienaren
laukoitza da. Aurki itzazu zenbakiok. EMA.: 125, 25
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

35

Ekuazio-sistemak. Buruketak

88) Zenbaki baten hirukoitzari beste baten laukoitza
gehitutakoan, zazpi izango da emaitza; lehenengoaren
bikoitzari bigarrena gehitutakoan, berriz, hiru izango da
emaitza. Bilatu zenbakiok. EMA.: 1, 1.
89) Bi anaia-arreben adinen arteko batura 17 da; bost urte
barru, batena bestearenaren bikoitza izango da. Zenbat
urte dituzte? EMA.: 13, 4 urte.
90) Dendara joan eta alkandora bat eta praka batzuk erosi
ditut. Markatuta dituzten prezioen artean, 100 euro egiten
dute, baina, merkealdia dela eta, alkandoran % 20ko
deskontua egin didate, eta, praketan, % 30ekoa. Guztira,
73,50 euro pagatu dut. Zenbat balio du bakoitzak? EMA.:
35 eta 65 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

36
2
x + y = 24 
91 )
 EMA. : (2, 20); (  4, 8)
y = 2x + 16 

Ekuazio-sistemak
x y 7 
92 ) 2
 EMA. : ( 3, 4 ); ( 4 , 3 )
2
x  y  25 

93) 60 euro ditugu lagun batzuen artean banatzeko. Hiru
lagun gehiago bagina, bakoitzari euro bat gutxiago
egokituko litzaiguke. Zenbat gara? EMA: 12 lagun.

94) Loradenda batean, tulipan sortak egiteko hari batzuk
daude. Tulipanak binaka jarriz gero, 4 tulipan geldituko dira
sobran, eta hirunaka jarriz gero, hari bat sobran. Zenbat
tulipan eta zenbat hari daude? EMA: 7, 18.
95) Bi zenbakiren arteko kendura 3 da, eta zenbakion
berbiduren arteko batura, 117. Bila itzazu zenbakiok. EMA:
(–6, –9); (9, 6).
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

37

Ekuazio-sistemak

96) Bi zenbakiren arteko kendura 6 da, eta
biderkadura, 216. Bila itzazu zenbakiok. EMA: (–12, –
18); (18, 12).
97) Triangelu zuzen baten hipotenusa 10 m luze da,
eta perimetroa, 24 m-koa da. Zenbat luze dira bi
katetoak? EMA.: 6 cm, 8 cm.
98) x4 + 3x² – 4 = 0 EMA.: 1, –1
99) x × (x + 5) × (x – 2) = 0 EMA: 0, –5, 2.
100) x4 – 5x² + 4 = 0 EMA: 2, –2, 1, –1.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira


Slide 7

1

Ekuazioak 3. DBH
Alfredo Ortega Loza
Unitate honetan, hauek ikasi edo gogoratuko ditugu:
•Ekuazioak eta identitateak bereizten
•Lehenengo mailako ekuazioak askatzen
•Buruketak askatzen
•2. mailako ekuazioak askatzen
•Ekuazio-sistemak askatzen
•2. mailako ekuazio-sistemak askatzen

Berdintzak

2

Berdin ikurra duten adierazpeni berdintza
esaten zaie.
Berdintzak zenbakizkoak izan daitezke:
3·(5 – 4) = 2 + 1



45/5 = 18/2



Algebraikoak ere,
izan daitezke:

Berdintzaren ezkerreko aldeari
lehen atala esaten zaio, eta
eskuinekoari, bigarren atala.
Batuketa edo kenketa ikurren
arteko letra eta zenbakimultzoei, berriz, gai deritze.

3x – 5 = x/4 +1



5a + 2b = 10a/2 + (9/2)b – (5/2)b



Kopiatu koadernoan

Identitateak

3

Berdintza algebraikoak –letrak dituztenak–
identitateak edo ekuazioak izan daitezke:
Identitateak:

3x + (5 – 1)·2 = 2x + x + 8
5a – a = 2 (7a – 5a)

Gogoratu: zenbakien
eta letren artean ezer
ez dagoenean,
BIDER (·) ikurra
irakurri behar da beti.

Ezezagunak (letra) edozein balio izanda ere,
bete egingo da berdintza. Askatzen saiatuz
gero, 0 = 0 lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazioak

4

Ekuazioak:
3x = 2x + 1. EMA.: x = 1
5a – 3 = 2 (7a – 5a). EMA.: a = 3

Ezezagunaren balio batzuetarako baino ez
da betetzen berdintza.
Balio horiek topatzeari ekuazioa askatzea
(edo ebaztea) esaten zaio.

Kopiatu koadernoan

5

Ekuazio baliokideak
Ekuazioen propietateak:

Ekuazio baten bi aldeetan batuketa edo
kenketa bera egiten badugu, hasierakoaren
ekuazio baliokide bat (emaitza berbera
duena) lortuko dugu.
Ekuazio baten bi aldeak zero ez den
adierazpen batekin biderkatzen edo
zatitzen baditugu, hasierakoaren ekuazio
baliokide bat lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (1)

6

Ekuazioetarako erregelak:

x+7=3

–x = 3 – 2x

x+7–7=3–7

–x + 2x = 3 – 2x + 2x

x=3–7

–x + 2x = 3

x = –4

x=3

Ekuazioaren alde batean
batzen dagoena kentzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazioaren alde batean
kentzen dagoena batzen
pasatzen da beste aldera.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (2)

7

3x



3
x

Kopiatu koadernoan

Ekuazioetarako erregelak:
x
3x – 7 = 2
2 1
4
3x – 7 + 7 = 2 + 7
x
 2  2  1 2
4
3x = 9
9
3
9
3

x=3

Ekuazioaren alde batean
biderkatzen dagoena zatitzen
pasatzen da beste aldera.

x

 1

4
4

x

 4  (  1)

4
x  4  (  1)

x = –4
Ekuazioaren alde batean
zatitzen dagoena biderkatzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazio-ebazpenak

8
Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio eta identitate
hauek :

 Letrak dituzten
gai guztiak
berdintzaren alde
batera eraman
behar ditugu, eta
zenbakiak,
bestera.

1) x – 3 + 5x = 4x – 7. EMA.: –2

 Parentesiak
badaude, beste
ezer baino lehen
kendu behar
ditugu.

2) 7x – 5 + 2x + 6 = –3x + 8 – x.
EMA.: 7/13
3) 2x – (6x + 1) = 3x – 5(2 – x). EMA.: 3/4
4) 7(x + 3) = 7 + 8x – 1 . EMA.: 15
5) 3x +7 – 2(x – 3) = 3(x + 4) – 2x + 1.
EMA.: Edozein; identitatea da

6) 4 – (3 – x) + 6 = 2x + 2(2x – 3).
EMA.: 13/5
7) 5 – x(3 + 1) = 2x – 6(3 – 2x).
EMA.: 23/18

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

9

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio hauek :
8)

 Izendatzaileak
badaude,
izendatzaileen
MKTa lortu behar
dugu, eta,
ondoren,
berdintzaren
alde biak MKT
horrekin
biderkatuko
ditugu.

9)

1

x + 2=

2

x - 5 . E M A : 42

3

4

x

- 3  (x - 1) = 2 x -

7 - x

2

10)

1

(x - 2) -

8

11)

. E M A : 32/29.

3
2

(2 x + 6) + x = - 4 .E M A : -6/5

3

x - 1

-

x + 1

2
12) - 4  (3 - x)

=x -

3

5

.E M A : 1

3
+ 4x =

3

 (2 x - 1) - (x + 1) E M A : 4/3.

5

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

10

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
13)

x

-

x - 3

6

14)

=1 -

2x - 5

4

6x - 1

-

5x - 6

5

=

2x + 1

7
x - 2

15) 1 -

5

- 2

- 5x =

3x - 5

7x

(x - 1)

x - 8

2
18) 2 -

3  (2 + x)

=x +

3
-

3
x - 1
5

E M A : 25/41.

2

4

17)

E M A : 34/19.

3

3

16)

E M A : 23/7.

3

E M A : -13/38.

2
-

4  (4 x + 2)

=

5
- (2 x - 1) =

5x - 3

E M A : 2.

7
x - 5
E M A : 19/9

2

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

11

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
19) x -

x

-

x - 1

2

=

6

20) - 4 x - 3 -

x

- 2  (x - 1) E M A :11/13.

6

6x + 4

= 3 - 4  (x - 1) E M A : -37/3.

7
21) 3 -

x + 1

- (4 x - 1) = x - (3 - 4 x) E M A : 13/19.

2
x 22)

1
2 -

3
2

23)

x -

x + 2

-

2

x

- 3
3 = 2 - x - 2
E M A : 2.
4
6
12
1

3x - 1

+

4
(x + 2) (3 x - 1)

= 0 . E M A : 0.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

12

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

Buruketen emaitzak lortzeko, pauso hauek dira
garrantzitsuenak:

Proposatzen den buruketa ondo ulertu. Behar diren
irakurketa guztiak egin, zer eskatzen duten ondo ulertzeko
eta azaltzen diren baldintzak ondo kontrolatzeko

Azpimarratu datu garrantzitsuenak
Ixa esleitu. Ixaren aldamenean beti idatzi zer den
Dituzun datu guztien artean, erlazioren bat topatu.
Buruketak berak ematen du askotan

Sortu duzun ekuazioa askatu
Bukatzeko, egiaztatu emaitza dituzun datu guztiekin
Kopiatu koadernoan

13

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

24) Bi zenbakiren arteko batura 76, da eta bata bestea
baino lau unitate handiagoa da. Bilatu zenbakiok. EMA.:
36, 40.
25) Ondoz ondoko hiru zenbakiren arteko batura
laurogeita hamahiru da. Zein dira zenbaki horiek. EMA.:
30, 31, 32.
26) Zenbaki baten herenaren eta hirukoitzaren arteko
batura berrogei da. Aurkitu zenbakia. EMA.: 12.
27) Bi mila laurehun metro ibili ondoren, distantziaren
herena falta zaigu bukatzeko. Zein da distantzia? EMA.:
3.600 m.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

14

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

28) Pertsona batek duen muxika-kopurua honela banatuta
geratu da: erdiak saldu egin zituen, laurdenak anaiari eman
zizkion eta, oraindik, ehun eta hogei muxika geratu zaizkio.
Zenbat muxika zituen? EMA.: 480 muxika.

29) Zuk hamabi urte badituzu eta zure aitak zure adinaren
zortzi herena, zenbat urte ditu zure aitak? EMA.: 32 urte.
30) Ondoz ondoko bi zenbaki ditugu. Handienaren
herenaren eta txikienaren arteko batura txikienaren
bikoitzaren herena da. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 2, 3.
31) Andonik Kepak baino bost euro gehiago ditu. Baina
Andonik Kepari lau euro emango balizkio, Keparen dirutza
Andonirenaren bikoitza bihurtuko litzateke. Zenbat dauka
bakoitzak? EMA.: 7 eta 2 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

15

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

32) Orain dela lau urte ume baten adinaren hirukoitza
orain duenaren bikoitza zen. Zenbat urte ditu? EMA.: 12
urte.
33) Pertsona baten adina beste lagun batenaren bikoitza
da. Orain dela zazpi urte, bi pertsonen urteen batura
lehenengoaren gaur egungo adina izan zen. Kalkula
itzazu bi pertsonen adinak. EMA.:14 eta 28 urte.
34) Aita batek berrogeita bi urte ditu, eta semeak hamar.
Zenbat urte pasa behar dira aitaren adina semearenaren
hirukoitza izateko? EMA.: 6 urte
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

16

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

35) Gripea zela eta, gela bateko sei ikasle ez ziren eskolara
etorri. Eta, honela, ikasle guztien hiru laurdenak baino bi
gehiago etorri ziren. Zenbat ikasle ziren gelan? EMA.: 32
ikasle.
36) Laukizuzen-itxurako bizkotxo batean, hiru zati egin ditugu.
Lehenengoa bizkotxoaren herena da, bigarrena bostena eta
hirugarrena lau bederatzirena; 4 cm geratu zaigu sobran.
Zenbatekoa da bizkotxoaren luzera? EMA.: 180 cm.

37) Hemendik hamaika urtera, Enekoren adina duela
hamahiru urte zuenaren bikoitza izango da. Zenbat urte ditu?
EMA.: 37 urte.00
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

17

2. mailako ekuazioak ezezagun bakarrekoak badira,
honela adieraziko ditugu:
ax2 + bx + c = 0
a, b eta c zenbaki osoak dira, eta a ezin da zeroren
berdina izan (a  0).
Ekuazio horiek formula honek askatzen ditu beti:

x

b

b  4 ac
2

2a
Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

18

x

Adibide gisa, askatu
honako ekuazio hau:

x

b  4 ac
2

2a

GOGORATU: letra baten
aurrean ezer ikusten ez
duzunean, 1 zenbakia dago

2x2 – x – 1 = 0
a=2
b = –1
c = –1

b

 (  1) 

(  1)  4  2  (  1)
2

22
4



1 1 8
4

Kopiatu koadernoan



1 3
4



1

4
2
4



1
2



2. mailako ekuazioak

19
x

b

b  4 ac
2

2a

Askatu honako ekuazio hauek:
38) x2 – x – 2 = 0 EMA.: 2, –1
39) 3x2 – 7x – 6 = 0 EMA.: 3, –2/3
40) 4x2 – 8x + 3 = 0 EMA.: 3/2, 1/2
41) x2 + 4x + 4 = 0 EMA.: –2

42) x2 + 8x + 3 = 0 EMA.: –0,4; –7,6
43) x2 + 2x + 2 = 0 EMA.: emaitzarik
ez.

Emaitza bakarra
lortzen badugu,
emaitza horri emaitza
bikoitza esango
diogu.
Batzuetan, erroak ez
du emaitzarik, eta,
orduan, esaten dugu
ekuazioak ez duela
emaitza errealik.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

20

Modu horrek 2. mailako ekuazio guztietarako balio
badu ere, badaude beste modu errazago batzuk:
1) b = 0 denean

Adibidea:

ax2 + 0x + c = 0

3x2 – 75 = 0

ax2 + c = 0

3x2 = 75

ax2 = –c
x 
2

x 
2

75
3

c

5

a
x

c

x   25 

–5

a

Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

21

GOGORATU: biderkadura bat zero bada,
biderkagairen bat zero delako da
2) c = 0 denean

Adibidea:

ax2 + bx + 0 = 0

5x2 – 7x = 0

ax2 + bx = 0

x·(5x – 7) = 0

x·(ax + b) = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

5x – 7 = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

ax + b = 0
x = –b/a
Kopiatu koadernoan

x = 7/5

22

2. mailako ekuazioak

Ebatzi honako ekuazio hauek:
44) 3x² + 5x – 2 = 0 EMA.: 1/3; –2
45) 4x² – 36 = 0 EMA: 3, –3.
46) 2x² – 15x + 7 = 0 EMA: 7, 1/2

52) 2x2 – 3 = x2 – 2x EMA.: 1,
–3
53) x – 2 = x2 EMA.:
emaitzarik ez.

47) 3x² – 75x = 0 EMA: 0, 25.
48) 7x² – 9x + 2 = 0 EMA.: 1, 2/7

54 ) 1 +

= 2x

EMA.: –1/2, 1

x

49) 2x² – 2x – 24 = 0 EMA.: 4, –3

50) x²/3 – 12 = 0 EMA: 6, –6

1

55 ) 1 +

1
x

=x -

1
x

EMA.: –1, 2

51) (x – 2)(x + 1) = 0 EMA: 2, –1
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

23

2. mailako ekuazioak. Buruketak

56) Bi zenbakiren artean, 5eko aldea dago, eta haien
arteko biderkadura 66 da. Zein dira zenbakiok? EMA.: 6,
11; –11, –6.
57) Laukizuzen batek hogei zentimetroko diagonala du.
Zein izango da azalera, altuera baino lau cm luzeago
badu oina? EMA.: 12 cm, 16 cm.
58) Bila ezazu zirkunferentzia baten luzera, haren azalera
28,26 m² bada. EMA.: 18,84 m.
59) Triangelu zuzen batean, hipotenusaren luzera 10 cm
da. Bila itzazu katetoen luzerak, bata bestea baino 2 cm
luzeagoa bada. EMA.: 6 cm, 8 cm.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

24

2. mailako ekuazioak. Buruketak

60) Demagun 7 cm-ko alanbre bat daukagula. Nondik
tolestuko dugu muturretako bat bestetik 5 cm-ra egon dadin
angelu zuzen bat osatu ondoren? EMA.: 4 cm, 3 cm.
61) Ondoz ondoko bi zenbakiren arteko biderkadura
honako hau da zenbaki horien arteko batura gehi bost
unitate. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 3, 4; –2, –1.
62) Triangelu zuzen baten azalera 90 cm2 da. Bilatu
katetoak, haien arteko aldea 3 cm-koa bada. EMA.: 12 cm
eta 15 cm.
63) Banatu 9 zenbakia bi zatitan, bakoitzaren berbiduren
arteko batura 41 izan dadin. EMA.: 4, 5.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

25

Bi ezezaguneko ekuazio-sistemak:
Bi ekuazio aldi berean betetzen badira, ekuazio-sistema
bat dugu. Bi ekuazioak zenbaki berberetarako bete
behar dira.
Adibidez:

2x  y  4 

x  2 y   3

Sistema honen emaitza x = 1 eta y = 2 da, edo beste
modu batez adierazita, (1, 2) da.
Begiratu ea egia den.
Kopiatu koadernoan

26

Ekuazio-sistemak

Lau era ditugu ekuazio-sistemak ebazteko, baina
mementoz hiru besterik ez dugu ikasiko:
1. Ordezkatzea
2. Berdintzea
3. Laburtzea

Kopiatu koadernoan

Ekuazio-sistemak

27
1. Ordezkatzea
2x  y  4 

x  2 y   3

y  4  2x



x  8  4 x   3

Ekuazio batean,
ezezagun bat bakandu:
y  4  2x 

x  2 y   3

Beste ekuazioan,
ezezagun hori ordeztu

Beste ekuazioan
ordeztu
y  4  2x 

5 x  3  8

y  4  2x

5x  5 

y  4  2x



x  2  ( 4  2 x )   3

y  4  2x

x 1 

Kopiatu koadernoan

y  4  2  1

x 1 

y  2

x  1

Ekuazio-sistemak

28

Askatu sistema hauek, ordezkatze-metodoa erabiliz:
3 x  8 y  10 
64 )
 EMA. : ( 6 ,  1)
x y 5 

2x  3y  7 
65 )
 EMA. : ( 2 ,  1)
5 x  2 y  12 



1
2
67 )
EMA. : ( 4 , )

x y
x
2
  y
3
4

3x

68 )

 4y  8

3x  1  2 y  2
 EMA. : (  1,  3 )
x  y  4


2 x  12  4 y 

66 ) 2 x
 EMA. : ( 0 ,  3 )
 2 y  6

5


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

29

Ekuazio biak
berdindu

2. Berdintzea
2x  y  4 

x  2 y   3

4  2x 

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

3 x
2

y  4  2x

Ekuazio bietan, ezezagun
bera bakandu:
8  4x  3  x

y  4  2x 

 2 y  3  x 

y  4  2x

3 x 
y
2 


 5 x  5

x 1

Kopiatu koadernoan

y  4  2 1

y2

Ekuazio-sistemak

30

Askatu sistema hauek, berdintze-metodoa erabiliz:
2 x  y  0
69 )
 EMA. : (  1, 2 )
x  y 1

3x  y  4

70 ) x
 EMA. : ( 2 , 2 )
 y3

2


x 5  4y
x
71 )
y 
2


1
 y 1 
72 ) 4
 EMA. : ( 2 ,  )
2
2( x  y )  3

x

73 )

x5 y


 EMA. : (  3, 2 )
5 x  2 y   19 


1

EMA.
:
(
3
,

)

2
2



Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

31
3. Laburtzea
2x  y  4 

x  2 y   3

Ezezagun bera duten bi
gaiak ekuazio bietan
berdinak izatea da
helburua; berdinak
baina aurkako zeinua
dutela. Horretarako,
ekuazioetako bat
zenbaki oso batez
biderkatuko dugu:
2  (2 x  y  4)

x  2 y  3 

4x  2 y  8 

x  2 y   3

Ekuazio bien
arteko batuketa
egin, gaiz gai.
4x  2 y  8



x  2 y  3 

5x  0 y  5
5x  5
x 1

Kopiatu koadernoan

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

2 1  y  4

y  42

y2

Ekuazio-sistemak

32

Askatu sistema hauek, laburtze-metodoa erabiliz:
x  y  9
74 )
 EMA. : ( 5 , 4 )
x  y 1

75 )

3x  y  3
1
EMA.
:
(
, 2)

6 x  y  0
3

76 )

2 x  3 y  4
 EMA. : (1,  2 )
x  2y  5 


 y  0
77 ) 2
 EMA. : ( 4 ,  2 )
y
 x  3
2

x

5 
1 1

78 )
EMA.
:
(
, )
6 
2
3
3 y  3  4 x  2 
x 1  y 

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

33

Askatu sistema hauek, zure ustez errazena den metodoaz:
6 x  5 y  4
79 )
 EMA. : (1,  2 )
x  y  1

82 )

3x  y  1


 EMA. : Ez du
x  2 y  2  2x  y

emaitzarik

3x  5  2 y


80 ) x
 EMA. : (3 , 2 )
 y  2x  3

3


x
83 )
x

(Sistema

y 1
2
y2
3

bateraezin a)


1

 EMA. : (  8 ,  19 )
 1


3x  y  2
1

y  EMA. : ( ,  1)
81 ) x

3
3
9 


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

34

Ekuazio-sistemak. Buruketak

84) Ostatu batean, ohe bateko eta biko gelak daude. Orotara 50
gela eta 87 ohe daude. Mota bakoitzeko zenbat gela dago?
EMA.: 13, 37 gela
85) Txakur-txapelketa batean, txakurrak eta beraien jabeak
daude. Guztira hirurogeita hamazortzi buru eta berrehun eta
hamasei hanka daude. Zenbat txakur eta pertsona daude?
EMA.: 48 pertsona, 30 txakur.
86) Bi zenbakiren arteko batura hamalau da. Handienari bat
gehitzen badiogu, txikienaren bikoitza lortzen da. Aurki itzazu
zenbakiak. EMA.: 9, 5.
87) Bi zenbakiren arteko batura 150 da, eta kendura txikienaren
laukoitza da. Aurki itzazu zenbakiok. EMA.: 125, 25
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

35

Ekuazio-sistemak. Buruketak

88) Zenbaki baten hirukoitzari beste baten laukoitza
gehitutakoan, zazpi izango da emaitza; lehenengoaren
bikoitzari bigarrena gehitutakoan, berriz, hiru izango da
emaitza. Bilatu zenbakiok. EMA.: 1, 1.
89) Bi anaia-arreben adinen arteko batura 17 da; bost urte
barru, batena bestearenaren bikoitza izango da. Zenbat
urte dituzte? EMA.: 13, 4 urte.
90) Dendara joan eta alkandora bat eta praka batzuk erosi
ditut. Markatuta dituzten prezioen artean, 100 euro egiten
dute, baina, merkealdia dela eta, alkandoran % 20ko
deskontua egin didate, eta, praketan, % 30ekoa. Guztira,
73,50 euro pagatu dut. Zenbat balio du bakoitzak? EMA.:
35 eta 65 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

36
2
x + y = 24 
91 )
 EMA. : (2, 20); (  4, 8)
y = 2x + 16 

Ekuazio-sistemak
x y 7 
92 ) 2
 EMA. : ( 3, 4 ); ( 4 , 3 )
2
x  y  25 

93) 60 euro ditugu lagun batzuen artean banatzeko. Hiru
lagun gehiago bagina, bakoitzari euro bat gutxiago
egokituko litzaiguke. Zenbat gara? EMA: 12 lagun.

94) Loradenda batean, tulipan sortak egiteko hari batzuk
daude. Tulipanak binaka jarriz gero, 4 tulipan geldituko dira
sobran, eta hirunaka jarriz gero, hari bat sobran. Zenbat
tulipan eta zenbat hari daude? EMA: 7, 18.
95) Bi zenbakiren arteko kendura 3 da, eta zenbakion
berbiduren arteko batura, 117. Bila itzazu zenbakiok. EMA:
(–6, –9); (9, 6).
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

37

Ekuazio-sistemak

96) Bi zenbakiren arteko kendura 6 da, eta
biderkadura, 216. Bila itzazu zenbakiok. EMA: (–12, –
18); (18, 12).
97) Triangelu zuzen baten hipotenusa 10 m luze da,
eta perimetroa, 24 m-koa da. Zenbat luze dira bi
katetoak? EMA.: 6 cm, 8 cm.
98) x4 + 3x² – 4 = 0 EMA.: 1, –1
99) x × (x + 5) × (x – 2) = 0 EMA: 0, –5, 2.
100) x4 – 5x² + 4 = 0 EMA: 2, –2, 1, –1.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira


Slide 8

1

Ekuazioak 3. DBH
Alfredo Ortega Loza
Unitate honetan, hauek ikasi edo gogoratuko ditugu:
•Ekuazioak eta identitateak bereizten
•Lehenengo mailako ekuazioak askatzen
•Buruketak askatzen
•2. mailako ekuazioak askatzen
•Ekuazio-sistemak askatzen
•2. mailako ekuazio-sistemak askatzen

Berdintzak

2

Berdin ikurra duten adierazpeni berdintza
esaten zaie.
Berdintzak zenbakizkoak izan daitezke:
3·(5 – 4) = 2 + 1



45/5 = 18/2



Algebraikoak ere,
izan daitezke:

Berdintzaren ezkerreko aldeari
lehen atala esaten zaio, eta
eskuinekoari, bigarren atala.
Batuketa edo kenketa ikurren
arteko letra eta zenbakimultzoei, berriz, gai deritze.

3x – 5 = x/4 +1



5a + 2b = 10a/2 + (9/2)b – (5/2)b



Kopiatu koadernoan

Identitateak

3

Berdintza algebraikoak –letrak dituztenak–
identitateak edo ekuazioak izan daitezke:
Identitateak:

3x + (5 – 1)·2 = 2x + x + 8
5a – a = 2 (7a – 5a)

Gogoratu: zenbakien
eta letren artean ezer
ez dagoenean,
BIDER (·) ikurra
irakurri behar da beti.

Ezezagunak (letra) edozein balio izanda ere,
bete egingo da berdintza. Askatzen saiatuz
gero, 0 = 0 lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazioak

4

Ekuazioak:
3x = 2x + 1. EMA.: x = 1
5a – 3 = 2 (7a – 5a). EMA.: a = 3

Ezezagunaren balio batzuetarako baino ez
da betetzen berdintza.
Balio horiek topatzeari ekuazioa askatzea
(edo ebaztea) esaten zaio.

Kopiatu koadernoan

5

Ekuazio baliokideak
Ekuazioen propietateak:

Ekuazio baten bi aldeetan batuketa edo
kenketa bera egiten badugu, hasierakoaren
ekuazio baliokide bat (emaitza berbera
duena) lortuko dugu.
Ekuazio baten bi aldeak zero ez den
adierazpen batekin biderkatzen edo
zatitzen baditugu, hasierakoaren ekuazio
baliokide bat lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (1)

6

Ekuazioetarako erregelak:

x+7=3

–x = 3 – 2x

x+7–7=3–7

–x + 2x = 3 – 2x + 2x

x=3–7

–x + 2x = 3

x = –4

x=3

Ekuazioaren alde batean
batzen dagoena kentzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazioaren alde batean
kentzen dagoena batzen
pasatzen da beste aldera.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (2)

7

3x



3
x

Kopiatu koadernoan

Ekuazioetarako erregelak:
x
3x – 7 = 2
2 1
4
3x – 7 + 7 = 2 + 7
x
 2  2  1 2
4
3x = 9
9
3
9
3

x=3

Ekuazioaren alde batean
biderkatzen dagoena zatitzen
pasatzen da beste aldera.

x

 1

4
4

x

 4  (  1)

4
x  4  (  1)

x = –4
Ekuazioaren alde batean
zatitzen dagoena biderkatzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazio-ebazpenak

8
Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio eta identitate
hauek :

 Letrak dituzten
gai guztiak
berdintzaren alde
batera eraman
behar ditugu, eta
zenbakiak,
bestera.

1) x – 3 + 5x = 4x – 7. EMA.: –2

 Parentesiak
badaude, beste
ezer baino lehen
kendu behar
ditugu.

2) 7x – 5 + 2x + 6 = –3x + 8 – x.
EMA.: 7/13
3) 2x – (6x + 1) = 3x – 5(2 – x). EMA.: 3/4
4) 7(x + 3) = 7 + 8x – 1 . EMA.: 15
5) 3x +7 – 2(x – 3) = 3(x + 4) – 2x + 1.
EMA.: Edozein; identitatea da

6) 4 – (3 – x) + 6 = 2x + 2(2x – 3).
EMA.: 13/5
7) 5 – x(3 + 1) = 2x – 6(3 – 2x).
EMA.: 23/18

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

9

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio hauek :
8)

 Izendatzaileak
badaude,
izendatzaileen
MKTa lortu behar
dugu, eta,
ondoren,
berdintzaren
alde biak MKT
horrekin
biderkatuko
ditugu.

9)

1

x + 2=

2

x - 5 . E M A : 42

3

4

x

- 3  (x - 1) = 2 x -

7 - x

2

10)

1

(x - 2) -

8

11)

. E M A : 32/29.

3
2

(2 x + 6) + x = - 4 .E M A : -6/5

3

x - 1

-

x + 1

2
12) - 4  (3 - x)

=x -

3

5

.E M A : 1

3
+ 4x =

3

 (2 x - 1) - (x + 1) E M A : 4/3.

5

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

10

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
13)

x

-

x - 3

6

14)

=1 -

2x - 5

4

6x - 1

-

5x - 6

5

=

2x + 1

7
x - 2

15) 1 -

5

- 2

- 5x =

3x - 5

7x

(x - 1)

x - 8

2
18) 2 -

3  (2 + x)

=x +

3
-

3
x - 1
5

E M A : 25/41.

2

4

17)

E M A : 34/19.

3

3

16)

E M A : 23/7.

3

E M A : -13/38.

2
-

4  (4 x + 2)

=

5
- (2 x - 1) =

5x - 3

E M A : 2.

7
x - 5
E M A : 19/9

2

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

11

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
19) x -

x

-

x - 1

2

=

6

20) - 4 x - 3 -

x

- 2  (x - 1) E M A :11/13.

6

6x + 4

= 3 - 4  (x - 1) E M A : -37/3.

7
21) 3 -

x + 1

- (4 x - 1) = x - (3 - 4 x) E M A : 13/19.

2
x 22)

1
2 -

3
2

23)

x -

x + 2

-

2

x

- 3
3 = 2 - x - 2
E M A : 2.
4
6
12
1

3x - 1

+

4
(x + 2) (3 x - 1)

= 0 . E M A : 0.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

12

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

Buruketen emaitzak lortzeko, pauso hauek dira
garrantzitsuenak:

Proposatzen den buruketa ondo ulertu. Behar diren
irakurketa guztiak egin, zer eskatzen duten ondo ulertzeko
eta azaltzen diren baldintzak ondo kontrolatzeko

Azpimarratu datu garrantzitsuenak
Ixa esleitu. Ixaren aldamenean beti idatzi zer den
Dituzun datu guztien artean, erlazioren bat topatu.
Buruketak berak ematen du askotan

Sortu duzun ekuazioa askatu
Bukatzeko, egiaztatu emaitza dituzun datu guztiekin
Kopiatu koadernoan

13

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

24) Bi zenbakiren arteko batura 76, da eta bata bestea
baino lau unitate handiagoa da. Bilatu zenbakiok. EMA.:
36, 40.
25) Ondoz ondoko hiru zenbakiren arteko batura
laurogeita hamahiru da. Zein dira zenbaki horiek. EMA.:
30, 31, 32.
26) Zenbaki baten herenaren eta hirukoitzaren arteko
batura berrogei da. Aurkitu zenbakia. EMA.: 12.
27) Bi mila laurehun metro ibili ondoren, distantziaren
herena falta zaigu bukatzeko. Zein da distantzia? EMA.:
3.600 m.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

14

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

28) Pertsona batek duen muxika-kopurua honela banatuta
geratu da: erdiak saldu egin zituen, laurdenak anaiari eman
zizkion eta, oraindik, ehun eta hogei muxika geratu zaizkio.
Zenbat muxika zituen? EMA.: 480 muxika.

29) Zuk hamabi urte badituzu eta zure aitak zure adinaren
zortzi herena, zenbat urte ditu zure aitak? EMA.: 32 urte.
30) Ondoz ondoko bi zenbaki ditugu. Handienaren
herenaren eta txikienaren arteko batura txikienaren
bikoitzaren herena da. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 2, 3.
31) Andonik Kepak baino bost euro gehiago ditu. Baina
Andonik Kepari lau euro emango balizkio, Keparen dirutza
Andonirenaren bikoitza bihurtuko litzateke. Zenbat dauka
bakoitzak? EMA.: 7 eta 2 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

15

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

32) Orain dela lau urte ume baten adinaren hirukoitza
orain duenaren bikoitza zen. Zenbat urte ditu? EMA.: 12
urte.
33) Pertsona baten adina beste lagun batenaren bikoitza
da. Orain dela zazpi urte, bi pertsonen urteen batura
lehenengoaren gaur egungo adina izan zen. Kalkula
itzazu bi pertsonen adinak. EMA.:14 eta 28 urte.
34) Aita batek berrogeita bi urte ditu, eta semeak hamar.
Zenbat urte pasa behar dira aitaren adina semearenaren
hirukoitza izateko? EMA.: 6 urte
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

16

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

35) Gripea zela eta, gela bateko sei ikasle ez ziren eskolara
etorri. Eta, honela, ikasle guztien hiru laurdenak baino bi
gehiago etorri ziren. Zenbat ikasle ziren gelan? EMA.: 32
ikasle.
36) Laukizuzen-itxurako bizkotxo batean, hiru zati egin ditugu.
Lehenengoa bizkotxoaren herena da, bigarrena bostena eta
hirugarrena lau bederatzirena; 4 cm geratu zaigu sobran.
Zenbatekoa da bizkotxoaren luzera? EMA.: 180 cm.

37) Hemendik hamaika urtera, Enekoren adina duela
hamahiru urte zuenaren bikoitza izango da. Zenbat urte ditu?
EMA.: 37 urte.00
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

17

2. mailako ekuazioak ezezagun bakarrekoak badira,
honela adieraziko ditugu:
ax2 + bx + c = 0
a, b eta c zenbaki osoak dira, eta a ezin da zeroren
berdina izan (a  0).
Ekuazio horiek formula honek askatzen ditu beti:

x

b

b  4 ac
2

2a
Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

18

x

Adibide gisa, askatu
honako ekuazio hau:

x

b  4 ac
2

2a

GOGORATU: letra baten
aurrean ezer ikusten ez
duzunean, 1 zenbakia dago

2x2 – x – 1 = 0
a=2
b = –1
c = –1

b

 (  1) 

(  1)  4  2  (  1)
2

22
4



1 1 8
4

Kopiatu koadernoan



1 3
4



1

4
2
4



1
2



2. mailako ekuazioak

19
x

b

b  4 ac
2

2a

Askatu honako ekuazio hauek:
38) x2 – x – 2 = 0 EMA.: 2, –1
39) 3x2 – 7x – 6 = 0 EMA.: 3, –2/3
40) 4x2 – 8x + 3 = 0 EMA.: 3/2, 1/2
41) x2 + 4x + 4 = 0 EMA.: –2

42) x2 + 8x + 3 = 0 EMA.: –0,4; –7,6
43) x2 + 2x + 2 = 0 EMA.: emaitzarik
ez.

Emaitza bakarra
lortzen badugu,
emaitza horri emaitza
bikoitza esango
diogu.
Batzuetan, erroak ez
du emaitzarik, eta,
orduan, esaten dugu
ekuazioak ez duela
emaitza errealik.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

20

Modu horrek 2. mailako ekuazio guztietarako balio
badu ere, badaude beste modu errazago batzuk:
1) b = 0 denean

Adibidea:

ax2 + 0x + c = 0

3x2 – 75 = 0

ax2 + c = 0

3x2 = 75

ax2 = –c
x 
2

x 
2

75
3

c

5

a
x

c

x   25 

–5

a

Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

21

GOGORATU: biderkadura bat zero bada,
biderkagairen bat zero delako da
2) c = 0 denean

Adibidea:

ax2 + bx + 0 = 0

5x2 – 7x = 0

ax2 + bx = 0

x·(5x – 7) = 0

x·(ax + b) = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

5x – 7 = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

ax + b = 0
x = –b/a
Kopiatu koadernoan

x = 7/5

22

2. mailako ekuazioak

Ebatzi honako ekuazio hauek:
44) 3x² + 5x – 2 = 0 EMA.: 1/3; –2
45) 4x² – 36 = 0 EMA: 3, –3.
46) 2x² – 15x + 7 = 0 EMA: 7, 1/2

52) 2x2 – 3 = x2 – 2x EMA.: 1,
–3
53) x – 2 = x2 EMA.:
emaitzarik ez.

47) 3x² – 75x = 0 EMA: 0, 25.
48) 7x² – 9x + 2 = 0 EMA.: 1, 2/7

54 ) 1 +

= 2x

EMA.: –1/2, 1

x

49) 2x² – 2x – 24 = 0 EMA.: 4, –3

50) x²/3 – 12 = 0 EMA: 6, –6

1

55 ) 1 +

1
x

=x -

1
x

EMA.: –1, 2

51) (x – 2)(x + 1) = 0 EMA: 2, –1
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

23

2. mailako ekuazioak. Buruketak

56) Bi zenbakiren artean, 5eko aldea dago, eta haien
arteko biderkadura 66 da. Zein dira zenbakiok? EMA.: 6,
11; –11, –6.
57) Laukizuzen batek hogei zentimetroko diagonala du.
Zein izango da azalera, altuera baino lau cm luzeago
badu oina? EMA.: 12 cm, 16 cm.
58) Bila ezazu zirkunferentzia baten luzera, haren azalera
28,26 m² bada. EMA.: 18,84 m.
59) Triangelu zuzen batean, hipotenusaren luzera 10 cm
da. Bila itzazu katetoen luzerak, bata bestea baino 2 cm
luzeagoa bada. EMA.: 6 cm, 8 cm.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

24

2. mailako ekuazioak. Buruketak

60) Demagun 7 cm-ko alanbre bat daukagula. Nondik
tolestuko dugu muturretako bat bestetik 5 cm-ra egon dadin
angelu zuzen bat osatu ondoren? EMA.: 4 cm, 3 cm.
61) Ondoz ondoko bi zenbakiren arteko biderkadura
honako hau da zenbaki horien arteko batura gehi bost
unitate. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 3, 4; –2, –1.
62) Triangelu zuzen baten azalera 90 cm2 da. Bilatu
katetoak, haien arteko aldea 3 cm-koa bada. EMA.: 12 cm
eta 15 cm.
63) Banatu 9 zenbakia bi zatitan, bakoitzaren berbiduren
arteko batura 41 izan dadin. EMA.: 4, 5.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

25

Bi ezezaguneko ekuazio-sistemak:
Bi ekuazio aldi berean betetzen badira, ekuazio-sistema
bat dugu. Bi ekuazioak zenbaki berberetarako bete
behar dira.
Adibidez:

2x  y  4 

x  2 y   3

Sistema honen emaitza x = 1 eta y = 2 da, edo beste
modu batez adierazita, (1, 2) da.
Begiratu ea egia den.
Kopiatu koadernoan

26

Ekuazio-sistemak

Lau era ditugu ekuazio-sistemak ebazteko, baina
mementoz hiru besterik ez dugu ikasiko:
1. Ordezkatzea
2. Berdintzea
3. Laburtzea

Kopiatu koadernoan

Ekuazio-sistemak

27
1. Ordezkatzea
2x  y  4 

x  2 y   3

y  4  2x



x  8  4 x   3

Ekuazio batean,
ezezagun bat bakandu:
y  4  2x 

x  2 y   3

Beste ekuazioan,
ezezagun hori ordeztu

Beste ekuazioan
ordeztu
y  4  2x 

5 x  3  8

y  4  2x

5x  5 

y  4  2x



x  2  ( 4  2 x )   3

y  4  2x

x 1 

Kopiatu koadernoan

y  4  2  1

x 1 

y  2

x  1

Ekuazio-sistemak

28

Askatu sistema hauek, ordezkatze-metodoa erabiliz:
3 x  8 y  10 
64 )
 EMA. : ( 6 ,  1)
x y 5 

2x  3y  7 
65 )
 EMA. : ( 2 ,  1)
5 x  2 y  12 



1
2
67 )
EMA. : ( 4 , )

x y
x
2
  y
3
4

3x

68 )

 4y  8

3x  1  2 y  2
 EMA. : (  1,  3 )
x  y  4


2 x  12  4 y 

66 ) 2 x
 EMA. : ( 0 ,  3 )
 2 y  6

5


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

29

Ekuazio biak
berdindu

2. Berdintzea
2x  y  4 

x  2 y   3

4  2x 

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

3 x
2

y  4  2x

Ekuazio bietan, ezezagun
bera bakandu:
8  4x  3  x

y  4  2x 

 2 y  3  x 

y  4  2x

3 x 
y
2 


 5 x  5

x 1

Kopiatu koadernoan

y  4  2 1

y2

Ekuazio-sistemak

30

Askatu sistema hauek, berdintze-metodoa erabiliz:
2 x  y  0
69 )
 EMA. : (  1, 2 )
x  y 1

3x  y  4

70 ) x
 EMA. : ( 2 , 2 )
 y3

2


x 5  4y
x
71 )
y 
2


1
 y 1 
72 ) 4
 EMA. : ( 2 ,  )
2
2( x  y )  3

x

73 )

x5 y


 EMA. : (  3, 2 )
5 x  2 y   19 


1

EMA.
:
(
3
,

)

2
2



Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

31
3. Laburtzea
2x  y  4 

x  2 y   3

Ezezagun bera duten bi
gaiak ekuazio bietan
berdinak izatea da
helburua; berdinak
baina aurkako zeinua
dutela. Horretarako,
ekuazioetako bat
zenbaki oso batez
biderkatuko dugu:
2  (2 x  y  4)

x  2 y  3 

4x  2 y  8 

x  2 y   3

Ekuazio bien
arteko batuketa
egin, gaiz gai.
4x  2 y  8



x  2 y  3 

5x  0 y  5
5x  5
x 1

Kopiatu koadernoan

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

2 1  y  4

y  42

y2

Ekuazio-sistemak

32

Askatu sistema hauek, laburtze-metodoa erabiliz:
x  y  9
74 )
 EMA. : ( 5 , 4 )
x  y 1

75 )

3x  y  3
1
EMA.
:
(
, 2)

6 x  y  0
3

76 )

2 x  3 y  4
 EMA. : (1,  2 )
x  2y  5 


 y  0
77 ) 2
 EMA. : ( 4 ,  2 )
y
 x  3
2

x

5 
1 1

78 )
EMA.
:
(
, )
6 
2
3
3 y  3  4 x  2 
x 1  y 

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

33

Askatu sistema hauek, zure ustez errazena den metodoaz:
6 x  5 y  4
79 )
 EMA. : (1,  2 )
x  y  1

82 )

3x  y  1


 EMA. : Ez du
x  2 y  2  2x  y

emaitzarik

3x  5  2 y


80 ) x
 EMA. : (3 , 2 )
 y  2x  3

3


x
83 )
x

(Sistema

y 1
2
y2
3

bateraezin a)


1

 EMA. : (  8 ,  19 )
 1


3x  y  2
1

y  EMA. : ( ,  1)
81 ) x

3
3
9 


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

34

Ekuazio-sistemak. Buruketak

84) Ostatu batean, ohe bateko eta biko gelak daude. Orotara 50
gela eta 87 ohe daude. Mota bakoitzeko zenbat gela dago?
EMA.: 13, 37 gela
85) Txakur-txapelketa batean, txakurrak eta beraien jabeak
daude. Guztira hirurogeita hamazortzi buru eta berrehun eta
hamasei hanka daude. Zenbat txakur eta pertsona daude?
EMA.: 48 pertsona, 30 txakur.
86) Bi zenbakiren arteko batura hamalau da. Handienari bat
gehitzen badiogu, txikienaren bikoitza lortzen da. Aurki itzazu
zenbakiak. EMA.: 9, 5.
87) Bi zenbakiren arteko batura 150 da, eta kendura txikienaren
laukoitza da. Aurki itzazu zenbakiok. EMA.: 125, 25
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

35

Ekuazio-sistemak. Buruketak

88) Zenbaki baten hirukoitzari beste baten laukoitza
gehitutakoan, zazpi izango da emaitza; lehenengoaren
bikoitzari bigarrena gehitutakoan, berriz, hiru izango da
emaitza. Bilatu zenbakiok. EMA.: 1, 1.
89) Bi anaia-arreben adinen arteko batura 17 da; bost urte
barru, batena bestearenaren bikoitza izango da. Zenbat
urte dituzte? EMA.: 13, 4 urte.
90) Dendara joan eta alkandora bat eta praka batzuk erosi
ditut. Markatuta dituzten prezioen artean, 100 euro egiten
dute, baina, merkealdia dela eta, alkandoran % 20ko
deskontua egin didate, eta, praketan, % 30ekoa. Guztira,
73,50 euro pagatu dut. Zenbat balio du bakoitzak? EMA.:
35 eta 65 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

36
2
x + y = 24 
91 )
 EMA. : (2, 20); (  4, 8)
y = 2x + 16 

Ekuazio-sistemak
x y 7 
92 ) 2
 EMA. : ( 3, 4 ); ( 4 , 3 )
2
x  y  25 

93) 60 euro ditugu lagun batzuen artean banatzeko. Hiru
lagun gehiago bagina, bakoitzari euro bat gutxiago
egokituko litzaiguke. Zenbat gara? EMA: 12 lagun.

94) Loradenda batean, tulipan sortak egiteko hari batzuk
daude. Tulipanak binaka jarriz gero, 4 tulipan geldituko dira
sobran, eta hirunaka jarriz gero, hari bat sobran. Zenbat
tulipan eta zenbat hari daude? EMA: 7, 18.
95) Bi zenbakiren arteko kendura 3 da, eta zenbakion
berbiduren arteko batura, 117. Bila itzazu zenbakiok. EMA:
(–6, –9); (9, 6).
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

37

Ekuazio-sistemak

96) Bi zenbakiren arteko kendura 6 da, eta
biderkadura, 216. Bila itzazu zenbakiok. EMA: (–12, –
18); (18, 12).
97) Triangelu zuzen baten hipotenusa 10 m luze da,
eta perimetroa, 24 m-koa da. Zenbat luze dira bi
katetoak? EMA.: 6 cm, 8 cm.
98) x4 + 3x² – 4 = 0 EMA.: 1, –1
99) x × (x + 5) × (x – 2) = 0 EMA: 0, –5, 2.
100) x4 – 5x² + 4 = 0 EMA: 2, –2, 1, –1.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira


Slide 9

1

Ekuazioak 3. DBH
Alfredo Ortega Loza
Unitate honetan, hauek ikasi edo gogoratuko ditugu:
•Ekuazioak eta identitateak bereizten
•Lehenengo mailako ekuazioak askatzen
•Buruketak askatzen
•2. mailako ekuazioak askatzen
•Ekuazio-sistemak askatzen
•2. mailako ekuazio-sistemak askatzen

Berdintzak

2

Berdin ikurra duten adierazpeni berdintza
esaten zaie.
Berdintzak zenbakizkoak izan daitezke:
3·(5 – 4) = 2 + 1



45/5 = 18/2



Algebraikoak ere,
izan daitezke:

Berdintzaren ezkerreko aldeari
lehen atala esaten zaio, eta
eskuinekoari, bigarren atala.
Batuketa edo kenketa ikurren
arteko letra eta zenbakimultzoei, berriz, gai deritze.

3x – 5 = x/4 +1



5a + 2b = 10a/2 + (9/2)b – (5/2)b



Kopiatu koadernoan

Identitateak

3

Berdintza algebraikoak –letrak dituztenak–
identitateak edo ekuazioak izan daitezke:
Identitateak:

3x + (5 – 1)·2 = 2x + x + 8
5a – a = 2 (7a – 5a)

Gogoratu: zenbakien
eta letren artean ezer
ez dagoenean,
BIDER (·) ikurra
irakurri behar da beti.

Ezezagunak (letra) edozein balio izanda ere,
bete egingo da berdintza. Askatzen saiatuz
gero, 0 = 0 lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazioak

4

Ekuazioak:
3x = 2x + 1. EMA.: x = 1
5a – 3 = 2 (7a – 5a). EMA.: a = 3

Ezezagunaren balio batzuetarako baino ez
da betetzen berdintza.
Balio horiek topatzeari ekuazioa askatzea
(edo ebaztea) esaten zaio.

Kopiatu koadernoan

5

Ekuazio baliokideak
Ekuazioen propietateak:

Ekuazio baten bi aldeetan batuketa edo
kenketa bera egiten badugu, hasierakoaren
ekuazio baliokide bat (emaitza berbera
duena) lortuko dugu.
Ekuazio baten bi aldeak zero ez den
adierazpen batekin biderkatzen edo
zatitzen baditugu, hasierakoaren ekuazio
baliokide bat lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (1)

6

Ekuazioetarako erregelak:

x+7=3

–x = 3 – 2x

x+7–7=3–7

–x + 2x = 3 – 2x + 2x

x=3–7

–x + 2x = 3

x = –4

x=3

Ekuazioaren alde batean
batzen dagoena kentzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazioaren alde batean
kentzen dagoena batzen
pasatzen da beste aldera.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (2)

7

3x



3
x

Kopiatu koadernoan

Ekuazioetarako erregelak:
x
3x – 7 = 2
2 1
4
3x – 7 + 7 = 2 + 7
x
 2  2  1 2
4
3x = 9
9
3
9
3

x=3

Ekuazioaren alde batean
biderkatzen dagoena zatitzen
pasatzen da beste aldera.

x

 1

4
4

x

 4  (  1)

4
x  4  (  1)

x = –4
Ekuazioaren alde batean
zatitzen dagoena biderkatzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazio-ebazpenak

8
Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio eta identitate
hauek :

 Letrak dituzten
gai guztiak
berdintzaren alde
batera eraman
behar ditugu, eta
zenbakiak,
bestera.

1) x – 3 + 5x = 4x – 7. EMA.: –2

 Parentesiak
badaude, beste
ezer baino lehen
kendu behar
ditugu.

2) 7x – 5 + 2x + 6 = –3x + 8 – x.
EMA.: 7/13
3) 2x – (6x + 1) = 3x – 5(2 – x). EMA.: 3/4
4) 7(x + 3) = 7 + 8x – 1 . EMA.: 15
5) 3x +7 – 2(x – 3) = 3(x + 4) – 2x + 1.
EMA.: Edozein; identitatea da

6) 4 – (3 – x) + 6 = 2x + 2(2x – 3).
EMA.: 13/5
7) 5 – x(3 + 1) = 2x – 6(3 – 2x).
EMA.: 23/18

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

9

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio hauek :
8)

 Izendatzaileak
badaude,
izendatzaileen
MKTa lortu behar
dugu, eta,
ondoren,
berdintzaren
alde biak MKT
horrekin
biderkatuko
ditugu.

9)

1

x + 2=

2

x - 5 . E M A : 42

3

4

x

- 3  (x - 1) = 2 x -

7 - x

2

10)

1

(x - 2) -

8

11)

. E M A : 32/29.

3
2

(2 x + 6) + x = - 4 .E M A : -6/5

3

x - 1

-

x + 1

2
12) - 4  (3 - x)

=x -

3

5

.E M A : 1

3
+ 4x =

3

 (2 x - 1) - (x + 1) E M A : 4/3.

5

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

10

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
13)

x

-

x - 3

6

14)

=1 -

2x - 5

4

6x - 1

-

5x - 6

5

=

2x + 1

7
x - 2

15) 1 -

5

- 2

- 5x =

3x - 5

7x

(x - 1)

x - 8

2
18) 2 -

3  (2 + x)

=x +

3
-

3
x - 1
5

E M A : 25/41.

2

4

17)

E M A : 34/19.

3

3

16)

E M A : 23/7.

3

E M A : -13/38.

2
-

4  (4 x + 2)

=

5
- (2 x - 1) =

5x - 3

E M A : 2.

7
x - 5
E M A : 19/9

2

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

11

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
19) x -

x

-

x - 1

2

=

6

20) - 4 x - 3 -

x

- 2  (x - 1) E M A :11/13.

6

6x + 4

= 3 - 4  (x - 1) E M A : -37/3.

7
21) 3 -

x + 1

- (4 x - 1) = x - (3 - 4 x) E M A : 13/19.

2
x 22)

1
2 -

3
2

23)

x -

x + 2

-

2

x

- 3
3 = 2 - x - 2
E M A : 2.
4
6
12
1

3x - 1

+

4
(x + 2) (3 x - 1)

= 0 . E M A : 0.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

12

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

Buruketen emaitzak lortzeko, pauso hauek dira
garrantzitsuenak:

Proposatzen den buruketa ondo ulertu. Behar diren
irakurketa guztiak egin, zer eskatzen duten ondo ulertzeko
eta azaltzen diren baldintzak ondo kontrolatzeko

Azpimarratu datu garrantzitsuenak
Ixa esleitu. Ixaren aldamenean beti idatzi zer den
Dituzun datu guztien artean, erlazioren bat topatu.
Buruketak berak ematen du askotan

Sortu duzun ekuazioa askatu
Bukatzeko, egiaztatu emaitza dituzun datu guztiekin
Kopiatu koadernoan

13

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

24) Bi zenbakiren arteko batura 76, da eta bata bestea
baino lau unitate handiagoa da. Bilatu zenbakiok. EMA.:
36, 40.
25) Ondoz ondoko hiru zenbakiren arteko batura
laurogeita hamahiru da. Zein dira zenbaki horiek. EMA.:
30, 31, 32.
26) Zenbaki baten herenaren eta hirukoitzaren arteko
batura berrogei da. Aurkitu zenbakia. EMA.: 12.
27) Bi mila laurehun metro ibili ondoren, distantziaren
herena falta zaigu bukatzeko. Zein da distantzia? EMA.:
3.600 m.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

14

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

28) Pertsona batek duen muxika-kopurua honela banatuta
geratu da: erdiak saldu egin zituen, laurdenak anaiari eman
zizkion eta, oraindik, ehun eta hogei muxika geratu zaizkio.
Zenbat muxika zituen? EMA.: 480 muxika.

29) Zuk hamabi urte badituzu eta zure aitak zure adinaren
zortzi herena, zenbat urte ditu zure aitak? EMA.: 32 urte.
30) Ondoz ondoko bi zenbaki ditugu. Handienaren
herenaren eta txikienaren arteko batura txikienaren
bikoitzaren herena da. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 2, 3.
31) Andonik Kepak baino bost euro gehiago ditu. Baina
Andonik Kepari lau euro emango balizkio, Keparen dirutza
Andonirenaren bikoitza bihurtuko litzateke. Zenbat dauka
bakoitzak? EMA.: 7 eta 2 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

15

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

32) Orain dela lau urte ume baten adinaren hirukoitza
orain duenaren bikoitza zen. Zenbat urte ditu? EMA.: 12
urte.
33) Pertsona baten adina beste lagun batenaren bikoitza
da. Orain dela zazpi urte, bi pertsonen urteen batura
lehenengoaren gaur egungo adina izan zen. Kalkula
itzazu bi pertsonen adinak. EMA.:14 eta 28 urte.
34) Aita batek berrogeita bi urte ditu, eta semeak hamar.
Zenbat urte pasa behar dira aitaren adina semearenaren
hirukoitza izateko? EMA.: 6 urte
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

16

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

35) Gripea zela eta, gela bateko sei ikasle ez ziren eskolara
etorri. Eta, honela, ikasle guztien hiru laurdenak baino bi
gehiago etorri ziren. Zenbat ikasle ziren gelan? EMA.: 32
ikasle.
36) Laukizuzen-itxurako bizkotxo batean, hiru zati egin ditugu.
Lehenengoa bizkotxoaren herena da, bigarrena bostena eta
hirugarrena lau bederatzirena; 4 cm geratu zaigu sobran.
Zenbatekoa da bizkotxoaren luzera? EMA.: 180 cm.

37) Hemendik hamaika urtera, Enekoren adina duela
hamahiru urte zuenaren bikoitza izango da. Zenbat urte ditu?
EMA.: 37 urte.00
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

17

2. mailako ekuazioak ezezagun bakarrekoak badira,
honela adieraziko ditugu:
ax2 + bx + c = 0
a, b eta c zenbaki osoak dira, eta a ezin da zeroren
berdina izan (a  0).
Ekuazio horiek formula honek askatzen ditu beti:

x

b

b  4 ac
2

2a
Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

18

x

Adibide gisa, askatu
honako ekuazio hau:

x

b  4 ac
2

2a

GOGORATU: letra baten
aurrean ezer ikusten ez
duzunean, 1 zenbakia dago

2x2 – x – 1 = 0
a=2
b = –1
c = –1

b

 (  1) 

(  1)  4  2  (  1)
2

22
4



1 1 8
4

Kopiatu koadernoan



1 3
4



1

4
2
4



1
2



2. mailako ekuazioak

19
x

b

b  4 ac
2

2a

Askatu honako ekuazio hauek:
38) x2 – x – 2 = 0 EMA.: 2, –1
39) 3x2 – 7x – 6 = 0 EMA.: 3, –2/3
40) 4x2 – 8x + 3 = 0 EMA.: 3/2, 1/2
41) x2 + 4x + 4 = 0 EMA.: –2

42) x2 + 8x + 3 = 0 EMA.: –0,4; –7,6
43) x2 + 2x + 2 = 0 EMA.: emaitzarik
ez.

Emaitza bakarra
lortzen badugu,
emaitza horri emaitza
bikoitza esango
diogu.
Batzuetan, erroak ez
du emaitzarik, eta,
orduan, esaten dugu
ekuazioak ez duela
emaitza errealik.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

20

Modu horrek 2. mailako ekuazio guztietarako balio
badu ere, badaude beste modu errazago batzuk:
1) b = 0 denean

Adibidea:

ax2 + 0x + c = 0

3x2 – 75 = 0

ax2 + c = 0

3x2 = 75

ax2 = –c
x 
2

x 
2

75
3

c

5

a
x

c

x   25 

–5

a

Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

21

GOGORATU: biderkadura bat zero bada,
biderkagairen bat zero delako da
2) c = 0 denean

Adibidea:

ax2 + bx + 0 = 0

5x2 – 7x = 0

ax2 + bx = 0

x·(5x – 7) = 0

x·(ax + b) = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

5x – 7 = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

ax + b = 0
x = –b/a
Kopiatu koadernoan

x = 7/5

22

2. mailako ekuazioak

Ebatzi honako ekuazio hauek:
44) 3x² + 5x – 2 = 0 EMA.: 1/3; –2
45) 4x² – 36 = 0 EMA: 3, –3.
46) 2x² – 15x + 7 = 0 EMA: 7, 1/2

52) 2x2 – 3 = x2 – 2x EMA.: 1,
–3
53) x – 2 = x2 EMA.:
emaitzarik ez.

47) 3x² – 75x = 0 EMA: 0, 25.
48) 7x² – 9x + 2 = 0 EMA.: 1, 2/7

54 ) 1 +

= 2x

EMA.: –1/2, 1

x

49) 2x² – 2x – 24 = 0 EMA.: 4, –3

50) x²/3 – 12 = 0 EMA: 6, –6

1

55 ) 1 +

1
x

=x -

1
x

EMA.: –1, 2

51) (x – 2)(x + 1) = 0 EMA: 2, –1
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

23

2. mailako ekuazioak. Buruketak

56) Bi zenbakiren artean, 5eko aldea dago, eta haien
arteko biderkadura 66 da. Zein dira zenbakiok? EMA.: 6,
11; –11, –6.
57) Laukizuzen batek hogei zentimetroko diagonala du.
Zein izango da azalera, altuera baino lau cm luzeago
badu oina? EMA.: 12 cm, 16 cm.
58) Bila ezazu zirkunferentzia baten luzera, haren azalera
28,26 m² bada. EMA.: 18,84 m.
59) Triangelu zuzen batean, hipotenusaren luzera 10 cm
da. Bila itzazu katetoen luzerak, bata bestea baino 2 cm
luzeagoa bada. EMA.: 6 cm, 8 cm.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

24

2. mailako ekuazioak. Buruketak

60) Demagun 7 cm-ko alanbre bat daukagula. Nondik
tolestuko dugu muturretako bat bestetik 5 cm-ra egon dadin
angelu zuzen bat osatu ondoren? EMA.: 4 cm, 3 cm.
61) Ondoz ondoko bi zenbakiren arteko biderkadura
honako hau da zenbaki horien arteko batura gehi bost
unitate. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 3, 4; –2, –1.
62) Triangelu zuzen baten azalera 90 cm2 da. Bilatu
katetoak, haien arteko aldea 3 cm-koa bada. EMA.: 12 cm
eta 15 cm.
63) Banatu 9 zenbakia bi zatitan, bakoitzaren berbiduren
arteko batura 41 izan dadin. EMA.: 4, 5.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

25

Bi ezezaguneko ekuazio-sistemak:
Bi ekuazio aldi berean betetzen badira, ekuazio-sistema
bat dugu. Bi ekuazioak zenbaki berberetarako bete
behar dira.
Adibidez:

2x  y  4 

x  2 y   3

Sistema honen emaitza x = 1 eta y = 2 da, edo beste
modu batez adierazita, (1, 2) da.
Begiratu ea egia den.
Kopiatu koadernoan

26

Ekuazio-sistemak

Lau era ditugu ekuazio-sistemak ebazteko, baina
mementoz hiru besterik ez dugu ikasiko:
1. Ordezkatzea
2. Berdintzea
3. Laburtzea

Kopiatu koadernoan

Ekuazio-sistemak

27
1. Ordezkatzea
2x  y  4 

x  2 y   3

y  4  2x



x  8  4 x   3

Ekuazio batean,
ezezagun bat bakandu:
y  4  2x 

x  2 y   3

Beste ekuazioan,
ezezagun hori ordeztu

Beste ekuazioan
ordeztu
y  4  2x 

5 x  3  8

y  4  2x

5x  5 

y  4  2x



x  2  ( 4  2 x )   3

y  4  2x

x 1 

Kopiatu koadernoan

y  4  2  1

x 1 

y  2

x  1

Ekuazio-sistemak

28

Askatu sistema hauek, ordezkatze-metodoa erabiliz:
3 x  8 y  10 
64 )
 EMA. : ( 6 ,  1)
x y 5 

2x  3y  7 
65 )
 EMA. : ( 2 ,  1)
5 x  2 y  12 



1
2
67 )
EMA. : ( 4 , )

x y
x
2
  y
3
4

3x

68 )

 4y  8

3x  1  2 y  2
 EMA. : (  1,  3 )
x  y  4


2 x  12  4 y 

66 ) 2 x
 EMA. : ( 0 ,  3 )
 2 y  6

5


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

29

Ekuazio biak
berdindu

2. Berdintzea
2x  y  4 

x  2 y   3

4  2x 

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

3 x
2

y  4  2x

Ekuazio bietan, ezezagun
bera bakandu:
8  4x  3  x

y  4  2x 

 2 y  3  x 

y  4  2x

3 x 
y
2 


 5 x  5

x 1

Kopiatu koadernoan

y  4  2 1

y2

Ekuazio-sistemak

30

Askatu sistema hauek, berdintze-metodoa erabiliz:
2 x  y  0
69 )
 EMA. : (  1, 2 )
x  y 1

3x  y  4

70 ) x
 EMA. : ( 2 , 2 )
 y3

2


x 5  4y
x
71 )
y 
2


1
 y 1 
72 ) 4
 EMA. : ( 2 ,  )
2
2( x  y )  3

x

73 )

x5 y


 EMA. : (  3, 2 )
5 x  2 y   19 


1

EMA.
:
(
3
,

)

2
2



Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

31
3. Laburtzea
2x  y  4 

x  2 y   3

Ezezagun bera duten bi
gaiak ekuazio bietan
berdinak izatea da
helburua; berdinak
baina aurkako zeinua
dutela. Horretarako,
ekuazioetako bat
zenbaki oso batez
biderkatuko dugu:
2  (2 x  y  4)

x  2 y  3 

4x  2 y  8 

x  2 y   3

Ekuazio bien
arteko batuketa
egin, gaiz gai.
4x  2 y  8



x  2 y  3 

5x  0 y  5
5x  5
x 1

Kopiatu koadernoan

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

2 1  y  4

y  42

y2

Ekuazio-sistemak

32

Askatu sistema hauek, laburtze-metodoa erabiliz:
x  y  9
74 )
 EMA. : ( 5 , 4 )
x  y 1

75 )

3x  y  3
1
EMA.
:
(
, 2)

6 x  y  0
3

76 )

2 x  3 y  4
 EMA. : (1,  2 )
x  2y  5 


 y  0
77 ) 2
 EMA. : ( 4 ,  2 )
y
 x  3
2

x

5 
1 1

78 )
EMA.
:
(
, )
6 
2
3
3 y  3  4 x  2 
x 1  y 

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

33

Askatu sistema hauek, zure ustez errazena den metodoaz:
6 x  5 y  4
79 )
 EMA. : (1,  2 )
x  y  1

82 )

3x  y  1


 EMA. : Ez du
x  2 y  2  2x  y

emaitzarik

3x  5  2 y


80 ) x
 EMA. : (3 , 2 )
 y  2x  3

3


x
83 )
x

(Sistema

y 1
2
y2
3

bateraezin a)


1

 EMA. : (  8 ,  19 )
 1


3x  y  2
1

y  EMA. : ( ,  1)
81 ) x

3
3
9 


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

34

Ekuazio-sistemak. Buruketak

84) Ostatu batean, ohe bateko eta biko gelak daude. Orotara 50
gela eta 87 ohe daude. Mota bakoitzeko zenbat gela dago?
EMA.: 13, 37 gela
85) Txakur-txapelketa batean, txakurrak eta beraien jabeak
daude. Guztira hirurogeita hamazortzi buru eta berrehun eta
hamasei hanka daude. Zenbat txakur eta pertsona daude?
EMA.: 48 pertsona, 30 txakur.
86) Bi zenbakiren arteko batura hamalau da. Handienari bat
gehitzen badiogu, txikienaren bikoitza lortzen da. Aurki itzazu
zenbakiak. EMA.: 9, 5.
87) Bi zenbakiren arteko batura 150 da, eta kendura txikienaren
laukoitza da. Aurki itzazu zenbakiok. EMA.: 125, 25
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

35

Ekuazio-sistemak. Buruketak

88) Zenbaki baten hirukoitzari beste baten laukoitza
gehitutakoan, zazpi izango da emaitza; lehenengoaren
bikoitzari bigarrena gehitutakoan, berriz, hiru izango da
emaitza. Bilatu zenbakiok. EMA.: 1, 1.
89) Bi anaia-arreben adinen arteko batura 17 da; bost urte
barru, batena bestearenaren bikoitza izango da. Zenbat
urte dituzte? EMA.: 13, 4 urte.
90) Dendara joan eta alkandora bat eta praka batzuk erosi
ditut. Markatuta dituzten prezioen artean, 100 euro egiten
dute, baina, merkealdia dela eta, alkandoran % 20ko
deskontua egin didate, eta, praketan, % 30ekoa. Guztira,
73,50 euro pagatu dut. Zenbat balio du bakoitzak? EMA.:
35 eta 65 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

36
2
x + y = 24 
91 )
 EMA. : (2, 20); (  4, 8)
y = 2x + 16 

Ekuazio-sistemak
x y 7 
92 ) 2
 EMA. : ( 3, 4 ); ( 4 , 3 )
2
x  y  25 

93) 60 euro ditugu lagun batzuen artean banatzeko. Hiru
lagun gehiago bagina, bakoitzari euro bat gutxiago
egokituko litzaiguke. Zenbat gara? EMA: 12 lagun.

94) Loradenda batean, tulipan sortak egiteko hari batzuk
daude. Tulipanak binaka jarriz gero, 4 tulipan geldituko dira
sobran, eta hirunaka jarriz gero, hari bat sobran. Zenbat
tulipan eta zenbat hari daude? EMA: 7, 18.
95) Bi zenbakiren arteko kendura 3 da, eta zenbakion
berbiduren arteko batura, 117. Bila itzazu zenbakiok. EMA:
(–6, –9); (9, 6).
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

37

Ekuazio-sistemak

96) Bi zenbakiren arteko kendura 6 da, eta
biderkadura, 216. Bila itzazu zenbakiok. EMA: (–12, –
18); (18, 12).
97) Triangelu zuzen baten hipotenusa 10 m luze da,
eta perimetroa, 24 m-koa da. Zenbat luze dira bi
katetoak? EMA.: 6 cm, 8 cm.
98) x4 + 3x² – 4 = 0 EMA.: 1, –1
99) x × (x + 5) × (x – 2) = 0 EMA: 0, –5, 2.
100) x4 – 5x² + 4 = 0 EMA: 2, –2, 1, –1.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira


Slide 10

1

Ekuazioak 3. DBH
Alfredo Ortega Loza
Unitate honetan, hauek ikasi edo gogoratuko ditugu:
•Ekuazioak eta identitateak bereizten
•Lehenengo mailako ekuazioak askatzen
•Buruketak askatzen
•2. mailako ekuazioak askatzen
•Ekuazio-sistemak askatzen
•2. mailako ekuazio-sistemak askatzen

Berdintzak

2

Berdin ikurra duten adierazpeni berdintza
esaten zaie.
Berdintzak zenbakizkoak izan daitezke:
3·(5 – 4) = 2 + 1



45/5 = 18/2



Algebraikoak ere,
izan daitezke:

Berdintzaren ezkerreko aldeari
lehen atala esaten zaio, eta
eskuinekoari, bigarren atala.
Batuketa edo kenketa ikurren
arteko letra eta zenbakimultzoei, berriz, gai deritze.

3x – 5 = x/4 +1



5a + 2b = 10a/2 + (9/2)b – (5/2)b



Kopiatu koadernoan

Identitateak

3

Berdintza algebraikoak –letrak dituztenak–
identitateak edo ekuazioak izan daitezke:
Identitateak:

3x + (5 – 1)·2 = 2x + x + 8
5a – a = 2 (7a – 5a)

Gogoratu: zenbakien
eta letren artean ezer
ez dagoenean,
BIDER (·) ikurra
irakurri behar da beti.

Ezezagunak (letra) edozein balio izanda ere,
bete egingo da berdintza. Askatzen saiatuz
gero, 0 = 0 lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazioak

4

Ekuazioak:
3x = 2x + 1. EMA.: x = 1
5a – 3 = 2 (7a – 5a). EMA.: a = 3

Ezezagunaren balio batzuetarako baino ez
da betetzen berdintza.
Balio horiek topatzeari ekuazioa askatzea
(edo ebaztea) esaten zaio.

Kopiatu koadernoan

5

Ekuazio baliokideak
Ekuazioen propietateak:

Ekuazio baten bi aldeetan batuketa edo
kenketa bera egiten badugu, hasierakoaren
ekuazio baliokide bat (emaitza berbera
duena) lortuko dugu.
Ekuazio baten bi aldeak zero ez den
adierazpen batekin biderkatzen edo
zatitzen baditugu, hasierakoaren ekuazio
baliokide bat lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (1)

6

Ekuazioetarako erregelak:

x+7=3

–x = 3 – 2x

x+7–7=3–7

–x + 2x = 3 – 2x + 2x

x=3–7

–x + 2x = 3

x = –4

x=3

Ekuazioaren alde batean
batzen dagoena kentzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazioaren alde batean
kentzen dagoena batzen
pasatzen da beste aldera.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (2)

7

3x



3
x

Kopiatu koadernoan

Ekuazioetarako erregelak:
x
3x – 7 = 2
2 1
4
3x – 7 + 7 = 2 + 7
x
 2  2  1 2
4
3x = 9
9
3
9
3

x=3

Ekuazioaren alde batean
biderkatzen dagoena zatitzen
pasatzen da beste aldera.

x

 1

4
4

x

 4  (  1)

4
x  4  (  1)

x = –4
Ekuazioaren alde batean
zatitzen dagoena biderkatzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazio-ebazpenak

8
Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio eta identitate
hauek :

 Letrak dituzten
gai guztiak
berdintzaren alde
batera eraman
behar ditugu, eta
zenbakiak,
bestera.

1) x – 3 + 5x = 4x – 7. EMA.: –2

 Parentesiak
badaude, beste
ezer baino lehen
kendu behar
ditugu.

2) 7x – 5 + 2x + 6 = –3x + 8 – x.
EMA.: 7/13
3) 2x – (6x + 1) = 3x – 5(2 – x). EMA.: 3/4
4) 7(x + 3) = 7 + 8x – 1 . EMA.: 15
5) 3x +7 – 2(x – 3) = 3(x + 4) – 2x + 1.
EMA.: Edozein; identitatea da

6) 4 – (3 – x) + 6 = 2x + 2(2x – 3).
EMA.: 13/5
7) 5 – x(3 + 1) = 2x – 6(3 – 2x).
EMA.: 23/18

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

9

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio hauek :
8)

 Izendatzaileak
badaude,
izendatzaileen
MKTa lortu behar
dugu, eta,
ondoren,
berdintzaren
alde biak MKT
horrekin
biderkatuko
ditugu.

9)

1

x + 2=

2

x - 5 . E M A : 42

3

4

x

- 3  (x - 1) = 2 x -

7 - x

2

10)

1

(x - 2) -

8

11)

. E M A : 32/29.

3
2

(2 x + 6) + x = - 4 .E M A : -6/5

3

x - 1

-

x + 1

2
12) - 4  (3 - x)

=x -

3

5

.E M A : 1

3
+ 4x =

3

 (2 x - 1) - (x + 1) E M A : 4/3.

5

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

10

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
13)

x

-

x - 3

6

14)

=1 -

2x - 5

4

6x - 1

-

5x - 6

5

=

2x + 1

7
x - 2

15) 1 -

5

- 2

- 5x =

3x - 5

7x

(x - 1)

x - 8

2
18) 2 -

3  (2 + x)

=x +

3
-

3
x - 1
5

E M A : 25/41.

2

4

17)

E M A : 34/19.

3

3

16)

E M A : 23/7.

3

E M A : -13/38.

2
-

4  (4 x + 2)

=

5
- (2 x - 1) =

5x - 3

E M A : 2.

7
x - 5
E M A : 19/9

2

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

11

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
19) x -

x

-

x - 1

2

=

6

20) - 4 x - 3 -

x

- 2  (x - 1) E M A :11/13.

6

6x + 4

= 3 - 4  (x - 1) E M A : -37/3.

7
21) 3 -

x + 1

- (4 x - 1) = x - (3 - 4 x) E M A : 13/19.

2
x 22)

1
2 -

3
2

23)

x -

x + 2

-

2

x

- 3
3 = 2 - x - 2
E M A : 2.
4
6
12
1

3x - 1

+

4
(x + 2) (3 x - 1)

= 0 . E M A : 0.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

12

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

Buruketen emaitzak lortzeko, pauso hauek dira
garrantzitsuenak:

Proposatzen den buruketa ondo ulertu. Behar diren
irakurketa guztiak egin, zer eskatzen duten ondo ulertzeko
eta azaltzen diren baldintzak ondo kontrolatzeko

Azpimarratu datu garrantzitsuenak
Ixa esleitu. Ixaren aldamenean beti idatzi zer den
Dituzun datu guztien artean, erlazioren bat topatu.
Buruketak berak ematen du askotan

Sortu duzun ekuazioa askatu
Bukatzeko, egiaztatu emaitza dituzun datu guztiekin
Kopiatu koadernoan

13

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

24) Bi zenbakiren arteko batura 76, da eta bata bestea
baino lau unitate handiagoa da. Bilatu zenbakiok. EMA.:
36, 40.
25) Ondoz ondoko hiru zenbakiren arteko batura
laurogeita hamahiru da. Zein dira zenbaki horiek. EMA.:
30, 31, 32.
26) Zenbaki baten herenaren eta hirukoitzaren arteko
batura berrogei da. Aurkitu zenbakia. EMA.: 12.
27) Bi mila laurehun metro ibili ondoren, distantziaren
herena falta zaigu bukatzeko. Zein da distantzia? EMA.:
3.600 m.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

14

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

28) Pertsona batek duen muxika-kopurua honela banatuta
geratu da: erdiak saldu egin zituen, laurdenak anaiari eman
zizkion eta, oraindik, ehun eta hogei muxika geratu zaizkio.
Zenbat muxika zituen? EMA.: 480 muxika.

29) Zuk hamabi urte badituzu eta zure aitak zure adinaren
zortzi herena, zenbat urte ditu zure aitak? EMA.: 32 urte.
30) Ondoz ondoko bi zenbaki ditugu. Handienaren
herenaren eta txikienaren arteko batura txikienaren
bikoitzaren herena da. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 2, 3.
31) Andonik Kepak baino bost euro gehiago ditu. Baina
Andonik Kepari lau euro emango balizkio, Keparen dirutza
Andonirenaren bikoitza bihurtuko litzateke. Zenbat dauka
bakoitzak? EMA.: 7 eta 2 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

15

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

32) Orain dela lau urte ume baten adinaren hirukoitza
orain duenaren bikoitza zen. Zenbat urte ditu? EMA.: 12
urte.
33) Pertsona baten adina beste lagun batenaren bikoitza
da. Orain dela zazpi urte, bi pertsonen urteen batura
lehenengoaren gaur egungo adina izan zen. Kalkula
itzazu bi pertsonen adinak. EMA.:14 eta 28 urte.
34) Aita batek berrogeita bi urte ditu, eta semeak hamar.
Zenbat urte pasa behar dira aitaren adina semearenaren
hirukoitza izateko? EMA.: 6 urte
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

16

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

35) Gripea zela eta, gela bateko sei ikasle ez ziren eskolara
etorri. Eta, honela, ikasle guztien hiru laurdenak baino bi
gehiago etorri ziren. Zenbat ikasle ziren gelan? EMA.: 32
ikasle.
36) Laukizuzen-itxurako bizkotxo batean, hiru zati egin ditugu.
Lehenengoa bizkotxoaren herena da, bigarrena bostena eta
hirugarrena lau bederatzirena; 4 cm geratu zaigu sobran.
Zenbatekoa da bizkotxoaren luzera? EMA.: 180 cm.

37) Hemendik hamaika urtera, Enekoren adina duela
hamahiru urte zuenaren bikoitza izango da. Zenbat urte ditu?
EMA.: 37 urte.00
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

17

2. mailako ekuazioak ezezagun bakarrekoak badira,
honela adieraziko ditugu:
ax2 + bx + c = 0
a, b eta c zenbaki osoak dira, eta a ezin da zeroren
berdina izan (a  0).
Ekuazio horiek formula honek askatzen ditu beti:

x

b

b  4 ac
2

2a
Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

18

x

Adibide gisa, askatu
honako ekuazio hau:

x

b  4 ac
2

2a

GOGORATU: letra baten
aurrean ezer ikusten ez
duzunean, 1 zenbakia dago

2x2 – x – 1 = 0
a=2
b = –1
c = –1

b

 (  1) 

(  1)  4  2  (  1)
2

22
4



1 1 8
4

Kopiatu koadernoan



1 3
4



1

4
2
4



1
2



2. mailako ekuazioak

19
x

b

b  4 ac
2

2a

Askatu honako ekuazio hauek:
38) x2 – x – 2 = 0 EMA.: 2, –1
39) 3x2 – 7x – 6 = 0 EMA.: 3, –2/3
40) 4x2 – 8x + 3 = 0 EMA.: 3/2, 1/2
41) x2 + 4x + 4 = 0 EMA.: –2

42) x2 + 8x + 3 = 0 EMA.: –0,4; –7,6
43) x2 + 2x + 2 = 0 EMA.: emaitzarik
ez.

Emaitza bakarra
lortzen badugu,
emaitza horri emaitza
bikoitza esango
diogu.
Batzuetan, erroak ez
du emaitzarik, eta,
orduan, esaten dugu
ekuazioak ez duela
emaitza errealik.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

20

Modu horrek 2. mailako ekuazio guztietarako balio
badu ere, badaude beste modu errazago batzuk:
1) b = 0 denean

Adibidea:

ax2 + 0x + c = 0

3x2 – 75 = 0

ax2 + c = 0

3x2 = 75

ax2 = –c
x 
2

x 
2

75
3

c

5

a
x

c

x   25 

–5

a

Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

21

GOGORATU: biderkadura bat zero bada,
biderkagairen bat zero delako da
2) c = 0 denean

Adibidea:

ax2 + bx + 0 = 0

5x2 – 7x = 0

ax2 + bx = 0

x·(5x – 7) = 0

x·(ax + b) = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

5x – 7 = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

ax + b = 0
x = –b/a
Kopiatu koadernoan

x = 7/5

22

2. mailako ekuazioak

Ebatzi honako ekuazio hauek:
44) 3x² + 5x – 2 = 0 EMA.: 1/3; –2
45) 4x² – 36 = 0 EMA: 3, –3.
46) 2x² – 15x + 7 = 0 EMA: 7, 1/2

52) 2x2 – 3 = x2 – 2x EMA.: 1,
–3
53) x – 2 = x2 EMA.:
emaitzarik ez.

47) 3x² – 75x = 0 EMA: 0, 25.
48) 7x² – 9x + 2 = 0 EMA.: 1, 2/7

54 ) 1 +

= 2x

EMA.: –1/2, 1

x

49) 2x² – 2x – 24 = 0 EMA.: 4, –3

50) x²/3 – 12 = 0 EMA: 6, –6

1

55 ) 1 +

1
x

=x -

1
x

EMA.: –1, 2

51) (x – 2)(x + 1) = 0 EMA: 2, –1
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

23

2. mailako ekuazioak. Buruketak

56) Bi zenbakiren artean, 5eko aldea dago, eta haien
arteko biderkadura 66 da. Zein dira zenbakiok? EMA.: 6,
11; –11, –6.
57) Laukizuzen batek hogei zentimetroko diagonala du.
Zein izango da azalera, altuera baino lau cm luzeago
badu oina? EMA.: 12 cm, 16 cm.
58) Bila ezazu zirkunferentzia baten luzera, haren azalera
28,26 m² bada. EMA.: 18,84 m.
59) Triangelu zuzen batean, hipotenusaren luzera 10 cm
da. Bila itzazu katetoen luzerak, bata bestea baino 2 cm
luzeagoa bada. EMA.: 6 cm, 8 cm.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

24

2. mailako ekuazioak. Buruketak

60) Demagun 7 cm-ko alanbre bat daukagula. Nondik
tolestuko dugu muturretako bat bestetik 5 cm-ra egon dadin
angelu zuzen bat osatu ondoren? EMA.: 4 cm, 3 cm.
61) Ondoz ondoko bi zenbakiren arteko biderkadura
honako hau da zenbaki horien arteko batura gehi bost
unitate. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 3, 4; –2, –1.
62) Triangelu zuzen baten azalera 90 cm2 da. Bilatu
katetoak, haien arteko aldea 3 cm-koa bada. EMA.: 12 cm
eta 15 cm.
63) Banatu 9 zenbakia bi zatitan, bakoitzaren berbiduren
arteko batura 41 izan dadin. EMA.: 4, 5.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

25

Bi ezezaguneko ekuazio-sistemak:
Bi ekuazio aldi berean betetzen badira, ekuazio-sistema
bat dugu. Bi ekuazioak zenbaki berberetarako bete
behar dira.
Adibidez:

2x  y  4 

x  2 y   3

Sistema honen emaitza x = 1 eta y = 2 da, edo beste
modu batez adierazita, (1, 2) da.
Begiratu ea egia den.
Kopiatu koadernoan

26

Ekuazio-sistemak

Lau era ditugu ekuazio-sistemak ebazteko, baina
mementoz hiru besterik ez dugu ikasiko:
1. Ordezkatzea
2. Berdintzea
3. Laburtzea

Kopiatu koadernoan

Ekuazio-sistemak

27
1. Ordezkatzea
2x  y  4 

x  2 y   3

y  4  2x



x  8  4 x   3

Ekuazio batean,
ezezagun bat bakandu:
y  4  2x 

x  2 y   3

Beste ekuazioan,
ezezagun hori ordeztu

Beste ekuazioan
ordeztu
y  4  2x 

5 x  3  8

y  4  2x

5x  5 

y  4  2x



x  2  ( 4  2 x )   3

y  4  2x

x 1 

Kopiatu koadernoan

y  4  2  1

x 1 

y  2

x  1

Ekuazio-sistemak

28

Askatu sistema hauek, ordezkatze-metodoa erabiliz:
3 x  8 y  10 
64 )
 EMA. : ( 6 ,  1)
x y 5 

2x  3y  7 
65 )
 EMA. : ( 2 ,  1)
5 x  2 y  12 



1
2
67 )
EMA. : ( 4 , )

x y
x
2
  y
3
4

3x

68 )

 4y  8

3x  1  2 y  2
 EMA. : (  1,  3 )
x  y  4


2 x  12  4 y 

66 ) 2 x
 EMA. : ( 0 ,  3 )
 2 y  6

5


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

29

Ekuazio biak
berdindu

2. Berdintzea
2x  y  4 

x  2 y   3

4  2x 

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

3 x
2

y  4  2x

Ekuazio bietan, ezezagun
bera bakandu:
8  4x  3  x

y  4  2x 

 2 y  3  x 

y  4  2x

3 x 
y
2 


 5 x  5

x 1

Kopiatu koadernoan

y  4  2 1

y2

Ekuazio-sistemak

30

Askatu sistema hauek, berdintze-metodoa erabiliz:
2 x  y  0
69 )
 EMA. : (  1, 2 )
x  y 1

3x  y  4

70 ) x
 EMA. : ( 2 , 2 )
 y3

2


x 5  4y
x
71 )
y 
2


1
 y 1 
72 ) 4
 EMA. : ( 2 ,  )
2
2( x  y )  3

x

73 )

x5 y


 EMA. : (  3, 2 )
5 x  2 y   19 


1

EMA.
:
(
3
,

)

2
2



Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

31
3. Laburtzea
2x  y  4 

x  2 y   3

Ezezagun bera duten bi
gaiak ekuazio bietan
berdinak izatea da
helburua; berdinak
baina aurkako zeinua
dutela. Horretarako,
ekuazioetako bat
zenbaki oso batez
biderkatuko dugu:
2  (2 x  y  4)

x  2 y  3 

4x  2 y  8 

x  2 y   3

Ekuazio bien
arteko batuketa
egin, gaiz gai.
4x  2 y  8



x  2 y  3 

5x  0 y  5
5x  5
x 1

Kopiatu koadernoan

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

2 1  y  4

y  42

y2

Ekuazio-sistemak

32

Askatu sistema hauek, laburtze-metodoa erabiliz:
x  y  9
74 )
 EMA. : ( 5 , 4 )
x  y 1

75 )

3x  y  3
1
EMA.
:
(
, 2)

6 x  y  0
3

76 )

2 x  3 y  4
 EMA. : (1,  2 )
x  2y  5 


 y  0
77 ) 2
 EMA. : ( 4 ,  2 )
y
 x  3
2

x

5 
1 1

78 )
EMA.
:
(
, )
6 
2
3
3 y  3  4 x  2 
x 1  y 

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

33

Askatu sistema hauek, zure ustez errazena den metodoaz:
6 x  5 y  4
79 )
 EMA. : (1,  2 )
x  y  1

82 )

3x  y  1


 EMA. : Ez du
x  2 y  2  2x  y

emaitzarik

3x  5  2 y


80 ) x
 EMA. : (3 , 2 )
 y  2x  3

3


x
83 )
x

(Sistema

y 1
2
y2
3

bateraezin a)


1

 EMA. : (  8 ,  19 )
 1


3x  y  2
1

y  EMA. : ( ,  1)
81 ) x

3
3
9 


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

34

Ekuazio-sistemak. Buruketak

84) Ostatu batean, ohe bateko eta biko gelak daude. Orotara 50
gela eta 87 ohe daude. Mota bakoitzeko zenbat gela dago?
EMA.: 13, 37 gela
85) Txakur-txapelketa batean, txakurrak eta beraien jabeak
daude. Guztira hirurogeita hamazortzi buru eta berrehun eta
hamasei hanka daude. Zenbat txakur eta pertsona daude?
EMA.: 48 pertsona, 30 txakur.
86) Bi zenbakiren arteko batura hamalau da. Handienari bat
gehitzen badiogu, txikienaren bikoitza lortzen da. Aurki itzazu
zenbakiak. EMA.: 9, 5.
87) Bi zenbakiren arteko batura 150 da, eta kendura txikienaren
laukoitza da. Aurki itzazu zenbakiok. EMA.: 125, 25
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

35

Ekuazio-sistemak. Buruketak

88) Zenbaki baten hirukoitzari beste baten laukoitza
gehitutakoan, zazpi izango da emaitza; lehenengoaren
bikoitzari bigarrena gehitutakoan, berriz, hiru izango da
emaitza. Bilatu zenbakiok. EMA.: 1, 1.
89) Bi anaia-arreben adinen arteko batura 17 da; bost urte
barru, batena bestearenaren bikoitza izango da. Zenbat
urte dituzte? EMA.: 13, 4 urte.
90) Dendara joan eta alkandora bat eta praka batzuk erosi
ditut. Markatuta dituzten prezioen artean, 100 euro egiten
dute, baina, merkealdia dela eta, alkandoran % 20ko
deskontua egin didate, eta, praketan, % 30ekoa. Guztira,
73,50 euro pagatu dut. Zenbat balio du bakoitzak? EMA.:
35 eta 65 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

36
2
x + y = 24 
91 )
 EMA. : (2, 20); (  4, 8)
y = 2x + 16 

Ekuazio-sistemak
x y 7 
92 ) 2
 EMA. : ( 3, 4 ); ( 4 , 3 )
2
x  y  25 

93) 60 euro ditugu lagun batzuen artean banatzeko. Hiru
lagun gehiago bagina, bakoitzari euro bat gutxiago
egokituko litzaiguke. Zenbat gara? EMA: 12 lagun.

94) Loradenda batean, tulipan sortak egiteko hari batzuk
daude. Tulipanak binaka jarriz gero, 4 tulipan geldituko dira
sobran, eta hirunaka jarriz gero, hari bat sobran. Zenbat
tulipan eta zenbat hari daude? EMA: 7, 18.
95) Bi zenbakiren arteko kendura 3 da, eta zenbakion
berbiduren arteko batura, 117. Bila itzazu zenbakiok. EMA:
(–6, –9); (9, 6).
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

37

Ekuazio-sistemak

96) Bi zenbakiren arteko kendura 6 da, eta
biderkadura, 216. Bila itzazu zenbakiok. EMA: (–12, –
18); (18, 12).
97) Triangelu zuzen baten hipotenusa 10 m luze da,
eta perimetroa, 24 m-koa da. Zenbat luze dira bi
katetoak? EMA.: 6 cm, 8 cm.
98) x4 + 3x² – 4 = 0 EMA.: 1, –1
99) x × (x + 5) × (x – 2) = 0 EMA: 0, –5, 2.
100) x4 – 5x² + 4 = 0 EMA: 2, –2, 1, –1.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira


Slide 11

1

Ekuazioak 3. DBH
Alfredo Ortega Loza
Unitate honetan, hauek ikasi edo gogoratuko ditugu:
•Ekuazioak eta identitateak bereizten
•Lehenengo mailako ekuazioak askatzen
•Buruketak askatzen
•2. mailako ekuazioak askatzen
•Ekuazio-sistemak askatzen
•2. mailako ekuazio-sistemak askatzen

Berdintzak

2

Berdin ikurra duten adierazpeni berdintza
esaten zaie.
Berdintzak zenbakizkoak izan daitezke:
3·(5 – 4) = 2 + 1



45/5 = 18/2



Algebraikoak ere,
izan daitezke:

Berdintzaren ezkerreko aldeari
lehen atala esaten zaio, eta
eskuinekoari, bigarren atala.
Batuketa edo kenketa ikurren
arteko letra eta zenbakimultzoei, berriz, gai deritze.

3x – 5 = x/4 +1



5a + 2b = 10a/2 + (9/2)b – (5/2)b



Kopiatu koadernoan

Identitateak

3

Berdintza algebraikoak –letrak dituztenak–
identitateak edo ekuazioak izan daitezke:
Identitateak:

3x + (5 – 1)·2 = 2x + x + 8
5a – a = 2 (7a – 5a)

Gogoratu: zenbakien
eta letren artean ezer
ez dagoenean,
BIDER (·) ikurra
irakurri behar da beti.

Ezezagunak (letra) edozein balio izanda ere,
bete egingo da berdintza. Askatzen saiatuz
gero, 0 = 0 lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazioak

4

Ekuazioak:
3x = 2x + 1. EMA.: x = 1
5a – 3 = 2 (7a – 5a). EMA.: a = 3

Ezezagunaren balio batzuetarako baino ez
da betetzen berdintza.
Balio horiek topatzeari ekuazioa askatzea
(edo ebaztea) esaten zaio.

Kopiatu koadernoan

5

Ekuazio baliokideak
Ekuazioen propietateak:

Ekuazio baten bi aldeetan batuketa edo
kenketa bera egiten badugu, hasierakoaren
ekuazio baliokide bat (emaitza berbera
duena) lortuko dugu.
Ekuazio baten bi aldeak zero ez den
adierazpen batekin biderkatzen edo
zatitzen baditugu, hasierakoaren ekuazio
baliokide bat lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (1)

6

Ekuazioetarako erregelak:

x+7=3

–x = 3 – 2x

x+7–7=3–7

–x + 2x = 3 – 2x + 2x

x=3–7

–x + 2x = 3

x = –4

x=3

Ekuazioaren alde batean
batzen dagoena kentzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazioaren alde batean
kentzen dagoena batzen
pasatzen da beste aldera.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (2)

7

3x



3
x

Kopiatu koadernoan

Ekuazioetarako erregelak:
x
3x – 7 = 2
2 1
4
3x – 7 + 7 = 2 + 7
x
 2  2  1 2
4
3x = 9
9
3
9
3

x=3

Ekuazioaren alde batean
biderkatzen dagoena zatitzen
pasatzen da beste aldera.

x

 1

4
4

x

 4  (  1)

4
x  4  (  1)

x = –4
Ekuazioaren alde batean
zatitzen dagoena biderkatzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazio-ebazpenak

8
Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio eta identitate
hauek :

 Letrak dituzten
gai guztiak
berdintzaren alde
batera eraman
behar ditugu, eta
zenbakiak,
bestera.

1) x – 3 + 5x = 4x – 7. EMA.: –2

 Parentesiak
badaude, beste
ezer baino lehen
kendu behar
ditugu.

2) 7x – 5 + 2x + 6 = –3x + 8 – x.
EMA.: 7/13
3) 2x – (6x + 1) = 3x – 5(2 – x). EMA.: 3/4
4) 7(x + 3) = 7 + 8x – 1 . EMA.: 15
5) 3x +7 – 2(x – 3) = 3(x + 4) – 2x + 1.
EMA.: Edozein; identitatea da

6) 4 – (3 – x) + 6 = 2x + 2(2x – 3).
EMA.: 13/5
7) 5 – x(3 + 1) = 2x – 6(3 – 2x).
EMA.: 23/18

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

9

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio hauek :
8)

 Izendatzaileak
badaude,
izendatzaileen
MKTa lortu behar
dugu, eta,
ondoren,
berdintzaren
alde biak MKT
horrekin
biderkatuko
ditugu.

9)

1

x + 2=

2

x - 5 . E M A : 42

3

4

x

- 3  (x - 1) = 2 x -

7 - x

2

10)

1

(x - 2) -

8

11)

. E M A : 32/29.

3
2

(2 x + 6) + x = - 4 .E M A : -6/5

3

x - 1

-

x + 1

2
12) - 4  (3 - x)

=x -

3

5

.E M A : 1

3
+ 4x =

3

 (2 x - 1) - (x + 1) E M A : 4/3.

5

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

10

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
13)

x

-

x - 3

6

14)

=1 -

2x - 5

4

6x - 1

-

5x - 6

5

=

2x + 1

7
x - 2

15) 1 -

5

- 2

- 5x =

3x - 5

7x

(x - 1)

x - 8

2
18) 2 -

3  (2 + x)

=x +

3
-

3
x - 1
5

E M A : 25/41.

2

4

17)

E M A : 34/19.

3

3

16)

E M A : 23/7.

3

E M A : -13/38.

2
-

4  (4 x + 2)

=

5
- (2 x - 1) =

5x - 3

E M A : 2.

7
x - 5
E M A : 19/9

2

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

11

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
19) x -

x

-

x - 1

2

=

6

20) - 4 x - 3 -

x

- 2  (x - 1) E M A :11/13.

6

6x + 4

= 3 - 4  (x - 1) E M A : -37/3.

7
21) 3 -

x + 1

- (4 x - 1) = x - (3 - 4 x) E M A : 13/19.

2
x 22)

1
2 -

3
2

23)

x -

x + 2

-

2

x

- 3
3 = 2 - x - 2
E M A : 2.
4
6
12
1

3x - 1

+

4
(x + 2) (3 x - 1)

= 0 . E M A : 0.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

12

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

Buruketen emaitzak lortzeko, pauso hauek dira
garrantzitsuenak:

Proposatzen den buruketa ondo ulertu. Behar diren
irakurketa guztiak egin, zer eskatzen duten ondo ulertzeko
eta azaltzen diren baldintzak ondo kontrolatzeko

Azpimarratu datu garrantzitsuenak
Ixa esleitu. Ixaren aldamenean beti idatzi zer den
Dituzun datu guztien artean, erlazioren bat topatu.
Buruketak berak ematen du askotan

Sortu duzun ekuazioa askatu
Bukatzeko, egiaztatu emaitza dituzun datu guztiekin
Kopiatu koadernoan

13

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

24) Bi zenbakiren arteko batura 76, da eta bata bestea
baino lau unitate handiagoa da. Bilatu zenbakiok. EMA.:
36, 40.
25) Ondoz ondoko hiru zenbakiren arteko batura
laurogeita hamahiru da. Zein dira zenbaki horiek. EMA.:
30, 31, 32.
26) Zenbaki baten herenaren eta hirukoitzaren arteko
batura berrogei da. Aurkitu zenbakia. EMA.: 12.
27) Bi mila laurehun metro ibili ondoren, distantziaren
herena falta zaigu bukatzeko. Zein da distantzia? EMA.:
3.600 m.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

14

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

28) Pertsona batek duen muxika-kopurua honela banatuta
geratu da: erdiak saldu egin zituen, laurdenak anaiari eman
zizkion eta, oraindik, ehun eta hogei muxika geratu zaizkio.
Zenbat muxika zituen? EMA.: 480 muxika.

29) Zuk hamabi urte badituzu eta zure aitak zure adinaren
zortzi herena, zenbat urte ditu zure aitak? EMA.: 32 urte.
30) Ondoz ondoko bi zenbaki ditugu. Handienaren
herenaren eta txikienaren arteko batura txikienaren
bikoitzaren herena da. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 2, 3.
31) Andonik Kepak baino bost euro gehiago ditu. Baina
Andonik Kepari lau euro emango balizkio, Keparen dirutza
Andonirenaren bikoitza bihurtuko litzateke. Zenbat dauka
bakoitzak? EMA.: 7 eta 2 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

15

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

32) Orain dela lau urte ume baten adinaren hirukoitza
orain duenaren bikoitza zen. Zenbat urte ditu? EMA.: 12
urte.
33) Pertsona baten adina beste lagun batenaren bikoitza
da. Orain dela zazpi urte, bi pertsonen urteen batura
lehenengoaren gaur egungo adina izan zen. Kalkula
itzazu bi pertsonen adinak. EMA.:14 eta 28 urte.
34) Aita batek berrogeita bi urte ditu, eta semeak hamar.
Zenbat urte pasa behar dira aitaren adina semearenaren
hirukoitza izateko? EMA.: 6 urte
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

16

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

35) Gripea zela eta, gela bateko sei ikasle ez ziren eskolara
etorri. Eta, honela, ikasle guztien hiru laurdenak baino bi
gehiago etorri ziren. Zenbat ikasle ziren gelan? EMA.: 32
ikasle.
36) Laukizuzen-itxurako bizkotxo batean, hiru zati egin ditugu.
Lehenengoa bizkotxoaren herena da, bigarrena bostena eta
hirugarrena lau bederatzirena; 4 cm geratu zaigu sobran.
Zenbatekoa da bizkotxoaren luzera? EMA.: 180 cm.

37) Hemendik hamaika urtera, Enekoren adina duela
hamahiru urte zuenaren bikoitza izango da. Zenbat urte ditu?
EMA.: 37 urte.00
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

17

2. mailako ekuazioak ezezagun bakarrekoak badira,
honela adieraziko ditugu:
ax2 + bx + c = 0
a, b eta c zenbaki osoak dira, eta a ezin da zeroren
berdina izan (a  0).
Ekuazio horiek formula honek askatzen ditu beti:

x

b

b  4 ac
2

2a
Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

18

x

Adibide gisa, askatu
honako ekuazio hau:

x

b  4 ac
2

2a

GOGORATU: letra baten
aurrean ezer ikusten ez
duzunean, 1 zenbakia dago

2x2 – x – 1 = 0
a=2
b = –1
c = –1

b

 (  1) 

(  1)  4  2  (  1)
2

22
4



1 1 8
4

Kopiatu koadernoan



1 3
4



1

4
2
4



1
2



2. mailako ekuazioak

19
x

b

b  4 ac
2

2a

Askatu honako ekuazio hauek:
38) x2 – x – 2 = 0 EMA.: 2, –1
39) 3x2 – 7x – 6 = 0 EMA.: 3, –2/3
40) 4x2 – 8x + 3 = 0 EMA.: 3/2, 1/2
41) x2 + 4x + 4 = 0 EMA.: –2

42) x2 + 8x + 3 = 0 EMA.: –0,4; –7,6
43) x2 + 2x + 2 = 0 EMA.: emaitzarik
ez.

Emaitza bakarra
lortzen badugu,
emaitza horri emaitza
bikoitza esango
diogu.
Batzuetan, erroak ez
du emaitzarik, eta,
orduan, esaten dugu
ekuazioak ez duela
emaitza errealik.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

20

Modu horrek 2. mailako ekuazio guztietarako balio
badu ere, badaude beste modu errazago batzuk:
1) b = 0 denean

Adibidea:

ax2 + 0x + c = 0

3x2 – 75 = 0

ax2 + c = 0

3x2 = 75

ax2 = –c
x 
2

x 
2

75
3

c

5

a
x

c

x   25 

–5

a

Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

21

GOGORATU: biderkadura bat zero bada,
biderkagairen bat zero delako da
2) c = 0 denean

Adibidea:

ax2 + bx + 0 = 0

5x2 – 7x = 0

ax2 + bx = 0

x·(5x – 7) = 0

x·(ax + b) = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

5x – 7 = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

ax + b = 0
x = –b/a
Kopiatu koadernoan

x = 7/5

22

2. mailako ekuazioak

Ebatzi honako ekuazio hauek:
44) 3x² + 5x – 2 = 0 EMA.: 1/3; –2
45) 4x² – 36 = 0 EMA: 3, –3.
46) 2x² – 15x + 7 = 0 EMA: 7, 1/2

52) 2x2 – 3 = x2 – 2x EMA.: 1,
–3
53) x – 2 = x2 EMA.:
emaitzarik ez.

47) 3x² – 75x = 0 EMA: 0, 25.
48) 7x² – 9x + 2 = 0 EMA.: 1, 2/7

54 ) 1 +

= 2x

EMA.: –1/2, 1

x

49) 2x² – 2x – 24 = 0 EMA.: 4, –3

50) x²/3 – 12 = 0 EMA: 6, –6

1

55 ) 1 +

1
x

=x -

1
x

EMA.: –1, 2

51) (x – 2)(x + 1) = 0 EMA: 2, –1
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

23

2. mailako ekuazioak. Buruketak

56) Bi zenbakiren artean, 5eko aldea dago, eta haien
arteko biderkadura 66 da. Zein dira zenbakiok? EMA.: 6,
11; –11, –6.
57) Laukizuzen batek hogei zentimetroko diagonala du.
Zein izango da azalera, altuera baino lau cm luzeago
badu oina? EMA.: 12 cm, 16 cm.
58) Bila ezazu zirkunferentzia baten luzera, haren azalera
28,26 m² bada. EMA.: 18,84 m.
59) Triangelu zuzen batean, hipotenusaren luzera 10 cm
da. Bila itzazu katetoen luzerak, bata bestea baino 2 cm
luzeagoa bada. EMA.: 6 cm, 8 cm.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

24

2. mailako ekuazioak. Buruketak

60) Demagun 7 cm-ko alanbre bat daukagula. Nondik
tolestuko dugu muturretako bat bestetik 5 cm-ra egon dadin
angelu zuzen bat osatu ondoren? EMA.: 4 cm, 3 cm.
61) Ondoz ondoko bi zenbakiren arteko biderkadura
honako hau da zenbaki horien arteko batura gehi bost
unitate. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 3, 4; –2, –1.
62) Triangelu zuzen baten azalera 90 cm2 da. Bilatu
katetoak, haien arteko aldea 3 cm-koa bada. EMA.: 12 cm
eta 15 cm.
63) Banatu 9 zenbakia bi zatitan, bakoitzaren berbiduren
arteko batura 41 izan dadin. EMA.: 4, 5.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

25

Bi ezezaguneko ekuazio-sistemak:
Bi ekuazio aldi berean betetzen badira, ekuazio-sistema
bat dugu. Bi ekuazioak zenbaki berberetarako bete
behar dira.
Adibidez:

2x  y  4 

x  2 y   3

Sistema honen emaitza x = 1 eta y = 2 da, edo beste
modu batez adierazita, (1, 2) da.
Begiratu ea egia den.
Kopiatu koadernoan

26

Ekuazio-sistemak

Lau era ditugu ekuazio-sistemak ebazteko, baina
mementoz hiru besterik ez dugu ikasiko:
1. Ordezkatzea
2. Berdintzea
3. Laburtzea

Kopiatu koadernoan

Ekuazio-sistemak

27
1. Ordezkatzea
2x  y  4 

x  2 y   3

y  4  2x



x  8  4 x   3

Ekuazio batean,
ezezagun bat bakandu:
y  4  2x 

x  2 y   3

Beste ekuazioan,
ezezagun hori ordeztu

Beste ekuazioan
ordeztu
y  4  2x 

5 x  3  8

y  4  2x

5x  5 

y  4  2x



x  2  ( 4  2 x )   3

y  4  2x

x 1 

Kopiatu koadernoan

y  4  2  1

x 1 

y  2

x  1

Ekuazio-sistemak

28

Askatu sistema hauek, ordezkatze-metodoa erabiliz:
3 x  8 y  10 
64 )
 EMA. : ( 6 ,  1)
x y 5 

2x  3y  7 
65 )
 EMA. : ( 2 ,  1)
5 x  2 y  12 



1
2
67 )
EMA. : ( 4 , )

x y
x
2
  y
3
4

3x

68 )

 4y  8

3x  1  2 y  2
 EMA. : (  1,  3 )
x  y  4


2 x  12  4 y 

66 ) 2 x
 EMA. : ( 0 ,  3 )
 2 y  6

5


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

29

Ekuazio biak
berdindu

2. Berdintzea
2x  y  4 

x  2 y   3

4  2x 

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

3 x
2

y  4  2x

Ekuazio bietan, ezezagun
bera bakandu:
8  4x  3  x

y  4  2x 

 2 y  3  x 

y  4  2x

3 x 
y
2 


 5 x  5

x 1

Kopiatu koadernoan

y  4  2 1

y2

Ekuazio-sistemak

30

Askatu sistema hauek, berdintze-metodoa erabiliz:
2 x  y  0
69 )
 EMA. : (  1, 2 )
x  y 1

3x  y  4

70 ) x
 EMA. : ( 2 , 2 )
 y3

2


x 5  4y
x
71 )
y 
2


1
 y 1 
72 ) 4
 EMA. : ( 2 ,  )
2
2( x  y )  3

x

73 )

x5 y


 EMA. : (  3, 2 )
5 x  2 y   19 


1

EMA.
:
(
3
,

)

2
2



Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

31
3. Laburtzea
2x  y  4 

x  2 y   3

Ezezagun bera duten bi
gaiak ekuazio bietan
berdinak izatea da
helburua; berdinak
baina aurkako zeinua
dutela. Horretarako,
ekuazioetako bat
zenbaki oso batez
biderkatuko dugu:
2  (2 x  y  4)

x  2 y  3 

4x  2 y  8 

x  2 y   3

Ekuazio bien
arteko batuketa
egin, gaiz gai.
4x  2 y  8



x  2 y  3 

5x  0 y  5
5x  5
x 1

Kopiatu koadernoan

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

2 1  y  4

y  42

y2

Ekuazio-sistemak

32

Askatu sistema hauek, laburtze-metodoa erabiliz:
x  y  9
74 )
 EMA. : ( 5 , 4 )
x  y 1

75 )

3x  y  3
1
EMA.
:
(
, 2)

6 x  y  0
3

76 )

2 x  3 y  4
 EMA. : (1,  2 )
x  2y  5 


 y  0
77 ) 2
 EMA. : ( 4 ,  2 )
y
 x  3
2

x

5 
1 1

78 )
EMA.
:
(
, )
6 
2
3
3 y  3  4 x  2 
x 1  y 

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

33

Askatu sistema hauek, zure ustez errazena den metodoaz:
6 x  5 y  4
79 )
 EMA. : (1,  2 )
x  y  1

82 )

3x  y  1


 EMA. : Ez du
x  2 y  2  2x  y

emaitzarik

3x  5  2 y


80 ) x
 EMA. : (3 , 2 )
 y  2x  3

3


x
83 )
x

(Sistema

y 1
2
y2
3

bateraezin a)


1

 EMA. : (  8 ,  19 )
 1


3x  y  2
1

y  EMA. : ( ,  1)
81 ) x

3
3
9 


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

34

Ekuazio-sistemak. Buruketak

84) Ostatu batean, ohe bateko eta biko gelak daude. Orotara 50
gela eta 87 ohe daude. Mota bakoitzeko zenbat gela dago?
EMA.: 13, 37 gela
85) Txakur-txapelketa batean, txakurrak eta beraien jabeak
daude. Guztira hirurogeita hamazortzi buru eta berrehun eta
hamasei hanka daude. Zenbat txakur eta pertsona daude?
EMA.: 48 pertsona, 30 txakur.
86) Bi zenbakiren arteko batura hamalau da. Handienari bat
gehitzen badiogu, txikienaren bikoitza lortzen da. Aurki itzazu
zenbakiak. EMA.: 9, 5.
87) Bi zenbakiren arteko batura 150 da, eta kendura txikienaren
laukoitza da. Aurki itzazu zenbakiok. EMA.: 125, 25
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

35

Ekuazio-sistemak. Buruketak

88) Zenbaki baten hirukoitzari beste baten laukoitza
gehitutakoan, zazpi izango da emaitza; lehenengoaren
bikoitzari bigarrena gehitutakoan, berriz, hiru izango da
emaitza. Bilatu zenbakiok. EMA.: 1, 1.
89) Bi anaia-arreben adinen arteko batura 17 da; bost urte
barru, batena bestearenaren bikoitza izango da. Zenbat
urte dituzte? EMA.: 13, 4 urte.
90) Dendara joan eta alkandora bat eta praka batzuk erosi
ditut. Markatuta dituzten prezioen artean, 100 euro egiten
dute, baina, merkealdia dela eta, alkandoran % 20ko
deskontua egin didate, eta, praketan, % 30ekoa. Guztira,
73,50 euro pagatu dut. Zenbat balio du bakoitzak? EMA.:
35 eta 65 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

36
2
x + y = 24 
91 )
 EMA. : (2, 20); (  4, 8)
y = 2x + 16 

Ekuazio-sistemak
x y 7 
92 ) 2
 EMA. : ( 3, 4 ); ( 4 , 3 )
2
x  y  25 

93) 60 euro ditugu lagun batzuen artean banatzeko. Hiru
lagun gehiago bagina, bakoitzari euro bat gutxiago
egokituko litzaiguke. Zenbat gara? EMA: 12 lagun.

94) Loradenda batean, tulipan sortak egiteko hari batzuk
daude. Tulipanak binaka jarriz gero, 4 tulipan geldituko dira
sobran, eta hirunaka jarriz gero, hari bat sobran. Zenbat
tulipan eta zenbat hari daude? EMA: 7, 18.
95) Bi zenbakiren arteko kendura 3 da, eta zenbakion
berbiduren arteko batura, 117. Bila itzazu zenbakiok. EMA:
(–6, –9); (9, 6).
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

37

Ekuazio-sistemak

96) Bi zenbakiren arteko kendura 6 da, eta
biderkadura, 216. Bila itzazu zenbakiok. EMA: (–12, –
18); (18, 12).
97) Triangelu zuzen baten hipotenusa 10 m luze da,
eta perimetroa, 24 m-koa da. Zenbat luze dira bi
katetoak? EMA.: 6 cm, 8 cm.
98) x4 + 3x² – 4 = 0 EMA.: 1, –1
99) x × (x + 5) × (x – 2) = 0 EMA: 0, –5, 2.
100) x4 – 5x² + 4 = 0 EMA: 2, –2, 1, –1.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira


Slide 12

1

Ekuazioak 3. DBH
Alfredo Ortega Loza
Unitate honetan, hauek ikasi edo gogoratuko ditugu:
•Ekuazioak eta identitateak bereizten
•Lehenengo mailako ekuazioak askatzen
•Buruketak askatzen
•2. mailako ekuazioak askatzen
•Ekuazio-sistemak askatzen
•2. mailako ekuazio-sistemak askatzen

Berdintzak

2

Berdin ikurra duten adierazpeni berdintza
esaten zaie.
Berdintzak zenbakizkoak izan daitezke:
3·(5 – 4) = 2 + 1



45/5 = 18/2



Algebraikoak ere,
izan daitezke:

Berdintzaren ezkerreko aldeari
lehen atala esaten zaio, eta
eskuinekoari, bigarren atala.
Batuketa edo kenketa ikurren
arteko letra eta zenbakimultzoei, berriz, gai deritze.

3x – 5 = x/4 +1



5a + 2b = 10a/2 + (9/2)b – (5/2)b



Kopiatu koadernoan

Identitateak

3

Berdintza algebraikoak –letrak dituztenak–
identitateak edo ekuazioak izan daitezke:
Identitateak:

3x + (5 – 1)·2 = 2x + x + 8
5a – a = 2 (7a – 5a)

Gogoratu: zenbakien
eta letren artean ezer
ez dagoenean,
BIDER (·) ikurra
irakurri behar da beti.

Ezezagunak (letra) edozein balio izanda ere,
bete egingo da berdintza. Askatzen saiatuz
gero, 0 = 0 lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazioak

4

Ekuazioak:
3x = 2x + 1. EMA.: x = 1
5a – 3 = 2 (7a – 5a). EMA.: a = 3

Ezezagunaren balio batzuetarako baino ez
da betetzen berdintza.
Balio horiek topatzeari ekuazioa askatzea
(edo ebaztea) esaten zaio.

Kopiatu koadernoan

5

Ekuazio baliokideak
Ekuazioen propietateak:

Ekuazio baten bi aldeetan batuketa edo
kenketa bera egiten badugu, hasierakoaren
ekuazio baliokide bat (emaitza berbera
duena) lortuko dugu.
Ekuazio baten bi aldeak zero ez den
adierazpen batekin biderkatzen edo
zatitzen baditugu, hasierakoaren ekuazio
baliokide bat lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (1)

6

Ekuazioetarako erregelak:

x+7=3

–x = 3 – 2x

x+7–7=3–7

–x + 2x = 3 – 2x + 2x

x=3–7

–x + 2x = 3

x = –4

x=3

Ekuazioaren alde batean
batzen dagoena kentzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazioaren alde batean
kentzen dagoena batzen
pasatzen da beste aldera.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (2)

7

3x



3
x

Kopiatu koadernoan

Ekuazioetarako erregelak:
x
3x – 7 = 2
2 1
4
3x – 7 + 7 = 2 + 7
x
 2  2  1 2
4
3x = 9
9
3
9
3

x=3

Ekuazioaren alde batean
biderkatzen dagoena zatitzen
pasatzen da beste aldera.

x

 1

4
4

x

 4  (  1)

4
x  4  (  1)

x = –4
Ekuazioaren alde batean
zatitzen dagoena biderkatzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazio-ebazpenak

8
Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio eta identitate
hauek :

 Letrak dituzten
gai guztiak
berdintzaren alde
batera eraman
behar ditugu, eta
zenbakiak,
bestera.

1) x – 3 + 5x = 4x – 7. EMA.: –2

 Parentesiak
badaude, beste
ezer baino lehen
kendu behar
ditugu.

2) 7x – 5 + 2x + 6 = –3x + 8 – x.
EMA.: 7/13
3) 2x – (6x + 1) = 3x – 5(2 – x). EMA.: 3/4
4) 7(x + 3) = 7 + 8x – 1 . EMA.: 15
5) 3x +7 – 2(x – 3) = 3(x + 4) – 2x + 1.
EMA.: Edozein; identitatea da

6) 4 – (3 – x) + 6 = 2x + 2(2x – 3).
EMA.: 13/5
7) 5 – x(3 + 1) = 2x – 6(3 – 2x).
EMA.: 23/18

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

9

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio hauek :
8)

 Izendatzaileak
badaude,
izendatzaileen
MKTa lortu behar
dugu, eta,
ondoren,
berdintzaren
alde biak MKT
horrekin
biderkatuko
ditugu.

9)

1

x + 2=

2

x - 5 . E M A : 42

3

4

x

- 3  (x - 1) = 2 x -

7 - x

2

10)

1

(x - 2) -

8

11)

. E M A : 32/29.

3
2

(2 x + 6) + x = - 4 .E M A : -6/5

3

x - 1

-

x + 1

2
12) - 4  (3 - x)

=x -

3

5

.E M A : 1

3
+ 4x =

3

 (2 x - 1) - (x + 1) E M A : 4/3.

5

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

10

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
13)

x

-

x - 3

6

14)

=1 -

2x - 5

4

6x - 1

-

5x - 6

5

=

2x + 1

7
x - 2

15) 1 -

5

- 2

- 5x =

3x - 5

7x

(x - 1)

x - 8

2
18) 2 -

3  (2 + x)

=x +

3
-

3
x - 1
5

E M A : 25/41.

2

4

17)

E M A : 34/19.

3

3

16)

E M A : 23/7.

3

E M A : -13/38.

2
-

4  (4 x + 2)

=

5
- (2 x - 1) =

5x - 3

E M A : 2.

7
x - 5
E M A : 19/9

2

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

11

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
19) x -

x

-

x - 1

2

=

6

20) - 4 x - 3 -

x

- 2  (x - 1) E M A :11/13.

6

6x + 4

= 3 - 4  (x - 1) E M A : -37/3.

7
21) 3 -

x + 1

- (4 x - 1) = x - (3 - 4 x) E M A : 13/19.

2
x 22)

1
2 -

3
2

23)

x -

x + 2

-

2

x

- 3
3 = 2 - x - 2
E M A : 2.
4
6
12
1

3x - 1

+

4
(x + 2) (3 x - 1)

= 0 . E M A : 0.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

12

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

Buruketen emaitzak lortzeko, pauso hauek dira
garrantzitsuenak:

Proposatzen den buruketa ondo ulertu. Behar diren
irakurketa guztiak egin, zer eskatzen duten ondo ulertzeko
eta azaltzen diren baldintzak ondo kontrolatzeko

Azpimarratu datu garrantzitsuenak
Ixa esleitu. Ixaren aldamenean beti idatzi zer den
Dituzun datu guztien artean, erlazioren bat topatu.
Buruketak berak ematen du askotan

Sortu duzun ekuazioa askatu
Bukatzeko, egiaztatu emaitza dituzun datu guztiekin
Kopiatu koadernoan

13

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

24) Bi zenbakiren arteko batura 76, da eta bata bestea
baino lau unitate handiagoa da. Bilatu zenbakiok. EMA.:
36, 40.
25) Ondoz ondoko hiru zenbakiren arteko batura
laurogeita hamahiru da. Zein dira zenbaki horiek. EMA.:
30, 31, 32.
26) Zenbaki baten herenaren eta hirukoitzaren arteko
batura berrogei da. Aurkitu zenbakia. EMA.: 12.
27) Bi mila laurehun metro ibili ondoren, distantziaren
herena falta zaigu bukatzeko. Zein da distantzia? EMA.:
3.600 m.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

14

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

28) Pertsona batek duen muxika-kopurua honela banatuta
geratu da: erdiak saldu egin zituen, laurdenak anaiari eman
zizkion eta, oraindik, ehun eta hogei muxika geratu zaizkio.
Zenbat muxika zituen? EMA.: 480 muxika.

29) Zuk hamabi urte badituzu eta zure aitak zure adinaren
zortzi herena, zenbat urte ditu zure aitak? EMA.: 32 urte.
30) Ondoz ondoko bi zenbaki ditugu. Handienaren
herenaren eta txikienaren arteko batura txikienaren
bikoitzaren herena da. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 2, 3.
31) Andonik Kepak baino bost euro gehiago ditu. Baina
Andonik Kepari lau euro emango balizkio, Keparen dirutza
Andonirenaren bikoitza bihurtuko litzateke. Zenbat dauka
bakoitzak? EMA.: 7 eta 2 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

15

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

32) Orain dela lau urte ume baten adinaren hirukoitza
orain duenaren bikoitza zen. Zenbat urte ditu? EMA.: 12
urte.
33) Pertsona baten adina beste lagun batenaren bikoitza
da. Orain dela zazpi urte, bi pertsonen urteen batura
lehenengoaren gaur egungo adina izan zen. Kalkula
itzazu bi pertsonen adinak. EMA.:14 eta 28 urte.
34) Aita batek berrogeita bi urte ditu, eta semeak hamar.
Zenbat urte pasa behar dira aitaren adina semearenaren
hirukoitza izateko? EMA.: 6 urte
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

16

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

35) Gripea zela eta, gela bateko sei ikasle ez ziren eskolara
etorri. Eta, honela, ikasle guztien hiru laurdenak baino bi
gehiago etorri ziren. Zenbat ikasle ziren gelan? EMA.: 32
ikasle.
36) Laukizuzen-itxurako bizkotxo batean, hiru zati egin ditugu.
Lehenengoa bizkotxoaren herena da, bigarrena bostena eta
hirugarrena lau bederatzirena; 4 cm geratu zaigu sobran.
Zenbatekoa da bizkotxoaren luzera? EMA.: 180 cm.

37) Hemendik hamaika urtera, Enekoren adina duela
hamahiru urte zuenaren bikoitza izango da. Zenbat urte ditu?
EMA.: 37 urte.00
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

17

2. mailako ekuazioak ezezagun bakarrekoak badira,
honela adieraziko ditugu:
ax2 + bx + c = 0
a, b eta c zenbaki osoak dira, eta a ezin da zeroren
berdina izan (a  0).
Ekuazio horiek formula honek askatzen ditu beti:

x

b

b  4 ac
2

2a
Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

18

x

Adibide gisa, askatu
honako ekuazio hau:

x

b  4 ac
2

2a

GOGORATU: letra baten
aurrean ezer ikusten ez
duzunean, 1 zenbakia dago

2x2 – x – 1 = 0
a=2
b = –1
c = –1

b

 (  1) 

(  1)  4  2  (  1)
2

22
4



1 1 8
4

Kopiatu koadernoan



1 3
4



1

4
2
4



1
2



2. mailako ekuazioak

19
x

b

b  4 ac
2

2a

Askatu honako ekuazio hauek:
38) x2 – x – 2 = 0 EMA.: 2, –1
39) 3x2 – 7x – 6 = 0 EMA.: 3, –2/3
40) 4x2 – 8x + 3 = 0 EMA.: 3/2, 1/2
41) x2 + 4x + 4 = 0 EMA.: –2

42) x2 + 8x + 3 = 0 EMA.: –0,4; –7,6
43) x2 + 2x + 2 = 0 EMA.: emaitzarik
ez.

Emaitza bakarra
lortzen badugu,
emaitza horri emaitza
bikoitza esango
diogu.
Batzuetan, erroak ez
du emaitzarik, eta,
orduan, esaten dugu
ekuazioak ez duela
emaitza errealik.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

20

Modu horrek 2. mailako ekuazio guztietarako balio
badu ere, badaude beste modu errazago batzuk:
1) b = 0 denean

Adibidea:

ax2 + 0x + c = 0

3x2 – 75 = 0

ax2 + c = 0

3x2 = 75

ax2 = –c
x 
2

x 
2

75
3

c

5

a
x

c

x   25 

–5

a

Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

21

GOGORATU: biderkadura bat zero bada,
biderkagairen bat zero delako da
2) c = 0 denean

Adibidea:

ax2 + bx + 0 = 0

5x2 – 7x = 0

ax2 + bx = 0

x·(5x – 7) = 0

x·(ax + b) = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

5x – 7 = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

ax + b = 0
x = –b/a
Kopiatu koadernoan

x = 7/5

22

2. mailako ekuazioak

Ebatzi honako ekuazio hauek:
44) 3x² + 5x – 2 = 0 EMA.: 1/3; –2
45) 4x² – 36 = 0 EMA: 3, –3.
46) 2x² – 15x + 7 = 0 EMA: 7, 1/2

52) 2x2 – 3 = x2 – 2x EMA.: 1,
–3
53) x – 2 = x2 EMA.:
emaitzarik ez.

47) 3x² – 75x = 0 EMA: 0, 25.
48) 7x² – 9x + 2 = 0 EMA.: 1, 2/7

54 ) 1 +

= 2x

EMA.: –1/2, 1

x

49) 2x² – 2x – 24 = 0 EMA.: 4, –3

50) x²/3 – 12 = 0 EMA: 6, –6

1

55 ) 1 +

1
x

=x -

1
x

EMA.: –1, 2

51) (x – 2)(x + 1) = 0 EMA: 2, –1
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

23

2. mailako ekuazioak. Buruketak

56) Bi zenbakiren artean, 5eko aldea dago, eta haien
arteko biderkadura 66 da. Zein dira zenbakiok? EMA.: 6,
11; –11, –6.
57) Laukizuzen batek hogei zentimetroko diagonala du.
Zein izango da azalera, altuera baino lau cm luzeago
badu oina? EMA.: 12 cm, 16 cm.
58) Bila ezazu zirkunferentzia baten luzera, haren azalera
28,26 m² bada. EMA.: 18,84 m.
59) Triangelu zuzen batean, hipotenusaren luzera 10 cm
da. Bila itzazu katetoen luzerak, bata bestea baino 2 cm
luzeagoa bada. EMA.: 6 cm, 8 cm.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

24

2. mailako ekuazioak. Buruketak

60) Demagun 7 cm-ko alanbre bat daukagula. Nondik
tolestuko dugu muturretako bat bestetik 5 cm-ra egon dadin
angelu zuzen bat osatu ondoren? EMA.: 4 cm, 3 cm.
61) Ondoz ondoko bi zenbakiren arteko biderkadura
honako hau da zenbaki horien arteko batura gehi bost
unitate. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 3, 4; –2, –1.
62) Triangelu zuzen baten azalera 90 cm2 da. Bilatu
katetoak, haien arteko aldea 3 cm-koa bada. EMA.: 12 cm
eta 15 cm.
63) Banatu 9 zenbakia bi zatitan, bakoitzaren berbiduren
arteko batura 41 izan dadin. EMA.: 4, 5.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

25

Bi ezezaguneko ekuazio-sistemak:
Bi ekuazio aldi berean betetzen badira, ekuazio-sistema
bat dugu. Bi ekuazioak zenbaki berberetarako bete
behar dira.
Adibidez:

2x  y  4 

x  2 y   3

Sistema honen emaitza x = 1 eta y = 2 da, edo beste
modu batez adierazita, (1, 2) da.
Begiratu ea egia den.
Kopiatu koadernoan

26

Ekuazio-sistemak

Lau era ditugu ekuazio-sistemak ebazteko, baina
mementoz hiru besterik ez dugu ikasiko:
1. Ordezkatzea
2. Berdintzea
3. Laburtzea

Kopiatu koadernoan

Ekuazio-sistemak

27
1. Ordezkatzea
2x  y  4 

x  2 y   3

y  4  2x



x  8  4 x   3

Ekuazio batean,
ezezagun bat bakandu:
y  4  2x 

x  2 y   3

Beste ekuazioan,
ezezagun hori ordeztu

Beste ekuazioan
ordeztu
y  4  2x 

5 x  3  8

y  4  2x

5x  5 

y  4  2x



x  2  ( 4  2 x )   3

y  4  2x

x 1 

Kopiatu koadernoan

y  4  2  1

x 1 

y  2

x  1

Ekuazio-sistemak

28

Askatu sistema hauek, ordezkatze-metodoa erabiliz:
3 x  8 y  10 
64 )
 EMA. : ( 6 ,  1)
x y 5 

2x  3y  7 
65 )
 EMA. : ( 2 ,  1)
5 x  2 y  12 



1
2
67 )
EMA. : ( 4 , )

x y
x
2
  y
3
4

3x

68 )

 4y  8

3x  1  2 y  2
 EMA. : (  1,  3 )
x  y  4


2 x  12  4 y 

66 ) 2 x
 EMA. : ( 0 ,  3 )
 2 y  6

5


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

29

Ekuazio biak
berdindu

2. Berdintzea
2x  y  4 

x  2 y   3

4  2x 

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

3 x
2

y  4  2x

Ekuazio bietan, ezezagun
bera bakandu:
8  4x  3  x

y  4  2x 

 2 y  3  x 

y  4  2x

3 x 
y
2 


 5 x  5

x 1

Kopiatu koadernoan

y  4  2 1

y2

Ekuazio-sistemak

30

Askatu sistema hauek, berdintze-metodoa erabiliz:
2 x  y  0
69 )
 EMA. : (  1, 2 )
x  y 1

3x  y  4

70 ) x
 EMA. : ( 2 , 2 )
 y3

2


x 5  4y
x
71 )
y 
2


1
 y 1 
72 ) 4
 EMA. : ( 2 ,  )
2
2( x  y )  3

x

73 )

x5 y


 EMA. : (  3, 2 )
5 x  2 y   19 


1

EMA.
:
(
3
,

)

2
2



Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

31
3. Laburtzea
2x  y  4 

x  2 y   3

Ezezagun bera duten bi
gaiak ekuazio bietan
berdinak izatea da
helburua; berdinak
baina aurkako zeinua
dutela. Horretarako,
ekuazioetako bat
zenbaki oso batez
biderkatuko dugu:
2  (2 x  y  4)

x  2 y  3 

4x  2 y  8 

x  2 y   3

Ekuazio bien
arteko batuketa
egin, gaiz gai.
4x  2 y  8



x  2 y  3 

5x  0 y  5
5x  5
x 1

Kopiatu koadernoan

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

2 1  y  4

y  42

y2

Ekuazio-sistemak

32

Askatu sistema hauek, laburtze-metodoa erabiliz:
x  y  9
74 )
 EMA. : ( 5 , 4 )
x  y 1

75 )

3x  y  3
1
EMA.
:
(
, 2)

6 x  y  0
3

76 )

2 x  3 y  4
 EMA. : (1,  2 )
x  2y  5 


 y  0
77 ) 2
 EMA. : ( 4 ,  2 )
y
 x  3
2

x

5 
1 1

78 )
EMA.
:
(
, )
6 
2
3
3 y  3  4 x  2 
x 1  y 

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

33

Askatu sistema hauek, zure ustez errazena den metodoaz:
6 x  5 y  4
79 )
 EMA. : (1,  2 )
x  y  1

82 )

3x  y  1


 EMA. : Ez du
x  2 y  2  2x  y

emaitzarik

3x  5  2 y


80 ) x
 EMA. : (3 , 2 )
 y  2x  3

3


x
83 )
x

(Sistema

y 1
2
y2
3

bateraezin a)


1

 EMA. : (  8 ,  19 )
 1


3x  y  2
1

y  EMA. : ( ,  1)
81 ) x

3
3
9 


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

34

Ekuazio-sistemak. Buruketak

84) Ostatu batean, ohe bateko eta biko gelak daude. Orotara 50
gela eta 87 ohe daude. Mota bakoitzeko zenbat gela dago?
EMA.: 13, 37 gela
85) Txakur-txapelketa batean, txakurrak eta beraien jabeak
daude. Guztira hirurogeita hamazortzi buru eta berrehun eta
hamasei hanka daude. Zenbat txakur eta pertsona daude?
EMA.: 48 pertsona, 30 txakur.
86) Bi zenbakiren arteko batura hamalau da. Handienari bat
gehitzen badiogu, txikienaren bikoitza lortzen da. Aurki itzazu
zenbakiak. EMA.: 9, 5.
87) Bi zenbakiren arteko batura 150 da, eta kendura txikienaren
laukoitza da. Aurki itzazu zenbakiok. EMA.: 125, 25
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

35

Ekuazio-sistemak. Buruketak

88) Zenbaki baten hirukoitzari beste baten laukoitza
gehitutakoan, zazpi izango da emaitza; lehenengoaren
bikoitzari bigarrena gehitutakoan, berriz, hiru izango da
emaitza. Bilatu zenbakiok. EMA.: 1, 1.
89) Bi anaia-arreben adinen arteko batura 17 da; bost urte
barru, batena bestearenaren bikoitza izango da. Zenbat
urte dituzte? EMA.: 13, 4 urte.
90) Dendara joan eta alkandora bat eta praka batzuk erosi
ditut. Markatuta dituzten prezioen artean, 100 euro egiten
dute, baina, merkealdia dela eta, alkandoran % 20ko
deskontua egin didate, eta, praketan, % 30ekoa. Guztira,
73,50 euro pagatu dut. Zenbat balio du bakoitzak? EMA.:
35 eta 65 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

36
2
x + y = 24 
91 )
 EMA. : (2, 20); (  4, 8)
y = 2x + 16 

Ekuazio-sistemak
x y 7 
92 ) 2
 EMA. : ( 3, 4 ); ( 4 , 3 )
2
x  y  25 

93) 60 euro ditugu lagun batzuen artean banatzeko. Hiru
lagun gehiago bagina, bakoitzari euro bat gutxiago
egokituko litzaiguke. Zenbat gara? EMA: 12 lagun.

94) Loradenda batean, tulipan sortak egiteko hari batzuk
daude. Tulipanak binaka jarriz gero, 4 tulipan geldituko dira
sobran, eta hirunaka jarriz gero, hari bat sobran. Zenbat
tulipan eta zenbat hari daude? EMA: 7, 18.
95) Bi zenbakiren arteko kendura 3 da, eta zenbakion
berbiduren arteko batura, 117. Bila itzazu zenbakiok. EMA:
(–6, –9); (9, 6).
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

37

Ekuazio-sistemak

96) Bi zenbakiren arteko kendura 6 da, eta
biderkadura, 216. Bila itzazu zenbakiok. EMA: (–12, –
18); (18, 12).
97) Triangelu zuzen baten hipotenusa 10 m luze da,
eta perimetroa, 24 m-koa da. Zenbat luze dira bi
katetoak? EMA.: 6 cm, 8 cm.
98) x4 + 3x² – 4 = 0 EMA.: 1, –1
99) x × (x + 5) × (x – 2) = 0 EMA: 0, –5, 2.
100) x4 – 5x² + 4 = 0 EMA: 2, –2, 1, –1.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira


Slide 13

1

Ekuazioak 3. DBH
Alfredo Ortega Loza
Unitate honetan, hauek ikasi edo gogoratuko ditugu:
•Ekuazioak eta identitateak bereizten
•Lehenengo mailako ekuazioak askatzen
•Buruketak askatzen
•2. mailako ekuazioak askatzen
•Ekuazio-sistemak askatzen
•2. mailako ekuazio-sistemak askatzen

Berdintzak

2

Berdin ikurra duten adierazpeni berdintza
esaten zaie.
Berdintzak zenbakizkoak izan daitezke:
3·(5 – 4) = 2 + 1



45/5 = 18/2



Algebraikoak ere,
izan daitezke:

Berdintzaren ezkerreko aldeari
lehen atala esaten zaio, eta
eskuinekoari, bigarren atala.
Batuketa edo kenketa ikurren
arteko letra eta zenbakimultzoei, berriz, gai deritze.

3x – 5 = x/4 +1



5a + 2b = 10a/2 + (9/2)b – (5/2)b



Kopiatu koadernoan

Identitateak

3

Berdintza algebraikoak –letrak dituztenak–
identitateak edo ekuazioak izan daitezke:
Identitateak:

3x + (5 – 1)·2 = 2x + x + 8
5a – a = 2 (7a – 5a)

Gogoratu: zenbakien
eta letren artean ezer
ez dagoenean,
BIDER (·) ikurra
irakurri behar da beti.

Ezezagunak (letra) edozein balio izanda ere,
bete egingo da berdintza. Askatzen saiatuz
gero, 0 = 0 lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazioak

4

Ekuazioak:
3x = 2x + 1. EMA.: x = 1
5a – 3 = 2 (7a – 5a). EMA.: a = 3

Ezezagunaren balio batzuetarako baino ez
da betetzen berdintza.
Balio horiek topatzeari ekuazioa askatzea
(edo ebaztea) esaten zaio.

Kopiatu koadernoan

5

Ekuazio baliokideak
Ekuazioen propietateak:

Ekuazio baten bi aldeetan batuketa edo
kenketa bera egiten badugu, hasierakoaren
ekuazio baliokide bat (emaitza berbera
duena) lortuko dugu.
Ekuazio baten bi aldeak zero ez den
adierazpen batekin biderkatzen edo
zatitzen baditugu, hasierakoaren ekuazio
baliokide bat lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (1)

6

Ekuazioetarako erregelak:

x+7=3

–x = 3 – 2x

x+7–7=3–7

–x + 2x = 3 – 2x + 2x

x=3–7

–x + 2x = 3

x = –4

x=3

Ekuazioaren alde batean
batzen dagoena kentzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazioaren alde batean
kentzen dagoena batzen
pasatzen da beste aldera.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (2)

7

3x



3
x

Kopiatu koadernoan

Ekuazioetarako erregelak:
x
3x – 7 = 2
2 1
4
3x – 7 + 7 = 2 + 7
x
 2  2  1 2
4
3x = 9
9
3
9
3

x=3

Ekuazioaren alde batean
biderkatzen dagoena zatitzen
pasatzen da beste aldera.

x

 1

4
4

x

 4  (  1)

4
x  4  (  1)

x = –4
Ekuazioaren alde batean
zatitzen dagoena biderkatzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazio-ebazpenak

8
Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio eta identitate
hauek :

 Letrak dituzten
gai guztiak
berdintzaren alde
batera eraman
behar ditugu, eta
zenbakiak,
bestera.

1) x – 3 + 5x = 4x – 7. EMA.: –2

 Parentesiak
badaude, beste
ezer baino lehen
kendu behar
ditugu.

2) 7x – 5 + 2x + 6 = –3x + 8 – x.
EMA.: 7/13
3) 2x – (6x + 1) = 3x – 5(2 – x). EMA.: 3/4
4) 7(x + 3) = 7 + 8x – 1 . EMA.: 15
5) 3x +7 – 2(x – 3) = 3(x + 4) – 2x + 1.
EMA.: Edozein; identitatea da

6) 4 – (3 – x) + 6 = 2x + 2(2x – 3).
EMA.: 13/5
7) 5 – x(3 + 1) = 2x – 6(3 – 2x).
EMA.: 23/18

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

9

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio hauek :
8)

 Izendatzaileak
badaude,
izendatzaileen
MKTa lortu behar
dugu, eta,
ondoren,
berdintzaren
alde biak MKT
horrekin
biderkatuko
ditugu.

9)

1

x + 2=

2

x - 5 . E M A : 42

3

4

x

- 3  (x - 1) = 2 x -

7 - x

2

10)

1

(x - 2) -

8

11)

. E M A : 32/29.

3
2

(2 x + 6) + x = - 4 .E M A : -6/5

3

x - 1

-

x + 1

2
12) - 4  (3 - x)

=x -

3

5

.E M A : 1

3
+ 4x =

3

 (2 x - 1) - (x + 1) E M A : 4/3.

5

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

10

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
13)

x

-

x - 3

6

14)

=1 -

2x - 5

4

6x - 1

-

5x - 6

5

=

2x + 1

7
x - 2

15) 1 -

5

- 2

- 5x =

3x - 5

7x

(x - 1)

x - 8

2
18) 2 -

3  (2 + x)

=x +

3
-

3
x - 1
5

E M A : 25/41.

2

4

17)

E M A : 34/19.

3

3

16)

E M A : 23/7.

3

E M A : -13/38.

2
-

4  (4 x + 2)

=

5
- (2 x - 1) =

5x - 3

E M A : 2.

7
x - 5
E M A : 19/9

2

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

11

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
19) x -

x

-

x - 1

2

=

6

20) - 4 x - 3 -

x

- 2  (x - 1) E M A :11/13.

6

6x + 4

= 3 - 4  (x - 1) E M A : -37/3.

7
21) 3 -

x + 1

- (4 x - 1) = x - (3 - 4 x) E M A : 13/19.

2
x 22)

1
2 -

3
2

23)

x -

x + 2

-

2

x

- 3
3 = 2 - x - 2
E M A : 2.
4
6
12
1

3x - 1

+

4
(x + 2) (3 x - 1)

= 0 . E M A : 0.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

12

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

Buruketen emaitzak lortzeko, pauso hauek dira
garrantzitsuenak:

Proposatzen den buruketa ondo ulertu. Behar diren
irakurketa guztiak egin, zer eskatzen duten ondo ulertzeko
eta azaltzen diren baldintzak ondo kontrolatzeko

Azpimarratu datu garrantzitsuenak
Ixa esleitu. Ixaren aldamenean beti idatzi zer den
Dituzun datu guztien artean, erlazioren bat topatu.
Buruketak berak ematen du askotan

Sortu duzun ekuazioa askatu
Bukatzeko, egiaztatu emaitza dituzun datu guztiekin
Kopiatu koadernoan

13

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

24) Bi zenbakiren arteko batura 76, da eta bata bestea
baino lau unitate handiagoa da. Bilatu zenbakiok. EMA.:
36, 40.
25) Ondoz ondoko hiru zenbakiren arteko batura
laurogeita hamahiru da. Zein dira zenbaki horiek. EMA.:
30, 31, 32.
26) Zenbaki baten herenaren eta hirukoitzaren arteko
batura berrogei da. Aurkitu zenbakia. EMA.: 12.
27) Bi mila laurehun metro ibili ondoren, distantziaren
herena falta zaigu bukatzeko. Zein da distantzia? EMA.:
3.600 m.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

14

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

28) Pertsona batek duen muxika-kopurua honela banatuta
geratu da: erdiak saldu egin zituen, laurdenak anaiari eman
zizkion eta, oraindik, ehun eta hogei muxika geratu zaizkio.
Zenbat muxika zituen? EMA.: 480 muxika.

29) Zuk hamabi urte badituzu eta zure aitak zure adinaren
zortzi herena, zenbat urte ditu zure aitak? EMA.: 32 urte.
30) Ondoz ondoko bi zenbaki ditugu. Handienaren
herenaren eta txikienaren arteko batura txikienaren
bikoitzaren herena da. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 2, 3.
31) Andonik Kepak baino bost euro gehiago ditu. Baina
Andonik Kepari lau euro emango balizkio, Keparen dirutza
Andonirenaren bikoitza bihurtuko litzateke. Zenbat dauka
bakoitzak? EMA.: 7 eta 2 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

15

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

32) Orain dela lau urte ume baten adinaren hirukoitza
orain duenaren bikoitza zen. Zenbat urte ditu? EMA.: 12
urte.
33) Pertsona baten adina beste lagun batenaren bikoitza
da. Orain dela zazpi urte, bi pertsonen urteen batura
lehenengoaren gaur egungo adina izan zen. Kalkula
itzazu bi pertsonen adinak. EMA.:14 eta 28 urte.
34) Aita batek berrogeita bi urte ditu, eta semeak hamar.
Zenbat urte pasa behar dira aitaren adina semearenaren
hirukoitza izateko? EMA.: 6 urte
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

16

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

35) Gripea zela eta, gela bateko sei ikasle ez ziren eskolara
etorri. Eta, honela, ikasle guztien hiru laurdenak baino bi
gehiago etorri ziren. Zenbat ikasle ziren gelan? EMA.: 32
ikasle.
36) Laukizuzen-itxurako bizkotxo batean, hiru zati egin ditugu.
Lehenengoa bizkotxoaren herena da, bigarrena bostena eta
hirugarrena lau bederatzirena; 4 cm geratu zaigu sobran.
Zenbatekoa da bizkotxoaren luzera? EMA.: 180 cm.

37) Hemendik hamaika urtera, Enekoren adina duela
hamahiru urte zuenaren bikoitza izango da. Zenbat urte ditu?
EMA.: 37 urte.00
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

17

2. mailako ekuazioak ezezagun bakarrekoak badira,
honela adieraziko ditugu:
ax2 + bx + c = 0
a, b eta c zenbaki osoak dira, eta a ezin da zeroren
berdina izan (a  0).
Ekuazio horiek formula honek askatzen ditu beti:

x

b

b  4 ac
2

2a
Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

18

x

Adibide gisa, askatu
honako ekuazio hau:

x

b  4 ac
2

2a

GOGORATU: letra baten
aurrean ezer ikusten ez
duzunean, 1 zenbakia dago

2x2 – x – 1 = 0
a=2
b = –1
c = –1

b

 (  1) 

(  1)  4  2  (  1)
2

22
4



1 1 8
4

Kopiatu koadernoan



1 3
4



1

4
2
4



1
2



2. mailako ekuazioak

19
x

b

b  4 ac
2

2a

Askatu honako ekuazio hauek:
38) x2 – x – 2 = 0 EMA.: 2, –1
39) 3x2 – 7x – 6 = 0 EMA.: 3, –2/3
40) 4x2 – 8x + 3 = 0 EMA.: 3/2, 1/2
41) x2 + 4x + 4 = 0 EMA.: –2

42) x2 + 8x + 3 = 0 EMA.: –0,4; –7,6
43) x2 + 2x + 2 = 0 EMA.: emaitzarik
ez.

Emaitza bakarra
lortzen badugu,
emaitza horri emaitza
bikoitza esango
diogu.
Batzuetan, erroak ez
du emaitzarik, eta,
orduan, esaten dugu
ekuazioak ez duela
emaitza errealik.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

20

Modu horrek 2. mailako ekuazio guztietarako balio
badu ere, badaude beste modu errazago batzuk:
1) b = 0 denean

Adibidea:

ax2 + 0x + c = 0

3x2 – 75 = 0

ax2 + c = 0

3x2 = 75

ax2 = –c
x 
2

x 
2

75
3

c

5

a
x

c

x   25 

–5

a

Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

21

GOGORATU: biderkadura bat zero bada,
biderkagairen bat zero delako da
2) c = 0 denean

Adibidea:

ax2 + bx + 0 = 0

5x2 – 7x = 0

ax2 + bx = 0

x·(5x – 7) = 0

x·(ax + b) = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

5x – 7 = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

ax + b = 0
x = –b/a
Kopiatu koadernoan

x = 7/5

22

2. mailako ekuazioak

Ebatzi honako ekuazio hauek:
44) 3x² + 5x – 2 = 0 EMA.: 1/3; –2
45) 4x² – 36 = 0 EMA: 3, –3.
46) 2x² – 15x + 7 = 0 EMA: 7, 1/2

52) 2x2 – 3 = x2 – 2x EMA.: 1,
–3
53) x – 2 = x2 EMA.:
emaitzarik ez.

47) 3x² – 75x = 0 EMA: 0, 25.
48) 7x² – 9x + 2 = 0 EMA.: 1, 2/7

54 ) 1 +

= 2x

EMA.: –1/2, 1

x

49) 2x² – 2x – 24 = 0 EMA.: 4, –3

50) x²/3 – 12 = 0 EMA: 6, –6

1

55 ) 1 +

1
x

=x -

1
x

EMA.: –1, 2

51) (x – 2)(x + 1) = 0 EMA: 2, –1
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

23

2. mailako ekuazioak. Buruketak

56) Bi zenbakiren artean, 5eko aldea dago, eta haien
arteko biderkadura 66 da. Zein dira zenbakiok? EMA.: 6,
11; –11, –6.
57) Laukizuzen batek hogei zentimetroko diagonala du.
Zein izango da azalera, altuera baino lau cm luzeago
badu oina? EMA.: 12 cm, 16 cm.
58) Bila ezazu zirkunferentzia baten luzera, haren azalera
28,26 m² bada. EMA.: 18,84 m.
59) Triangelu zuzen batean, hipotenusaren luzera 10 cm
da. Bila itzazu katetoen luzerak, bata bestea baino 2 cm
luzeagoa bada. EMA.: 6 cm, 8 cm.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

24

2. mailako ekuazioak. Buruketak

60) Demagun 7 cm-ko alanbre bat daukagula. Nondik
tolestuko dugu muturretako bat bestetik 5 cm-ra egon dadin
angelu zuzen bat osatu ondoren? EMA.: 4 cm, 3 cm.
61) Ondoz ondoko bi zenbakiren arteko biderkadura
honako hau da zenbaki horien arteko batura gehi bost
unitate. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 3, 4; –2, –1.
62) Triangelu zuzen baten azalera 90 cm2 da. Bilatu
katetoak, haien arteko aldea 3 cm-koa bada. EMA.: 12 cm
eta 15 cm.
63) Banatu 9 zenbakia bi zatitan, bakoitzaren berbiduren
arteko batura 41 izan dadin. EMA.: 4, 5.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

25

Bi ezezaguneko ekuazio-sistemak:
Bi ekuazio aldi berean betetzen badira, ekuazio-sistema
bat dugu. Bi ekuazioak zenbaki berberetarako bete
behar dira.
Adibidez:

2x  y  4 

x  2 y   3

Sistema honen emaitza x = 1 eta y = 2 da, edo beste
modu batez adierazita, (1, 2) da.
Begiratu ea egia den.
Kopiatu koadernoan

26

Ekuazio-sistemak

Lau era ditugu ekuazio-sistemak ebazteko, baina
mementoz hiru besterik ez dugu ikasiko:
1. Ordezkatzea
2. Berdintzea
3. Laburtzea

Kopiatu koadernoan

Ekuazio-sistemak

27
1. Ordezkatzea
2x  y  4 

x  2 y   3

y  4  2x



x  8  4 x   3

Ekuazio batean,
ezezagun bat bakandu:
y  4  2x 

x  2 y   3

Beste ekuazioan,
ezezagun hori ordeztu

Beste ekuazioan
ordeztu
y  4  2x 

5 x  3  8

y  4  2x

5x  5 

y  4  2x



x  2  ( 4  2 x )   3

y  4  2x

x 1 

Kopiatu koadernoan

y  4  2  1

x 1 

y  2

x  1

Ekuazio-sistemak

28

Askatu sistema hauek, ordezkatze-metodoa erabiliz:
3 x  8 y  10 
64 )
 EMA. : ( 6 ,  1)
x y 5 

2x  3y  7 
65 )
 EMA. : ( 2 ,  1)
5 x  2 y  12 



1
2
67 )
EMA. : ( 4 , )

x y
x
2
  y
3
4

3x

68 )

 4y  8

3x  1  2 y  2
 EMA. : (  1,  3 )
x  y  4


2 x  12  4 y 

66 ) 2 x
 EMA. : ( 0 ,  3 )
 2 y  6

5


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

29

Ekuazio biak
berdindu

2. Berdintzea
2x  y  4 

x  2 y   3

4  2x 

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

3 x
2

y  4  2x

Ekuazio bietan, ezezagun
bera bakandu:
8  4x  3  x

y  4  2x 

 2 y  3  x 

y  4  2x

3 x 
y
2 


 5 x  5

x 1

Kopiatu koadernoan

y  4  2 1

y2

Ekuazio-sistemak

30

Askatu sistema hauek, berdintze-metodoa erabiliz:
2 x  y  0
69 )
 EMA. : (  1, 2 )
x  y 1

3x  y  4

70 ) x
 EMA. : ( 2 , 2 )
 y3

2


x 5  4y
x
71 )
y 
2


1
 y 1 
72 ) 4
 EMA. : ( 2 ,  )
2
2( x  y )  3

x

73 )

x5 y


 EMA. : (  3, 2 )
5 x  2 y   19 


1

EMA.
:
(
3
,

)

2
2



Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

31
3. Laburtzea
2x  y  4 

x  2 y   3

Ezezagun bera duten bi
gaiak ekuazio bietan
berdinak izatea da
helburua; berdinak
baina aurkako zeinua
dutela. Horretarako,
ekuazioetako bat
zenbaki oso batez
biderkatuko dugu:
2  (2 x  y  4)

x  2 y  3 

4x  2 y  8 

x  2 y   3

Ekuazio bien
arteko batuketa
egin, gaiz gai.
4x  2 y  8



x  2 y  3 

5x  0 y  5
5x  5
x 1

Kopiatu koadernoan

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

2 1  y  4

y  42

y2

Ekuazio-sistemak

32

Askatu sistema hauek, laburtze-metodoa erabiliz:
x  y  9
74 )
 EMA. : ( 5 , 4 )
x  y 1

75 )

3x  y  3
1
EMA.
:
(
, 2)

6 x  y  0
3

76 )

2 x  3 y  4
 EMA. : (1,  2 )
x  2y  5 


 y  0
77 ) 2
 EMA. : ( 4 ,  2 )
y
 x  3
2

x

5 
1 1

78 )
EMA.
:
(
, )
6 
2
3
3 y  3  4 x  2 
x 1  y 

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

33

Askatu sistema hauek, zure ustez errazena den metodoaz:
6 x  5 y  4
79 )
 EMA. : (1,  2 )
x  y  1

82 )

3x  y  1


 EMA. : Ez du
x  2 y  2  2x  y

emaitzarik

3x  5  2 y


80 ) x
 EMA. : (3 , 2 )
 y  2x  3

3


x
83 )
x

(Sistema

y 1
2
y2
3

bateraezin a)


1

 EMA. : (  8 ,  19 )
 1


3x  y  2
1

y  EMA. : ( ,  1)
81 ) x

3
3
9 


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

34

Ekuazio-sistemak. Buruketak

84) Ostatu batean, ohe bateko eta biko gelak daude. Orotara 50
gela eta 87 ohe daude. Mota bakoitzeko zenbat gela dago?
EMA.: 13, 37 gela
85) Txakur-txapelketa batean, txakurrak eta beraien jabeak
daude. Guztira hirurogeita hamazortzi buru eta berrehun eta
hamasei hanka daude. Zenbat txakur eta pertsona daude?
EMA.: 48 pertsona, 30 txakur.
86) Bi zenbakiren arteko batura hamalau da. Handienari bat
gehitzen badiogu, txikienaren bikoitza lortzen da. Aurki itzazu
zenbakiak. EMA.: 9, 5.
87) Bi zenbakiren arteko batura 150 da, eta kendura txikienaren
laukoitza da. Aurki itzazu zenbakiok. EMA.: 125, 25
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

35

Ekuazio-sistemak. Buruketak

88) Zenbaki baten hirukoitzari beste baten laukoitza
gehitutakoan, zazpi izango da emaitza; lehenengoaren
bikoitzari bigarrena gehitutakoan, berriz, hiru izango da
emaitza. Bilatu zenbakiok. EMA.: 1, 1.
89) Bi anaia-arreben adinen arteko batura 17 da; bost urte
barru, batena bestearenaren bikoitza izango da. Zenbat
urte dituzte? EMA.: 13, 4 urte.
90) Dendara joan eta alkandora bat eta praka batzuk erosi
ditut. Markatuta dituzten prezioen artean, 100 euro egiten
dute, baina, merkealdia dela eta, alkandoran % 20ko
deskontua egin didate, eta, praketan, % 30ekoa. Guztira,
73,50 euro pagatu dut. Zenbat balio du bakoitzak? EMA.:
35 eta 65 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

36
2
x + y = 24 
91 )
 EMA. : (2, 20); (  4, 8)
y = 2x + 16 

Ekuazio-sistemak
x y 7 
92 ) 2
 EMA. : ( 3, 4 ); ( 4 , 3 )
2
x  y  25 

93) 60 euro ditugu lagun batzuen artean banatzeko. Hiru
lagun gehiago bagina, bakoitzari euro bat gutxiago
egokituko litzaiguke. Zenbat gara? EMA: 12 lagun.

94) Loradenda batean, tulipan sortak egiteko hari batzuk
daude. Tulipanak binaka jarriz gero, 4 tulipan geldituko dira
sobran, eta hirunaka jarriz gero, hari bat sobran. Zenbat
tulipan eta zenbat hari daude? EMA: 7, 18.
95) Bi zenbakiren arteko kendura 3 da, eta zenbakion
berbiduren arteko batura, 117. Bila itzazu zenbakiok. EMA:
(–6, –9); (9, 6).
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

37

Ekuazio-sistemak

96) Bi zenbakiren arteko kendura 6 da, eta
biderkadura, 216. Bila itzazu zenbakiok. EMA: (–12, –
18); (18, 12).
97) Triangelu zuzen baten hipotenusa 10 m luze da,
eta perimetroa, 24 m-koa da. Zenbat luze dira bi
katetoak? EMA.: 6 cm, 8 cm.
98) x4 + 3x² – 4 = 0 EMA.: 1, –1
99) x × (x + 5) × (x – 2) = 0 EMA: 0, –5, 2.
100) x4 – 5x² + 4 = 0 EMA: 2, –2, 1, –1.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira


Slide 14

1

Ekuazioak 3. DBH
Alfredo Ortega Loza
Unitate honetan, hauek ikasi edo gogoratuko ditugu:
•Ekuazioak eta identitateak bereizten
•Lehenengo mailako ekuazioak askatzen
•Buruketak askatzen
•2. mailako ekuazioak askatzen
•Ekuazio-sistemak askatzen
•2. mailako ekuazio-sistemak askatzen

Berdintzak

2

Berdin ikurra duten adierazpeni berdintza
esaten zaie.
Berdintzak zenbakizkoak izan daitezke:
3·(5 – 4) = 2 + 1



45/5 = 18/2



Algebraikoak ere,
izan daitezke:

Berdintzaren ezkerreko aldeari
lehen atala esaten zaio, eta
eskuinekoari, bigarren atala.
Batuketa edo kenketa ikurren
arteko letra eta zenbakimultzoei, berriz, gai deritze.

3x – 5 = x/4 +1



5a + 2b = 10a/2 + (9/2)b – (5/2)b



Kopiatu koadernoan

Identitateak

3

Berdintza algebraikoak –letrak dituztenak–
identitateak edo ekuazioak izan daitezke:
Identitateak:

3x + (5 – 1)·2 = 2x + x + 8
5a – a = 2 (7a – 5a)

Gogoratu: zenbakien
eta letren artean ezer
ez dagoenean,
BIDER (·) ikurra
irakurri behar da beti.

Ezezagunak (letra) edozein balio izanda ere,
bete egingo da berdintza. Askatzen saiatuz
gero, 0 = 0 lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazioak

4

Ekuazioak:
3x = 2x + 1. EMA.: x = 1
5a – 3 = 2 (7a – 5a). EMA.: a = 3

Ezezagunaren balio batzuetarako baino ez
da betetzen berdintza.
Balio horiek topatzeari ekuazioa askatzea
(edo ebaztea) esaten zaio.

Kopiatu koadernoan

5

Ekuazio baliokideak
Ekuazioen propietateak:

Ekuazio baten bi aldeetan batuketa edo
kenketa bera egiten badugu, hasierakoaren
ekuazio baliokide bat (emaitza berbera
duena) lortuko dugu.
Ekuazio baten bi aldeak zero ez den
adierazpen batekin biderkatzen edo
zatitzen baditugu, hasierakoaren ekuazio
baliokide bat lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (1)

6

Ekuazioetarako erregelak:

x+7=3

–x = 3 – 2x

x+7–7=3–7

–x + 2x = 3 – 2x + 2x

x=3–7

–x + 2x = 3

x = –4

x=3

Ekuazioaren alde batean
batzen dagoena kentzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazioaren alde batean
kentzen dagoena batzen
pasatzen da beste aldera.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (2)

7

3x



3
x

Kopiatu koadernoan

Ekuazioetarako erregelak:
x
3x – 7 = 2
2 1
4
3x – 7 + 7 = 2 + 7
x
 2  2  1 2
4
3x = 9
9
3
9
3

x=3

Ekuazioaren alde batean
biderkatzen dagoena zatitzen
pasatzen da beste aldera.

x

 1

4
4

x

 4  (  1)

4
x  4  (  1)

x = –4
Ekuazioaren alde batean
zatitzen dagoena biderkatzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazio-ebazpenak

8
Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio eta identitate
hauek :

 Letrak dituzten
gai guztiak
berdintzaren alde
batera eraman
behar ditugu, eta
zenbakiak,
bestera.

1) x – 3 + 5x = 4x – 7. EMA.: –2

 Parentesiak
badaude, beste
ezer baino lehen
kendu behar
ditugu.

2) 7x – 5 + 2x + 6 = –3x + 8 – x.
EMA.: 7/13
3) 2x – (6x + 1) = 3x – 5(2 – x). EMA.: 3/4
4) 7(x + 3) = 7 + 8x – 1 . EMA.: 15
5) 3x +7 – 2(x – 3) = 3(x + 4) – 2x + 1.
EMA.: Edozein; identitatea da

6) 4 – (3 – x) + 6 = 2x + 2(2x – 3).
EMA.: 13/5
7) 5 – x(3 + 1) = 2x – 6(3 – 2x).
EMA.: 23/18

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

9

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio hauek :
8)

 Izendatzaileak
badaude,
izendatzaileen
MKTa lortu behar
dugu, eta,
ondoren,
berdintzaren
alde biak MKT
horrekin
biderkatuko
ditugu.

9)

1

x + 2=

2

x - 5 . E M A : 42

3

4

x

- 3  (x - 1) = 2 x -

7 - x

2

10)

1

(x - 2) -

8

11)

. E M A : 32/29.

3
2

(2 x + 6) + x = - 4 .E M A : -6/5

3

x - 1

-

x + 1

2
12) - 4  (3 - x)

=x -

3

5

.E M A : 1

3
+ 4x =

3

 (2 x - 1) - (x + 1) E M A : 4/3.

5

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

10

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
13)

x

-

x - 3

6

14)

=1 -

2x - 5

4

6x - 1

-

5x - 6

5

=

2x + 1

7
x - 2

15) 1 -

5

- 2

- 5x =

3x - 5

7x

(x - 1)

x - 8

2
18) 2 -

3  (2 + x)

=x +

3
-

3
x - 1
5

E M A : 25/41.

2

4

17)

E M A : 34/19.

3

3

16)

E M A : 23/7.

3

E M A : -13/38.

2
-

4  (4 x + 2)

=

5
- (2 x - 1) =

5x - 3

E M A : 2.

7
x - 5
E M A : 19/9

2

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

11

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
19) x -

x

-

x - 1

2

=

6

20) - 4 x - 3 -

x

- 2  (x - 1) E M A :11/13.

6

6x + 4

= 3 - 4  (x - 1) E M A : -37/3.

7
21) 3 -

x + 1

- (4 x - 1) = x - (3 - 4 x) E M A : 13/19.

2
x 22)

1
2 -

3
2

23)

x -

x + 2

-

2

x

- 3
3 = 2 - x - 2
E M A : 2.
4
6
12
1

3x - 1

+

4
(x + 2) (3 x - 1)

= 0 . E M A : 0.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

12

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

Buruketen emaitzak lortzeko, pauso hauek dira
garrantzitsuenak:

Proposatzen den buruketa ondo ulertu. Behar diren
irakurketa guztiak egin, zer eskatzen duten ondo ulertzeko
eta azaltzen diren baldintzak ondo kontrolatzeko

Azpimarratu datu garrantzitsuenak
Ixa esleitu. Ixaren aldamenean beti idatzi zer den
Dituzun datu guztien artean, erlazioren bat topatu.
Buruketak berak ematen du askotan

Sortu duzun ekuazioa askatu
Bukatzeko, egiaztatu emaitza dituzun datu guztiekin
Kopiatu koadernoan

13

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

24) Bi zenbakiren arteko batura 76, da eta bata bestea
baino lau unitate handiagoa da. Bilatu zenbakiok. EMA.:
36, 40.
25) Ondoz ondoko hiru zenbakiren arteko batura
laurogeita hamahiru da. Zein dira zenbaki horiek. EMA.:
30, 31, 32.
26) Zenbaki baten herenaren eta hirukoitzaren arteko
batura berrogei da. Aurkitu zenbakia. EMA.: 12.
27) Bi mila laurehun metro ibili ondoren, distantziaren
herena falta zaigu bukatzeko. Zein da distantzia? EMA.:
3.600 m.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

14

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

28) Pertsona batek duen muxika-kopurua honela banatuta
geratu da: erdiak saldu egin zituen, laurdenak anaiari eman
zizkion eta, oraindik, ehun eta hogei muxika geratu zaizkio.
Zenbat muxika zituen? EMA.: 480 muxika.

29) Zuk hamabi urte badituzu eta zure aitak zure adinaren
zortzi herena, zenbat urte ditu zure aitak? EMA.: 32 urte.
30) Ondoz ondoko bi zenbaki ditugu. Handienaren
herenaren eta txikienaren arteko batura txikienaren
bikoitzaren herena da. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 2, 3.
31) Andonik Kepak baino bost euro gehiago ditu. Baina
Andonik Kepari lau euro emango balizkio, Keparen dirutza
Andonirenaren bikoitza bihurtuko litzateke. Zenbat dauka
bakoitzak? EMA.: 7 eta 2 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

15

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

32) Orain dela lau urte ume baten adinaren hirukoitza
orain duenaren bikoitza zen. Zenbat urte ditu? EMA.: 12
urte.
33) Pertsona baten adina beste lagun batenaren bikoitza
da. Orain dela zazpi urte, bi pertsonen urteen batura
lehenengoaren gaur egungo adina izan zen. Kalkula
itzazu bi pertsonen adinak. EMA.:14 eta 28 urte.
34) Aita batek berrogeita bi urte ditu, eta semeak hamar.
Zenbat urte pasa behar dira aitaren adina semearenaren
hirukoitza izateko? EMA.: 6 urte
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

16

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

35) Gripea zela eta, gela bateko sei ikasle ez ziren eskolara
etorri. Eta, honela, ikasle guztien hiru laurdenak baino bi
gehiago etorri ziren. Zenbat ikasle ziren gelan? EMA.: 32
ikasle.
36) Laukizuzen-itxurako bizkotxo batean, hiru zati egin ditugu.
Lehenengoa bizkotxoaren herena da, bigarrena bostena eta
hirugarrena lau bederatzirena; 4 cm geratu zaigu sobran.
Zenbatekoa da bizkotxoaren luzera? EMA.: 180 cm.

37) Hemendik hamaika urtera, Enekoren adina duela
hamahiru urte zuenaren bikoitza izango da. Zenbat urte ditu?
EMA.: 37 urte.00
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

17

2. mailako ekuazioak ezezagun bakarrekoak badira,
honela adieraziko ditugu:
ax2 + bx + c = 0
a, b eta c zenbaki osoak dira, eta a ezin da zeroren
berdina izan (a  0).
Ekuazio horiek formula honek askatzen ditu beti:

x

b

b  4 ac
2

2a
Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

18

x

Adibide gisa, askatu
honako ekuazio hau:

x

b  4 ac
2

2a

GOGORATU: letra baten
aurrean ezer ikusten ez
duzunean, 1 zenbakia dago

2x2 – x – 1 = 0
a=2
b = –1
c = –1

b

 (  1) 

(  1)  4  2  (  1)
2

22
4



1 1 8
4

Kopiatu koadernoan



1 3
4



1

4
2
4



1
2



2. mailako ekuazioak

19
x

b

b  4 ac
2

2a

Askatu honako ekuazio hauek:
38) x2 – x – 2 = 0 EMA.: 2, –1
39) 3x2 – 7x – 6 = 0 EMA.: 3, –2/3
40) 4x2 – 8x + 3 = 0 EMA.: 3/2, 1/2
41) x2 + 4x + 4 = 0 EMA.: –2

42) x2 + 8x + 3 = 0 EMA.: –0,4; –7,6
43) x2 + 2x + 2 = 0 EMA.: emaitzarik
ez.

Emaitza bakarra
lortzen badugu,
emaitza horri emaitza
bikoitza esango
diogu.
Batzuetan, erroak ez
du emaitzarik, eta,
orduan, esaten dugu
ekuazioak ez duela
emaitza errealik.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

20

Modu horrek 2. mailako ekuazio guztietarako balio
badu ere, badaude beste modu errazago batzuk:
1) b = 0 denean

Adibidea:

ax2 + 0x + c = 0

3x2 – 75 = 0

ax2 + c = 0

3x2 = 75

ax2 = –c
x 
2

x 
2

75
3

c

5

a
x

c

x   25 

–5

a

Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

21

GOGORATU: biderkadura bat zero bada,
biderkagairen bat zero delako da
2) c = 0 denean

Adibidea:

ax2 + bx + 0 = 0

5x2 – 7x = 0

ax2 + bx = 0

x·(5x – 7) = 0

x·(ax + b) = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

5x – 7 = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

ax + b = 0
x = –b/a
Kopiatu koadernoan

x = 7/5

22

2. mailako ekuazioak

Ebatzi honako ekuazio hauek:
44) 3x² + 5x – 2 = 0 EMA.: 1/3; –2
45) 4x² – 36 = 0 EMA: 3, –3.
46) 2x² – 15x + 7 = 0 EMA: 7, 1/2

52) 2x2 – 3 = x2 – 2x EMA.: 1,
–3
53) x – 2 = x2 EMA.:
emaitzarik ez.

47) 3x² – 75x = 0 EMA: 0, 25.
48) 7x² – 9x + 2 = 0 EMA.: 1, 2/7

54 ) 1 +

= 2x

EMA.: –1/2, 1

x

49) 2x² – 2x – 24 = 0 EMA.: 4, –3

50) x²/3 – 12 = 0 EMA: 6, –6

1

55 ) 1 +

1
x

=x -

1
x

EMA.: –1, 2

51) (x – 2)(x + 1) = 0 EMA: 2, –1
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

23

2. mailako ekuazioak. Buruketak

56) Bi zenbakiren artean, 5eko aldea dago, eta haien
arteko biderkadura 66 da. Zein dira zenbakiok? EMA.: 6,
11; –11, –6.
57) Laukizuzen batek hogei zentimetroko diagonala du.
Zein izango da azalera, altuera baino lau cm luzeago
badu oina? EMA.: 12 cm, 16 cm.
58) Bila ezazu zirkunferentzia baten luzera, haren azalera
28,26 m² bada. EMA.: 18,84 m.
59) Triangelu zuzen batean, hipotenusaren luzera 10 cm
da. Bila itzazu katetoen luzerak, bata bestea baino 2 cm
luzeagoa bada. EMA.: 6 cm, 8 cm.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

24

2. mailako ekuazioak. Buruketak

60) Demagun 7 cm-ko alanbre bat daukagula. Nondik
tolestuko dugu muturretako bat bestetik 5 cm-ra egon dadin
angelu zuzen bat osatu ondoren? EMA.: 4 cm, 3 cm.
61) Ondoz ondoko bi zenbakiren arteko biderkadura
honako hau da zenbaki horien arteko batura gehi bost
unitate. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 3, 4; –2, –1.
62) Triangelu zuzen baten azalera 90 cm2 da. Bilatu
katetoak, haien arteko aldea 3 cm-koa bada. EMA.: 12 cm
eta 15 cm.
63) Banatu 9 zenbakia bi zatitan, bakoitzaren berbiduren
arteko batura 41 izan dadin. EMA.: 4, 5.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

25

Bi ezezaguneko ekuazio-sistemak:
Bi ekuazio aldi berean betetzen badira, ekuazio-sistema
bat dugu. Bi ekuazioak zenbaki berberetarako bete
behar dira.
Adibidez:

2x  y  4 

x  2 y   3

Sistema honen emaitza x = 1 eta y = 2 da, edo beste
modu batez adierazita, (1, 2) da.
Begiratu ea egia den.
Kopiatu koadernoan

26

Ekuazio-sistemak

Lau era ditugu ekuazio-sistemak ebazteko, baina
mementoz hiru besterik ez dugu ikasiko:
1. Ordezkatzea
2. Berdintzea
3. Laburtzea

Kopiatu koadernoan

Ekuazio-sistemak

27
1. Ordezkatzea
2x  y  4 

x  2 y   3

y  4  2x



x  8  4 x   3

Ekuazio batean,
ezezagun bat bakandu:
y  4  2x 

x  2 y   3

Beste ekuazioan,
ezezagun hori ordeztu

Beste ekuazioan
ordeztu
y  4  2x 

5 x  3  8

y  4  2x

5x  5 

y  4  2x



x  2  ( 4  2 x )   3

y  4  2x

x 1 

Kopiatu koadernoan

y  4  2  1

x 1 

y  2

x  1

Ekuazio-sistemak

28

Askatu sistema hauek, ordezkatze-metodoa erabiliz:
3 x  8 y  10 
64 )
 EMA. : ( 6 ,  1)
x y 5 

2x  3y  7 
65 )
 EMA. : ( 2 ,  1)
5 x  2 y  12 



1
2
67 )
EMA. : ( 4 , )

x y
x
2
  y
3
4

3x

68 )

 4y  8

3x  1  2 y  2
 EMA. : (  1,  3 )
x  y  4


2 x  12  4 y 

66 ) 2 x
 EMA. : ( 0 ,  3 )
 2 y  6

5


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

29

Ekuazio biak
berdindu

2. Berdintzea
2x  y  4 

x  2 y   3

4  2x 

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

3 x
2

y  4  2x

Ekuazio bietan, ezezagun
bera bakandu:
8  4x  3  x

y  4  2x 

 2 y  3  x 

y  4  2x

3 x 
y
2 


 5 x  5

x 1

Kopiatu koadernoan

y  4  2 1

y2

Ekuazio-sistemak

30

Askatu sistema hauek, berdintze-metodoa erabiliz:
2 x  y  0
69 )
 EMA. : (  1, 2 )
x  y 1

3x  y  4

70 ) x
 EMA. : ( 2 , 2 )
 y3

2


x 5  4y
x
71 )
y 
2


1
 y 1 
72 ) 4
 EMA. : ( 2 ,  )
2
2( x  y )  3

x

73 )

x5 y


 EMA. : (  3, 2 )
5 x  2 y   19 


1

EMA.
:
(
3
,

)

2
2



Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

31
3. Laburtzea
2x  y  4 

x  2 y   3

Ezezagun bera duten bi
gaiak ekuazio bietan
berdinak izatea da
helburua; berdinak
baina aurkako zeinua
dutela. Horretarako,
ekuazioetako bat
zenbaki oso batez
biderkatuko dugu:
2  (2 x  y  4)

x  2 y  3 

4x  2 y  8 

x  2 y   3

Ekuazio bien
arteko batuketa
egin, gaiz gai.
4x  2 y  8



x  2 y  3 

5x  0 y  5
5x  5
x 1

Kopiatu koadernoan

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

2 1  y  4

y  42

y2

Ekuazio-sistemak

32

Askatu sistema hauek, laburtze-metodoa erabiliz:
x  y  9
74 )
 EMA. : ( 5 , 4 )
x  y 1

75 )

3x  y  3
1
EMA.
:
(
, 2)

6 x  y  0
3

76 )

2 x  3 y  4
 EMA. : (1,  2 )
x  2y  5 


 y  0
77 ) 2
 EMA. : ( 4 ,  2 )
y
 x  3
2

x

5 
1 1

78 )
EMA.
:
(
, )
6 
2
3
3 y  3  4 x  2 
x 1  y 

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

33

Askatu sistema hauek, zure ustez errazena den metodoaz:
6 x  5 y  4
79 )
 EMA. : (1,  2 )
x  y  1

82 )

3x  y  1


 EMA. : Ez du
x  2 y  2  2x  y

emaitzarik

3x  5  2 y


80 ) x
 EMA. : (3 , 2 )
 y  2x  3

3


x
83 )
x

(Sistema

y 1
2
y2
3

bateraezin a)


1

 EMA. : (  8 ,  19 )
 1


3x  y  2
1

y  EMA. : ( ,  1)
81 ) x

3
3
9 


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

34

Ekuazio-sistemak. Buruketak

84) Ostatu batean, ohe bateko eta biko gelak daude. Orotara 50
gela eta 87 ohe daude. Mota bakoitzeko zenbat gela dago?
EMA.: 13, 37 gela
85) Txakur-txapelketa batean, txakurrak eta beraien jabeak
daude. Guztira hirurogeita hamazortzi buru eta berrehun eta
hamasei hanka daude. Zenbat txakur eta pertsona daude?
EMA.: 48 pertsona, 30 txakur.
86) Bi zenbakiren arteko batura hamalau da. Handienari bat
gehitzen badiogu, txikienaren bikoitza lortzen da. Aurki itzazu
zenbakiak. EMA.: 9, 5.
87) Bi zenbakiren arteko batura 150 da, eta kendura txikienaren
laukoitza da. Aurki itzazu zenbakiok. EMA.: 125, 25
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

35

Ekuazio-sistemak. Buruketak

88) Zenbaki baten hirukoitzari beste baten laukoitza
gehitutakoan, zazpi izango da emaitza; lehenengoaren
bikoitzari bigarrena gehitutakoan, berriz, hiru izango da
emaitza. Bilatu zenbakiok. EMA.: 1, 1.
89) Bi anaia-arreben adinen arteko batura 17 da; bost urte
barru, batena bestearenaren bikoitza izango da. Zenbat
urte dituzte? EMA.: 13, 4 urte.
90) Dendara joan eta alkandora bat eta praka batzuk erosi
ditut. Markatuta dituzten prezioen artean, 100 euro egiten
dute, baina, merkealdia dela eta, alkandoran % 20ko
deskontua egin didate, eta, praketan, % 30ekoa. Guztira,
73,50 euro pagatu dut. Zenbat balio du bakoitzak? EMA.:
35 eta 65 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

36
2
x + y = 24 
91 )
 EMA. : (2, 20); (  4, 8)
y = 2x + 16 

Ekuazio-sistemak
x y 7 
92 ) 2
 EMA. : ( 3, 4 ); ( 4 , 3 )
2
x  y  25 

93) 60 euro ditugu lagun batzuen artean banatzeko. Hiru
lagun gehiago bagina, bakoitzari euro bat gutxiago
egokituko litzaiguke. Zenbat gara? EMA: 12 lagun.

94) Loradenda batean, tulipan sortak egiteko hari batzuk
daude. Tulipanak binaka jarriz gero, 4 tulipan geldituko dira
sobran, eta hirunaka jarriz gero, hari bat sobran. Zenbat
tulipan eta zenbat hari daude? EMA: 7, 18.
95) Bi zenbakiren arteko kendura 3 da, eta zenbakion
berbiduren arteko batura, 117. Bila itzazu zenbakiok. EMA:
(–6, –9); (9, 6).
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

37

Ekuazio-sistemak

96) Bi zenbakiren arteko kendura 6 da, eta
biderkadura, 216. Bila itzazu zenbakiok. EMA: (–12, –
18); (18, 12).
97) Triangelu zuzen baten hipotenusa 10 m luze da,
eta perimetroa, 24 m-koa da. Zenbat luze dira bi
katetoak? EMA.: 6 cm, 8 cm.
98) x4 + 3x² – 4 = 0 EMA.: 1, –1
99) x × (x + 5) × (x – 2) = 0 EMA: 0, –5, 2.
100) x4 – 5x² + 4 = 0 EMA: 2, –2, 1, –1.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira


Slide 15

1

Ekuazioak 3. DBH
Alfredo Ortega Loza
Unitate honetan, hauek ikasi edo gogoratuko ditugu:
•Ekuazioak eta identitateak bereizten
•Lehenengo mailako ekuazioak askatzen
•Buruketak askatzen
•2. mailako ekuazioak askatzen
•Ekuazio-sistemak askatzen
•2. mailako ekuazio-sistemak askatzen

Berdintzak

2

Berdin ikurra duten adierazpeni berdintza
esaten zaie.
Berdintzak zenbakizkoak izan daitezke:
3·(5 – 4) = 2 + 1



45/5 = 18/2



Algebraikoak ere,
izan daitezke:

Berdintzaren ezkerreko aldeari
lehen atala esaten zaio, eta
eskuinekoari, bigarren atala.
Batuketa edo kenketa ikurren
arteko letra eta zenbakimultzoei, berriz, gai deritze.

3x – 5 = x/4 +1



5a + 2b = 10a/2 + (9/2)b – (5/2)b



Kopiatu koadernoan

Identitateak

3

Berdintza algebraikoak –letrak dituztenak–
identitateak edo ekuazioak izan daitezke:
Identitateak:

3x + (5 – 1)·2 = 2x + x + 8
5a – a = 2 (7a – 5a)

Gogoratu: zenbakien
eta letren artean ezer
ez dagoenean,
BIDER (·) ikurra
irakurri behar da beti.

Ezezagunak (letra) edozein balio izanda ere,
bete egingo da berdintza. Askatzen saiatuz
gero, 0 = 0 lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazioak

4

Ekuazioak:
3x = 2x + 1. EMA.: x = 1
5a – 3 = 2 (7a – 5a). EMA.: a = 3

Ezezagunaren balio batzuetarako baino ez
da betetzen berdintza.
Balio horiek topatzeari ekuazioa askatzea
(edo ebaztea) esaten zaio.

Kopiatu koadernoan

5

Ekuazio baliokideak
Ekuazioen propietateak:

Ekuazio baten bi aldeetan batuketa edo
kenketa bera egiten badugu, hasierakoaren
ekuazio baliokide bat (emaitza berbera
duena) lortuko dugu.
Ekuazio baten bi aldeak zero ez den
adierazpen batekin biderkatzen edo
zatitzen baditugu, hasierakoaren ekuazio
baliokide bat lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (1)

6

Ekuazioetarako erregelak:

x+7=3

–x = 3 – 2x

x+7–7=3–7

–x + 2x = 3 – 2x + 2x

x=3–7

–x + 2x = 3

x = –4

x=3

Ekuazioaren alde batean
batzen dagoena kentzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazioaren alde batean
kentzen dagoena batzen
pasatzen da beste aldera.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (2)

7

3x



3
x

Kopiatu koadernoan

Ekuazioetarako erregelak:
x
3x – 7 = 2
2 1
4
3x – 7 + 7 = 2 + 7
x
 2  2  1 2
4
3x = 9
9
3
9
3

x=3

Ekuazioaren alde batean
biderkatzen dagoena zatitzen
pasatzen da beste aldera.

x

 1

4
4

x

 4  (  1)

4
x  4  (  1)

x = –4
Ekuazioaren alde batean
zatitzen dagoena biderkatzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazio-ebazpenak

8
Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio eta identitate
hauek :

 Letrak dituzten
gai guztiak
berdintzaren alde
batera eraman
behar ditugu, eta
zenbakiak,
bestera.

1) x – 3 + 5x = 4x – 7. EMA.: –2

 Parentesiak
badaude, beste
ezer baino lehen
kendu behar
ditugu.

2) 7x – 5 + 2x + 6 = –3x + 8 – x.
EMA.: 7/13
3) 2x – (6x + 1) = 3x – 5(2 – x). EMA.: 3/4
4) 7(x + 3) = 7 + 8x – 1 . EMA.: 15
5) 3x +7 – 2(x – 3) = 3(x + 4) – 2x + 1.
EMA.: Edozein; identitatea da

6) 4 – (3 – x) + 6 = 2x + 2(2x – 3).
EMA.: 13/5
7) 5 – x(3 + 1) = 2x – 6(3 – 2x).
EMA.: 23/18

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

9

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio hauek :
8)

 Izendatzaileak
badaude,
izendatzaileen
MKTa lortu behar
dugu, eta,
ondoren,
berdintzaren
alde biak MKT
horrekin
biderkatuko
ditugu.

9)

1

x + 2=

2

x - 5 . E M A : 42

3

4

x

- 3  (x - 1) = 2 x -

7 - x

2

10)

1

(x - 2) -

8

11)

. E M A : 32/29.

3
2

(2 x + 6) + x = - 4 .E M A : -6/5

3

x - 1

-

x + 1

2
12) - 4  (3 - x)

=x -

3

5

.E M A : 1

3
+ 4x =

3

 (2 x - 1) - (x + 1) E M A : 4/3.

5

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

10

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
13)

x

-

x - 3

6

14)

=1 -

2x - 5

4

6x - 1

-

5x - 6

5

=

2x + 1

7
x - 2

15) 1 -

5

- 2

- 5x =

3x - 5

7x

(x - 1)

x - 8

2
18) 2 -

3  (2 + x)

=x +

3
-

3
x - 1
5

E M A : 25/41.

2

4

17)

E M A : 34/19.

3

3

16)

E M A : 23/7.

3

E M A : -13/38.

2
-

4  (4 x + 2)

=

5
- (2 x - 1) =

5x - 3

E M A : 2.

7
x - 5
E M A : 19/9

2

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

11

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
19) x -

x

-

x - 1

2

=

6

20) - 4 x - 3 -

x

- 2  (x - 1) E M A :11/13.

6

6x + 4

= 3 - 4  (x - 1) E M A : -37/3.

7
21) 3 -

x + 1

- (4 x - 1) = x - (3 - 4 x) E M A : 13/19.

2
x 22)

1
2 -

3
2

23)

x -

x + 2

-

2

x

- 3
3 = 2 - x - 2
E M A : 2.
4
6
12
1

3x - 1

+

4
(x + 2) (3 x - 1)

= 0 . E M A : 0.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

12

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

Buruketen emaitzak lortzeko, pauso hauek dira
garrantzitsuenak:

Proposatzen den buruketa ondo ulertu. Behar diren
irakurketa guztiak egin, zer eskatzen duten ondo ulertzeko
eta azaltzen diren baldintzak ondo kontrolatzeko

Azpimarratu datu garrantzitsuenak
Ixa esleitu. Ixaren aldamenean beti idatzi zer den
Dituzun datu guztien artean, erlazioren bat topatu.
Buruketak berak ematen du askotan

Sortu duzun ekuazioa askatu
Bukatzeko, egiaztatu emaitza dituzun datu guztiekin
Kopiatu koadernoan

13

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

24) Bi zenbakiren arteko batura 76, da eta bata bestea
baino lau unitate handiagoa da. Bilatu zenbakiok. EMA.:
36, 40.
25) Ondoz ondoko hiru zenbakiren arteko batura
laurogeita hamahiru da. Zein dira zenbaki horiek. EMA.:
30, 31, 32.
26) Zenbaki baten herenaren eta hirukoitzaren arteko
batura berrogei da. Aurkitu zenbakia. EMA.: 12.
27) Bi mila laurehun metro ibili ondoren, distantziaren
herena falta zaigu bukatzeko. Zein da distantzia? EMA.:
3.600 m.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

14

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

28) Pertsona batek duen muxika-kopurua honela banatuta
geratu da: erdiak saldu egin zituen, laurdenak anaiari eman
zizkion eta, oraindik, ehun eta hogei muxika geratu zaizkio.
Zenbat muxika zituen? EMA.: 480 muxika.

29) Zuk hamabi urte badituzu eta zure aitak zure adinaren
zortzi herena, zenbat urte ditu zure aitak? EMA.: 32 urte.
30) Ondoz ondoko bi zenbaki ditugu. Handienaren
herenaren eta txikienaren arteko batura txikienaren
bikoitzaren herena da. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 2, 3.
31) Andonik Kepak baino bost euro gehiago ditu. Baina
Andonik Kepari lau euro emango balizkio, Keparen dirutza
Andonirenaren bikoitza bihurtuko litzateke. Zenbat dauka
bakoitzak? EMA.: 7 eta 2 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

15

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

32) Orain dela lau urte ume baten adinaren hirukoitza
orain duenaren bikoitza zen. Zenbat urte ditu? EMA.: 12
urte.
33) Pertsona baten adina beste lagun batenaren bikoitza
da. Orain dela zazpi urte, bi pertsonen urteen batura
lehenengoaren gaur egungo adina izan zen. Kalkula
itzazu bi pertsonen adinak. EMA.:14 eta 28 urte.
34) Aita batek berrogeita bi urte ditu, eta semeak hamar.
Zenbat urte pasa behar dira aitaren adina semearenaren
hirukoitza izateko? EMA.: 6 urte
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

16

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

35) Gripea zela eta, gela bateko sei ikasle ez ziren eskolara
etorri. Eta, honela, ikasle guztien hiru laurdenak baino bi
gehiago etorri ziren. Zenbat ikasle ziren gelan? EMA.: 32
ikasle.
36) Laukizuzen-itxurako bizkotxo batean, hiru zati egin ditugu.
Lehenengoa bizkotxoaren herena da, bigarrena bostena eta
hirugarrena lau bederatzirena; 4 cm geratu zaigu sobran.
Zenbatekoa da bizkotxoaren luzera? EMA.: 180 cm.

37) Hemendik hamaika urtera, Enekoren adina duela
hamahiru urte zuenaren bikoitza izango da. Zenbat urte ditu?
EMA.: 37 urte.00
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

17

2. mailako ekuazioak ezezagun bakarrekoak badira,
honela adieraziko ditugu:
ax2 + bx + c = 0
a, b eta c zenbaki osoak dira, eta a ezin da zeroren
berdina izan (a  0).
Ekuazio horiek formula honek askatzen ditu beti:

x

b

b  4 ac
2

2a
Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

18

x

Adibide gisa, askatu
honako ekuazio hau:

x

b  4 ac
2

2a

GOGORATU: letra baten
aurrean ezer ikusten ez
duzunean, 1 zenbakia dago

2x2 – x – 1 = 0
a=2
b = –1
c = –1

b

 (  1) 

(  1)  4  2  (  1)
2

22
4



1 1 8
4

Kopiatu koadernoan



1 3
4



1

4
2
4



1
2



2. mailako ekuazioak

19
x

b

b  4 ac
2

2a

Askatu honako ekuazio hauek:
38) x2 – x – 2 = 0 EMA.: 2, –1
39) 3x2 – 7x – 6 = 0 EMA.: 3, –2/3
40) 4x2 – 8x + 3 = 0 EMA.: 3/2, 1/2
41) x2 + 4x + 4 = 0 EMA.: –2

42) x2 + 8x + 3 = 0 EMA.: –0,4; –7,6
43) x2 + 2x + 2 = 0 EMA.: emaitzarik
ez.

Emaitza bakarra
lortzen badugu,
emaitza horri emaitza
bikoitza esango
diogu.
Batzuetan, erroak ez
du emaitzarik, eta,
orduan, esaten dugu
ekuazioak ez duela
emaitza errealik.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

20

Modu horrek 2. mailako ekuazio guztietarako balio
badu ere, badaude beste modu errazago batzuk:
1) b = 0 denean

Adibidea:

ax2 + 0x + c = 0

3x2 – 75 = 0

ax2 + c = 0

3x2 = 75

ax2 = –c
x 
2

x 
2

75
3

c

5

a
x

c

x   25 

–5

a

Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

21

GOGORATU: biderkadura bat zero bada,
biderkagairen bat zero delako da
2) c = 0 denean

Adibidea:

ax2 + bx + 0 = 0

5x2 – 7x = 0

ax2 + bx = 0

x·(5x – 7) = 0

x·(ax + b) = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

5x – 7 = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

ax + b = 0
x = –b/a
Kopiatu koadernoan

x = 7/5

22

2. mailako ekuazioak

Ebatzi honako ekuazio hauek:
44) 3x² + 5x – 2 = 0 EMA.: 1/3; –2
45) 4x² – 36 = 0 EMA: 3, –3.
46) 2x² – 15x + 7 = 0 EMA: 7, 1/2

52) 2x2 – 3 = x2 – 2x EMA.: 1,
–3
53) x – 2 = x2 EMA.:
emaitzarik ez.

47) 3x² – 75x = 0 EMA: 0, 25.
48) 7x² – 9x + 2 = 0 EMA.: 1, 2/7

54 ) 1 +

= 2x

EMA.: –1/2, 1

x

49) 2x² – 2x – 24 = 0 EMA.: 4, –3

50) x²/3 – 12 = 0 EMA: 6, –6

1

55 ) 1 +

1
x

=x -

1
x

EMA.: –1, 2

51) (x – 2)(x + 1) = 0 EMA: 2, –1
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

23

2. mailako ekuazioak. Buruketak

56) Bi zenbakiren artean, 5eko aldea dago, eta haien
arteko biderkadura 66 da. Zein dira zenbakiok? EMA.: 6,
11; –11, –6.
57) Laukizuzen batek hogei zentimetroko diagonala du.
Zein izango da azalera, altuera baino lau cm luzeago
badu oina? EMA.: 12 cm, 16 cm.
58) Bila ezazu zirkunferentzia baten luzera, haren azalera
28,26 m² bada. EMA.: 18,84 m.
59) Triangelu zuzen batean, hipotenusaren luzera 10 cm
da. Bila itzazu katetoen luzerak, bata bestea baino 2 cm
luzeagoa bada. EMA.: 6 cm, 8 cm.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

24

2. mailako ekuazioak. Buruketak

60) Demagun 7 cm-ko alanbre bat daukagula. Nondik
tolestuko dugu muturretako bat bestetik 5 cm-ra egon dadin
angelu zuzen bat osatu ondoren? EMA.: 4 cm, 3 cm.
61) Ondoz ondoko bi zenbakiren arteko biderkadura
honako hau da zenbaki horien arteko batura gehi bost
unitate. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 3, 4; –2, –1.
62) Triangelu zuzen baten azalera 90 cm2 da. Bilatu
katetoak, haien arteko aldea 3 cm-koa bada. EMA.: 12 cm
eta 15 cm.
63) Banatu 9 zenbakia bi zatitan, bakoitzaren berbiduren
arteko batura 41 izan dadin. EMA.: 4, 5.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

25

Bi ezezaguneko ekuazio-sistemak:
Bi ekuazio aldi berean betetzen badira, ekuazio-sistema
bat dugu. Bi ekuazioak zenbaki berberetarako bete
behar dira.
Adibidez:

2x  y  4 

x  2 y   3

Sistema honen emaitza x = 1 eta y = 2 da, edo beste
modu batez adierazita, (1, 2) da.
Begiratu ea egia den.
Kopiatu koadernoan

26

Ekuazio-sistemak

Lau era ditugu ekuazio-sistemak ebazteko, baina
mementoz hiru besterik ez dugu ikasiko:
1. Ordezkatzea
2. Berdintzea
3. Laburtzea

Kopiatu koadernoan

Ekuazio-sistemak

27
1. Ordezkatzea
2x  y  4 

x  2 y   3

y  4  2x



x  8  4 x   3

Ekuazio batean,
ezezagun bat bakandu:
y  4  2x 

x  2 y   3

Beste ekuazioan,
ezezagun hori ordeztu

Beste ekuazioan
ordeztu
y  4  2x 

5 x  3  8

y  4  2x

5x  5 

y  4  2x



x  2  ( 4  2 x )   3

y  4  2x

x 1 

Kopiatu koadernoan

y  4  2  1

x 1 

y  2

x  1

Ekuazio-sistemak

28

Askatu sistema hauek, ordezkatze-metodoa erabiliz:
3 x  8 y  10 
64 )
 EMA. : ( 6 ,  1)
x y 5 

2x  3y  7 
65 )
 EMA. : ( 2 ,  1)
5 x  2 y  12 



1
2
67 )
EMA. : ( 4 , )

x y
x
2
  y
3
4

3x

68 )

 4y  8

3x  1  2 y  2
 EMA. : (  1,  3 )
x  y  4


2 x  12  4 y 

66 ) 2 x
 EMA. : ( 0 ,  3 )
 2 y  6

5


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

29

Ekuazio biak
berdindu

2. Berdintzea
2x  y  4 

x  2 y   3

4  2x 

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

3 x
2

y  4  2x

Ekuazio bietan, ezezagun
bera bakandu:
8  4x  3  x

y  4  2x 

 2 y  3  x 

y  4  2x

3 x 
y
2 


 5 x  5

x 1

Kopiatu koadernoan

y  4  2 1

y2

Ekuazio-sistemak

30

Askatu sistema hauek, berdintze-metodoa erabiliz:
2 x  y  0
69 )
 EMA. : (  1, 2 )
x  y 1

3x  y  4

70 ) x
 EMA. : ( 2 , 2 )
 y3

2


x 5  4y
x
71 )
y 
2


1
 y 1 
72 ) 4
 EMA. : ( 2 ,  )
2
2( x  y )  3

x

73 )

x5 y


 EMA. : (  3, 2 )
5 x  2 y   19 


1

EMA.
:
(
3
,

)

2
2



Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

31
3. Laburtzea
2x  y  4 

x  2 y   3

Ezezagun bera duten bi
gaiak ekuazio bietan
berdinak izatea da
helburua; berdinak
baina aurkako zeinua
dutela. Horretarako,
ekuazioetako bat
zenbaki oso batez
biderkatuko dugu:
2  (2 x  y  4)

x  2 y  3 

4x  2 y  8 

x  2 y   3

Ekuazio bien
arteko batuketa
egin, gaiz gai.
4x  2 y  8



x  2 y  3 

5x  0 y  5
5x  5
x 1

Kopiatu koadernoan

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

2 1  y  4

y  42

y2

Ekuazio-sistemak

32

Askatu sistema hauek, laburtze-metodoa erabiliz:
x  y  9
74 )
 EMA. : ( 5 , 4 )
x  y 1

75 )

3x  y  3
1
EMA.
:
(
, 2)

6 x  y  0
3

76 )

2 x  3 y  4
 EMA. : (1,  2 )
x  2y  5 


 y  0
77 ) 2
 EMA. : ( 4 ,  2 )
y
 x  3
2

x

5 
1 1

78 )
EMA.
:
(
, )
6 
2
3
3 y  3  4 x  2 
x 1  y 

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

33

Askatu sistema hauek, zure ustez errazena den metodoaz:
6 x  5 y  4
79 )
 EMA. : (1,  2 )
x  y  1

82 )

3x  y  1


 EMA. : Ez du
x  2 y  2  2x  y

emaitzarik

3x  5  2 y


80 ) x
 EMA. : (3 , 2 )
 y  2x  3

3


x
83 )
x

(Sistema

y 1
2
y2
3

bateraezin a)


1

 EMA. : (  8 ,  19 )
 1


3x  y  2
1

y  EMA. : ( ,  1)
81 ) x

3
3
9 


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

34

Ekuazio-sistemak. Buruketak

84) Ostatu batean, ohe bateko eta biko gelak daude. Orotara 50
gela eta 87 ohe daude. Mota bakoitzeko zenbat gela dago?
EMA.: 13, 37 gela
85) Txakur-txapelketa batean, txakurrak eta beraien jabeak
daude. Guztira hirurogeita hamazortzi buru eta berrehun eta
hamasei hanka daude. Zenbat txakur eta pertsona daude?
EMA.: 48 pertsona, 30 txakur.
86) Bi zenbakiren arteko batura hamalau da. Handienari bat
gehitzen badiogu, txikienaren bikoitza lortzen da. Aurki itzazu
zenbakiak. EMA.: 9, 5.
87) Bi zenbakiren arteko batura 150 da, eta kendura txikienaren
laukoitza da. Aurki itzazu zenbakiok. EMA.: 125, 25
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

35

Ekuazio-sistemak. Buruketak

88) Zenbaki baten hirukoitzari beste baten laukoitza
gehitutakoan, zazpi izango da emaitza; lehenengoaren
bikoitzari bigarrena gehitutakoan, berriz, hiru izango da
emaitza. Bilatu zenbakiok. EMA.: 1, 1.
89) Bi anaia-arreben adinen arteko batura 17 da; bost urte
barru, batena bestearenaren bikoitza izango da. Zenbat
urte dituzte? EMA.: 13, 4 urte.
90) Dendara joan eta alkandora bat eta praka batzuk erosi
ditut. Markatuta dituzten prezioen artean, 100 euro egiten
dute, baina, merkealdia dela eta, alkandoran % 20ko
deskontua egin didate, eta, praketan, % 30ekoa. Guztira,
73,50 euro pagatu dut. Zenbat balio du bakoitzak? EMA.:
35 eta 65 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

36
2
x + y = 24 
91 )
 EMA. : (2, 20); (  4, 8)
y = 2x + 16 

Ekuazio-sistemak
x y 7 
92 ) 2
 EMA. : ( 3, 4 ); ( 4 , 3 )
2
x  y  25 

93) 60 euro ditugu lagun batzuen artean banatzeko. Hiru
lagun gehiago bagina, bakoitzari euro bat gutxiago
egokituko litzaiguke. Zenbat gara? EMA: 12 lagun.

94) Loradenda batean, tulipan sortak egiteko hari batzuk
daude. Tulipanak binaka jarriz gero, 4 tulipan geldituko dira
sobran, eta hirunaka jarriz gero, hari bat sobran. Zenbat
tulipan eta zenbat hari daude? EMA: 7, 18.
95) Bi zenbakiren arteko kendura 3 da, eta zenbakion
berbiduren arteko batura, 117. Bila itzazu zenbakiok. EMA:
(–6, –9); (9, 6).
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

37

Ekuazio-sistemak

96) Bi zenbakiren arteko kendura 6 da, eta
biderkadura, 216. Bila itzazu zenbakiok. EMA: (–12, –
18); (18, 12).
97) Triangelu zuzen baten hipotenusa 10 m luze da,
eta perimetroa, 24 m-koa da. Zenbat luze dira bi
katetoak? EMA.: 6 cm, 8 cm.
98) x4 + 3x² – 4 = 0 EMA.: 1, –1
99) x × (x + 5) × (x – 2) = 0 EMA: 0, –5, 2.
100) x4 – 5x² + 4 = 0 EMA: 2, –2, 1, –1.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira


Slide 16

1

Ekuazioak 3. DBH
Alfredo Ortega Loza
Unitate honetan, hauek ikasi edo gogoratuko ditugu:
•Ekuazioak eta identitateak bereizten
•Lehenengo mailako ekuazioak askatzen
•Buruketak askatzen
•2. mailako ekuazioak askatzen
•Ekuazio-sistemak askatzen
•2. mailako ekuazio-sistemak askatzen

Berdintzak

2

Berdin ikurra duten adierazpeni berdintza
esaten zaie.
Berdintzak zenbakizkoak izan daitezke:
3·(5 – 4) = 2 + 1



45/5 = 18/2



Algebraikoak ere,
izan daitezke:

Berdintzaren ezkerreko aldeari
lehen atala esaten zaio, eta
eskuinekoari, bigarren atala.
Batuketa edo kenketa ikurren
arteko letra eta zenbakimultzoei, berriz, gai deritze.

3x – 5 = x/4 +1



5a + 2b = 10a/2 + (9/2)b – (5/2)b



Kopiatu koadernoan

Identitateak

3

Berdintza algebraikoak –letrak dituztenak–
identitateak edo ekuazioak izan daitezke:
Identitateak:

3x + (5 – 1)·2 = 2x + x + 8
5a – a = 2 (7a – 5a)

Gogoratu: zenbakien
eta letren artean ezer
ez dagoenean,
BIDER (·) ikurra
irakurri behar da beti.

Ezezagunak (letra) edozein balio izanda ere,
bete egingo da berdintza. Askatzen saiatuz
gero, 0 = 0 lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazioak

4

Ekuazioak:
3x = 2x + 1. EMA.: x = 1
5a – 3 = 2 (7a – 5a). EMA.: a = 3

Ezezagunaren balio batzuetarako baino ez
da betetzen berdintza.
Balio horiek topatzeari ekuazioa askatzea
(edo ebaztea) esaten zaio.

Kopiatu koadernoan

5

Ekuazio baliokideak
Ekuazioen propietateak:

Ekuazio baten bi aldeetan batuketa edo
kenketa bera egiten badugu, hasierakoaren
ekuazio baliokide bat (emaitza berbera
duena) lortuko dugu.
Ekuazio baten bi aldeak zero ez den
adierazpen batekin biderkatzen edo
zatitzen baditugu, hasierakoaren ekuazio
baliokide bat lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (1)

6

Ekuazioetarako erregelak:

x+7=3

–x = 3 – 2x

x+7–7=3–7

–x + 2x = 3 – 2x + 2x

x=3–7

–x + 2x = 3

x = –4

x=3

Ekuazioaren alde batean
batzen dagoena kentzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazioaren alde batean
kentzen dagoena batzen
pasatzen da beste aldera.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (2)

7

3x



3
x

Kopiatu koadernoan

Ekuazioetarako erregelak:
x
3x – 7 = 2
2 1
4
3x – 7 + 7 = 2 + 7
x
 2  2  1 2
4
3x = 9
9
3
9
3

x=3

Ekuazioaren alde batean
biderkatzen dagoena zatitzen
pasatzen da beste aldera.

x

 1

4
4

x

 4  (  1)

4
x  4  (  1)

x = –4
Ekuazioaren alde batean
zatitzen dagoena biderkatzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazio-ebazpenak

8
Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio eta identitate
hauek :

 Letrak dituzten
gai guztiak
berdintzaren alde
batera eraman
behar ditugu, eta
zenbakiak,
bestera.

1) x – 3 + 5x = 4x – 7. EMA.: –2

 Parentesiak
badaude, beste
ezer baino lehen
kendu behar
ditugu.

2) 7x – 5 + 2x + 6 = –3x + 8 – x.
EMA.: 7/13
3) 2x – (6x + 1) = 3x – 5(2 – x). EMA.: 3/4
4) 7(x + 3) = 7 + 8x – 1 . EMA.: 15
5) 3x +7 – 2(x – 3) = 3(x + 4) – 2x + 1.
EMA.: Edozein; identitatea da

6) 4 – (3 – x) + 6 = 2x + 2(2x – 3).
EMA.: 13/5
7) 5 – x(3 + 1) = 2x – 6(3 – 2x).
EMA.: 23/18

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

9

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio hauek :
8)

 Izendatzaileak
badaude,
izendatzaileen
MKTa lortu behar
dugu, eta,
ondoren,
berdintzaren
alde biak MKT
horrekin
biderkatuko
ditugu.

9)

1

x + 2=

2

x - 5 . E M A : 42

3

4

x

- 3  (x - 1) = 2 x -

7 - x

2

10)

1

(x - 2) -

8

11)

. E M A : 32/29.

3
2

(2 x + 6) + x = - 4 .E M A : -6/5

3

x - 1

-

x + 1

2
12) - 4  (3 - x)

=x -

3

5

.E M A : 1

3
+ 4x =

3

 (2 x - 1) - (x + 1) E M A : 4/3.

5

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

10

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
13)

x

-

x - 3

6

14)

=1 -

2x - 5

4

6x - 1

-

5x - 6

5

=

2x + 1

7
x - 2

15) 1 -

5

- 2

- 5x =

3x - 5

7x

(x - 1)

x - 8

2
18) 2 -

3  (2 + x)

=x +

3
-

3
x - 1
5

E M A : 25/41.

2

4

17)

E M A : 34/19.

3

3

16)

E M A : 23/7.

3

E M A : -13/38.

2
-

4  (4 x + 2)

=

5
- (2 x - 1) =

5x - 3

E M A : 2.

7
x - 5
E M A : 19/9

2

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

11

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
19) x -

x

-

x - 1

2

=

6

20) - 4 x - 3 -

x

- 2  (x - 1) E M A :11/13.

6

6x + 4

= 3 - 4  (x - 1) E M A : -37/3.

7
21) 3 -

x + 1

- (4 x - 1) = x - (3 - 4 x) E M A : 13/19.

2
x 22)

1
2 -

3
2

23)

x -

x + 2

-

2

x

- 3
3 = 2 - x - 2
E M A : 2.
4
6
12
1

3x - 1

+

4
(x + 2) (3 x - 1)

= 0 . E M A : 0.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

12

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

Buruketen emaitzak lortzeko, pauso hauek dira
garrantzitsuenak:

Proposatzen den buruketa ondo ulertu. Behar diren
irakurketa guztiak egin, zer eskatzen duten ondo ulertzeko
eta azaltzen diren baldintzak ondo kontrolatzeko

Azpimarratu datu garrantzitsuenak
Ixa esleitu. Ixaren aldamenean beti idatzi zer den
Dituzun datu guztien artean, erlazioren bat topatu.
Buruketak berak ematen du askotan

Sortu duzun ekuazioa askatu
Bukatzeko, egiaztatu emaitza dituzun datu guztiekin
Kopiatu koadernoan

13

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

24) Bi zenbakiren arteko batura 76, da eta bata bestea
baino lau unitate handiagoa da. Bilatu zenbakiok. EMA.:
36, 40.
25) Ondoz ondoko hiru zenbakiren arteko batura
laurogeita hamahiru da. Zein dira zenbaki horiek. EMA.:
30, 31, 32.
26) Zenbaki baten herenaren eta hirukoitzaren arteko
batura berrogei da. Aurkitu zenbakia. EMA.: 12.
27) Bi mila laurehun metro ibili ondoren, distantziaren
herena falta zaigu bukatzeko. Zein da distantzia? EMA.:
3.600 m.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

14

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

28) Pertsona batek duen muxika-kopurua honela banatuta
geratu da: erdiak saldu egin zituen, laurdenak anaiari eman
zizkion eta, oraindik, ehun eta hogei muxika geratu zaizkio.
Zenbat muxika zituen? EMA.: 480 muxika.

29) Zuk hamabi urte badituzu eta zure aitak zure adinaren
zortzi herena, zenbat urte ditu zure aitak? EMA.: 32 urte.
30) Ondoz ondoko bi zenbaki ditugu. Handienaren
herenaren eta txikienaren arteko batura txikienaren
bikoitzaren herena da. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 2, 3.
31) Andonik Kepak baino bost euro gehiago ditu. Baina
Andonik Kepari lau euro emango balizkio, Keparen dirutza
Andonirenaren bikoitza bihurtuko litzateke. Zenbat dauka
bakoitzak? EMA.: 7 eta 2 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

15

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

32) Orain dela lau urte ume baten adinaren hirukoitza
orain duenaren bikoitza zen. Zenbat urte ditu? EMA.: 12
urte.
33) Pertsona baten adina beste lagun batenaren bikoitza
da. Orain dela zazpi urte, bi pertsonen urteen batura
lehenengoaren gaur egungo adina izan zen. Kalkula
itzazu bi pertsonen adinak. EMA.:14 eta 28 urte.
34) Aita batek berrogeita bi urte ditu, eta semeak hamar.
Zenbat urte pasa behar dira aitaren adina semearenaren
hirukoitza izateko? EMA.: 6 urte
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

16

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

35) Gripea zela eta, gela bateko sei ikasle ez ziren eskolara
etorri. Eta, honela, ikasle guztien hiru laurdenak baino bi
gehiago etorri ziren. Zenbat ikasle ziren gelan? EMA.: 32
ikasle.
36) Laukizuzen-itxurako bizkotxo batean, hiru zati egin ditugu.
Lehenengoa bizkotxoaren herena da, bigarrena bostena eta
hirugarrena lau bederatzirena; 4 cm geratu zaigu sobran.
Zenbatekoa da bizkotxoaren luzera? EMA.: 180 cm.

37) Hemendik hamaika urtera, Enekoren adina duela
hamahiru urte zuenaren bikoitza izango da. Zenbat urte ditu?
EMA.: 37 urte.00
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

17

2. mailako ekuazioak ezezagun bakarrekoak badira,
honela adieraziko ditugu:
ax2 + bx + c = 0
a, b eta c zenbaki osoak dira, eta a ezin da zeroren
berdina izan (a  0).
Ekuazio horiek formula honek askatzen ditu beti:

x

b

b  4 ac
2

2a
Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

18

x

Adibide gisa, askatu
honako ekuazio hau:

x

b  4 ac
2

2a

GOGORATU: letra baten
aurrean ezer ikusten ez
duzunean, 1 zenbakia dago

2x2 – x – 1 = 0
a=2
b = –1
c = –1

b

 (  1) 

(  1)  4  2  (  1)
2

22
4



1 1 8
4

Kopiatu koadernoan



1 3
4



1

4
2
4



1
2



2. mailako ekuazioak

19
x

b

b  4 ac
2

2a

Askatu honako ekuazio hauek:
38) x2 – x – 2 = 0 EMA.: 2, –1
39) 3x2 – 7x – 6 = 0 EMA.: 3, –2/3
40) 4x2 – 8x + 3 = 0 EMA.: 3/2, 1/2
41) x2 + 4x + 4 = 0 EMA.: –2

42) x2 + 8x + 3 = 0 EMA.: –0,4; –7,6
43) x2 + 2x + 2 = 0 EMA.: emaitzarik
ez.

Emaitza bakarra
lortzen badugu,
emaitza horri emaitza
bikoitza esango
diogu.
Batzuetan, erroak ez
du emaitzarik, eta,
orduan, esaten dugu
ekuazioak ez duela
emaitza errealik.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

20

Modu horrek 2. mailako ekuazio guztietarako balio
badu ere, badaude beste modu errazago batzuk:
1) b = 0 denean

Adibidea:

ax2 + 0x + c = 0

3x2 – 75 = 0

ax2 + c = 0

3x2 = 75

ax2 = –c
x 
2

x 
2

75
3

c

5

a
x

c

x   25 

–5

a

Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

21

GOGORATU: biderkadura bat zero bada,
biderkagairen bat zero delako da
2) c = 0 denean

Adibidea:

ax2 + bx + 0 = 0

5x2 – 7x = 0

ax2 + bx = 0

x·(5x – 7) = 0

x·(ax + b) = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

5x – 7 = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

ax + b = 0
x = –b/a
Kopiatu koadernoan

x = 7/5

22

2. mailako ekuazioak

Ebatzi honako ekuazio hauek:
44) 3x² + 5x – 2 = 0 EMA.: 1/3; –2
45) 4x² – 36 = 0 EMA: 3, –3.
46) 2x² – 15x + 7 = 0 EMA: 7, 1/2

52) 2x2 – 3 = x2 – 2x EMA.: 1,
–3
53) x – 2 = x2 EMA.:
emaitzarik ez.

47) 3x² – 75x = 0 EMA: 0, 25.
48) 7x² – 9x + 2 = 0 EMA.: 1, 2/7

54 ) 1 +

= 2x

EMA.: –1/2, 1

x

49) 2x² – 2x – 24 = 0 EMA.: 4, –3

50) x²/3 – 12 = 0 EMA: 6, –6

1

55 ) 1 +

1
x

=x -

1
x

EMA.: –1, 2

51) (x – 2)(x + 1) = 0 EMA: 2, –1
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

23

2. mailako ekuazioak. Buruketak

56) Bi zenbakiren artean, 5eko aldea dago, eta haien
arteko biderkadura 66 da. Zein dira zenbakiok? EMA.: 6,
11; –11, –6.
57) Laukizuzen batek hogei zentimetroko diagonala du.
Zein izango da azalera, altuera baino lau cm luzeago
badu oina? EMA.: 12 cm, 16 cm.
58) Bila ezazu zirkunferentzia baten luzera, haren azalera
28,26 m² bada. EMA.: 18,84 m.
59) Triangelu zuzen batean, hipotenusaren luzera 10 cm
da. Bila itzazu katetoen luzerak, bata bestea baino 2 cm
luzeagoa bada. EMA.: 6 cm, 8 cm.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

24

2. mailako ekuazioak. Buruketak

60) Demagun 7 cm-ko alanbre bat daukagula. Nondik
tolestuko dugu muturretako bat bestetik 5 cm-ra egon dadin
angelu zuzen bat osatu ondoren? EMA.: 4 cm, 3 cm.
61) Ondoz ondoko bi zenbakiren arteko biderkadura
honako hau da zenbaki horien arteko batura gehi bost
unitate. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 3, 4; –2, –1.
62) Triangelu zuzen baten azalera 90 cm2 da. Bilatu
katetoak, haien arteko aldea 3 cm-koa bada. EMA.: 12 cm
eta 15 cm.
63) Banatu 9 zenbakia bi zatitan, bakoitzaren berbiduren
arteko batura 41 izan dadin. EMA.: 4, 5.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

25

Bi ezezaguneko ekuazio-sistemak:
Bi ekuazio aldi berean betetzen badira, ekuazio-sistema
bat dugu. Bi ekuazioak zenbaki berberetarako bete
behar dira.
Adibidez:

2x  y  4 

x  2 y   3

Sistema honen emaitza x = 1 eta y = 2 da, edo beste
modu batez adierazita, (1, 2) da.
Begiratu ea egia den.
Kopiatu koadernoan

26

Ekuazio-sistemak

Lau era ditugu ekuazio-sistemak ebazteko, baina
mementoz hiru besterik ez dugu ikasiko:
1. Ordezkatzea
2. Berdintzea
3. Laburtzea

Kopiatu koadernoan

Ekuazio-sistemak

27
1. Ordezkatzea
2x  y  4 

x  2 y   3

y  4  2x



x  8  4 x   3

Ekuazio batean,
ezezagun bat bakandu:
y  4  2x 

x  2 y   3

Beste ekuazioan,
ezezagun hori ordeztu

Beste ekuazioan
ordeztu
y  4  2x 

5 x  3  8

y  4  2x

5x  5 

y  4  2x



x  2  ( 4  2 x )   3

y  4  2x

x 1 

Kopiatu koadernoan

y  4  2  1

x 1 

y  2

x  1

Ekuazio-sistemak

28

Askatu sistema hauek, ordezkatze-metodoa erabiliz:
3 x  8 y  10 
64 )
 EMA. : ( 6 ,  1)
x y 5 

2x  3y  7 
65 )
 EMA. : ( 2 ,  1)
5 x  2 y  12 



1
2
67 )
EMA. : ( 4 , )

x y
x
2
  y
3
4

3x

68 )

 4y  8

3x  1  2 y  2
 EMA. : (  1,  3 )
x  y  4


2 x  12  4 y 

66 ) 2 x
 EMA. : ( 0 ,  3 )
 2 y  6

5


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

29

Ekuazio biak
berdindu

2. Berdintzea
2x  y  4 

x  2 y   3

4  2x 

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

3 x
2

y  4  2x

Ekuazio bietan, ezezagun
bera bakandu:
8  4x  3  x

y  4  2x 

 2 y  3  x 

y  4  2x

3 x 
y
2 


 5 x  5

x 1

Kopiatu koadernoan

y  4  2 1

y2

Ekuazio-sistemak

30

Askatu sistema hauek, berdintze-metodoa erabiliz:
2 x  y  0
69 )
 EMA. : (  1, 2 )
x  y 1

3x  y  4

70 ) x
 EMA. : ( 2 , 2 )
 y3

2


x 5  4y
x
71 )
y 
2


1
 y 1 
72 ) 4
 EMA. : ( 2 ,  )
2
2( x  y )  3

x

73 )

x5 y


 EMA. : (  3, 2 )
5 x  2 y   19 


1

EMA.
:
(
3
,

)

2
2



Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

31
3. Laburtzea
2x  y  4 

x  2 y   3

Ezezagun bera duten bi
gaiak ekuazio bietan
berdinak izatea da
helburua; berdinak
baina aurkako zeinua
dutela. Horretarako,
ekuazioetako bat
zenbaki oso batez
biderkatuko dugu:
2  (2 x  y  4)

x  2 y  3 

4x  2 y  8 

x  2 y   3

Ekuazio bien
arteko batuketa
egin, gaiz gai.
4x  2 y  8



x  2 y  3 

5x  0 y  5
5x  5
x 1

Kopiatu koadernoan

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

2 1  y  4

y  42

y2

Ekuazio-sistemak

32

Askatu sistema hauek, laburtze-metodoa erabiliz:
x  y  9
74 )
 EMA. : ( 5 , 4 )
x  y 1

75 )

3x  y  3
1
EMA.
:
(
, 2)

6 x  y  0
3

76 )

2 x  3 y  4
 EMA. : (1,  2 )
x  2y  5 


 y  0
77 ) 2
 EMA. : ( 4 ,  2 )
y
 x  3
2

x

5 
1 1

78 )
EMA.
:
(
, )
6 
2
3
3 y  3  4 x  2 
x 1  y 

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

33

Askatu sistema hauek, zure ustez errazena den metodoaz:
6 x  5 y  4
79 )
 EMA. : (1,  2 )
x  y  1

82 )

3x  y  1


 EMA. : Ez du
x  2 y  2  2x  y

emaitzarik

3x  5  2 y


80 ) x
 EMA. : (3 , 2 )
 y  2x  3

3


x
83 )
x

(Sistema

y 1
2
y2
3

bateraezin a)


1

 EMA. : (  8 ,  19 )
 1


3x  y  2
1

y  EMA. : ( ,  1)
81 ) x

3
3
9 


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

34

Ekuazio-sistemak. Buruketak

84) Ostatu batean, ohe bateko eta biko gelak daude. Orotara 50
gela eta 87 ohe daude. Mota bakoitzeko zenbat gela dago?
EMA.: 13, 37 gela
85) Txakur-txapelketa batean, txakurrak eta beraien jabeak
daude. Guztira hirurogeita hamazortzi buru eta berrehun eta
hamasei hanka daude. Zenbat txakur eta pertsona daude?
EMA.: 48 pertsona, 30 txakur.
86) Bi zenbakiren arteko batura hamalau da. Handienari bat
gehitzen badiogu, txikienaren bikoitza lortzen da. Aurki itzazu
zenbakiak. EMA.: 9, 5.
87) Bi zenbakiren arteko batura 150 da, eta kendura txikienaren
laukoitza da. Aurki itzazu zenbakiok. EMA.: 125, 25
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

35

Ekuazio-sistemak. Buruketak

88) Zenbaki baten hirukoitzari beste baten laukoitza
gehitutakoan, zazpi izango da emaitza; lehenengoaren
bikoitzari bigarrena gehitutakoan, berriz, hiru izango da
emaitza. Bilatu zenbakiok. EMA.: 1, 1.
89) Bi anaia-arreben adinen arteko batura 17 da; bost urte
barru, batena bestearenaren bikoitza izango da. Zenbat
urte dituzte? EMA.: 13, 4 urte.
90) Dendara joan eta alkandora bat eta praka batzuk erosi
ditut. Markatuta dituzten prezioen artean, 100 euro egiten
dute, baina, merkealdia dela eta, alkandoran % 20ko
deskontua egin didate, eta, praketan, % 30ekoa. Guztira,
73,50 euro pagatu dut. Zenbat balio du bakoitzak? EMA.:
35 eta 65 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

36
2
x + y = 24 
91 )
 EMA. : (2, 20); (  4, 8)
y = 2x + 16 

Ekuazio-sistemak
x y 7 
92 ) 2
 EMA. : ( 3, 4 ); ( 4 , 3 )
2
x  y  25 

93) 60 euro ditugu lagun batzuen artean banatzeko. Hiru
lagun gehiago bagina, bakoitzari euro bat gutxiago
egokituko litzaiguke. Zenbat gara? EMA: 12 lagun.

94) Loradenda batean, tulipan sortak egiteko hari batzuk
daude. Tulipanak binaka jarriz gero, 4 tulipan geldituko dira
sobran, eta hirunaka jarriz gero, hari bat sobran. Zenbat
tulipan eta zenbat hari daude? EMA: 7, 18.
95) Bi zenbakiren arteko kendura 3 da, eta zenbakion
berbiduren arteko batura, 117. Bila itzazu zenbakiok. EMA:
(–6, –9); (9, 6).
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

37

Ekuazio-sistemak

96) Bi zenbakiren arteko kendura 6 da, eta
biderkadura, 216. Bila itzazu zenbakiok. EMA: (–12, –
18); (18, 12).
97) Triangelu zuzen baten hipotenusa 10 m luze da,
eta perimetroa, 24 m-koa da. Zenbat luze dira bi
katetoak? EMA.: 6 cm, 8 cm.
98) x4 + 3x² – 4 = 0 EMA.: 1, –1
99) x × (x + 5) × (x – 2) = 0 EMA: 0, –5, 2.
100) x4 – 5x² + 4 = 0 EMA: 2, –2, 1, –1.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira


Slide 17

1

Ekuazioak 3. DBH
Alfredo Ortega Loza
Unitate honetan, hauek ikasi edo gogoratuko ditugu:
•Ekuazioak eta identitateak bereizten
•Lehenengo mailako ekuazioak askatzen
•Buruketak askatzen
•2. mailako ekuazioak askatzen
•Ekuazio-sistemak askatzen
•2. mailako ekuazio-sistemak askatzen

Berdintzak

2

Berdin ikurra duten adierazpeni berdintza
esaten zaie.
Berdintzak zenbakizkoak izan daitezke:
3·(5 – 4) = 2 + 1



45/5 = 18/2



Algebraikoak ere,
izan daitezke:

Berdintzaren ezkerreko aldeari
lehen atala esaten zaio, eta
eskuinekoari, bigarren atala.
Batuketa edo kenketa ikurren
arteko letra eta zenbakimultzoei, berriz, gai deritze.

3x – 5 = x/4 +1



5a + 2b = 10a/2 + (9/2)b – (5/2)b



Kopiatu koadernoan

Identitateak

3

Berdintza algebraikoak –letrak dituztenak–
identitateak edo ekuazioak izan daitezke:
Identitateak:

3x + (5 – 1)·2 = 2x + x + 8
5a – a = 2 (7a – 5a)

Gogoratu: zenbakien
eta letren artean ezer
ez dagoenean,
BIDER (·) ikurra
irakurri behar da beti.

Ezezagunak (letra) edozein balio izanda ere,
bete egingo da berdintza. Askatzen saiatuz
gero, 0 = 0 lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazioak

4

Ekuazioak:
3x = 2x + 1. EMA.: x = 1
5a – 3 = 2 (7a – 5a). EMA.: a = 3

Ezezagunaren balio batzuetarako baino ez
da betetzen berdintza.
Balio horiek topatzeari ekuazioa askatzea
(edo ebaztea) esaten zaio.

Kopiatu koadernoan

5

Ekuazio baliokideak
Ekuazioen propietateak:

Ekuazio baten bi aldeetan batuketa edo
kenketa bera egiten badugu, hasierakoaren
ekuazio baliokide bat (emaitza berbera
duena) lortuko dugu.
Ekuazio baten bi aldeak zero ez den
adierazpen batekin biderkatzen edo
zatitzen baditugu, hasierakoaren ekuazio
baliokide bat lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (1)

6

Ekuazioetarako erregelak:

x+7=3

–x = 3 – 2x

x+7–7=3–7

–x + 2x = 3 – 2x + 2x

x=3–7

–x + 2x = 3

x = –4

x=3

Ekuazioaren alde batean
batzen dagoena kentzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazioaren alde batean
kentzen dagoena batzen
pasatzen da beste aldera.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (2)

7

3x



3
x

Kopiatu koadernoan

Ekuazioetarako erregelak:
x
3x – 7 = 2
2 1
4
3x – 7 + 7 = 2 + 7
x
 2  2  1 2
4
3x = 9
9
3
9
3

x=3

Ekuazioaren alde batean
biderkatzen dagoena zatitzen
pasatzen da beste aldera.

x

 1

4
4

x

 4  (  1)

4
x  4  (  1)

x = –4
Ekuazioaren alde batean
zatitzen dagoena biderkatzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazio-ebazpenak

8
Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio eta identitate
hauek :

 Letrak dituzten
gai guztiak
berdintzaren alde
batera eraman
behar ditugu, eta
zenbakiak,
bestera.

1) x – 3 + 5x = 4x – 7. EMA.: –2

 Parentesiak
badaude, beste
ezer baino lehen
kendu behar
ditugu.

2) 7x – 5 + 2x + 6 = –3x + 8 – x.
EMA.: 7/13
3) 2x – (6x + 1) = 3x – 5(2 – x). EMA.: 3/4
4) 7(x + 3) = 7 + 8x – 1 . EMA.: 15
5) 3x +7 – 2(x – 3) = 3(x + 4) – 2x + 1.
EMA.: Edozein; identitatea da

6) 4 – (3 – x) + 6 = 2x + 2(2x – 3).
EMA.: 13/5
7) 5 – x(3 + 1) = 2x – 6(3 – 2x).
EMA.: 23/18

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

9

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio hauek :
8)

 Izendatzaileak
badaude,
izendatzaileen
MKTa lortu behar
dugu, eta,
ondoren,
berdintzaren
alde biak MKT
horrekin
biderkatuko
ditugu.

9)

1

x + 2=

2

x - 5 . E M A : 42

3

4

x

- 3  (x - 1) = 2 x -

7 - x

2

10)

1

(x - 2) -

8

11)

. E M A : 32/29.

3
2

(2 x + 6) + x = - 4 .E M A : -6/5

3

x - 1

-

x + 1

2
12) - 4  (3 - x)

=x -

3

5

.E M A : 1

3
+ 4x =

3

 (2 x - 1) - (x + 1) E M A : 4/3.

5

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

10

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
13)

x

-

x - 3

6

14)

=1 -

2x - 5

4

6x - 1

-

5x - 6

5

=

2x + 1

7
x - 2

15) 1 -

5

- 2

- 5x =

3x - 5

7x

(x - 1)

x - 8

2
18) 2 -

3  (2 + x)

=x +

3
-

3
x - 1
5

E M A : 25/41.

2

4

17)

E M A : 34/19.

3

3

16)

E M A : 23/7.

3

E M A : -13/38.

2
-

4  (4 x + 2)

=

5
- (2 x - 1) =

5x - 3

E M A : 2.

7
x - 5
E M A : 19/9

2

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

11

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
19) x -

x

-

x - 1

2

=

6

20) - 4 x - 3 -

x

- 2  (x - 1) E M A :11/13.

6

6x + 4

= 3 - 4  (x - 1) E M A : -37/3.

7
21) 3 -

x + 1

- (4 x - 1) = x - (3 - 4 x) E M A : 13/19.

2
x 22)

1
2 -

3
2

23)

x -

x + 2

-

2

x

- 3
3 = 2 - x - 2
E M A : 2.
4
6
12
1

3x - 1

+

4
(x + 2) (3 x - 1)

= 0 . E M A : 0.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

12

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

Buruketen emaitzak lortzeko, pauso hauek dira
garrantzitsuenak:

Proposatzen den buruketa ondo ulertu. Behar diren
irakurketa guztiak egin, zer eskatzen duten ondo ulertzeko
eta azaltzen diren baldintzak ondo kontrolatzeko

Azpimarratu datu garrantzitsuenak
Ixa esleitu. Ixaren aldamenean beti idatzi zer den
Dituzun datu guztien artean, erlazioren bat topatu.
Buruketak berak ematen du askotan

Sortu duzun ekuazioa askatu
Bukatzeko, egiaztatu emaitza dituzun datu guztiekin
Kopiatu koadernoan

13

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

24) Bi zenbakiren arteko batura 76, da eta bata bestea
baino lau unitate handiagoa da. Bilatu zenbakiok. EMA.:
36, 40.
25) Ondoz ondoko hiru zenbakiren arteko batura
laurogeita hamahiru da. Zein dira zenbaki horiek. EMA.:
30, 31, 32.
26) Zenbaki baten herenaren eta hirukoitzaren arteko
batura berrogei da. Aurkitu zenbakia. EMA.: 12.
27) Bi mila laurehun metro ibili ondoren, distantziaren
herena falta zaigu bukatzeko. Zein da distantzia? EMA.:
3.600 m.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

14

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

28) Pertsona batek duen muxika-kopurua honela banatuta
geratu da: erdiak saldu egin zituen, laurdenak anaiari eman
zizkion eta, oraindik, ehun eta hogei muxika geratu zaizkio.
Zenbat muxika zituen? EMA.: 480 muxika.

29) Zuk hamabi urte badituzu eta zure aitak zure adinaren
zortzi herena, zenbat urte ditu zure aitak? EMA.: 32 urte.
30) Ondoz ondoko bi zenbaki ditugu. Handienaren
herenaren eta txikienaren arteko batura txikienaren
bikoitzaren herena da. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 2, 3.
31) Andonik Kepak baino bost euro gehiago ditu. Baina
Andonik Kepari lau euro emango balizkio, Keparen dirutza
Andonirenaren bikoitza bihurtuko litzateke. Zenbat dauka
bakoitzak? EMA.: 7 eta 2 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

15

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

32) Orain dela lau urte ume baten adinaren hirukoitza
orain duenaren bikoitza zen. Zenbat urte ditu? EMA.: 12
urte.
33) Pertsona baten adina beste lagun batenaren bikoitza
da. Orain dela zazpi urte, bi pertsonen urteen batura
lehenengoaren gaur egungo adina izan zen. Kalkula
itzazu bi pertsonen adinak. EMA.:14 eta 28 urte.
34) Aita batek berrogeita bi urte ditu, eta semeak hamar.
Zenbat urte pasa behar dira aitaren adina semearenaren
hirukoitza izateko? EMA.: 6 urte
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

16

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

35) Gripea zela eta, gela bateko sei ikasle ez ziren eskolara
etorri. Eta, honela, ikasle guztien hiru laurdenak baino bi
gehiago etorri ziren. Zenbat ikasle ziren gelan? EMA.: 32
ikasle.
36) Laukizuzen-itxurako bizkotxo batean, hiru zati egin ditugu.
Lehenengoa bizkotxoaren herena da, bigarrena bostena eta
hirugarrena lau bederatzirena; 4 cm geratu zaigu sobran.
Zenbatekoa da bizkotxoaren luzera? EMA.: 180 cm.

37) Hemendik hamaika urtera, Enekoren adina duela
hamahiru urte zuenaren bikoitza izango da. Zenbat urte ditu?
EMA.: 37 urte.00
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

17

2. mailako ekuazioak ezezagun bakarrekoak badira,
honela adieraziko ditugu:
ax2 + bx + c = 0
a, b eta c zenbaki osoak dira, eta a ezin da zeroren
berdina izan (a  0).
Ekuazio horiek formula honek askatzen ditu beti:

x

b

b  4 ac
2

2a
Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

18

x

Adibide gisa, askatu
honako ekuazio hau:

x

b  4 ac
2

2a

GOGORATU: letra baten
aurrean ezer ikusten ez
duzunean, 1 zenbakia dago

2x2 – x – 1 = 0
a=2
b = –1
c = –1

b

 (  1) 

(  1)  4  2  (  1)
2

22
4



1 1 8
4

Kopiatu koadernoan



1 3
4



1

4
2
4



1
2



2. mailako ekuazioak

19
x

b

b  4 ac
2

2a

Askatu honako ekuazio hauek:
38) x2 – x – 2 = 0 EMA.: 2, –1
39) 3x2 – 7x – 6 = 0 EMA.: 3, –2/3
40) 4x2 – 8x + 3 = 0 EMA.: 3/2, 1/2
41) x2 + 4x + 4 = 0 EMA.: –2

42) x2 + 8x + 3 = 0 EMA.: –0,4; –7,6
43) x2 + 2x + 2 = 0 EMA.: emaitzarik
ez.

Emaitza bakarra
lortzen badugu,
emaitza horri emaitza
bikoitza esango
diogu.
Batzuetan, erroak ez
du emaitzarik, eta,
orduan, esaten dugu
ekuazioak ez duela
emaitza errealik.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

20

Modu horrek 2. mailako ekuazio guztietarako balio
badu ere, badaude beste modu errazago batzuk:
1) b = 0 denean

Adibidea:

ax2 + 0x + c = 0

3x2 – 75 = 0

ax2 + c = 0

3x2 = 75

ax2 = –c
x 
2

x 
2

75
3

c

5

a
x

c

x   25 

–5

a

Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

21

GOGORATU: biderkadura bat zero bada,
biderkagairen bat zero delako da
2) c = 0 denean

Adibidea:

ax2 + bx + 0 = 0

5x2 – 7x = 0

ax2 + bx = 0

x·(5x – 7) = 0

x·(ax + b) = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

5x – 7 = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

ax + b = 0
x = –b/a
Kopiatu koadernoan

x = 7/5

22

2. mailako ekuazioak

Ebatzi honako ekuazio hauek:
44) 3x² + 5x – 2 = 0 EMA.: 1/3; –2
45) 4x² – 36 = 0 EMA: 3, –3.
46) 2x² – 15x + 7 = 0 EMA: 7, 1/2

52) 2x2 – 3 = x2 – 2x EMA.: 1,
–3
53) x – 2 = x2 EMA.:
emaitzarik ez.

47) 3x² – 75x = 0 EMA: 0, 25.
48) 7x² – 9x + 2 = 0 EMA.: 1, 2/7

54 ) 1 +

= 2x

EMA.: –1/2, 1

x

49) 2x² – 2x – 24 = 0 EMA.: 4, –3

50) x²/3 – 12 = 0 EMA: 6, –6

1

55 ) 1 +

1
x

=x -

1
x

EMA.: –1, 2

51) (x – 2)(x + 1) = 0 EMA: 2, –1
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

23

2. mailako ekuazioak. Buruketak

56) Bi zenbakiren artean, 5eko aldea dago, eta haien
arteko biderkadura 66 da. Zein dira zenbakiok? EMA.: 6,
11; –11, –6.
57) Laukizuzen batek hogei zentimetroko diagonala du.
Zein izango da azalera, altuera baino lau cm luzeago
badu oina? EMA.: 12 cm, 16 cm.
58) Bila ezazu zirkunferentzia baten luzera, haren azalera
28,26 m² bada. EMA.: 18,84 m.
59) Triangelu zuzen batean, hipotenusaren luzera 10 cm
da. Bila itzazu katetoen luzerak, bata bestea baino 2 cm
luzeagoa bada. EMA.: 6 cm, 8 cm.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

24

2. mailako ekuazioak. Buruketak

60) Demagun 7 cm-ko alanbre bat daukagula. Nondik
tolestuko dugu muturretako bat bestetik 5 cm-ra egon dadin
angelu zuzen bat osatu ondoren? EMA.: 4 cm, 3 cm.
61) Ondoz ondoko bi zenbakiren arteko biderkadura
honako hau da zenbaki horien arteko batura gehi bost
unitate. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 3, 4; –2, –1.
62) Triangelu zuzen baten azalera 90 cm2 da. Bilatu
katetoak, haien arteko aldea 3 cm-koa bada. EMA.: 12 cm
eta 15 cm.
63) Banatu 9 zenbakia bi zatitan, bakoitzaren berbiduren
arteko batura 41 izan dadin. EMA.: 4, 5.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

25

Bi ezezaguneko ekuazio-sistemak:
Bi ekuazio aldi berean betetzen badira, ekuazio-sistema
bat dugu. Bi ekuazioak zenbaki berberetarako bete
behar dira.
Adibidez:

2x  y  4 

x  2 y   3

Sistema honen emaitza x = 1 eta y = 2 da, edo beste
modu batez adierazita, (1, 2) da.
Begiratu ea egia den.
Kopiatu koadernoan

26

Ekuazio-sistemak

Lau era ditugu ekuazio-sistemak ebazteko, baina
mementoz hiru besterik ez dugu ikasiko:
1. Ordezkatzea
2. Berdintzea
3. Laburtzea

Kopiatu koadernoan

Ekuazio-sistemak

27
1. Ordezkatzea
2x  y  4 

x  2 y   3

y  4  2x



x  8  4 x   3

Ekuazio batean,
ezezagun bat bakandu:
y  4  2x 

x  2 y   3

Beste ekuazioan,
ezezagun hori ordeztu

Beste ekuazioan
ordeztu
y  4  2x 

5 x  3  8

y  4  2x

5x  5 

y  4  2x



x  2  ( 4  2 x )   3

y  4  2x

x 1 

Kopiatu koadernoan

y  4  2  1

x 1 

y  2

x  1

Ekuazio-sistemak

28

Askatu sistema hauek, ordezkatze-metodoa erabiliz:
3 x  8 y  10 
64 )
 EMA. : ( 6 ,  1)
x y 5 

2x  3y  7 
65 )
 EMA. : ( 2 ,  1)
5 x  2 y  12 



1
2
67 )
EMA. : ( 4 , )

x y
x
2
  y
3
4

3x

68 )

 4y  8

3x  1  2 y  2
 EMA. : (  1,  3 )
x  y  4


2 x  12  4 y 

66 ) 2 x
 EMA. : ( 0 ,  3 )
 2 y  6

5


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

29

Ekuazio biak
berdindu

2. Berdintzea
2x  y  4 

x  2 y   3

4  2x 

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

3 x
2

y  4  2x

Ekuazio bietan, ezezagun
bera bakandu:
8  4x  3  x

y  4  2x 

 2 y  3  x 

y  4  2x

3 x 
y
2 


 5 x  5

x 1

Kopiatu koadernoan

y  4  2 1

y2

Ekuazio-sistemak

30

Askatu sistema hauek, berdintze-metodoa erabiliz:
2 x  y  0
69 )
 EMA. : (  1, 2 )
x  y 1

3x  y  4

70 ) x
 EMA. : ( 2 , 2 )
 y3

2


x 5  4y
x
71 )
y 
2


1
 y 1 
72 ) 4
 EMA. : ( 2 ,  )
2
2( x  y )  3

x

73 )

x5 y


 EMA. : (  3, 2 )
5 x  2 y   19 


1

EMA.
:
(
3
,

)

2
2



Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

31
3. Laburtzea
2x  y  4 

x  2 y   3

Ezezagun bera duten bi
gaiak ekuazio bietan
berdinak izatea da
helburua; berdinak
baina aurkako zeinua
dutela. Horretarako,
ekuazioetako bat
zenbaki oso batez
biderkatuko dugu:
2  (2 x  y  4)

x  2 y  3 

4x  2 y  8 

x  2 y   3

Ekuazio bien
arteko batuketa
egin, gaiz gai.
4x  2 y  8



x  2 y  3 

5x  0 y  5
5x  5
x 1

Kopiatu koadernoan

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

2 1  y  4

y  42

y2

Ekuazio-sistemak

32

Askatu sistema hauek, laburtze-metodoa erabiliz:
x  y  9
74 )
 EMA. : ( 5 , 4 )
x  y 1

75 )

3x  y  3
1
EMA.
:
(
, 2)

6 x  y  0
3

76 )

2 x  3 y  4
 EMA. : (1,  2 )
x  2y  5 


 y  0
77 ) 2
 EMA. : ( 4 ,  2 )
y
 x  3
2

x

5 
1 1

78 )
EMA.
:
(
, )
6 
2
3
3 y  3  4 x  2 
x 1  y 

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

33

Askatu sistema hauek, zure ustez errazena den metodoaz:
6 x  5 y  4
79 )
 EMA. : (1,  2 )
x  y  1

82 )

3x  y  1


 EMA. : Ez du
x  2 y  2  2x  y

emaitzarik

3x  5  2 y


80 ) x
 EMA. : (3 , 2 )
 y  2x  3

3


x
83 )
x

(Sistema

y 1
2
y2
3

bateraezin a)


1

 EMA. : (  8 ,  19 )
 1


3x  y  2
1

y  EMA. : ( ,  1)
81 ) x

3
3
9 


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

34

Ekuazio-sistemak. Buruketak

84) Ostatu batean, ohe bateko eta biko gelak daude. Orotara 50
gela eta 87 ohe daude. Mota bakoitzeko zenbat gela dago?
EMA.: 13, 37 gela
85) Txakur-txapelketa batean, txakurrak eta beraien jabeak
daude. Guztira hirurogeita hamazortzi buru eta berrehun eta
hamasei hanka daude. Zenbat txakur eta pertsona daude?
EMA.: 48 pertsona, 30 txakur.
86) Bi zenbakiren arteko batura hamalau da. Handienari bat
gehitzen badiogu, txikienaren bikoitza lortzen da. Aurki itzazu
zenbakiak. EMA.: 9, 5.
87) Bi zenbakiren arteko batura 150 da, eta kendura txikienaren
laukoitza da. Aurki itzazu zenbakiok. EMA.: 125, 25
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

35

Ekuazio-sistemak. Buruketak

88) Zenbaki baten hirukoitzari beste baten laukoitza
gehitutakoan, zazpi izango da emaitza; lehenengoaren
bikoitzari bigarrena gehitutakoan, berriz, hiru izango da
emaitza. Bilatu zenbakiok. EMA.: 1, 1.
89) Bi anaia-arreben adinen arteko batura 17 da; bost urte
barru, batena bestearenaren bikoitza izango da. Zenbat
urte dituzte? EMA.: 13, 4 urte.
90) Dendara joan eta alkandora bat eta praka batzuk erosi
ditut. Markatuta dituzten prezioen artean, 100 euro egiten
dute, baina, merkealdia dela eta, alkandoran % 20ko
deskontua egin didate, eta, praketan, % 30ekoa. Guztira,
73,50 euro pagatu dut. Zenbat balio du bakoitzak? EMA.:
35 eta 65 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

36
2
x + y = 24 
91 )
 EMA. : (2, 20); (  4, 8)
y = 2x + 16 

Ekuazio-sistemak
x y 7 
92 ) 2
 EMA. : ( 3, 4 ); ( 4 , 3 )
2
x  y  25 

93) 60 euro ditugu lagun batzuen artean banatzeko. Hiru
lagun gehiago bagina, bakoitzari euro bat gutxiago
egokituko litzaiguke. Zenbat gara? EMA: 12 lagun.

94) Loradenda batean, tulipan sortak egiteko hari batzuk
daude. Tulipanak binaka jarriz gero, 4 tulipan geldituko dira
sobran, eta hirunaka jarriz gero, hari bat sobran. Zenbat
tulipan eta zenbat hari daude? EMA: 7, 18.
95) Bi zenbakiren arteko kendura 3 da, eta zenbakion
berbiduren arteko batura, 117. Bila itzazu zenbakiok. EMA:
(–6, –9); (9, 6).
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

37

Ekuazio-sistemak

96) Bi zenbakiren arteko kendura 6 da, eta
biderkadura, 216. Bila itzazu zenbakiok. EMA: (–12, –
18); (18, 12).
97) Triangelu zuzen baten hipotenusa 10 m luze da,
eta perimetroa, 24 m-koa da. Zenbat luze dira bi
katetoak? EMA.: 6 cm, 8 cm.
98) x4 + 3x² – 4 = 0 EMA.: 1, –1
99) x × (x + 5) × (x – 2) = 0 EMA: 0, –5, 2.
100) x4 – 5x² + 4 = 0 EMA: 2, –2, 1, –1.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira


Slide 18

1

Ekuazioak 3. DBH
Alfredo Ortega Loza
Unitate honetan, hauek ikasi edo gogoratuko ditugu:
•Ekuazioak eta identitateak bereizten
•Lehenengo mailako ekuazioak askatzen
•Buruketak askatzen
•2. mailako ekuazioak askatzen
•Ekuazio-sistemak askatzen
•2. mailako ekuazio-sistemak askatzen

Berdintzak

2

Berdin ikurra duten adierazpeni berdintza
esaten zaie.
Berdintzak zenbakizkoak izan daitezke:
3·(5 – 4) = 2 + 1



45/5 = 18/2



Algebraikoak ere,
izan daitezke:

Berdintzaren ezkerreko aldeari
lehen atala esaten zaio, eta
eskuinekoari, bigarren atala.
Batuketa edo kenketa ikurren
arteko letra eta zenbakimultzoei, berriz, gai deritze.

3x – 5 = x/4 +1



5a + 2b = 10a/2 + (9/2)b – (5/2)b



Kopiatu koadernoan

Identitateak

3

Berdintza algebraikoak –letrak dituztenak–
identitateak edo ekuazioak izan daitezke:
Identitateak:

3x + (5 – 1)·2 = 2x + x + 8
5a – a = 2 (7a – 5a)

Gogoratu: zenbakien
eta letren artean ezer
ez dagoenean,
BIDER (·) ikurra
irakurri behar da beti.

Ezezagunak (letra) edozein balio izanda ere,
bete egingo da berdintza. Askatzen saiatuz
gero, 0 = 0 lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazioak

4

Ekuazioak:
3x = 2x + 1. EMA.: x = 1
5a – 3 = 2 (7a – 5a). EMA.: a = 3

Ezezagunaren balio batzuetarako baino ez
da betetzen berdintza.
Balio horiek topatzeari ekuazioa askatzea
(edo ebaztea) esaten zaio.

Kopiatu koadernoan

5

Ekuazio baliokideak
Ekuazioen propietateak:

Ekuazio baten bi aldeetan batuketa edo
kenketa bera egiten badugu, hasierakoaren
ekuazio baliokide bat (emaitza berbera
duena) lortuko dugu.
Ekuazio baten bi aldeak zero ez den
adierazpen batekin biderkatzen edo
zatitzen baditugu, hasierakoaren ekuazio
baliokide bat lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (1)

6

Ekuazioetarako erregelak:

x+7=3

–x = 3 – 2x

x+7–7=3–7

–x + 2x = 3 – 2x + 2x

x=3–7

–x + 2x = 3

x = –4

x=3

Ekuazioaren alde batean
batzen dagoena kentzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazioaren alde batean
kentzen dagoena batzen
pasatzen da beste aldera.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (2)

7

3x



3
x

Kopiatu koadernoan

Ekuazioetarako erregelak:
x
3x – 7 = 2
2 1
4
3x – 7 + 7 = 2 + 7
x
 2  2  1 2
4
3x = 9
9
3
9
3

x=3

Ekuazioaren alde batean
biderkatzen dagoena zatitzen
pasatzen da beste aldera.

x

 1

4
4

x

 4  (  1)

4
x  4  (  1)

x = –4
Ekuazioaren alde batean
zatitzen dagoena biderkatzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazio-ebazpenak

8
Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio eta identitate
hauek :

 Letrak dituzten
gai guztiak
berdintzaren alde
batera eraman
behar ditugu, eta
zenbakiak,
bestera.

1) x – 3 + 5x = 4x – 7. EMA.: –2

 Parentesiak
badaude, beste
ezer baino lehen
kendu behar
ditugu.

2) 7x – 5 + 2x + 6 = –3x + 8 – x.
EMA.: 7/13
3) 2x – (6x + 1) = 3x – 5(2 – x). EMA.: 3/4
4) 7(x + 3) = 7 + 8x – 1 . EMA.: 15
5) 3x +7 – 2(x – 3) = 3(x + 4) – 2x + 1.
EMA.: Edozein; identitatea da

6) 4 – (3 – x) + 6 = 2x + 2(2x – 3).
EMA.: 13/5
7) 5 – x(3 + 1) = 2x – 6(3 – 2x).
EMA.: 23/18

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

9

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio hauek :
8)

 Izendatzaileak
badaude,
izendatzaileen
MKTa lortu behar
dugu, eta,
ondoren,
berdintzaren
alde biak MKT
horrekin
biderkatuko
ditugu.

9)

1

x + 2=

2

x - 5 . E M A : 42

3

4

x

- 3  (x - 1) = 2 x -

7 - x

2

10)

1

(x - 2) -

8

11)

. E M A : 32/29.

3
2

(2 x + 6) + x = - 4 .E M A : -6/5

3

x - 1

-

x + 1

2
12) - 4  (3 - x)

=x -

3

5

.E M A : 1

3
+ 4x =

3

 (2 x - 1) - (x + 1) E M A : 4/3.

5

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

10

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
13)

x

-

x - 3

6

14)

=1 -

2x - 5

4

6x - 1

-

5x - 6

5

=

2x + 1

7
x - 2

15) 1 -

5

- 2

- 5x =

3x - 5

7x

(x - 1)

x - 8

2
18) 2 -

3  (2 + x)

=x +

3
-

3
x - 1
5

E M A : 25/41.

2

4

17)

E M A : 34/19.

3

3

16)

E M A : 23/7.

3

E M A : -13/38.

2
-

4  (4 x + 2)

=

5
- (2 x - 1) =

5x - 3

E M A : 2.

7
x - 5
E M A : 19/9

2

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

11

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
19) x -

x

-

x - 1

2

=

6

20) - 4 x - 3 -

x

- 2  (x - 1) E M A :11/13.

6

6x + 4

= 3 - 4  (x - 1) E M A : -37/3.

7
21) 3 -

x + 1

- (4 x - 1) = x - (3 - 4 x) E M A : 13/19.

2
x 22)

1
2 -

3
2

23)

x -

x + 2

-

2

x

- 3
3 = 2 - x - 2
E M A : 2.
4
6
12
1

3x - 1

+

4
(x + 2) (3 x - 1)

= 0 . E M A : 0.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

12

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

Buruketen emaitzak lortzeko, pauso hauek dira
garrantzitsuenak:

Proposatzen den buruketa ondo ulertu. Behar diren
irakurketa guztiak egin, zer eskatzen duten ondo ulertzeko
eta azaltzen diren baldintzak ondo kontrolatzeko

Azpimarratu datu garrantzitsuenak
Ixa esleitu. Ixaren aldamenean beti idatzi zer den
Dituzun datu guztien artean, erlazioren bat topatu.
Buruketak berak ematen du askotan

Sortu duzun ekuazioa askatu
Bukatzeko, egiaztatu emaitza dituzun datu guztiekin
Kopiatu koadernoan

13

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

24) Bi zenbakiren arteko batura 76, da eta bata bestea
baino lau unitate handiagoa da. Bilatu zenbakiok. EMA.:
36, 40.
25) Ondoz ondoko hiru zenbakiren arteko batura
laurogeita hamahiru da. Zein dira zenbaki horiek. EMA.:
30, 31, 32.
26) Zenbaki baten herenaren eta hirukoitzaren arteko
batura berrogei da. Aurkitu zenbakia. EMA.: 12.
27) Bi mila laurehun metro ibili ondoren, distantziaren
herena falta zaigu bukatzeko. Zein da distantzia? EMA.:
3.600 m.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

14

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

28) Pertsona batek duen muxika-kopurua honela banatuta
geratu da: erdiak saldu egin zituen, laurdenak anaiari eman
zizkion eta, oraindik, ehun eta hogei muxika geratu zaizkio.
Zenbat muxika zituen? EMA.: 480 muxika.

29) Zuk hamabi urte badituzu eta zure aitak zure adinaren
zortzi herena, zenbat urte ditu zure aitak? EMA.: 32 urte.
30) Ondoz ondoko bi zenbaki ditugu. Handienaren
herenaren eta txikienaren arteko batura txikienaren
bikoitzaren herena da. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 2, 3.
31) Andonik Kepak baino bost euro gehiago ditu. Baina
Andonik Kepari lau euro emango balizkio, Keparen dirutza
Andonirenaren bikoitza bihurtuko litzateke. Zenbat dauka
bakoitzak? EMA.: 7 eta 2 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

15

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

32) Orain dela lau urte ume baten adinaren hirukoitza
orain duenaren bikoitza zen. Zenbat urte ditu? EMA.: 12
urte.
33) Pertsona baten adina beste lagun batenaren bikoitza
da. Orain dela zazpi urte, bi pertsonen urteen batura
lehenengoaren gaur egungo adina izan zen. Kalkula
itzazu bi pertsonen adinak. EMA.:14 eta 28 urte.
34) Aita batek berrogeita bi urte ditu, eta semeak hamar.
Zenbat urte pasa behar dira aitaren adina semearenaren
hirukoitza izateko? EMA.: 6 urte
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

16

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

35) Gripea zela eta, gela bateko sei ikasle ez ziren eskolara
etorri. Eta, honela, ikasle guztien hiru laurdenak baino bi
gehiago etorri ziren. Zenbat ikasle ziren gelan? EMA.: 32
ikasle.
36) Laukizuzen-itxurako bizkotxo batean, hiru zati egin ditugu.
Lehenengoa bizkotxoaren herena da, bigarrena bostena eta
hirugarrena lau bederatzirena; 4 cm geratu zaigu sobran.
Zenbatekoa da bizkotxoaren luzera? EMA.: 180 cm.

37) Hemendik hamaika urtera, Enekoren adina duela
hamahiru urte zuenaren bikoitza izango da. Zenbat urte ditu?
EMA.: 37 urte.00
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

17

2. mailako ekuazioak ezezagun bakarrekoak badira,
honela adieraziko ditugu:
ax2 + bx + c = 0
a, b eta c zenbaki osoak dira, eta a ezin da zeroren
berdina izan (a  0).
Ekuazio horiek formula honek askatzen ditu beti:

x

b

b  4 ac
2

2a
Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

18

x

Adibide gisa, askatu
honako ekuazio hau:

x

b  4 ac
2

2a

GOGORATU: letra baten
aurrean ezer ikusten ez
duzunean, 1 zenbakia dago

2x2 – x – 1 = 0
a=2
b = –1
c = –1

b

 (  1) 

(  1)  4  2  (  1)
2

22
4



1 1 8
4

Kopiatu koadernoan



1 3
4



1

4
2
4



1
2



2. mailako ekuazioak

19
x

b

b  4 ac
2

2a

Askatu honako ekuazio hauek:
38) x2 – x – 2 = 0 EMA.: 2, –1
39) 3x2 – 7x – 6 = 0 EMA.: 3, –2/3
40) 4x2 – 8x + 3 = 0 EMA.: 3/2, 1/2
41) x2 + 4x + 4 = 0 EMA.: –2

42) x2 + 8x + 3 = 0 EMA.: –0,4; –7,6
43) x2 + 2x + 2 = 0 EMA.: emaitzarik
ez.

Emaitza bakarra
lortzen badugu,
emaitza horri emaitza
bikoitza esango
diogu.
Batzuetan, erroak ez
du emaitzarik, eta,
orduan, esaten dugu
ekuazioak ez duela
emaitza errealik.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

20

Modu horrek 2. mailako ekuazio guztietarako balio
badu ere, badaude beste modu errazago batzuk:
1) b = 0 denean

Adibidea:

ax2 + 0x + c = 0

3x2 – 75 = 0

ax2 + c = 0

3x2 = 75

ax2 = –c
x 
2

x 
2

75
3

c

5

a
x

c

x   25 

–5

a

Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

21

GOGORATU: biderkadura bat zero bada,
biderkagairen bat zero delako da
2) c = 0 denean

Adibidea:

ax2 + bx + 0 = 0

5x2 – 7x = 0

ax2 + bx = 0

x·(5x – 7) = 0

x·(ax + b) = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

5x – 7 = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

ax + b = 0
x = –b/a
Kopiatu koadernoan

x = 7/5

22

2. mailako ekuazioak

Ebatzi honako ekuazio hauek:
44) 3x² + 5x – 2 = 0 EMA.: 1/3; –2
45) 4x² – 36 = 0 EMA: 3, –3.
46) 2x² – 15x + 7 = 0 EMA: 7, 1/2

52) 2x2 – 3 = x2 – 2x EMA.: 1,
–3
53) x – 2 = x2 EMA.:
emaitzarik ez.

47) 3x² – 75x = 0 EMA: 0, 25.
48) 7x² – 9x + 2 = 0 EMA.: 1, 2/7

54 ) 1 +

= 2x

EMA.: –1/2, 1

x

49) 2x² – 2x – 24 = 0 EMA.: 4, –3

50) x²/3 – 12 = 0 EMA: 6, –6

1

55 ) 1 +

1
x

=x -

1
x

EMA.: –1, 2

51) (x – 2)(x + 1) = 0 EMA: 2, –1
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

23

2. mailako ekuazioak. Buruketak

56) Bi zenbakiren artean, 5eko aldea dago, eta haien
arteko biderkadura 66 da. Zein dira zenbakiok? EMA.: 6,
11; –11, –6.
57) Laukizuzen batek hogei zentimetroko diagonala du.
Zein izango da azalera, altuera baino lau cm luzeago
badu oina? EMA.: 12 cm, 16 cm.
58) Bila ezazu zirkunferentzia baten luzera, haren azalera
28,26 m² bada. EMA.: 18,84 m.
59) Triangelu zuzen batean, hipotenusaren luzera 10 cm
da. Bila itzazu katetoen luzerak, bata bestea baino 2 cm
luzeagoa bada. EMA.: 6 cm, 8 cm.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

24

2. mailako ekuazioak. Buruketak

60) Demagun 7 cm-ko alanbre bat daukagula. Nondik
tolestuko dugu muturretako bat bestetik 5 cm-ra egon dadin
angelu zuzen bat osatu ondoren? EMA.: 4 cm, 3 cm.
61) Ondoz ondoko bi zenbakiren arteko biderkadura
honako hau da zenbaki horien arteko batura gehi bost
unitate. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 3, 4; –2, –1.
62) Triangelu zuzen baten azalera 90 cm2 da. Bilatu
katetoak, haien arteko aldea 3 cm-koa bada. EMA.: 12 cm
eta 15 cm.
63) Banatu 9 zenbakia bi zatitan, bakoitzaren berbiduren
arteko batura 41 izan dadin. EMA.: 4, 5.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

25

Bi ezezaguneko ekuazio-sistemak:
Bi ekuazio aldi berean betetzen badira, ekuazio-sistema
bat dugu. Bi ekuazioak zenbaki berberetarako bete
behar dira.
Adibidez:

2x  y  4 

x  2 y   3

Sistema honen emaitza x = 1 eta y = 2 da, edo beste
modu batez adierazita, (1, 2) da.
Begiratu ea egia den.
Kopiatu koadernoan

26

Ekuazio-sistemak

Lau era ditugu ekuazio-sistemak ebazteko, baina
mementoz hiru besterik ez dugu ikasiko:
1. Ordezkatzea
2. Berdintzea
3. Laburtzea

Kopiatu koadernoan

Ekuazio-sistemak

27
1. Ordezkatzea
2x  y  4 

x  2 y   3

y  4  2x



x  8  4 x   3

Ekuazio batean,
ezezagun bat bakandu:
y  4  2x 

x  2 y   3

Beste ekuazioan,
ezezagun hori ordeztu

Beste ekuazioan
ordeztu
y  4  2x 

5 x  3  8

y  4  2x

5x  5 

y  4  2x



x  2  ( 4  2 x )   3

y  4  2x

x 1 

Kopiatu koadernoan

y  4  2  1

x 1 

y  2

x  1

Ekuazio-sistemak

28

Askatu sistema hauek, ordezkatze-metodoa erabiliz:
3 x  8 y  10 
64 )
 EMA. : ( 6 ,  1)
x y 5 

2x  3y  7 
65 )
 EMA. : ( 2 ,  1)
5 x  2 y  12 



1
2
67 )
EMA. : ( 4 , )

x y
x
2
  y
3
4

3x

68 )

 4y  8

3x  1  2 y  2
 EMA. : (  1,  3 )
x  y  4


2 x  12  4 y 

66 ) 2 x
 EMA. : ( 0 ,  3 )
 2 y  6

5


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

29

Ekuazio biak
berdindu

2. Berdintzea
2x  y  4 

x  2 y   3

4  2x 

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

3 x
2

y  4  2x

Ekuazio bietan, ezezagun
bera bakandu:
8  4x  3  x

y  4  2x 

 2 y  3  x 

y  4  2x

3 x 
y
2 


 5 x  5

x 1

Kopiatu koadernoan

y  4  2 1

y2

Ekuazio-sistemak

30

Askatu sistema hauek, berdintze-metodoa erabiliz:
2 x  y  0
69 )
 EMA. : (  1, 2 )
x  y 1

3x  y  4

70 ) x
 EMA. : ( 2 , 2 )
 y3

2


x 5  4y
x
71 )
y 
2


1
 y 1 
72 ) 4
 EMA. : ( 2 ,  )
2
2( x  y )  3

x

73 )

x5 y


 EMA. : (  3, 2 )
5 x  2 y   19 


1

EMA.
:
(
3
,

)

2
2



Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

31
3. Laburtzea
2x  y  4 

x  2 y   3

Ezezagun bera duten bi
gaiak ekuazio bietan
berdinak izatea da
helburua; berdinak
baina aurkako zeinua
dutela. Horretarako,
ekuazioetako bat
zenbaki oso batez
biderkatuko dugu:
2  (2 x  y  4)

x  2 y  3 

4x  2 y  8 

x  2 y   3

Ekuazio bien
arteko batuketa
egin, gaiz gai.
4x  2 y  8



x  2 y  3 

5x  0 y  5
5x  5
x 1

Kopiatu koadernoan

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

2 1  y  4

y  42

y2

Ekuazio-sistemak

32

Askatu sistema hauek, laburtze-metodoa erabiliz:
x  y  9
74 )
 EMA. : ( 5 , 4 )
x  y 1

75 )

3x  y  3
1
EMA.
:
(
, 2)

6 x  y  0
3

76 )

2 x  3 y  4
 EMA. : (1,  2 )
x  2y  5 


 y  0
77 ) 2
 EMA. : ( 4 ,  2 )
y
 x  3
2

x

5 
1 1

78 )
EMA.
:
(
, )
6 
2
3
3 y  3  4 x  2 
x 1  y 

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

33

Askatu sistema hauek, zure ustez errazena den metodoaz:
6 x  5 y  4
79 )
 EMA. : (1,  2 )
x  y  1

82 )

3x  y  1


 EMA. : Ez du
x  2 y  2  2x  y

emaitzarik

3x  5  2 y


80 ) x
 EMA. : (3 , 2 )
 y  2x  3

3


x
83 )
x

(Sistema

y 1
2
y2
3

bateraezin a)


1

 EMA. : (  8 ,  19 )
 1


3x  y  2
1

y  EMA. : ( ,  1)
81 ) x

3
3
9 


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

34

Ekuazio-sistemak. Buruketak

84) Ostatu batean, ohe bateko eta biko gelak daude. Orotara 50
gela eta 87 ohe daude. Mota bakoitzeko zenbat gela dago?
EMA.: 13, 37 gela
85) Txakur-txapelketa batean, txakurrak eta beraien jabeak
daude. Guztira hirurogeita hamazortzi buru eta berrehun eta
hamasei hanka daude. Zenbat txakur eta pertsona daude?
EMA.: 48 pertsona, 30 txakur.
86) Bi zenbakiren arteko batura hamalau da. Handienari bat
gehitzen badiogu, txikienaren bikoitza lortzen da. Aurki itzazu
zenbakiak. EMA.: 9, 5.
87) Bi zenbakiren arteko batura 150 da, eta kendura txikienaren
laukoitza da. Aurki itzazu zenbakiok. EMA.: 125, 25
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

35

Ekuazio-sistemak. Buruketak

88) Zenbaki baten hirukoitzari beste baten laukoitza
gehitutakoan, zazpi izango da emaitza; lehenengoaren
bikoitzari bigarrena gehitutakoan, berriz, hiru izango da
emaitza. Bilatu zenbakiok. EMA.: 1, 1.
89) Bi anaia-arreben adinen arteko batura 17 da; bost urte
barru, batena bestearenaren bikoitza izango da. Zenbat
urte dituzte? EMA.: 13, 4 urte.
90) Dendara joan eta alkandora bat eta praka batzuk erosi
ditut. Markatuta dituzten prezioen artean, 100 euro egiten
dute, baina, merkealdia dela eta, alkandoran % 20ko
deskontua egin didate, eta, praketan, % 30ekoa. Guztira,
73,50 euro pagatu dut. Zenbat balio du bakoitzak? EMA.:
35 eta 65 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

36
2
x + y = 24 
91 )
 EMA. : (2, 20); (  4, 8)
y = 2x + 16 

Ekuazio-sistemak
x y 7 
92 ) 2
 EMA. : ( 3, 4 ); ( 4 , 3 )
2
x  y  25 

93) 60 euro ditugu lagun batzuen artean banatzeko. Hiru
lagun gehiago bagina, bakoitzari euro bat gutxiago
egokituko litzaiguke. Zenbat gara? EMA: 12 lagun.

94) Loradenda batean, tulipan sortak egiteko hari batzuk
daude. Tulipanak binaka jarriz gero, 4 tulipan geldituko dira
sobran, eta hirunaka jarriz gero, hari bat sobran. Zenbat
tulipan eta zenbat hari daude? EMA: 7, 18.
95) Bi zenbakiren arteko kendura 3 da, eta zenbakion
berbiduren arteko batura, 117. Bila itzazu zenbakiok. EMA:
(–6, –9); (9, 6).
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

37

Ekuazio-sistemak

96) Bi zenbakiren arteko kendura 6 da, eta
biderkadura, 216. Bila itzazu zenbakiok. EMA: (–12, –
18); (18, 12).
97) Triangelu zuzen baten hipotenusa 10 m luze da,
eta perimetroa, 24 m-koa da. Zenbat luze dira bi
katetoak? EMA.: 6 cm, 8 cm.
98) x4 + 3x² – 4 = 0 EMA.: 1, –1
99) x × (x + 5) × (x – 2) = 0 EMA: 0, –5, 2.
100) x4 – 5x² + 4 = 0 EMA: 2, –2, 1, –1.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira


Slide 19

1

Ekuazioak 3. DBH
Alfredo Ortega Loza
Unitate honetan, hauek ikasi edo gogoratuko ditugu:
•Ekuazioak eta identitateak bereizten
•Lehenengo mailako ekuazioak askatzen
•Buruketak askatzen
•2. mailako ekuazioak askatzen
•Ekuazio-sistemak askatzen
•2. mailako ekuazio-sistemak askatzen

Berdintzak

2

Berdin ikurra duten adierazpeni berdintza
esaten zaie.
Berdintzak zenbakizkoak izan daitezke:
3·(5 – 4) = 2 + 1



45/5 = 18/2



Algebraikoak ere,
izan daitezke:

Berdintzaren ezkerreko aldeari
lehen atala esaten zaio, eta
eskuinekoari, bigarren atala.
Batuketa edo kenketa ikurren
arteko letra eta zenbakimultzoei, berriz, gai deritze.

3x – 5 = x/4 +1



5a + 2b = 10a/2 + (9/2)b – (5/2)b



Kopiatu koadernoan

Identitateak

3

Berdintza algebraikoak –letrak dituztenak–
identitateak edo ekuazioak izan daitezke:
Identitateak:

3x + (5 – 1)·2 = 2x + x + 8
5a – a = 2 (7a – 5a)

Gogoratu: zenbakien
eta letren artean ezer
ez dagoenean,
BIDER (·) ikurra
irakurri behar da beti.

Ezezagunak (letra) edozein balio izanda ere,
bete egingo da berdintza. Askatzen saiatuz
gero, 0 = 0 lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazioak

4

Ekuazioak:
3x = 2x + 1. EMA.: x = 1
5a – 3 = 2 (7a – 5a). EMA.: a = 3

Ezezagunaren balio batzuetarako baino ez
da betetzen berdintza.
Balio horiek topatzeari ekuazioa askatzea
(edo ebaztea) esaten zaio.

Kopiatu koadernoan

5

Ekuazio baliokideak
Ekuazioen propietateak:

Ekuazio baten bi aldeetan batuketa edo
kenketa bera egiten badugu, hasierakoaren
ekuazio baliokide bat (emaitza berbera
duena) lortuko dugu.
Ekuazio baten bi aldeak zero ez den
adierazpen batekin biderkatzen edo
zatitzen baditugu, hasierakoaren ekuazio
baliokide bat lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (1)

6

Ekuazioetarako erregelak:

x+7=3

–x = 3 – 2x

x+7–7=3–7

–x + 2x = 3 – 2x + 2x

x=3–7

–x + 2x = 3

x = –4

x=3

Ekuazioaren alde batean
batzen dagoena kentzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazioaren alde batean
kentzen dagoena batzen
pasatzen da beste aldera.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (2)

7

3x



3
x

Kopiatu koadernoan

Ekuazioetarako erregelak:
x
3x – 7 = 2
2 1
4
3x – 7 + 7 = 2 + 7
x
 2  2  1 2
4
3x = 9
9
3
9
3

x=3

Ekuazioaren alde batean
biderkatzen dagoena zatitzen
pasatzen da beste aldera.

x

 1

4
4

x

 4  (  1)

4
x  4  (  1)

x = –4
Ekuazioaren alde batean
zatitzen dagoena biderkatzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazio-ebazpenak

8
Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio eta identitate
hauek :

 Letrak dituzten
gai guztiak
berdintzaren alde
batera eraman
behar ditugu, eta
zenbakiak,
bestera.

1) x – 3 + 5x = 4x – 7. EMA.: –2

 Parentesiak
badaude, beste
ezer baino lehen
kendu behar
ditugu.

2) 7x – 5 + 2x + 6 = –3x + 8 – x.
EMA.: 7/13
3) 2x – (6x + 1) = 3x – 5(2 – x). EMA.: 3/4
4) 7(x + 3) = 7 + 8x – 1 . EMA.: 15
5) 3x +7 – 2(x – 3) = 3(x + 4) – 2x + 1.
EMA.: Edozein; identitatea da

6) 4 – (3 – x) + 6 = 2x + 2(2x – 3).
EMA.: 13/5
7) 5 – x(3 + 1) = 2x – 6(3 – 2x).
EMA.: 23/18

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

9

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio hauek :
8)

 Izendatzaileak
badaude,
izendatzaileen
MKTa lortu behar
dugu, eta,
ondoren,
berdintzaren
alde biak MKT
horrekin
biderkatuko
ditugu.

9)

1

x + 2=

2

x - 5 . E M A : 42

3

4

x

- 3  (x - 1) = 2 x -

7 - x

2

10)

1

(x - 2) -

8

11)

. E M A : 32/29.

3
2

(2 x + 6) + x = - 4 .E M A : -6/5

3

x - 1

-

x + 1

2
12) - 4  (3 - x)

=x -

3

5

.E M A : 1

3
+ 4x =

3

 (2 x - 1) - (x + 1) E M A : 4/3.

5

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

10

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
13)

x

-

x - 3

6

14)

=1 -

2x - 5

4

6x - 1

-

5x - 6

5

=

2x + 1

7
x - 2

15) 1 -

5

- 2

- 5x =

3x - 5

7x

(x - 1)

x - 8

2
18) 2 -

3  (2 + x)

=x +

3
-

3
x - 1
5

E M A : 25/41.

2

4

17)

E M A : 34/19.

3

3

16)

E M A : 23/7.

3

E M A : -13/38.

2
-

4  (4 x + 2)

=

5
- (2 x - 1) =

5x - 3

E M A : 2.

7
x - 5
E M A : 19/9

2

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

11

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
19) x -

x

-

x - 1

2

=

6

20) - 4 x - 3 -

x

- 2  (x - 1) E M A :11/13.

6

6x + 4

= 3 - 4  (x - 1) E M A : -37/3.

7
21) 3 -

x + 1

- (4 x - 1) = x - (3 - 4 x) E M A : 13/19.

2
x 22)

1
2 -

3
2

23)

x -

x + 2

-

2

x

- 3
3 = 2 - x - 2
E M A : 2.
4
6
12
1

3x - 1

+

4
(x + 2) (3 x - 1)

= 0 . E M A : 0.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

12

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

Buruketen emaitzak lortzeko, pauso hauek dira
garrantzitsuenak:

Proposatzen den buruketa ondo ulertu. Behar diren
irakurketa guztiak egin, zer eskatzen duten ondo ulertzeko
eta azaltzen diren baldintzak ondo kontrolatzeko

Azpimarratu datu garrantzitsuenak
Ixa esleitu. Ixaren aldamenean beti idatzi zer den
Dituzun datu guztien artean, erlazioren bat topatu.
Buruketak berak ematen du askotan

Sortu duzun ekuazioa askatu
Bukatzeko, egiaztatu emaitza dituzun datu guztiekin
Kopiatu koadernoan

13

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

24) Bi zenbakiren arteko batura 76, da eta bata bestea
baino lau unitate handiagoa da. Bilatu zenbakiok. EMA.:
36, 40.
25) Ondoz ondoko hiru zenbakiren arteko batura
laurogeita hamahiru da. Zein dira zenbaki horiek. EMA.:
30, 31, 32.
26) Zenbaki baten herenaren eta hirukoitzaren arteko
batura berrogei da. Aurkitu zenbakia. EMA.: 12.
27) Bi mila laurehun metro ibili ondoren, distantziaren
herena falta zaigu bukatzeko. Zein da distantzia? EMA.:
3.600 m.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

14

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

28) Pertsona batek duen muxika-kopurua honela banatuta
geratu da: erdiak saldu egin zituen, laurdenak anaiari eman
zizkion eta, oraindik, ehun eta hogei muxika geratu zaizkio.
Zenbat muxika zituen? EMA.: 480 muxika.

29) Zuk hamabi urte badituzu eta zure aitak zure adinaren
zortzi herena, zenbat urte ditu zure aitak? EMA.: 32 urte.
30) Ondoz ondoko bi zenbaki ditugu. Handienaren
herenaren eta txikienaren arteko batura txikienaren
bikoitzaren herena da. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 2, 3.
31) Andonik Kepak baino bost euro gehiago ditu. Baina
Andonik Kepari lau euro emango balizkio, Keparen dirutza
Andonirenaren bikoitza bihurtuko litzateke. Zenbat dauka
bakoitzak? EMA.: 7 eta 2 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

15

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

32) Orain dela lau urte ume baten adinaren hirukoitza
orain duenaren bikoitza zen. Zenbat urte ditu? EMA.: 12
urte.
33) Pertsona baten adina beste lagun batenaren bikoitza
da. Orain dela zazpi urte, bi pertsonen urteen batura
lehenengoaren gaur egungo adina izan zen. Kalkula
itzazu bi pertsonen adinak. EMA.:14 eta 28 urte.
34) Aita batek berrogeita bi urte ditu, eta semeak hamar.
Zenbat urte pasa behar dira aitaren adina semearenaren
hirukoitza izateko? EMA.: 6 urte
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

16

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

35) Gripea zela eta, gela bateko sei ikasle ez ziren eskolara
etorri. Eta, honela, ikasle guztien hiru laurdenak baino bi
gehiago etorri ziren. Zenbat ikasle ziren gelan? EMA.: 32
ikasle.
36) Laukizuzen-itxurako bizkotxo batean, hiru zati egin ditugu.
Lehenengoa bizkotxoaren herena da, bigarrena bostena eta
hirugarrena lau bederatzirena; 4 cm geratu zaigu sobran.
Zenbatekoa da bizkotxoaren luzera? EMA.: 180 cm.

37) Hemendik hamaika urtera, Enekoren adina duela
hamahiru urte zuenaren bikoitza izango da. Zenbat urte ditu?
EMA.: 37 urte.00
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

17

2. mailako ekuazioak ezezagun bakarrekoak badira,
honela adieraziko ditugu:
ax2 + bx + c = 0
a, b eta c zenbaki osoak dira, eta a ezin da zeroren
berdina izan (a  0).
Ekuazio horiek formula honek askatzen ditu beti:

x

b

b  4 ac
2

2a
Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

18

x

Adibide gisa, askatu
honako ekuazio hau:

x

b  4 ac
2

2a

GOGORATU: letra baten
aurrean ezer ikusten ez
duzunean, 1 zenbakia dago

2x2 – x – 1 = 0
a=2
b = –1
c = –1

b

 (  1) 

(  1)  4  2  (  1)
2

22
4



1 1 8
4

Kopiatu koadernoan



1 3
4



1

4
2
4



1
2



2. mailako ekuazioak

19
x

b

b  4 ac
2

2a

Askatu honako ekuazio hauek:
38) x2 – x – 2 = 0 EMA.: 2, –1
39) 3x2 – 7x – 6 = 0 EMA.: 3, –2/3
40) 4x2 – 8x + 3 = 0 EMA.: 3/2, 1/2
41) x2 + 4x + 4 = 0 EMA.: –2

42) x2 + 8x + 3 = 0 EMA.: –0,4; –7,6
43) x2 + 2x + 2 = 0 EMA.: emaitzarik
ez.

Emaitza bakarra
lortzen badugu,
emaitza horri emaitza
bikoitza esango
diogu.
Batzuetan, erroak ez
du emaitzarik, eta,
orduan, esaten dugu
ekuazioak ez duela
emaitza errealik.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

20

Modu horrek 2. mailako ekuazio guztietarako balio
badu ere, badaude beste modu errazago batzuk:
1) b = 0 denean

Adibidea:

ax2 + 0x + c = 0

3x2 – 75 = 0

ax2 + c = 0

3x2 = 75

ax2 = –c
x 
2

x 
2

75
3

c

5

a
x

c

x   25 

–5

a

Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

21

GOGORATU: biderkadura bat zero bada,
biderkagairen bat zero delako da
2) c = 0 denean

Adibidea:

ax2 + bx + 0 = 0

5x2 – 7x = 0

ax2 + bx = 0

x·(5x – 7) = 0

x·(ax + b) = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

5x – 7 = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

ax + b = 0
x = –b/a
Kopiatu koadernoan

x = 7/5

22

2. mailako ekuazioak

Ebatzi honako ekuazio hauek:
44) 3x² + 5x – 2 = 0 EMA.: 1/3; –2
45) 4x² – 36 = 0 EMA: 3, –3.
46) 2x² – 15x + 7 = 0 EMA: 7, 1/2

52) 2x2 – 3 = x2 – 2x EMA.: 1,
–3
53) x – 2 = x2 EMA.:
emaitzarik ez.

47) 3x² – 75x = 0 EMA: 0, 25.
48) 7x² – 9x + 2 = 0 EMA.: 1, 2/7

54 ) 1 +

= 2x

EMA.: –1/2, 1

x

49) 2x² – 2x – 24 = 0 EMA.: 4, –3

50) x²/3 – 12 = 0 EMA: 6, –6

1

55 ) 1 +

1
x

=x -

1
x

EMA.: –1, 2

51) (x – 2)(x + 1) = 0 EMA: 2, –1
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

23

2. mailako ekuazioak. Buruketak

56) Bi zenbakiren artean, 5eko aldea dago, eta haien
arteko biderkadura 66 da. Zein dira zenbakiok? EMA.: 6,
11; –11, –6.
57) Laukizuzen batek hogei zentimetroko diagonala du.
Zein izango da azalera, altuera baino lau cm luzeago
badu oina? EMA.: 12 cm, 16 cm.
58) Bila ezazu zirkunferentzia baten luzera, haren azalera
28,26 m² bada. EMA.: 18,84 m.
59) Triangelu zuzen batean, hipotenusaren luzera 10 cm
da. Bila itzazu katetoen luzerak, bata bestea baino 2 cm
luzeagoa bada. EMA.: 6 cm, 8 cm.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

24

2. mailako ekuazioak. Buruketak

60) Demagun 7 cm-ko alanbre bat daukagula. Nondik
tolestuko dugu muturretako bat bestetik 5 cm-ra egon dadin
angelu zuzen bat osatu ondoren? EMA.: 4 cm, 3 cm.
61) Ondoz ondoko bi zenbakiren arteko biderkadura
honako hau da zenbaki horien arteko batura gehi bost
unitate. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 3, 4; –2, –1.
62) Triangelu zuzen baten azalera 90 cm2 da. Bilatu
katetoak, haien arteko aldea 3 cm-koa bada. EMA.: 12 cm
eta 15 cm.
63) Banatu 9 zenbakia bi zatitan, bakoitzaren berbiduren
arteko batura 41 izan dadin. EMA.: 4, 5.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

25

Bi ezezaguneko ekuazio-sistemak:
Bi ekuazio aldi berean betetzen badira, ekuazio-sistema
bat dugu. Bi ekuazioak zenbaki berberetarako bete
behar dira.
Adibidez:

2x  y  4 

x  2 y   3

Sistema honen emaitza x = 1 eta y = 2 da, edo beste
modu batez adierazita, (1, 2) da.
Begiratu ea egia den.
Kopiatu koadernoan

26

Ekuazio-sistemak

Lau era ditugu ekuazio-sistemak ebazteko, baina
mementoz hiru besterik ez dugu ikasiko:
1. Ordezkatzea
2. Berdintzea
3. Laburtzea

Kopiatu koadernoan

Ekuazio-sistemak

27
1. Ordezkatzea
2x  y  4 

x  2 y   3

y  4  2x



x  8  4 x   3

Ekuazio batean,
ezezagun bat bakandu:
y  4  2x 

x  2 y   3

Beste ekuazioan,
ezezagun hori ordeztu

Beste ekuazioan
ordeztu
y  4  2x 

5 x  3  8

y  4  2x

5x  5 

y  4  2x



x  2  ( 4  2 x )   3

y  4  2x

x 1 

Kopiatu koadernoan

y  4  2  1

x 1 

y  2

x  1

Ekuazio-sistemak

28

Askatu sistema hauek, ordezkatze-metodoa erabiliz:
3 x  8 y  10 
64 )
 EMA. : ( 6 ,  1)
x y 5 

2x  3y  7 
65 )
 EMA. : ( 2 ,  1)
5 x  2 y  12 



1
2
67 )
EMA. : ( 4 , )

x y
x
2
  y
3
4

3x

68 )

 4y  8

3x  1  2 y  2
 EMA. : (  1,  3 )
x  y  4


2 x  12  4 y 

66 ) 2 x
 EMA. : ( 0 ,  3 )
 2 y  6

5


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

29

Ekuazio biak
berdindu

2. Berdintzea
2x  y  4 

x  2 y   3

4  2x 

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

3 x
2

y  4  2x

Ekuazio bietan, ezezagun
bera bakandu:
8  4x  3  x

y  4  2x 

 2 y  3  x 

y  4  2x

3 x 
y
2 


 5 x  5

x 1

Kopiatu koadernoan

y  4  2 1

y2

Ekuazio-sistemak

30

Askatu sistema hauek, berdintze-metodoa erabiliz:
2 x  y  0
69 )
 EMA. : (  1, 2 )
x  y 1

3x  y  4

70 ) x
 EMA. : ( 2 , 2 )
 y3

2


x 5  4y
x
71 )
y 
2


1
 y 1 
72 ) 4
 EMA. : ( 2 ,  )
2
2( x  y )  3

x

73 )

x5 y


 EMA. : (  3, 2 )
5 x  2 y   19 


1

EMA.
:
(
3
,

)

2
2



Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

31
3. Laburtzea
2x  y  4 

x  2 y   3

Ezezagun bera duten bi
gaiak ekuazio bietan
berdinak izatea da
helburua; berdinak
baina aurkako zeinua
dutela. Horretarako,
ekuazioetako bat
zenbaki oso batez
biderkatuko dugu:
2  (2 x  y  4)

x  2 y  3 

4x  2 y  8 

x  2 y   3

Ekuazio bien
arteko batuketa
egin, gaiz gai.
4x  2 y  8



x  2 y  3 

5x  0 y  5
5x  5
x 1

Kopiatu koadernoan

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

2 1  y  4

y  42

y2

Ekuazio-sistemak

32

Askatu sistema hauek, laburtze-metodoa erabiliz:
x  y  9
74 )
 EMA. : ( 5 , 4 )
x  y 1

75 )

3x  y  3
1
EMA.
:
(
, 2)

6 x  y  0
3

76 )

2 x  3 y  4
 EMA. : (1,  2 )
x  2y  5 


 y  0
77 ) 2
 EMA. : ( 4 ,  2 )
y
 x  3
2

x

5 
1 1

78 )
EMA.
:
(
, )
6 
2
3
3 y  3  4 x  2 
x 1  y 

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

33

Askatu sistema hauek, zure ustez errazena den metodoaz:
6 x  5 y  4
79 )
 EMA. : (1,  2 )
x  y  1

82 )

3x  y  1


 EMA. : Ez du
x  2 y  2  2x  y

emaitzarik

3x  5  2 y


80 ) x
 EMA. : (3 , 2 )
 y  2x  3

3


x
83 )
x

(Sistema

y 1
2
y2
3

bateraezin a)


1

 EMA. : (  8 ,  19 )
 1


3x  y  2
1

y  EMA. : ( ,  1)
81 ) x

3
3
9 


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

34

Ekuazio-sistemak. Buruketak

84) Ostatu batean, ohe bateko eta biko gelak daude. Orotara 50
gela eta 87 ohe daude. Mota bakoitzeko zenbat gela dago?
EMA.: 13, 37 gela
85) Txakur-txapelketa batean, txakurrak eta beraien jabeak
daude. Guztira hirurogeita hamazortzi buru eta berrehun eta
hamasei hanka daude. Zenbat txakur eta pertsona daude?
EMA.: 48 pertsona, 30 txakur.
86) Bi zenbakiren arteko batura hamalau da. Handienari bat
gehitzen badiogu, txikienaren bikoitza lortzen da. Aurki itzazu
zenbakiak. EMA.: 9, 5.
87) Bi zenbakiren arteko batura 150 da, eta kendura txikienaren
laukoitza da. Aurki itzazu zenbakiok. EMA.: 125, 25
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

35

Ekuazio-sistemak. Buruketak

88) Zenbaki baten hirukoitzari beste baten laukoitza
gehitutakoan, zazpi izango da emaitza; lehenengoaren
bikoitzari bigarrena gehitutakoan, berriz, hiru izango da
emaitza. Bilatu zenbakiok. EMA.: 1, 1.
89) Bi anaia-arreben adinen arteko batura 17 da; bost urte
barru, batena bestearenaren bikoitza izango da. Zenbat
urte dituzte? EMA.: 13, 4 urte.
90) Dendara joan eta alkandora bat eta praka batzuk erosi
ditut. Markatuta dituzten prezioen artean, 100 euro egiten
dute, baina, merkealdia dela eta, alkandoran % 20ko
deskontua egin didate, eta, praketan, % 30ekoa. Guztira,
73,50 euro pagatu dut. Zenbat balio du bakoitzak? EMA.:
35 eta 65 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

36
2
x + y = 24 
91 )
 EMA. : (2, 20); (  4, 8)
y = 2x + 16 

Ekuazio-sistemak
x y 7 
92 ) 2
 EMA. : ( 3, 4 ); ( 4 , 3 )
2
x  y  25 

93) 60 euro ditugu lagun batzuen artean banatzeko. Hiru
lagun gehiago bagina, bakoitzari euro bat gutxiago
egokituko litzaiguke. Zenbat gara? EMA: 12 lagun.

94) Loradenda batean, tulipan sortak egiteko hari batzuk
daude. Tulipanak binaka jarriz gero, 4 tulipan geldituko dira
sobran, eta hirunaka jarriz gero, hari bat sobran. Zenbat
tulipan eta zenbat hari daude? EMA: 7, 18.
95) Bi zenbakiren arteko kendura 3 da, eta zenbakion
berbiduren arteko batura, 117. Bila itzazu zenbakiok. EMA:
(–6, –9); (9, 6).
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

37

Ekuazio-sistemak

96) Bi zenbakiren arteko kendura 6 da, eta
biderkadura, 216. Bila itzazu zenbakiok. EMA: (–12, –
18); (18, 12).
97) Triangelu zuzen baten hipotenusa 10 m luze da,
eta perimetroa, 24 m-koa da. Zenbat luze dira bi
katetoak? EMA.: 6 cm, 8 cm.
98) x4 + 3x² – 4 = 0 EMA.: 1, –1
99) x × (x + 5) × (x – 2) = 0 EMA: 0, –5, 2.
100) x4 – 5x² + 4 = 0 EMA: 2, –2, 1, –1.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira


Slide 20

1

Ekuazioak 3. DBH
Alfredo Ortega Loza
Unitate honetan, hauek ikasi edo gogoratuko ditugu:
•Ekuazioak eta identitateak bereizten
•Lehenengo mailako ekuazioak askatzen
•Buruketak askatzen
•2. mailako ekuazioak askatzen
•Ekuazio-sistemak askatzen
•2. mailako ekuazio-sistemak askatzen

Berdintzak

2

Berdin ikurra duten adierazpeni berdintza
esaten zaie.
Berdintzak zenbakizkoak izan daitezke:
3·(5 – 4) = 2 + 1



45/5 = 18/2



Algebraikoak ere,
izan daitezke:

Berdintzaren ezkerreko aldeari
lehen atala esaten zaio, eta
eskuinekoari, bigarren atala.
Batuketa edo kenketa ikurren
arteko letra eta zenbakimultzoei, berriz, gai deritze.

3x – 5 = x/4 +1



5a + 2b = 10a/2 + (9/2)b – (5/2)b



Kopiatu koadernoan

Identitateak

3

Berdintza algebraikoak –letrak dituztenak–
identitateak edo ekuazioak izan daitezke:
Identitateak:

3x + (5 – 1)·2 = 2x + x + 8
5a – a = 2 (7a – 5a)

Gogoratu: zenbakien
eta letren artean ezer
ez dagoenean,
BIDER (·) ikurra
irakurri behar da beti.

Ezezagunak (letra) edozein balio izanda ere,
bete egingo da berdintza. Askatzen saiatuz
gero, 0 = 0 lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazioak

4

Ekuazioak:
3x = 2x + 1. EMA.: x = 1
5a – 3 = 2 (7a – 5a). EMA.: a = 3

Ezezagunaren balio batzuetarako baino ez
da betetzen berdintza.
Balio horiek topatzeari ekuazioa askatzea
(edo ebaztea) esaten zaio.

Kopiatu koadernoan

5

Ekuazio baliokideak
Ekuazioen propietateak:

Ekuazio baten bi aldeetan batuketa edo
kenketa bera egiten badugu, hasierakoaren
ekuazio baliokide bat (emaitza berbera
duena) lortuko dugu.
Ekuazio baten bi aldeak zero ez den
adierazpen batekin biderkatzen edo
zatitzen baditugu, hasierakoaren ekuazio
baliokide bat lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (1)

6

Ekuazioetarako erregelak:

x+7=3

–x = 3 – 2x

x+7–7=3–7

–x + 2x = 3 – 2x + 2x

x=3–7

–x + 2x = 3

x = –4

x=3

Ekuazioaren alde batean
batzen dagoena kentzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazioaren alde batean
kentzen dagoena batzen
pasatzen da beste aldera.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (2)

7

3x



3
x

Kopiatu koadernoan

Ekuazioetarako erregelak:
x
3x – 7 = 2
2 1
4
3x – 7 + 7 = 2 + 7
x
 2  2  1 2
4
3x = 9
9
3
9
3

x=3

Ekuazioaren alde batean
biderkatzen dagoena zatitzen
pasatzen da beste aldera.

x

 1

4
4

x

 4  (  1)

4
x  4  (  1)

x = –4
Ekuazioaren alde batean
zatitzen dagoena biderkatzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazio-ebazpenak

8
Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio eta identitate
hauek :

 Letrak dituzten
gai guztiak
berdintzaren alde
batera eraman
behar ditugu, eta
zenbakiak,
bestera.

1) x – 3 + 5x = 4x – 7. EMA.: –2

 Parentesiak
badaude, beste
ezer baino lehen
kendu behar
ditugu.

2) 7x – 5 + 2x + 6 = –3x + 8 – x.
EMA.: 7/13
3) 2x – (6x + 1) = 3x – 5(2 – x). EMA.: 3/4
4) 7(x + 3) = 7 + 8x – 1 . EMA.: 15
5) 3x +7 – 2(x – 3) = 3(x + 4) – 2x + 1.
EMA.: Edozein; identitatea da

6) 4 – (3 – x) + 6 = 2x + 2(2x – 3).
EMA.: 13/5
7) 5 – x(3 + 1) = 2x – 6(3 – 2x).
EMA.: 23/18

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

9

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio hauek :
8)

 Izendatzaileak
badaude,
izendatzaileen
MKTa lortu behar
dugu, eta,
ondoren,
berdintzaren
alde biak MKT
horrekin
biderkatuko
ditugu.

9)

1

x + 2=

2

x - 5 . E M A : 42

3

4

x

- 3  (x - 1) = 2 x -

7 - x

2

10)

1

(x - 2) -

8

11)

. E M A : 32/29.

3
2

(2 x + 6) + x = - 4 .E M A : -6/5

3

x - 1

-

x + 1

2
12) - 4  (3 - x)

=x -

3

5

.E M A : 1

3
+ 4x =

3

 (2 x - 1) - (x + 1) E M A : 4/3.

5

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

10

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
13)

x

-

x - 3

6

14)

=1 -

2x - 5

4

6x - 1

-

5x - 6

5

=

2x + 1

7
x - 2

15) 1 -

5

- 2

- 5x =

3x - 5

7x

(x - 1)

x - 8

2
18) 2 -

3  (2 + x)

=x +

3
-

3
x - 1
5

E M A : 25/41.

2

4

17)

E M A : 34/19.

3

3

16)

E M A : 23/7.

3

E M A : -13/38.

2
-

4  (4 x + 2)

=

5
- (2 x - 1) =

5x - 3

E M A : 2.

7
x - 5
E M A : 19/9

2

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

11

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
19) x -

x

-

x - 1

2

=

6

20) - 4 x - 3 -

x

- 2  (x - 1) E M A :11/13.

6

6x + 4

= 3 - 4  (x - 1) E M A : -37/3.

7
21) 3 -

x + 1

- (4 x - 1) = x - (3 - 4 x) E M A : 13/19.

2
x 22)

1
2 -

3
2

23)

x -

x + 2

-

2

x

- 3
3 = 2 - x - 2
E M A : 2.
4
6
12
1

3x - 1

+

4
(x + 2) (3 x - 1)

= 0 . E M A : 0.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

12

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

Buruketen emaitzak lortzeko, pauso hauek dira
garrantzitsuenak:

Proposatzen den buruketa ondo ulertu. Behar diren
irakurketa guztiak egin, zer eskatzen duten ondo ulertzeko
eta azaltzen diren baldintzak ondo kontrolatzeko

Azpimarratu datu garrantzitsuenak
Ixa esleitu. Ixaren aldamenean beti idatzi zer den
Dituzun datu guztien artean, erlazioren bat topatu.
Buruketak berak ematen du askotan

Sortu duzun ekuazioa askatu
Bukatzeko, egiaztatu emaitza dituzun datu guztiekin
Kopiatu koadernoan

13

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

24) Bi zenbakiren arteko batura 76, da eta bata bestea
baino lau unitate handiagoa da. Bilatu zenbakiok. EMA.:
36, 40.
25) Ondoz ondoko hiru zenbakiren arteko batura
laurogeita hamahiru da. Zein dira zenbaki horiek. EMA.:
30, 31, 32.
26) Zenbaki baten herenaren eta hirukoitzaren arteko
batura berrogei da. Aurkitu zenbakia. EMA.: 12.
27) Bi mila laurehun metro ibili ondoren, distantziaren
herena falta zaigu bukatzeko. Zein da distantzia? EMA.:
3.600 m.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

14

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

28) Pertsona batek duen muxika-kopurua honela banatuta
geratu da: erdiak saldu egin zituen, laurdenak anaiari eman
zizkion eta, oraindik, ehun eta hogei muxika geratu zaizkio.
Zenbat muxika zituen? EMA.: 480 muxika.

29) Zuk hamabi urte badituzu eta zure aitak zure adinaren
zortzi herena, zenbat urte ditu zure aitak? EMA.: 32 urte.
30) Ondoz ondoko bi zenbaki ditugu. Handienaren
herenaren eta txikienaren arteko batura txikienaren
bikoitzaren herena da. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 2, 3.
31) Andonik Kepak baino bost euro gehiago ditu. Baina
Andonik Kepari lau euro emango balizkio, Keparen dirutza
Andonirenaren bikoitza bihurtuko litzateke. Zenbat dauka
bakoitzak? EMA.: 7 eta 2 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

15

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

32) Orain dela lau urte ume baten adinaren hirukoitza
orain duenaren bikoitza zen. Zenbat urte ditu? EMA.: 12
urte.
33) Pertsona baten adina beste lagun batenaren bikoitza
da. Orain dela zazpi urte, bi pertsonen urteen batura
lehenengoaren gaur egungo adina izan zen. Kalkula
itzazu bi pertsonen adinak. EMA.:14 eta 28 urte.
34) Aita batek berrogeita bi urte ditu, eta semeak hamar.
Zenbat urte pasa behar dira aitaren adina semearenaren
hirukoitza izateko? EMA.: 6 urte
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

16

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

35) Gripea zela eta, gela bateko sei ikasle ez ziren eskolara
etorri. Eta, honela, ikasle guztien hiru laurdenak baino bi
gehiago etorri ziren. Zenbat ikasle ziren gelan? EMA.: 32
ikasle.
36) Laukizuzen-itxurako bizkotxo batean, hiru zati egin ditugu.
Lehenengoa bizkotxoaren herena da, bigarrena bostena eta
hirugarrena lau bederatzirena; 4 cm geratu zaigu sobran.
Zenbatekoa da bizkotxoaren luzera? EMA.: 180 cm.

37) Hemendik hamaika urtera, Enekoren adina duela
hamahiru urte zuenaren bikoitza izango da. Zenbat urte ditu?
EMA.: 37 urte.00
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

17

2. mailako ekuazioak ezezagun bakarrekoak badira,
honela adieraziko ditugu:
ax2 + bx + c = 0
a, b eta c zenbaki osoak dira, eta a ezin da zeroren
berdina izan (a  0).
Ekuazio horiek formula honek askatzen ditu beti:

x

b

b  4 ac
2

2a
Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

18

x

Adibide gisa, askatu
honako ekuazio hau:

x

b  4 ac
2

2a

GOGORATU: letra baten
aurrean ezer ikusten ez
duzunean, 1 zenbakia dago

2x2 – x – 1 = 0
a=2
b = –1
c = –1

b

 (  1) 

(  1)  4  2  (  1)
2

22
4



1 1 8
4

Kopiatu koadernoan



1 3
4



1

4
2
4



1
2



2. mailako ekuazioak

19
x

b

b  4 ac
2

2a

Askatu honako ekuazio hauek:
38) x2 – x – 2 = 0 EMA.: 2, –1
39) 3x2 – 7x – 6 = 0 EMA.: 3, –2/3
40) 4x2 – 8x + 3 = 0 EMA.: 3/2, 1/2
41) x2 + 4x + 4 = 0 EMA.: –2

42) x2 + 8x + 3 = 0 EMA.: –0,4; –7,6
43) x2 + 2x + 2 = 0 EMA.: emaitzarik
ez.

Emaitza bakarra
lortzen badugu,
emaitza horri emaitza
bikoitza esango
diogu.
Batzuetan, erroak ez
du emaitzarik, eta,
orduan, esaten dugu
ekuazioak ez duela
emaitza errealik.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

20

Modu horrek 2. mailako ekuazio guztietarako balio
badu ere, badaude beste modu errazago batzuk:
1) b = 0 denean

Adibidea:

ax2 + 0x + c = 0

3x2 – 75 = 0

ax2 + c = 0

3x2 = 75

ax2 = –c
x 
2

x 
2

75
3

c

5

a
x

c

x   25 

–5

a

Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

21

GOGORATU: biderkadura bat zero bada,
biderkagairen bat zero delako da
2) c = 0 denean

Adibidea:

ax2 + bx + 0 = 0

5x2 – 7x = 0

ax2 + bx = 0

x·(5x – 7) = 0

x·(ax + b) = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

5x – 7 = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

ax + b = 0
x = –b/a
Kopiatu koadernoan

x = 7/5

22

2. mailako ekuazioak

Ebatzi honako ekuazio hauek:
44) 3x² + 5x – 2 = 0 EMA.: 1/3; –2
45) 4x² – 36 = 0 EMA: 3, –3.
46) 2x² – 15x + 7 = 0 EMA: 7, 1/2

52) 2x2 – 3 = x2 – 2x EMA.: 1,
–3
53) x – 2 = x2 EMA.:
emaitzarik ez.

47) 3x² – 75x = 0 EMA: 0, 25.
48) 7x² – 9x + 2 = 0 EMA.: 1, 2/7

54 ) 1 +

= 2x

EMA.: –1/2, 1

x

49) 2x² – 2x – 24 = 0 EMA.: 4, –3

50) x²/3 – 12 = 0 EMA: 6, –6

1

55 ) 1 +

1
x

=x -

1
x

EMA.: –1, 2

51) (x – 2)(x + 1) = 0 EMA: 2, –1
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

23

2. mailako ekuazioak. Buruketak

56) Bi zenbakiren artean, 5eko aldea dago, eta haien
arteko biderkadura 66 da. Zein dira zenbakiok? EMA.: 6,
11; –11, –6.
57) Laukizuzen batek hogei zentimetroko diagonala du.
Zein izango da azalera, altuera baino lau cm luzeago
badu oina? EMA.: 12 cm, 16 cm.
58) Bila ezazu zirkunferentzia baten luzera, haren azalera
28,26 m² bada. EMA.: 18,84 m.
59) Triangelu zuzen batean, hipotenusaren luzera 10 cm
da. Bila itzazu katetoen luzerak, bata bestea baino 2 cm
luzeagoa bada. EMA.: 6 cm, 8 cm.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

24

2. mailako ekuazioak. Buruketak

60) Demagun 7 cm-ko alanbre bat daukagula. Nondik
tolestuko dugu muturretako bat bestetik 5 cm-ra egon dadin
angelu zuzen bat osatu ondoren? EMA.: 4 cm, 3 cm.
61) Ondoz ondoko bi zenbakiren arteko biderkadura
honako hau da zenbaki horien arteko batura gehi bost
unitate. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 3, 4; –2, –1.
62) Triangelu zuzen baten azalera 90 cm2 da. Bilatu
katetoak, haien arteko aldea 3 cm-koa bada. EMA.: 12 cm
eta 15 cm.
63) Banatu 9 zenbakia bi zatitan, bakoitzaren berbiduren
arteko batura 41 izan dadin. EMA.: 4, 5.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

25

Bi ezezaguneko ekuazio-sistemak:
Bi ekuazio aldi berean betetzen badira, ekuazio-sistema
bat dugu. Bi ekuazioak zenbaki berberetarako bete
behar dira.
Adibidez:

2x  y  4 

x  2 y   3

Sistema honen emaitza x = 1 eta y = 2 da, edo beste
modu batez adierazita, (1, 2) da.
Begiratu ea egia den.
Kopiatu koadernoan

26

Ekuazio-sistemak

Lau era ditugu ekuazio-sistemak ebazteko, baina
mementoz hiru besterik ez dugu ikasiko:
1. Ordezkatzea
2. Berdintzea
3. Laburtzea

Kopiatu koadernoan

Ekuazio-sistemak

27
1. Ordezkatzea
2x  y  4 

x  2 y   3

y  4  2x



x  8  4 x   3

Ekuazio batean,
ezezagun bat bakandu:
y  4  2x 

x  2 y   3

Beste ekuazioan,
ezezagun hori ordeztu

Beste ekuazioan
ordeztu
y  4  2x 

5 x  3  8

y  4  2x

5x  5 

y  4  2x



x  2  ( 4  2 x )   3

y  4  2x

x 1 

Kopiatu koadernoan

y  4  2  1

x 1 

y  2

x  1

Ekuazio-sistemak

28

Askatu sistema hauek, ordezkatze-metodoa erabiliz:
3 x  8 y  10 
64 )
 EMA. : ( 6 ,  1)
x y 5 

2x  3y  7 
65 )
 EMA. : ( 2 ,  1)
5 x  2 y  12 



1
2
67 )
EMA. : ( 4 , )

x y
x
2
  y
3
4

3x

68 )

 4y  8

3x  1  2 y  2
 EMA. : (  1,  3 )
x  y  4


2 x  12  4 y 

66 ) 2 x
 EMA. : ( 0 ,  3 )
 2 y  6

5


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

29

Ekuazio biak
berdindu

2. Berdintzea
2x  y  4 

x  2 y   3

4  2x 

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

3 x
2

y  4  2x

Ekuazio bietan, ezezagun
bera bakandu:
8  4x  3  x

y  4  2x 

 2 y  3  x 

y  4  2x

3 x 
y
2 


 5 x  5

x 1

Kopiatu koadernoan

y  4  2 1

y2

Ekuazio-sistemak

30

Askatu sistema hauek, berdintze-metodoa erabiliz:
2 x  y  0
69 )
 EMA. : (  1, 2 )
x  y 1

3x  y  4

70 ) x
 EMA. : ( 2 , 2 )
 y3

2


x 5  4y
x
71 )
y 
2


1
 y 1 
72 ) 4
 EMA. : ( 2 ,  )
2
2( x  y )  3

x

73 )

x5 y


 EMA. : (  3, 2 )
5 x  2 y   19 


1

EMA.
:
(
3
,

)

2
2



Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

31
3. Laburtzea
2x  y  4 

x  2 y   3

Ezezagun bera duten bi
gaiak ekuazio bietan
berdinak izatea da
helburua; berdinak
baina aurkako zeinua
dutela. Horretarako,
ekuazioetako bat
zenbaki oso batez
biderkatuko dugu:
2  (2 x  y  4)

x  2 y  3 

4x  2 y  8 

x  2 y   3

Ekuazio bien
arteko batuketa
egin, gaiz gai.
4x  2 y  8



x  2 y  3 

5x  0 y  5
5x  5
x 1

Kopiatu koadernoan

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

2 1  y  4

y  42

y2

Ekuazio-sistemak

32

Askatu sistema hauek, laburtze-metodoa erabiliz:
x  y  9
74 )
 EMA. : ( 5 , 4 )
x  y 1

75 )

3x  y  3
1
EMA.
:
(
, 2)

6 x  y  0
3

76 )

2 x  3 y  4
 EMA. : (1,  2 )
x  2y  5 


 y  0
77 ) 2
 EMA. : ( 4 ,  2 )
y
 x  3
2

x

5 
1 1

78 )
EMA.
:
(
, )
6 
2
3
3 y  3  4 x  2 
x 1  y 

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

33

Askatu sistema hauek, zure ustez errazena den metodoaz:
6 x  5 y  4
79 )
 EMA. : (1,  2 )
x  y  1

82 )

3x  y  1


 EMA. : Ez du
x  2 y  2  2x  y

emaitzarik

3x  5  2 y


80 ) x
 EMA. : (3 , 2 )
 y  2x  3

3


x
83 )
x

(Sistema

y 1
2
y2
3

bateraezin a)


1

 EMA. : (  8 ,  19 )
 1


3x  y  2
1

y  EMA. : ( ,  1)
81 ) x

3
3
9 


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

34

Ekuazio-sistemak. Buruketak

84) Ostatu batean, ohe bateko eta biko gelak daude. Orotara 50
gela eta 87 ohe daude. Mota bakoitzeko zenbat gela dago?
EMA.: 13, 37 gela
85) Txakur-txapelketa batean, txakurrak eta beraien jabeak
daude. Guztira hirurogeita hamazortzi buru eta berrehun eta
hamasei hanka daude. Zenbat txakur eta pertsona daude?
EMA.: 48 pertsona, 30 txakur.
86) Bi zenbakiren arteko batura hamalau da. Handienari bat
gehitzen badiogu, txikienaren bikoitza lortzen da. Aurki itzazu
zenbakiak. EMA.: 9, 5.
87) Bi zenbakiren arteko batura 150 da, eta kendura txikienaren
laukoitza da. Aurki itzazu zenbakiok. EMA.: 125, 25
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

35

Ekuazio-sistemak. Buruketak

88) Zenbaki baten hirukoitzari beste baten laukoitza
gehitutakoan, zazpi izango da emaitza; lehenengoaren
bikoitzari bigarrena gehitutakoan, berriz, hiru izango da
emaitza. Bilatu zenbakiok. EMA.: 1, 1.
89) Bi anaia-arreben adinen arteko batura 17 da; bost urte
barru, batena bestearenaren bikoitza izango da. Zenbat
urte dituzte? EMA.: 13, 4 urte.
90) Dendara joan eta alkandora bat eta praka batzuk erosi
ditut. Markatuta dituzten prezioen artean, 100 euro egiten
dute, baina, merkealdia dela eta, alkandoran % 20ko
deskontua egin didate, eta, praketan, % 30ekoa. Guztira,
73,50 euro pagatu dut. Zenbat balio du bakoitzak? EMA.:
35 eta 65 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

36
2
x + y = 24 
91 )
 EMA. : (2, 20); (  4, 8)
y = 2x + 16 

Ekuazio-sistemak
x y 7 
92 ) 2
 EMA. : ( 3, 4 ); ( 4 , 3 )
2
x  y  25 

93) 60 euro ditugu lagun batzuen artean banatzeko. Hiru
lagun gehiago bagina, bakoitzari euro bat gutxiago
egokituko litzaiguke. Zenbat gara? EMA: 12 lagun.

94) Loradenda batean, tulipan sortak egiteko hari batzuk
daude. Tulipanak binaka jarriz gero, 4 tulipan geldituko dira
sobran, eta hirunaka jarriz gero, hari bat sobran. Zenbat
tulipan eta zenbat hari daude? EMA: 7, 18.
95) Bi zenbakiren arteko kendura 3 da, eta zenbakion
berbiduren arteko batura, 117. Bila itzazu zenbakiok. EMA:
(–6, –9); (9, 6).
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

37

Ekuazio-sistemak

96) Bi zenbakiren arteko kendura 6 da, eta
biderkadura, 216. Bila itzazu zenbakiok. EMA: (–12, –
18); (18, 12).
97) Triangelu zuzen baten hipotenusa 10 m luze da,
eta perimetroa, 24 m-koa da. Zenbat luze dira bi
katetoak? EMA.: 6 cm, 8 cm.
98) x4 + 3x² – 4 = 0 EMA.: 1, –1
99) x × (x + 5) × (x – 2) = 0 EMA: 0, –5, 2.
100) x4 – 5x² + 4 = 0 EMA: 2, –2, 1, –1.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira


Slide 21

1

Ekuazioak 3. DBH
Alfredo Ortega Loza
Unitate honetan, hauek ikasi edo gogoratuko ditugu:
•Ekuazioak eta identitateak bereizten
•Lehenengo mailako ekuazioak askatzen
•Buruketak askatzen
•2. mailako ekuazioak askatzen
•Ekuazio-sistemak askatzen
•2. mailako ekuazio-sistemak askatzen

Berdintzak

2

Berdin ikurra duten adierazpeni berdintza
esaten zaie.
Berdintzak zenbakizkoak izan daitezke:
3·(5 – 4) = 2 + 1



45/5 = 18/2



Algebraikoak ere,
izan daitezke:

Berdintzaren ezkerreko aldeari
lehen atala esaten zaio, eta
eskuinekoari, bigarren atala.
Batuketa edo kenketa ikurren
arteko letra eta zenbakimultzoei, berriz, gai deritze.

3x – 5 = x/4 +1



5a + 2b = 10a/2 + (9/2)b – (5/2)b



Kopiatu koadernoan

Identitateak

3

Berdintza algebraikoak –letrak dituztenak–
identitateak edo ekuazioak izan daitezke:
Identitateak:

3x + (5 – 1)·2 = 2x + x + 8
5a – a = 2 (7a – 5a)

Gogoratu: zenbakien
eta letren artean ezer
ez dagoenean,
BIDER (·) ikurra
irakurri behar da beti.

Ezezagunak (letra) edozein balio izanda ere,
bete egingo da berdintza. Askatzen saiatuz
gero, 0 = 0 lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazioak

4

Ekuazioak:
3x = 2x + 1. EMA.: x = 1
5a – 3 = 2 (7a – 5a). EMA.: a = 3

Ezezagunaren balio batzuetarako baino ez
da betetzen berdintza.
Balio horiek topatzeari ekuazioa askatzea
(edo ebaztea) esaten zaio.

Kopiatu koadernoan

5

Ekuazio baliokideak
Ekuazioen propietateak:

Ekuazio baten bi aldeetan batuketa edo
kenketa bera egiten badugu, hasierakoaren
ekuazio baliokide bat (emaitza berbera
duena) lortuko dugu.
Ekuazio baten bi aldeak zero ez den
adierazpen batekin biderkatzen edo
zatitzen baditugu, hasierakoaren ekuazio
baliokide bat lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (1)

6

Ekuazioetarako erregelak:

x+7=3

–x = 3 – 2x

x+7–7=3–7

–x + 2x = 3 – 2x + 2x

x=3–7

–x + 2x = 3

x = –4

x=3

Ekuazioaren alde batean
batzen dagoena kentzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazioaren alde batean
kentzen dagoena batzen
pasatzen da beste aldera.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (2)

7

3x



3
x

Kopiatu koadernoan

Ekuazioetarako erregelak:
x
3x – 7 = 2
2 1
4
3x – 7 + 7 = 2 + 7
x
 2  2  1 2
4
3x = 9
9
3
9
3

x=3

Ekuazioaren alde batean
biderkatzen dagoena zatitzen
pasatzen da beste aldera.

x

 1

4
4

x

 4  (  1)

4
x  4  (  1)

x = –4
Ekuazioaren alde batean
zatitzen dagoena biderkatzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazio-ebazpenak

8
Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio eta identitate
hauek :

 Letrak dituzten
gai guztiak
berdintzaren alde
batera eraman
behar ditugu, eta
zenbakiak,
bestera.

1) x – 3 + 5x = 4x – 7. EMA.: –2

 Parentesiak
badaude, beste
ezer baino lehen
kendu behar
ditugu.

2) 7x – 5 + 2x + 6 = –3x + 8 – x.
EMA.: 7/13
3) 2x – (6x + 1) = 3x – 5(2 – x). EMA.: 3/4
4) 7(x + 3) = 7 + 8x – 1 . EMA.: 15
5) 3x +7 – 2(x – 3) = 3(x + 4) – 2x + 1.
EMA.: Edozein; identitatea da

6) 4 – (3 – x) + 6 = 2x + 2(2x – 3).
EMA.: 13/5
7) 5 – x(3 + 1) = 2x – 6(3 – 2x).
EMA.: 23/18

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

9

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio hauek :
8)

 Izendatzaileak
badaude,
izendatzaileen
MKTa lortu behar
dugu, eta,
ondoren,
berdintzaren
alde biak MKT
horrekin
biderkatuko
ditugu.

9)

1

x + 2=

2

x - 5 . E M A : 42

3

4

x

- 3  (x - 1) = 2 x -

7 - x

2

10)

1

(x - 2) -

8

11)

. E M A : 32/29.

3
2

(2 x + 6) + x = - 4 .E M A : -6/5

3

x - 1

-

x + 1

2
12) - 4  (3 - x)

=x -

3

5

.E M A : 1

3
+ 4x =

3

 (2 x - 1) - (x + 1) E M A : 4/3.

5

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

10

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
13)

x

-

x - 3

6

14)

=1 -

2x - 5

4

6x - 1

-

5x - 6

5

=

2x + 1

7
x - 2

15) 1 -

5

- 2

- 5x =

3x - 5

7x

(x - 1)

x - 8

2
18) 2 -

3  (2 + x)

=x +

3
-

3
x - 1
5

E M A : 25/41.

2

4

17)

E M A : 34/19.

3

3

16)

E M A : 23/7.

3

E M A : -13/38.

2
-

4  (4 x + 2)

=

5
- (2 x - 1) =

5x - 3

E M A : 2.

7
x - 5
E M A : 19/9

2

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

11

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
19) x -

x

-

x - 1

2

=

6

20) - 4 x - 3 -

x

- 2  (x - 1) E M A :11/13.

6

6x + 4

= 3 - 4  (x - 1) E M A : -37/3.

7
21) 3 -

x + 1

- (4 x - 1) = x - (3 - 4 x) E M A : 13/19.

2
x 22)

1
2 -

3
2

23)

x -

x + 2

-

2

x

- 3
3 = 2 - x - 2
E M A : 2.
4
6
12
1

3x - 1

+

4
(x + 2) (3 x - 1)

= 0 . E M A : 0.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

12

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

Buruketen emaitzak lortzeko, pauso hauek dira
garrantzitsuenak:

Proposatzen den buruketa ondo ulertu. Behar diren
irakurketa guztiak egin, zer eskatzen duten ondo ulertzeko
eta azaltzen diren baldintzak ondo kontrolatzeko

Azpimarratu datu garrantzitsuenak
Ixa esleitu. Ixaren aldamenean beti idatzi zer den
Dituzun datu guztien artean, erlazioren bat topatu.
Buruketak berak ematen du askotan

Sortu duzun ekuazioa askatu
Bukatzeko, egiaztatu emaitza dituzun datu guztiekin
Kopiatu koadernoan

13

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

24) Bi zenbakiren arteko batura 76, da eta bata bestea
baino lau unitate handiagoa da. Bilatu zenbakiok. EMA.:
36, 40.
25) Ondoz ondoko hiru zenbakiren arteko batura
laurogeita hamahiru da. Zein dira zenbaki horiek. EMA.:
30, 31, 32.
26) Zenbaki baten herenaren eta hirukoitzaren arteko
batura berrogei da. Aurkitu zenbakia. EMA.: 12.
27) Bi mila laurehun metro ibili ondoren, distantziaren
herena falta zaigu bukatzeko. Zein da distantzia? EMA.:
3.600 m.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

14

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

28) Pertsona batek duen muxika-kopurua honela banatuta
geratu da: erdiak saldu egin zituen, laurdenak anaiari eman
zizkion eta, oraindik, ehun eta hogei muxika geratu zaizkio.
Zenbat muxika zituen? EMA.: 480 muxika.

29) Zuk hamabi urte badituzu eta zure aitak zure adinaren
zortzi herena, zenbat urte ditu zure aitak? EMA.: 32 urte.
30) Ondoz ondoko bi zenbaki ditugu. Handienaren
herenaren eta txikienaren arteko batura txikienaren
bikoitzaren herena da. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 2, 3.
31) Andonik Kepak baino bost euro gehiago ditu. Baina
Andonik Kepari lau euro emango balizkio, Keparen dirutza
Andonirenaren bikoitza bihurtuko litzateke. Zenbat dauka
bakoitzak? EMA.: 7 eta 2 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

15

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

32) Orain dela lau urte ume baten adinaren hirukoitza
orain duenaren bikoitza zen. Zenbat urte ditu? EMA.: 12
urte.
33) Pertsona baten adina beste lagun batenaren bikoitza
da. Orain dela zazpi urte, bi pertsonen urteen batura
lehenengoaren gaur egungo adina izan zen. Kalkula
itzazu bi pertsonen adinak. EMA.:14 eta 28 urte.
34) Aita batek berrogeita bi urte ditu, eta semeak hamar.
Zenbat urte pasa behar dira aitaren adina semearenaren
hirukoitza izateko? EMA.: 6 urte
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

16

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

35) Gripea zela eta, gela bateko sei ikasle ez ziren eskolara
etorri. Eta, honela, ikasle guztien hiru laurdenak baino bi
gehiago etorri ziren. Zenbat ikasle ziren gelan? EMA.: 32
ikasle.
36) Laukizuzen-itxurako bizkotxo batean, hiru zati egin ditugu.
Lehenengoa bizkotxoaren herena da, bigarrena bostena eta
hirugarrena lau bederatzirena; 4 cm geratu zaigu sobran.
Zenbatekoa da bizkotxoaren luzera? EMA.: 180 cm.

37) Hemendik hamaika urtera, Enekoren adina duela
hamahiru urte zuenaren bikoitza izango da. Zenbat urte ditu?
EMA.: 37 urte.00
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

17

2. mailako ekuazioak ezezagun bakarrekoak badira,
honela adieraziko ditugu:
ax2 + bx + c = 0
a, b eta c zenbaki osoak dira, eta a ezin da zeroren
berdina izan (a  0).
Ekuazio horiek formula honek askatzen ditu beti:

x

b

b  4 ac
2

2a
Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

18

x

Adibide gisa, askatu
honako ekuazio hau:

x

b  4 ac
2

2a

GOGORATU: letra baten
aurrean ezer ikusten ez
duzunean, 1 zenbakia dago

2x2 – x – 1 = 0
a=2
b = –1
c = –1

b

 (  1) 

(  1)  4  2  (  1)
2

22
4



1 1 8
4

Kopiatu koadernoan



1 3
4



1

4
2
4



1
2



2. mailako ekuazioak

19
x

b

b  4 ac
2

2a

Askatu honako ekuazio hauek:
38) x2 – x – 2 = 0 EMA.: 2, –1
39) 3x2 – 7x – 6 = 0 EMA.: 3, –2/3
40) 4x2 – 8x + 3 = 0 EMA.: 3/2, 1/2
41) x2 + 4x + 4 = 0 EMA.: –2

42) x2 + 8x + 3 = 0 EMA.: –0,4; –7,6
43) x2 + 2x + 2 = 0 EMA.: emaitzarik
ez.

Emaitza bakarra
lortzen badugu,
emaitza horri emaitza
bikoitza esango
diogu.
Batzuetan, erroak ez
du emaitzarik, eta,
orduan, esaten dugu
ekuazioak ez duela
emaitza errealik.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

20

Modu horrek 2. mailako ekuazio guztietarako balio
badu ere, badaude beste modu errazago batzuk:
1) b = 0 denean

Adibidea:

ax2 + 0x + c = 0

3x2 – 75 = 0

ax2 + c = 0

3x2 = 75

ax2 = –c
x 
2

x 
2

75
3

c

5

a
x

c

x   25 

–5

a

Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

21

GOGORATU: biderkadura bat zero bada,
biderkagairen bat zero delako da
2) c = 0 denean

Adibidea:

ax2 + bx + 0 = 0

5x2 – 7x = 0

ax2 + bx = 0

x·(5x – 7) = 0

x·(ax + b) = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

5x – 7 = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

ax + b = 0
x = –b/a
Kopiatu koadernoan

x = 7/5

22

2. mailako ekuazioak

Ebatzi honako ekuazio hauek:
44) 3x² + 5x – 2 = 0 EMA.: 1/3; –2
45) 4x² – 36 = 0 EMA: 3, –3.
46) 2x² – 15x + 7 = 0 EMA: 7, 1/2

52) 2x2 – 3 = x2 – 2x EMA.: 1,
–3
53) x – 2 = x2 EMA.:
emaitzarik ez.

47) 3x² – 75x = 0 EMA: 0, 25.
48) 7x² – 9x + 2 = 0 EMA.: 1, 2/7

54 ) 1 +

= 2x

EMA.: –1/2, 1

x

49) 2x² – 2x – 24 = 0 EMA.: 4, –3

50) x²/3 – 12 = 0 EMA: 6, –6

1

55 ) 1 +

1
x

=x -

1
x

EMA.: –1, 2

51) (x – 2)(x + 1) = 0 EMA: 2, –1
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

23

2. mailako ekuazioak. Buruketak

56) Bi zenbakiren artean, 5eko aldea dago, eta haien
arteko biderkadura 66 da. Zein dira zenbakiok? EMA.: 6,
11; –11, –6.
57) Laukizuzen batek hogei zentimetroko diagonala du.
Zein izango da azalera, altuera baino lau cm luzeago
badu oina? EMA.: 12 cm, 16 cm.
58) Bila ezazu zirkunferentzia baten luzera, haren azalera
28,26 m² bada. EMA.: 18,84 m.
59) Triangelu zuzen batean, hipotenusaren luzera 10 cm
da. Bila itzazu katetoen luzerak, bata bestea baino 2 cm
luzeagoa bada. EMA.: 6 cm, 8 cm.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

24

2. mailako ekuazioak. Buruketak

60) Demagun 7 cm-ko alanbre bat daukagula. Nondik
tolestuko dugu muturretako bat bestetik 5 cm-ra egon dadin
angelu zuzen bat osatu ondoren? EMA.: 4 cm, 3 cm.
61) Ondoz ondoko bi zenbakiren arteko biderkadura
honako hau da zenbaki horien arteko batura gehi bost
unitate. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 3, 4; –2, –1.
62) Triangelu zuzen baten azalera 90 cm2 da. Bilatu
katetoak, haien arteko aldea 3 cm-koa bada. EMA.: 12 cm
eta 15 cm.
63) Banatu 9 zenbakia bi zatitan, bakoitzaren berbiduren
arteko batura 41 izan dadin. EMA.: 4, 5.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

25

Bi ezezaguneko ekuazio-sistemak:
Bi ekuazio aldi berean betetzen badira, ekuazio-sistema
bat dugu. Bi ekuazioak zenbaki berberetarako bete
behar dira.
Adibidez:

2x  y  4 

x  2 y   3

Sistema honen emaitza x = 1 eta y = 2 da, edo beste
modu batez adierazita, (1, 2) da.
Begiratu ea egia den.
Kopiatu koadernoan

26

Ekuazio-sistemak

Lau era ditugu ekuazio-sistemak ebazteko, baina
mementoz hiru besterik ez dugu ikasiko:
1. Ordezkatzea
2. Berdintzea
3. Laburtzea

Kopiatu koadernoan

Ekuazio-sistemak

27
1. Ordezkatzea
2x  y  4 

x  2 y   3

y  4  2x



x  8  4 x   3

Ekuazio batean,
ezezagun bat bakandu:
y  4  2x 

x  2 y   3

Beste ekuazioan,
ezezagun hori ordeztu

Beste ekuazioan
ordeztu
y  4  2x 

5 x  3  8

y  4  2x

5x  5 

y  4  2x



x  2  ( 4  2 x )   3

y  4  2x

x 1 

Kopiatu koadernoan

y  4  2  1

x 1 

y  2

x  1

Ekuazio-sistemak

28

Askatu sistema hauek, ordezkatze-metodoa erabiliz:
3 x  8 y  10 
64 )
 EMA. : ( 6 ,  1)
x y 5 

2x  3y  7 
65 )
 EMA. : ( 2 ,  1)
5 x  2 y  12 



1
2
67 )
EMA. : ( 4 , )

x y
x
2
  y
3
4

3x

68 )

 4y  8

3x  1  2 y  2
 EMA. : (  1,  3 )
x  y  4


2 x  12  4 y 

66 ) 2 x
 EMA. : ( 0 ,  3 )
 2 y  6

5


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

29

Ekuazio biak
berdindu

2. Berdintzea
2x  y  4 

x  2 y   3

4  2x 

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

3 x
2

y  4  2x

Ekuazio bietan, ezezagun
bera bakandu:
8  4x  3  x

y  4  2x 

 2 y  3  x 

y  4  2x

3 x 
y
2 


 5 x  5

x 1

Kopiatu koadernoan

y  4  2 1

y2

Ekuazio-sistemak

30

Askatu sistema hauek, berdintze-metodoa erabiliz:
2 x  y  0
69 )
 EMA. : (  1, 2 )
x  y 1

3x  y  4

70 ) x
 EMA. : ( 2 , 2 )
 y3

2


x 5  4y
x
71 )
y 
2


1
 y 1 
72 ) 4
 EMA. : ( 2 ,  )
2
2( x  y )  3

x

73 )

x5 y


 EMA. : (  3, 2 )
5 x  2 y   19 


1

EMA.
:
(
3
,

)

2
2



Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

31
3. Laburtzea
2x  y  4 

x  2 y   3

Ezezagun bera duten bi
gaiak ekuazio bietan
berdinak izatea da
helburua; berdinak
baina aurkako zeinua
dutela. Horretarako,
ekuazioetako bat
zenbaki oso batez
biderkatuko dugu:
2  (2 x  y  4)

x  2 y  3 

4x  2 y  8 

x  2 y   3

Ekuazio bien
arteko batuketa
egin, gaiz gai.
4x  2 y  8



x  2 y  3 

5x  0 y  5
5x  5
x 1

Kopiatu koadernoan

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

2 1  y  4

y  42

y2

Ekuazio-sistemak

32

Askatu sistema hauek, laburtze-metodoa erabiliz:
x  y  9
74 )
 EMA. : ( 5 , 4 )
x  y 1

75 )

3x  y  3
1
EMA.
:
(
, 2)

6 x  y  0
3

76 )

2 x  3 y  4
 EMA. : (1,  2 )
x  2y  5 


 y  0
77 ) 2
 EMA. : ( 4 ,  2 )
y
 x  3
2

x

5 
1 1

78 )
EMA.
:
(
, )
6 
2
3
3 y  3  4 x  2 
x 1  y 

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

33

Askatu sistema hauek, zure ustez errazena den metodoaz:
6 x  5 y  4
79 )
 EMA. : (1,  2 )
x  y  1

82 )

3x  y  1


 EMA. : Ez du
x  2 y  2  2x  y

emaitzarik

3x  5  2 y


80 ) x
 EMA. : (3 , 2 )
 y  2x  3

3


x
83 )
x

(Sistema

y 1
2
y2
3

bateraezin a)


1

 EMA. : (  8 ,  19 )
 1


3x  y  2
1

y  EMA. : ( ,  1)
81 ) x

3
3
9 


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

34

Ekuazio-sistemak. Buruketak

84) Ostatu batean, ohe bateko eta biko gelak daude. Orotara 50
gela eta 87 ohe daude. Mota bakoitzeko zenbat gela dago?
EMA.: 13, 37 gela
85) Txakur-txapelketa batean, txakurrak eta beraien jabeak
daude. Guztira hirurogeita hamazortzi buru eta berrehun eta
hamasei hanka daude. Zenbat txakur eta pertsona daude?
EMA.: 48 pertsona, 30 txakur.
86) Bi zenbakiren arteko batura hamalau da. Handienari bat
gehitzen badiogu, txikienaren bikoitza lortzen da. Aurki itzazu
zenbakiak. EMA.: 9, 5.
87) Bi zenbakiren arteko batura 150 da, eta kendura txikienaren
laukoitza da. Aurki itzazu zenbakiok. EMA.: 125, 25
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

35

Ekuazio-sistemak. Buruketak

88) Zenbaki baten hirukoitzari beste baten laukoitza
gehitutakoan, zazpi izango da emaitza; lehenengoaren
bikoitzari bigarrena gehitutakoan, berriz, hiru izango da
emaitza. Bilatu zenbakiok. EMA.: 1, 1.
89) Bi anaia-arreben adinen arteko batura 17 da; bost urte
barru, batena bestearenaren bikoitza izango da. Zenbat
urte dituzte? EMA.: 13, 4 urte.
90) Dendara joan eta alkandora bat eta praka batzuk erosi
ditut. Markatuta dituzten prezioen artean, 100 euro egiten
dute, baina, merkealdia dela eta, alkandoran % 20ko
deskontua egin didate, eta, praketan, % 30ekoa. Guztira,
73,50 euro pagatu dut. Zenbat balio du bakoitzak? EMA.:
35 eta 65 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

36
2
x + y = 24 
91 )
 EMA. : (2, 20); (  4, 8)
y = 2x + 16 

Ekuazio-sistemak
x y 7 
92 ) 2
 EMA. : ( 3, 4 ); ( 4 , 3 )
2
x  y  25 

93) 60 euro ditugu lagun batzuen artean banatzeko. Hiru
lagun gehiago bagina, bakoitzari euro bat gutxiago
egokituko litzaiguke. Zenbat gara? EMA: 12 lagun.

94) Loradenda batean, tulipan sortak egiteko hari batzuk
daude. Tulipanak binaka jarriz gero, 4 tulipan geldituko dira
sobran, eta hirunaka jarriz gero, hari bat sobran. Zenbat
tulipan eta zenbat hari daude? EMA: 7, 18.
95) Bi zenbakiren arteko kendura 3 da, eta zenbakion
berbiduren arteko batura, 117. Bila itzazu zenbakiok. EMA:
(–6, –9); (9, 6).
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

37

Ekuazio-sistemak

96) Bi zenbakiren arteko kendura 6 da, eta
biderkadura, 216. Bila itzazu zenbakiok. EMA: (–12, –
18); (18, 12).
97) Triangelu zuzen baten hipotenusa 10 m luze da,
eta perimetroa, 24 m-koa da. Zenbat luze dira bi
katetoak? EMA.: 6 cm, 8 cm.
98) x4 + 3x² – 4 = 0 EMA.: 1, –1
99) x × (x + 5) × (x – 2) = 0 EMA: 0, –5, 2.
100) x4 – 5x² + 4 = 0 EMA: 2, –2, 1, –1.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira


Slide 22

1

Ekuazioak 3. DBH
Alfredo Ortega Loza
Unitate honetan, hauek ikasi edo gogoratuko ditugu:
•Ekuazioak eta identitateak bereizten
•Lehenengo mailako ekuazioak askatzen
•Buruketak askatzen
•2. mailako ekuazioak askatzen
•Ekuazio-sistemak askatzen
•2. mailako ekuazio-sistemak askatzen

Berdintzak

2

Berdin ikurra duten adierazpeni berdintza
esaten zaie.
Berdintzak zenbakizkoak izan daitezke:
3·(5 – 4) = 2 + 1



45/5 = 18/2



Algebraikoak ere,
izan daitezke:

Berdintzaren ezkerreko aldeari
lehen atala esaten zaio, eta
eskuinekoari, bigarren atala.
Batuketa edo kenketa ikurren
arteko letra eta zenbakimultzoei, berriz, gai deritze.

3x – 5 = x/4 +1



5a + 2b = 10a/2 + (9/2)b – (5/2)b



Kopiatu koadernoan

Identitateak

3

Berdintza algebraikoak –letrak dituztenak–
identitateak edo ekuazioak izan daitezke:
Identitateak:

3x + (5 – 1)·2 = 2x + x + 8
5a – a = 2 (7a – 5a)

Gogoratu: zenbakien
eta letren artean ezer
ez dagoenean,
BIDER (·) ikurra
irakurri behar da beti.

Ezezagunak (letra) edozein balio izanda ere,
bete egingo da berdintza. Askatzen saiatuz
gero, 0 = 0 lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazioak

4

Ekuazioak:
3x = 2x + 1. EMA.: x = 1
5a – 3 = 2 (7a – 5a). EMA.: a = 3

Ezezagunaren balio batzuetarako baino ez
da betetzen berdintza.
Balio horiek topatzeari ekuazioa askatzea
(edo ebaztea) esaten zaio.

Kopiatu koadernoan

5

Ekuazio baliokideak
Ekuazioen propietateak:

Ekuazio baten bi aldeetan batuketa edo
kenketa bera egiten badugu, hasierakoaren
ekuazio baliokide bat (emaitza berbera
duena) lortuko dugu.
Ekuazio baten bi aldeak zero ez den
adierazpen batekin biderkatzen edo
zatitzen baditugu, hasierakoaren ekuazio
baliokide bat lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (1)

6

Ekuazioetarako erregelak:

x+7=3

–x = 3 – 2x

x+7–7=3–7

–x + 2x = 3 – 2x + 2x

x=3–7

–x + 2x = 3

x = –4

x=3

Ekuazioaren alde batean
batzen dagoena kentzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazioaren alde batean
kentzen dagoena batzen
pasatzen da beste aldera.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (2)

7

3x



3
x

Kopiatu koadernoan

Ekuazioetarako erregelak:
x
3x – 7 = 2
2 1
4
3x – 7 + 7 = 2 + 7
x
 2  2  1 2
4
3x = 9
9
3
9
3

x=3

Ekuazioaren alde batean
biderkatzen dagoena zatitzen
pasatzen da beste aldera.

x

 1

4
4

x

 4  (  1)

4
x  4  (  1)

x = –4
Ekuazioaren alde batean
zatitzen dagoena biderkatzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazio-ebazpenak

8
Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio eta identitate
hauek :

 Letrak dituzten
gai guztiak
berdintzaren alde
batera eraman
behar ditugu, eta
zenbakiak,
bestera.

1) x – 3 + 5x = 4x – 7. EMA.: –2

 Parentesiak
badaude, beste
ezer baino lehen
kendu behar
ditugu.

2) 7x – 5 + 2x + 6 = –3x + 8 – x.
EMA.: 7/13
3) 2x – (6x + 1) = 3x – 5(2 – x). EMA.: 3/4
4) 7(x + 3) = 7 + 8x – 1 . EMA.: 15
5) 3x +7 – 2(x – 3) = 3(x + 4) – 2x + 1.
EMA.: Edozein; identitatea da

6) 4 – (3 – x) + 6 = 2x + 2(2x – 3).
EMA.: 13/5
7) 5 – x(3 + 1) = 2x – 6(3 – 2x).
EMA.: 23/18

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

9

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio hauek :
8)

 Izendatzaileak
badaude,
izendatzaileen
MKTa lortu behar
dugu, eta,
ondoren,
berdintzaren
alde biak MKT
horrekin
biderkatuko
ditugu.

9)

1

x + 2=

2

x - 5 . E M A : 42

3

4

x

- 3  (x - 1) = 2 x -

7 - x

2

10)

1

(x - 2) -

8

11)

. E M A : 32/29.

3
2

(2 x + 6) + x = - 4 .E M A : -6/5

3

x - 1

-

x + 1

2
12) - 4  (3 - x)

=x -

3

5

.E M A : 1

3
+ 4x =

3

 (2 x - 1) - (x + 1) E M A : 4/3.

5

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

10

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
13)

x

-

x - 3

6

14)

=1 -

2x - 5

4

6x - 1

-

5x - 6

5

=

2x + 1

7
x - 2

15) 1 -

5

- 2

- 5x =

3x - 5

7x

(x - 1)

x - 8

2
18) 2 -

3  (2 + x)

=x +

3
-

3
x - 1
5

E M A : 25/41.

2

4

17)

E M A : 34/19.

3

3

16)

E M A : 23/7.

3

E M A : -13/38.

2
-

4  (4 x + 2)

=

5
- (2 x - 1) =

5x - 3

E M A : 2.

7
x - 5
E M A : 19/9

2

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

11

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
19) x -

x

-

x - 1

2

=

6

20) - 4 x - 3 -

x

- 2  (x - 1) E M A :11/13.

6

6x + 4

= 3 - 4  (x - 1) E M A : -37/3.

7
21) 3 -

x + 1

- (4 x - 1) = x - (3 - 4 x) E M A : 13/19.

2
x 22)

1
2 -

3
2

23)

x -

x + 2

-

2

x

- 3
3 = 2 - x - 2
E M A : 2.
4
6
12
1

3x - 1

+

4
(x + 2) (3 x - 1)

= 0 . E M A : 0.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

12

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

Buruketen emaitzak lortzeko, pauso hauek dira
garrantzitsuenak:

Proposatzen den buruketa ondo ulertu. Behar diren
irakurketa guztiak egin, zer eskatzen duten ondo ulertzeko
eta azaltzen diren baldintzak ondo kontrolatzeko

Azpimarratu datu garrantzitsuenak
Ixa esleitu. Ixaren aldamenean beti idatzi zer den
Dituzun datu guztien artean, erlazioren bat topatu.
Buruketak berak ematen du askotan

Sortu duzun ekuazioa askatu
Bukatzeko, egiaztatu emaitza dituzun datu guztiekin
Kopiatu koadernoan

13

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

24) Bi zenbakiren arteko batura 76, da eta bata bestea
baino lau unitate handiagoa da. Bilatu zenbakiok. EMA.:
36, 40.
25) Ondoz ondoko hiru zenbakiren arteko batura
laurogeita hamahiru da. Zein dira zenbaki horiek. EMA.:
30, 31, 32.
26) Zenbaki baten herenaren eta hirukoitzaren arteko
batura berrogei da. Aurkitu zenbakia. EMA.: 12.
27) Bi mila laurehun metro ibili ondoren, distantziaren
herena falta zaigu bukatzeko. Zein da distantzia? EMA.:
3.600 m.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

14

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

28) Pertsona batek duen muxika-kopurua honela banatuta
geratu da: erdiak saldu egin zituen, laurdenak anaiari eman
zizkion eta, oraindik, ehun eta hogei muxika geratu zaizkio.
Zenbat muxika zituen? EMA.: 480 muxika.

29) Zuk hamabi urte badituzu eta zure aitak zure adinaren
zortzi herena, zenbat urte ditu zure aitak? EMA.: 32 urte.
30) Ondoz ondoko bi zenbaki ditugu. Handienaren
herenaren eta txikienaren arteko batura txikienaren
bikoitzaren herena da. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 2, 3.
31) Andonik Kepak baino bost euro gehiago ditu. Baina
Andonik Kepari lau euro emango balizkio, Keparen dirutza
Andonirenaren bikoitza bihurtuko litzateke. Zenbat dauka
bakoitzak? EMA.: 7 eta 2 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

15

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

32) Orain dela lau urte ume baten adinaren hirukoitza
orain duenaren bikoitza zen. Zenbat urte ditu? EMA.: 12
urte.
33) Pertsona baten adina beste lagun batenaren bikoitza
da. Orain dela zazpi urte, bi pertsonen urteen batura
lehenengoaren gaur egungo adina izan zen. Kalkula
itzazu bi pertsonen adinak. EMA.:14 eta 28 urte.
34) Aita batek berrogeita bi urte ditu, eta semeak hamar.
Zenbat urte pasa behar dira aitaren adina semearenaren
hirukoitza izateko? EMA.: 6 urte
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

16

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

35) Gripea zela eta, gela bateko sei ikasle ez ziren eskolara
etorri. Eta, honela, ikasle guztien hiru laurdenak baino bi
gehiago etorri ziren. Zenbat ikasle ziren gelan? EMA.: 32
ikasle.
36) Laukizuzen-itxurako bizkotxo batean, hiru zati egin ditugu.
Lehenengoa bizkotxoaren herena da, bigarrena bostena eta
hirugarrena lau bederatzirena; 4 cm geratu zaigu sobran.
Zenbatekoa da bizkotxoaren luzera? EMA.: 180 cm.

37) Hemendik hamaika urtera, Enekoren adina duela
hamahiru urte zuenaren bikoitza izango da. Zenbat urte ditu?
EMA.: 37 urte.00
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

17

2. mailako ekuazioak ezezagun bakarrekoak badira,
honela adieraziko ditugu:
ax2 + bx + c = 0
a, b eta c zenbaki osoak dira, eta a ezin da zeroren
berdina izan (a  0).
Ekuazio horiek formula honek askatzen ditu beti:

x

b

b  4 ac
2

2a
Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

18

x

Adibide gisa, askatu
honako ekuazio hau:

x

b  4 ac
2

2a

GOGORATU: letra baten
aurrean ezer ikusten ez
duzunean, 1 zenbakia dago

2x2 – x – 1 = 0
a=2
b = –1
c = –1

b

 (  1) 

(  1)  4  2  (  1)
2

22
4



1 1 8
4

Kopiatu koadernoan



1 3
4



1

4
2
4



1
2



2. mailako ekuazioak

19
x

b

b  4 ac
2

2a

Askatu honako ekuazio hauek:
38) x2 – x – 2 = 0 EMA.: 2, –1
39) 3x2 – 7x – 6 = 0 EMA.: 3, –2/3
40) 4x2 – 8x + 3 = 0 EMA.: 3/2, 1/2
41) x2 + 4x + 4 = 0 EMA.: –2

42) x2 + 8x + 3 = 0 EMA.: –0,4; –7,6
43) x2 + 2x + 2 = 0 EMA.: emaitzarik
ez.

Emaitza bakarra
lortzen badugu,
emaitza horri emaitza
bikoitza esango
diogu.
Batzuetan, erroak ez
du emaitzarik, eta,
orduan, esaten dugu
ekuazioak ez duela
emaitza errealik.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

20

Modu horrek 2. mailako ekuazio guztietarako balio
badu ere, badaude beste modu errazago batzuk:
1) b = 0 denean

Adibidea:

ax2 + 0x + c = 0

3x2 – 75 = 0

ax2 + c = 0

3x2 = 75

ax2 = –c
x 
2

x 
2

75
3

c

5

a
x

c

x   25 

–5

a

Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

21

GOGORATU: biderkadura bat zero bada,
biderkagairen bat zero delako da
2) c = 0 denean

Adibidea:

ax2 + bx + 0 = 0

5x2 – 7x = 0

ax2 + bx = 0

x·(5x – 7) = 0

x·(ax + b) = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

5x – 7 = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

ax + b = 0
x = –b/a
Kopiatu koadernoan

x = 7/5

22

2. mailako ekuazioak

Ebatzi honako ekuazio hauek:
44) 3x² + 5x – 2 = 0 EMA.: 1/3; –2
45) 4x² – 36 = 0 EMA: 3, –3.
46) 2x² – 15x + 7 = 0 EMA: 7, 1/2

52) 2x2 – 3 = x2 – 2x EMA.: 1,
–3
53) x – 2 = x2 EMA.:
emaitzarik ez.

47) 3x² – 75x = 0 EMA: 0, 25.
48) 7x² – 9x + 2 = 0 EMA.: 1, 2/7

54 ) 1 +

= 2x

EMA.: –1/2, 1

x

49) 2x² – 2x – 24 = 0 EMA.: 4, –3

50) x²/3 – 12 = 0 EMA: 6, –6

1

55 ) 1 +

1
x

=x -

1
x

EMA.: –1, 2

51) (x – 2)(x + 1) = 0 EMA: 2, –1
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

23

2. mailako ekuazioak. Buruketak

56) Bi zenbakiren artean, 5eko aldea dago, eta haien
arteko biderkadura 66 da. Zein dira zenbakiok? EMA.: 6,
11; –11, –6.
57) Laukizuzen batek hogei zentimetroko diagonala du.
Zein izango da azalera, altuera baino lau cm luzeago
badu oina? EMA.: 12 cm, 16 cm.
58) Bila ezazu zirkunferentzia baten luzera, haren azalera
28,26 m² bada. EMA.: 18,84 m.
59) Triangelu zuzen batean, hipotenusaren luzera 10 cm
da. Bila itzazu katetoen luzerak, bata bestea baino 2 cm
luzeagoa bada. EMA.: 6 cm, 8 cm.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

24

2. mailako ekuazioak. Buruketak

60) Demagun 7 cm-ko alanbre bat daukagula. Nondik
tolestuko dugu muturretako bat bestetik 5 cm-ra egon dadin
angelu zuzen bat osatu ondoren? EMA.: 4 cm, 3 cm.
61) Ondoz ondoko bi zenbakiren arteko biderkadura
honako hau da zenbaki horien arteko batura gehi bost
unitate. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 3, 4; –2, –1.
62) Triangelu zuzen baten azalera 90 cm2 da. Bilatu
katetoak, haien arteko aldea 3 cm-koa bada. EMA.: 12 cm
eta 15 cm.
63) Banatu 9 zenbakia bi zatitan, bakoitzaren berbiduren
arteko batura 41 izan dadin. EMA.: 4, 5.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

25

Bi ezezaguneko ekuazio-sistemak:
Bi ekuazio aldi berean betetzen badira, ekuazio-sistema
bat dugu. Bi ekuazioak zenbaki berberetarako bete
behar dira.
Adibidez:

2x  y  4 

x  2 y   3

Sistema honen emaitza x = 1 eta y = 2 da, edo beste
modu batez adierazita, (1, 2) da.
Begiratu ea egia den.
Kopiatu koadernoan

26

Ekuazio-sistemak

Lau era ditugu ekuazio-sistemak ebazteko, baina
mementoz hiru besterik ez dugu ikasiko:
1. Ordezkatzea
2. Berdintzea
3. Laburtzea

Kopiatu koadernoan

Ekuazio-sistemak

27
1. Ordezkatzea
2x  y  4 

x  2 y   3

y  4  2x



x  8  4 x   3

Ekuazio batean,
ezezagun bat bakandu:
y  4  2x 

x  2 y   3

Beste ekuazioan,
ezezagun hori ordeztu

Beste ekuazioan
ordeztu
y  4  2x 

5 x  3  8

y  4  2x

5x  5 

y  4  2x



x  2  ( 4  2 x )   3

y  4  2x

x 1 

Kopiatu koadernoan

y  4  2  1

x 1 

y  2

x  1

Ekuazio-sistemak

28

Askatu sistema hauek, ordezkatze-metodoa erabiliz:
3 x  8 y  10 
64 )
 EMA. : ( 6 ,  1)
x y 5 

2x  3y  7 
65 )
 EMA. : ( 2 ,  1)
5 x  2 y  12 



1
2
67 )
EMA. : ( 4 , )

x y
x
2
  y
3
4

3x

68 )

 4y  8

3x  1  2 y  2
 EMA. : (  1,  3 )
x  y  4


2 x  12  4 y 

66 ) 2 x
 EMA. : ( 0 ,  3 )
 2 y  6

5


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

29

Ekuazio biak
berdindu

2. Berdintzea
2x  y  4 

x  2 y   3

4  2x 

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

3 x
2

y  4  2x

Ekuazio bietan, ezezagun
bera bakandu:
8  4x  3  x

y  4  2x 

 2 y  3  x 

y  4  2x

3 x 
y
2 


 5 x  5

x 1

Kopiatu koadernoan

y  4  2 1

y2

Ekuazio-sistemak

30

Askatu sistema hauek, berdintze-metodoa erabiliz:
2 x  y  0
69 )
 EMA. : (  1, 2 )
x  y 1

3x  y  4

70 ) x
 EMA. : ( 2 , 2 )
 y3

2


x 5  4y
x
71 )
y 
2


1
 y 1 
72 ) 4
 EMA. : ( 2 ,  )
2
2( x  y )  3

x

73 )

x5 y


 EMA. : (  3, 2 )
5 x  2 y   19 


1

EMA.
:
(
3
,

)

2
2



Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

31
3. Laburtzea
2x  y  4 

x  2 y   3

Ezezagun bera duten bi
gaiak ekuazio bietan
berdinak izatea da
helburua; berdinak
baina aurkako zeinua
dutela. Horretarako,
ekuazioetako bat
zenbaki oso batez
biderkatuko dugu:
2  (2 x  y  4)

x  2 y  3 

4x  2 y  8 

x  2 y   3

Ekuazio bien
arteko batuketa
egin, gaiz gai.
4x  2 y  8



x  2 y  3 

5x  0 y  5
5x  5
x 1

Kopiatu koadernoan

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

2 1  y  4

y  42

y2

Ekuazio-sistemak

32

Askatu sistema hauek, laburtze-metodoa erabiliz:
x  y  9
74 )
 EMA. : ( 5 , 4 )
x  y 1

75 )

3x  y  3
1
EMA.
:
(
, 2)

6 x  y  0
3

76 )

2 x  3 y  4
 EMA. : (1,  2 )
x  2y  5 


 y  0
77 ) 2
 EMA. : ( 4 ,  2 )
y
 x  3
2

x

5 
1 1

78 )
EMA.
:
(
, )
6 
2
3
3 y  3  4 x  2 
x 1  y 

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

33

Askatu sistema hauek, zure ustez errazena den metodoaz:
6 x  5 y  4
79 )
 EMA. : (1,  2 )
x  y  1

82 )

3x  y  1


 EMA. : Ez du
x  2 y  2  2x  y

emaitzarik

3x  5  2 y


80 ) x
 EMA. : (3 , 2 )
 y  2x  3

3


x
83 )
x

(Sistema

y 1
2
y2
3

bateraezin a)


1

 EMA. : (  8 ,  19 )
 1


3x  y  2
1

y  EMA. : ( ,  1)
81 ) x

3
3
9 


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

34

Ekuazio-sistemak. Buruketak

84) Ostatu batean, ohe bateko eta biko gelak daude. Orotara 50
gela eta 87 ohe daude. Mota bakoitzeko zenbat gela dago?
EMA.: 13, 37 gela
85) Txakur-txapelketa batean, txakurrak eta beraien jabeak
daude. Guztira hirurogeita hamazortzi buru eta berrehun eta
hamasei hanka daude. Zenbat txakur eta pertsona daude?
EMA.: 48 pertsona, 30 txakur.
86) Bi zenbakiren arteko batura hamalau da. Handienari bat
gehitzen badiogu, txikienaren bikoitza lortzen da. Aurki itzazu
zenbakiak. EMA.: 9, 5.
87) Bi zenbakiren arteko batura 150 da, eta kendura txikienaren
laukoitza da. Aurki itzazu zenbakiok. EMA.: 125, 25
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

35

Ekuazio-sistemak. Buruketak

88) Zenbaki baten hirukoitzari beste baten laukoitza
gehitutakoan, zazpi izango da emaitza; lehenengoaren
bikoitzari bigarrena gehitutakoan, berriz, hiru izango da
emaitza. Bilatu zenbakiok. EMA.: 1, 1.
89) Bi anaia-arreben adinen arteko batura 17 da; bost urte
barru, batena bestearenaren bikoitza izango da. Zenbat
urte dituzte? EMA.: 13, 4 urte.
90) Dendara joan eta alkandora bat eta praka batzuk erosi
ditut. Markatuta dituzten prezioen artean, 100 euro egiten
dute, baina, merkealdia dela eta, alkandoran % 20ko
deskontua egin didate, eta, praketan, % 30ekoa. Guztira,
73,50 euro pagatu dut. Zenbat balio du bakoitzak? EMA.:
35 eta 65 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

36
2
x + y = 24 
91 )
 EMA. : (2, 20); (  4, 8)
y = 2x + 16 

Ekuazio-sistemak
x y 7 
92 ) 2
 EMA. : ( 3, 4 ); ( 4 , 3 )
2
x  y  25 

93) 60 euro ditugu lagun batzuen artean banatzeko. Hiru
lagun gehiago bagina, bakoitzari euro bat gutxiago
egokituko litzaiguke. Zenbat gara? EMA: 12 lagun.

94) Loradenda batean, tulipan sortak egiteko hari batzuk
daude. Tulipanak binaka jarriz gero, 4 tulipan geldituko dira
sobran, eta hirunaka jarriz gero, hari bat sobran. Zenbat
tulipan eta zenbat hari daude? EMA: 7, 18.
95) Bi zenbakiren arteko kendura 3 da, eta zenbakion
berbiduren arteko batura, 117. Bila itzazu zenbakiok. EMA:
(–6, –9); (9, 6).
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

37

Ekuazio-sistemak

96) Bi zenbakiren arteko kendura 6 da, eta
biderkadura, 216. Bila itzazu zenbakiok. EMA: (–12, –
18); (18, 12).
97) Triangelu zuzen baten hipotenusa 10 m luze da,
eta perimetroa, 24 m-koa da. Zenbat luze dira bi
katetoak? EMA.: 6 cm, 8 cm.
98) x4 + 3x² – 4 = 0 EMA.: 1, –1
99) x × (x + 5) × (x – 2) = 0 EMA: 0, –5, 2.
100) x4 – 5x² + 4 = 0 EMA: 2, –2, 1, –1.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira


Slide 23

1

Ekuazioak 3. DBH
Alfredo Ortega Loza
Unitate honetan, hauek ikasi edo gogoratuko ditugu:
•Ekuazioak eta identitateak bereizten
•Lehenengo mailako ekuazioak askatzen
•Buruketak askatzen
•2. mailako ekuazioak askatzen
•Ekuazio-sistemak askatzen
•2. mailako ekuazio-sistemak askatzen

Berdintzak

2

Berdin ikurra duten adierazpeni berdintza
esaten zaie.
Berdintzak zenbakizkoak izan daitezke:
3·(5 – 4) = 2 + 1



45/5 = 18/2



Algebraikoak ere,
izan daitezke:

Berdintzaren ezkerreko aldeari
lehen atala esaten zaio, eta
eskuinekoari, bigarren atala.
Batuketa edo kenketa ikurren
arteko letra eta zenbakimultzoei, berriz, gai deritze.

3x – 5 = x/4 +1



5a + 2b = 10a/2 + (9/2)b – (5/2)b



Kopiatu koadernoan

Identitateak

3

Berdintza algebraikoak –letrak dituztenak–
identitateak edo ekuazioak izan daitezke:
Identitateak:

3x + (5 – 1)·2 = 2x + x + 8
5a – a = 2 (7a – 5a)

Gogoratu: zenbakien
eta letren artean ezer
ez dagoenean,
BIDER (·) ikurra
irakurri behar da beti.

Ezezagunak (letra) edozein balio izanda ere,
bete egingo da berdintza. Askatzen saiatuz
gero, 0 = 0 lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazioak

4

Ekuazioak:
3x = 2x + 1. EMA.: x = 1
5a – 3 = 2 (7a – 5a). EMA.: a = 3

Ezezagunaren balio batzuetarako baino ez
da betetzen berdintza.
Balio horiek topatzeari ekuazioa askatzea
(edo ebaztea) esaten zaio.

Kopiatu koadernoan

5

Ekuazio baliokideak
Ekuazioen propietateak:

Ekuazio baten bi aldeetan batuketa edo
kenketa bera egiten badugu, hasierakoaren
ekuazio baliokide bat (emaitza berbera
duena) lortuko dugu.
Ekuazio baten bi aldeak zero ez den
adierazpen batekin biderkatzen edo
zatitzen baditugu, hasierakoaren ekuazio
baliokide bat lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (1)

6

Ekuazioetarako erregelak:

x+7=3

–x = 3 – 2x

x+7–7=3–7

–x + 2x = 3 – 2x + 2x

x=3–7

–x + 2x = 3

x = –4

x=3

Ekuazioaren alde batean
batzen dagoena kentzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazioaren alde batean
kentzen dagoena batzen
pasatzen da beste aldera.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (2)

7

3x



3
x

Kopiatu koadernoan

Ekuazioetarako erregelak:
x
3x – 7 = 2
2 1
4
3x – 7 + 7 = 2 + 7
x
 2  2  1 2
4
3x = 9
9
3
9
3

x=3

Ekuazioaren alde batean
biderkatzen dagoena zatitzen
pasatzen da beste aldera.

x

 1

4
4

x

 4  (  1)

4
x  4  (  1)

x = –4
Ekuazioaren alde batean
zatitzen dagoena biderkatzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazio-ebazpenak

8
Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio eta identitate
hauek :

 Letrak dituzten
gai guztiak
berdintzaren alde
batera eraman
behar ditugu, eta
zenbakiak,
bestera.

1) x – 3 + 5x = 4x – 7. EMA.: –2

 Parentesiak
badaude, beste
ezer baino lehen
kendu behar
ditugu.

2) 7x – 5 + 2x + 6 = –3x + 8 – x.
EMA.: 7/13
3) 2x – (6x + 1) = 3x – 5(2 – x). EMA.: 3/4
4) 7(x + 3) = 7 + 8x – 1 . EMA.: 15
5) 3x +7 – 2(x – 3) = 3(x + 4) – 2x + 1.
EMA.: Edozein; identitatea da

6) 4 – (3 – x) + 6 = 2x + 2(2x – 3).
EMA.: 13/5
7) 5 – x(3 + 1) = 2x – 6(3 – 2x).
EMA.: 23/18

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

9

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio hauek :
8)

 Izendatzaileak
badaude,
izendatzaileen
MKTa lortu behar
dugu, eta,
ondoren,
berdintzaren
alde biak MKT
horrekin
biderkatuko
ditugu.

9)

1

x + 2=

2

x - 5 . E M A : 42

3

4

x

- 3  (x - 1) = 2 x -

7 - x

2

10)

1

(x - 2) -

8

11)

. E M A : 32/29.

3
2

(2 x + 6) + x = - 4 .E M A : -6/5

3

x - 1

-

x + 1

2
12) - 4  (3 - x)

=x -

3

5

.E M A : 1

3
+ 4x =

3

 (2 x - 1) - (x + 1) E M A : 4/3.

5

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

10

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
13)

x

-

x - 3

6

14)

=1 -

2x - 5

4

6x - 1

-

5x - 6

5

=

2x + 1

7
x - 2

15) 1 -

5

- 2

- 5x =

3x - 5

7x

(x - 1)

x - 8

2
18) 2 -

3  (2 + x)

=x +

3
-

3
x - 1
5

E M A : 25/41.

2

4

17)

E M A : 34/19.

3

3

16)

E M A : 23/7.

3

E M A : -13/38.

2
-

4  (4 x + 2)

=

5
- (2 x - 1) =

5x - 3

E M A : 2.

7
x - 5
E M A : 19/9

2

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

11

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
19) x -

x

-

x - 1

2

=

6

20) - 4 x - 3 -

x

- 2  (x - 1) E M A :11/13.

6

6x + 4

= 3 - 4  (x - 1) E M A : -37/3.

7
21) 3 -

x + 1

- (4 x - 1) = x - (3 - 4 x) E M A : 13/19.

2
x 22)

1
2 -

3
2

23)

x -

x + 2

-

2

x

- 3
3 = 2 - x - 2
E M A : 2.
4
6
12
1

3x - 1

+

4
(x + 2) (3 x - 1)

= 0 . E M A : 0.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

12

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

Buruketen emaitzak lortzeko, pauso hauek dira
garrantzitsuenak:

Proposatzen den buruketa ondo ulertu. Behar diren
irakurketa guztiak egin, zer eskatzen duten ondo ulertzeko
eta azaltzen diren baldintzak ondo kontrolatzeko

Azpimarratu datu garrantzitsuenak
Ixa esleitu. Ixaren aldamenean beti idatzi zer den
Dituzun datu guztien artean, erlazioren bat topatu.
Buruketak berak ematen du askotan

Sortu duzun ekuazioa askatu
Bukatzeko, egiaztatu emaitza dituzun datu guztiekin
Kopiatu koadernoan

13

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

24) Bi zenbakiren arteko batura 76, da eta bata bestea
baino lau unitate handiagoa da. Bilatu zenbakiok. EMA.:
36, 40.
25) Ondoz ondoko hiru zenbakiren arteko batura
laurogeita hamahiru da. Zein dira zenbaki horiek. EMA.:
30, 31, 32.
26) Zenbaki baten herenaren eta hirukoitzaren arteko
batura berrogei da. Aurkitu zenbakia. EMA.: 12.
27) Bi mila laurehun metro ibili ondoren, distantziaren
herena falta zaigu bukatzeko. Zein da distantzia? EMA.:
3.600 m.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

14

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

28) Pertsona batek duen muxika-kopurua honela banatuta
geratu da: erdiak saldu egin zituen, laurdenak anaiari eman
zizkion eta, oraindik, ehun eta hogei muxika geratu zaizkio.
Zenbat muxika zituen? EMA.: 480 muxika.

29) Zuk hamabi urte badituzu eta zure aitak zure adinaren
zortzi herena, zenbat urte ditu zure aitak? EMA.: 32 urte.
30) Ondoz ondoko bi zenbaki ditugu. Handienaren
herenaren eta txikienaren arteko batura txikienaren
bikoitzaren herena da. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 2, 3.
31) Andonik Kepak baino bost euro gehiago ditu. Baina
Andonik Kepari lau euro emango balizkio, Keparen dirutza
Andonirenaren bikoitza bihurtuko litzateke. Zenbat dauka
bakoitzak? EMA.: 7 eta 2 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

15

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

32) Orain dela lau urte ume baten adinaren hirukoitza
orain duenaren bikoitza zen. Zenbat urte ditu? EMA.: 12
urte.
33) Pertsona baten adina beste lagun batenaren bikoitza
da. Orain dela zazpi urte, bi pertsonen urteen batura
lehenengoaren gaur egungo adina izan zen. Kalkula
itzazu bi pertsonen adinak. EMA.:14 eta 28 urte.
34) Aita batek berrogeita bi urte ditu, eta semeak hamar.
Zenbat urte pasa behar dira aitaren adina semearenaren
hirukoitza izateko? EMA.: 6 urte
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

16

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

35) Gripea zela eta, gela bateko sei ikasle ez ziren eskolara
etorri. Eta, honela, ikasle guztien hiru laurdenak baino bi
gehiago etorri ziren. Zenbat ikasle ziren gelan? EMA.: 32
ikasle.
36) Laukizuzen-itxurako bizkotxo batean, hiru zati egin ditugu.
Lehenengoa bizkotxoaren herena da, bigarrena bostena eta
hirugarrena lau bederatzirena; 4 cm geratu zaigu sobran.
Zenbatekoa da bizkotxoaren luzera? EMA.: 180 cm.

37) Hemendik hamaika urtera, Enekoren adina duela
hamahiru urte zuenaren bikoitza izango da. Zenbat urte ditu?
EMA.: 37 urte.00
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

17

2. mailako ekuazioak ezezagun bakarrekoak badira,
honela adieraziko ditugu:
ax2 + bx + c = 0
a, b eta c zenbaki osoak dira, eta a ezin da zeroren
berdina izan (a  0).
Ekuazio horiek formula honek askatzen ditu beti:

x

b

b  4 ac
2

2a
Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

18

x

Adibide gisa, askatu
honako ekuazio hau:

x

b  4 ac
2

2a

GOGORATU: letra baten
aurrean ezer ikusten ez
duzunean, 1 zenbakia dago

2x2 – x – 1 = 0
a=2
b = –1
c = –1

b

 (  1) 

(  1)  4  2  (  1)
2

22
4



1 1 8
4

Kopiatu koadernoan



1 3
4



1

4
2
4



1
2



2. mailako ekuazioak

19
x

b

b  4 ac
2

2a

Askatu honako ekuazio hauek:
38) x2 – x – 2 = 0 EMA.: 2, –1
39) 3x2 – 7x – 6 = 0 EMA.: 3, –2/3
40) 4x2 – 8x + 3 = 0 EMA.: 3/2, 1/2
41) x2 + 4x + 4 = 0 EMA.: –2

42) x2 + 8x + 3 = 0 EMA.: –0,4; –7,6
43) x2 + 2x + 2 = 0 EMA.: emaitzarik
ez.

Emaitza bakarra
lortzen badugu,
emaitza horri emaitza
bikoitza esango
diogu.
Batzuetan, erroak ez
du emaitzarik, eta,
orduan, esaten dugu
ekuazioak ez duela
emaitza errealik.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

20

Modu horrek 2. mailako ekuazio guztietarako balio
badu ere, badaude beste modu errazago batzuk:
1) b = 0 denean

Adibidea:

ax2 + 0x + c = 0

3x2 – 75 = 0

ax2 + c = 0

3x2 = 75

ax2 = –c
x 
2

x 
2

75
3

c

5

a
x

c

x   25 

–5

a

Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

21

GOGORATU: biderkadura bat zero bada,
biderkagairen bat zero delako da
2) c = 0 denean

Adibidea:

ax2 + bx + 0 = 0

5x2 – 7x = 0

ax2 + bx = 0

x·(5x – 7) = 0

x·(ax + b) = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

5x – 7 = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

ax + b = 0
x = –b/a
Kopiatu koadernoan

x = 7/5

22

2. mailako ekuazioak

Ebatzi honako ekuazio hauek:
44) 3x² + 5x – 2 = 0 EMA.: 1/3; –2
45) 4x² – 36 = 0 EMA: 3, –3.
46) 2x² – 15x + 7 = 0 EMA: 7, 1/2

52) 2x2 – 3 = x2 – 2x EMA.: 1,
–3
53) x – 2 = x2 EMA.:
emaitzarik ez.

47) 3x² – 75x = 0 EMA: 0, 25.
48) 7x² – 9x + 2 = 0 EMA.: 1, 2/7

54 ) 1 +

= 2x

EMA.: –1/2, 1

x

49) 2x² – 2x – 24 = 0 EMA.: 4, –3

50) x²/3 – 12 = 0 EMA: 6, –6

1

55 ) 1 +

1
x

=x -

1
x

EMA.: –1, 2

51) (x – 2)(x + 1) = 0 EMA: 2, –1
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

23

2. mailako ekuazioak. Buruketak

56) Bi zenbakiren artean, 5eko aldea dago, eta haien
arteko biderkadura 66 da. Zein dira zenbakiok? EMA.: 6,
11; –11, –6.
57) Laukizuzen batek hogei zentimetroko diagonala du.
Zein izango da azalera, altuera baino lau cm luzeago
badu oina? EMA.: 12 cm, 16 cm.
58) Bila ezazu zirkunferentzia baten luzera, haren azalera
28,26 m² bada. EMA.: 18,84 m.
59) Triangelu zuzen batean, hipotenusaren luzera 10 cm
da. Bila itzazu katetoen luzerak, bata bestea baino 2 cm
luzeagoa bada. EMA.: 6 cm, 8 cm.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

24

2. mailako ekuazioak. Buruketak

60) Demagun 7 cm-ko alanbre bat daukagula. Nondik
tolestuko dugu muturretako bat bestetik 5 cm-ra egon dadin
angelu zuzen bat osatu ondoren? EMA.: 4 cm, 3 cm.
61) Ondoz ondoko bi zenbakiren arteko biderkadura
honako hau da zenbaki horien arteko batura gehi bost
unitate. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 3, 4; –2, –1.
62) Triangelu zuzen baten azalera 90 cm2 da. Bilatu
katetoak, haien arteko aldea 3 cm-koa bada. EMA.: 12 cm
eta 15 cm.
63) Banatu 9 zenbakia bi zatitan, bakoitzaren berbiduren
arteko batura 41 izan dadin. EMA.: 4, 5.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

25

Bi ezezaguneko ekuazio-sistemak:
Bi ekuazio aldi berean betetzen badira, ekuazio-sistema
bat dugu. Bi ekuazioak zenbaki berberetarako bete
behar dira.
Adibidez:

2x  y  4 

x  2 y   3

Sistema honen emaitza x = 1 eta y = 2 da, edo beste
modu batez adierazita, (1, 2) da.
Begiratu ea egia den.
Kopiatu koadernoan

26

Ekuazio-sistemak

Lau era ditugu ekuazio-sistemak ebazteko, baina
mementoz hiru besterik ez dugu ikasiko:
1. Ordezkatzea
2. Berdintzea
3. Laburtzea

Kopiatu koadernoan

Ekuazio-sistemak

27
1. Ordezkatzea
2x  y  4 

x  2 y   3

y  4  2x



x  8  4 x   3

Ekuazio batean,
ezezagun bat bakandu:
y  4  2x 

x  2 y   3

Beste ekuazioan,
ezezagun hori ordeztu

Beste ekuazioan
ordeztu
y  4  2x 

5 x  3  8

y  4  2x

5x  5 

y  4  2x



x  2  ( 4  2 x )   3

y  4  2x

x 1 

Kopiatu koadernoan

y  4  2  1

x 1 

y  2

x  1

Ekuazio-sistemak

28

Askatu sistema hauek, ordezkatze-metodoa erabiliz:
3 x  8 y  10 
64 )
 EMA. : ( 6 ,  1)
x y 5 

2x  3y  7 
65 )
 EMA. : ( 2 ,  1)
5 x  2 y  12 



1
2
67 )
EMA. : ( 4 , )

x y
x
2
  y
3
4

3x

68 )

 4y  8

3x  1  2 y  2
 EMA. : (  1,  3 )
x  y  4


2 x  12  4 y 

66 ) 2 x
 EMA. : ( 0 ,  3 )
 2 y  6

5


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

29

Ekuazio biak
berdindu

2. Berdintzea
2x  y  4 

x  2 y   3

4  2x 

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

3 x
2

y  4  2x

Ekuazio bietan, ezezagun
bera bakandu:
8  4x  3  x

y  4  2x 

 2 y  3  x 

y  4  2x

3 x 
y
2 


 5 x  5

x 1

Kopiatu koadernoan

y  4  2 1

y2

Ekuazio-sistemak

30

Askatu sistema hauek, berdintze-metodoa erabiliz:
2 x  y  0
69 )
 EMA. : (  1, 2 )
x  y 1

3x  y  4

70 ) x
 EMA. : ( 2 , 2 )
 y3

2


x 5  4y
x
71 )
y 
2


1
 y 1 
72 ) 4
 EMA. : ( 2 ,  )
2
2( x  y )  3

x

73 )

x5 y


 EMA. : (  3, 2 )
5 x  2 y   19 


1

EMA.
:
(
3
,

)

2
2



Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

31
3. Laburtzea
2x  y  4 

x  2 y   3

Ezezagun bera duten bi
gaiak ekuazio bietan
berdinak izatea da
helburua; berdinak
baina aurkako zeinua
dutela. Horretarako,
ekuazioetako bat
zenbaki oso batez
biderkatuko dugu:
2  (2 x  y  4)

x  2 y  3 

4x  2 y  8 

x  2 y   3

Ekuazio bien
arteko batuketa
egin, gaiz gai.
4x  2 y  8



x  2 y  3 

5x  0 y  5
5x  5
x 1

Kopiatu koadernoan

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

2 1  y  4

y  42

y2

Ekuazio-sistemak

32

Askatu sistema hauek, laburtze-metodoa erabiliz:
x  y  9
74 )
 EMA. : ( 5 , 4 )
x  y 1

75 )

3x  y  3
1
EMA.
:
(
, 2)

6 x  y  0
3

76 )

2 x  3 y  4
 EMA. : (1,  2 )
x  2y  5 


 y  0
77 ) 2
 EMA. : ( 4 ,  2 )
y
 x  3
2

x

5 
1 1

78 )
EMA.
:
(
, )
6 
2
3
3 y  3  4 x  2 
x 1  y 

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

33

Askatu sistema hauek, zure ustez errazena den metodoaz:
6 x  5 y  4
79 )
 EMA. : (1,  2 )
x  y  1

82 )

3x  y  1


 EMA. : Ez du
x  2 y  2  2x  y

emaitzarik

3x  5  2 y


80 ) x
 EMA. : (3 , 2 )
 y  2x  3

3


x
83 )
x

(Sistema

y 1
2
y2
3

bateraezin a)


1

 EMA. : (  8 ,  19 )
 1


3x  y  2
1

y  EMA. : ( ,  1)
81 ) x

3
3
9 


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

34

Ekuazio-sistemak. Buruketak

84) Ostatu batean, ohe bateko eta biko gelak daude. Orotara 50
gela eta 87 ohe daude. Mota bakoitzeko zenbat gela dago?
EMA.: 13, 37 gela
85) Txakur-txapelketa batean, txakurrak eta beraien jabeak
daude. Guztira hirurogeita hamazortzi buru eta berrehun eta
hamasei hanka daude. Zenbat txakur eta pertsona daude?
EMA.: 48 pertsona, 30 txakur.
86) Bi zenbakiren arteko batura hamalau da. Handienari bat
gehitzen badiogu, txikienaren bikoitza lortzen da. Aurki itzazu
zenbakiak. EMA.: 9, 5.
87) Bi zenbakiren arteko batura 150 da, eta kendura txikienaren
laukoitza da. Aurki itzazu zenbakiok. EMA.: 125, 25
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

35

Ekuazio-sistemak. Buruketak

88) Zenbaki baten hirukoitzari beste baten laukoitza
gehitutakoan, zazpi izango da emaitza; lehenengoaren
bikoitzari bigarrena gehitutakoan, berriz, hiru izango da
emaitza. Bilatu zenbakiok. EMA.: 1, 1.
89) Bi anaia-arreben adinen arteko batura 17 da; bost urte
barru, batena bestearenaren bikoitza izango da. Zenbat
urte dituzte? EMA.: 13, 4 urte.
90) Dendara joan eta alkandora bat eta praka batzuk erosi
ditut. Markatuta dituzten prezioen artean, 100 euro egiten
dute, baina, merkealdia dela eta, alkandoran % 20ko
deskontua egin didate, eta, praketan, % 30ekoa. Guztira,
73,50 euro pagatu dut. Zenbat balio du bakoitzak? EMA.:
35 eta 65 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

36
2
x + y = 24 
91 )
 EMA. : (2, 20); (  4, 8)
y = 2x + 16 

Ekuazio-sistemak
x y 7 
92 ) 2
 EMA. : ( 3, 4 ); ( 4 , 3 )
2
x  y  25 

93) 60 euro ditugu lagun batzuen artean banatzeko. Hiru
lagun gehiago bagina, bakoitzari euro bat gutxiago
egokituko litzaiguke. Zenbat gara? EMA: 12 lagun.

94) Loradenda batean, tulipan sortak egiteko hari batzuk
daude. Tulipanak binaka jarriz gero, 4 tulipan geldituko dira
sobran, eta hirunaka jarriz gero, hari bat sobran. Zenbat
tulipan eta zenbat hari daude? EMA: 7, 18.
95) Bi zenbakiren arteko kendura 3 da, eta zenbakion
berbiduren arteko batura, 117. Bila itzazu zenbakiok. EMA:
(–6, –9); (9, 6).
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

37

Ekuazio-sistemak

96) Bi zenbakiren arteko kendura 6 da, eta
biderkadura, 216. Bila itzazu zenbakiok. EMA: (–12, –
18); (18, 12).
97) Triangelu zuzen baten hipotenusa 10 m luze da,
eta perimetroa, 24 m-koa da. Zenbat luze dira bi
katetoak? EMA.: 6 cm, 8 cm.
98) x4 + 3x² – 4 = 0 EMA.: 1, –1
99) x × (x + 5) × (x – 2) = 0 EMA: 0, –5, 2.
100) x4 – 5x² + 4 = 0 EMA: 2, –2, 1, –1.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira


Slide 24

1

Ekuazioak 3. DBH
Alfredo Ortega Loza
Unitate honetan, hauek ikasi edo gogoratuko ditugu:
•Ekuazioak eta identitateak bereizten
•Lehenengo mailako ekuazioak askatzen
•Buruketak askatzen
•2. mailako ekuazioak askatzen
•Ekuazio-sistemak askatzen
•2. mailako ekuazio-sistemak askatzen

Berdintzak

2

Berdin ikurra duten adierazpeni berdintza
esaten zaie.
Berdintzak zenbakizkoak izan daitezke:
3·(5 – 4) = 2 + 1



45/5 = 18/2



Algebraikoak ere,
izan daitezke:

Berdintzaren ezkerreko aldeari
lehen atala esaten zaio, eta
eskuinekoari, bigarren atala.
Batuketa edo kenketa ikurren
arteko letra eta zenbakimultzoei, berriz, gai deritze.

3x – 5 = x/4 +1



5a + 2b = 10a/2 + (9/2)b – (5/2)b



Kopiatu koadernoan

Identitateak

3

Berdintza algebraikoak –letrak dituztenak–
identitateak edo ekuazioak izan daitezke:
Identitateak:

3x + (5 – 1)·2 = 2x + x + 8
5a – a = 2 (7a – 5a)

Gogoratu: zenbakien
eta letren artean ezer
ez dagoenean,
BIDER (·) ikurra
irakurri behar da beti.

Ezezagunak (letra) edozein balio izanda ere,
bete egingo da berdintza. Askatzen saiatuz
gero, 0 = 0 lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazioak

4

Ekuazioak:
3x = 2x + 1. EMA.: x = 1
5a – 3 = 2 (7a – 5a). EMA.: a = 3

Ezezagunaren balio batzuetarako baino ez
da betetzen berdintza.
Balio horiek topatzeari ekuazioa askatzea
(edo ebaztea) esaten zaio.

Kopiatu koadernoan

5

Ekuazio baliokideak
Ekuazioen propietateak:

Ekuazio baten bi aldeetan batuketa edo
kenketa bera egiten badugu, hasierakoaren
ekuazio baliokide bat (emaitza berbera
duena) lortuko dugu.
Ekuazio baten bi aldeak zero ez den
adierazpen batekin biderkatzen edo
zatitzen baditugu, hasierakoaren ekuazio
baliokide bat lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (1)

6

Ekuazioetarako erregelak:

x+7=3

–x = 3 – 2x

x+7–7=3–7

–x + 2x = 3 – 2x + 2x

x=3–7

–x + 2x = 3

x = –4

x=3

Ekuazioaren alde batean
batzen dagoena kentzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazioaren alde batean
kentzen dagoena batzen
pasatzen da beste aldera.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (2)

7

3x



3
x

Kopiatu koadernoan

Ekuazioetarako erregelak:
x
3x – 7 = 2
2 1
4
3x – 7 + 7 = 2 + 7
x
 2  2  1 2
4
3x = 9
9
3
9
3

x=3

Ekuazioaren alde batean
biderkatzen dagoena zatitzen
pasatzen da beste aldera.

x

 1

4
4

x

 4  (  1)

4
x  4  (  1)

x = –4
Ekuazioaren alde batean
zatitzen dagoena biderkatzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazio-ebazpenak

8
Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio eta identitate
hauek :

 Letrak dituzten
gai guztiak
berdintzaren alde
batera eraman
behar ditugu, eta
zenbakiak,
bestera.

1) x – 3 + 5x = 4x – 7. EMA.: –2

 Parentesiak
badaude, beste
ezer baino lehen
kendu behar
ditugu.

2) 7x – 5 + 2x + 6 = –3x + 8 – x.
EMA.: 7/13
3) 2x – (6x + 1) = 3x – 5(2 – x). EMA.: 3/4
4) 7(x + 3) = 7 + 8x – 1 . EMA.: 15
5) 3x +7 – 2(x – 3) = 3(x + 4) – 2x + 1.
EMA.: Edozein; identitatea da

6) 4 – (3 – x) + 6 = 2x + 2(2x – 3).
EMA.: 13/5
7) 5 – x(3 + 1) = 2x – 6(3 – 2x).
EMA.: 23/18

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

9

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio hauek :
8)

 Izendatzaileak
badaude,
izendatzaileen
MKTa lortu behar
dugu, eta,
ondoren,
berdintzaren
alde biak MKT
horrekin
biderkatuko
ditugu.

9)

1

x + 2=

2

x - 5 . E M A : 42

3

4

x

- 3  (x - 1) = 2 x -

7 - x

2

10)

1

(x - 2) -

8

11)

. E M A : 32/29.

3
2

(2 x + 6) + x = - 4 .E M A : -6/5

3

x - 1

-

x + 1

2
12) - 4  (3 - x)

=x -

3

5

.E M A : 1

3
+ 4x =

3

 (2 x - 1) - (x + 1) E M A : 4/3.

5

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

10

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
13)

x

-

x - 3

6

14)

=1 -

2x - 5

4

6x - 1

-

5x - 6

5

=

2x + 1

7
x - 2

15) 1 -

5

- 2

- 5x =

3x - 5

7x

(x - 1)

x - 8

2
18) 2 -

3  (2 + x)

=x +

3
-

3
x - 1
5

E M A : 25/41.

2

4

17)

E M A : 34/19.

3

3

16)

E M A : 23/7.

3

E M A : -13/38.

2
-

4  (4 x + 2)

=

5
- (2 x - 1) =

5x - 3

E M A : 2.

7
x - 5
E M A : 19/9

2

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

11

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
19) x -

x

-

x - 1

2

=

6

20) - 4 x - 3 -

x

- 2  (x - 1) E M A :11/13.

6

6x + 4

= 3 - 4  (x - 1) E M A : -37/3.

7
21) 3 -

x + 1

- (4 x - 1) = x - (3 - 4 x) E M A : 13/19.

2
x 22)

1
2 -

3
2

23)

x -

x + 2

-

2

x

- 3
3 = 2 - x - 2
E M A : 2.
4
6
12
1

3x - 1

+

4
(x + 2) (3 x - 1)

= 0 . E M A : 0.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

12

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

Buruketen emaitzak lortzeko, pauso hauek dira
garrantzitsuenak:

Proposatzen den buruketa ondo ulertu. Behar diren
irakurketa guztiak egin, zer eskatzen duten ondo ulertzeko
eta azaltzen diren baldintzak ondo kontrolatzeko

Azpimarratu datu garrantzitsuenak
Ixa esleitu. Ixaren aldamenean beti idatzi zer den
Dituzun datu guztien artean, erlazioren bat topatu.
Buruketak berak ematen du askotan

Sortu duzun ekuazioa askatu
Bukatzeko, egiaztatu emaitza dituzun datu guztiekin
Kopiatu koadernoan

13

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

24) Bi zenbakiren arteko batura 76, da eta bata bestea
baino lau unitate handiagoa da. Bilatu zenbakiok. EMA.:
36, 40.
25) Ondoz ondoko hiru zenbakiren arteko batura
laurogeita hamahiru da. Zein dira zenbaki horiek. EMA.:
30, 31, 32.
26) Zenbaki baten herenaren eta hirukoitzaren arteko
batura berrogei da. Aurkitu zenbakia. EMA.: 12.
27) Bi mila laurehun metro ibili ondoren, distantziaren
herena falta zaigu bukatzeko. Zein da distantzia? EMA.:
3.600 m.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

14

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

28) Pertsona batek duen muxika-kopurua honela banatuta
geratu da: erdiak saldu egin zituen, laurdenak anaiari eman
zizkion eta, oraindik, ehun eta hogei muxika geratu zaizkio.
Zenbat muxika zituen? EMA.: 480 muxika.

29) Zuk hamabi urte badituzu eta zure aitak zure adinaren
zortzi herena, zenbat urte ditu zure aitak? EMA.: 32 urte.
30) Ondoz ondoko bi zenbaki ditugu. Handienaren
herenaren eta txikienaren arteko batura txikienaren
bikoitzaren herena da. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 2, 3.
31) Andonik Kepak baino bost euro gehiago ditu. Baina
Andonik Kepari lau euro emango balizkio, Keparen dirutza
Andonirenaren bikoitza bihurtuko litzateke. Zenbat dauka
bakoitzak? EMA.: 7 eta 2 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

15

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

32) Orain dela lau urte ume baten adinaren hirukoitza
orain duenaren bikoitza zen. Zenbat urte ditu? EMA.: 12
urte.
33) Pertsona baten adina beste lagun batenaren bikoitza
da. Orain dela zazpi urte, bi pertsonen urteen batura
lehenengoaren gaur egungo adina izan zen. Kalkula
itzazu bi pertsonen adinak. EMA.:14 eta 28 urte.
34) Aita batek berrogeita bi urte ditu, eta semeak hamar.
Zenbat urte pasa behar dira aitaren adina semearenaren
hirukoitza izateko? EMA.: 6 urte
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

16

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

35) Gripea zela eta, gela bateko sei ikasle ez ziren eskolara
etorri. Eta, honela, ikasle guztien hiru laurdenak baino bi
gehiago etorri ziren. Zenbat ikasle ziren gelan? EMA.: 32
ikasle.
36) Laukizuzen-itxurako bizkotxo batean, hiru zati egin ditugu.
Lehenengoa bizkotxoaren herena da, bigarrena bostena eta
hirugarrena lau bederatzirena; 4 cm geratu zaigu sobran.
Zenbatekoa da bizkotxoaren luzera? EMA.: 180 cm.

37) Hemendik hamaika urtera, Enekoren adina duela
hamahiru urte zuenaren bikoitza izango da. Zenbat urte ditu?
EMA.: 37 urte.00
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

17

2. mailako ekuazioak ezezagun bakarrekoak badira,
honela adieraziko ditugu:
ax2 + bx + c = 0
a, b eta c zenbaki osoak dira, eta a ezin da zeroren
berdina izan (a  0).
Ekuazio horiek formula honek askatzen ditu beti:

x

b

b  4 ac
2

2a
Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

18

x

Adibide gisa, askatu
honako ekuazio hau:

x

b  4 ac
2

2a

GOGORATU: letra baten
aurrean ezer ikusten ez
duzunean, 1 zenbakia dago

2x2 – x – 1 = 0
a=2
b = –1
c = –1

b

 (  1) 

(  1)  4  2  (  1)
2

22
4



1 1 8
4

Kopiatu koadernoan



1 3
4



1

4
2
4



1
2



2. mailako ekuazioak

19
x

b

b  4 ac
2

2a

Askatu honako ekuazio hauek:
38) x2 – x – 2 = 0 EMA.: 2, –1
39) 3x2 – 7x – 6 = 0 EMA.: 3, –2/3
40) 4x2 – 8x + 3 = 0 EMA.: 3/2, 1/2
41) x2 + 4x + 4 = 0 EMA.: –2

42) x2 + 8x + 3 = 0 EMA.: –0,4; –7,6
43) x2 + 2x + 2 = 0 EMA.: emaitzarik
ez.

Emaitza bakarra
lortzen badugu,
emaitza horri emaitza
bikoitza esango
diogu.
Batzuetan, erroak ez
du emaitzarik, eta,
orduan, esaten dugu
ekuazioak ez duela
emaitza errealik.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

20

Modu horrek 2. mailako ekuazio guztietarako balio
badu ere, badaude beste modu errazago batzuk:
1) b = 0 denean

Adibidea:

ax2 + 0x + c = 0

3x2 – 75 = 0

ax2 + c = 0

3x2 = 75

ax2 = –c
x 
2

x 
2

75
3

c

5

a
x

c

x   25 

–5

a

Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

21

GOGORATU: biderkadura bat zero bada,
biderkagairen bat zero delako da
2) c = 0 denean

Adibidea:

ax2 + bx + 0 = 0

5x2 – 7x = 0

ax2 + bx = 0

x·(5x – 7) = 0

x·(ax + b) = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

5x – 7 = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

ax + b = 0
x = –b/a
Kopiatu koadernoan

x = 7/5

22

2. mailako ekuazioak

Ebatzi honako ekuazio hauek:
44) 3x² + 5x – 2 = 0 EMA.: 1/3; –2
45) 4x² – 36 = 0 EMA: 3, –3.
46) 2x² – 15x + 7 = 0 EMA: 7, 1/2

52) 2x2 – 3 = x2 – 2x EMA.: 1,
–3
53) x – 2 = x2 EMA.:
emaitzarik ez.

47) 3x² – 75x = 0 EMA: 0, 25.
48) 7x² – 9x + 2 = 0 EMA.: 1, 2/7

54 ) 1 +

= 2x

EMA.: –1/2, 1

x

49) 2x² – 2x – 24 = 0 EMA.: 4, –3

50) x²/3 – 12 = 0 EMA: 6, –6

1

55 ) 1 +

1
x

=x -

1
x

EMA.: –1, 2

51) (x – 2)(x + 1) = 0 EMA: 2, –1
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

23

2. mailako ekuazioak. Buruketak

56) Bi zenbakiren artean, 5eko aldea dago, eta haien
arteko biderkadura 66 da. Zein dira zenbakiok? EMA.: 6,
11; –11, –6.
57) Laukizuzen batek hogei zentimetroko diagonala du.
Zein izango da azalera, altuera baino lau cm luzeago
badu oina? EMA.: 12 cm, 16 cm.
58) Bila ezazu zirkunferentzia baten luzera, haren azalera
28,26 m² bada. EMA.: 18,84 m.
59) Triangelu zuzen batean, hipotenusaren luzera 10 cm
da. Bila itzazu katetoen luzerak, bata bestea baino 2 cm
luzeagoa bada. EMA.: 6 cm, 8 cm.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

24

2. mailako ekuazioak. Buruketak

60) Demagun 7 cm-ko alanbre bat daukagula. Nondik
tolestuko dugu muturretako bat bestetik 5 cm-ra egon dadin
angelu zuzen bat osatu ondoren? EMA.: 4 cm, 3 cm.
61) Ondoz ondoko bi zenbakiren arteko biderkadura
honako hau da zenbaki horien arteko batura gehi bost
unitate. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 3, 4; –2, –1.
62) Triangelu zuzen baten azalera 90 cm2 da. Bilatu
katetoak, haien arteko aldea 3 cm-koa bada. EMA.: 12 cm
eta 15 cm.
63) Banatu 9 zenbakia bi zatitan, bakoitzaren berbiduren
arteko batura 41 izan dadin. EMA.: 4, 5.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

25

Bi ezezaguneko ekuazio-sistemak:
Bi ekuazio aldi berean betetzen badira, ekuazio-sistema
bat dugu. Bi ekuazioak zenbaki berberetarako bete
behar dira.
Adibidez:

2x  y  4 

x  2 y   3

Sistema honen emaitza x = 1 eta y = 2 da, edo beste
modu batez adierazita, (1, 2) da.
Begiratu ea egia den.
Kopiatu koadernoan

26

Ekuazio-sistemak

Lau era ditugu ekuazio-sistemak ebazteko, baina
mementoz hiru besterik ez dugu ikasiko:
1. Ordezkatzea
2. Berdintzea
3. Laburtzea

Kopiatu koadernoan

Ekuazio-sistemak

27
1. Ordezkatzea
2x  y  4 

x  2 y   3

y  4  2x



x  8  4 x   3

Ekuazio batean,
ezezagun bat bakandu:
y  4  2x 

x  2 y   3

Beste ekuazioan,
ezezagun hori ordeztu

Beste ekuazioan
ordeztu
y  4  2x 

5 x  3  8

y  4  2x

5x  5 

y  4  2x



x  2  ( 4  2 x )   3

y  4  2x

x 1 

Kopiatu koadernoan

y  4  2  1

x 1 

y  2

x  1

Ekuazio-sistemak

28

Askatu sistema hauek, ordezkatze-metodoa erabiliz:
3 x  8 y  10 
64 )
 EMA. : ( 6 ,  1)
x y 5 

2x  3y  7 
65 )
 EMA. : ( 2 ,  1)
5 x  2 y  12 



1
2
67 )
EMA. : ( 4 , )

x y
x
2
  y
3
4

3x

68 )

 4y  8

3x  1  2 y  2
 EMA. : (  1,  3 )
x  y  4


2 x  12  4 y 

66 ) 2 x
 EMA. : ( 0 ,  3 )
 2 y  6

5


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

29

Ekuazio biak
berdindu

2. Berdintzea
2x  y  4 

x  2 y   3

4  2x 

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

3 x
2

y  4  2x

Ekuazio bietan, ezezagun
bera bakandu:
8  4x  3  x

y  4  2x 

 2 y  3  x 

y  4  2x

3 x 
y
2 


 5 x  5

x 1

Kopiatu koadernoan

y  4  2 1

y2

Ekuazio-sistemak

30

Askatu sistema hauek, berdintze-metodoa erabiliz:
2 x  y  0
69 )
 EMA. : (  1, 2 )
x  y 1

3x  y  4

70 ) x
 EMA. : ( 2 , 2 )
 y3

2


x 5  4y
x
71 )
y 
2


1
 y 1 
72 ) 4
 EMA. : ( 2 ,  )
2
2( x  y )  3

x

73 )

x5 y


 EMA. : (  3, 2 )
5 x  2 y   19 


1

EMA.
:
(
3
,

)

2
2



Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

31
3. Laburtzea
2x  y  4 

x  2 y   3

Ezezagun bera duten bi
gaiak ekuazio bietan
berdinak izatea da
helburua; berdinak
baina aurkako zeinua
dutela. Horretarako,
ekuazioetako bat
zenbaki oso batez
biderkatuko dugu:
2  (2 x  y  4)

x  2 y  3 

4x  2 y  8 

x  2 y   3

Ekuazio bien
arteko batuketa
egin, gaiz gai.
4x  2 y  8



x  2 y  3 

5x  0 y  5
5x  5
x 1

Kopiatu koadernoan

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

2 1  y  4

y  42

y2

Ekuazio-sistemak

32

Askatu sistema hauek, laburtze-metodoa erabiliz:
x  y  9
74 )
 EMA. : ( 5 , 4 )
x  y 1

75 )

3x  y  3
1
EMA.
:
(
, 2)

6 x  y  0
3

76 )

2 x  3 y  4
 EMA. : (1,  2 )
x  2y  5 


 y  0
77 ) 2
 EMA. : ( 4 ,  2 )
y
 x  3
2

x

5 
1 1

78 )
EMA.
:
(
, )
6 
2
3
3 y  3  4 x  2 
x 1  y 

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

33

Askatu sistema hauek, zure ustez errazena den metodoaz:
6 x  5 y  4
79 )
 EMA. : (1,  2 )
x  y  1

82 )

3x  y  1


 EMA. : Ez du
x  2 y  2  2x  y

emaitzarik

3x  5  2 y


80 ) x
 EMA. : (3 , 2 )
 y  2x  3

3


x
83 )
x

(Sistema

y 1
2
y2
3

bateraezin a)


1

 EMA. : (  8 ,  19 )
 1


3x  y  2
1

y  EMA. : ( ,  1)
81 ) x

3
3
9 


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

34

Ekuazio-sistemak. Buruketak

84) Ostatu batean, ohe bateko eta biko gelak daude. Orotara 50
gela eta 87 ohe daude. Mota bakoitzeko zenbat gela dago?
EMA.: 13, 37 gela
85) Txakur-txapelketa batean, txakurrak eta beraien jabeak
daude. Guztira hirurogeita hamazortzi buru eta berrehun eta
hamasei hanka daude. Zenbat txakur eta pertsona daude?
EMA.: 48 pertsona, 30 txakur.
86) Bi zenbakiren arteko batura hamalau da. Handienari bat
gehitzen badiogu, txikienaren bikoitza lortzen da. Aurki itzazu
zenbakiak. EMA.: 9, 5.
87) Bi zenbakiren arteko batura 150 da, eta kendura txikienaren
laukoitza da. Aurki itzazu zenbakiok. EMA.: 125, 25
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

35

Ekuazio-sistemak. Buruketak

88) Zenbaki baten hirukoitzari beste baten laukoitza
gehitutakoan, zazpi izango da emaitza; lehenengoaren
bikoitzari bigarrena gehitutakoan, berriz, hiru izango da
emaitza. Bilatu zenbakiok. EMA.: 1, 1.
89) Bi anaia-arreben adinen arteko batura 17 da; bost urte
barru, batena bestearenaren bikoitza izango da. Zenbat
urte dituzte? EMA.: 13, 4 urte.
90) Dendara joan eta alkandora bat eta praka batzuk erosi
ditut. Markatuta dituzten prezioen artean, 100 euro egiten
dute, baina, merkealdia dela eta, alkandoran % 20ko
deskontua egin didate, eta, praketan, % 30ekoa. Guztira,
73,50 euro pagatu dut. Zenbat balio du bakoitzak? EMA.:
35 eta 65 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

36
2
x + y = 24 
91 )
 EMA. : (2, 20); (  4, 8)
y = 2x + 16 

Ekuazio-sistemak
x y 7 
92 ) 2
 EMA. : ( 3, 4 ); ( 4 , 3 )
2
x  y  25 

93) 60 euro ditugu lagun batzuen artean banatzeko. Hiru
lagun gehiago bagina, bakoitzari euro bat gutxiago
egokituko litzaiguke. Zenbat gara? EMA: 12 lagun.

94) Loradenda batean, tulipan sortak egiteko hari batzuk
daude. Tulipanak binaka jarriz gero, 4 tulipan geldituko dira
sobran, eta hirunaka jarriz gero, hari bat sobran. Zenbat
tulipan eta zenbat hari daude? EMA: 7, 18.
95) Bi zenbakiren arteko kendura 3 da, eta zenbakion
berbiduren arteko batura, 117. Bila itzazu zenbakiok. EMA:
(–6, –9); (9, 6).
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

37

Ekuazio-sistemak

96) Bi zenbakiren arteko kendura 6 da, eta
biderkadura, 216. Bila itzazu zenbakiok. EMA: (–12, –
18); (18, 12).
97) Triangelu zuzen baten hipotenusa 10 m luze da,
eta perimetroa, 24 m-koa da. Zenbat luze dira bi
katetoak? EMA.: 6 cm, 8 cm.
98) x4 + 3x² – 4 = 0 EMA.: 1, –1
99) x × (x + 5) × (x – 2) = 0 EMA: 0, –5, 2.
100) x4 – 5x² + 4 = 0 EMA: 2, –2, 1, –1.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira


Slide 25

1

Ekuazioak 3. DBH
Alfredo Ortega Loza
Unitate honetan, hauek ikasi edo gogoratuko ditugu:
•Ekuazioak eta identitateak bereizten
•Lehenengo mailako ekuazioak askatzen
•Buruketak askatzen
•2. mailako ekuazioak askatzen
•Ekuazio-sistemak askatzen
•2. mailako ekuazio-sistemak askatzen

Berdintzak

2

Berdin ikurra duten adierazpeni berdintza
esaten zaie.
Berdintzak zenbakizkoak izan daitezke:
3·(5 – 4) = 2 + 1



45/5 = 18/2



Algebraikoak ere,
izan daitezke:

Berdintzaren ezkerreko aldeari
lehen atala esaten zaio, eta
eskuinekoari, bigarren atala.
Batuketa edo kenketa ikurren
arteko letra eta zenbakimultzoei, berriz, gai deritze.

3x – 5 = x/4 +1



5a + 2b = 10a/2 + (9/2)b – (5/2)b



Kopiatu koadernoan

Identitateak

3

Berdintza algebraikoak –letrak dituztenak–
identitateak edo ekuazioak izan daitezke:
Identitateak:

3x + (5 – 1)·2 = 2x + x + 8
5a – a = 2 (7a – 5a)

Gogoratu: zenbakien
eta letren artean ezer
ez dagoenean,
BIDER (·) ikurra
irakurri behar da beti.

Ezezagunak (letra) edozein balio izanda ere,
bete egingo da berdintza. Askatzen saiatuz
gero, 0 = 0 lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazioak

4

Ekuazioak:
3x = 2x + 1. EMA.: x = 1
5a – 3 = 2 (7a – 5a). EMA.: a = 3

Ezezagunaren balio batzuetarako baino ez
da betetzen berdintza.
Balio horiek topatzeari ekuazioa askatzea
(edo ebaztea) esaten zaio.

Kopiatu koadernoan

5

Ekuazio baliokideak
Ekuazioen propietateak:

Ekuazio baten bi aldeetan batuketa edo
kenketa bera egiten badugu, hasierakoaren
ekuazio baliokide bat (emaitza berbera
duena) lortuko dugu.
Ekuazio baten bi aldeak zero ez den
adierazpen batekin biderkatzen edo
zatitzen baditugu, hasierakoaren ekuazio
baliokide bat lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (1)

6

Ekuazioetarako erregelak:

x+7=3

–x = 3 – 2x

x+7–7=3–7

–x + 2x = 3 – 2x + 2x

x=3–7

–x + 2x = 3

x = –4

x=3

Ekuazioaren alde batean
batzen dagoena kentzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazioaren alde batean
kentzen dagoena batzen
pasatzen da beste aldera.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (2)

7

3x



3
x

Kopiatu koadernoan

Ekuazioetarako erregelak:
x
3x – 7 = 2
2 1
4
3x – 7 + 7 = 2 + 7
x
 2  2  1 2
4
3x = 9
9
3
9
3

x=3

Ekuazioaren alde batean
biderkatzen dagoena zatitzen
pasatzen da beste aldera.

x

 1

4
4

x

 4  (  1)

4
x  4  (  1)

x = –4
Ekuazioaren alde batean
zatitzen dagoena biderkatzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazio-ebazpenak

8
Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio eta identitate
hauek :

 Letrak dituzten
gai guztiak
berdintzaren alde
batera eraman
behar ditugu, eta
zenbakiak,
bestera.

1) x – 3 + 5x = 4x – 7. EMA.: –2

 Parentesiak
badaude, beste
ezer baino lehen
kendu behar
ditugu.

2) 7x – 5 + 2x + 6 = –3x + 8 – x.
EMA.: 7/13
3) 2x – (6x + 1) = 3x – 5(2 – x). EMA.: 3/4
4) 7(x + 3) = 7 + 8x – 1 . EMA.: 15
5) 3x +7 – 2(x – 3) = 3(x + 4) – 2x + 1.
EMA.: Edozein; identitatea da

6) 4 – (3 – x) + 6 = 2x + 2(2x – 3).
EMA.: 13/5
7) 5 – x(3 + 1) = 2x – 6(3 – 2x).
EMA.: 23/18

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

9

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio hauek :
8)

 Izendatzaileak
badaude,
izendatzaileen
MKTa lortu behar
dugu, eta,
ondoren,
berdintzaren
alde biak MKT
horrekin
biderkatuko
ditugu.

9)

1

x + 2=

2

x - 5 . E M A : 42

3

4

x

- 3  (x - 1) = 2 x -

7 - x

2

10)

1

(x - 2) -

8

11)

. E M A : 32/29.

3
2

(2 x + 6) + x = - 4 .E M A : -6/5

3

x - 1

-

x + 1

2
12) - 4  (3 - x)

=x -

3

5

.E M A : 1

3
+ 4x =

3

 (2 x - 1) - (x + 1) E M A : 4/3.

5

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

10

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
13)

x

-

x - 3

6

14)

=1 -

2x - 5

4

6x - 1

-

5x - 6

5

=

2x + 1

7
x - 2

15) 1 -

5

- 2

- 5x =

3x - 5

7x

(x - 1)

x - 8

2
18) 2 -

3  (2 + x)

=x +

3
-

3
x - 1
5

E M A : 25/41.

2

4

17)

E M A : 34/19.

3

3

16)

E M A : 23/7.

3

E M A : -13/38.

2
-

4  (4 x + 2)

=

5
- (2 x - 1) =

5x - 3

E M A : 2.

7
x - 5
E M A : 19/9

2

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

11

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
19) x -

x

-

x - 1

2

=

6

20) - 4 x - 3 -

x

- 2  (x - 1) E M A :11/13.

6

6x + 4

= 3 - 4  (x - 1) E M A : -37/3.

7
21) 3 -

x + 1

- (4 x - 1) = x - (3 - 4 x) E M A : 13/19.

2
x 22)

1
2 -

3
2

23)

x -

x + 2

-

2

x

- 3
3 = 2 - x - 2
E M A : 2.
4
6
12
1

3x - 1

+

4
(x + 2) (3 x - 1)

= 0 . E M A : 0.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

12

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

Buruketen emaitzak lortzeko, pauso hauek dira
garrantzitsuenak:

Proposatzen den buruketa ondo ulertu. Behar diren
irakurketa guztiak egin, zer eskatzen duten ondo ulertzeko
eta azaltzen diren baldintzak ondo kontrolatzeko

Azpimarratu datu garrantzitsuenak
Ixa esleitu. Ixaren aldamenean beti idatzi zer den
Dituzun datu guztien artean, erlazioren bat topatu.
Buruketak berak ematen du askotan

Sortu duzun ekuazioa askatu
Bukatzeko, egiaztatu emaitza dituzun datu guztiekin
Kopiatu koadernoan

13

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

24) Bi zenbakiren arteko batura 76, da eta bata bestea
baino lau unitate handiagoa da. Bilatu zenbakiok. EMA.:
36, 40.
25) Ondoz ondoko hiru zenbakiren arteko batura
laurogeita hamahiru da. Zein dira zenbaki horiek. EMA.:
30, 31, 32.
26) Zenbaki baten herenaren eta hirukoitzaren arteko
batura berrogei da. Aurkitu zenbakia. EMA.: 12.
27) Bi mila laurehun metro ibili ondoren, distantziaren
herena falta zaigu bukatzeko. Zein da distantzia? EMA.:
3.600 m.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

14

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

28) Pertsona batek duen muxika-kopurua honela banatuta
geratu da: erdiak saldu egin zituen, laurdenak anaiari eman
zizkion eta, oraindik, ehun eta hogei muxika geratu zaizkio.
Zenbat muxika zituen? EMA.: 480 muxika.

29) Zuk hamabi urte badituzu eta zure aitak zure adinaren
zortzi herena, zenbat urte ditu zure aitak? EMA.: 32 urte.
30) Ondoz ondoko bi zenbaki ditugu. Handienaren
herenaren eta txikienaren arteko batura txikienaren
bikoitzaren herena da. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 2, 3.
31) Andonik Kepak baino bost euro gehiago ditu. Baina
Andonik Kepari lau euro emango balizkio, Keparen dirutza
Andonirenaren bikoitza bihurtuko litzateke. Zenbat dauka
bakoitzak? EMA.: 7 eta 2 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

15

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

32) Orain dela lau urte ume baten adinaren hirukoitza
orain duenaren bikoitza zen. Zenbat urte ditu? EMA.: 12
urte.
33) Pertsona baten adina beste lagun batenaren bikoitza
da. Orain dela zazpi urte, bi pertsonen urteen batura
lehenengoaren gaur egungo adina izan zen. Kalkula
itzazu bi pertsonen adinak. EMA.:14 eta 28 urte.
34) Aita batek berrogeita bi urte ditu, eta semeak hamar.
Zenbat urte pasa behar dira aitaren adina semearenaren
hirukoitza izateko? EMA.: 6 urte
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

16

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

35) Gripea zela eta, gela bateko sei ikasle ez ziren eskolara
etorri. Eta, honela, ikasle guztien hiru laurdenak baino bi
gehiago etorri ziren. Zenbat ikasle ziren gelan? EMA.: 32
ikasle.
36) Laukizuzen-itxurako bizkotxo batean, hiru zati egin ditugu.
Lehenengoa bizkotxoaren herena da, bigarrena bostena eta
hirugarrena lau bederatzirena; 4 cm geratu zaigu sobran.
Zenbatekoa da bizkotxoaren luzera? EMA.: 180 cm.

37) Hemendik hamaika urtera, Enekoren adina duela
hamahiru urte zuenaren bikoitza izango da. Zenbat urte ditu?
EMA.: 37 urte.00
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

17

2. mailako ekuazioak ezezagun bakarrekoak badira,
honela adieraziko ditugu:
ax2 + bx + c = 0
a, b eta c zenbaki osoak dira, eta a ezin da zeroren
berdina izan (a  0).
Ekuazio horiek formula honek askatzen ditu beti:

x

b

b  4 ac
2

2a
Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

18

x

Adibide gisa, askatu
honako ekuazio hau:

x

b  4 ac
2

2a

GOGORATU: letra baten
aurrean ezer ikusten ez
duzunean, 1 zenbakia dago

2x2 – x – 1 = 0
a=2
b = –1
c = –1

b

 (  1) 

(  1)  4  2  (  1)
2

22
4



1 1 8
4

Kopiatu koadernoan



1 3
4



1

4
2
4



1
2



2. mailako ekuazioak

19
x

b

b  4 ac
2

2a

Askatu honako ekuazio hauek:
38) x2 – x – 2 = 0 EMA.: 2, –1
39) 3x2 – 7x – 6 = 0 EMA.: 3, –2/3
40) 4x2 – 8x + 3 = 0 EMA.: 3/2, 1/2
41) x2 + 4x + 4 = 0 EMA.: –2

42) x2 + 8x + 3 = 0 EMA.: –0,4; –7,6
43) x2 + 2x + 2 = 0 EMA.: emaitzarik
ez.

Emaitza bakarra
lortzen badugu,
emaitza horri emaitza
bikoitza esango
diogu.
Batzuetan, erroak ez
du emaitzarik, eta,
orduan, esaten dugu
ekuazioak ez duela
emaitza errealik.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

20

Modu horrek 2. mailako ekuazio guztietarako balio
badu ere, badaude beste modu errazago batzuk:
1) b = 0 denean

Adibidea:

ax2 + 0x + c = 0

3x2 – 75 = 0

ax2 + c = 0

3x2 = 75

ax2 = –c
x 
2

x 
2

75
3

c

5

a
x

c

x   25 

–5

a

Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

21

GOGORATU: biderkadura bat zero bada,
biderkagairen bat zero delako da
2) c = 0 denean

Adibidea:

ax2 + bx + 0 = 0

5x2 – 7x = 0

ax2 + bx = 0

x·(5x – 7) = 0

x·(ax + b) = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

5x – 7 = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

ax + b = 0
x = –b/a
Kopiatu koadernoan

x = 7/5

22

2. mailako ekuazioak

Ebatzi honako ekuazio hauek:
44) 3x² + 5x – 2 = 0 EMA.: 1/3; –2
45) 4x² – 36 = 0 EMA: 3, –3.
46) 2x² – 15x + 7 = 0 EMA: 7, 1/2

52) 2x2 – 3 = x2 – 2x EMA.: 1,
–3
53) x – 2 = x2 EMA.:
emaitzarik ez.

47) 3x² – 75x = 0 EMA: 0, 25.
48) 7x² – 9x + 2 = 0 EMA.: 1, 2/7

54 ) 1 +

= 2x

EMA.: –1/2, 1

x

49) 2x² – 2x – 24 = 0 EMA.: 4, –3

50) x²/3 – 12 = 0 EMA: 6, –6

1

55 ) 1 +

1
x

=x -

1
x

EMA.: –1, 2

51) (x – 2)(x + 1) = 0 EMA: 2, –1
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

23

2. mailako ekuazioak. Buruketak

56) Bi zenbakiren artean, 5eko aldea dago, eta haien
arteko biderkadura 66 da. Zein dira zenbakiok? EMA.: 6,
11; –11, –6.
57) Laukizuzen batek hogei zentimetroko diagonala du.
Zein izango da azalera, altuera baino lau cm luzeago
badu oina? EMA.: 12 cm, 16 cm.
58) Bila ezazu zirkunferentzia baten luzera, haren azalera
28,26 m² bada. EMA.: 18,84 m.
59) Triangelu zuzen batean, hipotenusaren luzera 10 cm
da. Bila itzazu katetoen luzerak, bata bestea baino 2 cm
luzeagoa bada. EMA.: 6 cm, 8 cm.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

24

2. mailako ekuazioak. Buruketak

60) Demagun 7 cm-ko alanbre bat daukagula. Nondik
tolestuko dugu muturretako bat bestetik 5 cm-ra egon dadin
angelu zuzen bat osatu ondoren? EMA.: 4 cm, 3 cm.
61) Ondoz ondoko bi zenbakiren arteko biderkadura
honako hau da zenbaki horien arteko batura gehi bost
unitate. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 3, 4; –2, –1.
62) Triangelu zuzen baten azalera 90 cm2 da. Bilatu
katetoak, haien arteko aldea 3 cm-koa bada. EMA.: 12 cm
eta 15 cm.
63) Banatu 9 zenbakia bi zatitan, bakoitzaren berbiduren
arteko batura 41 izan dadin. EMA.: 4, 5.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

25

Bi ezezaguneko ekuazio-sistemak:
Bi ekuazio aldi berean betetzen badira, ekuazio-sistema
bat dugu. Bi ekuazioak zenbaki berberetarako bete
behar dira.
Adibidez:

2x  y  4 

x  2 y   3

Sistema honen emaitza x = 1 eta y = 2 da, edo beste
modu batez adierazita, (1, 2) da.
Begiratu ea egia den.
Kopiatu koadernoan

26

Ekuazio-sistemak

Lau era ditugu ekuazio-sistemak ebazteko, baina
mementoz hiru besterik ez dugu ikasiko:
1. Ordezkatzea
2. Berdintzea
3. Laburtzea

Kopiatu koadernoan

Ekuazio-sistemak

27
1. Ordezkatzea
2x  y  4 

x  2 y   3

y  4  2x



x  8  4 x   3

Ekuazio batean,
ezezagun bat bakandu:
y  4  2x 

x  2 y   3

Beste ekuazioan,
ezezagun hori ordeztu

Beste ekuazioan
ordeztu
y  4  2x 

5 x  3  8

y  4  2x

5x  5 

y  4  2x



x  2  ( 4  2 x )   3

y  4  2x

x 1 

Kopiatu koadernoan

y  4  2  1

x 1 

y  2

x  1

Ekuazio-sistemak

28

Askatu sistema hauek, ordezkatze-metodoa erabiliz:
3 x  8 y  10 
64 )
 EMA. : ( 6 ,  1)
x y 5 

2x  3y  7 
65 )
 EMA. : ( 2 ,  1)
5 x  2 y  12 



1
2
67 )
EMA. : ( 4 , )

x y
x
2
  y
3
4

3x

68 )

 4y  8

3x  1  2 y  2
 EMA. : (  1,  3 )
x  y  4


2 x  12  4 y 

66 ) 2 x
 EMA. : ( 0 ,  3 )
 2 y  6

5


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

29

Ekuazio biak
berdindu

2. Berdintzea
2x  y  4 

x  2 y   3

4  2x 

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

3 x
2

y  4  2x

Ekuazio bietan, ezezagun
bera bakandu:
8  4x  3  x

y  4  2x 

 2 y  3  x 

y  4  2x

3 x 
y
2 


 5 x  5

x 1

Kopiatu koadernoan

y  4  2 1

y2

Ekuazio-sistemak

30

Askatu sistema hauek, berdintze-metodoa erabiliz:
2 x  y  0
69 )
 EMA. : (  1, 2 )
x  y 1

3x  y  4

70 ) x
 EMA. : ( 2 , 2 )
 y3

2


x 5  4y
x
71 )
y 
2


1
 y 1 
72 ) 4
 EMA. : ( 2 ,  )
2
2( x  y )  3

x

73 )

x5 y


 EMA. : (  3, 2 )
5 x  2 y   19 


1

EMA.
:
(
3
,

)

2
2



Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

31
3. Laburtzea
2x  y  4 

x  2 y   3

Ezezagun bera duten bi
gaiak ekuazio bietan
berdinak izatea da
helburua; berdinak
baina aurkako zeinua
dutela. Horretarako,
ekuazioetako bat
zenbaki oso batez
biderkatuko dugu:
2  (2 x  y  4)

x  2 y  3 

4x  2 y  8 

x  2 y   3

Ekuazio bien
arteko batuketa
egin, gaiz gai.
4x  2 y  8



x  2 y  3 

5x  0 y  5
5x  5
x 1

Kopiatu koadernoan

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

2 1  y  4

y  42

y2

Ekuazio-sistemak

32

Askatu sistema hauek, laburtze-metodoa erabiliz:
x  y  9
74 )
 EMA. : ( 5 , 4 )
x  y 1

75 )

3x  y  3
1
EMA.
:
(
, 2)

6 x  y  0
3

76 )

2 x  3 y  4
 EMA. : (1,  2 )
x  2y  5 


 y  0
77 ) 2
 EMA. : ( 4 ,  2 )
y
 x  3
2

x

5 
1 1

78 )
EMA.
:
(
, )
6 
2
3
3 y  3  4 x  2 
x 1  y 

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

33

Askatu sistema hauek, zure ustez errazena den metodoaz:
6 x  5 y  4
79 )
 EMA. : (1,  2 )
x  y  1

82 )

3x  y  1


 EMA. : Ez du
x  2 y  2  2x  y

emaitzarik

3x  5  2 y


80 ) x
 EMA. : (3 , 2 )
 y  2x  3

3


x
83 )
x

(Sistema

y 1
2
y2
3

bateraezin a)


1

 EMA. : (  8 ,  19 )
 1


3x  y  2
1

y  EMA. : ( ,  1)
81 ) x

3
3
9 


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

34

Ekuazio-sistemak. Buruketak

84) Ostatu batean, ohe bateko eta biko gelak daude. Orotara 50
gela eta 87 ohe daude. Mota bakoitzeko zenbat gela dago?
EMA.: 13, 37 gela
85) Txakur-txapelketa batean, txakurrak eta beraien jabeak
daude. Guztira hirurogeita hamazortzi buru eta berrehun eta
hamasei hanka daude. Zenbat txakur eta pertsona daude?
EMA.: 48 pertsona, 30 txakur.
86) Bi zenbakiren arteko batura hamalau da. Handienari bat
gehitzen badiogu, txikienaren bikoitza lortzen da. Aurki itzazu
zenbakiak. EMA.: 9, 5.
87) Bi zenbakiren arteko batura 150 da, eta kendura txikienaren
laukoitza da. Aurki itzazu zenbakiok. EMA.: 125, 25
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

35

Ekuazio-sistemak. Buruketak

88) Zenbaki baten hirukoitzari beste baten laukoitza
gehitutakoan, zazpi izango da emaitza; lehenengoaren
bikoitzari bigarrena gehitutakoan, berriz, hiru izango da
emaitza. Bilatu zenbakiok. EMA.: 1, 1.
89) Bi anaia-arreben adinen arteko batura 17 da; bost urte
barru, batena bestearenaren bikoitza izango da. Zenbat
urte dituzte? EMA.: 13, 4 urte.
90) Dendara joan eta alkandora bat eta praka batzuk erosi
ditut. Markatuta dituzten prezioen artean, 100 euro egiten
dute, baina, merkealdia dela eta, alkandoran % 20ko
deskontua egin didate, eta, praketan, % 30ekoa. Guztira,
73,50 euro pagatu dut. Zenbat balio du bakoitzak? EMA.:
35 eta 65 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

36
2
x + y = 24 
91 )
 EMA. : (2, 20); (  4, 8)
y = 2x + 16 

Ekuazio-sistemak
x y 7 
92 ) 2
 EMA. : ( 3, 4 ); ( 4 , 3 )
2
x  y  25 

93) 60 euro ditugu lagun batzuen artean banatzeko. Hiru
lagun gehiago bagina, bakoitzari euro bat gutxiago
egokituko litzaiguke. Zenbat gara? EMA: 12 lagun.

94) Loradenda batean, tulipan sortak egiteko hari batzuk
daude. Tulipanak binaka jarriz gero, 4 tulipan geldituko dira
sobran, eta hirunaka jarriz gero, hari bat sobran. Zenbat
tulipan eta zenbat hari daude? EMA: 7, 18.
95) Bi zenbakiren arteko kendura 3 da, eta zenbakion
berbiduren arteko batura, 117. Bila itzazu zenbakiok. EMA:
(–6, –9); (9, 6).
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

37

Ekuazio-sistemak

96) Bi zenbakiren arteko kendura 6 da, eta
biderkadura, 216. Bila itzazu zenbakiok. EMA: (–12, –
18); (18, 12).
97) Triangelu zuzen baten hipotenusa 10 m luze da,
eta perimetroa, 24 m-koa da. Zenbat luze dira bi
katetoak? EMA.: 6 cm, 8 cm.
98) x4 + 3x² – 4 = 0 EMA.: 1, –1
99) x × (x + 5) × (x – 2) = 0 EMA: 0, –5, 2.
100) x4 – 5x² + 4 = 0 EMA: 2, –2, 1, –1.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira


Slide 26

1

Ekuazioak 3. DBH
Alfredo Ortega Loza
Unitate honetan, hauek ikasi edo gogoratuko ditugu:
•Ekuazioak eta identitateak bereizten
•Lehenengo mailako ekuazioak askatzen
•Buruketak askatzen
•2. mailako ekuazioak askatzen
•Ekuazio-sistemak askatzen
•2. mailako ekuazio-sistemak askatzen

Berdintzak

2

Berdin ikurra duten adierazpeni berdintza
esaten zaie.
Berdintzak zenbakizkoak izan daitezke:
3·(5 – 4) = 2 + 1



45/5 = 18/2



Algebraikoak ere,
izan daitezke:

Berdintzaren ezkerreko aldeari
lehen atala esaten zaio, eta
eskuinekoari, bigarren atala.
Batuketa edo kenketa ikurren
arteko letra eta zenbakimultzoei, berriz, gai deritze.

3x – 5 = x/4 +1



5a + 2b = 10a/2 + (9/2)b – (5/2)b



Kopiatu koadernoan

Identitateak

3

Berdintza algebraikoak –letrak dituztenak–
identitateak edo ekuazioak izan daitezke:
Identitateak:

3x + (5 – 1)·2 = 2x + x + 8
5a – a = 2 (7a – 5a)

Gogoratu: zenbakien
eta letren artean ezer
ez dagoenean,
BIDER (·) ikurra
irakurri behar da beti.

Ezezagunak (letra) edozein balio izanda ere,
bete egingo da berdintza. Askatzen saiatuz
gero, 0 = 0 lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazioak

4

Ekuazioak:
3x = 2x + 1. EMA.: x = 1
5a – 3 = 2 (7a – 5a). EMA.: a = 3

Ezezagunaren balio batzuetarako baino ez
da betetzen berdintza.
Balio horiek topatzeari ekuazioa askatzea
(edo ebaztea) esaten zaio.

Kopiatu koadernoan

5

Ekuazio baliokideak
Ekuazioen propietateak:

Ekuazio baten bi aldeetan batuketa edo
kenketa bera egiten badugu, hasierakoaren
ekuazio baliokide bat (emaitza berbera
duena) lortuko dugu.
Ekuazio baten bi aldeak zero ez den
adierazpen batekin biderkatzen edo
zatitzen baditugu, hasierakoaren ekuazio
baliokide bat lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (1)

6

Ekuazioetarako erregelak:

x+7=3

–x = 3 – 2x

x+7–7=3–7

–x + 2x = 3 – 2x + 2x

x=3–7

–x + 2x = 3

x = –4

x=3

Ekuazioaren alde batean
batzen dagoena kentzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazioaren alde batean
kentzen dagoena batzen
pasatzen da beste aldera.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (2)

7

3x



3
x

Kopiatu koadernoan

Ekuazioetarako erregelak:
x
3x – 7 = 2
2 1
4
3x – 7 + 7 = 2 + 7
x
 2  2  1 2
4
3x = 9
9
3
9
3

x=3

Ekuazioaren alde batean
biderkatzen dagoena zatitzen
pasatzen da beste aldera.

x

 1

4
4

x

 4  (  1)

4
x  4  (  1)

x = –4
Ekuazioaren alde batean
zatitzen dagoena biderkatzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazio-ebazpenak

8
Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio eta identitate
hauek :

 Letrak dituzten
gai guztiak
berdintzaren alde
batera eraman
behar ditugu, eta
zenbakiak,
bestera.

1) x – 3 + 5x = 4x – 7. EMA.: –2

 Parentesiak
badaude, beste
ezer baino lehen
kendu behar
ditugu.

2) 7x – 5 + 2x + 6 = –3x + 8 – x.
EMA.: 7/13
3) 2x – (6x + 1) = 3x – 5(2 – x). EMA.: 3/4
4) 7(x + 3) = 7 + 8x – 1 . EMA.: 15
5) 3x +7 – 2(x – 3) = 3(x + 4) – 2x + 1.
EMA.: Edozein; identitatea da

6) 4 – (3 – x) + 6 = 2x + 2(2x – 3).
EMA.: 13/5
7) 5 – x(3 + 1) = 2x – 6(3 – 2x).
EMA.: 23/18

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

9

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio hauek :
8)

 Izendatzaileak
badaude,
izendatzaileen
MKTa lortu behar
dugu, eta,
ondoren,
berdintzaren
alde biak MKT
horrekin
biderkatuko
ditugu.

9)

1

x + 2=

2

x - 5 . E M A : 42

3

4

x

- 3  (x - 1) = 2 x -

7 - x

2

10)

1

(x - 2) -

8

11)

. E M A : 32/29.

3
2

(2 x + 6) + x = - 4 .E M A : -6/5

3

x - 1

-

x + 1

2
12) - 4  (3 - x)

=x -

3

5

.E M A : 1

3
+ 4x =

3

 (2 x - 1) - (x + 1) E M A : 4/3.

5

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

10

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
13)

x

-

x - 3

6

14)

=1 -

2x - 5

4

6x - 1

-

5x - 6

5

=

2x + 1

7
x - 2

15) 1 -

5

- 2

- 5x =

3x - 5

7x

(x - 1)

x - 8

2
18) 2 -

3  (2 + x)

=x +

3
-

3
x - 1
5

E M A : 25/41.

2

4

17)

E M A : 34/19.

3

3

16)

E M A : 23/7.

3

E M A : -13/38.

2
-

4  (4 x + 2)

=

5
- (2 x - 1) =

5x - 3

E M A : 2.

7
x - 5
E M A : 19/9

2

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

11

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
19) x -

x

-

x - 1

2

=

6

20) - 4 x - 3 -

x

- 2  (x - 1) E M A :11/13.

6

6x + 4

= 3 - 4  (x - 1) E M A : -37/3.

7
21) 3 -

x + 1

- (4 x - 1) = x - (3 - 4 x) E M A : 13/19.

2
x 22)

1
2 -

3
2

23)

x -

x + 2

-

2

x

- 3
3 = 2 - x - 2
E M A : 2.
4
6
12
1

3x - 1

+

4
(x + 2) (3 x - 1)

= 0 . E M A : 0.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

12

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

Buruketen emaitzak lortzeko, pauso hauek dira
garrantzitsuenak:

Proposatzen den buruketa ondo ulertu. Behar diren
irakurketa guztiak egin, zer eskatzen duten ondo ulertzeko
eta azaltzen diren baldintzak ondo kontrolatzeko

Azpimarratu datu garrantzitsuenak
Ixa esleitu. Ixaren aldamenean beti idatzi zer den
Dituzun datu guztien artean, erlazioren bat topatu.
Buruketak berak ematen du askotan

Sortu duzun ekuazioa askatu
Bukatzeko, egiaztatu emaitza dituzun datu guztiekin
Kopiatu koadernoan

13

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

24) Bi zenbakiren arteko batura 76, da eta bata bestea
baino lau unitate handiagoa da. Bilatu zenbakiok. EMA.:
36, 40.
25) Ondoz ondoko hiru zenbakiren arteko batura
laurogeita hamahiru da. Zein dira zenbaki horiek. EMA.:
30, 31, 32.
26) Zenbaki baten herenaren eta hirukoitzaren arteko
batura berrogei da. Aurkitu zenbakia. EMA.: 12.
27) Bi mila laurehun metro ibili ondoren, distantziaren
herena falta zaigu bukatzeko. Zein da distantzia? EMA.:
3.600 m.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

14

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

28) Pertsona batek duen muxika-kopurua honela banatuta
geratu da: erdiak saldu egin zituen, laurdenak anaiari eman
zizkion eta, oraindik, ehun eta hogei muxika geratu zaizkio.
Zenbat muxika zituen? EMA.: 480 muxika.

29) Zuk hamabi urte badituzu eta zure aitak zure adinaren
zortzi herena, zenbat urte ditu zure aitak? EMA.: 32 urte.
30) Ondoz ondoko bi zenbaki ditugu. Handienaren
herenaren eta txikienaren arteko batura txikienaren
bikoitzaren herena da. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 2, 3.
31) Andonik Kepak baino bost euro gehiago ditu. Baina
Andonik Kepari lau euro emango balizkio, Keparen dirutza
Andonirenaren bikoitza bihurtuko litzateke. Zenbat dauka
bakoitzak? EMA.: 7 eta 2 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

15

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

32) Orain dela lau urte ume baten adinaren hirukoitza
orain duenaren bikoitza zen. Zenbat urte ditu? EMA.: 12
urte.
33) Pertsona baten adina beste lagun batenaren bikoitza
da. Orain dela zazpi urte, bi pertsonen urteen batura
lehenengoaren gaur egungo adina izan zen. Kalkula
itzazu bi pertsonen adinak. EMA.:14 eta 28 urte.
34) Aita batek berrogeita bi urte ditu, eta semeak hamar.
Zenbat urte pasa behar dira aitaren adina semearenaren
hirukoitza izateko? EMA.: 6 urte
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

16

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

35) Gripea zela eta, gela bateko sei ikasle ez ziren eskolara
etorri. Eta, honela, ikasle guztien hiru laurdenak baino bi
gehiago etorri ziren. Zenbat ikasle ziren gelan? EMA.: 32
ikasle.
36) Laukizuzen-itxurako bizkotxo batean, hiru zati egin ditugu.
Lehenengoa bizkotxoaren herena da, bigarrena bostena eta
hirugarrena lau bederatzirena; 4 cm geratu zaigu sobran.
Zenbatekoa da bizkotxoaren luzera? EMA.: 180 cm.

37) Hemendik hamaika urtera, Enekoren adina duela
hamahiru urte zuenaren bikoitza izango da. Zenbat urte ditu?
EMA.: 37 urte.00
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

17

2. mailako ekuazioak ezezagun bakarrekoak badira,
honela adieraziko ditugu:
ax2 + bx + c = 0
a, b eta c zenbaki osoak dira, eta a ezin da zeroren
berdina izan (a  0).
Ekuazio horiek formula honek askatzen ditu beti:

x

b

b  4 ac
2

2a
Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

18

x

Adibide gisa, askatu
honako ekuazio hau:

x

b  4 ac
2

2a

GOGORATU: letra baten
aurrean ezer ikusten ez
duzunean, 1 zenbakia dago

2x2 – x – 1 = 0
a=2
b = –1
c = –1

b

 (  1) 

(  1)  4  2  (  1)
2

22
4



1 1 8
4

Kopiatu koadernoan



1 3
4



1

4
2
4



1
2



2. mailako ekuazioak

19
x

b

b  4 ac
2

2a

Askatu honako ekuazio hauek:
38) x2 – x – 2 = 0 EMA.: 2, –1
39) 3x2 – 7x – 6 = 0 EMA.: 3, –2/3
40) 4x2 – 8x + 3 = 0 EMA.: 3/2, 1/2
41) x2 + 4x + 4 = 0 EMA.: –2

42) x2 + 8x + 3 = 0 EMA.: –0,4; –7,6
43) x2 + 2x + 2 = 0 EMA.: emaitzarik
ez.

Emaitza bakarra
lortzen badugu,
emaitza horri emaitza
bikoitza esango
diogu.
Batzuetan, erroak ez
du emaitzarik, eta,
orduan, esaten dugu
ekuazioak ez duela
emaitza errealik.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

20

Modu horrek 2. mailako ekuazio guztietarako balio
badu ere, badaude beste modu errazago batzuk:
1) b = 0 denean

Adibidea:

ax2 + 0x + c = 0

3x2 – 75 = 0

ax2 + c = 0

3x2 = 75

ax2 = –c
x 
2

x 
2

75
3

c

5

a
x

c

x   25 

–5

a

Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

21

GOGORATU: biderkadura bat zero bada,
biderkagairen bat zero delako da
2) c = 0 denean

Adibidea:

ax2 + bx + 0 = 0

5x2 – 7x = 0

ax2 + bx = 0

x·(5x – 7) = 0

x·(ax + b) = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

5x – 7 = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

ax + b = 0
x = –b/a
Kopiatu koadernoan

x = 7/5

22

2. mailako ekuazioak

Ebatzi honako ekuazio hauek:
44) 3x² + 5x – 2 = 0 EMA.: 1/3; –2
45) 4x² – 36 = 0 EMA: 3, –3.
46) 2x² – 15x + 7 = 0 EMA: 7, 1/2

52) 2x2 – 3 = x2 – 2x EMA.: 1,
–3
53) x – 2 = x2 EMA.:
emaitzarik ez.

47) 3x² – 75x = 0 EMA: 0, 25.
48) 7x² – 9x + 2 = 0 EMA.: 1, 2/7

54 ) 1 +

= 2x

EMA.: –1/2, 1

x

49) 2x² – 2x – 24 = 0 EMA.: 4, –3

50) x²/3 – 12 = 0 EMA: 6, –6

1

55 ) 1 +

1
x

=x -

1
x

EMA.: –1, 2

51) (x – 2)(x + 1) = 0 EMA: 2, –1
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

23

2. mailako ekuazioak. Buruketak

56) Bi zenbakiren artean, 5eko aldea dago, eta haien
arteko biderkadura 66 da. Zein dira zenbakiok? EMA.: 6,
11; –11, –6.
57) Laukizuzen batek hogei zentimetroko diagonala du.
Zein izango da azalera, altuera baino lau cm luzeago
badu oina? EMA.: 12 cm, 16 cm.
58) Bila ezazu zirkunferentzia baten luzera, haren azalera
28,26 m² bada. EMA.: 18,84 m.
59) Triangelu zuzen batean, hipotenusaren luzera 10 cm
da. Bila itzazu katetoen luzerak, bata bestea baino 2 cm
luzeagoa bada. EMA.: 6 cm, 8 cm.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

24

2. mailako ekuazioak. Buruketak

60) Demagun 7 cm-ko alanbre bat daukagula. Nondik
tolestuko dugu muturretako bat bestetik 5 cm-ra egon dadin
angelu zuzen bat osatu ondoren? EMA.: 4 cm, 3 cm.
61) Ondoz ondoko bi zenbakiren arteko biderkadura
honako hau da zenbaki horien arteko batura gehi bost
unitate. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 3, 4; –2, –1.
62) Triangelu zuzen baten azalera 90 cm2 da. Bilatu
katetoak, haien arteko aldea 3 cm-koa bada. EMA.: 12 cm
eta 15 cm.
63) Banatu 9 zenbakia bi zatitan, bakoitzaren berbiduren
arteko batura 41 izan dadin. EMA.: 4, 5.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

25

Bi ezezaguneko ekuazio-sistemak:
Bi ekuazio aldi berean betetzen badira, ekuazio-sistema
bat dugu. Bi ekuazioak zenbaki berberetarako bete
behar dira.
Adibidez:

2x  y  4 

x  2 y   3

Sistema honen emaitza x = 1 eta y = 2 da, edo beste
modu batez adierazita, (1, 2) da.
Begiratu ea egia den.
Kopiatu koadernoan

26

Ekuazio-sistemak

Lau era ditugu ekuazio-sistemak ebazteko, baina
mementoz hiru besterik ez dugu ikasiko:
1. Ordezkatzea
2. Berdintzea
3. Laburtzea

Kopiatu koadernoan

Ekuazio-sistemak

27
1. Ordezkatzea
2x  y  4 

x  2 y   3

y  4  2x



x  8  4 x   3

Ekuazio batean,
ezezagun bat bakandu:
y  4  2x 

x  2 y   3

Beste ekuazioan,
ezezagun hori ordeztu

Beste ekuazioan
ordeztu
y  4  2x 

5 x  3  8

y  4  2x

5x  5 

y  4  2x



x  2  ( 4  2 x )   3

y  4  2x

x 1 

Kopiatu koadernoan

y  4  2  1

x 1 

y  2

x  1

Ekuazio-sistemak

28

Askatu sistema hauek, ordezkatze-metodoa erabiliz:
3 x  8 y  10 
64 )
 EMA. : ( 6 ,  1)
x y 5 

2x  3y  7 
65 )
 EMA. : ( 2 ,  1)
5 x  2 y  12 



1
2
67 )
EMA. : ( 4 , )

x y
x
2
  y
3
4

3x

68 )

 4y  8

3x  1  2 y  2
 EMA. : (  1,  3 )
x  y  4


2 x  12  4 y 

66 ) 2 x
 EMA. : ( 0 ,  3 )
 2 y  6

5


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

29

Ekuazio biak
berdindu

2. Berdintzea
2x  y  4 

x  2 y   3

4  2x 

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

3 x
2

y  4  2x

Ekuazio bietan, ezezagun
bera bakandu:
8  4x  3  x

y  4  2x 

 2 y  3  x 

y  4  2x

3 x 
y
2 


 5 x  5

x 1

Kopiatu koadernoan

y  4  2 1

y2

Ekuazio-sistemak

30

Askatu sistema hauek, berdintze-metodoa erabiliz:
2 x  y  0
69 )
 EMA. : (  1, 2 )
x  y 1

3x  y  4

70 ) x
 EMA. : ( 2 , 2 )
 y3

2


x 5  4y
x
71 )
y 
2


1
 y 1 
72 ) 4
 EMA. : ( 2 ,  )
2
2( x  y )  3

x

73 )

x5 y


 EMA. : (  3, 2 )
5 x  2 y   19 


1

EMA.
:
(
3
,

)

2
2



Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

31
3. Laburtzea
2x  y  4 

x  2 y   3

Ezezagun bera duten bi
gaiak ekuazio bietan
berdinak izatea da
helburua; berdinak
baina aurkako zeinua
dutela. Horretarako,
ekuazioetako bat
zenbaki oso batez
biderkatuko dugu:
2  (2 x  y  4)

x  2 y  3 

4x  2 y  8 

x  2 y   3

Ekuazio bien
arteko batuketa
egin, gaiz gai.
4x  2 y  8



x  2 y  3 

5x  0 y  5
5x  5
x 1

Kopiatu koadernoan

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

2 1  y  4

y  42

y2

Ekuazio-sistemak

32

Askatu sistema hauek, laburtze-metodoa erabiliz:
x  y  9
74 )
 EMA. : ( 5 , 4 )
x  y 1

75 )

3x  y  3
1
EMA.
:
(
, 2)

6 x  y  0
3

76 )

2 x  3 y  4
 EMA. : (1,  2 )
x  2y  5 


 y  0
77 ) 2
 EMA. : ( 4 ,  2 )
y
 x  3
2

x

5 
1 1

78 )
EMA.
:
(
, )
6 
2
3
3 y  3  4 x  2 
x 1  y 

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

33

Askatu sistema hauek, zure ustez errazena den metodoaz:
6 x  5 y  4
79 )
 EMA. : (1,  2 )
x  y  1

82 )

3x  y  1


 EMA. : Ez du
x  2 y  2  2x  y

emaitzarik

3x  5  2 y


80 ) x
 EMA. : (3 , 2 )
 y  2x  3

3


x
83 )
x

(Sistema

y 1
2
y2
3

bateraezin a)


1

 EMA. : (  8 ,  19 )
 1


3x  y  2
1

y  EMA. : ( ,  1)
81 ) x

3
3
9 


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

34

Ekuazio-sistemak. Buruketak

84) Ostatu batean, ohe bateko eta biko gelak daude. Orotara 50
gela eta 87 ohe daude. Mota bakoitzeko zenbat gela dago?
EMA.: 13, 37 gela
85) Txakur-txapelketa batean, txakurrak eta beraien jabeak
daude. Guztira hirurogeita hamazortzi buru eta berrehun eta
hamasei hanka daude. Zenbat txakur eta pertsona daude?
EMA.: 48 pertsona, 30 txakur.
86) Bi zenbakiren arteko batura hamalau da. Handienari bat
gehitzen badiogu, txikienaren bikoitza lortzen da. Aurki itzazu
zenbakiak. EMA.: 9, 5.
87) Bi zenbakiren arteko batura 150 da, eta kendura txikienaren
laukoitza da. Aurki itzazu zenbakiok. EMA.: 125, 25
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

35

Ekuazio-sistemak. Buruketak

88) Zenbaki baten hirukoitzari beste baten laukoitza
gehitutakoan, zazpi izango da emaitza; lehenengoaren
bikoitzari bigarrena gehitutakoan, berriz, hiru izango da
emaitza. Bilatu zenbakiok. EMA.: 1, 1.
89) Bi anaia-arreben adinen arteko batura 17 da; bost urte
barru, batena bestearenaren bikoitza izango da. Zenbat
urte dituzte? EMA.: 13, 4 urte.
90) Dendara joan eta alkandora bat eta praka batzuk erosi
ditut. Markatuta dituzten prezioen artean, 100 euro egiten
dute, baina, merkealdia dela eta, alkandoran % 20ko
deskontua egin didate, eta, praketan, % 30ekoa. Guztira,
73,50 euro pagatu dut. Zenbat balio du bakoitzak? EMA.:
35 eta 65 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

36
2
x + y = 24 
91 )
 EMA. : (2, 20); (  4, 8)
y = 2x + 16 

Ekuazio-sistemak
x y 7 
92 ) 2
 EMA. : ( 3, 4 ); ( 4 , 3 )
2
x  y  25 

93) 60 euro ditugu lagun batzuen artean banatzeko. Hiru
lagun gehiago bagina, bakoitzari euro bat gutxiago
egokituko litzaiguke. Zenbat gara? EMA: 12 lagun.

94) Loradenda batean, tulipan sortak egiteko hari batzuk
daude. Tulipanak binaka jarriz gero, 4 tulipan geldituko dira
sobran, eta hirunaka jarriz gero, hari bat sobran. Zenbat
tulipan eta zenbat hari daude? EMA: 7, 18.
95) Bi zenbakiren arteko kendura 3 da, eta zenbakion
berbiduren arteko batura, 117. Bila itzazu zenbakiok. EMA:
(–6, –9); (9, 6).
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

37

Ekuazio-sistemak

96) Bi zenbakiren arteko kendura 6 da, eta
biderkadura, 216. Bila itzazu zenbakiok. EMA: (–12, –
18); (18, 12).
97) Triangelu zuzen baten hipotenusa 10 m luze da,
eta perimetroa, 24 m-koa da. Zenbat luze dira bi
katetoak? EMA.: 6 cm, 8 cm.
98) x4 + 3x² – 4 = 0 EMA.: 1, –1
99) x × (x + 5) × (x – 2) = 0 EMA: 0, –5, 2.
100) x4 – 5x² + 4 = 0 EMA: 2, –2, 1, –1.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira


Slide 27

1

Ekuazioak 3. DBH
Alfredo Ortega Loza
Unitate honetan, hauek ikasi edo gogoratuko ditugu:
•Ekuazioak eta identitateak bereizten
•Lehenengo mailako ekuazioak askatzen
•Buruketak askatzen
•2. mailako ekuazioak askatzen
•Ekuazio-sistemak askatzen
•2. mailako ekuazio-sistemak askatzen

Berdintzak

2

Berdin ikurra duten adierazpeni berdintza
esaten zaie.
Berdintzak zenbakizkoak izan daitezke:
3·(5 – 4) = 2 + 1



45/5 = 18/2



Algebraikoak ere,
izan daitezke:

Berdintzaren ezkerreko aldeari
lehen atala esaten zaio, eta
eskuinekoari, bigarren atala.
Batuketa edo kenketa ikurren
arteko letra eta zenbakimultzoei, berriz, gai deritze.

3x – 5 = x/4 +1



5a + 2b = 10a/2 + (9/2)b – (5/2)b



Kopiatu koadernoan

Identitateak

3

Berdintza algebraikoak –letrak dituztenak–
identitateak edo ekuazioak izan daitezke:
Identitateak:

3x + (5 – 1)·2 = 2x + x + 8
5a – a = 2 (7a – 5a)

Gogoratu: zenbakien
eta letren artean ezer
ez dagoenean,
BIDER (·) ikurra
irakurri behar da beti.

Ezezagunak (letra) edozein balio izanda ere,
bete egingo da berdintza. Askatzen saiatuz
gero, 0 = 0 lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazioak

4

Ekuazioak:
3x = 2x + 1. EMA.: x = 1
5a – 3 = 2 (7a – 5a). EMA.: a = 3

Ezezagunaren balio batzuetarako baino ez
da betetzen berdintza.
Balio horiek topatzeari ekuazioa askatzea
(edo ebaztea) esaten zaio.

Kopiatu koadernoan

5

Ekuazio baliokideak
Ekuazioen propietateak:

Ekuazio baten bi aldeetan batuketa edo
kenketa bera egiten badugu, hasierakoaren
ekuazio baliokide bat (emaitza berbera
duena) lortuko dugu.
Ekuazio baten bi aldeak zero ez den
adierazpen batekin biderkatzen edo
zatitzen baditugu, hasierakoaren ekuazio
baliokide bat lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (1)

6

Ekuazioetarako erregelak:

x+7=3

–x = 3 – 2x

x+7–7=3–7

–x + 2x = 3 – 2x + 2x

x=3–7

–x + 2x = 3

x = –4

x=3

Ekuazioaren alde batean
batzen dagoena kentzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazioaren alde batean
kentzen dagoena batzen
pasatzen da beste aldera.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (2)

7

3x



3
x

Kopiatu koadernoan

Ekuazioetarako erregelak:
x
3x – 7 = 2
2 1
4
3x – 7 + 7 = 2 + 7
x
 2  2  1 2
4
3x = 9
9
3
9
3

x=3

Ekuazioaren alde batean
biderkatzen dagoena zatitzen
pasatzen da beste aldera.

x

 1

4
4

x

 4  (  1)

4
x  4  (  1)

x = –4
Ekuazioaren alde batean
zatitzen dagoena biderkatzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazio-ebazpenak

8
Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio eta identitate
hauek :

 Letrak dituzten
gai guztiak
berdintzaren alde
batera eraman
behar ditugu, eta
zenbakiak,
bestera.

1) x – 3 + 5x = 4x – 7. EMA.: –2

 Parentesiak
badaude, beste
ezer baino lehen
kendu behar
ditugu.

2) 7x – 5 + 2x + 6 = –3x + 8 – x.
EMA.: 7/13
3) 2x – (6x + 1) = 3x – 5(2 – x). EMA.: 3/4
4) 7(x + 3) = 7 + 8x – 1 . EMA.: 15
5) 3x +7 – 2(x – 3) = 3(x + 4) – 2x + 1.
EMA.: Edozein; identitatea da

6) 4 – (3 – x) + 6 = 2x + 2(2x – 3).
EMA.: 13/5
7) 5 – x(3 + 1) = 2x – 6(3 – 2x).
EMA.: 23/18

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

9

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio hauek :
8)

 Izendatzaileak
badaude,
izendatzaileen
MKTa lortu behar
dugu, eta,
ondoren,
berdintzaren
alde biak MKT
horrekin
biderkatuko
ditugu.

9)

1

x + 2=

2

x - 5 . E M A : 42

3

4

x

- 3  (x - 1) = 2 x -

7 - x

2

10)

1

(x - 2) -

8

11)

. E M A : 32/29.

3
2

(2 x + 6) + x = - 4 .E M A : -6/5

3

x - 1

-

x + 1

2
12) - 4  (3 - x)

=x -

3

5

.E M A : 1

3
+ 4x =

3

 (2 x - 1) - (x + 1) E M A : 4/3.

5

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

10

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
13)

x

-

x - 3

6

14)

=1 -

2x - 5

4

6x - 1

-

5x - 6

5

=

2x + 1

7
x - 2

15) 1 -

5

- 2

- 5x =

3x - 5

7x

(x - 1)

x - 8

2
18) 2 -

3  (2 + x)

=x +

3
-

3
x - 1
5

E M A : 25/41.

2

4

17)

E M A : 34/19.

3

3

16)

E M A : 23/7.

3

E M A : -13/38.

2
-

4  (4 x + 2)

=

5
- (2 x - 1) =

5x - 3

E M A : 2.

7
x - 5
E M A : 19/9

2

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

11

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
19) x -

x

-

x - 1

2

=

6

20) - 4 x - 3 -

x

- 2  (x - 1) E M A :11/13.

6

6x + 4

= 3 - 4  (x - 1) E M A : -37/3.

7
21) 3 -

x + 1

- (4 x - 1) = x - (3 - 4 x) E M A : 13/19.

2
x 22)

1
2 -

3
2

23)

x -

x + 2

-

2

x

- 3
3 = 2 - x - 2
E M A : 2.
4
6
12
1

3x - 1

+

4
(x + 2) (3 x - 1)

= 0 . E M A : 0.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

12

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

Buruketen emaitzak lortzeko, pauso hauek dira
garrantzitsuenak:

Proposatzen den buruketa ondo ulertu. Behar diren
irakurketa guztiak egin, zer eskatzen duten ondo ulertzeko
eta azaltzen diren baldintzak ondo kontrolatzeko

Azpimarratu datu garrantzitsuenak
Ixa esleitu. Ixaren aldamenean beti idatzi zer den
Dituzun datu guztien artean, erlazioren bat topatu.
Buruketak berak ematen du askotan

Sortu duzun ekuazioa askatu
Bukatzeko, egiaztatu emaitza dituzun datu guztiekin
Kopiatu koadernoan

13

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

24) Bi zenbakiren arteko batura 76, da eta bata bestea
baino lau unitate handiagoa da. Bilatu zenbakiok. EMA.:
36, 40.
25) Ondoz ondoko hiru zenbakiren arteko batura
laurogeita hamahiru da. Zein dira zenbaki horiek. EMA.:
30, 31, 32.
26) Zenbaki baten herenaren eta hirukoitzaren arteko
batura berrogei da. Aurkitu zenbakia. EMA.: 12.
27) Bi mila laurehun metro ibili ondoren, distantziaren
herena falta zaigu bukatzeko. Zein da distantzia? EMA.:
3.600 m.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

14

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

28) Pertsona batek duen muxika-kopurua honela banatuta
geratu da: erdiak saldu egin zituen, laurdenak anaiari eman
zizkion eta, oraindik, ehun eta hogei muxika geratu zaizkio.
Zenbat muxika zituen? EMA.: 480 muxika.

29) Zuk hamabi urte badituzu eta zure aitak zure adinaren
zortzi herena, zenbat urte ditu zure aitak? EMA.: 32 urte.
30) Ondoz ondoko bi zenbaki ditugu. Handienaren
herenaren eta txikienaren arteko batura txikienaren
bikoitzaren herena da. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 2, 3.
31) Andonik Kepak baino bost euro gehiago ditu. Baina
Andonik Kepari lau euro emango balizkio, Keparen dirutza
Andonirenaren bikoitza bihurtuko litzateke. Zenbat dauka
bakoitzak? EMA.: 7 eta 2 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

15

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

32) Orain dela lau urte ume baten adinaren hirukoitza
orain duenaren bikoitza zen. Zenbat urte ditu? EMA.: 12
urte.
33) Pertsona baten adina beste lagun batenaren bikoitza
da. Orain dela zazpi urte, bi pertsonen urteen batura
lehenengoaren gaur egungo adina izan zen. Kalkula
itzazu bi pertsonen adinak. EMA.:14 eta 28 urte.
34) Aita batek berrogeita bi urte ditu, eta semeak hamar.
Zenbat urte pasa behar dira aitaren adina semearenaren
hirukoitza izateko? EMA.: 6 urte
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

16

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

35) Gripea zela eta, gela bateko sei ikasle ez ziren eskolara
etorri. Eta, honela, ikasle guztien hiru laurdenak baino bi
gehiago etorri ziren. Zenbat ikasle ziren gelan? EMA.: 32
ikasle.
36) Laukizuzen-itxurako bizkotxo batean, hiru zati egin ditugu.
Lehenengoa bizkotxoaren herena da, bigarrena bostena eta
hirugarrena lau bederatzirena; 4 cm geratu zaigu sobran.
Zenbatekoa da bizkotxoaren luzera? EMA.: 180 cm.

37) Hemendik hamaika urtera, Enekoren adina duela
hamahiru urte zuenaren bikoitza izango da. Zenbat urte ditu?
EMA.: 37 urte.00
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

17

2. mailako ekuazioak ezezagun bakarrekoak badira,
honela adieraziko ditugu:
ax2 + bx + c = 0
a, b eta c zenbaki osoak dira, eta a ezin da zeroren
berdina izan (a  0).
Ekuazio horiek formula honek askatzen ditu beti:

x

b

b  4 ac
2

2a
Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

18

x

Adibide gisa, askatu
honako ekuazio hau:

x

b  4 ac
2

2a

GOGORATU: letra baten
aurrean ezer ikusten ez
duzunean, 1 zenbakia dago

2x2 – x – 1 = 0
a=2
b = –1
c = –1

b

 (  1) 

(  1)  4  2  (  1)
2

22
4



1 1 8
4

Kopiatu koadernoan



1 3
4



1

4
2
4



1
2



2. mailako ekuazioak

19
x

b

b  4 ac
2

2a

Askatu honako ekuazio hauek:
38) x2 – x – 2 = 0 EMA.: 2, –1
39) 3x2 – 7x – 6 = 0 EMA.: 3, –2/3
40) 4x2 – 8x + 3 = 0 EMA.: 3/2, 1/2
41) x2 + 4x + 4 = 0 EMA.: –2

42) x2 + 8x + 3 = 0 EMA.: –0,4; –7,6
43) x2 + 2x + 2 = 0 EMA.: emaitzarik
ez.

Emaitza bakarra
lortzen badugu,
emaitza horri emaitza
bikoitza esango
diogu.
Batzuetan, erroak ez
du emaitzarik, eta,
orduan, esaten dugu
ekuazioak ez duela
emaitza errealik.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

20

Modu horrek 2. mailako ekuazio guztietarako balio
badu ere, badaude beste modu errazago batzuk:
1) b = 0 denean

Adibidea:

ax2 + 0x + c = 0

3x2 – 75 = 0

ax2 + c = 0

3x2 = 75

ax2 = –c
x 
2

x 
2

75
3

c

5

a
x

c

x   25 

–5

a

Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

21

GOGORATU: biderkadura bat zero bada,
biderkagairen bat zero delako da
2) c = 0 denean

Adibidea:

ax2 + bx + 0 = 0

5x2 – 7x = 0

ax2 + bx = 0

x·(5x – 7) = 0

x·(ax + b) = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

5x – 7 = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

ax + b = 0
x = –b/a
Kopiatu koadernoan

x = 7/5

22

2. mailako ekuazioak

Ebatzi honako ekuazio hauek:
44) 3x² + 5x – 2 = 0 EMA.: 1/3; –2
45) 4x² – 36 = 0 EMA: 3, –3.
46) 2x² – 15x + 7 = 0 EMA: 7, 1/2

52) 2x2 – 3 = x2 – 2x EMA.: 1,
–3
53) x – 2 = x2 EMA.:
emaitzarik ez.

47) 3x² – 75x = 0 EMA: 0, 25.
48) 7x² – 9x + 2 = 0 EMA.: 1, 2/7

54 ) 1 +

= 2x

EMA.: –1/2, 1

x

49) 2x² – 2x – 24 = 0 EMA.: 4, –3

50) x²/3 – 12 = 0 EMA: 6, –6

1

55 ) 1 +

1
x

=x -

1
x

EMA.: –1, 2

51) (x – 2)(x + 1) = 0 EMA: 2, –1
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

23

2. mailako ekuazioak. Buruketak

56) Bi zenbakiren artean, 5eko aldea dago, eta haien
arteko biderkadura 66 da. Zein dira zenbakiok? EMA.: 6,
11; –11, –6.
57) Laukizuzen batek hogei zentimetroko diagonala du.
Zein izango da azalera, altuera baino lau cm luzeago
badu oina? EMA.: 12 cm, 16 cm.
58) Bila ezazu zirkunferentzia baten luzera, haren azalera
28,26 m² bada. EMA.: 18,84 m.
59) Triangelu zuzen batean, hipotenusaren luzera 10 cm
da. Bila itzazu katetoen luzerak, bata bestea baino 2 cm
luzeagoa bada. EMA.: 6 cm, 8 cm.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

24

2. mailako ekuazioak. Buruketak

60) Demagun 7 cm-ko alanbre bat daukagula. Nondik
tolestuko dugu muturretako bat bestetik 5 cm-ra egon dadin
angelu zuzen bat osatu ondoren? EMA.: 4 cm, 3 cm.
61) Ondoz ondoko bi zenbakiren arteko biderkadura
honako hau da zenbaki horien arteko batura gehi bost
unitate. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 3, 4; –2, –1.
62) Triangelu zuzen baten azalera 90 cm2 da. Bilatu
katetoak, haien arteko aldea 3 cm-koa bada. EMA.: 12 cm
eta 15 cm.
63) Banatu 9 zenbakia bi zatitan, bakoitzaren berbiduren
arteko batura 41 izan dadin. EMA.: 4, 5.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

25

Bi ezezaguneko ekuazio-sistemak:
Bi ekuazio aldi berean betetzen badira, ekuazio-sistema
bat dugu. Bi ekuazioak zenbaki berberetarako bete
behar dira.
Adibidez:

2x  y  4 

x  2 y   3

Sistema honen emaitza x = 1 eta y = 2 da, edo beste
modu batez adierazita, (1, 2) da.
Begiratu ea egia den.
Kopiatu koadernoan

26

Ekuazio-sistemak

Lau era ditugu ekuazio-sistemak ebazteko, baina
mementoz hiru besterik ez dugu ikasiko:
1. Ordezkatzea
2. Berdintzea
3. Laburtzea

Kopiatu koadernoan

Ekuazio-sistemak

27
1. Ordezkatzea
2x  y  4 

x  2 y   3

y  4  2x



x  8  4 x   3

Ekuazio batean,
ezezagun bat bakandu:
y  4  2x 

x  2 y   3

Beste ekuazioan,
ezezagun hori ordeztu

Beste ekuazioan
ordeztu
y  4  2x 

5 x  3  8

y  4  2x

5x  5 

y  4  2x



x  2  ( 4  2 x )   3

y  4  2x

x 1 

Kopiatu koadernoan

y  4  2  1

x 1 

y  2

x  1

Ekuazio-sistemak

28

Askatu sistema hauek, ordezkatze-metodoa erabiliz:
3 x  8 y  10 
64 )
 EMA. : ( 6 ,  1)
x y 5 

2x  3y  7 
65 )
 EMA. : ( 2 ,  1)
5 x  2 y  12 



1
2
67 )
EMA. : ( 4 , )

x y
x
2
  y
3
4

3x

68 )

 4y  8

3x  1  2 y  2
 EMA. : (  1,  3 )
x  y  4


2 x  12  4 y 

66 ) 2 x
 EMA. : ( 0 ,  3 )
 2 y  6

5


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

29

Ekuazio biak
berdindu

2. Berdintzea
2x  y  4 

x  2 y   3

4  2x 

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

3 x
2

y  4  2x

Ekuazio bietan, ezezagun
bera bakandu:
8  4x  3  x

y  4  2x 

 2 y  3  x 

y  4  2x

3 x 
y
2 


 5 x  5

x 1

Kopiatu koadernoan

y  4  2 1

y2

Ekuazio-sistemak

30

Askatu sistema hauek, berdintze-metodoa erabiliz:
2 x  y  0
69 )
 EMA. : (  1, 2 )
x  y 1

3x  y  4

70 ) x
 EMA. : ( 2 , 2 )
 y3

2


x 5  4y
x
71 )
y 
2


1
 y 1 
72 ) 4
 EMA. : ( 2 ,  )
2
2( x  y )  3

x

73 )

x5 y


 EMA. : (  3, 2 )
5 x  2 y   19 


1

EMA.
:
(
3
,

)

2
2



Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

31
3. Laburtzea
2x  y  4 

x  2 y   3

Ezezagun bera duten bi
gaiak ekuazio bietan
berdinak izatea da
helburua; berdinak
baina aurkako zeinua
dutela. Horretarako,
ekuazioetako bat
zenbaki oso batez
biderkatuko dugu:
2  (2 x  y  4)

x  2 y  3 

4x  2 y  8 

x  2 y   3

Ekuazio bien
arteko batuketa
egin, gaiz gai.
4x  2 y  8



x  2 y  3 

5x  0 y  5
5x  5
x 1

Kopiatu koadernoan

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

2 1  y  4

y  42

y2

Ekuazio-sistemak

32

Askatu sistema hauek, laburtze-metodoa erabiliz:
x  y  9
74 )
 EMA. : ( 5 , 4 )
x  y 1

75 )

3x  y  3
1
EMA.
:
(
, 2)

6 x  y  0
3

76 )

2 x  3 y  4
 EMA. : (1,  2 )
x  2y  5 


 y  0
77 ) 2
 EMA. : ( 4 ,  2 )
y
 x  3
2

x

5 
1 1

78 )
EMA.
:
(
, )
6 
2
3
3 y  3  4 x  2 
x 1  y 

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

33

Askatu sistema hauek, zure ustez errazena den metodoaz:
6 x  5 y  4
79 )
 EMA. : (1,  2 )
x  y  1

82 )

3x  y  1


 EMA. : Ez du
x  2 y  2  2x  y

emaitzarik

3x  5  2 y


80 ) x
 EMA. : (3 , 2 )
 y  2x  3

3


x
83 )
x

(Sistema

y 1
2
y2
3

bateraezin a)


1

 EMA. : (  8 ,  19 )
 1


3x  y  2
1

y  EMA. : ( ,  1)
81 ) x

3
3
9 


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

34

Ekuazio-sistemak. Buruketak

84) Ostatu batean, ohe bateko eta biko gelak daude. Orotara 50
gela eta 87 ohe daude. Mota bakoitzeko zenbat gela dago?
EMA.: 13, 37 gela
85) Txakur-txapelketa batean, txakurrak eta beraien jabeak
daude. Guztira hirurogeita hamazortzi buru eta berrehun eta
hamasei hanka daude. Zenbat txakur eta pertsona daude?
EMA.: 48 pertsona, 30 txakur.
86) Bi zenbakiren arteko batura hamalau da. Handienari bat
gehitzen badiogu, txikienaren bikoitza lortzen da. Aurki itzazu
zenbakiak. EMA.: 9, 5.
87) Bi zenbakiren arteko batura 150 da, eta kendura txikienaren
laukoitza da. Aurki itzazu zenbakiok. EMA.: 125, 25
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

35

Ekuazio-sistemak. Buruketak

88) Zenbaki baten hirukoitzari beste baten laukoitza
gehitutakoan, zazpi izango da emaitza; lehenengoaren
bikoitzari bigarrena gehitutakoan, berriz, hiru izango da
emaitza. Bilatu zenbakiok. EMA.: 1, 1.
89) Bi anaia-arreben adinen arteko batura 17 da; bost urte
barru, batena bestearenaren bikoitza izango da. Zenbat
urte dituzte? EMA.: 13, 4 urte.
90) Dendara joan eta alkandora bat eta praka batzuk erosi
ditut. Markatuta dituzten prezioen artean, 100 euro egiten
dute, baina, merkealdia dela eta, alkandoran % 20ko
deskontua egin didate, eta, praketan, % 30ekoa. Guztira,
73,50 euro pagatu dut. Zenbat balio du bakoitzak? EMA.:
35 eta 65 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

36
2
x + y = 24 
91 )
 EMA. : (2, 20); (  4, 8)
y = 2x + 16 

Ekuazio-sistemak
x y 7 
92 ) 2
 EMA. : ( 3, 4 ); ( 4 , 3 )
2
x  y  25 

93) 60 euro ditugu lagun batzuen artean banatzeko. Hiru
lagun gehiago bagina, bakoitzari euro bat gutxiago
egokituko litzaiguke. Zenbat gara? EMA: 12 lagun.

94) Loradenda batean, tulipan sortak egiteko hari batzuk
daude. Tulipanak binaka jarriz gero, 4 tulipan geldituko dira
sobran, eta hirunaka jarriz gero, hari bat sobran. Zenbat
tulipan eta zenbat hari daude? EMA: 7, 18.
95) Bi zenbakiren arteko kendura 3 da, eta zenbakion
berbiduren arteko batura, 117. Bila itzazu zenbakiok. EMA:
(–6, –9); (9, 6).
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

37

Ekuazio-sistemak

96) Bi zenbakiren arteko kendura 6 da, eta
biderkadura, 216. Bila itzazu zenbakiok. EMA: (–12, –
18); (18, 12).
97) Triangelu zuzen baten hipotenusa 10 m luze da,
eta perimetroa, 24 m-koa da. Zenbat luze dira bi
katetoak? EMA.: 6 cm, 8 cm.
98) x4 + 3x² – 4 = 0 EMA.: 1, –1
99) x × (x + 5) × (x – 2) = 0 EMA: 0, –5, 2.
100) x4 – 5x² + 4 = 0 EMA: 2, –2, 1, –1.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira


Slide 28

1

Ekuazioak 3. DBH
Alfredo Ortega Loza
Unitate honetan, hauek ikasi edo gogoratuko ditugu:
•Ekuazioak eta identitateak bereizten
•Lehenengo mailako ekuazioak askatzen
•Buruketak askatzen
•2. mailako ekuazioak askatzen
•Ekuazio-sistemak askatzen
•2. mailako ekuazio-sistemak askatzen

Berdintzak

2

Berdin ikurra duten adierazpeni berdintza
esaten zaie.
Berdintzak zenbakizkoak izan daitezke:
3·(5 – 4) = 2 + 1



45/5 = 18/2



Algebraikoak ere,
izan daitezke:

Berdintzaren ezkerreko aldeari
lehen atala esaten zaio, eta
eskuinekoari, bigarren atala.
Batuketa edo kenketa ikurren
arteko letra eta zenbakimultzoei, berriz, gai deritze.

3x – 5 = x/4 +1



5a + 2b = 10a/2 + (9/2)b – (5/2)b



Kopiatu koadernoan

Identitateak

3

Berdintza algebraikoak –letrak dituztenak–
identitateak edo ekuazioak izan daitezke:
Identitateak:

3x + (5 – 1)·2 = 2x + x + 8
5a – a = 2 (7a – 5a)

Gogoratu: zenbakien
eta letren artean ezer
ez dagoenean,
BIDER (·) ikurra
irakurri behar da beti.

Ezezagunak (letra) edozein balio izanda ere,
bete egingo da berdintza. Askatzen saiatuz
gero, 0 = 0 lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazioak

4

Ekuazioak:
3x = 2x + 1. EMA.: x = 1
5a – 3 = 2 (7a – 5a). EMA.: a = 3

Ezezagunaren balio batzuetarako baino ez
da betetzen berdintza.
Balio horiek topatzeari ekuazioa askatzea
(edo ebaztea) esaten zaio.

Kopiatu koadernoan

5

Ekuazio baliokideak
Ekuazioen propietateak:

Ekuazio baten bi aldeetan batuketa edo
kenketa bera egiten badugu, hasierakoaren
ekuazio baliokide bat (emaitza berbera
duena) lortuko dugu.
Ekuazio baten bi aldeak zero ez den
adierazpen batekin biderkatzen edo
zatitzen baditugu, hasierakoaren ekuazio
baliokide bat lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (1)

6

Ekuazioetarako erregelak:

x+7=3

–x = 3 – 2x

x+7–7=3–7

–x + 2x = 3 – 2x + 2x

x=3–7

–x + 2x = 3

x = –4

x=3

Ekuazioaren alde batean
batzen dagoena kentzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazioaren alde batean
kentzen dagoena batzen
pasatzen da beste aldera.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (2)

7

3x



3
x

Kopiatu koadernoan

Ekuazioetarako erregelak:
x
3x – 7 = 2
2 1
4
3x – 7 + 7 = 2 + 7
x
 2  2  1 2
4
3x = 9
9
3
9
3

x=3

Ekuazioaren alde batean
biderkatzen dagoena zatitzen
pasatzen da beste aldera.

x

 1

4
4

x

 4  (  1)

4
x  4  (  1)

x = –4
Ekuazioaren alde batean
zatitzen dagoena biderkatzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazio-ebazpenak

8
Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio eta identitate
hauek :

 Letrak dituzten
gai guztiak
berdintzaren alde
batera eraman
behar ditugu, eta
zenbakiak,
bestera.

1) x – 3 + 5x = 4x – 7. EMA.: –2

 Parentesiak
badaude, beste
ezer baino lehen
kendu behar
ditugu.

2) 7x – 5 + 2x + 6 = –3x + 8 – x.
EMA.: 7/13
3) 2x – (6x + 1) = 3x – 5(2 – x). EMA.: 3/4
4) 7(x + 3) = 7 + 8x – 1 . EMA.: 15
5) 3x +7 – 2(x – 3) = 3(x + 4) – 2x + 1.
EMA.: Edozein; identitatea da

6) 4 – (3 – x) + 6 = 2x + 2(2x – 3).
EMA.: 13/5
7) 5 – x(3 + 1) = 2x – 6(3 – 2x).
EMA.: 23/18

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

9

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio hauek :
8)

 Izendatzaileak
badaude,
izendatzaileen
MKTa lortu behar
dugu, eta,
ondoren,
berdintzaren
alde biak MKT
horrekin
biderkatuko
ditugu.

9)

1

x + 2=

2

x - 5 . E M A : 42

3

4

x

- 3  (x - 1) = 2 x -

7 - x

2

10)

1

(x - 2) -

8

11)

. E M A : 32/29.

3
2

(2 x + 6) + x = - 4 .E M A : -6/5

3

x - 1

-

x + 1

2
12) - 4  (3 - x)

=x -

3

5

.E M A : 1

3
+ 4x =

3

 (2 x - 1) - (x + 1) E M A : 4/3.

5

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

10

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
13)

x

-

x - 3

6

14)

=1 -

2x - 5

4

6x - 1

-

5x - 6

5

=

2x + 1

7
x - 2

15) 1 -

5

- 2

- 5x =

3x - 5

7x

(x - 1)

x - 8

2
18) 2 -

3  (2 + x)

=x +

3
-

3
x - 1
5

E M A : 25/41.

2

4

17)

E M A : 34/19.

3

3

16)

E M A : 23/7.

3

E M A : -13/38.

2
-

4  (4 x + 2)

=

5
- (2 x - 1) =

5x - 3

E M A : 2.

7
x - 5
E M A : 19/9

2

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

11

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
19) x -

x

-

x - 1

2

=

6

20) - 4 x - 3 -

x

- 2  (x - 1) E M A :11/13.

6

6x + 4

= 3 - 4  (x - 1) E M A : -37/3.

7
21) 3 -

x + 1

- (4 x - 1) = x - (3 - 4 x) E M A : 13/19.

2
x 22)

1
2 -

3
2

23)

x -

x + 2

-

2

x

- 3
3 = 2 - x - 2
E M A : 2.
4
6
12
1

3x - 1

+

4
(x + 2) (3 x - 1)

= 0 . E M A : 0.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

12

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

Buruketen emaitzak lortzeko, pauso hauek dira
garrantzitsuenak:

Proposatzen den buruketa ondo ulertu. Behar diren
irakurketa guztiak egin, zer eskatzen duten ondo ulertzeko
eta azaltzen diren baldintzak ondo kontrolatzeko

Azpimarratu datu garrantzitsuenak
Ixa esleitu. Ixaren aldamenean beti idatzi zer den
Dituzun datu guztien artean, erlazioren bat topatu.
Buruketak berak ematen du askotan

Sortu duzun ekuazioa askatu
Bukatzeko, egiaztatu emaitza dituzun datu guztiekin
Kopiatu koadernoan

13

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

24) Bi zenbakiren arteko batura 76, da eta bata bestea
baino lau unitate handiagoa da. Bilatu zenbakiok. EMA.:
36, 40.
25) Ondoz ondoko hiru zenbakiren arteko batura
laurogeita hamahiru da. Zein dira zenbaki horiek. EMA.:
30, 31, 32.
26) Zenbaki baten herenaren eta hirukoitzaren arteko
batura berrogei da. Aurkitu zenbakia. EMA.: 12.
27) Bi mila laurehun metro ibili ondoren, distantziaren
herena falta zaigu bukatzeko. Zein da distantzia? EMA.:
3.600 m.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

14

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

28) Pertsona batek duen muxika-kopurua honela banatuta
geratu da: erdiak saldu egin zituen, laurdenak anaiari eman
zizkion eta, oraindik, ehun eta hogei muxika geratu zaizkio.
Zenbat muxika zituen? EMA.: 480 muxika.

29) Zuk hamabi urte badituzu eta zure aitak zure adinaren
zortzi herena, zenbat urte ditu zure aitak? EMA.: 32 urte.
30) Ondoz ondoko bi zenbaki ditugu. Handienaren
herenaren eta txikienaren arteko batura txikienaren
bikoitzaren herena da. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 2, 3.
31) Andonik Kepak baino bost euro gehiago ditu. Baina
Andonik Kepari lau euro emango balizkio, Keparen dirutza
Andonirenaren bikoitza bihurtuko litzateke. Zenbat dauka
bakoitzak? EMA.: 7 eta 2 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

15

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

32) Orain dela lau urte ume baten adinaren hirukoitza
orain duenaren bikoitza zen. Zenbat urte ditu? EMA.: 12
urte.
33) Pertsona baten adina beste lagun batenaren bikoitza
da. Orain dela zazpi urte, bi pertsonen urteen batura
lehenengoaren gaur egungo adina izan zen. Kalkula
itzazu bi pertsonen adinak. EMA.:14 eta 28 urte.
34) Aita batek berrogeita bi urte ditu, eta semeak hamar.
Zenbat urte pasa behar dira aitaren adina semearenaren
hirukoitza izateko? EMA.: 6 urte
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

16

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

35) Gripea zela eta, gela bateko sei ikasle ez ziren eskolara
etorri. Eta, honela, ikasle guztien hiru laurdenak baino bi
gehiago etorri ziren. Zenbat ikasle ziren gelan? EMA.: 32
ikasle.
36) Laukizuzen-itxurako bizkotxo batean, hiru zati egin ditugu.
Lehenengoa bizkotxoaren herena da, bigarrena bostena eta
hirugarrena lau bederatzirena; 4 cm geratu zaigu sobran.
Zenbatekoa da bizkotxoaren luzera? EMA.: 180 cm.

37) Hemendik hamaika urtera, Enekoren adina duela
hamahiru urte zuenaren bikoitza izango da. Zenbat urte ditu?
EMA.: 37 urte.00
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

17

2. mailako ekuazioak ezezagun bakarrekoak badira,
honela adieraziko ditugu:
ax2 + bx + c = 0
a, b eta c zenbaki osoak dira, eta a ezin da zeroren
berdina izan (a  0).
Ekuazio horiek formula honek askatzen ditu beti:

x

b

b  4 ac
2

2a
Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

18

x

Adibide gisa, askatu
honako ekuazio hau:

x

b  4 ac
2

2a

GOGORATU: letra baten
aurrean ezer ikusten ez
duzunean, 1 zenbakia dago

2x2 – x – 1 = 0
a=2
b = –1
c = –1

b

 (  1) 

(  1)  4  2  (  1)
2

22
4



1 1 8
4

Kopiatu koadernoan



1 3
4



1

4
2
4



1
2



2. mailako ekuazioak

19
x

b

b  4 ac
2

2a

Askatu honako ekuazio hauek:
38) x2 – x – 2 = 0 EMA.: 2, –1
39) 3x2 – 7x – 6 = 0 EMA.: 3, –2/3
40) 4x2 – 8x + 3 = 0 EMA.: 3/2, 1/2
41) x2 + 4x + 4 = 0 EMA.: –2

42) x2 + 8x + 3 = 0 EMA.: –0,4; –7,6
43) x2 + 2x + 2 = 0 EMA.: emaitzarik
ez.

Emaitza bakarra
lortzen badugu,
emaitza horri emaitza
bikoitza esango
diogu.
Batzuetan, erroak ez
du emaitzarik, eta,
orduan, esaten dugu
ekuazioak ez duela
emaitza errealik.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

20

Modu horrek 2. mailako ekuazio guztietarako balio
badu ere, badaude beste modu errazago batzuk:
1) b = 0 denean

Adibidea:

ax2 + 0x + c = 0

3x2 – 75 = 0

ax2 + c = 0

3x2 = 75

ax2 = –c
x 
2

x 
2

75
3

c

5

a
x

c

x   25 

–5

a

Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

21

GOGORATU: biderkadura bat zero bada,
biderkagairen bat zero delako da
2) c = 0 denean

Adibidea:

ax2 + bx + 0 = 0

5x2 – 7x = 0

ax2 + bx = 0

x·(5x – 7) = 0

x·(ax + b) = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

5x – 7 = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

ax + b = 0
x = –b/a
Kopiatu koadernoan

x = 7/5

22

2. mailako ekuazioak

Ebatzi honako ekuazio hauek:
44) 3x² + 5x – 2 = 0 EMA.: 1/3; –2
45) 4x² – 36 = 0 EMA: 3, –3.
46) 2x² – 15x + 7 = 0 EMA: 7, 1/2

52) 2x2 – 3 = x2 – 2x EMA.: 1,
–3
53) x – 2 = x2 EMA.:
emaitzarik ez.

47) 3x² – 75x = 0 EMA: 0, 25.
48) 7x² – 9x + 2 = 0 EMA.: 1, 2/7

54 ) 1 +

= 2x

EMA.: –1/2, 1

x

49) 2x² – 2x – 24 = 0 EMA.: 4, –3

50) x²/3 – 12 = 0 EMA: 6, –6

1

55 ) 1 +

1
x

=x -

1
x

EMA.: –1, 2

51) (x – 2)(x + 1) = 0 EMA: 2, –1
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

23

2. mailako ekuazioak. Buruketak

56) Bi zenbakiren artean, 5eko aldea dago, eta haien
arteko biderkadura 66 da. Zein dira zenbakiok? EMA.: 6,
11; –11, –6.
57) Laukizuzen batek hogei zentimetroko diagonala du.
Zein izango da azalera, altuera baino lau cm luzeago
badu oina? EMA.: 12 cm, 16 cm.
58) Bila ezazu zirkunferentzia baten luzera, haren azalera
28,26 m² bada. EMA.: 18,84 m.
59) Triangelu zuzen batean, hipotenusaren luzera 10 cm
da. Bila itzazu katetoen luzerak, bata bestea baino 2 cm
luzeagoa bada. EMA.: 6 cm, 8 cm.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

24

2. mailako ekuazioak. Buruketak

60) Demagun 7 cm-ko alanbre bat daukagula. Nondik
tolestuko dugu muturretako bat bestetik 5 cm-ra egon dadin
angelu zuzen bat osatu ondoren? EMA.: 4 cm, 3 cm.
61) Ondoz ondoko bi zenbakiren arteko biderkadura
honako hau da zenbaki horien arteko batura gehi bost
unitate. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 3, 4; –2, –1.
62) Triangelu zuzen baten azalera 90 cm2 da. Bilatu
katetoak, haien arteko aldea 3 cm-koa bada. EMA.: 12 cm
eta 15 cm.
63) Banatu 9 zenbakia bi zatitan, bakoitzaren berbiduren
arteko batura 41 izan dadin. EMA.: 4, 5.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

25

Bi ezezaguneko ekuazio-sistemak:
Bi ekuazio aldi berean betetzen badira, ekuazio-sistema
bat dugu. Bi ekuazioak zenbaki berberetarako bete
behar dira.
Adibidez:

2x  y  4 

x  2 y   3

Sistema honen emaitza x = 1 eta y = 2 da, edo beste
modu batez adierazita, (1, 2) da.
Begiratu ea egia den.
Kopiatu koadernoan

26

Ekuazio-sistemak

Lau era ditugu ekuazio-sistemak ebazteko, baina
mementoz hiru besterik ez dugu ikasiko:
1. Ordezkatzea
2. Berdintzea
3. Laburtzea

Kopiatu koadernoan

Ekuazio-sistemak

27
1. Ordezkatzea
2x  y  4 

x  2 y   3

y  4  2x



x  8  4 x   3

Ekuazio batean,
ezezagun bat bakandu:
y  4  2x 

x  2 y   3

Beste ekuazioan,
ezezagun hori ordeztu

Beste ekuazioan
ordeztu
y  4  2x 

5 x  3  8

y  4  2x

5x  5 

y  4  2x



x  2  ( 4  2 x )   3

y  4  2x

x 1 

Kopiatu koadernoan

y  4  2  1

x 1 

y  2

x  1

Ekuazio-sistemak

28

Askatu sistema hauek, ordezkatze-metodoa erabiliz:
3 x  8 y  10 
64 )
 EMA. : ( 6 ,  1)
x y 5 

2x  3y  7 
65 )
 EMA. : ( 2 ,  1)
5 x  2 y  12 



1
2
67 )
EMA. : ( 4 , )

x y
x
2
  y
3
4

3x

68 )

 4y  8

3x  1  2 y  2
 EMA. : (  1,  3 )
x  y  4


2 x  12  4 y 

66 ) 2 x
 EMA. : ( 0 ,  3 )
 2 y  6

5


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

29

Ekuazio biak
berdindu

2. Berdintzea
2x  y  4 

x  2 y   3

4  2x 

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

3 x
2

y  4  2x

Ekuazio bietan, ezezagun
bera bakandu:
8  4x  3  x

y  4  2x 

 2 y  3  x 

y  4  2x

3 x 
y
2 


 5 x  5

x 1

Kopiatu koadernoan

y  4  2 1

y2

Ekuazio-sistemak

30

Askatu sistema hauek, berdintze-metodoa erabiliz:
2 x  y  0
69 )
 EMA. : (  1, 2 )
x  y 1

3x  y  4

70 ) x
 EMA. : ( 2 , 2 )
 y3

2


x 5  4y
x
71 )
y 
2


1
 y 1 
72 ) 4
 EMA. : ( 2 ,  )
2
2( x  y )  3

x

73 )

x5 y


 EMA. : (  3, 2 )
5 x  2 y   19 


1

EMA.
:
(
3
,

)

2
2



Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

31
3. Laburtzea
2x  y  4 

x  2 y   3

Ezezagun bera duten bi
gaiak ekuazio bietan
berdinak izatea da
helburua; berdinak
baina aurkako zeinua
dutela. Horretarako,
ekuazioetako bat
zenbaki oso batez
biderkatuko dugu:
2  (2 x  y  4)

x  2 y  3 

4x  2 y  8 

x  2 y   3

Ekuazio bien
arteko batuketa
egin, gaiz gai.
4x  2 y  8



x  2 y  3 

5x  0 y  5
5x  5
x 1

Kopiatu koadernoan

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

2 1  y  4

y  42

y2

Ekuazio-sistemak

32

Askatu sistema hauek, laburtze-metodoa erabiliz:
x  y  9
74 )
 EMA. : ( 5 , 4 )
x  y 1

75 )

3x  y  3
1
EMA.
:
(
, 2)

6 x  y  0
3

76 )

2 x  3 y  4
 EMA. : (1,  2 )
x  2y  5 


 y  0
77 ) 2
 EMA. : ( 4 ,  2 )
y
 x  3
2

x

5 
1 1

78 )
EMA.
:
(
, )
6 
2
3
3 y  3  4 x  2 
x 1  y 

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

33

Askatu sistema hauek, zure ustez errazena den metodoaz:
6 x  5 y  4
79 )
 EMA. : (1,  2 )
x  y  1

82 )

3x  y  1


 EMA. : Ez du
x  2 y  2  2x  y

emaitzarik

3x  5  2 y


80 ) x
 EMA. : (3 , 2 )
 y  2x  3

3


x
83 )
x

(Sistema

y 1
2
y2
3

bateraezin a)


1

 EMA. : (  8 ,  19 )
 1


3x  y  2
1

y  EMA. : ( ,  1)
81 ) x

3
3
9 


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

34

Ekuazio-sistemak. Buruketak

84) Ostatu batean, ohe bateko eta biko gelak daude. Orotara 50
gela eta 87 ohe daude. Mota bakoitzeko zenbat gela dago?
EMA.: 13, 37 gela
85) Txakur-txapelketa batean, txakurrak eta beraien jabeak
daude. Guztira hirurogeita hamazortzi buru eta berrehun eta
hamasei hanka daude. Zenbat txakur eta pertsona daude?
EMA.: 48 pertsona, 30 txakur.
86) Bi zenbakiren arteko batura hamalau da. Handienari bat
gehitzen badiogu, txikienaren bikoitza lortzen da. Aurki itzazu
zenbakiak. EMA.: 9, 5.
87) Bi zenbakiren arteko batura 150 da, eta kendura txikienaren
laukoitza da. Aurki itzazu zenbakiok. EMA.: 125, 25
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

35

Ekuazio-sistemak. Buruketak

88) Zenbaki baten hirukoitzari beste baten laukoitza
gehitutakoan, zazpi izango da emaitza; lehenengoaren
bikoitzari bigarrena gehitutakoan, berriz, hiru izango da
emaitza. Bilatu zenbakiok. EMA.: 1, 1.
89) Bi anaia-arreben adinen arteko batura 17 da; bost urte
barru, batena bestearenaren bikoitza izango da. Zenbat
urte dituzte? EMA.: 13, 4 urte.
90) Dendara joan eta alkandora bat eta praka batzuk erosi
ditut. Markatuta dituzten prezioen artean, 100 euro egiten
dute, baina, merkealdia dela eta, alkandoran % 20ko
deskontua egin didate, eta, praketan, % 30ekoa. Guztira,
73,50 euro pagatu dut. Zenbat balio du bakoitzak? EMA.:
35 eta 65 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

36
2
x + y = 24 
91 )
 EMA. : (2, 20); (  4, 8)
y = 2x + 16 

Ekuazio-sistemak
x y 7 
92 ) 2
 EMA. : ( 3, 4 ); ( 4 , 3 )
2
x  y  25 

93) 60 euro ditugu lagun batzuen artean banatzeko. Hiru
lagun gehiago bagina, bakoitzari euro bat gutxiago
egokituko litzaiguke. Zenbat gara? EMA: 12 lagun.

94) Loradenda batean, tulipan sortak egiteko hari batzuk
daude. Tulipanak binaka jarriz gero, 4 tulipan geldituko dira
sobran, eta hirunaka jarriz gero, hari bat sobran. Zenbat
tulipan eta zenbat hari daude? EMA: 7, 18.
95) Bi zenbakiren arteko kendura 3 da, eta zenbakion
berbiduren arteko batura, 117. Bila itzazu zenbakiok. EMA:
(–6, –9); (9, 6).
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

37

Ekuazio-sistemak

96) Bi zenbakiren arteko kendura 6 da, eta
biderkadura, 216. Bila itzazu zenbakiok. EMA: (–12, –
18); (18, 12).
97) Triangelu zuzen baten hipotenusa 10 m luze da,
eta perimetroa, 24 m-koa da. Zenbat luze dira bi
katetoak? EMA.: 6 cm, 8 cm.
98) x4 + 3x² – 4 = 0 EMA.: 1, –1
99) x × (x + 5) × (x – 2) = 0 EMA: 0, –5, 2.
100) x4 – 5x² + 4 = 0 EMA: 2, –2, 1, –1.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira


Slide 29

1

Ekuazioak 3. DBH
Alfredo Ortega Loza
Unitate honetan, hauek ikasi edo gogoratuko ditugu:
•Ekuazioak eta identitateak bereizten
•Lehenengo mailako ekuazioak askatzen
•Buruketak askatzen
•2. mailako ekuazioak askatzen
•Ekuazio-sistemak askatzen
•2. mailako ekuazio-sistemak askatzen

Berdintzak

2

Berdin ikurra duten adierazpeni berdintza
esaten zaie.
Berdintzak zenbakizkoak izan daitezke:
3·(5 – 4) = 2 + 1



45/5 = 18/2



Algebraikoak ere,
izan daitezke:

Berdintzaren ezkerreko aldeari
lehen atala esaten zaio, eta
eskuinekoari, bigarren atala.
Batuketa edo kenketa ikurren
arteko letra eta zenbakimultzoei, berriz, gai deritze.

3x – 5 = x/4 +1



5a + 2b = 10a/2 + (9/2)b – (5/2)b



Kopiatu koadernoan

Identitateak

3

Berdintza algebraikoak –letrak dituztenak–
identitateak edo ekuazioak izan daitezke:
Identitateak:

3x + (5 – 1)·2 = 2x + x + 8
5a – a = 2 (7a – 5a)

Gogoratu: zenbakien
eta letren artean ezer
ez dagoenean,
BIDER (·) ikurra
irakurri behar da beti.

Ezezagunak (letra) edozein balio izanda ere,
bete egingo da berdintza. Askatzen saiatuz
gero, 0 = 0 lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazioak

4

Ekuazioak:
3x = 2x + 1. EMA.: x = 1
5a – 3 = 2 (7a – 5a). EMA.: a = 3

Ezezagunaren balio batzuetarako baino ez
da betetzen berdintza.
Balio horiek topatzeari ekuazioa askatzea
(edo ebaztea) esaten zaio.

Kopiatu koadernoan

5

Ekuazio baliokideak
Ekuazioen propietateak:

Ekuazio baten bi aldeetan batuketa edo
kenketa bera egiten badugu, hasierakoaren
ekuazio baliokide bat (emaitza berbera
duena) lortuko dugu.
Ekuazio baten bi aldeak zero ez den
adierazpen batekin biderkatzen edo
zatitzen baditugu, hasierakoaren ekuazio
baliokide bat lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (1)

6

Ekuazioetarako erregelak:

x+7=3

–x = 3 – 2x

x+7–7=3–7

–x + 2x = 3 – 2x + 2x

x=3–7

–x + 2x = 3

x = –4

x=3

Ekuazioaren alde batean
batzen dagoena kentzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazioaren alde batean
kentzen dagoena batzen
pasatzen da beste aldera.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (2)

7

3x



3
x

Kopiatu koadernoan

Ekuazioetarako erregelak:
x
3x – 7 = 2
2 1
4
3x – 7 + 7 = 2 + 7
x
 2  2  1 2
4
3x = 9
9
3
9
3

x=3

Ekuazioaren alde batean
biderkatzen dagoena zatitzen
pasatzen da beste aldera.

x

 1

4
4

x

 4  (  1)

4
x  4  (  1)

x = –4
Ekuazioaren alde batean
zatitzen dagoena biderkatzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazio-ebazpenak

8
Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio eta identitate
hauek :

 Letrak dituzten
gai guztiak
berdintzaren alde
batera eraman
behar ditugu, eta
zenbakiak,
bestera.

1) x – 3 + 5x = 4x – 7. EMA.: –2

 Parentesiak
badaude, beste
ezer baino lehen
kendu behar
ditugu.

2) 7x – 5 + 2x + 6 = –3x + 8 – x.
EMA.: 7/13
3) 2x – (6x + 1) = 3x – 5(2 – x). EMA.: 3/4
4) 7(x + 3) = 7 + 8x – 1 . EMA.: 15
5) 3x +7 – 2(x – 3) = 3(x + 4) – 2x + 1.
EMA.: Edozein; identitatea da

6) 4 – (3 – x) + 6 = 2x + 2(2x – 3).
EMA.: 13/5
7) 5 – x(3 + 1) = 2x – 6(3 – 2x).
EMA.: 23/18

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

9

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio hauek :
8)

 Izendatzaileak
badaude,
izendatzaileen
MKTa lortu behar
dugu, eta,
ondoren,
berdintzaren
alde biak MKT
horrekin
biderkatuko
ditugu.

9)

1

x + 2=

2

x - 5 . E M A : 42

3

4

x

- 3  (x - 1) = 2 x -

7 - x

2

10)

1

(x - 2) -

8

11)

. E M A : 32/29.

3
2

(2 x + 6) + x = - 4 .E M A : -6/5

3

x - 1

-

x + 1

2
12) - 4  (3 - x)

=x -

3

5

.E M A : 1

3
+ 4x =

3

 (2 x - 1) - (x + 1) E M A : 4/3.

5

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

10

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
13)

x

-

x - 3

6

14)

=1 -

2x - 5

4

6x - 1

-

5x - 6

5

=

2x + 1

7
x - 2

15) 1 -

5

- 2

- 5x =

3x - 5

7x

(x - 1)

x - 8

2
18) 2 -

3  (2 + x)

=x +

3
-

3
x - 1
5

E M A : 25/41.

2

4

17)

E M A : 34/19.

3

3

16)

E M A : 23/7.

3

E M A : -13/38.

2
-

4  (4 x + 2)

=

5
- (2 x - 1) =

5x - 3

E M A : 2.

7
x - 5
E M A : 19/9

2

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

11

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
19) x -

x

-

x - 1

2

=

6

20) - 4 x - 3 -

x

- 2  (x - 1) E M A :11/13.

6

6x + 4

= 3 - 4  (x - 1) E M A : -37/3.

7
21) 3 -

x + 1

- (4 x - 1) = x - (3 - 4 x) E M A : 13/19.

2
x 22)

1
2 -

3
2

23)

x -

x + 2

-

2

x

- 3
3 = 2 - x - 2
E M A : 2.
4
6
12
1

3x - 1

+

4
(x + 2) (3 x - 1)

= 0 . E M A : 0.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

12

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

Buruketen emaitzak lortzeko, pauso hauek dira
garrantzitsuenak:

Proposatzen den buruketa ondo ulertu. Behar diren
irakurketa guztiak egin, zer eskatzen duten ondo ulertzeko
eta azaltzen diren baldintzak ondo kontrolatzeko

Azpimarratu datu garrantzitsuenak
Ixa esleitu. Ixaren aldamenean beti idatzi zer den
Dituzun datu guztien artean, erlazioren bat topatu.
Buruketak berak ematen du askotan

Sortu duzun ekuazioa askatu
Bukatzeko, egiaztatu emaitza dituzun datu guztiekin
Kopiatu koadernoan

13

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

24) Bi zenbakiren arteko batura 76, da eta bata bestea
baino lau unitate handiagoa da. Bilatu zenbakiok. EMA.:
36, 40.
25) Ondoz ondoko hiru zenbakiren arteko batura
laurogeita hamahiru da. Zein dira zenbaki horiek. EMA.:
30, 31, 32.
26) Zenbaki baten herenaren eta hirukoitzaren arteko
batura berrogei da. Aurkitu zenbakia. EMA.: 12.
27) Bi mila laurehun metro ibili ondoren, distantziaren
herena falta zaigu bukatzeko. Zein da distantzia? EMA.:
3.600 m.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

14

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

28) Pertsona batek duen muxika-kopurua honela banatuta
geratu da: erdiak saldu egin zituen, laurdenak anaiari eman
zizkion eta, oraindik, ehun eta hogei muxika geratu zaizkio.
Zenbat muxika zituen? EMA.: 480 muxika.

29) Zuk hamabi urte badituzu eta zure aitak zure adinaren
zortzi herena, zenbat urte ditu zure aitak? EMA.: 32 urte.
30) Ondoz ondoko bi zenbaki ditugu. Handienaren
herenaren eta txikienaren arteko batura txikienaren
bikoitzaren herena da. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 2, 3.
31) Andonik Kepak baino bost euro gehiago ditu. Baina
Andonik Kepari lau euro emango balizkio, Keparen dirutza
Andonirenaren bikoitza bihurtuko litzateke. Zenbat dauka
bakoitzak? EMA.: 7 eta 2 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

15

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

32) Orain dela lau urte ume baten adinaren hirukoitza
orain duenaren bikoitza zen. Zenbat urte ditu? EMA.: 12
urte.
33) Pertsona baten adina beste lagun batenaren bikoitza
da. Orain dela zazpi urte, bi pertsonen urteen batura
lehenengoaren gaur egungo adina izan zen. Kalkula
itzazu bi pertsonen adinak. EMA.:14 eta 28 urte.
34) Aita batek berrogeita bi urte ditu, eta semeak hamar.
Zenbat urte pasa behar dira aitaren adina semearenaren
hirukoitza izateko? EMA.: 6 urte
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

16

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

35) Gripea zela eta, gela bateko sei ikasle ez ziren eskolara
etorri. Eta, honela, ikasle guztien hiru laurdenak baino bi
gehiago etorri ziren. Zenbat ikasle ziren gelan? EMA.: 32
ikasle.
36) Laukizuzen-itxurako bizkotxo batean, hiru zati egin ditugu.
Lehenengoa bizkotxoaren herena da, bigarrena bostena eta
hirugarrena lau bederatzirena; 4 cm geratu zaigu sobran.
Zenbatekoa da bizkotxoaren luzera? EMA.: 180 cm.

37) Hemendik hamaika urtera, Enekoren adina duela
hamahiru urte zuenaren bikoitza izango da. Zenbat urte ditu?
EMA.: 37 urte.00
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

17

2. mailako ekuazioak ezezagun bakarrekoak badira,
honela adieraziko ditugu:
ax2 + bx + c = 0
a, b eta c zenbaki osoak dira, eta a ezin da zeroren
berdina izan (a  0).
Ekuazio horiek formula honek askatzen ditu beti:

x

b

b  4 ac
2

2a
Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

18

x

Adibide gisa, askatu
honako ekuazio hau:

x

b  4 ac
2

2a

GOGORATU: letra baten
aurrean ezer ikusten ez
duzunean, 1 zenbakia dago

2x2 – x – 1 = 0
a=2
b = –1
c = –1

b

 (  1) 

(  1)  4  2  (  1)
2

22
4



1 1 8
4

Kopiatu koadernoan



1 3
4



1

4
2
4



1
2



2. mailako ekuazioak

19
x

b

b  4 ac
2

2a

Askatu honako ekuazio hauek:
38) x2 – x – 2 = 0 EMA.: 2, –1
39) 3x2 – 7x – 6 = 0 EMA.: 3, –2/3
40) 4x2 – 8x + 3 = 0 EMA.: 3/2, 1/2
41) x2 + 4x + 4 = 0 EMA.: –2

42) x2 + 8x + 3 = 0 EMA.: –0,4; –7,6
43) x2 + 2x + 2 = 0 EMA.: emaitzarik
ez.

Emaitza bakarra
lortzen badugu,
emaitza horri emaitza
bikoitza esango
diogu.
Batzuetan, erroak ez
du emaitzarik, eta,
orduan, esaten dugu
ekuazioak ez duela
emaitza errealik.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

20

Modu horrek 2. mailako ekuazio guztietarako balio
badu ere, badaude beste modu errazago batzuk:
1) b = 0 denean

Adibidea:

ax2 + 0x + c = 0

3x2 – 75 = 0

ax2 + c = 0

3x2 = 75

ax2 = –c
x 
2

x 
2

75
3

c

5

a
x

c

x   25 

–5

a

Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

21

GOGORATU: biderkadura bat zero bada,
biderkagairen bat zero delako da
2) c = 0 denean

Adibidea:

ax2 + bx + 0 = 0

5x2 – 7x = 0

ax2 + bx = 0

x·(5x – 7) = 0

x·(ax + b) = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

5x – 7 = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

ax + b = 0
x = –b/a
Kopiatu koadernoan

x = 7/5

22

2. mailako ekuazioak

Ebatzi honako ekuazio hauek:
44) 3x² + 5x – 2 = 0 EMA.: 1/3; –2
45) 4x² – 36 = 0 EMA: 3, –3.
46) 2x² – 15x + 7 = 0 EMA: 7, 1/2

52) 2x2 – 3 = x2 – 2x EMA.: 1,
–3
53) x – 2 = x2 EMA.:
emaitzarik ez.

47) 3x² – 75x = 0 EMA: 0, 25.
48) 7x² – 9x + 2 = 0 EMA.: 1, 2/7

54 ) 1 +

= 2x

EMA.: –1/2, 1

x

49) 2x² – 2x – 24 = 0 EMA.: 4, –3

50) x²/3 – 12 = 0 EMA: 6, –6

1

55 ) 1 +

1
x

=x -

1
x

EMA.: –1, 2

51) (x – 2)(x + 1) = 0 EMA: 2, –1
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

23

2. mailako ekuazioak. Buruketak

56) Bi zenbakiren artean, 5eko aldea dago, eta haien
arteko biderkadura 66 da. Zein dira zenbakiok? EMA.: 6,
11; –11, –6.
57) Laukizuzen batek hogei zentimetroko diagonala du.
Zein izango da azalera, altuera baino lau cm luzeago
badu oina? EMA.: 12 cm, 16 cm.
58) Bila ezazu zirkunferentzia baten luzera, haren azalera
28,26 m² bada. EMA.: 18,84 m.
59) Triangelu zuzen batean, hipotenusaren luzera 10 cm
da. Bila itzazu katetoen luzerak, bata bestea baino 2 cm
luzeagoa bada. EMA.: 6 cm, 8 cm.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

24

2. mailako ekuazioak. Buruketak

60) Demagun 7 cm-ko alanbre bat daukagula. Nondik
tolestuko dugu muturretako bat bestetik 5 cm-ra egon dadin
angelu zuzen bat osatu ondoren? EMA.: 4 cm, 3 cm.
61) Ondoz ondoko bi zenbakiren arteko biderkadura
honako hau da zenbaki horien arteko batura gehi bost
unitate. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 3, 4; –2, –1.
62) Triangelu zuzen baten azalera 90 cm2 da. Bilatu
katetoak, haien arteko aldea 3 cm-koa bada. EMA.: 12 cm
eta 15 cm.
63) Banatu 9 zenbakia bi zatitan, bakoitzaren berbiduren
arteko batura 41 izan dadin. EMA.: 4, 5.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

25

Bi ezezaguneko ekuazio-sistemak:
Bi ekuazio aldi berean betetzen badira, ekuazio-sistema
bat dugu. Bi ekuazioak zenbaki berberetarako bete
behar dira.
Adibidez:

2x  y  4 

x  2 y   3

Sistema honen emaitza x = 1 eta y = 2 da, edo beste
modu batez adierazita, (1, 2) da.
Begiratu ea egia den.
Kopiatu koadernoan

26

Ekuazio-sistemak

Lau era ditugu ekuazio-sistemak ebazteko, baina
mementoz hiru besterik ez dugu ikasiko:
1. Ordezkatzea
2. Berdintzea
3. Laburtzea

Kopiatu koadernoan

Ekuazio-sistemak

27
1. Ordezkatzea
2x  y  4 

x  2 y   3

y  4  2x



x  8  4 x   3

Ekuazio batean,
ezezagun bat bakandu:
y  4  2x 

x  2 y   3

Beste ekuazioan,
ezezagun hori ordeztu

Beste ekuazioan
ordeztu
y  4  2x 

5 x  3  8

y  4  2x

5x  5 

y  4  2x



x  2  ( 4  2 x )   3

y  4  2x

x 1 

Kopiatu koadernoan

y  4  2  1

x 1 

y  2

x  1

Ekuazio-sistemak

28

Askatu sistema hauek, ordezkatze-metodoa erabiliz:
3 x  8 y  10 
64 )
 EMA. : ( 6 ,  1)
x y 5 

2x  3y  7 
65 )
 EMA. : ( 2 ,  1)
5 x  2 y  12 



1
2
67 )
EMA. : ( 4 , )

x y
x
2
  y
3
4

3x

68 )

 4y  8

3x  1  2 y  2
 EMA. : (  1,  3 )
x  y  4


2 x  12  4 y 

66 ) 2 x
 EMA. : ( 0 ,  3 )
 2 y  6

5


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

29

Ekuazio biak
berdindu

2. Berdintzea
2x  y  4 

x  2 y   3

4  2x 

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

3 x
2

y  4  2x

Ekuazio bietan, ezezagun
bera bakandu:
8  4x  3  x

y  4  2x 

 2 y  3  x 

y  4  2x

3 x 
y
2 


 5 x  5

x 1

Kopiatu koadernoan

y  4  2 1

y2

Ekuazio-sistemak

30

Askatu sistema hauek, berdintze-metodoa erabiliz:
2 x  y  0
69 )
 EMA. : (  1, 2 )
x  y 1

3x  y  4

70 ) x
 EMA. : ( 2 , 2 )
 y3

2


x 5  4y
x
71 )
y 
2


1
 y 1 
72 ) 4
 EMA. : ( 2 ,  )
2
2( x  y )  3

x

73 )

x5 y


 EMA. : (  3, 2 )
5 x  2 y   19 


1

EMA.
:
(
3
,

)

2
2



Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

31
3. Laburtzea
2x  y  4 

x  2 y   3

Ezezagun bera duten bi
gaiak ekuazio bietan
berdinak izatea da
helburua; berdinak
baina aurkako zeinua
dutela. Horretarako,
ekuazioetako bat
zenbaki oso batez
biderkatuko dugu:
2  (2 x  y  4)

x  2 y  3 

4x  2 y  8 

x  2 y   3

Ekuazio bien
arteko batuketa
egin, gaiz gai.
4x  2 y  8



x  2 y  3 

5x  0 y  5
5x  5
x 1

Kopiatu koadernoan

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

2 1  y  4

y  42

y2

Ekuazio-sistemak

32

Askatu sistema hauek, laburtze-metodoa erabiliz:
x  y  9
74 )
 EMA. : ( 5 , 4 )
x  y 1

75 )

3x  y  3
1
EMA.
:
(
, 2)

6 x  y  0
3

76 )

2 x  3 y  4
 EMA. : (1,  2 )
x  2y  5 


 y  0
77 ) 2
 EMA. : ( 4 ,  2 )
y
 x  3
2

x

5 
1 1

78 )
EMA.
:
(
, )
6 
2
3
3 y  3  4 x  2 
x 1  y 

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

33

Askatu sistema hauek, zure ustez errazena den metodoaz:
6 x  5 y  4
79 )
 EMA. : (1,  2 )
x  y  1

82 )

3x  y  1


 EMA. : Ez du
x  2 y  2  2x  y

emaitzarik

3x  5  2 y


80 ) x
 EMA. : (3 , 2 )
 y  2x  3

3


x
83 )
x

(Sistema

y 1
2
y2
3

bateraezin a)


1

 EMA. : (  8 ,  19 )
 1


3x  y  2
1

y  EMA. : ( ,  1)
81 ) x

3
3
9 


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

34

Ekuazio-sistemak. Buruketak

84) Ostatu batean, ohe bateko eta biko gelak daude. Orotara 50
gela eta 87 ohe daude. Mota bakoitzeko zenbat gela dago?
EMA.: 13, 37 gela
85) Txakur-txapelketa batean, txakurrak eta beraien jabeak
daude. Guztira hirurogeita hamazortzi buru eta berrehun eta
hamasei hanka daude. Zenbat txakur eta pertsona daude?
EMA.: 48 pertsona, 30 txakur.
86) Bi zenbakiren arteko batura hamalau da. Handienari bat
gehitzen badiogu, txikienaren bikoitza lortzen da. Aurki itzazu
zenbakiak. EMA.: 9, 5.
87) Bi zenbakiren arteko batura 150 da, eta kendura txikienaren
laukoitza da. Aurki itzazu zenbakiok. EMA.: 125, 25
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

35

Ekuazio-sistemak. Buruketak

88) Zenbaki baten hirukoitzari beste baten laukoitza
gehitutakoan, zazpi izango da emaitza; lehenengoaren
bikoitzari bigarrena gehitutakoan, berriz, hiru izango da
emaitza. Bilatu zenbakiok. EMA.: 1, 1.
89) Bi anaia-arreben adinen arteko batura 17 da; bost urte
barru, batena bestearenaren bikoitza izango da. Zenbat
urte dituzte? EMA.: 13, 4 urte.
90) Dendara joan eta alkandora bat eta praka batzuk erosi
ditut. Markatuta dituzten prezioen artean, 100 euro egiten
dute, baina, merkealdia dela eta, alkandoran % 20ko
deskontua egin didate, eta, praketan, % 30ekoa. Guztira,
73,50 euro pagatu dut. Zenbat balio du bakoitzak? EMA.:
35 eta 65 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

36
2
x + y = 24 
91 )
 EMA. : (2, 20); (  4, 8)
y = 2x + 16 

Ekuazio-sistemak
x y 7 
92 ) 2
 EMA. : ( 3, 4 ); ( 4 , 3 )
2
x  y  25 

93) 60 euro ditugu lagun batzuen artean banatzeko. Hiru
lagun gehiago bagina, bakoitzari euro bat gutxiago
egokituko litzaiguke. Zenbat gara? EMA: 12 lagun.

94) Loradenda batean, tulipan sortak egiteko hari batzuk
daude. Tulipanak binaka jarriz gero, 4 tulipan geldituko dira
sobran, eta hirunaka jarriz gero, hari bat sobran. Zenbat
tulipan eta zenbat hari daude? EMA: 7, 18.
95) Bi zenbakiren arteko kendura 3 da, eta zenbakion
berbiduren arteko batura, 117. Bila itzazu zenbakiok. EMA:
(–6, –9); (9, 6).
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

37

Ekuazio-sistemak

96) Bi zenbakiren arteko kendura 6 da, eta
biderkadura, 216. Bila itzazu zenbakiok. EMA: (–12, –
18); (18, 12).
97) Triangelu zuzen baten hipotenusa 10 m luze da,
eta perimetroa, 24 m-koa da. Zenbat luze dira bi
katetoak? EMA.: 6 cm, 8 cm.
98) x4 + 3x² – 4 = 0 EMA.: 1, –1
99) x × (x + 5) × (x – 2) = 0 EMA: 0, –5, 2.
100) x4 – 5x² + 4 = 0 EMA: 2, –2, 1, –1.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira


Slide 30

1

Ekuazioak 3. DBH
Alfredo Ortega Loza
Unitate honetan, hauek ikasi edo gogoratuko ditugu:
•Ekuazioak eta identitateak bereizten
•Lehenengo mailako ekuazioak askatzen
•Buruketak askatzen
•2. mailako ekuazioak askatzen
•Ekuazio-sistemak askatzen
•2. mailako ekuazio-sistemak askatzen

Berdintzak

2

Berdin ikurra duten adierazpeni berdintza
esaten zaie.
Berdintzak zenbakizkoak izan daitezke:
3·(5 – 4) = 2 + 1



45/5 = 18/2



Algebraikoak ere,
izan daitezke:

Berdintzaren ezkerreko aldeari
lehen atala esaten zaio, eta
eskuinekoari, bigarren atala.
Batuketa edo kenketa ikurren
arteko letra eta zenbakimultzoei, berriz, gai deritze.

3x – 5 = x/4 +1



5a + 2b = 10a/2 + (9/2)b – (5/2)b



Kopiatu koadernoan

Identitateak

3

Berdintza algebraikoak –letrak dituztenak–
identitateak edo ekuazioak izan daitezke:
Identitateak:

3x + (5 – 1)·2 = 2x + x + 8
5a – a = 2 (7a – 5a)

Gogoratu: zenbakien
eta letren artean ezer
ez dagoenean,
BIDER (·) ikurra
irakurri behar da beti.

Ezezagunak (letra) edozein balio izanda ere,
bete egingo da berdintza. Askatzen saiatuz
gero, 0 = 0 lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazioak

4

Ekuazioak:
3x = 2x + 1. EMA.: x = 1
5a – 3 = 2 (7a – 5a). EMA.: a = 3

Ezezagunaren balio batzuetarako baino ez
da betetzen berdintza.
Balio horiek topatzeari ekuazioa askatzea
(edo ebaztea) esaten zaio.

Kopiatu koadernoan

5

Ekuazio baliokideak
Ekuazioen propietateak:

Ekuazio baten bi aldeetan batuketa edo
kenketa bera egiten badugu, hasierakoaren
ekuazio baliokide bat (emaitza berbera
duena) lortuko dugu.
Ekuazio baten bi aldeak zero ez den
adierazpen batekin biderkatzen edo
zatitzen baditugu, hasierakoaren ekuazio
baliokide bat lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (1)

6

Ekuazioetarako erregelak:

x+7=3

–x = 3 – 2x

x+7–7=3–7

–x + 2x = 3 – 2x + 2x

x=3–7

–x + 2x = 3

x = –4

x=3

Ekuazioaren alde batean
batzen dagoena kentzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazioaren alde batean
kentzen dagoena batzen
pasatzen da beste aldera.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (2)

7

3x



3
x

Kopiatu koadernoan

Ekuazioetarako erregelak:
x
3x – 7 = 2
2 1
4
3x – 7 + 7 = 2 + 7
x
 2  2  1 2
4
3x = 9
9
3
9
3

x=3

Ekuazioaren alde batean
biderkatzen dagoena zatitzen
pasatzen da beste aldera.

x

 1

4
4

x

 4  (  1)

4
x  4  (  1)

x = –4
Ekuazioaren alde batean
zatitzen dagoena biderkatzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazio-ebazpenak

8
Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio eta identitate
hauek :

 Letrak dituzten
gai guztiak
berdintzaren alde
batera eraman
behar ditugu, eta
zenbakiak,
bestera.

1) x – 3 + 5x = 4x – 7. EMA.: –2

 Parentesiak
badaude, beste
ezer baino lehen
kendu behar
ditugu.

2) 7x – 5 + 2x + 6 = –3x + 8 – x.
EMA.: 7/13
3) 2x – (6x + 1) = 3x – 5(2 – x). EMA.: 3/4
4) 7(x + 3) = 7 + 8x – 1 . EMA.: 15
5) 3x +7 – 2(x – 3) = 3(x + 4) – 2x + 1.
EMA.: Edozein; identitatea da

6) 4 – (3 – x) + 6 = 2x + 2(2x – 3).
EMA.: 13/5
7) 5 – x(3 + 1) = 2x – 6(3 – 2x).
EMA.: 23/18

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

9

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio hauek :
8)

 Izendatzaileak
badaude,
izendatzaileen
MKTa lortu behar
dugu, eta,
ondoren,
berdintzaren
alde biak MKT
horrekin
biderkatuko
ditugu.

9)

1

x + 2=

2

x - 5 . E M A : 42

3

4

x

- 3  (x - 1) = 2 x -

7 - x

2

10)

1

(x - 2) -

8

11)

. E M A : 32/29.

3
2

(2 x + 6) + x = - 4 .E M A : -6/5

3

x - 1

-

x + 1

2
12) - 4  (3 - x)

=x -

3

5

.E M A : 1

3
+ 4x =

3

 (2 x - 1) - (x + 1) E M A : 4/3.

5

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

10

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
13)

x

-

x - 3

6

14)

=1 -

2x - 5

4

6x - 1

-

5x - 6

5

=

2x + 1

7
x - 2

15) 1 -

5

- 2

- 5x =

3x - 5

7x

(x - 1)

x - 8

2
18) 2 -

3  (2 + x)

=x +

3
-

3
x - 1
5

E M A : 25/41.

2

4

17)

E M A : 34/19.

3

3

16)

E M A : 23/7.

3

E M A : -13/38.

2
-

4  (4 x + 2)

=

5
- (2 x - 1) =

5x - 3

E M A : 2.

7
x - 5
E M A : 19/9

2

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

11

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
19) x -

x

-

x - 1

2

=

6

20) - 4 x - 3 -

x

- 2  (x - 1) E M A :11/13.

6

6x + 4

= 3 - 4  (x - 1) E M A : -37/3.

7
21) 3 -

x + 1

- (4 x - 1) = x - (3 - 4 x) E M A : 13/19.

2
x 22)

1
2 -

3
2

23)

x -

x + 2

-

2

x

- 3
3 = 2 - x - 2
E M A : 2.
4
6
12
1

3x - 1

+

4
(x + 2) (3 x - 1)

= 0 . E M A : 0.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

12

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

Buruketen emaitzak lortzeko, pauso hauek dira
garrantzitsuenak:

Proposatzen den buruketa ondo ulertu. Behar diren
irakurketa guztiak egin, zer eskatzen duten ondo ulertzeko
eta azaltzen diren baldintzak ondo kontrolatzeko

Azpimarratu datu garrantzitsuenak
Ixa esleitu. Ixaren aldamenean beti idatzi zer den
Dituzun datu guztien artean, erlazioren bat topatu.
Buruketak berak ematen du askotan

Sortu duzun ekuazioa askatu
Bukatzeko, egiaztatu emaitza dituzun datu guztiekin
Kopiatu koadernoan

13

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

24) Bi zenbakiren arteko batura 76, da eta bata bestea
baino lau unitate handiagoa da. Bilatu zenbakiok. EMA.:
36, 40.
25) Ondoz ondoko hiru zenbakiren arteko batura
laurogeita hamahiru da. Zein dira zenbaki horiek. EMA.:
30, 31, 32.
26) Zenbaki baten herenaren eta hirukoitzaren arteko
batura berrogei da. Aurkitu zenbakia. EMA.: 12.
27) Bi mila laurehun metro ibili ondoren, distantziaren
herena falta zaigu bukatzeko. Zein da distantzia? EMA.:
3.600 m.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

14

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

28) Pertsona batek duen muxika-kopurua honela banatuta
geratu da: erdiak saldu egin zituen, laurdenak anaiari eman
zizkion eta, oraindik, ehun eta hogei muxika geratu zaizkio.
Zenbat muxika zituen? EMA.: 480 muxika.

29) Zuk hamabi urte badituzu eta zure aitak zure adinaren
zortzi herena, zenbat urte ditu zure aitak? EMA.: 32 urte.
30) Ondoz ondoko bi zenbaki ditugu. Handienaren
herenaren eta txikienaren arteko batura txikienaren
bikoitzaren herena da. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 2, 3.
31) Andonik Kepak baino bost euro gehiago ditu. Baina
Andonik Kepari lau euro emango balizkio, Keparen dirutza
Andonirenaren bikoitza bihurtuko litzateke. Zenbat dauka
bakoitzak? EMA.: 7 eta 2 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

15

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

32) Orain dela lau urte ume baten adinaren hirukoitza
orain duenaren bikoitza zen. Zenbat urte ditu? EMA.: 12
urte.
33) Pertsona baten adina beste lagun batenaren bikoitza
da. Orain dela zazpi urte, bi pertsonen urteen batura
lehenengoaren gaur egungo adina izan zen. Kalkula
itzazu bi pertsonen adinak. EMA.:14 eta 28 urte.
34) Aita batek berrogeita bi urte ditu, eta semeak hamar.
Zenbat urte pasa behar dira aitaren adina semearenaren
hirukoitza izateko? EMA.: 6 urte
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

16

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

35) Gripea zela eta, gela bateko sei ikasle ez ziren eskolara
etorri. Eta, honela, ikasle guztien hiru laurdenak baino bi
gehiago etorri ziren. Zenbat ikasle ziren gelan? EMA.: 32
ikasle.
36) Laukizuzen-itxurako bizkotxo batean, hiru zati egin ditugu.
Lehenengoa bizkotxoaren herena da, bigarrena bostena eta
hirugarrena lau bederatzirena; 4 cm geratu zaigu sobran.
Zenbatekoa da bizkotxoaren luzera? EMA.: 180 cm.

37) Hemendik hamaika urtera, Enekoren adina duela
hamahiru urte zuenaren bikoitza izango da. Zenbat urte ditu?
EMA.: 37 urte.00
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

17

2. mailako ekuazioak ezezagun bakarrekoak badira,
honela adieraziko ditugu:
ax2 + bx + c = 0
a, b eta c zenbaki osoak dira, eta a ezin da zeroren
berdina izan (a  0).
Ekuazio horiek formula honek askatzen ditu beti:

x

b

b  4 ac
2

2a
Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

18

x

Adibide gisa, askatu
honako ekuazio hau:

x

b  4 ac
2

2a

GOGORATU: letra baten
aurrean ezer ikusten ez
duzunean, 1 zenbakia dago

2x2 – x – 1 = 0
a=2
b = –1
c = –1

b

 (  1) 

(  1)  4  2  (  1)
2

22
4



1 1 8
4

Kopiatu koadernoan



1 3
4



1

4
2
4



1
2



2. mailako ekuazioak

19
x

b

b  4 ac
2

2a

Askatu honako ekuazio hauek:
38) x2 – x – 2 = 0 EMA.: 2, –1
39) 3x2 – 7x – 6 = 0 EMA.: 3, –2/3
40) 4x2 – 8x + 3 = 0 EMA.: 3/2, 1/2
41) x2 + 4x + 4 = 0 EMA.: –2

42) x2 + 8x + 3 = 0 EMA.: –0,4; –7,6
43) x2 + 2x + 2 = 0 EMA.: emaitzarik
ez.

Emaitza bakarra
lortzen badugu,
emaitza horri emaitza
bikoitza esango
diogu.
Batzuetan, erroak ez
du emaitzarik, eta,
orduan, esaten dugu
ekuazioak ez duela
emaitza errealik.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

20

Modu horrek 2. mailako ekuazio guztietarako balio
badu ere, badaude beste modu errazago batzuk:
1) b = 0 denean

Adibidea:

ax2 + 0x + c = 0

3x2 – 75 = 0

ax2 + c = 0

3x2 = 75

ax2 = –c
x 
2

x 
2

75
3

c

5

a
x

c

x   25 

–5

a

Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

21

GOGORATU: biderkadura bat zero bada,
biderkagairen bat zero delako da
2) c = 0 denean

Adibidea:

ax2 + bx + 0 = 0

5x2 – 7x = 0

ax2 + bx = 0

x·(5x – 7) = 0

x·(ax + b) = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

5x – 7 = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

ax + b = 0
x = –b/a
Kopiatu koadernoan

x = 7/5

22

2. mailako ekuazioak

Ebatzi honako ekuazio hauek:
44) 3x² + 5x – 2 = 0 EMA.: 1/3; –2
45) 4x² – 36 = 0 EMA: 3, –3.
46) 2x² – 15x + 7 = 0 EMA: 7, 1/2

52) 2x2 – 3 = x2 – 2x EMA.: 1,
–3
53) x – 2 = x2 EMA.:
emaitzarik ez.

47) 3x² – 75x = 0 EMA: 0, 25.
48) 7x² – 9x + 2 = 0 EMA.: 1, 2/7

54 ) 1 +

= 2x

EMA.: –1/2, 1

x

49) 2x² – 2x – 24 = 0 EMA.: 4, –3

50) x²/3 – 12 = 0 EMA: 6, –6

1

55 ) 1 +

1
x

=x -

1
x

EMA.: –1, 2

51) (x – 2)(x + 1) = 0 EMA: 2, –1
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

23

2. mailako ekuazioak. Buruketak

56) Bi zenbakiren artean, 5eko aldea dago, eta haien
arteko biderkadura 66 da. Zein dira zenbakiok? EMA.: 6,
11; –11, –6.
57) Laukizuzen batek hogei zentimetroko diagonala du.
Zein izango da azalera, altuera baino lau cm luzeago
badu oina? EMA.: 12 cm, 16 cm.
58) Bila ezazu zirkunferentzia baten luzera, haren azalera
28,26 m² bada. EMA.: 18,84 m.
59) Triangelu zuzen batean, hipotenusaren luzera 10 cm
da. Bila itzazu katetoen luzerak, bata bestea baino 2 cm
luzeagoa bada. EMA.: 6 cm, 8 cm.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

24

2. mailako ekuazioak. Buruketak

60) Demagun 7 cm-ko alanbre bat daukagula. Nondik
tolestuko dugu muturretako bat bestetik 5 cm-ra egon dadin
angelu zuzen bat osatu ondoren? EMA.: 4 cm, 3 cm.
61) Ondoz ondoko bi zenbakiren arteko biderkadura
honako hau da zenbaki horien arteko batura gehi bost
unitate. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 3, 4; –2, –1.
62) Triangelu zuzen baten azalera 90 cm2 da. Bilatu
katetoak, haien arteko aldea 3 cm-koa bada. EMA.: 12 cm
eta 15 cm.
63) Banatu 9 zenbakia bi zatitan, bakoitzaren berbiduren
arteko batura 41 izan dadin. EMA.: 4, 5.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

25

Bi ezezaguneko ekuazio-sistemak:
Bi ekuazio aldi berean betetzen badira, ekuazio-sistema
bat dugu. Bi ekuazioak zenbaki berberetarako bete
behar dira.
Adibidez:

2x  y  4 

x  2 y   3

Sistema honen emaitza x = 1 eta y = 2 da, edo beste
modu batez adierazita, (1, 2) da.
Begiratu ea egia den.
Kopiatu koadernoan

26

Ekuazio-sistemak

Lau era ditugu ekuazio-sistemak ebazteko, baina
mementoz hiru besterik ez dugu ikasiko:
1. Ordezkatzea
2. Berdintzea
3. Laburtzea

Kopiatu koadernoan

Ekuazio-sistemak

27
1. Ordezkatzea
2x  y  4 

x  2 y   3

y  4  2x



x  8  4 x   3

Ekuazio batean,
ezezagun bat bakandu:
y  4  2x 

x  2 y   3

Beste ekuazioan,
ezezagun hori ordeztu

Beste ekuazioan
ordeztu
y  4  2x 

5 x  3  8

y  4  2x

5x  5 

y  4  2x



x  2  ( 4  2 x )   3

y  4  2x

x 1 

Kopiatu koadernoan

y  4  2  1

x 1 

y  2

x  1

Ekuazio-sistemak

28

Askatu sistema hauek, ordezkatze-metodoa erabiliz:
3 x  8 y  10 
64 )
 EMA. : ( 6 ,  1)
x y 5 

2x  3y  7 
65 )
 EMA. : ( 2 ,  1)
5 x  2 y  12 



1
2
67 )
EMA. : ( 4 , )

x y
x
2
  y
3
4

3x

68 )

 4y  8

3x  1  2 y  2
 EMA. : (  1,  3 )
x  y  4


2 x  12  4 y 

66 ) 2 x
 EMA. : ( 0 ,  3 )
 2 y  6

5


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

29

Ekuazio biak
berdindu

2. Berdintzea
2x  y  4 

x  2 y   3

4  2x 

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

3 x
2

y  4  2x

Ekuazio bietan, ezezagun
bera bakandu:
8  4x  3  x

y  4  2x 

 2 y  3  x 

y  4  2x

3 x 
y
2 


 5 x  5

x 1

Kopiatu koadernoan

y  4  2 1

y2

Ekuazio-sistemak

30

Askatu sistema hauek, berdintze-metodoa erabiliz:
2 x  y  0
69 )
 EMA. : (  1, 2 )
x  y 1

3x  y  4

70 ) x
 EMA. : ( 2 , 2 )
 y3

2


x 5  4y
x
71 )
y 
2


1
 y 1 
72 ) 4
 EMA. : ( 2 ,  )
2
2( x  y )  3

x

73 )

x5 y


 EMA. : (  3, 2 )
5 x  2 y   19 


1

EMA.
:
(
3
,

)

2
2



Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

31
3. Laburtzea
2x  y  4 

x  2 y   3

Ezezagun bera duten bi
gaiak ekuazio bietan
berdinak izatea da
helburua; berdinak
baina aurkako zeinua
dutela. Horretarako,
ekuazioetako bat
zenbaki oso batez
biderkatuko dugu:
2  (2 x  y  4)

x  2 y  3 

4x  2 y  8 

x  2 y   3

Ekuazio bien
arteko batuketa
egin, gaiz gai.
4x  2 y  8



x  2 y  3 

5x  0 y  5
5x  5
x 1

Kopiatu koadernoan

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

2 1  y  4

y  42

y2

Ekuazio-sistemak

32

Askatu sistema hauek, laburtze-metodoa erabiliz:
x  y  9
74 )
 EMA. : ( 5 , 4 )
x  y 1

75 )

3x  y  3
1
EMA.
:
(
, 2)

6 x  y  0
3

76 )

2 x  3 y  4
 EMA. : (1,  2 )
x  2y  5 


 y  0
77 ) 2
 EMA. : ( 4 ,  2 )
y
 x  3
2

x

5 
1 1

78 )
EMA.
:
(
, )
6 
2
3
3 y  3  4 x  2 
x 1  y 

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

33

Askatu sistema hauek, zure ustez errazena den metodoaz:
6 x  5 y  4
79 )
 EMA. : (1,  2 )
x  y  1

82 )

3x  y  1


 EMA. : Ez du
x  2 y  2  2x  y

emaitzarik

3x  5  2 y


80 ) x
 EMA. : (3 , 2 )
 y  2x  3

3


x
83 )
x

(Sistema

y 1
2
y2
3

bateraezin a)


1

 EMA. : (  8 ,  19 )
 1


3x  y  2
1

y  EMA. : ( ,  1)
81 ) x

3
3
9 


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

34

Ekuazio-sistemak. Buruketak

84) Ostatu batean, ohe bateko eta biko gelak daude. Orotara 50
gela eta 87 ohe daude. Mota bakoitzeko zenbat gela dago?
EMA.: 13, 37 gela
85) Txakur-txapelketa batean, txakurrak eta beraien jabeak
daude. Guztira hirurogeita hamazortzi buru eta berrehun eta
hamasei hanka daude. Zenbat txakur eta pertsona daude?
EMA.: 48 pertsona, 30 txakur.
86) Bi zenbakiren arteko batura hamalau da. Handienari bat
gehitzen badiogu, txikienaren bikoitza lortzen da. Aurki itzazu
zenbakiak. EMA.: 9, 5.
87) Bi zenbakiren arteko batura 150 da, eta kendura txikienaren
laukoitza da. Aurki itzazu zenbakiok. EMA.: 125, 25
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

35

Ekuazio-sistemak. Buruketak

88) Zenbaki baten hirukoitzari beste baten laukoitza
gehitutakoan, zazpi izango da emaitza; lehenengoaren
bikoitzari bigarrena gehitutakoan, berriz, hiru izango da
emaitza. Bilatu zenbakiok. EMA.: 1, 1.
89) Bi anaia-arreben adinen arteko batura 17 da; bost urte
barru, batena bestearenaren bikoitza izango da. Zenbat
urte dituzte? EMA.: 13, 4 urte.
90) Dendara joan eta alkandora bat eta praka batzuk erosi
ditut. Markatuta dituzten prezioen artean, 100 euro egiten
dute, baina, merkealdia dela eta, alkandoran % 20ko
deskontua egin didate, eta, praketan, % 30ekoa. Guztira,
73,50 euro pagatu dut. Zenbat balio du bakoitzak? EMA.:
35 eta 65 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

36
2
x + y = 24 
91 )
 EMA. : (2, 20); (  4, 8)
y = 2x + 16 

Ekuazio-sistemak
x y 7 
92 ) 2
 EMA. : ( 3, 4 ); ( 4 , 3 )
2
x  y  25 

93) 60 euro ditugu lagun batzuen artean banatzeko. Hiru
lagun gehiago bagina, bakoitzari euro bat gutxiago
egokituko litzaiguke. Zenbat gara? EMA: 12 lagun.

94) Loradenda batean, tulipan sortak egiteko hari batzuk
daude. Tulipanak binaka jarriz gero, 4 tulipan geldituko dira
sobran, eta hirunaka jarriz gero, hari bat sobran. Zenbat
tulipan eta zenbat hari daude? EMA: 7, 18.
95) Bi zenbakiren arteko kendura 3 da, eta zenbakion
berbiduren arteko batura, 117. Bila itzazu zenbakiok. EMA:
(–6, –9); (9, 6).
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

37

Ekuazio-sistemak

96) Bi zenbakiren arteko kendura 6 da, eta
biderkadura, 216. Bila itzazu zenbakiok. EMA: (–12, –
18); (18, 12).
97) Triangelu zuzen baten hipotenusa 10 m luze da,
eta perimetroa, 24 m-koa da. Zenbat luze dira bi
katetoak? EMA.: 6 cm, 8 cm.
98) x4 + 3x² – 4 = 0 EMA.: 1, –1
99) x × (x + 5) × (x – 2) = 0 EMA: 0, –5, 2.
100) x4 – 5x² + 4 = 0 EMA: 2, –2, 1, –1.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira


Slide 31

1

Ekuazioak 3. DBH
Alfredo Ortega Loza
Unitate honetan, hauek ikasi edo gogoratuko ditugu:
•Ekuazioak eta identitateak bereizten
•Lehenengo mailako ekuazioak askatzen
•Buruketak askatzen
•2. mailako ekuazioak askatzen
•Ekuazio-sistemak askatzen
•2. mailako ekuazio-sistemak askatzen

Berdintzak

2

Berdin ikurra duten adierazpeni berdintza
esaten zaie.
Berdintzak zenbakizkoak izan daitezke:
3·(5 – 4) = 2 + 1



45/5 = 18/2



Algebraikoak ere,
izan daitezke:

Berdintzaren ezkerreko aldeari
lehen atala esaten zaio, eta
eskuinekoari, bigarren atala.
Batuketa edo kenketa ikurren
arteko letra eta zenbakimultzoei, berriz, gai deritze.

3x – 5 = x/4 +1



5a + 2b = 10a/2 + (9/2)b – (5/2)b



Kopiatu koadernoan

Identitateak

3

Berdintza algebraikoak –letrak dituztenak–
identitateak edo ekuazioak izan daitezke:
Identitateak:

3x + (5 – 1)·2 = 2x + x + 8
5a – a = 2 (7a – 5a)

Gogoratu: zenbakien
eta letren artean ezer
ez dagoenean,
BIDER (·) ikurra
irakurri behar da beti.

Ezezagunak (letra) edozein balio izanda ere,
bete egingo da berdintza. Askatzen saiatuz
gero, 0 = 0 lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazioak

4

Ekuazioak:
3x = 2x + 1. EMA.: x = 1
5a – 3 = 2 (7a – 5a). EMA.: a = 3

Ezezagunaren balio batzuetarako baino ez
da betetzen berdintza.
Balio horiek topatzeari ekuazioa askatzea
(edo ebaztea) esaten zaio.

Kopiatu koadernoan

5

Ekuazio baliokideak
Ekuazioen propietateak:

Ekuazio baten bi aldeetan batuketa edo
kenketa bera egiten badugu, hasierakoaren
ekuazio baliokide bat (emaitza berbera
duena) lortuko dugu.
Ekuazio baten bi aldeak zero ez den
adierazpen batekin biderkatzen edo
zatitzen baditugu, hasierakoaren ekuazio
baliokide bat lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (1)

6

Ekuazioetarako erregelak:

x+7=3

–x = 3 – 2x

x+7–7=3–7

–x + 2x = 3 – 2x + 2x

x=3–7

–x + 2x = 3

x = –4

x=3

Ekuazioaren alde batean
batzen dagoena kentzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazioaren alde batean
kentzen dagoena batzen
pasatzen da beste aldera.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (2)

7

3x



3
x

Kopiatu koadernoan

Ekuazioetarako erregelak:
x
3x – 7 = 2
2 1
4
3x – 7 + 7 = 2 + 7
x
 2  2  1 2
4
3x = 9
9
3
9
3

x=3

Ekuazioaren alde batean
biderkatzen dagoena zatitzen
pasatzen da beste aldera.

x

 1

4
4

x

 4  (  1)

4
x  4  (  1)

x = –4
Ekuazioaren alde batean
zatitzen dagoena biderkatzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazio-ebazpenak

8
Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio eta identitate
hauek :

 Letrak dituzten
gai guztiak
berdintzaren alde
batera eraman
behar ditugu, eta
zenbakiak,
bestera.

1) x – 3 + 5x = 4x – 7. EMA.: –2

 Parentesiak
badaude, beste
ezer baino lehen
kendu behar
ditugu.

2) 7x – 5 + 2x + 6 = –3x + 8 – x.
EMA.: 7/13
3) 2x – (6x + 1) = 3x – 5(2 – x). EMA.: 3/4
4) 7(x + 3) = 7 + 8x – 1 . EMA.: 15
5) 3x +7 – 2(x – 3) = 3(x + 4) – 2x + 1.
EMA.: Edozein; identitatea da

6) 4 – (3 – x) + 6 = 2x + 2(2x – 3).
EMA.: 13/5
7) 5 – x(3 + 1) = 2x – 6(3 – 2x).
EMA.: 23/18

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

9

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio hauek :
8)

 Izendatzaileak
badaude,
izendatzaileen
MKTa lortu behar
dugu, eta,
ondoren,
berdintzaren
alde biak MKT
horrekin
biderkatuko
ditugu.

9)

1

x + 2=

2

x - 5 . E M A : 42

3

4

x

- 3  (x - 1) = 2 x -

7 - x

2

10)

1

(x - 2) -

8

11)

. E M A : 32/29.

3
2

(2 x + 6) + x = - 4 .E M A : -6/5

3

x - 1

-

x + 1

2
12) - 4  (3 - x)

=x -

3

5

.E M A : 1

3
+ 4x =

3

 (2 x - 1) - (x + 1) E M A : 4/3.

5

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

10

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
13)

x

-

x - 3

6

14)

=1 -

2x - 5

4

6x - 1

-

5x - 6

5

=

2x + 1

7
x - 2

15) 1 -

5

- 2

- 5x =

3x - 5

7x

(x - 1)

x - 8

2
18) 2 -

3  (2 + x)

=x +

3
-

3
x - 1
5

E M A : 25/41.

2

4

17)

E M A : 34/19.

3

3

16)

E M A : 23/7.

3

E M A : -13/38.

2
-

4  (4 x + 2)

=

5
- (2 x - 1) =

5x - 3

E M A : 2.

7
x - 5
E M A : 19/9

2

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

11

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
19) x -

x

-

x - 1

2

=

6

20) - 4 x - 3 -

x

- 2  (x - 1) E M A :11/13.

6

6x + 4

= 3 - 4  (x - 1) E M A : -37/3.

7
21) 3 -

x + 1

- (4 x - 1) = x - (3 - 4 x) E M A : 13/19.

2
x 22)

1
2 -

3
2

23)

x -

x + 2

-

2

x

- 3
3 = 2 - x - 2
E M A : 2.
4
6
12
1

3x - 1

+

4
(x + 2) (3 x - 1)

= 0 . E M A : 0.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

12

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

Buruketen emaitzak lortzeko, pauso hauek dira
garrantzitsuenak:

Proposatzen den buruketa ondo ulertu. Behar diren
irakurketa guztiak egin, zer eskatzen duten ondo ulertzeko
eta azaltzen diren baldintzak ondo kontrolatzeko

Azpimarratu datu garrantzitsuenak
Ixa esleitu. Ixaren aldamenean beti idatzi zer den
Dituzun datu guztien artean, erlazioren bat topatu.
Buruketak berak ematen du askotan

Sortu duzun ekuazioa askatu
Bukatzeko, egiaztatu emaitza dituzun datu guztiekin
Kopiatu koadernoan

13

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

24) Bi zenbakiren arteko batura 76, da eta bata bestea
baino lau unitate handiagoa da. Bilatu zenbakiok. EMA.:
36, 40.
25) Ondoz ondoko hiru zenbakiren arteko batura
laurogeita hamahiru da. Zein dira zenbaki horiek. EMA.:
30, 31, 32.
26) Zenbaki baten herenaren eta hirukoitzaren arteko
batura berrogei da. Aurkitu zenbakia. EMA.: 12.
27) Bi mila laurehun metro ibili ondoren, distantziaren
herena falta zaigu bukatzeko. Zein da distantzia? EMA.:
3.600 m.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

14

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

28) Pertsona batek duen muxika-kopurua honela banatuta
geratu da: erdiak saldu egin zituen, laurdenak anaiari eman
zizkion eta, oraindik, ehun eta hogei muxika geratu zaizkio.
Zenbat muxika zituen? EMA.: 480 muxika.

29) Zuk hamabi urte badituzu eta zure aitak zure adinaren
zortzi herena, zenbat urte ditu zure aitak? EMA.: 32 urte.
30) Ondoz ondoko bi zenbaki ditugu. Handienaren
herenaren eta txikienaren arteko batura txikienaren
bikoitzaren herena da. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 2, 3.
31) Andonik Kepak baino bost euro gehiago ditu. Baina
Andonik Kepari lau euro emango balizkio, Keparen dirutza
Andonirenaren bikoitza bihurtuko litzateke. Zenbat dauka
bakoitzak? EMA.: 7 eta 2 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

15

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

32) Orain dela lau urte ume baten adinaren hirukoitza
orain duenaren bikoitza zen. Zenbat urte ditu? EMA.: 12
urte.
33) Pertsona baten adina beste lagun batenaren bikoitza
da. Orain dela zazpi urte, bi pertsonen urteen batura
lehenengoaren gaur egungo adina izan zen. Kalkula
itzazu bi pertsonen adinak. EMA.:14 eta 28 urte.
34) Aita batek berrogeita bi urte ditu, eta semeak hamar.
Zenbat urte pasa behar dira aitaren adina semearenaren
hirukoitza izateko? EMA.: 6 urte
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

16

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

35) Gripea zela eta, gela bateko sei ikasle ez ziren eskolara
etorri. Eta, honela, ikasle guztien hiru laurdenak baino bi
gehiago etorri ziren. Zenbat ikasle ziren gelan? EMA.: 32
ikasle.
36) Laukizuzen-itxurako bizkotxo batean, hiru zati egin ditugu.
Lehenengoa bizkotxoaren herena da, bigarrena bostena eta
hirugarrena lau bederatzirena; 4 cm geratu zaigu sobran.
Zenbatekoa da bizkotxoaren luzera? EMA.: 180 cm.

37) Hemendik hamaika urtera, Enekoren adina duela
hamahiru urte zuenaren bikoitza izango da. Zenbat urte ditu?
EMA.: 37 urte.00
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

17

2. mailako ekuazioak ezezagun bakarrekoak badira,
honela adieraziko ditugu:
ax2 + bx + c = 0
a, b eta c zenbaki osoak dira, eta a ezin da zeroren
berdina izan (a  0).
Ekuazio horiek formula honek askatzen ditu beti:

x

b

b  4 ac
2

2a
Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

18

x

Adibide gisa, askatu
honako ekuazio hau:

x

b  4 ac
2

2a

GOGORATU: letra baten
aurrean ezer ikusten ez
duzunean, 1 zenbakia dago

2x2 – x – 1 = 0
a=2
b = –1
c = –1

b

 (  1) 

(  1)  4  2  (  1)
2

22
4



1 1 8
4

Kopiatu koadernoan



1 3
4



1

4
2
4



1
2



2. mailako ekuazioak

19
x

b

b  4 ac
2

2a

Askatu honako ekuazio hauek:
38) x2 – x – 2 = 0 EMA.: 2, –1
39) 3x2 – 7x – 6 = 0 EMA.: 3, –2/3
40) 4x2 – 8x + 3 = 0 EMA.: 3/2, 1/2
41) x2 + 4x + 4 = 0 EMA.: –2

42) x2 + 8x + 3 = 0 EMA.: –0,4; –7,6
43) x2 + 2x + 2 = 0 EMA.: emaitzarik
ez.

Emaitza bakarra
lortzen badugu,
emaitza horri emaitza
bikoitza esango
diogu.
Batzuetan, erroak ez
du emaitzarik, eta,
orduan, esaten dugu
ekuazioak ez duela
emaitza errealik.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

20

Modu horrek 2. mailako ekuazio guztietarako balio
badu ere, badaude beste modu errazago batzuk:
1) b = 0 denean

Adibidea:

ax2 + 0x + c = 0

3x2 – 75 = 0

ax2 + c = 0

3x2 = 75

ax2 = –c
x 
2

x 
2

75
3

c

5

a
x

c

x   25 

–5

a

Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

21

GOGORATU: biderkadura bat zero bada,
biderkagairen bat zero delako da
2) c = 0 denean

Adibidea:

ax2 + bx + 0 = 0

5x2 – 7x = 0

ax2 + bx = 0

x·(5x – 7) = 0

x·(ax + b) = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

5x – 7 = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

ax + b = 0
x = –b/a
Kopiatu koadernoan

x = 7/5

22

2. mailako ekuazioak

Ebatzi honako ekuazio hauek:
44) 3x² + 5x – 2 = 0 EMA.: 1/3; –2
45) 4x² – 36 = 0 EMA: 3, –3.
46) 2x² – 15x + 7 = 0 EMA: 7, 1/2

52) 2x2 – 3 = x2 – 2x EMA.: 1,
–3
53) x – 2 = x2 EMA.:
emaitzarik ez.

47) 3x² – 75x = 0 EMA: 0, 25.
48) 7x² – 9x + 2 = 0 EMA.: 1, 2/7

54 ) 1 +

= 2x

EMA.: –1/2, 1

x

49) 2x² – 2x – 24 = 0 EMA.: 4, –3

50) x²/3 – 12 = 0 EMA: 6, –6

1

55 ) 1 +

1
x

=x -

1
x

EMA.: –1, 2

51) (x – 2)(x + 1) = 0 EMA: 2, –1
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

23

2. mailako ekuazioak. Buruketak

56) Bi zenbakiren artean, 5eko aldea dago, eta haien
arteko biderkadura 66 da. Zein dira zenbakiok? EMA.: 6,
11; –11, –6.
57) Laukizuzen batek hogei zentimetroko diagonala du.
Zein izango da azalera, altuera baino lau cm luzeago
badu oina? EMA.: 12 cm, 16 cm.
58) Bila ezazu zirkunferentzia baten luzera, haren azalera
28,26 m² bada. EMA.: 18,84 m.
59) Triangelu zuzen batean, hipotenusaren luzera 10 cm
da. Bila itzazu katetoen luzerak, bata bestea baino 2 cm
luzeagoa bada. EMA.: 6 cm, 8 cm.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

24

2. mailako ekuazioak. Buruketak

60) Demagun 7 cm-ko alanbre bat daukagula. Nondik
tolestuko dugu muturretako bat bestetik 5 cm-ra egon dadin
angelu zuzen bat osatu ondoren? EMA.: 4 cm, 3 cm.
61) Ondoz ondoko bi zenbakiren arteko biderkadura
honako hau da zenbaki horien arteko batura gehi bost
unitate. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 3, 4; –2, –1.
62) Triangelu zuzen baten azalera 90 cm2 da. Bilatu
katetoak, haien arteko aldea 3 cm-koa bada. EMA.: 12 cm
eta 15 cm.
63) Banatu 9 zenbakia bi zatitan, bakoitzaren berbiduren
arteko batura 41 izan dadin. EMA.: 4, 5.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

25

Bi ezezaguneko ekuazio-sistemak:
Bi ekuazio aldi berean betetzen badira, ekuazio-sistema
bat dugu. Bi ekuazioak zenbaki berberetarako bete
behar dira.
Adibidez:

2x  y  4 

x  2 y   3

Sistema honen emaitza x = 1 eta y = 2 da, edo beste
modu batez adierazita, (1, 2) da.
Begiratu ea egia den.
Kopiatu koadernoan

26

Ekuazio-sistemak

Lau era ditugu ekuazio-sistemak ebazteko, baina
mementoz hiru besterik ez dugu ikasiko:
1. Ordezkatzea
2. Berdintzea
3. Laburtzea

Kopiatu koadernoan

Ekuazio-sistemak

27
1. Ordezkatzea
2x  y  4 

x  2 y   3

y  4  2x



x  8  4 x   3

Ekuazio batean,
ezezagun bat bakandu:
y  4  2x 

x  2 y   3

Beste ekuazioan,
ezezagun hori ordeztu

Beste ekuazioan
ordeztu
y  4  2x 

5 x  3  8

y  4  2x

5x  5 

y  4  2x



x  2  ( 4  2 x )   3

y  4  2x

x 1 

Kopiatu koadernoan

y  4  2  1

x 1 

y  2

x  1

Ekuazio-sistemak

28

Askatu sistema hauek, ordezkatze-metodoa erabiliz:
3 x  8 y  10 
64 )
 EMA. : ( 6 ,  1)
x y 5 

2x  3y  7 
65 )
 EMA. : ( 2 ,  1)
5 x  2 y  12 



1
2
67 )
EMA. : ( 4 , )

x y
x
2
  y
3
4

3x

68 )

 4y  8

3x  1  2 y  2
 EMA. : (  1,  3 )
x  y  4


2 x  12  4 y 

66 ) 2 x
 EMA. : ( 0 ,  3 )
 2 y  6

5


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

29

Ekuazio biak
berdindu

2. Berdintzea
2x  y  4 

x  2 y   3

4  2x 

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

3 x
2

y  4  2x

Ekuazio bietan, ezezagun
bera bakandu:
8  4x  3  x

y  4  2x 

 2 y  3  x 

y  4  2x

3 x 
y
2 


 5 x  5

x 1

Kopiatu koadernoan

y  4  2 1

y2

Ekuazio-sistemak

30

Askatu sistema hauek, berdintze-metodoa erabiliz:
2 x  y  0
69 )
 EMA. : (  1, 2 )
x  y 1

3x  y  4

70 ) x
 EMA. : ( 2 , 2 )
 y3

2


x 5  4y
x
71 )
y 
2


1
 y 1 
72 ) 4
 EMA. : ( 2 ,  )
2
2( x  y )  3

x

73 )

x5 y


 EMA. : (  3, 2 )
5 x  2 y   19 


1

EMA.
:
(
3
,

)

2
2



Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

31
3. Laburtzea
2x  y  4 

x  2 y   3

Ezezagun bera duten bi
gaiak ekuazio bietan
berdinak izatea da
helburua; berdinak
baina aurkako zeinua
dutela. Horretarako,
ekuazioetako bat
zenbaki oso batez
biderkatuko dugu:
2  (2 x  y  4)

x  2 y  3 

4x  2 y  8 

x  2 y   3

Ekuazio bien
arteko batuketa
egin, gaiz gai.
4x  2 y  8



x  2 y  3 

5x  0 y  5
5x  5
x 1

Kopiatu koadernoan

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

2 1  y  4

y  42

y2

Ekuazio-sistemak

32

Askatu sistema hauek, laburtze-metodoa erabiliz:
x  y  9
74 )
 EMA. : ( 5 , 4 )
x  y 1

75 )

3x  y  3
1
EMA.
:
(
, 2)

6 x  y  0
3

76 )

2 x  3 y  4
 EMA. : (1,  2 )
x  2y  5 


 y  0
77 ) 2
 EMA. : ( 4 ,  2 )
y
 x  3
2

x

5 
1 1

78 )
EMA.
:
(
, )
6 
2
3
3 y  3  4 x  2 
x 1  y 

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

33

Askatu sistema hauek, zure ustez errazena den metodoaz:
6 x  5 y  4
79 )
 EMA. : (1,  2 )
x  y  1

82 )

3x  y  1


 EMA. : Ez du
x  2 y  2  2x  y

emaitzarik

3x  5  2 y


80 ) x
 EMA. : (3 , 2 )
 y  2x  3

3


x
83 )
x

(Sistema

y 1
2
y2
3

bateraezin a)


1

 EMA. : (  8 ,  19 )
 1


3x  y  2
1

y  EMA. : ( ,  1)
81 ) x

3
3
9 


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

34

Ekuazio-sistemak. Buruketak

84) Ostatu batean, ohe bateko eta biko gelak daude. Orotara 50
gela eta 87 ohe daude. Mota bakoitzeko zenbat gela dago?
EMA.: 13, 37 gela
85) Txakur-txapelketa batean, txakurrak eta beraien jabeak
daude. Guztira hirurogeita hamazortzi buru eta berrehun eta
hamasei hanka daude. Zenbat txakur eta pertsona daude?
EMA.: 48 pertsona, 30 txakur.
86) Bi zenbakiren arteko batura hamalau da. Handienari bat
gehitzen badiogu, txikienaren bikoitza lortzen da. Aurki itzazu
zenbakiak. EMA.: 9, 5.
87) Bi zenbakiren arteko batura 150 da, eta kendura txikienaren
laukoitza da. Aurki itzazu zenbakiok. EMA.: 125, 25
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

35

Ekuazio-sistemak. Buruketak

88) Zenbaki baten hirukoitzari beste baten laukoitza
gehitutakoan, zazpi izango da emaitza; lehenengoaren
bikoitzari bigarrena gehitutakoan, berriz, hiru izango da
emaitza. Bilatu zenbakiok. EMA.: 1, 1.
89) Bi anaia-arreben adinen arteko batura 17 da; bost urte
barru, batena bestearenaren bikoitza izango da. Zenbat
urte dituzte? EMA.: 13, 4 urte.
90) Dendara joan eta alkandora bat eta praka batzuk erosi
ditut. Markatuta dituzten prezioen artean, 100 euro egiten
dute, baina, merkealdia dela eta, alkandoran % 20ko
deskontua egin didate, eta, praketan, % 30ekoa. Guztira,
73,50 euro pagatu dut. Zenbat balio du bakoitzak? EMA.:
35 eta 65 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

36
2
x + y = 24 
91 )
 EMA. : (2, 20); (  4, 8)
y = 2x + 16 

Ekuazio-sistemak
x y 7 
92 ) 2
 EMA. : ( 3, 4 ); ( 4 , 3 )
2
x  y  25 

93) 60 euro ditugu lagun batzuen artean banatzeko. Hiru
lagun gehiago bagina, bakoitzari euro bat gutxiago
egokituko litzaiguke. Zenbat gara? EMA: 12 lagun.

94) Loradenda batean, tulipan sortak egiteko hari batzuk
daude. Tulipanak binaka jarriz gero, 4 tulipan geldituko dira
sobran, eta hirunaka jarriz gero, hari bat sobran. Zenbat
tulipan eta zenbat hari daude? EMA: 7, 18.
95) Bi zenbakiren arteko kendura 3 da, eta zenbakion
berbiduren arteko batura, 117. Bila itzazu zenbakiok. EMA:
(–6, –9); (9, 6).
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

37

Ekuazio-sistemak

96) Bi zenbakiren arteko kendura 6 da, eta
biderkadura, 216. Bila itzazu zenbakiok. EMA: (–12, –
18); (18, 12).
97) Triangelu zuzen baten hipotenusa 10 m luze da,
eta perimetroa, 24 m-koa da. Zenbat luze dira bi
katetoak? EMA.: 6 cm, 8 cm.
98) x4 + 3x² – 4 = 0 EMA.: 1, –1
99) x × (x + 5) × (x – 2) = 0 EMA: 0, –5, 2.
100) x4 – 5x² + 4 = 0 EMA: 2, –2, 1, –1.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira


Slide 32

1

Ekuazioak 3. DBH
Alfredo Ortega Loza
Unitate honetan, hauek ikasi edo gogoratuko ditugu:
•Ekuazioak eta identitateak bereizten
•Lehenengo mailako ekuazioak askatzen
•Buruketak askatzen
•2. mailako ekuazioak askatzen
•Ekuazio-sistemak askatzen
•2. mailako ekuazio-sistemak askatzen

Berdintzak

2

Berdin ikurra duten adierazpeni berdintza
esaten zaie.
Berdintzak zenbakizkoak izan daitezke:
3·(5 – 4) = 2 + 1



45/5 = 18/2



Algebraikoak ere,
izan daitezke:

Berdintzaren ezkerreko aldeari
lehen atala esaten zaio, eta
eskuinekoari, bigarren atala.
Batuketa edo kenketa ikurren
arteko letra eta zenbakimultzoei, berriz, gai deritze.

3x – 5 = x/4 +1



5a + 2b = 10a/2 + (9/2)b – (5/2)b



Kopiatu koadernoan

Identitateak

3

Berdintza algebraikoak –letrak dituztenak–
identitateak edo ekuazioak izan daitezke:
Identitateak:

3x + (5 – 1)·2 = 2x + x + 8
5a – a = 2 (7a – 5a)

Gogoratu: zenbakien
eta letren artean ezer
ez dagoenean,
BIDER (·) ikurra
irakurri behar da beti.

Ezezagunak (letra) edozein balio izanda ere,
bete egingo da berdintza. Askatzen saiatuz
gero, 0 = 0 lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazioak

4

Ekuazioak:
3x = 2x + 1. EMA.: x = 1
5a – 3 = 2 (7a – 5a). EMA.: a = 3

Ezezagunaren balio batzuetarako baino ez
da betetzen berdintza.
Balio horiek topatzeari ekuazioa askatzea
(edo ebaztea) esaten zaio.

Kopiatu koadernoan

5

Ekuazio baliokideak
Ekuazioen propietateak:

Ekuazio baten bi aldeetan batuketa edo
kenketa bera egiten badugu, hasierakoaren
ekuazio baliokide bat (emaitza berbera
duena) lortuko dugu.
Ekuazio baten bi aldeak zero ez den
adierazpen batekin biderkatzen edo
zatitzen baditugu, hasierakoaren ekuazio
baliokide bat lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (1)

6

Ekuazioetarako erregelak:

x+7=3

–x = 3 – 2x

x+7–7=3–7

–x + 2x = 3 – 2x + 2x

x=3–7

–x + 2x = 3

x = –4

x=3

Ekuazioaren alde batean
batzen dagoena kentzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazioaren alde batean
kentzen dagoena batzen
pasatzen da beste aldera.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (2)

7

3x



3
x

Kopiatu koadernoan

Ekuazioetarako erregelak:
x
3x – 7 = 2
2 1
4
3x – 7 + 7 = 2 + 7
x
 2  2  1 2
4
3x = 9
9
3
9
3

x=3

Ekuazioaren alde batean
biderkatzen dagoena zatitzen
pasatzen da beste aldera.

x

 1

4
4

x

 4  (  1)

4
x  4  (  1)

x = –4
Ekuazioaren alde batean
zatitzen dagoena biderkatzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazio-ebazpenak

8
Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio eta identitate
hauek :

 Letrak dituzten
gai guztiak
berdintzaren alde
batera eraman
behar ditugu, eta
zenbakiak,
bestera.

1) x – 3 + 5x = 4x – 7. EMA.: –2

 Parentesiak
badaude, beste
ezer baino lehen
kendu behar
ditugu.

2) 7x – 5 + 2x + 6 = –3x + 8 – x.
EMA.: 7/13
3) 2x – (6x + 1) = 3x – 5(2 – x). EMA.: 3/4
4) 7(x + 3) = 7 + 8x – 1 . EMA.: 15
5) 3x +7 – 2(x – 3) = 3(x + 4) – 2x + 1.
EMA.: Edozein; identitatea da

6) 4 – (3 – x) + 6 = 2x + 2(2x – 3).
EMA.: 13/5
7) 5 – x(3 + 1) = 2x – 6(3 – 2x).
EMA.: 23/18

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

9

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio hauek :
8)

 Izendatzaileak
badaude,
izendatzaileen
MKTa lortu behar
dugu, eta,
ondoren,
berdintzaren
alde biak MKT
horrekin
biderkatuko
ditugu.

9)

1

x + 2=

2

x - 5 . E M A : 42

3

4

x

- 3  (x - 1) = 2 x -

7 - x

2

10)

1

(x - 2) -

8

11)

. E M A : 32/29.

3
2

(2 x + 6) + x = - 4 .E M A : -6/5

3

x - 1

-

x + 1

2
12) - 4  (3 - x)

=x -

3

5

.E M A : 1

3
+ 4x =

3

 (2 x - 1) - (x + 1) E M A : 4/3.

5

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

10

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
13)

x

-

x - 3

6

14)

=1 -

2x - 5

4

6x - 1

-

5x - 6

5

=

2x + 1

7
x - 2

15) 1 -

5

- 2

- 5x =

3x - 5

7x

(x - 1)

x - 8

2
18) 2 -

3  (2 + x)

=x +

3
-

3
x - 1
5

E M A : 25/41.

2

4

17)

E M A : 34/19.

3

3

16)

E M A : 23/7.

3

E M A : -13/38.

2
-

4  (4 x + 2)

=

5
- (2 x - 1) =

5x - 3

E M A : 2.

7
x - 5
E M A : 19/9

2

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

11

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
19) x -

x

-

x - 1

2

=

6

20) - 4 x - 3 -

x

- 2  (x - 1) E M A :11/13.

6

6x + 4

= 3 - 4  (x - 1) E M A : -37/3.

7
21) 3 -

x + 1

- (4 x - 1) = x - (3 - 4 x) E M A : 13/19.

2
x 22)

1
2 -

3
2

23)

x -

x + 2

-

2

x

- 3
3 = 2 - x - 2
E M A : 2.
4
6
12
1

3x - 1

+

4
(x + 2) (3 x - 1)

= 0 . E M A : 0.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

12

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

Buruketen emaitzak lortzeko, pauso hauek dira
garrantzitsuenak:

Proposatzen den buruketa ondo ulertu. Behar diren
irakurketa guztiak egin, zer eskatzen duten ondo ulertzeko
eta azaltzen diren baldintzak ondo kontrolatzeko

Azpimarratu datu garrantzitsuenak
Ixa esleitu. Ixaren aldamenean beti idatzi zer den
Dituzun datu guztien artean, erlazioren bat topatu.
Buruketak berak ematen du askotan

Sortu duzun ekuazioa askatu
Bukatzeko, egiaztatu emaitza dituzun datu guztiekin
Kopiatu koadernoan

13

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

24) Bi zenbakiren arteko batura 76, da eta bata bestea
baino lau unitate handiagoa da. Bilatu zenbakiok. EMA.:
36, 40.
25) Ondoz ondoko hiru zenbakiren arteko batura
laurogeita hamahiru da. Zein dira zenbaki horiek. EMA.:
30, 31, 32.
26) Zenbaki baten herenaren eta hirukoitzaren arteko
batura berrogei da. Aurkitu zenbakia. EMA.: 12.
27) Bi mila laurehun metro ibili ondoren, distantziaren
herena falta zaigu bukatzeko. Zein da distantzia? EMA.:
3.600 m.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

14

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

28) Pertsona batek duen muxika-kopurua honela banatuta
geratu da: erdiak saldu egin zituen, laurdenak anaiari eman
zizkion eta, oraindik, ehun eta hogei muxika geratu zaizkio.
Zenbat muxika zituen? EMA.: 480 muxika.

29) Zuk hamabi urte badituzu eta zure aitak zure adinaren
zortzi herena, zenbat urte ditu zure aitak? EMA.: 32 urte.
30) Ondoz ondoko bi zenbaki ditugu. Handienaren
herenaren eta txikienaren arteko batura txikienaren
bikoitzaren herena da. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 2, 3.
31) Andonik Kepak baino bost euro gehiago ditu. Baina
Andonik Kepari lau euro emango balizkio, Keparen dirutza
Andonirenaren bikoitza bihurtuko litzateke. Zenbat dauka
bakoitzak? EMA.: 7 eta 2 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

15

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

32) Orain dela lau urte ume baten adinaren hirukoitza
orain duenaren bikoitza zen. Zenbat urte ditu? EMA.: 12
urte.
33) Pertsona baten adina beste lagun batenaren bikoitza
da. Orain dela zazpi urte, bi pertsonen urteen batura
lehenengoaren gaur egungo adina izan zen. Kalkula
itzazu bi pertsonen adinak. EMA.:14 eta 28 urte.
34) Aita batek berrogeita bi urte ditu, eta semeak hamar.
Zenbat urte pasa behar dira aitaren adina semearenaren
hirukoitza izateko? EMA.: 6 urte
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

16

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

35) Gripea zela eta, gela bateko sei ikasle ez ziren eskolara
etorri. Eta, honela, ikasle guztien hiru laurdenak baino bi
gehiago etorri ziren. Zenbat ikasle ziren gelan? EMA.: 32
ikasle.
36) Laukizuzen-itxurako bizkotxo batean, hiru zati egin ditugu.
Lehenengoa bizkotxoaren herena da, bigarrena bostena eta
hirugarrena lau bederatzirena; 4 cm geratu zaigu sobran.
Zenbatekoa da bizkotxoaren luzera? EMA.: 180 cm.

37) Hemendik hamaika urtera, Enekoren adina duela
hamahiru urte zuenaren bikoitza izango da. Zenbat urte ditu?
EMA.: 37 urte.00
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

17

2. mailako ekuazioak ezezagun bakarrekoak badira,
honela adieraziko ditugu:
ax2 + bx + c = 0
a, b eta c zenbaki osoak dira, eta a ezin da zeroren
berdina izan (a  0).
Ekuazio horiek formula honek askatzen ditu beti:

x

b

b  4 ac
2

2a
Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

18

x

Adibide gisa, askatu
honako ekuazio hau:

x

b  4 ac
2

2a

GOGORATU: letra baten
aurrean ezer ikusten ez
duzunean, 1 zenbakia dago

2x2 – x – 1 = 0
a=2
b = –1
c = –1

b

 (  1) 

(  1)  4  2  (  1)
2

22
4



1 1 8
4

Kopiatu koadernoan



1 3
4



1

4
2
4



1
2



2. mailako ekuazioak

19
x

b

b  4 ac
2

2a

Askatu honako ekuazio hauek:
38) x2 – x – 2 = 0 EMA.: 2, –1
39) 3x2 – 7x – 6 = 0 EMA.: 3, –2/3
40) 4x2 – 8x + 3 = 0 EMA.: 3/2, 1/2
41) x2 + 4x + 4 = 0 EMA.: –2

42) x2 + 8x + 3 = 0 EMA.: –0,4; –7,6
43) x2 + 2x + 2 = 0 EMA.: emaitzarik
ez.

Emaitza bakarra
lortzen badugu,
emaitza horri emaitza
bikoitza esango
diogu.
Batzuetan, erroak ez
du emaitzarik, eta,
orduan, esaten dugu
ekuazioak ez duela
emaitza errealik.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

20

Modu horrek 2. mailako ekuazio guztietarako balio
badu ere, badaude beste modu errazago batzuk:
1) b = 0 denean

Adibidea:

ax2 + 0x + c = 0

3x2 – 75 = 0

ax2 + c = 0

3x2 = 75

ax2 = –c
x 
2

x 
2

75
3

c

5

a
x

c

x   25 

–5

a

Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

21

GOGORATU: biderkadura bat zero bada,
biderkagairen bat zero delako da
2) c = 0 denean

Adibidea:

ax2 + bx + 0 = 0

5x2 – 7x = 0

ax2 + bx = 0

x·(5x – 7) = 0

x·(ax + b) = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

5x – 7 = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

ax + b = 0
x = –b/a
Kopiatu koadernoan

x = 7/5

22

2. mailako ekuazioak

Ebatzi honako ekuazio hauek:
44) 3x² + 5x – 2 = 0 EMA.: 1/3; –2
45) 4x² – 36 = 0 EMA: 3, –3.
46) 2x² – 15x + 7 = 0 EMA: 7, 1/2

52) 2x2 – 3 = x2 – 2x EMA.: 1,
–3
53) x – 2 = x2 EMA.:
emaitzarik ez.

47) 3x² – 75x = 0 EMA: 0, 25.
48) 7x² – 9x + 2 = 0 EMA.: 1, 2/7

54 ) 1 +

= 2x

EMA.: –1/2, 1

x

49) 2x² – 2x – 24 = 0 EMA.: 4, –3

50) x²/3 – 12 = 0 EMA: 6, –6

1

55 ) 1 +

1
x

=x -

1
x

EMA.: –1, 2

51) (x – 2)(x + 1) = 0 EMA: 2, –1
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

23

2. mailako ekuazioak. Buruketak

56) Bi zenbakiren artean, 5eko aldea dago, eta haien
arteko biderkadura 66 da. Zein dira zenbakiok? EMA.: 6,
11; –11, –6.
57) Laukizuzen batek hogei zentimetroko diagonala du.
Zein izango da azalera, altuera baino lau cm luzeago
badu oina? EMA.: 12 cm, 16 cm.
58) Bila ezazu zirkunferentzia baten luzera, haren azalera
28,26 m² bada. EMA.: 18,84 m.
59) Triangelu zuzen batean, hipotenusaren luzera 10 cm
da. Bila itzazu katetoen luzerak, bata bestea baino 2 cm
luzeagoa bada. EMA.: 6 cm, 8 cm.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

24

2. mailako ekuazioak. Buruketak

60) Demagun 7 cm-ko alanbre bat daukagula. Nondik
tolestuko dugu muturretako bat bestetik 5 cm-ra egon dadin
angelu zuzen bat osatu ondoren? EMA.: 4 cm, 3 cm.
61) Ondoz ondoko bi zenbakiren arteko biderkadura
honako hau da zenbaki horien arteko batura gehi bost
unitate. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 3, 4; –2, –1.
62) Triangelu zuzen baten azalera 90 cm2 da. Bilatu
katetoak, haien arteko aldea 3 cm-koa bada. EMA.: 12 cm
eta 15 cm.
63) Banatu 9 zenbakia bi zatitan, bakoitzaren berbiduren
arteko batura 41 izan dadin. EMA.: 4, 5.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

25

Bi ezezaguneko ekuazio-sistemak:
Bi ekuazio aldi berean betetzen badira, ekuazio-sistema
bat dugu. Bi ekuazioak zenbaki berberetarako bete
behar dira.
Adibidez:

2x  y  4 

x  2 y   3

Sistema honen emaitza x = 1 eta y = 2 da, edo beste
modu batez adierazita, (1, 2) da.
Begiratu ea egia den.
Kopiatu koadernoan

26

Ekuazio-sistemak

Lau era ditugu ekuazio-sistemak ebazteko, baina
mementoz hiru besterik ez dugu ikasiko:
1. Ordezkatzea
2. Berdintzea
3. Laburtzea

Kopiatu koadernoan

Ekuazio-sistemak

27
1. Ordezkatzea
2x  y  4 

x  2 y   3

y  4  2x



x  8  4 x   3

Ekuazio batean,
ezezagun bat bakandu:
y  4  2x 

x  2 y   3

Beste ekuazioan,
ezezagun hori ordeztu

Beste ekuazioan
ordeztu
y  4  2x 

5 x  3  8

y  4  2x

5x  5 

y  4  2x



x  2  ( 4  2 x )   3

y  4  2x

x 1 

Kopiatu koadernoan

y  4  2  1

x 1 

y  2

x  1

Ekuazio-sistemak

28

Askatu sistema hauek, ordezkatze-metodoa erabiliz:
3 x  8 y  10 
64 )
 EMA. : ( 6 ,  1)
x y 5 

2x  3y  7 
65 )
 EMA. : ( 2 ,  1)
5 x  2 y  12 



1
2
67 )
EMA. : ( 4 , )

x y
x
2
  y
3
4

3x

68 )

 4y  8

3x  1  2 y  2
 EMA. : (  1,  3 )
x  y  4


2 x  12  4 y 

66 ) 2 x
 EMA. : ( 0 ,  3 )
 2 y  6

5


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

29

Ekuazio biak
berdindu

2. Berdintzea
2x  y  4 

x  2 y   3

4  2x 

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

3 x
2

y  4  2x

Ekuazio bietan, ezezagun
bera bakandu:
8  4x  3  x

y  4  2x 

 2 y  3  x 

y  4  2x

3 x 
y
2 


 5 x  5

x 1

Kopiatu koadernoan

y  4  2 1

y2

Ekuazio-sistemak

30

Askatu sistema hauek, berdintze-metodoa erabiliz:
2 x  y  0
69 )
 EMA. : (  1, 2 )
x  y 1

3x  y  4

70 ) x
 EMA. : ( 2 , 2 )
 y3

2


x 5  4y
x
71 )
y 
2


1
 y 1 
72 ) 4
 EMA. : ( 2 ,  )
2
2( x  y )  3

x

73 )

x5 y


 EMA. : (  3, 2 )
5 x  2 y   19 


1

EMA.
:
(
3
,

)

2
2



Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

31
3. Laburtzea
2x  y  4 

x  2 y   3

Ezezagun bera duten bi
gaiak ekuazio bietan
berdinak izatea da
helburua; berdinak
baina aurkako zeinua
dutela. Horretarako,
ekuazioetako bat
zenbaki oso batez
biderkatuko dugu:
2  (2 x  y  4)

x  2 y  3 

4x  2 y  8 

x  2 y   3

Ekuazio bien
arteko batuketa
egin, gaiz gai.
4x  2 y  8



x  2 y  3 

5x  0 y  5
5x  5
x 1

Kopiatu koadernoan

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

2 1  y  4

y  42

y2

Ekuazio-sistemak

32

Askatu sistema hauek, laburtze-metodoa erabiliz:
x  y  9
74 )
 EMA. : ( 5 , 4 )
x  y 1

75 )

3x  y  3
1
EMA.
:
(
, 2)

6 x  y  0
3

76 )

2 x  3 y  4
 EMA. : (1,  2 )
x  2y  5 


 y  0
77 ) 2
 EMA. : ( 4 ,  2 )
y
 x  3
2

x

5 
1 1

78 )
EMA.
:
(
, )
6 
2
3
3 y  3  4 x  2 
x 1  y 

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

33

Askatu sistema hauek, zure ustez errazena den metodoaz:
6 x  5 y  4
79 )
 EMA. : (1,  2 )
x  y  1

82 )

3x  y  1


 EMA. : Ez du
x  2 y  2  2x  y

emaitzarik

3x  5  2 y


80 ) x
 EMA. : (3 , 2 )
 y  2x  3

3


x
83 )
x

(Sistema

y 1
2
y2
3

bateraezin a)


1

 EMA. : (  8 ,  19 )
 1


3x  y  2
1

y  EMA. : ( ,  1)
81 ) x

3
3
9 


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

34

Ekuazio-sistemak. Buruketak

84) Ostatu batean, ohe bateko eta biko gelak daude. Orotara 50
gela eta 87 ohe daude. Mota bakoitzeko zenbat gela dago?
EMA.: 13, 37 gela
85) Txakur-txapelketa batean, txakurrak eta beraien jabeak
daude. Guztira hirurogeita hamazortzi buru eta berrehun eta
hamasei hanka daude. Zenbat txakur eta pertsona daude?
EMA.: 48 pertsona, 30 txakur.
86) Bi zenbakiren arteko batura hamalau da. Handienari bat
gehitzen badiogu, txikienaren bikoitza lortzen da. Aurki itzazu
zenbakiak. EMA.: 9, 5.
87) Bi zenbakiren arteko batura 150 da, eta kendura txikienaren
laukoitza da. Aurki itzazu zenbakiok. EMA.: 125, 25
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

35

Ekuazio-sistemak. Buruketak

88) Zenbaki baten hirukoitzari beste baten laukoitza
gehitutakoan, zazpi izango da emaitza; lehenengoaren
bikoitzari bigarrena gehitutakoan, berriz, hiru izango da
emaitza. Bilatu zenbakiok. EMA.: 1, 1.
89) Bi anaia-arreben adinen arteko batura 17 da; bost urte
barru, batena bestearenaren bikoitza izango da. Zenbat
urte dituzte? EMA.: 13, 4 urte.
90) Dendara joan eta alkandora bat eta praka batzuk erosi
ditut. Markatuta dituzten prezioen artean, 100 euro egiten
dute, baina, merkealdia dela eta, alkandoran % 20ko
deskontua egin didate, eta, praketan, % 30ekoa. Guztira,
73,50 euro pagatu dut. Zenbat balio du bakoitzak? EMA.:
35 eta 65 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

36
2
x + y = 24 
91 )
 EMA. : (2, 20); (  4, 8)
y = 2x + 16 

Ekuazio-sistemak
x y 7 
92 ) 2
 EMA. : ( 3, 4 ); ( 4 , 3 )
2
x  y  25 

93) 60 euro ditugu lagun batzuen artean banatzeko. Hiru
lagun gehiago bagina, bakoitzari euro bat gutxiago
egokituko litzaiguke. Zenbat gara? EMA: 12 lagun.

94) Loradenda batean, tulipan sortak egiteko hari batzuk
daude. Tulipanak binaka jarriz gero, 4 tulipan geldituko dira
sobran, eta hirunaka jarriz gero, hari bat sobran. Zenbat
tulipan eta zenbat hari daude? EMA: 7, 18.
95) Bi zenbakiren arteko kendura 3 da, eta zenbakion
berbiduren arteko batura, 117. Bila itzazu zenbakiok. EMA:
(–6, –9); (9, 6).
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

37

Ekuazio-sistemak

96) Bi zenbakiren arteko kendura 6 da, eta
biderkadura, 216. Bila itzazu zenbakiok. EMA: (–12, –
18); (18, 12).
97) Triangelu zuzen baten hipotenusa 10 m luze da,
eta perimetroa, 24 m-koa da. Zenbat luze dira bi
katetoak? EMA.: 6 cm, 8 cm.
98) x4 + 3x² – 4 = 0 EMA.: 1, –1
99) x × (x + 5) × (x – 2) = 0 EMA: 0, –5, 2.
100) x4 – 5x² + 4 = 0 EMA: 2, –2, 1, –1.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira


Slide 33

1

Ekuazioak 3. DBH
Alfredo Ortega Loza
Unitate honetan, hauek ikasi edo gogoratuko ditugu:
•Ekuazioak eta identitateak bereizten
•Lehenengo mailako ekuazioak askatzen
•Buruketak askatzen
•2. mailako ekuazioak askatzen
•Ekuazio-sistemak askatzen
•2. mailako ekuazio-sistemak askatzen

Berdintzak

2

Berdin ikurra duten adierazpeni berdintza
esaten zaie.
Berdintzak zenbakizkoak izan daitezke:
3·(5 – 4) = 2 + 1



45/5 = 18/2



Algebraikoak ere,
izan daitezke:

Berdintzaren ezkerreko aldeari
lehen atala esaten zaio, eta
eskuinekoari, bigarren atala.
Batuketa edo kenketa ikurren
arteko letra eta zenbakimultzoei, berriz, gai deritze.

3x – 5 = x/4 +1



5a + 2b = 10a/2 + (9/2)b – (5/2)b



Kopiatu koadernoan

Identitateak

3

Berdintza algebraikoak –letrak dituztenak–
identitateak edo ekuazioak izan daitezke:
Identitateak:

3x + (5 – 1)·2 = 2x + x + 8
5a – a = 2 (7a – 5a)

Gogoratu: zenbakien
eta letren artean ezer
ez dagoenean,
BIDER (·) ikurra
irakurri behar da beti.

Ezezagunak (letra) edozein balio izanda ere,
bete egingo da berdintza. Askatzen saiatuz
gero, 0 = 0 lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazioak

4

Ekuazioak:
3x = 2x + 1. EMA.: x = 1
5a – 3 = 2 (7a – 5a). EMA.: a = 3

Ezezagunaren balio batzuetarako baino ez
da betetzen berdintza.
Balio horiek topatzeari ekuazioa askatzea
(edo ebaztea) esaten zaio.

Kopiatu koadernoan

5

Ekuazio baliokideak
Ekuazioen propietateak:

Ekuazio baten bi aldeetan batuketa edo
kenketa bera egiten badugu, hasierakoaren
ekuazio baliokide bat (emaitza berbera
duena) lortuko dugu.
Ekuazio baten bi aldeak zero ez den
adierazpen batekin biderkatzen edo
zatitzen baditugu, hasierakoaren ekuazio
baliokide bat lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (1)

6

Ekuazioetarako erregelak:

x+7=3

–x = 3 – 2x

x+7–7=3–7

–x + 2x = 3 – 2x + 2x

x=3–7

–x + 2x = 3

x = –4

x=3

Ekuazioaren alde batean
batzen dagoena kentzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazioaren alde batean
kentzen dagoena batzen
pasatzen da beste aldera.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (2)

7

3x



3
x

Kopiatu koadernoan

Ekuazioetarako erregelak:
x
3x – 7 = 2
2 1
4
3x – 7 + 7 = 2 + 7
x
 2  2  1 2
4
3x = 9
9
3
9
3

x=3

Ekuazioaren alde batean
biderkatzen dagoena zatitzen
pasatzen da beste aldera.

x

 1

4
4

x

 4  (  1)

4
x  4  (  1)

x = –4
Ekuazioaren alde batean
zatitzen dagoena biderkatzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazio-ebazpenak

8
Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio eta identitate
hauek :

 Letrak dituzten
gai guztiak
berdintzaren alde
batera eraman
behar ditugu, eta
zenbakiak,
bestera.

1) x – 3 + 5x = 4x – 7. EMA.: –2

 Parentesiak
badaude, beste
ezer baino lehen
kendu behar
ditugu.

2) 7x – 5 + 2x + 6 = –3x + 8 – x.
EMA.: 7/13
3) 2x – (6x + 1) = 3x – 5(2 – x). EMA.: 3/4
4) 7(x + 3) = 7 + 8x – 1 . EMA.: 15
5) 3x +7 – 2(x – 3) = 3(x + 4) – 2x + 1.
EMA.: Edozein; identitatea da

6) 4 – (3 – x) + 6 = 2x + 2(2x – 3).
EMA.: 13/5
7) 5 – x(3 + 1) = 2x – 6(3 – 2x).
EMA.: 23/18

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

9

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio hauek :
8)

 Izendatzaileak
badaude,
izendatzaileen
MKTa lortu behar
dugu, eta,
ondoren,
berdintzaren
alde biak MKT
horrekin
biderkatuko
ditugu.

9)

1

x + 2=

2

x - 5 . E M A : 42

3

4

x

- 3  (x - 1) = 2 x -

7 - x

2

10)

1

(x - 2) -

8

11)

. E M A : 32/29.

3
2

(2 x + 6) + x = - 4 .E M A : -6/5

3

x - 1

-

x + 1

2
12) - 4  (3 - x)

=x -

3

5

.E M A : 1

3
+ 4x =

3

 (2 x - 1) - (x + 1) E M A : 4/3.

5

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

10

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
13)

x

-

x - 3

6

14)

=1 -

2x - 5

4

6x - 1

-

5x - 6

5

=

2x + 1

7
x - 2

15) 1 -

5

- 2

- 5x =

3x - 5

7x

(x - 1)

x - 8

2
18) 2 -

3  (2 + x)

=x +

3
-

3
x - 1
5

E M A : 25/41.

2

4

17)

E M A : 34/19.

3

3

16)

E M A : 23/7.

3

E M A : -13/38.

2
-

4  (4 x + 2)

=

5
- (2 x - 1) =

5x - 3

E M A : 2.

7
x - 5
E M A : 19/9

2

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

11

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
19) x -

x

-

x - 1

2

=

6

20) - 4 x - 3 -

x

- 2  (x - 1) E M A :11/13.

6

6x + 4

= 3 - 4  (x - 1) E M A : -37/3.

7
21) 3 -

x + 1

- (4 x - 1) = x - (3 - 4 x) E M A : 13/19.

2
x 22)

1
2 -

3
2

23)

x -

x + 2

-

2

x

- 3
3 = 2 - x - 2
E M A : 2.
4
6
12
1

3x - 1

+

4
(x + 2) (3 x - 1)

= 0 . E M A : 0.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

12

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

Buruketen emaitzak lortzeko, pauso hauek dira
garrantzitsuenak:

Proposatzen den buruketa ondo ulertu. Behar diren
irakurketa guztiak egin, zer eskatzen duten ondo ulertzeko
eta azaltzen diren baldintzak ondo kontrolatzeko

Azpimarratu datu garrantzitsuenak
Ixa esleitu. Ixaren aldamenean beti idatzi zer den
Dituzun datu guztien artean, erlazioren bat topatu.
Buruketak berak ematen du askotan

Sortu duzun ekuazioa askatu
Bukatzeko, egiaztatu emaitza dituzun datu guztiekin
Kopiatu koadernoan

13

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

24) Bi zenbakiren arteko batura 76, da eta bata bestea
baino lau unitate handiagoa da. Bilatu zenbakiok. EMA.:
36, 40.
25) Ondoz ondoko hiru zenbakiren arteko batura
laurogeita hamahiru da. Zein dira zenbaki horiek. EMA.:
30, 31, 32.
26) Zenbaki baten herenaren eta hirukoitzaren arteko
batura berrogei da. Aurkitu zenbakia. EMA.: 12.
27) Bi mila laurehun metro ibili ondoren, distantziaren
herena falta zaigu bukatzeko. Zein da distantzia? EMA.:
3.600 m.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

14

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

28) Pertsona batek duen muxika-kopurua honela banatuta
geratu da: erdiak saldu egin zituen, laurdenak anaiari eman
zizkion eta, oraindik, ehun eta hogei muxika geratu zaizkio.
Zenbat muxika zituen? EMA.: 480 muxika.

29) Zuk hamabi urte badituzu eta zure aitak zure adinaren
zortzi herena, zenbat urte ditu zure aitak? EMA.: 32 urte.
30) Ondoz ondoko bi zenbaki ditugu. Handienaren
herenaren eta txikienaren arteko batura txikienaren
bikoitzaren herena da. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 2, 3.
31) Andonik Kepak baino bost euro gehiago ditu. Baina
Andonik Kepari lau euro emango balizkio, Keparen dirutza
Andonirenaren bikoitza bihurtuko litzateke. Zenbat dauka
bakoitzak? EMA.: 7 eta 2 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

15

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

32) Orain dela lau urte ume baten adinaren hirukoitza
orain duenaren bikoitza zen. Zenbat urte ditu? EMA.: 12
urte.
33) Pertsona baten adina beste lagun batenaren bikoitza
da. Orain dela zazpi urte, bi pertsonen urteen batura
lehenengoaren gaur egungo adina izan zen. Kalkula
itzazu bi pertsonen adinak. EMA.:14 eta 28 urte.
34) Aita batek berrogeita bi urte ditu, eta semeak hamar.
Zenbat urte pasa behar dira aitaren adina semearenaren
hirukoitza izateko? EMA.: 6 urte
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

16

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

35) Gripea zela eta, gela bateko sei ikasle ez ziren eskolara
etorri. Eta, honela, ikasle guztien hiru laurdenak baino bi
gehiago etorri ziren. Zenbat ikasle ziren gelan? EMA.: 32
ikasle.
36) Laukizuzen-itxurako bizkotxo batean, hiru zati egin ditugu.
Lehenengoa bizkotxoaren herena da, bigarrena bostena eta
hirugarrena lau bederatzirena; 4 cm geratu zaigu sobran.
Zenbatekoa da bizkotxoaren luzera? EMA.: 180 cm.

37) Hemendik hamaika urtera, Enekoren adina duela
hamahiru urte zuenaren bikoitza izango da. Zenbat urte ditu?
EMA.: 37 urte.00
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

17

2. mailako ekuazioak ezezagun bakarrekoak badira,
honela adieraziko ditugu:
ax2 + bx + c = 0
a, b eta c zenbaki osoak dira, eta a ezin da zeroren
berdina izan (a  0).
Ekuazio horiek formula honek askatzen ditu beti:

x

b

b  4 ac
2

2a
Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

18

x

Adibide gisa, askatu
honako ekuazio hau:

x

b  4 ac
2

2a

GOGORATU: letra baten
aurrean ezer ikusten ez
duzunean, 1 zenbakia dago

2x2 – x – 1 = 0
a=2
b = –1
c = –1

b

 (  1) 

(  1)  4  2  (  1)
2

22
4



1 1 8
4

Kopiatu koadernoan



1 3
4



1

4
2
4



1
2



2. mailako ekuazioak

19
x

b

b  4 ac
2

2a

Askatu honako ekuazio hauek:
38) x2 – x – 2 = 0 EMA.: 2, –1
39) 3x2 – 7x – 6 = 0 EMA.: 3, –2/3
40) 4x2 – 8x + 3 = 0 EMA.: 3/2, 1/2
41) x2 + 4x + 4 = 0 EMA.: –2

42) x2 + 8x + 3 = 0 EMA.: –0,4; –7,6
43) x2 + 2x + 2 = 0 EMA.: emaitzarik
ez.

Emaitza bakarra
lortzen badugu,
emaitza horri emaitza
bikoitza esango
diogu.
Batzuetan, erroak ez
du emaitzarik, eta,
orduan, esaten dugu
ekuazioak ez duela
emaitza errealik.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

20

Modu horrek 2. mailako ekuazio guztietarako balio
badu ere, badaude beste modu errazago batzuk:
1) b = 0 denean

Adibidea:

ax2 + 0x + c = 0

3x2 – 75 = 0

ax2 + c = 0

3x2 = 75

ax2 = –c
x 
2

x 
2

75
3

c

5

a
x

c

x   25 

–5

a

Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

21

GOGORATU: biderkadura bat zero bada,
biderkagairen bat zero delako da
2) c = 0 denean

Adibidea:

ax2 + bx + 0 = 0

5x2 – 7x = 0

ax2 + bx = 0

x·(5x – 7) = 0

x·(ax + b) = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

5x – 7 = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

ax + b = 0
x = –b/a
Kopiatu koadernoan

x = 7/5

22

2. mailako ekuazioak

Ebatzi honako ekuazio hauek:
44) 3x² + 5x – 2 = 0 EMA.: 1/3; –2
45) 4x² – 36 = 0 EMA: 3, –3.
46) 2x² – 15x + 7 = 0 EMA: 7, 1/2

52) 2x2 – 3 = x2 – 2x EMA.: 1,
–3
53) x – 2 = x2 EMA.:
emaitzarik ez.

47) 3x² – 75x = 0 EMA: 0, 25.
48) 7x² – 9x + 2 = 0 EMA.: 1, 2/7

54 ) 1 +

= 2x

EMA.: –1/2, 1

x

49) 2x² – 2x – 24 = 0 EMA.: 4, –3

50) x²/3 – 12 = 0 EMA: 6, –6

1

55 ) 1 +

1
x

=x -

1
x

EMA.: –1, 2

51) (x – 2)(x + 1) = 0 EMA: 2, –1
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

23

2. mailako ekuazioak. Buruketak

56) Bi zenbakiren artean, 5eko aldea dago, eta haien
arteko biderkadura 66 da. Zein dira zenbakiok? EMA.: 6,
11; –11, –6.
57) Laukizuzen batek hogei zentimetroko diagonala du.
Zein izango da azalera, altuera baino lau cm luzeago
badu oina? EMA.: 12 cm, 16 cm.
58) Bila ezazu zirkunferentzia baten luzera, haren azalera
28,26 m² bada. EMA.: 18,84 m.
59) Triangelu zuzen batean, hipotenusaren luzera 10 cm
da. Bila itzazu katetoen luzerak, bata bestea baino 2 cm
luzeagoa bada. EMA.: 6 cm, 8 cm.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

24

2. mailako ekuazioak. Buruketak

60) Demagun 7 cm-ko alanbre bat daukagula. Nondik
tolestuko dugu muturretako bat bestetik 5 cm-ra egon dadin
angelu zuzen bat osatu ondoren? EMA.: 4 cm, 3 cm.
61) Ondoz ondoko bi zenbakiren arteko biderkadura
honako hau da zenbaki horien arteko batura gehi bost
unitate. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 3, 4; –2, –1.
62) Triangelu zuzen baten azalera 90 cm2 da. Bilatu
katetoak, haien arteko aldea 3 cm-koa bada. EMA.: 12 cm
eta 15 cm.
63) Banatu 9 zenbakia bi zatitan, bakoitzaren berbiduren
arteko batura 41 izan dadin. EMA.: 4, 5.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

25

Bi ezezaguneko ekuazio-sistemak:
Bi ekuazio aldi berean betetzen badira, ekuazio-sistema
bat dugu. Bi ekuazioak zenbaki berberetarako bete
behar dira.
Adibidez:

2x  y  4 

x  2 y   3

Sistema honen emaitza x = 1 eta y = 2 da, edo beste
modu batez adierazita, (1, 2) da.
Begiratu ea egia den.
Kopiatu koadernoan

26

Ekuazio-sistemak

Lau era ditugu ekuazio-sistemak ebazteko, baina
mementoz hiru besterik ez dugu ikasiko:
1. Ordezkatzea
2. Berdintzea
3. Laburtzea

Kopiatu koadernoan

Ekuazio-sistemak

27
1. Ordezkatzea
2x  y  4 

x  2 y   3

y  4  2x



x  8  4 x   3

Ekuazio batean,
ezezagun bat bakandu:
y  4  2x 

x  2 y   3

Beste ekuazioan,
ezezagun hori ordeztu

Beste ekuazioan
ordeztu
y  4  2x 

5 x  3  8

y  4  2x

5x  5 

y  4  2x



x  2  ( 4  2 x )   3

y  4  2x

x 1 

Kopiatu koadernoan

y  4  2  1

x 1 

y  2

x  1

Ekuazio-sistemak

28

Askatu sistema hauek, ordezkatze-metodoa erabiliz:
3 x  8 y  10 
64 )
 EMA. : ( 6 ,  1)
x y 5 

2x  3y  7 
65 )
 EMA. : ( 2 ,  1)
5 x  2 y  12 



1
2
67 )
EMA. : ( 4 , )

x y
x
2
  y
3
4

3x

68 )

 4y  8

3x  1  2 y  2
 EMA. : (  1,  3 )
x  y  4


2 x  12  4 y 

66 ) 2 x
 EMA. : ( 0 ,  3 )
 2 y  6

5


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

29

Ekuazio biak
berdindu

2. Berdintzea
2x  y  4 

x  2 y   3

4  2x 

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

3 x
2

y  4  2x

Ekuazio bietan, ezezagun
bera bakandu:
8  4x  3  x

y  4  2x 

 2 y  3  x 

y  4  2x

3 x 
y
2 


 5 x  5

x 1

Kopiatu koadernoan

y  4  2 1

y2

Ekuazio-sistemak

30

Askatu sistema hauek, berdintze-metodoa erabiliz:
2 x  y  0
69 )
 EMA. : (  1, 2 )
x  y 1

3x  y  4

70 ) x
 EMA. : ( 2 , 2 )
 y3

2


x 5  4y
x
71 )
y 
2


1
 y 1 
72 ) 4
 EMA. : ( 2 ,  )
2
2( x  y )  3

x

73 )

x5 y


 EMA. : (  3, 2 )
5 x  2 y   19 


1

EMA.
:
(
3
,

)

2
2



Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

31
3. Laburtzea
2x  y  4 

x  2 y   3

Ezezagun bera duten bi
gaiak ekuazio bietan
berdinak izatea da
helburua; berdinak
baina aurkako zeinua
dutela. Horretarako,
ekuazioetako bat
zenbaki oso batez
biderkatuko dugu:
2  (2 x  y  4)

x  2 y  3 

4x  2 y  8 

x  2 y   3

Ekuazio bien
arteko batuketa
egin, gaiz gai.
4x  2 y  8



x  2 y  3 

5x  0 y  5
5x  5
x 1

Kopiatu koadernoan

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

2 1  y  4

y  42

y2

Ekuazio-sistemak

32

Askatu sistema hauek, laburtze-metodoa erabiliz:
x  y  9
74 )
 EMA. : ( 5 , 4 )
x  y 1

75 )

3x  y  3
1
EMA.
:
(
, 2)

6 x  y  0
3

76 )

2 x  3 y  4
 EMA. : (1,  2 )
x  2y  5 


 y  0
77 ) 2
 EMA. : ( 4 ,  2 )
y
 x  3
2

x

5 
1 1

78 )
EMA.
:
(
, )
6 
2
3
3 y  3  4 x  2 
x 1  y 

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

33

Askatu sistema hauek, zure ustez errazena den metodoaz:
6 x  5 y  4
79 )
 EMA. : (1,  2 )
x  y  1

82 )

3x  y  1


 EMA. : Ez du
x  2 y  2  2x  y

emaitzarik

3x  5  2 y


80 ) x
 EMA. : (3 , 2 )
 y  2x  3

3


x
83 )
x

(Sistema

y 1
2
y2
3

bateraezin a)


1

 EMA. : (  8 ,  19 )
 1


3x  y  2
1

y  EMA. : ( ,  1)
81 ) x

3
3
9 


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

34

Ekuazio-sistemak. Buruketak

84) Ostatu batean, ohe bateko eta biko gelak daude. Orotara 50
gela eta 87 ohe daude. Mota bakoitzeko zenbat gela dago?
EMA.: 13, 37 gela
85) Txakur-txapelketa batean, txakurrak eta beraien jabeak
daude. Guztira hirurogeita hamazortzi buru eta berrehun eta
hamasei hanka daude. Zenbat txakur eta pertsona daude?
EMA.: 48 pertsona, 30 txakur.
86) Bi zenbakiren arteko batura hamalau da. Handienari bat
gehitzen badiogu, txikienaren bikoitza lortzen da. Aurki itzazu
zenbakiak. EMA.: 9, 5.
87) Bi zenbakiren arteko batura 150 da, eta kendura txikienaren
laukoitza da. Aurki itzazu zenbakiok. EMA.: 125, 25
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

35

Ekuazio-sistemak. Buruketak

88) Zenbaki baten hirukoitzari beste baten laukoitza
gehitutakoan, zazpi izango da emaitza; lehenengoaren
bikoitzari bigarrena gehitutakoan, berriz, hiru izango da
emaitza. Bilatu zenbakiok. EMA.: 1, 1.
89) Bi anaia-arreben adinen arteko batura 17 da; bost urte
barru, batena bestearenaren bikoitza izango da. Zenbat
urte dituzte? EMA.: 13, 4 urte.
90) Dendara joan eta alkandora bat eta praka batzuk erosi
ditut. Markatuta dituzten prezioen artean, 100 euro egiten
dute, baina, merkealdia dela eta, alkandoran % 20ko
deskontua egin didate, eta, praketan, % 30ekoa. Guztira,
73,50 euro pagatu dut. Zenbat balio du bakoitzak? EMA.:
35 eta 65 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

36
2
x + y = 24 
91 )
 EMA. : (2, 20); (  4, 8)
y = 2x + 16 

Ekuazio-sistemak
x y 7 
92 ) 2
 EMA. : ( 3, 4 ); ( 4 , 3 )
2
x  y  25 

93) 60 euro ditugu lagun batzuen artean banatzeko. Hiru
lagun gehiago bagina, bakoitzari euro bat gutxiago
egokituko litzaiguke. Zenbat gara? EMA: 12 lagun.

94) Loradenda batean, tulipan sortak egiteko hari batzuk
daude. Tulipanak binaka jarriz gero, 4 tulipan geldituko dira
sobran, eta hirunaka jarriz gero, hari bat sobran. Zenbat
tulipan eta zenbat hari daude? EMA: 7, 18.
95) Bi zenbakiren arteko kendura 3 da, eta zenbakion
berbiduren arteko batura, 117. Bila itzazu zenbakiok. EMA:
(–6, –9); (9, 6).
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

37

Ekuazio-sistemak

96) Bi zenbakiren arteko kendura 6 da, eta
biderkadura, 216. Bila itzazu zenbakiok. EMA: (–12, –
18); (18, 12).
97) Triangelu zuzen baten hipotenusa 10 m luze da,
eta perimetroa, 24 m-koa da. Zenbat luze dira bi
katetoak? EMA.: 6 cm, 8 cm.
98) x4 + 3x² – 4 = 0 EMA.: 1, –1
99) x × (x + 5) × (x – 2) = 0 EMA: 0, –5, 2.
100) x4 – 5x² + 4 = 0 EMA: 2, –2, 1, –1.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira


Slide 34

1

Ekuazioak 3. DBH
Alfredo Ortega Loza
Unitate honetan, hauek ikasi edo gogoratuko ditugu:
•Ekuazioak eta identitateak bereizten
•Lehenengo mailako ekuazioak askatzen
•Buruketak askatzen
•2. mailako ekuazioak askatzen
•Ekuazio-sistemak askatzen
•2. mailako ekuazio-sistemak askatzen

Berdintzak

2

Berdin ikurra duten adierazpeni berdintza
esaten zaie.
Berdintzak zenbakizkoak izan daitezke:
3·(5 – 4) = 2 + 1



45/5 = 18/2



Algebraikoak ere,
izan daitezke:

Berdintzaren ezkerreko aldeari
lehen atala esaten zaio, eta
eskuinekoari, bigarren atala.
Batuketa edo kenketa ikurren
arteko letra eta zenbakimultzoei, berriz, gai deritze.

3x – 5 = x/4 +1



5a + 2b = 10a/2 + (9/2)b – (5/2)b



Kopiatu koadernoan

Identitateak

3

Berdintza algebraikoak –letrak dituztenak–
identitateak edo ekuazioak izan daitezke:
Identitateak:

3x + (5 – 1)·2 = 2x + x + 8
5a – a = 2 (7a – 5a)

Gogoratu: zenbakien
eta letren artean ezer
ez dagoenean,
BIDER (·) ikurra
irakurri behar da beti.

Ezezagunak (letra) edozein balio izanda ere,
bete egingo da berdintza. Askatzen saiatuz
gero, 0 = 0 lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazioak

4

Ekuazioak:
3x = 2x + 1. EMA.: x = 1
5a – 3 = 2 (7a – 5a). EMA.: a = 3

Ezezagunaren balio batzuetarako baino ez
da betetzen berdintza.
Balio horiek topatzeari ekuazioa askatzea
(edo ebaztea) esaten zaio.

Kopiatu koadernoan

5

Ekuazio baliokideak
Ekuazioen propietateak:

Ekuazio baten bi aldeetan batuketa edo
kenketa bera egiten badugu, hasierakoaren
ekuazio baliokide bat (emaitza berbera
duena) lortuko dugu.
Ekuazio baten bi aldeak zero ez den
adierazpen batekin biderkatzen edo
zatitzen baditugu, hasierakoaren ekuazio
baliokide bat lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (1)

6

Ekuazioetarako erregelak:

x+7=3

–x = 3 – 2x

x+7–7=3–7

–x + 2x = 3 – 2x + 2x

x=3–7

–x + 2x = 3

x = –4

x=3

Ekuazioaren alde batean
batzen dagoena kentzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazioaren alde batean
kentzen dagoena batzen
pasatzen da beste aldera.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (2)

7

3x



3
x

Kopiatu koadernoan

Ekuazioetarako erregelak:
x
3x – 7 = 2
2 1
4
3x – 7 + 7 = 2 + 7
x
 2  2  1 2
4
3x = 9
9
3
9
3

x=3

Ekuazioaren alde batean
biderkatzen dagoena zatitzen
pasatzen da beste aldera.

x

 1

4
4

x

 4  (  1)

4
x  4  (  1)

x = –4
Ekuazioaren alde batean
zatitzen dagoena biderkatzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazio-ebazpenak

8
Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio eta identitate
hauek :

 Letrak dituzten
gai guztiak
berdintzaren alde
batera eraman
behar ditugu, eta
zenbakiak,
bestera.

1) x – 3 + 5x = 4x – 7. EMA.: –2

 Parentesiak
badaude, beste
ezer baino lehen
kendu behar
ditugu.

2) 7x – 5 + 2x + 6 = –3x + 8 – x.
EMA.: 7/13
3) 2x – (6x + 1) = 3x – 5(2 – x). EMA.: 3/4
4) 7(x + 3) = 7 + 8x – 1 . EMA.: 15
5) 3x +7 – 2(x – 3) = 3(x + 4) – 2x + 1.
EMA.: Edozein; identitatea da

6) 4 – (3 – x) + 6 = 2x + 2(2x – 3).
EMA.: 13/5
7) 5 – x(3 + 1) = 2x – 6(3 – 2x).
EMA.: 23/18

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

9

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio hauek :
8)

 Izendatzaileak
badaude,
izendatzaileen
MKTa lortu behar
dugu, eta,
ondoren,
berdintzaren
alde biak MKT
horrekin
biderkatuko
ditugu.

9)

1

x + 2=

2

x - 5 . E M A : 42

3

4

x

- 3  (x - 1) = 2 x -

7 - x

2

10)

1

(x - 2) -

8

11)

. E M A : 32/29.

3
2

(2 x + 6) + x = - 4 .E M A : -6/5

3

x - 1

-

x + 1

2
12) - 4  (3 - x)

=x -

3

5

.E M A : 1

3
+ 4x =

3

 (2 x - 1) - (x + 1) E M A : 4/3.

5

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

10

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
13)

x

-

x - 3

6

14)

=1 -

2x - 5

4

6x - 1

-

5x - 6

5

=

2x + 1

7
x - 2

15) 1 -

5

- 2

- 5x =

3x - 5

7x

(x - 1)

x - 8

2
18) 2 -

3  (2 + x)

=x +

3
-

3
x - 1
5

E M A : 25/41.

2

4

17)

E M A : 34/19.

3

3

16)

E M A : 23/7.

3

E M A : -13/38.

2
-

4  (4 x + 2)

=

5
- (2 x - 1) =

5x - 3

E M A : 2.

7
x - 5
E M A : 19/9

2

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

11

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
19) x -

x

-

x - 1

2

=

6

20) - 4 x - 3 -

x

- 2  (x - 1) E M A :11/13.

6

6x + 4

= 3 - 4  (x - 1) E M A : -37/3.

7
21) 3 -

x + 1

- (4 x - 1) = x - (3 - 4 x) E M A : 13/19.

2
x 22)

1
2 -

3
2

23)

x -

x + 2

-

2

x

- 3
3 = 2 - x - 2
E M A : 2.
4
6
12
1

3x - 1

+

4
(x + 2) (3 x - 1)

= 0 . E M A : 0.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

12

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

Buruketen emaitzak lortzeko, pauso hauek dira
garrantzitsuenak:

Proposatzen den buruketa ondo ulertu. Behar diren
irakurketa guztiak egin, zer eskatzen duten ondo ulertzeko
eta azaltzen diren baldintzak ondo kontrolatzeko

Azpimarratu datu garrantzitsuenak
Ixa esleitu. Ixaren aldamenean beti idatzi zer den
Dituzun datu guztien artean, erlazioren bat topatu.
Buruketak berak ematen du askotan

Sortu duzun ekuazioa askatu
Bukatzeko, egiaztatu emaitza dituzun datu guztiekin
Kopiatu koadernoan

13

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

24) Bi zenbakiren arteko batura 76, da eta bata bestea
baino lau unitate handiagoa da. Bilatu zenbakiok. EMA.:
36, 40.
25) Ondoz ondoko hiru zenbakiren arteko batura
laurogeita hamahiru da. Zein dira zenbaki horiek. EMA.:
30, 31, 32.
26) Zenbaki baten herenaren eta hirukoitzaren arteko
batura berrogei da. Aurkitu zenbakia. EMA.: 12.
27) Bi mila laurehun metro ibili ondoren, distantziaren
herena falta zaigu bukatzeko. Zein da distantzia? EMA.:
3.600 m.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

14

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

28) Pertsona batek duen muxika-kopurua honela banatuta
geratu da: erdiak saldu egin zituen, laurdenak anaiari eman
zizkion eta, oraindik, ehun eta hogei muxika geratu zaizkio.
Zenbat muxika zituen? EMA.: 480 muxika.

29) Zuk hamabi urte badituzu eta zure aitak zure adinaren
zortzi herena, zenbat urte ditu zure aitak? EMA.: 32 urte.
30) Ondoz ondoko bi zenbaki ditugu. Handienaren
herenaren eta txikienaren arteko batura txikienaren
bikoitzaren herena da. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 2, 3.
31) Andonik Kepak baino bost euro gehiago ditu. Baina
Andonik Kepari lau euro emango balizkio, Keparen dirutza
Andonirenaren bikoitza bihurtuko litzateke. Zenbat dauka
bakoitzak? EMA.: 7 eta 2 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

15

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

32) Orain dela lau urte ume baten adinaren hirukoitza
orain duenaren bikoitza zen. Zenbat urte ditu? EMA.: 12
urte.
33) Pertsona baten adina beste lagun batenaren bikoitza
da. Orain dela zazpi urte, bi pertsonen urteen batura
lehenengoaren gaur egungo adina izan zen. Kalkula
itzazu bi pertsonen adinak. EMA.:14 eta 28 urte.
34) Aita batek berrogeita bi urte ditu, eta semeak hamar.
Zenbat urte pasa behar dira aitaren adina semearenaren
hirukoitza izateko? EMA.: 6 urte
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

16

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

35) Gripea zela eta, gela bateko sei ikasle ez ziren eskolara
etorri. Eta, honela, ikasle guztien hiru laurdenak baino bi
gehiago etorri ziren. Zenbat ikasle ziren gelan? EMA.: 32
ikasle.
36) Laukizuzen-itxurako bizkotxo batean, hiru zati egin ditugu.
Lehenengoa bizkotxoaren herena da, bigarrena bostena eta
hirugarrena lau bederatzirena; 4 cm geratu zaigu sobran.
Zenbatekoa da bizkotxoaren luzera? EMA.: 180 cm.

37) Hemendik hamaika urtera, Enekoren adina duela
hamahiru urte zuenaren bikoitza izango da. Zenbat urte ditu?
EMA.: 37 urte.00
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

17

2. mailako ekuazioak ezezagun bakarrekoak badira,
honela adieraziko ditugu:
ax2 + bx + c = 0
a, b eta c zenbaki osoak dira, eta a ezin da zeroren
berdina izan (a  0).
Ekuazio horiek formula honek askatzen ditu beti:

x

b

b  4 ac
2

2a
Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

18

x

Adibide gisa, askatu
honako ekuazio hau:

x

b  4 ac
2

2a

GOGORATU: letra baten
aurrean ezer ikusten ez
duzunean, 1 zenbakia dago

2x2 – x – 1 = 0
a=2
b = –1
c = –1

b

 (  1) 

(  1)  4  2  (  1)
2

22
4



1 1 8
4

Kopiatu koadernoan



1 3
4



1

4
2
4



1
2



2. mailako ekuazioak

19
x

b

b  4 ac
2

2a

Askatu honako ekuazio hauek:
38) x2 – x – 2 = 0 EMA.: 2, –1
39) 3x2 – 7x – 6 = 0 EMA.: 3, –2/3
40) 4x2 – 8x + 3 = 0 EMA.: 3/2, 1/2
41) x2 + 4x + 4 = 0 EMA.: –2

42) x2 + 8x + 3 = 0 EMA.: –0,4; –7,6
43) x2 + 2x + 2 = 0 EMA.: emaitzarik
ez.

Emaitza bakarra
lortzen badugu,
emaitza horri emaitza
bikoitza esango
diogu.
Batzuetan, erroak ez
du emaitzarik, eta,
orduan, esaten dugu
ekuazioak ez duela
emaitza errealik.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

20

Modu horrek 2. mailako ekuazio guztietarako balio
badu ere, badaude beste modu errazago batzuk:
1) b = 0 denean

Adibidea:

ax2 + 0x + c = 0

3x2 – 75 = 0

ax2 + c = 0

3x2 = 75

ax2 = –c
x 
2

x 
2

75
3

c

5

a
x

c

x   25 

–5

a

Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

21

GOGORATU: biderkadura bat zero bada,
biderkagairen bat zero delako da
2) c = 0 denean

Adibidea:

ax2 + bx + 0 = 0

5x2 – 7x = 0

ax2 + bx = 0

x·(5x – 7) = 0

x·(ax + b) = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

5x – 7 = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

ax + b = 0
x = –b/a
Kopiatu koadernoan

x = 7/5

22

2. mailako ekuazioak

Ebatzi honako ekuazio hauek:
44) 3x² + 5x – 2 = 0 EMA.: 1/3; –2
45) 4x² – 36 = 0 EMA: 3, –3.
46) 2x² – 15x + 7 = 0 EMA: 7, 1/2

52) 2x2 – 3 = x2 – 2x EMA.: 1,
–3
53) x – 2 = x2 EMA.:
emaitzarik ez.

47) 3x² – 75x = 0 EMA: 0, 25.
48) 7x² – 9x + 2 = 0 EMA.: 1, 2/7

54 ) 1 +

= 2x

EMA.: –1/2, 1

x

49) 2x² – 2x – 24 = 0 EMA.: 4, –3

50) x²/3 – 12 = 0 EMA: 6, –6

1

55 ) 1 +

1
x

=x -

1
x

EMA.: –1, 2

51) (x – 2)(x + 1) = 0 EMA: 2, –1
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

23

2. mailako ekuazioak. Buruketak

56) Bi zenbakiren artean, 5eko aldea dago, eta haien
arteko biderkadura 66 da. Zein dira zenbakiok? EMA.: 6,
11; –11, –6.
57) Laukizuzen batek hogei zentimetroko diagonala du.
Zein izango da azalera, altuera baino lau cm luzeago
badu oina? EMA.: 12 cm, 16 cm.
58) Bila ezazu zirkunferentzia baten luzera, haren azalera
28,26 m² bada. EMA.: 18,84 m.
59) Triangelu zuzen batean, hipotenusaren luzera 10 cm
da. Bila itzazu katetoen luzerak, bata bestea baino 2 cm
luzeagoa bada. EMA.: 6 cm, 8 cm.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

24

2. mailako ekuazioak. Buruketak

60) Demagun 7 cm-ko alanbre bat daukagula. Nondik
tolestuko dugu muturretako bat bestetik 5 cm-ra egon dadin
angelu zuzen bat osatu ondoren? EMA.: 4 cm, 3 cm.
61) Ondoz ondoko bi zenbakiren arteko biderkadura
honako hau da zenbaki horien arteko batura gehi bost
unitate. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 3, 4; –2, –1.
62) Triangelu zuzen baten azalera 90 cm2 da. Bilatu
katetoak, haien arteko aldea 3 cm-koa bada. EMA.: 12 cm
eta 15 cm.
63) Banatu 9 zenbakia bi zatitan, bakoitzaren berbiduren
arteko batura 41 izan dadin. EMA.: 4, 5.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

25

Bi ezezaguneko ekuazio-sistemak:
Bi ekuazio aldi berean betetzen badira, ekuazio-sistema
bat dugu. Bi ekuazioak zenbaki berberetarako bete
behar dira.
Adibidez:

2x  y  4 

x  2 y   3

Sistema honen emaitza x = 1 eta y = 2 da, edo beste
modu batez adierazita, (1, 2) da.
Begiratu ea egia den.
Kopiatu koadernoan

26

Ekuazio-sistemak

Lau era ditugu ekuazio-sistemak ebazteko, baina
mementoz hiru besterik ez dugu ikasiko:
1. Ordezkatzea
2. Berdintzea
3. Laburtzea

Kopiatu koadernoan

Ekuazio-sistemak

27
1. Ordezkatzea
2x  y  4 

x  2 y   3

y  4  2x



x  8  4 x   3

Ekuazio batean,
ezezagun bat bakandu:
y  4  2x 

x  2 y   3

Beste ekuazioan,
ezezagun hori ordeztu

Beste ekuazioan
ordeztu
y  4  2x 

5 x  3  8

y  4  2x

5x  5 

y  4  2x



x  2  ( 4  2 x )   3

y  4  2x

x 1 

Kopiatu koadernoan

y  4  2  1

x 1 

y  2

x  1

Ekuazio-sistemak

28

Askatu sistema hauek, ordezkatze-metodoa erabiliz:
3 x  8 y  10 
64 )
 EMA. : ( 6 ,  1)
x y 5 

2x  3y  7 
65 )
 EMA. : ( 2 ,  1)
5 x  2 y  12 



1
2
67 )
EMA. : ( 4 , )

x y
x
2
  y
3
4

3x

68 )

 4y  8

3x  1  2 y  2
 EMA. : (  1,  3 )
x  y  4


2 x  12  4 y 

66 ) 2 x
 EMA. : ( 0 ,  3 )
 2 y  6

5


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

29

Ekuazio biak
berdindu

2. Berdintzea
2x  y  4 

x  2 y   3

4  2x 

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

3 x
2

y  4  2x

Ekuazio bietan, ezezagun
bera bakandu:
8  4x  3  x

y  4  2x 

 2 y  3  x 

y  4  2x

3 x 
y
2 


 5 x  5

x 1

Kopiatu koadernoan

y  4  2 1

y2

Ekuazio-sistemak

30

Askatu sistema hauek, berdintze-metodoa erabiliz:
2 x  y  0
69 )
 EMA. : (  1, 2 )
x  y 1

3x  y  4

70 ) x
 EMA. : ( 2 , 2 )
 y3

2


x 5  4y
x
71 )
y 
2


1
 y 1 
72 ) 4
 EMA. : ( 2 ,  )
2
2( x  y )  3

x

73 )

x5 y


 EMA. : (  3, 2 )
5 x  2 y   19 


1

EMA.
:
(
3
,

)

2
2



Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

31
3. Laburtzea
2x  y  4 

x  2 y   3

Ezezagun bera duten bi
gaiak ekuazio bietan
berdinak izatea da
helburua; berdinak
baina aurkako zeinua
dutela. Horretarako,
ekuazioetako bat
zenbaki oso batez
biderkatuko dugu:
2  (2 x  y  4)

x  2 y  3 

4x  2 y  8 

x  2 y   3

Ekuazio bien
arteko batuketa
egin, gaiz gai.
4x  2 y  8



x  2 y  3 

5x  0 y  5
5x  5
x 1

Kopiatu koadernoan

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

2 1  y  4

y  42

y2

Ekuazio-sistemak

32

Askatu sistema hauek, laburtze-metodoa erabiliz:
x  y  9
74 )
 EMA. : ( 5 , 4 )
x  y 1

75 )

3x  y  3
1
EMA.
:
(
, 2)

6 x  y  0
3

76 )

2 x  3 y  4
 EMA. : (1,  2 )
x  2y  5 


 y  0
77 ) 2
 EMA. : ( 4 ,  2 )
y
 x  3
2

x

5 
1 1

78 )
EMA.
:
(
, )
6 
2
3
3 y  3  4 x  2 
x 1  y 

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

33

Askatu sistema hauek, zure ustez errazena den metodoaz:
6 x  5 y  4
79 )
 EMA. : (1,  2 )
x  y  1

82 )

3x  y  1


 EMA. : Ez du
x  2 y  2  2x  y

emaitzarik

3x  5  2 y


80 ) x
 EMA. : (3 , 2 )
 y  2x  3

3


x
83 )
x

(Sistema

y 1
2
y2
3

bateraezin a)


1

 EMA. : (  8 ,  19 )
 1


3x  y  2
1

y  EMA. : ( ,  1)
81 ) x

3
3
9 


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

34

Ekuazio-sistemak. Buruketak

84) Ostatu batean, ohe bateko eta biko gelak daude. Orotara 50
gela eta 87 ohe daude. Mota bakoitzeko zenbat gela dago?
EMA.: 13, 37 gela
85) Txakur-txapelketa batean, txakurrak eta beraien jabeak
daude. Guztira hirurogeita hamazortzi buru eta berrehun eta
hamasei hanka daude. Zenbat txakur eta pertsona daude?
EMA.: 48 pertsona, 30 txakur.
86) Bi zenbakiren arteko batura hamalau da. Handienari bat
gehitzen badiogu, txikienaren bikoitza lortzen da. Aurki itzazu
zenbakiak. EMA.: 9, 5.
87) Bi zenbakiren arteko batura 150 da, eta kendura txikienaren
laukoitza da. Aurki itzazu zenbakiok. EMA.: 125, 25
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

35

Ekuazio-sistemak. Buruketak

88) Zenbaki baten hirukoitzari beste baten laukoitza
gehitutakoan, zazpi izango da emaitza; lehenengoaren
bikoitzari bigarrena gehitutakoan, berriz, hiru izango da
emaitza. Bilatu zenbakiok. EMA.: 1, 1.
89) Bi anaia-arreben adinen arteko batura 17 da; bost urte
barru, batena bestearenaren bikoitza izango da. Zenbat
urte dituzte? EMA.: 13, 4 urte.
90) Dendara joan eta alkandora bat eta praka batzuk erosi
ditut. Markatuta dituzten prezioen artean, 100 euro egiten
dute, baina, merkealdia dela eta, alkandoran % 20ko
deskontua egin didate, eta, praketan, % 30ekoa. Guztira,
73,50 euro pagatu dut. Zenbat balio du bakoitzak? EMA.:
35 eta 65 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

36
2
x + y = 24 
91 )
 EMA. : (2, 20); (  4, 8)
y = 2x + 16 

Ekuazio-sistemak
x y 7 
92 ) 2
 EMA. : ( 3, 4 ); ( 4 , 3 )
2
x  y  25 

93) 60 euro ditugu lagun batzuen artean banatzeko. Hiru
lagun gehiago bagina, bakoitzari euro bat gutxiago
egokituko litzaiguke. Zenbat gara? EMA: 12 lagun.

94) Loradenda batean, tulipan sortak egiteko hari batzuk
daude. Tulipanak binaka jarriz gero, 4 tulipan geldituko dira
sobran, eta hirunaka jarriz gero, hari bat sobran. Zenbat
tulipan eta zenbat hari daude? EMA: 7, 18.
95) Bi zenbakiren arteko kendura 3 da, eta zenbakion
berbiduren arteko batura, 117. Bila itzazu zenbakiok. EMA:
(–6, –9); (9, 6).
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

37

Ekuazio-sistemak

96) Bi zenbakiren arteko kendura 6 da, eta
biderkadura, 216. Bila itzazu zenbakiok. EMA: (–12, –
18); (18, 12).
97) Triangelu zuzen baten hipotenusa 10 m luze da,
eta perimetroa, 24 m-koa da. Zenbat luze dira bi
katetoak? EMA.: 6 cm, 8 cm.
98) x4 + 3x² – 4 = 0 EMA.: 1, –1
99) x × (x + 5) × (x – 2) = 0 EMA: 0, –5, 2.
100) x4 – 5x² + 4 = 0 EMA: 2, –2, 1, –1.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira


Slide 35

1

Ekuazioak 3. DBH
Alfredo Ortega Loza
Unitate honetan, hauek ikasi edo gogoratuko ditugu:
•Ekuazioak eta identitateak bereizten
•Lehenengo mailako ekuazioak askatzen
•Buruketak askatzen
•2. mailako ekuazioak askatzen
•Ekuazio-sistemak askatzen
•2. mailako ekuazio-sistemak askatzen

Berdintzak

2

Berdin ikurra duten adierazpeni berdintza
esaten zaie.
Berdintzak zenbakizkoak izan daitezke:
3·(5 – 4) = 2 + 1



45/5 = 18/2



Algebraikoak ere,
izan daitezke:

Berdintzaren ezkerreko aldeari
lehen atala esaten zaio, eta
eskuinekoari, bigarren atala.
Batuketa edo kenketa ikurren
arteko letra eta zenbakimultzoei, berriz, gai deritze.

3x – 5 = x/4 +1



5a + 2b = 10a/2 + (9/2)b – (5/2)b



Kopiatu koadernoan

Identitateak

3

Berdintza algebraikoak –letrak dituztenak–
identitateak edo ekuazioak izan daitezke:
Identitateak:

3x + (5 – 1)·2 = 2x + x + 8
5a – a = 2 (7a – 5a)

Gogoratu: zenbakien
eta letren artean ezer
ez dagoenean,
BIDER (·) ikurra
irakurri behar da beti.

Ezezagunak (letra) edozein balio izanda ere,
bete egingo da berdintza. Askatzen saiatuz
gero, 0 = 0 lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazioak

4

Ekuazioak:
3x = 2x + 1. EMA.: x = 1
5a – 3 = 2 (7a – 5a). EMA.: a = 3

Ezezagunaren balio batzuetarako baino ez
da betetzen berdintza.
Balio horiek topatzeari ekuazioa askatzea
(edo ebaztea) esaten zaio.

Kopiatu koadernoan

5

Ekuazio baliokideak
Ekuazioen propietateak:

Ekuazio baten bi aldeetan batuketa edo
kenketa bera egiten badugu, hasierakoaren
ekuazio baliokide bat (emaitza berbera
duena) lortuko dugu.
Ekuazio baten bi aldeak zero ez den
adierazpen batekin biderkatzen edo
zatitzen baditugu, hasierakoaren ekuazio
baliokide bat lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (1)

6

Ekuazioetarako erregelak:

x+7=3

–x = 3 – 2x

x+7–7=3–7

–x + 2x = 3 – 2x + 2x

x=3–7

–x + 2x = 3

x = –4

x=3

Ekuazioaren alde batean
batzen dagoena kentzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazioaren alde batean
kentzen dagoena batzen
pasatzen da beste aldera.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (2)

7

3x



3
x

Kopiatu koadernoan

Ekuazioetarako erregelak:
x
3x – 7 = 2
2 1
4
3x – 7 + 7 = 2 + 7
x
 2  2  1 2
4
3x = 9
9
3
9
3

x=3

Ekuazioaren alde batean
biderkatzen dagoena zatitzen
pasatzen da beste aldera.

x

 1

4
4

x

 4  (  1)

4
x  4  (  1)

x = –4
Ekuazioaren alde batean
zatitzen dagoena biderkatzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazio-ebazpenak

8
Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio eta identitate
hauek :

 Letrak dituzten
gai guztiak
berdintzaren alde
batera eraman
behar ditugu, eta
zenbakiak,
bestera.

1) x – 3 + 5x = 4x – 7. EMA.: –2

 Parentesiak
badaude, beste
ezer baino lehen
kendu behar
ditugu.

2) 7x – 5 + 2x + 6 = –3x + 8 – x.
EMA.: 7/13
3) 2x – (6x + 1) = 3x – 5(2 – x). EMA.: 3/4
4) 7(x + 3) = 7 + 8x – 1 . EMA.: 15
5) 3x +7 – 2(x – 3) = 3(x + 4) – 2x + 1.
EMA.: Edozein; identitatea da

6) 4 – (3 – x) + 6 = 2x + 2(2x – 3).
EMA.: 13/5
7) 5 – x(3 + 1) = 2x – 6(3 – 2x).
EMA.: 23/18

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

9

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio hauek :
8)

 Izendatzaileak
badaude,
izendatzaileen
MKTa lortu behar
dugu, eta,
ondoren,
berdintzaren
alde biak MKT
horrekin
biderkatuko
ditugu.

9)

1

x + 2=

2

x - 5 . E M A : 42

3

4

x

- 3  (x - 1) = 2 x -

7 - x

2

10)

1

(x - 2) -

8

11)

. E M A : 32/29.

3
2

(2 x + 6) + x = - 4 .E M A : -6/5

3

x - 1

-

x + 1

2
12) - 4  (3 - x)

=x -

3

5

.E M A : 1

3
+ 4x =

3

 (2 x - 1) - (x + 1) E M A : 4/3.

5

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

10

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
13)

x

-

x - 3

6

14)

=1 -

2x - 5

4

6x - 1

-

5x - 6

5

=

2x + 1

7
x - 2

15) 1 -

5

- 2

- 5x =

3x - 5

7x

(x - 1)

x - 8

2
18) 2 -

3  (2 + x)

=x +

3
-

3
x - 1
5

E M A : 25/41.

2

4

17)

E M A : 34/19.

3

3

16)

E M A : 23/7.

3

E M A : -13/38.

2
-

4  (4 x + 2)

=

5
- (2 x - 1) =

5x - 3

E M A : 2.

7
x - 5
E M A : 19/9

2

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

11

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
19) x -

x

-

x - 1

2

=

6

20) - 4 x - 3 -

x

- 2  (x - 1) E M A :11/13.

6

6x + 4

= 3 - 4  (x - 1) E M A : -37/3.

7
21) 3 -

x + 1

- (4 x - 1) = x - (3 - 4 x) E M A : 13/19.

2
x 22)

1
2 -

3
2

23)

x -

x + 2

-

2

x

- 3
3 = 2 - x - 2
E M A : 2.
4
6
12
1

3x - 1

+

4
(x + 2) (3 x - 1)

= 0 . E M A : 0.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

12

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

Buruketen emaitzak lortzeko, pauso hauek dira
garrantzitsuenak:

Proposatzen den buruketa ondo ulertu. Behar diren
irakurketa guztiak egin, zer eskatzen duten ondo ulertzeko
eta azaltzen diren baldintzak ondo kontrolatzeko

Azpimarratu datu garrantzitsuenak
Ixa esleitu. Ixaren aldamenean beti idatzi zer den
Dituzun datu guztien artean, erlazioren bat topatu.
Buruketak berak ematen du askotan

Sortu duzun ekuazioa askatu
Bukatzeko, egiaztatu emaitza dituzun datu guztiekin
Kopiatu koadernoan

13

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

24) Bi zenbakiren arteko batura 76, da eta bata bestea
baino lau unitate handiagoa da. Bilatu zenbakiok. EMA.:
36, 40.
25) Ondoz ondoko hiru zenbakiren arteko batura
laurogeita hamahiru da. Zein dira zenbaki horiek. EMA.:
30, 31, 32.
26) Zenbaki baten herenaren eta hirukoitzaren arteko
batura berrogei da. Aurkitu zenbakia. EMA.: 12.
27) Bi mila laurehun metro ibili ondoren, distantziaren
herena falta zaigu bukatzeko. Zein da distantzia? EMA.:
3.600 m.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

14

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

28) Pertsona batek duen muxika-kopurua honela banatuta
geratu da: erdiak saldu egin zituen, laurdenak anaiari eman
zizkion eta, oraindik, ehun eta hogei muxika geratu zaizkio.
Zenbat muxika zituen? EMA.: 480 muxika.

29) Zuk hamabi urte badituzu eta zure aitak zure adinaren
zortzi herena, zenbat urte ditu zure aitak? EMA.: 32 urte.
30) Ondoz ondoko bi zenbaki ditugu. Handienaren
herenaren eta txikienaren arteko batura txikienaren
bikoitzaren herena da. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 2, 3.
31) Andonik Kepak baino bost euro gehiago ditu. Baina
Andonik Kepari lau euro emango balizkio, Keparen dirutza
Andonirenaren bikoitza bihurtuko litzateke. Zenbat dauka
bakoitzak? EMA.: 7 eta 2 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

15

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

32) Orain dela lau urte ume baten adinaren hirukoitza
orain duenaren bikoitza zen. Zenbat urte ditu? EMA.: 12
urte.
33) Pertsona baten adina beste lagun batenaren bikoitza
da. Orain dela zazpi urte, bi pertsonen urteen batura
lehenengoaren gaur egungo adina izan zen. Kalkula
itzazu bi pertsonen adinak. EMA.:14 eta 28 urte.
34) Aita batek berrogeita bi urte ditu, eta semeak hamar.
Zenbat urte pasa behar dira aitaren adina semearenaren
hirukoitza izateko? EMA.: 6 urte
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

16

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

35) Gripea zela eta, gela bateko sei ikasle ez ziren eskolara
etorri. Eta, honela, ikasle guztien hiru laurdenak baino bi
gehiago etorri ziren. Zenbat ikasle ziren gelan? EMA.: 32
ikasle.
36) Laukizuzen-itxurako bizkotxo batean, hiru zati egin ditugu.
Lehenengoa bizkotxoaren herena da, bigarrena bostena eta
hirugarrena lau bederatzirena; 4 cm geratu zaigu sobran.
Zenbatekoa da bizkotxoaren luzera? EMA.: 180 cm.

37) Hemendik hamaika urtera, Enekoren adina duela
hamahiru urte zuenaren bikoitza izango da. Zenbat urte ditu?
EMA.: 37 urte.00
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

17

2. mailako ekuazioak ezezagun bakarrekoak badira,
honela adieraziko ditugu:
ax2 + bx + c = 0
a, b eta c zenbaki osoak dira, eta a ezin da zeroren
berdina izan (a  0).
Ekuazio horiek formula honek askatzen ditu beti:

x

b

b  4 ac
2

2a
Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

18

x

Adibide gisa, askatu
honako ekuazio hau:

x

b  4 ac
2

2a

GOGORATU: letra baten
aurrean ezer ikusten ez
duzunean, 1 zenbakia dago

2x2 – x – 1 = 0
a=2
b = –1
c = –1

b

 (  1) 

(  1)  4  2  (  1)
2

22
4



1 1 8
4

Kopiatu koadernoan



1 3
4



1

4
2
4



1
2



2. mailako ekuazioak

19
x

b

b  4 ac
2

2a

Askatu honako ekuazio hauek:
38) x2 – x – 2 = 0 EMA.: 2, –1
39) 3x2 – 7x – 6 = 0 EMA.: 3, –2/3
40) 4x2 – 8x + 3 = 0 EMA.: 3/2, 1/2
41) x2 + 4x + 4 = 0 EMA.: –2

42) x2 + 8x + 3 = 0 EMA.: –0,4; –7,6
43) x2 + 2x + 2 = 0 EMA.: emaitzarik
ez.

Emaitza bakarra
lortzen badugu,
emaitza horri emaitza
bikoitza esango
diogu.
Batzuetan, erroak ez
du emaitzarik, eta,
orduan, esaten dugu
ekuazioak ez duela
emaitza errealik.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

20

Modu horrek 2. mailako ekuazio guztietarako balio
badu ere, badaude beste modu errazago batzuk:
1) b = 0 denean

Adibidea:

ax2 + 0x + c = 0

3x2 – 75 = 0

ax2 + c = 0

3x2 = 75

ax2 = –c
x 
2

x 
2

75
3

c

5

a
x

c

x   25 

–5

a

Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

21

GOGORATU: biderkadura bat zero bada,
biderkagairen bat zero delako da
2) c = 0 denean

Adibidea:

ax2 + bx + 0 = 0

5x2 – 7x = 0

ax2 + bx = 0

x·(5x – 7) = 0

x·(ax + b) = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

5x – 7 = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

ax + b = 0
x = –b/a
Kopiatu koadernoan

x = 7/5

22

2. mailako ekuazioak

Ebatzi honako ekuazio hauek:
44) 3x² + 5x – 2 = 0 EMA.: 1/3; –2
45) 4x² – 36 = 0 EMA: 3, –3.
46) 2x² – 15x + 7 = 0 EMA: 7, 1/2

52) 2x2 – 3 = x2 – 2x EMA.: 1,
–3
53) x – 2 = x2 EMA.:
emaitzarik ez.

47) 3x² – 75x = 0 EMA: 0, 25.
48) 7x² – 9x + 2 = 0 EMA.: 1, 2/7

54 ) 1 +

= 2x

EMA.: –1/2, 1

x

49) 2x² – 2x – 24 = 0 EMA.: 4, –3

50) x²/3 – 12 = 0 EMA: 6, –6

1

55 ) 1 +

1
x

=x -

1
x

EMA.: –1, 2

51) (x – 2)(x + 1) = 0 EMA: 2, –1
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

23

2. mailako ekuazioak. Buruketak

56) Bi zenbakiren artean, 5eko aldea dago, eta haien
arteko biderkadura 66 da. Zein dira zenbakiok? EMA.: 6,
11; –11, –6.
57) Laukizuzen batek hogei zentimetroko diagonala du.
Zein izango da azalera, altuera baino lau cm luzeago
badu oina? EMA.: 12 cm, 16 cm.
58) Bila ezazu zirkunferentzia baten luzera, haren azalera
28,26 m² bada. EMA.: 18,84 m.
59) Triangelu zuzen batean, hipotenusaren luzera 10 cm
da. Bila itzazu katetoen luzerak, bata bestea baino 2 cm
luzeagoa bada. EMA.: 6 cm, 8 cm.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

24

2. mailako ekuazioak. Buruketak

60) Demagun 7 cm-ko alanbre bat daukagula. Nondik
tolestuko dugu muturretako bat bestetik 5 cm-ra egon dadin
angelu zuzen bat osatu ondoren? EMA.: 4 cm, 3 cm.
61) Ondoz ondoko bi zenbakiren arteko biderkadura
honako hau da zenbaki horien arteko batura gehi bost
unitate. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 3, 4; –2, –1.
62) Triangelu zuzen baten azalera 90 cm2 da. Bilatu
katetoak, haien arteko aldea 3 cm-koa bada. EMA.: 12 cm
eta 15 cm.
63) Banatu 9 zenbakia bi zatitan, bakoitzaren berbiduren
arteko batura 41 izan dadin. EMA.: 4, 5.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

25

Bi ezezaguneko ekuazio-sistemak:
Bi ekuazio aldi berean betetzen badira, ekuazio-sistema
bat dugu. Bi ekuazioak zenbaki berberetarako bete
behar dira.
Adibidez:

2x  y  4 

x  2 y   3

Sistema honen emaitza x = 1 eta y = 2 da, edo beste
modu batez adierazita, (1, 2) da.
Begiratu ea egia den.
Kopiatu koadernoan

26

Ekuazio-sistemak

Lau era ditugu ekuazio-sistemak ebazteko, baina
mementoz hiru besterik ez dugu ikasiko:
1. Ordezkatzea
2. Berdintzea
3. Laburtzea

Kopiatu koadernoan

Ekuazio-sistemak

27
1. Ordezkatzea
2x  y  4 

x  2 y   3

y  4  2x



x  8  4 x   3

Ekuazio batean,
ezezagun bat bakandu:
y  4  2x 

x  2 y   3

Beste ekuazioan,
ezezagun hori ordeztu

Beste ekuazioan
ordeztu
y  4  2x 

5 x  3  8

y  4  2x

5x  5 

y  4  2x



x  2  ( 4  2 x )   3

y  4  2x

x 1 

Kopiatu koadernoan

y  4  2  1

x 1 

y  2

x  1

Ekuazio-sistemak

28

Askatu sistema hauek, ordezkatze-metodoa erabiliz:
3 x  8 y  10 
64 )
 EMA. : ( 6 ,  1)
x y 5 

2x  3y  7 
65 )
 EMA. : ( 2 ,  1)
5 x  2 y  12 



1
2
67 )
EMA. : ( 4 , )

x y
x
2
  y
3
4

3x

68 )

 4y  8

3x  1  2 y  2
 EMA. : (  1,  3 )
x  y  4


2 x  12  4 y 

66 ) 2 x
 EMA. : ( 0 ,  3 )
 2 y  6

5


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

29

Ekuazio biak
berdindu

2. Berdintzea
2x  y  4 

x  2 y   3

4  2x 

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

3 x
2

y  4  2x

Ekuazio bietan, ezezagun
bera bakandu:
8  4x  3  x

y  4  2x 

 2 y  3  x 

y  4  2x

3 x 
y
2 


 5 x  5

x 1

Kopiatu koadernoan

y  4  2 1

y2

Ekuazio-sistemak

30

Askatu sistema hauek, berdintze-metodoa erabiliz:
2 x  y  0
69 )
 EMA. : (  1, 2 )
x  y 1

3x  y  4

70 ) x
 EMA. : ( 2 , 2 )
 y3

2


x 5  4y
x
71 )
y 
2


1
 y 1 
72 ) 4
 EMA. : ( 2 ,  )
2
2( x  y )  3

x

73 )

x5 y


 EMA. : (  3, 2 )
5 x  2 y   19 


1

EMA.
:
(
3
,

)

2
2



Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

31
3. Laburtzea
2x  y  4 

x  2 y   3

Ezezagun bera duten bi
gaiak ekuazio bietan
berdinak izatea da
helburua; berdinak
baina aurkako zeinua
dutela. Horretarako,
ekuazioetako bat
zenbaki oso batez
biderkatuko dugu:
2  (2 x  y  4)

x  2 y  3 

4x  2 y  8 

x  2 y   3

Ekuazio bien
arteko batuketa
egin, gaiz gai.
4x  2 y  8



x  2 y  3 

5x  0 y  5
5x  5
x 1

Kopiatu koadernoan

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

2 1  y  4

y  42

y2

Ekuazio-sistemak

32

Askatu sistema hauek, laburtze-metodoa erabiliz:
x  y  9
74 )
 EMA. : ( 5 , 4 )
x  y 1

75 )

3x  y  3
1
EMA.
:
(
, 2)

6 x  y  0
3

76 )

2 x  3 y  4
 EMA. : (1,  2 )
x  2y  5 


 y  0
77 ) 2
 EMA. : ( 4 ,  2 )
y
 x  3
2

x

5 
1 1

78 )
EMA.
:
(
, )
6 
2
3
3 y  3  4 x  2 
x 1  y 

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

33

Askatu sistema hauek, zure ustez errazena den metodoaz:
6 x  5 y  4
79 )
 EMA. : (1,  2 )
x  y  1

82 )

3x  y  1


 EMA. : Ez du
x  2 y  2  2x  y

emaitzarik

3x  5  2 y


80 ) x
 EMA. : (3 , 2 )
 y  2x  3

3


x
83 )
x

(Sistema

y 1
2
y2
3

bateraezin a)


1

 EMA. : (  8 ,  19 )
 1


3x  y  2
1

y  EMA. : ( ,  1)
81 ) x

3
3
9 


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

34

Ekuazio-sistemak. Buruketak

84) Ostatu batean, ohe bateko eta biko gelak daude. Orotara 50
gela eta 87 ohe daude. Mota bakoitzeko zenbat gela dago?
EMA.: 13, 37 gela
85) Txakur-txapelketa batean, txakurrak eta beraien jabeak
daude. Guztira hirurogeita hamazortzi buru eta berrehun eta
hamasei hanka daude. Zenbat txakur eta pertsona daude?
EMA.: 48 pertsona, 30 txakur.
86) Bi zenbakiren arteko batura hamalau da. Handienari bat
gehitzen badiogu, txikienaren bikoitza lortzen da. Aurki itzazu
zenbakiak. EMA.: 9, 5.
87) Bi zenbakiren arteko batura 150 da, eta kendura txikienaren
laukoitza da. Aurki itzazu zenbakiok. EMA.: 125, 25
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

35

Ekuazio-sistemak. Buruketak

88) Zenbaki baten hirukoitzari beste baten laukoitza
gehitutakoan, zazpi izango da emaitza; lehenengoaren
bikoitzari bigarrena gehitutakoan, berriz, hiru izango da
emaitza. Bilatu zenbakiok. EMA.: 1, 1.
89) Bi anaia-arreben adinen arteko batura 17 da; bost urte
barru, batena bestearenaren bikoitza izango da. Zenbat
urte dituzte? EMA.: 13, 4 urte.
90) Dendara joan eta alkandora bat eta praka batzuk erosi
ditut. Markatuta dituzten prezioen artean, 100 euro egiten
dute, baina, merkealdia dela eta, alkandoran % 20ko
deskontua egin didate, eta, praketan, % 30ekoa. Guztira,
73,50 euro pagatu dut. Zenbat balio du bakoitzak? EMA.:
35 eta 65 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

36
2
x + y = 24 
91 )
 EMA. : (2, 20); (  4, 8)
y = 2x + 16 

Ekuazio-sistemak
x y 7 
92 ) 2
 EMA. : ( 3, 4 ); ( 4 , 3 )
2
x  y  25 

93) 60 euro ditugu lagun batzuen artean banatzeko. Hiru
lagun gehiago bagina, bakoitzari euro bat gutxiago
egokituko litzaiguke. Zenbat gara? EMA: 12 lagun.

94) Loradenda batean, tulipan sortak egiteko hari batzuk
daude. Tulipanak binaka jarriz gero, 4 tulipan geldituko dira
sobran, eta hirunaka jarriz gero, hari bat sobran. Zenbat
tulipan eta zenbat hari daude? EMA: 7, 18.
95) Bi zenbakiren arteko kendura 3 da, eta zenbakion
berbiduren arteko batura, 117. Bila itzazu zenbakiok. EMA:
(–6, –9); (9, 6).
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

37

Ekuazio-sistemak

96) Bi zenbakiren arteko kendura 6 da, eta
biderkadura, 216. Bila itzazu zenbakiok. EMA: (–12, –
18); (18, 12).
97) Triangelu zuzen baten hipotenusa 10 m luze da,
eta perimetroa, 24 m-koa da. Zenbat luze dira bi
katetoak? EMA.: 6 cm, 8 cm.
98) x4 + 3x² – 4 = 0 EMA.: 1, –1
99) x × (x + 5) × (x – 2) = 0 EMA: 0, –5, 2.
100) x4 – 5x² + 4 = 0 EMA: 2, –2, 1, –1.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira


Slide 36

1

Ekuazioak 3. DBH
Alfredo Ortega Loza
Unitate honetan, hauek ikasi edo gogoratuko ditugu:
•Ekuazioak eta identitateak bereizten
•Lehenengo mailako ekuazioak askatzen
•Buruketak askatzen
•2. mailako ekuazioak askatzen
•Ekuazio-sistemak askatzen
•2. mailako ekuazio-sistemak askatzen

Berdintzak

2

Berdin ikurra duten adierazpeni berdintza
esaten zaie.
Berdintzak zenbakizkoak izan daitezke:
3·(5 – 4) = 2 + 1



45/5 = 18/2



Algebraikoak ere,
izan daitezke:

Berdintzaren ezkerreko aldeari
lehen atala esaten zaio, eta
eskuinekoari, bigarren atala.
Batuketa edo kenketa ikurren
arteko letra eta zenbakimultzoei, berriz, gai deritze.

3x – 5 = x/4 +1



5a + 2b = 10a/2 + (9/2)b – (5/2)b



Kopiatu koadernoan

Identitateak

3

Berdintza algebraikoak –letrak dituztenak–
identitateak edo ekuazioak izan daitezke:
Identitateak:

3x + (5 – 1)·2 = 2x + x + 8
5a – a = 2 (7a – 5a)

Gogoratu: zenbakien
eta letren artean ezer
ez dagoenean,
BIDER (·) ikurra
irakurri behar da beti.

Ezezagunak (letra) edozein balio izanda ere,
bete egingo da berdintza. Askatzen saiatuz
gero, 0 = 0 lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazioak

4

Ekuazioak:
3x = 2x + 1. EMA.: x = 1
5a – 3 = 2 (7a – 5a). EMA.: a = 3

Ezezagunaren balio batzuetarako baino ez
da betetzen berdintza.
Balio horiek topatzeari ekuazioa askatzea
(edo ebaztea) esaten zaio.

Kopiatu koadernoan

5

Ekuazio baliokideak
Ekuazioen propietateak:

Ekuazio baten bi aldeetan batuketa edo
kenketa bera egiten badugu, hasierakoaren
ekuazio baliokide bat (emaitza berbera
duena) lortuko dugu.
Ekuazio baten bi aldeak zero ez den
adierazpen batekin biderkatzen edo
zatitzen baditugu, hasierakoaren ekuazio
baliokide bat lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (1)

6

Ekuazioetarako erregelak:

x+7=3

–x = 3 – 2x

x+7–7=3–7

–x + 2x = 3 – 2x + 2x

x=3–7

–x + 2x = 3

x = –4

x=3

Ekuazioaren alde batean
batzen dagoena kentzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazioaren alde batean
kentzen dagoena batzen
pasatzen da beste aldera.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (2)

7

3x



3
x

Kopiatu koadernoan

Ekuazioetarako erregelak:
x
3x – 7 = 2
2 1
4
3x – 7 + 7 = 2 + 7
x
 2  2  1 2
4
3x = 9
9
3
9
3

x=3

Ekuazioaren alde batean
biderkatzen dagoena zatitzen
pasatzen da beste aldera.

x

 1

4
4

x

 4  (  1)

4
x  4  (  1)

x = –4
Ekuazioaren alde batean
zatitzen dagoena biderkatzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazio-ebazpenak

8
Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio eta identitate
hauek :

 Letrak dituzten
gai guztiak
berdintzaren alde
batera eraman
behar ditugu, eta
zenbakiak,
bestera.

1) x – 3 + 5x = 4x – 7. EMA.: –2

 Parentesiak
badaude, beste
ezer baino lehen
kendu behar
ditugu.

2) 7x – 5 + 2x + 6 = –3x + 8 – x.
EMA.: 7/13
3) 2x – (6x + 1) = 3x – 5(2 – x). EMA.: 3/4
4) 7(x + 3) = 7 + 8x – 1 . EMA.: 15
5) 3x +7 – 2(x – 3) = 3(x + 4) – 2x + 1.
EMA.: Edozein; identitatea da

6) 4 – (3 – x) + 6 = 2x + 2(2x – 3).
EMA.: 13/5
7) 5 – x(3 + 1) = 2x – 6(3 – 2x).
EMA.: 23/18

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

9

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio hauek :
8)

 Izendatzaileak
badaude,
izendatzaileen
MKTa lortu behar
dugu, eta,
ondoren,
berdintzaren
alde biak MKT
horrekin
biderkatuko
ditugu.

9)

1

x + 2=

2

x - 5 . E M A : 42

3

4

x

- 3  (x - 1) = 2 x -

7 - x

2

10)

1

(x - 2) -

8

11)

. E M A : 32/29.

3
2

(2 x + 6) + x = - 4 .E M A : -6/5

3

x - 1

-

x + 1

2
12) - 4  (3 - x)

=x -

3

5

.E M A : 1

3
+ 4x =

3

 (2 x - 1) - (x + 1) E M A : 4/3.

5

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

10

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
13)

x

-

x - 3

6

14)

=1 -

2x - 5

4

6x - 1

-

5x - 6

5

=

2x + 1

7
x - 2

15) 1 -

5

- 2

- 5x =

3x - 5

7x

(x - 1)

x - 8

2
18) 2 -

3  (2 + x)

=x +

3
-

3
x - 1
5

E M A : 25/41.

2

4

17)

E M A : 34/19.

3

3

16)

E M A : 23/7.

3

E M A : -13/38.

2
-

4  (4 x + 2)

=

5
- (2 x - 1) =

5x - 3

E M A : 2.

7
x - 5
E M A : 19/9

2

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

11

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
19) x -

x

-

x - 1

2

=

6

20) - 4 x - 3 -

x

- 2  (x - 1) E M A :11/13.

6

6x + 4

= 3 - 4  (x - 1) E M A : -37/3.

7
21) 3 -

x + 1

- (4 x - 1) = x - (3 - 4 x) E M A : 13/19.

2
x 22)

1
2 -

3
2

23)

x -

x + 2

-

2

x

- 3
3 = 2 - x - 2
E M A : 2.
4
6
12
1

3x - 1

+

4
(x + 2) (3 x - 1)

= 0 . E M A : 0.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

12

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

Buruketen emaitzak lortzeko, pauso hauek dira
garrantzitsuenak:

Proposatzen den buruketa ondo ulertu. Behar diren
irakurketa guztiak egin, zer eskatzen duten ondo ulertzeko
eta azaltzen diren baldintzak ondo kontrolatzeko

Azpimarratu datu garrantzitsuenak
Ixa esleitu. Ixaren aldamenean beti idatzi zer den
Dituzun datu guztien artean, erlazioren bat topatu.
Buruketak berak ematen du askotan

Sortu duzun ekuazioa askatu
Bukatzeko, egiaztatu emaitza dituzun datu guztiekin
Kopiatu koadernoan

13

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

24) Bi zenbakiren arteko batura 76, da eta bata bestea
baino lau unitate handiagoa da. Bilatu zenbakiok. EMA.:
36, 40.
25) Ondoz ondoko hiru zenbakiren arteko batura
laurogeita hamahiru da. Zein dira zenbaki horiek. EMA.:
30, 31, 32.
26) Zenbaki baten herenaren eta hirukoitzaren arteko
batura berrogei da. Aurkitu zenbakia. EMA.: 12.
27) Bi mila laurehun metro ibili ondoren, distantziaren
herena falta zaigu bukatzeko. Zein da distantzia? EMA.:
3.600 m.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

14

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

28) Pertsona batek duen muxika-kopurua honela banatuta
geratu da: erdiak saldu egin zituen, laurdenak anaiari eman
zizkion eta, oraindik, ehun eta hogei muxika geratu zaizkio.
Zenbat muxika zituen? EMA.: 480 muxika.

29) Zuk hamabi urte badituzu eta zure aitak zure adinaren
zortzi herena, zenbat urte ditu zure aitak? EMA.: 32 urte.
30) Ondoz ondoko bi zenbaki ditugu. Handienaren
herenaren eta txikienaren arteko batura txikienaren
bikoitzaren herena da. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 2, 3.
31) Andonik Kepak baino bost euro gehiago ditu. Baina
Andonik Kepari lau euro emango balizkio, Keparen dirutza
Andonirenaren bikoitza bihurtuko litzateke. Zenbat dauka
bakoitzak? EMA.: 7 eta 2 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

15

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

32) Orain dela lau urte ume baten adinaren hirukoitza
orain duenaren bikoitza zen. Zenbat urte ditu? EMA.: 12
urte.
33) Pertsona baten adina beste lagun batenaren bikoitza
da. Orain dela zazpi urte, bi pertsonen urteen batura
lehenengoaren gaur egungo adina izan zen. Kalkula
itzazu bi pertsonen adinak. EMA.:14 eta 28 urte.
34) Aita batek berrogeita bi urte ditu, eta semeak hamar.
Zenbat urte pasa behar dira aitaren adina semearenaren
hirukoitza izateko? EMA.: 6 urte
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

16

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

35) Gripea zela eta, gela bateko sei ikasle ez ziren eskolara
etorri. Eta, honela, ikasle guztien hiru laurdenak baino bi
gehiago etorri ziren. Zenbat ikasle ziren gelan? EMA.: 32
ikasle.
36) Laukizuzen-itxurako bizkotxo batean, hiru zati egin ditugu.
Lehenengoa bizkotxoaren herena da, bigarrena bostena eta
hirugarrena lau bederatzirena; 4 cm geratu zaigu sobran.
Zenbatekoa da bizkotxoaren luzera? EMA.: 180 cm.

37) Hemendik hamaika urtera, Enekoren adina duela
hamahiru urte zuenaren bikoitza izango da. Zenbat urte ditu?
EMA.: 37 urte.00
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

17

2. mailako ekuazioak ezezagun bakarrekoak badira,
honela adieraziko ditugu:
ax2 + bx + c = 0
a, b eta c zenbaki osoak dira, eta a ezin da zeroren
berdina izan (a  0).
Ekuazio horiek formula honek askatzen ditu beti:

x

b

b  4 ac
2

2a
Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

18

x

Adibide gisa, askatu
honako ekuazio hau:

x

b  4 ac
2

2a

GOGORATU: letra baten
aurrean ezer ikusten ez
duzunean, 1 zenbakia dago

2x2 – x – 1 = 0
a=2
b = –1
c = –1

b

 (  1) 

(  1)  4  2  (  1)
2

22
4



1 1 8
4

Kopiatu koadernoan



1 3
4



1

4
2
4



1
2



2. mailako ekuazioak

19
x

b

b  4 ac
2

2a

Askatu honako ekuazio hauek:
38) x2 – x – 2 = 0 EMA.: 2, –1
39) 3x2 – 7x – 6 = 0 EMA.: 3, –2/3
40) 4x2 – 8x + 3 = 0 EMA.: 3/2, 1/2
41) x2 + 4x + 4 = 0 EMA.: –2

42) x2 + 8x + 3 = 0 EMA.: –0,4; –7,6
43) x2 + 2x + 2 = 0 EMA.: emaitzarik
ez.

Emaitza bakarra
lortzen badugu,
emaitza horri emaitza
bikoitza esango
diogu.
Batzuetan, erroak ez
du emaitzarik, eta,
orduan, esaten dugu
ekuazioak ez duela
emaitza errealik.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

20

Modu horrek 2. mailako ekuazio guztietarako balio
badu ere, badaude beste modu errazago batzuk:
1) b = 0 denean

Adibidea:

ax2 + 0x + c = 0

3x2 – 75 = 0

ax2 + c = 0

3x2 = 75

ax2 = –c
x 
2

x 
2

75
3

c

5

a
x

c

x   25 

–5

a

Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

21

GOGORATU: biderkadura bat zero bada,
biderkagairen bat zero delako da
2) c = 0 denean

Adibidea:

ax2 + bx + 0 = 0

5x2 – 7x = 0

ax2 + bx = 0

x·(5x – 7) = 0

x·(ax + b) = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

5x – 7 = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

ax + b = 0
x = –b/a
Kopiatu koadernoan

x = 7/5

22

2. mailako ekuazioak

Ebatzi honako ekuazio hauek:
44) 3x² + 5x – 2 = 0 EMA.: 1/3; –2
45) 4x² – 36 = 0 EMA: 3, –3.
46) 2x² – 15x + 7 = 0 EMA: 7, 1/2

52) 2x2 – 3 = x2 – 2x EMA.: 1,
–3
53) x – 2 = x2 EMA.:
emaitzarik ez.

47) 3x² – 75x = 0 EMA: 0, 25.
48) 7x² – 9x + 2 = 0 EMA.: 1, 2/7

54 ) 1 +

= 2x

EMA.: –1/2, 1

x

49) 2x² – 2x – 24 = 0 EMA.: 4, –3

50) x²/3 – 12 = 0 EMA: 6, –6

1

55 ) 1 +

1
x

=x -

1
x

EMA.: –1, 2

51) (x – 2)(x + 1) = 0 EMA: 2, –1
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

23

2. mailako ekuazioak. Buruketak

56) Bi zenbakiren artean, 5eko aldea dago, eta haien
arteko biderkadura 66 da. Zein dira zenbakiok? EMA.: 6,
11; –11, –6.
57) Laukizuzen batek hogei zentimetroko diagonala du.
Zein izango da azalera, altuera baino lau cm luzeago
badu oina? EMA.: 12 cm, 16 cm.
58) Bila ezazu zirkunferentzia baten luzera, haren azalera
28,26 m² bada. EMA.: 18,84 m.
59) Triangelu zuzen batean, hipotenusaren luzera 10 cm
da. Bila itzazu katetoen luzerak, bata bestea baino 2 cm
luzeagoa bada. EMA.: 6 cm, 8 cm.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

24

2. mailako ekuazioak. Buruketak

60) Demagun 7 cm-ko alanbre bat daukagula. Nondik
tolestuko dugu muturretako bat bestetik 5 cm-ra egon dadin
angelu zuzen bat osatu ondoren? EMA.: 4 cm, 3 cm.
61) Ondoz ondoko bi zenbakiren arteko biderkadura
honako hau da zenbaki horien arteko batura gehi bost
unitate. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 3, 4; –2, –1.
62) Triangelu zuzen baten azalera 90 cm2 da. Bilatu
katetoak, haien arteko aldea 3 cm-koa bada. EMA.: 12 cm
eta 15 cm.
63) Banatu 9 zenbakia bi zatitan, bakoitzaren berbiduren
arteko batura 41 izan dadin. EMA.: 4, 5.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

25

Bi ezezaguneko ekuazio-sistemak:
Bi ekuazio aldi berean betetzen badira, ekuazio-sistema
bat dugu. Bi ekuazioak zenbaki berberetarako bete
behar dira.
Adibidez:

2x  y  4 

x  2 y   3

Sistema honen emaitza x = 1 eta y = 2 da, edo beste
modu batez adierazita, (1, 2) da.
Begiratu ea egia den.
Kopiatu koadernoan

26

Ekuazio-sistemak

Lau era ditugu ekuazio-sistemak ebazteko, baina
mementoz hiru besterik ez dugu ikasiko:
1. Ordezkatzea
2. Berdintzea
3. Laburtzea

Kopiatu koadernoan

Ekuazio-sistemak

27
1. Ordezkatzea
2x  y  4 

x  2 y   3

y  4  2x



x  8  4 x   3

Ekuazio batean,
ezezagun bat bakandu:
y  4  2x 

x  2 y   3

Beste ekuazioan,
ezezagun hori ordeztu

Beste ekuazioan
ordeztu
y  4  2x 

5 x  3  8

y  4  2x

5x  5 

y  4  2x



x  2  ( 4  2 x )   3

y  4  2x

x 1 

Kopiatu koadernoan

y  4  2  1

x 1 

y  2

x  1

Ekuazio-sistemak

28

Askatu sistema hauek, ordezkatze-metodoa erabiliz:
3 x  8 y  10 
64 )
 EMA. : ( 6 ,  1)
x y 5 

2x  3y  7 
65 )
 EMA. : ( 2 ,  1)
5 x  2 y  12 



1
2
67 )
EMA. : ( 4 , )

x y
x
2
  y
3
4

3x

68 )

 4y  8

3x  1  2 y  2
 EMA. : (  1,  3 )
x  y  4


2 x  12  4 y 

66 ) 2 x
 EMA. : ( 0 ,  3 )
 2 y  6

5


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

29

Ekuazio biak
berdindu

2. Berdintzea
2x  y  4 

x  2 y   3

4  2x 

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

3 x
2

y  4  2x

Ekuazio bietan, ezezagun
bera bakandu:
8  4x  3  x

y  4  2x 

 2 y  3  x 

y  4  2x

3 x 
y
2 


 5 x  5

x 1

Kopiatu koadernoan

y  4  2 1

y2

Ekuazio-sistemak

30

Askatu sistema hauek, berdintze-metodoa erabiliz:
2 x  y  0
69 )
 EMA. : (  1, 2 )
x  y 1

3x  y  4

70 ) x
 EMA. : ( 2 , 2 )
 y3

2


x 5  4y
x
71 )
y 
2


1
 y 1 
72 ) 4
 EMA. : ( 2 ,  )
2
2( x  y )  3

x

73 )

x5 y


 EMA. : (  3, 2 )
5 x  2 y   19 


1

EMA.
:
(
3
,

)

2
2



Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

31
3. Laburtzea
2x  y  4 

x  2 y   3

Ezezagun bera duten bi
gaiak ekuazio bietan
berdinak izatea da
helburua; berdinak
baina aurkako zeinua
dutela. Horretarako,
ekuazioetako bat
zenbaki oso batez
biderkatuko dugu:
2  (2 x  y  4)

x  2 y  3 

4x  2 y  8 

x  2 y   3

Ekuazio bien
arteko batuketa
egin, gaiz gai.
4x  2 y  8



x  2 y  3 

5x  0 y  5
5x  5
x 1

Kopiatu koadernoan

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

2 1  y  4

y  42

y2

Ekuazio-sistemak

32

Askatu sistema hauek, laburtze-metodoa erabiliz:
x  y  9
74 )
 EMA. : ( 5 , 4 )
x  y 1

75 )

3x  y  3
1
EMA.
:
(
, 2)

6 x  y  0
3

76 )

2 x  3 y  4
 EMA. : (1,  2 )
x  2y  5 


 y  0
77 ) 2
 EMA. : ( 4 ,  2 )
y
 x  3
2

x

5 
1 1

78 )
EMA.
:
(
, )
6 
2
3
3 y  3  4 x  2 
x 1  y 

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

33

Askatu sistema hauek, zure ustez errazena den metodoaz:
6 x  5 y  4
79 )
 EMA. : (1,  2 )
x  y  1

82 )

3x  y  1


 EMA. : Ez du
x  2 y  2  2x  y

emaitzarik

3x  5  2 y


80 ) x
 EMA. : (3 , 2 )
 y  2x  3

3


x
83 )
x

(Sistema

y 1
2
y2
3

bateraezin a)


1

 EMA. : (  8 ,  19 )
 1


3x  y  2
1

y  EMA. : ( ,  1)
81 ) x

3
3
9 


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

34

Ekuazio-sistemak. Buruketak

84) Ostatu batean, ohe bateko eta biko gelak daude. Orotara 50
gela eta 87 ohe daude. Mota bakoitzeko zenbat gela dago?
EMA.: 13, 37 gela
85) Txakur-txapelketa batean, txakurrak eta beraien jabeak
daude. Guztira hirurogeita hamazortzi buru eta berrehun eta
hamasei hanka daude. Zenbat txakur eta pertsona daude?
EMA.: 48 pertsona, 30 txakur.
86) Bi zenbakiren arteko batura hamalau da. Handienari bat
gehitzen badiogu, txikienaren bikoitza lortzen da. Aurki itzazu
zenbakiak. EMA.: 9, 5.
87) Bi zenbakiren arteko batura 150 da, eta kendura txikienaren
laukoitza da. Aurki itzazu zenbakiok. EMA.: 125, 25
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

35

Ekuazio-sistemak. Buruketak

88) Zenbaki baten hirukoitzari beste baten laukoitza
gehitutakoan, zazpi izango da emaitza; lehenengoaren
bikoitzari bigarrena gehitutakoan, berriz, hiru izango da
emaitza. Bilatu zenbakiok. EMA.: 1, 1.
89) Bi anaia-arreben adinen arteko batura 17 da; bost urte
barru, batena bestearenaren bikoitza izango da. Zenbat
urte dituzte? EMA.: 13, 4 urte.
90) Dendara joan eta alkandora bat eta praka batzuk erosi
ditut. Markatuta dituzten prezioen artean, 100 euro egiten
dute, baina, merkealdia dela eta, alkandoran % 20ko
deskontua egin didate, eta, praketan, % 30ekoa. Guztira,
73,50 euro pagatu dut. Zenbat balio du bakoitzak? EMA.:
35 eta 65 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

36
2
x + y = 24 
91 )
 EMA. : (2, 20); (  4, 8)
y = 2x + 16 

Ekuazio-sistemak
x y 7 
92 ) 2
 EMA. : ( 3, 4 ); ( 4 , 3 )
2
x  y  25 

93) 60 euro ditugu lagun batzuen artean banatzeko. Hiru
lagun gehiago bagina, bakoitzari euro bat gutxiago
egokituko litzaiguke. Zenbat gara? EMA: 12 lagun.

94) Loradenda batean, tulipan sortak egiteko hari batzuk
daude. Tulipanak binaka jarriz gero, 4 tulipan geldituko dira
sobran, eta hirunaka jarriz gero, hari bat sobran. Zenbat
tulipan eta zenbat hari daude? EMA: 7, 18.
95) Bi zenbakiren arteko kendura 3 da, eta zenbakion
berbiduren arteko batura, 117. Bila itzazu zenbakiok. EMA:
(–6, –9); (9, 6).
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

37

Ekuazio-sistemak

96) Bi zenbakiren arteko kendura 6 da, eta
biderkadura, 216. Bila itzazu zenbakiok. EMA: (–12, –
18); (18, 12).
97) Triangelu zuzen baten hipotenusa 10 m luze da,
eta perimetroa, 24 m-koa da. Zenbat luze dira bi
katetoak? EMA.: 6 cm, 8 cm.
98) x4 + 3x² – 4 = 0 EMA.: 1, –1
99) x × (x + 5) × (x – 2) = 0 EMA: 0, –5, 2.
100) x4 – 5x² + 4 = 0 EMA: 2, –2, 1, –1.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira


Slide 37

1

Ekuazioak 3. DBH
Alfredo Ortega Loza
Unitate honetan, hauek ikasi edo gogoratuko ditugu:
•Ekuazioak eta identitateak bereizten
•Lehenengo mailako ekuazioak askatzen
•Buruketak askatzen
•2. mailako ekuazioak askatzen
•Ekuazio-sistemak askatzen
•2. mailako ekuazio-sistemak askatzen

Berdintzak

2

Berdin ikurra duten adierazpeni berdintza
esaten zaie.
Berdintzak zenbakizkoak izan daitezke:
3·(5 – 4) = 2 + 1



45/5 = 18/2



Algebraikoak ere,
izan daitezke:

Berdintzaren ezkerreko aldeari
lehen atala esaten zaio, eta
eskuinekoari, bigarren atala.
Batuketa edo kenketa ikurren
arteko letra eta zenbakimultzoei, berriz, gai deritze.

3x – 5 = x/4 +1



5a + 2b = 10a/2 + (9/2)b – (5/2)b



Kopiatu koadernoan

Identitateak

3

Berdintza algebraikoak –letrak dituztenak–
identitateak edo ekuazioak izan daitezke:
Identitateak:

3x + (5 – 1)·2 = 2x + x + 8
5a – a = 2 (7a – 5a)

Gogoratu: zenbakien
eta letren artean ezer
ez dagoenean,
BIDER (·) ikurra
irakurri behar da beti.

Ezezagunak (letra) edozein balio izanda ere,
bete egingo da berdintza. Askatzen saiatuz
gero, 0 = 0 lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazioak

4

Ekuazioak:
3x = 2x + 1. EMA.: x = 1
5a – 3 = 2 (7a – 5a). EMA.: a = 3

Ezezagunaren balio batzuetarako baino ez
da betetzen berdintza.
Balio horiek topatzeari ekuazioa askatzea
(edo ebaztea) esaten zaio.

Kopiatu koadernoan

5

Ekuazio baliokideak
Ekuazioen propietateak:

Ekuazio baten bi aldeetan batuketa edo
kenketa bera egiten badugu, hasierakoaren
ekuazio baliokide bat (emaitza berbera
duena) lortuko dugu.
Ekuazio baten bi aldeak zero ez den
adierazpen batekin biderkatzen edo
zatitzen baditugu, hasierakoaren ekuazio
baliokide bat lortuko dugu.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (1)

6

Ekuazioetarako erregelak:

x+7=3

–x = 3 – 2x

x+7–7=3–7

–x + 2x = 3 – 2x + 2x

x=3–7

–x + 2x = 3

x = –4

x=3

Ekuazioaren alde batean
batzen dagoena kentzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazioaren alde batean
kentzen dagoena batzen
pasatzen da beste aldera.
Kopiatu koadernoan

Ekuazio-erregelak (2)

7

3x



3
x

Kopiatu koadernoan

Ekuazioetarako erregelak:
x
3x – 7 = 2
2 1
4
3x – 7 + 7 = 2 + 7
x
 2  2  1 2
4
3x = 9
9
3
9
3

x=3

Ekuazioaren alde batean
biderkatzen dagoena zatitzen
pasatzen da beste aldera.

x

 1

4
4

x

 4  (  1)

4
x  4  (  1)

x = –4
Ekuazioaren alde batean
zatitzen dagoena biderkatzen
pasatzen da beste aldera.

Ekuazio-ebazpenak

8
Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio eta identitate
hauek :

 Letrak dituzten
gai guztiak
berdintzaren alde
batera eraman
behar ditugu, eta
zenbakiak,
bestera.

1) x – 3 + 5x = 4x – 7. EMA.: –2

 Parentesiak
badaude, beste
ezer baino lehen
kendu behar
ditugu.

2) 7x – 5 + 2x + 6 = –3x + 8 – x.
EMA.: 7/13
3) 2x – (6x + 1) = 3x – 5(2 – x). EMA.: 3/4
4) 7(x + 3) = 7 + 8x – 1 . EMA.: 15
5) 3x +7 – 2(x – 3) = 3(x + 4) – 2x + 1.
EMA.: Edozein; identitatea da

6) 4 – (3 – x) + 6 = 2x + 2(2x – 3).
EMA.: 13/5
7) 5 – x(3 + 1) = 2x – 6(3 – 2x).
EMA.: 23/18

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

9

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Ekuazioak
askatzeko:

Askatu honako ekuazio hauek :
8)

 Izendatzaileak
badaude,
izendatzaileen
MKTa lortu behar
dugu, eta,
ondoren,
berdintzaren
alde biak MKT
horrekin
biderkatuko
ditugu.

9)

1

x + 2=

2

x - 5 . E M A : 42

3

4

x

- 3  (x - 1) = 2 x -

7 - x

2

10)

1

(x - 2) -

8

11)

. E M A : 32/29.

3
2

(2 x + 6) + x = - 4 .E M A : -6/5

3

x - 1

-

x + 1

2
12) - 4  (3 - x)

=x -

3

5

.E M A : 1

3
+ 4x =

3

 (2 x - 1) - (x + 1) E M A : 4/3.

5

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

10

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
13)

x

-

x - 3

6

14)

=1 -

2x - 5

4

6x - 1

-

5x - 6

5

=

2x + 1

7
x - 2

15) 1 -

5

- 2

- 5x =

3x - 5

7x

(x - 1)

x - 8

2
18) 2 -

3  (2 + x)

=x +

3
-

3
x - 1
5

E M A : 25/41.

2

4

17)

E M A : 34/19.

3

3

16)

E M A : 23/7.

3

E M A : -13/38.

2
-

4  (4 x + 2)

=

5
- (2 x - 1) =

5x - 3

E M A : 2.

7
x - 5
E M A : 19/9

2

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

11

Ekuazio-ebazpenak. Ariketak

Askatu honako ekuazio hauek :
19) x -

x

-

x - 1

2

=

6

20) - 4 x - 3 -

x

- 2  (x - 1) E M A :11/13.

6

6x + 4

= 3 - 4  (x - 1) E M A : -37/3.

7
21) 3 -

x + 1

- (4 x - 1) = x - (3 - 4 x) E M A : 13/19.

2
x 22)

1
2 -

3
2

23)

x -

x + 2

-

2

x

- 3
3 = 2 - x - 2
E M A : 2.
4
6
12
1

3x - 1

+

4
(x + 2) (3 x - 1)

= 0 . E M A : 0.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

12

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

Buruketen emaitzak lortzeko, pauso hauek dira
garrantzitsuenak:

Proposatzen den buruketa ondo ulertu. Behar diren
irakurketa guztiak egin, zer eskatzen duten ondo ulertzeko
eta azaltzen diren baldintzak ondo kontrolatzeko

Azpimarratu datu garrantzitsuenak
Ixa esleitu. Ixaren aldamenean beti idatzi zer den
Dituzun datu guztien artean, erlazioren bat topatu.
Buruketak berak ematen du askotan

Sortu duzun ekuazioa askatu
Bukatzeko, egiaztatu emaitza dituzun datu guztiekin
Kopiatu koadernoan

13

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

24) Bi zenbakiren arteko batura 76, da eta bata bestea
baino lau unitate handiagoa da. Bilatu zenbakiok. EMA.:
36, 40.
25) Ondoz ondoko hiru zenbakiren arteko batura
laurogeita hamahiru da. Zein dira zenbaki horiek. EMA.:
30, 31, 32.
26) Zenbaki baten herenaren eta hirukoitzaren arteko
batura berrogei da. Aurkitu zenbakia. EMA.: 12.
27) Bi mila laurehun metro ibili ondoren, distantziaren
herena falta zaigu bukatzeko. Zein da distantzia? EMA.:
3.600 m.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

14

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

28) Pertsona batek duen muxika-kopurua honela banatuta
geratu da: erdiak saldu egin zituen, laurdenak anaiari eman
zizkion eta, oraindik, ehun eta hogei muxika geratu zaizkio.
Zenbat muxika zituen? EMA.: 480 muxika.

29) Zuk hamabi urte badituzu eta zure aitak zure adinaren
zortzi herena, zenbat urte ditu zure aitak? EMA.: 32 urte.
30) Ondoz ondoko bi zenbaki ditugu. Handienaren
herenaren eta txikienaren arteko batura txikienaren
bikoitzaren herena da. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 2, 3.
31) Andonik Kepak baino bost euro gehiago ditu. Baina
Andonik Kepari lau euro emango balizkio, Keparen dirutza
Andonirenaren bikoitza bihurtuko litzateke. Zenbat dauka
bakoitzak? EMA.: 7 eta 2 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

15

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

32) Orain dela lau urte ume baten adinaren hirukoitza
orain duenaren bikoitza zen. Zenbat urte ditu? EMA.: 12
urte.
33) Pertsona baten adina beste lagun batenaren bikoitza
da. Orain dela zazpi urte, bi pertsonen urteen batura
lehenengoaren gaur egungo adina izan zen. Kalkula
itzazu bi pertsonen adinak. EMA.:14 eta 28 urte.
34) Aita batek berrogeita bi urte ditu, eta semeak hamar.
Zenbat urte pasa behar dira aitaren adina semearenaren
hirukoitza izateko? EMA.: 6 urte
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

16

Ekuazio-ebazpenak. Buruketak

35) Gripea zela eta, gela bateko sei ikasle ez ziren eskolara
etorri. Eta, honela, ikasle guztien hiru laurdenak baino bi
gehiago etorri ziren. Zenbat ikasle ziren gelan? EMA.: 32
ikasle.
36) Laukizuzen-itxurako bizkotxo batean, hiru zati egin ditugu.
Lehenengoa bizkotxoaren herena da, bigarrena bostena eta
hirugarrena lau bederatzirena; 4 cm geratu zaigu sobran.
Zenbatekoa da bizkotxoaren luzera? EMA.: 180 cm.

37) Hemendik hamaika urtera, Enekoren adina duela
hamahiru urte zuenaren bikoitza izango da. Zenbat urte ditu?
EMA.: 37 urte.00
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

17

2. mailako ekuazioak ezezagun bakarrekoak badira,
honela adieraziko ditugu:
ax2 + bx + c = 0
a, b eta c zenbaki osoak dira, eta a ezin da zeroren
berdina izan (a  0).
Ekuazio horiek formula honek askatzen ditu beti:

x

b

b  4 ac
2

2a
Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

18

x

Adibide gisa, askatu
honako ekuazio hau:

x

b  4 ac
2

2a

GOGORATU: letra baten
aurrean ezer ikusten ez
duzunean, 1 zenbakia dago

2x2 – x – 1 = 0
a=2
b = –1
c = –1

b

 (  1) 

(  1)  4  2  (  1)
2

22
4



1 1 8
4

Kopiatu koadernoan



1 3
4



1

4
2
4



1
2



2. mailako ekuazioak

19
x

b

b  4 ac
2

2a

Askatu honako ekuazio hauek:
38) x2 – x – 2 = 0 EMA.: 2, –1
39) 3x2 – 7x – 6 = 0 EMA.: 3, –2/3
40) 4x2 – 8x + 3 = 0 EMA.: 3/2, 1/2
41) x2 + 4x + 4 = 0 EMA.: –2

42) x2 + 8x + 3 = 0 EMA.: –0,4; –7,6
43) x2 + 2x + 2 = 0 EMA.: emaitzarik
ez.

Emaitza bakarra
lortzen badugu,
emaitza horri emaitza
bikoitza esango
diogu.
Batzuetan, erroak ez
du emaitzarik, eta,
orduan, esaten dugu
ekuazioak ez duela
emaitza errealik.

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

2. mailako ekuazioak

20

Modu horrek 2. mailako ekuazio guztietarako balio
badu ere, badaude beste modu errazago batzuk:
1) b = 0 denean

Adibidea:

ax2 + 0x + c = 0

3x2 – 75 = 0

ax2 + c = 0

3x2 = 75

ax2 = –c
x 
2

x 
2

75
3

c

5

a
x

c

x   25 

–5

a

Kopiatu koadernoan

2. mailako ekuazioak

21

GOGORATU: biderkadura bat zero bada,
biderkagairen bat zero delako da
2) c = 0 denean

Adibidea:

ax2 + bx + 0 = 0

5x2 – 7x = 0

ax2 + bx = 0

x·(5x – 7) = 0

x·(ax + b) = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

5x – 7 = 0

1. emaitza:

x=0

2. emaitza:

ax + b = 0
x = –b/a
Kopiatu koadernoan

x = 7/5

22

2. mailako ekuazioak

Ebatzi honako ekuazio hauek:
44) 3x² + 5x – 2 = 0 EMA.: 1/3; –2
45) 4x² – 36 = 0 EMA: 3, –3.
46) 2x² – 15x + 7 = 0 EMA: 7, 1/2

52) 2x2 – 3 = x2 – 2x EMA.: 1,
–3
53) x – 2 = x2 EMA.:
emaitzarik ez.

47) 3x² – 75x = 0 EMA: 0, 25.
48) 7x² – 9x + 2 = 0 EMA.: 1, 2/7

54 ) 1 +

= 2x

EMA.: –1/2, 1

x

49) 2x² – 2x – 24 = 0 EMA.: 4, –3

50) x²/3 – 12 = 0 EMA: 6, –6

1

55 ) 1 +

1
x

=x -

1
x

EMA.: –1, 2

51) (x – 2)(x + 1) = 0 EMA: 2, –1
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

23

2. mailako ekuazioak. Buruketak

56) Bi zenbakiren artean, 5eko aldea dago, eta haien
arteko biderkadura 66 da. Zein dira zenbakiok? EMA.: 6,
11; –11, –6.
57) Laukizuzen batek hogei zentimetroko diagonala du.
Zein izango da azalera, altuera baino lau cm luzeago
badu oina? EMA.: 12 cm, 16 cm.
58) Bila ezazu zirkunferentzia baten luzera, haren azalera
28,26 m² bada. EMA.: 18,84 m.
59) Triangelu zuzen batean, hipotenusaren luzera 10 cm
da. Bila itzazu katetoen luzerak, bata bestea baino 2 cm
luzeagoa bada. EMA.: 6 cm, 8 cm.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

24

2. mailako ekuazioak. Buruketak

60) Demagun 7 cm-ko alanbre bat daukagula. Nondik
tolestuko dugu muturretako bat bestetik 5 cm-ra egon dadin
angelu zuzen bat osatu ondoren? EMA.: 4 cm, 3 cm.
61) Ondoz ondoko bi zenbakiren arteko biderkadura
honako hau da zenbaki horien arteko batura gehi bost
unitate. Aurkitu zenbakiok. EMA.: 3, 4; –2, –1.
62) Triangelu zuzen baten azalera 90 cm2 da. Bilatu
katetoak, haien arteko aldea 3 cm-koa bada. EMA.: 12 cm
eta 15 cm.
63) Banatu 9 zenbakia bi zatitan, bakoitzaren berbiduren
arteko batura 41 izan dadin. EMA.: 4, 5.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

25

Bi ezezaguneko ekuazio-sistemak:
Bi ekuazio aldi berean betetzen badira, ekuazio-sistema
bat dugu. Bi ekuazioak zenbaki berberetarako bete
behar dira.
Adibidez:

2x  y  4 

x  2 y   3

Sistema honen emaitza x = 1 eta y = 2 da, edo beste
modu batez adierazita, (1, 2) da.
Begiratu ea egia den.
Kopiatu koadernoan

26

Ekuazio-sistemak

Lau era ditugu ekuazio-sistemak ebazteko, baina
mementoz hiru besterik ez dugu ikasiko:
1. Ordezkatzea
2. Berdintzea
3. Laburtzea

Kopiatu koadernoan

Ekuazio-sistemak

27
1. Ordezkatzea
2x  y  4 

x  2 y   3

y  4  2x



x  8  4 x   3

Ekuazio batean,
ezezagun bat bakandu:
y  4  2x 

x  2 y   3

Beste ekuazioan,
ezezagun hori ordeztu

Beste ekuazioan
ordeztu
y  4  2x 

5 x  3  8

y  4  2x

5x  5 

y  4  2x



x  2  ( 4  2 x )   3

y  4  2x

x 1 

Kopiatu koadernoan

y  4  2  1

x 1 

y  2

x  1

Ekuazio-sistemak

28

Askatu sistema hauek, ordezkatze-metodoa erabiliz:
3 x  8 y  10 
64 )
 EMA. : ( 6 ,  1)
x y 5 

2x  3y  7 
65 )
 EMA. : ( 2 ,  1)
5 x  2 y  12 



1
2
67 )
EMA. : ( 4 , )

x y
x
2
  y
3
4

3x

68 )

 4y  8

3x  1  2 y  2
 EMA. : (  1,  3 )
x  y  4


2 x  12  4 y 

66 ) 2 x
 EMA. : ( 0 ,  3 )
 2 y  6

5


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

29

Ekuazio biak
berdindu

2. Berdintzea
2x  y  4 

x  2 y   3

4  2x 

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

3 x
2

y  4  2x

Ekuazio bietan, ezezagun
bera bakandu:
8  4x  3  x

y  4  2x 

 2 y  3  x 

y  4  2x

3 x 
y
2 


 5 x  5

x 1

Kopiatu koadernoan

y  4  2 1

y2

Ekuazio-sistemak

30

Askatu sistema hauek, berdintze-metodoa erabiliz:
2 x  y  0
69 )
 EMA. : (  1, 2 )
x  y 1

3x  y  4

70 ) x
 EMA. : ( 2 , 2 )
 y3

2


x 5  4y
x
71 )
y 
2


1
 y 1 
72 ) 4
 EMA. : ( 2 ,  )
2
2( x  y )  3

x

73 )

x5 y


 EMA. : (  3, 2 )
5 x  2 y   19 


1

EMA.
:
(
3
,

)

2
2



Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

31
3. Laburtzea
2x  y  4 

x  2 y   3

Ezezagun bera duten bi
gaiak ekuazio bietan
berdinak izatea da
helburua; berdinak
baina aurkako zeinua
dutela. Horretarako,
ekuazioetako bat
zenbaki oso batez
biderkatuko dugu:
2  (2 x  y  4)

x  2 y  3 

4x  2 y  8 

x  2 y   3

Ekuazio bien
arteko batuketa
egin, gaiz gai.
4x  2 y  8



x  2 y  3 

5x  0 y  5
5x  5
x 1

Kopiatu koadernoan

Beste edozein
ekuaziotan ordeztu

2 1  y  4

y  42

y2

Ekuazio-sistemak

32

Askatu sistema hauek, laburtze-metodoa erabiliz:
x  y  9
74 )
 EMA. : ( 5 , 4 )
x  y 1

75 )

3x  y  3
1
EMA.
:
(
, 2)

6 x  y  0
3

76 )

2 x  3 y  4
 EMA. : (1,  2 )
x  2y  5 


 y  0
77 ) 2
 EMA. : ( 4 ,  2 )
y
 x  3
2

x

5 
1 1

78 )
EMA.
:
(
, )
6 
2
3
3 y  3  4 x  2 
x 1  y 

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Ekuazio-sistemak

33

Askatu sistema hauek, zure ustez errazena den metodoaz:
6 x  5 y  4
79 )
 EMA. : (1,  2 )
x  y  1

82 )

3x  y  1


 EMA. : Ez du
x  2 y  2  2x  y

emaitzarik

3x  5  2 y


80 ) x
 EMA. : (3 , 2 )
 y  2x  3

3


x
83 )
x

(Sistema

y 1
2
y2
3

bateraezin a)


1

 EMA. : (  8 ,  19 )
 1


3x  y  2
1

y  EMA. : ( ,  1)
81 ) x

3
3
9 


Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

34

Ekuazio-sistemak. Buruketak

84) Ostatu batean, ohe bateko eta biko gelak daude. Orotara 50
gela eta 87 ohe daude. Mota bakoitzeko zenbat gela dago?
EMA.: 13, 37 gela
85) Txakur-txapelketa batean, txakurrak eta beraien jabeak
daude. Guztira hirurogeita hamazortzi buru eta berrehun eta
hamasei hanka daude. Zenbat txakur eta pertsona daude?
EMA.: 48 pertsona, 30 txakur.
86) Bi zenbakiren arteko batura hamalau da. Handienari bat
gehitzen badiogu, txikienaren bikoitza lortzen da. Aurki itzazu
zenbakiak. EMA.: 9, 5.
87) Bi zenbakiren arteko batura 150 da, eta kendura txikienaren
laukoitza da. Aurki itzazu zenbakiok. EMA.: 125, 25
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

35

Ekuazio-sistemak. Buruketak

88) Zenbaki baten hirukoitzari beste baten laukoitza
gehitutakoan, zazpi izango da emaitza; lehenengoaren
bikoitzari bigarrena gehitutakoan, berriz, hiru izango da
emaitza. Bilatu zenbakiok. EMA.: 1, 1.
89) Bi anaia-arreben adinen arteko batura 17 da; bost urte
barru, batena bestearenaren bikoitza izango da. Zenbat
urte dituzte? EMA.: 13, 4 urte.
90) Dendara joan eta alkandora bat eta praka batzuk erosi
ditut. Markatuta dituzten prezioen artean, 100 euro egiten
dute, baina, merkealdia dela eta, alkandoran % 20ko
deskontua egin didate, eta, praketan, % 30ekoa. Guztira,
73,50 euro pagatu dut. Zenbat balio du bakoitzak? EMA.:
35 eta 65 euro.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

36
2
x + y = 24 
91 )
 EMA. : (2, 20); (  4, 8)
y = 2x + 16 

Ekuazio-sistemak
x y 7 
92 ) 2
 EMA. : ( 3, 4 ); ( 4 , 3 )
2
x  y  25 

93) 60 euro ditugu lagun batzuen artean banatzeko. Hiru
lagun gehiago bagina, bakoitzari euro bat gutxiago
egokituko litzaiguke. Zenbat gara? EMA: 12 lagun.

94) Loradenda batean, tulipan sortak egiteko hari batzuk
daude. Tulipanak binaka jarriz gero, 4 tulipan geldituko dira
sobran, eta hirunaka jarriz gero, hari bat sobran. Zenbat
tulipan eta zenbat hari daude? EMA: 7, 18.
95) Bi zenbakiren arteko kendura 3 da, eta zenbakion
berbiduren arteko batura, 117. Bila itzazu zenbakiok. EMA:
(–6, –9); (9, 6).
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

37

Ekuazio-sistemak

96) Bi zenbakiren arteko kendura 6 da, eta
biderkadura, 216. Bila itzazu zenbakiok. EMA: (–12, –
18); (18, 12).
97) Triangelu zuzen baten hipotenusa 10 m luze da,
eta perimetroa, 24 m-koa da. Zenbat luze dira bi
katetoak? EMA.: 6 cm, 8 cm.
98) x4 + 3x² – 4 = 0 EMA.: 1, –1
99) x × (x + 5) × (x – 2) = 0 EMA: 0, –5, 2.
100) x4 – 5x² + 4 = 0 EMA: 2, –2, 1, –1.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira