Transcript Estatistika 3. DBH Alfredo Ortega Loza Unitate honetan, honako hauek ikasi edo gogoratuko ditugu: Oinarrizko definizioak Maiztasunak Grafikoak eta diagramak Estatistika-parametroak Sarrera Estatistika: matematikaren adar bat da eta estatuak.

Estatistika 3. DBH
1
Alfredo Ortega Loza
Unitate honetan, honako hauek ikasi edo gogoratuko
ditugu:
Oinarrizko definizioak
Maiztasunak
Grafikoak eta diagramak
Estatistika-parametroak
Sarrera
2
Estatistika: matematikaren adar bat da eta estatuak hasi ziren
erabiltzen hiritarren nahiak eta gogoak ezagutzeko. Hortik
datorkio izena.
Estatistika, beraz, inkestetan oinarrituta dago. Modu horretan
lortutako datuak aztertzean datza estatistika.
Prozesua honako hau da:

Inkestak egingo zaizkio biztanleriaren parte bati

Datuak ikertu eta tratatuko dira
Lortutako ondorioak biztanle guztienak bailiran erabiliko
dira

Kontuan hartu inkesta estatistikoak pertsonak ez direnei ere
egitea badagoela (torlojuei, aulkiei, tenperaturari, etab.).
(Kopiatu koadernoan)
3
Zenbait definizio
POPULAZIOA edo UNIBERTSOA: ikertzeko daukagun
elementu guztien multzoa da.
Populazioaren elementu bakoitzari INDIBIDUO edo ALE
esaten zaio. Kontuan hartu, indibiduoak ez duela derrigorrez
pertsona bat izan behar.
LAGINA: populazioaren zati bat da. Ikerketako datu guztiak
zati horretatik aterako ditugu. Lortutako datuen multzoari
banaketa deritzogu.
Adibidea: Pentsa ezazu jakin nahi dugula zenbat lagun diren
beltzaran eta zenbat horail Euskal Herrian. Horretarako,
hainbat leku eta adinetako 3.000 lagun ikertuko ditugu.
Populazioa: Euskal Herriko biztanleria. Indibiduoa: Euskal
Herriko biztanle bakoitza. Lagina: 3.000 lagunen multzoa.
(Kopiatu koadernoan)
4
Zenbait definizio
EZAUGARRIA: indibiduoak daukan berezko propietate bat
da. Indibiduoa behatzen dugunean zenbait ezaugarri
ikertzen dugu.
Ezaugarri horiek ZENBAKARRIAK (kuantitatiboak) ala
ZENBATEZINAK (kualitatiboak) izan daitezke.
Ezaugarriak, zenbakarria denean, zenbait BALIO har
dezake, eta zenbatezina denean, hainbat MODALITATE.
Adibidea: Pentsa ezazu jakin nahi dugula zenbat urte daukaten
3. DBHko ikasleen gurasoek. Ezaugarri zenbakarria:
“gurasoen urteak”. Balioak: 35, 36, 37, 38, 39, 40…
Pentsa ezazu jakin nahi dugula zer koloretako arropa eramaten
duen gazteriak. Ezaugarri zenbatezina: “arroparen kolorea”.
Modalitateak: berdea, urdina, gorria…
(Kopiatu koadernoan)
5
Zenbait definizio
ALDAGAI ESTATISTIKOA: ezaugarri zenbakarri batek
hartzen dituen balio guztien multzoari deitzen zaio (xi).
Honako mota hauek daude:
Aldagai estatistiko DISKRETUA: aldagaiak balio
zehatz batzuk besterik ez du hartzen
Aldagai estatistiko JARRAITUA: aldagaiak balio
kopuru infinitua har dezake
Adibidea: 3. DBHko ikasleek zenbat anaia-arreba daukaten jakin
nahi badugu, ezaugarri zenbakarri batekin gabiltza lanean eta
hori diskretua da, edozein balio ezin duelako hartu {0, 1, 2…}
3. DBHko ikasleek zer garaiera duten jakin nahi badugu,
ezaugarri zenbakarri batekin gabiltza lanean eta hori jarraitua da,
edozein balio har dezakeelako {1,55; 1,56; 1,57; 1,578; 1,5796;
1,57983; 1,58…}
(Kopiatu koadernoan)
6
Ariketak
Honako adibide hauetan zein da populazioa? Zein
indibiduoa? Zein lagina? Zein ezaugarria eta zer motatakoa?
Zein balioa edo modalitatea? Aldagaia jarraitua ala diskretua
da?
1) Europako gurasoek seme-alabei ematen dieten asteko
saria zenbatekoa den jakiteko, herrialde bakoitzeko 1.000
gazte aukeratu eta zenbat diru jasotzen duten galdetu diegu.
2) Artaziak egiten dituen enpresa bateko kalitate-kontrolean
lan egiten dut eta jakin nahi dut zenbat artazi ateratzen diren
txarto eta zenbat ondo. Horretarako, mila artazitatik bat
hartuko dut eta ondo eginda dagoen ala ez aztertuko dut.
3) Gipuzkoako familiek zenbat telebista daukaten jakin nahi
dut. Horretarako, herri bakoitzeko 500 familiatatik bat hartuko
dut eta galdetuko diot zenbat telebista daukan.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira
7
Ariketak
Honako adibide hauetan zein da populazioa? Zein indibiduoa?
Zein lagina? Zein ezaugarria eta zer motatakoa? Zein balioa edo
modalitatea? Aldagaia jarraitua ala diskretua da?
4) Sagardotegi bateko sagardoaren kalitatea neurtzeko, 1.000
botilatatik bat edango dugu eta batetik bosterako balio bat
emango diogu.
5) Ikuzgailuak egiten dituzten fabrika batean aparatuek zenbat
urte irauten duten jakin nahi dugu. Horretarako, 50.000
makinatatik bat probatuko dugu proba berezi batzuen bidez.
6) 3. DBHko ikasleen matematika-maila neurtzeko Euskal
Herriko institutu bakoitzeko 100 ikasletatik bat aukeratuko dugu
(erdiak neskak eta beste erdiak mutilak) eta galdetegi bat
pasatuko diegu. Galdetegi horren emaitzei 0tik 10era arteko nota
bat emango diegu (notak zenbaki osoak izango dira).
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira
Maiztasunak
8
MAIZTASUN ABSOLUTUA: Aldagaiaren balio bakoitza edo
modalitate bakoitza errepikatzen den aldi kopurua da. (fi).
MAIZTASUN ERLATIBOA: Maiztasun absolutua da, baina,
ehunekotan edo batekotan adierazita. (hi = fi/N, N = datu
kopurua =  fi).
Adibidea: irakasle batek azken azterketaren notak
banatu ditu. Hona hemen hamasei notak:
5, 2, 3, 7, 5, 4, 3, 8, 6, 7, 4, 5, 5, 6, 9, 6.
Bosta lau aldiz errepikatzen da: fi = 4
hi = 4/16 =0,25 (% 25)
Seia hiru aldiz errepikatzen da, fi = 3
hi = 3/16 =0,19 (% 19)
Kopiatu koadernoan
Maiztasun metatuak
9
MAIZTASUN ABSOLUTU METATUA: Datuak
ordenatutakoan, aldagaiaren balio baten maiztasun
absolutuari aurrekoak gehituta lortzen da (Fi).
MAIZTASUN ERLATIBO METATUA: Datuak
ordenatutakoan aldagaiaren balio baten maiztasun
erlatiboari aurrekoak gehituta lortzen da (Hi).
Adibidea: irakasle batek azken azterketaren notak banatu ditu:
5, 2, 3, 7, 5, 4, 3, 8, 6, 7, 4, 5, 5, 6, 9, 6.
xi
fi
hi
Fi
Hi
2
behin
%6
1
%6
3
2 aldiz
% 13
3
% 19
4
2 aldiz
% 13
5
% 32
Gainditu gabekoen kopurua, zuzenean irakurrita, 5 da (% 32)
Kopiatu koadernoan
Maiztasun-taulak
10
MAIZTASUN-TAULAK: taula horietan datuak ordenatuta
jartzen dira eta, gutxienez, honako hauek azaldu behar dira:
aldagai estatistikoaren balioak (xi) edo ezaugarri
estatistikoaren modalitateak eta bakoitza zenbatetan
errepikatzen den (maiztasunak —fi, Fi, hi, Hi—).
Adibidea: institutu bateko ikasleen anaia-arreba kopurua
jakiteko gela bakoitzeko 3 ikasle hartu eta honako datu
hauek lortu ditugu: 0, 1, 1, 0, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 0, 0, 1, 0,1
xi
0
1
2
3
fi
5
6
3
1
hi
5/15% 33,33
6/15% 40,00
3/15% 20,00
1/15% 6,67
Fi
Hi
5
5+6=11
11+3=14
14+1=15
5/15% 33,33
11/15% 73,33
14/15% 93,33
15/15% 100,00
Kopiatu koadernoan
11
Ariketak
Aurkitu honako hauek: ezaugarri estatistikoa, aldagai
estatistikoa (jarraitua, diskretua), datuak ordenatu,
maiztasun-taula egin. Zein da F3? Zein da f5?
7) Enekori zinema asko gustatzen zaio eta ahal duenean
joaten da. Gelako ikasleei hilean zenbat aldiz joaten diren
galdetu die. Hauexek datuok: 2, 1, 0, 2, 0, 4, 5, 3, 2, 1, 0,
5, 1, 0, 0, 0, 3, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 2, 3, 4, 1, 3.
8) Gela bateko notak hauexek izan dira: 1, 3, 6, 9, 7, 5, 10,
4, 2, 7, 1, 0, 6, 5, 4, 7, 8, 5, 4, 3, 6, 5, 6, 4, 9, 8, 7, 5, 7.
Osatu maiztasun-taula osoa.
9) Mila etxetan Interneten erabilera ikertu eta honako datu
hauek lortu ditugu: Ez daukagu: 437. Hilean behin
erabiltzen dugu: 234. Astean behin erabiltzen dugu: 218.
Egunero erabiltzen dugu: 111.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira
Datuak taldekatzea
12
Askotan, banaketaren aldagaiak balio asko daukanean eta, batez
ere, aldagaia jarraitua denean datuak taldekatu egiten dira.
Tarteak, ahal bada, berdinak izango dira eta oso argi geratuko da
tartea non hasi eta non bukatzen den.
Gogoratu: [5, 7) tartean 5a sartzen da eta 7a ez da sartzen.
Adibidea: Gazteen artean, egunero zenbat ordu ematen duten
telebistaren aurrean ikertu dugu. Hona hemen datuak: 0,5; 1,5;
1,3; 2,6; 1,7; 0,0; 2,3; 1,8; 1,2; 1,9; 3,1; 2,2; 3,4; 2,3; 2,8; 3,3.
fi
[0, 1)
[1, 2)
[2, 3)
[3, 4)
2
6
5
3
Fi
hi
Hi
2
% 12,50
% 12,50
8
% 37,50
% 50,00
13
% 31,25
% 81,25
16
% 18,75
%100,00
Kopiatu koadernoan
Estatistika-grafikoak
13
Datuak hobeto adierazteko nahian, orain, taulan bildutako
datuak grafikoetan jarriko ditugu.
Grafiko desberdinak daudenez horietako arruntenak
erabiltzen saiatuko gara.
Honako grafiko hauek erabiliko ditugu:
Barra-diagramak
Histogramak
Maiztasun-poligonoak
Sektore-diagramak
Piktogramak
Populazio-piramideak
Kopiatu koadernoan
Barra-diagramak
BARRA-DIAGRAMAK:
ardatz batean aldagaiaren
balioak edo modalitateak
jarriko ditugu eta bestean,
balio edo modalitate horiek
zenbat aldiz errepikatzen
diren (maiztasun absolutu,
erlatibo edo metatuak).
Diagramak barra lodiz josita
azaltzen zaizkigu eta oso
egokiak dira aldagai
zenbakarri (kuantitatibo)
diskretuak adierazteko.
5
Telebista kopurua
14
4
3
2
1
0
0
Kopiatu koadernoan
2
4
6
Familia kopurua
8
10
Ariketak
15
10) Honako banaketa honek ibilgailuen salmenta adierazten du:
autobusak: 400 ale; traktoreak:1.000; motorrak: 2.000; kamioiak:
800 eta autoak: 15.000. Egin maiztasun-taula eta barra-diagrama.
11) Ardoa ekoizten duen enpresa batean honako grafiko
estatistikoa lortu da. Interpretatu grafiko hau.
Saldutako botila kopurua herrialdearen
arabera
14.000.000
ra
g.
A
i.
Er
r
G
az
._
Le
.
Ka
t.
M
ad
.
EH
12.000.000
10.000.000
8.000.000
6.000.000
4.000.000
2.000.000
0
Histogramak
16
HISTOGRAMAK: barra-diagramen antzekoak dira,
baina, barrek elkar ukitzen dute. Ezaugarri zenbakarriak
eta aldagai jarraituak ditugunean erabiliko ditugu. Barra
guztiak elkartzen dira.
Euskararen erabilera adinaren arabera (%)
Kopiatu koadernoan
40
30
30
20
10
0
25
23
(5-25]
(25-45]
14
(45-65]
(65-85]
Maiztasun-poligonoak
17
MAIZTASUN-POLIGONOAK: histogrametan eta barradiagrametan oinarritzen diren zatikiz (segmentuz) osatutako
lerroak dira. Lerro poligonal horiek histogramen eta barradiagramen zutabeen goiko erdiguneak elkartzen dituzte.
Euskararen erabilera adinaren arabera (%)
40
30
30
20
25
23
14
10
(5-25]
(25-45]
(45-65]
(65-85]
0
Kopiatu koadernoan
18
Maiztasun-poligonoak
Beste bi adibide:
Matematikako notak (%)
35%
%30
Maiztasun erlatiboak
30%
25%
%25
%20
20%
%15
15%
%10
10%
5%
0%
Gutxi
Nahikoa
Ongi
Notak
Kopiatu koadernoan
Oso ongi
Bikain
Ariketak
19
12) Dado bat 25 aldiz bota dugu eta honako banaketa estatistiko hau lortu
dugu:1, 6, 5, 3, 4, 2, 1, 5, 6, 3, 1, 4, 5, 6, 3, 5, 3, 5, 6, 1, 3, 6, 4, 5 eta 2.
Egin ezazu maiztasun-taula eta maiztasun erlatiboen barra-diagrama.
13) Gela batean ikasleen oinaren luzera neurtu dugu. Honako banaketa
hau lortu dugu, cm-tan: 15,4; 21,8; 32,9; 15,6; 35,6; 25,9; 26,3; 37,0; 18,6;
29,2; 33,8; 20,0; 18,9; 26,1; 36,4; 23,7; 28,6; 30,0; 26,5; 24,3. Egin
histograma bat datuak bost taldetan elkartuta.
14) Enpresa baten salmentak honako grafiko hauek adierazten dizkigute.
Zu salmenten arduraduna bazina, zein aurkeztuko zenuke Batzar
Nagusian? Zergatik? Ondo daude biak?
15800
20000
15600
15000
15400
10000
15200
5000
15000
0
14800
1 hiruhile.
2 hiruhile.
3 hiruhile.
4 hiruhile.
1 hiruhile. 2 hiruhile. 3 hiruhile. 4 hiruhile.
Sektore-diagramak
20
SEKTORE-DIAGRAMAK: diagrama hauek sektoretan
zatitutako zirkuluak dira. Sektore bakoitza aukeratutako
maiztasun motaren balioekiko proportzionala da. Oso egokia
da ezaugarri zenbatezinak (kualitatiboak) adierazteko eta
alderaketak egiteko.
Gazteen zaletasunak
Kopiatu koadernoan
%10
%15
Futbola
Esku-baloia
%55
Saski-baloia
Esku-pilota
%20
Sektore-diagramak
21
Kopiatu koadernoan
Sektore diagramak egiteko ezinbestekoa da maiztasun
erlatiboa (hi) lortzea, hori barik ezin izango dugu-eta jakin
zenbat graduko sektoreak behar ditugun. Maiztasun erlatiboa
lortu ondoren, hiruko erregelaren bidez, erraz topatuko dugu
modalitate edo balio bakoitzari zenbat gradu dagokion.
Tindagaiak egiten dituen enpresa batek Europako
biztanleen ilearen kolorea ezagutu nahi du eta honako
banaketa hau lortu du: Gaztaina-kolorea: 5.000; Horaila:
4.000; Beltza: 1.500; Zuria: 1.000 eta Gorria: 500
Gaztaina
Horaila
Beltza
Zuria
Gorria
fi
Fi
5.000
4.000
1.500
1.000
500
5.000
9.000
10.500
11.500
12.000
hi
% 41,67
% 33,33
% 12,50
% 8,33
% 4,17
Sektore-diagramak
22
Gaztaina
Horaila
Beltza
Zuria
Gorria
fi
Fi
5.000
4.000
1.500
1.000
500
5.000
9.000
10.500
11.500
12.000
hi
% 41,67
% 33,33
% 12,50
% 8,33
% 4,17
Graduak
150°
120°
45°
30°
15°
Kopiatu koadernoan
Zirkuluak 360 gradu ditu eta zirkuluaren % 100 da.
Zenbat gradu dira % 41,67?
% 100
 360

% 41,67  x 
x
41,67  360
 360  0,4167  150 
100
33,33  360
x
 360  0,3333  120 
100
x
12,50  360
 360  0,1250  45
100
x
4,17  360
 360  0,0417  15
100
x
8,33  360
 360  0,0833  30
100
Sektore-diagramak
23
Gaztaina
Horaila
Beltza
Zuria
Gorria
fi
Fi
5.000
4.000
1.500
1.000
500
5.000
9.000
10.500
11.500
12.000
hi
% 41,67
% 33,33
% 12,50
% 8,33
% 4,17
Kopiatu koadernoan
Gorria
Zuria
%4
%8
Beltza
% 13
Horaila
% 33
Gaztaina
% 42
Graduak
150°
120°
45°
30°
15°
Piktogramak
24
PIKTOGRAMAK: barra-diagramen antzekoak dira, baina
zutabeen ordez gaiarekin erlazionatuta dauden marrazkiak
azaltzen dira. Egunkarietan asko erabiltzen dira oso
aurkezpen politak sortzen dituztelako.
Supermekatu baten bonbila-salmenta
590.000
600.000
Kopurua
Kopiatu koadernoan
700.000
500.000
500.000
400.000
400.000
300.000
320.000
250.000
200.000
100.000
0
2001
2002
2003
Urtea
2004
2005
25
Populazio-piramideak
POPULAZIO-PIRAMIDEAK: memento bateko biztanleria
adierazten duen diagrama da. Bi barra-diagrama horizontal
azaltzen dira adina (edo jaioturtea) adierazten duen ardatz
bertikalaren alde bietan. Ezkerreko zutabeetan gizonezkoen
kopuruak azaltzen dira eta eskuineko zutabeetan emakumezkoen
kopuruak. Herrialde bateko demografiaren portaerak adierazteko
erabiltzen dira. EAEkoa 2001 urtean hau da:
Kopiatu koadernoan
26
Ariketak
15) EAEko matrikula, DBH mailan eta 2005-06 ikasturtean
honako datu hauek adierazten digute: A eredua: 18.347 ikasle;
B eredua: 16.865 ikasle eta D eredua: 33.908 ikasle. Egin
sektore-diagrama.
16) Zer esan dezakezu EAEko populazio-piramidearen
gainean? Atera itzazu gutxienez lau ondorio.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira
27
Dimentsio bakarreko banaketak.
Parametroak
Behin datu guztiak taulan ordenatuta dauzkagula, grafikoak
egiteaz aparte, datu horiekin beste hainbat kalkulu egin
ditzakegu.
Kalkulu horietako batzuekin ZENTRALIZAZIO-NEURRIAK
lortzen dira eta zentralizazio-neurri horien artean honako
parametro hauek kalkulatzen ikasiko dugu:
Batez besteko aritmetikoa
Mediana
Moda
Zentralizazio-neurriek banaketaren erdiko aldeari buruzko
informazioa ematen digute.
Kopiatu koadernoan
Batez besteko aritmetikoa
28
Batez besteko aritmetikoa (): zenbaki bat da eta zenbaki
hori datu guztien batura zati datu kopurua eginez lortzen da.
n
x  f  x  f  x  f  ...  xn  f n
x 1 1 2 2 3 3

f1  f 2  f 3  ...  f n
x  f
i
i 1
i
n
f
i 1
i
Adibidea: irakasle batek azken azterketaren notak banatu
ditu. Hona hemen hamasei notak: 5, 2, 3, 7, 5, 4, 3, 8, 6, 7, 4,
5, 5, 6, 9, 6.
xi
2
3
x
fi
1
2
xi
4
5
fi
2
4
xi
6
7
fi
3
2
xi
8
9
fi
1
1
x1  f1  x2  f 2  x3  f 3  ...  xn  f n 2 1  3  2  4  2  5  4  6  3  7  2  8 1  9 1 85


 5,31
f1  f 2  f 3  ...  f n
1 2  2  4  3  2 11
16
Kopiatu koadernoan
Batez besteko aritmetikoa
29
Ikusi dugu nola lortzen den batez besteko aritmetikoa balioak
diskretuak direnean, baina datuak taldekatuta daudenean, nola egiten
da? Formula bera da, baina zein da xi? xi taldearen erdiko balioa da.
xi
Adibidea: pasatu honako
histograma honen datuak
taula batera eta batez
besteko aritmetikoa atera.
Euskararen erabilera adinaren arabera (%)
30
30
20
10
(5,25]
(5+25)/2 = 15
30
(25,45]
(25+45)/2 = 35
23
(45,65]
(45+65)/2 = 55
14
(65,85]
(65+85)/2 = 75
25
x
40
25
23
(5-25]
15  30  35  23  55  14  75  25

30  23  14  25
(25-45]
14
(45-65]
(65-85]
fi
x
3.900
 42,39
92
0
Kopiatu koadernoan
30
Ariketak
17) Aurkitu batez besteko aritmetikoa honako banaketa honetan:
Historiako notak: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Ikasle kopurua: 1 0 2 4 6 8 7 5 4 2
1
18) Lantegi bateko langileen adina honako taula honek adierazten
du:
Adinak:
[16-27)
[27-38)
[38-49)
[49-60)
Langile kopurua:
6
18
25
11
Bilatu batez besteko aritmetikoa.
19) "Saskibaloi-talde batean jokalarien batez besteko adina 21
urtekoa da, beraz, jokalari guztiak 23 urtetik beherakoak dira".
Zuzena al da ondorio hau?
20) Herrialde bateko milioi bat familiak ez du seme-alabarik, 2
milioi familiak seme-alaba bakarra dute eta hiru milioik bi. Zein da
seme-alaben batez besteko aritmetikoa? Interpretatu emaitza.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira
Mediana
31
Mediana (Me): banaketaren datuak txikienetik
handienera ordenatu ondoren, erdian geratzen den
zenbakia da.
Adibidea: topatu Datu kopurua:
mediana honako
banaketa honetan:  fi = 3 + 2 + 5 + 8 + 6 + 5 + 2 = 31= Fn
xi
2
3
4
5
6
7
8
fi
3
2
5
8
6
5
2
Fi
3
5
10
18
24
29
31
Erdian geratzen dena
31/2 = 15,5
hamaseigarrena da mediana. Aurretik
hamabost eta atzetik beste hamabost
datu ditu.
Me = 5
Kopiatu koadernoan
Mediana
32
Banaketaren datu kopurua bakoitia denean mediana nola kalkulatzen
den Ikusi dugu. Baina, datu kopurua bikoitia denean, zein datu
geratuko da erdian? Erdian bi datu geratzen dira. Bi geratuta, zein da
mediana? Adibide batekin ikusiko dugu nola egiten den.
Datu kopurua 18 da (Fn = 18)
Adibidea: topatu
mediana honako
banaketa honetan:
xi
2
3
4
5
fi
3
2
4
9
Fi
3
5
9
18
Erdian geratzen dena: 18/2 = 9
Bederatzigarrena ez da erdian geratzen
den bakarra. Bederatzigarrena eta
hamargarrena geratzen dira. Aurrean 8
datu eta atzean beste hainbeste dauzkate.
Bederatzigarrena 4 da eta hamargarrena,
aldiz, 5. Mediana hau da:
Me = (4 + 5)/2 = 4,5
Kopiatu koadernoan
Moda
33
Moda (Mo): gehien errepikatzen den balioa edo modalitatea
da, alegia, maiztasun handien daukan balioa edo modalitatea.
Tindagaiak egiten dituen
enpresa batek Europako
biztanleen ilearen kolorea
ezagutu nahi du eta honako
banaketa hau lortu du:
Gaztaina-kolorea: 5.000
Horaila: 4.000
Beltza: 1.500
Zuria: 1.000
Gorria: 500
12.000 laguneko
laginean gehien
errepikatzen den datua
gaztaina-kolorea da
(5.000 lagun).
Mo = Gaztaina-kolorea
Kopiatu koadernoan
Ariketak
34
Lortu batez besteko aritmetikoa, mediana eta moda honako
banaketa hauetan eta, erdialdean daudela konturatzeko,
adierazi non dauden banaketaren barra-diagraman:
21) Ikasleen eskuaren luzera neurtu eta taula hau lortu
dugu:
Neurria (cm):
Ikasle kopurua:
13
6
14
9
15
18
16
23
17
11
18
3
22) EAEko DBHko ikasleen hezkuntza-eredua hau da: A
eredua: 18.347; B eredua: 16.865 eta D eredua: 33.908.
23) Nesken modan dabilen enpresa baten inkestak
arroparen erabilerari buruz hau adierazten digu:
Prakak
Mini gona
Gona luzea
8.423
1.326
432
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira
Ariketak
35
Lortu batez besteko aritmetikoa, mediana eta moda honako
banaketa hauetan eta, erdialdean daudela konturatzeko,
adierazi non dauden banaketaren barra-diagraman:
24) Lantegi baten langileen gizentasuna ikertzeko datu
hauek lortu dira: 74, 68, 75, 66, 71, 91, 82, 74, 85, 60, 93,
68, 76, 69, 72, 78, 84, 95, 77, 86, 82, 85, 93, 64, 73, 79, 88,
89, 80, 72, 79, 69, 81, 86 eta 99 (Datuak lau taldetan
elkartu)
25) Internet daukan jendearen artean egunero honako
erabilera hau egiten da:
1/2 ordu
1 ordu
1 1/2 ordu
2 ordu
1.423
2.326
1.726
795
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira
Sakabanatze-neurriak
36
Zentralizazio-neurriez gainera beste neurri batzuk
daude, SAKABANATZE-NEURRIAK edo
BARREIATZE-NEURRIAK hain zuzen ere. Parametro
horiek balioak banaketaren erdialdetik hurbil edo urrun
dauden neurtzen dute.
Sakabanatze neurrien artean honako hauek ikasiko
ditugu (neurri hauek guztiak lortu ahal izateko
ezaugarriak zenbakarria izan behar du):
Batez besteko desbiderapena
Bariantza
Desbiderapen tipikoa edo estandarra
Kopiatu koadernoan
37
Batez besteko desbiderapena
Desbiderapena: banaketa estatistiko batean, balio baten
desbiderapena da balio horren eta banaketaren batez
besteko aritmetikoaren arteko kenduraren balio absolutua.
Parametro honek banaketaren erditik (batez bestekotik)
hurbil ala urrun dagoen adierazten digu.
Desbiderapena  xi  x
Batez besteko desbiderapena: datu guztien desbiderapenen
batez besteko aritmetikoa da. Parametro honek adierazten digu
banaketaren datuak erditik (-tik) hurbil ala urruti dauden.
n
Batez bestekodesbiderapena 
 x x  f
i
i 1
n
f
i 1
Kopiatu koadernoan
i
i
Bariantza
38
Bariantza ( 2): beste sakabanatze-neurri bat da.
Banaketaren balioen desbiderapen koadroen batez
bestekoa da.
n
2 
x
i 1
 x  fi
n
2
i
n
f
i 1
i

x
i 1
2
i
 fi
n
f
i 1
Kopiatu koadernoan
i
 x2
Desbiderapen tipikoa
39
Desbiderapen tipikoa edo estandarra ( ): sakabanatzeneurrien artean garrantzitsuena da, eta, besteak bezala,
banaketaren datuak batez bestekotik hurbil ala urrun
dauden adierazten digu. Bariantzaren erro koadroa da.
n

x
i 1
 x  fi
n
2
i
n
f
i 1
i

x
i 1
2
i
 fi
n
f
i 1
Kopiatu koadernoan
i
x
2
Desbiderapen tipikoa
40
Adibidea: topatu
batez besteko
aritmetikoa eta
desbiderapen tipikoa
honako banaketa
honetan: 5, 2, 3, 7, 5,
4, 3, 8, 6, 7, 4, 5, 5, 6,
9 eta 6.
n
x
x
i 1
i
x
n
f
i 1
n

 fi
i
 xi  f i

2
i 1
n
f
i 1
i
 x2
xi
fi
Fi
xi·fi
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
2
4
3
2
1
1
1
3
5
9
12
14
15
16
2
6
8
20
18
14
8
9
xi2 · fi
4·1=4
9 · 2 = 18
16 · 2 = 32
25 · 4 = 100
36 · 3 = 108
49 · 2 = 98
64 · 1 = 64
81 · 1 = 81
2  6  8  20  18  14  8  9 85

 5,31
16
16
4  18  32  100  108 98  64  81
 5,312  1,83
16
Kopiatu koadernoan
41
Ariketak
Bilatu batez besteko aritmetikoa eta desbiderapen tipikoa
honako banaketa hauetan. Egin barra-diagrama:
26) Gela bateko notak: 8, 8, 8, 8, 6, 6, 4, 4, 2, 2, 2 eta 2.
27) Beste gela bateko notak: 8, 8, 8, 6, 6, 6, 4, 4, 4, 2, 2 eta
2.
28) Hirugarren gelako notak: 8, 8, 6, 6, 6, 6, 4, 4, 4, 4, 2 eta 2.
29) Laugarren gelako notak: 8, 6, 6, 6, 6, 6, 4, 4, 4, 4, 4 eta 2.
30) Bosgarren gelako notak: 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5 eta 5.
31) Aurreko bost ariketen batez besteko aritmetikoei,
desbiderapen tipikoei eta diagramei erreparatzen badiezu zer
ondorio lor dezakezu?
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira
Ariketak
42
32) Jar iezaiozu banaketa bakoitzari bere batez besteko
aritmetikoa eta bere desbiderapen tipikoa. Hauek dira:
A( = 5,24;  = 3,83); B( = 8,14;  = 1,07); C( = 6,04;  = 2,86);
D( =4,45;  =1,93); E( = 7,14;  = 1,07).
20
20
20
15
15
15
10
10
10
5
5
5
0
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
20
20
15
15
10
10
5
5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
9
10
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
5
6
7
8
9
10
7
8
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira
9
10
Ariketak
43
33) Jar iezaiozu banaketa bakoitzari bere batez besteko
aritmetikoa eta bere desbiderapen tipikoa. Hauek dira:
A( = 43,80;  = 8,63); B( = 45,00;  = 17,66);
C( = 45,00;  = 14,14); D( =61,00;  =4,90);
E( = 45,00;  = 6,32).
16
14
12
10
8
6
4
2
0
16
14
12
10
8
6
4
2
0
(20,30] (30,40]
(40,50]
(50,60] (60,70]
16
14
12
10
8
6
4
2
0
(20,30] (30,40]
16
14
12
10
8
6
4
2
0
(40,50]
(50,60] (60,70]
(20,30] (30,40]
(40,50]
(50,60] (60,70]
16
14
12
10
8
6
4
2
0
(20,30] (30,40]
(40,50] (50,60] (60,70]
(20,30] (30,40]
(40,50]
(50,60] (60,70]
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira
Ariketak
44
34) Jar iezaiozu banaketa bakoitzari bere batez besteko
aritmetikoa eta bere desbiderapen tipikoa. Hauek dira:
A( = 16,00;  = 6,63); B( = 30,80;  = 18,74);
C( = 31,00;  = 8,31); D( =30,00;  =7,30);
E( = 30,00;  = 14,14).
16
14
12
10
8
6
4
2
0
16
14
12
10
8
6
4
2
0
10
20
30
40
16
14
12
10
8
6
4
2
0
10
50
16
14
12
10
8
6
4
2
0
20
30
40
50
10
20
30
30
40
50
40
16
14
12
10
8
6
4
2
0
10
20
30
40
50
10
20
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira
50