Transcript Aldagai anitzeko funtzioen integrazioa

Aldagai Anitzeko Funtzioak
Integraketa
Integral bikoitzak
Integral bikoitzak bi aldagaiko z=f(x,y) funtzioen integral
mugatuak dira. D definizio eremu itxi batean definitutako
funtzio jarraien integral bikoitzak aztertuko ditugu.
Integral bikoitzaren definizioa Riemann-en batuketen
segida baten bidez ematen da. Irudian ikusten da nola
funtzioaren D definizio-eremua zatitzen den zati txikietan: Ds1,
Ds2,…Dsn.
Integral bikoitzak
Zatietan (beraien barnean edo mugan) puntu bana
aukeratzen dugu: P1, P2,…, Pn. Puntu horietan funtzioaren
balioak, f(P1), f(P2),…, f(Pn) altuerak bezala hartzen dira
zutabe zuzenak eraikitzeko, non zutabeen oinarriak Ds1,
Ds2,…,Dsn baitira, hurrenez hurren:
Integral bikoitzak
Zutabe zuzen horien bolumenak kalkulatzen ditugu (f(P1), f(P2),…, f(Pn)
altuerak bider Ds1, Ds2,…,Dsn, oinarrien gainazalak, hurrenez hurren) eta
elkarri batzen dizkiogu:
Vn  f (P1)Ds1  f (P2 )Ds2 K  f (Pn )Dsn
Batura hau izango da z=f(x,y) funtzioaren azpian eta D eremuan oinarrituta
dagoen bolumenerako hurbilketa (suposatuz f(x,y) > 0 eremu osoan).
Zenbat eta gehiago Dsi, zatien kopurua, hau da, zenbat eta txikiago Dsi-ren

gainazalen
balioak; edo, gauza bera dena, zenbat eta xeheago D-ren zatiketa,
orduan eta hobea izango da hurbilketa. Hortaz, hurrengo Riemann-en
batuketa segidak izango genituen: Vn1, Vn2,…, Vnk,… non n1<n2<…<nk<… eta
hurbilketak gero eta zehatzagoak izango ziren.
Riemann-en limitea existitzen bada nk  ∞ doanean (Dsi 0 doazenean)
orduan hurrengo teorema dugu:
Integral bikoitzak
Teorema: D eremu itxian z=f(x,y) funtzioa jarraia bada, eta D-ren
zatiketako Dsi, elementuen diametro handiena zerorantz jotzen badu
n  ∞ denean, orduan Riemann batuketen segidak badu limiterik.
Limitea ez da zatiketa eraren menpekoa, ez eta Dsi elementuetan
hartutako Pi puntuen aukeraketaren menpekoa ere.
Limite hori D eremuan (D integrazio-eremua deituko dugu
zabaldutako f(x,y) funtzioaren integral bikoitza deitzen dugu eta
honela adierazten dugu:

D
f (P)ds
edo

D
f (x, y)dxdy
n
lim
diam Dsi  0
 f (P )Ds  
i
i1
i
D
f (x, y)dxdy
Integral bikoitzak
D integrazio-eremuan f(x,y)>0 bada, integral bikoitza
hurrengo hiru gainazal hauek mugatutako gorputzaren
bolumena da:
1: z=f(x,y) gainazala.
2: z=0 planoa.
3: D-ren mugaren gainetik doan lerro bertikal batek
sortutako gainazal zilindrikoa.
Gainazal zilindrikoa sortzeko erabiltzen den lerro
bertikalari azal zilindrikoaren sortzailea deitzen diogu, eta
D-ren muga-lerroari azal zilindrikoaren zuzendaria.
Integral bikoitzaren propietateak
1. Bi funtzioen baturaren integral bikoitza batugai
funtzioen integral bikoitzen batura da:
 f (x,y)  g(x,y)dxdy 
D

D
f (x, y)dxdy

D
g(x, y)dxdy
2. Konstante bat bider funtzio baten integral bikoitza,
konstantea bider funtzioaren integral bikoitza da:

D
af (x,y)dxdy a  D f (x, y)dxdy
Aurreneko bi propietate hauengatik integral bikoitza
eragiketa lineala dela esaten dugu.

Integral bikoitzaren propietateak
3. D integrazio eremuan f(x,y) ≥ g(x,y) bada,orduan

D
f (x,y)dxdy

D
g(x,y)dxdy
4. D integrazio eremua barne-puntu komunik
gabeko D1 eta D2 eremu partzialez osatuta

badado,
integral bikoitza bitan banatu daiteke:


D
f (x, y)dxdy 

D1
f (x, y)dxdy 

D2
f (x, y)dxdy
Integral bikoitzaren propietateak
5.
D integrazio eremuan f(x,y)=1 funtzio konstantea integratuz D
eremuko azalera lortuko dugu:

6.
1 dxdy  A(D)
D eremuko puntu guztietan m≤f(x,y)≤M betetzen bada, orduan:
m A(D) 
7.
D

f (x,y)dxdy M A(D)

D eremuko f funtzio jarraiaren integral bikoitza era honetan jar
daiteke


D
D
f (x, y)dxdy f (P) A(D)
non P, D eremeko puntu partikular bat (gutxienez bat) den
(batazbestekoaren teorema).

Integral bikoitzaren kalkulua
Integral bikoitzaren kalkulua, neurri batean, D
definizio-eremuko formaren menpekoa da. Hurrengo
irudikoak integrazio eremu erregularrak edo I motako
integrazio eremuak deitzen dira:
Integral bikoitzaren kalkulua
D eremu erregularra x-ren bi funtzio jarraien kurben artean gelditzen da eta honela adierazi
daiteke:
D  (x, y) | a  x  b, g1(x)  y  g2 (x)
I motako eremu batean f(x,y) funtzio jarrai baten integral bikoitza kalkulatzeko hurrengo
erako integralarekin aritzen gara (integral berritua edo integral iteratua):
g 2 (x )

ID   
  f (x, y)dy 
dx
a g1 (x )

b

Ikusten dugunez integral iteratua egitea aldagai bakarreko bi integral egitea da, bata bestearen
atzetik,
lehenegoa, parentesiaren barrukoa, y-rekiko, eta bigarrena x-rekikoa. Lehenengo integrala x
 da eta hortik ateratzen dena x-ren funtzio jarraia da:
konstantetzat hartuz egiten
(x) 
g 2 (x )
 f (x, y)dy
g1 (x )
Kanpoko integralaren mugak konstanteak dira, eta integral iteratuaren emaitza zenbaki bat da:
b

ID 
 (x)dx
a
Integral bikoitzaren kalkulua
Adibidea:
x 2

2
2
ID   
 x  y dy 
dx
0  0

1
Kalkulatu
2
3 x
x2
y
(x)   x  y dy  x y 
3
0
2


2
2
x x
2
0
2
3
3
x6
x 
3
4
1
 4 x 6 
x5 x7
1 1
26
ID   (x)dx   x  dx  
  
3 
5 3 7 0 5 21 105
0
0 
1

2
x 


1
Integral bikoitzaren kalkulua
Adibidea:
Kalkulatu
ID 
 x  2y dA non D integrazio eremua
D
y  2x 2 eta
y  1 x 2 parabolek mugatzen duten.
Parabolek bat egiten dute2x 2  1 x 2  x = 1 denean, hau da (-1,2) eta
(1,2) puntuetan. Honek esan nahi du D int egrazio eremua dela

D = x,y | 1  x  1, 2x 2  y  1 x 2

, hurrengo irudian ikusten dena:

Integral bikoitzaren kalkulua
Beheko mugay  2x 2 eta goikoay  1 x 2 direnez I motako eremuentzako
integrala erabiliko dugu:
1 1x 2
 x  2y dA    x  2y  dydx   xy  y
D
1 2x 2
1
dx 
2
2x 2
 x 1 x  1 x   x2x  2x   dx 
1

1x 2
1
2
2 2
2
2 2
1
1

 3x
1
4
 x 3  2x 2  x 1 dx 
 x 5 x 4

x3 x2
6 4
32
 3 
 2   x      2 
4
3
2
5 3
15
 5
1
1
Integral bikoitzaren kalkulua
II motako integrazio eremuak ere definitu daitezke.
Hurrengo
eratakoak dira eta irudian bi adibide erakusten dira:
D  x, y  | c  y  d, h1(x)  x  h2 (x)

Integral bikoitzaren kalkulua
II motako integrazio eremuetan egindako
integral bikoitza hurrengo integral berritu edo
iteratuaren bidez kalkulatzen da:
ID 

D
f (x, y) dA 
d h2 (y)
  f (x, y)
dxdy
c h1 (y)
non, barruko integrala (lehendabizi egiten dena)
x-rekikoa den eta kanpokoa y-rekikoa.

Integral bikoitzaren kalkulua
Adibidea:
Kalkulatu
ID 

D
xy dA non D integrazio eremua y  x 1 lerro zuzenak
eta y 2  2x  6 parabolak mugatzen duten.
Hurrengo irudian erakusten da D integrazio eremua I motalotzat
edo II motakotzat onar daitekela
:


Integral bikoitzaren kalkulua
Dena den, irudian ikusten den bezala,errazagoa da II motako eremuarekin aritzea;
I mot akoarekin eremua bi zatit an banandu beharko genuelako. Horregatik,
integrazio
eremua honela idazten dugu
:


y2

D  x, y   2  y  4,
 3  x  y 1
2


et a, ondorioz,integrala honela kalkulatzen dugu
:

y 2
2

y 1
2
  3
4 y 1
4
4
2
x
 2

y 1
xydA

xydx
dy

y
dy

y

 D
 2
 2 y2
  2
2
2 y
2
2
3

3
2

2




y dy 





1 4  y 5
1  y 6
y3
3
2
4
2
   4 y  2y  8y dy  2  24  y  2 3  4 y  
2 2  4
2
4
 4
1  4 5
44
42
42
4
4
3
2
2
4 
4 
 4  64  96 16  24 1 2  115 88  36
  4 
2  6
6
6
3
3
 3
Integral bikoitzaren kalkulua
Aurreneko integralean eremua I motakot zat hartu izan bagenu,
hurrengo erara kalkulatu
beharko genukeen int egrala
:

1
D
xydA 
2x 6
  xydy
3  2x 6
5
dx 
2x 6
  xydx
1
dy
x 1
et a, bide horret atik,lan gehiago egin behar da.
Batzuet an,eremuaren aldetik antzekoak dira I edo II mot akotzat
jotzea, baina integrakizunaren aldet ik,
errazagoa suertatzen da mot a
bat best ea baino. Hori agerian gertatzen da hurrengo adibidean
:
Integral bikoitzaren kalkulua
1 1
Adibidea: Ebaluat u integral iteratu hau
:   siny 2 dydx
0 x
Emandako int egral iteratua hurrengo integral bikoitza bihur daiteke
:
1 1
  siny dydx  
2
2
sin
y

dA
D
 0 x
et a, emandako int egrazio limitekin asmatu daiteke integrazio eremua zein den.
Eremu hori bai I motakotzat,
bai II motakotzat har daiteke irudian ikusten den bez:



Integral bikoitzaren kalkulua
I motakotzat hartuta,
D  x, y  | 0  x  1, x  y  1, integrala emandako
ordenenean egingo genuen (lehen
y - rekiko integrazioa eta,
gero, x - rekikoa).
Hala ere, siny 2  ez da berehalako integrala
y - rekiko.
Dena den II motakotzat hartutDa, x, y  | 0  y  1, 0  x  y, orain int egrazio
ordena aldat uta,integrala berehala kalkula daiteke
:
1

y
 siny dxdy 
0 0
2
1

0
x siny
y
2

0
1
dy 

0
y siny dy  
2
cosy
2

1

2
0
1
1  cos1
2
Azalera eta bolumenen kalkulua
integral bikoitzaren bidez
Lehen esan dugunezD eremuanf funt zioa posit ibo denean,
integral bikoitzak:

D
f (P)dA
z  f (x, y) gainazalaren azpiko zilindro bat en bolumena emat en zilindroaren
du,
lerro zuzendariaD eremuaren mugalerroa izanik.
Bestaldetik,aipatu dugu, baita ere, OXY planoko azal zat i baten azalera honela
kalkulat u daitekeela:
A=
 dA
D
Erabil ditzagun formula hauek hurrengo adibideetan
:

Azalera eta bolumenen kalkulua
integral bikoitzaren bidez
Adibidea:
Aurkituz = x 2  y 2 paraboloidearen azpian eta OXY planoko hurrengo
D eremuaren
gainean gelditzen den solidoaren bolumena
: D - ren mugak y = 2x lerro zuzena eta
y = x 2 parabola dira.
Muga lerroek bat egiten dute
2x = x 2 denean, hau da, x = 0 eta x = 2 direnean.
D eremuaren adierazpena,I motako eremutzat hart uta,
ondorengoa da:
D = x, y  | 0  x  2 , x 2  y  2x
Azalera eta bolumenen kalkulua
integral bikoitzaren bidez
Ondorioz, eskatutako bolumena,honela kalkulatzen da
:
V=
 x
D
2
 y dA 
2
2 2x
  x
 y 2 dydx
0 x2
 2
y 3 
  x y   dx 
3 x 2
0 
2
2
2x
 2
(2x) 3
(x 2 ) 3 
2
2
 x (2x)  3  x (x )  3 dx 
0
2
6
 x 7 x 5 7 4 
2 x
14 3 
4
  0   x  x dx     x  
3 
 3
 21 5 6 0
2
 8 2 7  16
16
216
 2    
81 
80  84  245 
 21 5 6  210
210
35
4
Azalera eta bolumenen kalkulua
integral bikoitzaren bidez
Baina emandako eremua II motakotzat ere onar daiteke :
D=

x, y
| 0  y  4 , y /2  x  y

Azalera eta bolumenen kalkulua
integral bikoitzaren bidez
et a, eskatut ako bolumena,honela ere kalkula dait eke
:
V=
 x
D
2
 y 2 dA 
4
  x
0
x 3

2
    y x  dy 
y
0  3
y
4
y
2
 y 2 dxdy 
y
2
4

0
3
3 
y 3 / 2
y
y
 y5/2 
 dy 

24 2 
 3
2
2y 5 / 2 2y 7 / 2 13y 4  2 6 2 8 13 2 8
 


   
15
7
96
96

0 15 7
4
 1 4 13  2 6
16
216
 2    
81 
56  480 455 
15 7 24  840
210
35
6

Azalera eta bolumenen kalkulua
integral bikoitzaren bidez
Adibidea:
Aurkitu x +2y + z = 2, x = 2y, x = 0 eta z = 0 planoek mugatutako tetraedoren bolumena
Askotan lagungarriak dira eskatutako solidoaren bolumenaren marrazkia
eta integrazio eremuarena ere bai. Hona hemen bi irudi horiek
:
Azalera eta bolumenen kalkulua
integral bikoitzaren bidez
Ondorioz, integrazio eremua daD = x, y  | 0  x  1 , x /2  y  1  x /2eta
eskatut ako bolumena,honela kalkulatzen da
:
1
V=
x
2
 2  x  2ydA    2  x  2ydydx
D
0
1
1

1
 2y  xy  y 
2
0
x
2
x
2
x
2

 x   x 2
x 2 x 2 
dx   2  x  x1   1    x   dx 
 2   2 
2
4 
0 
1
x 3
 1
2
2
  0 x  2x 1dx    x  x  
 3
0 3
1
1
Azalera eta bolumenen kalkulua
integral bikoitzaren bidez
Adibidea:
Kalkulatu jatorrian zentratutako
Ezaguna den bezala,

x2 y2
+
= 1, elipsearen azalera.
a2 b2
a eta b elipsearen ardatz erdiak deitzen dira
:
Azalera eta bolumenen kalkulua
integral bikoitzaren bidez



x2
x 2 
Integrazio eremua honela aukera genezake
: D = x, y  |  a  x  a ,  b 1  2  y  b 1  2 

a
a 


baina elipsearen simetria kontutan hartuta,
horren laurdena har dezakegu
:



x 2 

D* = x, y  | 0  x  a , 0  y  b 1  2 et a bider lau egin:

a 


a
A=
b 1
x2
a
2
a
b 1
x2
a2
a
 dA    dydx  4  dA  4   dydx  4  y
D
a
a
D*
b 1
0
x2
a
0
0
b 1
x2
a2
dx 
0
2
0
x2
1  2 dx   x  asin t , aldagai- aldaketarekin
a


 4b 
2
 4b 
0

2
4ab
1  sin t acost dt  4ab  cos t dt 
2
0
2
2

 sin2t 2

 2abt 
  2ab  ab

2 0
2
2
 1 cos2t 
0
dt 
Aldagai aldaketa integral bikoitzetan
Integral bikoitzaren definizioan esan genuen bere balio ez zela D
eremuko zatiketa motaren menpekoa, hau da, Dsi, elementuen forma
edozein izan zitekeen.
Integral bikoitza, integral iteratuaren bidez, x-rekiko eta y-rekiko
bi integral sinple bilakatzen zen. Horrela, bolumen totala lortzen da
dxdy oinarri infinitesimala duten paralelepipedoen bolumenak elkarri
batuz (integratuz).
Koordenatu kartesiar hauek ez dira beti suertatzen egokienak
(edo errazenak) integralak kalkulatzeko, eta horregatik definitzen dira
beste koordenatu-sistema batzuk.
Aldagai aldaketa integral bikoitzetan
Koordenatu polarrak: OXY planoko puntuak
deskribatzeko beste sistema da:
x   cos , y   sin 
c
y
  x  y , tan 
x
2
2
  [0,) ,   [0,2 )
Aldagai aldaketa integral bikoitzetan
Koordenatu polar hauek oso egokiak dira hurrengo
motako eremuetan integralak kalkulatzeko:
Aldagai aldaketa integral bikoitzetan
D integrazio eremuaren zatiketa egin zitekeen lauki
kartesiar (dA=dxdy) infinitesimalen bidez, edo, hurrengo irudian
Erakusten den lauki polar (dA=ddq) infinitesimalen bidez:

    b
D
f (x, y)dA 
 
   a
f ( cos,  sin)dd 
 b   
  f ( cos,  sin)dd
 a  
Aldagai aldaketa integral bikoitzetan
Adibidea:
Kalkulatu
 3x + 4 y dA non D OXY goi - planoerdiko zatia den,
2
D
x 2  y 2  1 eta x 2  y 2  4 zirkuluen artekoa.
Eskatut ako eremuaD = x, y  | 0  y , 1  x 2  y 2  4lehen irudikatu dugu,

et a koordenatu polarret an honela adieraz dait:eke
D = , | 1    2 , 0    

2
 3x + 4 y dA =   3 cos  4 
2
D
2
sin2 dd 
0 1


2
  3
2
cos  4  3 sin2 dd 
0 1


 
0

2
3
cos   sin  d 
4
2
1

 7cos 15sin d 
2
0

1  cos2 
15
  7cos 15
d 

2
2
0 

Aldagai aldaketa integral bikoitzetan
Adibidea:
Aurkituz = 0 planoak etaz =1  x 2  y 2 paraboloideak mugatutako solidoaren bolumena
z = 0 planoak etaz =1  x 2  y 2 paraboloideak
mozten diot e elkarri
0 =1  x 2  y 2 denean
hau da OXY planoan jat orrian zent ratut a dagoen
1 erradiodun zirkunferentzian. Beraz gure solidoa
paraboloidearen azpiko eta zirkulu horren gaineko
solidoa da.
Aldagai aldaketa integral bikoitzetan

Integrazio eremua koordenat u polarret an hauxe: da
D = , | 0    1 , 0    2
et a integrakizuna,1  x 2  y 2 , koordenatu polarretan
1   2 idazt en da:
V=
 1  x
D
2


0
2
 y dA 
2
2 1
  1   dd 
2
0
0
 2  4  
3
d     d  2    
4 0 2
 2
0
1
1

Aldagai aldaketa integral bikoitzetan
Integrazio eremuak konplexuagoak ere izan daitezke
koordenatu polarrekin. Adibidez hurrengo irudikoa:

D = , |     , h1()    h2 ()


D
f (x, y)dA 
 h 2 ( )
 

f ( cos,  sin ) dd
 h1 ( )
Aldagai aldaketa integral bikoitzetan
Edo beste hurrengo irudikoa:

D = , | a    b, g1 (  )    g2 ( )


D
f (x, y)dA 
b g2 ( )
 

f ( cos,  sin )dd
a g1 (  )
Aldagai aldaketa integral bikoitzetan
Koordenatu kartesiarrekin egiten genuen bezala, integrazio
eremuaren gainazala kalkulatu nahi badugu, f(x,y)=1 funtzioa
integratuko dugu:

D = , |     , 0    h()
 h( )
A(D) 
 dA    dd  
D

A(D) 




0
2
1
h(

)
d


2

2
2

h( )
d
0
Azalera eta bolumenen kalkulua
integral bikoitzaren bidez
Adibidea:
Integral bikoitz baten bidez aurkitu,
  cos2 ekuazioa duen,lau hostoko hirustaren
hosto baten azalera.

D = , |   /4     /4, 0    cos2
A(D) 
 / 4 cos2
 /4
 / 4
 / 4
 dA    dd  
D
0
2
2
cos2
d
0
1  /4 2
1  /4
A(D)   cos 2 d 
 1 cos4 d
2  / 4
4  / 4
 /4

1  1

A(D)    sin 4

 / 4 8
4  4

Azalera eta bolumenen kalkulua
integral bikoitzaren bidez
Adibidea:
Aurkitu z  x 2  y 2 paraboloidearen azpiko,
zilindroaren barruko solidoaren bolumena.
OXY planoaren goialdeko,
eta x 2  y 2  2x
D eremua zilindroari dagokion zirkuluarena da
:
x 2  y 2  2x, honela ere berridat z daitekena
:
x 12  y 2  1

Azalera eta bolumenen kalkulua
integral bikoitzaren bidez
x 12  y 2  1 berridazten badugu koordenatu polarret :an
 cos 1
2
  2 sin 2   1   2 cos2  1  2  cos   2 sin 2   1 
  2  2 cos    2cos eta, ondorioz,integrazio eremu hau dugu:

eta, eskatut ako bolumena:
D = , |   /2     /2, 0    2cos
V
 x
D
2
 y 2 dA 
 /2
 / 2 2 cos
 /2
   dd  
2
 / 2
 / 2
0
 /2

4 2 cos
4
d 
0
 /2
1 cos2 2
 4  cos  d  8  cos  d  8  
 d 
 2

 / 2
0
0
4
 /2
4



3
2 3
1
1
 2  1 2cos2  1 cos4 d  2    sin2  sin 4  


2
0
2
8
2
0
Bestelako aplikazioak
Integral bikoitzak, Zientzian, arlo askotan agertzen zaizkigu.
Magnitude
batzuren kalkuluak integral bikoitzen bidez egin behar dira. Adibide
batzuen laburpena aipatuko dugu:
1. Xafla mehe bati dagozkion hainbat propietate, besteak beste,
bere masa, beraren karga elektrikoa eta abarrekoak, kalkula
daitezke bi aldagaiko funtzioen integral bikoitzen bidez:
D eremu lau bateko masa- dentsitat ea ezagutuz,(x, y), bere masa, m, honela
kalkula dezakegu: m 

D
(x, y)dA. Kasu honetan dentsit atearen definizioa
Dm
, non Dm masa Da azalerako zatiaren masa da,
zatia
Da  0 Da
gero eta txikiagoa hartuz. Dentsitatea
(x, y) = 0 konstantea izango balitz
:
hau litzateke:   lim
m

D
(x, y)dA 

D
0 dA  0  DdA  0 A(D)
Bestelako aplikazioak
Kasu berdintsua da xafla bat en karga elektrikoaren kalkulua,
oraingo honet an
DQ
, non DQ karga Da azalerako
Da  0 Da
zatiaren karga da,zatia gero eta txikiagoa hartuz. Xaflaren karga totala
: da
karga- dentsitat ea ezagut uz,(x, y),   lim
Q

D
(x, y)dA
Bestelako aplikazioak
Adibidea:
Karga elektrikoa irudiko hirukian banatuta dugu,
zeinen (x,y ) puntuko karga dentsitatea
2
(x, y)  xy ekuaziokoa den (C/m
, Coulomb zati metro karratuko unitateetan).
Aurkitu banaketaren karga totala.
Q


x
D
(x, y)dA 
1
  xydydx
0 1x
2 1
y
2
1
1x
dx 
x
 2 1  1  x dx
2
2
1
1 2x 3 x 4 
5
2
3
  2x  x dx  
   C
2 0
2  3
4 0 24
1
1
Bestelako aplikazioak
2. Integral bikoitzaren bidez, xafla baten
grabitate-zentrua, G, non dagoen kalkula
daiteke ere:
Grabit ate- zentruaren koordenat uak,
xG , yG , honela
kalkulatzen dira:
1
xG 
m
1
yG 
m

D

D
x (x, y)dA
y (x, y)dA
Bestelako aplikazioak
Adibidea:
Zirkulu erdi xafla baten puntuen masa dentsitatea dagokion zirkuluaren zentrurainoko
distantziaren proportzionala da. Aurkitu xaflaren masa zentrua.
Demagun xaflax 2  y 2  a 2 ekuazioko
zirkuluaren goi erdia dela.x, y  punt utik
zirkuluaren erdira0,0 punt ura doan
distantzia x 2  y 2 da.
Beraz dent sitatea hau da
:
(x, y) = K x 2  y 2
non K konstante bat den.
Bestelako aplikazioak
Bai dent sit ate funtzioagat ik,
bai xaflaren formagatik,
egokia da koordenatu polarren
erabilera. Orduanx, y   K x 2  y 2 = Kr et aD integrazio eremua hurrengoa da
:

D = r, | 0  r  a , 0    
Hort az xaflaren masa hauxe da
:
m
 x, y dA  
D


2
2
K
x

y
dA
D

a
a
  Krrdrd  K  d  r dr
2
0
0
r3
 K
3
0
a
0
a3
 K
3
0

Bestelako aplikazioak
Best aldetik,xafla bera et a dentsit ate funt zioa ere bai OY ardatzarekiko simet rikoak
dira, eta, ondorioz masa zentrua OY
ardat z honen gainean egongo da. Horrek esan
nahi du xG  0 dela. Bere y koordenatua hurrengo hau izango da
:
1
yG 
m
3
y

x,
y
dA



 D
Ka 3
3
 3
a

a

a
  r sinKrrdrd
0 0
4
 r
3
3
 sind  r dr  a3 cos0 4
0
0
3 a 4 3a
 32

a 4 2
 3a 
Beraz, masa zentrua0,  puntuan dago.
 2 
a
0
Bestelako aplikazioak
3. Inertzia momentuak: m masako partikula baten inertzia momentua
(edo bigarren momentua) ardatz batekiko mr2 da definizioz, non r
partikularen eta ardatzaren arteko distantzia den. Kontzeptu hau zabaldu
daiteke xafla baterako, suposatuz xafla elementu infinitesimalez osatuta
dagoela eta elementu infinitesimal horiek elkarri batuz. Horrela, OX eta OY
ardatzekiko inertzia momentuak honela kalkulatuko genukituzke hurrenez
hurren:

 
Ix 
2
y
(x, y)dA
D
Iy
2
x
(x, y)dA
D
Bi hauen arteko baturari deitzen ohi zaio jatorriarekiko inertzia
momentua
edo inertzia momentu polarra, I0:

I0 
2
2
x

y
 D 
(x,y)dA
Bestelako aplikazioak
Adibidea:
Kalkulat ua erradiodun diska homogeneo(x, y)   baten Ix , Iy et a I0
inertzia momentuak.
Zirkuluaren ekuazioa dax 2  y 2  a 2 eta, argi eta garbi,komeni da koordenatu polarrak
erabiltzea.D integrazio eremua hurrengoa da
: D = r, | 0  r  a , 0    2

Hort az,I0 honela kalkulatuko dugu:
I0 
 x
D
2 a
2
 y dA   
2
0
2
a
r4
2
3
 r rdrd    d  r dr  2 4
0
0
0
a

0
a 4
2
et a, ondoriozIx eta Iy kalkulatzeko kontutan izango dugu
I0 = Ix + Iy eta zirkuluaren
I0 a 4
simetriagat ikIx = Iy . Ondorioz: Ix = Iy  
.
2
4
Bestaldetik diskaren masa m
= dentsitatea azalera= a 2  dela
1
et a, jatorriarekiko momentua honela ere jar daiteke
: I0  m a2
2
Integral hirukoitzak
Integral hirukoitzak hiru aldagaiko u=f(x,y,z) funtzioen integral
mugatuak dira. V definizio eremu itxi batean definitutako
funtzio jarraien integral hirukoitzak aztertuko ditugu.
Integral bikoitzaren antzera, definizioa Riemann-en batuketen
segida baten bidez ematen da. Irudian ikusten da nola
funtzioaren V definizio-eremua zatitzen den zati txikietan: DV1,
DV2,…DVn.
Integral hirukoitzak
Rn Riemann batuketa bat da, n batugaietakoa, eta DVi, n
elementuekin V osoa betetzen da. Elementuen forma edozein da eta
elementu bakoitzean (barruan edo mugan) Pi puntu bana aukeratzen
da. Puntu horretan ebaluatzen da funtzioa f(Pi) DVi eta Riemann
batuketa gaien batura da. Riemann batuketen segida osatzen da V-ren
zatiketa gero eta xeheagoa eginda, hau da, gero eta elementu
gehiagotan zatituz V eta, ondorioz, gero eta txikiago hartuz
elementuen banakako bolumenak DVi,. Bolumen hauek infinitesimalak
eginda, heuren bolumena zerorantz joango da.
Honelako segida bat izango dugu:
Rn1, Rn 2 , K , Rnk , K non n1  n2  K  nk  K
Integral hirukoitzak
f jarraia bada horrelako edozein segidak badu
limiterik eta beti limite bera lortzen da (berdin du zein
elementuen itxura edo zein Pi aukeratzun ditugun).
Limitearen balio horri f-ren integral hirukoitza V
integrazio eremuan deitzen diogu eta honela idazten da
n
 f (x, y,z)dV  lim  f (P )DV
Beste idazkera hauek ere erabiltzen dira:
diam Vi  0
V
 f (x,y,z)dV 
V

V
f (P)dV 
i
i
i1

V
f (x, y,z)dxdydz
Integral hirukoitzen propietateak
1. Integral hirukoitza eragiketa lineala da, hau
da, hurrengo bi propietateak baieztatzen dira:
 f (x, y,z)  g(x,y,z)dV   f (x,y,z)dV  
 cf (x,y,z)dV  c  f (x, y,z)dV
V
V
V
V
g(x,y,z)dV
V

2. V eremuan



V
f (x, y,z)  g(x, y,z)
f (x,y,z)dV 

V
bada, orduan:
g(x,y,z)dV
Integral hirukoitzen propietateak
3. S gainazal baten bidez V integrazio eremua barne-puntu
komunik gabeko V1 eta V2 eremuetan zatitzen bada, orduan:

V
f (x, y,z)dV 

V1
f (x, y,z)dV 

V2
f (x, y,z)dV
Integral hirukoitzen propietateak
4. V integrazio eremuan f(x,y,z)=1 funtzioa integratuz, integral
hirukoitzak V-ren bolumena ematen du:

V
1dV  V (integrazio eremuaren bolumena)
Hortaz, badaukagu bide berria (lehen integral bikoitzen bidez
egin genuen) bolumenak kalkulatzeko.

5. V eremuko puntu guztietan
m V 


V
m  f (x, y,z)  M
f (x,y,z)dV  M V
bada, orduan:
Integral hirukoitzen propietateak
6. Batezbestekoaren Teorema: f(x,y,z) funtzio jarrai baten integral
hirukoitzaren V integrazio eremuan badago gutxienez, honelako P
puntu bat:

V
f (x,y,z)dV  f (P) V
Teoremaren izena (batezbestekoarena) hobeto ulertzen da aurreko
berdintza baliokidea den hurrengo eratara idatziz:

1
f (P) 
V


V
f (x, y,z)dV
Integral hirukoitzen kalkulua
Integral hirukoitza, praktikan, integral bikoitzaren
kasuan bezala, integral berritu (iteratua) bilakatzen
da eta, ondorioz, hiru integral sinple egitea, bata
bestearen atzetik, bihurtzen da.
Integral bikotzarekin gertatzen zen bezala, aukera
anitz dauzkago integrazio eremua koordenatu
desberdinekin adierazteko eta integral sinpleen ordena
hautatzeko. Izan ere, integral hirukoitzaren kasu honetan
aukera gehiago izango ditugu, dimentsio gehigarri bat
dugulako.
Integral hirukoitzen kalkulua
Koordenatu kartesiarrekin hasiko gara. Demagun f(x,y,z) funtzioaren V
integrazio eremua hurrengo irudikoa dela:
Integral hirukoitza, hurrengo integral iteratuaren bidez kalkula
daiteke:

s d
V
f (x, y,z)dV 
b

r
c
a
f (x, y,z)dxdydz
Integral hirukoitzen kalkulua

s d
V
f (x, y,z)dV 
b

r
c
f (x, y,z)dxdydz
a
Integral sinple hauek bata bestearen atzetik egin behar dira. Goiko
formularen arabera lehenengo x-rekiko integrala egingo genuke, gero
y-rekikoa
 eta, azkenik, z-rekikoa. Emaitza zenbaki huts bat da.
Integrala egin ahala, V bolumena osatzen ari gara. Lehenbizi,
x-rekiko integratuz ziri bat lortzen dugu (x ardatzaren norabidekoa eta
b-a luzerakoa). Bigarren y-rekiko integralaz xafla bat osatzen dugu (OXY
Planoarekiko paraleloa eta (b-a)x(d-c) azalerakoa. Azkenik, hirugarren
integralak (z-renak) V emango du, aurreko xaflen bidez osotua.
Integral hirukoitzen kalkulua
Integral berrituaren ordena aldatu daiteke.
Adibidez:

d
V
f (x, y,z)dV 
s b

c
r
f (x, y,z)dxdzdy
a
ordena aukeratuta, integraketa hurrengo irudiaren araberakoa izango zen:

Integral bikoitzarekin gertatzen zen bezala, integrazio-ordenak kalkuluak
erraztu edo zaildu ditzake.
Integral hirukoitzen kalkulua
Adibidea:
Ebaluatu

2
xyz
dV integral hirukoitza,non V hurrengo kaxa angeluzuzena den
:
V
V = x, y,z | 0  x 1 , 1  y  2 , 0  z  3
Kasu honetan integral iteratiboaren ordena ez da oso garrantzitsua
:

3
2
xyz
dV 
V
2
2
0 1 0
2

0 1

3
   xyz dxdydz  
3

2 1
3 3
z
4
0
0 1
yz 2
dydz 
2

27
4
3

0
y 2z 2
4
2
1
x 2 yz 2
dydz
2 0
3
3z 2
dz  
dz
4
0
1
Integral hirukoitzen kalkulua
Integrazio eremuaren gainazalak kurbatuak direnean V-ren
osaketa hainbat modutan egin daiteke. Irudiak erakusten du eremu
erregular bat. Eremu erregularretan barneko puntu batetik pasatzen
den lerro paralelo batek (OX ardatzarekiko, OY ardatzarekiko edo OZ
ardatzarekiko) V-ren muga bakarrik bi puntutan ebakiko du:
Integral hirukoitzen kalkulua
Integrazio eremua, berriz, erregularra ez denean, irregularra deitzen da eta,
integratu aurretik, eremu erregularretan zatitu behar da.
Aurreko irudiaren eremu erregularrean integratzeko hiru era ezberdinetan egin
daiteke (koordenatu kartesiarretan).
Hiru era horiek lotuta daude integral iteratiboaren hiru ordena desberdinekin:
I era- V eremua OXY planoan proiektatzen dugu, proiekzioa OXY planoko DI eremu itxia
izanik. V eremuko puntu guztien x eta y koordenatuetako (x,y) puntuak DI eremuan
daude. V-ren puntuetako multzoaren adierazpen hau da:
V = x, y,z | x, y  DI , u1(x, y)  z  u2 (x, y)
DI eremuaren mugalerroa V-ren gerriko lerro baten (ez derrigorrean horizontala)
proiekzioa da eta V-ren gainazala bi zatitan banatzen du, goiko tapa (ekuazioa
z=u2(x,y)) eta beheko tapa (ekuazioa z=u1(x,y)).
Era honetan, integral iteratua honela hasiko genuke:


V
u2 (x,y )

f (x, y,z)dV   D   f (x, y,z)dz dA
I 

u1 (x,y )

Integral hirukoitzen kalkulua
II era- Era honetan OYZ planoan proiektatzen dugu, proiekzioa
OYZ planoko DII eremu itxia izanik. V eremuko puntu
guztien y eta z koordenatuetako (y,z) puntuak DII eremuan
daude. V-ren puntuetako multzoaren adierazpen hau da:
V = x, y,z | y,z  DII , s1(y,z)  x  s2 (y,z)
DII eremuaren mugalerroa V-ren inguru lerro baten (ez
derrigorrean bertikala) proiekzioa da eta V-ren gainazala bi

zatitan
banatzen du, alde bateko tapa (ekuazioa
z=s2(x,y)) eta bestaldeko tapa (ekuazioa z=s1(x,y)).
Era honetan, integral iteratua honela hasiko genuke:

V
f (x, y,z)dV 

D II
s2 (y,z )

  f (x, y,z)dx dA


s1 (y,z )

Integral hirukoitzen kalkulua
III era- Era honetan OXZ planoan proiektatzen dugu,
proiekzioa OXZ planoko DIII eremu itxia izanik. V eremuko
puntu guztien x eta z koordenatuetako (x,z) puntuak DIII
eremuan daude. V-ren puntuetako multzoaren adierazpen
hau da:
V = x, y,z | x,z  DIII , t1(x,z)  y  t 2 (x,z)
DIII eremuaren mugalerroa V-ren inguru lerro baten (ez

derrigorrean
bertikala) proiekzioa da eta V-ren gainazala bi
zatitan banatzen du, alde bateko tapa (ekuazioa
z=t2(x,z)) eta bestaldeko tapa (ekuazioa z=t1(x,z)).
Era honetan, integral iteratua honela hasiko genuke:

V
f (x, y,z)dV 

D III
t 2 (x,z )

  f (x, y,z)dy dA


t1 (x,z )

Integral hirukoitzen kalkulua
Ikusten dugunez, edozein eratan hasita, lehenengo
integrala egiten dugunean, integral bikoitz bat geratzen
zaigu. Hori egiteko integrazio eremu laua bi era
ezberdinetan osotu daiteke. Hortaz, guztira hiru
integraletako integral iteratiboa sei era ezberdinetan
burutu daiteke. Integral bikoitza egiteko koordenatu
polarretara pasa gaitezke ere. Kontutatn izan behar da
ere, aipatutako sei integraletako batzuk besteak baino
errazagoak edo zailagoak suerta daitezkeela.

Integral hirukoitzen kalkulua
Adibidea:
Ebaluatu

V
zdV integral hirukoitza, non V tetaedro bat den, mugak x  0,
y  0, z  0, x  y  z  1 planoak diren.
Irudian ikusten da V integrazio eremua et a bere proiekzioa OXY planoan.
I erako integral iterat ua egingo dugu et a int egral bikoit zeko int egrazio eremua
ere I erako moduan burutuko dugu
:
Integral hirukoitzen kalkulua
V = x, y,z | 0  x 1 , 0  y 1 x , 0  z 1 x  y

zdV 
V
  
1

2
1
1x
1x y
0
0
0


zdzdydx 
1  x  y


3 1x
1
0
3
0
 
1
1x
0
0
z2
2
1x y
dydx 
0
1
2
  1  x  y dydx 
1
1x
0
0
2
4
1 1
1  1  x  
1
3
 
dx   0 1  x  dx  
6
6 
4  24
0
1
Integral hirukoitzen kalkulua
Adibidea:
Ebaluatu

V
x 2  z 2 dV integral hirukoitza, non V eremua y  x 2  z 2 paraboloideak
eta y  4 planoak mugatutako eremua den.
Irudian ikusten da V integrazio eremua eta bere proiekzioa OXY planoan.
Hasierako asmoa I eran integratzea izan litzateke
:

Integral hirukoitzen kalkulua
Hasierako asmoa I eran integratzea izan litzateke
:
V

x, y,z |  2  x  2 , x
x  z dV 
2
V
2
  
2
2
2
 y  4 ,  y  x2  z  y  x2
4
y x 2
2
 y x
x
2

x 2  z 2 dzdydx
et a z - rekiko int egrala egit eko hurrengo bi aldagai aldaketak erabili genit zake
:
z  x tant, lehendabizi etau  tan(t /2) ondoren. Horiek egin eta gero
:

x 2  z 2 dz 

x2
dt

3
cos t

1 u  du
1  u 
2 2
x22
2 3
Azken int egrala funt zio errazional baten integralaeta
da, luzea izan daiteke.
Integral hirukoitzen kalkulua
II eran int egratzea berdintsua suertat uko lit zateke,
OXY eta OYZ planoekiko
proiekzioak antzekoak direlako. Hortaz,
III erara saiatuko gara
: OXZ planoan
proiekt atuz zirkulu bat lortzen :da
V  x, y,z | x, y  DIII , x 2  z 2  y  4


V
x 2  z 2 dV 

D III
 4

2
2
  x  z dy y x 2  z 2
x 2 z 2
 D III
eta orain, geratzen zaigun integral bikoitza hau,
4
dA 
x 2 z 2
 4  x
D III
2
 z 2  x 2  z 2 dA
koordenatu polarretan egingo dugu
:
Integral hirukoitzen kalkulua

DIII  , | 0    2 , 0    2

x   cos
z   sin


x  z dV 
2
V
2
 4  x
D III
2
2
z
2

2 2
x  z dA 
2
2
   4   dd 
2
0
0
D III
4 3 1 5 
1 1 2
128
       d  32   d 
3 5 0
5 0
15
0 3

2
Aldagai aldaketa integral hirukoitzetan
Integral hirukoitz batzuk, integral bikoitzetan gertatzen zen bezala,
errazago kalkulazten dira kartesiarrak ez diren koordenatuetan, batik bat,
koordenatu zilindrikoetan eta koordenatu esferikoetan, alegia. Azter ditzagun
bi koordenatu-sistema garrantzitsu hauek:
Koordenatu zilindrikoak
Espazioko puntu bati dagozkion koordenatu zilindrikoak (, ,z) hirukote
dira, bi luzera,  eta z, eta angelu bat, . Irudian agerian geratzen da
heuren definizioa:
 [0,) ,  [0,2 ) , z  (,)
x   cos
y   sin 
  x2  y2
  arctany / x
zz
zz
Aldagai aldaketa integral hirukoitzetan
Beheko irudian erakusten da nolako elementu infinetesimalak
erabiltzen diren V integrazio eremua osotzeko:
"Kutxa zilindriko"infinitesimal honi
dagokion bolumena,dV, honela
kalkula daiteke:
dV  d dz d  dddz

Aldagai aldaketa integral hirukoitzetan
Beraz f(x,y,z) funtzioa integratu behar badugu honelako “kutxa
zilindriko” itxura duen V integrazio eremuan, honela egingo dugu:


V  ,,z | a    b ,      , c  z  d


 b d
V
f (x, y,z)dV 

 a c
f ( cos,  sin,z)dzdd
Aldagai aldaketa integral hirukoitzetan
Noski, koordenatu kartesiarretan gertatzen bezala,
integrazio-ordena aukeraketak kalkuluak zaildu edo erraztu
ditzake.
Era berean, integralen kausistika, koordenatu
kartesiarrekin bezain zabala izan daiteke. Adibidez, lehengo V
integrazio eremuan, “kutxa zilindrikoaren” goiko eta beheko
tapak kurbatuak balira (lauak izan beharrean), honela arituko
ginen:


V  ,,z | a    b ,      , u1 (,)  z  u2 (,)

V
f (x, y,z)dV 
 b u2 (  , )
 
f ( cos,  sin ,z)dzdd
 a u1 (  , )
Aldagai aldaketa integral hirukoitzetan
Adibidea:
V gorputz bat dugux 2  y 2 =1 zilindroaren barruan,z  4 planoaren azpian eta
z 1  x 2  y 2 paraboloidearen gainean. Gorputzaren puntuen dentsitatea,
puntutik
OZ ardatzairano doan distantziaren proportionala da. Kalkulatu
V - ren masa.
Irudian ikusten da V gorputza (hau da, V integrazio eremua). Zilindro bat da,
bere goiko tapa laua eta behekoa paraboloidea direla
:


V  ,,z | 1   2  z  4 , 0    1 , 0    2


Aldagai aldaketa integral hirukoitzetan
V
,,z | 1  
2
 z  4 , 0    1 , 0    2

Masa kalkulatzeko,integrat u behar dugun funtzioa dentsit atea da,
eta,
esan diguten bezala,OZ ardatzarainoko distantziaren
 -( ren) proportzionala da
:
d = K. Beraz hurrengo integral hirukoitza kalkulat u behar dugu
:

KdV 
V

  
2
1
0
0
 
2
0
4
Kdzdd 
1  2
2
2
K

3



dd 
0
1
 
2
0

2
0
1
K  z 1  2 dd 
0
4
 3  5 
K    d 
5 0

 1  2
6K
12
 K1  0 d 
2 
K
 5 
5
5
1

Aldagai aldaketa integral hirukoitzetan
Adibidea:
Kalkulatu hurrengo integral iteratua
:  -2  
2
4 x 2
4 x
2

2
x y
2
2
x
2
 y 2 dzdydx
V integrazio eremuaren adierazpena hurrengo hau: da
V
x, y,z |
x2  y2  z  2 ,  4  x2  y  4  x2 ,  2  x  2
Ikusten den bezalaz aldagaiari dagokion beheko
tapa daz  x 2  y 2 (kono bat)eta goiko t apa,
z  2 (plano bat ).z  ri dagokion integrazio egin
ondoren, integral bikoitza geratzen zaigu OXY
planoko eremu bat et an. Eremu hori da 2 erradiodun
zirkulua, irudian egiazt at zen den bezala
:

Aldagai aldaketa integral hirukoitzetan
V - ren forma ikusita,argi eta garbi dago koordenatu zilindrikoak hobesten direla
integral hirukoitz hau kalkulatzeko
:
x 2  y 2   2 cos2    2 sin 2    2
z  x2  y2  
 

2
4 x 2
-2
 4 x

2
2
2
x

y
dzdydx
2
2 
x y
2
   2  dd  
2
2
0
0
3
2
0
 V x 2  y 2 dV 
     dzdd 
2
2
0
0
2
2
 4  5 
2 4 2 5  2
16

d



d






5 0
5  0
5
 4
 2
2
Aldagai aldaketa integral hirukoitzetan
Koordenatu esferikoak
Espazioko puntu bati dagozkion koordenatu esferikoak
(, q,) hirukote dira, luzera bat, r, eta bi angelu, q eta
. Irudian agerian geratzen da heuren definizioa:
r [0,) , q [0,  ] ,  [0,2 )
x  r sin q cos
y  r sin q sin 
z  r cosq
r  x 2  y 2  z2
x2  y2
q  arctan
z
y
  arctan
x
Aldagai aldaketa integral hirukoitzetan
Beheko irudian erakusten da nolako elementu infinetesimalak
erabiltzen diren V integrazio eremua osotzeko:
"Kutxa esferiko"infinitesimal honi
dagokion bolumena,dV, honela
kalkula daiteke:
dV  dr rdq  r sin qd  r 2 sinqdrdqd

Aldagai aldaketa integral hirukoitzetan
Beraz f(x,y,z) funtzioa integratu behar badugu honelako “kutxa
esferiko” itxura duen V integrazio eremuan, honela egingo dugu:

V  r,q , | r1  r  r2 , q1  q  q 2 , 1    2


V
f (x, y,z)dV 
 2 q 2 r2
   f (rsinq cos,rsinq sin,rcosq )r drsinqdqd
2
1 q 1 r1

Aldagai aldaketa integral hirukoitzetan
Berriro ere, koordenatu kartesiarrekin eta
zilindrikoekin gertatzen zen bezala, integralen kausistika
oso zabala izan daiteke. Adibidez, lehengo V integrazio
eremuan, “kutxa esferikoaren” jatorritik gertuago eta
urrutiago dauden tapak irregularrak balira (erradio,r,
konstante izan beharrean), honela egingo genuen:

V  r,q , | u1 (q ,)  r  u2 (q ,) , q1  q  q 2, 1    2

V
f (x, y,z)dV 
 q 
2
q2
1
1
u2 (q , )
u1 (q , )

f (r sin q cos,r sin q sin ,r cosq )r 2 drsin qdqd
Aldagai aldaketa integral hirukoitzetan
Adibidea:
Kalkulatu int egral hirukoitz hau
:  Ve
x 2 y 2 z 2 
3/ 2
dV , non V, integrazio eremua,
1 erradioko bola den.
Integrazio eremua bola bat denez (hau da,
"kutxa esferiko"bat) argi dago
egokia dela koordenatu esferikoen erabilera.
V integrazio eremua honela
adierazt en da:

V  r,q , | 0  r  1 , 0  q   , 0    2
x 2 y 2 z 2 
3/ 2
et a integrat u behar dugun funt zioa
:e
 Ve
x
2
y z
e 1 2
3
2

2 3/ 2
dV 

 
2

0
0

e
 0 e r 2drsin qdqd 
1 r3
2e 1 2
4
cos
q
d


d




e 1


3
3
0
0
0
r 2 
3/ 2
2 

0
0
 e r Beraz:
3
r3
e
3
1
sin qdqd 
0
Aldagai aldaketa integral hirukoitzetan
Adibidea:
Koordenatu esferikoak erabiliz kalkulatu
z  x 2  y 2 konoaren gainean eta
x 2  y 2  z 2  z esferaren barruan dagoen gorputzaren bolumena.
Esferaren ekuazioa honela berridatz daiteke
:
x 2  y 2  z2  z  x 2  y 2  z2  z  0 
2


1
1
 x 2  y 2  z   
 2  4
et a, honela, hobet o ulertzen da,1/2 erradioko
esfera dela, bere zent rua (0,0,1/2) puntuan
duena. Hortaz,eskat zen diguten gorputzaren
bolumena da ondoko irudian erakusten dena
:
Aldagai aldaketa integral hirukoitzetan
Koordenatu esferikoetan hurrengo adierazpenak dit:ugu
(esfera) x 2  y 2  z 2  z  r 2 = r cosq  r = cosq
(konoa) z  x 2  y 2  r cosq 
r sin q cos  r sin q sin  
2
 r cosq  r sin q  tanq  1  q 
2

4
et a, ondorioz,V, integrazio eremua hurrengo hau da
:

V  r,q , | 0  r  cosq , 0  q   /4, 0    2
et a bolumena:
2  / 4 3 cosq
 
0
0
r
3
0
 V dV 
 
2
 /4
0
0

cosq
0

r 2 drsin qdqd 
 /4
1 2  / 4 3
1 2  cos4 q 
sin qdqd    cos q sin qdqd   
 d 
3 0 0
3 0 
4 0
1  1 2

1   d 
12  4 0
8
Aldagai aldaketa integral hirukoitzetan
Beheko irudian erakusten da nola osotu dugun eskatutako bolumena
: