Transcript Aldagai anitzeko funtzioak

Aldagai Anitzeko Funtzioak
Bi aldagaiko funtzioak
• Funtzio hauen balioak bi aldagai
independenteen menpekoak dira:
1. Adibidea: x eta y aldeetako laukizuzenaren
azalera, S, honela kalkulatzen da: S = x y
Beraz, bi aldagaien (x eta y aldagaien)
menpekoa da S eta hori honela adieraz
genezake: S = S(x,y)
Bi aldagaiko funtzioak
2. Adibidea: v0 hasierako abiaduraz eta
horizontearekiko j angeluz jaurtikitako
proiektilaren distantzia, R, hurrengo formulaz
adierazten da (airearen erresistentzia
kontutan ez hartuta):
v 0 2 sin2j
R
g
non g grabitatearen azelerazioa den, eta
konstantetzat hartzen denez, R = R(v0, j)

Bi aldagaiko funtzioak
Definizioa:
x eta y bi aldagai independenteen (x,y) bikote
bakoitzari balio bakarra ematen dion araua, f, x
eta y aldagaien funtzioa deitzen da, f(x,y).
Definizioa:
x eta y balioen (x,y) bikoteek, zeintzuetarako
f(x,y) funtzioa definituta dagoen, multzo bat
osatzen dute. Multzo horri funtzioaren definizioeremu edo existenzi eremu deritzogu.
Bi aldagaiko funtzioak
Funtzioaren definizio-eremua geometrikoki
adieraz daiteke. (x,y) bikote bakoitzari OXY
planoan dagokion puntua egokitzen badiogu,
orduan definizio-eremua izango da OXY planoko
zatia (edo plano bera oso-osorik).
Definizio-eremuko puntu bat inguratzen
dituen gainontzeko puntu guztiak definizioeremukoak ere badira, puntu hori barne-puntua
deitzen da.
Bi aldagaiko funtzioak
Puntu baten inguruan, bai definizio
eremukoak, bai definio-eremukoak ez diren
puntuak daudenean, muga-puntua deitzen zaio.
Barne-puntuz soilik eratutako eremua,
eremu irekia deituko dugu . Muga-puntu guztiak
definizio-eremukoak ba dira, eremu horri itxia
deituko diogu.
Bi aldagaiko funtzioak
Definizio-eremuak bornatuak edo ez bornatuak
izan daitezke. C konstante positiboa existitzen bada,
non eremuaren edozein puntuaren, (x,y), eta
koordenatu-jatorriaren, (0,0), arteko distantzia C
baino txikiago den, definizio-eremu horri bornatu
deituko diogu:
x2  y2  C
Bi aldagaiko funtzioak
1. Adibidea:
Aurkitu f (x, y)  2x  y , funtzioaren definizio-eremua.
x eta y hautazko balio guztietarako definituta dago
funtzioa. Hortaz, bere definizio-eremua OXY plano osoa da.

2. Adibidea:
Aurkitu
f (x,y)  1 x 2  y 2 , funtzioaren definizio-eremua.
Funtzioa kalkulatu daiteke soilik errokizuna positibo (edo zero)
denean. Beraz, definizio-eremua izango da jatorrian zentratuta
dagoen eta 1 erradioa duen zirkulua:
x2  y2 1
Bi aldagaiko funtzioak
3. Adibidea:
Aurkitu f (x, y)  lnx  y , funtzioaren definizio-eremua.
funtzioa existitzeko x+y balioak positiboa izan behar du
(ezin da 0 izan).
Hortaz, definizio-eremua x+y>0 baldintza betetzen duten
(x,y) puntuek osatzen dute.
Hau da, definizio-eremua y=-x zuzenaren gainetik dagoen
planoerdia izango da, zuzena bera kenduta.
n aldagaiko funtzioak
• Funtzio hauen balioak n aldagai independenteen
menpekoak dira:
Adibidea:
x, y eta z aldeak dituen paralelepipedo baten V
bolumena, V, honela kalkulatzen da: V = x y z
Beraz, hiru aldagaien (x, y eta z aldagaien)
menpekoa da V eta hori honela adieraz genezake:
V = V(x,y,z)
n aldagaiko funtzioak
Definizioa:
x1, x2, …, xn n aldagai independenteen (x1, x2, …, xn) nkote bakoitzari balio bakarra ematen dion araua, f, x1,
x2, …, xn aldagaien funtzioa deitzen da, f(x1, x2, …, xn).
Definizioa:
x1, x2, …, xn balioen (x1, x2, …, xn) n-koteek,
zeintzuetarako
f(x1, x2, …, xn) funtzioa definituta dagoen, multzo bat
osatzen dute. Multzo horri funtzioaren definizio-eremu
edo existenzi eremu deritzogu.
Bi aldagaiko funtzioaren adierazpen
geometrikoa
f(x,y), bi aldagaiko funtzio baten definizio
-eremua OXY planoan dago. Eremu horren
puntuetatik eta plano horrekiko z=f(x,y)
koordenatu bertikalak hartuta lortzen da holako
f(x,y) funtzioaren grafikoa hiru dimentsiotan,
hau da, OXYZ espazioan.
Bi aldagaiko funtzioaren adierazpen
geometrikoa
Bi aldagaiko funtzioaren adierazpen
geometrikoa
1. Adibidea:
grafikoa
hau da:

f (x, y)  x 2  y 2 1
, funtzioaren
Bi aldagaiko funtzioaren adierazpen
geometrikoa
2. Adibidea:
grafikoa
hau da:
f (x, y)  y  2
, funtzioaren
Bi aldagaiko funtzioaren adierazpen
geometrikoa
3. Adibidea:
grafikoa
hau da:
f (x, y)  y 2  x 2
, funtzioaren
Funtzioaren Gehikuntza partziala eta
totala
f(x,y) funtzioaren aldagai indenpendenteak x
eta y dira, eta bietako edozein aldatuz, funtzioa
aldatu egiten da.
Demagun x aldagaiaren Dx gehikuntza
dugula, z= f(x,y) funtzioaren gehikuntza x-rekiko
z-ren gehikuntza partziala deituko dugu eta
idatziko dugu Dxz eta honela kalkulatuko dugu:
D x z  f x  Dx, y  f x, y
Funtzioaren Gehikuntza partziala eta
totala
Era berean, y aldagaiaren Dy gehikuntza badugu,
funtzioaren gehikuntza y-rekiko z-ren gehikuntza partziala
deituko dugu eta idatziko dugu Dyz eta honela kalkulatuko
dugu:
D y z  f x, y  Dy  f x, y
Berriz, bi aldagaietan, aldi berean,
gehikuntzak ba ditugu, z-ren funtzioaren
gehikuntzari
totala deituko diogu, eta idatziko

dugu Dz eta honela kalkulatuko dugu:
Dz  f x  Dx, y  Dy  f x, y
Funtzioaren Gehikuntza partziala eta
totala
Kontuan hartu behar dugu, kasu orokorrean,
hau dugula:
Dz  D x z  D y z
hurrengo adibide honetan egiaztatzen den
bezala: z  f x, y   xy

D x z  x  Dx y  xy  yDx
D y z  x y  Dy   xy  xDy
Dz  x  Dx y  Dy   xy  xDy  yDx  DxDy
Funtzioaren Gehikuntza partziala eta
totala
Edozein aldagai-kopurutarako funtzioaren
gehikuntza total eta partzialak era berean
kalkulatzen dira. Honela, u=f(x,y,z) hiru aldagaiko
funtziorako hauxe dugu:
D x u  f x  Dx, y,z  f x, y,z
D y u  f x, y  Dy,z  f x, y,z
D z u  f x, y,z  Dz  f x, y,z
Du  f x  Dx, y  Dy,z  Dz  f x, y,z
Aldagai anitzeko funtzioen jarraitasuna
Datozen kontzeptuak azaltzeko, bi aldagaiko
funtzioak, f(x,y), aztertuko ditugu, zeren eta hiru
edo aldagai gehiagoko funtzioen azterketak
berdintsu izango bait ziren eta, ikuspegi
praktikotik, problema korapilatu baino ez du
egiten.
Aldagai anitzeko funtzioen jarraitasuna
Lehenik eta behin (x0,y0) puntu baten
ingurunea definituko dugu:
x  x0   y  y0 
2
2
r
desberdintza egiaztatzen duten puntu guztien
multzoa, r erradiodun (x0,y0) puntuaren
 izango da; hots, r erradiodun eta
ingurunea
(x0,y0) zentrudun zirkulu barnean dauden puntu
guztien multzoa.
Aldagai anitzeko funtzioen jarraitasuna
f(x,y) funtzioak (x0,y0) puntuaren ingurune
batean propietate bat betetzen duela esaten
dugunean, zera adierazi nahi dugu: (x0,y0)
puntuan zentrua duen zirkulu bat existitzen dela,
non zirkulu horren puntu guztietan propietate
hori egiaztatzen den.
Aldagai anitzeko funtzioen jarraitasuna azaldu
baino lehen, azter dezagun aldagai anitzeko
funtzioaren limitearen kontzeptua.
Aldagai anitzeko funtzioen jarraitasuna
Definizioa: (x,y) puntua (x0,y0) punturantz
doanean, A zenbakia f(x,y) funtzioaren limitea
dela esango dugu, baldin eta edozein e> 0
zenbakirako r > 0 zenbakia existizen bada, non
|(x,y) -(x0,y0) | < r desberdintza egiaztatzen
duten puntu guztietarako |f(x,y)-A| < e
betetzen den.
Hala bada, honela adieraziko dugu: lim f (x, y)  A
x  x0
y  y0
Aldagai anitzeko funtzioen jarraitasuna
Aurreko definizioa, sinbolikoki adierazia,
honela berridatz daiteke:
lim f (x, y)  A  e  0 , r  0 / (x, y)  (x0, y0 )  r  f (x, y)  A  e
xx0
yy0
Definizioak ez du zehazten zein (x,y) puntutik hasi behar den (x0,y0)
puntura joaten. (x,y) puntua inguruko edozein izan daiteke. Gainera
ez du esaten zein bidetik joan behar den (x0,y0) punturantz; bidea
aukeran dago. Bide guztietatik limitearen balio bera lortu beharko
genuke; bestela ez dago f(x,y) funtzioaren limiteaz hitzegiterik (x0,y0)
puntuan.
Aldagai anitzeko funtzioen jarraitasuna
Adibidea:
2xy
f (x, y)  2
x  y2
funtzioa puntu guztietan definituta dago, (0,0) puntuan izan ezik. Halere,
puntu horretan limiterik egon liteke. Demagun puntu horretara hurbiltzen
garela y=kx zuzenatik (non k konstantea zuzenaren malda den). Orduan:

lim
x0
y0
2xy
2kx 2
2k
2k
2
2  lim
2
2 2  lim
2 
2
x y
x

k
x
1
k
1
k
x0
x0
beraz, limitea ez da existitzen (0,0) puntuan zeren eta balio desberdinak
erdiesten baitira k desberdinetarak (jatorrira gerturatuz zuzen
desberdinetatik).
Aldagai anitzeko funtzioen jarraitasuna
Definizioa:
Bedi f(x,y) funtzioaren definizio-eremuko
(x0,y0) puntu bat. f funtzioa (x0,y0) puntuan
jarraia dela esango dugu baldin eta ondorengo
berdintza betetzen bada:
lim
x  x0
y  y0
f (x, y)  f (x 0, y 0 )
Aldagai anitzeko funtzioen jarraitasuna
Aurreko formula honela ere berridatz daiteke:
lim
Dx  0
Dy  0
f (x 0  Dx, y 0  Dy)  f (x 0, y 0 )
(non x  x 0  Dx eta y  y 0  Dy diren)
edo honela ere bai:

lim  f (x
Dx  0
Dy  0
0
 Dx, y 0  Dy)  f (x 0, y 0 )  0
Baina, Dz  f (x  Dx, y  Dy)  f (x , y ) da z=f(x,y)
0
0
0
0
funtzioaren gehikuntza totala.


Aldagai anitzeko funtzioen jarraitasuna
Bestaldetik, D  Dx   Dy  , desplazamendu txiki
bat hartuta (x0,y0) puntuaren inguruan, funtzioaren
jarraitasuna puntu horretan honela ere idatz

daiteke:
2
2
lim

Dz  0
D 0
Eremu bateko puntu bakoitzean f jarraia bada,
orduan eremu
 horretan f jarraia dela esango dugu.
Aldagai anitzeko funtzioen jarraitasuna
Definizioa:
f funtzioa (x0,y0) puntuan jarraia ez bada,
puntu horri funtzioaren etengune deritzo.
Ezjarraitasunak (etenguneak) arrazoi
desberdinengatik ager daitezke:
1. (x0,y0) puntuan limitea egon daiteke, baina
puntu horretan funtzioa definituta ez badago,
funtzioak etengune bat izango du. Ezjarraitasun
mota hau ekidigarria da. (Funtzioa definituz
puntu horretan limitearen balioaz).
Aldagai anitzeko funtzioen jarraitasuna
2. (x0,y0) puntuan limiterik ez badago, funtzioa
2xy
f (x, y)  2
ere ezin da jarraia izan.(
x  y2
adibidearekin gertatzen zen bezala.)
3. (x0,y0) puntuan limitea badago eta puntu

hori definizio-eremukoa bada, baina, bertan,
funtzioaren balioa, f(x0,y0), limitearen berdina
ez denean, etengunea ere izango da.
Aldagai anitzeko funtzioen jarraitasuna
Adibidea:
z  f (x, y)  x 2  y 2
funtzioa jarraia da bere definizo-eremu osoan,
hau da, 
OXY plano osoan:


Dz  x  Dx   y  Dy   x 2  y 2   2xDx  2yDy  Dx   Dy 
Beraz
2
lim
Dx  0
Dy  0
Dz  0
2
2
2
Aldagai anitzeko funtzioen jarraitasuna
Eremu itxi eta bornatu batean jarraia den
aldagai anitzeko funtzio baten bi propietate
azalduko ditugu:
(Tarte batean jarraia den aldagai bakardun
funtzioaren propietateen analogoak dira.)
Aldagai anitzeko funtzioen jarraitasuna
1. Propietatea: f(x,y,…) aldagai anitzeko funtzioa definizioeremu itxi eta bornatu batean jarraia bada, eremu
horretan badaude gutxienez bi puntu (x0,y0,…) eta (x0,y0,…),
non eremuaren puntu guztietarako:
f (x 0, y 0 ,K )  f (x, y,K )
eta
f (x 0, y 0 ,K )  f (x, y,K )
f(x0,y0,…) funtzioaren maximoa deitzen dugu, M, eta
f(x0,y0,…) funtzioaren minimoa, m. Esan bezala, M eta m
horiek agertuko zaizkigu gutxienez bi puntutan.

Aldagai anitzeko funtzioen jarraitasuna
2. Propietatea: f(x,y,…) aldagai anitzeko funtzioa definizio-eremu itxi
eta bornatu batean jarraia bada eta M eta m funtzioaren balio
maximoa eta minimoa badira, bitarteko m edozein baliorako,
m≤m≤M, badago gutxienez (x*,y*,…) puntua non
f (x*, y*,K )  m
beteko den.
Korolario: 2.propietate honen korolario bat zera da:
f(x,y,…) aldagai
 anitzeko funtzioa definizio-eremu itxi eta bornatu
batean jarraia bada eta bertan bai balio positiboak bai negatiboak
hartzen baditu, eremuaren barnean egongo da gutxienez punturen
bat non f(x,y,…) = 0 izango den.
Aldagai anitzeko funtzioen deribatu
partzialak
Definizioa: Dxz gehikuntza partzialaren eta Dx
gehikuntzaren arteko zatiduraren limitea, Dx
zerorantz doanean, z=f(x,y) funtzioaren xrekiko deribatu partziala deitzen dugu eta
honela idazten dugu:
z
Dxz
f (x  Dx, y)  f (x, y)
 lim
 lim
x Dx  0 Dx Dx  0
Dx
Aldagai anitzeko funtzioen deribatu
partzialak
Beste idazkerak ere erabiltzen ohi dira:
f 
z'x , f 'x (x, y),
,
f (x, y)
x x
(a,b) puntu zehatz bateko x-rekiko deribatu
partziala honela idatz dezakegu:

z
Dxz
f (a  Dx,b)  f (a,b)
 lim
 lim
x (a,b ) Dx  0 Dx Dx  0
Dx
Aldagai anitzeko funtzioen deribatu
partzialak
Definizioa: Dyz gehikuntza partzialaren eta Dy
gehikuntzaren arteko zatiduraren limitea, Dy
zerorantz doanean, z=f(x,y) funtzioaren yrekiko deribatu partziala deitzen dugu eta
honela idazten dugu:
Dyz
z
f (x, y  Dy)  f (x, y)
 lim
 lim
y Dy  0 Dy Dy  0
Dy
Aldagai anitzeko funtzioen deribatu
partzialak
Beste idazkerak ere erabiltzen ohi dira:
f 
z'y , f 'y (x, y),
,
f (x, y)
y y
(a,b) puntu zehatz bateko x-rekiko deribatu
partziala honela idatz dezakegu:

Dyz
z
f (a,b  Dy)  f (a,b)
 lim
 lim
y (a,b ) Dy  0 Dy Dx  0
Dy
Aldagai anitzeko funtzioen deribatu
partzialak
Deribatu partzialak kalkulatzerakoan, aldagai
bat aldatu eta bestea(k) konstante
mantentzen da (dira).
Horrela, bi aldagaiko f(x,y) funtzio baten xrekiko deribatu partziala kalkulatzeko, y
konstante mantenduko dugu, eta soilik x-ren
funtzioa den f(x,y=kte)-ren deribatu arrunta
kalkulatuko dugu.
Aldagai anitzeko funtzioen deribatu
partzialak
Halaber, bi aldagaiko f(x,y) funtzio baten yrekiko deribatu partziala kalkulatzeko, y
konstante mantentzen da, eta soilik x-ren
funtzioa den f(x=kte,y)-ren deribatu arrunta
kalkulatzen da.
1. Adibidea: z  x 2 sin y
z
 2x sin y
x
;
z
 x 2 cosy
y
Aldagai anitzeko funtzioen deribatu
partzialak
2. Adibidea:
z  xy
z
 yx y 1
x

3.Adibidea:
f
3

2x

tz
x 
;
z
 x y ln x
y
f (x, y,z,t)  x 2  y 2  xtz3
f
f
f
2
;
 2y ;
 3xtz ;
 xz 3
y
z
t
Bi aldagaiko funtzioaren deribatu
partzialen adierazpen geometrikoa
g(x)

f (x,b)  g(x)
f 'x (a,b)  g'(a)

Bi aldagaiko funtzioaren deribatu
partzialen adierazpen geometrikoa
Aurreko irudian ikus dezakegu z = f(x,y) funtzioaren
grafoa (gainazala espazioan). Mozten badugu gainazal hori y=b
planoaz lortzen dugu kurba bat, z=f(x,b), gainazalean.
Kurba hau irudikatu daiteke z=g(x) funtzioa bezala, non
aldagai independente bakarra x den. Aldagai bakardun g(x)
honen deribatu arrunta x=a puntuan da, hain zuzen, jatorrizko
bi aldagaiko f(x,y)-ren deribatu partziala x-rekiko (a,b)
puntuan:
d
d
g(a  Dx)  g(a)
f (a  Dx,b)  f (a,b) 
f (x,b)

g(x)
 lim
 lim

f (x, y)
dx
dx
Dx
Dx
x
Dx  0
Dx  0
x a
x a
(a,b )
Bi aldagaiko funtzioaren deribatu
partzialen adierazpen geometrikoa
Era berean ulertzen da hurrengo beste
funtzio baten deribatu partziala y-rekiko (x0,y0)
puntuan.
d
f (x 0, y 0  Dy)  f (x 0, y 0 ) 
f (x 0, y)
 lim

f (x, y)
dy
Dy
x
Dy  0
(x 0 ,y 0 )
y y
0
Bi aldagaiko funtzioaren deribatu
partzialen adierazpen geometrikoa
z  f (x, y)
f
y x ,y 
0
0

y0
x0
x  x0

planoa
Gehikuntza totala eta diferentzial
totala
Gogora dezagun z=f(x,y) funtzioaren
gehikuntza
totalaren Dz
definizioa:
 f x  Dx, y  Dy  f x, y


 
adierazpen
honela
berridatz
Dz  f x  Dx,hau
y  Dy
y  Dy
 Dy  f x, y
  f x,ere
 f x, ydaiteke:

non bigarren parentesi karratua agertzen
zitzaigunz ere deribatu partzialaren
definizioan:
f (x, y  Dy)  f (x,
y)
y
 f 'y (x, y)  lim
Dy  0
Dy
Gehikuntza totala eta diferentzial
totala
funtzioaren y-rekiko deribatu partzial hori
existitzen bada (x, y) eta (x,y+Dy) puntuen
tartean, Lagrangeren teoremaren arabera egon
behar du honelako y* puntu bat (gutxienez bat):
f x, y  Dy  f x, y  f 'y (x, y*) Dy
non:

y  y*  y  Dy
Gehikuntza totala eta diferentzial
totala
Era berean argudiatu genezake lehengo
adierazpenaren lehenengo parentesiarekin,
suposatuz funtzioaren x-rekiko deribatu
partziala
existitzen dela (x+Dx, y+Dy) eta (x,y+Dy)
puntuen
tartean:
f x  Dx, y  Dy  f x, y  Dy  f 'x (x*,y  Dy) Dx
x  x* x  Dx
non:
Gehikuntza totala eta diferentzial
totala
Lortu ditugun azkeneko bi adierazpen hauek,
hasierako gehikuntza totalaren ekuazioan
ordezkatuz:
Dz  f 'x (x*,y  Dy) Dx  f 'y (x, y*) Dy
Orain, Dx eta Dy gehikuntzen zeroranzko
limiteak
Dy  0
Dy  0
 hartuz:
Dx  0
Dx  0
lim
f 'x (x*,y  Dy)  f 'x (x, y) ,
lim
f 'y (x, y*)  f 'y (x, y)
Gehikuntza totala eta diferentzial
totala
Ondorengo ekuazioan lortzen den, dz, balio
honi deitzen zaio z=f(x,y) funtzioaren
diferentziala edo diferentzial totala:
f
f
dz  f 'x (x, y) dx  f 'y (x, y) dy  dx  dy
x
y
Diferentzial totalaren balio hau da gehikuntza
totalaren balioaren hurbilpen lineala, Dx eta Dy
gehikuntzak infinitesimalak direnean.
Gehikuntza totala eta diferentzial
totala
Hurrengo adibidean egiaztatu daitezke nola
diferentzial totalaren eta gehikuntza totalaren
balioak desberdinak diren, Dx eta Dy
gehikuntzak infinitesimalak ez badira.
Gehikuntza totala eta diferentzial
totala
Adibidea: Kalkulatu z=xy funtzioaren
diferentzial total eta gehikuntza totala (2,3)
puntuan, Dx=0.1 eta Dy =0.2 direnean.
Difentzialak emandako hurbilpen lineala :
z
z
z  x  y  yx  xy  3 0.1 2 0.2  0.7
x
x
Benetako gehikuntza totala:
Dz  x  Dx y  Dy   xy  xDy  yDx  DxDy
Dz  2.1 3.2  2 3  0.72
Gehikuntza totala eta diferentzial
totala
Aldagai anitzeko f(x1, x2,…, xn) funtzioa
badugu eta (x1, x2,…, xn) puntuan deribatu
partzialak jarraiak badira, puntu horretako
difentzial totala hau da:
f
f
f
dz 
dx1 
dx 2 K 
dx n
x1
x 2
x n
Gehikuntza totala eta diferentzial
totala
Adibidea: Kalkulatu hurrengo u(x,y,z)
funtzioaren difentzial totala:
u e
x 2 y 2
u
 2xe x
x
du  2e
2
y 2
x 2 y 2
sin2 z
u
sin z ;
 2ye x
y
2
2
y 2
u
sin z ;
 ex
z
2
sinzx sinzdx  y sinzdy  coszdz
2
y 2
2sin z cos z  e
x 2 y 2
sin2z
Funtzio konposatuaren deribatua.
Deribatu totala
Demagun z=f(u,v) funtzioan u eta v
aldagaiak, x eta y aldagai independenteen
funztioak direla: u=j(x,y) eta v=y(x,y).
Honelakoetan esaten da z, x-ren eta y-ren
funtzio konposatua dela: z=f[j(x,y),y(x,y)]
Adibidea:
z  u 3v 3  u 1 ; u  x 2  y 2 ; v  e x y 1
orduan
z  x  y
2
 e
2 3
x y
1  x 2  y 2 1
3
Funtzio konposatuaren deribatua.
Deribatu totala
Behin z, x eta y aldagaien funtzio bezala dugun, kalkula ditzakegu z-ren
deribatu partzialak bai x-rekiko, bai y-rekiko. Dena den, horiek ere
kalkula genitzake u eta v ordezkatu gabe. Azter dezagun nola:
Demagun z=f(u,v), u=j(x,y) eta v=y(x,y) funtzioen deribatu
partzialak jarraiak direla. x aldagaiak Dx gehikuntza badu (y aldagaia
aldatu gabe), orduan bai u, bai v biak aldatuko dira eta haien
gehikuntza partzialak Dxu eta Dxv izango dira. u eta v aldatzen direnez,
z ere aldatuko da eta aldaketa honi Dxz deituko diogu eta hurrengo hau
baieztatzen da:
z
z
D x z  D x u  D x v  1D x u   2 D x v
u
v
non 1 eta  2 , biak, anulatuko diren D x u, D x v 0 izango direnean
Funtzio konposatuaren deribatua.
Deribatu totala
Orain Dx gehikuntzaz zatitzen badugu:
D x z z D x u z D xv
Du
Dv


 1 x   2 x
Dx u Dx v Dx
Dx
Dx
eta honen zeroranzko limitea hartzen badugu:

lim
Dx  0
D x z z

;
Dx x
lim
Dx  0
lim   lim 
Dx  0

1
D x u 0
Dxv 0
eta, ondorioz:

1
D x u u

;
Dx x
0 ;
lim
Dx  0
D x v v

Dx x
lim   lim 
Dx  0
2
D x u 0
Dxv  0
2
z z u z v


x u x v x
0
Funtzio konposatuaren deribatua.
Deribatu totala
Era berean kalkulatuko genuke z-ren deribatu
partziala y-rekiko, x aldagaia konstante mantenduz
eta y-ren gehikuntza baten bidez:
z z u z v


y u y v y

Funtzio konposatuaren deribatua.
Deribatu totala
Hurrengo funtzioekin kalkulatu z-ren deribatu
partzialak x-rekiko eta y-rekiko:
z  lnu  v ; u  e
2
u xy
e
x
2
;
xy 2
; v x y
2
v
 2x
x
z
2u
2e
z
1
1
 2
 2 x y
;
 2
 2 x y


2
u u  v e
v u  v e    x 2  y
x y
x y 2
2
2
 
z
2e
1
x

e
 2 x y
e x y  2 x y
2x  2 2 x y




 
x e
 x2  y
e
 x2  y
e
 x2  y
x y 2
2
2 x y 2
2
2
2
Funtzio konposatuaren deribatua.
Deribatu totala
u
 2ye x y
y
2
v
;
1
y
 
z
2e
1
1
4
ye
 2 x y
2yex y  2 x y
 2 x y




 
2
2
y e
x y
e
x y e
 x2  y
x y 2
2
2 x y 2
2
2
2
Funtzio konposatuaren deribatua.
Deribatu totala
Noski, aldagai anitzeko funtzioen konposatuen
kasuistika oso zabala izan daiteke.
Adibidez, w=F(z,u,v,s) z, u, v eta s aldagaien
funtzioa bada, eta aldagai bakoitza x eta y
aldagaien funtzioak badira, orduan:
w w z w u w v w s




x z x u x v x s x
w w z w u w v w s




y z y u y v y s y
Funtzio konposatuaren deribatua.
Deribatu totala
z=F(x,y,u,v) x, y, u eta v aldagaien funtzioa bada,
eta y, u eta v aldagaiak x aldagai bakardun funtzioak
badira, orduan, z bera izango da x aldagai bakardun
funtzioa eta, beraz, honela kalkula genezake bere
deribatu totala (deribatu arrunta, ez partziala)
x-rekiko:
dz z x z y z u z v




dx x x y x u x v x
x
Baina
1 denez eta y, u eta v soilik x  ren funtzioak direnez:
x
dz z z dy z du z dv
dz z
 


non, noski,

dx x y dx u dx v dx
dx x

Funtzio konposatuaren deribatua.
Deribatu totala
Adibidez:
z  x2  y
; y  sin x
dz z z dy
1
1
 
 2x 
cosx  2x 
cosx

dx x y dx
2 y
2 sin x
Funtzio inplizituen deribatua
Problema honen azalpenean, aldagai bakardun funtzio
inplizitua aztertuz hasiko gara:
Bedi y x-ren aldagai bakardun funtzioa, F(x,y)=0
ekuazioaren bidez inplizituki definitua. Suposa dezagun
F(x,y), F’x(x,y) eta F’y(x,y) funtzio jarraiak direla definizioeremuan eta F’y(x,y) ≠ 0 (x,y) puntuan. Hala bada, puntu
horretan x-ren y funtzioaren deribatua honela kalkula
daiteke:
y'x (x) 
F'x (x, y)
F'y (x, y)
F
F F dy
dy  x
Frogapena: F(x, y)  0 

0

F
x y dx
dx

y

Funtzio inplizituen deribatua
Adibidez: Kalkulatu hurrengo funtzioa
inplizituaren y-ren deribatua x-rekiko:
e y  e x  xy  0
F
 e x  y
x
F
;
 ey  x
y
F
dy  x e x  y

 y
F
dx
e x
y
Funtzio inplizituen deribatua
Metodoa erabili daiteke F(x,y,z)=0 funtzio
inplizitoekin ere, non z=f(x,y) bi aldagaiko
funtziotzat hartzen den eta heuren deribatu
partzialak x eta y-rekiko kalkulatu nahi diren:
u  F(x, y,z)  0
u F F z
z
u F F z
z
0


 F'x F'z
; 0


 F'y F'z
x x z x
x
y y z y
y
F
F


z
F'x
z
y F'y

x


;



F

F
x
F'z
y
F'z
z
z
Funtzio inplizituen deribatua
Era inplizituko hurrengo funtzioa erabiliz,
kalkulatu z-ren deribatu partzialak x eta y-rekiko:
ez  x 2 y  z  5  0
F(x, y,z)  e  x y  z  5
z
F'x  2xy
2
; F'y  x
2
; F'z  e 1
z
z 2xy
z x
 z
;
 z
x e 1
y e 1
2
 z 2
z
z
z 2xy
e  x y  z  5  0  ez  2xy   0 


x
x
x
x ez 1
zuzenean ere funtzio inplizitutik
Ordena goreneko deribatu partzialak
z = f(x,y) funtzioaren deribatu partzialak kalkulatzean, f’x eta f’y,
hauek ere, orokorrean, x eta y aldagaien funtzioak izango dira.
Lehenengo deribatu partzial hauek ere deribagarriak badira, heuren
deribatu partzialak ere kalkula daitezke: f’x(x,y)-ren deribatu
partziala x eta y-rekiko eta f’y(x,y)-renak ere bai (guztira lau). Hauei
deitzen zaie f-ren bigarren (ordenako) deribatu partzialak:
f x'  z  2 z
f 

 2
x x x x
f x'  z  2 z
''
f xy 


(lehen x  rekiko, gero y  rekiko)
y y x yx
''
xx
'

f
 z  2 z
y
''
f yx 


(lehen y  rekiko, gero x  rekiko)
x x y xy
'
2

f


z

z
y
f yy'' 

 2
y y y y
Ordena goreneko deribatu partzialak
Bigarren deribatu hauek ere, orokorrean, x eta y
aldagaien funtzioak izango dira eta deribagarriak
badira, kalkula daitezke hirugarren ordenako
deribatu partzialak (guztira zortzi):
 3z
 3z
 3z
 3z
;
;
3 ;
2 ;
2
x
yx
xyx
y x
 3z
 3z
 3z
 3z
;
;
2
2 ;
x y
yxy
xy
y 3
Ordena goreneko deribatu partzialak
Orokorrean n-garren ordenako deribatu
partzialak (n-1)garren ordenako deribatuen
nz
deribatu partzialak dira. Adibidez: x py n  p
n-garren ordenako deribatua da non, lehen (n-p)
aldiz y-rekiko, eta gero p bider x-rekiko deribatu

den.
Ordena goreneko deribatu partzialak
2 x y 2
Adibidea: Kalkulatu u  z e
4u
deribatu partziala.
2
funtzioaren
zyx

u 2 x y
 2 u 2 x y
z e
 2 z e

x
x
4
 3u

u
2 x y
x y


2yz
e


4
yze
yx 2
zyx 2
2
2
2
2
Ordena goreneko deribatu partzialak
2 f
2 f
Ikusten dugunez
eta
desberdinak
x y
y x
izan zitezkeen. Dena den, hurrengo teoremak
azaltzen digun zein baldintzatan berdinak diren:


Teorema: z = f(x,y) eta beraren deribatu
partzialak, f’x, f’y, f’xy eta f’yx (x,y) puntuaren
ingurune batean definituta eta jarraiak badira,
ingurune horretan, hurrengo berdintza
baieztatzen da:
2 f
2 f

xy yx

f yx''  f xy''


Ordena goreneko deribatu partzialak
Teorema hedatu daiteke ordena goreneko deribatu
partzialetara:
n f
n f
p
np 
x y
y n  px p
  n f

n f
 p n  p eta
np
p biak jarraiak badira
y x
x y

Eta bi baino aldagai gehiagorekin ere, deribatu partzialen
ordena edozein izan daiteke, hurrengo adibidean ikusten den
bezala:

Ordena goreneko deribatu partzialak
Adibidea:
3
3

u

u
xy
u  e sin z izanik, kalkulatu
eta
xyz
yzx
3
u xy
 2u

u
xy
 e cosz 
 xe cosz 
 1 xye xy cosz
z
yz
xyz
2
3
u

u

u
xy
xy
 ye sin z 
 ye cosz 
 1 xye xy cosz
x
zx
yzx