Transcript 제 5 장 수송문제와 할당문제

제5장
수송문제와 할당문제
수송문제
공급지
수요지
S1
1
1
D1
S2
2
2
D2
n
Dn
.
.
.
Sm
m
.
.
.
수학적 모형
m
Min
n
 c x
i 1 j 1
ij
ij
n
s.t.
x S ,
j 1
ij
i
m
x  D ,
i 1
x
ij
ij
 0,
j
i  1,  , m
j  1,  , n
i  1,  , m, j  1,  , n
cij : 공급지 i에서 수요지 j까지 제품 1단위 수송하는데 드는 수송비용
xij : 공급지 i에서 수요지 j까지 수송되는 제품의 양
Si : 공급지 i에서의 공급량
Dj : 수요지 j 에서의 수요량
수학적 모형
m
Min
n
 c x
i 1 j 1
ij
ij
n
s.t.
x S ,
j 1
ij
i
m
x  D ,
i 1
x
ij
ij
 0,
j
i  1,  , m
j  1,  , n
i  1,  , m, j  1,  , n
균형수송문제 : 공급량의 총합=수요량의 총합
불균형수송문제 : 공급량의 총합수요량의 총합
(예제 5-1) 균형수송문제
 결정변수
xij : 공장 i 에서 대리점 j 로의 수송량
 목적함수
Min z = 3x11+4x12+9x13+2x14+7x21+6x22+ x23+3x24
+ x31+5x32+4x33+8x34
(예제 5-1) - 제약조건
 공급 제약조건
x11 + x12 + x13 + x14 = 800
x21 + x22 + x23 + x24 = 600
x31 + x32 + x33 + x34 = 400
(공급지 1)
(공급지 2)
(공급지 3)
 수요 제약조건
x11 + x21 + x31 =
x12 + x22 + x32 =
x13 + x23 + x33 =
x14 + x24 + x34 =
(수요지 1)
(수요지 2)
(수요지 3)
(수요지 4)
700
500
400
200
엑셀을 이용한 수송문제 해법
(예제 5-1) - 해 찾기 모델 설정
 값을 바꿀 셀
C9:F11
 목표 셀 C14
 제한조건
C12:F12 = C13:F13
G9:G11 = H9:H11
C9:F11 >= 0
최적해
특수한 경우의 수송문제
불균형수송문제
 공급량의 총합 ≠ 수요량의 총합
수송 경로가 폐쇄된 경우
수송 경로에 상하한 제약이 있는 경우
불균형수송문제 (1)
공급량의 총합 ＞ 수요량의 총합
700에서 600으로 변한 경우
제약조건
 제약 조건식을 등식으로 표현하면 ?
→ 실행불가능한 문제가 됨.
 공급 제약조건
x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 800
x21 + x22 + x23 + x24 ≤ 600
x31 + x32 + x33 + x34 ≤ 400
 수요 제약조건
x11 + x21 + x31 ≥ 600
x12 + x22 + x32 ≥ 500
x13 + x23 + x33 ≥ 400
x14 + x24 + x34 ≥ 200
(공급지 1)
(공급지 2)
(공급지 3)
(수요지 1)
(수요지 2)
(수요지 3)
(수요지 4)
최적해
불균형수송문제 (2)
공급량의 총합 ＜ 수요량의 총합
400에서 300으로 변한 경우
만일 수요지에서의 수요량을 모두 만족시켜야
한다면
→ 이 문제는 현실적으로 실행불가능한 문제가 됨.
그러나 일부 수요지는 원하는 양만큼 받지 못
하더라도 각 공급지에서의 공급량만큼 모두 공
급하고자 한다면
 이러한 문제를 풀기 위해서는 약간의 조작이 필요
가상공급지를 설정하여 균형수송문제로 만들
어 처리
가상공급지에서의 공급량 = (총수요량 – 총공급량)
가상공급지에서 각 수요지로의 단위당 수송비 = 0
최적해
수송 경로(공장 1 → 대리점 2)가 폐쇄된 예
- 폐쇄된 수송경로에 단위당 수송비를 아주 큰 값을 할당
수송 경로에 상하한 제약이 있는 경우
(1) 상한이 존재하는 경우
– 어떤 특정한 수송경로는 교통이 매우 혼잡하다거나, 또는 특
수한 사정에 의해 그 경로를 따라 수송할 수 있는 양에 제한
이 있을 수 있음.
• (예제 5-1)문제에서 공장 1에서 대리점 2로 가는 수송
경로는 최대한 300대 만큼만 수송할 수 있다고 할 때,
→ 수송문제의 수학적 모형에 다음과 같은 제약조건식을 추가
x12 ≤ 300
• 엑셀을 이용하여 최적해를 구하고자 할 경우
– 해 찾기 모델 설정 창에서 x12에 해당하는 셀을 이용하여 제
한 조건을 추가
수송 경로에 상한 제약
수송 경로에 상하한 제약이 있는 경우
(2) 하한이 존재하는 경우
– 어떤 특정 수요지에서 필요로 하는 수요량 중에 얼마 이상을
반드시 특정 공급지로부터 수송해야 할 경우
• (예제 5-1) 문제에서 공장 3에서 대리점 2로 최소한
200대의 에어컨을 공급해야 한다고 할 때,
→ 수송문제의 수학적 모형에 다음과 같은 제약조건식을 추가
x32 ≥ 200
• 엑셀을 이용하여 최적해를 구하고자 할 경우
– 해 찾기 모델 설정 창에서 x32에 해당하는 셀을 이용하여 제
한 조건을 추가
수송 경로에 하한 제약
수송문제의 응용 : 경유수송문제
공급지와 수요지 사이에 물류센터나 창고 같은
중간 경유지 노드가 존재 → 2단계 유통문제
경유수송문제는 특별한 조건이 없는 한, 수송
문제로 쉽게 변환
특별한 조건이 부과되는 경우(경유지 노드의
처리용량 제한 등) 수송문제로 변환하기 곤란
→ 이 경우, 일반적인 네트워크모형으로 해결해야 함.
(예제 5-2)
경유수송문제
(예제 5-2) 경유수송문제의 네트워크 표현
600
1
5
4
7
2
4
6 5
3
6
3
7
300
4
8
300
9
300
7
7
380
400
7
6
450
6
6
5
7
수학적 모형
 결정변수
xij : 노드 i 에서 노드 j 로의 수송량
 목적함수식
Min z = 5x14 + 6x15 + 7x24 + 4x25 + 6x34 + 5x35
+ 7x46 + 6x47 + 3x48 + 7x49 + 7x56 + 4x57
+ 6x58 + 7x59
수학적 모형
제약조건식
공장 3군데에서 공급할 수 있는 양의 합 = 1430개
대리점 4군데에서 요구하는 양의 합 = 1300개
(공장 제약)
공장 1 : x14 + x15 ≤ 600
공장 2 : x24 + x25 ≤ 450
공장 3 : x34 + x35 ≤ 380
수학적 모형
(물류센터 제약)
물류센터 4 : x14 + x24 + x34 = x46 + x47 + x48 + x49
물류센터 5 : x15 + x25 + x35 = x56 + x57 + x58 + x59
(대리점 제약)
대리점 6 : x46 + x56 = 400
대리점 7 : x47 + x57 = 300
대리점 8 : x48 + x58 = 300
대리점 9 : x49 + x59 = 300
(수송문제로 변환)
 공장 1에서 대리점 6으로 한 단위를 수송
하는 경우 최소 수송비
물류센터 4를 경유할 때 : 단위당 수송비가 12
물류센터 5를 경유할 때 : 단위당 수송비가 13
 공장 3에서 대리점 9로 가는 경우
물류센터 4를 경유할 때 : 단위당 수송비가 13
물류센터 5를 경유할 때 : 단위당 수송비가 12
(수송문제로 변환)
각 공장에서 대리점으로 수송할 때, 비용이 더
적게 드는 물류센터를 경유하도록 하면, 이 문
제는 물류센터를 고려 대상에서 제외하고 공장
과 대리점만이 있는 수송문제 형태로 변환
수송문제의 응용 : 생산계획 및 재고관리문제
- 분기별 생산을 공급지로, 분기별 판매를 수요지로 간주
최적해
할당문제(Assignment Problem)
• 할당문제의 정의
– 처리해야 할 작업이 다수 있고,
– 이러한 작업들을 처리할 작업자들도 다수 있을 때,
– 총처리비용을 최소화하도록 작업자를 각각의 작업
에 할당하는 방법을 구하는 문제
• 할당문제에서 반드시 지켜야 할 조건
– 각 작업자는 단 하나의 작업만을 맡아 처리
– 각 작업은 한 명의 작업자에게만 할당
할당문제의 특징 및 적용분야
 특징
 일반적인 할당문제는 작업자의 수와 작업의 수가 같다.
 할당문제는 다음과 같은 특징을 갖는 수송문제의 특수
한 형태로 간주
공급지 개수 = 수요지 개수
각 공급지에서의 공급량 = 1
각 수요지에서의 수요량 = 1
적용 분야
 n 명의 판매원을 n 개의 판매지역에 할당하는 문제
 n 명의 기계 운영자를 n 대의 기계에 할당하는 문제
(예제 5-4) 작업 처리 비용
수학적 모형
결정변수
xij : 작업 i 가 장비 j 에 할당되면 1,
그렇지 않으면 0
목적함수식
Min z = 64x11 + 71 x12 + 50x13 + 24x14
+ 30 x21 + 54 x22 + 23 x23 + 8 x24
+ 32 x31 + 55 x32 + 50 x33 + 46 x34
+ 64 x41 + 78 x42 + 54 x43 + 49 x44
수학적 모형
제약조건식
x11 + x12 + x13 + x14 = 1
x21 + x22 + x23 + x24 = 1
x31 + x32 + x33 + x34 = 1
x41 + x42 + x43 + x44 = 1
(작업 1)
(작업 2)
(작업 3)
(작업 4)
x11 + x21 + x31 + x41 = 1
(장비 1)
x12 + x22 + x32 + x42 = 1
(장비 2)
x13 + x23 + x33 + x43 = 1
x14 + x24 + x34 + x44 = 1
(장비 3)
(장비 4)
엑셀을 이용한 할당문제 해법
할당문제의 특수한 경우
작업자와 작업의 수가 같지 않을 경우
(예) 작업자의 수가 작업의 수보다 많을 경우
– 차이만큼의 가상 작업을 임의로 설정
– 각 작업자가 가상작업을 처리하는 비용 = 0
어떤 작업자는 특정작업을 수행할 수 없는 경우
해당 작업이 할당될 경우 아주 큰 비용이 발생하는
것으로 처리 (수송 경로가 폐쇄된 수송문제와 동일)
(예제 5-5) 작업과 장비의 수가 같지 않을 경우
(예제 5-6)
어떤 작업자는 특정작업을 수행할 수 없는 경우