제 6 장

네트워크 모형 (Network Model)

네트워크 표현 (고속도로의 예)

원 주

25

울 산

16 12 14 8

서 울

35

대 구

19

부 산

9

대 전

15 22 17

광 주

14

네트워크 정의

 (정의) 네트워크 여러 개의 node들과 이들을 연결하는 arc들 로 구성  node들 사이에 사람이나 물건들이 arc를 따라 이 동 (예) 고속도로망, 전화망, 철도망, TV 네트워크  네트워크 모형은 최근 들어 경영과학 분석기법으 로 아주 많이 사용 – 수많은 실세계 시스템들이 네트워크 형태로 모 형화하여 풀 수 있기 때문

대표적인 네트워크 문제 유형

 최소비용 네트워크 흐름 문제 (Minimal Cost Network Flow Problem)  최단경로문제 (Shortest Path Problem)  최대흐름문제 (Maximal Flow Problem)

네트워크 구성요소

 네트워크는 노드(Node)와 아크(Arc)로 구성 노드 : 원으로 표현 아크 : 노드들을 연결하는 선으로 표현 - directed arc (방향이 있는 아크) : 한쪽 방향으로 이동 - undirected arc (방향이 없는 아크) : 양방향으로 이동   (예) 고속도로망 노드 : 도시 또는 도로의 교차지점  아크 : 각 도시들을 연결하는 도로

네트워크 모형의 수식화

 입력 데이터

c ij

: 노드

i

에서 노드

j

로의 단위당 수송비

u ij

: arc (

i, j b i

: 노드  결정변수

i

) 의 흐름 용량 의 공급량 또는 수요량

x ij

: 노드

i

에서 노드  기본적인 제약조건

j

로의 수송량 - 흐름 보존 법칙(Flow Conservation Rule)

(예제 6-1) 노드 1, 2, 3은 공급지 노드, 노드 5, 6, 7은 수요지 노드

30 2 5 -35 5 4 4 1 40

생성

1 2 3 2 4

통과

5 4 3 2 6 -30

흡수

7 3 20 7 -15

흐름 보존 법칙 (Flow Conservation Rule)

 (공급지 노드) : 생성 노드에서 나가는 양의 합 ≤ 공급량+노드로 들어오는 양의 합  (수요지 노드) : 흡수 노드로 들어오는 양의 합-노드에서 나가는 양의 합 ≥ 수요량  (경유지 노드) : 통과 노드로 들어오는 양의 합 = 노드에서 나가는 양의 합

제약조건



순흐름(net flow)

= (노드에서 나가는 양의 총합) - (노드로 들어오는 양의 총합) 

제약조건(흐름보존법칙) (공급지 노드) (수요지 노드) (경유지 노드) 순흐름 ≤ 공급량 순흐름 ≤ - 수요량 순흐름 = 0

균형 문제(balanced problem)

• 총공급량의 합 = 총 수요량의 합 • 부등호 "

≤

" 대신에 등호 " = "을 사용해도 됨.

(공급지 노드) 순흐름 = 공급량 (수요지 노드) 순흐름 = - 수요량 (경유지 노드) 순흐름 = 0

기타의 경우

• 네트워크의 각 아크를 따라 흘려보낼 수 있는 양에 제한이 주어지는 경우, 아래의 제약조건 식을 추가 0 ≤ x

ij

≤ u

ij

6.4 최소비용 네트워크 흐름 문제

수요지 노드들이 요구하는 양을 공급지 노드 들로부터 수송하고자 할 때, 전체 수송비가 최 소가 되도록 하는 수송방법을 찾는 문제  공급지 노드로부터 최종 수요지 노드에 수송 하는 양은 다른 공급지 노드나 수요지 노드 또는 경유지 노드들을 경유하여 수송하는 것 이 가능  수송문제와 유사

수송문제와의 차이점

수송문제

 경유지 노드가 없다.

 공급지 노드에서 수요지 노드로의 직접 수송만 가능

최소비용 네트워크흐름문제

 경유지 노드가 있다.

 공급지 노드에서 수요지 노드로의 직접 수송뿐만 아 니라, 다른 공급지 노드나 경유지 노드를 경유하여 수 요지 노드로 수송하는 것도 가능

40 1 4 2 30 2

(예제 6-1)

-35 5 5 4 5 3 4 3 2 3 20 7 4 7 -15 2 1 6 -30

수학적 모형



( 결정변수 )

 

x ij

: 노드

i

에서 노드 결정변수 개수 =

j

로의 수송량 아크 개수 (12 개 ) 

( 목적함수 )

Min

z

= 4

x 12 +3x 14 +4x 24 +5x 26 +2x 31 +2x 34 +7x 37 +5x 45 +3x 46 +4x 47 + x 65 +2x 76



( 제약조건식 )

 7 개 노드 각각에 대해 흐름보존법칙에 관한 제약조건식이 하나씩 대응  제약조건식 개수 = 7 개 ( 비음제약조건 제외 )

제약조건식

( 노드 ( 노드 ( 노드 ( 노드 ( 노드 ( 노드 ( 노드 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

x x 12 24 + x + x 14 26 x 31 + x 34 - x 31

≤

40

- x 12

≤

+ x 37

≤

30 20 -

x 45 x 45 + x 46 - x 46

≤

+ x 47

-35

x x 65 76

-

x x 26 37 - x - x 46 47 - x 14 - x 76

≤

-15

≤

- x 24

-30

- x 34

≤

0

엑셀 입력 모형

 행렬 입력 방식  7 x 7 행렬표 작성  아크-노드 입력 방식  (아크 표)와 (노드 표) 작성  실제 사용된 아크와 노드만으로 입력모형 구성  행렬입력방식에 비해서 훨씬 간단

행렬 입력 방식

아크 - 노드 입력 방식

H7 : =SUMIF($C$7:$C$18,G7,$B$7:$B$18) - SUMIF($D$7:$D$18,G7,$B$7:$B$18)

6.5 최단경로문제(Shortest Path Problem)

출발지 노드에서 출발하여 목적지 노드에 도착하기까지 주행하는데 소요되는 총시 간(또는 총거리)의 합이 최소가 되는 경로 를 찾는 문제 (예) 서울에서 출발하여 부산에 도착하기까지는 여러 경로를 따라 갈 수가 있는데, 이 중에서 가 장 짧은 경로를 찾는 문제

최단경로문제의 예

12 7 2 5 8 7 6 5 4 5 9 1 8 3 3 8 6 10 4 10 9 11 9 4 7 8 3 1번 노드에서 10번 노드까지 가장 짧은 경로를 찾는 문제

1 16 9 35 2

(예제 6-2)

25 5 12 14 19 4 17 15 22 3 6 8 14 7

수학적 모형

1번 노드로부터 7번 노드까지 가는 최단경로를 찾는 문제는 1번 노드로부터 7번 노드까지 물 건 1 단위를 최소비용으로 수송하는 최소비용 네트워크 흐름문제로 간주할 수 있다.    1번 노드 (출발지 노드) 1단위를 공급할 수 있는 공급지 노드 7번 노드 (목적지 노드) 1단위를 필요로 하는 수요지 노드 2~6번 노드 : 경유지 노드

수학적 모형

( 결정변수 )

x ij

: 아크 (

i, j

) 가 최단경로의 아크로 선택되면 아니면 0 인 이진 변수 1,

수학적 모형

Min

z

=

16 x 12 + 15 x 34 + 9 x 13 + 35 x 14 + 22 x 36 + 14 x 45 + 12 x 24 + 25 x 25 + 17 x 46 + 19 x 47 + 8 x 57 + 14 x 67

s.t.

x 12 + x 13 + x 14 =

1

x 24 + x 25 - x 12 =

0

x 34 + x 36 - x 13 =

0

x 45 + x 46 + x 47 - x 14 - x 24 - x 34 =

0

x 57 - x 25 - x 45 =

0

x 67 - x 36 -x x 47 ij - x 57

≥ 0

- x 46 =

0

- x 67 =

-1

엑셀입력모형(최단경로문제)

최적해(최단경로문제)

1번 도시로부터 7번 도시까지의 최단경로 : 1→ 3 → 4 → 7 총 주행거리 : 43

6.6 최대흐름문제(Maximal Flow Problem)

출발지 노드로부터 목적지 노드까지 단위시간 동안 최대한 물량을 수송하기 위해 각 아크를 따라 수송하는 양을 결정하는 문제 –(예) 송유관, 가스관, 송수관  출발지 노드와 목적지 노드가 각 한 개씩 존재, 이들 사이에 다수의 경유지 노드들 존재  아크들에는 단위시간동안 물량이 흐를 수 있 는 양에 제한 : 아크 흐름 용량(Flow Capacity)

1 6 2

(예제 6-3)

4 5 3 3 5 4 7 3 1 7 6 4 3 6

수학적 모형



( 결정변수 )

x f ij

: 노드 :

i

에서 노드 는 원유의 양 

( 목적함수 )

(

i, j j

로 한 시간동안 수송하 = 1, …. , 7) 한 시간동안 인천에 수송되는 원유의 양 Max

z

=

f



( 제약조건식 )

  흐름보존법칙 하나씩 대응 : 7 아크의 용량 제약 개 노드 각각에 대해 제약조건식이

제약조건식

(흐름보존법칙)

x 12 + x 13 = f x 24 + x 25 - x 12 = 0 x 34 + x 36 - x 13 = 0 x 45 + x 46 - x 24 - x 34 = 0 x 57 - x 25 - x 45 = 0 x 67 - x 36 - x 46 = 0 -x 57 - x 67 = -f

(아크용량제약)

x 12

≤ 6,

x 13 x 24

≤ 3,

x 25 x 34

≤ 3,

x 36 x 45

≤ 3,

x 46 x 57

≤ 5,

(비음 제약)

x 67

≤ 7 ≤ 4 ≤ 4 ≤ 1 ≤ 6

x ij

≥

0 , f

≥

0

엑셀 입력 모형(최대흐름문제)

최적해(최대흐름문제)

1번 노드에서 7번 노드까지 최대 흐름량 =10