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제
9
장 제
9
장
… … … … … … … … … … … … … … … … …
네트워크모형
서 론
최단경로문제
최소걸침나무문제
최대흐름문제
한밭대학교 산업경영공학과 강진규 교수
제
9
장 네트워크모형 ▶
서 론
네트워크의 구성요소와 구조
… … … … … … … … … … … … … … … … …
2
5
6 마디
1 2 2 3
1
1 1
4
4 1 3
3
2
5 가지 흐름 네트워크의 종류 단방향 네트워크(directed network) - 양방향 네트워크(undirected network) 경로(path, route) : 위 그림의 ①→③→②→④ 와 같은 연속되는 가지 고리(loop, cycle) : ①→③→②→①과 같이 처음으로 되돌아오는 경로 나무(tree) 네트워크 : 고리가 없는 네트워크 한밭대학교 산업경영공학과 강진규 교수
제
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장 네트워크모형 ▶
서 론
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대표적인 3가지 네트워크 모형 가. 최단경로문제(shortest route problem) : 두 지점 사이의 최단경로(가장 작은 비용 또는 가장 짧은 거리나 시간에 도착할 수 있는 경로)를 찾는 문제(외판원 문제) 나. 최소걸침나무문제(minimum spanning tree problem) : 네트워크상의 모든 연결하는 방법 중에서 가장 작은 비용 또는 시간으로 연결할 수 있는 방법을 찾는 문제 (설비배치문제, 네트워크 설계문제) 다. 최대흐름문제(maximal flow problem) : 네트워크상의 한 지점에서 다른 지점으로 보낼 수 있는 최대 의 유통량을 찾는 문제(교통흐름 분석문제, 송유관 설계문제) 한밭대학교 산업경영공학과 강진규 교수
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장 네트워크모형
최단경로문제
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출발지점에서 도착지점에 이르는 최단경로를 찾는 문제 예제 모형 : 출발지 ①에서 각 지점까지의 최단경로와 거리를 구하 는 영업사원의 문제 2
13 12 6 5
6
14 20
출발지 1
20 15
3
11
4
30 18 10 7
5
16
영업사원 문제의 네트워크 한밭대학교 산업경영공학과 강진규 교수
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장 네트워크모형
최단경로문제
… … … … … … … … … … … … … … … … …
다익스트라법(Dijkstra method) : 가장 대표적인 발견적기법
1
단계 처음에 출발마디를 선택하여 각 마디까지의 임시최단거리를 표시하되 , 직접 연결되는 가지가 없으면 ∞ 로 표시한다 .
2
단계 선택되지 않은 마디에 대하여 , 가장 작은 임시최단거리를 갖는 마디를 선택하고 연결하여 영구최단거리로 삼는다 . 도착마디가 선택되면 끝내고 , 아니면 3 단계로 간다 .
3
단계 선택되지 않은 마디에 대해 , 직전에 선택된 마디와 연결될 때의 거리가 기존의 임시최단거리보다 작으면 임시최단거리를 수정 하여 2 단계로 간다 . 한밭대학교 산업경영공학과 강진규 교수
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장 네트워크모형
최단경로문제
… … … … … … … … … … … … … … … … …
초기 임시최단거리
12
2
13 ∞
6
12
출발지 1
20 6 5 20
4
7 14 20 10 11 30 15
3
15 18
5
∞
- ⑤, ⑥, ⑦번 마디는 직접 연결되는 경로가 없으므로 임시최단거리를 ∞로 한다.
16 ∞
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최단경로문제
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임시최단거리중 ②번 마디의 임시최단거리가 12로 가장 작으므로 ②번 마디를 선택하여 연결하고, 각 마디의 임시최단거리를 수정
12
2
13 25
× 6
12
출발지 1
20 6 11 5 17
× 4
10 7 14 20 ∞ 30 16 15
3
18
5
15 ∞
한밭대학교 산업경영공학과 강진규 교수
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장 네트워크모형
최단경로문제
… … … … … … … … … … … … … … … … …
임시최단거리중 가장 작은 값(15)을 갖는 ③번 마디를 선택하여 연 결하고, 임시최단거리 수정
12
2
13 25
× 6
12
출발지 1
20 6 11 5 17
× 4
10 7 14 20 45
×
30 16 15
3
18
5
15 33
한밭대학교 산업경영공학과 강진규 교수
▶ 제
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장 네트워크모형
최단경로문제
… … … … … … … … … … … … … … … … …
세 번째 수정된 임시최단거리
12
2
13 24 25
× 6
12
출발지 1
20 6 11 5 17
× 4
10 7 14 20 45
×
30 16 15
3 5
18 15 33 27
한밭대학교 산업경영공학과 강진규 교수
▶ 제
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장 네트워크모형
최단경로문제
… … … … … … … … … … … … … … … … …
네 번째 수정된 임시최단거리
12
2
13 24 25
× 6
12
출발지 1
20 6 11 5 17
× 4
10 7 14 20 44
× ×
30 16 15
3 5
18 15 33 27
한밭대학교 산업경영공학과 강진규 교수
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장 네트워크모형
최단경로문제
… … … … … … … … … … … … … … … … …
다섯 번째 수정된 임시최단거리
12
2
13 24 25
× 6
12
출발지 1
20 6 11 5 17
× 4
10 7 14 20 43
× × ×
30 16 15
3 5
18 15 33 27
한밭대학교 산업경영공학과 강진규 교수
▶ 제
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장 네트워크모형
최단경로문제
… … … … … … … … … … … … … … … … …
최종적으로 얻어진 각 지점까지의 최단경로와 최단거리
12
2
13 24 25
× 6
12
출발지 1
20 6 11 5 17
× 4
10 7 14 20
7
1 43
× × ×
15
3
15 30 18
5
16 33 27
한밭대학교 산업경영공학과 강진규 교수
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장 네트워크모형
최단경로문제
… … … … … … … … … … … … … … … … …
각 지점까지의 최단경로와 거리 지점
2 3 4 5 6 7 1 – 2
최단경로
1 – 3 1 – 2 – 4 1 – 2 – 4 – 5 1 – 2 – 4 – 6 1 – 2 – 4 – 5 – 7
거리
12 15 17 27 24 43
한밭대학교 산업경영공학과 강진규 교수
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장 네트워크모형
최소걸침나무문제
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네트워크상의 모든 마디를 연결하되, 연결된 총 길이를 최소로 하 는 문제 - 수송시스템이나 컴퓨터 네트워크의 설계에 주로 이용 예제 모형 는 문제 : 6개 지역에 분산되어 있는 컴퓨터를 네트워크로 연결하 2
5 5 3 7 3 8
3 1
7 6 7 4
4
5 6 8
6 5 컴퓨터 네트워크 한밭대학교 산업경영공학과 강진규 교수
▶ 제
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장 네트워크모형
최소걸침나무문제
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그리디 해법(greedy algorithm) - 최소걸침나무문제의 대표적 발견적기법
1
단계 임의의 마디에서 출발하여 , 그 마디와 가장 가까운 마디를 선택 하고 연결한다 .
2
단계 선택되지 않은 마디들에 중에서 , 선택된 마디들과의 거리가 가 장 짧은 마디를 선택하고 이를 연결한다 . 모든 마디가 선택될 때 까지 이를 반복한다 .
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▶ 제
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장 네트워크모형
최소걸침나무문제
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첫 번째 연결 : 1번 마디에서 출발, 가장 가까운 마디가 3번이므로 선택하여 연결
5
2
5
3 1
6 7 3 3 7 8 4 7
4
5 6 8
6 5 한밭대학교 산업경영공학과 강진규 교수
▶ 제
9
장 네트워크모형
최소걸침나무문제
… … … … … … … … … … … … … … … … …
두 번째 연결 : 선택된 마디 ①, ③번에서 가장 가까운 거리에 있는 선택되지 않은 마디가 ⑤번이므로 선택하고 이를 ③번 마디와 연 결 2
5 5
3 1
3 8 7 6 7 3 7 4
4
5 6 8
6 5 한밭대학교 산업경영공학과 강진규 교수
▶ 제
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장 네트워크모형
최소걸침나무문제
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세 번째 연결 : 선택된 마디 ①, ③, ⑤번에서 아직 선택되지 않은 ②, ④, ⑥번 마디로 연결되는 경로중 가장 작은 거리를 갖는 마디 ②를 선택 2
5 5
3 1
3 8 7 6 7 3 7 4
4
5 6 8
6 5 한밭대학교 산업경영공학과 강진규 교수
▶ 제
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장 네트워크모형
최소걸침나무문제
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네 번째, 다섯 번째 연결 : 마찬가지 방법으로 ⑥번, ④번 마디 선택 1
5
2
5 6 7 3 3 5 7 8 4 8
6 5 3
6 7
4 한밭대학교 산업경영공학과 강진규 교수
▶ 제
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장 네트워크모형
최소걸침나무문제
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최종적으로 연결된 네트워크 : 총 거리는 3 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 2 3
3
1
3
4
4 5 6
6 5 n개의 마디가 주어지면 항상 n-1개의 가지로 연결되는 해를 갖는다.
최적 연결은 시작하는 마디가 어느 마디인가에 관계가 없다. 한밭대학교 산업경영공학과 강진규 교수
▶ 제
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장 네트워크모형
최대흐름문제
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각 가지에 흐를 수 있는 용량이 한정되어 있을 때 흘려 보낼 수 있는 최대 의 유통량을 구하는 문제 흐름의 예 : 원유, 식수, 가스 등의 유동체나 교통량, 정보량, 통신량 등 예제 모형 : T 지역의 식수공급 문제 수원지 S
5 6 4 0 0
1
2 3 1
2
3 2 2 0 2 0
3
4 3 3 0 0
4
3 5 0 1 0
5
4 4 0 0
수요지 식수공급 네트워크 한밭대학교 산업경영공학과 강진규 교수
▶ 제
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장 네트워크모형
최대흐름문제
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최대흐름문제의 발견적기법
1
단계 공급지에서 수요지로 양의 용량을 갖는 경로를 선택한다 . 이러 한 경로를 선택할 수 없으면 , 현재의 흐름량이 최대이다 .
2
단계 선택한 경로에 포함된 가지의 용량중 최소값을 그 경로의 흐름 량으로 배정한다 .
3
단계 각 가지의 용량에 대해 , 위에서 결정된 흐름량을 순방향으로는 빼주고 역방향으로는 더해준 다음 1 단계로 간다 . 한밭대학교 산업경영공학과 강진규 교수
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장 네트워크모형
최대흐름문제
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첫 번째 배정 - 양의 흐름용량을 갖는 경로 선택 (S→①→④→T 경로) - 각 가지의 용량이 5, 3, 5이므로 3을 배정 - 흐름량 3을 순방향의 용량에서는 빼주고 역방향의 용량에는 더해준다.
3
S
2 6 4 3 0
1
0 1 3
4
0 3 2
2
2 3 2 2 0 2 0
3
4 3 3 0 1
5
4 4 0 0
첫 번째 배정 후의 용량 변화
3 3
한밭대학교 산업경영공학과 강진규 교수
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장 네트워크모형
최대흐름문제
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두 번째 배정 : 경로 S→③→T를 선택, 흐름량 min{6, 3} = 3을 배정
3
S
2 3 4 3 0
1
0 1 3
4
0 3 2
2
2 3 2 2 3 2 0 4
3
3 0 0 1
5
4 4 3 0
두 번째 배정 후의 용량 변화
3 3
한밭대학교 산업경영공학과 강진규 교수
▶ 제
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장 네트워크모형
최대흐름문제
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세 번째 배정 : S→②→⑤→T 경로에 2 배정
2
S
2 3 2 3
1
0 1 2 2
2
3 2 0 3 2 0 4
3
3 0 3
4
0 3 2 3 0 3
5
4 2 3 2 2
한밭대학교 산업경영공학과 강진규 교수
▶ 제
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장 네트워크모형
최대흐름문제
… … … … … … … … … … … … … … … … …
네 번째 배정 : S→①→②→③→④→T 경로에 2 배정
2
S
0 3 2 5 2
1
0 5
2
0 0 0 1 3 2 2 2
3
3 0 3
4
2 3 0 0 3
5
4 2 5 3 2 2
한밭대학교 산업경영공학과 강진규 교수
▶ 제
9
장 네트워크모형
최대흐름문제
… … … … … … … … … … … … … … … … …
다섯 번째 배정 : S→③→⑤→T 경로에 2 배정
2
S
0 1 2 5 2
1
0 5
2
0 0 0 1 5 2 2 2
3
1 0 3
4
2 3 0 2 3
5
4 0 5 3 4 2
한밭대학교 산업경영공학과 강진규 교수
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장 네트워크모형
최대흐름문제
… … … … … … … … … … … … … … … … …
최종 배정 결과
3
1 4
5 5 2 12
수원지 S
5 2
3
3 12
수요지
2 4 2 2
2 5
2
한밭대학교 산업경영공학과 강진규 교수
▶ 제
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장 네트워크모형
최대흐름문제
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수원지에서 공급할 수 있는 용량은 5 + 6 + 4 = 15이나, 중간경유지의 공급 용량에 한계가 있기 때문에 최대흐름량은 12가 된다. 경로 선택의 차이에 따라 각 가지에 흐르는 양도 달라질 수도 있으나, 각 경 로에 배정되는 양은 서로 다르더라도 네트워크의 최대흐름은 12로 변하지 않 는다.
최소절단-최대흐름 정리(minimal cut- maximal flow theorem) : 네트워크상의 최대흐름은 네트워크를 절단하는 경로들의 집합 중 용량의 합이 최소인 값과 같다. : 이 문제에서 최대흐름량 12는 수원지와 수요지를 절단하는 경로의 집합 중 최소의 순방향 흐름량을 갖는 {④→T, ③→T, ⑤→T}의 순방향 용량의 합(5 + 3 + 4 = 12)이다. 한밭대학교 산업경영공학과 강진규 교수
수 고 했 어 요 !!!
제
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장 제
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네트워크모형
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