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환경시스템분석,
중간고사,
2012년도 1학기
환경공학과
20081494
지재관
1. 모형에 대하여 다음의 질문에 답하라.
1) 모형이란 무엇인가?
2) 모형에는 어떤 종류가 있는가?
3) 모형을 이용하여 모델링을 수행하는 작업은 어떤 과정을 거치는가?
1)모형이란 무엇인가
자연과학은 물론 인문과학 사회과학의 분야에서도 현상의 실제에 대한 적용
의 목적으로 하여, 현상의 본질을 파악하기 위하여 표본을 추출하여 실험적,
통계적, 수학적으로 나타내려고 시도한다. 이것이 모형이며, 모형을 이용하
여 현상을 파악하는 작업을 모델링, 모의, 모사, 시뮬레이션이라고 한다.
2) 모형에는 어떤 종류가 있는가?
모형에는 수학적, 실험적, 통계적 모형이 있다. 자연과학 분야에서는 이중 수
학적 모형과 실험적 모형을 가장 많이 사용한다.
자연과학에서의 수학적 모형은 현상을 물리학, 화학, 생물학적으로 해석하
여 수학을 이용하여 수식으로 표현한 다음, 해석적이나 수치해석적으로 분
석하게 된다. 즉, 현상을 시간 및 공간에 의존하는 수학적 함수로 표시하는
데, 통상 상미분 혹은 편미분방정식의 형태로 표현된다.
통계적 모형은 물리학, 화학, 생물학적 기작을 고려하지 않고, 표본 및 모집
단에 대한 자료의 특성만을 고찰하는 모형이다. 본 모형은 시간에 의존하는
경우와 그렇지 않은 경우로 나눌 수 있다. 신뢰할 만한 수준의 자료 수집이
가능하다면 통계적 모형도 양호한 결과를 도출할 수 있다. 통계적 모형은 통
상 수학적 모형으로 표현이 불가능한 경우 즉 현상이 너무 복잡하거나 임의
성이 너무 강하여 이제까지의 물리학, 화학, 생물학 기반의 지식으로는 해석
이 불가능한 경우에 적용된다.
3) 모형을 이용하여 모델링을 수행하는 작업은 어떤 과정을 거치는가?
① 모형을 개발하여 모델링하려는 문제에 대하여 그 문제에 영향을 주는 중요
한 요인들을 공간 시간적으로 수집하고 물리학적, 화학적, 생물학적 주변수와
파라미터 등을 분석한다.
② 어떤 모형을 적용할 것인지 판단한다. 수학적으로 표현이 가능한 경우에는
수학적 모형을 선택하고, 그렇지 않은 경우에는 실험적으로 실험실내에서 실
험이 가능한 경우에는 실험적 모형을 선택하고, 실험이 불가능하고 유의성이
있는 자료가 풍부한 경우에는 통계적 모형을 선택한다. 적용될 모형을 검증하
기 위하여 3가지 모형을 종합적으로 적용하여 최선의 모델링 시스템을 구축하
는 것이 바람직하다.
③ 수학적 모형을 설정할 경우 현상에 대한 물리학적, 화학적, 생물학적 원리
를 분석한다. 주로 평형의 원리를 적용한다. 이러한 적용된 원리에 따라 적절
한 지배방정식을 유도한다. 지배방정식이외에 필요한 파라미터를 선정한다.
④ 개발된 지배방정식의 해를 구한다. 이러한 해는 수학적 해석해, 전산프로그
램을 이용한 수치해 등으로 구분된다. 계산된 해의 결과를 검증하기 위하여 해
석해와 수치해를 비교하거나 실험모형의 해나 통계모형의 해와 비교하기도
한다.
⑤ 입력자료와 파라미터의 적정성을 분석한다. 특히, 실제 현상을 재현하기 위
하여 각종 파라미터를 현실의 결과가 나타나도록 맞추는 작업을 보정이라고 하
고, 이렇게 추정된 파라미터를 이용하여 다른 조건의 현실의 결과와 모형의 결
과를 비교하는 작업을 검증이라고 한다.
⑥ 모형의 결과를 분석한다. 모형의 결과가 현실적으로 효용성이 있는 결과를
도출하였는지를 검토한다. 자료가 방대하고 자연의존적인 자료인 경우 공간 및
시간적인 분석을 입체적으로 역동적으로 수행하기 위하여 지리정보시스템을
이용한다.
2. 환경 모델링의 범위 및 목적에 대하여 기술하라.
1) 환경모델링의 목적
(1) 화학 물질의 정량화 및 장래 변화를 예측한다.
환경에서의 화학물질들에 대한 특성, 이동, 수명 등을 규명한다. 지표수나 지하
수에 함유되어 있는 일반적인 오염물질, 부영양화, 독성유기물, 금속물질들을
해석한다. 최근의 수학적 모형은 화학 반응 모형을 역학적 이동모형과 결합하여
해석한다.
- 화학 물질의 반응, 종형성, 이동에 대한 정량화를 통하여 그 물질의 수명 및
이동에 대한 좀 더 정확한 이해를 도출한다.
- 과거, 현재, 미래의 인류와 수생 유기물들의 화학물질의 노출 농도를 결정한다.
- 다양한 부하 조건과 관리 사업에 따른 장래 변화를 예측한다.
(2) 화학물질의 노출 농도를 측정한다.
노출 농도는 유기체의 성장에 있어서의 중요한 인자로 작용을 하며, 화학적 오
염물질의 영향을 평가하는 것과 관계있다. 노출 농도는 배출이 발생하는 빈도나
그것이 지속되었을 경우의 만성의 효과정도를 고려하여 농도와 지속기간으로
평가된다. 암모니아 , 비소 , 카드뮴 , 염소 , 크롬 , 구리 , 시안화물 , 납, 수은 등
의 독성물질들의 초기 농도기준은 미세한 양으로 정해져서 허용할 수 있을 정
도의 지속기간이나 빈도에 대해서 정해지며, 각각의 독성에 대한 어떠한 만성적
인 영향도 나타나서는 안 된다.
3. 국내에서 쓰이는 대표적인 환경 관리 모형에 대하여 특성 등을 기술하라.
HEC-RAS(River Analysis System)는 미 공병단(Army Corps of Engineers) 수공
학센터(Hydrologic Engineering Center)에서 개발하고 있는 차세대 수문해석 전
산프로그램의 하나이며, HEC-2의 후속모델로 개발되었다.
DYNHYD5는 WASP5내의 수리 모형으로 Potomac 연안 모형이었던 DYNHYD2
를 확장한 모형이다[U.S. EPA, 1988]. DYNHYD5 모형은 절점과 수로로서 구성된
계산격자망에 대하여 바람에 의한 응력, 마찰력, 중력의 영향을 고려한 1차원
연속방정식, 운동방정식을 지배방정식으로 하며, 수로에서는 운동방정식을 이
용하여 유속과 유량을 계산하고, 절점에서는 연속방정식을 이용하여 수위를 계
산한다.
TIDE4 모형은 해수유동 예측을 위해 개발된 전산모형으로 선형사각형 유한요
소를 이용한다. TIDE4모형은 1개의 주프로그램과 9개의 부프로그램으로 구성
되어 있다.
MFEMWASP은 MFEMWASP(Multidimensional Finite Element Model based
upon WASP) 모형은 수치해석상 보다 발전된 다차원 유한요소법을 이용하였
으며, 여타 수질예측모형의 수질 및 수치이론을 해석하고, 정확도 및 적용성
여부를 판단하여 개발된 모형이다.
PMWIN은 MODFLOW-88, MODFLOW-96, PMPATH, MT3D, MT3DMS,
MOC3D, PEST, UCODE로 구성되며, 지하수 유동과 오염물질의 거동을 모델링
하기 위한 통합적인 모델링 시스템을 제공한다.
QUAL2E는 QUAL2E는 1985년에 U.S. EPA에서 개발된 하천수질모형으로서 현
재 가장 널리 사용되는 수질 모형이다. 이 모형은 1차원 수치모형으로서 점오
염원과 비점오염원 유입에 따른 하류 방향의 수질변화를 예측할 수 있다.
QUAL2E-PLUS는 QUAL2E 프로그램을 보완하여 QUAL2E-PLUS라는 Windows
기반의 모델로써 (주)Websolus에서 프론티어사업의 일환으로 개발하고 있는
모형이다. 이 모델은 이전의 모델에 비해 조류와 용존산소와의 상호관계, 온도
보정계수, 댐에 의한 하천수의 산소공급 및 비보존성 물질과 3가지의 보존성
물질, 입․출력방법개량 등을 보완시킨 1차원 하천수질 예측 모델로서 1차원
정상상태(Stedy state)는 물론이고 가동적상태(Dynamic state)에서도 예측할
수 있다.
모델에 적용 가능한 대구간(Reach)은 최대 50개 이며 대구간당 소구간
(element)수는 20를 넘을 수 없고 소구간은 총 500개를 초과할 수 없다. 또한
합류점 소구간(Junction element)은 9개까지, 수원 소구간(Headwater element)
는 10개까지, 점오염원 유입소구간(Input element)과 취수 소구간(Withdrawl
element)는 50개까지 사용 가능하다.
CE-QUAL-W2은 미육군공병단에 의해 개발된 폭방향 평균화 (laterallyaveraged) 2차
원 수리 및 수질모델이다. 이 모델은 대상 수체를 흐름방향과 연직방향으로 구
분하여
폭방향으로 평균화된 유속, 수온, 수표고 등을 모의하고 ,이들의 변화에 따른
수질 변
화를 모의한다. 또한 점원 및 비점원 유입과 수문 방류, 취수, 월류 등 실제와
유사한
형태의 유입 및 유출에 대한 표현이 가능하며, 장기간 동안의 시변화 시뮬레이
션이 가능하다.
SWMM은 도시 및 일반적인 비도시지역에 적용하여 유출수량 및 유출수질을
예측하는 모형으로 강우 사상별 및 연속모의가 가능한 모형이다. 이 모형은 세
계적으로 가장 많이 사용되고 있는 모형중의 하나로 많은 적용사례가 있다. 각
종 소유역으로의 유입량, 강수량, 홍수추적, 저류, 지면 침식, 유출과정, 펌핑 및
오수처리 등의 모든 요건을 전부 고려한다. Manning 공식과 Kinematic Wave
방정식을 유출량의 계산에 사용하며, 침투량과 건기시 유량도 계산된다.
부유고형물(SS), BOD, COD, 대장균, 질소, 인, 오일 등이 수질변수로 사용되며 유
출수의 수질은 유역특성과 오염물질 누적량 및 유출량의 크기에 의해 결정된다.
WASP은 WASP(Water Quality Simulation Program)은 1981년 Di Toro 등에 의
해 U.S. EPA에서 처음 개발되었다[Robert, B. A. Jr. 등, 1988]. 이후, 수정과 보완
을 거쳐 1993년 수체내 독성물질 거동까지 분석 가능한 WASP5 모형으로 발전
되었다.
EPANET은 미국 환경청(US Environmental Protection Agency)에서 개발하여 무
료로 제공하고 있는 관망해석 프로그램이며, 시간변화 모의(EPS, Extended
Period Simulation)를 바탕으로 수리 및 수질해석, 개별펌프모터 및 전력 원단위
추정 등의 다양한 해석이 가능하다. 또한, 상수도 배수관망은 파이프, 연결점, 펌
프, 밸브, 배수탱크, 배수지 등으로 연결되어 있다. EPANET은 배수관망을 해석하
는 프로그램으로, 파이프의 유량, 수압, 탱크의 수위 등을 동적으로 계산할 수 있
다. 또한, 추적자 실험을 통해 물의 관내 체류시간을 계산할 수도 있어 배수관망
내에서의 수질 변화도 모의할 수 있다.
WaterCad는 미국 Bentley사에서 시판하고 있는 모형으로 관망모형 중 개발 역
사가 가장 오래되었으며, 부정류에 대한 해석을 위한 노력을 경주하여
WaterHammer등의 제품을 출시하였고, 지리정보시스템과의 연계 운영을 위하
여 WaterGEM을 출시하였다. 상수관망의 수에 따라서 가격이 비싸지며, 비교적
고가의 비용을 지불하여야 하는 단점을 가지고 있다.
InfoWorks는 영국에서 개발된 모형으로 누수에 대한 분석을 위하여 수용가의
용수특성 분석 등 다른 모형보다 누수에 대한 추정 작업을 할 수 있도록 개발하
고 있으나, 아직까지는 실용성이 있는 누수 추정 모형을 제시하고 있지는 못하
며, 가격이 비싸다는 단점을 가지고 있다.
MIKENET은 DHI(Danish Hydraulic Institute)에서 개발된 소프트웨어로 상수관
망의 배수와 급수에 대한 시뮬레이션을 하며, 강력한 SQL데이터베이스 구조,
GIS 자동 링크, 완벽한 개방형 데이터베이스 구조, 절점 무제한으로 큰 규모의
관망 모델링 가능한 구조, CAD친화형 인터페이스 구조를 가지고 있다. 또한, 정
상 상태 해석과 확장 기간 해석, 수질 해석, SCADA 실시간 모델링, 소방해석, 자
동 데이터 보정, 관망 최적화, 수충격 해석, 압력존의 최적화, 누수 저감, 에너지
비용 최적화, 온라인 분석과 실시간 제어, 위험 분석 및 조기 경보 모니터링 시
스템 개발이 가능하다.
MIKEURBAN은 DHI(Danish Hydraulic Institute)와 ESRI의 GIS기술을 결합한 상
수 관망 해석 소프트웨어로 GIS shape 파일을 곧바로 모델로 사용할 수 있고
GIS 데이터가 업데이트 되면 모델로 자동으로 업데이트 되는 GIS컴포넌트 구조
를 바탕으로 하여 노드의 수요량 자동 계산, 급수 수량과 수질 관리 및 예측, 시
뮬레이션(동영상) 파일 제작, 체류시간 및 원수 비율 추정, 수충격 계산 등이 가
능하다.
4. QUAL2E 모형에 대하여 다음의 질문에 답하라.
1) 본 모형의 지배방정식인 물질이동식을 설명하라.
하천에서의 물질이동 및 변환은 유체의 흐름에 의하여 농도 부하가 이동되는 유
속에 의한 유송(이류유송)과 유체흐름의 난류성(Hydrodynamic Dispersion : 수리
학적 분산)과 물질 농도 차이(Molecular Diffusion : 분자분산)에 의해 발생하는 확
산, 화학 및 생물학적 반응(Biochemical Reaction)에 의한 물질의 증감, 시스템 내
의 오염 부하량 유입 또는 유출(Source or Sinks)에 의한 부하의 증감에 의해 좌우
된다. 이와 같은 과정을 수학적으로 표현하기 위하여 물질평형 관계를 고려하여
물질이동방정식을 유도하면 다음과 같다.
(1) 삼차원 물질이동식
x 방향의 물리학적 이동 기작 :
y 방향의 물리학적 이동 기작 :
z 방향의 물리학적 이동 기작 :
검사체적내의 생화학적 반응 :
, kC는 단위부피당 생화학적 반
응속도임.
검사체적내로 직접 부하원 :
, S는 단위부피당 직접 부하원임.
검사체적내에서의 시간에 대한 증가분 :
미분식을 구하기 위하여
나눈후,
다음의 3차원 물질이동식을 구할 수 있다.
으로 접근하면
(2) 일차원 물질이동식
QUAL2 모형의 지배방정식인 일차원 물질이동식은 위의 3차원 물질이동식중
x 방향의 성분만 고려하여 식을 다음과 같이 유도한다.
일차원 유동방향에 대한 수직단면적과 검사체적의 부피는 다음과 같다.
3차원 물질이동식을 1차원 물질이동식으로 정리하면 다음과 같다.
위의
식을 으로 나누어 준 후,
다음과 같은 1차원 물질이동식을 얻을 수 있다.
로 놓으면
위의 식은 다음과 같은 일반적인 1차원 물질이동식에 수직단면적을 고려한
식이다. 즉, 수직단면적의 변화(수심 및 폭의 변화)을 고려하기 위하여 우측
항의 분모와 분자에 단면적을 곱하고 나누어 준 것이다.
QUAL2E Manual에서 제시하고 있는 일차원 물질이동식은 다음과 같다.
여기서, R는 검사체적 전체부피에 대한 반응속도, S는 검사체적 전체 부피
에 대한 부하원을 나타낸다.
(3) 열전달방정식
QUAL2E는 에너지 보전의 원리를 이용하며 열전달을 고려한 에너지 방정
식을 이용하여 수온을 계산한다. 지배방정식은 다음 식과 같으며 물질 이
동 방정식과 흡사한 형태를 가진다.
여기서, T는 수온이고, 는 물의 밀도, c는 비열이다.수
2) 본 모형에서는 유량 및 단면 등의 수리 현상을 어떻게 해석하고 있
는가?
QUAL2E 모형은 하천의 수리학적 흐름 상태를 정상류로 가정하며, 하
천의 유량변화에 따른 유속과 수심 또는 단면적계산은 유량계수법과
유로단면이용법(Manning의 공식) 중에서 선택하여 사용할 수 있도록
되어 있다.
- 유량계수법
이 방법은 수리 모형을 수행하거나 또는 실측 자료를 이용하여 각 지점별로 유
속과 유량을 산정하고, 동일 대 구간 내에서의 유량과 유속, 유량과 수심과의
관계를 회귀분석법에 의하여 구하거나, 유로단면이 구형이고, 단면곡선(Rating
Curve)이 있는 경우에 계산하는 방법으로 다음 식과 같이 표시할 수 있다.
여기서, U는 평균 유속, Q는 유량, H는 수심, a, b,α ,β 는 경험상수로 수위-유
량곡선으로부터 산출하거나 DYNHYD5, HEC-2, HEC-RAS와 같은 부등류 수리
모형을 이용하여 여러 가지 유량조건에 따른 각 하천구간별 유속과 수심을
계산한 후 결과에 대한 회귀분석을 통해 계수 값들을 산정할 수 있다.
- 유로 단면 이용법
유로 단면이 정비되어 구형이나 사다리꼴의 형태로 되어 있는 경우에는
Manning식을 이용하여 다음 식과 같이 해석한다.
여기서, n는 Manning의 조도 계수이고, S는 에너지구배, R은 평균 동수반
경, A는 유로 단면적을 나타낸다.
- 종 확산계수
Elder(1959)는 다음과 같은 종확산계수(E) 산정식을 제시하였다.
여기서, K는 확산상수,
는 평균 마찰속도, C는 Chezy의 상
수
, R = A/P, S는 에너지 경사도이다.
Manning의 식으로부터 에너지경사도를 유도하여 대입하여 정리하면 다음
과 같은 식이 유도된다.
여기서, E는 하천의 종확산계수(㎡/s), U는 평균유속(m/s), H는 평균수심
(m), K는 확산상수(무차원)이다.
3) 모형의 수치해석기법을 설명하라. (후방유한차분법)
본 모형의 물질이동식은 반응식을 일차반응항과 내부발생원으로 분류하
여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
여기서, 반응항은
로 두 가지로 분리되어 표현된다. 첫 번째 항
은 농도에 비례하는 1차 반응을 나타내며, 두 번째 항은 내부 발생 또는 제거
로서, 저니층 부하, 조류성장에 따른 영양염류 손실 등이 해당한다.
본 모형의 일차원 격자망은 다음과 같다. 시간영역에 대해서는 n를 공간영역
에 대해서는 i라는 표기를 사용하여 다음과 같이 유한차분 알고리즘을 유도할
수 있다.
(1) 후방차분법을 이용한 지배방정식의 이산화
후방유한차분법을 적용하여 다음과 같이 모든 공간 편미분항은 후방차분되고,
시간편미분항은 전방차분된다.
1단계: 이송과 확산항을 x에 대해 한번 후방차분하면 다음과 같다 (반응항과 근
원항은 도함수가 없으므로 불변).
여기서,
2단계: 일차 공간도함수에 후방차분법을 적용하여 이산화한다.
3단계: 시간 편미분항을 전방차분한다 (비정상상태의 유한차분).
위의 식을 주변수인 수질농도에 대하여 다음과 같이 정리한다.
미지수는 좌항에 있는 3개의 수질농도 값이고, 나머지는 모두 기지
의 값들이다. 정상상태에서는
이므로
지류가 유입되는 요소에서는 다음과 dj같은 항을 더해 주어야 한다.
여기서,
며
, j 는 합쳐지는 지류의 요소를 나타내
, 는 n+1 시간에서 요소 j에서의 수질농도 값이다.
(2) 가우스소거법을 이용한 최종연립방정식의 해석
이산화된 차분식을 전체 절점에 대하여 합쳐주면 다음과 같은 연립방정식의
행렬이 구성되며, 이러한 행렬은 이산화된 차분식에서의 격자점이 서로 인접
한 격자점만 포함하기 때문에 다음과 같은 삼대각행렬을 구성하게 된다.
위의 삼대각 행렬식에 가우스 소거법을 적용하면 다음과 같다.
-전방 소거 (Forward Elimination)
1행
에서 양변을 b1으로 나누면
여기서,
2행
2행의 를 소거하기 위하여 1행에 를 곱하여 빼준다.
여기서,
같은 방법을 i 행에 대하여 적용하면 다음과 같다.
여기서,
- 후방 치환 (Backward Substitution)
마지막 행에 대한 해는
이므로 이 값을 이용하여 후방치환
하여
를 구한다.
(3) 경계조건
- 상류경계조건 (Upstream Boundary Condition)
최상류에서는 최상부 격자(Headwater Elements)의 수질농도가 Co로 입
력되기 때문에 수치해석상 제1경계 조건이 되어 다음의 알고리즘을 사
용한다.
- 하류경계조건 (Downstream Boundary Condition)
하류 경계조건은 최종 격자에서 다음과 같이 기지의 농도의 경사도(플럭스)
나 농도값을 사용한다.
Option 1: 농도의 구배도가 0임 (Zero Gradient Assumption)
하천 마지막구간의 최하단 요소 I에서
은
로 대체된다.
Option 2: 고정된 농도 값 (Fixed Concentration)
시스템의 마지막 요소에 고정된 농도값을 사용한다.
4) 본 모형의 수질 모델링 항목 및 상호 관계는 다음과 같다. 이러한 반응들
의 반응속도식 및 반응속도상수를 설명하라.
Atmospheric
Reaeration
K2
ORG-N
4
3
1(F)
NH3-N
1
3
5 1
1(1-F)
NO3-N
K1
O
X
Y
G
E
N
NO2-N
2
K4
D
I
S
S
O
L
V
E
D
6 2
3
K3
CBOD
5
ORG-P
4
2
4
1
1
SOD
2
Chl. A
ALGAE
2
DIS-P
5) 본 모형에 있어서 파라미터중 가장 중요한 파라미터를 열거하고 설명하라.
(1) 조류
조류의 성장에 의한 증가, 사멸 및 침전에 의한 감소를 고려하여 다음의 식으
로 표현할 수 있다.
여기서,
Chl. A a = 엽록소 농도
A = 조류농도
α0= Conversion factor, ug Chl. a/mg A (엽록소와 조류 농도의 변환
계수)
μ = Specific growth rate of algae (조류의 비성장률)
ρ = Respiration rate of algae (사멸율)
σ1 = Settling rate for algae (침전율)
d = 평균수심
조류의 성장율은 다음과 같이 선택적으로 평가된다.
Option 1. 곱(Multiplicative) :
Option 2. 제한영양원(Limiting Nutrient) :
Option 3. 조화평균(Harmonic Mean) :
여기서,
μ max= Maximum specific algal growth rate (최대성장율)
FL = Algal growth limitation factor for light (빛제한요소)
FN = Algal growth limitation factor for nitrogen (질소제한요소)
FP = Algal growth limitation factor for phosphorus (인제한요소)
(2) 유기질소(Organic Nitrogen: Org-N)
유기질소는 조류의 사멸에 의한 유기질소 증가, 유기질소의 가수분해등을
고려하여 다음의 식으로 나타낸다.
여기서,
N4= Concentration of Organic Nitrogen, mg-N/L (유기질소농도)
β3= Hydrolysis rate of Org. N to NH3-N, /day (가수분해율)
α1= Fraction of algal biomass that is N, mg-N/mg-A (조류내의 질소 함유율)
σ4= Settling rate for Org. N (유기질소의 침전율)
(3) 암모니아성 질소 (Ammonia Nitrogen : NH3-N, N1)
암모니아성 질소는 유기질소의 가수분해에 의한 증가, 암모니아성 질소의 산화에
의한 감소, 하상퇴적물로부터의 부상에 의한 증가, 조류의 섭취에 의한 감소를 고
려하여 다음의 식으로 나타낸다.
여기서,
N1= Concentration of Ammonia Nitrogen, mg-N/L (암모니아성 질소의 농
도)
β1 = Oxidation rate of NH3-N to NO2-N, /day (아질산화율)
σ3 = Benthos source rate for NH3-N, mg-N/ft2-day (하상부상율)
H = water depth (수심)
F1 = Fraction of algal N uptake from ammonia pool (조류의 섭취율)
PN = Preference factor for ammonia nitrogen (0 to 1.0) (조류의 선호도)
(4) 아질산성 질소 (Nitrite Nitrogen : N2)
아질산성 질소는 암모니아성 질소의 산화에 의해 증가하고, 아질산의 산화에
의해 감소한다.
여기서,
N2= Concentration of Nitrite Nitrogen, mg-N/L (아질산성 질소의 농도)
β1 = Oxidation rate of NH3-N to NO2-N, /day (암모니아의 산화율)
β2 = Oxidation rate of NO2-N to NO3-N, /day (아질산성 질소의 산화율)
(5) 질산성 질소 (Nitrate Nitrogen, N3)
질산성 질소는 아질산의 산화에 의해 증가하고, 조류의 섭취에 의해 감소한다.
여기서, F2는 조류의 질산성 질소의 섭취율이다..
(6) 유기인 (Organic Phosphorus : P1)
유기인은 조류의 사멸에 의해 증가하고, 용존인으로 변화함으로써 감소하며,
침전에 의해 감소한다.
여기서,
P1= Concentration of Organic Phosphorus, mg-P/L (유기인의 농도)
α2 = Fraction of algal biomass that is P, mg-P/mg-A (조류내의 인함유율)
β4 = Organic P decay rate, /day (유기인의 용존인으로의 변환율)
σ5 = Settling rate for Org. P (유기인의 침전율)
(7) 용존인 (Dissolved Phosphorus : P2)
용존인은 유기인으로부터 변화에 의해 증가하며, 하상퇴적물로부터 부상에
의해 증가하고, 조류의 섭취에 의해 감소한다.
여기서,
P2= Concentration of inorganic or dissolved P, mg-P/L (용존인의 농도)
Σ2 = Benthos source rate for dissolved P, mg-P/ft2-day (용존인의 부상율)
D = Mean stream depth (평균수심)
Α2 = Fraction of algal biomass that is P, mg-P/mg-A (조류의 인함유율)
Μ = Specific growth rate of algae (조류의 성장률)
Β4 = Organic P decay rate, /day (유기인의 분해율 : 무기인화율)
(8) 탄소성 생물학적 산소 요구량 (CBOD : L)
CBOD는 탈산소 및 침전에 의해 감소한다.
여기서,
L = the concentration of ultimate carbonaceous BOD, mg/L (CBOD의 농
도)
K1 = deoxygenation rate coefficient, temperature dependent, /d (탄산소
율)
K3 = the rate of loss of CBOD due to settling, /d (침전율)
QUAL2E 모형은 일반적으로 최종 BOD인 BODU를 계산하지만, 사용자가 5
일 BOD인 BOD5를 사용하고자 할때에는 입력자료에서 지정을 해야 하며,
모형은 내부적으로 다음 식으로 변환된다.
(9) 용존산소 (O)
용존산소는 재폭기 및 조류의 광합성에 의해 증가하고, 탈산소, 하상퇴적물,
암모니아성 질소 및 아질산의 산화에 의해 감소한다.
여기서, O는 용존산소의 농도이고, 는 주어진 온도 및 압력하의 포화산소
농도이며, α3는 조류의 광합성에 의한 산소생산량이고, α4는 조류의 호흡
에 의한 산소 감소율이며, α5는 암모니아성 질소의 산화에 따른 산소소모
율이며, α6는 아질산의 산화에 따른 산소소모율이며, K4는 하상퇴적물에 의
한 산소감소율, β2는 아질산의 산화율, β1는 암모니아 산화율을 나타낸다.
용존산소 포화농도(Os)는 수온에 반비례, 용존부유물 농도 또는 염도에 반
비례, 기압에 비례하며 아래와 같은 관계가 있다.
o 온도의 영향 : 평균해수면에서 온도에 따른 DO 포화농도는 다음과 같다.
여기서,
Ta(oK) = T(oC) + 273.15
o 압력의 영향
여기서,
Op = 다른 기압에서 포화 용존산소 농도
Os = 1기압(atm)에서의 포화용존산소 농도
P = 압력 (atm)
Ln Pwv = 수증기의 부분압 (atm)
t = 기온. oC
용존산소의 폭기계수(K2)는 일반적으로 수심과 유속의 함수로 나타내며,
QUAL2E 모형에서는 다음과 같이 8개의 Option으로 제공된다.
K2 Option 1 : 직접 사용자 입력. 하천구간 얼음생성과 같은 비정상적 조건에
유리
K2 Option 2 (Churchill, Elmore, and Buckingham, 1962)
K2 Option 3 (O'Conner and Dobbins, 1958) : 가장 많이 사용
(간략식)
K2 Option 4 (Owens et al. 1964) : 얕고 빠른 흐름의 하천
K2 Option 5 (Thacston and Krenkel, 1966) : TVA 하천
K2 Option 6 (Langbien and Durum, 1967)
K2 Option 7 : 유량과의 멱함수로 표현
K2 Option 8 (Tsivoglou and Wallace, 1972)
c = escape coefficient
댐에서 재포기가 있는 경우에는 다음과 같은 식을 사용한다.(Butts and Evans,
1983)
여기서,
Da, Db = 각각 댐 상류와 하류에서의 DO 결핍량
a, b = 각각 수질오염상태와 댐 형식에 따른 계수
(10) 대장균
대장균은 사멸에 의한 감소가 주 원인이다.
여기서, E는 대장균의 농도이고, K5는 대장균의 사멸율을 나타낸다.
(11) 임의의 비보존성 물질
임의의 비보존성 물질은 쇠퇴 및 침전에 의한 감소, 하상퇴적물로부터
부상에 의한 증가가 있다.
여기서, R는 비보존성 물질의 농도, K6는 비보존성 물질의 쇠퇴율, σ6
는 비보존성 물질의 침전율, σ7은 하상퇴적물로부터 부상율을 나타
낸다.
5. 검사체적을 그리고, 이류유송, 확산이동, 생화학적 반응, 직접 오
염 부하항 등을 포함하는 3차원 물질이동식을 유도하라.
미분방법을 사용하여 물질평형으로부터 3차원 물질이동식을 유도하기 위한 검
사체적을 x, y, z 방향을 고려하여 다음과 같이 나타내었다. 각 방향으로의 이동
은 유사한 형태를 나타내므로 x 방향에 대한 유속 및 확산에 의한 이동항만 그
림에 나타내었고, 같은 물질이동을 y 및 z 방향에 대하여을 고려하여 물질평형
관계로부터 물질수지식을 유도하였다.
유입, 유출, 내부에서의 생화학적 반응 및 소멸 및 발생원 등을 물질평형 관
계는 다음과 같다.
내부증가율 = 유입율 - 유출율 - 생화학적 반응 + 오염부하율
․ 유속에 의한 이류 유송 :
․ 확산에 의한 확산 이동 :
․ 생화학적 반응 :
․ 발생원 및 소멸원의 오염부하율 : ± S
x, y, z 방향에 대하여 위의 항들을 고려한 일반적인 3차원 물질이동의 차분식
은 다음과 같다.
위의 식을
동식을 얻울 수 있다.
으로 나누어준 후 미분화하면 다음의 3차원 물질이
6. 다음의 호수에 대하여 물평형(Water Balance) 관계로부터 물수지식을
유도하라.
호수는 여러 종류의 물이 유입과 유출을 반복하는 보존 물질로 간주할 수 있다.
호수내 물의 증가는 ‘저장의 변화’를 의미한다. 호수내 물의 증가에 의해 늘어난
저장량은 다음의 물평형식으로 나타낼 수 있다.
∆저장량 = ∑유입 흐름량 - ∑유출 흐름량 + 직접적인 강유량 - 증발량
유입량은 지류와 육상 흐름의 지표수 유입 유량과 지하수 유입 유량을 포함한다.
유출 량은 수체로부터의 방출되는 모든 지표수 및 지하수 유량을 뜻한다. 직접적
인 강우량은 표면으로 바로 떨어지는 물을 말하고, 증발은 수체의 표면에서 대기
로 나가는 물의 부피를 말한다. ∆저장량은 호수내의 수심의 변화를 측정하여 계
산한다. 지표수와 지하수를 분리하여 물수지식을 표현하면 다음과 같다.
∆저장량 = ∑유입 흐름량 +지하수의 유입량 - ∑유출 흐름량
- 지하수의 유출량 + 직접적인 강우량 - 증발량
위의 식을 수식으로 표현하면 다음과 같다.
여기서, 는 유량(m3d-1), 는 강우강도(md-1 ), 는 물의 표면적(m2), E는 증발량(md-1)
는 시간 간격(days), 는 저류 부피의 변화(m3)이다.
7. 모형의 보정과 검증은 무엇인가? 그 차이점은?
모델링을 신뢰하기 위해서는 많은 양의 현장 예비조사가 수행되어야 한다. 일반
적으로 모형을 이용한 모델링에는 2가지의 조건이 요구된다. 하나는 모형보정이
며 다른 하나는 다른 환경(서로 다른 시점이나 공간에 대한 현장 조사)에 대한
검증이다. 모형 보정은 모데링 결과와 현장 측정사이의 비교를 필요로 한다. 문
헌 자료나 실험 자료로부터 초기에 선택된 모형의 계수와 반응 속도 상수 등을
실측치와 비교하여 모형을 보정하는 데 있어서 선형회귀분석 등의 통계학적 기
법을 사용한다.
8. 보정기법의 예로서 하천오염현상을 해석하기 위한 물질이동식을 기술하고 생
화학적 반응식에 관련된 파라미터를 추정하기 위한 BOD 분해능 계수의 추정 기
법을 실험실의 실험치 및 현자 조사 결과를 바탕으로 수행하는 방법을 기술하라.
(선형회귀분석에 대한 구체적인 수학적 기술 필요.)
1) 물질이동식 및 해
하천에서의 오염현상은 총체적인 개념으로 BOD 농도를 사용하여 해석하며, 이
러한 BOD 농도에 대한 물질이동식으로 해석한다. 물질이동식은 유속에 의한 이
류유송과 생화학적 분해 반응을 고려하면 다음의 편미분방정식으로 표현된다.
여기서, 평균 하천 유속(
)은 유량을 단면적으로 나눈 값(Q/A)이다.
위의 식을 정상 상태의 상미분 방정식으로 표현하면 다음과 같다.
변수분리법으로 위의 상미분 방정식을 다음과 같이 풀 수 있다.
위의 적분은 X=0일 때의 C0에서부터 하류 거리 x일 때 농도 C까지 설정
되었다. 적분하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.
(1)
양변에 지수를 취하면, 다음과 같다.
여기서, C0는 원점 X=0에서의 초기 농도이다.
2) BOD 분해능 계수의 판정 기법
(1) 식을 농도와 이동 거리에 대한 식으로 정리하면 다음과 같다.
이동 거리에 따라 측정된 BOD 농도/초기농도에 ln를 취하여 y축으로 이동거
리/유속을 x 축으로 설정하여 측정된 자료를 도시한다. 이 도시된 그래프의
기울기는 -k이다. 따라서, 기울기가 BOD 분해능 계수이다. 다음에 이러한 판
정 기법의 예를 나타내었다.
9. Fick의 확산법칙을 설명하라.
Fick의 확산 법칙은 기체분자나 원자, 고체/액체 상태를 구성하는 원자가 화학
포텐셜차이에 의해 화학포텐셜이 높은 곳에서 낮은 곳으로 구성입자가 이동하
는 현상을 규명한 법칙이다. 대부분의 경우, 화학 포텐셜은 농도에 비례하여,
농도가 높은 곳에서 낮은 곳으로 확산을 하게 된다. 이러한 경우에, 농도 구배
(단위 길이당 농도의 변화)에 따른 확산 이동 속도를 정의한 법칙이 Fick의 확
산 법칙이다. 1차원인 경우, 제 1법칙은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
J는 단위시간당 단위 면적을 지나는 원자의 수를 나타내는 이동 속도이고, D
는 원자의 확산계수, dC/dx는 x방향으로의 농도 변화율을 나타낸다. 이 식은
정상상태의 경우에만 적용할 수 있다. 정상상태에서 이동속도는 일정하게
유지되고, 확산은 농도구배(농도차)가 클수록 잘 일어나며 농도가 높은 곳에
서 낮은 곳으로 확산이 일어난다는 것을 알 수 있다.
제 2법칙은 비정상상태 경우에 시간에 따른 농도 변화를 예측하는 법칙으로
다음과 같이 나타낸다.
위 식의 의미는 확산에 의해 농도가 퍼져감에 따라 농도가 감소하는 것을
나타낸다.
10. 수리학적 분산계수를 다상이론으로부터 유도하고 분자확산계수를 포함하
는 분산계수를 설명하라.
복합다상이론에 의하면 어떤 물질이 가지는 고유의 속도에 의한 이동은 다음
의 식으로 표현된다.
여기서,
는 α상내 i물질의 농도 혹은 단위질량,
는 물질이 가지는
고유의 속도를 의미한다. 물질 입자의 고유 속도를 측정하기가 어렵기 때문
에 다음과 같이 상의 유속을 가지고 물질의 이동 속도를 나타나게 된다.
위의 식의 우변의 첫째 항은 복합다상시스템에 있어서 상의 유속에 의한 이류
유송을 나타내고, 두 번째 항은 상의 유속과 입자의 유속의 차이를 나타내며, 유
속이 강해질 수록 상의 유속과 입자의 유속차이가 커지게 된다. 입자의 유속을
평가하기 어렵기 때문에 이러한 현상을 확산의 식으로 표현하게 된다. 실제로
유속이 커지게 되면 난류확산이라고 하여 운동성이 증가한 입자의 유속에 따라
물질이 퍼짐이 커지게 된다. 따라서, Fick의 확산식을 사용하여 두 번째 항을 표
현하게 된다. 이때 사용하는 분산계수를 수리학적 분산계수라고 한다. 전체 이
동식은 다음과 같이 표현된다.
물질이동에서는 위에서 살펴본 난류확산 등의 수리학적 분산이외에 농도차
이에 의해서 발생하는 분자 확산이 있다. 따라서 전체 분산계수는 이러한 수
리학적 분산과 분자 확산을 포함하는 다음의 식으로 표현된다.
여기서,
계수이다.
는 수리학적 분산계수로 텐서로 표현되며,
는 분자확산
11. 평면 오염원(오염된 호수 퇴적물)으로부터 상부 수주까지의 연직 와류
확산에 대한 오염된 퇴적물의 Fick의 제2법칙을 풀어라. 초기 조건(IC)과 경
계조건은 다음과 같다.
(IC)
경계 조건(BC1, BC2)은 반무한 수주(확산의 초기 단계)로 확산되는 일정한
화학 물질에 대한 것이다.
(BC1)
(BC2)
힌트 : 순간적인 평면 오염원에 대한 시행착오법. 아래 편미분 방정식에 대한
해를 구한다.
여기서 A는 임의의 상수이다.
Fick의 제2법칙의 확산식은 다음과 같다.
시간에 대한 편미분과 x공간에 대한 2차 편미분을 취한다. “적에 대한 미
분”과
에 대한 적분표를 이용한다.
시간에 대한 편미분은 다음과 같다. :
연직 거리 x에 대한 2차 미분은 다음과 같다. :
위의 식은
에 대한 결과와 같으며, 그 해가 정확하다는 것을 증명한
다. 임의 상수 A를 평가하기 위하여 확산 물질 M의 항으로 다음과 같이 표
현한다. :
아래에 정의된 적분식을 사용하면 지수는 다음과 같은 형태이다.
여기서,
x = 0 평면에서의 반사원리를 사용하면 : ,
따라서,
이고
이다.
위의 해를 물질이동에 대한 확산방정식에서의 Gauss의 해라고 하며, 통계학
에 있어서 확률밀도함수와 같은 형태를 가지는 것을 알 수 있다. 통계학에서
는 분산계수 E 대신에 분산값 σ를 사용한다.
이류유송을 포함하는 3차원 확산이류유송의 물질이동식은 다음과 같다.
추적제 실험과 같이 생화학적 반응이 없는 경우에 위의 식의 해는 다음과 같다.
추적제가 수심방향에 대하여 완전히 혼합되어있는 2차원 실험의 경우의 해는
다음과 같다.
12. 물질이동식을 해석하기 위한 BOX 모형을 설명하라.
3차원 물질이동식의 해석 위한 방법으로 문제 11의 해에서 보여준 바와 같이
수학적 이론해(mathematical analytical solution)를 구할 수 있으나 생화학적 반
응항과 점 및 비점오염원을 포함하고 경계조건이 복잡한 실제의 문제에서는 이
러한 이론해를 구할 수 없다. 따라서, 수치해석적 방법을 사용하는 것이 일반적
이다. 이러한 수치해석적 방법은 편미분방정식을 풀기위한 유한차분법, 유한요
소법 유한체적법, 경계요소법, 입자추적법 등을 사용한다. 이러한 수치해석적
방법중에서 가장 간단한 방법이 Network 모형을 사용하는 Box 모형이다. 본 모
형은 물질이동식이 일어나는 3차원 공간을 격자로 나눈 다음 각 격자간의 이류
유송 및 확산(교환)에 의한 이동을 고려하는 것이다. 각 격자내에서는 완전혼합
을 고려하여 농도가 동일하다고 가정한다. 따라서, 물질이동식은 다음과 같이
격자화된 차분식으로 변환된다.
이러한 Box 모형은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
격자화된 호수 생태계 Box 모형의 이동 체계. 큰 화살표는 이류 유송을 작은
쌍 화살표는 격자간의 혼합(확산)을 나타낸다.
13. 완전혼합조, 플러그유동조, 이류확산조에 대하여 다음의 질문에 답하라.
1) 각 반응조의 지배방정식을 그림을 이용하여 유도하라.
2) 각 반응조의 주요 파라미터를 기술하라.
3) 각 반응조에 대하여 정상상태의 경우 상미분방정식의 해를 유도하라.
1) 완전혼합시스템(CSTR)
(1) 물질이동식
완전 혼합 시스템은 다음 그림과 같이 반응조내의 화학물의 농도는 일정하고
(완전혼합) 배출구의 농도는 C이며, 이 농도는 반응조 내의 어느 곳에서도 같
다는 것이다. 물질수지는 다음과 같다.
반응조내 질량 변화=유입 질량-유출 질량±반응조내 질량 반응
이것은 수학적으로 다음과 같이 표현된다.
여기서, Cin는 유입류의 화학물 농도, C는 반응조와 유출류의 화학물 농도,
은 유입유량, Qin은 유출유량, Qout는 호수의 체적, V는 반응율,r는 t시간이다.
가Δt가 0으로 수렴할 때의 상미분 방정식은 아래와 같다.
유입농도Cin가 일정하고, 호수의 유입 유출 유량은 일정하고(Qin=Qout=Q=상
수), 호수의 체적V가 일정하고, 호수내에서 일어나는 농도 C의 변화율은 1차
반응에 의해 지배된다(r=-kC)는 가정하에 위의 식을 정리하면 다음과 같다.
위의 식은 완전 혼합계에 대한 일반적인 1차 감소반응 방정식이다.
(2) 물질이동식의 해
- 생화학적 반응이 없는 경우의 해
충격 유입에서와 같이 보존성 추적자가 순간적으로 주입되는 단순한 경우
위의 식은 다음과 같이 줄어든다.
V로 나누면
여기서, τ=V/Q 평균 수리학적 체류 시간이다.
T=0 의 초기조건(C=C0)인 경우 위의 식은 다음과 같이 적분될 수 있다.
위의 해는 보존성 추적자의 충격 유입에 대한 이론해이다.
- 생화학적 1차 반응이 있는 경우의 해
반응성 화학물이 반응조로 유입된 경우, 물질이동식은 다음과 같다.
위 식은 해는 유사하게 구할 수 있다.
다음 그림에 반응성 및 비반응성 화학물의 충격 유입에 대한 반응을 나
타내었다.
- 연속적인 오염 부하와 생화학적 반응이 있는 경우의 해
연속적인 오염부하가 있는 경우의 물질이동식은 다음과 같은 일반적인 물질
이동식이다.
V로 양변을 나누어준 후 정리하면 다음과 같다.
위의 식은 1차 선형 비제차 미분 방정식의 형태이다. 위의 식의 정상상태
해는 다음과 같다.
여기서, Css는 정상상태 농도이다.
비정상상태의 시간에 대한 농도의 변화를 보고자 한다면, 물질이동식이
다음과 같이 일반적인 형태를 가지는 1차 선형 미분 방정식이 된다.
따라서, 위 방정식의 일반해는 적분인자법을 사용하면 다음과 같다.
여기서,
이다.
따라서, 물질이동식의 해는 이러한 적분인자법의 해를 이용하여 다음과
같이 구할 수 있다.
0에서 t까지 위의 식을 적분하면 다음과 같다.
위의 식의 우변의 첫째 항은 초기농도의 감소를 나타내고, 둘째 항은 연속
적인 유입에 기인한 농도의 증가를 나타낸다. t가 무한대로 접근할 때, 위
의 해는 정상상태의 해로 접근한다.
2) 플러그 유동 시스템 (Plug Flow System)
이상적인 플러그 유동 시스템을 다음 그림과 같이 강을 사용하여 나타내었다.
본 모형에 포함된 주 가정은 물의 대부분은 종방향 혼합이 없이 하류로 흐르
고(플러그처럼), 측면과 수직방향에서는 순간적인 혼합이 일어난다는 것이다.
이것은 일차원 모형이다. 물질수지는 체적 V를 중심으로 다음과 같이 주어진
다.
여기서, V=A△x, A= 단면적, △x= 하천의 유한 증가 두께, △t = 시간간격,
k= 1차 감소율이다.
플러그 유동 시스템의 검사체적 및 유입 조건에 따른 유출 농도
위의 식을 V로 나누어 단순화하면 다음과 같다.
△t->0일 때, 위의 식은 다음과 같이 미분식으로 표현된다.
여기서, u=Q/A = 평균유속이다.
정상상태에서,
위의 식은 다음과 같이 정리된다.
X=0에서C=C0 인 경계조건으로, 위의 식을 변수분리법으로 적분한다.
3) 이류 확산 시스템 (Advective-Dispersive System)
하구의 예를 이용하여 이상적인 확산과 이류 유송이 있는 시스템을 다음
그림에 나타내었다.
이류 확산 시스템의 검사체적 및 유입 조건에 대한 정상 상태의 해
이류 유송 및 확산 이동을 고려한 물질수지는 다음과 같다.
여기서, V=A△x, E는 확산 계수, k는 일차 반응 계수이다.
위의 식을 정리하면 다음과 같다.
V=A
△x로 나누면,
또는
정상상태의 방정식은 다음과 같다.
위의 식은 2계 선형제차 상미분방정식이고 일반형은 다음과 같다.
여기서, 이고, 해의 일반적 형태는 다음과 같이 주어진다.
여기서,
정상상태의 물질이동식의 해는 다음과 같이 얻어진다.
여기서,
위의 해를 풀기 위해서는 경계조건이 사용되어야 한다. 경계조건을 정
하기 위해서, 문제의 하구 시스템을 화학물 방류지점의 상류와 하류 구
획으로 나눌 수 있다.
상류 구획에서, 다음과 같은 두 가지 경계조건을 정할 수 있다(BC 1 및
BC 2).
BC 1: 방류지점의 상류 구획에서, 농도는 0으로 접근한다. 즉,에서이다. 이 조
건하에서 다음과 같은 식을 구한다.
D=0과 C=B exp(gx)
BC 2: 방류지점의 농도는
과 같은 식을 구한다.
(1)
, 즉, X=0에서 C=C0이다. 이 조건하에서 다음
따라서 상류 구획의 농도는 다음과 같이 주어진다.
(2)
하류 구획에서, 2개의 추가적인 경계조건을 정할 수 있다.
BC 1: 방류지점 하류에서의 농도는 0에 접근한다. 즉,x=+∞ 일 때 . C=0이
조건하에서 다음과 같은 식을 구할 수 있다.
B=0 와 C=D exp( jx)
(3)
BC 2: 방류지점에서 농도는
;즉, C=C0이다. 이 조건으로 다음과 같은
식을 구할 수 있다.
D=C0
따라서 하류구획의 농도는 다음과 같이 주어진다.
(4)
방류지점에서 경계농도는 x=0일 때 물질수지를 세워 구할 수 있다(그림
2.13).
질량유입 = 질량유출
(5)
△x가 극소하게 작기 때문에 반응은 무시할 수 있다. 식 (1)로부터
(6)
식 (3)으로부터,
식 (6) 및 식 (2)를 식(5)에 대입하면 다음과 같은 식이 산출된다.
B=D=C0 이므로, 다음을 구할 수 있다.
의 식을 위의 식에 대입하여 간단히 정리하면 다음과 같다.
최종적인 해는 다음과 같이 요약된다: