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경영과학(Ⅰ)
경 영 과 학(Ⅰ)
제4장
쌍대이론과 민감도 분석
서론
쌍대이론
쌍대심플렉스법
민감도분석
한밭대학교
산업경영공학과
강진규 교수
▶
제4장
서론
쌍대이론과 민감도 분석
경 영 과 학(Ⅰ)
선형계획법의 한계성
: 선형계획모형의 4가지 가정(비례성, 가합성, 가분성, 확실성)
☞ 실제 문제에서는 ? → 현실상황에 대한 반영이 미흡
민감도분석(敏感度分析 ; sensitibility analysis)
: 선형계획모형의 정적인 단점 보완
: 최적이후분석(post-optimality analysis)
또는 사후적 분석
쌍대이론(雙對理論 ; duality theory)
: 원문제와 쌍대문제의 관계를 규명 → 민감도분석의 기본이론
: 쌍대문제 → 특정 상황의 문제(원문제)를 상대적인 측면에서 본
문제
한밭대학교
산업경영공학과
강진규 교수
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제4장
서론
쌍대이론과 민감도 분석
경 영 과 학(Ⅰ)
⊙ 장님의 산 오르기
?
한밭대학교
산업경영공학과
강진규 교수
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제4장
쌍대이론
쌍대이론과 민감도 분석
경 영 과 학(Ⅰ)
◁ 쌍대문제의 정의 ▷
전형적인 원문제와 쌍대문제
<원 문 제>
Max. Z = c X
s. t.
AX ≤ b
X≥0
<쌍대 문 제>
Min. W = bt X
s. t.
A t Y ≥ Ct
Y≥0
벡터와 행렬 구조로 표시
원문제의 결정변수
원문제의 목적함수계수
= 쌍대문제의 우변상수
원문제의 제약식
X1
C1
a1
：
：
am1
원문제의 우변상수
… Xj … X n
= 쌍대문제의 목적함수계수
… Cj … Cn
… a1j … a1n b1 Y1
쌍대문제의 제약식
：
：
： ：
：
：
： ：
쌍대문제의
결정변수
… amj … amn bm Ym
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제4장
쌍대이론
쌍대이론과 민감도 분석
경 영 과 학(Ⅰ)
T화학 문제의 경우
<원 문 제>
Max. Z = 40X1 + 30X2 (총이익)
s. t.
4X1 + 5X2 ≤ 200 (원료 A의 사용량 제약)
2X2 ≤ 50 (원료 B의 사용량 제약)
6X1 + 3X2 ≤ 210 (원료 C의 사용량 제약)
X1, X2 ≥ 0
<쌍대 문 제>
Min. W = 200Y1 + 50Y2 + 210Y3
s. t.
4Y1
+ 6Y3 ≥ 40
5Y1 + 2Y2 + 3Y3 ≥ 30
Y1, Y2, Y3 ≥ 0
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제4장
쌍대이론
쌍대이론과 민감도 분석
경 영 과 학(Ⅰ)
T 화학
S 화학
Y1
원료 A
200
C
구입희망
210
Y3
B
50
원료A, B, C 필요
Y2
구입가격
제품 가
나
40
30
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제품 생산 등
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제4장
쌍대이론
쌍대이론과 민감도 분석
경 영 과 학(Ⅰ)
◁ 쌍대문제의 경제적인 의미 ▷
최대화문제의 경우(T화학 문제) : 상대적인 입장의 S화학을 고려
쌍대변수, Y1, Y2, Y3
S화학에서 T화학이 보유하고 있는 원료를 구입하는 경우,
각 원료의 단위당 구입가(원가에 추가로 지불하는 금액)
목적함수, Min. W = 200Y1 + 50Y2 + 210Y3
S화학에서 원료구입을 위해 지불하는 총비용
제약조건
4Y1
+ 6Y3
≥ 40(T화학이 제품 가의 생산을 포기하는 조건)
5Y1+ 2Y2+ 3Y3 ≥ 30(T화학이 제품 나의 생산을 포기하는 조건)
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제4장
쌍대이론
쌍대이론과 민감도 분석
경 영 과 학(Ⅰ)
◁ 쌍대문제의 경제적인 의미 ▷
쌍대문제의 최적해,
: (Y1, Y2, Y3) = (10/3, 0, 40/9)
☞ S화학에서는 T화학이 보유한 원료 A와 C에 대해 원래의
가격에 10/3만원과 40/9만원을 더 주고 구입하는 것이
총비용을 1,600으로 최소화할 수 있다는 의미.
☞ S 화학에서 T화학이 보유한 원료를 구입하려면, T화학의
예상최대이익과 같은 비용을 들여야 함
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제4장
쌍대이론
쌍대이론과 민감도 분석
경 영 과 학(Ⅰ)
최소화문제의 경우
예제 모형 비타민과 음식물 문제
음식물별 비타민 함유량
음식물(단위 : kg)
비타민 A
비타민 C
가격(원)
음식물 1
1
4
500
음식물 2
3
2
300
일일 필요량
10
20
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제4장
쌍대이론
쌍대이론과 민감도 분석
경 영 과 학(Ⅰ)
원문제
Min. Z = 500X1 + 300X2 (총비용)
s. t.
X1 + 3X2 ≥ 10 (비타민 A의 필요섭취량 제약)
4X1 + 2X2 ≥ 20 (비타민 C의 필요섭취량 제약)
X1, X2 ≥ 0
원문제의 최적해, (X1, X2) = (4, 2), Z = 2,600
쌍대문제
Max. W = 10Y1 + 20Y2 (총판매이익)
s. t.
Y1 + 4Y2 ≤ 500 (음식물 1의 대체조건)
3Y1 + 2Y2 ≤ 300 (음식물 2의 대체조건)
Y1, Y2 ≥ 0
쌍대문제의 최적해, (Y1, Y2) = (120, 20), W = 2,600
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제4장
쌍대이론
쌍대이론과 민감도 분석
경 영 과 학(Ⅰ)
쌍대변수, Y1, Y2
: 비타민 A와 C를 판매하는 경우, 각 비타민의 단위당 이익
목적함수, Max. W = 10Y1 + 20Y2
: 한 사람의 수요에 대해 기대되는 총이익 최대화
제약조건, Y1 + 4Y2 ≤ 500 , 3Y1 + 2Y2 ≤ 300
: 음식물 1은 가격이 500원인데, 비타민A를 1단위, C를 4단위
함유하고 있으므로, 구입에 소요되는 비용(Y1 + 4Y2)이 500원을
넘지 않아야 구입(음식물 2에 대해서도 마찬가지)
최적해, (Y1, Y2) = (120, 20), W = 2,600
: 비타민 A는 단위당 120원, 비타민 C는 20원으로 책정해야
판매이익 최대(원문제와 쌍대문제의 목적함수 값이 동일)
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제4장
쌍대이론
쌍대이론과 민감도 분석
경 영 과 학(Ⅰ)
◁ 원-쌍대 관계 ▷
일반적인 원-쌍대 전환 방법
원문제와 쌍대문제의 변환
원문제(쌍대문제)
쌍대문제(원문제)
① 목적함수 : 최대화
② i 번째 제약식
≤ 형태의 제약식
= 형태의 제약식
① 최소화
② i 번째 변수, Yi
비음조건 있는 변수(Yi ≥ 0)
비음조건 없는 변수
③ j 번째 변수, Xj
비음조건 있는 변수(Xj ≥ 0)
비음조건 없는 변수
③ j 번째 제약식
≥ 형태의 제약식
= 형태의 제약식
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제4장
쌍대이론
쌍대이론과 민감도 분석
경 영 과 학(Ⅰ)
◁ 원-쌍대 관계 ▷
예제 모형
Max. Z = 5X1 +7X2 + 2X3
s. t.
3X1 - X2 + 2X3 ≤ 5
X2 - 3X3 = 2
-3X1 + 4X2 + X3 ≥ 3
X1, X2, X3 ≥ 0
쌍
대
문
제
원
문
제
Min. W = 5Y1 + 2Y2 - 3Y3
s. t.
3Y1
+ 3Y3 ≥ 5
-Y1 + Y2 - 4Y3 ≥ 7
2Y1 - 3Y2 - Y3 ≥ 2
Y1, Y3 ≥ 0, Y2 : 비음제약 없음
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제4장
쌍대이론
쌍대이론과 민감도 분석
경 영 과 학(Ⅰ)
최적심플렉스표에서의 최적쌍대해
(1) 쌍대정리(duality theorem)
① 원문제가 무한대해를 가지면 쌍대문제는 실행불가능하며,
원문제가 실행불가능하면 쌍대문제는 무한대해를 갖는다.
② 원문제가 유한한 최적해를 가지면 쌍대문제도 유한한 최적해를
가지며, 두 목적함수값은 서로 같다.
(2) 상보(相補)여유정리(complementary slackness theorem)
원문제가 최적해를 가지면 쌍대문제도 최적해를 가지며, 다음과
같은 관계가 성립한다.
① (원문제의 j번째 변수 값) × (쌍대문제의 j번째 여유(잉여)변수 값) = 0
② (쌍대문제의 i번째 변수 값) × (원문제의 i번째 여유(잉여)변수 값) = 0
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쌍대이론과 민감도 분석
제4장
쌍대이론
경 영 과 학(Ⅰ)
◁ 원-쌍대 관계 ▷
T화학 문제의 경우
<원 문 제>
Max. Z = 40X1 + 30X2
s. t.
4X1 + 5X2 ≤ 200
<쌍 대 문 제>
Min. W = 200Y1 + 50Y2 + 210Y3
s. t.
2X2 ≤ 50
4Y1
5Y1 + 2Y2 + 3Y3 ≥ 30
6X1 + 3X2 ≤ 210
Y1, Y2, Y3 ≥ 0
X1, X2 ≥ 0
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+ 6Y3 ≥ 40
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제4장
쌍대이론
쌍대이론과 민감도 분석
경 영 과 학(Ⅰ)
◁ 원-쌍대 관계 ▷
T화학 원문제의 최적심플렉스표
Cj
40
30
0
0
0
기저변수
Cb
X1
X2
S1
S2
S3
우변상수
X2
30
0
1
1/3
0
-2/9
20
S2
0
0
0
-2/3
1
10
X1
40
2
0
-1/6
0
4/9
5/18
Zj
40
30
10/3
0
40/9
1,600
Cj – Zj
0
0
-10/3
0
-40/9
파란색으로 표시된 부분이 쌍대문제의 해
즉, 쌍대문제의 최적해는 (Y1, Y2, Y3) = (10/3, 0, 40/9) 이다.
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25
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쌍대이론과 민감도 분석
제4장
쌍대이론
경 영 과 학(Ⅰ)
T화학 쌍대문제의 최적심플렉스표
Cj
200
50
210
0
0
M
M
기저
변수
Cb
Y1
Y2
Y1
S1
S2
A1
A2
우변
상수
Y3
210
0
-4/9
1
-5/18
2/9
5/18
-2/9
40/9
Y1
200
1
2/3
0
1/6
-1/3
-1/6
-1/3
10/3
Zj
200
40
210
-25
-20
25
20
1,600
Cj – Zj
0
10
0
25
20
M-25 M-20
쌍대의 쌍대는 원문제이므로 원문제의 최적해 (X1, X2) = (25, 20)
위의 두 심플렉스표에서 쌍대정리, 상보여유정리가 성립함을 알수 있음
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쌍대심플렉스법
제4장
쌍대이론과 민감도 분석
경 영 과 학(Ⅰ)
쌍대심플렉스법(dual simplex method)
: 최적조건 만족으로 출발 → 실행가능조건이 만족되면 최적해 얻음
쌍대심플렉스법의 절차
1단계 : 초기 심플렉스표의 작성 : 우변상수에 음수가 존재하는
선형계획모형에 대해 초기 심플렉스표 작성
2단계 : 최적해 여부 검사 및 탈락변수 결정 : 실행가능조건 만족여부
검사→ 우변상수에 음수가 없으면 최적해, 음수가 있으면 가장
작은 음수(절대값이 가장 큰 음수)를 탈락변수로 결정
3단계 : 진입변수 결정 : 탈락변수 행의 음수인 계수로 Cj - Zj 값을
나누어 그 절대값이 가장 작은 열의 변수를 진입변수로 결정
4단계 : 새로운 심플렉스표의 작성 : 진입변수 열과 탈락변수 행이
만나는 점을 기준요소로 행 연산을 실시하여 해를 개선
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쌍대심플렉스법
제4장
쌍대이론과 민감도 분석
경 영 과 학(Ⅰ)
예제 모형
Min. Z = 2X1 + X2
s. t. 3X1 + X2 ≥ 3
4X1 + 3X2 ≥ 6
X1 + 2X2 ≤ 3
X1, X2 ≥ 0
Min. Z = 2X1 + X2
s. t. - 3X1 - X2 + S1 = -3
- 4X1 - 3X2 + S2 = -6
X1 + 2X2
+ S3 = 3
X1, X2, S1, S2 S3 ≥ 0
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제4장
쌍대심플렉스법
쌍대이론과 민감도 분석
경 영 과 학(Ⅰ)
초기 심플렉스표의 작성
최적조건 만족(최소화문제)
Cj
기저변수
S1
S2
S3
Zj
Cj – Zj
Cb
2
X1
1
X2
0
S1
0
S2
0
S3
우변상수
0
0
0
-3
-4
1
-1
-3
2
1
0
0
0
1
0
0
0
1
-3(실행불가능)
-6(실행불가능)
3
0
2
0
1
0
0
0
0
0
0
0
최적여부 검사 및 탈락변수 결정
: 최적조건은 만족, 실행가능조건이 불만족
→ 절대값이 큰 음수인 S2를 탈락변수로 선택
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제4장
쌍대심플렉스법
쌍대이론과 민감도 분석
경 영 과 학(Ⅰ)
진입변수 결정
: 최소비율검사 - (Cj – Zj를) / (│탈락변수 행의 음수인 계수│) 계산
→ X1열 : 1/2, X2열 : 1/3 이므로 X2를 진입변수로 결정
탈락변수와 진입변수 결정
Cj
기저변수
S1
S2
S3
Zj
Cj – Zj
Cb
2
X1
1
X2
0
S1
0
S2
0
S3
0
0
0
-3
-4
1
-1
-3
2
1
0
0
0
1
0
0
0
1
-3
-6(탈락)
3
0
2
0
1
0
0
0
0
0
0
0
* 비율의 절대값 : 2/4
1/3(진입)
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우변상수
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쌍대심플렉스법
제4장
쌍대이론과 민감도 분석
경 영 과 학(Ⅰ)
새로운 심플렉스표의 작성
: 탈락변수 행과 진입변수 열의 교차점인 -3을 기준요소로 행연산 수행
두 번째 심플렉스표
Cj
2
1
0
0
0
기저변수
Cb
X1
X2
S1
S2
S3
우변상수
S1
0
-5/3
0
1
-1/3
0
-1
X2
1
4/3
1
0
-1/3
2
S3
0
-5/3
0
0
2/3
0
1
-1
Zj
4/3
1
0
-1/3
0
2
Cj – Zj
2/3
0
0
1/3
0
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제4장
쌍대심플렉스법
쌍대이론과 민감도 분석
경 영 과 학(Ⅰ)
같은 과정을 한번 더 반복한 후의 최종 심플렉스표
최종 심플렉스표
Cj
2
1
0
0
0
기저변수
Cb
X1
X2
S1
S2
S3
우변상수
X1
2
1
0
-3/5
-1/5
0
3/5
X2
1
0
1
4/5
-3/5
6/5
S3
0
0
0
-1
1
0
1
Zj
2
1
-2/5
-1/5
0
12/5
Cj – Zj
0
0
2/5
1/5
0
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0
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민감도 분석
제4장
쌍대이론과 민감도 분석
경 영 과 학(Ⅰ)
민감도분석이란?
민감도분석은 선형계획모형의 한계점을 보완하기 위한 수단
초기 상황에 변화가 생길 경우 해가 어떻게 달라지는지 파악
민감도분석 과정에서 나타나는 상황
1. 현재의 기저변수가 바뀌지 않는다.
2. 현재의 해가 실행불가능해진다. → 쌍대심플렉스법 적용
3. 현재의 해가 비최적이 된다. → 원 심플렉스법 적용
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민감도 분석
제4장
쌍대이론과 민감도 분석
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◁ 민감도분석의 예(T화학문제) ▷
Max. Z = 40X1 + 30X2 (총이익)
s. t.
4X1 + 5X2 ≤ 200 (원료 A 제약)
2X2 ≤ 50 (원료 B 제약)
6X1 + 3X2 ≤ 210 (원료 C 제약)
목적함수 계수의 변화
: 제품 가의 단위당 이익이 얼마가
되면 현재의 최적생산계획이 수정되겠는가?
X1, X2 ≥ 0
최적해 :
(X1, X2) = (25, 20), Z = 1,600
우변상수의 변화
: 원료 A의 사용한도가 200에서 150으로 감소한다면 ?
새로운 변수의 추가
: 신제품 다 (단위당 이익: 20원, 원료 A와 B를 3톤, 1톤 사용)를
판매하기 위해 생산에 착수하는 것이 바람직한가 ?
새로운 제약조건의 추가
: 시장조사 결과 제품의 총수요가 40을 넘지 않을 것이라고 한다면?
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쌍대이론과 민감도 분석
제4장
민감도 분석
경 영 과 학(Ⅰ)
◁ 목적함수 계수의 변화 ▷
최적성의 범위 : 최적해가 변하지
않는 목적함수 계수의 범위
X2
등이익선 기울기 :
제품 가의 단위당 이익을 c1이라
하면 등이익선의 기울기는 -c1/30
40
기울기 -2
이 값이 -2와 -4/5 사이에 있으면
최적해 불변
B(25,20)
25
A(20,25)
4/5 < c1/30 < 2
→ 24 < c1 < 60
☞ c1의 최적성의 범위
한밭대학교
4
3
0
산업경영공학과
C(35,0)
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기울기
50
4
5
X1
▶
제4장
민감도분석
쌍대이론과 민감도 분석
경 영 과 학(Ⅰ)
심플렉스표에서 최적성의 범위 계산
Cj
기저변수
Cb
c1
30
0
0
0
X1
X2
S1
S2
S3
X2
30
0
1
S2
0
0
0
X1
c1
1
0
Zj
c1
30
Cj – Zj
0
0
1
3
2
3
1
6
c
10 1
6
c1
10
6
0
1
0
0
0
2
9
4
9
5
18
5c1 20
18 3
20 5c1
3 18
우변상수
20
10
25
1,600
→ 최적이 되려면 Cj - Zj의 값이 음수, 즉, c1/6 - 10 <0, 20/3 - 5c1/18 <0
→ 이를 계산하면 24 < c1 < 60이 된다.
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제4장
민감도분석
쌍대이론과 민감도 분석
경 영 과 학(Ⅰ)
최적성의 변화에 따른 새로운 해의 계산
: 제품 나의 단위당 이익(c2)가 55로 변하는 경우
Cj
기저변수
Cb
40
55
0
0
0
X1
X2
S1
S2
S3
X2
55
0
1
S2
0
0
0
X1
40
1
0
Zj
40
55
Cj – Zj
0
0
1
3
2
3
1
6
25
3
25
3
1
0
0
0
(비최적)
→ S3를 진입, S2를 탈락시킴
한밭대학교
0
2
9
4
9
5
18
10
9
10
9
산업경영공학과
강진규 교수
우변상수
20
10 22.5(최소비)
25
1,600
▶
제4장
민감도분석
쌍대이론과 민감도 분석
경 영 과 학(Ⅰ)
Cj
기저변수
X2
Cb
55
40
55
0
0
0
X1
X2
S1
S2
S3
0
1
0
S3
0
0
0
X1
40
1
0
2
3
1
4
Zj
40
50
10
Cj – Zj
0
0
-10
1
2
9
4
5
8
5
2
5
2
0
0
1
0
0
(최적)
: 새로운 최적해 (X1, X2) = (18.75, 25), 최대이익은 2,125
한밭대학교
산업경영공학과
강진규 교수
우변상수
25
45
2
75
4
2,125
▶
제4장
민감도 분석
쌍대이론과 민감도 분석
경 영 과 학(Ⅰ)
◁ 우변상수의 변화 ▷
X2
실행가능성의 범위
원료 A : 200 → 150으로 줄어들면
70
실행가능영역이 그림과 같이 좁아짐
최적점은 B에서 E로 바뀌지만 생산량만
달라질 뿐 기저변수가 변하지는 않음
원료 A가 더 줄어C(35, 0)나 F(0, 25)가
40
최적해가 되면 해가 근본적으로 달라짐
30
F
원료 A의 사용한도를 b1이라 하면,
-C점을 지날 때 b1=4×35+5×0 = 140
-G점을 지날 때 b1=4×22.5+5×25=215
즉, 140 ≤ b1 ≤ 215이면 기저변수가
바뀌지 않음(b1의 실행가능성의 범위)
한밭대학교
산업경영공학과
D
A G
B
E
0
강진규 교수
C
50
X1
▶
제4장
민감도분석
쌍대이론과 민감도 분석
경 영 과 학(Ⅰ)
심플렉스표에서의 실행가능성의 범위 계산
: 첫 번째 우변상수의 값이 200에서 d만큼 증가한 경우(200+d)
→ 새로운 우변상수 값은 다음 표와 같이 변함
Cj
40
30
0
0
0
기저변수
Cb
X1
X2
S1
S2
S3
X2
S2
X1
30
0
40
0
0
1
1
0
0
1/3
-2/3
-1/6
0
1
0
-2/9
4/9
5/18
40
0
30
0
10/3
-10/3
0
0
40/9 1,600 + d× 10/3
-40/9
Zj
Cj – Zj
우변상수
20 + d × 1/3
10 - d × 2/3
25 - d × 1/6
: 실행가능하려면, ①20 + d/3 ≥ 0, ②10 - 2d/3 ≥ 0, ③25 - d/6 ≥ 0
→ -60 ≤ d ≤ 15이므로 b1의 실행가능성 범위는 140 ≤ b1 ≤ 215
한밭대학교
산업경영공학과
강진규 교수
▶
제4장
민감도분석
쌍대이론과 민감도 분석
경 영 과 학(Ⅰ)
실행가능성의 변화에 따른 새로운 해의 계산
: 원료 A의 사용한도가 230, 즉, b1 = 200+30으로 증가한 경우,
Cj
기저변수
X2
S2
X1
Zj
Cj – Zj
Cb
30
0
40
40
30
0
0
0
X1
X2
S1
S2
S3
0
0
1
1
0
0
1/3
-2/3
-1/6
0
1
0
-2/9
4/9
5/18
40
0
30
0
10/3
-10/3
0
0
40/9
-40/9
우변상수
30
30
3
60
10
-10(탈락)
3
30
25
20
6
300
1,600
1,700
3
20
(진입)
: 실행불가능하므로 쌍대심플렉스법을 적용(S2 탈락, S1 진입)
한밭대학교
산업경영공학과
강진규 교수
▶
제4장
민감도분석
쌍대이론과 민감도 분석
경 영 과 학(Ⅰ)
Cj
기저변수
X2
Cb
30
40
30
0
0
0
X1
X2
S1
S2
S3
0
1
0
1
2
3
2
1
4
S1
0
0
0
1
X1
40
1
0
0
Zj
40
30
0
5
Cj – Zj
0
0
0
-5
우변상수
25
0
2
3
1
6
20
3
20
3
15
45
2
1,650
: 새로운 최적해는 (X1, X2) = (22.5, 25), 최대이익 Z = 1,650
(앞 그림의 G점에 해당)
한밭대학교
산업경영공학과
강진규 교수
▶
민감도 분석
제4장
쌍대이론과 민감도 분석
경 영 과 학(Ⅰ)
◁ 새로운 변수의 추가 ▷
신제품 다를 개발한 경우
-제품 다의 단위당 이익 20원,
-단위 생산당 원료A를 3톤, 원료B를 1톤 사용
X3 = 신제품 다의 생산량이라 정의
심플렉스표에 변수 X3의 열이 추가
그 계수는 첫 번째 제약조건(원료A)과 두 번째 제약조건식
(원료B)에 대응하는 S1, S2열에 각각 3, 1을 곱하여 더한 것임
즉, 3*[1/3, -2/3, -1/6]t + 1*[0, 1, 0]t
= [1, -1, -1/2]t
한밭대학교
산업경영공학과
강진규 교수
▶
제4장
민감도 분석
쌍대이론과 민감도 분석
경 영 과 학(Ⅰ)
새로운 변수의 도입(X3)
Cj
기저변수
Cb
40
30
20
0
0
0
X1
X2
X3
S1
S2
S3
X2
30
0
1
1
S2
0
0
0
-1
X1
40
1
0
-1/2
40
0
30
0
10
10
Zj
Cj – Zj
1
3
3
2
1
6
10
3
10
3
0
1
0
0
0
2
3
4
9
5
18
40
9
40
9
<비최적>
: 비기저변수(X3)의 수정비용이 양수이므로 최적이 아니다.
→ X3 진입, X1 탈락
한밭대학교
산업경영공학과
강진규 교수
우변상수
20<탈락>
10
25
1,600
▶
제4장
민감도 분석
쌍대이론과 민감도 분석
경 영 과 학(Ⅰ)
새로운 변수의 도입에 따른 최적해
Cj
기저변수
Cb
40
30
20
0
0
0
X1
X2
X3
S1
S2
S3
X3
20
0
1
1
S2
0
0
1
0
X1
40
1
½
0
Zj
Cj – Zj
40
0
40
-10
20
0
1
3
1
3
0
1
0
0
20
3
20
3
0
0
2
9
2
9
1
6
20
9
20
9
우변상수
20
30
35
1,800
: 새로운 최적해는 (X1, X2, X3) = (35, 0, 20), 최대이익, Z = 1,800
: 즉, 신제품 다를 20단위 생산, 가는 35로 생산량 증가(나는 생산하지 않음)
한밭대학교
산업경영공학과
강진규 교수
▶
쌍대이론과 민감도 분석
제4장
민감도 분석
경 영 과 학(Ⅰ)
◁ 새로운 제약조건의 추가 ▷
제품의 수요조사 결과에 따른 변화
수요조사 결과 제품의 총수요가
X2
70
40이하인 경우
X1 + X2 ≤ 40 이라는 새로운
새로운 제약식
40
제약조건의 추가
E
기존의 최적해(B점)는 실행불가능
25
0
산업경영공학과
B
D(새로운 최적해)
점 D(30, 10)가 새로운 최적해
한밭대학교
A
강진규 교수
C 40
50 X1
▶
민감도분석
제4장
쌍대이론과 민감도 분석
경 영 과 학(Ⅰ)
심플렉스표에서의 제약조건 추가 분석
새로운 제약식 X1 + X2 ≤ 40을 심플렉스표형으로 만들면
X1 + X2 + S4 = 40
심플렉스표상에 S4를 위한 행과 열 추가
최적 심플렉스표상에서 S4를 기저변수로 하기 위해서는 X1과 X2를
비기저변수로 표시
즉, X1 - S1/6 + 5S3/18 = 25 , X2 + S1/3 - 2S3/9 = 20 에서,
→ X1 = 25 + S1/6 - 5S3/18 , X2 = 20 - S1/3 + 2S3/9
이를 새로운 제약식에 대입하면 -S1/6 - S3/18 + S4 = -5 이 됨
한밭대학교
산업경영공학과
강진규 교수
▶
제4장
민감도 분석
쌍대이론과 민감도 분석
경 영 과 학(Ⅰ)
새로운 제약식의 도입(X1 + X2 ≤ 40)
Cj
40
30
0
0
0
0
기저변수
Cb
X1
X2
S1
S2
S3
S4
우변상수
X2
30
0
1
1/3
0
-2/9
0
20
S2
0
0
0
-2/3
1
4/9
0
10
X1
40
1
0
-1/6
0
5/18
0
25
S4
0
0
0
-1/6
0
-1/18
1
-5
40
0
30
0
10/3
-10/3
0
0
40/9
-40/9
0
0
1,600
Zj
Cj – Zj
(진입)
: 실행불가능 → S4 탈락, S1 진입
한밭대학교
산업경영공학과
강진규 교수
▶
제4장
민감도 분석
쌍대이론과 민감도 분석
경 영 과 학(Ⅰ)
새로운 제약식의 도입후의 최적해
Cj
40
30
0
0
0
0
기저변수
Cb
X1
X2
S1
S2
S3
S4
우변상수
X2
30
0
1
0
0
-1/3
2
10
S2
0
0
0
0
1
2/3
-4
30
X1
40
1
0
0
0
1/3
-1
30
S1
0
0
0
1
0
1/3
-6
30
40
0
30
0
0
0
0
0
10/3
20
-20
1,500
Zj
Cj – Zj
-10/3
: 새로운 최적해는 (X1, X2) = (30, 10), 최대이익 Z = 1,500
한밭대학교
산업경영공학과
강진규 교수
경영과학(Ⅰ)
경 영 과 학(Ⅰ)
제4장
쌍대이론과 민감도 분석
한밭대학교
산업경영공학과
강진규 교수