Transcript คลื่นระนาบเอกรู ป (Uniform Plane Wave) กสิ ณ ประกอบไวทยกิจ ห้องวิจยั การออกแบบวงจรอิเล็กทรอนิกส์ดว้ ยระบบคอมพิวเตอร์ ภาควิชาวิศวกรรมไฟฟ้ า คณะวิศวกรรมศาสตร์ มหาวิทยาลัยเชียงใหม่

คลื่นระนาบเอกรู ป
(Uniform Plane Wave)
กสิ ณ ประกอบไวทยกิจ
ห้องวิจยั การออกแบบวงจรอิเล็กทรอนิกส์ดว้ ยระบบคอมพิวเตอร์
ภาควิชาวิศวกรรมไฟฟ้ า คณะวิศวกรรมศาสตร์ มหาวิทยาลัยเชียงใหม่
คลื่นระนาบเอกรู ป (Uniform Plane Wave)
คลื่นสนามแม่เหล็ก/สนามไฟฟ้ าที่มีขนาดและเฟสคงที่
 การใช้งานสมการแมกเวลล์
 การเคลื่อนที่ของคลื่น
 ความเร็ วคลื่น (Velocity of propagation)
 ความยาวคลื่น (Wave length)
 ความต้านทานของคลื่น (Wave impedance)
 การใช้ทฤษฎีพอยทิง (Poynting) คานวณหากาลังไฟฟ้ าในรู ปความหนาแน่น
ของกระแสไฟฟ้ า
 การสะท้อนและการเคลื่อนที่ของคลื่นผ่านตัวกลางต่าง ๆ
การเคลื่อนที่ของคลื่นในอากาศ
E
 H  0
t
สนามไฟฟ้ า E ที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา ณ จุดใด ๆ จะทาให้
เกิดเคิร์ล H ณ จุดนั้น และทางเส้นทางของ H จะเป็ นวงล้อม
รอบสนามไฟฟ้ า E โดยที่ค่าของ H ก็เปลี่ยนค่าตามเวลาด้วย
การเคลื่อนที่ของคลื่นในอากาศ
H
  E  - 0
t
การเปลี่ยนค่า H ตามเวลา ทาให้เกิดสนามไฟฟ้ า E เป็ นวง
รอบ ๆ สนามแม่เหล็ก H
การเคลื่อนที่ของคลื่นในอากาศ
E  0
H  0
ค่าไดเวอร์เจนต์ของ E และ H มีค่าเท่ากับ 0
พิจารณาในกรณี ที่ E เปลี่ยนแปลงตามเวลา โดยที่ E มีลกั ษณะรู ปคลื่นแบบ cosinusoidal ให้
E  Ex a x
การเคลื่อนที่ของคลื่นในอากาศ
Ex  Exyz cos(t  )
Exyz หมายความว่า E เป็ นฟังก์ชนั่ ของ x, y, z และอาจเป็ นฟังก์ชนั่ ของ 
ด้วยก็ได้ แต่ไม่ได้เป็ นฟังก์ชนั่ ของเวลา
 เป็ นมุมเฟสที่เป็ นฟั งก์ชน
ั่ ของ x, y, z
- Euler’s identity
e
jt
 cos(t )  j sin( t )
การเคลื่อนที่ของคลื่นในอากาศ
เนื่องจากเราทราบว่า Ex มีแต่ค่าจริ ง เราจะได้วา่
Ex  Re[Exyze
j (t  )
jt
]
j
 Re[Exyze e ]
ถ้าเราเขียน Ex ในรู ปของเฟสเซอร์ จะได้วา่
Exs  Exyze
j
Es  Exs ax
s  j
การเคลื่อนที่ของคลื่นในอากาศ
Ey  100cos(10 t  0.5z  30 ) V/m
8
ค่าจริ ง

E y  Re 100 e
o
( 108 t  0.5 z  30 o )
 V/m
เฟสเซอร์
E ys  100 e
(  j 0.5 z  j 30 o )
V/m
การเคลื่อนที่ของคลื่นในอากาศ
Es  10030 ax  20 - 50 a y  40210 az
0
Es  100e
Es ( t )  (100e
 100e
0
j 30 0
j 30 0
a x  20e
a x  20e
j ( 2 10 6 t  30 0 )
- j 50 0
- j 50 0
a x  20e
0
a y  40e
a y  40e
- j ( 2 10 6 t  50 0 )
j 210 0
j 210 0
az
a z )e
a y  40e
j 2 10 6 t
j ( 2 10 6 t  210 0 )
az
การเคลื่อนที่ของคลื่นในอากาศ
E ( t )  100 cos( 2 106 t  300 ) a x  20 cos( 2 106 t  500 ) a y
 40 cos( 2 106 t  2100 ) a z
จะเห็นว่าตามตัวอย่างนี้ท้ งั ค่า Amplitudes และค่าของ Phase Angles ไม่ข้ ึนอยูก่ บั
ค่าของ x, y, z เลย แต่ถา้ มันเป็ นฟังก์ชนั่ ของ x, y หรื อ z เราก็สามารถทาใน
ลักษณะเดียวกันได้ เช่น
H s  20e

( 0.1 j 20 ) z

az A/m
H( t )  Re 20e0.1z e j 20 z e jt ax  20e0.1z cos(t  20z ) A/m
การเคลื่อนที่ของคลื่นในอากาศ


d
d
Ex 
Exyz cos( t  )
dt
dt
 - Exyz sin( t  )

 Re jExse
jt

อนุพนั ธ์ยอ่ ยของค่าสนามไฟฟ้ าใด ๆ เมื่อเทียบกับเวลา
j
จะมีค่าเท่ากับ คูณกับค่าเฟสเซอร์ของมันเสมอ
การเคลื่อนที่ของคลื่นในอากาศ
ถ้าให้สนามไฟฟ้ าอยูใ่ นทิศทางแกน x
 Ex
1  Hy

t
 z
จะได้วา่
1  H ys
j E xs  
 z
Exs คือขนาดของเฟสของ E ในทิศทาง ax ซึ่ งจากสมการแมกซ์เวลส์
E
 H  0
t
การเคลื่อนที่ของคลื่นในอากาศ
เพราะฉะนั้นจะได้
  H s  j0 Es
เมื่อ Es คือ เฟสเซอร์เวกเตอร์ของ E เราเรี ยกการทาเฟสเซอร์ ให้เป็ นเวกเตอร์
ว่า เฟสเซอร์ เวกเตอร์
H
  E  - 0
t
E  0
  Es  - j0 H s
H  0
  Hs  0
  Es  0
การเคลื่อนที่ของคลื่นในอากาศ
สมการของคลื่น
  Es  - j0 H s
  (   Es )  - j0 (   H s )
(   Es ) -  Es  - j0 ( j0 Es )
2
- 2 Es   2 0 0 Es
  Es  -  0 0 Es
2
2
การเคลื่อนที่ของคลื่นในอากาศ
2 Es  -  2 0 0 Es
เราเรี ยกสมการนี้วา่ สมการเฟสเซอร์ เวกเตอร์ หรื อ Vector Helmholtz ซึ่ งถ้าหาค่าใน
แนวแกน x สามารถเขียนได้วา่
 Exs  -  0 0 Exs
2
2
เพราะเราสามารถเขียนสมการเฟสเซอร์ ใน 3 มิติได้เป็ น
Exs Exs Exs
2




0 0 E xs
2
2
2
x
y
z
การเคลื่อนที่ของคลื่นในอากาศ
ถ้า Exs เคลื่อนที่ตามแนวแกน z เท่านั้น จะได้วา่
E xs
2
 -   0 0 E xs
2
z
E xs  Ae
jt
jt
e E xs  e Ae
 Ae

jz  0  0
j z 0 0
j ( t  0 0 z )

 A cos( t  0 0 z )  j sin ( t  0 0 z )
การเคลื่อนที่ของคลื่นในอากาศ
สาหรับค่าจริ งจะได้วา่
E x  A cos( t  0 0 z )
โดยที่
1
8
8
c
 2.99810  3 10 [m / s]
0 0
c เป็ นความเร็ วแสง เพราะฉะนั้นสนามไฟฟ้ าทที่ t = 0 จะมีค่า
Ex  A cos  0 0 z )
z
 A cos
c
การเคลื่อนที่ของคลื่นในอากาศ
เนื่องจากหนึ่งคาบของคลื่น เรี ยกว่า ความยาวคลื่น (  ) เพราะฉะนั้นเราจะได้วา่

2c c 3 108
2 

 
c
2f
f
f
เพราะฉะนั้น
8
310

f
หมายเหตุ ในอากาศเท่านั้น
การเคลื่อนที่ของคลื่นในอากาศ
- ณ จุดหนึ่งจุดใดเราสามารถหารู ปคลื่นที่เปลี่ยนตามเวลาในช่วงคาบ T  1 ได้
f
- ที่เวลาใด ๆ ก็สามารถหาคลื่นที่เปลี่ยนไปตามระยะทางของช่วงคาบได้เช่นกัน
ถ้าทั้งเวลาและระยะทางเปลี่ยนไปจะเกิดอะไรขึ้น?
เราจะเริ่ มจากการพิจารณาว่า ในกรณี ที่ Ex จะไม่เปลี่ยนแปลง ถ้า
( t  0ไม่
่ คือ
0 zเ)ปลี่ยนแปลง นัน
( t  0 0 z )  const.
การเคลื่อนที่ของคลื่นในอากาศ
( dt  0 0 dz )  0
dz
1
 
c
dt
0 0
- v คือความเร็ วเฟส มีคา่ เท่ากับความเร็ วแสง
- สนามไฟฟ้ า E เคลื่อนที่ไปในทิศทางของ az ด้วยอัตราเร็ วเท่ากับความเร็ วแสง
- ค่าของสนามไฟฟ้ า ที่ z = z1 และ t = t1 นั้นจะมีค่าเท่ากับสนามไฟฟ้ าที่เวลา
t = t2 และช่วงระยะทาง (t2 – t1) = c เมตร
- การเคลื่อนที่ของสนามไฟฟ้ านี้เรี ยกว่า การเดินทางของคลื่น
คลื่นระนาบเอกรู ป (Uniform Plane Wave)
จากสมการของแมกเวลล์ เราจะได้วา่
  Es  - j0 H s
และ


Ex  A cos ( t  0 0 z )
จะเห็นว่าสนามไฟฟ้ า Exs เปลี่ยนค่าตามค่า z เท่านั้น เพราะฉะนั้นเราจะได้วา่
d

d

d
d
d
d

  Es   E zs  E ys  a x   E xs  E zs  a y   E xy  E xs  a z
dz 
dx 
dy 
 dz
 dy
 dx
d
d
  E s  E xs
E xs  - j0 H ys
dz
dz
การเคลื่อนที่ของคลื่นในอากาศ
จาก
E xs  Ae
 jz  0 0
และให้ A = Exo เราจะได้วา่
d
 j
E xo e
dz
E xo  j 0 0 z e
เมื่อ
 0 0 z
 - j0 H ys
 j  0  0 z
 - j0 H ys
z
 0 0
c
การเคลื่อนที่ของคลื่นในอากาศ
เราจะได้วา่
 j z
1
H ys  
E xo (  j 0 0 z )e c
j0
เมื่อเราเปลี่ยนจาก s-domain เป็ น time-domain เราจะได้วา่
e
jt
H ys  E xo
 E xo
 0  j ( t  z c )
e
0


0
cos (t  z )  j sin (t  z )
c
c
0
การเคลื่อนที่ของคลื่นในอากาศ
เพราะฉะนั้นเราจะได้ของ Hy ที่เวลา t ใดๆ ดังนี้
H y  E xo
0
cos (t  z )
c
0
เมื่อคลื่น Hy เคลื่อนที่ไปตามแนวแกน z (ในทิศ az) ทิศทางของ Hy จะไปใน
แนวแกน y สวนทิศทางของ Ex ที่จะไปตามแนวแกน x
การเคลื่อนที่ของคลื่นในอากาศ
เพราะฉะนั้นเราสามารถหาอัตราส่ วนของ Ex และ Hy ได้ดงั ต่อไปนี้


E x E xo cos (t   0 0 z

Hy
0
E xo
cos (t  z )
c
0
- อินทริ นซิ ก(Intrinsic Impedance) มีหน่วยเป็ น 
Ex
0

 0
Hy
0
- ซึ่ งสาหรับในอากาศ
4 107
0 
 120
1
109
36
- และเราจะเห็นว่าอัตราส่ วนมีค่าคงที่เสมอ
[]
การเคลื่อนที่ของคลื่นในอากาศ
- คลื่นในลักษณะนี้เรี ยกว่า คลื่นระนาบเอกรู ป (Uniform Plane Wave)
เพราะที่ระนาบใด ๆ ค่าของมันจะสม่าเสมอสาหรับค่า z คงที่
- ค่าของ E และ H ต่างตั้งฉากกับทิศทางการเคลื่อนที่ของคลื่น
- ทั้ง Ex และ Hy นั้นจะอยูใ่ นระนาบขวางกับทิศทางการเคลื่อนที่ของ
คลื่น เราเรี ยกคลื่นลักษณะนี้ วา่ คลื่นตามขวาง (Transverse Electro-Magnetic Wave)
หรื อ TEM