Transcript Kap 5 B
Corporate Finance
Kap 5 Appendix
Compounding and discounting
Verdivurdering over tid
• Kontantstrømmer angir inn- og utbetalinger over
tid. Tidsdimensjonen er derfor viktig.
• Selv uten prisendringer kan vi ikke direkte
sammenligne beløp fra forskjellige perioder.
• Menneskers preferanser (utålmodighet) og
muligheter (f.eks. så korn og høste avling) gjør at
vi foretrekker en krone i dag fremfor senere.
Denne effekten kaller vi rente.
Rente
• Rentebegrepet kan inneholde flere elementer:
– Tidskostnad (utålmodighet og muligheter)
– Inflasjon (prisstigning) eller deflasjon (reduksjon)
– Usikkerhet (alternativkostnad for usikre prosjekt)
• Prosjektanalysen må ta hensyn til
tidsdimensjonen ved å inkludere både
tidskostnad og eventuelt inflasjon.
• Renteregning gjør om verdier fra en periode til
en annen (f.eks. til nåverdi eller sluttverdi).
Bankinnskudd
• Renten som finansinstitusjoner tilbyr er
nominell rente.
• Denne nominelle renten dekker redusert
kjøpekraft på grunn av prisstigning.
• Den er også en kompensasjon for at banken
har fått låne pengene (utålmodighetsdelen).
• Den delen utover det som dekker
prisstigningen er realrenten
(tidskompensasjonen).
Sluttverdi
• Sluttverdien beregner verdien på et framtidig tidspunkt
av et beløp i dag:
0
X0
X0 = innskudd tidspunkt 0
r = rente pr. periode
Xt = sluttverdien etter t perioder,
dvs. verdi av innskudd + renter.
T
t
X1 X 0 X 0 r
X 1 X 0 1 r
X 2 X 0 1 r
2
X T X 0 1 r
T
Sluttverdien vokser over tid
Sluttverdifaktor
• Sluttverdi:
• Sluttverdifaktor:
XT X0 R
R
r ;T
r ;T
1 r
T
• Sluttverdien øker når:
– Innskuddet øker
– Renten øker
– Løpetiden øker
– X0
–r
–T
Bekymringer trekker en negativ
rente.
De vokser seg små
hvis man kan la dem vente.
Sluttverdi og ukjent rente
• Innskudd på 50.000 skal etter 4 år vokse til
65.000. Hvilken rentesats kreves?
0
4
50.000
65.000
50.000 1 r 65.000
4
1 r
4
65.000
1, 3
50.000
1
1 r 1, 3 4
1
r 1, 3 4 1 6, 78%
t
Sluttverdi og ukjent løpetid
• Innskudd på 50.000 skal med 6% rente vokse
til 65.000. Hvilken løpetid kreves?
0
T
50.000
t
65.000
50.000 1 0, 06 65.000
T
1 0, 06
T
65.000
1, 3
50.000
T ln 1, 06 ln 1, 3
T
ln 1, 3
ln 1, 06
4, 5
Nåverdi
0
T
t
Sluttverdi
X0
XT
X0 kjent
XT ukjent
Nåverdi
X0
XT
X0 ukjent
XT kjent
• Nåverdien er verdien i dag av et framtidig beløp.
• Vi diskonterer det framtidige beløpet, dvs.
beregner baklengs renteregning:
X T X 0 1 r X 0
T
XT
1 r
T
X T 1 r
T
Nåverdi av livspolise
• En livspolise på 100.000 utbetales om 5 år. Hvis et
lån til 10% rente tilbakebetales med livspolisen,
hvor mye kan lånes?
X0
0
5
X0
100.000
100.000
1 0,1
5
100.000 1,1
100.000 0, 6209 62.090
t
5
Nåverdifaktor
• Nåverdi:
• Nåverdifaktor:
X0 XT R
R
r ;T
r ;T
1 r
T
• Nåverdien øker når:
– Framtidsbeløpet øker
– Renten minker
– Løpetiden minker
– XT øker
– r minker
– T minker
1
1 r
T
Nåverdien synker med økt tid
eller økt rente
Nåverdi
60000
50000
0%
40000
2%
30000
4%
20000
6%
8%
10 %
10000
0
0
4
8
12
Neddiskonteringstid
16
20
Nåverdi av kontantstrøm (5%)
0
1
2
3
-100
30
40
50
-100/(1,05)0
+ 30/(1,05)1
+ 40/(1,05)2
+ 50/(1,05)3
= -100 + 28,6 + 36,3 + 43,2 ≈ 8,0
t
Annuiteter
• En annuitet er en kontantstrøm med like beløp hver
periode over hele levetiden.
0
NV
X
1 r
1
X
1 r
1 r T 1
NV X
T
r 1 r
2
1
2
T
X
X
X
...
X
1 r
T
t
1
1
1
X
...
1
2
T
1
r
1
r
1
r
1 r 1
T
r 1 r
T
N V X A r ;T
A r ;T
Annuitetslån
• Hvor mye kan en låne hvis renten er 6% og en kan
betale tilbake 50.000 årlig i 5 år?
0
1
2
3
4
5
50.000
50.000
50.000
50.000
50.000
1 0, 06 5 1
N V 50.000
5
0, 06 1 0, 06
50.000 4, 2124 210.620
Kan maksimalt låne kr. 210.620 i dag (t=0).
Annuitet med uendelig levetid
• Når levetiden for en annuitet øker, dvs. flere like
beløp, så vil selvfølgelig nåverdien øke.
• Men jo lenger ut i tid beløpene kommer, jo
mindre verdi har de i dag.
• Økningen i nåverdien vil derfor avta, å gå mot
grenseverdien:
lim A
T
r ;T
1
r
NV
X
1
r
Kapitaliseringsfaktoren
• Nåverdien av en evigvarende etterskuddsannuitet:
kalles ofte kapitaliseringsfaktoren.
• Multiplikatormetoden benytter denne
kapitaliseringsfaktoren, ofte ved verdivurderinger.
Avvik kapitaliseringsfaktor
80%
20 %
60%
2%
10 %
5%
40%
20%
0%
0
5
10
15
20
25
Levetid
30
35
40
45
50
1
r
Multiplikatormetoden
• Svakheter:
– Forutsetter konstant kontantstrøm.
– Gir store feil ved lav rente (under 10%).
– Gir store feil ved kort levetid (< 30 år).
– Realverdier må diskonteres til realrenten,
som ofte er lav.
• Metoden egner seg best til svært langvarige
prosjekter med stabil kontantstrøm og høy
kapitalkostnad.
Annuitet med konstant vekst
• Kontantstrømmen vokser med en fast % i hver
periode ut fra startnivået i periode 1: v%.
• Kontantstrømselementet på ethvert tidspunkt
kan uttrykkes ved hjelp av startnivået,
vekstprosenten og antall perioder:
X t X 1 1 v
t 1
NV
X1
1
rv
Nåverdi etterskuddsannuiteter
Vekst
Endelig levetid
1
1
r
X
r
1
v=0
v≠0
Uendelig levetid
T
T
1 v
1
1
r
X1
rv
X
1
r
Forutsatt r > v:
X1
1
rv
Ekspropriasjon
(Eks. 6.10)
• En leiegård gir årlige inntekter på 4 mill. som
forventes å øke med 2% netto hvert år.
• Eieren ønsker å beregne tapet hvis eiendommen
eksproprieres. Renten er 6%.
• Nåverdien uten ekspropriasjon:
1
4
100
0, 06 0, 02
Ekspropriasjon
(Eks. 6.10 forts.)
• Hvis det går 8 år før eiendommen blir
ekspropriert, vil eiendommen gi inntekter på:
8
1 0, 02
1
1
0,
06
4
0, 06 0, 02
4 6, 6222 26, 5 m ill.
• Istedenfor 100 mill. får en bare 26,5 mill.
• Dvs. dagens tap er 73,5 mill.
Ekspropriasjon
(Eks. 6.10 forts.)
• På tidspunkt 8 går man glipp av følgende verdi:
4 1 0, 02
8
1
117
0, 06 0, 02
Det kan man også finne ved å beregne sluttverdien
på tidspunkt 8 av dagens tap:
73, 5 1 0, 06 117
8
Fra nåverdi til annuitet
• Ønsker å låne kr. 100.000. Banken krever 7%
rente og tilbyr 3 års annuitetslån, årlig forfall.
0
1
2
3
100.000
X
X
X
NV X A
r ;T
X NV
t
1
A r ;T
X NV A
r ;T
A
r ;T
r 1 r
T
1 r 1
X 100.000 Ar ;T 100.000 0, 38105 38.105
T
Annuitetslån
• Et annuitetslån betales tilbake med samme beløp
hver periode, dvs. sum rente og avdrag er
konstant i hele lånets løpetid.
Annuitetslån
• Annuitetsbeløpet dekker renten av restlånet
til enhver tid, og avdragene tilbakebetaler hele
lånebeløpet over lånets løpetid.
• Sum rente og avdrag er den samme i alle
perioder, lik annuiteten.
• Rentedelen = IB restlån * lånerente
• Avdragsdel = Annuitet - Rentedelen
Annuitetslån etter skatt
• Annuitetslånet er utvidet til 5 år. Dermed reduseres
annuitetsbeløpet. (Flere, men mindre avdrag.)
• Siden rentene er fradragsberettiget, sparer en skatt.
• Kontantstrømmen etter skatt må derfor ta hensyn til
spart skatt på rentedelen av annuitetsbeløpet.
Annuiteters sluttverdi
• Sluttverdien av en etterskuddsannuitet:
SV A X Ar ;T R r ;T
1 r 1
T
1 r
T
r 1 r
T
X
X
1
T
1
r
SV A X SV r ;T
1 r
T
SV
r ;T
1 r
r
Livrente - studiefond
• En livrente er fritatt både formues- og
renteinntektsskatt på fondet i sparetiden.
• Et studiefond bygges opp ved å sette av 15.000
årlig i 8 år, til forventet 7% rente.
SV A 15.000
1 0, 07
8
1
153.897
0, 07
• Sum innskudd = 15.000∙8 = 120.000
• Renter = 153.897 – 120.000 = 33.897
Nåverdi forskuddsannuiteter
0
1
2
T-1
T
X
X
X
X
0
t
• En forskuddsannuitet har første beløp allerede
nå, dvs. på tidspunkt 0, og ingen beløp på
tidspunkt T. Alle beløp er forskyvet en periode
fram, i forhold til etterskuddsvis.
T 1
1 r 1
N V X 1
T 1
r 1 r
N V X 1 Ar ;T 1
Forskuddsannuitet
• Om vi kjenner nåverdien (f.eks. lånebeløpet), kan
vi beregne forskuddsannuiteten:
N V X 1 A
r ;T 1
X
NV
1 A
• Sluttverdien på tidspunkt T-1 for en
forskuddsannuitet:
SV A F X R r ;T 1 SV r ;T 1
r ;T 1
Forskuddsleie (eks. 6.17)
• Hvor mye må nå settes inn på konto til 0,4% rente
pr. måned for å dekke månedlig husleie betalt
forskuddsvis på kr. 8.000 i ett år?
0
1
…
11
12
8000
8000
...
8000
0
N V 8.000 1 A0 ,004 ;12 1
8.000 1 10, 74505
93.924
t
Forskuddsannuiteter
Merk:
Læreboken beregner sluttverdien på
tidspunkt T-1, dvs. t = 11.
Formelen for Fremtidsverdi (FV) i Excel
angir verdien på tidspunkt T.
Kort og lang rente
• Rentestørrelsen må alltid korrespondere med
periodelengden.
• En kan fritt velge lengde på tidsintervallene,
men en må passe på å justere renten slik at
den tilsvarer den valgte periodelengden.
– Halvårlige perioder krever halvårsrente.
– Kvartalsperioder krever kvartalsrente.
– Treårsperioder krever treårsrenter.
Rente og periodelengde
La:
r = årsrente
b = antall korttidsperioder pr. år
rb = renten for korttidsperioden
1 r 1 rb
b
r 1 rb 1
b
1
rb 1 r b 1
Kvartalsrente og månedsrente
La:
r4 = kvartalsrente
= 4%
r12 = månedsrente. Hvor stor er månedsrenten?
1 0, 04
4
1 r12
12
1 0, 04
4
1
12
1 r12
12
1
12
4
1 r12 1 0, 04 12
1
r12 1 0, 04 3 1 0, 0131594 1, 3%
Bankrentemetoden
• I norske banker gis det kun rentesrente på
nyttårsaften(!?).
• Bankene benytter følgende metode for å beregne
renter med forskjellig periodelengde:
r b rb
rb
r
b
• Denne metoden neglisjerer rentesrenten, og gir
ikke konsistente resultat.
Bankrentemetoden
• Innskudd 1/1 på kr. 100.000 til 5% rente.
– Etter ett år er saldoen:
(100.000)(1,05) = 105.000
• Innskudd 1/7 på kr. 100.000 til 5% rente.
– Etter ett år er saldoen:
(100.000)(1+0,05/2)2 = 105.063
• De 63 kronene ekstra skyldes rentesrente på kr.
2.500 i de siste 6 månedene. Dette går en glipp av
hvis innskuddet gjøres 1/1.
Kontinuerlig rente
La:
r = årsrente
rk = kontinuerlig rente
e = 2,1828.. = grunntallet i naturlige logaritmer
T = kontinuerlig variabel for tidslengde
R
rk ;T
r e
e
rk
rk T
1
R
rk ;T
e
rk T
rk ln 1 r
Renteregning
• Om vi benytter kontinuerlig tid eller diskret tid
spiller ingen rolle, så lenge vi er konsistente
med hensyn på renten.
• Når vi benytter diskret tid, spiller det ingen
rolle hvordan vi deler inn tidsperiodene, så
lenge vi er konsistente med hensyn på renten.
Varierende rente over tid
0
1
r1
2
r2
T-2
...
T-1
rT-1
T
t
rT
• Renten rt angir renten som gjelder i perioden fra
tidspunkt t-1 til t.
• Vi neddiskonterer beløpet Xt til periode t-1 ved å
dividere på (1+rt).
• For å neddiskontere til tidspunkt 0 må vi dividere
på (1+r1)(1+r2)∙ ∙ ∙(1+rt).
Varierende rente over tid
0
1
2
r1
T
NV
t0
X0
r2
X t
X1
T-2
...
1 ri
i0
t
rT-1
T
t
rT
1
X2
1 r1 1 r1 1 r2
X T 1
T-1
...
XT
1 r1 1 r2 ... 1 rT 1 1 r1 1 r2 ... 1 rT 1 1 rT
Investering & varierende rente
• Et 4-årig investeringsprosjekt har følgende
kontantstrøm: (-100, 30, 70, 80, 20)
• Renten i de samme periodene er beregnet til å
være 10%, 5%, 2% og 7%.
N V 100
30
1,1
72
70
1,1 1, 05
80
1,1 1, 05 1, 02
20
1,1 1, 05 1, 02 1, 07
Gjennomsnittsrente
• Det finnes en gjennomsnittsrente rgt som gjør det
mulig å diskontere direkte fra tidspunkt t til
tidspunkt 0:
Xt
1 rg t
t
1
1 rg t
t
Xt
1 r1 1 r2 ... 1 rt 1 1 rt
1
1 r1 1 r2 ... 1 rt 1 1 rt
1
rg t 1 r1 1 r2 ... 1 rt 1 1 rt t 1
Gjennomsnittsrente
T
NV
X t 1 rg t
t
t0
• Fra eksemplet: 10%, 5%, 2%, 7%.
rg1 = 10%.
rg2 = [1,1∙1,05]1/2 ≈ 7,5%
rg3 = [1,1∙1,05∙1,02]1/3 ≈ 5,6%
rg4 = [1,1∙1,05∙1,02∙1,07]1/4 ≈ 6,0%
N V 100
30
1,1
70
1, 075
2
80
1, 056
3
20
1, 06
4
72
Varierende rente over tid