Transcript Kap 5 B
Corporate Finance Kap 5 Appendix Compounding and discounting Verdivurdering over tid • Kontantstrømmer angir inn- og utbetalinger over tid. Tidsdimensjonen er derfor viktig. • Selv uten prisendringer kan vi ikke direkte sammenligne beløp fra forskjellige perioder. • Menneskers preferanser (utålmodighet) og muligheter (f.eks. så korn og høste avling) gjør at vi foretrekker en krone i dag fremfor senere. Denne effekten kaller vi rente. Rente • Rentebegrepet kan inneholde flere elementer: – Tidskostnad (utålmodighet og muligheter) – Inflasjon (prisstigning) eller deflasjon (reduksjon) – Usikkerhet (alternativkostnad for usikre prosjekt) • Prosjektanalysen må ta hensyn til tidsdimensjonen ved å inkludere både tidskostnad og eventuelt inflasjon. • Renteregning gjør om verdier fra en periode til en annen (f.eks. til nåverdi eller sluttverdi). Bankinnskudd • Renten som finansinstitusjoner tilbyr er nominell rente. • Denne nominelle renten dekker redusert kjøpekraft på grunn av prisstigning. • Den er også en kompensasjon for at banken har fått låne pengene (utålmodighetsdelen). • Den delen utover det som dekker prisstigningen er realrenten (tidskompensasjonen). Sluttverdi • Sluttverdien beregner verdien på et framtidig tidspunkt av et beløp i dag: 0 X0 X0 = innskudd tidspunkt 0 r = rente pr. periode Xt = sluttverdien etter t perioder, dvs. verdi av innskudd + renter. T t X1 X 0 X 0 r X 1 X 0 1 r X 2 X 0 1 r 2 X T X 0 1 r T Sluttverdien vokser over tid Sluttverdifaktor • Sluttverdi: • Sluttverdifaktor: XT X0 R R r ;T r ;T 1 r T • Sluttverdien øker når: – Innskuddet øker – Renten øker – Løpetiden øker – X0 –r –T Bekymringer trekker en negativ rente. De vokser seg små hvis man kan la dem vente. Sluttverdi og ukjent rente • Innskudd på 50.000 skal etter 4 år vokse til 65.000. Hvilken rentesats kreves? 0 4 50.000 65.000 50.000 1 r 65.000 4 1 r 4 65.000 1, 3 50.000 1 1 r 1, 3 4 1 r 1, 3 4 1 6, 78% t Sluttverdi og ukjent løpetid • Innskudd på 50.000 skal med 6% rente vokse til 65.000. Hvilken løpetid kreves? 0 T 50.000 t 65.000 50.000 1 0, 06 65.000 T 1 0, 06 T 65.000 1, 3 50.000 T ln 1, 06 ln 1, 3 T ln 1, 3 ln 1, 06 4, 5 Nåverdi 0 T t Sluttverdi X0 XT X0 kjent XT ukjent Nåverdi X0 XT X0 ukjent XT kjent • Nåverdien er verdien i dag av et framtidig beløp. • Vi diskonterer det framtidige beløpet, dvs. beregner baklengs renteregning: X T X 0 1 r X 0 T XT 1 r T X T 1 r T Nåverdi av livspolise • En livspolise på 100.000 utbetales om 5 år. Hvis et lån til 10% rente tilbakebetales med livspolisen, hvor mye kan lånes? X0 0 5 X0 100.000 100.000 1 0,1 5 100.000 1,1 100.000 0, 6209 62.090 t 5 Nåverdifaktor • Nåverdi: • Nåverdifaktor: X0 XT R R r ;T r ;T 1 r T • Nåverdien øker når: – Framtidsbeløpet øker – Renten minker – Løpetiden minker – XT øker – r minker – T minker 1 1 r T Nåverdien synker med økt tid eller økt rente Nåverdi 60000 50000 0% 40000 2% 30000 4% 20000 6% 8% 10 % 10000 0 0 4 8 12 Neddiskonteringstid 16 20 Nåverdi av kontantstrøm (5%) 0 1 2 3 -100 30 40 50 -100/(1,05)0 + 30/(1,05)1 + 40/(1,05)2 + 50/(1,05)3 = -100 + 28,6 + 36,3 + 43,2 ≈ 8,0 t Annuiteter • En annuitet er en kontantstrøm med like beløp hver periode over hele levetiden. 0 NV X 1 r 1 X 1 r 1 r T 1 NV X T r 1 r 2 1 2 T X X X ... X 1 r T t 1 1 1 X ... 1 2 T 1 r 1 r 1 r 1 r 1 T r 1 r T N V X A r ;T A r ;T Annuitetslån • Hvor mye kan en låne hvis renten er 6% og en kan betale tilbake 50.000 årlig i 5 år? 0 1 2 3 4 5 50.000 50.000 50.000 50.000 50.000 1 0, 06 5 1 N V 50.000 5 0, 06 1 0, 06 50.000 4, 2124 210.620 Kan maksimalt låne kr. 210.620 i dag (t=0). Annuitet med uendelig levetid • Når levetiden for en annuitet øker, dvs. flere like beløp, så vil selvfølgelig nåverdien øke. • Men jo lenger ut i tid beløpene kommer, jo mindre verdi har de i dag. • Økningen i nåverdien vil derfor avta, å gå mot grenseverdien: lim A T r ;T 1 r NV X 1 r Kapitaliseringsfaktoren • Nåverdien av en evigvarende etterskuddsannuitet: kalles ofte kapitaliseringsfaktoren. • Multiplikatormetoden benytter denne kapitaliseringsfaktoren, ofte ved verdivurderinger. Avvik kapitaliseringsfaktor 80% 20 % 60% 2% 10 % 5% 40% 20% 0% 0 5 10 15 20 25 Levetid 30 35 40 45 50 1 r Multiplikatormetoden • Svakheter: – Forutsetter konstant kontantstrøm. – Gir store feil ved lav rente (under 10%). – Gir store feil ved kort levetid (< 30 år). – Realverdier må diskonteres til realrenten, som ofte er lav. • Metoden egner seg best til svært langvarige prosjekter med stabil kontantstrøm og høy kapitalkostnad. Annuitet med konstant vekst • Kontantstrømmen vokser med en fast % i hver periode ut fra startnivået i periode 1: v%. • Kontantstrømselementet på ethvert tidspunkt kan uttrykkes ved hjelp av startnivået, vekstprosenten og antall perioder: X t X 1 1 v t 1 NV X1 1 rv Nåverdi etterskuddsannuiteter Vekst Endelig levetid 1 1 r X r 1 v=0 v≠0 Uendelig levetid T T 1 v 1 1 r X1 rv X 1 r Forutsatt r > v: X1 1 rv Ekspropriasjon (Eks. 6.10) • En leiegård gir årlige inntekter på 4 mill. som forventes å øke med 2% netto hvert år. • Eieren ønsker å beregne tapet hvis eiendommen eksproprieres. Renten er 6%. • Nåverdien uten ekspropriasjon: 1 4 100 0, 06 0, 02 Ekspropriasjon (Eks. 6.10 forts.) • Hvis det går 8 år før eiendommen blir ekspropriert, vil eiendommen gi inntekter på: 8 1 0, 02 1 1 0, 06 4 0, 06 0, 02 4 6, 6222 26, 5 m ill. • Istedenfor 100 mill. får en bare 26,5 mill. • Dvs. dagens tap er 73,5 mill. Ekspropriasjon (Eks. 6.10 forts.) • På tidspunkt 8 går man glipp av følgende verdi: 4 1 0, 02 8 1 117 0, 06 0, 02 Det kan man også finne ved å beregne sluttverdien på tidspunkt 8 av dagens tap: 73, 5 1 0, 06 117 8 Fra nåverdi til annuitet • Ønsker å låne kr. 100.000. Banken krever 7% rente og tilbyr 3 års annuitetslån, årlig forfall. 0 1 2 3 100.000 X X X NV X A r ;T X NV t 1 A r ;T X NV A r ;T A r ;T r 1 r T 1 r 1 X 100.000 Ar ;T 100.000 0, 38105 38.105 T Annuitetslån • Et annuitetslån betales tilbake med samme beløp hver periode, dvs. sum rente og avdrag er konstant i hele lånets løpetid. Annuitetslån • Annuitetsbeløpet dekker renten av restlånet til enhver tid, og avdragene tilbakebetaler hele lånebeløpet over lånets løpetid. • Sum rente og avdrag er den samme i alle perioder, lik annuiteten. • Rentedelen = IB restlån * lånerente • Avdragsdel = Annuitet - Rentedelen Annuitetslån etter skatt • Annuitetslånet er utvidet til 5 år. Dermed reduseres annuitetsbeløpet. (Flere, men mindre avdrag.) • Siden rentene er fradragsberettiget, sparer en skatt. • Kontantstrømmen etter skatt må derfor ta hensyn til spart skatt på rentedelen av annuitetsbeløpet. Annuiteters sluttverdi • Sluttverdien av en etterskuddsannuitet: SV A X Ar ;T R r ;T 1 r 1 T 1 r T r 1 r T X X 1 T 1 r SV A X SV r ;T 1 r T SV r ;T 1 r r Livrente - studiefond • En livrente er fritatt både formues- og renteinntektsskatt på fondet i sparetiden. • Et studiefond bygges opp ved å sette av 15.000 årlig i 8 år, til forventet 7% rente. SV A 15.000 1 0, 07 8 1 153.897 0, 07 • Sum innskudd = 15.000∙8 = 120.000 • Renter = 153.897 – 120.000 = 33.897 Nåverdi forskuddsannuiteter 0 1 2 T-1 T X X X X 0 t • En forskuddsannuitet har første beløp allerede nå, dvs. på tidspunkt 0, og ingen beløp på tidspunkt T. Alle beløp er forskyvet en periode fram, i forhold til etterskuddsvis. T 1 1 r 1 N V X 1 T 1 r 1 r N V X 1 Ar ;T 1 Forskuddsannuitet • Om vi kjenner nåverdien (f.eks. lånebeløpet), kan vi beregne forskuddsannuiteten: N V X 1 A r ;T 1 X NV 1 A • Sluttverdien på tidspunkt T-1 for en forskuddsannuitet: SV A F X R r ;T 1 SV r ;T 1 r ;T 1 Forskuddsleie (eks. 6.17) • Hvor mye må nå settes inn på konto til 0,4% rente pr. måned for å dekke månedlig husleie betalt forskuddsvis på kr. 8.000 i ett år? 0 1 … 11 12 8000 8000 ... 8000 0 N V 8.000 1 A0 ,004 ;12 1 8.000 1 10, 74505 93.924 t Forskuddsannuiteter Merk: Læreboken beregner sluttverdien på tidspunkt T-1, dvs. t = 11. Formelen for Fremtidsverdi (FV) i Excel angir verdien på tidspunkt T. Kort og lang rente • Rentestørrelsen må alltid korrespondere med periodelengden. • En kan fritt velge lengde på tidsintervallene, men en må passe på å justere renten slik at den tilsvarer den valgte periodelengden. – Halvårlige perioder krever halvårsrente. – Kvartalsperioder krever kvartalsrente. – Treårsperioder krever treårsrenter. Rente og periodelengde La: r = årsrente b = antall korttidsperioder pr. år rb = renten for korttidsperioden 1 r 1 rb b r 1 rb 1 b 1 rb 1 r b 1 Kvartalsrente og månedsrente La: r4 = kvartalsrente = 4% r12 = månedsrente. Hvor stor er månedsrenten? 1 0, 04 4 1 r12 12 1 0, 04 4 1 12 1 r12 12 1 12 4 1 r12 1 0, 04 12 1 r12 1 0, 04 3 1 0, 0131594 1, 3% Bankrentemetoden • I norske banker gis det kun rentesrente på nyttårsaften(!?). • Bankene benytter følgende metode for å beregne renter med forskjellig periodelengde: r b rb rb r b • Denne metoden neglisjerer rentesrenten, og gir ikke konsistente resultat. Bankrentemetoden • Innskudd 1/1 på kr. 100.000 til 5% rente. – Etter ett år er saldoen: (100.000)(1,05) = 105.000 • Innskudd 1/7 på kr. 100.000 til 5% rente. – Etter ett år er saldoen: (100.000)(1+0,05/2)2 = 105.063 • De 63 kronene ekstra skyldes rentesrente på kr. 2.500 i de siste 6 månedene. Dette går en glipp av hvis innskuddet gjøres 1/1. Kontinuerlig rente La: r = årsrente rk = kontinuerlig rente e = 2,1828.. = grunntallet i naturlige logaritmer T = kontinuerlig variabel for tidslengde R rk ;T r e e rk rk T 1 R rk ;T e rk T rk ln 1 r Renteregning • Om vi benytter kontinuerlig tid eller diskret tid spiller ingen rolle, så lenge vi er konsistente med hensyn på renten. • Når vi benytter diskret tid, spiller det ingen rolle hvordan vi deler inn tidsperiodene, så lenge vi er konsistente med hensyn på renten. Varierende rente over tid 0 1 r1 2 r2 T-2 ... T-1 rT-1 T t rT • Renten rt angir renten som gjelder i perioden fra tidspunkt t-1 til t. • Vi neddiskonterer beløpet Xt til periode t-1 ved å dividere på (1+rt). • For å neddiskontere til tidspunkt 0 må vi dividere på (1+r1)(1+r2)∙ ∙ ∙(1+rt). Varierende rente over tid 0 1 2 r1 T NV t0 X0 r2 X t X1 T-2 ... 1 ri i0 t rT-1 T t rT 1 X2 1 r1 1 r1 1 r2 X T 1 T-1 ... XT 1 r1 1 r2 ... 1 rT 1 1 r1 1 r2 ... 1 rT 1 1 rT Investering & varierende rente • Et 4-årig investeringsprosjekt har følgende kontantstrøm: (-100, 30, 70, 80, 20) • Renten i de samme periodene er beregnet til å være 10%, 5%, 2% og 7%. N V 100 30 1,1 72 70 1,1 1, 05 80 1,1 1, 05 1, 02 20 1,1 1, 05 1, 02 1, 07 Gjennomsnittsrente • Det finnes en gjennomsnittsrente rgt som gjør det mulig å diskontere direkte fra tidspunkt t til tidspunkt 0: Xt 1 rg t t 1 1 rg t t Xt 1 r1 1 r2 ... 1 rt 1 1 rt 1 1 r1 1 r2 ... 1 rt 1 1 rt 1 rg t 1 r1 1 r2 ... 1 rt 1 1 rt t 1 Gjennomsnittsrente T NV X t 1 rg t t t0 • Fra eksemplet: 10%, 5%, 2%, 7%. rg1 = 10%. rg2 = [1,1∙1,05]1/2 ≈ 7,5% rg3 = [1,1∙1,05∙1,02]1/3 ≈ 5,6% rg4 = [1,1∙1,05∙1,02∙1,07]1/4 ≈ 6,0% N V 100 30 1,1 70 1, 075 2 80 1, 056 3 20 1, 06 4 72 Varierende rente over tid