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PARALELISMO
Definición
Rectas Paralelas. : Dos rectas l y t son paralelas si y sólo si son
coplanares y no se intersectan
Notación: l ‖t se lee: la recta l es paralela a t

l

t

Dos rectas que están en un mismo plano son paralelas
o se cortan.
La recta l no es paralela y no se corta con la recta t
por estar en planos diferentes

Definición: dos planos  y  son paralelos si su intersección es el
conjunto nulo.



Una recta l y un plano  son paralelos si su intersección es el
conjunto nulo.

l


Definición: Dos rectas son perpendiculares si se interceptan para formar
ángulos adyacentes congruentes.

l

m

Axioma del Paralelismo de Euclides: Por un punto dado, que no esté
en una recta dada, se puede hacer pasar cuando más una paralela a
la recta dada.

.

l
m

Teorema: Dos rectas Coplanares l1 y l2 perpendiculares a una misma
recta t, son paralelas entre sí.
Hipótesis
t
l1  t
l2  t
l1
Tesis
l1  l2

l2

Demostración por reducción al absurdo l1  l2
l1 y l2 se cortan en P, esto
contradice el teorema que
dice: Por un punto P puede
pasar una y sólo una
perpendicular a una recta
dada.
Luego; l1  l2

t

P

.

l2
l1

En conclusión el Teorema: Dos rectas Coplanares l1 y l2 perpendiculares a una
misma recta t, son paralelas entre sí, es verdadero.

Definición
Recta Transversal o Secante: Es la recta que corta dos o más
rectas.
1 2
3 4

l1

5 6
7 8
t

Ángulos interiores 3 y 4, 5 y 6
Ángulos exteriores 1 y 2, 7 y 8
Ángulos Alternos internos 3 y 6, 4 y 5
Ángulos Alternos externos 1 y 8, 2 y 7
Ángulos Correspondientes 1 y 5, 2 y 6, 3 y 7, 4 y 8.
Ángulos colaterales o conjugados 1 y 7, 2 y 8, 3 y 5, 4 y 6

l2

Teorema: Dos rectas l1 y l2 cortadas por una secante s forman
ángulos alternos internos iguales si y sólo sí son paralelas.
Teorema directo
s

() Hipótesis
s corta a l1 y l2
β

l1



Tesis

β

l2

l1  l2

s

Por reducción al absurdo l1  l2
Proposiciones
1.- l1  l2 Hipótesis temporal
2.-  > β Por ser exterior al ΔABP
Contradice la hipótesis, entonces, l1  l2

La tesis es verdadera
Luego, el Teorema directo es verdadero

A


B

β

P

l1

l2

Teorema: Dos rectas l1 y l2 cortadas por una secante s forman ángulos
alternos internos iguales si y sólo sí son paralelas.
s
Teorema recíproco
() Hipótesis
s corta a l1 y l2
l1
l1  l2



Tesis
β

β

l2

Por reducción al absurdo  ≠ β   > β ó  < β
Caso 1:  > β
1.- θ  β
Por construcción
2.- Si θ  β  t  l2 Si los ángulos alternos

internos son congruentes las rectan secantes son
paralelas

t

3.- l1  l2 y t  l2 pasan por A
Esto contradice el Axioma del paralelismo de
Euclides. Por un punto dado, que no esté en
una recta dada, se puede hacer pasar
cuando más una paralela a la recta dada
En consecuencia  > β

s

l1

θ

.
A

β

l2

Caso 2:  > β: El procedimiento es igual y en consecuencia  > β
Por tanto, si  ≠ β    β
Luego, el Teorema reciproco es verdadero
EN CONCLUSIÓN: El teorema: Dos rectas l1  l2 cortadas por una secante s
forman ángulos alternos internos iguales si y sólo sí son paralelas, es
verdadero

Corolario: Dos rectas cortadas por una secante forman ángulos
correspondientes iguales, alternos externos iguales y colaterales
suplementarios si y sólo si son paralelas.

s

’


β

l1
l2

1.   β por ser alternos
internos entre  s
2.   ’ por ser opuestos
por el vértice
3. ’  β sustitución de 1
en 2
4. ’  β son correspondientes
congruentes si y sólo si
las rectas son paralelas

Corolario: Dos rectas cortadas por una secante forman ángulos
correspondientes iguales, alternos externos iguales y colaterales son
suplementarios si y sólo si son paralelas.

s

2. β  β’ por ser opuestos
por el vértice

’


β’

β

1. ’  β por ser correspondientes
entre  s

l1
l2

3. ’  β sustitución de 1
en 2
4. ’  β son alternos externos
congruentes si y sólo si
las rectas son paralelas

Corolario: Dos rectas cortadas por una secante forman ángulos
correspondientes iguales, alternos externos iguales y colaterales son
suplementarios si y sólo si son paralelas.

s
λ


β’

λ’

2. ’  λ son suplementarios

’
β

1. ’  β’ son alternos externos
congruentes si y sólo si
las rectas son paralelas

l1

l2

3. β’  λ’ son suplementarios
4. β’  λ son colaterales suplementarios
si y sólo si las rectas son paralelas
Sustitución de 1 en 2
5. ’  λ’ son colaterales suplementarios
si y sólo si las rectas son paralelas
Sustitución de 1 en 3

Teorema: La suma de los ángulos internos de un triángulo 180.
Hipótesis
, β y  son s interiores del ΔABC
A

Tesis
 + β +  = 180


β

Proposiciones

l

B

1.- AB  l
2.-   θ
3.- CD es la prolongación de BC
4.- β  
5.-  + θ +  = 180
5.-  + β +  = 180



θ
C



.D

Por construcción
s alternos internos entre ∥s
Por construcción
s correspondientes entre ∥s
Suma de s. Def. de  llano
Sustitución de 2 y 3 en 4

La tesis es verdadera

En conclusión el Teorema: La suma de los ángulos internos de un
triángulo 180, es verdadero

Corolario: Todo ángulo exterior a un triángulo es igual a la suma de
los otros 2 ángulos interiores no adyacentes a él.

l

A

β






β

+ β = 

B
C
Corolario : Cada ángulo de un triángulo equilátero mide 60.
A
+ β +  = 180
 = β = = 60


B

β



C
Corolario : Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son
complementarios.
+ β + 90 = 180
+ β = 90




CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Un triángulo rectángulo es congruente a otro si tienen congruente:
a.- Los catetos. ALA
Criterio A.L.A.

b, Un ángulo y cualquier lado (Cateto)

Criterio A.L.A.

c.- Un cateto y la hipotenusa
4to Criterio

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Este tema fue realizado con apoyo en las siguientes bibliografías:
‒

DURÁN, Darío. 2003. La geometría Euclidiana. Maracaibo: Astro Data.

‒

PETER, B. G.;DARREL, P. (1998). Geometría. (3a ed.). México:
Thomson Editores S.A.

‒

HEMMERLING, Ee. (2002). Geometría Elemenyal. (6ª ed). Mexico:Limusa


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PARALELISMO
Definición
Rectas Paralelas. : Dos rectas l y t son paralelas si y sólo si son
coplanares y no se intersectan
Notación: l ‖t se lee: la recta l es paralela a t

l

t

Dos rectas que están en un mismo plano son paralelas
o se cortan.
La recta l no es paralela y no se corta con la recta t
por estar en planos diferentes

Definición: dos planos  y  son paralelos si su intersección es el
conjunto nulo.



Una recta l y un plano  son paralelos si su intersección es el
conjunto nulo.

l


Definición: Dos rectas son perpendiculares si se interceptan para formar
ángulos adyacentes congruentes.

l

m

Axioma del Paralelismo de Euclides: Por un punto dado, que no esté
en una recta dada, se puede hacer pasar cuando más una paralela a
la recta dada.

.

l
m

Teorema: Dos rectas Coplanares l1 y l2 perpendiculares a una misma
recta t, son paralelas entre sí.
Hipótesis
t
l1  t
l2  t
l1
Tesis
l1  l2

l2

Demostración por reducción al absurdo l1  l2
l1 y l2 se cortan en P, esto
contradice el teorema que
dice: Por un punto P puede
pasar una y sólo una
perpendicular a una recta
dada.
Luego; l1  l2

t

P

.

l2
l1

En conclusión el Teorema: Dos rectas Coplanares l1 y l2 perpendiculares a una
misma recta t, son paralelas entre sí, es verdadero.

Definición
Recta Transversal o Secante: Es la recta que corta dos o más
rectas.
1 2
3 4

l1

5 6
7 8
t

Ángulos interiores 3 y 4, 5 y 6
Ángulos exteriores 1 y 2, 7 y 8
Ángulos Alternos internos 3 y 6, 4 y 5
Ángulos Alternos externos 1 y 8, 2 y 7
Ángulos Correspondientes 1 y 5, 2 y 6, 3 y 7, 4 y 8.
Ángulos colaterales o conjugados 1 y 7, 2 y 8, 3 y 5, 4 y 6

l2

Teorema: Dos rectas l1 y l2 cortadas por una secante s forman
ángulos alternos internos iguales si y sólo sí son paralelas.
Teorema directo
s

() Hipótesis
s corta a l1 y l2
β

l1



Tesis

β

l2

l1  l2

s

Por reducción al absurdo l1  l2
Proposiciones
1.- l1  l2 Hipótesis temporal
2.-  > β Por ser exterior al ΔABP
Contradice la hipótesis, entonces, l1  l2

La tesis es verdadera
Luego, el Teorema directo es verdadero

A


B

β

P

l1

l2

Teorema: Dos rectas l1 y l2 cortadas por una secante s forman ángulos
alternos internos iguales si y sólo sí son paralelas.
s
Teorema recíproco
() Hipótesis
s corta a l1 y l2
l1
l1  l2



Tesis
β

β

l2

Por reducción al absurdo  ≠ β   > β ó  < β
Caso 1:  > β
1.- θ  β
Por construcción
2.- Si θ  β  t  l2 Si los ángulos alternos

internos son congruentes las rectan secantes son
paralelas

t

3.- l1  l2 y t  l2 pasan por A
Esto contradice el Axioma del paralelismo de
Euclides. Por un punto dado, que no esté en
una recta dada, se puede hacer pasar
cuando más una paralela a la recta dada
En consecuencia  > β

s

l1

θ

.
A

β

l2

Caso 2:  > β: El procedimiento es igual y en consecuencia  > β
Por tanto, si  ≠ β    β
Luego, el Teorema reciproco es verdadero
EN CONCLUSIÓN: El teorema: Dos rectas l1  l2 cortadas por una secante s
forman ángulos alternos internos iguales si y sólo sí son paralelas, es
verdadero

Corolario: Dos rectas cortadas por una secante forman ángulos
correspondientes iguales, alternos externos iguales y colaterales
suplementarios si y sólo si son paralelas.

s

’


β

l1
l2

1.   β por ser alternos
internos entre  s
2.   ’ por ser opuestos
por el vértice
3. ’  β sustitución de 1
en 2
4. ’  β son correspondientes
congruentes si y sólo si
las rectas son paralelas

Corolario: Dos rectas cortadas por una secante forman ángulos
correspondientes iguales, alternos externos iguales y colaterales son
suplementarios si y sólo si son paralelas.

s

2. β  β’ por ser opuestos
por el vértice

’


β’

β

1. ’  β por ser correspondientes
entre  s

l1
l2

3. ’  β sustitución de 1
en 2
4. ’  β son alternos externos
congruentes si y sólo si
las rectas son paralelas

Corolario: Dos rectas cortadas por una secante forman ángulos
correspondientes iguales, alternos externos iguales y colaterales son
suplementarios si y sólo si son paralelas.

s
λ


β’

λ’

2. ’  λ son suplementarios

’
β

1. ’  β’ son alternos externos
congruentes si y sólo si
las rectas son paralelas

l1

l2

3. β’  λ’ son suplementarios
4. β’  λ son colaterales suplementarios
si y sólo si las rectas son paralelas
Sustitución de 1 en 2
5. ’  λ’ son colaterales suplementarios
si y sólo si las rectas son paralelas
Sustitución de 1 en 3

Teorema: La suma de los ángulos internos de un triángulo 180.
Hipótesis
, β y  son s interiores del ΔABC
A

Tesis
 + β +  = 180


β

Proposiciones

l

B

1.- AB  l
2.-   θ
3.- CD es la prolongación de BC
4.- β  
5.-  + θ +  = 180
5.-  + β +  = 180



θ
C



.D

Por construcción
s alternos internos entre ∥s
Por construcción
s correspondientes entre ∥s
Suma de s. Def. de  llano
Sustitución de 2 y 3 en 4

La tesis es verdadera

En conclusión el Teorema: La suma de los ángulos internos de un
triángulo 180, es verdadero

Corolario: Todo ángulo exterior a un triángulo es igual a la suma de
los otros 2 ángulos interiores no adyacentes a él.

l

A

β






β

+ β = 

B
C
Corolario : Cada ángulo de un triángulo equilátero mide 60.
A
+ β +  = 180
 = β = = 60


B

β



C
Corolario : Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son
complementarios.
+ β + 90 = 180
+ β = 90




CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Un triángulo rectángulo es congruente a otro si tienen congruente:
a.- Los catetos. ALA
Criterio A.L.A.

b, Un ángulo y cualquier lado (Cateto)

Criterio A.L.A.

c.- Un cateto y la hipotenusa
4to Criterio

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Este tema fue realizado con apoyo en las siguientes bibliografías:
‒

DURÁN, Darío. 2003. La geometría Euclidiana. Maracaibo: Astro Data.

‒

PETER, B. G.;DARREL, P. (1998). Geometría. (3a ed.). México:
Thomson Editores S.A.

‒

HEMMERLING, Ee. (2002). Geometría Elemenyal. (6ª ed). Mexico:Limusa


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PARALELISMO
Definición
Rectas Paralelas. : Dos rectas l y t son paralelas si y sólo si son
coplanares y no se intersectan
Notación: l ‖t se lee: la recta l es paralela a t

l

t

Dos rectas que están en un mismo plano son paralelas
o se cortan.
La recta l no es paralela y no se corta con la recta t
por estar en planos diferentes

Definición: dos planos  y  son paralelos si su intersección es el
conjunto nulo.



Una recta l y un plano  son paralelos si su intersección es el
conjunto nulo.

l


Definición: Dos rectas son perpendiculares si se interceptan para formar
ángulos adyacentes congruentes.

l

m

Axioma del Paralelismo de Euclides: Por un punto dado, que no esté
en una recta dada, se puede hacer pasar cuando más una paralela a
la recta dada.

.

l
m

Teorema: Dos rectas Coplanares l1 y l2 perpendiculares a una misma
recta t, son paralelas entre sí.
Hipótesis
t
l1  t
l2  t
l1
Tesis
l1  l2

l2

Demostración por reducción al absurdo l1  l2
l1 y l2 se cortan en P, esto
contradice el teorema que
dice: Por un punto P puede
pasar una y sólo una
perpendicular a una recta
dada.
Luego; l1  l2

t

P

.

l2
l1

En conclusión el Teorema: Dos rectas Coplanares l1 y l2 perpendiculares a una
misma recta t, son paralelas entre sí, es verdadero.

Definición
Recta Transversal o Secante: Es la recta que corta dos o más
rectas.
1 2
3 4

l1

5 6
7 8
t

Ángulos interiores 3 y 4, 5 y 6
Ángulos exteriores 1 y 2, 7 y 8
Ángulos Alternos internos 3 y 6, 4 y 5
Ángulos Alternos externos 1 y 8, 2 y 7
Ángulos Correspondientes 1 y 5, 2 y 6, 3 y 7, 4 y 8.
Ángulos colaterales o conjugados 1 y 7, 2 y 8, 3 y 5, 4 y 6

l2

Teorema: Dos rectas l1 y l2 cortadas por una secante s forman
ángulos alternos internos iguales si y sólo sí son paralelas.
Teorema directo
s

() Hipótesis
s corta a l1 y l2
β

l1



Tesis

β

l2

l1  l2

s

Por reducción al absurdo l1  l2
Proposiciones
1.- l1  l2 Hipótesis temporal
2.-  > β Por ser exterior al ΔABP
Contradice la hipótesis, entonces, l1  l2

La tesis es verdadera
Luego, el Teorema directo es verdadero

A


B

β

P

l1

l2

Teorema: Dos rectas l1 y l2 cortadas por una secante s forman ángulos
alternos internos iguales si y sólo sí son paralelas.
s
Teorema recíproco
() Hipótesis
s corta a l1 y l2
l1
l1  l2



Tesis
β

β

l2

Por reducción al absurdo  ≠ β   > β ó  < β
Caso 1:  > β
1.- θ  β
Por construcción
2.- Si θ  β  t  l2 Si los ángulos alternos

internos son congruentes las rectan secantes son
paralelas

t

3.- l1  l2 y t  l2 pasan por A
Esto contradice el Axioma del paralelismo de
Euclides. Por un punto dado, que no esté en
una recta dada, se puede hacer pasar
cuando más una paralela a la recta dada
En consecuencia  > β

s

l1

θ

.
A

β

l2

Caso 2:  > β: El procedimiento es igual y en consecuencia  > β
Por tanto, si  ≠ β    β
Luego, el Teorema reciproco es verdadero
EN CONCLUSIÓN: El teorema: Dos rectas l1  l2 cortadas por una secante s
forman ángulos alternos internos iguales si y sólo sí son paralelas, es
verdadero

Corolario: Dos rectas cortadas por una secante forman ángulos
correspondientes iguales, alternos externos iguales y colaterales
suplementarios si y sólo si son paralelas.

s

’


β

l1
l2

1.   β por ser alternos
internos entre  s
2.   ’ por ser opuestos
por el vértice
3. ’  β sustitución de 1
en 2
4. ’  β son correspondientes
congruentes si y sólo si
las rectas son paralelas

Corolario: Dos rectas cortadas por una secante forman ángulos
correspondientes iguales, alternos externos iguales y colaterales son
suplementarios si y sólo si son paralelas.

s

2. β  β’ por ser opuestos
por el vértice

’


β’

β

1. ’  β por ser correspondientes
entre  s

l1
l2

3. ’  β sustitución de 1
en 2
4. ’  β son alternos externos
congruentes si y sólo si
las rectas son paralelas

Corolario: Dos rectas cortadas por una secante forman ángulos
correspondientes iguales, alternos externos iguales y colaterales son
suplementarios si y sólo si son paralelas.

s
λ


β’

λ’

2. ’  λ son suplementarios

’
β

1. ’  β’ son alternos externos
congruentes si y sólo si
las rectas son paralelas

l1

l2

3. β’  λ’ son suplementarios
4. β’  λ son colaterales suplementarios
si y sólo si las rectas son paralelas
Sustitución de 1 en 2
5. ’  λ’ son colaterales suplementarios
si y sólo si las rectas son paralelas
Sustitución de 1 en 3

Teorema: La suma de los ángulos internos de un triángulo 180.
Hipótesis
, β y  son s interiores del ΔABC
A

Tesis
 + β +  = 180


β

Proposiciones

l

B

1.- AB  l
2.-   θ
3.- CD es la prolongación de BC
4.- β  
5.-  + θ +  = 180
5.-  + β +  = 180



θ
C



.D

Por construcción
s alternos internos entre ∥s
Por construcción
s correspondientes entre ∥s
Suma de s. Def. de  llano
Sustitución de 2 y 3 en 4

La tesis es verdadera

En conclusión el Teorema: La suma de los ángulos internos de un
triángulo 180, es verdadero

Corolario: Todo ángulo exterior a un triángulo es igual a la suma de
los otros 2 ángulos interiores no adyacentes a él.

l

A

β






β

+ β = 

B
C
Corolario : Cada ángulo de un triángulo equilátero mide 60.
A
+ β +  = 180
 = β = = 60


B

β



C
Corolario : Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son
complementarios.
+ β + 90 = 180
+ β = 90




CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Un triángulo rectángulo es congruente a otro si tienen congruente:
a.- Los catetos. ALA
Criterio A.L.A.

b, Un ángulo y cualquier lado (Cateto)

Criterio A.L.A.

c.- Un cateto y la hipotenusa
4to Criterio

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Este tema fue realizado con apoyo en las siguientes bibliografías:
‒

DURÁN, Darío. 2003. La geometría Euclidiana. Maracaibo: Astro Data.

‒

PETER, B. G.;DARREL, P. (1998). Geometría. (3a ed.). México:
Thomson Editores S.A.

‒

HEMMERLING, Ee. (2002). Geometría Elemenyal. (6ª ed). Mexico:Limusa


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PARALELISMO
Definición
Rectas Paralelas. : Dos rectas l y t son paralelas si y sólo si son
coplanares y no se intersectan
Notación: l ‖t se lee: la recta l es paralela a t

l

t

Dos rectas que están en un mismo plano son paralelas
o se cortan.
La recta l no es paralela y no se corta con la recta t
por estar en planos diferentes

Definición: dos planos  y  son paralelos si su intersección es el
conjunto nulo.



Una recta l y un plano  son paralelos si su intersección es el
conjunto nulo.

l


Definición: Dos rectas son perpendiculares si se interceptan para formar
ángulos adyacentes congruentes.

l

m

Axioma del Paralelismo de Euclides: Por un punto dado, que no esté
en una recta dada, se puede hacer pasar cuando más una paralela a
la recta dada.

.

l
m

Teorema: Dos rectas Coplanares l1 y l2 perpendiculares a una misma
recta t, son paralelas entre sí.
Hipótesis
t
l1  t
l2  t
l1
Tesis
l1  l2

l2

Demostración por reducción al absurdo l1  l2
l1 y l2 se cortan en P, esto
contradice el teorema que
dice: Por un punto P puede
pasar una y sólo una
perpendicular a una recta
dada.
Luego; l1  l2

t

P

.

l2
l1

En conclusión el Teorema: Dos rectas Coplanares l1 y l2 perpendiculares a una
misma recta t, son paralelas entre sí, es verdadero.

Definición
Recta Transversal o Secante: Es la recta que corta dos o más
rectas.
1 2
3 4

l1

5 6
7 8
t

Ángulos interiores 3 y 4, 5 y 6
Ángulos exteriores 1 y 2, 7 y 8
Ángulos Alternos internos 3 y 6, 4 y 5
Ángulos Alternos externos 1 y 8, 2 y 7
Ángulos Correspondientes 1 y 5, 2 y 6, 3 y 7, 4 y 8.
Ángulos colaterales o conjugados 1 y 7, 2 y 8, 3 y 5, 4 y 6

l2

Teorema: Dos rectas l1 y l2 cortadas por una secante s forman
ángulos alternos internos iguales si y sólo sí son paralelas.
Teorema directo
s

() Hipótesis
s corta a l1 y l2
β

l1



Tesis

β

l2

l1  l2

s

Por reducción al absurdo l1  l2
Proposiciones
1.- l1  l2 Hipótesis temporal
2.-  > β Por ser exterior al ΔABP
Contradice la hipótesis, entonces, l1  l2

La tesis es verdadera
Luego, el Teorema directo es verdadero

A


B

β

P

l1

l2

Teorema: Dos rectas l1 y l2 cortadas por una secante s forman ángulos
alternos internos iguales si y sólo sí son paralelas.
s
Teorema recíproco
() Hipótesis
s corta a l1 y l2
l1
l1  l2



Tesis
β

β

l2

Por reducción al absurdo  ≠ β   > β ó  < β
Caso 1:  > β
1.- θ  β
Por construcción
2.- Si θ  β  t  l2 Si los ángulos alternos

internos son congruentes las rectan secantes son
paralelas

t

3.- l1  l2 y t  l2 pasan por A
Esto contradice el Axioma del paralelismo de
Euclides. Por un punto dado, que no esté en
una recta dada, se puede hacer pasar
cuando más una paralela a la recta dada
En consecuencia  > β

s

l1

θ

.
A

β

l2

Caso 2:  > β: El procedimiento es igual y en consecuencia  > β
Por tanto, si  ≠ β    β
Luego, el Teorema reciproco es verdadero
EN CONCLUSIÓN: El teorema: Dos rectas l1  l2 cortadas por una secante s
forman ángulos alternos internos iguales si y sólo sí son paralelas, es
verdadero

Corolario: Dos rectas cortadas por una secante forman ángulos
correspondientes iguales, alternos externos iguales y colaterales
suplementarios si y sólo si son paralelas.

s

’


β

l1
l2

1.   β por ser alternos
internos entre  s
2.   ’ por ser opuestos
por el vértice
3. ’  β sustitución de 1
en 2
4. ’  β son correspondientes
congruentes si y sólo si
las rectas son paralelas

Corolario: Dos rectas cortadas por una secante forman ángulos
correspondientes iguales, alternos externos iguales y colaterales son
suplementarios si y sólo si son paralelas.

s

2. β  β’ por ser opuestos
por el vértice

’


β’

β

1. ’  β por ser correspondientes
entre  s

l1
l2

3. ’  β sustitución de 1
en 2
4. ’  β son alternos externos
congruentes si y sólo si
las rectas son paralelas

Corolario: Dos rectas cortadas por una secante forman ángulos
correspondientes iguales, alternos externos iguales y colaterales son
suplementarios si y sólo si son paralelas.

s
λ


β’

λ’

2. ’  λ son suplementarios

’
β

1. ’  β’ son alternos externos
congruentes si y sólo si
las rectas son paralelas

l1

l2

3. β’  λ’ son suplementarios
4. β’  λ son colaterales suplementarios
si y sólo si las rectas son paralelas
Sustitución de 1 en 2
5. ’  λ’ son colaterales suplementarios
si y sólo si las rectas son paralelas
Sustitución de 1 en 3

Teorema: La suma de los ángulos internos de un triángulo 180.
Hipótesis
, β y  son s interiores del ΔABC
A

Tesis
 + β +  = 180


β

Proposiciones

l

B

1.- AB  l
2.-   θ
3.- CD es la prolongación de BC
4.- β  
5.-  + θ +  = 180
5.-  + β +  = 180



θ
C



.D

Por construcción
s alternos internos entre ∥s
Por construcción
s correspondientes entre ∥s
Suma de s. Def. de  llano
Sustitución de 2 y 3 en 4

La tesis es verdadera

En conclusión el Teorema: La suma de los ángulos internos de un
triángulo 180, es verdadero

Corolario: Todo ángulo exterior a un triángulo es igual a la suma de
los otros 2 ángulos interiores no adyacentes a él.

l

A

β






β

+ β = 

B
C
Corolario : Cada ángulo de un triángulo equilátero mide 60.
A
+ β +  = 180
 = β = = 60


B

β



C
Corolario : Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son
complementarios.
+ β + 90 = 180
+ β = 90




CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Un triángulo rectángulo es congruente a otro si tienen congruente:
a.- Los catetos. ALA
Criterio A.L.A.

b, Un ángulo y cualquier lado (Cateto)

Criterio A.L.A.

c.- Un cateto y la hipotenusa
4to Criterio

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Este tema fue realizado con apoyo en las siguientes bibliografías:
‒

DURÁN, Darío. 2003. La geometría Euclidiana. Maracaibo: Astro Data.

‒

PETER, B. G.;DARREL, P. (1998). Geometría. (3a ed.). México:
Thomson Editores S.A.

‒

HEMMERLING, Ee. (2002). Geometría Elemenyal. (6ª ed). Mexico:Limusa


Slide 5

PARALELISMO
Definición
Rectas Paralelas. : Dos rectas l y t son paralelas si y sólo si son
coplanares y no se intersectan
Notación: l ‖t se lee: la recta l es paralela a t

l

t

Dos rectas que están en un mismo plano son paralelas
o se cortan.
La recta l no es paralela y no se corta con la recta t
por estar en planos diferentes

Definición: dos planos  y  son paralelos si su intersección es el
conjunto nulo.



Una recta l y un plano  son paralelos si su intersección es el
conjunto nulo.

l


Definición: Dos rectas son perpendiculares si se interceptan para formar
ángulos adyacentes congruentes.

l

m

Axioma del Paralelismo de Euclides: Por un punto dado, que no esté
en una recta dada, se puede hacer pasar cuando más una paralela a
la recta dada.

.

l
m

Teorema: Dos rectas Coplanares l1 y l2 perpendiculares a una misma
recta t, son paralelas entre sí.
Hipótesis
t
l1  t
l2  t
l1
Tesis
l1  l2

l2

Demostración por reducción al absurdo l1  l2
l1 y l2 se cortan en P, esto
contradice el teorema que
dice: Por un punto P puede
pasar una y sólo una
perpendicular a una recta
dada.
Luego; l1  l2

t

P

.

l2
l1

En conclusión el Teorema: Dos rectas Coplanares l1 y l2 perpendiculares a una
misma recta t, son paralelas entre sí, es verdadero.

Definición
Recta Transversal o Secante: Es la recta que corta dos o más
rectas.
1 2
3 4

l1

5 6
7 8
t

Ángulos interiores 3 y 4, 5 y 6
Ángulos exteriores 1 y 2, 7 y 8
Ángulos Alternos internos 3 y 6, 4 y 5
Ángulos Alternos externos 1 y 8, 2 y 7
Ángulos Correspondientes 1 y 5, 2 y 6, 3 y 7, 4 y 8.
Ángulos colaterales o conjugados 1 y 7, 2 y 8, 3 y 5, 4 y 6

l2

Teorema: Dos rectas l1 y l2 cortadas por una secante s forman
ángulos alternos internos iguales si y sólo sí son paralelas.
Teorema directo
s

() Hipótesis
s corta a l1 y l2
β

l1



Tesis

β

l2

l1  l2

s

Por reducción al absurdo l1  l2
Proposiciones
1.- l1  l2 Hipótesis temporal
2.-  > β Por ser exterior al ΔABP
Contradice la hipótesis, entonces, l1  l2

La tesis es verdadera
Luego, el Teorema directo es verdadero

A


B

β

P

l1

l2

Teorema: Dos rectas l1 y l2 cortadas por una secante s forman ángulos
alternos internos iguales si y sólo sí son paralelas.
s
Teorema recíproco
() Hipótesis
s corta a l1 y l2
l1
l1  l2



Tesis
β

β

l2

Por reducción al absurdo  ≠ β   > β ó  < β
Caso 1:  > β
1.- θ  β
Por construcción
2.- Si θ  β  t  l2 Si los ángulos alternos

internos son congruentes las rectan secantes son
paralelas

t

3.- l1  l2 y t  l2 pasan por A
Esto contradice el Axioma del paralelismo de
Euclides. Por un punto dado, que no esté en
una recta dada, se puede hacer pasar
cuando más una paralela a la recta dada
En consecuencia  > β

s

l1

θ

.
A

β

l2

Caso 2:  > β: El procedimiento es igual y en consecuencia  > β
Por tanto, si  ≠ β    β
Luego, el Teorema reciproco es verdadero
EN CONCLUSIÓN: El teorema: Dos rectas l1  l2 cortadas por una secante s
forman ángulos alternos internos iguales si y sólo sí son paralelas, es
verdadero

Corolario: Dos rectas cortadas por una secante forman ángulos
correspondientes iguales, alternos externos iguales y colaterales
suplementarios si y sólo si son paralelas.

s

’


β

l1
l2

1.   β por ser alternos
internos entre  s
2.   ’ por ser opuestos
por el vértice
3. ’  β sustitución de 1
en 2
4. ’  β son correspondientes
congruentes si y sólo si
las rectas son paralelas

Corolario: Dos rectas cortadas por una secante forman ángulos
correspondientes iguales, alternos externos iguales y colaterales son
suplementarios si y sólo si son paralelas.

s

2. β  β’ por ser opuestos
por el vértice

’


β’

β

1. ’  β por ser correspondientes
entre  s

l1
l2

3. ’  β sustitución de 1
en 2
4. ’  β son alternos externos
congruentes si y sólo si
las rectas son paralelas

Corolario: Dos rectas cortadas por una secante forman ángulos
correspondientes iguales, alternos externos iguales y colaterales son
suplementarios si y sólo si son paralelas.

s
λ


β’

λ’

2. ’  λ son suplementarios

’
β

1. ’  β’ son alternos externos
congruentes si y sólo si
las rectas son paralelas

l1

l2

3. β’  λ’ son suplementarios
4. β’  λ son colaterales suplementarios
si y sólo si las rectas son paralelas
Sustitución de 1 en 2
5. ’  λ’ son colaterales suplementarios
si y sólo si las rectas son paralelas
Sustitución de 1 en 3

Teorema: La suma de los ángulos internos de un triángulo 180.
Hipótesis
, β y  son s interiores del ΔABC
A

Tesis
 + β +  = 180


β

Proposiciones

l

B

1.- AB  l
2.-   θ
3.- CD es la prolongación de BC
4.- β  
5.-  + θ +  = 180
5.-  + β +  = 180



θ
C



.D

Por construcción
s alternos internos entre ∥s
Por construcción
s correspondientes entre ∥s
Suma de s. Def. de  llano
Sustitución de 2 y 3 en 4

La tesis es verdadera

En conclusión el Teorema: La suma de los ángulos internos de un
triángulo 180, es verdadero

Corolario: Todo ángulo exterior a un triángulo es igual a la suma de
los otros 2 ángulos interiores no adyacentes a él.

l

A

β






β

+ β = 

B
C
Corolario : Cada ángulo de un triángulo equilátero mide 60.
A
+ β +  = 180
 = β = = 60


B

β



C
Corolario : Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son
complementarios.
+ β + 90 = 180
+ β = 90




CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Un triángulo rectángulo es congruente a otro si tienen congruente:
a.- Los catetos. ALA
Criterio A.L.A.

b, Un ángulo y cualquier lado (Cateto)

Criterio A.L.A.

c.- Un cateto y la hipotenusa
4to Criterio

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Este tema fue realizado con apoyo en las siguientes bibliografías:
‒

DURÁN, Darío. 2003. La geometría Euclidiana. Maracaibo: Astro Data.

‒

PETER, B. G.;DARREL, P. (1998). Geometría. (3a ed.). México:
Thomson Editores S.A.

‒

HEMMERLING, Ee. (2002). Geometría Elemenyal. (6ª ed). Mexico:Limusa


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PARALELISMO
Definición
Rectas Paralelas. : Dos rectas l y t son paralelas si y sólo si son
coplanares y no se intersectan
Notación: l ‖t se lee: la recta l es paralela a t

l

t

Dos rectas que están en un mismo plano son paralelas
o se cortan.
La recta l no es paralela y no se corta con la recta t
por estar en planos diferentes

Definición: dos planos  y  son paralelos si su intersección es el
conjunto nulo.



Una recta l y un plano  son paralelos si su intersección es el
conjunto nulo.

l


Definición: Dos rectas son perpendiculares si se interceptan para formar
ángulos adyacentes congruentes.

l

m

Axioma del Paralelismo de Euclides: Por un punto dado, que no esté
en una recta dada, se puede hacer pasar cuando más una paralela a
la recta dada.

.

l
m

Teorema: Dos rectas Coplanares l1 y l2 perpendiculares a una misma
recta t, son paralelas entre sí.
Hipótesis
t
l1  t
l2  t
l1
Tesis
l1  l2

l2

Demostración por reducción al absurdo l1  l2
l1 y l2 se cortan en P, esto
contradice el teorema que
dice: Por un punto P puede
pasar una y sólo una
perpendicular a una recta
dada.
Luego; l1  l2

t

P

.

l2
l1

En conclusión el Teorema: Dos rectas Coplanares l1 y l2 perpendiculares a una
misma recta t, son paralelas entre sí, es verdadero.

Definición
Recta Transversal o Secante: Es la recta que corta dos o más
rectas.
1 2
3 4

l1

5 6
7 8
t

Ángulos interiores 3 y 4, 5 y 6
Ángulos exteriores 1 y 2, 7 y 8
Ángulos Alternos internos 3 y 6, 4 y 5
Ángulos Alternos externos 1 y 8, 2 y 7
Ángulos Correspondientes 1 y 5, 2 y 6, 3 y 7, 4 y 8.
Ángulos colaterales o conjugados 1 y 7, 2 y 8, 3 y 5, 4 y 6

l2

Teorema: Dos rectas l1 y l2 cortadas por una secante s forman
ángulos alternos internos iguales si y sólo sí son paralelas.
Teorema directo
s

() Hipótesis
s corta a l1 y l2
β

l1



Tesis

β

l2

l1  l2

s

Por reducción al absurdo l1  l2
Proposiciones
1.- l1  l2 Hipótesis temporal
2.-  > β Por ser exterior al ΔABP
Contradice la hipótesis, entonces, l1  l2

La tesis es verdadera
Luego, el Teorema directo es verdadero

A


B

β

P

l1

l2

Teorema: Dos rectas l1 y l2 cortadas por una secante s forman ángulos
alternos internos iguales si y sólo sí son paralelas.
s
Teorema recíproco
() Hipótesis
s corta a l1 y l2
l1
l1  l2



Tesis
β

β

l2

Por reducción al absurdo  ≠ β   > β ó  < β
Caso 1:  > β
1.- θ  β
Por construcción
2.- Si θ  β  t  l2 Si los ángulos alternos

internos son congruentes las rectan secantes son
paralelas

t

3.- l1  l2 y t  l2 pasan por A
Esto contradice el Axioma del paralelismo de
Euclides. Por un punto dado, que no esté en
una recta dada, se puede hacer pasar
cuando más una paralela a la recta dada
En consecuencia  > β

s

l1

θ

.
A

β

l2

Caso 2:  > β: El procedimiento es igual y en consecuencia  > β
Por tanto, si  ≠ β    β
Luego, el Teorema reciproco es verdadero
EN CONCLUSIÓN: El teorema: Dos rectas l1  l2 cortadas por una secante s
forman ángulos alternos internos iguales si y sólo sí son paralelas, es
verdadero

Corolario: Dos rectas cortadas por una secante forman ángulos
correspondientes iguales, alternos externos iguales y colaterales
suplementarios si y sólo si son paralelas.

s

’


β

l1
l2

1.   β por ser alternos
internos entre  s
2.   ’ por ser opuestos
por el vértice
3. ’  β sustitución de 1
en 2
4. ’  β son correspondientes
congruentes si y sólo si
las rectas son paralelas

Corolario: Dos rectas cortadas por una secante forman ángulos
correspondientes iguales, alternos externos iguales y colaterales son
suplementarios si y sólo si son paralelas.

s

2. β  β’ por ser opuestos
por el vértice

’


β’

β

1. ’  β por ser correspondientes
entre  s

l1
l2

3. ’  β sustitución de 1
en 2
4. ’  β son alternos externos
congruentes si y sólo si
las rectas son paralelas

Corolario: Dos rectas cortadas por una secante forman ángulos
correspondientes iguales, alternos externos iguales y colaterales son
suplementarios si y sólo si son paralelas.

s
λ


β’

λ’

2. ’  λ son suplementarios

’
β

1. ’  β’ son alternos externos
congruentes si y sólo si
las rectas son paralelas

l1

l2

3. β’  λ’ son suplementarios
4. β’  λ son colaterales suplementarios
si y sólo si las rectas son paralelas
Sustitución de 1 en 2
5. ’  λ’ son colaterales suplementarios
si y sólo si las rectas son paralelas
Sustitución de 1 en 3

Teorema: La suma de los ángulos internos de un triángulo 180.
Hipótesis
, β y  son s interiores del ΔABC
A

Tesis
 + β +  = 180


β

Proposiciones

l

B

1.- AB  l
2.-   θ
3.- CD es la prolongación de BC
4.- β  
5.-  + θ +  = 180
5.-  + β +  = 180



θ
C



.D

Por construcción
s alternos internos entre ∥s
Por construcción
s correspondientes entre ∥s
Suma de s. Def. de  llano
Sustitución de 2 y 3 en 4

La tesis es verdadera

En conclusión el Teorema: La suma de los ángulos internos de un
triángulo 180, es verdadero

Corolario: Todo ángulo exterior a un triángulo es igual a la suma de
los otros 2 ángulos interiores no adyacentes a él.

l

A

β






β

+ β = 

B
C
Corolario : Cada ángulo de un triángulo equilátero mide 60.
A
+ β +  = 180
 = β = = 60


B

β



C
Corolario : Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son
complementarios.
+ β + 90 = 180
+ β = 90




CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Un triángulo rectángulo es congruente a otro si tienen congruente:
a.- Los catetos. ALA
Criterio A.L.A.

b, Un ángulo y cualquier lado (Cateto)

Criterio A.L.A.

c.- Un cateto y la hipotenusa
4to Criterio

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Este tema fue realizado con apoyo en las siguientes bibliografías:
‒

DURÁN, Darío. 2003. La geometría Euclidiana. Maracaibo: Astro Data.

‒

PETER, B. G.;DARREL, P. (1998). Geometría. (3a ed.). México:
Thomson Editores S.A.

‒

HEMMERLING, Ee. (2002). Geometría Elemenyal. (6ª ed). Mexico:Limusa


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PARALELISMO
Definición
Rectas Paralelas. : Dos rectas l y t son paralelas si y sólo si son
coplanares y no se intersectan
Notación: l ‖t se lee: la recta l es paralela a t

l

t

Dos rectas que están en un mismo plano son paralelas
o se cortan.
La recta l no es paralela y no se corta con la recta t
por estar en planos diferentes

Definición: dos planos  y  son paralelos si su intersección es el
conjunto nulo.



Una recta l y un plano  son paralelos si su intersección es el
conjunto nulo.

l


Definición: Dos rectas son perpendiculares si se interceptan para formar
ángulos adyacentes congruentes.

l

m

Axioma del Paralelismo de Euclides: Por un punto dado, que no esté
en una recta dada, se puede hacer pasar cuando más una paralela a
la recta dada.

.

l
m

Teorema: Dos rectas Coplanares l1 y l2 perpendiculares a una misma
recta t, son paralelas entre sí.
Hipótesis
t
l1  t
l2  t
l1
Tesis
l1  l2

l2

Demostración por reducción al absurdo l1  l2
l1 y l2 se cortan en P, esto
contradice el teorema que
dice: Por un punto P puede
pasar una y sólo una
perpendicular a una recta
dada.
Luego; l1  l2

t

P

.

l2
l1

En conclusión el Teorema: Dos rectas Coplanares l1 y l2 perpendiculares a una
misma recta t, son paralelas entre sí, es verdadero.

Definición
Recta Transversal o Secante: Es la recta que corta dos o más
rectas.
1 2
3 4

l1

5 6
7 8
t

Ángulos interiores 3 y 4, 5 y 6
Ángulos exteriores 1 y 2, 7 y 8
Ángulos Alternos internos 3 y 6, 4 y 5
Ángulos Alternos externos 1 y 8, 2 y 7
Ángulos Correspondientes 1 y 5, 2 y 6, 3 y 7, 4 y 8.
Ángulos colaterales o conjugados 1 y 7, 2 y 8, 3 y 5, 4 y 6

l2

Teorema: Dos rectas l1 y l2 cortadas por una secante s forman
ángulos alternos internos iguales si y sólo sí son paralelas.
Teorema directo
s

() Hipótesis
s corta a l1 y l2
β

l1



Tesis

β

l2

l1  l2

s

Por reducción al absurdo l1  l2
Proposiciones
1.- l1  l2 Hipótesis temporal
2.-  > β Por ser exterior al ΔABP
Contradice la hipótesis, entonces, l1  l2

La tesis es verdadera
Luego, el Teorema directo es verdadero

A


B

β

P

l1

l2

Teorema: Dos rectas l1 y l2 cortadas por una secante s forman ángulos
alternos internos iguales si y sólo sí son paralelas.
s
Teorema recíproco
() Hipótesis
s corta a l1 y l2
l1
l1  l2



Tesis
β

β

l2

Por reducción al absurdo  ≠ β   > β ó  < β
Caso 1:  > β
1.- θ  β
Por construcción
2.- Si θ  β  t  l2 Si los ángulos alternos

internos son congruentes las rectan secantes son
paralelas

t

3.- l1  l2 y t  l2 pasan por A
Esto contradice el Axioma del paralelismo de
Euclides. Por un punto dado, que no esté en
una recta dada, se puede hacer pasar
cuando más una paralela a la recta dada
En consecuencia  > β

s

l1

θ

.
A

β

l2

Caso 2:  > β: El procedimiento es igual y en consecuencia  > β
Por tanto, si  ≠ β    β
Luego, el Teorema reciproco es verdadero
EN CONCLUSIÓN: El teorema: Dos rectas l1  l2 cortadas por una secante s
forman ángulos alternos internos iguales si y sólo sí son paralelas, es
verdadero

Corolario: Dos rectas cortadas por una secante forman ángulos
correspondientes iguales, alternos externos iguales y colaterales
suplementarios si y sólo si son paralelas.

s

’


β

l1
l2

1.   β por ser alternos
internos entre  s
2.   ’ por ser opuestos
por el vértice
3. ’  β sustitución de 1
en 2
4. ’  β son correspondientes
congruentes si y sólo si
las rectas son paralelas

Corolario: Dos rectas cortadas por una secante forman ángulos
correspondientes iguales, alternos externos iguales y colaterales son
suplementarios si y sólo si son paralelas.

s

2. β  β’ por ser opuestos
por el vértice

’


β’

β

1. ’  β por ser correspondientes
entre  s

l1
l2

3. ’  β sustitución de 1
en 2
4. ’  β son alternos externos
congruentes si y sólo si
las rectas son paralelas

Corolario: Dos rectas cortadas por una secante forman ángulos
correspondientes iguales, alternos externos iguales y colaterales son
suplementarios si y sólo si son paralelas.

s
λ


β’

λ’

2. ’  λ son suplementarios

’
β

1. ’  β’ son alternos externos
congruentes si y sólo si
las rectas son paralelas

l1

l2

3. β’  λ’ son suplementarios
4. β’  λ son colaterales suplementarios
si y sólo si las rectas son paralelas
Sustitución de 1 en 2
5. ’  λ’ son colaterales suplementarios
si y sólo si las rectas son paralelas
Sustitución de 1 en 3

Teorema: La suma de los ángulos internos de un triángulo 180.
Hipótesis
, β y  son s interiores del ΔABC
A

Tesis
 + β +  = 180


β

Proposiciones

l

B

1.- AB  l
2.-   θ
3.- CD es la prolongación de BC
4.- β  
5.-  + θ +  = 180
5.-  + β +  = 180



θ
C



.D

Por construcción
s alternos internos entre ∥s
Por construcción
s correspondientes entre ∥s
Suma de s. Def. de  llano
Sustitución de 2 y 3 en 4

La tesis es verdadera

En conclusión el Teorema: La suma de los ángulos internos de un
triángulo 180, es verdadero

Corolario: Todo ángulo exterior a un triángulo es igual a la suma de
los otros 2 ángulos interiores no adyacentes a él.

l

A

β






β

+ β = 

B
C
Corolario : Cada ángulo de un triángulo equilátero mide 60.
A
+ β +  = 180
 = β = = 60


B

β



C
Corolario : Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son
complementarios.
+ β + 90 = 180
+ β = 90




CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Un triángulo rectángulo es congruente a otro si tienen congruente:
a.- Los catetos. ALA
Criterio A.L.A.

b, Un ángulo y cualquier lado (Cateto)

Criterio A.L.A.

c.- Un cateto y la hipotenusa
4to Criterio

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Este tema fue realizado con apoyo en las siguientes bibliografías:
‒

DURÁN, Darío. 2003. La geometría Euclidiana. Maracaibo: Astro Data.

‒

PETER, B. G.;DARREL, P. (1998). Geometría. (3a ed.). México:
Thomson Editores S.A.

‒

HEMMERLING, Ee. (2002). Geometría Elemenyal. (6ª ed). Mexico:Limusa


Slide 8

PARALELISMO
Definición
Rectas Paralelas. : Dos rectas l y t son paralelas si y sólo si son
coplanares y no se intersectan
Notación: l ‖t se lee: la recta l es paralela a t

l

t

Dos rectas que están en un mismo plano son paralelas
o se cortan.
La recta l no es paralela y no se corta con la recta t
por estar en planos diferentes

Definición: dos planos  y  son paralelos si su intersección es el
conjunto nulo.



Una recta l y un plano  son paralelos si su intersección es el
conjunto nulo.

l


Definición: Dos rectas son perpendiculares si se interceptan para formar
ángulos adyacentes congruentes.

l

m

Axioma del Paralelismo de Euclides: Por un punto dado, que no esté
en una recta dada, se puede hacer pasar cuando más una paralela a
la recta dada.

.

l
m

Teorema: Dos rectas Coplanares l1 y l2 perpendiculares a una misma
recta t, son paralelas entre sí.
Hipótesis
t
l1  t
l2  t
l1
Tesis
l1  l2

l2

Demostración por reducción al absurdo l1  l2
l1 y l2 se cortan en P, esto
contradice el teorema que
dice: Por un punto P puede
pasar una y sólo una
perpendicular a una recta
dada.
Luego; l1  l2

t

P

.

l2
l1

En conclusión el Teorema: Dos rectas Coplanares l1 y l2 perpendiculares a una
misma recta t, son paralelas entre sí, es verdadero.

Definición
Recta Transversal o Secante: Es la recta que corta dos o más
rectas.
1 2
3 4

l1

5 6
7 8
t

Ángulos interiores 3 y 4, 5 y 6
Ángulos exteriores 1 y 2, 7 y 8
Ángulos Alternos internos 3 y 6, 4 y 5
Ángulos Alternos externos 1 y 8, 2 y 7
Ángulos Correspondientes 1 y 5, 2 y 6, 3 y 7, 4 y 8.
Ángulos colaterales o conjugados 1 y 7, 2 y 8, 3 y 5, 4 y 6

l2

Teorema: Dos rectas l1 y l2 cortadas por una secante s forman
ángulos alternos internos iguales si y sólo sí son paralelas.
Teorema directo
s

() Hipótesis
s corta a l1 y l2
β

l1



Tesis

β

l2

l1  l2

s

Por reducción al absurdo l1  l2
Proposiciones
1.- l1  l2 Hipótesis temporal
2.-  > β Por ser exterior al ΔABP
Contradice la hipótesis, entonces, l1  l2

La tesis es verdadera
Luego, el Teorema directo es verdadero

A


B

β

P

l1

l2

Teorema: Dos rectas l1 y l2 cortadas por una secante s forman ángulos
alternos internos iguales si y sólo sí son paralelas.
s
Teorema recíproco
() Hipótesis
s corta a l1 y l2
l1
l1  l2



Tesis
β

β

l2

Por reducción al absurdo  ≠ β   > β ó  < β
Caso 1:  > β
1.- θ  β
Por construcción
2.- Si θ  β  t  l2 Si los ángulos alternos

internos son congruentes las rectan secantes son
paralelas

t

3.- l1  l2 y t  l2 pasan por A
Esto contradice el Axioma del paralelismo de
Euclides. Por un punto dado, que no esté en
una recta dada, se puede hacer pasar
cuando más una paralela a la recta dada
En consecuencia  > β

s

l1

θ

.
A

β

l2

Caso 2:  > β: El procedimiento es igual y en consecuencia  > β
Por tanto, si  ≠ β    β
Luego, el Teorema reciproco es verdadero
EN CONCLUSIÓN: El teorema: Dos rectas l1  l2 cortadas por una secante s
forman ángulos alternos internos iguales si y sólo sí son paralelas, es
verdadero

Corolario: Dos rectas cortadas por una secante forman ángulos
correspondientes iguales, alternos externos iguales y colaterales
suplementarios si y sólo si son paralelas.

s

’


β

l1
l2

1.   β por ser alternos
internos entre  s
2.   ’ por ser opuestos
por el vértice
3. ’  β sustitución de 1
en 2
4. ’  β son correspondientes
congruentes si y sólo si
las rectas son paralelas

Corolario: Dos rectas cortadas por una secante forman ángulos
correspondientes iguales, alternos externos iguales y colaterales son
suplementarios si y sólo si son paralelas.

s

2. β  β’ por ser opuestos
por el vértice

’


β’

β

1. ’  β por ser correspondientes
entre  s

l1
l2

3. ’  β sustitución de 1
en 2
4. ’  β son alternos externos
congruentes si y sólo si
las rectas son paralelas

Corolario: Dos rectas cortadas por una secante forman ángulos
correspondientes iguales, alternos externos iguales y colaterales son
suplementarios si y sólo si son paralelas.

s
λ


β’

λ’

2. ’  λ son suplementarios

’
β

1. ’  β’ son alternos externos
congruentes si y sólo si
las rectas son paralelas

l1

l2

3. β’  λ’ son suplementarios
4. β’  λ son colaterales suplementarios
si y sólo si las rectas son paralelas
Sustitución de 1 en 2
5. ’  λ’ son colaterales suplementarios
si y sólo si las rectas son paralelas
Sustitución de 1 en 3

Teorema: La suma de los ángulos internos de un triángulo 180.
Hipótesis
, β y  son s interiores del ΔABC
A

Tesis
 + β +  = 180


β

Proposiciones

l

B

1.- AB  l
2.-   θ
3.- CD es la prolongación de BC
4.- β  
5.-  + θ +  = 180
5.-  + β +  = 180



θ
C



.D

Por construcción
s alternos internos entre ∥s
Por construcción
s correspondientes entre ∥s
Suma de s. Def. de  llano
Sustitución de 2 y 3 en 4

La tesis es verdadera

En conclusión el Teorema: La suma de los ángulos internos de un
triángulo 180, es verdadero

Corolario: Todo ángulo exterior a un triángulo es igual a la suma de
los otros 2 ángulos interiores no adyacentes a él.

l

A

β






β

+ β = 

B
C
Corolario : Cada ángulo de un triángulo equilátero mide 60.
A
+ β +  = 180
 = β = = 60


B

β



C
Corolario : Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son
complementarios.
+ β + 90 = 180
+ β = 90




CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Un triángulo rectángulo es congruente a otro si tienen congruente:
a.- Los catetos. ALA
Criterio A.L.A.

b, Un ángulo y cualquier lado (Cateto)

Criterio A.L.A.

c.- Un cateto y la hipotenusa
4to Criterio

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Este tema fue realizado con apoyo en las siguientes bibliografías:
‒

DURÁN, Darío. 2003. La geometría Euclidiana. Maracaibo: Astro Data.

‒

PETER, B. G.;DARREL, P. (1998). Geometría. (3a ed.). México:
Thomson Editores S.A.

‒

HEMMERLING, Ee. (2002). Geometría Elemenyal. (6ª ed). Mexico:Limusa


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PARALELISMO
Definición
Rectas Paralelas. : Dos rectas l y t son paralelas si y sólo si son
coplanares y no se intersectan
Notación: l ‖t se lee: la recta l es paralela a t

l

t

Dos rectas que están en un mismo plano son paralelas
o se cortan.
La recta l no es paralela y no se corta con la recta t
por estar en planos diferentes

Definición: dos planos  y  son paralelos si su intersección es el
conjunto nulo.



Una recta l y un plano  son paralelos si su intersección es el
conjunto nulo.

l


Definición: Dos rectas son perpendiculares si se interceptan para formar
ángulos adyacentes congruentes.

l

m

Axioma del Paralelismo de Euclides: Por un punto dado, que no esté
en una recta dada, se puede hacer pasar cuando más una paralela a
la recta dada.

.

l
m

Teorema: Dos rectas Coplanares l1 y l2 perpendiculares a una misma
recta t, son paralelas entre sí.
Hipótesis
t
l1  t
l2  t
l1
Tesis
l1  l2

l2

Demostración por reducción al absurdo l1  l2
l1 y l2 se cortan en P, esto
contradice el teorema que
dice: Por un punto P puede
pasar una y sólo una
perpendicular a una recta
dada.
Luego; l1  l2

t

P

.

l2
l1

En conclusión el Teorema: Dos rectas Coplanares l1 y l2 perpendiculares a una
misma recta t, son paralelas entre sí, es verdadero.

Definición
Recta Transversal o Secante: Es la recta que corta dos o más
rectas.
1 2
3 4

l1

5 6
7 8
t

Ángulos interiores 3 y 4, 5 y 6
Ángulos exteriores 1 y 2, 7 y 8
Ángulos Alternos internos 3 y 6, 4 y 5
Ángulos Alternos externos 1 y 8, 2 y 7
Ángulos Correspondientes 1 y 5, 2 y 6, 3 y 7, 4 y 8.
Ángulos colaterales o conjugados 1 y 7, 2 y 8, 3 y 5, 4 y 6

l2

Teorema: Dos rectas l1 y l2 cortadas por una secante s forman
ángulos alternos internos iguales si y sólo sí son paralelas.
Teorema directo
s

() Hipótesis
s corta a l1 y l2
β

l1



Tesis

β

l2

l1  l2

s

Por reducción al absurdo l1  l2
Proposiciones
1.- l1  l2 Hipótesis temporal
2.-  > β Por ser exterior al ΔABP
Contradice la hipótesis, entonces, l1  l2

La tesis es verdadera
Luego, el Teorema directo es verdadero

A


B

β

P

l1

l2

Teorema: Dos rectas l1 y l2 cortadas por una secante s forman ángulos
alternos internos iguales si y sólo sí son paralelas.
s
Teorema recíproco
() Hipótesis
s corta a l1 y l2
l1
l1  l2



Tesis
β

β

l2

Por reducción al absurdo  ≠ β   > β ó  < β
Caso 1:  > β
1.- θ  β
Por construcción
2.- Si θ  β  t  l2 Si los ángulos alternos

internos son congruentes las rectan secantes son
paralelas

t

3.- l1  l2 y t  l2 pasan por A
Esto contradice el Axioma del paralelismo de
Euclides. Por un punto dado, que no esté en
una recta dada, se puede hacer pasar
cuando más una paralela a la recta dada
En consecuencia  > β

s

l1

θ

.
A

β

l2

Caso 2:  > β: El procedimiento es igual y en consecuencia  > β
Por tanto, si  ≠ β    β
Luego, el Teorema reciproco es verdadero
EN CONCLUSIÓN: El teorema: Dos rectas l1  l2 cortadas por una secante s
forman ángulos alternos internos iguales si y sólo sí son paralelas, es
verdadero

Corolario: Dos rectas cortadas por una secante forman ángulos
correspondientes iguales, alternos externos iguales y colaterales
suplementarios si y sólo si son paralelas.

s

’


β

l1
l2

1.   β por ser alternos
internos entre  s
2.   ’ por ser opuestos
por el vértice
3. ’  β sustitución de 1
en 2
4. ’  β son correspondientes
congruentes si y sólo si
las rectas son paralelas

Corolario: Dos rectas cortadas por una secante forman ángulos
correspondientes iguales, alternos externos iguales y colaterales son
suplementarios si y sólo si son paralelas.

s

2. β  β’ por ser opuestos
por el vértice

’


β’

β

1. ’  β por ser correspondientes
entre  s

l1
l2

3. ’  β sustitución de 1
en 2
4. ’  β son alternos externos
congruentes si y sólo si
las rectas son paralelas

Corolario: Dos rectas cortadas por una secante forman ángulos
correspondientes iguales, alternos externos iguales y colaterales son
suplementarios si y sólo si son paralelas.

s
λ


β’

λ’

2. ’  λ son suplementarios

’
β

1. ’  β’ son alternos externos
congruentes si y sólo si
las rectas son paralelas

l1

l2

3. β’  λ’ son suplementarios
4. β’  λ son colaterales suplementarios
si y sólo si las rectas son paralelas
Sustitución de 1 en 2
5. ’  λ’ son colaterales suplementarios
si y sólo si las rectas son paralelas
Sustitución de 1 en 3

Teorema: La suma de los ángulos internos de un triángulo 180.
Hipótesis
, β y  son s interiores del ΔABC
A

Tesis
 + β +  = 180


β

Proposiciones

l

B

1.- AB  l
2.-   θ
3.- CD es la prolongación de BC
4.- β  
5.-  + θ +  = 180
5.-  + β +  = 180



θ
C



.D

Por construcción
s alternos internos entre ∥s
Por construcción
s correspondientes entre ∥s
Suma de s. Def. de  llano
Sustitución de 2 y 3 en 4

La tesis es verdadera

En conclusión el Teorema: La suma de los ángulos internos de un
triángulo 180, es verdadero

Corolario: Todo ángulo exterior a un triángulo es igual a la suma de
los otros 2 ángulos interiores no adyacentes a él.

l

A

β






β

+ β = 

B
C
Corolario : Cada ángulo de un triángulo equilátero mide 60.
A
+ β +  = 180
 = β = = 60


B

β



C
Corolario : Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son
complementarios.
+ β + 90 = 180
+ β = 90




CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Un triángulo rectángulo es congruente a otro si tienen congruente:
a.- Los catetos. ALA
Criterio A.L.A.

b, Un ángulo y cualquier lado (Cateto)

Criterio A.L.A.

c.- Un cateto y la hipotenusa
4to Criterio

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Este tema fue realizado con apoyo en las siguientes bibliografías:
‒

DURÁN, Darío. 2003. La geometría Euclidiana. Maracaibo: Astro Data.

‒

PETER, B. G.;DARREL, P. (1998). Geometría. (3a ed.). México:
Thomson Editores S.A.

‒

HEMMERLING, Ee. (2002). Geometría Elemenyal. (6ª ed). Mexico:Limusa


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PARALELISMO
Definición
Rectas Paralelas. : Dos rectas l y t son paralelas si y sólo si son
coplanares y no se intersectan
Notación: l ‖t se lee: la recta l es paralela a t

l

t

Dos rectas que están en un mismo plano son paralelas
o se cortan.
La recta l no es paralela y no se corta con la recta t
por estar en planos diferentes

Definición: dos planos  y  son paralelos si su intersección es el
conjunto nulo.



Una recta l y un plano  son paralelos si su intersección es el
conjunto nulo.

l


Definición: Dos rectas son perpendiculares si se interceptan para formar
ángulos adyacentes congruentes.

l

m

Axioma del Paralelismo de Euclides: Por un punto dado, que no esté
en una recta dada, se puede hacer pasar cuando más una paralela a
la recta dada.

.

l
m

Teorema: Dos rectas Coplanares l1 y l2 perpendiculares a una misma
recta t, son paralelas entre sí.
Hipótesis
t
l1  t
l2  t
l1
Tesis
l1  l2

l2

Demostración por reducción al absurdo l1  l2
l1 y l2 se cortan en P, esto
contradice el teorema que
dice: Por un punto P puede
pasar una y sólo una
perpendicular a una recta
dada.
Luego; l1  l2

t

P

.

l2
l1

En conclusión el Teorema: Dos rectas Coplanares l1 y l2 perpendiculares a una
misma recta t, son paralelas entre sí, es verdadero.

Definición
Recta Transversal o Secante: Es la recta que corta dos o más
rectas.
1 2
3 4

l1

5 6
7 8
t

Ángulos interiores 3 y 4, 5 y 6
Ángulos exteriores 1 y 2, 7 y 8
Ángulos Alternos internos 3 y 6, 4 y 5
Ángulos Alternos externos 1 y 8, 2 y 7
Ángulos Correspondientes 1 y 5, 2 y 6, 3 y 7, 4 y 8.
Ángulos colaterales o conjugados 1 y 7, 2 y 8, 3 y 5, 4 y 6

l2

Teorema: Dos rectas l1 y l2 cortadas por una secante s forman
ángulos alternos internos iguales si y sólo sí son paralelas.
Teorema directo
s

() Hipótesis
s corta a l1 y l2
β

l1



Tesis

β

l2

l1  l2

s

Por reducción al absurdo l1  l2
Proposiciones
1.- l1  l2 Hipótesis temporal
2.-  > β Por ser exterior al ΔABP
Contradice la hipótesis, entonces, l1  l2

La tesis es verdadera
Luego, el Teorema directo es verdadero

A


B

β

P

l1

l2

Teorema: Dos rectas l1 y l2 cortadas por una secante s forman ángulos
alternos internos iguales si y sólo sí son paralelas.
s
Teorema recíproco
() Hipótesis
s corta a l1 y l2
l1
l1  l2



Tesis
β

β

l2

Por reducción al absurdo  ≠ β   > β ó  < β
Caso 1:  > β
1.- θ  β
Por construcción
2.- Si θ  β  t  l2 Si los ángulos alternos

internos son congruentes las rectan secantes son
paralelas

t

3.- l1  l2 y t  l2 pasan por A
Esto contradice el Axioma del paralelismo de
Euclides. Por un punto dado, que no esté en
una recta dada, se puede hacer pasar
cuando más una paralela a la recta dada
En consecuencia  > β

s

l1

θ

.
A

β

l2

Caso 2:  > β: El procedimiento es igual y en consecuencia  > β
Por tanto, si  ≠ β    β
Luego, el Teorema reciproco es verdadero
EN CONCLUSIÓN: El teorema: Dos rectas l1  l2 cortadas por una secante s
forman ángulos alternos internos iguales si y sólo sí son paralelas, es
verdadero

Corolario: Dos rectas cortadas por una secante forman ángulos
correspondientes iguales, alternos externos iguales y colaterales
suplementarios si y sólo si son paralelas.

s

’


β

l1
l2

1.   β por ser alternos
internos entre  s
2.   ’ por ser opuestos
por el vértice
3. ’  β sustitución de 1
en 2
4. ’  β son correspondientes
congruentes si y sólo si
las rectas son paralelas

Corolario: Dos rectas cortadas por una secante forman ángulos
correspondientes iguales, alternos externos iguales y colaterales son
suplementarios si y sólo si son paralelas.

s

2. β  β’ por ser opuestos
por el vértice

’


β’

β

1. ’  β por ser correspondientes
entre  s

l1
l2

3. ’  β sustitución de 1
en 2
4. ’  β son alternos externos
congruentes si y sólo si
las rectas son paralelas

Corolario: Dos rectas cortadas por una secante forman ángulos
correspondientes iguales, alternos externos iguales y colaterales son
suplementarios si y sólo si son paralelas.

s
λ


β’

λ’

2. ’  λ son suplementarios

’
β

1. ’  β’ son alternos externos
congruentes si y sólo si
las rectas son paralelas

l1

l2

3. β’  λ’ son suplementarios
4. β’  λ son colaterales suplementarios
si y sólo si las rectas son paralelas
Sustitución de 1 en 2
5. ’  λ’ son colaterales suplementarios
si y sólo si las rectas son paralelas
Sustitución de 1 en 3

Teorema: La suma de los ángulos internos de un triángulo 180.
Hipótesis
, β y  son s interiores del ΔABC
A

Tesis
 + β +  = 180


β

Proposiciones

l

B

1.- AB  l
2.-   θ
3.- CD es la prolongación de BC
4.- β  
5.-  + θ +  = 180
5.-  + β +  = 180



θ
C



.D

Por construcción
s alternos internos entre ∥s
Por construcción
s correspondientes entre ∥s
Suma de s. Def. de  llano
Sustitución de 2 y 3 en 4

La tesis es verdadera

En conclusión el Teorema: La suma de los ángulos internos de un
triángulo 180, es verdadero

Corolario: Todo ángulo exterior a un triángulo es igual a la suma de
los otros 2 ángulos interiores no adyacentes a él.

l

A

β






β

+ β = 

B
C
Corolario : Cada ángulo de un triángulo equilátero mide 60.
A
+ β +  = 180
 = β = = 60


B

β



C
Corolario : Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son
complementarios.
+ β + 90 = 180
+ β = 90




CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Un triángulo rectángulo es congruente a otro si tienen congruente:
a.- Los catetos. ALA
Criterio A.L.A.

b, Un ángulo y cualquier lado (Cateto)

Criterio A.L.A.

c.- Un cateto y la hipotenusa
4to Criterio

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Este tema fue realizado con apoyo en las siguientes bibliografías:
‒

DURÁN, Darío. 2003. La geometría Euclidiana. Maracaibo: Astro Data.

‒

PETER, B. G.;DARREL, P. (1998). Geometría. (3a ed.). México:
Thomson Editores S.A.

‒

HEMMERLING, Ee. (2002). Geometría Elemenyal. (6ª ed). Mexico:Limusa


Slide 11

PARALELISMO
Definición
Rectas Paralelas. : Dos rectas l y t son paralelas si y sólo si son
coplanares y no se intersectan
Notación: l ‖t se lee: la recta l es paralela a t

l

t

Dos rectas que están en un mismo plano son paralelas
o se cortan.
La recta l no es paralela y no se corta con la recta t
por estar en planos diferentes

Definición: dos planos  y  son paralelos si su intersección es el
conjunto nulo.



Una recta l y un plano  son paralelos si su intersección es el
conjunto nulo.

l


Definición: Dos rectas son perpendiculares si se interceptan para formar
ángulos adyacentes congruentes.

l

m

Axioma del Paralelismo de Euclides: Por un punto dado, que no esté
en una recta dada, se puede hacer pasar cuando más una paralela a
la recta dada.

.

l
m

Teorema: Dos rectas Coplanares l1 y l2 perpendiculares a una misma
recta t, son paralelas entre sí.
Hipótesis
t
l1  t
l2  t
l1
Tesis
l1  l2

l2

Demostración por reducción al absurdo l1  l2
l1 y l2 se cortan en P, esto
contradice el teorema que
dice: Por un punto P puede
pasar una y sólo una
perpendicular a una recta
dada.
Luego; l1  l2

t

P

.

l2
l1

En conclusión el Teorema: Dos rectas Coplanares l1 y l2 perpendiculares a una
misma recta t, son paralelas entre sí, es verdadero.

Definición
Recta Transversal o Secante: Es la recta que corta dos o más
rectas.
1 2
3 4

l1

5 6
7 8
t

Ángulos interiores 3 y 4, 5 y 6
Ángulos exteriores 1 y 2, 7 y 8
Ángulos Alternos internos 3 y 6, 4 y 5
Ángulos Alternos externos 1 y 8, 2 y 7
Ángulos Correspondientes 1 y 5, 2 y 6, 3 y 7, 4 y 8.
Ángulos colaterales o conjugados 1 y 7, 2 y 8, 3 y 5, 4 y 6

l2

Teorema: Dos rectas l1 y l2 cortadas por una secante s forman
ángulos alternos internos iguales si y sólo sí son paralelas.
Teorema directo
s

() Hipótesis
s corta a l1 y l2
β

l1



Tesis

β

l2

l1  l2

s

Por reducción al absurdo l1  l2
Proposiciones
1.- l1  l2 Hipótesis temporal
2.-  > β Por ser exterior al ΔABP
Contradice la hipótesis, entonces, l1  l2

La tesis es verdadera
Luego, el Teorema directo es verdadero

A


B

β

P

l1

l2

Teorema: Dos rectas l1 y l2 cortadas por una secante s forman ángulos
alternos internos iguales si y sólo sí son paralelas.
s
Teorema recíproco
() Hipótesis
s corta a l1 y l2
l1
l1  l2



Tesis
β

β

l2

Por reducción al absurdo  ≠ β   > β ó  < β
Caso 1:  > β
1.- θ  β
Por construcción
2.- Si θ  β  t  l2 Si los ángulos alternos

internos son congruentes las rectan secantes son
paralelas

t

3.- l1  l2 y t  l2 pasan por A
Esto contradice el Axioma del paralelismo de
Euclides. Por un punto dado, que no esté en
una recta dada, se puede hacer pasar
cuando más una paralela a la recta dada
En consecuencia  > β

s

l1

θ

.
A

β

l2

Caso 2:  > β: El procedimiento es igual y en consecuencia  > β
Por tanto, si  ≠ β    β
Luego, el Teorema reciproco es verdadero
EN CONCLUSIÓN: El teorema: Dos rectas l1  l2 cortadas por una secante s
forman ángulos alternos internos iguales si y sólo sí son paralelas, es
verdadero

Corolario: Dos rectas cortadas por una secante forman ángulos
correspondientes iguales, alternos externos iguales y colaterales
suplementarios si y sólo si son paralelas.

s

’


β

l1
l2

1.   β por ser alternos
internos entre  s
2.   ’ por ser opuestos
por el vértice
3. ’  β sustitución de 1
en 2
4. ’  β son correspondientes
congruentes si y sólo si
las rectas son paralelas

Corolario: Dos rectas cortadas por una secante forman ángulos
correspondientes iguales, alternos externos iguales y colaterales son
suplementarios si y sólo si son paralelas.

s

2. β  β’ por ser opuestos
por el vértice

’


β’

β

1. ’  β por ser correspondientes
entre  s

l1
l2

3. ’  β sustitución de 1
en 2
4. ’  β son alternos externos
congruentes si y sólo si
las rectas son paralelas

Corolario: Dos rectas cortadas por una secante forman ángulos
correspondientes iguales, alternos externos iguales y colaterales son
suplementarios si y sólo si son paralelas.

s
λ


β’

λ’

2. ’  λ son suplementarios

’
β

1. ’  β’ son alternos externos
congruentes si y sólo si
las rectas son paralelas

l1

l2

3. β’  λ’ son suplementarios
4. β’  λ son colaterales suplementarios
si y sólo si las rectas son paralelas
Sustitución de 1 en 2
5. ’  λ’ son colaterales suplementarios
si y sólo si las rectas son paralelas
Sustitución de 1 en 3

Teorema: La suma de los ángulos internos de un triángulo 180.
Hipótesis
, β y  son s interiores del ΔABC
A

Tesis
 + β +  = 180


β

Proposiciones

l

B

1.- AB  l
2.-   θ
3.- CD es la prolongación de BC
4.- β  
5.-  + θ +  = 180
5.-  + β +  = 180



θ
C



.D

Por construcción
s alternos internos entre ∥s
Por construcción
s correspondientes entre ∥s
Suma de s. Def. de  llano
Sustitución de 2 y 3 en 4

La tesis es verdadera

En conclusión el Teorema: La suma de los ángulos internos de un
triángulo 180, es verdadero

Corolario: Todo ángulo exterior a un triángulo es igual a la suma de
los otros 2 ángulos interiores no adyacentes a él.

l

A

β






β

+ β = 

B
C
Corolario : Cada ángulo de un triángulo equilátero mide 60.
A
+ β +  = 180
 = β = = 60


B

β



C
Corolario : Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son
complementarios.
+ β + 90 = 180
+ β = 90




CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Un triángulo rectángulo es congruente a otro si tienen congruente:
a.- Los catetos. ALA
Criterio A.L.A.

b, Un ángulo y cualquier lado (Cateto)

Criterio A.L.A.

c.- Un cateto y la hipotenusa
4to Criterio

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Este tema fue realizado con apoyo en las siguientes bibliografías:
‒

DURÁN, Darío. 2003. La geometría Euclidiana. Maracaibo: Astro Data.

‒

PETER, B. G.;DARREL, P. (1998). Geometría. (3a ed.). México:
Thomson Editores S.A.

‒

HEMMERLING, Ee. (2002). Geometría Elemenyal. (6ª ed). Mexico:Limusa


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PARALELISMO
Definición
Rectas Paralelas. : Dos rectas l y t son paralelas si y sólo si son
coplanares y no se intersectan
Notación: l ‖t se lee: la recta l es paralela a t

l

t

Dos rectas que están en un mismo plano son paralelas
o se cortan.
La recta l no es paralela y no se corta con la recta t
por estar en planos diferentes

Definición: dos planos  y  son paralelos si su intersección es el
conjunto nulo.



Una recta l y un plano  son paralelos si su intersección es el
conjunto nulo.

l


Definición: Dos rectas son perpendiculares si se interceptan para formar
ángulos adyacentes congruentes.

l

m

Axioma del Paralelismo de Euclides: Por un punto dado, que no esté
en una recta dada, se puede hacer pasar cuando más una paralela a
la recta dada.

.

l
m

Teorema: Dos rectas Coplanares l1 y l2 perpendiculares a una misma
recta t, son paralelas entre sí.
Hipótesis
t
l1  t
l2  t
l1
Tesis
l1  l2

l2

Demostración por reducción al absurdo l1  l2
l1 y l2 se cortan en P, esto
contradice el teorema que
dice: Por un punto P puede
pasar una y sólo una
perpendicular a una recta
dada.
Luego; l1  l2

t

P

.

l2
l1

En conclusión el Teorema: Dos rectas Coplanares l1 y l2 perpendiculares a una
misma recta t, son paralelas entre sí, es verdadero.

Definición
Recta Transversal o Secante: Es la recta que corta dos o más
rectas.
1 2
3 4

l1

5 6
7 8
t

Ángulos interiores 3 y 4, 5 y 6
Ángulos exteriores 1 y 2, 7 y 8
Ángulos Alternos internos 3 y 6, 4 y 5
Ángulos Alternos externos 1 y 8, 2 y 7
Ángulos Correspondientes 1 y 5, 2 y 6, 3 y 7, 4 y 8.
Ángulos colaterales o conjugados 1 y 7, 2 y 8, 3 y 5, 4 y 6

l2

Teorema: Dos rectas l1 y l2 cortadas por una secante s forman
ángulos alternos internos iguales si y sólo sí son paralelas.
Teorema directo
s

() Hipótesis
s corta a l1 y l2
β

l1



Tesis

β

l2

l1  l2

s

Por reducción al absurdo l1  l2
Proposiciones
1.- l1  l2 Hipótesis temporal
2.-  > β Por ser exterior al ΔABP
Contradice la hipótesis, entonces, l1  l2

La tesis es verdadera
Luego, el Teorema directo es verdadero

A


B

β

P

l1

l2

Teorema: Dos rectas l1 y l2 cortadas por una secante s forman ángulos
alternos internos iguales si y sólo sí son paralelas.
s
Teorema recíproco
() Hipótesis
s corta a l1 y l2
l1
l1  l2



Tesis
β

β

l2

Por reducción al absurdo  ≠ β   > β ó  < β
Caso 1:  > β
1.- θ  β
Por construcción
2.- Si θ  β  t  l2 Si los ángulos alternos

internos son congruentes las rectan secantes son
paralelas

t

3.- l1  l2 y t  l2 pasan por A
Esto contradice el Axioma del paralelismo de
Euclides. Por un punto dado, que no esté en
una recta dada, se puede hacer pasar
cuando más una paralela a la recta dada
En consecuencia  > β

s

l1

θ

.
A

β

l2

Caso 2:  > β: El procedimiento es igual y en consecuencia  > β
Por tanto, si  ≠ β    β
Luego, el Teorema reciproco es verdadero
EN CONCLUSIÓN: El teorema: Dos rectas l1  l2 cortadas por una secante s
forman ángulos alternos internos iguales si y sólo sí son paralelas, es
verdadero

Corolario: Dos rectas cortadas por una secante forman ángulos
correspondientes iguales, alternos externos iguales y colaterales
suplementarios si y sólo si son paralelas.

s

’


β

l1
l2

1.   β por ser alternos
internos entre  s
2.   ’ por ser opuestos
por el vértice
3. ’  β sustitución de 1
en 2
4. ’  β son correspondientes
congruentes si y sólo si
las rectas son paralelas

Corolario: Dos rectas cortadas por una secante forman ángulos
correspondientes iguales, alternos externos iguales y colaterales son
suplementarios si y sólo si son paralelas.

s

2. β  β’ por ser opuestos
por el vértice

’


β’

β

1. ’  β por ser correspondientes
entre  s

l1
l2

3. ’  β sustitución de 1
en 2
4. ’  β son alternos externos
congruentes si y sólo si
las rectas son paralelas

Corolario: Dos rectas cortadas por una secante forman ángulos
correspondientes iguales, alternos externos iguales y colaterales son
suplementarios si y sólo si son paralelas.

s
λ


β’

λ’

2. ’  λ son suplementarios

’
β

1. ’  β’ son alternos externos
congruentes si y sólo si
las rectas son paralelas

l1

l2

3. β’  λ’ son suplementarios
4. β’  λ son colaterales suplementarios
si y sólo si las rectas son paralelas
Sustitución de 1 en 2
5. ’  λ’ son colaterales suplementarios
si y sólo si las rectas son paralelas
Sustitución de 1 en 3

Teorema: La suma de los ángulos internos de un triángulo 180.
Hipótesis
, β y  son s interiores del ΔABC
A

Tesis
 + β +  = 180


β

Proposiciones

l

B

1.- AB  l
2.-   θ
3.- CD es la prolongación de BC
4.- β  
5.-  + θ +  = 180
5.-  + β +  = 180



θ
C



.D

Por construcción
s alternos internos entre ∥s
Por construcción
s correspondientes entre ∥s
Suma de s. Def. de  llano
Sustitución de 2 y 3 en 4

La tesis es verdadera

En conclusión el Teorema: La suma de los ángulos internos de un
triángulo 180, es verdadero

Corolario: Todo ángulo exterior a un triángulo es igual a la suma de
los otros 2 ángulos interiores no adyacentes a él.

l

A

β






β

+ β = 

B
C
Corolario : Cada ángulo de un triángulo equilátero mide 60.
A
+ β +  = 180
 = β = = 60


B

β



C
Corolario : Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son
complementarios.
+ β + 90 = 180
+ β = 90




CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Un triángulo rectángulo es congruente a otro si tienen congruente:
a.- Los catetos. ALA
Criterio A.L.A.

b, Un ángulo y cualquier lado (Cateto)

Criterio A.L.A.

c.- Un cateto y la hipotenusa
4to Criterio

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Este tema fue realizado con apoyo en las siguientes bibliografías:
‒

DURÁN, Darío. 2003. La geometría Euclidiana. Maracaibo: Astro Data.

‒

PETER, B. G.;DARREL, P. (1998). Geometría. (3a ed.). México:
Thomson Editores S.A.

‒

HEMMERLING, Ee. (2002). Geometría Elemenyal. (6ª ed). Mexico:Limusa


Slide 13

PARALELISMO
Definición
Rectas Paralelas. : Dos rectas l y t son paralelas si y sólo si son
coplanares y no se intersectan
Notación: l ‖t se lee: la recta l es paralela a t

l

t

Dos rectas que están en un mismo plano son paralelas
o se cortan.
La recta l no es paralela y no se corta con la recta t
por estar en planos diferentes

Definición: dos planos  y  son paralelos si su intersección es el
conjunto nulo.



Una recta l y un plano  son paralelos si su intersección es el
conjunto nulo.

l


Definición: Dos rectas son perpendiculares si se interceptan para formar
ángulos adyacentes congruentes.

l

m

Axioma del Paralelismo de Euclides: Por un punto dado, que no esté
en una recta dada, se puede hacer pasar cuando más una paralela a
la recta dada.

.

l
m

Teorema: Dos rectas Coplanares l1 y l2 perpendiculares a una misma
recta t, son paralelas entre sí.
Hipótesis
t
l1  t
l2  t
l1
Tesis
l1  l2

l2

Demostración por reducción al absurdo l1  l2
l1 y l2 se cortan en P, esto
contradice el teorema que
dice: Por un punto P puede
pasar una y sólo una
perpendicular a una recta
dada.
Luego; l1  l2

t

P

.

l2
l1

En conclusión el Teorema: Dos rectas Coplanares l1 y l2 perpendiculares a una
misma recta t, son paralelas entre sí, es verdadero.

Definición
Recta Transversal o Secante: Es la recta que corta dos o más
rectas.
1 2
3 4

l1

5 6
7 8
t

Ángulos interiores 3 y 4, 5 y 6
Ángulos exteriores 1 y 2, 7 y 8
Ángulos Alternos internos 3 y 6, 4 y 5
Ángulos Alternos externos 1 y 8, 2 y 7
Ángulos Correspondientes 1 y 5, 2 y 6, 3 y 7, 4 y 8.
Ángulos colaterales o conjugados 1 y 7, 2 y 8, 3 y 5, 4 y 6

l2

Teorema: Dos rectas l1 y l2 cortadas por una secante s forman
ángulos alternos internos iguales si y sólo sí son paralelas.
Teorema directo
s

() Hipótesis
s corta a l1 y l2
β

l1



Tesis

β

l2

l1  l2

s

Por reducción al absurdo l1  l2
Proposiciones
1.- l1  l2 Hipótesis temporal
2.-  > β Por ser exterior al ΔABP
Contradice la hipótesis, entonces, l1  l2

La tesis es verdadera
Luego, el Teorema directo es verdadero

A


B

β

P

l1

l2

Teorema: Dos rectas l1 y l2 cortadas por una secante s forman ángulos
alternos internos iguales si y sólo sí son paralelas.
s
Teorema recíproco
() Hipótesis
s corta a l1 y l2
l1
l1  l2



Tesis
β

β

l2

Por reducción al absurdo  ≠ β   > β ó  < β
Caso 1:  > β
1.- θ  β
Por construcción
2.- Si θ  β  t  l2 Si los ángulos alternos

internos son congruentes las rectan secantes son
paralelas

t

3.- l1  l2 y t  l2 pasan por A
Esto contradice el Axioma del paralelismo de
Euclides. Por un punto dado, que no esté en
una recta dada, se puede hacer pasar
cuando más una paralela a la recta dada
En consecuencia  > β

s

l1

θ

.
A

β

l2

Caso 2:  > β: El procedimiento es igual y en consecuencia  > β
Por tanto, si  ≠ β    β
Luego, el Teorema reciproco es verdadero
EN CONCLUSIÓN: El teorema: Dos rectas l1  l2 cortadas por una secante s
forman ángulos alternos internos iguales si y sólo sí son paralelas, es
verdadero

Corolario: Dos rectas cortadas por una secante forman ángulos
correspondientes iguales, alternos externos iguales y colaterales
suplementarios si y sólo si son paralelas.

s

’


β

l1
l2

1.   β por ser alternos
internos entre  s
2.   ’ por ser opuestos
por el vértice
3. ’  β sustitución de 1
en 2
4. ’  β son correspondientes
congruentes si y sólo si
las rectas son paralelas

Corolario: Dos rectas cortadas por una secante forman ángulos
correspondientes iguales, alternos externos iguales y colaterales son
suplementarios si y sólo si son paralelas.

s

2. β  β’ por ser opuestos
por el vértice

’


β’

β

1. ’  β por ser correspondientes
entre  s

l1
l2

3. ’  β sustitución de 1
en 2
4. ’  β son alternos externos
congruentes si y sólo si
las rectas son paralelas

Corolario: Dos rectas cortadas por una secante forman ángulos
correspondientes iguales, alternos externos iguales y colaterales son
suplementarios si y sólo si son paralelas.

s
λ


β’

λ’

2. ’  λ son suplementarios

’
β

1. ’  β’ son alternos externos
congruentes si y sólo si
las rectas son paralelas

l1

l2

3. β’  λ’ son suplementarios
4. β’  λ son colaterales suplementarios
si y sólo si las rectas son paralelas
Sustitución de 1 en 2
5. ’  λ’ son colaterales suplementarios
si y sólo si las rectas son paralelas
Sustitución de 1 en 3

Teorema: La suma de los ángulos internos de un triángulo 180.
Hipótesis
, β y  son s interiores del ΔABC
A

Tesis
 + β +  = 180


β

Proposiciones

l

B

1.- AB  l
2.-   θ
3.- CD es la prolongación de BC
4.- β  
5.-  + θ +  = 180
5.-  + β +  = 180



θ
C



.D

Por construcción
s alternos internos entre ∥s
Por construcción
s correspondientes entre ∥s
Suma de s. Def. de  llano
Sustitución de 2 y 3 en 4

La tesis es verdadera

En conclusión el Teorema: La suma de los ángulos internos de un
triángulo 180, es verdadero

Corolario: Todo ángulo exterior a un triángulo es igual a la suma de
los otros 2 ángulos interiores no adyacentes a él.

l

A

β






β

+ β = 

B
C
Corolario : Cada ángulo de un triángulo equilátero mide 60.
A
+ β +  = 180
 = β = = 60


B

β



C
Corolario : Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son
complementarios.
+ β + 90 = 180
+ β = 90




CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Un triángulo rectángulo es congruente a otro si tienen congruente:
a.- Los catetos. ALA
Criterio A.L.A.

b, Un ángulo y cualquier lado (Cateto)

Criterio A.L.A.

c.- Un cateto y la hipotenusa
4to Criterio

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Este tema fue realizado con apoyo en las siguientes bibliografías:
‒

DURÁN, Darío. 2003. La geometría Euclidiana. Maracaibo: Astro Data.

‒

PETER, B. G.;DARREL, P. (1998). Geometría. (3a ed.). México:
Thomson Editores S.A.

‒

HEMMERLING, Ee. (2002). Geometría Elemenyal. (6ª ed). Mexico:Limusa


Slide 14

PARALELISMO
Definición
Rectas Paralelas. : Dos rectas l y t son paralelas si y sólo si son
coplanares y no se intersectan
Notación: l ‖t se lee: la recta l es paralela a t

l

t

Dos rectas que están en un mismo plano son paralelas
o se cortan.
La recta l no es paralela y no se corta con la recta t
por estar en planos diferentes

Definición: dos planos  y  son paralelos si su intersección es el
conjunto nulo.



Una recta l y un plano  son paralelos si su intersección es el
conjunto nulo.

l


Definición: Dos rectas son perpendiculares si se interceptan para formar
ángulos adyacentes congruentes.

l

m

Axioma del Paralelismo de Euclides: Por un punto dado, que no esté
en una recta dada, se puede hacer pasar cuando más una paralela a
la recta dada.

.

l
m

Teorema: Dos rectas Coplanares l1 y l2 perpendiculares a una misma
recta t, son paralelas entre sí.
Hipótesis
t
l1  t
l2  t
l1
Tesis
l1  l2

l2

Demostración por reducción al absurdo l1  l2
l1 y l2 se cortan en P, esto
contradice el teorema que
dice: Por un punto P puede
pasar una y sólo una
perpendicular a una recta
dada.
Luego; l1  l2

t

P

.

l2
l1

En conclusión el Teorema: Dos rectas Coplanares l1 y l2 perpendiculares a una
misma recta t, son paralelas entre sí, es verdadero.

Definición
Recta Transversal o Secante: Es la recta que corta dos o más
rectas.
1 2
3 4

l1

5 6
7 8
t

Ángulos interiores 3 y 4, 5 y 6
Ángulos exteriores 1 y 2, 7 y 8
Ángulos Alternos internos 3 y 6, 4 y 5
Ángulos Alternos externos 1 y 8, 2 y 7
Ángulos Correspondientes 1 y 5, 2 y 6, 3 y 7, 4 y 8.
Ángulos colaterales o conjugados 1 y 7, 2 y 8, 3 y 5, 4 y 6

l2

Teorema: Dos rectas l1 y l2 cortadas por una secante s forman
ángulos alternos internos iguales si y sólo sí son paralelas.
Teorema directo
s

() Hipótesis
s corta a l1 y l2
β

l1



Tesis

β

l2

l1  l2

s

Por reducción al absurdo l1  l2
Proposiciones
1.- l1  l2 Hipótesis temporal
2.-  > β Por ser exterior al ΔABP
Contradice la hipótesis, entonces, l1  l2

La tesis es verdadera
Luego, el Teorema directo es verdadero

A


B

β

P

l1

l2

Teorema: Dos rectas l1 y l2 cortadas por una secante s forman ángulos
alternos internos iguales si y sólo sí son paralelas.
s
Teorema recíproco
() Hipótesis
s corta a l1 y l2
l1
l1  l2



Tesis
β

β

l2

Por reducción al absurdo  ≠ β   > β ó  < β
Caso 1:  > β
1.- θ  β
Por construcción
2.- Si θ  β  t  l2 Si los ángulos alternos

internos son congruentes las rectan secantes son
paralelas

t

3.- l1  l2 y t  l2 pasan por A
Esto contradice el Axioma del paralelismo de
Euclides. Por un punto dado, que no esté en
una recta dada, se puede hacer pasar
cuando más una paralela a la recta dada
En consecuencia  > β

s

l1

θ

.
A

β

l2

Caso 2:  > β: El procedimiento es igual y en consecuencia  > β
Por tanto, si  ≠ β    β
Luego, el Teorema reciproco es verdadero
EN CONCLUSIÓN: El teorema: Dos rectas l1  l2 cortadas por una secante s
forman ángulos alternos internos iguales si y sólo sí son paralelas, es
verdadero

Corolario: Dos rectas cortadas por una secante forman ángulos
correspondientes iguales, alternos externos iguales y colaterales
suplementarios si y sólo si son paralelas.

s

’


β

l1
l2

1.   β por ser alternos
internos entre  s
2.   ’ por ser opuestos
por el vértice
3. ’  β sustitución de 1
en 2
4. ’  β son correspondientes
congruentes si y sólo si
las rectas son paralelas

Corolario: Dos rectas cortadas por una secante forman ángulos
correspondientes iguales, alternos externos iguales y colaterales son
suplementarios si y sólo si son paralelas.

s

2. β  β’ por ser opuestos
por el vértice

’


β’

β

1. ’  β por ser correspondientes
entre  s

l1
l2

3. ’  β sustitución de 1
en 2
4. ’  β son alternos externos
congruentes si y sólo si
las rectas son paralelas

Corolario: Dos rectas cortadas por una secante forman ángulos
correspondientes iguales, alternos externos iguales y colaterales son
suplementarios si y sólo si son paralelas.

s
λ


β’

λ’

2. ’  λ son suplementarios

’
β

1. ’  β’ son alternos externos
congruentes si y sólo si
las rectas son paralelas

l1

l2

3. β’  λ’ son suplementarios
4. β’  λ son colaterales suplementarios
si y sólo si las rectas son paralelas
Sustitución de 1 en 2
5. ’  λ’ son colaterales suplementarios
si y sólo si las rectas son paralelas
Sustitución de 1 en 3

Teorema: La suma de los ángulos internos de un triángulo 180.
Hipótesis
, β y  son s interiores del ΔABC
A

Tesis
 + β +  = 180


β

Proposiciones

l

B

1.- AB  l
2.-   θ
3.- CD es la prolongación de BC
4.- β  
5.-  + θ +  = 180
5.-  + β +  = 180



θ
C



.D

Por construcción
s alternos internos entre ∥s
Por construcción
s correspondientes entre ∥s
Suma de s. Def. de  llano
Sustitución de 2 y 3 en 4

La tesis es verdadera

En conclusión el Teorema: La suma de los ángulos internos de un
triángulo 180, es verdadero

Corolario: Todo ángulo exterior a un triángulo es igual a la suma de
los otros 2 ángulos interiores no adyacentes a él.

l

A

β






β

+ β = 

B
C
Corolario : Cada ángulo de un triángulo equilátero mide 60.
A
+ β +  = 180
 = β = = 60


B

β



C
Corolario : Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son
complementarios.
+ β + 90 = 180
+ β = 90




CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Un triángulo rectángulo es congruente a otro si tienen congruente:
a.- Los catetos. ALA
Criterio A.L.A.

b, Un ángulo y cualquier lado (Cateto)

Criterio A.L.A.

c.- Un cateto y la hipotenusa
4to Criterio

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Este tema fue realizado con apoyo en las siguientes bibliografías:
‒

DURÁN, Darío. 2003. La geometría Euclidiana. Maracaibo: Astro Data.

‒

PETER, B. G.;DARREL, P. (1998). Geometría. (3a ed.). México:
Thomson Editores S.A.

‒

HEMMERLING, Ee. (2002). Geometría Elemenyal. (6ª ed). Mexico:Limusa


Slide 15

PARALELISMO
Definición
Rectas Paralelas. : Dos rectas l y t son paralelas si y sólo si son
coplanares y no se intersectan
Notación: l ‖t se lee: la recta l es paralela a t

l

t

Dos rectas que están en un mismo plano son paralelas
o se cortan.
La recta l no es paralela y no se corta con la recta t
por estar en planos diferentes

Definición: dos planos  y  son paralelos si su intersección es el
conjunto nulo.



Una recta l y un plano  son paralelos si su intersección es el
conjunto nulo.

l


Definición: Dos rectas son perpendiculares si se interceptan para formar
ángulos adyacentes congruentes.

l

m

Axioma del Paralelismo de Euclides: Por un punto dado, que no esté
en una recta dada, se puede hacer pasar cuando más una paralela a
la recta dada.

.

l
m

Teorema: Dos rectas Coplanares l1 y l2 perpendiculares a una misma
recta t, son paralelas entre sí.
Hipótesis
t
l1  t
l2  t
l1
Tesis
l1  l2

l2

Demostración por reducción al absurdo l1  l2
l1 y l2 se cortan en P, esto
contradice el teorema que
dice: Por un punto P puede
pasar una y sólo una
perpendicular a una recta
dada.
Luego; l1  l2

t

P

.

l2
l1

En conclusión el Teorema: Dos rectas Coplanares l1 y l2 perpendiculares a una
misma recta t, son paralelas entre sí, es verdadero.

Definición
Recta Transversal o Secante: Es la recta que corta dos o más
rectas.
1 2
3 4

l1

5 6
7 8
t

Ángulos interiores 3 y 4, 5 y 6
Ángulos exteriores 1 y 2, 7 y 8
Ángulos Alternos internos 3 y 6, 4 y 5
Ángulos Alternos externos 1 y 8, 2 y 7
Ángulos Correspondientes 1 y 5, 2 y 6, 3 y 7, 4 y 8.
Ángulos colaterales o conjugados 1 y 7, 2 y 8, 3 y 5, 4 y 6

l2

Teorema: Dos rectas l1 y l2 cortadas por una secante s forman
ángulos alternos internos iguales si y sólo sí son paralelas.
Teorema directo
s

() Hipótesis
s corta a l1 y l2
β

l1



Tesis

β

l2

l1  l2

s

Por reducción al absurdo l1  l2
Proposiciones
1.- l1  l2 Hipótesis temporal
2.-  > β Por ser exterior al ΔABP
Contradice la hipótesis, entonces, l1  l2

La tesis es verdadera
Luego, el Teorema directo es verdadero

A


B

β

P

l1

l2

Teorema: Dos rectas l1 y l2 cortadas por una secante s forman ángulos
alternos internos iguales si y sólo sí son paralelas.
s
Teorema recíproco
() Hipótesis
s corta a l1 y l2
l1
l1  l2



Tesis
β

β

l2

Por reducción al absurdo  ≠ β   > β ó  < β
Caso 1:  > β
1.- θ  β
Por construcción
2.- Si θ  β  t  l2 Si los ángulos alternos

internos son congruentes las rectan secantes son
paralelas

t

3.- l1  l2 y t  l2 pasan por A
Esto contradice el Axioma del paralelismo de
Euclides. Por un punto dado, que no esté en
una recta dada, se puede hacer pasar
cuando más una paralela a la recta dada
En consecuencia  > β

s

l1

θ

.
A

β

l2

Caso 2:  > β: El procedimiento es igual y en consecuencia  > β
Por tanto, si  ≠ β    β
Luego, el Teorema reciproco es verdadero
EN CONCLUSIÓN: El teorema: Dos rectas l1  l2 cortadas por una secante s
forman ángulos alternos internos iguales si y sólo sí son paralelas, es
verdadero

Corolario: Dos rectas cortadas por una secante forman ángulos
correspondientes iguales, alternos externos iguales y colaterales
suplementarios si y sólo si son paralelas.

s

’


β

l1
l2

1.   β por ser alternos
internos entre  s
2.   ’ por ser opuestos
por el vértice
3. ’  β sustitución de 1
en 2
4. ’  β son correspondientes
congruentes si y sólo si
las rectas son paralelas

Corolario: Dos rectas cortadas por una secante forman ángulos
correspondientes iguales, alternos externos iguales y colaterales son
suplementarios si y sólo si son paralelas.

s

2. β  β’ por ser opuestos
por el vértice

’


β’

β

1. ’  β por ser correspondientes
entre  s

l1
l2

3. ’  β sustitución de 1
en 2
4. ’  β son alternos externos
congruentes si y sólo si
las rectas son paralelas

Corolario: Dos rectas cortadas por una secante forman ángulos
correspondientes iguales, alternos externos iguales y colaterales son
suplementarios si y sólo si son paralelas.

s
λ


β’

λ’

2. ’  λ son suplementarios

’
β

1. ’  β’ son alternos externos
congruentes si y sólo si
las rectas son paralelas

l1

l2

3. β’  λ’ son suplementarios
4. β’  λ son colaterales suplementarios
si y sólo si las rectas son paralelas
Sustitución de 1 en 2
5. ’  λ’ son colaterales suplementarios
si y sólo si las rectas son paralelas
Sustitución de 1 en 3

Teorema: La suma de los ángulos internos de un triángulo 180.
Hipótesis
, β y  son s interiores del ΔABC
A

Tesis
 + β +  = 180


β

Proposiciones

l

B

1.- AB  l
2.-   θ
3.- CD es la prolongación de BC
4.- β  
5.-  + θ +  = 180
5.-  + β +  = 180



θ
C



.D

Por construcción
s alternos internos entre ∥s
Por construcción
s correspondientes entre ∥s
Suma de s. Def. de  llano
Sustitución de 2 y 3 en 4

La tesis es verdadera

En conclusión el Teorema: La suma de los ángulos internos de un
triángulo 180, es verdadero

Corolario: Todo ángulo exterior a un triángulo es igual a la suma de
los otros 2 ángulos interiores no adyacentes a él.

l

A

β






β

+ β = 

B
C
Corolario : Cada ángulo de un triángulo equilátero mide 60.
A
+ β +  = 180
 = β = = 60


B

β



C
Corolario : Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son
complementarios.
+ β + 90 = 180
+ β = 90




CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Un triángulo rectángulo es congruente a otro si tienen congruente:
a.- Los catetos. ALA
Criterio A.L.A.

b, Un ángulo y cualquier lado (Cateto)

Criterio A.L.A.

c.- Un cateto y la hipotenusa
4to Criterio

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Este tema fue realizado con apoyo en las siguientes bibliografías:
‒

DURÁN, Darío. 2003. La geometría Euclidiana. Maracaibo: Astro Data.

‒

PETER, B. G.;DARREL, P. (1998). Geometría. (3a ed.). México:
Thomson Editores S.A.

‒

HEMMERLING, Ee. (2002). Geometría Elemenyal. (6ª ed). Mexico:Limusa


Slide 16

PARALELISMO
Definición
Rectas Paralelas. : Dos rectas l y t son paralelas si y sólo si son
coplanares y no se intersectan
Notación: l ‖t se lee: la recta l es paralela a t

l

t

Dos rectas que están en un mismo plano son paralelas
o se cortan.
La recta l no es paralela y no se corta con la recta t
por estar en planos diferentes

Definición: dos planos  y  son paralelos si su intersección es el
conjunto nulo.



Una recta l y un plano  son paralelos si su intersección es el
conjunto nulo.

l


Definición: Dos rectas son perpendiculares si se interceptan para formar
ángulos adyacentes congruentes.

l

m

Axioma del Paralelismo de Euclides: Por un punto dado, que no esté
en una recta dada, se puede hacer pasar cuando más una paralela a
la recta dada.

.

l
m

Teorema: Dos rectas Coplanares l1 y l2 perpendiculares a una misma
recta t, son paralelas entre sí.
Hipótesis
t
l1  t
l2  t
l1
Tesis
l1  l2

l2

Demostración por reducción al absurdo l1  l2
l1 y l2 se cortan en P, esto
contradice el teorema que
dice: Por un punto P puede
pasar una y sólo una
perpendicular a una recta
dada.
Luego; l1  l2

t

P

.

l2
l1

En conclusión el Teorema: Dos rectas Coplanares l1 y l2 perpendiculares a una
misma recta t, son paralelas entre sí, es verdadero.

Definición
Recta Transversal o Secante: Es la recta que corta dos o más
rectas.
1 2
3 4

l1

5 6
7 8
t

Ángulos interiores 3 y 4, 5 y 6
Ángulos exteriores 1 y 2, 7 y 8
Ángulos Alternos internos 3 y 6, 4 y 5
Ángulos Alternos externos 1 y 8, 2 y 7
Ángulos Correspondientes 1 y 5, 2 y 6, 3 y 7, 4 y 8.
Ángulos colaterales o conjugados 1 y 7, 2 y 8, 3 y 5, 4 y 6

l2

Teorema: Dos rectas l1 y l2 cortadas por una secante s forman
ángulos alternos internos iguales si y sólo sí son paralelas.
Teorema directo
s

() Hipótesis
s corta a l1 y l2
β

l1



Tesis

β

l2

l1  l2

s

Por reducción al absurdo l1  l2
Proposiciones
1.- l1  l2 Hipótesis temporal
2.-  > β Por ser exterior al ΔABP
Contradice la hipótesis, entonces, l1  l2

La tesis es verdadera
Luego, el Teorema directo es verdadero

A


B

β

P

l1

l2

Teorema: Dos rectas l1 y l2 cortadas por una secante s forman ángulos
alternos internos iguales si y sólo sí son paralelas.
s
Teorema recíproco
() Hipótesis
s corta a l1 y l2
l1
l1  l2



Tesis
β

β

l2

Por reducción al absurdo  ≠ β   > β ó  < β
Caso 1:  > β
1.- θ  β
Por construcción
2.- Si θ  β  t  l2 Si los ángulos alternos

internos son congruentes las rectan secantes son
paralelas

t

3.- l1  l2 y t  l2 pasan por A
Esto contradice el Axioma del paralelismo de
Euclides. Por un punto dado, que no esté en
una recta dada, se puede hacer pasar
cuando más una paralela a la recta dada
En consecuencia  > β

s

l1

θ

.
A

β

l2

Caso 2:  > β: El procedimiento es igual y en consecuencia  > β
Por tanto, si  ≠ β    β
Luego, el Teorema reciproco es verdadero
EN CONCLUSIÓN: El teorema: Dos rectas l1  l2 cortadas por una secante s
forman ángulos alternos internos iguales si y sólo sí son paralelas, es
verdadero

Corolario: Dos rectas cortadas por una secante forman ángulos
correspondientes iguales, alternos externos iguales y colaterales
suplementarios si y sólo si son paralelas.

s

’


β

l1
l2

1.   β por ser alternos
internos entre  s
2.   ’ por ser opuestos
por el vértice
3. ’  β sustitución de 1
en 2
4. ’  β son correspondientes
congruentes si y sólo si
las rectas son paralelas

Corolario: Dos rectas cortadas por una secante forman ángulos
correspondientes iguales, alternos externos iguales y colaterales son
suplementarios si y sólo si son paralelas.

s

2. β  β’ por ser opuestos
por el vértice

’


β’

β

1. ’  β por ser correspondientes
entre  s

l1
l2

3. ’  β sustitución de 1
en 2
4. ’  β son alternos externos
congruentes si y sólo si
las rectas son paralelas

Corolario: Dos rectas cortadas por una secante forman ángulos
correspondientes iguales, alternos externos iguales y colaterales son
suplementarios si y sólo si son paralelas.

s
λ


β’

λ’

2. ’  λ son suplementarios

’
β

1. ’  β’ son alternos externos
congruentes si y sólo si
las rectas son paralelas

l1

l2

3. β’  λ’ son suplementarios
4. β’  λ son colaterales suplementarios
si y sólo si las rectas son paralelas
Sustitución de 1 en 2
5. ’  λ’ son colaterales suplementarios
si y sólo si las rectas son paralelas
Sustitución de 1 en 3

Teorema: La suma de los ángulos internos de un triángulo 180.
Hipótesis
, β y  son s interiores del ΔABC
A

Tesis
 + β +  = 180


β

Proposiciones

l

B

1.- AB  l
2.-   θ
3.- CD es la prolongación de BC
4.- β  
5.-  + θ +  = 180
5.-  + β +  = 180



θ
C



.D

Por construcción
s alternos internos entre ∥s
Por construcción
s correspondientes entre ∥s
Suma de s. Def. de  llano
Sustitución de 2 y 3 en 4

La tesis es verdadera

En conclusión el Teorema: La suma de los ángulos internos de un
triángulo 180, es verdadero

Corolario: Todo ángulo exterior a un triángulo es igual a la suma de
los otros 2 ángulos interiores no adyacentes a él.

l

A

β






β

+ β = 

B
C
Corolario : Cada ángulo de un triángulo equilátero mide 60.
A
+ β +  = 180
 = β = = 60


B

β



C
Corolario : Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son
complementarios.
+ β + 90 = 180
+ β = 90




CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Un triángulo rectángulo es congruente a otro si tienen congruente:
a.- Los catetos. ALA
Criterio A.L.A.

b, Un ángulo y cualquier lado (Cateto)

Criterio A.L.A.

c.- Un cateto y la hipotenusa
4to Criterio

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Este tema fue realizado con apoyo en las siguientes bibliografías:
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DURÁN, Darío. 2003. La geometría Euclidiana. Maracaibo: Astro Data.

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PETER, B. G.;DARREL, P. (1998). Geometría. (3a ed.). México:
Thomson Editores S.A.

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HEMMERLING, Ee. (2002). Geometría Elemenyal. (6ª ed). Mexico:Limusa