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第十六章

压杆稳定

压杆稳定

第一节 压杆稳定的概念
一、稳定问题的提出

F

两根相同材料（松木）制成的杆，

σb=20MPa；A＝10mm×30mm
1m

短杆长：l＝30mm；
长杆长：l＝1000mm
F

若按强度条件计算，
两根杆压缩时的极限承载能力
均应为：
F= σb A=6kN

30mm

F

F

压杆稳定

压杆的破坏实验结果：

F

（1）短杆在压力增加到约

为6kN时，因木纹出现裂纹而
破坏。
（2）长杆在压力增加到约4kN
时突然弯向一侧，继续增大压力，
弯曲迅速增大，杆随即折断。

1m

F
30mm

F

F

压杆稳定
第六章

结论：
短压杆与长压杆在压缩时的破坏
性质完全不同
•

F

短压杆的破坏属于强

1m

度问题；
F

• 长压杆的破坏则属于能

30mm

否保持其原来的直线平衡
状态的问题

F

F

压杆稳定
第十章

压杆稳定性：压杆保持其原来直线平衡状态
的能力。
压杆不能保持其原来直线平衡状态而突然变弯
的现象，称为压杆的直线平衡状态丧失了稳定，
简称为压杆失稳。

压杆稳定

压杆失稳的严重后果：
19世纪，瑞士的孟汗太因桥突然倒塌，造
成200人遇难。
1907年加拿大的魁北克桥在建造时突然倒
塌，其原因都是因为桥梁桁架中的受压杆失稳
引起的。
1909年12月汉堡一个60万m3的大型贮气罐
因一个受压构件失稳而突然倒塌。

压杆稳定

研究压杆稳定性的意义：
压杆因强度或刚度不足而造成破坏之前一般
都有先兆；压杆由于失稳而造成破坏之前没有
任何先兆，当压力达到某个临界数值时就会突
然破坏，因此这种破坏形式在工程上具有很大
的破坏性。

在建筑工程中的受压上弦杆、厂房的柱子等
设计中都必须考虑其稳定性要求。

压杆稳定

二、平衡状态的类型
稳定平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体能自动恢复到原来的平
衡位置的平衡

不稳定平衡：

即使干扰平衡的外力消
失后，物体仍继续向远离原
来平衡位置的方向继续运动
的平衡。

随遇平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体可在任意位置继续保持
平衡。

显然，随遇平衡是界于稳定平衡与不稳定平衡之间的状
态，称为临界平衡状态。

压杆稳定

三、压杆临界力Fcr
FP

l
FP

FP ＜ FPcr

FP

F F

FP

F

FP

稳定直线平衡状态

FP = FPcr

F

FP

临界状态

FP > FPcr

F

FP

不稳定平衡状态

压杆处于临界状态时的轴向压力称为压杆的
临界力Fcr。

压杆稳定

第二节

细长压杆的临界力

临界力的影响因素
临界力Fcr的大小反映了压杆失稳的难易，而压杆失稳
就是直杆变弯，发生弯曲变形，因此临界力的大小与影响
直杆弯曲变形的因素有关：
杆的长度l
抗弯刚度EI

杆端支承

l越大
EI越大

越牢固

抵抗变形的能力越小

容易失稳

Fcr越小

抵抗变形的能力越强

不易失稳

Fcr越大

越不容易发生弯曲变形

不易失稳

Fcr越大

压杆稳定

临界力的欧拉公式
 EI
2

F cr 

(l)

2

式中 E——材料的弹性模量；
I——压杆横截面对形心轴的最小惯性矩；
l——压杆的长度；

μ——长度系数，反映了杆端支承对临界力的影响；
μl——压杆的计算长度。

压杆稳定

一端固定
一端铰支

两端铰支

两端固定

一端固定
一端自由

Fcr
Fcr

Fcr

μ=1

μ=0.7

0.25l

l

0.5l

l
0.3l

l

l

0.7l

0.25l

Fcr

μ=0.5

μ=2

压杆稳定

例1

一根两端铰支的№20a工字钢细长压杆，长

l=3m，钢的弹性模量E=200GPa，试计算其临界力。
解 查型钢表得
 EI

Iz=2370cm4，Iy=158cm4

2

Fcr 

l

2

  200  10  158  10
2



9

3

2

8

N

 346  10 N  346 kN
3

由此可知，若轴向压力达到346kN时，此杆会失稳。

压杆稳定

思考
材料及横截面均相同，哪一根最容易失稳，哪一根
最不容易失稳。

压杆稳定
Fcr

Fcr

y

200

120

y

120

200

z
z

8m

例2 一矩形截面的
中心受压的细长木柱，
长l=8m，柱的支承情况，
在最大刚度平面内弯曲
时为两端铰支（图a）；
在最小刚度平面内弯曲
时为两端固定（图b）。
木材的弹性模量
E=10GPa，试求木柱的
临界力。

压杆稳定

解 由于最大刚度平面与最小刚度平面内的支承
情况不同，所以需分别计算。
Fcr

（1）计算最大刚度平面内的临界力
截面的惯性矩为
Iy 

3

mm

4

y

 8  10 mm
7

4

 8  10

5

m

4

200

两端铰支，长度系数μ=1
 EI
2

F cr 

(l )

3 . 14  10  10  8  10
2

y
2



9

(1  8 )

 123  10 N  123 kN
3

z

8m

12

2

5

N

120

120  200

压杆稳定

（2）计算最小刚度平面内的临界力。
Fcr

由图16-4b,截面惯性矩为
3

mm

4

12

 2 . 88  10 mm
7

 2 . 88  10

5

m

4

z

4

y

两端固定，长度系数μ=0.5
 EI Z
2

Fcr 

(l )

2

3 . 14  10  10  2 . 88  10
2



9

( 0 .5  8 )

 177  10 N  177 kN
3

2

120

5

N

200

IZ 

200  120

压杆稳定

Fcr

Fcr

y

200

y

120

8m

z

120

200

z

比较计算结果可知
，第一种情况的临界力
小，所以压杆失稳时将
在最大刚度平面内产生
弯曲。此例说明，当在
最小刚度平面与最大刚
度平面内支承情况不同
时，压杆不一定在最小
刚度平面内失稳，必须
经过具体计算后才能确
定。

压杆稳定

第三节 临界应力与欧拉公式的适用范围
一、临界应力
 cr 
I i A
2

F cr

2



cr



(l )

2

2

 E

A
 Ei
2



 E I

(l)

2

A
2



(

l

)

2

i
令   l i

 E
2

 cr 



2

   l i —— 压杆的柔度（长细比），是无量纲的量。

压杆稳定

压杆的柔度λ
（1）综合反映了压杆的长度（l）、杆端支承情况（μ
）、截面形状和尺寸（I、A、i）对临界应力的影响。
（2）压杆的临界应力与压杆柔度的平方成反比，即
，柔度越大压杆临界应力越小，压杆越容易失稳。

压杆稳定

二、欧拉公式的适用范围
只有当压杆的临界应力不超过材料的比例极限时，欧
拉公式才适用，即：
 E
2

 cr 



2



p

  p  

E

p

 p ——对应于材料比例极限时的柔度，只与材料的性质

有关，与压杆的截面形状和尺寸无关。

   p 的压杆——大柔度杆（细长杆）
欧拉公式只适用于大柔度杆（细长杆）

压杆稳定

三、超出比例极限时压杆的临界应力、
临界应力总图
压杆的应力超出比例极限时（λ<λp），这类杆件工程
上称为中柔度杆，此类压杆的稳定称弹塑性稳定。
抛物线公式（经验公式）

σcr= a - bλ2
式中，λ为压杆的柔度，a、b与材料有关的常数

例如：对于Q235钢及16Mn钢分别有
σcr=（235-0.00668λ2）MPa
σcr=（345-0.0142λ2）MPa

压杆稳定

由式可知，压杆不论处于弹性阶段还是弹塑性阶段，
其临界应力均为压杆柔度的函数，临界应力σcr与柔度λ的
函数曲线称为临界应力总图。

注意：图中以λc=123
而不是以λp=100作为二曲
线的分界点.
对Q235钢制成的压杆 ,
当λ≥λc，按欧拉公式计
算临界应力或临界力;当
λ<123时用经验公式计算

压杆稳定

第四节

压杆的稳定计算

一、压杆稳定条件

  

st

式中 [σ]st称为稳定许用应力，其值为

 st



 cr
n st

式中nst为压杆的稳定安全系数

压杆稳定

稳定许用应力值可写成下列形式

 st

  



式中[σ]——强度计算时的许用应力；

——折减系数。
压杆稳定条件可写为

 

FN
A

式中A为横截面的毛面积。

  



压杆稳定

折减系数
（1）折减系数是柔度λ的函数，随柔度λ的变化而
变化，柔度λ越大，折减系数越小；

（2）折减系数是各种影响因素的综合反映（如荷
载偏心、材料不均匀、初始曲率、安全储备等）；
（3）由于[σ] st总是小于[σ]，因此折减系数是一个小
于1的数。

压杆稳定

二、压杆稳定条件的应用
1.稳定校核。

2.设计截面。
3.确定稳定许用荷载。

压杆稳定

例11-3 图示两端铰支（球形铰）的矩形截面木杆，杆
端作用轴向压力Fp。已知l=3.6m，Fp=40kN，木材的强度
等级为TC13，许用应力[σ]=10MPa，试校核该压杆的稳定。
F
cr

解 矩形截面的惯性半径

A


120
12



12
bh

y



b

z

12

mm  34 . 64 mm

120

160

i

Iy

3

8m

hb

压杆稳定

两端铰支时长度系数μ=1
 

l

1  3 .6



34 . 64  10

i

3

 104

因为λ〉91
 
FN

A



F

A



2800



2



2800
104

40  10

2

3

0 . 259  120  160

所以该压杆满足稳定条件。

 0 . 259
MPa  8 . 00 MPa  



压杆稳定

第五节

提高压杆稳定性的措施

一、减小压杆的支承长度
从柔度计算式  

l
i

l\2

减小压杆的长度是降低压杆柔
l

度，提高压杆稳定性的有效方法
之一。
在条件允许的情况下，应
尽量使压杆的长度减小，或者
在压杆中间增加支撑。

l\2

压杆稳定
第

二、改善支承情况 ，减小长度系数μ
  0. 5

 1
Fcr

Fcr

 2

Fcr

杆端约束刚性越强,压杆的长度系数越小,相应的柔度
就越低,临界力就越大,因此尽可能加强杆端约束的刚性,
可使压 杆的稳定性得到提高.

压杆稳定

三、选择合理的截面形状
当截面面积相同的情况下，增大惯性矩I，从而达到增

大惯性半径i，减小柔度λ，提高压杆的临界应力。

压杆稳定

当压杆在各个弯曲平面内的支承条件相同时，压杆的

稳定性是由Imin方向的临界应力控制。因此，应尽量使截
面对任一形心主轴的惯性矩相同，这样可使压杆在各个
弯曲平面内具有相同的稳定性。
例如由两根槽钢组合而成的压杆
采用哪
种形式
好？

压杆稳定

当压杆在两个相互垂直平面内的支承条件不同时，
可采用Iz≠Iy的截面来与相应的支承条件配合，使压杆在

两相互垂直平面内的柔度值相等，即λz=λy，这样保证
压杆在这两个方向上具有相同的稳定性。

压杆稳定

四、合理选择材料
对于大柔度杆，临界应力与材料的弹性模量E有关，
由于各种钢材的弹性模量E值相差不大。所以，对大柔度

杆来说，选用优质钢材对提高临界应力意义不大。
对于中柔度杆，其临界应力与材料强度有关，强度越
高的材料，临界应力越高。所以，对中柔度杆而言，选择
优质钢材将有助于提高压杆的稳定性。


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第十六章

压杆稳定

压杆稳定

第一节 压杆稳定的概念
一、稳定问题的提出

F

两根相同材料（松木）制成的杆，

σb=20MPa；A＝10mm×30mm
1m

短杆长：l＝30mm；
长杆长：l＝1000mm
F

若按强度条件计算，
两根杆压缩时的极限承载能力
均应为：
F= σb A=6kN

30mm

F

F

压杆稳定

压杆的破坏实验结果：

F

（1）短杆在压力增加到约

为6kN时，因木纹出现裂纹而
破坏。
（2）长杆在压力增加到约4kN
时突然弯向一侧，继续增大压力，
弯曲迅速增大，杆随即折断。

1m

F
30mm

F

F

压杆稳定
第六章

结论：
短压杆与长压杆在压缩时的破坏
性质完全不同
•

F

短压杆的破坏属于强

1m

度问题；
F

• 长压杆的破坏则属于能

30mm

否保持其原来的直线平衡
状态的问题

F

F

压杆稳定
第十章

压杆稳定性：压杆保持其原来直线平衡状态
的能力。
压杆不能保持其原来直线平衡状态而突然变弯
的现象，称为压杆的直线平衡状态丧失了稳定，
简称为压杆失稳。

压杆稳定

压杆失稳的严重后果：
19世纪，瑞士的孟汗太因桥突然倒塌，造
成200人遇难。
1907年加拿大的魁北克桥在建造时突然倒
塌，其原因都是因为桥梁桁架中的受压杆失稳
引起的。
1909年12月汉堡一个60万m3的大型贮气罐
因一个受压构件失稳而突然倒塌。

压杆稳定

研究压杆稳定性的意义：
压杆因强度或刚度不足而造成破坏之前一般
都有先兆；压杆由于失稳而造成破坏之前没有
任何先兆，当压力达到某个临界数值时就会突
然破坏，因此这种破坏形式在工程上具有很大
的破坏性。

在建筑工程中的受压上弦杆、厂房的柱子等
设计中都必须考虑其稳定性要求。

压杆稳定

二、平衡状态的类型
稳定平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体能自动恢复到原来的平
衡位置的平衡

不稳定平衡：

即使干扰平衡的外力消
失后，物体仍继续向远离原
来平衡位置的方向继续运动
的平衡。

随遇平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体可在任意位置继续保持
平衡。

显然，随遇平衡是界于稳定平衡与不稳定平衡之间的状
态，称为临界平衡状态。

压杆稳定

三、压杆临界力Fcr
FP

l
FP

FP ＜ FPcr

FP

F F

FP

F

FP

稳定直线平衡状态

FP = FPcr

F

FP

临界状态

FP > FPcr

F

FP

不稳定平衡状态

压杆处于临界状态时的轴向压力称为压杆的
临界力Fcr。

压杆稳定

第二节

细长压杆的临界力

临界力的影响因素
临界力Fcr的大小反映了压杆失稳的难易，而压杆失稳
就是直杆变弯，发生弯曲变形，因此临界力的大小与影响
直杆弯曲变形的因素有关：
杆的长度l
抗弯刚度EI

杆端支承

l越大
EI越大

越牢固

抵抗变形的能力越小

容易失稳

Fcr越小

抵抗变形的能力越强

不易失稳

Fcr越大

越不容易发生弯曲变形

不易失稳

Fcr越大

压杆稳定

临界力的欧拉公式
 EI
2

F cr 

(l)

2

式中 E——材料的弹性模量；
I——压杆横截面对形心轴的最小惯性矩；
l——压杆的长度；

μ——长度系数，反映了杆端支承对临界力的影响；
μl——压杆的计算长度。

压杆稳定

一端固定
一端铰支

两端铰支

两端固定

一端固定
一端自由

Fcr
Fcr

Fcr

μ=1

μ=0.7

0.25l

l

0.5l

l
0.3l

l

l

0.7l

0.25l

Fcr

μ=0.5

μ=2

压杆稳定

例1

一根两端铰支的№20a工字钢细长压杆，长

l=3m，钢的弹性模量E=200GPa，试计算其临界力。
解 查型钢表得
 EI

Iz=2370cm4，Iy=158cm4

2

Fcr 

l

2

  200  10  158  10
2



9

3

2

8

N

 346  10 N  346 kN
3

由此可知，若轴向压力达到346kN时，此杆会失稳。

压杆稳定

思考
材料及横截面均相同，哪一根最容易失稳，哪一根
最不容易失稳。

压杆稳定
Fcr

Fcr

y

200

120

y

120

200

z
z

8m

例2 一矩形截面的
中心受压的细长木柱，
长l=8m，柱的支承情况，
在最大刚度平面内弯曲
时为两端铰支（图a）；
在最小刚度平面内弯曲
时为两端固定（图b）。
木材的弹性模量
E=10GPa，试求木柱的
临界力。

压杆稳定

解 由于最大刚度平面与最小刚度平面内的支承
情况不同，所以需分别计算。
Fcr

（1）计算最大刚度平面内的临界力
截面的惯性矩为
Iy 

3

mm

4

y

 8  10 mm
7

4

 8  10

5

m

4

200

两端铰支，长度系数μ=1
 EI
2

F cr 

(l )

3 . 14  10  10  8  10
2

y
2



9

(1  8 )

 123  10 N  123 kN
3

z

8m

12

2

5

N

120

120  200

压杆稳定

（2）计算最小刚度平面内的临界力。
Fcr

由图16-4b,截面惯性矩为
3

mm

4

12

 2 . 88  10 mm
7

 2 . 88  10

5

m

4

z

4

y

两端固定，长度系数μ=0.5
 EI Z
2

Fcr 

(l )

2

3 . 14  10  10  2 . 88  10
2



9

( 0 .5  8 )

 177  10 N  177 kN
3

2

120

5

N

200

IZ 

200  120

压杆稳定

Fcr

Fcr

y

200

y

120

8m

z

120

200

z

比较计算结果可知
，第一种情况的临界力
小，所以压杆失稳时将
在最大刚度平面内产生
弯曲。此例说明，当在
最小刚度平面与最大刚
度平面内支承情况不同
时，压杆不一定在最小
刚度平面内失稳，必须
经过具体计算后才能确
定。

压杆稳定

第三节 临界应力与欧拉公式的适用范围
一、临界应力
 cr 
I i A
2

F cr

2



cr



(l )

2

2

 E

A
 Ei
2



 E I

(l)

2

A
2



(

l

)

2

i
令   l i

 E
2

 cr 



2

   l i —— 压杆的柔度（长细比），是无量纲的量。

压杆稳定

压杆的柔度λ
（1）综合反映了压杆的长度（l）、杆端支承情况（μ
）、截面形状和尺寸（I、A、i）对临界应力的影响。
（2）压杆的临界应力与压杆柔度的平方成反比，即
，柔度越大压杆临界应力越小，压杆越容易失稳。

压杆稳定

二、欧拉公式的适用范围
只有当压杆的临界应力不超过材料的比例极限时，欧
拉公式才适用，即：
 E
2

 cr 



2



p

  p  

E

p

 p ——对应于材料比例极限时的柔度，只与材料的性质

有关，与压杆的截面形状和尺寸无关。

   p 的压杆——大柔度杆（细长杆）
欧拉公式只适用于大柔度杆（细长杆）

压杆稳定

三、超出比例极限时压杆的临界应力、
临界应力总图
压杆的应力超出比例极限时（λ<λp），这类杆件工程
上称为中柔度杆，此类压杆的稳定称弹塑性稳定。
抛物线公式（经验公式）

σcr= a - bλ2
式中，λ为压杆的柔度，a、b与材料有关的常数

例如：对于Q235钢及16Mn钢分别有
σcr=（235-0.00668λ2）MPa
σcr=（345-0.0142λ2）MPa

压杆稳定

由式可知，压杆不论处于弹性阶段还是弹塑性阶段，
其临界应力均为压杆柔度的函数，临界应力σcr与柔度λ的
函数曲线称为临界应力总图。

注意：图中以λc=123
而不是以λp=100作为二曲
线的分界点.
对Q235钢制成的压杆 ,
当λ≥λc，按欧拉公式计
算临界应力或临界力;当
λ<123时用经验公式计算

压杆稳定

第四节

压杆的稳定计算

一、压杆稳定条件

  

st

式中 [σ]st称为稳定许用应力，其值为

 st



 cr
n st

式中nst为压杆的稳定安全系数

压杆稳定

稳定许用应力值可写成下列形式

 st

  



式中[σ]——强度计算时的许用应力；

——折减系数。
压杆稳定条件可写为

 

FN
A

式中A为横截面的毛面积。

  



压杆稳定

折减系数
（1）折减系数是柔度λ的函数，随柔度λ的变化而
变化，柔度λ越大，折减系数越小；

（2）折减系数是各种影响因素的综合反映（如荷
载偏心、材料不均匀、初始曲率、安全储备等）；
（3）由于[σ] st总是小于[σ]，因此折减系数是一个小
于1的数。

压杆稳定

二、压杆稳定条件的应用
1.稳定校核。

2.设计截面。
3.确定稳定许用荷载。

压杆稳定

例11-3 图示两端铰支（球形铰）的矩形截面木杆，杆
端作用轴向压力Fp。已知l=3.6m，Fp=40kN，木材的强度
等级为TC13，许用应力[σ]=10MPa，试校核该压杆的稳定。
F
cr

解 矩形截面的惯性半径

A


120
12



12
bh

y



b

z

12

mm  34 . 64 mm

120

160

i

Iy

3

8m

hb

压杆稳定

两端铰支时长度系数μ=1
 

l

1  3 .6



34 . 64  10

i

3

 104

因为λ〉91
 
FN

A



F

A



2800



2



2800
104

40  10

2

3

0 . 259  120  160

所以该压杆满足稳定条件。

 0 . 259
MPa  8 . 00 MPa  



压杆稳定

第五节

提高压杆稳定性的措施

一、减小压杆的支承长度
从柔度计算式  

l
i

l\2

减小压杆的长度是降低压杆柔
l

度，提高压杆稳定性的有效方法
之一。
在条件允许的情况下，应
尽量使压杆的长度减小，或者
在压杆中间增加支撑。

l\2

压杆稳定
第

二、改善支承情况 ，减小长度系数μ
  0. 5

 1
Fcr

Fcr

 2

Fcr

杆端约束刚性越强,压杆的长度系数越小,相应的柔度
就越低,临界力就越大,因此尽可能加强杆端约束的刚性,
可使压 杆的稳定性得到提高.

压杆稳定

三、选择合理的截面形状
当截面面积相同的情况下，增大惯性矩I，从而达到增

大惯性半径i，减小柔度λ，提高压杆的临界应力。

压杆稳定

当压杆在各个弯曲平面内的支承条件相同时，压杆的

稳定性是由Imin方向的临界应力控制。因此，应尽量使截
面对任一形心主轴的惯性矩相同，这样可使压杆在各个
弯曲平面内具有相同的稳定性。
例如由两根槽钢组合而成的压杆
采用哪
种形式
好？

压杆稳定

当压杆在两个相互垂直平面内的支承条件不同时，
可采用Iz≠Iy的截面来与相应的支承条件配合，使压杆在

两相互垂直平面内的柔度值相等，即λz=λy，这样保证
压杆在这两个方向上具有相同的稳定性。

压杆稳定

四、合理选择材料
对于大柔度杆，临界应力与材料的弹性模量E有关，
由于各种钢材的弹性模量E值相差不大。所以，对大柔度

杆来说，选用优质钢材对提高临界应力意义不大。
对于中柔度杆，其临界应力与材料强度有关，强度越
高的材料，临界应力越高。所以，对中柔度杆而言，选择
优质钢材将有助于提高压杆的稳定性。


Slide 3

第十六章

压杆稳定

压杆稳定

第一节 压杆稳定的概念
一、稳定问题的提出

F

两根相同材料（松木）制成的杆，

σb=20MPa；A＝10mm×30mm
1m

短杆长：l＝30mm；
长杆长：l＝1000mm
F

若按强度条件计算，
两根杆压缩时的极限承载能力
均应为：
F= σb A=6kN

30mm

F

F

压杆稳定

压杆的破坏实验结果：

F

（1）短杆在压力增加到约

为6kN时，因木纹出现裂纹而
破坏。
（2）长杆在压力增加到约4kN
时突然弯向一侧，继续增大压力，
弯曲迅速增大，杆随即折断。

1m

F
30mm

F

F

压杆稳定
第六章

结论：
短压杆与长压杆在压缩时的破坏
性质完全不同
•

F

短压杆的破坏属于强

1m

度问题；
F

• 长压杆的破坏则属于能

30mm

否保持其原来的直线平衡
状态的问题

F

F

压杆稳定
第十章

压杆稳定性：压杆保持其原来直线平衡状态
的能力。
压杆不能保持其原来直线平衡状态而突然变弯
的现象，称为压杆的直线平衡状态丧失了稳定，
简称为压杆失稳。

压杆稳定

压杆失稳的严重后果：
19世纪，瑞士的孟汗太因桥突然倒塌，造
成200人遇难。
1907年加拿大的魁北克桥在建造时突然倒
塌，其原因都是因为桥梁桁架中的受压杆失稳
引起的。
1909年12月汉堡一个60万m3的大型贮气罐
因一个受压构件失稳而突然倒塌。

压杆稳定

研究压杆稳定性的意义：
压杆因强度或刚度不足而造成破坏之前一般
都有先兆；压杆由于失稳而造成破坏之前没有
任何先兆，当压力达到某个临界数值时就会突
然破坏，因此这种破坏形式在工程上具有很大
的破坏性。

在建筑工程中的受压上弦杆、厂房的柱子等
设计中都必须考虑其稳定性要求。

压杆稳定

二、平衡状态的类型
稳定平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体能自动恢复到原来的平
衡位置的平衡

不稳定平衡：

即使干扰平衡的外力消
失后，物体仍继续向远离原
来平衡位置的方向继续运动
的平衡。

随遇平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体可在任意位置继续保持
平衡。

显然，随遇平衡是界于稳定平衡与不稳定平衡之间的状
态，称为临界平衡状态。

压杆稳定

三、压杆临界力Fcr
FP

l
FP

FP ＜ FPcr

FP

F F

FP

F

FP

稳定直线平衡状态

FP = FPcr

F

FP

临界状态

FP > FPcr

F

FP

不稳定平衡状态

压杆处于临界状态时的轴向压力称为压杆的
临界力Fcr。

压杆稳定

第二节

细长压杆的临界力

临界力的影响因素
临界力Fcr的大小反映了压杆失稳的难易，而压杆失稳
就是直杆变弯，发生弯曲变形，因此临界力的大小与影响
直杆弯曲变形的因素有关：
杆的长度l
抗弯刚度EI

杆端支承

l越大
EI越大

越牢固

抵抗变形的能力越小

容易失稳

Fcr越小

抵抗变形的能力越强

不易失稳

Fcr越大

越不容易发生弯曲变形

不易失稳

Fcr越大

压杆稳定

临界力的欧拉公式
 EI
2

F cr 

(l)

2

式中 E——材料的弹性模量；
I——压杆横截面对形心轴的最小惯性矩；
l——压杆的长度；

μ——长度系数，反映了杆端支承对临界力的影响；
μl——压杆的计算长度。

压杆稳定

一端固定
一端铰支

两端铰支

两端固定

一端固定
一端自由

Fcr
Fcr

Fcr

μ=1

μ=0.7

0.25l

l

0.5l

l
0.3l

l

l

0.7l

0.25l

Fcr

μ=0.5

μ=2

压杆稳定

例1

一根两端铰支的№20a工字钢细长压杆，长

l=3m，钢的弹性模量E=200GPa，试计算其临界力。
解 查型钢表得
 EI

Iz=2370cm4，Iy=158cm4

2

Fcr 

l

2

  200  10  158  10
2



9

3

2

8

N

 346  10 N  346 kN
3

由此可知，若轴向压力达到346kN时，此杆会失稳。

压杆稳定

思考
材料及横截面均相同，哪一根最容易失稳，哪一根
最不容易失稳。

压杆稳定
Fcr

Fcr

y

200

120

y

120

200

z
z

8m

例2 一矩形截面的
中心受压的细长木柱，
长l=8m，柱的支承情况，
在最大刚度平面内弯曲
时为两端铰支（图a）；
在最小刚度平面内弯曲
时为两端固定（图b）。
木材的弹性模量
E=10GPa，试求木柱的
临界力。

压杆稳定

解 由于最大刚度平面与最小刚度平面内的支承
情况不同，所以需分别计算。
Fcr

（1）计算最大刚度平面内的临界力
截面的惯性矩为
Iy 

3

mm

4

y

 8  10 mm
7

4

 8  10

5

m

4

200

两端铰支，长度系数μ=1
 EI
2

F cr 

(l )

3 . 14  10  10  8  10
2

y
2



9

(1  8 )

 123  10 N  123 kN
3

z

8m

12

2

5

N

120

120  200

压杆稳定

（2）计算最小刚度平面内的临界力。
Fcr

由图16-4b,截面惯性矩为
3

mm

4

12

 2 . 88  10 mm
7

 2 . 88  10

5

m

4

z

4

y

两端固定，长度系数μ=0.5
 EI Z
2

Fcr 

(l )

2

3 . 14  10  10  2 . 88  10
2



9

( 0 .5  8 )

 177  10 N  177 kN
3

2

120

5

N

200

IZ 

200  120

压杆稳定

Fcr

Fcr

y

200

y

120

8m

z

120

200

z

比较计算结果可知
，第一种情况的临界力
小，所以压杆失稳时将
在最大刚度平面内产生
弯曲。此例说明，当在
最小刚度平面与最大刚
度平面内支承情况不同
时，压杆不一定在最小
刚度平面内失稳，必须
经过具体计算后才能确
定。

压杆稳定

第三节 临界应力与欧拉公式的适用范围
一、临界应力
 cr 
I i A
2

F cr

2



cr



(l )

2

2

 E

A
 Ei
2



 E I

(l)

2

A
2



(

l

)

2

i
令   l i

 E
2

 cr 



2

   l i —— 压杆的柔度（长细比），是无量纲的量。

压杆稳定

压杆的柔度λ
（1）综合反映了压杆的长度（l）、杆端支承情况（μ
）、截面形状和尺寸（I、A、i）对临界应力的影响。
（2）压杆的临界应力与压杆柔度的平方成反比，即
，柔度越大压杆临界应力越小，压杆越容易失稳。

压杆稳定

二、欧拉公式的适用范围
只有当压杆的临界应力不超过材料的比例极限时，欧
拉公式才适用，即：
 E
2

 cr 



2



p

  p  

E

p

 p ——对应于材料比例极限时的柔度，只与材料的性质

有关，与压杆的截面形状和尺寸无关。

   p 的压杆——大柔度杆（细长杆）
欧拉公式只适用于大柔度杆（细长杆）

压杆稳定

三、超出比例极限时压杆的临界应力、
临界应力总图
压杆的应力超出比例极限时（λ<λp），这类杆件工程
上称为中柔度杆，此类压杆的稳定称弹塑性稳定。
抛物线公式（经验公式）

σcr= a - bλ2
式中，λ为压杆的柔度，a、b与材料有关的常数

例如：对于Q235钢及16Mn钢分别有
σcr=（235-0.00668λ2）MPa
σcr=（345-0.0142λ2）MPa

压杆稳定

由式可知，压杆不论处于弹性阶段还是弹塑性阶段，
其临界应力均为压杆柔度的函数，临界应力σcr与柔度λ的
函数曲线称为临界应力总图。

注意：图中以λc=123
而不是以λp=100作为二曲
线的分界点.
对Q235钢制成的压杆 ,
当λ≥λc，按欧拉公式计
算临界应力或临界力;当
λ<123时用经验公式计算

压杆稳定

第四节

压杆的稳定计算

一、压杆稳定条件

  

st

式中 [σ]st称为稳定许用应力，其值为

 st



 cr
n st

式中nst为压杆的稳定安全系数

压杆稳定

稳定许用应力值可写成下列形式

 st

  



式中[σ]——强度计算时的许用应力；

——折减系数。
压杆稳定条件可写为

 

FN
A

式中A为横截面的毛面积。

  



压杆稳定

折减系数
（1）折减系数是柔度λ的函数，随柔度λ的变化而
变化，柔度λ越大，折减系数越小；

（2）折减系数是各种影响因素的综合反映（如荷
载偏心、材料不均匀、初始曲率、安全储备等）；
（3）由于[σ] st总是小于[σ]，因此折减系数是一个小
于1的数。

压杆稳定

二、压杆稳定条件的应用
1.稳定校核。

2.设计截面。
3.确定稳定许用荷载。

压杆稳定

例11-3 图示两端铰支（球形铰）的矩形截面木杆，杆
端作用轴向压力Fp。已知l=3.6m，Fp=40kN，木材的强度
等级为TC13，许用应力[σ]=10MPa，试校核该压杆的稳定。
F
cr

解 矩形截面的惯性半径

A


120
12



12
bh

y



b

z

12

mm  34 . 64 mm

120

160

i

Iy

3

8m

hb

压杆稳定

两端铰支时长度系数μ=1
 

l

1  3 .6



34 . 64  10

i

3

 104

因为λ〉91
 
FN

A



F

A



2800



2



2800
104

40  10

2

3

0 . 259  120  160

所以该压杆满足稳定条件。

 0 . 259
MPa  8 . 00 MPa  



压杆稳定

第五节

提高压杆稳定性的措施

一、减小压杆的支承长度
从柔度计算式  

l
i

l\2

减小压杆的长度是降低压杆柔
l

度，提高压杆稳定性的有效方法
之一。
在条件允许的情况下，应
尽量使压杆的长度减小，或者
在压杆中间增加支撑。

l\2

压杆稳定
第

二、改善支承情况 ，减小长度系数μ
  0. 5

 1
Fcr

Fcr

 2

Fcr

杆端约束刚性越强,压杆的长度系数越小,相应的柔度
就越低,临界力就越大,因此尽可能加强杆端约束的刚性,
可使压 杆的稳定性得到提高.

压杆稳定

三、选择合理的截面形状
当截面面积相同的情况下，增大惯性矩I，从而达到增

大惯性半径i，减小柔度λ，提高压杆的临界应力。

压杆稳定

当压杆在各个弯曲平面内的支承条件相同时，压杆的

稳定性是由Imin方向的临界应力控制。因此，应尽量使截
面对任一形心主轴的惯性矩相同，这样可使压杆在各个
弯曲平面内具有相同的稳定性。
例如由两根槽钢组合而成的压杆
采用哪
种形式
好？

压杆稳定

当压杆在两个相互垂直平面内的支承条件不同时，
可采用Iz≠Iy的截面来与相应的支承条件配合，使压杆在

两相互垂直平面内的柔度值相等，即λz=λy，这样保证
压杆在这两个方向上具有相同的稳定性。

压杆稳定

四、合理选择材料
对于大柔度杆，临界应力与材料的弹性模量E有关，
由于各种钢材的弹性模量E值相差不大。所以，对大柔度

杆来说，选用优质钢材对提高临界应力意义不大。
对于中柔度杆，其临界应力与材料强度有关，强度越
高的材料，临界应力越高。所以，对中柔度杆而言，选择
优质钢材将有助于提高压杆的稳定性。


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第十六章

压杆稳定

压杆稳定

第一节 压杆稳定的概念
一、稳定问题的提出

F

两根相同材料（松木）制成的杆，

σb=20MPa；A＝10mm×30mm
1m

短杆长：l＝30mm；
长杆长：l＝1000mm
F

若按强度条件计算，
两根杆压缩时的极限承载能力
均应为：
F= σb A=6kN

30mm

F

F

压杆稳定

压杆的破坏实验结果：

F

（1）短杆在压力增加到约

为6kN时，因木纹出现裂纹而
破坏。
（2）长杆在压力增加到约4kN
时突然弯向一侧，继续增大压力，
弯曲迅速增大，杆随即折断。

1m

F
30mm

F

F

压杆稳定
第六章

结论：
短压杆与长压杆在压缩时的破坏
性质完全不同
•

F

短压杆的破坏属于强

1m

度问题；
F

• 长压杆的破坏则属于能

30mm

否保持其原来的直线平衡
状态的问题

F

F

压杆稳定
第十章

压杆稳定性：压杆保持其原来直线平衡状态
的能力。
压杆不能保持其原来直线平衡状态而突然变弯
的现象，称为压杆的直线平衡状态丧失了稳定，
简称为压杆失稳。

压杆稳定

压杆失稳的严重后果：
19世纪，瑞士的孟汗太因桥突然倒塌，造
成200人遇难。
1907年加拿大的魁北克桥在建造时突然倒
塌，其原因都是因为桥梁桁架中的受压杆失稳
引起的。
1909年12月汉堡一个60万m3的大型贮气罐
因一个受压构件失稳而突然倒塌。

压杆稳定

研究压杆稳定性的意义：
压杆因强度或刚度不足而造成破坏之前一般
都有先兆；压杆由于失稳而造成破坏之前没有
任何先兆，当压力达到某个临界数值时就会突
然破坏，因此这种破坏形式在工程上具有很大
的破坏性。

在建筑工程中的受压上弦杆、厂房的柱子等
设计中都必须考虑其稳定性要求。

压杆稳定

二、平衡状态的类型
稳定平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体能自动恢复到原来的平
衡位置的平衡

不稳定平衡：

即使干扰平衡的外力消
失后，物体仍继续向远离原
来平衡位置的方向继续运动
的平衡。

随遇平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体可在任意位置继续保持
平衡。

显然，随遇平衡是界于稳定平衡与不稳定平衡之间的状
态，称为临界平衡状态。

压杆稳定

三、压杆临界力Fcr
FP

l
FP

FP ＜ FPcr

FP

F F

FP

F

FP

稳定直线平衡状态

FP = FPcr

F

FP

临界状态

FP > FPcr

F

FP

不稳定平衡状态

压杆处于临界状态时的轴向压力称为压杆的
临界力Fcr。

压杆稳定

第二节

细长压杆的临界力

临界力的影响因素
临界力Fcr的大小反映了压杆失稳的难易，而压杆失稳
就是直杆变弯，发生弯曲变形，因此临界力的大小与影响
直杆弯曲变形的因素有关：
杆的长度l
抗弯刚度EI

杆端支承

l越大
EI越大

越牢固

抵抗变形的能力越小

容易失稳

Fcr越小

抵抗变形的能力越强

不易失稳

Fcr越大

越不容易发生弯曲变形

不易失稳

Fcr越大

压杆稳定

临界力的欧拉公式
 EI
2

F cr 

(l)

2

式中 E——材料的弹性模量；
I——压杆横截面对形心轴的最小惯性矩；
l——压杆的长度；

μ——长度系数，反映了杆端支承对临界力的影响；
μl——压杆的计算长度。

压杆稳定

一端固定
一端铰支

两端铰支

两端固定

一端固定
一端自由

Fcr
Fcr

Fcr

μ=1

μ=0.7

0.25l

l

0.5l

l
0.3l

l

l

0.7l

0.25l

Fcr

μ=0.5

μ=2

压杆稳定

例1

一根两端铰支的№20a工字钢细长压杆，长

l=3m，钢的弹性模量E=200GPa，试计算其临界力。
解 查型钢表得
 EI

Iz=2370cm4，Iy=158cm4

2

Fcr 

l

2

  200  10  158  10
2



9

3

2

8

N

 346  10 N  346 kN
3

由此可知，若轴向压力达到346kN时，此杆会失稳。

压杆稳定

思考
材料及横截面均相同，哪一根最容易失稳，哪一根
最不容易失稳。

压杆稳定
Fcr

Fcr

y

200

120

y

120

200

z
z

8m

例2 一矩形截面的
中心受压的细长木柱，
长l=8m，柱的支承情况，
在最大刚度平面内弯曲
时为两端铰支（图a）；
在最小刚度平面内弯曲
时为两端固定（图b）。
木材的弹性模量
E=10GPa，试求木柱的
临界力。

压杆稳定

解 由于最大刚度平面与最小刚度平面内的支承
情况不同，所以需分别计算。
Fcr

（1）计算最大刚度平面内的临界力
截面的惯性矩为
Iy 

3

mm

4

y

 8  10 mm
7

4

 8  10

5

m

4

200

两端铰支，长度系数μ=1
 EI
2

F cr 

(l )

3 . 14  10  10  8  10
2

y
2



9

(1  8 )

 123  10 N  123 kN
3

z

8m

12

2

5

N

120

120  200

压杆稳定

（2）计算最小刚度平面内的临界力。
Fcr

由图16-4b,截面惯性矩为
3

mm

4

12

 2 . 88  10 mm
7

 2 . 88  10

5

m

4

z

4

y

两端固定，长度系数μ=0.5
 EI Z
2

Fcr 

(l )

2

3 . 14  10  10  2 . 88  10
2



9

( 0 .5  8 )

 177  10 N  177 kN
3

2

120

5

N

200

IZ 

200  120

压杆稳定

Fcr

Fcr

y

200

y

120

8m

z

120

200

z

比较计算结果可知
，第一种情况的临界力
小，所以压杆失稳时将
在最大刚度平面内产生
弯曲。此例说明，当在
最小刚度平面与最大刚
度平面内支承情况不同
时，压杆不一定在最小
刚度平面内失稳，必须
经过具体计算后才能确
定。

压杆稳定

第三节 临界应力与欧拉公式的适用范围
一、临界应力
 cr 
I i A
2

F cr

2



cr



(l )

2

2

 E

A
 Ei
2



 E I

(l)

2

A
2



(

l

)

2

i
令   l i

 E
2

 cr 



2

   l i —— 压杆的柔度（长细比），是无量纲的量。

压杆稳定

压杆的柔度λ
（1）综合反映了压杆的长度（l）、杆端支承情况（μ
）、截面形状和尺寸（I、A、i）对临界应力的影响。
（2）压杆的临界应力与压杆柔度的平方成反比，即
，柔度越大压杆临界应力越小，压杆越容易失稳。

压杆稳定

二、欧拉公式的适用范围
只有当压杆的临界应力不超过材料的比例极限时，欧
拉公式才适用，即：
 E
2

 cr 



2



p

  p  

E

p

 p ——对应于材料比例极限时的柔度，只与材料的性质

有关，与压杆的截面形状和尺寸无关。

   p 的压杆——大柔度杆（细长杆）
欧拉公式只适用于大柔度杆（细长杆）

压杆稳定

三、超出比例极限时压杆的临界应力、
临界应力总图
压杆的应力超出比例极限时（λ<λp），这类杆件工程
上称为中柔度杆，此类压杆的稳定称弹塑性稳定。
抛物线公式（经验公式）

σcr= a - bλ2
式中，λ为压杆的柔度，a、b与材料有关的常数

例如：对于Q235钢及16Mn钢分别有
σcr=（235-0.00668λ2）MPa
σcr=（345-0.0142λ2）MPa

压杆稳定

由式可知，压杆不论处于弹性阶段还是弹塑性阶段，
其临界应力均为压杆柔度的函数，临界应力σcr与柔度λ的
函数曲线称为临界应力总图。

注意：图中以λc=123
而不是以λp=100作为二曲
线的分界点.
对Q235钢制成的压杆 ,
当λ≥λc，按欧拉公式计
算临界应力或临界力;当
λ<123时用经验公式计算

压杆稳定

第四节

压杆的稳定计算

一、压杆稳定条件

  

st

式中 [σ]st称为稳定许用应力，其值为

 st



 cr
n st

式中nst为压杆的稳定安全系数

压杆稳定

稳定许用应力值可写成下列形式

 st

  



式中[σ]——强度计算时的许用应力；

——折减系数。
压杆稳定条件可写为

 

FN
A

式中A为横截面的毛面积。

  



压杆稳定

折减系数
（1）折减系数是柔度λ的函数，随柔度λ的变化而
变化，柔度λ越大，折减系数越小；

（2）折减系数是各种影响因素的综合反映（如荷
载偏心、材料不均匀、初始曲率、安全储备等）；
（3）由于[σ] st总是小于[σ]，因此折减系数是一个小
于1的数。

压杆稳定

二、压杆稳定条件的应用
1.稳定校核。

2.设计截面。
3.确定稳定许用荷载。

压杆稳定

例11-3 图示两端铰支（球形铰）的矩形截面木杆，杆
端作用轴向压力Fp。已知l=3.6m，Fp=40kN，木材的强度
等级为TC13，许用应力[σ]=10MPa，试校核该压杆的稳定。
F
cr

解 矩形截面的惯性半径

A


120
12



12
bh

y



b

z

12

mm  34 . 64 mm

120

160

i

Iy

3

8m

hb

压杆稳定

两端铰支时长度系数μ=1
 

l

1  3 .6



34 . 64  10

i

3

 104

因为λ〉91
 
FN

A



F

A



2800



2



2800
104

40  10

2

3

0 . 259  120  160

所以该压杆满足稳定条件。

 0 . 259
MPa  8 . 00 MPa  



压杆稳定

第五节

提高压杆稳定性的措施

一、减小压杆的支承长度
从柔度计算式  

l
i

l\2

减小压杆的长度是降低压杆柔
l

度，提高压杆稳定性的有效方法
之一。
在条件允许的情况下，应
尽量使压杆的长度减小，或者
在压杆中间增加支撑。

l\2

压杆稳定
第

二、改善支承情况 ，减小长度系数μ
  0. 5

 1
Fcr

Fcr

 2

Fcr

杆端约束刚性越强,压杆的长度系数越小,相应的柔度
就越低,临界力就越大,因此尽可能加强杆端约束的刚性,
可使压 杆的稳定性得到提高.

压杆稳定

三、选择合理的截面形状
当截面面积相同的情况下，增大惯性矩I，从而达到增

大惯性半径i，减小柔度λ，提高压杆的临界应力。

压杆稳定

当压杆在各个弯曲平面内的支承条件相同时，压杆的

稳定性是由Imin方向的临界应力控制。因此，应尽量使截
面对任一形心主轴的惯性矩相同，这样可使压杆在各个
弯曲平面内具有相同的稳定性。
例如由两根槽钢组合而成的压杆
采用哪
种形式
好？

压杆稳定

当压杆在两个相互垂直平面内的支承条件不同时，
可采用Iz≠Iy的截面来与相应的支承条件配合，使压杆在

两相互垂直平面内的柔度值相等，即λz=λy，这样保证
压杆在这两个方向上具有相同的稳定性。

压杆稳定

四、合理选择材料
对于大柔度杆，临界应力与材料的弹性模量E有关，
由于各种钢材的弹性模量E值相差不大。所以，对大柔度

杆来说，选用优质钢材对提高临界应力意义不大。
对于中柔度杆，其临界应力与材料强度有关，强度越
高的材料，临界应力越高。所以，对中柔度杆而言，选择
优质钢材将有助于提高压杆的稳定性。


Slide 5

第十六章

压杆稳定

压杆稳定

第一节 压杆稳定的概念
一、稳定问题的提出

F

两根相同材料（松木）制成的杆，

σb=20MPa；A＝10mm×30mm
1m

短杆长：l＝30mm；
长杆长：l＝1000mm
F

若按强度条件计算，
两根杆压缩时的极限承载能力
均应为：
F= σb A=6kN

30mm

F

F

压杆稳定

压杆的破坏实验结果：

F

（1）短杆在压力增加到约

为6kN时，因木纹出现裂纹而
破坏。
（2）长杆在压力增加到约4kN
时突然弯向一侧，继续增大压力，
弯曲迅速增大，杆随即折断。

1m

F
30mm

F

F

压杆稳定
第六章

结论：
短压杆与长压杆在压缩时的破坏
性质完全不同
•

F

短压杆的破坏属于强

1m

度问题；
F

• 长压杆的破坏则属于能

30mm

否保持其原来的直线平衡
状态的问题

F

F

压杆稳定
第十章

压杆稳定性：压杆保持其原来直线平衡状态
的能力。
压杆不能保持其原来直线平衡状态而突然变弯
的现象，称为压杆的直线平衡状态丧失了稳定，
简称为压杆失稳。

压杆稳定

压杆失稳的严重后果：
19世纪，瑞士的孟汗太因桥突然倒塌，造
成200人遇难。
1907年加拿大的魁北克桥在建造时突然倒
塌，其原因都是因为桥梁桁架中的受压杆失稳
引起的。
1909年12月汉堡一个60万m3的大型贮气罐
因一个受压构件失稳而突然倒塌。

压杆稳定

研究压杆稳定性的意义：
压杆因强度或刚度不足而造成破坏之前一般
都有先兆；压杆由于失稳而造成破坏之前没有
任何先兆，当压力达到某个临界数值时就会突
然破坏，因此这种破坏形式在工程上具有很大
的破坏性。

在建筑工程中的受压上弦杆、厂房的柱子等
设计中都必须考虑其稳定性要求。

压杆稳定

二、平衡状态的类型
稳定平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体能自动恢复到原来的平
衡位置的平衡

不稳定平衡：

即使干扰平衡的外力消
失后，物体仍继续向远离原
来平衡位置的方向继续运动
的平衡。

随遇平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体可在任意位置继续保持
平衡。

显然，随遇平衡是界于稳定平衡与不稳定平衡之间的状
态，称为临界平衡状态。

压杆稳定

三、压杆临界力Fcr
FP

l
FP

FP ＜ FPcr

FP

F F

FP

F

FP

稳定直线平衡状态

FP = FPcr

F

FP

临界状态

FP > FPcr

F

FP

不稳定平衡状态

压杆处于临界状态时的轴向压力称为压杆的
临界力Fcr。

压杆稳定

第二节

细长压杆的临界力

临界力的影响因素
临界力Fcr的大小反映了压杆失稳的难易，而压杆失稳
就是直杆变弯，发生弯曲变形，因此临界力的大小与影响
直杆弯曲变形的因素有关：
杆的长度l
抗弯刚度EI

杆端支承

l越大
EI越大

越牢固

抵抗变形的能力越小

容易失稳

Fcr越小

抵抗变形的能力越强

不易失稳

Fcr越大

越不容易发生弯曲变形

不易失稳

Fcr越大

压杆稳定

临界力的欧拉公式
 EI
2

F cr 

(l)

2

式中 E——材料的弹性模量；
I——压杆横截面对形心轴的最小惯性矩；
l——压杆的长度；

μ——长度系数，反映了杆端支承对临界力的影响；
μl——压杆的计算长度。

压杆稳定

一端固定
一端铰支

两端铰支

两端固定

一端固定
一端自由

Fcr
Fcr

Fcr

μ=1

μ=0.7

0.25l

l

0.5l

l
0.3l

l

l

0.7l

0.25l

Fcr

μ=0.5

μ=2

压杆稳定

例1

一根两端铰支的№20a工字钢细长压杆，长

l=3m，钢的弹性模量E=200GPa，试计算其临界力。
解 查型钢表得
 EI

Iz=2370cm4，Iy=158cm4

2

Fcr 

l

2

  200  10  158  10
2



9

3

2

8

N

 346  10 N  346 kN
3

由此可知，若轴向压力达到346kN时，此杆会失稳。

压杆稳定

思考
材料及横截面均相同，哪一根最容易失稳，哪一根
最不容易失稳。

压杆稳定
Fcr

Fcr

y

200

120

y

120

200

z
z

8m

例2 一矩形截面的
中心受压的细长木柱，
长l=8m，柱的支承情况，
在最大刚度平面内弯曲
时为两端铰支（图a）；
在最小刚度平面内弯曲
时为两端固定（图b）。
木材的弹性模量
E=10GPa，试求木柱的
临界力。

压杆稳定

解 由于最大刚度平面与最小刚度平面内的支承
情况不同，所以需分别计算。
Fcr

（1）计算最大刚度平面内的临界力
截面的惯性矩为
Iy 

3

mm

4

y

 8  10 mm
7

4

 8  10

5

m

4

200

两端铰支，长度系数μ=1
 EI
2

F cr 

(l )

3 . 14  10  10  8  10
2

y
2



9

(1  8 )

 123  10 N  123 kN
3

z

8m

12

2

5

N

120

120  200

压杆稳定

（2）计算最小刚度平面内的临界力。
Fcr

由图16-4b,截面惯性矩为
3

mm

4

12

 2 . 88  10 mm
7

 2 . 88  10

5

m

4

z

4

y

两端固定，长度系数μ=0.5
 EI Z
2

Fcr 

(l )

2

3 . 14  10  10  2 . 88  10
2



9

( 0 .5  8 )

 177  10 N  177 kN
3

2

120

5

N

200

IZ 

200  120

压杆稳定

Fcr

Fcr

y

200

y

120

8m

z

120

200

z

比较计算结果可知
，第一种情况的临界力
小，所以压杆失稳时将
在最大刚度平面内产生
弯曲。此例说明，当在
最小刚度平面与最大刚
度平面内支承情况不同
时，压杆不一定在最小
刚度平面内失稳，必须
经过具体计算后才能确
定。

压杆稳定

第三节 临界应力与欧拉公式的适用范围
一、临界应力
 cr 
I i A
2

F cr

2



cr



(l )

2

2

 E

A
 Ei
2



 E I

(l)

2

A
2



(

l

)

2

i
令   l i

 E
2

 cr 



2

   l i —— 压杆的柔度（长细比），是无量纲的量。

压杆稳定

压杆的柔度λ
（1）综合反映了压杆的长度（l）、杆端支承情况（μ
）、截面形状和尺寸（I、A、i）对临界应力的影响。
（2）压杆的临界应力与压杆柔度的平方成反比，即
，柔度越大压杆临界应力越小，压杆越容易失稳。

压杆稳定

二、欧拉公式的适用范围
只有当压杆的临界应力不超过材料的比例极限时，欧
拉公式才适用，即：
 E
2

 cr 



2



p

  p  

E

p

 p ——对应于材料比例极限时的柔度，只与材料的性质

有关，与压杆的截面形状和尺寸无关。

   p 的压杆——大柔度杆（细长杆）
欧拉公式只适用于大柔度杆（细长杆）

压杆稳定

三、超出比例极限时压杆的临界应力、
临界应力总图
压杆的应力超出比例极限时（λ<λp），这类杆件工程
上称为中柔度杆，此类压杆的稳定称弹塑性稳定。
抛物线公式（经验公式）

σcr= a - bλ2
式中，λ为压杆的柔度，a、b与材料有关的常数

例如：对于Q235钢及16Mn钢分别有
σcr=（235-0.00668λ2）MPa
σcr=（345-0.0142λ2）MPa

压杆稳定

由式可知，压杆不论处于弹性阶段还是弹塑性阶段，
其临界应力均为压杆柔度的函数，临界应力σcr与柔度λ的
函数曲线称为临界应力总图。

注意：图中以λc=123
而不是以λp=100作为二曲
线的分界点.
对Q235钢制成的压杆 ,
当λ≥λc，按欧拉公式计
算临界应力或临界力;当
λ<123时用经验公式计算

压杆稳定

第四节

压杆的稳定计算

一、压杆稳定条件

  

st

式中 [σ]st称为稳定许用应力，其值为

 st



 cr
n st

式中nst为压杆的稳定安全系数

压杆稳定

稳定许用应力值可写成下列形式

 st

  



式中[σ]——强度计算时的许用应力；

——折减系数。
压杆稳定条件可写为

 

FN
A

式中A为横截面的毛面积。

  



压杆稳定

折减系数
（1）折减系数是柔度λ的函数，随柔度λ的变化而
变化，柔度λ越大，折减系数越小；

（2）折减系数是各种影响因素的综合反映（如荷
载偏心、材料不均匀、初始曲率、安全储备等）；
（3）由于[σ] st总是小于[σ]，因此折减系数是一个小
于1的数。

压杆稳定

二、压杆稳定条件的应用
1.稳定校核。

2.设计截面。
3.确定稳定许用荷载。

压杆稳定

例11-3 图示两端铰支（球形铰）的矩形截面木杆，杆
端作用轴向压力Fp。已知l=3.6m，Fp=40kN，木材的强度
等级为TC13，许用应力[σ]=10MPa，试校核该压杆的稳定。
F
cr

解 矩形截面的惯性半径

A


120
12



12
bh

y



b

z

12

mm  34 . 64 mm

120

160

i

Iy

3

8m

hb

压杆稳定

两端铰支时长度系数μ=1
 

l

1  3 .6



34 . 64  10

i

3

 104

因为λ〉91
 
FN

A



F

A



2800



2



2800
104

40  10

2

3

0 . 259  120  160

所以该压杆满足稳定条件。

 0 . 259
MPa  8 . 00 MPa  



压杆稳定

第五节

提高压杆稳定性的措施

一、减小压杆的支承长度
从柔度计算式  

l
i

l\2

减小压杆的长度是降低压杆柔
l

度，提高压杆稳定性的有效方法
之一。
在条件允许的情况下，应
尽量使压杆的长度减小，或者
在压杆中间增加支撑。

l\2

压杆稳定
第

二、改善支承情况 ，减小长度系数μ
  0. 5

 1
Fcr

Fcr

 2

Fcr

杆端约束刚性越强,压杆的长度系数越小,相应的柔度
就越低,临界力就越大,因此尽可能加强杆端约束的刚性,
可使压 杆的稳定性得到提高.

压杆稳定

三、选择合理的截面形状
当截面面积相同的情况下，增大惯性矩I，从而达到增

大惯性半径i，减小柔度λ，提高压杆的临界应力。

压杆稳定

当压杆在各个弯曲平面内的支承条件相同时，压杆的

稳定性是由Imin方向的临界应力控制。因此，应尽量使截
面对任一形心主轴的惯性矩相同，这样可使压杆在各个
弯曲平面内具有相同的稳定性。
例如由两根槽钢组合而成的压杆
采用哪
种形式
好？

压杆稳定

当压杆在两个相互垂直平面内的支承条件不同时，
可采用Iz≠Iy的截面来与相应的支承条件配合，使压杆在

两相互垂直平面内的柔度值相等，即λz=λy，这样保证
压杆在这两个方向上具有相同的稳定性。

压杆稳定

四、合理选择材料
对于大柔度杆，临界应力与材料的弹性模量E有关，
由于各种钢材的弹性模量E值相差不大。所以，对大柔度

杆来说，选用优质钢材对提高临界应力意义不大。
对于中柔度杆，其临界应力与材料强度有关，强度越
高的材料，临界应力越高。所以，对中柔度杆而言，选择
优质钢材将有助于提高压杆的稳定性。


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第十六章

压杆稳定

压杆稳定

第一节 压杆稳定的概念
一、稳定问题的提出

F

两根相同材料（松木）制成的杆，

σb=20MPa；A＝10mm×30mm
1m

短杆长：l＝30mm；
长杆长：l＝1000mm
F

若按强度条件计算，
两根杆压缩时的极限承载能力
均应为：
F= σb A=6kN

30mm

F

F

压杆稳定

压杆的破坏实验结果：

F

（1）短杆在压力增加到约

为6kN时，因木纹出现裂纹而
破坏。
（2）长杆在压力增加到约4kN
时突然弯向一侧，继续增大压力，
弯曲迅速增大，杆随即折断。

1m

F
30mm

F

F

压杆稳定
第六章

结论：
短压杆与长压杆在压缩时的破坏
性质完全不同
•

F

短压杆的破坏属于强

1m

度问题；
F

• 长压杆的破坏则属于能

30mm

否保持其原来的直线平衡
状态的问题

F

F

压杆稳定
第十章

压杆稳定性：压杆保持其原来直线平衡状态
的能力。
压杆不能保持其原来直线平衡状态而突然变弯
的现象，称为压杆的直线平衡状态丧失了稳定，
简称为压杆失稳。

压杆稳定

压杆失稳的严重后果：
19世纪，瑞士的孟汗太因桥突然倒塌，造
成200人遇难。
1907年加拿大的魁北克桥在建造时突然倒
塌，其原因都是因为桥梁桁架中的受压杆失稳
引起的。
1909年12月汉堡一个60万m3的大型贮气罐
因一个受压构件失稳而突然倒塌。

压杆稳定

研究压杆稳定性的意义：
压杆因强度或刚度不足而造成破坏之前一般
都有先兆；压杆由于失稳而造成破坏之前没有
任何先兆，当压力达到某个临界数值时就会突
然破坏，因此这种破坏形式在工程上具有很大
的破坏性。

在建筑工程中的受压上弦杆、厂房的柱子等
设计中都必须考虑其稳定性要求。

压杆稳定

二、平衡状态的类型
稳定平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体能自动恢复到原来的平
衡位置的平衡

不稳定平衡：

即使干扰平衡的外力消
失后，物体仍继续向远离原
来平衡位置的方向继续运动
的平衡。

随遇平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体可在任意位置继续保持
平衡。

显然，随遇平衡是界于稳定平衡与不稳定平衡之间的状
态，称为临界平衡状态。

压杆稳定

三、压杆临界力Fcr
FP

l
FP

FP ＜ FPcr

FP

F F

FP

F

FP

稳定直线平衡状态

FP = FPcr

F

FP

临界状态

FP > FPcr

F

FP

不稳定平衡状态

压杆处于临界状态时的轴向压力称为压杆的
临界力Fcr。

压杆稳定

第二节

细长压杆的临界力

临界力的影响因素
临界力Fcr的大小反映了压杆失稳的难易，而压杆失稳
就是直杆变弯，发生弯曲变形，因此临界力的大小与影响
直杆弯曲变形的因素有关：
杆的长度l
抗弯刚度EI

杆端支承

l越大
EI越大

越牢固

抵抗变形的能力越小

容易失稳

Fcr越小

抵抗变形的能力越强

不易失稳

Fcr越大

越不容易发生弯曲变形

不易失稳

Fcr越大

压杆稳定

临界力的欧拉公式
 EI
2

F cr 

(l)

2

式中 E——材料的弹性模量；
I——压杆横截面对形心轴的最小惯性矩；
l——压杆的长度；

μ——长度系数，反映了杆端支承对临界力的影响；
μl——压杆的计算长度。

压杆稳定

一端固定
一端铰支

两端铰支

两端固定

一端固定
一端自由

Fcr
Fcr

Fcr

μ=1

μ=0.7

0.25l

l

0.5l

l
0.3l

l

l

0.7l

0.25l

Fcr

μ=0.5

μ=2

压杆稳定

例1

一根两端铰支的№20a工字钢细长压杆，长

l=3m，钢的弹性模量E=200GPa，试计算其临界力。
解 查型钢表得
 EI

Iz=2370cm4，Iy=158cm4

2

Fcr 

l

2

  200  10  158  10
2



9

3

2

8

N

 346  10 N  346 kN
3

由此可知，若轴向压力达到346kN时，此杆会失稳。

压杆稳定

思考
材料及横截面均相同，哪一根最容易失稳，哪一根
最不容易失稳。

压杆稳定
Fcr

Fcr

y

200

120

y

120

200

z
z

8m

例2 一矩形截面的
中心受压的细长木柱，
长l=8m，柱的支承情况，
在最大刚度平面内弯曲
时为两端铰支（图a）；
在最小刚度平面内弯曲
时为两端固定（图b）。
木材的弹性模量
E=10GPa，试求木柱的
临界力。

压杆稳定

解 由于最大刚度平面与最小刚度平面内的支承
情况不同，所以需分别计算。
Fcr

（1）计算最大刚度平面内的临界力
截面的惯性矩为
Iy 

3

mm

4

y

 8  10 mm
7

4

 8  10

5

m

4

200

两端铰支，长度系数μ=1
 EI
2

F cr 

(l )

3 . 14  10  10  8  10
2

y
2



9

(1  8 )

 123  10 N  123 kN
3

z

8m

12

2

5

N

120

120  200

压杆稳定

（2）计算最小刚度平面内的临界力。
Fcr

由图16-4b,截面惯性矩为
3

mm

4

12

 2 . 88  10 mm
7

 2 . 88  10

5

m

4

z

4

y

两端固定，长度系数μ=0.5
 EI Z
2

Fcr 

(l )

2

3 . 14  10  10  2 . 88  10
2



9

( 0 .5  8 )

 177  10 N  177 kN
3

2

120

5

N

200

IZ 

200  120

压杆稳定

Fcr

Fcr

y

200

y

120

8m

z

120

200

z

比较计算结果可知
，第一种情况的临界力
小，所以压杆失稳时将
在最大刚度平面内产生
弯曲。此例说明，当在
最小刚度平面与最大刚
度平面内支承情况不同
时，压杆不一定在最小
刚度平面内失稳，必须
经过具体计算后才能确
定。

压杆稳定

第三节 临界应力与欧拉公式的适用范围
一、临界应力
 cr 
I i A
2

F cr

2



cr



(l )

2

2

 E

A
 Ei
2



 E I

(l)

2

A
2



(

l

)

2

i
令   l i

 E
2

 cr 



2

   l i —— 压杆的柔度（长细比），是无量纲的量。

压杆稳定

压杆的柔度λ
（1）综合反映了压杆的长度（l）、杆端支承情况（μ
）、截面形状和尺寸（I、A、i）对临界应力的影响。
（2）压杆的临界应力与压杆柔度的平方成反比，即
，柔度越大压杆临界应力越小，压杆越容易失稳。

压杆稳定

二、欧拉公式的适用范围
只有当压杆的临界应力不超过材料的比例极限时，欧
拉公式才适用，即：
 E
2

 cr 



2



p

  p  

E

p

 p ——对应于材料比例极限时的柔度，只与材料的性质

有关，与压杆的截面形状和尺寸无关。

   p 的压杆——大柔度杆（细长杆）
欧拉公式只适用于大柔度杆（细长杆）

压杆稳定

三、超出比例极限时压杆的临界应力、
临界应力总图
压杆的应力超出比例极限时（λ<λp），这类杆件工程
上称为中柔度杆，此类压杆的稳定称弹塑性稳定。
抛物线公式（经验公式）

σcr= a - bλ2
式中，λ为压杆的柔度，a、b与材料有关的常数

例如：对于Q235钢及16Mn钢分别有
σcr=（235-0.00668λ2）MPa
σcr=（345-0.0142λ2）MPa

压杆稳定

由式可知，压杆不论处于弹性阶段还是弹塑性阶段，
其临界应力均为压杆柔度的函数，临界应力σcr与柔度λ的
函数曲线称为临界应力总图。

注意：图中以λc=123
而不是以λp=100作为二曲
线的分界点.
对Q235钢制成的压杆 ,
当λ≥λc，按欧拉公式计
算临界应力或临界力;当
λ<123时用经验公式计算

压杆稳定

第四节

压杆的稳定计算

一、压杆稳定条件

  

st

式中 [σ]st称为稳定许用应力，其值为

 st



 cr
n st

式中nst为压杆的稳定安全系数

压杆稳定

稳定许用应力值可写成下列形式

 st

  



式中[σ]——强度计算时的许用应力；

——折减系数。
压杆稳定条件可写为

 

FN
A

式中A为横截面的毛面积。

  



压杆稳定

折减系数
（1）折减系数是柔度λ的函数，随柔度λ的变化而
变化，柔度λ越大，折减系数越小；

（2）折减系数是各种影响因素的综合反映（如荷
载偏心、材料不均匀、初始曲率、安全储备等）；
（3）由于[σ] st总是小于[σ]，因此折减系数是一个小
于1的数。

压杆稳定

二、压杆稳定条件的应用
1.稳定校核。

2.设计截面。
3.确定稳定许用荷载。

压杆稳定

例11-3 图示两端铰支（球形铰）的矩形截面木杆，杆
端作用轴向压力Fp。已知l=3.6m，Fp=40kN，木材的强度
等级为TC13，许用应力[σ]=10MPa，试校核该压杆的稳定。
F
cr

解 矩形截面的惯性半径

A


120
12



12
bh

y



b

z

12

mm  34 . 64 mm

120

160

i

Iy

3

8m

hb

压杆稳定

两端铰支时长度系数μ=1
 

l

1  3 .6



34 . 64  10

i

3

 104

因为λ〉91
 
FN

A



F

A



2800



2



2800
104

40  10

2

3

0 . 259  120  160

所以该压杆满足稳定条件。

 0 . 259
MPa  8 . 00 MPa  



压杆稳定

第五节

提高压杆稳定性的措施

一、减小压杆的支承长度
从柔度计算式  

l
i

l\2

减小压杆的长度是降低压杆柔
l

度，提高压杆稳定性的有效方法
之一。
在条件允许的情况下，应
尽量使压杆的长度减小，或者
在压杆中间增加支撑。

l\2

压杆稳定
第

二、改善支承情况 ，减小长度系数μ
  0. 5

 1
Fcr

Fcr

 2

Fcr

杆端约束刚性越强,压杆的长度系数越小,相应的柔度
就越低,临界力就越大,因此尽可能加强杆端约束的刚性,
可使压 杆的稳定性得到提高.

压杆稳定

三、选择合理的截面形状
当截面面积相同的情况下，增大惯性矩I，从而达到增

大惯性半径i，减小柔度λ，提高压杆的临界应力。

压杆稳定

当压杆在各个弯曲平面内的支承条件相同时，压杆的

稳定性是由Imin方向的临界应力控制。因此，应尽量使截
面对任一形心主轴的惯性矩相同，这样可使压杆在各个
弯曲平面内具有相同的稳定性。
例如由两根槽钢组合而成的压杆
采用哪
种形式
好？

压杆稳定

当压杆在两个相互垂直平面内的支承条件不同时，
可采用Iz≠Iy的截面来与相应的支承条件配合，使压杆在

两相互垂直平面内的柔度值相等，即λz=λy，这样保证
压杆在这两个方向上具有相同的稳定性。

压杆稳定

四、合理选择材料
对于大柔度杆，临界应力与材料的弹性模量E有关，
由于各种钢材的弹性模量E值相差不大。所以，对大柔度

杆来说，选用优质钢材对提高临界应力意义不大。
对于中柔度杆，其临界应力与材料强度有关，强度越
高的材料，临界应力越高。所以，对中柔度杆而言，选择
优质钢材将有助于提高压杆的稳定性。


Slide 7

第十六章

压杆稳定

压杆稳定

第一节 压杆稳定的概念
一、稳定问题的提出

F

两根相同材料（松木）制成的杆，

σb=20MPa；A＝10mm×30mm
1m

短杆长：l＝30mm；
长杆长：l＝1000mm
F

若按强度条件计算，
两根杆压缩时的极限承载能力
均应为：
F= σb A=6kN

30mm

F

F

压杆稳定

压杆的破坏实验结果：

F

（1）短杆在压力增加到约

为6kN时，因木纹出现裂纹而
破坏。
（2）长杆在压力增加到约4kN
时突然弯向一侧，继续增大压力，
弯曲迅速增大，杆随即折断。

1m

F
30mm

F

F

压杆稳定
第六章

结论：
短压杆与长压杆在压缩时的破坏
性质完全不同
•

F

短压杆的破坏属于强

1m

度问题；
F

• 长压杆的破坏则属于能

30mm

否保持其原来的直线平衡
状态的问题

F

F

压杆稳定
第十章

压杆稳定性：压杆保持其原来直线平衡状态
的能力。
压杆不能保持其原来直线平衡状态而突然变弯
的现象，称为压杆的直线平衡状态丧失了稳定，
简称为压杆失稳。

压杆稳定

压杆失稳的严重后果：
19世纪，瑞士的孟汗太因桥突然倒塌，造
成200人遇难。
1907年加拿大的魁北克桥在建造时突然倒
塌，其原因都是因为桥梁桁架中的受压杆失稳
引起的。
1909年12月汉堡一个60万m3的大型贮气罐
因一个受压构件失稳而突然倒塌。

压杆稳定

研究压杆稳定性的意义：
压杆因强度或刚度不足而造成破坏之前一般
都有先兆；压杆由于失稳而造成破坏之前没有
任何先兆，当压力达到某个临界数值时就会突
然破坏，因此这种破坏形式在工程上具有很大
的破坏性。

在建筑工程中的受压上弦杆、厂房的柱子等
设计中都必须考虑其稳定性要求。

压杆稳定

二、平衡状态的类型
稳定平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体能自动恢复到原来的平
衡位置的平衡

不稳定平衡：

即使干扰平衡的外力消
失后，物体仍继续向远离原
来平衡位置的方向继续运动
的平衡。

随遇平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体可在任意位置继续保持
平衡。

显然，随遇平衡是界于稳定平衡与不稳定平衡之间的状
态，称为临界平衡状态。

压杆稳定

三、压杆临界力Fcr
FP

l
FP

FP ＜ FPcr

FP

F F

FP

F

FP

稳定直线平衡状态

FP = FPcr

F

FP

临界状态

FP > FPcr

F

FP

不稳定平衡状态

压杆处于临界状态时的轴向压力称为压杆的
临界力Fcr。

压杆稳定

第二节

细长压杆的临界力

临界力的影响因素
临界力Fcr的大小反映了压杆失稳的难易，而压杆失稳
就是直杆变弯，发生弯曲变形，因此临界力的大小与影响
直杆弯曲变形的因素有关：
杆的长度l
抗弯刚度EI

杆端支承

l越大
EI越大

越牢固

抵抗变形的能力越小

容易失稳

Fcr越小

抵抗变形的能力越强

不易失稳

Fcr越大

越不容易发生弯曲变形

不易失稳

Fcr越大

压杆稳定

临界力的欧拉公式
 EI
2

F cr 

(l)

2

式中 E——材料的弹性模量；
I——压杆横截面对形心轴的最小惯性矩；
l——压杆的长度；

μ——长度系数，反映了杆端支承对临界力的影响；
μl——压杆的计算长度。

压杆稳定

一端固定
一端铰支

两端铰支

两端固定

一端固定
一端自由

Fcr
Fcr

Fcr

μ=1

μ=0.7

0.25l

l

0.5l

l
0.3l

l

l

0.7l

0.25l

Fcr

μ=0.5

μ=2

压杆稳定

例1

一根两端铰支的№20a工字钢细长压杆，长

l=3m，钢的弹性模量E=200GPa，试计算其临界力。
解 查型钢表得
 EI

Iz=2370cm4，Iy=158cm4

2

Fcr 

l

2

  200  10  158  10
2



9

3

2

8

N

 346  10 N  346 kN
3

由此可知，若轴向压力达到346kN时，此杆会失稳。

压杆稳定

思考
材料及横截面均相同，哪一根最容易失稳，哪一根
最不容易失稳。

压杆稳定
Fcr

Fcr

y

200

120

y

120

200

z
z

8m

例2 一矩形截面的
中心受压的细长木柱，
长l=8m，柱的支承情况，
在最大刚度平面内弯曲
时为两端铰支（图a）；
在最小刚度平面内弯曲
时为两端固定（图b）。
木材的弹性模量
E=10GPa，试求木柱的
临界力。

压杆稳定

解 由于最大刚度平面与最小刚度平面内的支承
情况不同，所以需分别计算。
Fcr

（1）计算最大刚度平面内的临界力
截面的惯性矩为
Iy 

3

mm

4

y

 8  10 mm
7

4

 8  10

5

m

4

200

两端铰支，长度系数μ=1
 EI
2

F cr 

(l )

3 . 14  10  10  8  10
2

y
2



9

(1  8 )

 123  10 N  123 kN
3

z

8m

12

2

5

N

120

120  200

压杆稳定

（2）计算最小刚度平面内的临界力。
Fcr

由图16-4b,截面惯性矩为
3

mm

4

12

 2 . 88  10 mm
7

 2 . 88  10

5

m

4

z

4

y

两端固定，长度系数μ=0.5
 EI Z
2

Fcr 

(l )

2

3 . 14  10  10  2 . 88  10
2



9

( 0 .5  8 )

 177  10 N  177 kN
3

2

120

5

N

200

IZ 

200  120

压杆稳定

Fcr

Fcr

y

200

y

120

8m

z

120

200

z

比较计算结果可知
，第一种情况的临界力
小，所以压杆失稳时将
在最大刚度平面内产生
弯曲。此例说明，当在
最小刚度平面与最大刚
度平面内支承情况不同
时，压杆不一定在最小
刚度平面内失稳，必须
经过具体计算后才能确
定。

压杆稳定

第三节 临界应力与欧拉公式的适用范围
一、临界应力
 cr 
I i A
2

F cr

2



cr



(l )

2

2

 E

A
 Ei
2



 E I

(l)

2

A
2



(

l

)

2

i
令   l i

 E
2

 cr 



2

   l i —— 压杆的柔度（长细比），是无量纲的量。

压杆稳定

压杆的柔度λ
（1）综合反映了压杆的长度（l）、杆端支承情况（μ
）、截面形状和尺寸（I、A、i）对临界应力的影响。
（2）压杆的临界应力与压杆柔度的平方成反比，即
，柔度越大压杆临界应力越小，压杆越容易失稳。

压杆稳定

二、欧拉公式的适用范围
只有当压杆的临界应力不超过材料的比例极限时，欧
拉公式才适用，即：
 E
2

 cr 



2



p

  p  

E

p

 p ——对应于材料比例极限时的柔度，只与材料的性质

有关，与压杆的截面形状和尺寸无关。

   p 的压杆——大柔度杆（细长杆）
欧拉公式只适用于大柔度杆（细长杆）

压杆稳定

三、超出比例极限时压杆的临界应力、
临界应力总图
压杆的应力超出比例极限时（λ<λp），这类杆件工程
上称为中柔度杆，此类压杆的稳定称弹塑性稳定。
抛物线公式（经验公式）

σcr= a - bλ2
式中，λ为压杆的柔度，a、b与材料有关的常数

例如：对于Q235钢及16Mn钢分别有
σcr=（235-0.00668λ2）MPa
σcr=（345-0.0142λ2）MPa

压杆稳定

由式可知，压杆不论处于弹性阶段还是弹塑性阶段，
其临界应力均为压杆柔度的函数，临界应力σcr与柔度λ的
函数曲线称为临界应力总图。

注意：图中以λc=123
而不是以λp=100作为二曲
线的分界点.
对Q235钢制成的压杆 ,
当λ≥λc，按欧拉公式计
算临界应力或临界力;当
λ<123时用经验公式计算

压杆稳定

第四节

压杆的稳定计算

一、压杆稳定条件

  

st

式中 [σ]st称为稳定许用应力，其值为

 st



 cr
n st

式中nst为压杆的稳定安全系数

压杆稳定

稳定许用应力值可写成下列形式

 st

  



式中[σ]——强度计算时的许用应力；

——折减系数。
压杆稳定条件可写为

 

FN
A

式中A为横截面的毛面积。

  



压杆稳定

折减系数
（1）折减系数是柔度λ的函数，随柔度λ的变化而
变化，柔度λ越大，折减系数越小；

（2）折减系数是各种影响因素的综合反映（如荷
载偏心、材料不均匀、初始曲率、安全储备等）；
（3）由于[σ] st总是小于[σ]，因此折减系数是一个小
于1的数。

压杆稳定

二、压杆稳定条件的应用
1.稳定校核。

2.设计截面。
3.确定稳定许用荷载。

压杆稳定

例11-3 图示两端铰支（球形铰）的矩形截面木杆，杆
端作用轴向压力Fp。已知l=3.6m，Fp=40kN，木材的强度
等级为TC13，许用应力[σ]=10MPa，试校核该压杆的稳定。
F
cr

解 矩形截面的惯性半径

A


120
12



12
bh

y



b

z

12

mm  34 . 64 mm

120

160

i

Iy

3

8m

hb

压杆稳定

两端铰支时长度系数μ=1
 

l

1  3 .6



34 . 64  10

i

3

 104

因为λ〉91
 
FN

A



F

A



2800



2



2800
104

40  10

2

3

0 . 259  120  160

所以该压杆满足稳定条件。

 0 . 259
MPa  8 . 00 MPa  



压杆稳定

第五节

提高压杆稳定性的措施

一、减小压杆的支承长度
从柔度计算式  

l
i

l\2

减小压杆的长度是降低压杆柔
l

度，提高压杆稳定性的有效方法
之一。
在条件允许的情况下，应
尽量使压杆的长度减小，或者
在压杆中间增加支撑。

l\2

压杆稳定
第

二、改善支承情况 ，减小长度系数μ
  0. 5

 1
Fcr

Fcr

 2

Fcr

杆端约束刚性越强,压杆的长度系数越小,相应的柔度
就越低,临界力就越大,因此尽可能加强杆端约束的刚性,
可使压 杆的稳定性得到提高.

压杆稳定

三、选择合理的截面形状
当截面面积相同的情况下，增大惯性矩I，从而达到增

大惯性半径i，减小柔度λ，提高压杆的临界应力。

压杆稳定

当压杆在各个弯曲平面内的支承条件相同时，压杆的

稳定性是由Imin方向的临界应力控制。因此，应尽量使截
面对任一形心主轴的惯性矩相同，这样可使压杆在各个
弯曲平面内具有相同的稳定性。
例如由两根槽钢组合而成的压杆
采用哪
种形式
好？

压杆稳定

当压杆在两个相互垂直平面内的支承条件不同时，
可采用Iz≠Iy的截面来与相应的支承条件配合，使压杆在

两相互垂直平面内的柔度值相等，即λz=λy，这样保证
压杆在这两个方向上具有相同的稳定性。

压杆稳定

四、合理选择材料
对于大柔度杆，临界应力与材料的弹性模量E有关，
由于各种钢材的弹性模量E值相差不大。所以，对大柔度

杆来说，选用优质钢材对提高临界应力意义不大。
对于中柔度杆，其临界应力与材料强度有关，强度越
高的材料，临界应力越高。所以，对中柔度杆而言，选择
优质钢材将有助于提高压杆的稳定性。


Slide 8

第十六章

压杆稳定

压杆稳定

第一节 压杆稳定的概念
一、稳定问题的提出

F

两根相同材料（松木）制成的杆，

σb=20MPa；A＝10mm×30mm
1m

短杆长：l＝30mm；
长杆长：l＝1000mm
F

若按强度条件计算，
两根杆压缩时的极限承载能力
均应为：
F= σb A=6kN

30mm

F

F

压杆稳定

压杆的破坏实验结果：

F

（1）短杆在压力增加到约

为6kN时，因木纹出现裂纹而
破坏。
（2）长杆在压力增加到约4kN
时突然弯向一侧，继续增大压力，
弯曲迅速增大，杆随即折断。

1m

F
30mm

F

F

压杆稳定
第六章

结论：
短压杆与长压杆在压缩时的破坏
性质完全不同
•

F

短压杆的破坏属于强

1m

度问题；
F

• 长压杆的破坏则属于能

30mm

否保持其原来的直线平衡
状态的问题

F

F

压杆稳定
第十章

压杆稳定性：压杆保持其原来直线平衡状态
的能力。
压杆不能保持其原来直线平衡状态而突然变弯
的现象，称为压杆的直线平衡状态丧失了稳定，
简称为压杆失稳。

压杆稳定

压杆失稳的严重后果：
19世纪，瑞士的孟汗太因桥突然倒塌，造
成200人遇难。
1907年加拿大的魁北克桥在建造时突然倒
塌，其原因都是因为桥梁桁架中的受压杆失稳
引起的。
1909年12月汉堡一个60万m3的大型贮气罐
因一个受压构件失稳而突然倒塌。

压杆稳定

研究压杆稳定性的意义：
压杆因强度或刚度不足而造成破坏之前一般
都有先兆；压杆由于失稳而造成破坏之前没有
任何先兆，当压力达到某个临界数值时就会突
然破坏，因此这种破坏形式在工程上具有很大
的破坏性。

在建筑工程中的受压上弦杆、厂房的柱子等
设计中都必须考虑其稳定性要求。

压杆稳定

二、平衡状态的类型
稳定平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体能自动恢复到原来的平
衡位置的平衡

不稳定平衡：

即使干扰平衡的外力消
失后，物体仍继续向远离原
来平衡位置的方向继续运动
的平衡。

随遇平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体可在任意位置继续保持
平衡。

显然，随遇平衡是界于稳定平衡与不稳定平衡之间的状
态，称为临界平衡状态。

压杆稳定

三、压杆临界力Fcr
FP

l
FP

FP ＜ FPcr

FP

F F

FP

F

FP

稳定直线平衡状态

FP = FPcr

F

FP

临界状态

FP > FPcr

F

FP

不稳定平衡状态

压杆处于临界状态时的轴向压力称为压杆的
临界力Fcr。

压杆稳定

第二节

细长压杆的临界力

临界力的影响因素
临界力Fcr的大小反映了压杆失稳的难易，而压杆失稳
就是直杆变弯，发生弯曲变形，因此临界力的大小与影响
直杆弯曲变形的因素有关：
杆的长度l
抗弯刚度EI

杆端支承

l越大
EI越大

越牢固

抵抗变形的能力越小

容易失稳

Fcr越小

抵抗变形的能力越强

不易失稳

Fcr越大

越不容易发生弯曲变形

不易失稳

Fcr越大

压杆稳定

临界力的欧拉公式
 EI
2

F cr 

(l)

2

式中 E——材料的弹性模量；
I——压杆横截面对形心轴的最小惯性矩；
l——压杆的长度；

μ——长度系数，反映了杆端支承对临界力的影响；
μl——压杆的计算长度。

压杆稳定

一端固定
一端铰支

两端铰支

两端固定

一端固定
一端自由

Fcr
Fcr

Fcr

μ=1

μ=0.7

0.25l

l

0.5l

l
0.3l

l

l

0.7l

0.25l

Fcr

μ=0.5

μ=2

压杆稳定

例1

一根两端铰支的№20a工字钢细长压杆，长

l=3m，钢的弹性模量E=200GPa，试计算其临界力。
解 查型钢表得
 EI

Iz=2370cm4，Iy=158cm4

2

Fcr 

l

2

  200  10  158  10
2



9

3

2

8

N

 346  10 N  346 kN
3

由此可知，若轴向压力达到346kN时，此杆会失稳。

压杆稳定

思考
材料及横截面均相同，哪一根最容易失稳，哪一根
最不容易失稳。

压杆稳定
Fcr

Fcr

y

200

120

y

120

200

z
z

8m

例2 一矩形截面的
中心受压的细长木柱，
长l=8m，柱的支承情况，
在最大刚度平面内弯曲
时为两端铰支（图a）；
在最小刚度平面内弯曲
时为两端固定（图b）。
木材的弹性模量
E=10GPa，试求木柱的
临界力。

压杆稳定

解 由于最大刚度平面与最小刚度平面内的支承
情况不同，所以需分别计算。
Fcr

（1）计算最大刚度平面内的临界力
截面的惯性矩为
Iy 

3

mm

4

y

 8  10 mm
7

4

 8  10

5

m

4

200

两端铰支，长度系数μ=1
 EI
2

F cr 

(l )

3 . 14  10  10  8  10
2

y
2



9

(1  8 )

 123  10 N  123 kN
3

z

8m

12

2

5

N

120

120  200

压杆稳定

（2）计算最小刚度平面内的临界力。
Fcr

由图16-4b,截面惯性矩为
3

mm

4

12

 2 . 88  10 mm
7

 2 . 88  10

5

m

4

z

4

y

两端固定，长度系数μ=0.5
 EI Z
2

Fcr 

(l )

2

3 . 14  10  10  2 . 88  10
2



9

( 0 .5  8 )

 177  10 N  177 kN
3

2

120

5

N

200

IZ 

200  120

压杆稳定

Fcr

Fcr

y

200

y

120

8m

z

120

200

z

比较计算结果可知
，第一种情况的临界力
小，所以压杆失稳时将
在最大刚度平面内产生
弯曲。此例说明，当在
最小刚度平面与最大刚
度平面内支承情况不同
时，压杆不一定在最小
刚度平面内失稳，必须
经过具体计算后才能确
定。

压杆稳定

第三节 临界应力与欧拉公式的适用范围
一、临界应力
 cr 
I i A
2

F cr

2



cr



(l )

2

2

 E

A
 Ei
2



 E I

(l)

2

A
2



(

l

)

2

i
令   l i

 E
2

 cr 



2

   l i —— 压杆的柔度（长细比），是无量纲的量。

压杆稳定

压杆的柔度λ
（1）综合反映了压杆的长度（l）、杆端支承情况（μ
）、截面形状和尺寸（I、A、i）对临界应力的影响。
（2）压杆的临界应力与压杆柔度的平方成反比，即
，柔度越大压杆临界应力越小，压杆越容易失稳。

压杆稳定

二、欧拉公式的适用范围
只有当压杆的临界应力不超过材料的比例极限时，欧
拉公式才适用，即：
 E
2

 cr 



2



p

  p  

E

p

 p ——对应于材料比例极限时的柔度，只与材料的性质

有关，与压杆的截面形状和尺寸无关。

   p 的压杆——大柔度杆（细长杆）
欧拉公式只适用于大柔度杆（细长杆）

压杆稳定

三、超出比例极限时压杆的临界应力、
临界应力总图
压杆的应力超出比例极限时（λ<λp），这类杆件工程
上称为中柔度杆，此类压杆的稳定称弹塑性稳定。
抛物线公式（经验公式）

σcr= a - bλ2
式中，λ为压杆的柔度，a、b与材料有关的常数

例如：对于Q235钢及16Mn钢分别有
σcr=（235-0.00668λ2）MPa
σcr=（345-0.0142λ2）MPa

压杆稳定

由式可知，压杆不论处于弹性阶段还是弹塑性阶段，
其临界应力均为压杆柔度的函数，临界应力σcr与柔度λ的
函数曲线称为临界应力总图。

注意：图中以λc=123
而不是以λp=100作为二曲
线的分界点.
对Q235钢制成的压杆 ,
当λ≥λc，按欧拉公式计
算临界应力或临界力;当
λ<123时用经验公式计算

压杆稳定

第四节

压杆的稳定计算

一、压杆稳定条件

  

st

式中 [σ]st称为稳定许用应力，其值为

 st



 cr
n st

式中nst为压杆的稳定安全系数

压杆稳定

稳定许用应力值可写成下列形式

 st

  



式中[σ]——强度计算时的许用应力；

——折减系数。
压杆稳定条件可写为

 

FN
A

式中A为横截面的毛面积。

  



压杆稳定

折减系数
（1）折减系数是柔度λ的函数，随柔度λ的变化而
变化，柔度λ越大，折减系数越小；

（2）折减系数是各种影响因素的综合反映（如荷
载偏心、材料不均匀、初始曲率、安全储备等）；
（3）由于[σ] st总是小于[σ]，因此折减系数是一个小
于1的数。

压杆稳定

二、压杆稳定条件的应用
1.稳定校核。

2.设计截面。
3.确定稳定许用荷载。

压杆稳定

例11-3 图示两端铰支（球形铰）的矩形截面木杆，杆
端作用轴向压力Fp。已知l=3.6m，Fp=40kN，木材的强度
等级为TC13，许用应力[σ]=10MPa，试校核该压杆的稳定。
F
cr

解 矩形截面的惯性半径

A


120
12



12
bh

y



b

z

12

mm  34 . 64 mm

120

160

i

Iy

3

8m

hb

压杆稳定

两端铰支时长度系数μ=1
 

l

1  3 .6



34 . 64  10

i

3

 104

因为λ〉91
 
FN

A



F

A



2800



2



2800
104

40  10

2

3

0 . 259  120  160

所以该压杆满足稳定条件。

 0 . 259
MPa  8 . 00 MPa  



压杆稳定

第五节

提高压杆稳定性的措施

一、减小压杆的支承长度
从柔度计算式  

l
i

l\2

减小压杆的长度是降低压杆柔
l

度，提高压杆稳定性的有效方法
之一。
在条件允许的情况下，应
尽量使压杆的长度减小，或者
在压杆中间增加支撑。

l\2

压杆稳定
第

二、改善支承情况 ，减小长度系数μ
  0. 5

 1
Fcr

Fcr

 2

Fcr

杆端约束刚性越强,压杆的长度系数越小,相应的柔度
就越低,临界力就越大,因此尽可能加强杆端约束的刚性,
可使压 杆的稳定性得到提高.

压杆稳定

三、选择合理的截面形状
当截面面积相同的情况下，增大惯性矩I，从而达到增

大惯性半径i，减小柔度λ，提高压杆的临界应力。

压杆稳定

当压杆在各个弯曲平面内的支承条件相同时，压杆的

稳定性是由Imin方向的临界应力控制。因此，应尽量使截
面对任一形心主轴的惯性矩相同，这样可使压杆在各个
弯曲平面内具有相同的稳定性。
例如由两根槽钢组合而成的压杆
采用哪
种形式
好？

压杆稳定

当压杆在两个相互垂直平面内的支承条件不同时，
可采用Iz≠Iy的截面来与相应的支承条件配合，使压杆在

两相互垂直平面内的柔度值相等，即λz=λy，这样保证
压杆在这两个方向上具有相同的稳定性。

压杆稳定

四、合理选择材料
对于大柔度杆，临界应力与材料的弹性模量E有关，
由于各种钢材的弹性模量E值相差不大。所以，对大柔度

杆来说，选用优质钢材对提高临界应力意义不大。
对于中柔度杆，其临界应力与材料强度有关，强度越
高的材料，临界应力越高。所以，对中柔度杆而言，选择
优质钢材将有助于提高压杆的稳定性。


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第十六章

压杆稳定

压杆稳定

第一节 压杆稳定的概念
一、稳定问题的提出

F

两根相同材料（松木）制成的杆，

σb=20MPa；A＝10mm×30mm
1m

短杆长：l＝30mm；
长杆长：l＝1000mm
F

若按强度条件计算，
两根杆压缩时的极限承载能力
均应为：
F= σb A=6kN

30mm

F

F

压杆稳定

压杆的破坏实验结果：

F

（1）短杆在压力增加到约

为6kN时，因木纹出现裂纹而
破坏。
（2）长杆在压力增加到约4kN
时突然弯向一侧，继续增大压力，
弯曲迅速增大，杆随即折断。

1m

F
30mm

F

F

压杆稳定
第六章

结论：
短压杆与长压杆在压缩时的破坏
性质完全不同
•

F

短压杆的破坏属于强

1m

度问题；
F

• 长压杆的破坏则属于能

30mm

否保持其原来的直线平衡
状态的问题

F

F

压杆稳定
第十章

压杆稳定性：压杆保持其原来直线平衡状态
的能力。
压杆不能保持其原来直线平衡状态而突然变弯
的现象，称为压杆的直线平衡状态丧失了稳定，
简称为压杆失稳。

压杆稳定

压杆失稳的严重后果：
19世纪，瑞士的孟汗太因桥突然倒塌，造
成200人遇难。
1907年加拿大的魁北克桥在建造时突然倒
塌，其原因都是因为桥梁桁架中的受压杆失稳
引起的。
1909年12月汉堡一个60万m3的大型贮气罐
因一个受压构件失稳而突然倒塌。

压杆稳定

研究压杆稳定性的意义：
压杆因强度或刚度不足而造成破坏之前一般
都有先兆；压杆由于失稳而造成破坏之前没有
任何先兆，当压力达到某个临界数值时就会突
然破坏，因此这种破坏形式在工程上具有很大
的破坏性。

在建筑工程中的受压上弦杆、厂房的柱子等
设计中都必须考虑其稳定性要求。

压杆稳定

二、平衡状态的类型
稳定平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体能自动恢复到原来的平
衡位置的平衡

不稳定平衡：

即使干扰平衡的外力消
失后，物体仍继续向远离原
来平衡位置的方向继续运动
的平衡。

随遇平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体可在任意位置继续保持
平衡。

显然，随遇平衡是界于稳定平衡与不稳定平衡之间的状
态，称为临界平衡状态。

压杆稳定

三、压杆临界力Fcr
FP

l
FP

FP ＜ FPcr

FP

F F

FP

F

FP

稳定直线平衡状态

FP = FPcr

F

FP

临界状态

FP > FPcr

F

FP

不稳定平衡状态

压杆处于临界状态时的轴向压力称为压杆的
临界力Fcr。

压杆稳定

第二节

细长压杆的临界力

临界力的影响因素
临界力Fcr的大小反映了压杆失稳的难易，而压杆失稳
就是直杆变弯，发生弯曲变形，因此临界力的大小与影响
直杆弯曲变形的因素有关：
杆的长度l
抗弯刚度EI

杆端支承

l越大
EI越大

越牢固

抵抗变形的能力越小

容易失稳

Fcr越小

抵抗变形的能力越强

不易失稳

Fcr越大

越不容易发生弯曲变形

不易失稳

Fcr越大

压杆稳定

临界力的欧拉公式
 EI
2

F cr 

(l)

2

式中 E——材料的弹性模量；
I——压杆横截面对形心轴的最小惯性矩；
l——压杆的长度；

μ——长度系数，反映了杆端支承对临界力的影响；
μl——压杆的计算长度。

压杆稳定

一端固定
一端铰支

两端铰支

两端固定

一端固定
一端自由

Fcr
Fcr

Fcr

μ=1

μ=0.7

0.25l

l

0.5l

l
0.3l

l

l

0.7l

0.25l

Fcr

μ=0.5

μ=2

压杆稳定

例1

一根两端铰支的№20a工字钢细长压杆，长

l=3m，钢的弹性模量E=200GPa，试计算其临界力。
解 查型钢表得
 EI

Iz=2370cm4，Iy=158cm4

2

Fcr 

l

2

  200  10  158  10
2



9

3

2

8

N

 346  10 N  346 kN
3

由此可知，若轴向压力达到346kN时，此杆会失稳。

压杆稳定

思考
材料及横截面均相同，哪一根最容易失稳，哪一根
最不容易失稳。

压杆稳定
Fcr

Fcr

y

200

120

y

120

200

z
z

8m

例2 一矩形截面的
中心受压的细长木柱，
长l=8m，柱的支承情况，
在最大刚度平面内弯曲
时为两端铰支（图a）；
在最小刚度平面内弯曲
时为两端固定（图b）。
木材的弹性模量
E=10GPa，试求木柱的
临界力。

压杆稳定

解 由于最大刚度平面与最小刚度平面内的支承
情况不同，所以需分别计算。
Fcr

（1）计算最大刚度平面内的临界力
截面的惯性矩为
Iy 

3

mm

4

y

 8  10 mm
7

4

 8  10

5

m

4

200

两端铰支，长度系数μ=1
 EI
2

F cr 

(l )

3 . 14  10  10  8  10
2

y
2



9

(1  8 )

 123  10 N  123 kN
3

z

8m

12

2

5

N

120

120  200

压杆稳定

（2）计算最小刚度平面内的临界力。
Fcr

由图16-4b,截面惯性矩为
3

mm

4

12

 2 . 88  10 mm
7

 2 . 88  10

5

m

4

z

4

y

两端固定，长度系数μ=0.5
 EI Z
2

Fcr 

(l )

2

3 . 14  10  10  2 . 88  10
2



9

( 0 .5  8 )

 177  10 N  177 kN
3

2

120

5

N

200

IZ 

200  120

压杆稳定

Fcr

Fcr

y

200

y

120

8m

z

120

200

z

比较计算结果可知
，第一种情况的临界力
小，所以压杆失稳时将
在最大刚度平面内产生
弯曲。此例说明，当在
最小刚度平面与最大刚
度平面内支承情况不同
时，压杆不一定在最小
刚度平面内失稳，必须
经过具体计算后才能确
定。

压杆稳定

第三节 临界应力与欧拉公式的适用范围
一、临界应力
 cr 
I i A
2

F cr

2



cr



(l )

2

2

 E

A
 Ei
2



 E I

(l)

2

A
2



(

l

)

2

i
令   l i

 E
2

 cr 



2

   l i —— 压杆的柔度（长细比），是无量纲的量。

压杆稳定

压杆的柔度λ
（1）综合反映了压杆的长度（l）、杆端支承情况（μ
）、截面形状和尺寸（I、A、i）对临界应力的影响。
（2）压杆的临界应力与压杆柔度的平方成反比，即
，柔度越大压杆临界应力越小，压杆越容易失稳。

压杆稳定

二、欧拉公式的适用范围
只有当压杆的临界应力不超过材料的比例极限时，欧
拉公式才适用，即：
 E
2

 cr 



2



p

  p  

E

p

 p ——对应于材料比例极限时的柔度，只与材料的性质

有关，与压杆的截面形状和尺寸无关。

   p 的压杆——大柔度杆（细长杆）
欧拉公式只适用于大柔度杆（细长杆）

压杆稳定

三、超出比例极限时压杆的临界应力、
临界应力总图
压杆的应力超出比例极限时（λ<λp），这类杆件工程
上称为中柔度杆，此类压杆的稳定称弹塑性稳定。
抛物线公式（经验公式）

σcr= a - bλ2
式中，λ为压杆的柔度，a、b与材料有关的常数

例如：对于Q235钢及16Mn钢分别有
σcr=（235-0.00668λ2）MPa
σcr=（345-0.0142λ2）MPa

压杆稳定

由式可知，压杆不论处于弹性阶段还是弹塑性阶段，
其临界应力均为压杆柔度的函数，临界应力σcr与柔度λ的
函数曲线称为临界应力总图。

注意：图中以λc=123
而不是以λp=100作为二曲
线的分界点.
对Q235钢制成的压杆 ,
当λ≥λc，按欧拉公式计
算临界应力或临界力;当
λ<123时用经验公式计算

压杆稳定

第四节

压杆的稳定计算

一、压杆稳定条件

  

st

式中 [σ]st称为稳定许用应力，其值为

 st



 cr
n st

式中nst为压杆的稳定安全系数

压杆稳定

稳定许用应力值可写成下列形式

 st

  



式中[σ]——强度计算时的许用应力；

——折减系数。
压杆稳定条件可写为

 

FN
A

式中A为横截面的毛面积。

  



压杆稳定

折减系数
（1）折减系数是柔度λ的函数，随柔度λ的变化而
变化，柔度λ越大，折减系数越小；

（2）折减系数是各种影响因素的综合反映（如荷
载偏心、材料不均匀、初始曲率、安全储备等）；
（3）由于[σ] st总是小于[σ]，因此折减系数是一个小
于1的数。

压杆稳定

二、压杆稳定条件的应用
1.稳定校核。

2.设计截面。
3.确定稳定许用荷载。

压杆稳定

例11-3 图示两端铰支（球形铰）的矩形截面木杆，杆
端作用轴向压力Fp。已知l=3.6m，Fp=40kN，木材的强度
等级为TC13，许用应力[σ]=10MPa，试校核该压杆的稳定。
F
cr

解 矩形截面的惯性半径

A


120
12



12
bh

y



b

z

12

mm  34 . 64 mm

120

160

i

Iy

3

8m

hb

压杆稳定

两端铰支时长度系数μ=1
 

l

1  3 .6



34 . 64  10

i

3

 104

因为λ〉91
 
FN

A



F

A



2800



2



2800
104

40  10

2

3

0 . 259  120  160

所以该压杆满足稳定条件。

 0 . 259
MPa  8 . 00 MPa  



压杆稳定

第五节

提高压杆稳定性的措施

一、减小压杆的支承长度
从柔度计算式  

l
i

l\2

减小压杆的长度是降低压杆柔
l

度，提高压杆稳定性的有效方法
之一。
在条件允许的情况下，应
尽量使压杆的长度减小，或者
在压杆中间增加支撑。

l\2

压杆稳定
第

二、改善支承情况 ，减小长度系数μ
  0. 5

 1
Fcr

Fcr

 2

Fcr

杆端约束刚性越强,压杆的长度系数越小,相应的柔度
就越低,临界力就越大,因此尽可能加强杆端约束的刚性,
可使压 杆的稳定性得到提高.

压杆稳定

三、选择合理的截面形状
当截面面积相同的情况下，增大惯性矩I，从而达到增

大惯性半径i，减小柔度λ，提高压杆的临界应力。

压杆稳定

当压杆在各个弯曲平面内的支承条件相同时，压杆的

稳定性是由Imin方向的临界应力控制。因此，应尽量使截
面对任一形心主轴的惯性矩相同，这样可使压杆在各个
弯曲平面内具有相同的稳定性。
例如由两根槽钢组合而成的压杆
采用哪
种形式
好？

压杆稳定

当压杆在两个相互垂直平面内的支承条件不同时，
可采用Iz≠Iy的截面来与相应的支承条件配合，使压杆在

两相互垂直平面内的柔度值相等，即λz=λy，这样保证
压杆在这两个方向上具有相同的稳定性。

压杆稳定

四、合理选择材料
对于大柔度杆，临界应力与材料的弹性模量E有关，
由于各种钢材的弹性模量E值相差不大。所以，对大柔度

杆来说，选用优质钢材对提高临界应力意义不大。
对于中柔度杆，其临界应力与材料强度有关，强度越
高的材料，临界应力越高。所以，对中柔度杆而言，选择
优质钢材将有助于提高压杆的稳定性。


Slide 10

第十六章

压杆稳定

压杆稳定

第一节 压杆稳定的概念
一、稳定问题的提出

F

两根相同材料（松木）制成的杆，

σb=20MPa；A＝10mm×30mm
1m

短杆长：l＝30mm；
长杆长：l＝1000mm
F

若按强度条件计算，
两根杆压缩时的极限承载能力
均应为：
F= σb A=6kN

30mm

F

F

压杆稳定

压杆的破坏实验结果：

F

（1）短杆在压力增加到约

为6kN时，因木纹出现裂纹而
破坏。
（2）长杆在压力增加到约4kN
时突然弯向一侧，继续增大压力，
弯曲迅速增大，杆随即折断。

1m

F
30mm

F

F

压杆稳定
第六章

结论：
短压杆与长压杆在压缩时的破坏
性质完全不同
•

F

短压杆的破坏属于强

1m

度问题；
F

• 长压杆的破坏则属于能

30mm

否保持其原来的直线平衡
状态的问题

F

F

压杆稳定
第十章

压杆稳定性：压杆保持其原来直线平衡状态
的能力。
压杆不能保持其原来直线平衡状态而突然变弯
的现象，称为压杆的直线平衡状态丧失了稳定，
简称为压杆失稳。

压杆稳定

压杆失稳的严重后果：
19世纪，瑞士的孟汗太因桥突然倒塌，造
成200人遇难。
1907年加拿大的魁北克桥在建造时突然倒
塌，其原因都是因为桥梁桁架中的受压杆失稳
引起的。
1909年12月汉堡一个60万m3的大型贮气罐
因一个受压构件失稳而突然倒塌。

压杆稳定

研究压杆稳定性的意义：
压杆因强度或刚度不足而造成破坏之前一般
都有先兆；压杆由于失稳而造成破坏之前没有
任何先兆，当压力达到某个临界数值时就会突
然破坏，因此这种破坏形式在工程上具有很大
的破坏性。

在建筑工程中的受压上弦杆、厂房的柱子等
设计中都必须考虑其稳定性要求。

压杆稳定

二、平衡状态的类型
稳定平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体能自动恢复到原来的平
衡位置的平衡

不稳定平衡：

即使干扰平衡的外力消
失后，物体仍继续向远离原
来平衡位置的方向继续运动
的平衡。

随遇平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体可在任意位置继续保持
平衡。

显然，随遇平衡是界于稳定平衡与不稳定平衡之间的状
态，称为临界平衡状态。

压杆稳定

三、压杆临界力Fcr
FP

l
FP

FP ＜ FPcr

FP

F F

FP

F

FP

稳定直线平衡状态

FP = FPcr

F

FP

临界状态

FP > FPcr

F

FP

不稳定平衡状态

压杆处于临界状态时的轴向压力称为压杆的
临界力Fcr。

压杆稳定

第二节

细长压杆的临界力

临界力的影响因素
临界力Fcr的大小反映了压杆失稳的难易，而压杆失稳
就是直杆变弯，发生弯曲变形，因此临界力的大小与影响
直杆弯曲变形的因素有关：
杆的长度l
抗弯刚度EI

杆端支承

l越大
EI越大

越牢固

抵抗变形的能力越小

容易失稳

Fcr越小

抵抗变形的能力越强

不易失稳

Fcr越大

越不容易发生弯曲变形

不易失稳

Fcr越大

压杆稳定

临界力的欧拉公式
 EI
2

F cr 

(l)

2

式中 E——材料的弹性模量；
I——压杆横截面对形心轴的最小惯性矩；
l——压杆的长度；

μ——长度系数，反映了杆端支承对临界力的影响；
μl——压杆的计算长度。

压杆稳定

一端固定
一端铰支

两端铰支

两端固定

一端固定
一端自由

Fcr
Fcr

Fcr

μ=1

μ=0.7

0.25l

l

0.5l

l
0.3l

l

l

0.7l

0.25l

Fcr

μ=0.5

μ=2

压杆稳定

例1

一根两端铰支的№20a工字钢细长压杆，长

l=3m，钢的弹性模量E=200GPa，试计算其临界力。
解 查型钢表得
 EI

Iz=2370cm4，Iy=158cm4

2

Fcr 

l

2

  200  10  158  10
2



9

3

2

8

N

 346  10 N  346 kN
3

由此可知，若轴向压力达到346kN时，此杆会失稳。

压杆稳定

思考
材料及横截面均相同，哪一根最容易失稳，哪一根
最不容易失稳。

压杆稳定
Fcr

Fcr

y

200

120

y

120

200

z
z

8m

例2 一矩形截面的
中心受压的细长木柱，
长l=8m，柱的支承情况，
在最大刚度平面内弯曲
时为两端铰支（图a）；
在最小刚度平面内弯曲
时为两端固定（图b）。
木材的弹性模量
E=10GPa，试求木柱的
临界力。

压杆稳定

解 由于最大刚度平面与最小刚度平面内的支承
情况不同，所以需分别计算。
Fcr

（1）计算最大刚度平面内的临界力
截面的惯性矩为
Iy 

3

mm

4

y

 8  10 mm
7

4

 8  10

5

m

4

200

两端铰支，长度系数μ=1
 EI
2

F cr 

(l )

3 . 14  10  10  8  10
2

y
2



9

(1  8 )

 123  10 N  123 kN
3

z

8m

12

2

5

N

120

120  200

压杆稳定

（2）计算最小刚度平面内的临界力。
Fcr

由图16-4b,截面惯性矩为
3

mm

4

12

 2 . 88  10 mm
7

 2 . 88  10

5

m

4

z

4

y

两端固定，长度系数μ=0.5
 EI Z
2

Fcr 

(l )

2

3 . 14  10  10  2 . 88  10
2



9

( 0 .5  8 )

 177  10 N  177 kN
3

2

120

5

N

200

IZ 

200  120

压杆稳定

Fcr

Fcr

y

200

y

120

8m

z

120

200

z

比较计算结果可知
，第一种情况的临界力
小，所以压杆失稳时将
在最大刚度平面内产生
弯曲。此例说明，当在
最小刚度平面与最大刚
度平面内支承情况不同
时，压杆不一定在最小
刚度平面内失稳，必须
经过具体计算后才能确
定。

压杆稳定

第三节 临界应力与欧拉公式的适用范围
一、临界应力
 cr 
I i A
2

F cr

2



cr



(l )

2

2

 E

A
 Ei
2



 E I

(l)

2

A
2



(

l

)

2

i
令   l i

 E
2

 cr 



2

   l i —— 压杆的柔度（长细比），是无量纲的量。

压杆稳定

压杆的柔度λ
（1）综合反映了压杆的长度（l）、杆端支承情况（μ
）、截面形状和尺寸（I、A、i）对临界应力的影响。
（2）压杆的临界应力与压杆柔度的平方成反比，即
，柔度越大压杆临界应力越小，压杆越容易失稳。

压杆稳定

二、欧拉公式的适用范围
只有当压杆的临界应力不超过材料的比例极限时，欧
拉公式才适用，即：
 E
2

 cr 



2



p

  p  

E

p

 p ——对应于材料比例极限时的柔度，只与材料的性质

有关，与压杆的截面形状和尺寸无关。

   p 的压杆——大柔度杆（细长杆）
欧拉公式只适用于大柔度杆（细长杆）

压杆稳定

三、超出比例极限时压杆的临界应力、
临界应力总图
压杆的应力超出比例极限时（λ<λp），这类杆件工程
上称为中柔度杆，此类压杆的稳定称弹塑性稳定。
抛物线公式（经验公式）

σcr= a - bλ2
式中，λ为压杆的柔度，a、b与材料有关的常数

例如：对于Q235钢及16Mn钢分别有
σcr=（235-0.00668λ2）MPa
σcr=（345-0.0142λ2）MPa

压杆稳定

由式可知，压杆不论处于弹性阶段还是弹塑性阶段，
其临界应力均为压杆柔度的函数，临界应力σcr与柔度λ的
函数曲线称为临界应力总图。

注意：图中以λc=123
而不是以λp=100作为二曲
线的分界点.
对Q235钢制成的压杆 ,
当λ≥λc，按欧拉公式计
算临界应力或临界力;当
λ<123时用经验公式计算

压杆稳定

第四节

压杆的稳定计算

一、压杆稳定条件

  

st

式中 [σ]st称为稳定许用应力，其值为

 st



 cr
n st

式中nst为压杆的稳定安全系数

压杆稳定

稳定许用应力值可写成下列形式

 st

  



式中[σ]——强度计算时的许用应力；

——折减系数。
压杆稳定条件可写为

 

FN
A

式中A为横截面的毛面积。

  



压杆稳定

折减系数
（1）折减系数是柔度λ的函数，随柔度λ的变化而
变化，柔度λ越大，折减系数越小；

（2）折减系数是各种影响因素的综合反映（如荷
载偏心、材料不均匀、初始曲率、安全储备等）；
（3）由于[σ] st总是小于[σ]，因此折减系数是一个小
于1的数。

压杆稳定

二、压杆稳定条件的应用
1.稳定校核。

2.设计截面。
3.确定稳定许用荷载。

压杆稳定

例11-3 图示两端铰支（球形铰）的矩形截面木杆，杆
端作用轴向压力Fp。已知l=3.6m，Fp=40kN，木材的强度
等级为TC13，许用应力[σ]=10MPa，试校核该压杆的稳定。
F
cr

解 矩形截面的惯性半径

A


120
12



12
bh

y



b

z

12

mm  34 . 64 mm

120

160

i

Iy

3

8m

hb

压杆稳定

两端铰支时长度系数μ=1
 

l

1  3 .6



34 . 64  10

i

3

 104

因为λ〉91
 
FN

A



F

A



2800



2



2800
104

40  10

2

3

0 . 259  120  160

所以该压杆满足稳定条件。

 0 . 259
MPa  8 . 00 MPa  



压杆稳定

第五节

提高压杆稳定性的措施

一、减小压杆的支承长度
从柔度计算式  

l
i

l\2

减小压杆的长度是降低压杆柔
l

度，提高压杆稳定性的有效方法
之一。
在条件允许的情况下，应
尽量使压杆的长度减小，或者
在压杆中间增加支撑。

l\2

压杆稳定
第

二、改善支承情况 ，减小长度系数μ
  0. 5

 1
Fcr

Fcr

 2

Fcr

杆端约束刚性越强,压杆的长度系数越小,相应的柔度
就越低,临界力就越大,因此尽可能加强杆端约束的刚性,
可使压 杆的稳定性得到提高.

压杆稳定

三、选择合理的截面形状
当截面面积相同的情况下，增大惯性矩I，从而达到增

大惯性半径i，减小柔度λ，提高压杆的临界应力。

压杆稳定

当压杆在各个弯曲平面内的支承条件相同时，压杆的

稳定性是由Imin方向的临界应力控制。因此，应尽量使截
面对任一形心主轴的惯性矩相同，这样可使压杆在各个
弯曲平面内具有相同的稳定性。
例如由两根槽钢组合而成的压杆
采用哪
种形式
好？

压杆稳定

当压杆在两个相互垂直平面内的支承条件不同时，
可采用Iz≠Iy的截面来与相应的支承条件配合，使压杆在

两相互垂直平面内的柔度值相等，即λz=λy，这样保证
压杆在这两个方向上具有相同的稳定性。

压杆稳定

四、合理选择材料
对于大柔度杆，临界应力与材料的弹性模量E有关，
由于各种钢材的弹性模量E值相差不大。所以，对大柔度

杆来说，选用优质钢材对提高临界应力意义不大。
对于中柔度杆，其临界应力与材料强度有关，强度越
高的材料，临界应力越高。所以，对中柔度杆而言，选择
优质钢材将有助于提高压杆的稳定性。


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第十六章

压杆稳定

压杆稳定

第一节 压杆稳定的概念
一、稳定问题的提出

F

两根相同材料（松木）制成的杆，

σb=20MPa；A＝10mm×30mm
1m

短杆长：l＝30mm；
长杆长：l＝1000mm
F

若按强度条件计算，
两根杆压缩时的极限承载能力
均应为：
F= σb A=6kN

30mm

F

F

压杆稳定

压杆的破坏实验结果：

F

（1）短杆在压力增加到约

为6kN时，因木纹出现裂纹而
破坏。
（2）长杆在压力增加到约4kN
时突然弯向一侧，继续增大压力，
弯曲迅速增大，杆随即折断。

1m

F
30mm

F

F

压杆稳定
第六章

结论：
短压杆与长压杆在压缩时的破坏
性质完全不同
•

F

短压杆的破坏属于强

1m

度问题；
F

• 长压杆的破坏则属于能

30mm

否保持其原来的直线平衡
状态的问题

F

F

压杆稳定
第十章

压杆稳定性：压杆保持其原来直线平衡状态
的能力。
压杆不能保持其原来直线平衡状态而突然变弯
的现象，称为压杆的直线平衡状态丧失了稳定，
简称为压杆失稳。

压杆稳定

压杆失稳的严重后果：
19世纪，瑞士的孟汗太因桥突然倒塌，造
成200人遇难。
1907年加拿大的魁北克桥在建造时突然倒
塌，其原因都是因为桥梁桁架中的受压杆失稳
引起的。
1909年12月汉堡一个60万m3的大型贮气罐
因一个受压构件失稳而突然倒塌。

压杆稳定

研究压杆稳定性的意义：
压杆因强度或刚度不足而造成破坏之前一般
都有先兆；压杆由于失稳而造成破坏之前没有
任何先兆，当压力达到某个临界数值时就会突
然破坏，因此这种破坏形式在工程上具有很大
的破坏性。

在建筑工程中的受压上弦杆、厂房的柱子等
设计中都必须考虑其稳定性要求。

压杆稳定

二、平衡状态的类型
稳定平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体能自动恢复到原来的平
衡位置的平衡

不稳定平衡：

即使干扰平衡的外力消
失后，物体仍继续向远离原
来平衡位置的方向继续运动
的平衡。

随遇平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体可在任意位置继续保持
平衡。

显然，随遇平衡是界于稳定平衡与不稳定平衡之间的状
态，称为临界平衡状态。

压杆稳定

三、压杆临界力Fcr
FP

l
FP

FP ＜ FPcr

FP

F F

FP

F

FP

稳定直线平衡状态

FP = FPcr

F

FP

临界状态

FP > FPcr

F

FP

不稳定平衡状态

压杆处于临界状态时的轴向压力称为压杆的
临界力Fcr。

压杆稳定

第二节

细长压杆的临界力

临界力的影响因素
临界力Fcr的大小反映了压杆失稳的难易，而压杆失稳
就是直杆变弯，发生弯曲变形，因此临界力的大小与影响
直杆弯曲变形的因素有关：
杆的长度l
抗弯刚度EI

杆端支承

l越大
EI越大

越牢固

抵抗变形的能力越小

容易失稳

Fcr越小

抵抗变形的能力越强

不易失稳

Fcr越大

越不容易发生弯曲变形

不易失稳

Fcr越大

压杆稳定

临界力的欧拉公式
 EI
2

F cr 

(l)

2

式中 E——材料的弹性模量；
I——压杆横截面对形心轴的最小惯性矩；
l——压杆的长度；

μ——长度系数，反映了杆端支承对临界力的影响；
μl——压杆的计算长度。

压杆稳定

一端固定
一端铰支

两端铰支

两端固定

一端固定
一端自由

Fcr
Fcr

Fcr

μ=1

μ=0.7

0.25l

l

0.5l

l
0.3l

l

l

0.7l

0.25l

Fcr

μ=0.5

μ=2

压杆稳定

例1

一根两端铰支的№20a工字钢细长压杆，长

l=3m，钢的弹性模量E=200GPa，试计算其临界力。
解 查型钢表得
 EI

Iz=2370cm4，Iy=158cm4

2

Fcr 

l

2

  200  10  158  10
2



9

3

2

8

N

 346  10 N  346 kN
3

由此可知，若轴向压力达到346kN时，此杆会失稳。

压杆稳定

思考
材料及横截面均相同，哪一根最容易失稳，哪一根
最不容易失稳。

压杆稳定
Fcr

Fcr

y

200

120

y

120

200

z
z

8m

例2 一矩形截面的
中心受压的细长木柱，
长l=8m，柱的支承情况，
在最大刚度平面内弯曲
时为两端铰支（图a）；
在最小刚度平面内弯曲
时为两端固定（图b）。
木材的弹性模量
E=10GPa，试求木柱的
临界力。

压杆稳定

解 由于最大刚度平面与最小刚度平面内的支承
情况不同，所以需分别计算。
Fcr

（1）计算最大刚度平面内的临界力
截面的惯性矩为
Iy 

3

mm

4

y

 8  10 mm
7

4

 8  10

5

m

4

200

两端铰支，长度系数μ=1
 EI
2

F cr 

(l )

3 . 14  10  10  8  10
2

y
2



9

(1  8 )

 123  10 N  123 kN
3

z

8m

12

2

5

N

120

120  200

压杆稳定

（2）计算最小刚度平面内的临界力。
Fcr

由图16-4b,截面惯性矩为
3

mm

4

12

 2 . 88  10 mm
7

 2 . 88  10

5

m

4

z

4

y

两端固定，长度系数μ=0.5
 EI Z
2

Fcr 

(l )

2

3 . 14  10  10  2 . 88  10
2



9

( 0 .5  8 )

 177  10 N  177 kN
3

2

120

5

N

200

IZ 

200  120

压杆稳定

Fcr

Fcr

y

200

y

120

8m

z

120

200

z

比较计算结果可知
，第一种情况的临界力
小，所以压杆失稳时将
在最大刚度平面内产生
弯曲。此例说明，当在
最小刚度平面与最大刚
度平面内支承情况不同
时，压杆不一定在最小
刚度平面内失稳，必须
经过具体计算后才能确
定。

压杆稳定

第三节 临界应力与欧拉公式的适用范围
一、临界应力
 cr 
I i A
2

F cr

2



cr



(l )

2

2

 E

A
 Ei
2



 E I

(l)

2

A
2



(

l

)

2

i
令   l i

 E
2

 cr 



2

   l i —— 压杆的柔度（长细比），是无量纲的量。

压杆稳定

压杆的柔度λ
（1）综合反映了压杆的长度（l）、杆端支承情况（μ
）、截面形状和尺寸（I、A、i）对临界应力的影响。
（2）压杆的临界应力与压杆柔度的平方成反比，即
，柔度越大压杆临界应力越小，压杆越容易失稳。

压杆稳定

二、欧拉公式的适用范围
只有当压杆的临界应力不超过材料的比例极限时，欧
拉公式才适用，即：
 E
2

 cr 



2



p

  p  

E

p

 p ——对应于材料比例极限时的柔度，只与材料的性质

有关，与压杆的截面形状和尺寸无关。

   p 的压杆——大柔度杆（细长杆）
欧拉公式只适用于大柔度杆（细长杆）

压杆稳定

三、超出比例极限时压杆的临界应力、
临界应力总图
压杆的应力超出比例极限时（λ<λp），这类杆件工程
上称为中柔度杆，此类压杆的稳定称弹塑性稳定。
抛物线公式（经验公式）

σcr= a - bλ2
式中，λ为压杆的柔度，a、b与材料有关的常数

例如：对于Q235钢及16Mn钢分别有
σcr=（235-0.00668λ2）MPa
σcr=（345-0.0142λ2）MPa

压杆稳定

由式可知，压杆不论处于弹性阶段还是弹塑性阶段，
其临界应力均为压杆柔度的函数，临界应力σcr与柔度λ的
函数曲线称为临界应力总图。

注意：图中以λc=123
而不是以λp=100作为二曲
线的分界点.
对Q235钢制成的压杆 ,
当λ≥λc，按欧拉公式计
算临界应力或临界力;当
λ<123时用经验公式计算

压杆稳定

第四节

压杆的稳定计算

一、压杆稳定条件

  

st

式中 [σ]st称为稳定许用应力，其值为

 st



 cr
n st

式中nst为压杆的稳定安全系数

压杆稳定

稳定许用应力值可写成下列形式

 st

  



式中[σ]——强度计算时的许用应力；

——折减系数。
压杆稳定条件可写为

 

FN
A

式中A为横截面的毛面积。

  



压杆稳定

折减系数
（1）折减系数是柔度λ的函数，随柔度λ的变化而
变化，柔度λ越大，折减系数越小；

（2）折减系数是各种影响因素的综合反映（如荷
载偏心、材料不均匀、初始曲率、安全储备等）；
（3）由于[σ] st总是小于[σ]，因此折减系数是一个小
于1的数。

压杆稳定

二、压杆稳定条件的应用
1.稳定校核。

2.设计截面。
3.确定稳定许用荷载。

压杆稳定

例11-3 图示两端铰支（球形铰）的矩形截面木杆，杆
端作用轴向压力Fp。已知l=3.6m，Fp=40kN，木材的强度
等级为TC13，许用应力[σ]=10MPa，试校核该压杆的稳定。
F
cr

解 矩形截面的惯性半径

A


120
12



12
bh

y



b

z

12

mm  34 . 64 mm

120

160

i

Iy

3

8m

hb

压杆稳定

两端铰支时长度系数μ=1
 

l

1  3 .6



34 . 64  10

i

3

 104

因为λ〉91
 
FN

A



F

A



2800



2



2800
104

40  10

2

3

0 . 259  120  160

所以该压杆满足稳定条件。

 0 . 259
MPa  8 . 00 MPa  



压杆稳定

第五节

提高压杆稳定性的措施

一、减小压杆的支承长度
从柔度计算式  

l
i

l\2

减小压杆的长度是降低压杆柔
l

度，提高压杆稳定性的有效方法
之一。
在条件允许的情况下，应
尽量使压杆的长度减小，或者
在压杆中间增加支撑。

l\2

压杆稳定
第

二、改善支承情况 ，减小长度系数μ
  0. 5

 1
Fcr

Fcr

 2

Fcr

杆端约束刚性越强,压杆的长度系数越小,相应的柔度
就越低,临界力就越大,因此尽可能加强杆端约束的刚性,
可使压 杆的稳定性得到提高.

压杆稳定

三、选择合理的截面形状
当截面面积相同的情况下，增大惯性矩I，从而达到增

大惯性半径i，减小柔度λ，提高压杆的临界应力。

压杆稳定

当压杆在各个弯曲平面内的支承条件相同时，压杆的

稳定性是由Imin方向的临界应力控制。因此，应尽量使截
面对任一形心主轴的惯性矩相同，这样可使压杆在各个
弯曲平面内具有相同的稳定性。
例如由两根槽钢组合而成的压杆
采用哪
种形式
好？

压杆稳定

当压杆在两个相互垂直平面内的支承条件不同时，
可采用Iz≠Iy的截面来与相应的支承条件配合，使压杆在

两相互垂直平面内的柔度值相等，即λz=λy，这样保证
压杆在这两个方向上具有相同的稳定性。

压杆稳定

四、合理选择材料
对于大柔度杆，临界应力与材料的弹性模量E有关，
由于各种钢材的弹性模量E值相差不大。所以，对大柔度

杆来说，选用优质钢材对提高临界应力意义不大。
对于中柔度杆，其临界应力与材料强度有关，强度越
高的材料，临界应力越高。所以，对中柔度杆而言，选择
优质钢材将有助于提高压杆的稳定性。


Slide 12

第十六章

压杆稳定

压杆稳定

第一节 压杆稳定的概念
一、稳定问题的提出

F

两根相同材料（松木）制成的杆，

σb=20MPa；A＝10mm×30mm
1m

短杆长：l＝30mm；
长杆长：l＝1000mm
F

若按强度条件计算，
两根杆压缩时的极限承载能力
均应为：
F= σb A=6kN

30mm

F

F

压杆稳定

压杆的破坏实验结果：

F

（1）短杆在压力增加到约

为6kN时，因木纹出现裂纹而
破坏。
（2）长杆在压力增加到约4kN
时突然弯向一侧，继续增大压力，
弯曲迅速增大，杆随即折断。

1m

F
30mm

F

F

压杆稳定
第六章

结论：
短压杆与长压杆在压缩时的破坏
性质完全不同
•

F

短压杆的破坏属于强

1m

度问题；
F

• 长压杆的破坏则属于能

30mm

否保持其原来的直线平衡
状态的问题

F

F

压杆稳定
第十章

压杆稳定性：压杆保持其原来直线平衡状态
的能力。
压杆不能保持其原来直线平衡状态而突然变弯
的现象，称为压杆的直线平衡状态丧失了稳定，
简称为压杆失稳。

压杆稳定

压杆失稳的严重后果：
19世纪，瑞士的孟汗太因桥突然倒塌，造
成200人遇难。
1907年加拿大的魁北克桥在建造时突然倒
塌，其原因都是因为桥梁桁架中的受压杆失稳
引起的。
1909年12月汉堡一个60万m3的大型贮气罐
因一个受压构件失稳而突然倒塌。

压杆稳定

研究压杆稳定性的意义：
压杆因强度或刚度不足而造成破坏之前一般
都有先兆；压杆由于失稳而造成破坏之前没有
任何先兆，当压力达到某个临界数值时就会突
然破坏，因此这种破坏形式在工程上具有很大
的破坏性。

在建筑工程中的受压上弦杆、厂房的柱子等
设计中都必须考虑其稳定性要求。

压杆稳定

二、平衡状态的类型
稳定平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体能自动恢复到原来的平
衡位置的平衡

不稳定平衡：

即使干扰平衡的外力消
失后，物体仍继续向远离原
来平衡位置的方向继续运动
的平衡。

随遇平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体可在任意位置继续保持
平衡。

显然，随遇平衡是界于稳定平衡与不稳定平衡之间的状
态，称为临界平衡状态。

压杆稳定

三、压杆临界力Fcr
FP

l
FP

FP ＜ FPcr

FP

F F

FP

F

FP

稳定直线平衡状态

FP = FPcr

F

FP

临界状态

FP > FPcr

F

FP

不稳定平衡状态

压杆处于临界状态时的轴向压力称为压杆的
临界力Fcr。

压杆稳定

第二节

细长压杆的临界力

临界力的影响因素
临界力Fcr的大小反映了压杆失稳的难易，而压杆失稳
就是直杆变弯，发生弯曲变形，因此临界力的大小与影响
直杆弯曲变形的因素有关：
杆的长度l
抗弯刚度EI

杆端支承

l越大
EI越大

越牢固

抵抗变形的能力越小

容易失稳

Fcr越小

抵抗变形的能力越强

不易失稳

Fcr越大

越不容易发生弯曲变形

不易失稳

Fcr越大

压杆稳定

临界力的欧拉公式
 EI
2

F cr 

(l)

2

式中 E——材料的弹性模量；
I——压杆横截面对形心轴的最小惯性矩；
l——压杆的长度；

μ——长度系数，反映了杆端支承对临界力的影响；
μl——压杆的计算长度。

压杆稳定

一端固定
一端铰支

两端铰支

两端固定

一端固定
一端自由

Fcr
Fcr

Fcr

μ=1

μ=0.7

0.25l

l

0.5l

l
0.3l

l

l

0.7l

0.25l

Fcr

μ=0.5

μ=2

压杆稳定

例1

一根两端铰支的№20a工字钢细长压杆，长

l=3m，钢的弹性模量E=200GPa，试计算其临界力。
解 查型钢表得
 EI

Iz=2370cm4，Iy=158cm4

2

Fcr 

l

2

  200  10  158  10
2



9

3

2

8

N

 346  10 N  346 kN
3

由此可知，若轴向压力达到346kN时，此杆会失稳。

压杆稳定

思考
材料及横截面均相同，哪一根最容易失稳，哪一根
最不容易失稳。

压杆稳定
Fcr

Fcr

y

200

120

y

120

200

z
z

8m

例2 一矩形截面的
中心受压的细长木柱，
长l=8m，柱的支承情况，
在最大刚度平面内弯曲
时为两端铰支（图a）；
在最小刚度平面内弯曲
时为两端固定（图b）。
木材的弹性模量
E=10GPa，试求木柱的
临界力。

压杆稳定

解 由于最大刚度平面与最小刚度平面内的支承
情况不同，所以需分别计算。
Fcr

（1）计算最大刚度平面内的临界力
截面的惯性矩为
Iy 

3

mm

4

y

 8  10 mm
7

4

 8  10

5

m

4

200

两端铰支，长度系数μ=1
 EI
2

F cr 

(l )

3 . 14  10  10  8  10
2

y
2



9

(1  8 )

 123  10 N  123 kN
3

z

8m

12

2

5

N

120

120  200

压杆稳定

（2）计算最小刚度平面内的临界力。
Fcr

由图16-4b,截面惯性矩为
3

mm

4

12

 2 . 88  10 mm
7

 2 . 88  10

5

m

4

z

4

y

两端固定，长度系数μ=0.5
 EI Z
2

Fcr 

(l )

2

3 . 14  10  10  2 . 88  10
2



9

( 0 .5  8 )

 177  10 N  177 kN
3

2

120

5

N

200

IZ 

200  120

压杆稳定

Fcr

Fcr

y

200

y

120

8m

z

120

200

z

比较计算结果可知
，第一种情况的临界力
小，所以压杆失稳时将
在最大刚度平面内产生
弯曲。此例说明，当在
最小刚度平面与最大刚
度平面内支承情况不同
时，压杆不一定在最小
刚度平面内失稳，必须
经过具体计算后才能确
定。

压杆稳定

第三节 临界应力与欧拉公式的适用范围
一、临界应力
 cr 
I i A
2

F cr

2



cr



(l )

2

2

 E

A
 Ei
2



 E I

(l)

2

A
2



(

l

)

2

i
令   l i

 E
2

 cr 



2

   l i —— 压杆的柔度（长细比），是无量纲的量。

压杆稳定

压杆的柔度λ
（1）综合反映了压杆的长度（l）、杆端支承情况（μ
）、截面形状和尺寸（I、A、i）对临界应力的影响。
（2）压杆的临界应力与压杆柔度的平方成反比，即
，柔度越大压杆临界应力越小，压杆越容易失稳。

压杆稳定

二、欧拉公式的适用范围
只有当压杆的临界应力不超过材料的比例极限时，欧
拉公式才适用，即：
 E
2

 cr 



2



p

  p  

E

p

 p ——对应于材料比例极限时的柔度，只与材料的性质

有关，与压杆的截面形状和尺寸无关。

   p 的压杆——大柔度杆（细长杆）
欧拉公式只适用于大柔度杆（细长杆）

压杆稳定

三、超出比例极限时压杆的临界应力、
临界应力总图
压杆的应力超出比例极限时（λ<λp），这类杆件工程
上称为中柔度杆，此类压杆的稳定称弹塑性稳定。
抛物线公式（经验公式）

σcr= a - bλ2
式中，λ为压杆的柔度，a、b与材料有关的常数

例如：对于Q235钢及16Mn钢分别有
σcr=（235-0.00668λ2）MPa
σcr=（345-0.0142λ2）MPa

压杆稳定

由式可知，压杆不论处于弹性阶段还是弹塑性阶段，
其临界应力均为压杆柔度的函数，临界应力σcr与柔度λ的
函数曲线称为临界应力总图。

注意：图中以λc=123
而不是以λp=100作为二曲
线的分界点.
对Q235钢制成的压杆 ,
当λ≥λc，按欧拉公式计
算临界应力或临界力;当
λ<123时用经验公式计算

压杆稳定

第四节

压杆的稳定计算

一、压杆稳定条件

  

st

式中 [σ]st称为稳定许用应力，其值为

 st



 cr
n st

式中nst为压杆的稳定安全系数

压杆稳定

稳定许用应力值可写成下列形式

 st

  



式中[σ]——强度计算时的许用应力；

——折减系数。
压杆稳定条件可写为

 

FN
A

式中A为横截面的毛面积。

  



压杆稳定

折减系数
（1）折减系数是柔度λ的函数，随柔度λ的变化而
变化，柔度λ越大，折减系数越小；

（2）折减系数是各种影响因素的综合反映（如荷
载偏心、材料不均匀、初始曲率、安全储备等）；
（3）由于[σ] st总是小于[σ]，因此折减系数是一个小
于1的数。

压杆稳定

二、压杆稳定条件的应用
1.稳定校核。

2.设计截面。
3.确定稳定许用荷载。

压杆稳定

例11-3 图示两端铰支（球形铰）的矩形截面木杆，杆
端作用轴向压力Fp。已知l=3.6m，Fp=40kN，木材的强度
等级为TC13，许用应力[σ]=10MPa，试校核该压杆的稳定。
F
cr

解 矩形截面的惯性半径

A


120
12



12
bh

y



b

z

12

mm  34 . 64 mm

120

160

i

Iy

3

8m

hb

压杆稳定

两端铰支时长度系数μ=1
 

l

1  3 .6



34 . 64  10

i

3

 104

因为λ〉91
 
FN

A



F

A



2800



2



2800
104

40  10

2

3

0 . 259  120  160

所以该压杆满足稳定条件。

 0 . 259
MPa  8 . 00 MPa  



压杆稳定

第五节

提高压杆稳定性的措施

一、减小压杆的支承长度
从柔度计算式  

l
i

l\2

减小压杆的长度是降低压杆柔
l

度，提高压杆稳定性的有效方法
之一。
在条件允许的情况下，应
尽量使压杆的长度减小，或者
在压杆中间增加支撑。

l\2

压杆稳定
第

二、改善支承情况 ，减小长度系数μ
  0. 5

 1
Fcr

Fcr

 2

Fcr

杆端约束刚性越强,压杆的长度系数越小,相应的柔度
就越低,临界力就越大,因此尽可能加强杆端约束的刚性,
可使压 杆的稳定性得到提高.

压杆稳定

三、选择合理的截面形状
当截面面积相同的情况下，增大惯性矩I，从而达到增

大惯性半径i，减小柔度λ，提高压杆的临界应力。

压杆稳定

当压杆在各个弯曲平面内的支承条件相同时，压杆的

稳定性是由Imin方向的临界应力控制。因此，应尽量使截
面对任一形心主轴的惯性矩相同，这样可使压杆在各个
弯曲平面内具有相同的稳定性。
例如由两根槽钢组合而成的压杆
采用哪
种形式
好？

压杆稳定

当压杆在两个相互垂直平面内的支承条件不同时，
可采用Iz≠Iy的截面来与相应的支承条件配合，使压杆在

两相互垂直平面内的柔度值相等，即λz=λy，这样保证
压杆在这两个方向上具有相同的稳定性。

压杆稳定

四、合理选择材料
对于大柔度杆，临界应力与材料的弹性模量E有关，
由于各种钢材的弹性模量E值相差不大。所以，对大柔度

杆来说，选用优质钢材对提高临界应力意义不大。
对于中柔度杆，其临界应力与材料强度有关，强度越
高的材料，临界应力越高。所以，对中柔度杆而言，选择
优质钢材将有助于提高压杆的稳定性。


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第十六章

压杆稳定

压杆稳定

第一节 压杆稳定的概念
一、稳定问题的提出

F

两根相同材料（松木）制成的杆，

σb=20MPa；A＝10mm×30mm
1m

短杆长：l＝30mm；
长杆长：l＝1000mm
F

若按强度条件计算，
两根杆压缩时的极限承载能力
均应为：
F= σb A=6kN

30mm

F

F

压杆稳定

压杆的破坏实验结果：

F

（1）短杆在压力增加到约

为6kN时，因木纹出现裂纹而
破坏。
（2）长杆在压力增加到约4kN
时突然弯向一侧，继续增大压力，
弯曲迅速增大，杆随即折断。

1m

F
30mm

F

F

压杆稳定
第六章

结论：
短压杆与长压杆在压缩时的破坏
性质完全不同
•

F

短压杆的破坏属于强

1m

度问题；
F

• 长压杆的破坏则属于能

30mm

否保持其原来的直线平衡
状态的问题

F

F

压杆稳定
第十章

压杆稳定性：压杆保持其原来直线平衡状态
的能力。
压杆不能保持其原来直线平衡状态而突然变弯
的现象，称为压杆的直线平衡状态丧失了稳定，
简称为压杆失稳。

压杆稳定

压杆失稳的严重后果：
19世纪，瑞士的孟汗太因桥突然倒塌，造
成200人遇难。
1907年加拿大的魁北克桥在建造时突然倒
塌，其原因都是因为桥梁桁架中的受压杆失稳
引起的。
1909年12月汉堡一个60万m3的大型贮气罐
因一个受压构件失稳而突然倒塌。

压杆稳定

研究压杆稳定性的意义：
压杆因强度或刚度不足而造成破坏之前一般
都有先兆；压杆由于失稳而造成破坏之前没有
任何先兆，当压力达到某个临界数值时就会突
然破坏，因此这种破坏形式在工程上具有很大
的破坏性。

在建筑工程中的受压上弦杆、厂房的柱子等
设计中都必须考虑其稳定性要求。

压杆稳定

二、平衡状态的类型
稳定平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体能自动恢复到原来的平
衡位置的平衡

不稳定平衡：

即使干扰平衡的外力消
失后，物体仍继续向远离原
来平衡位置的方向继续运动
的平衡。

随遇平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体可在任意位置继续保持
平衡。

显然，随遇平衡是界于稳定平衡与不稳定平衡之间的状
态，称为临界平衡状态。

压杆稳定

三、压杆临界力Fcr
FP

l
FP

FP ＜ FPcr

FP

F F

FP

F

FP

稳定直线平衡状态

FP = FPcr

F

FP

临界状态

FP > FPcr

F

FP

不稳定平衡状态

压杆处于临界状态时的轴向压力称为压杆的
临界力Fcr。

压杆稳定

第二节

细长压杆的临界力

临界力的影响因素
临界力Fcr的大小反映了压杆失稳的难易，而压杆失稳
就是直杆变弯，发生弯曲变形，因此临界力的大小与影响
直杆弯曲变形的因素有关：
杆的长度l
抗弯刚度EI

杆端支承

l越大
EI越大

越牢固

抵抗变形的能力越小

容易失稳

Fcr越小

抵抗变形的能力越强

不易失稳

Fcr越大

越不容易发生弯曲变形

不易失稳

Fcr越大

压杆稳定

临界力的欧拉公式
 EI
2

F cr 

(l)

2

式中 E——材料的弹性模量；
I——压杆横截面对形心轴的最小惯性矩；
l——压杆的长度；

μ——长度系数，反映了杆端支承对临界力的影响；
μl——压杆的计算长度。

压杆稳定

一端固定
一端铰支

两端铰支

两端固定

一端固定
一端自由

Fcr
Fcr

Fcr

μ=1

μ=0.7

0.25l

l

0.5l

l
0.3l

l

l

0.7l

0.25l

Fcr

μ=0.5

μ=2

压杆稳定

例1

一根两端铰支的№20a工字钢细长压杆，长

l=3m，钢的弹性模量E=200GPa，试计算其临界力。
解 查型钢表得
 EI

Iz=2370cm4，Iy=158cm4

2

Fcr 

l

2

  200  10  158  10
2



9

3

2

8

N

 346  10 N  346 kN
3

由此可知，若轴向压力达到346kN时，此杆会失稳。

压杆稳定

思考
材料及横截面均相同，哪一根最容易失稳，哪一根
最不容易失稳。

压杆稳定
Fcr

Fcr

y

200

120

y

120

200

z
z

8m

例2 一矩形截面的
中心受压的细长木柱，
长l=8m，柱的支承情况，
在最大刚度平面内弯曲
时为两端铰支（图a）；
在最小刚度平面内弯曲
时为两端固定（图b）。
木材的弹性模量
E=10GPa，试求木柱的
临界力。

压杆稳定

解 由于最大刚度平面与最小刚度平面内的支承
情况不同，所以需分别计算。
Fcr

（1）计算最大刚度平面内的临界力
截面的惯性矩为
Iy 

3

mm

4

y

 8  10 mm
7

4

 8  10

5

m

4

200

两端铰支，长度系数μ=1
 EI
2

F cr 

(l )

3 . 14  10  10  8  10
2

y
2



9

(1  8 )

 123  10 N  123 kN
3

z

8m

12

2

5

N

120

120  200

压杆稳定

（2）计算最小刚度平面内的临界力。
Fcr

由图16-4b,截面惯性矩为
3

mm

4

12

 2 . 88  10 mm
7

 2 . 88  10

5

m

4

z

4

y

两端固定，长度系数μ=0.5
 EI Z
2

Fcr 

(l )

2

3 . 14  10  10  2 . 88  10
2



9

( 0 .5  8 )

 177  10 N  177 kN
3

2

120

5

N

200

IZ 

200  120

压杆稳定

Fcr

Fcr

y

200

y

120

8m

z

120

200

z

比较计算结果可知
，第一种情况的临界力
小，所以压杆失稳时将
在最大刚度平面内产生
弯曲。此例说明，当在
最小刚度平面与最大刚
度平面内支承情况不同
时，压杆不一定在最小
刚度平面内失稳，必须
经过具体计算后才能确
定。

压杆稳定

第三节 临界应力与欧拉公式的适用范围
一、临界应力
 cr 
I i A
2

F cr

2



cr



(l )

2

2

 E

A
 Ei
2



 E I

(l)

2

A
2



(

l

)

2

i
令   l i

 E
2

 cr 



2

   l i —— 压杆的柔度（长细比），是无量纲的量。

压杆稳定

压杆的柔度λ
（1）综合反映了压杆的长度（l）、杆端支承情况（μ
）、截面形状和尺寸（I、A、i）对临界应力的影响。
（2）压杆的临界应力与压杆柔度的平方成反比，即
，柔度越大压杆临界应力越小，压杆越容易失稳。

压杆稳定

二、欧拉公式的适用范围
只有当压杆的临界应力不超过材料的比例极限时，欧
拉公式才适用，即：
 E
2

 cr 



2



p

  p  

E

p

 p ——对应于材料比例极限时的柔度，只与材料的性质

有关，与压杆的截面形状和尺寸无关。

   p 的压杆——大柔度杆（细长杆）
欧拉公式只适用于大柔度杆（细长杆）

压杆稳定

三、超出比例极限时压杆的临界应力、
临界应力总图
压杆的应力超出比例极限时（λ<λp），这类杆件工程
上称为中柔度杆，此类压杆的稳定称弹塑性稳定。
抛物线公式（经验公式）

σcr= a - bλ2
式中，λ为压杆的柔度，a、b与材料有关的常数

例如：对于Q235钢及16Mn钢分别有
σcr=（235-0.00668λ2）MPa
σcr=（345-0.0142λ2）MPa

压杆稳定

由式可知，压杆不论处于弹性阶段还是弹塑性阶段，
其临界应力均为压杆柔度的函数，临界应力σcr与柔度λ的
函数曲线称为临界应力总图。

注意：图中以λc=123
而不是以λp=100作为二曲
线的分界点.
对Q235钢制成的压杆 ,
当λ≥λc，按欧拉公式计
算临界应力或临界力;当
λ<123时用经验公式计算

压杆稳定

第四节

压杆的稳定计算

一、压杆稳定条件

  

st

式中 [σ]st称为稳定许用应力，其值为

 st



 cr
n st

式中nst为压杆的稳定安全系数

压杆稳定

稳定许用应力值可写成下列形式

 st

  



式中[σ]——强度计算时的许用应力；

——折减系数。
压杆稳定条件可写为

 

FN
A

式中A为横截面的毛面积。

  



压杆稳定

折减系数
（1）折减系数是柔度λ的函数，随柔度λ的变化而
变化，柔度λ越大，折减系数越小；

（2）折减系数是各种影响因素的综合反映（如荷
载偏心、材料不均匀、初始曲率、安全储备等）；
（3）由于[σ] st总是小于[σ]，因此折减系数是一个小
于1的数。

压杆稳定

二、压杆稳定条件的应用
1.稳定校核。

2.设计截面。
3.确定稳定许用荷载。

压杆稳定

例11-3 图示两端铰支（球形铰）的矩形截面木杆，杆
端作用轴向压力Fp。已知l=3.6m，Fp=40kN，木材的强度
等级为TC13，许用应力[σ]=10MPa，试校核该压杆的稳定。
F
cr

解 矩形截面的惯性半径

A


120
12



12
bh

y



b

z

12

mm  34 . 64 mm

120

160

i

Iy

3

8m

hb

压杆稳定

两端铰支时长度系数μ=1
 

l

1  3 .6



34 . 64  10

i

3

 104

因为λ〉91
 
FN

A



F

A



2800



2



2800
104

40  10

2

3

0 . 259  120  160

所以该压杆满足稳定条件。

 0 . 259
MPa  8 . 00 MPa  



压杆稳定

第五节

提高压杆稳定性的措施

一、减小压杆的支承长度
从柔度计算式  

l
i

l\2

减小压杆的长度是降低压杆柔
l

度，提高压杆稳定性的有效方法
之一。
在条件允许的情况下，应
尽量使压杆的长度减小，或者
在压杆中间增加支撑。

l\2

压杆稳定
第

二、改善支承情况 ，减小长度系数μ
  0. 5

 1
Fcr

Fcr

 2

Fcr

杆端约束刚性越强,压杆的长度系数越小,相应的柔度
就越低,临界力就越大,因此尽可能加强杆端约束的刚性,
可使压 杆的稳定性得到提高.

压杆稳定

三、选择合理的截面形状
当截面面积相同的情况下，增大惯性矩I，从而达到增

大惯性半径i，减小柔度λ，提高压杆的临界应力。

压杆稳定

当压杆在各个弯曲平面内的支承条件相同时，压杆的

稳定性是由Imin方向的临界应力控制。因此，应尽量使截
面对任一形心主轴的惯性矩相同，这样可使压杆在各个
弯曲平面内具有相同的稳定性。
例如由两根槽钢组合而成的压杆
采用哪
种形式
好？

压杆稳定

当压杆在两个相互垂直平面内的支承条件不同时，
可采用Iz≠Iy的截面来与相应的支承条件配合，使压杆在

两相互垂直平面内的柔度值相等，即λz=λy，这样保证
压杆在这两个方向上具有相同的稳定性。

压杆稳定

四、合理选择材料
对于大柔度杆，临界应力与材料的弹性模量E有关，
由于各种钢材的弹性模量E值相差不大。所以，对大柔度

杆来说，选用优质钢材对提高临界应力意义不大。
对于中柔度杆，其临界应力与材料强度有关，强度越
高的材料，临界应力越高。所以，对中柔度杆而言，选择
优质钢材将有助于提高压杆的稳定性。


Slide 14

第十六章

压杆稳定

压杆稳定

第一节 压杆稳定的概念
一、稳定问题的提出

F

两根相同材料（松木）制成的杆，

σb=20MPa；A＝10mm×30mm
1m

短杆长：l＝30mm；
长杆长：l＝1000mm
F

若按强度条件计算，
两根杆压缩时的极限承载能力
均应为：
F= σb A=6kN

30mm

F

F

压杆稳定

压杆的破坏实验结果：

F

（1）短杆在压力增加到约

为6kN时，因木纹出现裂纹而
破坏。
（2）长杆在压力增加到约4kN
时突然弯向一侧，继续增大压力，
弯曲迅速增大，杆随即折断。

1m

F
30mm

F

F

压杆稳定
第六章

结论：
短压杆与长压杆在压缩时的破坏
性质完全不同
•

F

短压杆的破坏属于强

1m

度问题；
F

• 长压杆的破坏则属于能

30mm

否保持其原来的直线平衡
状态的问题

F

F

压杆稳定
第十章

压杆稳定性：压杆保持其原来直线平衡状态
的能力。
压杆不能保持其原来直线平衡状态而突然变弯
的现象，称为压杆的直线平衡状态丧失了稳定，
简称为压杆失稳。

压杆稳定

压杆失稳的严重后果：
19世纪，瑞士的孟汗太因桥突然倒塌，造
成200人遇难。
1907年加拿大的魁北克桥在建造时突然倒
塌，其原因都是因为桥梁桁架中的受压杆失稳
引起的。
1909年12月汉堡一个60万m3的大型贮气罐
因一个受压构件失稳而突然倒塌。

压杆稳定

研究压杆稳定性的意义：
压杆因强度或刚度不足而造成破坏之前一般
都有先兆；压杆由于失稳而造成破坏之前没有
任何先兆，当压力达到某个临界数值时就会突
然破坏，因此这种破坏形式在工程上具有很大
的破坏性。

在建筑工程中的受压上弦杆、厂房的柱子等
设计中都必须考虑其稳定性要求。

压杆稳定

二、平衡状态的类型
稳定平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体能自动恢复到原来的平
衡位置的平衡

不稳定平衡：

即使干扰平衡的外力消
失后，物体仍继续向远离原
来平衡位置的方向继续运动
的平衡。

随遇平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体可在任意位置继续保持
平衡。

显然，随遇平衡是界于稳定平衡与不稳定平衡之间的状
态，称为临界平衡状态。

压杆稳定

三、压杆临界力Fcr
FP

l
FP

FP ＜ FPcr

FP

F F

FP

F

FP

稳定直线平衡状态

FP = FPcr

F

FP

临界状态

FP > FPcr

F

FP

不稳定平衡状态

压杆处于临界状态时的轴向压力称为压杆的
临界力Fcr。

压杆稳定

第二节

细长压杆的临界力

临界力的影响因素
临界力Fcr的大小反映了压杆失稳的难易，而压杆失稳
就是直杆变弯，发生弯曲变形，因此临界力的大小与影响
直杆弯曲变形的因素有关：
杆的长度l
抗弯刚度EI

杆端支承

l越大
EI越大

越牢固

抵抗变形的能力越小

容易失稳

Fcr越小

抵抗变形的能力越强

不易失稳

Fcr越大

越不容易发生弯曲变形

不易失稳

Fcr越大

压杆稳定

临界力的欧拉公式
 EI
2

F cr 

(l)

2

式中 E——材料的弹性模量；
I——压杆横截面对形心轴的最小惯性矩；
l——压杆的长度；

μ——长度系数，反映了杆端支承对临界力的影响；
μl——压杆的计算长度。

压杆稳定

一端固定
一端铰支

两端铰支

两端固定

一端固定
一端自由

Fcr
Fcr

Fcr

μ=1

μ=0.7

0.25l

l

0.5l

l
0.3l

l

l

0.7l

0.25l

Fcr

μ=0.5

μ=2

压杆稳定

例1

一根两端铰支的№20a工字钢细长压杆，长

l=3m，钢的弹性模量E=200GPa，试计算其临界力。
解 查型钢表得
 EI

Iz=2370cm4，Iy=158cm4

2

Fcr 

l

2

  200  10  158  10
2



9

3

2

8

N

 346  10 N  346 kN
3

由此可知，若轴向压力达到346kN时，此杆会失稳。

压杆稳定

思考
材料及横截面均相同，哪一根最容易失稳，哪一根
最不容易失稳。

压杆稳定
Fcr

Fcr

y

200

120

y

120

200

z
z

8m

例2 一矩形截面的
中心受压的细长木柱，
长l=8m，柱的支承情况，
在最大刚度平面内弯曲
时为两端铰支（图a）；
在最小刚度平面内弯曲
时为两端固定（图b）。
木材的弹性模量
E=10GPa，试求木柱的
临界力。

压杆稳定

解 由于最大刚度平面与最小刚度平面内的支承
情况不同，所以需分别计算。
Fcr

（1）计算最大刚度平面内的临界力
截面的惯性矩为
Iy 

3

mm

4

y

 8  10 mm
7

4

 8  10

5

m

4

200

两端铰支，长度系数μ=1
 EI
2

F cr 

(l )

3 . 14  10  10  8  10
2

y
2



9

(1  8 )

 123  10 N  123 kN
3

z

8m

12

2

5

N

120

120  200

压杆稳定

（2）计算最小刚度平面内的临界力。
Fcr

由图16-4b,截面惯性矩为
3

mm

4

12

 2 . 88  10 mm
7

 2 . 88  10

5

m

4

z

4

y

两端固定，长度系数μ=0.5
 EI Z
2

Fcr 

(l )

2

3 . 14  10  10  2 . 88  10
2



9

( 0 .5  8 )

 177  10 N  177 kN
3

2

120

5

N

200

IZ 

200  120

压杆稳定

Fcr

Fcr

y

200

y

120

8m

z

120

200

z

比较计算结果可知
，第一种情况的临界力
小，所以压杆失稳时将
在最大刚度平面内产生
弯曲。此例说明，当在
最小刚度平面与最大刚
度平面内支承情况不同
时，压杆不一定在最小
刚度平面内失稳，必须
经过具体计算后才能确
定。

压杆稳定

第三节 临界应力与欧拉公式的适用范围
一、临界应力
 cr 
I i A
2

F cr

2



cr



(l )

2

2

 E

A
 Ei
2



 E I

(l)

2

A
2



(

l

)

2

i
令   l i

 E
2

 cr 



2

   l i —— 压杆的柔度（长细比），是无量纲的量。

压杆稳定

压杆的柔度λ
（1）综合反映了压杆的长度（l）、杆端支承情况（μ
）、截面形状和尺寸（I、A、i）对临界应力的影响。
（2）压杆的临界应力与压杆柔度的平方成反比，即
，柔度越大压杆临界应力越小，压杆越容易失稳。

压杆稳定

二、欧拉公式的适用范围
只有当压杆的临界应力不超过材料的比例极限时，欧
拉公式才适用，即：
 E
2

 cr 



2



p

  p  

E

p

 p ——对应于材料比例极限时的柔度，只与材料的性质

有关，与压杆的截面形状和尺寸无关。

   p 的压杆——大柔度杆（细长杆）
欧拉公式只适用于大柔度杆（细长杆）

压杆稳定

三、超出比例极限时压杆的临界应力、
临界应力总图
压杆的应力超出比例极限时（λ<λp），这类杆件工程
上称为中柔度杆，此类压杆的稳定称弹塑性稳定。
抛物线公式（经验公式）

σcr= a - bλ2
式中，λ为压杆的柔度，a、b与材料有关的常数

例如：对于Q235钢及16Mn钢分别有
σcr=（235-0.00668λ2）MPa
σcr=（345-0.0142λ2）MPa

压杆稳定

由式可知，压杆不论处于弹性阶段还是弹塑性阶段，
其临界应力均为压杆柔度的函数，临界应力σcr与柔度λ的
函数曲线称为临界应力总图。

注意：图中以λc=123
而不是以λp=100作为二曲
线的分界点.
对Q235钢制成的压杆 ,
当λ≥λc，按欧拉公式计
算临界应力或临界力;当
λ<123时用经验公式计算

压杆稳定

第四节

压杆的稳定计算

一、压杆稳定条件

  

st

式中 [σ]st称为稳定许用应力，其值为

 st



 cr
n st

式中nst为压杆的稳定安全系数

压杆稳定

稳定许用应力值可写成下列形式

 st

  



式中[σ]——强度计算时的许用应力；

——折减系数。
压杆稳定条件可写为

 

FN
A

式中A为横截面的毛面积。

  



压杆稳定

折减系数
（1）折减系数是柔度λ的函数，随柔度λ的变化而
变化，柔度λ越大，折减系数越小；

（2）折减系数是各种影响因素的综合反映（如荷
载偏心、材料不均匀、初始曲率、安全储备等）；
（3）由于[σ] st总是小于[σ]，因此折减系数是一个小
于1的数。

压杆稳定

二、压杆稳定条件的应用
1.稳定校核。

2.设计截面。
3.确定稳定许用荷载。

压杆稳定

例11-3 图示两端铰支（球形铰）的矩形截面木杆，杆
端作用轴向压力Fp。已知l=3.6m，Fp=40kN，木材的强度
等级为TC13，许用应力[σ]=10MPa，试校核该压杆的稳定。
F
cr

解 矩形截面的惯性半径

A


120
12



12
bh

y



b

z

12

mm  34 . 64 mm

120

160

i

Iy

3

8m

hb

压杆稳定

两端铰支时长度系数μ=1
 

l

1  3 .6



34 . 64  10

i

3

 104

因为λ〉91
 
FN

A



F

A



2800



2



2800
104

40  10

2

3

0 . 259  120  160

所以该压杆满足稳定条件。

 0 . 259
MPa  8 . 00 MPa  



压杆稳定

第五节

提高压杆稳定性的措施

一、减小压杆的支承长度
从柔度计算式  

l
i

l\2

减小压杆的长度是降低压杆柔
l

度，提高压杆稳定性的有效方法
之一。
在条件允许的情况下，应
尽量使压杆的长度减小，或者
在压杆中间增加支撑。

l\2

压杆稳定
第

二、改善支承情况 ，减小长度系数μ
  0. 5

 1
Fcr

Fcr

 2

Fcr

杆端约束刚性越强,压杆的长度系数越小,相应的柔度
就越低,临界力就越大,因此尽可能加强杆端约束的刚性,
可使压 杆的稳定性得到提高.

压杆稳定

三、选择合理的截面形状
当截面面积相同的情况下，增大惯性矩I，从而达到增

大惯性半径i，减小柔度λ，提高压杆的临界应力。

压杆稳定

当压杆在各个弯曲平面内的支承条件相同时，压杆的

稳定性是由Imin方向的临界应力控制。因此，应尽量使截
面对任一形心主轴的惯性矩相同，这样可使压杆在各个
弯曲平面内具有相同的稳定性。
例如由两根槽钢组合而成的压杆
采用哪
种形式
好？

压杆稳定

当压杆在两个相互垂直平面内的支承条件不同时，
可采用Iz≠Iy的截面来与相应的支承条件配合，使压杆在

两相互垂直平面内的柔度值相等，即λz=λy，这样保证
压杆在这两个方向上具有相同的稳定性。

压杆稳定

四、合理选择材料
对于大柔度杆，临界应力与材料的弹性模量E有关，
由于各种钢材的弹性模量E值相差不大。所以，对大柔度

杆来说，选用优质钢材对提高临界应力意义不大。
对于中柔度杆，其临界应力与材料强度有关，强度越
高的材料，临界应力越高。所以，对中柔度杆而言，选择
优质钢材将有助于提高压杆的稳定性。


Slide 15

第十六章

压杆稳定

压杆稳定

第一节 压杆稳定的概念
一、稳定问题的提出

F

两根相同材料（松木）制成的杆，

σb=20MPa；A＝10mm×30mm
1m

短杆长：l＝30mm；
长杆长：l＝1000mm
F

若按强度条件计算，
两根杆压缩时的极限承载能力
均应为：
F= σb A=6kN

30mm

F

F

压杆稳定

压杆的破坏实验结果：

F

（1）短杆在压力增加到约

为6kN时，因木纹出现裂纹而
破坏。
（2）长杆在压力增加到约4kN
时突然弯向一侧，继续增大压力，
弯曲迅速增大，杆随即折断。

1m

F
30mm

F

F

压杆稳定
第六章

结论：
短压杆与长压杆在压缩时的破坏
性质完全不同
•

F

短压杆的破坏属于强

1m

度问题；
F

• 长压杆的破坏则属于能

30mm

否保持其原来的直线平衡
状态的问题

F

F

压杆稳定
第十章

压杆稳定性：压杆保持其原来直线平衡状态
的能力。
压杆不能保持其原来直线平衡状态而突然变弯
的现象，称为压杆的直线平衡状态丧失了稳定，
简称为压杆失稳。

压杆稳定

压杆失稳的严重后果：
19世纪，瑞士的孟汗太因桥突然倒塌，造
成200人遇难。
1907年加拿大的魁北克桥在建造时突然倒
塌，其原因都是因为桥梁桁架中的受压杆失稳
引起的。
1909年12月汉堡一个60万m3的大型贮气罐
因一个受压构件失稳而突然倒塌。

压杆稳定

研究压杆稳定性的意义：
压杆因强度或刚度不足而造成破坏之前一般
都有先兆；压杆由于失稳而造成破坏之前没有
任何先兆，当压力达到某个临界数值时就会突
然破坏，因此这种破坏形式在工程上具有很大
的破坏性。

在建筑工程中的受压上弦杆、厂房的柱子等
设计中都必须考虑其稳定性要求。

压杆稳定

二、平衡状态的类型
稳定平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体能自动恢复到原来的平
衡位置的平衡

不稳定平衡：

即使干扰平衡的外力消
失后，物体仍继续向远离原
来平衡位置的方向继续运动
的平衡。

随遇平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体可在任意位置继续保持
平衡。

显然，随遇平衡是界于稳定平衡与不稳定平衡之间的状
态，称为临界平衡状态。

压杆稳定

三、压杆临界力Fcr
FP

l
FP

FP ＜ FPcr

FP

F F

FP

F

FP

稳定直线平衡状态

FP = FPcr

F

FP

临界状态

FP > FPcr

F

FP

不稳定平衡状态

压杆处于临界状态时的轴向压力称为压杆的
临界力Fcr。

压杆稳定

第二节

细长压杆的临界力

临界力的影响因素
临界力Fcr的大小反映了压杆失稳的难易，而压杆失稳
就是直杆变弯，发生弯曲变形，因此临界力的大小与影响
直杆弯曲变形的因素有关：
杆的长度l
抗弯刚度EI

杆端支承

l越大
EI越大

越牢固

抵抗变形的能力越小

容易失稳

Fcr越小

抵抗变形的能力越强

不易失稳

Fcr越大

越不容易发生弯曲变形

不易失稳

Fcr越大

压杆稳定

临界力的欧拉公式
 EI
2

F cr 

(l)

2

式中 E——材料的弹性模量；
I——压杆横截面对形心轴的最小惯性矩；
l——压杆的长度；

μ——长度系数，反映了杆端支承对临界力的影响；
μl——压杆的计算长度。

压杆稳定

一端固定
一端铰支

两端铰支

两端固定

一端固定
一端自由

Fcr
Fcr

Fcr

μ=1

μ=0.7

0.25l

l

0.5l

l
0.3l

l

l

0.7l

0.25l

Fcr

μ=0.5

μ=2

压杆稳定

例1

一根两端铰支的№20a工字钢细长压杆，长

l=3m，钢的弹性模量E=200GPa，试计算其临界力。
解 查型钢表得
 EI

Iz=2370cm4，Iy=158cm4

2

Fcr 

l

2

  200  10  158  10
2



9

3

2

8

N

 346  10 N  346 kN
3

由此可知，若轴向压力达到346kN时，此杆会失稳。

压杆稳定

思考
材料及横截面均相同，哪一根最容易失稳，哪一根
最不容易失稳。

压杆稳定
Fcr

Fcr

y

200

120

y

120

200

z
z

8m

例2 一矩形截面的
中心受压的细长木柱，
长l=8m，柱的支承情况，
在最大刚度平面内弯曲
时为两端铰支（图a）；
在最小刚度平面内弯曲
时为两端固定（图b）。
木材的弹性模量
E=10GPa，试求木柱的
临界力。

压杆稳定

解 由于最大刚度平面与最小刚度平面内的支承
情况不同，所以需分别计算。
Fcr

（1）计算最大刚度平面内的临界力
截面的惯性矩为
Iy 

3

mm

4

y

 8  10 mm
7

4

 8  10

5

m

4

200

两端铰支，长度系数μ=1
 EI
2

F cr 

(l )

3 . 14  10  10  8  10
2

y
2



9

(1  8 )

 123  10 N  123 kN
3

z

8m

12

2

5

N

120

120  200

压杆稳定

（2）计算最小刚度平面内的临界力。
Fcr

由图16-4b,截面惯性矩为
3

mm

4

12

 2 . 88  10 mm
7

 2 . 88  10

5

m

4

z

4

y

两端固定，长度系数μ=0.5
 EI Z
2

Fcr 

(l )

2

3 . 14  10  10  2 . 88  10
2



9

( 0 .5  8 )

 177  10 N  177 kN
3

2

120

5

N

200

IZ 

200  120

压杆稳定

Fcr

Fcr

y

200

y

120

8m

z

120

200

z

比较计算结果可知
，第一种情况的临界力
小，所以压杆失稳时将
在最大刚度平面内产生
弯曲。此例说明，当在
最小刚度平面与最大刚
度平面内支承情况不同
时，压杆不一定在最小
刚度平面内失稳，必须
经过具体计算后才能确
定。

压杆稳定

第三节 临界应力与欧拉公式的适用范围
一、临界应力
 cr 
I i A
2

F cr

2



cr



(l )

2

2

 E

A
 Ei
2



 E I

(l)

2

A
2



(

l

)

2

i
令   l i

 E
2

 cr 



2

   l i —— 压杆的柔度（长细比），是无量纲的量。

压杆稳定

压杆的柔度λ
（1）综合反映了压杆的长度（l）、杆端支承情况（μ
）、截面形状和尺寸（I、A、i）对临界应力的影响。
（2）压杆的临界应力与压杆柔度的平方成反比，即
，柔度越大压杆临界应力越小，压杆越容易失稳。

压杆稳定

二、欧拉公式的适用范围
只有当压杆的临界应力不超过材料的比例极限时，欧
拉公式才适用，即：
 E
2

 cr 



2



p

  p  

E

p

 p ——对应于材料比例极限时的柔度，只与材料的性质

有关，与压杆的截面形状和尺寸无关。

   p 的压杆——大柔度杆（细长杆）
欧拉公式只适用于大柔度杆（细长杆）

压杆稳定

三、超出比例极限时压杆的临界应力、
临界应力总图
压杆的应力超出比例极限时（λ<λp），这类杆件工程
上称为中柔度杆，此类压杆的稳定称弹塑性稳定。
抛物线公式（经验公式）

σcr= a - bλ2
式中，λ为压杆的柔度，a、b与材料有关的常数

例如：对于Q235钢及16Mn钢分别有
σcr=（235-0.00668λ2）MPa
σcr=（345-0.0142λ2）MPa

压杆稳定

由式可知，压杆不论处于弹性阶段还是弹塑性阶段，
其临界应力均为压杆柔度的函数，临界应力σcr与柔度λ的
函数曲线称为临界应力总图。

注意：图中以λc=123
而不是以λp=100作为二曲
线的分界点.
对Q235钢制成的压杆 ,
当λ≥λc，按欧拉公式计
算临界应力或临界力;当
λ<123时用经验公式计算

压杆稳定

第四节

压杆的稳定计算

一、压杆稳定条件

  

st

式中 [σ]st称为稳定许用应力，其值为

 st



 cr
n st

式中nst为压杆的稳定安全系数

压杆稳定

稳定许用应力值可写成下列形式

 st

  



式中[σ]——强度计算时的许用应力；

——折减系数。
压杆稳定条件可写为

 

FN
A

式中A为横截面的毛面积。

  



压杆稳定

折减系数
（1）折减系数是柔度λ的函数，随柔度λ的变化而
变化，柔度λ越大，折减系数越小；

（2）折减系数是各种影响因素的综合反映（如荷
载偏心、材料不均匀、初始曲率、安全储备等）；
（3）由于[σ] st总是小于[σ]，因此折减系数是一个小
于1的数。

压杆稳定

二、压杆稳定条件的应用
1.稳定校核。

2.设计截面。
3.确定稳定许用荷载。

压杆稳定

例11-3 图示两端铰支（球形铰）的矩形截面木杆，杆
端作用轴向压力Fp。已知l=3.6m，Fp=40kN，木材的强度
等级为TC13，许用应力[σ]=10MPa，试校核该压杆的稳定。
F
cr

解 矩形截面的惯性半径

A


120
12



12
bh

y



b

z

12

mm  34 . 64 mm

120

160

i

Iy

3

8m

hb

压杆稳定

两端铰支时长度系数μ=1
 

l

1  3 .6



34 . 64  10

i

3

 104

因为λ〉91
 
FN

A



F

A



2800



2



2800
104

40  10

2

3

0 . 259  120  160

所以该压杆满足稳定条件。

 0 . 259
MPa  8 . 00 MPa  



压杆稳定

第五节

提高压杆稳定性的措施

一、减小压杆的支承长度
从柔度计算式  

l
i

l\2

减小压杆的长度是降低压杆柔
l

度，提高压杆稳定性的有效方法
之一。
在条件允许的情况下，应
尽量使压杆的长度减小，或者
在压杆中间增加支撑。

l\2

压杆稳定
第

二、改善支承情况 ，减小长度系数μ
  0. 5

 1
Fcr

Fcr

 2

Fcr

杆端约束刚性越强,压杆的长度系数越小,相应的柔度
就越低,临界力就越大,因此尽可能加强杆端约束的刚性,
可使压 杆的稳定性得到提高.

压杆稳定

三、选择合理的截面形状
当截面面积相同的情况下，增大惯性矩I，从而达到增

大惯性半径i，减小柔度λ，提高压杆的临界应力。

压杆稳定

当压杆在各个弯曲平面内的支承条件相同时，压杆的

稳定性是由Imin方向的临界应力控制。因此，应尽量使截
面对任一形心主轴的惯性矩相同，这样可使压杆在各个
弯曲平面内具有相同的稳定性。
例如由两根槽钢组合而成的压杆
采用哪
种形式
好？

压杆稳定

当压杆在两个相互垂直平面内的支承条件不同时，
可采用Iz≠Iy的截面来与相应的支承条件配合，使压杆在

两相互垂直平面内的柔度值相等，即λz=λy，这样保证
压杆在这两个方向上具有相同的稳定性。

压杆稳定

四、合理选择材料
对于大柔度杆，临界应力与材料的弹性模量E有关，
由于各种钢材的弹性模量E值相差不大。所以，对大柔度

杆来说，选用优质钢材对提高临界应力意义不大。
对于中柔度杆，其临界应力与材料强度有关，强度越
高的材料，临界应力越高。所以，对中柔度杆而言，选择
优质钢材将有助于提高压杆的稳定性。


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第十六章

压杆稳定

压杆稳定

第一节 压杆稳定的概念
一、稳定问题的提出

F

两根相同材料（松木）制成的杆，

σb=20MPa；A＝10mm×30mm
1m

短杆长：l＝30mm；
长杆长：l＝1000mm
F

若按强度条件计算，
两根杆压缩时的极限承载能力
均应为：
F= σb A=6kN

30mm

F

F

压杆稳定

压杆的破坏实验结果：

F

（1）短杆在压力增加到约

为6kN时，因木纹出现裂纹而
破坏。
（2）长杆在压力增加到约4kN
时突然弯向一侧，继续增大压力，
弯曲迅速增大，杆随即折断。

1m

F
30mm

F

F

压杆稳定
第六章

结论：
短压杆与长压杆在压缩时的破坏
性质完全不同
•

F

短压杆的破坏属于强

1m

度问题；
F

• 长压杆的破坏则属于能

30mm

否保持其原来的直线平衡
状态的问题

F

F

压杆稳定
第十章

压杆稳定性：压杆保持其原来直线平衡状态
的能力。
压杆不能保持其原来直线平衡状态而突然变弯
的现象，称为压杆的直线平衡状态丧失了稳定，
简称为压杆失稳。

压杆稳定

压杆失稳的严重后果：
19世纪，瑞士的孟汗太因桥突然倒塌，造
成200人遇难。
1907年加拿大的魁北克桥在建造时突然倒
塌，其原因都是因为桥梁桁架中的受压杆失稳
引起的。
1909年12月汉堡一个60万m3的大型贮气罐
因一个受压构件失稳而突然倒塌。

压杆稳定

研究压杆稳定性的意义：
压杆因强度或刚度不足而造成破坏之前一般
都有先兆；压杆由于失稳而造成破坏之前没有
任何先兆，当压力达到某个临界数值时就会突
然破坏，因此这种破坏形式在工程上具有很大
的破坏性。

在建筑工程中的受压上弦杆、厂房的柱子等
设计中都必须考虑其稳定性要求。

压杆稳定

二、平衡状态的类型
稳定平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体能自动恢复到原来的平
衡位置的平衡

不稳定平衡：

即使干扰平衡的外力消
失后，物体仍继续向远离原
来平衡位置的方向继续运动
的平衡。

随遇平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体可在任意位置继续保持
平衡。

显然，随遇平衡是界于稳定平衡与不稳定平衡之间的状
态，称为临界平衡状态。

压杆稳定

三、压杆临界力Fcr
FP

l
FP

FP ＜ FPcr

FP

F F

FP

F

FP

稳定直线平衡状态

FP = FPcr

F

FP

临界状态

FP > FPcr

F

FP

不稳定平衡状态

压杆处于临界状态时的轴向压力称为压杆的
临界力Fcr。

压杆稳定

第二节

细长压杆的临界力

临界力的影响因素
临界力Fcr的大小反映了压杆失稳的难易，而压杆失稳
就是直杆变弯，发生弯曲变形，因此临界力的大小与影响
直杆弯曲变形的因素有关：
杆的长度l
抗弯刚度EI

杆端支承

l越大
EI越大

越牢固

抵抗变形的能力越小

容易失稳

Fcr越小

抵抗变形的能力越强

不易失稳

Fcr越大

越不容易发生弯曲变形

不易失稳

Fcr越大

压杆稳定

临界力的欧拉公式
 EI
2

F cr 

(l)

2

式中 E——材料的弹性模量；
I——压杆横截面对形心轴的最小惯性矩；
l——压杆的长度；

μ——长度系数，反映了杆端支承对临界力的影响；
μl——压杆的计算长度。

压杆稳定

一端固定
一端铰支

两端铰支

两端固定

一端固定
一端自由

Fcr
Fcr

Fcr

μ=1

μ=0.7

0.25l

l

0.5l

l
0.3l

l

l

0.7l

0.25l

Fcr

μ=0.5

μ=2

压杆稳定

例1

一根两端铰支的№20a工字钢细长压杆，长

l=3m，钢的弹性模量E=200GPa，试计算其临界力。
解 查型钢表得
 EI

Iz=2370cm4，Iy=158cm4

2

Fcr 

l

2

  200  10  158  10
2



9

3

2

8

N

 346  10 N  346 kN
3

由此可知，若轴向压力达到346kN时，此杆会失稳。

压杆稳定

思考
材料及横截面均相同，哪一根最容易失稳，哪一根
最不容易失稳。

压杆稳定
Fcr

Fcr

y

200

120

y

120

200

z
z

8m

例2 一矩形截面的
中心受压的细长木柱，
长l=8m，柱的支承情况，
在最大刚度平面内弯曲
时为两端铰支（图a）；
在最小刚度平面内弯曲
时为两端固定（图b）。
木材的弹性模量
E=10GPa，试求木柱的
临界力。

压杆稳定

解 由于最大刚度平面与最小刚度平面内的支承
情况不同，所以需分别计算。
Fcr

（1）计算最大刚度平面内的临界力
截面的惯性矩为
Iy 

3

mm

4

y

 8  10 mm
7

4

 8  10

5

m

4

200

两端铰支，长度系数μ=1
 EI
2

F cr 

(l )

3 . 14  10  10  8  10
2

y
2



9

(1  8 )

 123  10 N  123 kN
3

z

8m

12

2

5

N

120

120  200

压杆稳定

（2）计算最小刚度平面内的临界力。
Fcr

由图16-4b,截面惯性矩为
3

mm

4

12

 2 . 88  10 mm
7

 2 . 88  10

5

m

4

z

4

y

两端固定，长度系数μ=0.5
 EI Z
2

Fcr 

(l )

2

3 . 14  10  10  2 . 88  10
2



9

( 0 .5  8 )

 177  10 N  177 kN
3

2

120

5

N

200

IZ 

200  120

压杆稳定

Fcr

Fcr

y

200

y

120

8m

z

120

200

z

比较计算结果可知
，第一种情况的临界力
小，所以压杆失稳时将
在最大刚度平面内产生
弯曲。此例说明，当在
最小刚度平面与最大刚
度平面内支承情况不同
时，压杆不一定在最小
刚度平面内失稳，必须
经过具体计算后才能确
定。

压杆稳定

第三节 临界应力与欧拉公式的适用范围
一、临界应力
 cr 
I i A
2

F cr

2



cr



(l )

2

2

 E

A
 Ei
2



 E I

(l)

2

A
2



(

l

)

2

i
令   l i

 E
2

 cr 



2

   l i —— 压杆的柔度（长细比），是无量纲的量。

压杆稳定

压杆的柔度λ
（1）综合反映了压杆的长度（l）、杆端支承情况（μ
）、截面形状和尺寸（I、A、i）对临界应力的影响。
（2）压杆的临界应力与压杆柔度的平方成反比，即
，柔度越大压杆临界应力越小，压杆越容易失稳。

压杆稳定

二、欧拉公式的适用范围
只有当压杆的临界应力不超过材料的比例极限时，欧
拉公式才适用，即：
 E
2

 cr 



2



p

  p  

E

p

 p ——对应于材料比例极限时的柔度，只与材料的性质

有关，与压杆的截面形状和尺寸无关。

   p 的压杆——大柔度杆（细长杆）
欧拉公式只适用于大柔度杆（细长杆）

压杆稳定

三、超出比例极限时压杆的临界应力、
临界应力总图
压杆的应力超出比例极限时（λ<λp），这类杆件工程
上称为中柔度杆，此类压杆的稳定称弹塑性稳定。
抛物线公式（经验公式）

σcr= a - bλ2
式中，λ为压杆的柔度，a、b与材料有关的常数

例如：对于Q235钢及16Mn钢分别有
σcr=（235-0.00668λ2）MPa
σcr=（345-0.0142λ2）MPa

压杆稳定

由式可知，压杆不论处于弹性阶段还是弹塑性阶段，
其临界应力均为压杆柔度的函数，临界应力σcr与柔度λ的
函数曲线称为临界应力总图。

注意：图中以λc=123
而不是以λp=100作为二曲
线的分界点.
对Q235钢制成的压杆 ,
当λ≥λc，按欧拉公式计
算临界应力或临界力;当
λ<123时用经验公式计算

压杆稳定

第四节

压杆的稳定计算

一、压杆稳定条件

  

st

式中 [σ]st称为稳定许用应力，其值为

 st



 cr
n st

式中nst为压杆的稳定安全系数

压杆稳定

稳定许用应力值可写成下列形式

 st

  



式中[σ]——强度计算时的许用应力；

——折减系数。
压杆稳定条件可写为

 

FN
A

式中A为横截面的毛面积。

  



压杆稳定

折减系数
（1）折减系数是柔度λ的函数，随柔度λ的变化而
变化，柔度λ越大，折减系数越小；

（2）折减系数是各种影响因素的综合反映（如荷
载偏心、材料不均匀、初始曲率、安全储备等）；
（3）由于[σ] st总是小于[σ]，因此折减系数是一个小
于1的数。

压杆稳定

二、压杆稳定条件的应用
1.稳定校核。

2.设计截面。
3.确定稳定许用荷载。

压杆稳定

例11-3 图示两端铰支（球形铰）的矩形截面木杆，杆
端作用轴向压力Fp。已知l=3.6m，Fp=40kN，木材的强度
等级为TC13，许用应力[σ]=10MPa，试校核该压杆的稳定。
F
cr

解 矩形截面的惯性半径

A


120
12



12
bh

y



b

z

12

mm  34 . 64 mm

120

160

i

Iy

3

8m

hb

压杆稳定

两端铰支时长度系数μ=1
 

l

1  3 .6



34 . 64  10

i

3

 104

因为λ〉91
 
FN

A



F

A



2800



2



2800
104

40  10

2

3

0 . 259  120  160

所以该压杆满足稳定条件。

 0 . 259
MPa  8 . 00 MPa  



压杆稳定

第五节

提高压杆稳定性的措施

一、减小压杆的支承长度
从柔度计算式  

l
i

l\2

减小压杆的长度是降低压杆柔
l

度，提高压杆稳定性的有效方法
之一。
在条件允许的情况下，应
尽量使压杆的长度减小，或者
在压杆中间增加支撑。

l\2

压杆稳定
第

二、改善支承情况 ，减小长度系数μ
  0. 5

 1
Fcr

Fcr

 2

Fcr

杆端约束刚性越强,压杆的长度系数越小,相应的柔度
就越低,临界力就越大,因此尽可能加强杆端约束的刚性,
可使压 杆的稳定性得到提高.

压杆稳定

三、选择合理的截面形状
当截面面积相同的情况下，增大惯性矩I，从而达到增

大惯性半径i，减小柔度λ，提高压杆的临界应力。

压杆稳定

当压杆在各个弯曲平面内的支承条件相同时，压杆的

稳定性是由Imin方向的临界应力控制。因此，应尽量使截
面对任一形心主轴的惯性矩相同，这样可使压杆在各个
弯曲平面内具有相同的稳定性。
例如由两根槽钢组合而成的压杆
采用哪
种形式
好？

压杆稳定

当压杆在两个相互垂直平面内的支承条件不同时，
可采用Iz≠Iy的截面来与相应的支承条件配合，使压杆在

两相互垂直平面内的柔度值相等，即λz=λy，这样保证
压杆在这两个方向上具有相同的稳定性。

压杆稳定

四、合理选择材料
对于大柔度杆，临界应力与材料的弹性模量E有关，
由于各种钢材的弹性模量E值相差不大。所以，对大柔度

杆来说，选用优质钢材对提高临界应力意义不大。
对于中柔度杆，其临界应力与材料强度有关，强度越
高的材料，临界应力越高。所以，对中柔度杆而言，选择
优质钢材将有助于提高压杆的稳定性。


Slide 17

第十六章

压杆稳定

压杆稳定

第一节 压杆稳定的概念
一、稳定问题的提出

F

两根相同材料（松木）制成的杆，

σb=20MPa；A＝10mm×30mm
1m

短杆长：l＝30mm；
长杆长：l＝1000mm
F

若按强度条件计算，
两根杆压缩时的极限承载能力
均应为：
F= σb A=6kN

30mm

F

F

压杆稳定

压杆的破坏实验结果：

F

（1）短杆在压力增加到约

为6kN时，因木纹出现裂纹而
破坏。
（2）长杆在压力增加到约4kN
时突然弯向一侧，继续增大压力，
弯曲迅速增大，杆随即折断。

1m

F
30mm

F

F

压杆稳定
第六章

结论：
短压杆与长压杆在压缩时的破坏
性质完全不同
•

F

短压杆的破坏属于强

1m

度问题；
F

• 长压杆的破坏则属于能

30mm

否保持其原来的直线平衡
状态的问题

F

F

压杆稳定
第十章

压杆稳定性：压杆保持其原来直线平衡状态
的能力。
压杆不能保持其原来直线平衡状态而突然变弯
的现象，称为压杆的直线平衡状态丧失了稳定，
简称为压杆失稳。

压杆稳定

压杆失稳的严重后果：
19世纪，瑞士的孟汗太因桥突然倒塌，造
成200人遇难。
1907年加拿大的魁北克桥在建造时突然倒
塌，其原因都是因为桥梁桁架中的受压杆失稳
引起的。
1909年12月汉堡一个60万m3的大型贮气罐
因一个受压构件失稳而突然倒塌。

压杆稳定

研究压杆稳定性的意义：
压杆因强度或刚度不足而造成破坏之前一般
都有先兆；压杆由于失稳而造成破坏之前没有
任何先兆，当压力达到某个临界数值时就会突
然破坏，因此这种破坏形式在工程上具有很大
的破坏性。

在建筑工程中的受压上弦杆、厂房的柱子等
设计中都必须考虑其稳定性要求。

压杆稳定

二、平衡状态的类型
稳定平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体能自动恢复到原来的平
衡位置的平衡

不稳定平衡：

即使干扰平衡的外力消
失后，物体仍继续向远离原
来平衡位置的方向继续运动
的平衡。

随遇平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体可在任意位置继续保持
平衡。

显然，随遇平衡是界于稳定平衡与不稳定平衡之间的状
态，称为临界平衡状态。

压杆稳定

三、压杆临界力Fcr
FP

l
FP

FP ＜ FPcr

FP

F F

FP

F

FP

稳定直线平衡状态

FP = FPcr

F

FP

临界状态

FP > FPcr

F

FP

不稳定平衡状态

压杆处于临界状态时的轴向压力称为压杆的
临界力Fcr。

压杆稳定

第二节

细长压杆的临界力

临界力的影响因素
临界力Fcr的大小反映了压杆失稳的难易，而压杆失稳
就是直杆变弯，发生弯曲变形，因此临界力的大小与影响
直杆弯曲变形的因素有关：
杆的长度l
抗弯刚度EI

杆端支承

l越大
EI越大

越牢固

抵抗变形的能力越小

容易失稳

Fcr越小

抵抗变形的能力越强

不易失稳

Fcr越大

越不容易发生弯曲变形

不易失稳

Fcr越大

压杆稳定

临界力的欧拉公式
 EI
2

F cr 

(l)

2

式中 E——材料的弹性模量；
I——压杆横截面对形心轴的最小惯性矩；
l——压杆的长度；

μ——长度系数，反映了杆端支承对临界力的影响；
μl——压杆的计算长度。

压杆稳定

一端固定
一端铰支

两端铰支

两端固定

一端固定
一端自由

Fcr
Fcr

Fcr

μ=1

μ=0.7

0.25l

l

0.5l

l
0.3l

l

l

0.7l

0.25l

Fcr

μ=0.5

μ=2

压杆稳定

例1

一根两端铰支的№20a工字钢细长压杆，长

l=3m，钢的弹性模量E=200GPa，试计算其临界力。
解 查型钢表得
 EI

Iz=2370cm4，Iy=158cm4

2

Fcr 

l

2

  200  10  158  10
2



9

3

2

8

N

 346  10 N  346 kN
3

由此可知，若轴向压力达到346kN时，此杆会失稳。

压杆稳定

思考
材料及横截面均相同，哪一根最容易失稳，哪一根
最不容易失稳。

压杆稳定
Fcr

Fcr

y

200

120

y

120

200

z
z

8m

例2 一矩形截面的
中心受压的细长木柱，
长l=8m，柱的支承情况，
在最大刚度平面内弯曲
时为两端铰支（图a）；
在最小刚度平面内弯曲
时为两端固定（图b）。
木材的弹性模量
E=10GPa，试求木柱的
临界力。

压杆稳定

解 由于最大刚度平面与最小刚度平面内的支承
情况不同，所以需分别计算。
Fcr

（1）计算最大刚度平面内的临界力
截面的惯性矩为
Iy 

3

mm

4

y

 8  10 mm
7

4

 8  10

5

m

4

200

两端铰支，长度系数μ=1
 EI
2

F cr 

(l )

3 . 14  10  10  8  10
2

y
2



9

(1  8 )

 123  10 N  123 kN
3

z

8m

12

2

5

N

120

120  200

压杆稳定

（2）计算最小刚度平面内的临界力。
Fcr

由图16-4b,截面惯性矩为
3

mm

4

12

 2 . 88  10 mm
7

 2 . 88  10

5

m

4

z

4

y

两端固定，长度系数μ=0.5
 EI Z
2

Fcr 

(l )

2

3 . 14  10  10  2 . 88  10
2



9

( 0 .5  8 )

 177  10 N  177 kN
3

2

120

5

N

200

IZ 

200  120

压杆稳定

Fcr

Fcr

y

200

y

120

8m

z

120

200

z

比较计算结果可知
，第一种情况的临界力
小，所以压杆失稳时将
在最大刚度平面内产生
弯曲。此例说明，当在
最小刚度平面与最大刚
度平面内支承情况不同
时，压杆不一定在最小
刚度平面内失稳，必须
经过具体计算后才能确
定。

压杆稳定

第三节 临界应力与欧拉公式的适用范围
一、临界应力
 cr 
I i A
2

F cr

2



cr



(l )

2

2

 E

A
 Ei
2



 E I

(l)

2

A
2



(

l

)

2

i
令   l i

 E
2

 cr 



2

   l i —— 压杆的柔度（长细比），是无量纲的量。

压杆稳定

压杆的柔度λ
（1）综合反映了压杆的长度（l）、杆端支承情况（μ
）、截面形状和尺寸（I、A、i）对临界应力的影响。
（2）压杆的临界应力与压杆柔度的平方成反比，即
，柔度越大压杆临界应力越小，压杆越容易失稳。

压杆稳定

二、欧拉公式的适用范围
只有当压杆的临界应力不超过材料的比例极限时，欧
拉公式才适用，即：
 E
2

 cr 



2



p

  p  

E

p

 p ——对应于材料比例极限时的柔度，只与材料的性质

有关，与压杆的截面形状和尺寸无关。

   p 的压杆——大柔度杆（细长杆）
欧拉公式只适用于大柔度杆（细长杆）

压杆稳定

三、超出比例极限时压杆的临界应力、
临界应力总图
压杆的应力超出比例极限时（λ<λp），这类杆件工程
上称为中柔度杆，此类压杆的稳定称弹塑性稳定。
抛物线公式（经验公式）

σcr= a - bλ2
式中，λ为压杆的柔度，a、b与材料有关的常数

例如：对于Q235钢及16Mn钢分别有
σcr=（235-0.00668λ2）MPa
σcr=（345-0.0142λ2）MPa

压杆稳定

由式可知，压杆不论处于弹性阶段还是弹塑性阶段，
其临界应力均为压杆柔度的函数，临界应力σcr与柔度λ的
函数曲线称为临界应力总图。

注意：图中以λc=123
而不是以λp=100作为二曲
线的分界点.
对Q235钢制成的压杆 ,
当λ≥λc，按欧拉公式计
算临界应力或临界力;当
λ<123时用经验公式计算

压杆稳定

第四节

压杆的稳定计算

一、压杆稳定条件

  

st

式中 [σ]st称为稳定许用应力，其值为

 st



 cr
n st

式中nst为压杆的稳定安全系数

压杆稳定

稳定许用应力值可写成下列形式

 st

  



式中[σ]——强度计算时的许用应力；

——折减系数。
压杆稳定条件可写为

 

FN
A

式中A为横截面的毛面积。

  



压杆稳定

折减系数
（1）折减系数是柔度λ的函数，随柔度λ的变化而
变化，柔度λ越大，折减系数越小；

（2）折减系数是各种影响因素的综合反映（如荷
载偏心、材料不均匀、初始曲率、安全储备等）；
（3）由于[σ] st总是小于[σ]，因此折减系数是一个小
于1的数。

压杆稳定

二、压杆稳定条件的应用
1.稳定校核。

2.设计截面。
3.确定稳定许用荷载。

压杆稳定

例11-3 图示两端铰支（球形铰）的矩形截面木杆，杆
端作用轴向压力Fp。已知l=3.6m，Fp=40kN，木材的强度
等级为TC13，许用应力[σ]=10MPa，试校核该压杆的稳定。
F
cr

解 矩形截面的惯性半径

A


120
12



12
bh

y



b

z

12

mm  34 . 64 mm

120

160

i

Iy

3

8m

hb

压杆稳定

两端铰支时长度系数μ=1
 

l

1  3 .6



34 . 64  10

i

3

 104

因为λ〉91
 
FN

A



F

A



2800



2



2800
104

40  10

2

3

0 . 259  120  160

所以该压杆满足稳定条件。

 0 . 259
MPa  8 . 00 MPa  



压杆稳定

第五节

提高压杆稳定性的措施

一、减小压杆的支承长度
从柔度计算式  

l
i

l\2

减小压杆的长度是降低压杆柔
l

度，提高压杆稳定性的有效方法
之一。
在条件允许的情况下，应
尽量使压杆的长度减小，或者
在压杆中间增加支撑。

l\2

压杆稳定
第

二、改善支承情况 ，减小长度系数μ
  0. 5

 1
Fcr

Fcr

 2

Fcr

杆端约束刚性越强,压杆的长度系数越小,相应的柔度
就越低,临界力就越大,因此尽可能加强杆端约束的刚性,
可使压 杆的稳定性得到提高.

压杆稳定

三、选择合理的截面形状
当截面面积相同的情况下，增大惯性矩I，从而达到增

大惯性半径i，减小柔度λ，提高压杆的临界应力。

压杆稳定

当压杆在各个弯曲平面内的支承条件相同时，压杆的

稳定性是由Imin方向的临界应力控制。因此，应尽量使截
面对任一形心主轴的惯性矩相同，这样可使压杆在各个
弯曲平面内具有相同的稳定性。
例如由两根槽钢组合而成的压杆
采用哪
种形式
好？

压杆稳定

当压杆在两个相互垂直平面内的支承条件不同时，
可采用Iz≠Iy的截面来与相应的支承条件配合，使压杆在

两相互垂直平面内的柔度值相等，即λz=λy，这样保证
压杆在这两个方向上具有相同的稳定性。

压杆稳定

四、合理选择材料
对于大柔度杆，临界应力与材料的弹性模量E有关，
由于各种钢材的弹性模量E值相差不大。所以，对大柔度

杆来说，选用优质钢材对提高临界应力意义不大。
对于中柔度杆，其临界应力与材料强度有关，强度越
高的材料，临界应力越高。所以，对中柔度杆而言，选择
优质钢材将有助于提高压杆的稳定性。


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第十六章

压杆稳定

压杆稳定

第一节 压杆稳定的概念
一、稳定问题的提出

F

两根相同材料（松木）制成的杆，

σb=20MPa；A＝10mm×30mm
1m

短杆长：l＝30mm；
长杆长：l＝1000mm
F

若按强度条件计算，
两根杆压缩时的极限承载能力
均应为：
F= σb A=6kN

30mm

F

F

压杆稳定

压杆的破坏实验结果：

F

（1）短杆在压力增加到约

为6kN时，因木纹出现裂纹而
破坏。
（2）长杆在压力增加到约4kN
时突然弯向一侧，继续增大压力，
弯曲迅速增大，杆随即折断。

1m

F
30mm

F

F

压杆稳定
第六章

结论：
短压杆与长压杆在压缩时的破坏
性质完全不同
•

F

短压杆的破坏属于强

1m

度问题；
F

• 长压杆的破坏则属于能

30mm

否保持其原来的直线平衡
状态的问题

F

F

压杆稳定
第十章

压杆稳定性：压杆保持其原来直线平衡状态
的能力。
压杆不能保持其原来直线平衡状态而突然变弯
的现象，称为压杆的直线平衡状态丧失了稳定，
简称为压杆失稳。

压杆稳定

压杆失稳的严重后果：
19世纪，瑞士的孟汗太因桥突然倒塌，造
成200人遇难。
1907年加拿大的魁北克桥在建造时突然倒
塌，其原因都是因为桥梁桁架中的受压杆失稳
引起的。
1909年12月汉堡一个60万m3的大型贮气罐
因一个受压构件失稳而突然倒塌。

压杆稳定

研究压杆稳定性的意义：
压杆因强度或刚度不足而造成破坏之前一般
都有先兆；压杆由于失稳而造成破坏之前没有
任何先兆，当压力达到某个临界数值时就会突
然破坏，因此这种破坏形式在工程上具有很大
的破坏性。

在建筑工程中的受压上弦杆、厂房的柱子等
设计中都必须考虑其稳定性要求。

压杆稳定

二、平衡状态的类型
稳定平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体能自动恢复到原来的平
衡位置的平衡

不稳定平衡：

即使干扰平衡的外力消
失后，物体仍继续向远离原
来平衡位置的方向继续运动
的平衡。

随遇平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体可在任意位置继续保持
平衡。

显然，随遇平衡是界于稳定平衡与不稳定平衡之间的状
态，称为临界平衡状态。

压杆稳定

三、压杆临界力Fcr
FP

l
FP

FP ＜ FPcr

FP

F F

FP

F

FP

稳定直线平衡状态

FP = FPcr

F

FP

临界状态

FP > FPcr

F

FP

不稳定平衡状态

压杆处于临界状态时的轴向压力称为压杆的
临界力Fcr。

压杆稳定

第二节

细长压杆的临界力

临界力的影响因素
临界力Fcr的大小反映了压杆失稳的难易，而压杆失稳
就是直杆变弯，发生弯曲变形，因此临界力的大小与影响
直杆弯曲变形的因素有关：
杆的长度l
抗弯刚度EI

杆端支承

l越大
EI越大

越牢固

抵抗变形的能力越小

容易失稳

Fcr越小

抵抗变形的能力越强

不易失稳

Fcr越大

越不容易发生弯曲变形

不易失稳

Fcr越大

压杆稳定

临界力的欧拉公式
 EI
2

F cr 

(l)

2

式中 E——材料的弹性模量；
I——压杆横截面对形心轴的最小惯性矩；
l——压杆的长度；

μ——长度系数，反映了杆端支承对临界力的影响；
μl——压杆的计算长度。

压杆稳定

一端固定
一端铰支

两端铰支

两端固定

一端固定
一端自由

Fcr
Fcr

Fcr

μ=1

μ=0.7

0.25l

l

0.5l

l
0.3l

l

l

0.7l

0.25l

Fcr

μ=0.5

μ=2

压杆稳定

例1

一根两端铰支的№20a工字钢细长压杆，长

l=3m，钢的弹性模量E=200GPa，试计算其临界力。
解 查型钢表得
 EI

Iz=2370cm4，Iy=158cm4

2

Fcr 

l

2

  200  10  158  10
2



9

3

2

8

N

 346  10 N  346 kN
3

由此可知，若轴向压力达到346kN时，此杆会失稳。

压杆稳定

思考
材料及横截面均相同，哪一根最容易失稳，哪一根
最不容易失稳。

压杆稳定
Fcr

Fcr

y

200

120

y

120

200

z
z

8m

例2 一矩形截面的
中心受压的细长木柱，
长l=8m，柱的支承情况，
在最大刚度平面内弯曲
时为两端铰支（图a）；
在最小刚度平面内弯曲
时为两端固定（图b）。
木材的弹性模量
E=10GPa，试求木柱的
临界力。

压杆稳定

解 由于最大刚度平面与最小刚度平面内的支承
情况不同，所以需分别计算。
Fcr

（1）计算最大刚度平面内的临界力
截面的惯性矩为
Iy 

3

mm

4

y

 8  10 mm
7

4

 8  10

5

m

4

200

两端铰支，长度系数μ=1
 EI
2

F cr 

(l )

3 . 14  10  10  8  10
2

y
2



9

(1  8 )

 123  10 N  123 kN
3

z

8m

12

2

5

N

120

120  200

压杆稳定

（2）计算最小刚度平面内的临界力。
Fcr

由图16-4b,截面惯性矩为
3

mm

4

12

 2 . 88  10 mm
7

 2 . 88  10

5

m

4

z

4

y

两端固定，长度系数μ=0.5
 EI Z
2

Fcr 

(l )

2

3 . 14  10  10  2 . 88  10
2



9

( 0 .5  8 )

 177  10 N  177 kN
3

2

120

5

N

200

IZ 

200  120

压杆稳定

Fcr

Fcr

y

200

y

120

8m

z

120

200

z

比较计算结果可知
，第一种情况的临界力
小，所以压杆失稳时将
在最大刚度平面内产生
弯曲。此例说明，当在
最小刚度平面与最大刚
度平面内支承情况不同
时，压杆不一定在最小
刚度平面内失稳，必须
经过具体计算后才能确
定。

压杆稳定

第三节 临界应力与欧拉公式的适用范围
一、临界应力
 cr 
I i A
2

F cr

2



cr



(l )

2

2

 E

A
 Ei
2



 E I

(l)

2

A
2



(

l

)

2

i
令   l i

 E
2

 cr 



2

   l i —— 压杆的柔度（长细比），是无量纲的量。

压杆稳定

压杆的柔度λ
（1）综合反映了压杆的长度（l）、杆端支承情况（μ
）、截面形状和尺寸（I、A、i）对临界应力的影响。
（2）压杆的临界应力与压杆柔度的平方成反比，即
，柔度越大压杆临界应力越小，压杆越容易失稳。

压杆稳定

二、欧拉公式的适用范围
只有当压杆的临界应力不超过材料的比例极限时，欧
拉公式才适用，即：
 E
2

 cr 



2



p

  p  

E

p

 p ——对应于材料比例极限时的柔度，只与材料的性质

有关，与压杆的截面形状和尺寸无关。

   p 的压杆——大柔度杆（细长杆）
欧拉公式只适用于大柔度杆（细长杆）

压杆稳定

三、超出比例极限时压杆的临界应力、
临界应力总图
压杆的应力超出比例极限时（λ<λp），这类杆件工程
上称为中柔度杆，此类压杆的稳定称弹塑性稳定。
抛物线公式（经验公式）

σcr= a - bλ2
式中，λ为压杆的柔度，a、b与材料有关的常数

例如：对于Q235钢及16Mn钢分别有
σcr=（235-0.00668λ2）MPa
σcr=（345-0.0142λ2）MPa

压杆稳定

由式可知，压杆不论处于弹性阶段还是弹塑性阶段，
其临界应力均为压杆柔度的函数，临界应力σcr与柔度λ的
函数曲线称为临界应力总图。

注意：图中以λc=123
而不是以λp=100作为二曲
线的分界点.
对Q235钢制成的压杆 ,
当λ≥λc，按欧拉公式计
算临界应力或临界力;当
λ<123时用经验公式计算

压杆稳定

第四节

压杆的稳定计算

一、压杆稳定条件

  

st

式中 [σ]st称为稳定许用应力，其值为

 st



 cr
n st

式中nst为压杆的稳定安全系数

压杆稳定

稳定许用应力值可写成下列形式

 st

  



式中[σ]——强度计算时的许用应力；

——折减系数。
压杆稳定条件可写为

 

FN
A

式中A为横截面的毛面积。

  



压杆稳定

折减系数
（1）折减系数是柔度λ的函数，随柔度λ的变化而
变化，柔度λ越大，折减系数越小；

（2）折减系数是各种影响因素的综合反映（如荷
载偏心、材料不均匀、初始曲率、安全储备等）；
（3）由于[σ] st总是小于[σ]，因此折减系数是一个小
于1的数。

压杆稳定

二、压杆稳定条件的应用
1.稳定校核。

2.设计截面。
3.确定稳定许用荷载。

压杆稳定

例11-3 图示两端铰支（球形铰）的矩形截面木杆，杆
端作用轴向压力Fp。已知l=3.6m，Fp=40kN，木材的强度
等级为TC13，许用应力[σ]=10MPa，试校核该压杆的稳定。
F
cr

解 矩形截面的惯性半径

A


120
12



12
bh

y



b

z

12

mm  34 . 64 mm

120

160

i

Iy

3

8m

hb

压杆稳定

两端铰支时长度系数μ=1
 

l

1  3 .6



34 . 64  10

i

3

 104

因为λ〉91
 
FN

A



F

A



2800



2



2800
104

40  10

2

3

0 . 259  120  160

所以该压杆满足稳定条件。

 0 . 259
MPa  8 . 00 MPa  



压杆稳定

第五节

提高压杆稳定性的措施

一、减小压杆的支承长度
从柔度计算式  

l
i

l\2

减小压杆的长度是降低压杆柔
l

度，提高压杆稳定性的有效方法
之一。
在条件允许的情况下，应
尽量使压杆的长度减小，或者
在压杆中间增加支撑。

l\2

压杆稳定
第

二、改善支承情况 ，减小长度系数μ
  0. 5

 1
Fcr

Fcr

 2

Fcr

杆端约束刚性越强,压杆的长度系数越小,相应的柔度
就越低,临界力就越大,因此尽可能加强杆端约束的刚性,
可使压 杆的稳定性得到提高.

压杆稳定

三、选择合理的截面形状
当截面面积相同的情况下，增大惯性矩I，从而达到增

大惯性半径i，减小柔度λ，提高压杆的临界应力。

压杆稳定

当压杆在各个弯曲平面内的支承条件相同时，压杆的

稳定性是由Imin方向的临界应力控制。因此，应尽量使截
面对任一形心主轴的惯性矩相同，这样可使压杆在各个
弯曲平面内具有相同的稳定性。
例如由两根槽钢组合而成的压杆
采用哪
种形式
好？

压杆稳定

当压杆在两个相互垂直平面内的支承条件不同时，
可采用Iz≠Iy的截面来与相应的支承条件配合，使压杆在

两相互垂直平面内的柔度值相等，即λz=λy，这样保证
压杆在这两个方向上具有相同的稳定性。

压杆稳定

四、合理选择材料
对于大柔度杆，临界应力与材料的弹性模量E有关，
由于各种钢材的弹性模量E值相差不大。所以，对大柔度

杆来说，选用优质钢材对提高临界应力意义不大。
对于中柔度杆，其临界应力与材料强度有关，强度越
高的材料，临界应力越高。所以，对中柔度杆而言，选择
优质钢材将有助于提高压杆的稳定性。


Slide 19

第十六章

压杆稳定

压杆稳定

第一节 压杆稳定的概念
一、稳定问题的提出

F

两根相同材料（松木）制成的杆，

σb=20MPa；A＝10mm×30mm
1m

短杆长：l＝30mm；
长杆长：l＝1000mm
F

若按强度条件计算，
两根杆压缩时的极限承载能力
均应为：
F= σb A=6kN

30mm

F

F

压杆稳定

压杆的破坏实验结果：

F

（1）短杆在压力增加到约

为6kN时，因木纹出现裂纹而
破坏。
（2）长杆在压力增加到约4kN
时突然弯向一侧，继续增大压力，
弯曲迅速增大，杆随即折断。

1m

F
30mm

F

F

压杆稳定
第六章

结论：
短压杆与长压杆在压缩时的破坏
性质完全不同
•

F

短压杆的破坏属于强

1m

度问题；
F

• 长压杆的破坏则属于能

30mm

否保持其原来的直线平衡
状态的问题

F

F

压杆稳定
第十章

压杆稳定性：压杆保持其原来直线平衡状态
的能力。
压杆不能保持其原来直线平衡状态而突然变弯
的现象，称为压杆的直线平衡状态丧失了稳定，
简称为压杆失稳。

压杆稳定

压杆失稳的严重后果：
19世纪，瑞士的孟汗太因桥突然倒塌，造
成200人遇难。
1907年加拿大的魁北克桥在建造时突然倒
塌，其原因都是因为桥梁桁架中的受压杆失稳
引起的。
1909年12月汉堡一个60万m3的大型贮气罐
因一个受压构件失稳而突然倒塌。

压杆稳定

研究压杆稳定性的意义：
压杆因强度或刚度不足而造成破坏之前一般
都有先兆；压杆由于失稳而造成破坏之前没有
任何先兆，当压力达到某个临界数值时就会突
然破坏，因此这种破坏形式在工程上具有很大
的破坏性。

在建筑工程中的受压上弦杆、厂房的柱子等
设计中都必须考虑其稳定性要求。

压杆稳定

二、平衡状态的类型
稳定平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体能自动恢复到原来的平
衡位置的平衡

不稳定平衡：

即使干扰平衡的外力消
失后，物体仍继续向远离原
来平衡位置的方向继续运动
的平衡。

随遇平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体可在任意位置继续保持
平衡。

显然，随遇平衡是界于稳定平衡与不稳定平衡之间的状
态，称为临界平衡状态。

压杆稳定

三、压杆临界力Fcr
FP

l
FP

FP ＜ FPcr

FP

F F

FP

F

FP

稳定直线平衡状态

FP = FPcr

F

FP

临界状态

FP > FPcr

F

FP

不稳定平衡状态

压杆处于临界状态时的轴向压力称为压杆的
临界力Fcr。

压杆稳定

第二节

细长压杆的临界力

临界力的影响因素
临界力Fcr的大小反映了压杆失稳的难易，而压杆失稳
就是直杆变弯，发生弯曲变形，因此临界力的大小与影响
直杆弯曲变形的因素有关：
杆的长度l
抗弯刚度EI

杆端支承

l越大
EI越大

越牢固

抵抗变形的能力越小

容易失稳

Fcr越小

抵抗变形的能力越强

不易失稳

Fcr越大

越不容易发生弯曲变形

不易失稳

Fcr越大

压杆稳定

临界力的欧拉公式
 EI
2

F cr 

(l)

2

式中 E——材料的弹性模量；
I——压杆横截面对形心轴的最小惯性矩；
l——压杆的长度；

μ——长度系数，反映了杆端支承对临界力的影响；
μl——压杆的计算长度。

压杆稳定

一端固定
一端铰支

两端铰支

两端固定

一端固定
一端自由

Fcr
Fcr

Fcr

μ=1

μ=0.7

0.25l

l

0.5l

l
0.3l

l

l

0.7l

0.25l

Fcr

μ=0.5

μ=2

压杆稳定

例1

一根两端铰支的№20a工字钢细长压杆，长

l=3m，钢的弹性模量E=200GPa，试计算其临界力。
解 查型钢表得
 EI

Iz=2370cm4，Iy=158cm4

2

Fcr 

l

2

  200  10  158  10
2



9

3

2

8

N

 346  10 N  346 kN
3

由此可知，若轴向压力达到346kN时，此杆会失稳。

压杆稳定

思考
材料及横截面均相同，哪一根最容易失稳，哪一根
最不容易失稳。

压杆稳定
Fcr

Fcr

y

200

120

y

120

200

z
z

8m

例2 一矩形截面的
中心受压的细长木柱，
长l=8m，柱的支承情况，
在最大刚度平面内弯曲
时为两端铰支（图a）；
在最小刚度平面内弯曲
时为两端固定（图b）。
木材的弹性模量
E=10GPa，试求木柱的
临界力。

压杆稳定

解 由于最大刚度平面与最小刚度平面内的支承
情况不同，所以需分别计算。
Fcr

（1）计算最大刚度平面内的临界力
截面的惯性矩为
Iy 

3

mm

4

y

 8  10 mm
7

4

 8  10

5

m

4

200

两端铰支，长度系数μ=1
 EI
2

F cr 

(l )

3 . 14  10  10  8  10
2

y
2



9

(1  8 )

 123  10 N  123 kN
3

z

8m

12

2

5

N

120

120  200

压杆稳定

（2）计算最小刚度平面内的临界力。
Fcr

由图16-4b,截面惯性矩为
3

mm

4

12

 2 . 88  10 mm
7

 2 . 88  10

5

m

4

z

4

y

两端固定，长度系数μ=0.5
 EI Z
2

Fcr 

(l )

2

3 . 14  10  10  2 . 88  10
2



9

( 0 .5  8 )

 177  10 N  177 kN
3

2

120

5

N

200

IZ 

200  120

压杆稳定

Fcr

Fcr

y

200

y

120

8m

z

120

200

z

比较计算结果可知
，第一种情况的临界力
小，所以压杆失稳时将
在最大刚度平面内产生
弯曲。此例说明，当在
最小刚度平面与最大刚
度平面内支承情况不同
时，压杆不一定在最小
刚度平面内失稳，必须
经过具体计算后才能确
定。

压杆稳定

第三节 临界应力与欧拉公式的适用范围
一、临界应力
 cr 
I i A
2

F cr

2



cr



(l )

2

2

 E

A
 Ei
2



 E I

(l)

2

A
2



(

l

)

2

i
令   l i

 E
2

 cr 



2

   l i —— 压杆的柔度（长细比），是无量纲的量。

压杆稳定

压杆的柔度λ
（1）综合反映了压杆的长度（l）、杆端支承情况（μ
）、截面形状和尺寸（I、A、i）对临界应力的影响。
（2）压杆的临界应力与压杆柔度的平方成反比，即
，柔度越大压杆临界应力越小，压杆越容易失稳。

压杆稳定

二、欧拉公式的适用范围
只有当压杆的临界应力不超过材料的比例极限时，欧
拉公式才适用，即：
 E
2

 cr 



2



p

  p  

E

p

 p ——对应于材料比例极限时的柔度，只与材料的性质

有关，与压杆的截面形状和尺寸无关。

   p 的压杆——大柔度杆（细长杆）
欧拉公式只适用于大柔度杆（细长杆）

压杆稳定

三、超出比例极限时压杆的临界应力、
临界应力总图
压杆的应力超出比例极限时（λ<λp），这类杆件工程
上称为中柔度杆，此类压杆的稳定称弹塑性稳定。
抛物线公式（经验公式）

σcr= a - bλ2
式中，λ为压杆的柔度，a、b与材料有关的常数

例如：对于Q235钢及16Mn钢分别有
σcr=（235-0.00668λ2）MPa
σcr=（345-0.0142λ2）MPa

压杆稳定

由式可知，压杆不论处于弹性阶段还是弹塑性阶段，
其临界应力均为压杆柔度的函数，临界应力σcr与柔度λ的
函数曲线称为临界应力总图。

注意：图中以λc=123
而不是以λp=100作为二曲
线的分界点.
对Q235钢制成的压杆 ,
当λ≥λc，按欧拉公式计
算临界应力或临界力;当
λ<123时用经验公式计算

压杆稳定

第四节

压杆的稳定计算

一、压杆稳定条件

  

st

式中 [σ]st称为稳定许用应力，其值为

 st



 cr
n st

式中nst为压杆的稳定安全系数

压杆稳定

稳定许用应力值可写成下列形式

 st

  



式中[σ]——强度计算时的许用应力；

——折减系数。
压杆稳定条件可写为

 

FN
A

式中A为横截面的毛面积。

  



压杆稳定

折减系数
（1）折减系数是柔度λ的函数，随柔度λ的变化而
变化，柔度λ越大，折减系数越小；

（2）折减系数是各种影响因素的综合反映（如荷
载偏心、材料不均匀、初始曲率、安全储备等）；
（3）由于[σ] st总是小于[σ]，因此折减系数是一个小
于1的数。

压杆稳定

二、压杆稳定条件的应用
1.稳定校核。

2.设计截面。
3.确定稳定许用荷载。

压杆稳定

例11-3 图示两端铰支（球形铰）的矩形截面木杆，杆
端作用轴向压力Fp。已知l=3.6m，Fp=40kN，木材的强度
等级为TC13，许用应力[σ]=10MPa，试校核该压杆的稳定。
F
cr

解 矩形截面的惯性半径

A


120
12



12
bh

y



b

z

12

mm  34 . 64 mm

120

160

i

Iy

3

8m

hb

压杆稳定

两端铰支时长度系数μ=1
 

l

1  3 .6



34 . 64  10

i

3

 104

因为λ〉91
 
FN

A



F

A



2800



2



2800
104

40  10

2

3

0 . 259  120  160

所以该压杆满足稳定条件。

 0 . 259
MPa  8 . 00 MPa  



压杆稳定

第五节

提高压杆稳定性的措施

一、减小压杆的支承长度
从柔度计算式  

l
i

l\2

减小压杆的长度是降低压杆柔
l

度，提高压杆稳定性的有效方法
之一。
在条件允许的情况下，应
尽量使压杆的长度减小，或者
在压杆中间增加支撑。

l\2

压杆稳定
第

二、改善支承情况 ，减小长度系数μ
  0. 5

 1
Fcr

Fcr

 2

Fcr

杆端约束刚性越强,压杆的长度系数越小,相应的柔度
就越低,临界力就越大,因此尽可能加强杆端约束的刚性,
可使压 杆的稳定性得到提高.

压杆稳定

三、选择合理的截面形状
当截面面积相同的情况下，增大惯性矩I，从而达到增

大惯性半径i，减小柔度λ，提高压杆的临界应力。

压杆稳定

当压杆在各个弯曲平面内的支承条件相同时，压杆的

稳定性是由Imin方向的临界应力控制。因此，应尽量使截
面对任一形心主轴的惯性矩相同，这样可使压杆在各个
弯曲平面内具有相同的稳定性。
例如由两根槽钢组合而成的压杆
采用哪
种形式
好？

压杆稳定

当压杆在两个相互垂直平面内的支承条件不同时，
可采用Iz≠Iy的截面来与相应的支承条件配合，使压杆在

两相互垂直平面内的柔度值相等，即λz=λy，这样保证
压杆在这两个方向上具有相同的稳定性。

压杆稳定

四、合理选择材料
对于大柔度杆，临界应力与材料的弹性模量E有关，
由于各种钢材的弹性模量E值相差不大。所以，对大柔度

杆来说，选用优质钢材对提高临界应力意义不大。
对于中柔度杆，其临界应力与材料强度有关，强度越
高的材料，临界应力越高。所以，对中柔度杆而言，选择
优质钢材将有助于提高压杆的稳定性。


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第十六章

压杆稳定

压杆稳定

第一节 压杆稳定的概念
一、稳定问题的提出

F

两根相同材料（松木）制成的杆，

σb=20MPa；A＝10mm×30mm
1m

短杆长：l＝30mm；
长杆长：l＝1000mm
F

若按强度条件计算，
两根杆压缩时的极限承载能力
均应为：
F= σb A=6kN

30mm

F

F

压杆稳定

压杆的破坏实验结果：

F

（1）短杆在压力增加到约

为6kN时，因木纹出现裂纹而
破坏。
（2）长杆在压力增加到约4kN
时突然弯向一侧，继续增大压力，
弯曲迅速增大，杆随即折断。

1m

F
30mm

F

F

压杆稳定
第六章

结论：
短压杆与长压杆在压缩时的破坏
性质完全不同
•

F

短压杆的破坏属于强

1m

度问题；
F

• 长压杆的破坏则属于能

30mm

否保持其原来的直线平衡
状态的问题

F

F

压杆稳定
第十章

压杆稳定性：压杆保持其原来直线平衡状态
的能力。
压杆不能保持其原来直线平衡状态而突然变弯
的现象，称为压杆的直线平衡状态丧失了稳定，
简称为压杆失稳。

压杆稳定

压杆失稳的严重后果：
19世纪，瑞士的孟汗太因桥突然倒塌，造
成200人遇难。
1907年加拿大的魁北克桥在建造时突然倒
塌，其原因都是因为桥梁桁架中的受压杆失稳
引起的。
1909年12月汉堡一个60万m3的大型贮气罐
因一个受压构件失稳而突然倒塌。

压杆稳定

研究压杆稳定性的意义：
压杆因强度或刚度不足而造成破坏之前一般
都有先兆；压杆由于失稳而造成破坏之前没有
任何先兆，当压力达到某个临界数值时就会突
然破坏，因此这种破坏形式在工程上具有很大
的破坏性。

在建筑工程中的受压上弦杆、厂房的柱子等
设计中都必须考虑其稳定性要求。

压杆稳定

二、平衡状态的类型
稳定平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体能自动恢复到原来的平
衡位置的平衡

不稳定平衡：

即使干扰平衡的外力消
失后，物体仍继续向远离原
来平衡位置的方向继续运动
的平衡。

随遇平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体可在任意位置继续保持
平衡。

显然，随遇平衡是界于稳定平衡与不稳定平衡之间的状
态，称为临界平衡状态。

压杆稳定

三、压杆临界力Fcr
FP

l
FP

FP ＜ FPcr

FP

F F

FP

F

FP

稳定直线平衡状态

FP = FPcr

F

FP

临界状态

FP > FPcr

F

FP

不稳定平衡状态

压杆处于临界状态时的轴向压力称为压杆的
临界力Fcr。

压杆稳定

第二节

细长压杆的临界力

临界力的影响因素
临界力Fcr的大小反映了压杆失稳的难易，而压杆失稳
就是直杆变弯，发生弯曲变形，因此临界力的大小与影响
直杆弯曲变形的因素有关：
杆的长度l
抗弯刚度EI

杆端支承

l越大
EI越大

越牢固

抵抗变形的能力越小

容易失稳

Fcr越小

抵抗变形的能力越强

不易失稳

Fcr越大

越不容易发生弯曲变形

不易失稳

Fcr越大

压杆稳定

临界力的欧拉公式
 EI
2

F cr 

(l)

2

式中 E——材料的弹性模量；
I——压杆横截面对形心轴的最小惯性矩；
l——压杆的长度；

μ——长度系数，反映了杆端支承对临界力的影响；
μl——压杆的计算长度。

压杆稳定

一端固定
一端铰支

两端铰支

两端固定

一端固定
一端自由

Fcr
Fcr

Fcr

μ=1

μ=0.7

0.25l

l

0.5l

l
0.3l

l

l

0.7l

0.25l

Fcr

μ=0.5

μ=2

压杆稳定

例1

一根两端铰支的№20a工字钢细长压杆，长

l=3m，钢的弹性模量E=200GPa，试计算其临界力。
解 查型钢表得
 EI

Iz=2370cm4，Iy=158cm4

2

Fcr 

l

2

  200  10  158  10
2



9

3

2

8

N

 346  10 N  346 kN
3

由此可知，若轴向压力达到346kN时，此杆会失稳。

压杆稳定

思考
材料及横截面均相同，哪一根最容易失稳，哪一根
最不容易失稳。

压杆稳定
Fcr

Fcr

y

200

120

y

120

200

z
z

8m

例2 一矩形截面的
中心受压的细长木柱，
长l=8m，柱的支承情况，
在最大刚度平面内弯曲
时为两端铰支（图a）；
在最小刚度平面内弯曲
时为两端固定（图b）。
木材的弹性模量
E=10GPa，试求木柱的
临界力。

压杆稳定

解 由于最大刚度平面与最小刚度平面内的支承
情况不同，所以需分别计算。
Fcr

（1）计算最大刚度平面内的临界力
截面的惯性矩为
Iy 

3

mm

4

y

 8  10 mm
7

4

 8  10

5

m

4

200

两端铰支，长度系数μ=1
 EI
2

F cr 

(l )

3 . 14  10  10  8  10
2

y
2



9

(1  8 )

 123  10 N  123 kN
3

z

8m

12

2

5

N

120

120  200

压杆稳定

（2）计算最小刚度平面内的临界力。
Fcr

由图16-4b,截面惯性矩为
3

mm

4

12

 2 . 88  10 mm
7

 2 . 88  10

5

m

4

z

4

y

两端固定，长度系数μ=0.5
 EI Z
2

Fcr 

(l )

2

3 . 14  10  10  2 . 88  10
2



9

( 0 .5  8 )

 177  10 N  177 kN
3

2

120

5

N

200

IZ 

200  120

压杆稳定

Fcr

Fcr

y

200

y

120

8m

z

120

200

z

比较计算结果可知
，第一种情况的临界力
小，所以压杆失稳时将
在最大刚度平面内产生
弯曲。此例说明，当在
最小刚度平面与最大刚
度平面内支承情况不同
时，压杆不一定在最小
刚度平面内失稳，必须
经过具体计算后才能确
定。

压杆稳定

第三节 临界应力与欧拉公式的适用范围
一、临界应力
 cr 
I i A
2

F cr

2



cr



(l )

2

2

 E

A
 Ei
2



 E I

(l)

2

A
2



(

l

)

2

i
令   l i

 E
2

 cr 



2

   l i —— 压杆的柔度（长细比），是无量纲的量。

压杆稳定

压杆的柔度λ
（1）综合反映了压杆的长度（l）、杆端支承情况（μ
）、截面形状和尺寸（I、A、i）对临界应力的影响。
（2）压杆的临界应力与压杆柔度的平方成反比，即
，柔度越大压杆临界应力越小，压杆越容易失稳。

压杆稳定

二、欧拉公式的适用范围
只有当压杆的临界应力不超过材料的比例极限时，欧
拉公式才适用，即：
 E
2

 cr 



2



p

  p  

E

p

 p ——对应于材料比例极限时的柔度，只与材料的性质

有关，与压杆的截面形状和尺寸无关。

   p 的压杆——大柔度杆（细长杆）
欧拉公式只适用于大柔度杆（细长杆）

压杆稳定

三、超出比例极限时压杆的临界应力、
临界应力总图
压杆的应力超出比例极限时（λ<λp），这类杆件工程
上称为中柔度杆，此类压杆的稳定称弹塑性稳定。
抛物线公式（经验公式）

σcr= a - bλ2
式中，λ为压杆的柔度，a、b与材料有关的常数

例如：对于Q235钢及16Mn钢分别有
σcr=（235-0.00668λ2）MPa
σcr=（345-0.0142λ2）MPa

压杆稳定

由式可知，压杆不论处于弹性阶段还是弹塑性阶段，
其临界应力均为压杆柔度的函数，临界应力σcr与柔度λ的
函数曲线称为临界应力总图。

注意：图中以λc=123
而不是以λp=100作为二曲
线的分界点.
对Q235钢制成的压杆 ,
当λ≥λc，按欧拉公式计
算临界应力或临界力;当
λ<123时用经验公式计算

压杆稳定

第四节

压杆的稳定计算

一、压杆稳定条件

  

st

式中 [σ]st称为稳定许用应力，其值为

 st



 cr
n st

式中nst为压杆的稳定安全系数

压杆稳定

稳定许用应力值可写成下列形式

 st

  



式中[σ]——强度计算时的许用应力；

——折减系数。
压杆稳定条件可写为

 

FN
A

式中A为横截面的毛面积。

  



压杆稳定

折减系数
（1）折减系数是柔度λ的函数，随柔度λ的变化而
变化，柔度λ越大，折减系数越小；

（2）折减系数是各种影响因素的综合反映（如荷
载偏心、材料不均匀、初始曲率、安全储备等）；
（3）由于[σ] st总是小于[σ]，因此折减系数是一个小
于1的数。

压杆稳定

二、压杆稳定条件的应用
1.稳定校核。

2.设计截面。
3.确定稳定许用荷载。

压杆稳定

例11-3 图示两端铰支（球形铰）的矩形截面木杆，杆
端作用轴向压力Fp。已知l=3.6m，Fp=40kN，木材的强度
等级为TC13，许用应力[σ]=10MPa，试校核该压杆的稳定。
F
cr

解 矩形截面的惯性半径

A


120
12



12
bh

y



b

z

12

mm  34 . 64 mm

120

160

i

Iy

3

8m

hb

压杆稳定

两端铰支时长度系数μ=1
 

l

1  3 .6



34 . 64  10

i

3

 104

因为λ〉91
 
FN

A



F

A



2800



2



2800
104

40  10

2

3

0 . 259  120  160

所以该压杆满足稳定条件。

 0 . 259
MPa  8 . 00 MPa  



压杆稳定

第五节

提高压杆稳定性的措施

一、减小压杆的支承长度
从柔度计算式  

l
i

l\2

减小压杆的长度是降低压杆柔
l

度，提高压杆稳定性的有效方法
之一。
在条件允许的情况下，应
尽量使压杆的长度减小，或者
在压杆中间增加支撑。

l\2

压杆稳定
第

二、改善支承情况 ，减小长度系数μ
  0. 5

 1
Fcr

Fcr

 2

Fcr

杆端约束刚性越强,压杆的长度系数越小,相应的柔度
就越低,临界力就越大,因此尽可能加强杆端约束的刚性,
可使压 杆的稳定性得到提高.

压杆稳定

三、选择合理的截面形状
当截面面积相同的情况下，增大惯性矩I，从而达到增

大惯性半径i，减小柔度λ，提高压杆的临界应力。

压杆稳定

当压杆在各个弯曲平面内的支承条件相同时，压杆的

稳定性是由Imin方向的临界应力控制。因此，应尽量使截
面对任一形心主轴的惯性矩相同，这样可使压杆在各个
弯曲平面内具有相同的稳定性。
例如由两根槽钢组合而成的压杆
采用哪
种形式
好？

压杆稳定

当压杆在两个相互垂直平面内的支承条件不同时，
可采用Iz≠Iy的截面来与相应的支承条件配合，使压杆在

两相互垂直平面内的柔度值相等，即λz=λy，这样保证
压杆在这两个方向上具有相同的稳定性。

压杆稳定

四、合理选择材料
对于大柔度杆，临界应力与材料的弹性模量E有关，
由于各种钢材的弹性模量E值相差不大。所以，对大柔度

杆来说，选用优质钢材对提高临界应力意义不大。
对于中柔度杆，其临界应力与材料强度有关，强度越
高的材料，临界应力越高。所以，对中柔度杆而言，选择
优质钢材将有助于提高压杆的稳定性。


Slide 21

第十六章

压杆稳定

压杆稳定

第一节 压杆稳定的概念
一、稳定问题的提出

F

两根相同材料（松木）制成的杆，

σb=20MPa；A＝10mm×30mm
1m

短杆长：l＝30mm；
长杆长：l＝1000mm
F

若按强度条件计算，
两根杆压缩时的极限承载能力
均应为：
F= σb A=6kN

30mm

F

F

压杆稳定

压杆的破坏实验结果：

F

（1）短杆在压力增加到约

为6kN时，因木纹出现裂纹而
破坏。
（2）长杆在压力增加到约4kN
时突然弯向一侧，继续增大压力，
弯曲迅速增大，杆随即折断。

1m

F
30mm

F

F

压杆稳定
第六章

结论：
短压杆与长压杆在压缩时的破坏
性质完全不同
•

F

短压杆的破坏属于强

1m

度问题；
F

• 长压杆的破坏则属于能

30mm

否保持其原来的直线平衡
状态的问题

F

F

压杆稳定
第十章

压杆稳定性：压杆保持其原来直线平衡状态
的能力。
压杆不能保持其原来直线平衡状态而突然变弯
的现象，称为压杆的直线平衡状态丧失了稳定，
简称为压杆失稳。

压杆稳定

压杆失稳的严重后果：
19世纪，瑞士的孟汗太因桥突然倒塌，造
成200人遇难。
1907年加拿大的魁北克桥在建造时突然倒
塌，其原因都是因为桥梁桁架中的受压杆失稳
引起的。
1909年12月汉堡一个60万m3的大型贮气罐
因一个受压构件失稳而突然倒塌。

压杆稳定

研究压杆稳定性的意义：
压杆因强度或刚度不足而造成破坏之前一般
都有先兆；压杆由于失稳而造成破坏之前没有
任何先兆，当压力达到某个临界数值时就会突
然破坏，因此这种破坏形式在工程上具有很大
的破坏性。

在建筑工程中的受压上弦杆、厂房的柱子等
设计中都必须考虑其稳定性要求。

压杆稳定

二、平衡状态的类型
稳定平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体能自动恢复到原来的平
衡位置的平衡

不稳定平衡：

即使干扰平衡的外力消
失后，物体仍继续向远离原
来平衡位置的方向继续运动
的平衡。

随遇平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体可在任意位置继续保持
平衡。

显然，随遇平衡是界于稳定平衡与不稳定平衡之间的状
态，称为临界平衡状态。

压杆稳定

三、压杆临界力Fcr
FP

l
FP

FP ＜ FPcr

FP

F F

FP

F

FP

稳定直线平衡状态

FP = FPcr

F

FP

临界状态

FP > FPcr

F

FP

不稳定平衡状态

压杆处于临界状态时的轴向压力称为压杆的
临界力Fcr。

压杆稳定

第二节

细长压杆的临界力

临界力的影响因素
临界力Fcr的大小反映了压杆失稳的难易，而压杆失稳
就是直杆变弯，发生弯曲变形，因此临界力的大小与影响
直杆弯曲变形的因素有关：
杆的长度l
抗弯刚度EI

杆端支承

l越大
EI越大

越牢固

抵抗变形的能力越小

容易失稳

Fcr越小

抵抗变形的能力越强

不易失稳

Fcr越大

越不容易发生弯曲变形

不易失稳

Fcr越大

压杆稳定

临界力的欧拉公式
 EI
2

F cr 

(l)

2

式中 E——材料的弹性模量；
I——压杆横截面对形心轴的最小惯性矩；
l——压杆的长度；

μ——长度系数，反映了杆端支承对临界力的影响；
μl——压杆的计算长度。

压杆稳定

一端固定
一端铰支

两端铰支

两端固定

一端固定
一端自由

Fcr
Fcr

Fcr

μ=1

μ=0.7

0.25l

l

0.5l

l
0.3l

l

l

0.7l

0.25l

Fcr

μ=0.5

μ=2

压杆稳定

例1

一根两端铰支的№20a工字钢细长压杆，长

l=3m，钢的弹性模量E=200GPa，试计算其临界力。
解 查型钢表得
 EI

Iz=2370cm4，Iy=158cm4

2

Fcr 

l

2

  200  10  158  10
2



9

3

2

8

N

 346  10 N  346 kN
3

由此可知，若轴向压力达到346kN时，此杆会失稳。

压杆稳定

思考
材料及横截面均相同，哪一根最容易失稳，哪一根
最不容易失稳。

压杆稳定
Fcr

Fcr

y

200

120

y

120

200

z
z

8m

例2 一矩形截面的
中心受压的细长木柱，
长l=8m，柱的支承情况，
在最大刚度平面内弯曲
时为两端铰支（图a）；
在最小刚度平面内弯曲
时为两端固定（图b）。
木材的弹性模量
E=10GPa，试求木柱的
临界力。

压杆稳定

解 由于最大刚度平面与最小刚度平面内的支承
情况不同，所以需分别计算。
Fcr

（1）计算最大刚度平面内的临界力
截面的惯性矩为
Iy 

3

mm

4

y

 8  10 mm
7

4

 8  10

5

m

4

200

两端铰支，长度系数μ=1
 EI
2

F cr 

(l )

3 . 14  10  10  8  10
2

y
2



9

(1  8 )

 123  10 N  123 kN
3

z

8m

12

2

5

N

120

120  200

压杆稳定

（2）计算最小刚度平面内的临界力。
Fcr

由图16-4b,截面惯性矩为
3

mm

4

12

 2 . 88  10 mm
7

 2 . 88  10

5

m

4

z

4

y

两端固定，长度系数μ=0.5
 EI Z
2

Fcr 

(l )

2

3 . 14  10  10  2 . 88  10
2



9

( 0 .5  8 )

 177  10 N  177 kN
3

2

120

5

N

200

IZ 

200  120

压杆稳定

Fcr

Fcr

y

200

y

120

8m

z

120

200

z

比较计算结果可知
，第一种情况的临界力
小，所以压杆失稳时将
在最大刚度平面内产生
弯曲。此例说明，当在
最小刚度平面与最大刚
度平面内支承情况不同
时，压杆不一定在最小
刚度平面内失稳，必须
经过具体计算后才能确
定。

压杆稳定

第三节 临界应力与欧拉公式的适用范围
一、临界应力
 cr 
I i A
2

F cr

2



cr



(l )

2

2

 E

A
 Ei
2



 E I

(l)

2

A
2



(

l

)

2

i
令   l i

 E
2

 cr 



2

   l i —— 压杆的柔度（长细比），是无量纲的量。

压杆稳定

压杆的柔度λ
（1）综合反映了压杆的长度（l）、杆端支承情况（μ
）、截面形状和尺寸（I、A、i）对临界应力的影响。
（2）压杆的临界应力与压杆柔度的平方成反比，即
，柔度越大压杆临界应力越小，压杆越容易失稳。

压杆稳定

二、欧拉公式的适用范围
只有当压杆的临界应力不超过材料的比例极限时，欧
拉公式才适用，即：
 E
2

 cr 



2



p

  p  

E

p

 p ——对应于材料比例极限时的柔度，只与材料的性质

有关，与压杆的截面形状和尺寸无关。

   p 的压杆——大柔度杆（细长杆）
欧拉公式只适用于大柔度杆（细长杆）

压杆稳定

三、超出比例极限时压杆的临界应力、
临界应力总图
压杆的应力超出比例极限时（λ<λp），这类杆件工程
上称为中柔度杆，此类压杆的稳定称弹塑性稳定。
抛物线公式（经验公式）

σcr= a - bλ2
式中，λ为压杆的柔度，a、b与材料有关的常数

例如：对于Q235钢及16Mn钢分别有
σcr=（235-0.00668λ2）MPa
σcr=（345-0.0142λ2）MPa

压杆稳定

由式可知，压杆不论处于弹性阶段还是弹塑性阶段，
其临界应力均为压杆柔度的函数，临界应力σcr与柔度λ的
函数曲线称为临界应力总图。

注意：图中以λc=123
而不是以λp=100作为二曲
线的分界点.
对Q235钢制成的压杆 ,
当λ≥λc，按欧拉公式计
算临界应力或临界力;当
λ<123时用经验公式计算

压杆稳定

第四节

压杆的稳定计算

一、压杆稳定条件

  

st

式中 [σ]st称为稳定许用应力，其值为

 st



 cr
n st

式中nst为压杆的稳定安全系数

压杆稳定

稳定许用应力值可写成下列形式

 st

  



式中[σ]——强度计算时的许用应力；

——折减系数。
压杆稳定条件可写为

 

FN
A

式中A为横截面的毛面积。

  



压杆稳定

折减系数
（1）折减系数是柔度λ的函数，随柔度λ的变化而
变化，柔度λ越大，折减系数越小；

（2）折减系数是各种影响因素的综合反映（如荷
载偏心、材料不均匀、初始曲率、安全储备等）；
（3）由于[σ] st总是小于[σ]，因此折减系数是一个小
于1的数。

压杆稳定

二、压杆稳定条件的应用
1.稳定校核。

2.设计截面。
3.确定稳定许用荷载。

压杆稳定

例11-3 图示两端铰支（球形铰）的矩形截面木杆，杆
端作用轴向压力Fp。已知l=3.6m，Fp=40kN，木材的强度
等级为TC13，许用应力[σ]=10MPa，试校核该压杆的稳定。
F
cr

解 矩形截面的惯性半径

A


120
12



12
bh

y



b

z

12

mm  34 . 64 mm

120

160

i

Iy

3

8m

hb

压杆稳定

两端铰支时长度系数μ=1
 

l

1  3 .6



34 . 64  10

i

3

 104

因为λ〉91
 
FN

A



F

A



2800



2



2800
104

40  10

2

3

0 . 259  120  160

所以该压杆满足稳定条件。

 0 . 259
MPa  8 . 00 MPa  



压杆稳定

第五节

提高压杆稳定性的措施

一、减小压杆的支承长度
从柔度计算式  

l
i

l\2

减小压杆的长度是降低压杆柔
l

度，提高压杆稳定性的有效方法
之一。
在条件允许的情况下，应
尽量使压杆的长度减小，或者
在压杆中间增加支撑。

l\2

压杆稳定
第

二、改善支承情况 ，减小长度系数μ
  0. 5

 1
Fcr

Fcr

 2

Fcr

杆端约束刚性越强,压杆的长度系数越小,相应的柔度
就越低,临界力就越大,因此尽可能加强杆端约束的刚性,
可使压 杆的稳定性得到提高.

压杆稳定

三、选择合理的截面形状
当截面面积相同的情况下，增大惯性矩I，从而达到增

大惯性半径i，减小柔度λ，提高压杆的临界应力。

压杆稳定

当压杆在各个弯曲平面内的支承条件相同时，压杆的

稳定性是由Imin方向的临界应力控制。因此，应尽量使截
面对任一形心主轴的惯性矩相同，这样可使压杆在各个
弯曲平面内具有相同的稳定性。
例如由两根槽钢组合而成的压杆
采用哪
种形式
好？

压杆稳定

当压杆在两个相互垂直平面内的支承条件不同时，
可采用Iz≠Iy的截面来与相应的支承条件配合，使压杆在

两相互垂直平面内的柔度值相等，即λz=λy，这样保证
压杆在这两个方向上具有相同的稳定性。

压杆稳定

四、合理选择材料
对于大柔度杆，临界应力与材料的弹性模量E有关，
由于各种钢材的弹性模量E值相差不大。所以，对大柔度

杆来说，选用优质钢材对提高临界应力意义不大。
对于中柔度杆，其临界应力与材料强度有关，强度越
高的材料，临界应力越高。所以，对中柔度杆而言，选择
优质钢材将有助于提高压杆的稳定性。


Slide 22

第十六章

压杆稳定

压杆稳定

第一节 压杆稳定的概念
一、稳定问题的提出

F

两根相同材料（松木）制成的杆，

σb=20MPa；A＝10mm×30mm
1m

短杆长：l＝30mm；
长杆长：l＝1000mm
F

若按强度条件计算，
两根杆压缩时的极限承载能力
均应为：
F= σb A=6kN

30mm

F

F

压杆稳定

压杆的破坏实验结果：

F

（1）短杆在压力增加到约

为6kN时，因木纹出现裂纹而
破坏。
（2）长杆在压力增加到约4kN
时突然弯向一侧，继续增大压力，
弯曲迅速增大，杆随即折断。

1m

F
30mm

F

F

压杆稳定
第六章

结论：
短压杆与长压杆在压缩时的破坏
性质完全不同
•

F

短压杆的破坏属于强

1m

度问题；
F

• 长压杆的破坏则属于能

30mm

否保持其原来的直线平衡
状态的问题

F

F

压杆稳定
第十章

压杆稳定性：压杆保持其原来直线平衡状态
的能力。
压杆不能保持其原来直线平衡状态而突然变弯
的现象，称为压杆的直线平衡状态丧失了稳定，
简称为压杆失稳。

压杆稳定

压杆失稳的严重后果：
19世纪，瑞士的孟汗太因桥突然倒塌，造
成200人遇难。
1907年加拿大的魁北克桥在建造时突然倒
塌，其原因都是因为桥梁桁架中的受压杆失稳
引起的。
1909年12月汉堡一个60万m3的大型贮气罐
因一个受压构件失稳而突然倒塌。

压杆稳定

研究压杆稳定性的意义：
压杆因强度或刚度不足而造成破坏之前一般
都有先兆；压杆由于失稳而造成破坏之前没有
任何先兆，当压力达到某个临界数值时就会突
然破坏，因此这种破坏形式在工程上具有很大
的破坏性。

在建筑工程中的受压上弦杆、厂房的柱子等
设计中都必须考虑其稳定性要求。

压杆稳定

二、平衡状态的类型
稳定平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体能自动恢复到原来的平
衡位置的平衡

不稳定平衡：

即使干扰平衡的外力消
失后，物体仍继续向远离原
来平衡位置的方向继续运动
的平衡。

随遇平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体可在任意位置继续保持
平衡。

显然，随遇平衡是界于稳定平衡与不稳定平衡之间的状
态，称为临界平衡状态。

压杆稳定

三、压杆临界力Fcr
FP

l
FP

FP ＜ FPcr

FP

F F

FP

F

FP

稳定直线平衡状态

FP = FPcr

F

FP

临界状态

FP > FPcr

F

FP

不稳定平衡状态

压杆处于临界状态时的轴向压力称为压杆的
临界力Fcr。

压杆稳定

第二节

细长压杆的临界力

临界力的影响因素
临界力Fcr的大小反映了压杆失稳的难易，而压杆失稳
就是直杆变弯，发生弯曲变形，因此临界力的大小与影响
直杆弯曲变形的因素有关：
杆的长度l
抗弯刚度EI

杆端支承

l越大
EI越大

越牢固

抵抗变形的能力越小

容易失稳

Fcr越小

抵抗变形的能力越强

不易失稳

Fcr越大

越不容易发生弯曲变形

不易失稳

Fcr越大

压杆稳定

临界力的欧拉公式
 EI
2

F cr 

(l)

2

式中 E——材料的弹性模量；
I——压杆横截面对形心轴的最小惯性矩；
l——压杆的长度；

μ——长度系数，反映了杆端支承对临界力的影响；
μl——压杆的计算长度。

压杆稳定

一端固定
一端铰支

两端铰支

两端固定

一端固定
一端自由

Fcr
Fcr

Fcr

μ=1

μ=0.7

0.25l

l

0.5l

l
0.3l

l

l

0.7l

0.25l

Fcr

μ=0.5

μ=2

压杆稳定

例1

一根两端铰支的№20a工字钢细长压杆，长

l=3m，钢的弹性模量E=200GPa，试计算其临界力。
解 查型钢表得
 EI

Iz=2370cm4，Iy=158cm4

2

Fcr 

l

2

  200  10  158  10
2



9

3

2

8

N

 346  10 N  346 kN
3

由此可知，若轴向压力达到346kN时，此杆会失稳。

压杆稳定

思考
材料及横截面均相同，哪一根最容易失稳，哪一根
最不容易失稳。

压杆稳定
Fcr

Fcr

y

200

120

y

120

200

z
z

8m

例2 一矩形截面的
中心受压的细长木柱，
长l=8m，柱的支承情况，
在最大刚度平面内弯曲
时为两端铰支（图a）；
在最小刚度平面内弯曲
时为两端固定（图b）。
木材的弹性模量
E=10GPa，试求木柱的
临界力。

压杆稳定

解 由于最大刚度平面与最小刚度平面内的支承
情况不同，所以需分别计算。
Fcr

（1）计算最大刚度平面内的临界力
截面的惯性矩为
Iy 

3

mm

4

y

 8  10 mm
7

4

 8  10

5

m

4

200

两端铰支，长度系数μ=1
 EI
2

F cr 

(l )

3 . 14  10  10  8  10
2

y
2



9

(1  8 )

 123  10 N  123 kN
3

z

8m

12

2

5

N

120

120  200

压杆稳定

（2）计算最小刚度平面内的临界力。
Fcr

由图16-4b,截面惯性矩为
3

mm

4

12

 2 . 88  10 mm
7

 2 . 88  10

5

m

4

z

4

y

两端固定，长度系数μ=0.5
 EI Z
2

Fcr 

(l )

2

3 . 14  10  10  2 . 88  10
2



9

( 0 .5  8 )

 177  10 N  177 kN
3

2

120

5

N

200

IZ 

200  120

压杆稳定

Fcr

Fcr

y

200

y

120

8m

z

120

200

z

比较计算结果可知
，第一种情况的临界力
小，所以压杆失稳时将
在最大刚度平面内产生
弯曲。此例说明，当在
最小刚度平面与最大刚
度平面内支承情况不同
时，压杆不一定在最小
刚度平面内失稳，必须
经过具体计算后才能确
定。

压杆稳定

第三节 临界应力与欧拉公式的适用范围
一、临界应力
 cr 
I i A
2

F cr

2



cr



(l )

2

2

 E

A
 Ei
2



 E I

(l)

2

A
2



(

l

)

2

i
令   l i

 E
2

 cr 



2

   l i —— 压杆的柔度（长细比），是无量纲的量。

压杆稳定

压杆的柔度λ
（1）综合反映了压杆的长度（l）、杆端支承情况（μ
）、截面形状和尺寸（I、A、i）对临界应力的影响。
（2）压杆的临界应力与压杆柔度的平方成反比，即
，柔度越大压杆临界应力越小，压杆越容易失稳。

压杆稳定

二、欧拉公式的适用范围
只有当压杆的临界应力不超过材料的比例极限时，欧
拉公式才适用，即：
 E
2

 cr 



2



p

  p  

E

p

 p ——对应于材料比例极限时的柔度，只与材料的性质

有关，与压杆的截面形状和尺寸无关。

   p 的压杆——大柔度杆（细长杆）
欧拉公式只适用于大柔度杆（细长杆）

压杆稳定

三、超出比例极限时压杆的临界应力、
临界应力总图
压杆的应力超出比例极限时（λ<λp），这类杆件工程
上称为中柔度杆，此类压杆的稳定称弹塑性稳定。
抛物线公式（经验公式）

σcr= a - bλ2
式中，λ为压杆的柔度，a、b与材料有关的常数

例如：对于Q235钢及16Mn钢分别有
σcr=（235-0.00668λ2）MPa
σcr=（345-0.0142λ2）MPa

压杆稳定

由式可知，压杆不论处于弹性阶段还是弹塑性阶段，
其临界应力均为压杆柔度的函数，临界应力σcr与柔度λ的
函数曲线称为临界应力总图。

注意：图中以λc=123
而不是以λp=100作为二曲
线的分界点.
对Q235钢制成的压杆 ,
当λ≥λc，按欧拉公式计
算临界应力或临界力;当
λ<123时用经验公式计算

压杆稳定

第四节

压杆的稳定计算

一、压杆稳定条件

  

st

式中 [σ]st称为稳定许用应力，其值为

 st



 cr
n st

式中nst为压杆的稳定安全系数

压杆稳定

稳定许用应力值可写成下列形式

 st

  



式中[σ]——强度计算时的许用应力；

——折减系数。
压杆稳定条件可写为

 

FN
A

式中A为横截面的毛面积。

  



压杆稳定

折减系数
（1）折减系数是柔度λ的函数，随柔度λ的变化而
变化，柔度λ越大，折减系数越小；

（2）折减系数是各种影响因素的综合反映（如荷
载偏心、材料不均匀、初始曲率、安全储备等）；
（3）由于[σ] st总是小于[σ]，因此折减系数是一个小
于1的数。

压杆稳定

二、压杆稳定条件的应用
1.稳定校核。

2.设计截面。
3.确定稳定许用荷载。

压杆稳定

例11-3 图示两端铰支（球形铰）的矩形截面木杆，杆
端作用轴向压力Fp。已知l=3.6m，Fp=40kN，木材的强度
等级为TC13，许用应力[σ]=10MPa，试校核该压杆的稳定。
F
cr

解 矩形截面的惯性半径

A


120
12



12
bh

y



b

z

12

mm  34 . 64 mm

120

160

i

Iy

3

8m

hb

压杆稳定

两端铰支时长度系数μ=1
 

l

1  3 .6



34 . 64  10

i

3

 104

因为λ〉91
 
FN

A



F

A



2800



2



2800
104

40  10

2

3

0 . 259  120  160

所以该压杆满足稳定条件。

 0 . 259
MPa  8 . 00 MPa  



压杆稳定

第五节

提高压杆稳定性的措施

一、减小压杆的支承长度
从柔度计算式  

l
i

l\2

减小压杆的长度是降低压杆柔
l

度，提高压杆稳定性的有效方法
之一。
在条件允许的情况下，应
尽量使压杆的长度减小，或者
在压杆中间增加支撑。

l\2

压杆稳定
第

二、改善支承情况 ，减小长度系数μ
  0. 5

 1
Fcr

Fcr

 2

Fcr

杆端约束刚性越强,压杆的长度系数越小,相应的柔度
就越低,临界力就越大,因此尽可能加强杆端约束的刚性,
可使压 杆的稳定性得到提高.

压杆稳定

三、选择合理的截面形状
当截面面积相同的情况下，增大惯性矩I，从而达到增

大惯性半径i，减小柔度λ，提高压杆的临界应力。

压杆稳定

当压杆在各个弯曲平面内的支承条件相同时，压杆的

稳定性是由Imin方向的临界应力控制。因此，应尽量使截
面对任一形心主轴的惯性矩相同，这样可使压杆在各个
弯曲平面内具有相同的稳定性。
例如由两根槽钢组合而成的压杆
采用哪
种形式
好？

压杆稳定

当压杆在两个相互垂直平面内的支承条件不同时，
可采用Iz≠Iy的截面来与相应的支承条件配合，使压杆在

两相互垂直平面内的柔度值相等，即λz=λy，这样保证
压杆在这两个方向上具有相同的稳定性。

压杆稳定

四、合理选择材料
对于大柔度杆，临界应力与材料的弹性模量E有关，
由于各种钢材的弹性模量E值相差不大。所以，对大柔度

杆来说，选用优质钢材对提高临界应力意义不大。
对于中柔度杆，其临界应力与材料强度有关，强度越
高的材料，临界应力越高。所以，对中柔度杆而言，选择
优质钢材将有助于提高压杆的稳定性。


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第十六章

压杆稳定

压杆稳定

第一节 压杆稳定的概念
一、稳定问题的提出

F

两根相同材料（松木）制成的杆，

σb=20MPa；A＝10mm×30mm
1m

短杆长：l＝30mm；
长杆长：l＝1000mm
F

若按强度条件计算，
两根杆压缩时的极限承载能力
均应为：
F= σb A=6kN

30mm

F

F

压杆稳定

压杆的破坏实验结果：

F

（1）短杆在压力增加到约

为6kN时，因木纹出现裂纹而
破坏。
（2）长杆在压力增加到约4kN
时突然弯向一侧，继续增大压力，
弯曲迅速增大，杆随即折断。

1m

F
30mm

F

F

压杆稳定
第六章

结论：
短压杆与长压杆在压缩时的破坏
性质完全不同
•

F

短压杆的破坏属于强

1m

度问题；
F

• 长压杆的破坏则属于能

30mm

否保持其原来的直线平衡
状态的问题

F

F

压杆稳定
第十章

压杆稳定性：压杆保持其原来直线平衡状态
的能力。
压杆不能保持其原来直线平衡状态而突然变弯
的现象，称为压杆的直线平衡状态丧失了稳定，
简称为压杆失稳。

压杆稳定

压杆失稳的严重后果：
19世纪，瑞士的孟汗太因桥突然倒塌，造
成200人遇难。
1907年加拿大的魁北克桥在建造时突然倒
塌，其原因都是因为桥梁桁架中的受压杆失稳
引起的。
1909年12月汉堡一个60万m3的大型贮气罐
因一个受压构件失稳而突然倒塌。

压杆稳定

研究压杆稳定性的意义：
压杆因强度或刚度不足而造成破坏之前一般
都有先兆；压杆由于失稳而造成破坏之前没有
任何先兆，当压力达到某个临界数值时就会突
然破坏，因此这种破坏形式在工程上具有很大
的破坏性。

在建筑工程中的受压上弦杆、厂房的柱子等
设计中都必须考虑其稳定性要求。

压杆稳定

二、平衡状态的类型
稳定平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体能自动恢复到原来的平
衡位置的平衡

不稳定平衡：

即使干扰平衡的外力消
失后，物体仍继续向远离原
来平衡位置的方向继续运动
的平衡。

随遇平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体可在任意位置继续保持
平衡。

显然，随遇平衡是界于稳定平衡与不稳定平衡之间的状
态，称为临界平衡状态。

压杆稳定

三、压杆临界力Fcr
FP

l
FP

FP ＜ FPcr

FP

F F

FP

F

FP

稳定直线平衡状态

FP = FPcr

F

FP

临界状态

FP > FPcr

F

FP

不稳定平衡状态

压杆处于临界状态时的轴向压力称为压杆的
临界力Fcr。

压杆稳定

第二节

细长压杆的临界力

临界力的影响因素
临界力Fcr的大小反映了压杆失稳的难易，而压杆失稳
就是直杆变弯，发生弯曲变形，因此临界力的大小与影响
直杆弯曲变形的因素有关：
杆的长度l
抗弯刚度EI

杆端支承

l越大
EI越大

越牢固

抵抗变形的能力越小

容易失稳

Fcr越小

抵抗变形的能力越强

不易失稳

Fcr越大

越不容易发生弯曲变形

不易失稳

Fcr越大

压杆稳定

临界力的欧拉公式
 EI
2

F cr 

(l)

2

式中 E——材料的弹性模量；
I——压杆横截面对形心轴的最小惯性矩；
l——压杆的长度；

μ——长度系数，反映了杆端支承对临界力的影响；
μl——压杆的计算长度。

压杆稳定

一端固定
一端铰支

两端铰支

两端固定

一端固定
一端自由

Fcr
Fcr

Fcr

μ=1

μ=0.7

0.25l

l

0.5l

l
0.3l

l

l

0.7l

0.25l

Fcr

μ=0.5

μ=2

压杆稳定

例1

一根两端铰支的№20a工字钢细长压杆，长

l=3m，钢的弹性模量E=200GPa，试计算其临界力。
解 查型钢表得
 EI

Iz=2370cm4，Iy=158cm4

2

Fcr 

l

2

  200  10  158  10
2



9

3

2

8

N

 346  10 N  346 kN
3

由此可知，若轴向压力达到346kN时，此杆会失稳。

压杆稳定

思考
材料及横截面均相同，哪一根最容易失稳，哪一根
最不容易失稳。

压杆稳定
Fcr

Fcr

y

200

120

y

120

200

z
z

8m

例2 一矩形截面的
中心受压的细长木柱，
长l=8m，柱的支承情况，
在最大刚度平面内弯曲
时为两端铰支（图a）；
在最小刚度平面内弯曲
时为两端固定（图b）。
木材的弹性模量
E=10GPa，试求木柱的
临界力。

压杆稳定

解 由于最大刚度平面与最小刚度平面内的支承
情况不同，所以需分别计算。
Fcr

（1）计算最大刚度平面内的临界力
截面的惯性矩为
Iy 

3

mm

4

y

 8  10 mm
7

4

 8  10

5

m

4

200

两端铰支，长度系数μ=1
 EI
2

F cr 

(l )

3 . 14  10  10  8  10
2

y
2



9

(1  8 )

 123  10 N  123 kN
3

z

8m

12

2

5

N

120

120  200

压杆稳定

（2）计算最小刚度平面内的临界力。
Fcr

由图16-4b,截面惯性矩为
3

mm

4

12

 2 . 88  10 mm
7

 2 . 88  10

5

m

4

z

4

y

两端固定，长度系数μ=0.5
 EI Z
2

Fcr 

(l )

2

3 . 14  10  10  2 . 88  10
2



9

( 0 .5  8 )

 177  10 N  177 kN
3

2

120

5

N

200

IZ 

200  120

压杆稳定

Fcr

Fcr

y

200

y

120

8m

z

120

200

z

比较计算结果可知
，第一种情况的临界力
小，所以压杆失稳时将
在最大刚度平面内产生
弯曲。此例说明，当在
最小刚度平面与最大刚
度平面内支承情况不同
时，压杆不一定在最小
刚度平面内失稳，必须
经过具体计算后才能确
定。

压杆稳定

第三节 临界应力与欧拉公式的适用范围
一、临界应力
 cr 
I i A
2

F cr

2



cr



(l )

2

2

 E

A
 Ei
2



 E I

(l)

2

A
2



(

l

)

2

i
令   l i

 E
2

 cr 



2

   l i —— 压杆的柔度（长细比），是无量纲的量。

压杆稳定

压杆的柔度λ
（1）综合反映了压杆的长度（l）、杆端支承情况（μ
）、截面形状和尺寸（I、A、i）对临界应力的影响。
（2）压杆的临界应力与压杆柔度的平方成反比，即
，柔度越大压杆临界应力越小，压杆越容易失稳。

压杆稳定

二、欧拉公式的适用范围
只有当压杆的临界应力不超过材料的比例极限时，欧
拉公式才适用，即：
 E
2

 cr 



2



p

  p  

E

p

 p ——对应于材料比例极限时的柔度，只与材料的性质

有关，与压杆的截面形状和尺寸无关。

   p 的压杆——大柔度杆（细长杆）
欧拉公式只适用于大柔度杆（细长杆）

压杆稳定

三、超出比例极限时压杆的临界应力、
临界应力总图
压杆的应力超出比例极限时（λ<λp），这类杆件工程
上称为中柔度杆，此类压杆的稳定称弹塑性稳定。
抛物线公式（经验公式）

σcr= a - bλ2
式中，λ为压杆的柔度，a、b与材料有关的常数

例如：对于Q235钢及16Mn钢分别有
σcr=（235-0.00668λ2）MPa
σcr=（345-0.0142λ2）MPa

压杆稳定

由式可知，压杆不论处于弹性阶段还是弹塑性阶段，
其临界应力均为压杆柔度的函数，临界应力σcr与柔度λ的
函数曲线称为临界应力总图。

注意：图中以λc=123
而不是以λp=100作为二曲
线的分界点.
对Q235钢制成的压杆 ,
当λ≥λc，按欧拉公式计
算临界应力或临界力;当
λ<123时用经验公式计算

压杆稳定

第四节

压杆的稳定计算

一、压杆稳定条件

  

st

式中 [σ]st称为稳定许用应力，其值为

 st



 cr
n st

式中nst为压杆的稳定安全系数

压杆稳定

稳定许用应力值可写成下列形式

 st

  



式中[σ]——强度计算时的许用应力；

——折减系数。
压杆稳定条件可写为

 

FN
A

式中A为横截面的毛面积。

  



压杆稳定

折减系数
（1）折减系数是柔度λ的函数，随柔度λ的变化而
变化，柔度λ越大，折减系数越小；

（2）折减系数是各种影响因素的综合反映（如荷
载偏心、材料不均匀、初始曲率、安全储备等）；
（3）由于[σ] st总是小于[σ]，因此折减系数是一个小
于1的数。

压杆稳定

二、压杆稳定条件的应用
1.稳定校核。

2.设计截面。
3.确定稳定许用荷载。

压杆稳定

例11-3 图示两端铰支（球形铰）的矩形截面木杆，杆
端作用轴向压力Fp。已知l=3.6m，Fp=40kN，木材的强度
等级为TC13，许用应力[σ]=10MPa，试校核该压杆的稳定。
F
cr

解 矩形截面的惯性半径

A


120
12



12
bh

y



b

z

12

mm  34 . 64 mm

120

160

i

Iy

3

8m

hb

压杆稳定

两端铰支时长度系数μ=1
 

l

1  3 .6



34 . 64  10

i

3

 104

因为λ〉91
 
FN

A



F

A



2800



2



2800
104

40  10

2

3

0 . 259  120  160

所以该压杆满足稳定条件。

 0 . 259
MPa  8 . 00 MPa  



压杆稳定

第五节

提高压杆稳定性的措施

一、减小压杆的支承长度
从柔度计算式  

l
i

l\2

减小压杆的长度是降低压杆柔
l

度，提高压杆稳定性的有效方法
之一。
在条件允许的情况下，应
尽量使压杆的长度减小，或者
在压杆中间增加支撑。

l\2

压杆稳定
第

二、改善支承情况 ，减小长度系数μ
  0. 5

 1
Fcr

Fcr

 2

Fcr

杆端约束刚性越强,压杆的长度系数越小,相应的柔度
就越低,临界力就越大,因此尽可能加强杆端约束的刚性,
可使压 杆的稳定性得到提高.

压杆稳定

三、选择合理的截面形状
当截面面积相同的情况下，增大惯性矩I，从而达到增

大惯性半径i，减小柔度λ，提高压杆的临界应力。

压杆稳定

当压杆在各个弯曲平面内的支承条件相同时，压杆的

稳定性是由Imin方向的临界应力控制。因此，应尽量使截
面对任一形心主轴的惯性矩相同，这样可使压杆在各个
弯曲平面内具有相同的稳定性。
例如由两根槽钢组合而成的压杆
采用哪
种形式
好？

压杆稳定

当压杆在两个相互垂直平面内的支承条件不同时，
可采用Iz≠Iy的截面来与相应的支承条件配合，使压杆在

两相互垂直平面内的柔度值相等，即λz=λy，这样保证
压杆在这两个方向上具有相同的稳定性。

压杆稳定

四、合理选择材料
对于大柔度杆，临界应力与材料的弹性模量E有关，
由于各种钢材的弹性模量E值相差不大。所以，对大柔度

杆来说，选用优质钢材对提高临界应力意义不大。
对于中柔度杆，其临界应力与材料强度有关，强度越
高的材料，临界应力越高。所以，对中柔度杆而言，选择
优质钢材将有助于提高压杆的稳定性。


Slide 24

第十六章

压杆稳定

压杆稳定

第一节 压杆稳定的概念
一、稳定问题的提出

F

两根相同材料（松木）制成的杆，

σb=20MPa；A＝10mm×30mm
1m

短杆长：l＝30mm；
长杆长：l＝1000mm
F

若按强度条件计算，
两根杆压缩时的极限承载能力
均应为：
F= σb A=6kN

30mm

F

F

压杆稳定

压杆的破坏实验结果：

F

（1）短杆在压力增加到约

为6kN时，因木纹出现裂纹而
破坏。
（2）长杆在压力增加到约4kN
时突然弯向一侧，继续增大压力，
弯曲迅速增大，杆随即折断。

1m

F
30mm

F

F

压杆稳定
第六章

结论：
短压杆与长压杆在压缩时的破坏
性质完全不同
•

F

短压杆的破坏属于强

1m

度问题；
F

• 长压杆的破坏则属于能

30mm

否保持其原来的直线平衡
状态的问题

F

F

压杆稳定
第十章

压杆稳定性：压杆保持其原来直线平衡状态
的能力。
压杆不能保持其原来直线平衡状态而突然变弯
的现象，称为压杆的直线平衡状态丧失了稳定，
简称为压杆失稳。

压杆稳定

压杆失稳的严重后果：
19世纪，瑞士的孟汗太因桥突然倒塌，造
成200人遇难。
1907年加拿大的魁北克桥在建造时突然倒
塌，其原因都是因为桥梁桁架中的受压杆失稳
引起的。
1909年12月汉堡一个60万m3的大型贮气罐
因一个受压构件失稳而突然倒塌。

压杆稳定

研究压杆稳定性的意义：
压杆因强度或刚度不足而造成破坏之前一般
都有先兆；压杆由于失稳而造成破坏之前没有
任何先兆，当压力达到某个临界数值时就会突
然破坏，因此这种破坏形式在工程上具有很大
的破坏性。

在建筑工程中的受压上弦杆、厂房的柱子等
设计中都必须考虑其稳定性要求。

压杆稳定

二、平衡状态的类型
稳定平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体能自动恢复到原来的平
衡位置的平衡

不稳定平衡：

即使干扰平衡的外力消
失后，物体仍继续向远离原
来平衡位置的方向继续运动
的平衡。

随遇平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体可在任意位置继续保持
平衡。

显然，随遇平衡是界于稳定平衡与不稳定平衡之间的状
态，称为临界平衡状态。

压杆稳定

三、压杆临界力Fcr
FP

l
FP

FP ＜ FPcr

FP

F F

FP

F

FP

稳定直线平衡状态

FP = FPcr

F

FP

临界状态

FP > FPcr

F

FP

不稳定平衡状态

压杆处于临界状态时的轴向压力称为压杆的
临界力Fcr。

压杆稳定

第二节

细长压杆的临界力

临界力的影响因素
临界力Fcr的大小反映了压杆失稳的难易，而压杆失稳
就是直杆变弯，发生弯曲变形，因此临界力的大小与影响
直杆弯曲变形的因素有关：
杆的长度l
抗弯刚度EI

杆端支承

l越大
EI越大

越牢固

抵抗变形的能力越小

容易失稳

Fcr越小

抵抗变形的能力越强

不易失稳

Fcr越大

越不容易发生弯曲变形

不易失稳

Fcr越大

压杆稳定

临界力的欧拉公式
 EI
2

F cr 

(l)

2

式中 E——材料的弹性模量；
I——压杆横截面对形心轴的最小惯性矩；
l——压杆的长度；

μ——长度系数，反映了杆端支承对临界力的影响；
μl——压杆的计算长度。

压杆稳定

一端固定
一端铰支

两端铰支

两端固定

一端固定
一端自由

Fcr
Fcr

Fcr

μ=1

μ=0.7

0.25l

l

0.5l

l
0.3l

l

l

0.7l

0.25l

Fcr

μ=0.5

μ=2

压杆稳定

例1

一根两端铰支的№20a工字钢细长压杆，长

l=3m，钢的弹性模量E=200GPa，试计算其临界力。
解 查型钢表得
 EI

Iz=2370cm4，Iy=158cm4

2

Fcr 

l

2

  200  10  158  10
2



9

3

2

8

N

 346  10 N  346 kN
3

由此可知，若轴向压力达到346kN时，此杆会失稳。

压杆稳定

思考
材料及横截面均相同，哪一根最容易失稳，哪一根
最不容易失稳。

压杆稳定
Fcr

Fcr

y

200

120

y

120

200

z
z

8m

例2 一矩形截面的
中心受压的细长木柱，
长l=8m，柱的支承情况，
在最大刚度平面内弯曲
时为两端铰支（图a）；
在最小刚度平面内弯曲
时为两端固定（图b）。
木材的弹性模量
E=10GPa，试求木柱的
临界力。

压杆稳定

解 由于最大刚度平面与最小刚度平面内的支承
情况不同，所以需分别计算。
Fcr

（1）计算最大刚度平面内的临界力
截面的惯性矩为
Iy 

3

mm

4

y

 8  10 mm
7

4

 8  10

5

m

4

200

两端铰支，长度系数μ=1
 EI
2

F cr 

(l )

3 . 14  10  10  8  10
2

y
2



9

(1  8 )

 123  10 N  123 kN
3

z

8m

12

2

5

N

120

120  200

压杆稳定

（2）计算最小刚度平面内的临界力。
Fcr

由图16-4b,截面惯性矩为
3

mm

4

12

 2 . 88  10 mm
7

 2 . 88  10

5

m

4

z

4

y

两端固定，长度系数μ=0.5
 EI Z
2

Fcr 

(l )

2

3 . 14  10  10  2 . 88  10
2



9

( 0 .5  8 )

 177  10 N  177 kN
3

2

120

5

N

200

IZ 

200  120

压杆稳定

Fcr

Fcr

y

200

y

120

8m

z

120

200

z

比较计算结果可知
，第一种情况的临界力
小，所以压杆失稳时将
在最大刚度平面内产生
弯曲。此例说明，当在
最小刚度平面与最大刚
度平面内支承情况不同
时，压杆不一定在最小
刚度平面内失稳，必须
经过具体计算后才能确
定。

压杆稳定

第三节 临界应力与欧拉公式的适用范围
一、临界应力
 cr 
I i A
2

F cr

2



cr



(l )

2

2

 E

A
 Ei
2



 E I

(l)

2

A
2



(

l

)

2

i
令   l i

 E
2

 cr 



2

   l i —— 压杆的柔度（长细比），是无量纲的量。

压杆稳定

压杆的柔度λ
（1）综合反映了压杆的长度（l）、杆端支承情况（μ
）、截面形状和尺寸（I、A、i）对临界应力的影响。
（2）压杆的临界应力与压杆柔度的平方成反比，即
，柔度越大压杆临界应力越小，压杆越容易失稳。

压杆稳定

二、欧拉公式的适用范围
只有当压杆的临界应力不超过材料的比例极限时，欧
拉公式才适用，即：
 E
2

 cr 



2



p

  p  

E

p

 p ——对应于材料比例极限时的柔度，只与材料的性质

有关，与压杆的截面形状和尺寸无关。

   p 的压杆——大柔度杆（细长杆）
欧拉公式只适用于大柔度杆（细长杆）

压杆稳定

三、超出比例极限时压杆的临界应力、
临界应力总图
压杆的应力超出比例极限时（λ<λp），这类杆件工程
上称为中柔度杆，此类压杆的稳定称弹塑性稳定。
抛物线公式（经验公式）

σcr= a - bλ2
式中，λ为压杆的柔度，a、b与材料有关的常数

例如：对于Q235钢及16Mn钢分别有
σcr=（235-0.00668λ2）MPa
σcr=（345-0.0142λ2）MPa

压杆稳定

由式可知，压杆不论处于弹性阶段还是弹塑性阶段，
其临界应力均为压杆柔度的函数，临界应力σcr与柔度λ的
函数曲线称为临界应力总图。

注意：图中以λc=123
而不是以λp=100作为二曲
线的分界点.
对Q235钢制成的压杆 ,
当λ≥λc，按欧拉公式计
算临界应力或临界力;当
λ<123时用经验公式计算

压杆稳定

第四节

压杆的稳定计算

一、压杆稳定条件

  

st

式中 [σ]st称为稳定许用应力，其值为

 st



 cr
n st

式中nst为压杆的稳定安全系数

压杆稳定

稳定许用应力值可写成下列形式

 st

  



式中[σ]——强度计算时的许用应力；

——折减系数。
压杆稳定条件可写为

 

FN
A

式中A为横截面的毛面积。

  



压杆稳定

折减系数
（1）折减系数是柔度λ的函数，随柔度λ的变化而
变化，柔度λ越大，折减系数越小；

（2）折减系数是各种影响因素的综合反映（如荷
载偏心、材料不均匀、初始曲率、安全储备等）；
（3）由于[σ] st总是小于[σ]，因此折减系数是一个小
于1的数。

压杆稳定

二、压杆稳定条件的应用
1.稳定校核。

2.设计截面。
3.确定稳定许用荷载。

压杆稳定

例11-3 图示两端铰支（球形铰）的矩形截面木杆，杆
端作用轴向压力Fp。已知l=3.6m，Fp=40kN，木材的强度
等级为TC13，许用应力[σ]=10MPa，试校核该压杆的稳定。
F
cr

解 矩形截面的惯性半径

A


120
12



12
bh

y



b

z

12

mm  34 . 64 mm

120

160

i

Iy

3

8m

hb

压杆稳定

两端铰支时长度系数μ=1
 

l

1  3 .6



34 . 64  10

i

3

 104

因为λ〉91
 
FN

A



F

A



2800



2



2800
104

40  10

2

3

0 . 259  120  160

所以该压杆满足稳定条件。

 0 . 259
MPa  8 . 00 MPa  



压杆稳定

第五节

提高压杆稳定性的措施

一、减小压杆的支承长度
从柔度计算式  

l
i

l\2

减小压杆的长度是降低压杆柔
l

度，提高压杆稳定性的有效方法
之一。
在条件允许的情况下，应
尽量使压杆的长度减小，或者
在压杆中间增加支撑。

l\2

压杆稳定
第

二、改善支承情况 ，减小长度系数μ
  0. 5

 1
Fcr

Fcr

 2

Fcr

杆端约束刚性越强,压杆的长度系数越小,相应的柔度
就越低,临界力就越大,因此尽可能加强杆端约束的刚性,
可使压 杆的稳定性得到提高.

压杆稳定

三、选择合理的截面形状
当截面面积相同的情况下，增大惯性矩I，从而达到增

大惯性半径i，减小柔度λ，提高压杆的临界应力。

压杆稳定

当压杆在各个弯曲平面内的支承条件相同时，压杆的

稳定性是由Imin方向的临界应力控制。因此，应尽量使截
面对任一形心主轴的惯性矩相同，这样可使压杆在各个
弯曲平面内具有相同的稳定性。
例如由两根槽钢组合而成的压杆
采用哪
种形式
好？

压杆稳定

当压杆在两个相互垂直平面内的支承条件不同时，
可采用Iz≠Iy的截面来与相应的支承条件配合，使压杆在

两相互垂直平面内的柔度值相等，即λz=λy，这样保证
压杆在这两个方向上具有相同的稳定性。

压杆稳定

四、合理选择材料
对于大柔度杆，临界应力与材料的弹性模量E有关，
由于各种钢材的弹性模量E值相差不大。所以，对大柔度

杆来说，选用优质钢材对提高临界应力意义不大。
对于中柔度杆，其临界应力与材料强度有关，强度越
高的材料，临界应力越高。所以，对中柔度杆而言，选择
优质钢材将有助于提高压杆的稳定性。


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第十六章

压杆稳定

压杆稳定

第一节 压杆稳定的概念
一、稳定问题的提出

F

两根相同材料（松木）制成的杆，

σb=20MPa；A＝10mm×30mm
1m

短杆长：l＝30mm；
长杆长：l＝1000mm
F

若按强度条件计算，
两根杆压缩时的极限承载能力
均应为：
F= σb A=6kN

30mm

F

F

压杆稳定

压杆的破坏实验结果：

F

（1）短杆在压力增加到约

为6kN时，因木纹出现裂纹而
破坏。
（2）长杆在压力增加到约4kN
时突然弯向一侧，继续增大压力，
弯曲迅速增大，杆随即折断。

1m

F
30mm

F

F

压杆稳定
第六章

结论：
短压杆与长压杆在压缩时的破坏
性质完全不同
•

F

短压杆的破坏属于强

1m

度问题；
F

• 长压杆的破坏则属于能

30mm

否保持其原来的直线平衡
状态的问题

F

F

压杆稳定
第十章

压杆稳定性：压杆保持其原来直线平衡状态
的能力。
压杆不能保持其原来直线平衡状态而突然变弯
的现象，称为压杆的直线平衡状态丧失了稳定，
简称为压杆失稳。

压杆稳定

压杆失稳的严重后果：
19世纪，瑞士的孟汗太因桥突然倒塌，造
成200人遇难。
1907年加拿大的魁北克桥在建造时突然倒
塌，其原因都是因为桥梁桁架中的受压杆失稳
引起的。
1909年12月汉堡一个60万m3的大型贮气罐
因一个受压构件失稳而突然倒塌。

压杆稳定

研究压杆稳定性的意义：
压杆因强度或刚度不足而造成破坏之前一般
都有先兆；压杆由于失稳而造成破坏之前没有
任何先兆，当压力达到某个临界数值时就会突
然破坏，因此这种破坏形式在工程上具有很大
的破坏性。

在建筑工程中的受压上弦杆、厂房的柱子等
设计中都必须考虑其稳定性要求。

压杆稳定

二、平衡状态的类型
稳定平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体能自动恢复到原来的平
衡位置的平衡

不稳定平衡：

即使干扰平衡的外力消
失后，物体仍继续向远离原
来平衡位置的方向继续运动
的平衡。

随遇平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体可在任意位置继续保持
平衡。

显然，随遇平衡是界于稳定平衡与不稳定平衡之间的状
态，称为临界平衡状态。

压杆稳定

三、压杆临界力Fcr
FP

l
FP

FP ＜ FPcr

FP

F F

FP

F

FP

稳定直线平衡状态

FP = FPcr

F

FP

临界状态

FP > FPcr

F

FP

不稳定平衡状态

压杆处于临界状态时的轴向压力称为压杆的
临界力Fcr。

压杆稳定

第二节

细长压杆的临界力

临界力的影响因素
临界力Fcr的大小反映了压杆失稳的难易，而压杆失稳
就是直杆变弯，发生弯曲变形，因此临界力的大小与影响
直杆弯曲变形的因素有关：
杆的长度l
抗弯刚度EI

杆端支承

l越大
EI越大

越牢固

抵抗变形的能力越小

容易失稳

Fcr越小

抵抗变形的能力越强

不易失稳

Fcr越大

越不容易发生弯曲变形

不易失稳

Fcr越大

压杆稳定

临界力的欧拉公式
 EI
2

F cr 

(l)

2

式中 E——材料的弹性模量；
I——压杆横截面对形心轴的最小惯性矩；
l——压杆的长度；

μ——长度系数，反映了杆端支承对临界力的影响；
μl——压杆的计算长度。

压杆稳定

一端固定
一端铰支

两端铰支

两端固定

一端固定
一端自由

Fcr
Fcr

Fcr

μ=1

μ=0.7

0.25l

l

0.5l

l
0.3l

l

l

0.7l

0.25l

Fcr

μ=0.5

μ=2

压杆稳定

例1

一根两端铰支的№20a工字钢细长压杆，长

l=3m，钢的弹性模量E=200GPa，试计算其临界力。
解 查型钢表得
 EI

Iz=2370cm4，Iy=158cm4

2

Fcr 

l

2

  200  10  158  10
2



9

3

2

8

N

 346  10 N  346 kN
3

由此可知，若轴向压力达到346kN时，此杆会失稳。

压杆稳定

思考
材料及横截面均相同，哪一根最容易失稳，哪一根
最不容易失稳。

压杆稳定
Fcr

Fcr

y

200

120

y

120

200

z
z

8m

例2 一矩形截面的
中心受压的细长木柱，
长l=8m，柱的支承情况，
在最大刚度平面内弯曲
时为两端铰支（图a）；
在最小刚度平面内弯曲
时为两端固定（图b）。
木材的弹性模量
E=10GPa，试求木柱的
临界力。

压杆稳定

解 由于最大刚度平面与最小刚度平面内的支承
情况不同，所以需分别计算。
Fcr

（1）计算最大刚度平面内的临界力
截面的惯性矩为
Iy 

3

mm

4

y

 8  10 mm
7

4

 8  10

5

m

4

200

两端铰支，长度系数μ=1
 EI
2

F cr 

(l )

3 . 14  10  10  8  10
2

y
2



9

(1  8 )

 123  10 N  123 kN
3

z

8m

12

2

5

N

120

120  200

压杆稳定

（2）计算最小刚度平面内的临界力。
Fcr

由图16-4b,截面惯性矩为
3

mm

4

12

 2 . 88  10 mm
7

 2 . 88  10

5

m

4

z

4

y

两端固定，长度系数μ=0.5
 EI Z
2

Fcr 

(l )

2

3 . 14  10  10  2 . 88  10
2



9

( 0 .5  8 )

 177  10 N  177 kN
3

2

120

5

N

200

IZ 

200  120

压杆稳定

Fcr

Fcr

y

200

y

120

8m

z

120

200

z

比较计算结果可知
，第一种情况的临界力
小，所以压杆失稳时将
在最大刚度平面内产生
弯曲。此例说明，当在
最小刚度平面与最大刚
度平面内支承情况不同
时，压杆不一定在最小
刚度平面内失稳，必须
经过具体计算后才能确
定。

压杆稳定

第三节 临界应力与欧拉公式的适用范围
一、临界应力
 cr 
I i A
2

F cr

2



cr



(l )

2

2

 E

A
 Ei
2



 E I

(l)

2

A
2



(

l

)

2

i
令   l i

 E
2

 cr 



2

   l i —— 压杆的柔度（长细比），是无量纲的量。

压杆稳定

压杆的柔度λ
（1）综合反映了压杆的长度（l）、杆端支承情况（μ
）、截面形状和尺寸（I、A、i）对临界应力的影响。
（2）压杆的临界应力与压杆柔度的平方成反比，即
，柔度越大压杆临界应力越小，压杆越容易失稳。

压杆稳定

二、欧拉公式的适用范围
只有当压杆的临界应力不超过材料的比例极限时，欧
拉公式才适用，即：
 E
2

 cr 



2



p

  p  

E

p

 p ——对应于材料比例极限时的柔度，只与材料的性质

有关，与压杆的截面形状和尺寸无关。

   p 的压杆——大柔度杆（细长杆）
欧拉公式只适用于大柔度杆（细长杆）

压杆稳定

三、超出比例极限时压杆的临界应力、
临界应力总图
压杆的应力超出比例极限时（λ<λp），这类杆件工程
上称为中柔度杆，此类压杆的稳定称弹塑性稳定。
抛物线公式（经验公式）

σcr= a - bλ2
式中，λ为压杆的柔度，a、b与材料有关的常数

例如：对于Q235钢及16Mn钢分别有
σcr=（235-0.00668λ2）MPa
σcr=（345-0.0142λ2）MPa

压杆稳定

由式可知，压杆不论处于弹性阶段还是弹塑性阶段，
其临界应力均为压杆柔度的函数，临界应力σcr与柔度λ的
函数曲线称为临界应力总图。

注意：图中以λc=123
而不是以λp=100作为二曲
线的分界点.
对Q235钢制成的压杆 ,
当λ≥λc，按欧拉公式计
算临界应力或临界力;当
λ<123时用经验公式计算

压杆稳定

第四节

压杆的稳定计算

一、压杆稳定条件

  

st

式中 [σ]st称为稳定许用应力，其值为

 st



 cr
n st

式中nst为压杆的稳定安全系数

压杆稳定

稳定许用应力值可写成下列形式

 st

  



式中[σ]——强度计算时的许用应力；

——折减系数。
压杆稳定条件可写为

 

FN
A

式中A为横截面的毛面积。

  



压杆稳定

折减系数
（1）折减系数是柔度λ的函数，随柔度λ的变化而
变化，柔度λ越大，折减系数越小；

（2）折减系数是各种影响因素的综合反映（如荷
载偏心、材料不均匀、初始曲率、安全储备等）；
（3）由于[σ] st总是小于[σ]，因此折减系数是一个小
于1的数。

压杆稳定

二、压杆稳定条件的应用
1.稳定校核。

2.设计截面。
3.确定稳定许用荷载。

压杆稳定

例11-3 图示两端铰支（球形铰）的矩形截面木杆，杆
端作用轴向压力Fp。已知l=3.6m，Fp=40kN，木材的强度
等级为TC13，许用应力[σ]=10MPa，试校核该压杆的稳定。
F
cr

解 矩形截面的惯性半径

A


120
12



12
bh

y



b

z

12

mm  34 . 64 mm

120

160

i

Iy

3

8m

hb

压杆稳定

两端铰支时长度系数μ=1
 

l

1  3 .6



34 . 64  10

i

3

 104

因为λ〉91
 
FN

A



F

A



2800



2



2800
104

40  10

2

3

0 . 259  120  160

所以该压杆满足稳定条件。

 0 . 259
MPa  8 . 00 MPa  



压杆稳定

第五节

提高压杆稳定性的措施

一、减小压杆的支承长度
从柔度计算式  

l
i

l\2

减小压杆的长度是降低压杆柔
l

度，提高压杆稳定性的有效方法
之一。
在条件允许的情况下，应
尽量使压杆的长度减小，或者
在压杆中间增加支撑。

l\2

压杆稳定
第

二、改善支承情况 ，减小长度系数μ
  0. 5

 1
Fcr

Fcr

 2

Fcr

杆端约束刚性越强,压杆的长度系数越小,相应的柔度
就越低,临界力就越大,因此尽可能加强杆端约束的刚性,
可使压 杆的稳定性得到提高.

压杆稳定

三、选择合理的截面形状
当截面面积相同的情况下，增大惯性矩I，从而达到增

大惯性半径i，减小柔度λ，提高压杆的临界应力。

压杆稳定

当压杆在各个弯曲平面内的支承条件相同时，压杆的

稳定性是由Imin方向的临界应力控制。因此，应尽量使截
面对任一形心主轴的惯性矩相同，这样可使压杆在各个
弯曲平面内具有相同的稳定性。
例如由两根槽钢组合而成的压杆
采用哪
种形式
好？

压杆稳定

当压杆在两个相互垂直平面内的支承条件不同时，
可采用Iz≠Iy的截面来与相应的支承条件配合，使压杆在

两相互垂直平面内的柔度值相等，即λz=λy，这样保证
压杆在这两个方向上具有相同的稳定性。

压杆稳定

四、合理选择材料
对于大柔度杆，临界应力与材料的弹性模量E有关，
由于各种钢材的弹性模量E值相差不大。所以，对大柔度

杆来说，选用优质钢材对提高临界应力意义不大。
对于中柔度杆，其临界应力与材料强度有关，强度越
高的材料，临界应力越高。所以，对中柔度杆而言，选择
优质钢材将有助于提高压杆的稳定性。


Slide 26

第十六章

压杆稳定

压杆稳定

第一节 压杆稳定的概念
一、稳定问题的提出

F

两根相同材料（松木）制成的杆，

σb=20MPa；A＝10mm×30mm
1m

短杆长：l＝30mm；
长杆长：l＝1000mm
F

若按强度条件计算，
两根杆压缩时的极限承载能力
均应为：
F= σb A=6kN

30mm

F

F

压杆稳定

压杆的破坏实验结果：

F

（1）短杆在压力增加到约

为6kN时，因木纹出现裂纹而
破坏。
（2）长杆在压力增加到约4kN
时突然弯向一侧，继续增大压力，
弯曲迅速增大，杆随即折断。

1m

F
30mm

F

F

压杆稳定
第六章

结论：
短压杆与长压杆在压缩时的破坏
性质完全不同
•

F

短压杆的破坏属于强

1m

度问题；
F

• 长压杆的破坏则属于能

30mm

否保持其原来的直线平衡
状态的问题

F

F

压杆稳定
第十章

压杆稳定性：压杆保持其原来直线平衡状态
的能力。
压杆不能保持其原来直线平衡状态而突然变弯
的现象，称为压杆的直线平衡状态丧失了稳定，
简称为压杆失稳。

压杆稳定

压杆失稳的严重后果：
19世纪，瑞士的孟汗太因桥突然倒塌，造
成200人遇难。
1907年加拿大的魁北克桥在建造时突然倒
塌，其原因都是因为桥梁桁架中的受压杆失稳
引起的。
1909年12月汉堡一个60万m3的大型贮气罐
因一个受压构件失稳而突然倒塌。

压杆稳定

研究压杆稳定性的意义：
压杆因强度或刚度不足而造成破坏之前一般
都有先兆；压杆由于失稳而造成破坏之前没有
任何先兆，当压力达到某个临界数值时就会突
然破坏，因此这种破坏形式在工程上具有很大
的破坏性。

在建筑工程中的受压上弦杆、厂房的柱子等
设计中都必须考虑其稳定性要求。

压杆稳定

二、平衡状态的类型
稳定平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体能自动恢复到原来的平
衡位置的平衡

不稳定平衡：

即使干扰平衡的外力消
失后，物体仍继续向远离原
来平衡位置的方向继续运动
的平衡。

随遇平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体可在任意位置继续保持
平衡。

显然，随遇平衡是界于稳定平衡与不稳定平衡之间的状
态，称为临界平衡状态。

压杆稳定

三、压杆临界力Fcr
FP

l
FP

FP ＜ FPcr

FP

F F

FP

F

FP

稳定直线平衡状态

FP = FPcr

F

FP

临界状态

FP > FPcr

F

FP

不稳定平衡状态

压杆处于临界状态时的轴向压力称为压杆的
临界力Fcr。

压杆稳定

第二节

细长压杆的临界力

临界力的影响因素
临界力Fcr的大小反映了压杆失稳的难易，而压杆失稳
就是直杆变弯，发生弯曲变形，因此临界力的大小与影响
直杆弯曲变形的因素有关：
杆的长度l
抗弯刚度EI

杆端支承

l越大
EI越大

越牢固

抵抗变形的能力越小

容易失稳

Fcr越小

抵抗变形的能力越强

不易失稳

Fcr越大

越不容易发生弯曲变形

不易失稳

Fcr越大

压杆稳定

临界力的欧拉公式
 EI
2

F cr 

(l)

2

式中 E——材料的弹性模量；
I——压杆横截面对形心轴的最小惯性矩；
l——压杆的长度；

μ——长度系数，反映了杆端支承对临界力的影响；
μl——压杆的计算长度。

压杆稳定

一端固定
一端铰支

两端铰支

两端固定

一端固定
一端自由

Fcr
Fcr

Fcr

μ=1

μ=0.7

0.25l

l

0.5l

l
0.3l

l

l

0.7l

0.25l

Fcr

μ=0.5

μ=2

压杆稳定

例1

一根两端铰支的№20a工字钢细长压杆，长

l=3m，钢的弹性模量E=200GPa，试计算其临界力。
解 查型钢表得
 EI

Iz=2370cm4，Iy=158cm4

2

Fcr 

l

2

  200  10  158  10
2



9

3

2

8

N

 346  10 N  346 kN
3

由此可知，若轴向压力达到346kN时，此杆会失稳。

压杆稳定

思考
材料及横截面均相同，哪一根最容易失稳，哪一根
最不容易失稳。

压杆稳定
Fcr

Fcr

y

200

120

y

120

200

z
z

8m

例2 一矩形截面的
中心受压的细长木柱，
长l=8m，柱的支承情况，
在最大刚度平面内弯曲
时为两端铰支（图a）；
在最小刚度平面内弯曲
时为两端固定（图b）。
木材的弹性模量
E=10GPa，试求木柱的
临界力。

压杆稳定

解 由于最大刚度平面与最小刚度平面内的支承
情况不同，所以需分别计算。
Fcr

（1）计算最大刚度平面内的临界力
截面的惯性矩为
Iy 

3

mm

4

y

 8  10 mm
7

4

 8  10

5

m

4

200

两端铰支，长度系数μ=1
 EI
2

F cr 

(l )

3 . 14  10  10  8  10
2

y
2



9

(1  8 )

 123  10 N  123 kN
3

z

8m

12

2

5

N

120

120  200

压杆稳定

（2）计算最小刚度平面内的临界力。
Fcr

由图16-4b,截面惯性矩为
3

mm

4

12

 2 . 88  10 mm
7

 2 . 88  10

5

m

4

z

4

y

两端固定，长度系数μ=0.5
 EI Z
2

Fcr 

(l )

2

3 . 14  10  10  2 . 88  10
2



9

( 0 .5  8 )

 177  10 N  177 kN
3

2

120

5

N

200

IZ 

200  120

压杆稳定

Fcr

Fcr

y

200

y

120

8m

z

120

200

z

比较计算结果可知
，第一种情况的临界力
小，所以压杆失稳时将
在最大刚度平面内产生
弯曲。此例说明，当在
最小刚度平面与最大刚
度平面内支承情况不同
时，压杆不一定在最小
刚度平面内失稳，必须
经过具体计算后才能确
定。

压杆稳定

第三节 临界应力与欧拉公式的适用范围
一、临界应力
 cr 
I i A
2

F cr

2



cr



(l )

2

2

 E

A
 Ei
2



 E I

(l)

2

A
2



(

l

)

2

i
令   l i

 E
2

 cr 



2

   l i —— 压杆的柔度（长细比），是无量纲的量。

压杆稳定

压杆的柔度λ
（1）综合反映了压杆的长度（l）、杆端支承情况（μ
）、截面形状和尺寸（I、A、i）对临界应力的影响。
（2）压杆的临界应力与压杆柔度的平方成反比，即
，柔度越大压杆临界应力越小，压杆越容易失稳。

压杆稳定

二、欧拉公式的适用范围
只有当压杆的临界应力不超过材料的比例极限时，欧
拉公式才适用，即：
 E
2

 cr 



2



p

  p  

E

p

 p ——对应于材料比例极限时的柔度，只与材料的性质

有关，与压杆的截面形状和尺寸无关。

   p 的压杆——大柔度杆（细长杆）
欧拉公式只适用于大柔度杆（细长杆）

压杆稳定

三、超出比例极限时压杆的临界应力、
临界应力总图
压杆的应力超出比例极限时（λ<λp），这类杆件工程
上称为中柔度杆，此类压杆的稳定称弹塑性稳定。
抛物线公式（经验公式）

σcr= a - bλ2
式中，λ为压杆的柔度，a、b与材料有关的常数

例如：对于Q235钢及16Mn钢分别有
σcr=（235-0.00668λ2）MPa
σcr=（345-0.0142λ2）MPa

压杆稳定

由式可知，压杆不论处于弹性阶段还是弹塑性阶段，
其临界应力均为压杆柔度的函数，临界应力σcr与柔度λ的
函数曲线称为临界应力总图。

注意：图中以λc=123
而不是以λp=100作为二曲
线的分界点.
对Q235钢制成的压杆 ,
当λ≥λc，按欧拉公式计
算临界应力或临界力;当
λ<123时用经验公式计算

压杆稳定

第四节

压杆的稳定计算

一、压杆稳定条件

  

st

式中 [σ]st称为稳定许用应力，其值为

 st



 cr
n st

式中nst为压杆的稳定安全系数

压杆稳定

稳定许用应力值可写成下列形式

 st

  



式中[σ]——强度计算时的许用应力；

——折减系数。
压杆稳定条件可写为

 

FN
A

式中A为横截面的毛面积。

  



压杆稳定

折减系数
（1）折减系数是柔度λ的函数，随柔度λ的变化而
变化，柔度λ越大，折减系数越小；

（2）折减系数是各种影响因素的综合反映（如荷
载偏心、材料不均匀、初始曲率、安全储备等）；
（3）由于[σ] st总是小于[σ]，因此折减系数是一个小
于1的数。

压杆稳定

二、压杆稳定条件的应用
1.稳定校核。

2.设计截面。
3.确定稳定许用荷载。

压杆稳定

例11-3 图示两端铰支（球形铰）的矩形截面木杆，杆
端作用轴向压力Fp。已知l=3.6m，Fp=40kN，木材的强度
等级为TC13，许用应力[σ]=10MPa，试校核该压杆的稳定。
F
cr

解 矩形截面的惯性半径

A


120
12



12
bh

y



b

z

12

mm  34 . 64 mm

120

160

i

Iy

3

8m

hb

压杆稳定

两端铰支时长度系数μ=1
 

l

1  3 .6



34 . 64  10

i

3

 104

因为λ〉91
 
FN

A



F

A



2800



2



2800
104

40  10

2

3

0 . 259  120  160

所以该压杆满足稳定条件。

 0 . 259
MPa  8 . 00 MPa  



压杆稳定

第五节

提高压杆稳定性的措施

一、减小压杆的支承长度
从柔度计算式  

l
i

l\2

减小压杆的长度是降低压杆柔
l

度，提高压杆稳定性的有效方法
之一。
在条件允许的情况下，应
尽量使压杆的长度减小，或者
在压杆中间增加支撑。

l\2

压杆稳定
第

二、改善支承情况 ，减小长度系数μ
  0. 5

 1
Fcr

Fcr

 2

Fcr

杆端约束刚性越强,压杆的长度系数越小,相应的柔度
就越低,临界力就越大,因此尽可能加强杆端约束的刚性,
可使压 杆的稳定性得到提高.

压杆稳定

三、选择合理的截面形状
当截面面积相同的情况下，增大惯性矩I，从而达到增

大惯性半径i，减小柔度λ，提高压杆的临界应力。

压杆稳定

当压杆在各个弯曲平面内的支承条件相同时，压杆的

稳定性是由Imin方向的临界应力控制。因此，应尽量使截
面对任一形心主轴的惯性矩相同，这样可使压杆在各个
弯曲平面内具有相同的稳定性。
例如由两根槽钢组合而成的压杆
采用哪
种形式
好？

压杆稳定

当压杆在两个相互垂直平面内的支承条件不同时，
可采用Iz≠Iy的截面来与相应的支承条件配合，使压杆在

两相互垂直平面内的柔度值相等，即λz=λy，这样保证
压杆在这两个方向上具有相同的稳定性。

压杆稳定

四、合理选择材料
对于大柔度杆，临界应力与材料的弹性模量E有关，
由于各种钢材的弹性模量E值相差不大。所以，对大柔度

杆来说，选用优质钢材对提高临界应力意义不大。
对于中柔度杆，其临界应力与材料强度有关，强度越
高的材料，临界应力越高。所以，对中柔度杆而言，选择
优质钢材将有助于提高压杆的稳定性。


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第十六章

压杆稳定

压杆稳定

第一节 压杆稳定的概念
一、稳定问题的提出

F

两根相同材料（松木）制成的杆，

σb=20MPa；A＝10mm×30mm
1m

短杆长：l＝30mm；
长杆长：l＝1000mm
F

若按强度条件计算，
两根杆压缩时的极限承载能力
均应为：
F= σb A=6kN

30mm

F

F

压杆稳定

压杆的破坏实验结果：

F

（1）短杆在压力增加到约

为6kN时，因木纹出现裂纹而
破坏。
（2）长杆在压力增加到约4kN
时突然弯向一侧，继续增大压力，
弯曲迅速增大，杆随即折断。

1m

F
30mm

F

F

压杆稳定
第六章

结论：
短压杆与长压杆在压缩时的破坏
性质完全不同
•

F

短压杆的破坏属于强

1m

度问题；
F

• 长压杆的破坏则属于能

30mm

否保持其原来的直线平衡
状态的问题

F

F

压杆稳定
第十章

压杆稳定性：压杆保持其原来直线平衡状态
的能力。
压杆不能保持其原来直线平衡状态而突然变弯
的现象，称为压杆的直线平衡状态丧失了稳定，
简称为压杆失稳。

压杆稳定

压杆失稳的严重后果：
19世纪，瑞士的孟汗太因桥突然倒塌，造
成200人遇难。
1907年加拿大的魁北克桥在建造时突然倒
塌，其原因都是因为桥梁桁架中的受压杆失稳
引起的。
1909年12月汉堡一个60万m3的大型贮气罐
因一个受压构件失稳而突然倒塌。

压杆稳定

研究压杆稳定性的意义：
压杆因强度或刚度不足而造成破坏之前一般
都有先兆；压杆由于失稳而造成破坏之前没有
任何先兆，当压力达到某个临界数值时就会突
然破坏，因此这种破坏形式在工程上具有很大
的破坏性。

在建筑工程中的受压上弦杆、厂房的柱子等
设计中都必须考虑其稳定性要求。

压杆稳定

二、平衡状态的类型
稳定平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体能自动恢复到原来的平
衡位置的平衡

不稳定平衡：

即使干扰平衡的外力消
失后，物体仍继续向远离原
来平衡位置的方向继续运动
的平衡。

随遇平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体可在任意位置继续保持
平衡。

显然，随遇平衡是界于稳定平衡与不稳定平衡之间的状
态，称为临界平衡状态。

压杆稳定

三、压杆临界力Fcr
FP

l
FP

FP ＜ FPcr

FP

F F

FP

F

FP

稳定直线平衡状态

FP = FPcr

F

FP

临界状态

FP > FPcr

F

FP

不稳定平衡状态

压杆处于临界状态时的轴向压力称为压杆的
临界力Fcr。

压杆稳定

第二节

细长压杆的临界力

临界力的影响因素
临界力Fcr的大小反映了压杆失稳的难易，而压杆失稳
就是直杆变弯，发生弯曲变形，因此临界力的大小与影响
直杆弯曲变形的因素有关：
杆的长度l
抗弯刚度EI

杆端支承

l越大
EI越大

越牢固

抵抗变形的能力越小

容易失稳

Fcr越小

抵抗变形的能力越强

不易失稳

Fcr越大

越不容易发生弯曲变形

不易失稳

Fcr越大

压杆稳定

临界力的欧拉公式
 EI
2

F cr 

(l)

2

式中 E——材料的弹性模量；
I——压杆横截面对形心轴的最小惯性矩；
l——压杆的长度；

μ——长度系数，反映了杆端支承对临界力的影响；
μl——压杆的计算长度。

压杆稳定

一端固定
一端铰支

两端铰支

两端固定

一端固定
一端自由

Fcr
Fcr

Fcr

μ=1

μ=0.7

0.25l

l

0.5l

l
0.3l

l

l

0.7l

0.25l

Fcr

μ=0.5

μ=2

压杆稳定

例1

一根两端铰支的№20a工字钢细长压杆，长

l=3m，钢的弹性模量E=200GPa，试计算其临界力。
解 查型钢表得
 EI

Iz=2370cm4，Iy=158cm4

2

Fcr 

l

2

  200  10  158  10
2



9

3

2

8

N

 346  10 N  346 kN
3

由此可知，若轴向压力达到346kN时，此杆会失稳。

压杆稳定

思考
材料及横截面均相同，哪一根最容易失稳，哪一根
最不容易失稳。

压杆稳定
Fcr

Fcr

y

200

120

y

120

200

z
z

8m

例2 一矩形截面的
中心受压的细长木柱，
长l=8m，柱的支承情况，
在最大刚度平面内弯曲
时为两端铰支（图a）；
在最小刚度平面内弯曲
时为两端固定（图b）。
木材的弹性模量
E=10GPa，试求木柱的
临界力。

压杆稳定

解 由于最大刚度平面与最小刚度平面内的支承
情况不同，所以需分别计算。
Fcr

（1）计算最大刚度平面内的临界力
截面的惯性矩为
Iy 

3

mm

4

y

 8  10 mm
7

4

 8  10

5

m

4

200

两端铰支，长度系数μ=1
 EI
2

F cr 

(l )

3 . 14  10  10  8  10
2

y
2



9

(1  8 )

 123  10 N  123 kN
3

z

8m

12

2

5

N

120

120  200

压杆稳定

（2）计算最小刚度平面内的临界力。
Fcr

由图16-4b,截面惯性矩为
3

mm

4

12

 2 . 88  10 mm
7

 2 . 88  10

5

m

4

z

4

y

两端固定，长度系数μ=0.5
 EI Z
2

Fcr 

(l )

2

3 . 14  10  10  2 . 88  10
2



9

( 0 .5  8 )

 177  10 N  177 kN
3

2

120

5

N

200

IZ 

200  120

压杆稳定

Fcr

Fcr

y

200

y

120

8m

z

120

200

z

比较计算结果可知
，第一种情况的临界力
小，所以压杆失稳时将
在最大刚度平面内产生
弯曲。此例说明，当在
最小刚度平面与最大刚
度平面内支承情况不同
时，压杆不一定在最小
刚度平面内失稳，必须
经过具体计算后才能确
定。

压杆稳定

第三节 临界应力与欧拉公式的适用范围
一、临界应力
 cr 
I i A
2

F cr

2



cr



(l )

2

2

 E

A
 Ei
2



 E I

(l)

2

A
2



(

l

)

2

i
令   l i

 E
2

 cr 



2

   l i —— 压杆的柔度（长细比），是无量纲的量。

压杆稳定

压杆的柔度λ
（1）综合反映了压杆的长度（l）、杆端支承情况（μ
）、截面形状和尺寸（I、A、i）对临界应力的影响。
（2）压杆的临界应力与压杆柔度的平方成反比，即
，柔度越大压杆临界应力越小，压杆越容易失稳。

压杆稳定

二、欧拉公式的适用范围
只有当压杆的临界应力不超过材料的比例极限时，欧
拉公式才适用，即：
 E
2

 cr 



2



p

  p  

E

p

 p ——对应于材料比例极限时的柔度，只与材料的性质

有关，与压杆的截面形状和尺寸无关。

   p 的压杆——大柔度杆（细长杆）
欧拉公式只适用于大柔度杆（细长杆）

压杆稳定

三、超出比例极限时压杆的临界应力、
临界应力总图
压杆的应力超出比例极限时（λ<λp），这类杆件工程
上称为中柔度杆，此类压杆的稳定称弹塑性稳定。
抛物线公式（经验公式）

σcr= a - bλ2
式中，λ为压杆的柔度，a、b与材料有关的常数

例如：对于Q235钢及16Mn钢分别有
σcr=（235-0.00668λ2）MPa
σcr=（345-0.0142λ2）MPa

压杆稳定

由式可知，压杆不论处于弹性阶段还是弹塑性阶段，
其临界应力均为压杆柔度的函数，临界应力σcr与柔度λ的
函数曲线称为临界应力总图。

注意：图中以λc=123
而不是以λp=100作为二曲
线的分界点.
对Q235钢制成的压杆 ,
当λ≥λc，按欧拉公式计
算临界应力或临界力;当
λ<123时用经验公式计算

压杆稳定

第四节

压杆的稳定计算

一、压杆稳定条件

  

st

式中 [σ]st称为稳定许用应力，其值为

 st



 cr
n st

式中nst为压杆的稳定安全系数

压杆稳定

稳定许用应力值可写成下列形式

 st

  



式中[σ]——强度计算时的许用应力；

——折减系数。
压杆稳定条件可写为

 

FN
A

式中A为横截面的毛面积。

  



压杆稳定

折减系数
（1）折减系数是柔度λ的函数，随柔度λ的变化而
变化，柔度λ越大，折减系数越小；

（2）折减系数是各种影响因素的综合反映（如荷
载偏心、材料不均匀、初始曲率、安全储备等）；
（3）由于[σ] st总是小于[σ]，因此折减系数是一个小
于1的数。

压杆稳定

二、压杆稳定条件的应用
1.稳定校核。

2.设计截面。
3.确定稳定许用荷载。

压杆稳定

例11-3 图示两端铰支（球形铰）的矩形截面木杆，杆
端作用轴向压力Fp。已知l=3.6m，Fp=40kN，木材的强度
等级为TC13，许用应力[σ]=10MPa，试校核该压杆的稳定。
F
cr

解 矩形截面的惯性半径

A


120
12



12
bh

y



b

z

12

mm  34 . 64 mm

120

160

i

Iy

3

8m

hb

压杆稳定

两端铰支时长度系数μ=1
 

l

1  3 .6



34 . 64  10

i

3

 104

因为λ〉91
 
FN

A



F

A



2800



2



2800
104

40  10

2

3

0 . 259  120  160

所以该压杆满足稳定条件。

 0 . 259
MPa  8 . 00 MPa  



压杆稳定

第五节

提高压杆稳定性的措施

一、减小压杆的支承长度
从柔度计算式  

l
i

l\2

减小压杆的长度是降低压杆柔
l

度，提高压杆稳定性的有效方法
之一。
在条件允许的情况下，应
尽量使压杆的长度减小，或者
在压杆中间增加支撑。

l\2

压杆稳定
第

二、改善支承情况 ，减小长度系数μ
  0. 5

 1
Fcr

Fcr

 2

Fcr

杆端约束刚性越强,压杆的长度系数越小,相应的柔度
就越低,临界力就越大,因此尽可能加强杆端约束的刚性,
可使压 杆的稳定性得到提高.

压杆稳定

三、选择合理的截面形状
当截面面积相同的情况下，增大惯性矩I，从而达到增

大惯性半径i，减小柔度λ，提高压杆的临界应力。

压杆稳定

当压杆在各个弯曲平面内的支承条件相同时，压杆的

稳定性是由Imin方向的临界应力控制。因此，应尽量使截
面对任一形心主轴的惯性矩相同，这样可使压杆在各个
弯曲平面内具有相同的稳定性。
例如由两根槽钢组合而成的压杆
采用哪
种形式
好？

压杆稳定

当压杆在两个相互垂直平面内的支承条件不同时，
可采用Iz≠Iy的截面来与相应的支承条件配合，使压杆在

两相互垂直平面内的柔度值相等，即λz=λy，这样保证
压杆在这两个方向上具有相同的稳定性。

压杆稳定

四、合理选择材料
对于大柔度杆，临界应力与材料的弹性模量E有关，
由于各种钢材的弹性模量E值相差不大。所以，对大柔度

杆来说，选用优质钢材对提高临界应力意义不大。
对于中柔度杆，其临界应力与材料强度有关，强度越
高的材料，临界应力越高。所以，对中柔度杆而言，选择
优质钢材将有助于提高压杆的稳定性。


Slide 28

第十六章

压杆稳定

压杆稳定

第一节 压杆稳定的概念
一、稳定问题的提出

F

两根相同材料（松木）制成的杆，

σb=20MPa；A＝10mm×30mm
1m

短杆长：l＝30mm；
长杆长：l＝1000mm
F

若按强度条件计算，
两根杆压缩时的极限承载能力
均应为：
F= σb A=6kN

30mm

F

F

压杆稳定

压杆的破坏实验结果：

F

（1）短杆在压力增加到约

为6kN时，因木纹出现裂纹而
破坏。
（2）长杆在压力增加到约4kN
时突然弯向一侧，继续增大压力，
弯曲迅速增大，杆随即折断。

1m

F
30mm

F

F

压杆稳定
第六章

结论：
短压杆与长压杆在压缩时的破坏
性质完全不同
•

F

短压杆的破坏属于强

1m

度问题；
F

• 长压杆的破坏则属于能

30mm

否保持其原来的直线平衡
状态的问题

F

F

压杆稳定
第十章

压杆稳定性：压杆保持其原来直线平衡状态
的能力。
压杆不能保持其原来直线平衡状态而突然变弯
的现象，称为压杆的直线平衡状态丧失了稳定，
简称为压杆失稳。

压杆稳定

压杆失稳的严重后果：
19世纪，瑞士的孟汗太因桥突然倒塌，造
成200人遇难。
1907年加拿大的魁北克桥在建造时突然倒
塌，其原因都是因为桥梁桁架中的受压杆失稳
引起的。
1909年12月汉堡一个60万m3的大型贮气罐
因一个受压构件失稳而突然倒塌。

压杆稳定

研究压杆稳定性的意义：
压杆因强度或刚度不足而造成破坏之前一般
都有先兆；压杆由于失稳而造成破坏之前没有
任何先兆，当压力达到某个临界数值时就会突
然破坏，因此这种破坏形式在工程上具有很大
的破坏性。

在建筑工程中的受压上弦杆、厂房的柱子等
设计中都必须考虑其稳定性要求。

压杆稳定

二、平衡状态的类型
稳定平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体能自动恢复到原来的平
衡位置的平衡

不稳定平衡：

即使干扰平衡的外力消
失后，物体仍继续向远离原
来平衡位置的方向继续运动
的平衡。

随遇平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体可在任意位置继续保持
平衡。

显然，随遇平衡是界于稳定平衡与不稳定平衡之间的状
态，称为临界平衡状态。

压杆稳定

三、压杆临界力Fcr
FP

l
FP

FP ＜ FPcr

FP

F F

FP

F

FP

稳定直线平衡状态

FP = FPcr

F

FP

临界状态

FP > FPcr

F

FP

不稳定平衡状态

压杆处于临界状态时的轴向压力称为压杆的
临界力Fcr。

压杆稳定

第二节

细长压杆的临界力

临界力的影响因素
临界力Fcr的大小反映了压杆失稳的难易，而压杆失稳
就是直杆变弯，发生弯曲变形，因此临界力的大小与影响
直杆弯曲变形的因素有关：
杆的长度l
抗弯刚度EI

杆端支承

l越大
EI越大

越牢固

抵抗变形的能力越小

容易失稳

Fcr越小

抵抗变形的能力越强

不易失稳

Fcr越大

越不容易发生弯曲变形

不易失稳

Fcr越大

压杆稳定

临界力的欧拉公式
 EI
2

F cr 

(l)

2

式中 E——材料的弹性模量；
I——压杆横截面对形心轴的最小惯性矩；
l——压杆的长度；

μ——长度系数，反映了杆端支承对临界力的影响；
μl——压杆的计算长度。

压杆稳定

一端固定
一端铰支

两端铰支

两端固定

一端固定
一端自由

Fcr
Fcr

Fcr

μ=1

μ=0.7

0.25l

l

0.5l

l
0.3l

l

l

0.7l

0.25l

Fcr

μ=0.5

μ=2

压杆稳定

例1

一根两端铰支的№20a工字钢细长压杆，长

l=3m，钢的弹性模量E=200GPa，试计算其临界力。
解 查型钢表得
 EI

Iz=2370cm4，Iy=158cm4

2

Fcr 

l

2

  200  10  158  10
2



9

3

2

8

N

 346  10 N  346 kN
3

由此可知，若轴向压力达到346kN时，此杆会失稳。

压杆稳定

思考
材料及横截面均相同，哪一根最容易失稳，哪一根
最不容易失稳。

压杆稳定
Fcr

Fcr

y

200

120

y

120

200

z
z

8m

例2 一矩形截面的
中心受压的细长木柱，
长l=8m，柱的支承情况，
在最大刚度平面内弯曲
时为两端铰支（图a）；
在最小刚度平面内弯曲
时为两端固定（图b）。
木材的弹性模量
E=10GPa，试求木柱的
临界力。

压杆稳定

解 由于最大刚度平面与最小刚度平面内的支承
情况不同，所以需分别计算。
Fcr

（1）计算最大刚度平面内的临界力
截面的惯性矩为
Iy 

3

mm

4

y

 8  10 mm
7

4

 8  10

5

m

4

200

两端铰支，长度系数μ=1
 EI
2

F cr 

(l )

3 . 14  10  10  8  10
2

y
2



9

(1  8 )

 123  10 N  123 kN
3

z

8m

12

2

5

N

120

120  200

压杆稳定

（2）计算最小刚度平面内的临界力。
Fcr

由图16-4b,截面惯性矩为
3

mm

4

12

 2 . 88  10 mm
7

 2 . 88  10

5

m

4

z

4

y

两端固定，长度系数μ=0.5
 EI Z
2

Fcr 

(l )

2

3 . 14  10  10  2 . 88  10
2



9

( 0 .5  8 )

 177  10 N  177 kN
3

2

120

5

N

200

IZ 

200  120

压杆稳定

Fcr

Fcr

y

200

y

120

8m

z

120

200

z

比较计算结果可知
，第一种情况的临界力
小，所以压杆失稳时将
在最大刚度平面内产生
弯曲。此例说明，当在
最小刚度平面与最大刚
度平面内支承情况不同
时，压杆不一定在最小
刚度平面内失稳，必须
经过具体计算后才能确
定。

压杆稳定

第三节 临界应力与欧拉公式的适用范围
一、临界应力
 cr 
I i A
2

F cr

2



cr



(l )

2

2

 E

A
 Ei
2



 E I

(l)

2

A
2



(

l

)

2

i
令   l i

 E
2

 cr 



2

   l i —— 压杆的柔度（长细比），是无量纲的量。

压杆稳定

压杆的柔度λ
（1）综合反映了压杆的长度（l）、杆端支承情况（μ
）、截面形状和尺寸（I、A、i）对临界应力的影响。
（2）压杆的临界应力与压杆柔度的平方成反比，即
，柔度越大压杆临界应力越小，压杆越容易失稳。

压杆稳定

二、欧拉公式的适用范围
只有当压杆的临界应力不超过材料的比例极限时，欧
拉公式才适用，即：
 E
2

 cr 



2



p

  p  

E

p

 p ——对应于材料比例极限时的柔度，只与材料的性质

有关，与压杆的截面形状和尺寸无关。

   p 的压杆——大柔度杆（细长杆）
欧拉公式只适用于大柔度杆（细长杆）

压杆稳定

三、超出比例极限时压杆的临界应力、
临界应力总图
压杆的应力超出比例极限时（λ<λp），这类杆件工程
上称为中柔度杆，此类压杆的稳定称弹塑性稳定。
抛物线公式（经验公式）

σcr= a - bλ2
式中，λ为压杆的柔度，a、b与材料有关的常数

例如：对于Q235钢及16Mn钢分别有
σcr=（235-0.00668λ2）MPa
σcr=（345-0.0142λ2）MPa

压杆稳定

由式可知，压杆不论处于弹性阶段还是弹塑性阶段，
其临界应力均为压杆柔度的函数，临界应力σcr与柔度λ的
函数曲线称为临界应力总图。

注意：图中以λc=123
而不是以λp=100作为二曲
线的分界点.
对Q235钢制成的压杆 ,
当λ≥λc，按欧拉公式计
算临界应力或临界力;当
λ<123时用经验公式计算

压杆稳定

第四节

压杆的稳定计算

一、压杆稳定条件

  

st

式中 [σ]st称为稳定许用应力，其值为

 st



 cr
n st

式中nst为压杆的稳定安全系数

压杆稳定

稳定许用应力值可写成下列形式

 st

  



式中[σ]——强度计算时的许用应力；

——折减系数。
压杆稳定条件可写为

 

FN
A

式中A为横截面的毛面积。

  



压杆稳定

折减系数
（1）折减系数是柔度λ的函数，随柔度λ的变化而
变化，柔度λ越大，折减系数越小；

（2）折减系数是各种影响因素的综合反映（如荷
载偏心、材料不均匀、初始曲率、安全储备等）；
（3）由于[σ] st总是小于[σ]，因此折减系数是一个小
于1的数。

压杆稳定

二、压杆稳定条件的应用
1.稳定校核。

2.设计截面。
3.确定稳定许用荷载。

压杆稳定

例11-3 图示两端铰支（球形铰）的矩形截面木杆，杆
端作用轴向压力Fp。已知l=3.6m，Fp=40kN，木材的强度
等级为TC13，许用应力[σ]=10MPa，试校核该压杆的稳定。
F
cr

解 矩形截面的惯性半径

A


120
12



12
bh

y



b

z

12

mm  34 . 64 mm

120

160

i

Iy

3

8m

hb

压杆稳定

两端铰支时长度系数μ=1
 

l

1  3 .6



34 . 64  10

i

3

 104

因为λ〉91
 
FN

A



F

A



2800



2



2800
104

40  10

2

3

0 . 259  120  160

所以该压杆满足稳定条件。

 0 . 259
MPa  8 . 00 MPa  



压杆稳定

第五节

提高压杆稳定性的措施

一、减小压杆的支承长度
从柔度计算式  

l
i

l\2

减小压杆的长度是降低压杆柔
l

度，提高压杆稳定性的有效方法
之一。
在条件允许的情况下，应
尽量使压杆的长度减小，或者
在压杆中间增加支撑。

l\2

压杆稳定
第

二、改善支承情况 ，减小长度系数μ
  0. 5

 1
Fcr

Fcr

 2

Fcr

杆端约束刚性越强,压杆的长度系数越小,相应的柔度
就越低,临界力就越大,因此尽可能加强杆端约束的刚性,
可使压 杆的稳定性得到提高.

压杆稳定

三、选择合理的截面形状
当截面面积相同的情况下，增大惯性矩I，从而达到增

大惯性半径i，减小柔度λ，提高压杆的临界应力。

压杆稳定

当压杆在各个弯曲平面内的支承条件相同时，压杆的

稳定性是由Imin方向的临界应力控制。因此，应尽量使截
面对任一形心主轴的惯性矩相同，这样可使压杆在各个
弯曲平面内具有相同的稳定性。
例如由两根槽钢组合而成的压杆
采用哪
种形式
好？

压杆稳定

当压杆在两个相互垂直平面内的支承条件不同时，
可采用Iz≠Iy的截面来与相应的支承条件配合，使压杆在

两相互垂直平面内的柔度值相等，即λz=λy，这样保证
压杆在这两个方向上具有相同的稳定性。

压杆稳定

四、合理选择材料
对于大柔度杆，临界应力与材料的弹性模量E有关，
由于各种钢材的弹性模量E值相差不大。所以，对大柔度

杆来说，选用优质钢材对提高临界应力意义不大。
对于中柔度杆，其临界应力与材料强度有关，强度越
高的材料，临界应力越高。所以，对中柔度杆而言，选择
优质钢材将有助于提高压杆的稳定性。


Slide 29

第十六章

压杆稳定

压杆稳定

第一节 压杆稳定的概念
一、稳定问题的提出

F

两根相同材料（松木）制成的杆，

σb=20MPa；A＝10mm×30mm
1m

短杆长：l＝30mm；
长杆长：l＝1000mm
F

若按强度条件计算，
两根杆压缩时的极限承载能力
均应为：
F= σb A=6kN

30mm

F

F

压杆稳定

压杆的破坏实验结果：

F

（1）短杆在压力增加到约

为6kN时，因木纹出现裂纹而
破坏。
（2）长杆在压力增加到约4kN
时突然弯向一侧，继续增大压力，
弯曲迅速增大，杆随即折断。

1m

F
30mm

F

F

压杆稳定
第六章

结论：
短压杆与长压杆在压缩时的破坏
性质完全不同
•

F

短压杆的破坏属于强

1m

度问题；
F

• 长压杆的破坏则属于能

30mm

否保持其原来的直线平衡
状态的问题

F

F

压杆稳定
第十章

压杆稳定性：压杆保持其原来直线平衡状态
的能力。
压杆不能保持其原来直线平衡状态而突然变弯
的现象，称为压杆的直线平衡状态丧失了稳定，
简称为压杆失稳。

压杆稳定

压杆失稳的严重后果：
19世纪，瑞士的孟汗太因桥突然倒塌，造
成200人遇难。
1907年加拿大的魁北克桥在建造时突然倒
塌，其原因都是因为桥梁桁架中的受压杆失稳
引起的。
1909年12月汉堡一个60万m3的大型贮气罐
因一个受压构件失稳而突然倒塌。

压杆稳定

研究压杆稳定性的意义：
压杆因强度或刚度不足而造成破坏之前一般
都有先兆；压杆由于失稳而造成破坏之前没有
任何先兆，当压力达到某个临界数值时就会突
然破坏，因此这种破坏形式在工程上具有很大
的破坏性。

在建筑工程中的受压上弦杆、厂房的柱子等
设计中都必须考虑其稳定性要求。

压杆稳定

二、平衡状态的类型
稳定平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体能自动恢复到原来的平
衡位置的平衡

不稳定平衡：

即使干扰平衡的外力消
失后，物体仍继续向远离原
来平衡位置的方向继续运动
的平衡。

随遇平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体可在任意位置继续保持
平衡。

显然，随遇平衡是界于稳定平衡与不稳定平衡之间的状
态，称为临界平衡状态。

压杆稳定

三、压杆临界力Fcr
FP

l
FP

FP ＜ FPcr

FP

F F

FP

F

FP

稳定直线平衡状态

FP = FPcr

F

FP

临界状态

FP > FPcr

F

FP

不稳定平衡状态

压杆处于临界状态时的轴向压力称为压杆的
临界力Fcr。

压杆稳定

第二节

细长压杆的临界力

临界力的影响因素
临界力Fcr的大小反映了压杆失稳的难易，而压杆失稳
就是直杆变弯，发生弯曲变形，因此临界力的大小与影响
直杆弯曲变形的因素有关：
杆的长度l
抗弯刚度EI

杆端支承

l越大
EI越大

越牢固

抵抗变形的能力越小

容易失稳

Fcr越小

抵抗变形的能力越强

不易失稳

Fcr越大

越不容易发生弯曲变形

不易失稳

Fcr越大

压杆稳定

临界力的欧拉公式
 EI
2

F cr 

(l)

2

式中 E——材料的弹性模量；
I——压杆横截面对形心轴的最小惯性矩；
l——压杆的长度；

μ——长度系数，反映了杆端支承对临界力的影响；
μl——压杆的计算长度。

压杆稳定

一端固定
一端铰支

两端铰支

两端固定

一端固定
一端自由

Fcr
Fcr

Fcr

μ=1

μ=0.7

0.25l

l

0.5l

l
0.3l

l

l

0.7l

0.25l

Fcr

μ=0.5

μ=2

压杆稳定

例1

一根两端铰支的№20a工字钢细长压杆，长

l=3m，钢的弹性模量E=200GPa，试计算其临界力。
解 查型钢表得
 EI

Iz=2370cm4，Iy=158cm4

2

Fcr 

l

2

  200  10  158  10
2



9

3

2

8

N

 346  10 N  346 kN
3

由此可知，若轴向压力达到346kN时，此杆会失稳。

压杆稳定

思考
材料及横截面均相同，哪一根最容易失稳，哪一根
最不容易失稳。

压杆稳定
Fcr

Fcr

y

200

120

y

120

200

z
z

8m

例2 一矩形截面的
中心受压的细长木柱，
长l=8m，柱的支承情况，
在最大刚度平面内弯曲
时为两端铰支（图a）；
在最小刚度平面内弯曲
时为两端固定（图b）。
木材的弹性模量
E=10GPa，试求木柱的
临界力。

压杆稳定

解 由于最大刚度平面与最小刚度平面内的支承
情况不同，所以需分别计算。
Fcr

（1）计算最大刚度平面内的临界力
截面的惯性矩为
Iy 

3

mm

4

y

 8  10 mm
7

4

 8  10

5

m

4

200

两端铰支，长度系数μ=1
 EI
2

F cr 

(l )

3 . 14  10  10  8  10
2

y
2



9

(1  8 )

 123  10 N  123 kN
3

z

8m

12

2

5

N

120

120  200

压杆稳定

（2）计算最小刚度平面内的临界力。
Fcr

由图16-4b,截面惯性矩为
3

mm

4

12

 2 . 88  10 mm
7

 2 . 88  10

5

m

4

z

4

y

两端固定，长度系数μ=0.5
 EI Z
2

Fcr 

(l )

2

3 . 14  10  10  2 . 88  10
2



9

( 0 .5  8 )

 177  10 N  177 kN
3

2

120

5

N

200

IZ 

200  120

压杆稳定

Fcr

Fcr

y

200

y

120

8m

z

120

200

z

比较计算结果可知
，第一种情况的临界力
小，所以压杆失稳时将
在最大刚度平面内产生
弯曲。此例说明，当在
最小刚度平面与最大刚
度平面内支承情况不同
时，压杆不一定在最小
刚度平面内失稳，必须
经过具体计算后才能确
定。

压杆稳定

第三节 临界应力与欧拉公式的适用范围
一、临界应力
 cr 
I i A
2

F cr

2



cr



(l )

2

2

 E

A
 Ei
2



 E I

(l)

2

A
2



(

l

)

2

i
令   l i

 E
2

 cr 



2

   l i —— 压杆的柔度（长细比），是无量纲的量。

压杆稳定

压杆的柔度λ
（1）综合反映了压杆的长度（l）、杆端支承情况（μ
）、截面形状和尺寸（I、A、i）对临界应力的影响。
（2）压杆的临界应力与压杆柔度的平方成反比，即
，柔度越大压杆临界应力越小，压杆越容易失稳。

压杆稳定

二、欧拉公式的适用范围
只有当压杆的临界应力不超过材料的比例极限时，欧
拉公式才适用，即：
 E
2

 cr 



2



p

  p  

E

p

 p ——对应于材料比例极限时的柔度，只与材料的性质

有关，与压杆的截面形状和尺寸无关。

   p 的压杆——大柔度杆（细长杆）
欧拉公式只适用于大柔度杆（细长杆）

压杆稳定

三、超出比例极限时压杆的临界应力、
临界应力总图
压杆的应力超出比例极限时（λ<λp），这类杆件工程
上称为中柔度杆，此类压杆的稳定称弹塑性稳定。
抛物线公式（经验公式）

σcr= a - bλ2
式中，λ为压杆的柔度，a、b与材料有关的常数

例如：对于Q235钢及16Mn钢分别有
σcr=（235-0.00668λ2）MPa
σcr=（345-0.0142λ2）MPa

压杆稳定

由式可知，压杆不论处于弹性阶段还是弹塑性阶段，
其临界应力均为压杆柔度的函数，临界应力σcr与柔度λ的
函数曲线称为临界应力总图。

注意：图中以λc=123
而不是以λp=100作为二曲
线的分界点.
对Q235钢制成的压杆 ,
当λ≥λc，按欧拉公式计
算临界应力或临界力;当
λ<123时用经验公式计算

压杆稳定

第四节

压杆的稳定计算

一、压杆稳定条件

  

st

式中 [σ]st称为稳定许用应力，其值为

 st



 cr
n st

式中nst为压杆的稳定安全系数

压杆稳定

稳定许用应力值可写成下列形式

 st

  



式中[σ]——强度计算时的许用应力；

——折减系数。
压杆稳定条件可写为

 

FN
A

式中A为横截面的毛面积。

  



压杆稳定

折减系数
（1）折减系数是柔度λ的函数，随柔度λ的变化而
变化，柔度λ越大，折减系数越小；

（2）折减系数是各种影响因素的综合反映（如荷
载偏心、材料不均匀、初始曲率、安全储备等）；
（3）由于[σ] st总是小于[σ]，因此折减系数是一个小
于1的数。

压杆稳定

二、压杆稳定条件的应用
1.稳定校核。

2.设计截面。
3.确定稳定许用荷载。

压杆稳定

例11-3 图示两端铰支（球形铰）的矩形截面木杆，杆
端作用轴向压力Fp。已知l=3.6m，Fp=40kN，木材的强度
等级为TC13，许用应力[σ]=10MPa，试校核该压杆的稳定。
F
cr

解 矩形截面的惯性半径

A


120
12



12
bh

y



b

z

12

mm  34 . 64 mm

120

160

i

Iy

3

8m

hb

压杆稳定

两端铰支时长度系数μ=1
 

l

1  3 .6



34 . 64  10

i

3

 104

因为λ〉91
 
FN

A



F

A



2800



2



2800
104

40  10

2

3

0 . 259  120  160

所以该压杆满足稳定条件。

 0 . 259
MPa  8 . 00 MPa  



压杆稳定

第五节

提高压杆稳定性的措施

一、减小压杆的支承长度
从柔度计算式  

l
i

l\2

减小压杆的长度是降低压杆柔
l

度，提高压杆稳定性的有效方法
之一。
在条件允许的情况下，应
尽量使压杆的长度减小，或者
在压杆中间增加支撑。

l\2

压杆稳定
第

二、改善支承情况 ，减小长度系数μ
  0. 5

 1
Fcr

Fcr

 2

Fcr

杆端约束刚性越强,压杆的长度系数越小,相应的柔度
就越低,临界力就越大,因此尽可能加强杆端约束的刚性,
可使压 杆的稳定性得到提高.

压杆稳定

三、选择合理的截面形状
当截面面积相同的情况下，增大惯性矩I，从而达到增

大惯性半径i，减小柔度λ，提高压杆的临界应力。

压杆稳定

当压杆在各个弯曲平面内的支承条件相同时，压杆的

稳定性是由Imin方向的临界应力控制。因此，应尽量使截
面对任一形心主轴的惯性矩相同，这样可使压杆在各个
弯曲平面内具有相同的稳定性。
例如由两根槽钢组合而成的压杆
采用哪
种形式
好？

压杆稳定

当压杆在两个相互垂直平面内的支承条件不同时，
可采用Iz≠Iy的截面来与相应的支承条件配合，使压杆在

两相互垂直平面内的柔度值相等，即λz=λy，这样保证
压杆在这两个方向上具有相同的稳定性。

压杆稳定

四、合理选择材料
对于大柔度杆，临界应力与材料的弹性模量E有关，
由于各种钢材的弹性模量E值相差不大。所以，对大柔度

杆来说，选用优质钢材对提高临界应力意义不大。
对于中柔度杆，其临界应力与材料强度有关，强度越
高的材料，临界应力越高。所以，对中柔度杆而言，选择
优质钢材将有助于提高压杆的稳定性。


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第十六章

压杆稳定

压杆稳定

第一节 压杆稳定的概念
一、稳定问题的提出

F

两根相同材料（松木）制成的杆，

σb=20MPa；A＝10mm×30mm
1m

短杆长：l＝30mm；
长杆长：l＝1000mm
F

若按强度条件计算，
两根杆压缩时的极限承载能力
均应为：
F= σb A=6kN

30mm

F

F

压杆稳定

压杆的破坏实验结果：

F

（1）短杆在压力增加到约

为6kN时，因木纹出现裂纹而
破坏。
（2）长杆在压力增加到约4kN
时突然弯向一侧，继续增大压力，
弯曲迅速增大，杆随即折断。

1m

F
30mm

F

F

压杆稳定
第六章

结论：
短压杆与长压杆在压缩时的破坏
性质完全不同
•

F

短压杆的破坏属于强

1m

度问题；
F

• 长压杆的破坏则属于能

30mm

否保持其原来的直线平衡
状态的问题

F

F

压杆稳定
第十章

压杆稳定性：压杆保持其原来直线平衡状态
的能力。
压杆不能保持其原来直线平衡状态而突然变弯
的现象，称为压杆的直线平衡状态丧失了稳定，
简称为压杆失稳。

压杆稳定

压杆失稳的严重后果：
19世纪，瑞士的孟汗太因桥突然倒塌，造
成200人遇难。
1907年加拿大的魁北克桥在建造时突然倒
塌，其原因都是因为桥梁桁架中的受压杆失稳
引起的。
1909年12月汉堡一个60万m3的大型贮气罐
因一个受压构件失稳而突然倒塌。

压杆稳定

研究压杆稳定性的意义：
压杆因强度或刚度不足而造成破坏之前一般
都有先兆；压杆由于失稳而造成破坏之前没有
任何先兆，当压力达到某个临界数值时就会突
然破坏，因此这种破坏形式在工程上具有很大
的破坏性。

在建筑工程中的受压上弦杆、厂房的柱子等
设计中都必须考虑其稳定性要求。

压杆稳定

二、平衡状态的类型
稳定平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体能自动恢复到原来的平
衡位置的平衡

不稳定平衡：

即使干扰平衡的外力消
失后，物体仍继续向远离原
来平衡位置的方向继续运动
的平衡。

随遇平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体可在任意位置继续保持
平衡。

显然，随遇平衡是界于稳定平衡与不稳定平衡之间的状
态，称为临界平衡状态。

压杆稳定

三、压杆临界力Fcr
FP

l
FP

FP ＜ FPcr

FP

F F

FP

F

FP

稳定直线平衡状态

FP = FPcr

F

FP

临界状态

FP > FPcr

F

FP

不稳定平衡状态

压杆处于临界状态时的轴向压力称为压杆的
临界力Fcr。

压杆稳定

第二节

细长压杆的临界力

临界力的影响因素
临界力Fcr的大小反映了压杆失稳的难易，而压杆失稳
就是直杆变弯，发生弯曲变形，因此临界力的大小与影响
直杆弯曲变形的因素有关：
杆的长度l
抗弯刚度EI

杆端支承

l越大
EI越大

越牢固

抵抗变形的能力越小

容易失稳

Fcr越小

抵抗变形的能力越强

不易失稳

Fcr越大

越不容易发生弯曲变形

不易失稳

Fcr越大

压杆稳定

临界力的欧拉公式
 EI
2

F cr 

(l)

2

式中 E——材料的弹性模量；
I——压杆横截面对形心轴的最小惯性矩；
l——压杆的长度；

μ——长度系数，反映了杆端支承对临界力的影响；
μl——压杆的计算长度。

压杆稳定

一端固定
一端铰支

两端铰支

两端固定

一端固定
一端自由

Fcr
Fcr

Fcr

μ=1

μ=0.7

0.25l

l

0.5l

l
0.3l

l

l

0.7l

0.25l

Fcr

μ=0.5

μ=2

压杆稳定

例1

一根两端铰支的№20a工字钢细长压杆，长

l=3m，钢的弹性模量E=200GPa，试计算其临界力。
解 查型钢表得
 EI

Iz=2370cm4，Iy=158cm4

2

Fcr 

l

2

  200  10  158  10
2



9

3

2

8

N

 346  10 N  346 kN
3

由此可知，若轴向压力达到346kN时，此杆会失稳。

压杆稳定

思考
材料及横截面均相同，哪一根最容易失稳，哪一根
最不容易失稳。

压杆稳定
Fcr

Fcr

y

200

120

y

120

200

z
z

8m

例2 一矩形截面的
中心受压的细长木柱，
长l=8m，柱的支承情况，
在最大刚度平面内弯曲
时为两端铰支（图a）；
在最小刚度平面内弯曲
时为两端固定（图b）。
木材的弹性模量
E=10GPa，试求木柱的
临界力。

压杆稳定

解 由于最大刚度平面与最小刚度平面内的支承
情况不同，所以需分别计算。
Fcr

（1）计算最大刚度平面内的临界力
截面的惯性矩为
Iy 

3

mm

4

y

 8  10 mm
7

4

 8  10

5

m

4

200

两端铰支，长度系数μ=1
 EI
2

F cr 

(l )

3 . 14  10  10  8  10
2

y
2



9

(1  8 )

 123  10 N  123 kN
3

z

8m

12

2

5

N

120

120  200

压杆稳定

（2）计算最小刚度平面内的临界力。
Fcr

由图16-4b,截面惯性矩为
3

mm

4

12

 2 . 88  10 mm
7

 2 . 88  10

5

m

4

z

4

y

两端固定，长度系数μ=0.5
 EI Z
2

Fcr 

(l )

2

3 . 14  10  10  2 . 88  10
2



9

( 0 .5  8 )

 177  10 N  177 kN
3

2

120

5

N

200

IZ 

200  120

压杆稳定

Fcr

Fcr

y

200

y

120

8m

z

120

200

z

比较计算结果可知
，第一种情况的临界力
小，所以压杆失稳时将
在最大刚度平面内产生
弯曲。此例说明，当在
最小刚度平面与最大刚
度平面内支承情况不同
时，压杆不一定在最小
刚度平面内失稳，必须
经过具体计算后才能确
定。

压杆稳定

第三节 临界应力与欧拉公式的适用范围
一、临界应力
 cr 
I i A
2

F cr

2



cr



(l )

2

2

 E

A
 Ei
2



 E I

(l)

2

A
2



(

l

)

2

i
令   l i

 E
2

 cr 



2

   l i —— 压杆的柔度（长细比），是无量纲的量。

压杆稳定

压杆的柔度λ
（1）综合反映了压杆的长度（l）、杆端支承情况（μ
）、截面形状和尺寸（I、A、i）对临界应力的影响。
（2）压杆的临界应力与压杆柔度的平方成反比，即
，柔度越大压杆临界应力越小，压杆越容易失稳。

压杆稳定

二、欧拉公式的适用范围
只有当压杆的临界应力不超过材料的比例极限时，欧
拉公式才适用，即：
 E
2

 cr 



2



p

  p  

E

p

 p ——对应于材料比例极限时的柔度，只与材料的性质

有关，与压杆的截面形状和尺寸无关。

   p 的压杆——大柔度杆（细长杆）
欧拉公式只适用于大柔度杆（细长杆）

压杆稳定

三、超出比例极限时压杆的临界应力、
临界应力总图
压杆的应力超出比例极限时（λ<λp），这类杆件工程
上称为中柔度杆，此类压杆的稳定称弹塑性稳定。
抛物线公式（经验公式）

σcr= a - bλ2
式中，λ为压杆的柔度，a、b与材料有关的常数

例如：对于Q235钢及16Mn钢分别有
σcr=（235-0.00668λ2）MPa
σcr=（345-0.0142λ2）MPa

压杆稳定

由式可知，压杆不论处于弹性阶段还是弹塑性阶段，
其临界应力均为压杆柔度的函数，临界应力σcr与柔度λ的
函数曲线称为临界应力总图。

注意：图中以λc=123
而不是以λp=100作为二曲
线的分界点.
对Q235钢制成的压杆 ,
当λ≥λc，按欧拉公式计
算临界应力或临界力;当
λ<123时用经验公式计算

压杆稳定

第四节

压杆的稳定计算

一、压杆稳定条件

  

st

式中 [σ]st称为稳定许用应力，其值为

 st



 cr
n st

式中nst为压杆的稳定安全系数

压杆稳定

稳定许用应力值可写成下列形式

 st

  



式中[σ]——强度计算时的许用应力；

——折减系数。
压杆稳定条件可写为

 

FN
A

式中A为横截面的毛面积。

  



压杆稳定

折减系数
（1）折减系数是柔度λ的函数，随柔度λ的变化而
变化，柔度λ越大，折减系数越小；

（2）折减系数是各种影响因素的综合反映（如荷
载偏心、材料不均匀、初始曲率、安全储备等）；
（3）由于[σ] st总是小于[σ]，因此折减系数是一个小
于1的数。

压杆稳定

二、压杆稳定条件的应用
1.稳定校核。

2.设计截面。
3.确定稳定许用荷载。

压杆稳定

例11-3 图示两端铰支（球形铰）的矩形截面木杆，杆
端作用轴向压力Fp。已知l=3.6m，Fp=40kN，木材的强度
等级为TC13，许用应力[σ]=10MPa，试校核该压杆的稳定。
F
cr

解 矩形截面的惯性半径

A


120
12



12
bh

y



b

z

12

mm  34 . 64 mm

120

160

i

Iy

3

8m

hb

压杆稳定

两端铰支时长度系数μ=1
 

l

1  3 .6



34 . 64  10

i

3

 104

因为λ〉91
 
FN

A



F

A



2800



2



2800
104

40  10

2

3

0 . 259  120  160

所以该压杆满足稳定条件。

 0 . 259
MPa  8 . 00 MPa  



压杆稳定

第五节

提高压杆稳定性的措施

一、减小压杆的支承长度
从柔度计算式  

l
i

l\2

减小压杆的长度是降低压杆柔
l

度，提高压杆稳定性的有效方法
之一。
在条件允许的情况下，应
尽量使压杆的长度减小，或者
在压杆中间增加支撑。

l\2

压杆稳定
第

二、改善支承情况 ，减小长度系数μ
  0. 5

 1
Fcr

Fcr

 2

Fcr

杆端约束刚性越强,压杆的长度系数越小,相应的柔度
就越低,临界力就越大,因此尽可能加强杆端约束的刚性,
可使压 杆的稳定性得到提高.

压杆稳定

三、选择合理的截面形状
当截面面积相同的情况下，增大惯性矩I，从而达到增

大惯性半径i，减小柔度λ，提高压杆的临界应力。

压杆稳定

当压杆在各个弯曲平面内的支承条件相同时，压杆的

稳定性是由Imin方向的临界应力控制。因此，应尽量使截
面对任一形心主轴的惯性矩相同，这样可使压杆在各个
弯曲平面内具有相同的稳定性。
例如由两根槽钢组合而成的压杆
采用哪
种形式
好？

压杆稳定

当压杆在两个相互垂直平面内的支承条件不同时，
可采用Iz≠Iy的截面来与相应的支承条件配合，使压杆在

两相互垂直平面内的柔度值相等，即λz=λy，这样保证
压杆在这两个方向上具有相同的稳定性。

压杆稳定

四、合理选择材料
对于大柔度杆，临界应力与材料的弹性模量E有关，
由于各种钢材的弹性模量E值相差不大。所以，对大柔度

杆来说，选用优质钢材对提高临界应力意义不大。
对于中柔度杆，其临界应力与材料强度有关，强度越
高的材料，临界应力越高。所以，对中柔度杆而言，选择
优质钢材将有助于提高压杆的稳定性。


Slide 31

第十六章

压杆稳定

压杆稳定

第一节 压杆稳定的概念
一、稳定问题的提出

F

两根相同材料（松木）制成的杆，

σb=20MPa；A＝10mm×30mm
1m

短杆长：l＝30mm；
长杆长：l＝1000mm
F

若按强度条件计算，
两根杆压缩时的极限承载能力
均应为：
F= σb A=6kN

30mm

F

F

压杆稳定

压杆的破坏实验结果：

F

（1）短杆在压力增加到约

为6kN时，因木纹出现裂纹而
破坏。
（2）长杆在压力增加到约4kN
时突然弯向一侧，继续增大压力，
弯曲迅速增大，杆随即折断。

1m

F
30mm

F

F

压杆稳定
第六章

结论：
短压杆与长压杆在压缩时的破坏
性质完全不同
•

F

短压杆的破坏属于强

1m

度问题；
F

• 长压杆的破坏则属于能

30mm

否保持其原来的直线平衡
状态的问题

F

F

压杆稳定
第十章

压杆稳定性：压杆保持其原来直线平衡状态
的能力。
压杆不能保持其原来直线平衡状态而突然变弯
的现象，称为压杆的直线平衡状态丧失了稳定，
简称为压杆失稳。

压杆稳定

压杆失稳的严重后果：
19世纪，瑞士的孟汗太因桥突然倒塌，造
成200人遇难。
1907年加拿大的魁北克桥在建造时突然倒
塌，其原因都是因为桥梁桁架中的受压杆失稳
引起的。
1909年12月汉堡一个60万m3的大型贮气罐
因一个受压构件失稳而突然倒塌。

压杆稳定

研究压杆稳定性的意义：
压杆因强度或刚度不足而造成破坏之前一般
都有先兆；压杆由于失稳而造成破坏之前没有
任何先兆，当压力达到某个临界数值时就会突
然破坏，因此这种破坏形式在工程上具有很大
的破坏性。

在建筑工程中的受压上弦杆、厂房的柱子等
设计中都必须考虑其稳定性要求。

压杆稳定

二、平衡状态的类型
稳定平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体能自动恢复到原来的平
衡位置的平衡

不稳定平衡：

即使干扰平衡的外力消
失后，物体仍继续向远离原
来平衡位置的方向继续运动
的平衡。

随遇平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体可在任意位置继续保持
平衡。

显然，随遇平衡是界于稳定平衡与不稳定平衡之间的状
态，称为临界平衡状态。

压杆稳定

三、压杆临界力Fcr
FP

l
FP

FP ＜ FPcr

FP

F F

FP

F

FP

稳定直线平衡状态

FP = FPcr

F

FP

临界状态

FP > FPcr

F

FP

不稳定平衡状态

压杆处于临界状态时的轴向压力称为压杆的
临界力Fcr。

压杆稳定

第二节

细长压杆的临界力

临界力的影响因素
临界力Fcr的大小反映了压杆失稳的难易，而压杆失稳
就是直杆变弯，发生弯曲变形，因此临界力的大小与影响
直杆弯曲变形的因素有关：
杆的长度l
抗弯刚度EI

杆端支承

l越大
EI越大

越牢固

抵抗变形的能力越小

容易失稳

Fcr越小

抵抗变形的能力越强

不易失稳

Fcr越大

越不容易发生弯曲变形

不易失稳

Fcr越大

压杆稳定

临界力的欧拉公式
 EI
2

F cr 

(l)

2

式中 E——材料的弹性模量；
I——压杆横截面对形心轴的最小惯性矩；
l——压杆的长度；

μ——长度系数，反映了杆端支承对临界力的影响；
μl——压杆的计算长度。

压杆稳定

一端固定
一端铰支

两端铰支

两端固定

一端固定
一端自由

Fcr
Fcr

Fcr

μ=1

μ=0.7

0.25l

l

0.5l

l
0.3l

l

l

0.7l

0.25l

Fcr

μ=0.5

μ=2

压杆稳定

例1

一根两端铰支的№20a工字钢细长压杆，长

l=3m，钢的弹性模量E=200GPa，试计算其临界力。
解 查型钢表得
 EI

Iz=2370cm4，Iy=158cm4

2

Fcr 

l

2

  200  10  158  10
2



9

3

2

8

N

 346  10 N  346 kN
3

由此可知，若轴向压力达到346kN时，此杆会失稳。

压杆稳定

思考
材料及横截面均相同，哪一根最容易失稳，哪一根
最不容易失稳。

压杆稳定
Fcr

Fcr

y

200

120

y

120

200

z
z

8m

例2 一矩形截面的
中心受压的细长木柱，
长l=8m，柱的支承情况，
在最大刚度平面内弯曲
时为两端铰支（图a）；
在最小刚度平面内弯曲
时为两端固定（图b）。
木材的弹性模量
E=10GPa，试求木柱的
临界力。

压杆稳定

解 由于最大刚度平面与最小刚度平面内的支承
情况不同，所以需分别计算。
Fcr

（1）计算最大刚度平面内的临界力
截面的惯性矩为
Iy 

3

mm

4

y

 8  10 mm
7

4

 8  10

5

m

4

200

两端铰支，长度系数μ=1
 EI
2

F cr 

(l )

3 . 14  10  10  8  10
2

y
2



9

(1  8 )

 123  10 N  123 kN
3

z

8m

12

2

5

N

120

120  200

压杆稳定

（2）计算最小刚度平面内的临界力。
Fcr

由图16-4b,截面惯性矩为
3

mm

4

12

 2 . 88  10 mm
7

 2 . 88  10

5

m

4

z

4

y

两端固定，长度系数μ=0.5
 EI Z
2

Fcr 

(l )

2

3 . 14  10  10  2 . 88  10
2



9

( 0 .5  8 )

 177  10 N  177 kN
3

2

120

5

N

200

IZ 

200  120

压杆稳定

Fcr

Fcr

y

200

y

120

8m

z

120

200

z

比较计算结果可知
，第一种情况的临界力
小，所以压杆失稳时将
在最大刚度平面内产生
弯曲。此例说明，当在
最小刚度平面与最大刚
度平面内支承情况不同
时，压杆不一定在最小
刚度平面内失稳，必须
经过具体计算后才能确
定。

压杆稳定

第三节 临界应力与欧拉公式的适用范围
一、临界应力
 cr 
I i A
2

F cr

2



cr



(l )

2

2

 E

A
 Ei
2



 E I

(l)

2

A
2



(

l

)

2

i
令   l i

 E
2

 cr 



2

   l i —— 压杆的柔度（长细比），是无量纲的量。

压杆稳定

压杆的柔度λ
（1）综合反映了压杆的长度（l）、杆端支承情况（μ
）、截面形状和尺寸（I、A、i）对临界应力的影响。
（2）压杆的临界应力与压杆柔度的平方成反比，即
，柔度越大压杆临界应力越小，压杆越容易失稳。

压杆稳定

二、欧拉公式的适用范围
只有当压杆的临界应力不超过材料的比例极限时，欧
拉公式才适用，即：
 E
2

 cr 



2



p

  p  

E

p

 p ——对应于材料比例极限时的柔度，只与材料的性质

有关，与压杆的截面形状和尺寸无关。

   p 的压杆——大柔度杆（细长杆）
欧拉公式只适用于大柔度杆（细长杆）

压杆稳定

三、超出比例极限时压杆的临界应力、
临界应力总图
压杆的应力超出比例极限时（λ<λp），这类杆件工程
上称为中柔度杆，此类压杆的稳定称弹塑性稳定。
抛物线公式（经验公式）

σcr= a - bλ2
式中，λ为压杆的柔度，a、b与材料有关的常数

例如：对于Q235钢及16Mn钢分别有
σcr=（235-0.00668λ2）MPa
σcr=（345-0.0142λ2）MPa

压杆稳定

由式可知，压杆不论处于弹性阶段还是弹塑性阶段，
其临界应力均为压杆柔度的函数，临界应力σcr与柔度λ的
函数曲线称为临界应力总图。

注意：图中以λc=123
而不是以λp=100作为二曲
线的分界点.
对Q235钢制成的压杆 ,
当λ≥λc，按欧拉公式计
算临界应力或临界力;当
λ<123时用经验公式计算

压杆稳定

第四节

压杆的稳定计算

一、压杆稳定条件

  

st

式中 [σ]st称为稳定许用应力，其值为

 st



 cr
n st

式中nst为压杆的稳定安全系数

压杆稳定

稳定许用应力值可写成下列形式

 st

  



式中[σ]——强度计算时的许用应力；

——折减系数。
压杆稳定条件可写为

 

FN
A

式中A为横截面的毛面积。

  



压杆稳定

折减系数
（1）折减系数是柔度λ的函数，随柔度λ的变化而
变化，柔度λ越大，折减系数越小；

（2）折减系数是各种影响因素的综合反映（如荷
载偏心、材料不均匀、初始曲率、安全储备等）；
（3）由于[σ] st总是小于[σ]，因此折减系数是一个小
于1的数。

压杆稳定

二、压杆稳定条件的应用
1.稳定校核。

2.设计截面。
3.确定稳定许用荷载。

压杆稳定

例11-3 图示两端铰支（球形铰）的矩形截面木杆，杆
端作用轴向压力Fp。已知l=3.6m，Fp=40kN，木材的强度
等级为TC13，许用应力[σ]=10MPa，试校核该压杆的稳定。
F
cr

解 矩形截面的惯性半径

A


120
12



12
bh

y



b

z

12

mm  34 . 64 mm

120

160

i

Iy

3

8m

hb

压杆稳定

两端铰支时长度系数μ=1
 

l

1  3 .6



34 . 64  10

i

3

 104

因为λ〉91
 
FN

A



F

A



2800



2



2800
104

40  10

2

3

0 . 259  120  160

所以该压杆满足稳定条件。

 0 . 259
MPa  8 . 00 MPa  



压杆稳定

第五节

提高压杆稳定性的措施

一、减小压杆的支承长度
从柔度计算式  

l
i

l\2

减小压杆的长度是降低压杆柔
l

度，提高压杆稳定性的有效方法
之一。
在条件允许的情况下，应
尽量使压杆的长度减小，或者
在压杆中间增加支撑。

l\2

压杆稳定
第

二、改善支承情况 ，减小长度系数μ
  0. 5

 1
Fcr

Fcr

 2

Fcr

杆端约束刚性越强,压杆的长度系数越小,相应的柔度
就越低,临界力就越大,因此尽可能加强杆端约束的刚性,
可使压 杆的稳定性得到提高.

压杆稳定

三、选择合理的截面形状
当截面面积相同的情况下，增大惯性矩I，从而达到增

大惯性半径i，减小柔度λ，提高压杆的临界应力。

压杆稳定

当压杆在各个弯曲平面内的支承条件相同时，压杆的

稳定性是由Imin方向的临界应力控制。因此，应尽量使截
面对任一形心主轴的惯性矩相同，这样可使压杆在各个
弯曲平面内具有相同的稳定性。
例如由两根槽钢组合而成的压杆
采用哪
种形式
好？

压杆稳定

当压杆在两个相互垂直平面内的支承条件不同时，
可采用Iz≠Iy的截面来与相应的支承条件配合，使压杆在

两相互垂直平面内的柔度值相等，即λz=λy，这样保证
压杆在这两个方向上具有相同的稳定性。

压杆稳定

四、合理选择材料
对于大柔度杆，临界应力与材料的弹性模量E有关，
由于各种钢材的弹性模量E值相差不大。所以，对大柔度

杆来说，选用优质钢材对提高临界应力意义不大。
对于中柔度杆，其临界应力与材料强度有关，强度越
高的材料，临界应力越高。所以，对中柔度杆而言，选择
优质钢材将有助于提高压杆的稳定性。


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第十六章

压杆稳定

压杆稳定

第一节 压杆稳定的概念
一、稳定问题的提出

F

两根相同材料（松木）制成的杆，

σb=20MPa；A＝10mm×30mm
1m

短杆长：l＝30mm；
长杆长：l＝1000mm
F

若按强度条件计算，
两根杆压缩时的极限承载能力
均应为：
F= σb A=6kN

30mm

F

F

压杆稳定

压杆的破坏实验结果：

F

（1）短杆在压力增加到约

为6kN时，因木纹出现裂纹而
破坏。
（2）长杆在压力增加到约4kN
时突然弯向一侧，继续增大压力，
弯曲迅速增大，杆随即折断。

1m

F
30mm

F

F

压杆稳定
第六章

结论：
短压杆与长压杆在压缩时的破坏
性质完全不同
•

F

短压杆的破坏属于强

1m

度问题；
F

• 长压杆的破坏则属于能

30mm

否保持其原来的直线平衡
状态的问题

F

F

压杆稳定
第十章

压杆稳定性：压杆保持其原来直线平衡状态
的能力。
压杆不能保持其原来直线平衡状态而突然变弯
的现象，称为压杆的直线平衡状态丧失了稳定，
简称为压杆失稳。

压杆稳定

压杆失稳的严重后果：
19世纪，瑞士的孟汗太因桥突然倒塌，造
成200人遇难。
1907年加拿大的魁北克桥在建造时突然倒
塌，其原因都是因为桥梁桁架中的受压杆失稳
引起的。
1909年12月汉堡一个60万m3的大型贮气罐
因一个受压构件失稳而突然倒塌。

压杆稳定

研究压杆稳定性的意义：
压杆因强度或刚度不足而造成破坏之前一般
都有先兆；压杆由于失稳而造成破坏之前没有
任何先兆，当压力达到某个临界数值时就会突
然破坏，因此这种破坏形式在工程上具有很大
的破坏性。

在建筑工程中的受压上弦杆、厂房的柱子等
设计中都必须考虑其稳定性要求。

压杆稳定

二、平衡状态的类型
稳定平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体能自动恢复到原来的平
衡位置的平衡

不稳定平衡：

即使干扰平衡的外力消
失后，物体仍继续向远离原
来平衡位置的方向继续运动
的平衡。

随遇平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体可在任意位置继续保持
平衡。

显然，随遇平衡是界于稳定平衡与不稳定平衡之间的状
态，称为临界平衡状态。

压杆稳定

三、压杆临界力Fcr
FP

l
FP

FP ＜ FPcr

FP

F F

FP

F

FP

稳定直线平衡状态

FP = FPcr

F

FP

临界状态

FP > FPcr

F

FP

不稳定平衡状态

压杆处于临界状态时的轴向压力称为压杆的
临界力Fcr。

压杆稳定

第二节

细长压杆的临界力

临界力的影响因素
临界力Fcr的大小反映了压杆失稳的难易，而压杆失稳
就是直杆变弯，发生弯曲变形，因此临界力的大小与影响
直杆弯曲变形的因素有关：
杆的长度l
抗弯刚度EI

杆端支承

l越大
EI越大

越牢固

抵抗变形的能力越小

容易失稳

Fcr越小

抵抗变形的能力越强

不易失稳

Fcr越大

越不容易发生弯曲变形

不易失稳

Fcr越大

压杆稳定

临界力的欧拉公式
 EI
2

F cr 

(l)

2

式中 E——材料的弹性模量；
I——压杆横截面对形心轴的最小惯性矩；
l——压杆的长度；

μ——长度系数，反映了杆端支承对临界力的影响；
μl——压杆的计算长度。

压杆稳定

一端固定
一端铰支

两端铰支

两端固定

一端固定
一端自由

Fcr
Fcr

Fcr

μ=1

μ=0.7

0.25l

l

0.5l

l
0.3l

l

l

0.7l

0.25l

Fcr

μ=0.5

μ=2

压杆稳定

例1

一根两端铰支的№20a工字钢细长压杆，长

l=3m，钢的弹性模量E=200GPa，试计算其临界力。
解 查型钢表得
 EI

Iz=2370cm4，Iy=158cm4

2

Fcr 

l

2

  200  10  158  10
2



9

3

2

8

N

 346  10 N  346 kN
3

由此可知，若轴向压力达到346kN时，此杆会失稳。

压杆稳定

思考
材料及横截面均相同，哪一根最容易失稳，哪一根
最不容易失稳。

压杆稳定
Fcr

Fcr

y

200

120

y

120

200

z
z

8m

例2 一矩形截面的
中心受压的细长木柱，
长l=8m，柱的支承情况，
在最大刚度平面内弯曲
时为两端铰支（图a）；
在最小刚度平面内弯曲
时为两端固定（图b）。
木材的弹性模量
E=10GPa，试求木柱的
临界力。

压杆稳定

解 由于最大刚度平面与最小刚度平面内的支承
情况不同，所以需分别计算。
Fcr

（1）计算最大刚度平面内的临界力
截面的惯性矩为
Iy 

3

mm

4

y

 8  10 mm
7

4

 8  10

5

m

4

200

两端铰支，长度系数μ=1
 EI
2

F cr 

(l )

3 . 14  10  10  8  10
2

y
2



9

(1  8 )

 123  10 N  123 kN
3

z

8m

12

2

5

N

120

120  200

压杆稳定

（2）计算最小刚度平面内的临界力。
Fcr

由图16-4b,截面惯性矩为
3

mm

4

12

 2 . 88  10 mm
7

 2 . 88  10

5

m

4

z

4

y

两端固定，长度系数μ=0.5
 EI Z
2

Fcr 

(l )

2

3 . 14  10  10  2 . 88  10
2



9

( 0 .5  8 )

 177  10 N  177 kN
3

2

120

5

N

200

IZ 

200  120

压杆稳定

Fcr

Fcr

y

200

y

120

8m

z

120

200

z

比较计算结果可知
，第一种情况的临界力
小，所以压杆失稳时将
在最大刚度平面内产生
弯曲。此例说明，当在
最小刚度平面与最大刚
度平面内支承情况不同
时，压杆不一定在最小
刚度平面内失稳，必须
经过具体计算后才能确
定。

压杆稳定

第三节 临界应力与欧拉公式的适用范围
一、临界应力
 cr 
I i A
2

F cr

2



cr



(l )

2

2

 E

A
 Ei
2



 E I

(l)

2

A
2



(

l

)

2

i
令   l i

 E
2

 cr 



2

   l i —— 压杆的柔度（长细比），是无量纲的量。

压杆稳定

压杆的柔度λ
（1）综合反映了压杆的长度（l）、杆端支承情况（μ
）、截面形状和尺寸（I、A、i）对临界应力的影响。
（2）压杆的临界应力与压杆柔度的平方成反比，即
，柔度越大压杆临界应力越小，压杆越容易失稳。

压杆稳定

二、欧拉公式的适用范围
只有当压杆的临界应力不超过材料的比例极限时，欧
拉公式才适用，即：
 E
2

 cr 



2



p

  p  

E

p

 p ——对应于材料比例极限时的柔度，只与材料的性质

有关，与压杆的截面形状和尺寸无关。

   p 的压杆——大柔度杆（细长杆）
欧拉公式只适用于大柔度杆（细长杆）

压杆稳定

三、超出比例极限时压杆的临界应力、
临界应力总图
压杆的应力超出比例极限时（λ<λp），这类杆件工程
上称为中柔度杆，此类压杆的稳定称弹塑性稳定。
抛物线公式（经验公式）

σcr= a - bλ2
式中，λ为压杆的柔度，a、b与材料有关的常数

例如：对于Q235钢及16Mn钢分别有
σcr=（235-0.00668λ2）MPa
σcr=（345-0.0142λ2）MPa

压杆稳定

由式可知，压杆不论处于弹性阶段还是弹塑性阶段，
其临界应力均为压杆柔度的函数，临界应力σcr与柔度λ的
函数曲线称为临界应力总图。

注意：图中以λc=123
而不是以λp=100作为二曲
线的分界点.
对Q235钢制成的压杆 ,
当λ≥λc，按欧拉公式计
算临界应力或临界力;当
λ<123时用经验公式计算

压杆稳定

第四节

压杆的稳定计算

一、压杆稳定条件

  

st

式中 [σ]st称为稳定许用应力，其值为

 st



 cr
n st

式中nst为压杆的稳定安全系数

压杆稳定

稳定许用应力值可写成下列形式

 st

  



式中[σ]——强度计算时的许用应力；

——折减系数。
压杆稳定条件可写为

 

FN
A

式中A为横截面的毛面积。

  



压杆稳定

折减系数
（1）折减系数是柔度λ的函数，随柔度λ的变化而
变化，柔度λ越大，折减系数越小；

（2）折减系数是各种影响因素的综合反映（如荷
载偏心、材料不均匀、初始曲率、安全储备等）；
（3）由于[σ] st总是小于[σ]，因此折减系数是一个小
于1的数。

压杆稳定

二、压杆稳定条件的应用
1.稳定校核。

2.设计截面。
3.确定稳定许用荷载。

压杆稳定

例11-3 图示两端铰支（球形铰）的矩形截面木杆，杆
端作用轴向压力Fp。已知l=3.6m，Fp=40kN，木材的强度
等级为TC13，许用应力[σ]=10MPa，试校核该压杆的稳定。
F
cr

解 矩形截面的惯性半径

A


120
12



12
bh

y



b

z

12

mm  34 . 64 mm

120

160

i

Iy

3

8m

hb

压杆稳定

两端铰支时长度系数μ=1
 

l

1  3 .6



34 . 64  10

i

3

 104

因为λ〉91
 
FN

A



F

A



2800



2



2800
104

40  10

2

3

0 . 259  120  160

所以该压杆满足稳定条件。

 0 . 259
MPa  8 . 00 MPa  



压杆稳定

第五节

提高压杆稳定性的措施

一、减小压杆的支承长度
从柔度计算式  

l
i

l\2

减小压杆的长度是降低压杆柔
l

度，提高压杆稳定性的有效方法
之一。
在条件允许的情况下，应
尽量使压杆的长度减小，或者
在压杆中间增加支撑。

l\2

压杆稳定
第

二、改善支承情况 ，减小长度系数μ
  0. 5

 1
Fcr

Fcr

 2

Fcr

杆端约束刚性越强,压杆的长度系数越小,相应的柔度
就越低,临界力就越大,因此尽可能加强杆端约束的刚性,
可使压 杆的稳定性得到提高.

压杆稳定

三、选择合理的截面形状
当截面面积相同的情况下，增大惯性矩I，从而达到增

大惯性半径i，减小柔度λ，提高压杆的临界应力。

压杆稳定

当压杆在各个弯曲平面内的支承条件相同时，压杆的

稳定性是由Imin方向的临界应力控制。因此，应尽量使截
面对任一形心主轴的惯性矩相同，这样可使压杆在各个
弯曲平面内具有相同的稳定性。
例如由两根槽钢组合而成的压杆
采用哪
种形式
好？

压杆稳定

当压杆在两个相互垂直平面内的支承条件不同时，
可采用Iz≠Iy的截面来与相应的支承条件配合，使压杆在

两相互垂直平面内的柔度值相等，即λz=λy，这样保证
压杆在这两个方向上具有相同的稳定性。

压杆稳定

四、合理选择材料
对于大柔度杆，临界应力与材料的弹性模量E有关，
由于各种钢材的弹性模量E值相差不大。所以，对大柔度

杆来说，选用优质钢材对提高临界应力意义不大。
对于中柔度杆，其临界应力与材料强度有关，强度越
高的材料，临界应力越高。所以，对中柔度杆而言，选择
优质钢材将有助于提高压杆的稳定性。


Slide 33

第十六章

压杆稳定

压杆稳定

第一节 压杆稳定的概念
一、稳定问题的提出

F

两根相同材料（松木）制成的杆，

σb=20MPa；A＝10mm×30mm
1m

短杆长：l＝30mm；
长杆长：l＝1000mm
F

若按强度条件计算，
两根杆压缩时的极限承载能力
均应为：
F= σb A=6kN

30mm

F

F

压杆稳定

压杆的破坏实验结果：

F

（1）短杆在压力增加到约

为6kN时，因木纹出现裂纹而
破坏。
（2）长杆在压力增加到约4kN
时突然弯向一侧，继续增大压力，
弯曲迅速增大，杆随即折断。

1m

F
30mm

F

F

压杆稳定
第六章

结论：
短压杆与长压杆在压缩时的破坏
性质完全不同
•

F

短压杆的破坏属于强

1m

度问题；
F

• 长压杆的破坏则属于能

30mm

否保持其原来的直线平衡
状态的问题

F

F

压杆稳定
第十章

压杆稳定性：压杆保持其原来直线平衡状态
的能力。
压杆不能保持其原来直线平衡状态而突然变弯
的现象，称为压杆的直线平衡状态丧失了稳定，
简称为压杆失稳。

压杆稳定

压杆失稳的严重后果：
19世纪，瑞士的孟汗太因桥突然倒塌，造
成200人遇难。
1907年加拿大的魁北克桥在建造时突然倒
塌，其原因都是因为桥梁桁架中的受压杆失稳
引起的。
1909年12月汉堡一个60万m3的大型贮气罐
因一个受压构件失稳而突然倒塌。

压杆稳定

研究压杆稳定性的意义：
压杆因强度或刚度不足而造成破坏之前一般
都有先兆；压杆由于失稳而造成破坏之前没有
任何先兆，当压力达到某个临界数值时就会突
然破坏，因此这种破坏形式在工程上具有很大
的破坏性。

在建筑工程中的受压上弦杆、厂房的柱子等
设计中都必须考虑其稳定性要求。

压杆稳定

二、平衡状态的类型
稳定平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体能自动恢复到原来的平
衡位置的平衡

不稳定平衡：

即使干扰平衡的外力消
失后，物体仍继续向远离原
来平衡位置的方向继续运动
的平衡。

随遇平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体可在任意位置继续保持
平衡。

显然，随遇平衡是界于稳定平衡与不稳定平衡之间的状
态，称为临界平衡状态。

压杆稳定

三、压杆临界力Fcr
FP

l
FP

FP ＜ FPcr

FP

F F

FP

F

FP

稳定直线平衡状态

FP = FPcr

F

FP

临界状态

FP > FPcr

F

FP

不稳定平衡状态

压杆处于临界状态时的轴向压力称为压杆的
临界力Fcr。

压杆稳定

第二节

细长压杆的临界力

临界力的影响因素
临界力Fcr的大小反映了压杆失稳的难易，而压杆失稳
就是直杆变弯，发生弯曲变形，因此临界力的大小与影响
直杆弯曲变形的因素有关：
杆的长度l
抗弯刚度EI

杆端支承

l越大
EI越大

越牢固

抵抗变形的能力越小

容易失稳

Fcr越小

抵抗变形的能力越强

不易失稳

Fcr越大

越不容易发生弯曲变形

不易失稳

Fcr越大

压杆稳定

临界力的欧拉公式
 EI
2

F cr 

(l)

2

式中 E——材料的弹性模量；
I——压杆横截面对形心轴的最小惯性矩；
l——压杆的长度；

μ——长度系数，反映了杆端支承对临界力的影响；
μl——压杆的计算长度。

压杆稳定

一端固定
一端铰支

两端铰支

两端固定

一端固定
一端自由

Fcr
Fcr

Fcr

μ=1

μ=0.7

0.25l

l

0.5l

l
0.3l

l

l

0.7l

0.25l

Fcr

μ=0.5

μ=2

压杆稳定

例1

一根两端铰支的№20a工字钢细长压杆，长

l=3m，钢的弹性模量E=200GPa，试计算其临界力。
解 查型钢表得
 EI

Iz=2370cm4，Iy=158cm4

2

Fcr 

l

2

  200  10  158  10
2



9

3

2

8

N

 346  10 N  346 kN
3

由此可知，若轴向压力达到346kN时，此杆会失稳。

压杆稳定

思考
材料及横截面均相同，哪一根最容易失稳，哪一根
最不容易失稳。

压杆稳定
Fcr

Fcr

y

200

120

y

120

200

z
z

8m

例2 一矩形截面的
中心受压的细长木柱，
长l=8m，柱的支承情况，
在最大刚度平面内弯曲
时为两端铰支（图a）；
在最小刚度平面内弯曲
时为两端固定（图b）。
木材的弹性模量
E=10GPa，试求木柱的
临界力。

压杆稳定

解 由于最大刚度平面与最小刚度平面内的支承
情况不同，所以需分别计算。
Fcr

（1）计算最大刚度平面内的临界力
截面的惯性矩为
Iy 

3

mm

4

y

 8  10 mm
7

4

 8  10

5

m

4

200

两端铰支，长度系数μ=1
 EI
2

F cr 

(l )

3 . 14  10  10  8  10
2

y
2



9

(1  8 )

 123  10 N  123 kN
3

z

8m

12

2

5

N

120

120  200

压杆稳定

（2）计算最小刚度平面内的临界力。
Fcr

由图16-4b,截面惯性矩为
3

mm

4

12

 2 . 88  10 mm
7

 2 . 88  10

5

m

4

z

4

y

两端固定，长度系数μ=0.5
 EI Z
2

Fcr 

(l )

2

3 . 14  10  10  2 . 88  10
2



9

( 0 .5  8 )

 177  10 N  177 kN
3

2

120

5

N

200

IZ 

200  120

压杆稳定

Fcr

Fcr

y

200

y

120

8m

z

120

200

z

比较计算结果可知
，第一种情况的临界力
小，所以压杆失稳时将
在最大刚度平面内产生
弯曲。此例说明，当在
最小刚度平面与最大刚
度平面内支承情况不同
时，压杆不一定在最小
刚度平面内失稳，必须
经过具体计算后才能确
定。

压杆稳定

第三节 临界应力与欧拉公式的适用范围
一、临界应力
 cr 
I i A
2

F cr

2



cr



(l )

2

2

 E

A
 Ei
2



 E I

(l)

2

A
2



(

l

)

2

i
令   l i

 E
2

 cr 



2

   l i —— 压杆的柔度（长细比），是无量纲的量。

压杆稳定

压杆的柔度λ
（1）综合反映了压杆的长度（l）、杆端支承情况（μ
）、截面形状和尺寸（I、A、i）对临界应力的影响。
（2）压杆的临界应力与压杆柔度的平方成反比，即
，柔度越大压杆临界应力越小，压杆越容易失稳。

压杆稳定

二、欧拉公式的适用范围
只有当压杆的临界应力不超过材料的比例极限时，欧
拉公式才适用，即：
 E
2

 cr 



2



p

  p  

E

p

 p ——对应于材料比例极限时的柔度，只与材料的性质

有关，与压杆的截面形状和尺寸无关。

   p 的压杆——大柔度杆（细长杆）
欧拉公式只适用于大柔度杆（细长杆）

压杆稳定

三、超出比例极限时压杆的临界应力、
临界应力总图
压杆的应力超出比例极限时（λ<λp），这类杆件工程
上称为中柔度杆，此类压杆的稳定称弹塑性稳定。
抛物线公式（经验公式）

σcr= a - bλ2
式中，λ为压杆的柔度，a、b与材料有关的常数

例如：对于Q235钢及16Mn钢分别有
σcr=（235-0.00668λ2）MPa
σcr=（345-0.0142λ2）MPa

压杆稳定

由式可知，压杆不论处于弹性阶段还是弹塑性阶段，
其临界应力均为压杆柔度的函数，临界应力σcr与柔度λ的
函数曲线称为临界应力总图。

注意：图中以λc=123
而不是以λp=100作为二曲
线的分界点.
对Q235钢制成的压杆 ,
当λ≥λc，按欧拉公式计
算临界应力或临界力;当
λ<123时用经验公式计算

压杆稳定

第四节

压杆的稳定计算

一、压杆稳定条件

  

st

式中 [σ]st称为稳定许用应力，其值为

 st



 cr
n st

式中nst为压杆的稳定安全系数

压杆稳定

稳定许用应力值可写成下列形式

 st

  



式中[σ]——强度计算时的许用应力；

——折减系数。
压杆稳定条件可写为

 

FN
A

式中A为横截面的毛面积。

  



压杆稳定

折减系数
（1）折减系数是柔度λ的函数，随柔度λ的变化而
变化，柔度λ越大，折减系数越小；

（2）折减系数是各种影响因素的综合反映（如荷
载偏心、材料不均匀、初始曲率、安全储备等）；
（3）由于[σ] st总是小于[σ]，因此折减系数是一个小
于1的数。

压杆稳定

二、压杆稳定条件的应用
1.稳定校核。

2.设计截面。
3.确定稳定许用荷载。

压杆稳定

例11-3 图示两端铰支（球形铰）的矩形截面木杆，杆
端作用轴向压力Fp。已知l=3.6m，Fp=40kN，木材的强度
等级为TC13，许用应力[σ]=10MPa，试校核该压杆的稳定。
F
cr

解 矩形截面的惯性半径

A


120
12



12
bh

y



b

z

12

mm  34 . 64 mm

120

160

i

Iy

3

8m

hb

压杆稳定

两端铰支时长度系数μ=1
 

l

1  3 .6



34 . 64  10

i

3

 104

因为λ〉91
 
FN

A



F

A



2800



2



2800
104

40  10

2

3

0 . 259  120  160

所以该压杆满足稳定条件。

 0 . 259
MPa  8 . 00 MPa  



压杆稳定

第五节

提高压杆稳定性的措施

一、减小压杆的支承长度
从柔度计算式  

l
i

l\2

减小压杆的长度是降低压杆柔
l

度，提高压杆稳定性的有效方法
之一。
在条件允许的情况下，应
尽量使压杆的长度减小，或者
在压杆中间增加支撑。

l\2

压杆稳定
第

二、改善支承情况 ，减小长度系数μ
  0. 5

 1
Fcr

Fcr

 2

Fcr

杆端约束刚性越强,压杆的长度系数越小,相应的柔度
就越低,临界力就越大,因此尽可能加强杆端约束的刚性,
可使压 杆的稳定性得到提高.

压杆稳定

三、选择合理的截面形状
当截面面积相同的情况下，增大惯性矩I，从而达到增

大惯性半径i，减小柔度λ，提高压杆的临界应力。

压杆稳定

当压杆在各个弯曲平面内的支承条件相同时，压杆的

稳定性是由Imin方向的临界应力控制。因此，应尽量使截
面对任一形心主轴的惯性矩相同，这样可使压杆在各个
弯曲平面内具有相同的稳定性。
例如由两根槽钢组合而成的压杆
采用哪
种形式
好？

压杆稳定

当压杆在两个相互垂直平面内的支承条件不同时，
可采用Iz≠Iy的截面来与相应的支承条件配合，使压杆在

两相互垂直平面内的柔度值相等，即λz=λy，这样保证
压杆在这两个方向上具有相同的稳定性。

压杆稳定

四、合理选择材料
对于大柔度杆，临界应力与材料的弹性模量E有关，
由于各种钢材的弹性模量E值相差不大。所以，对大柔度

杆来说，选用优质钢材对提高临界应力意义不大。
对于中柔度杆，其临界应力与材料强度有关，强度越
高的材料，临界应力越高。所以，对中柔度杆而言，选择
优质钢材将有助于提高压杆的稳定性。


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第十六章

压杆稳定

压杆稳定

第一节 压杆稳定的概念
一、稳定问题的提出

F

两根相同材料（松木）制成的杆，

σb=20MPa；A＝10mm×30mm
1m

短杆长：l＝30mm；
长杆长：l＝1000mm
F

若按强度条件计算，
两根杆压缩时的极限承载能力
均应为：
F= σb A=6kN

30mm

F

F

压杆稳定

压杆的破坏实验结果：

F

（1）短杆在压力增加到约

为6kN时，因木纹出现裂纹而
破坏。
（2）长杆在压力增加到约4kN
时突然弯向一侧，继续增大压力，
弯曲迅速增大，杆随即折断。

1m

F
30mm

F

F

压杆稳定
第六章

结论：
短压杆与长压杆在压缩时的破坏
性质完全不同
•

F

短压杆的破坏属于强

1m

度问题；
F

• 长压杆的破坏则属于能

30mm

否保持其原来的直线平衡
状态的问题

F

F

压杆稳定
第十章

压杆稳定性：压杆保持其原来直线平衡状态
的能力。
压杆不能保持其原来直线平衡状态而突然变弯
的现象，称为压杆的直线平衡状态丧失了稳定，
简称为压杆失稳。

压杆稳定

压杆失稳的严重后果：
19世纪，瑞士的孟汗太因桥突然倒塌，造
成200人遇难。
1907年加拿大的魁北克桥在建造时突然倒
塌，其原因都是因为桥梁桁架中的受压杆失稳
引起的。
1909年12月汉堡一个60万m3的大型贮气罐
因一个受压构件失稳而突然倒塌。

压杆稳定

研究压杆稳定性的意义：
压杆因强度或刚度不足而造成破坏之前一般
都有先兆；压杆由于失稳而造成破坏之前没有
任何先兆，当压力达到某个临界数值时就会突
然破坏，因此这种破坏形式在工程上具有很大
的破坏性。

在建筑工程中的受压上弦杆、厂房的柱子等
设计中都必须考虑其稳定性要求。

压杆稳定

二、平衡状态的类型
稳定平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体能自动恢复到原来的平
衡位置的平衡

不稳定平衡：

即使干扰平衡的外力消
失后，物体仍继续向远离原
来平衡位置的方向继续运动
的平衡。

随遇平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体可在任意位置继续保持
平衡。

显然，随遇平衡是界于稳定平衡与不稳定平衡之间的状
态，称为临界平衡状态。

压杆稳定

三、压杆临界力Fcr
FP

l
FP

FP ＜ FPcr

FP

F F

FP

F

FP

稳定直线平衡状态

FP = FPcr

F

FP

临界状态

FP > FPcr

F

FP

不稳定平衡状态

压杆处于临界状态时的轴向压力称为压杆的
临界力Fcr。

压杆稳定

第二节

细长压杆的临界力

临界力的影响因素
临界力Fcr的大小反映了压杆失稳的难易，而压杆失稳
就是直杆变弯，发生弯曲变形，因此临界力的大小与影响
直杆弯曲变形的因素有关：
杆的长度l
抗弯刚度EI

杆端支承

l越大
EI越大

越牢固

抵抗变形的能力越小

容易失稳

Fcr越小

抵抗变形的能力越强

不易失稳

Fcr越大

越不容易发生弯曲变形

不易失稳

Fcr越大

压杆稳定

临界力的欧拉公式
 EI
2

F cr 

(l)

2

式中 E——材料的弹性模量；
I——压杆横截面对形心轴的最小惯性矩；
l——压杆的长度；

μ——长度系数，反映了杆端支承对临界力的影响；
μl——压杆的计算长度。

压杆稳定

一端固定
一端铰支

两端铰支

两端固定

一端固定
一端自由

Fcr
Fcr

Fcr

μ=1

μ=0.7

0.25l

l

0.5l

l
0.3l

l

l

0.7l

0.25l

Fcr

μ=0.5

μ=2

压杆稳定

例1

一根两端铰支的№20a工字钢细长压杆，长

l=3m，钢的弹性模量E=200GPa，试计算其临界力。
解 查型钢表得
 EI

Iz=2370cm4，Iy=158cm4

2

Fcr 

l

2

  200  10  158  10
2



9

3

2

8

N

 346  10 N  346 kN
3

由此可知，若轴向压力达到346kN时，此杆会失稳。

压杆稳定

思考
材料及横截面均相同，哪一根最容易失稳，哪一根
最不容易失稳。

压杆稳定
Fcr

Fcr

y

200

120

y

120

200

z
z

8m

例2 一矩形截面的
中心受压的细长木柱，
长l=8m，柱的支承情况，
在最大刚度平面内弯曲
时为两端铰支（图a）；
在最小刚度平面内弯曲
时为两端固定（图b）。
木材的弹性模量
E=10GPa，试求木柱的
临界力。

压杆稳定

解 由于最大刚度平面与最小刚度平面内的支承
情况不同，所以需分别计算。
Fcr

（1）计算最大刚度平面内的临界力
截面的惯性矩为
Iy 

3

mm

4

y

 8  10 mm
7

4

 8  10

5

m

4

200

两端铰支，长度系数μ=1
 EI
2

F cr 

(l )

3 . 14  10  10  8  10
2

y
2



9

(1  8 )

 123  10 N  123 kN
3

z

8m

12

2

5

N

120

120  200

压杆稳定

（2）计算最小刚度平面内的临界力。
Fcr

由图16-4b,截面惯性矩为
3

mm

4

12

 2 . 88  10 mm
7

 2 . 88  10

5

m

4

z

4

y

两端固定，长度系数μ=0.5
 EI Z
2

Fcr 

(l )

2

3 . 14  10  10  2 . 88  10
2



9

( 0 .5  8 )

 177  10 N  177 kN
3

2

120

5

N

200

IZ 

200  120

压杆稳定

Fcr

Fcr

y

200

y

120

8m

z

120

200

z

比较计算结果可知
，第一种情况的临界力
小，所以压杆失稳时将
在最大刚度平面内产生
弯曲。此例说明，当在
最小刚度平面与最大刚
度平面内支承情况不同
时，压杆不一定在最小
刚度平面内失稳，必须
经过具体计算后才能确
定。

压杆稳定

第三节 临界应力与欧拉公式的适用范围
一、临界应力
 cr 
I i A
2

F cr

2



cr



(l )

2

2

 E

A
 Ei
2



 E I

(l)

2

A
2



(

l

)

2

i
令   l i

 E
2

 cr 



2

   l i —— 压杆的柔度（长细比），是无量纲的量。

压杆稳定

压杆的柔度λ
（1）综合反映了压杆的长度（l）、杆端支承情况（μ
）、截面形状和尺寸（I、A、i）对临界应力的影响。
（2）压杆的临界应力与压杆柔度的平方成反比，即
，柔度越大压杆临界应力越小，压杆越容易失稳。

压杆稳定

二、欧拉公式的适用范围
只有当压杆的临界应力不超过材料的比例极限时，欧
拉公式才适用，即：
 E
2

 cr 



2



p

  p  

E

p

 p ——对应于材料比例极限时的柔度，只与材料的性质

有关，与压杆的截面形状和尺寸无关。

   p 的压杆——大柔度杆（细长杆）
欧拉公式只适用于大柔度杆（细长杆）

压杆稳定

三、超出比例极限时压杆的临界应力、
临界应力总图
压杆的应力超出比例极限时（λ<λp），这类杆件工程
上称为中柔度杆，此类压杆的稳定称弹塑性稳定。
抛物线公式（经验公式）

σcr= a - bλ2
式中，λ为压杆的柔度，a、b与材料有关的常数

例如：对于Q235钢及16Mn钢分别有
σcr=（235-0.00668λ2）MPa
σcr=（345-0.0142λ2）MPa

压杆稳定

由式可知，压杆不论处于弹性阶段还是弹塑性阶段，
其临界应力均为压杆柔度的函数，临界应力σcr与柔度λ的
函数曲线称为临界应力总图。

注意：图中以λc=123
而不是以λp=100作为二曲
线的分界点.
对Q235钢制成的压杆 ,
当λ≥λc，按欧拉公式计
算临界应力或临界力;当
λ<123时用经验公式计算

压杆稳定

第四节

压杆的稳定计算

一、压杆稳定条件

  

st

式中 [σ]st称为稳定许用应力，其值为

 st



 cr
n st

式中nst为压杆的稳定安全系数

压杆稳定

稳定许用应力值可写成下列形式

 st

  



式中[σ]——强度计算时的许用应力；

——折减系数。
压杆稳定条件可写为

 

FN
A

式中A为横截面的毛面积。

  



压杆稳定

折减系数
（1）折减系数是柔度λ的函数，随柔度λ的变化而
变化，柔度λ越大，折减系数越小；

（2）折减系数是各种影响因素的综合反映（如荷
载偏心、材料不均匀、初始曲率、安全储备等）；
（3）由于[σ] st总是小于[σ]，因此折减系数是一个小
于1的数。

压杆稳定

二、压杆稳定条件的应用
1.稳定校核。

2.设计截面。
3.确定稳定许用荷载。

压杆稳定

例11-3 图示两端铰支（球形铰）的矩形截面木杆，杆
端作用轴向压力Fp。已知l=3.6m，Fp=40kN，木材的强度
等级为TC13，许用应力[σ]=10MPa，试校核该压杆的稳定。
F
cr

解 矩形截面的惯性半径

A


120
12



12
bh

y



b

z

12

mm  34 . 64 mm

120

160

i

Iy

3

8m

hb

压杆稳定

两端铰支时长度系数μ=1
 

l

1  3 .6



34 . 64  10

i

3

 104

因为λ〉91
 
FN

A



F

A



2800



2



2800
104

40  10

2

3

0 . 259  120  160

所以该压杆满足稳定条件。

 0 . 259
MPa  8 . 00 MPa  



压杆稳定

第五节

提高压杆稳定性的措施

一、减小压杆的支承长度
从柔度计算式  

l
i

l\2

减小压杆的长度是降低压杆柔
l

度，提高压杆稳定性的有效方法
之一。
在条件允许的情况下，应
尽量使压杆的长度减小，或者
在压杆中间增加支撑。

l\2

压杆稳定
第

二、改善支承情况 ，减小长度系数μ
  0. 5

 1
Fcr

Fcr

 2

Fcr

杆端约束刚性越强,压杆的长度系数越小,相应的柔度
就越低,临界力就越大,因此尽可能加强杆端约束的刚性,
可使压 杆的稳定性得到提高.

压杆稳定

三、选择合理的截面形状
当截面面积相同的情况下，增大惯性矩I，从而达到增

大惯性半径i，减小柔度λ，提高压杆的临界应力。

压杆稳定

当压杆在各个弯曲平面内的支承条件相同时，压杆的

稳定性是由Imin方向的临界应力控制。因此，应尽量使截
面对任一形心主轴的惯性矩相同，这样可使压杆在各个
弯曲平面内具有相同的稳定性。
例如由两根槽钢组合而成的压杆
采用哪
种形式
好？

压杆稳定

当压杆在两个相互垂直平面内的支承条件不同时，
可采用Iz≠Iy的截面来与相应的支承条件配合，使压杆在

两相互垂直平面内的柔度值相等，即λz=λy，这样保证
压杆在这两个方向上具有相同的稳定性。

压杆稳定

四、合理选择材料
对于大柔度杆，临界应力与材料的弹性模量E有关，
由于各种钢材的弹性模量E值相差不大。所以，对大柔度

杆来说，选用优质钢材对提高临界应力意义不大。
对于中柔度杆，其临界应力与材料强度有关，强度越
高的材料，临界应力越高。所以，对中柔度杆而言，选择
优质钢材将有助于提高压杆的稳定性。


Slide 35

第十六章

压杆稳定

压杆稳定

第一节 压杆稳定的概念
一、稳定问题的提出

F

两根相同材料（松木）制成的杆，

σb=20MPa；A＝10mm×30mm
1m

短杆长：l＝30mm；
长杆长：l＝1000mm
F

若按强度条件计算，
两根杆压缩时的极限承载能力
均应为：
F= σb A=6kN

30mm

F

F

压杆稳定

压杆的破坏实验结果：

F

（1）短杆在压力增加到约

为6kN时，因木纹出现裂纹而
破坏。
（2）长杆在压力增加到约4kN
时突然弯向一侧，继续增大压力，
弯曲迅速增大，杆随即折断。

1m

F
30mm

F

F

压杆稳定
第六章

结论：
短压杆与长压杆在压缩时的破坏
性质完全不同
•

F

短压杆的破坏属于强

1m

度问题；
F

• 长压杆的破坏则属于能

30mm

否保持其原来的直线平衡
状态的问题

F

F

压杆稳定
第十章

压杆稳定性：压杆保持其原来直线平衡状态
的能力。
压杆不能保持其原来直线平衡状态而突然变弯
的现象，称为压杆的直线平衡状态丧失了稳定，
简称为压杆失稳。

压杆稳定

压杆失稳的严重后果：
19世纪，瑞士的孟汗太因桥突然倒塌，造
成200人遇难。
1907年加拿大的魁北克桥在建造时突然倒
塌，其原因都是因为桥梁桁架中的受压杆失稳
引起的。
1909年12月汉堡一个60万m3的大型贮气罐
因一个受压构件失稳而突然倒塌。

压杆稳定

研究压杆稳定性的意义：
压杆因强度或刚度不足而造成破坏之前一般
都有先兆；压杆由于失稳而造成破坏之前没有
任何先兆，当压力达到某个临界数值时就会突
然破坏，因此这种破坏形式在工程上具有很大
的破坏性。

在建筑工程中的受压上弦杆、厂房的柱子等
设计中都必须考虑其稳定性要求。

压杆稳定

二、平衡状态的类型
稳定平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体能自动恢复到原来的平
衡位置的平衡

不稳定平衡：

即使干扰平衡的外力消
失后，物体仍继续向远离原
来平衡位置的方向继续运动
的平衡。

随遇平衡：

干扰平衡的外力消失后，
物体可在任意位置继续保持
平衡。

显然，随遇平衡是界于稳定平衡与不稳定平衡之间的状
态，称为临界平衡状态。

压杆稳定

三、压杆临界力Fcr
FP

l
FP

FP ＜ FPcr

FP

F F

FP

F

FP

稳定直线平衡状态

FP = FPcr

F

FP

临界状态

FP > FPcr

F

FP

不稳定平衡状态

压杆处于临界状态时的轴向压力称为压杆的
临界力Fcr。

压杆稳定

第二节

细长压杆的临界力

临界力的影响因素
临界力Fcr的大小反映了压杆失稳的难易，而压杆失稳
就是直杆变弯，发生弯曲变形，因此临界力的大小与影响
直杆弯曲变形的因素有关：
杆的长度l
抗弯刚度EI

杆端支承

l越大
EI越大

越牢固

抵抗变形的能力越小

容易失稳

Fcr越小

抵抗变形的能力越强

不易失稳

Fcr越大

越不容易发生弯曲变形

不易失稳

Fcr越大

压杆稳定

临界力的欧拉公式
 EI
2

F cr 

(l)

2

式中 E——材料的弹性模量；
I——压杆横截面对形心轴的最小惯性矩；
l——压杆的长度；

μ——长度系数，反映了杆端支承对临界力的影响；
μl——压杆的计算长度。

压杆稳定

一端固定
一端铰支

两端铰支

两端固定

一端固定
一端自由

Fcr
Fcr

Fcr

μ=1

μ=0.7

0.25l

l

0.5l

l
0.3l

l

l

0.7l

0.25l

Fcr

μ=0.5

μ=2

压杆稳定

例1

一根两端铰支的№20a工字钢细长压杆，长

l=3m，钢的弹性模量E=200GPa，试计算其临界力。
解 查型钢表得
 EI

Iz=2370cm4，Iy=158cm4

2

Fcr 

l

2

  200  10  158  10
2



9

3

2

8

N

 346  10 N  346 kN
3

由此可知，若轴向压力达到346kN时，此杆会失稳。

压杆稳定

思考
材料及横截面均相同，哪一根最容易失稳，哪一根
最不容易失稳。

压杆稳定
Fcr

Fcr

y

200

120

y

120

200

z
z

8m

例2 一矩形截面的
中心受压的细长木柱，
长l=8m，柱的支承情况，
在最大刚度平面内弯曲
时为两端铰支（图a）；
在最小刚度平面内弯曲
时为两端固定（图b）。
木材的弹性模量
E=10GPa，试求木柱的
临界力。

压杆稳定

解 由于最大刚度平面与最小刚度平面内的支承
情况不同，所以需分别计算。
Fcr

（1）计算最大刚度平面内的临界力
截面的惯性矩为
Iy 

3

mm

4

y

 8  10 mm
7

4

 8  10

5

m

4

200

两端铰支，长度系数μ=1
 EI
2

F cr 

(l )

3 . 14  10  10  8  10
2

y
2



9

(1  8 )

 123  10 N  123 kN
3

z

8m

12

2

5

N

120

120  200

压杆稳定

（2）计算最小刚度平面内的临界力。
Fcr

由图16-4b,截面惯性矩为
3

mm

4

12

 2 . 88  10 mm
7

 2 . 88  10

5

m

4

z

4

y

两端固定，长度系数μ=0.5
 EI Z
2

Fcr 

(l )

2

3 . 14  10  10  2 . 88  10
2



9

( 0 .5  8 )

 177  10 N  177 kN
3

2

120

5

N

200

IZ 

200  120

压杆稳定

Fcr

Fcr

y

200

y

120

8m

z

120

200

z

比较计算结果可知
，第一种情况的临界力
小，所以压杆失稳时将
在最大刚度平面内产生
弯曲。此例说明，当在
最小刚度平面与最大刚
度平面内支承情况不同
时，压杆不一定在最小
刚度平面内失稳，必须
经过具体计算后才能确
定。

压杆稳定

第三节 临界应力与欧拉公式的适用范围
一、临界应力
 cr 
I i A
2

F cr

2



cr



(l )

2

2

 E

A
 Ei
2



 E I

(l)

2

A
2



(

l

)

2

i
令   l i

 E
2

 cr 



2

   l i —— 压杆的柔度（长细比），是无量纲的量。

压杆稳定

压杆的柔度λ
（1）综合反映了压杆的长度（l）、杆端支承情况（μ
）、截面形状和尺寸（I、A、i）对临界应力的影响。
（2）压杆的临界应力与压杆柔度的平方成反比，即
，柔度越大压杆临界应力越小，压杆越容易失稳。

压杆稳定

二、欧拉公式的适用范围
只有当压杆的临界应力不超过材料的比例极限时，欧
拉公式才适用，即：
 E
2

 cr 



2



p

  p  

E

p

 p ——对应于材料比例极限时的柔度，只与材料的性质

有关，与压杆的截面形状和尺寸无关。

   p 的压杆——大柔度杆（细长杆）
欧拉公式只适用于大柔度杆（细长杆）

压杆稳定

三、超出比例极限时压杆的临界应力、
临界应力总图
压杆的应力超出比例极限时（λ<λp），这类杆件工程
上称为中柔度杆，此类压杆的稳定称弹塑性稳定。
抛物线公式（经验公式）

σcr= a - bλ2
式中，λ为压杆的柔度，a、b与材料有关的常数

例如：对于Q235钢及16Mn钢分别有
σcr=（235-0.00668λ2）MPa
σcr=（345-0.0142λ2）MPa

压杆稳定

由式可知，压杆不论处于弹性阶段还是弹塑性阶段，
其临界应力均为压杆柔度的函数，临界应力σcr与柔度λ的
函数曲线称为临界应力总图。

注意：图中以λc=123
而不是以λp=100作为二曲
线的分界点.
对Q235钢制成的压杆 ,
当λ≥λc，按欧拉公式计
算临界应力或临界力;当
λ<123时用经验公式计算

压杆稳定

第四节

压杆的稳定计算

一、压杆稳定条件

  

st

式中 [σ]st称为稳定许用应力，其值为

 st



 cr
n st

式中nst为压杆的稳定安全系数

压杆稳定

稳定许用应力值可写成下列形式

 st

  



式中[σ]——强度计算时的许用应力；

——折减系数。
压杆稳定条件可写为

 

FN
A

式中A为横截面的毛面积。

  



压杆稳定

折减系数
（1）折减系数是柔度λ的函数，随柔度λ的变化而
变化，柔度λ越大，折减系数越小；

（2）折减系数是各种影响因素的综合反映（如荷
载偏心、材料不均匀、初始曲率、安全储备等）；
（3）由于[σ] st总是小于[σ]，因此折减系数是一个小
于1的数。

压杆稳定

二、压杆稳定条件的应用
1.稳定校核。

2.设计截面。
3.确定稳定许用荷载。

压杆稳定

例11-3 图示两端铰支（球形铰）的矩形截面木杆，杆
端作用轴向压力Fp。已知l=3.6m，Fp=40kN，木材的强度
等级为TC13，许用应力[σ]=10MPa，试校核该压杆的稳定。
F
cr

解 矩形截面的惯性半径

A


120
12



12
bh

y



b

z

12

mm  34 . 64 mm

120

160

i

Iy

3

8m

hb

压杆稳定

两端铰支时长度系数μ=1
 

l

1  3 .6



34 . 64  10

i

3

 104

因为λ〉91
 
FN

A



F

A



2800



2



2800
104

40  10

2

3

0 . 259  120  160

所以该压杆满足稳定条件。

 0 . 259
MPa  8 . 00 MPa  



压杆稳定

第五节

提高压杆稳定性的措施

一、减小压杆的支承长度
从柔度计算式  

l
i

l\2

减小压杆的长度是降低压杆柔
l

度，提高压杆稳定性的有效方法
之一。
在条件允许的情况下，应
尽量使压杆的长度减小，或者
在压杆中间增加支撑。

l\2

压杆稳定
第

二、改善支承情况 ，减小长度系数μ
  0. 5

 1
Fcr

Fcr

 2

Fcr

杆端约束刚性越强,压杆的长度系数越小,相应的柔度
就越低,临界力就越大,因此尽可能加强杆端约束的刚性,
可使压 杆的稳定性得到提高.

压杆稳定

三、选择合理的截面形状
当截面面积相同的情况下，增大惯性矩I，从而达到增

大惯性半径i，减小柔度λ，提高压杆的临界应力。

压杆稳定

当压杆在各个弯曲平面内的支承条件相同时，压杆的

稳定性是由Imin方向的临界应力控制。因此，应尽量使截
面对任一形心主轴的惯性矩相同，这样可使压杆在各个
弯曲平面内具有相同的稳定性。
例如由两根槽钢组合而成的压杆
采用哪
种形式
好？

压杆稳定

当压杆在两个相互垂直平面内的支承条件不同时，
可采用Iz≠Iy的截面来与相应的支承条件配合，使压杆在

两相互垂直平面内的柔度值相等，即λz=λy，这样保证
压杆在这两个方向上具有相同的稳定性。

压杆稳定

四、合理选择材料
对于大柔度杆，临界应力与材料的弹性模量E有关，
由于各种钢材的弹性模量E值相差不大。所以，对大柔度

杆来说，选用优质钢材对提高临界应力意义不大。
对于中柔度杆，其临界应力与材料强度有关，强度越
高的材料，临界应力越高。所以，对中柔度杆而言，选择
优质钢材将有助于提高压杆的稳定性。