Geometria

Krótki kurs geometrii płaszczyzny

Kąty i wielokąty

Nazwy i własności kątów powstających przez przecinające się proste

* Suma kątów przyległych wynosi 180 o

Trójkąty

Z trzech odcinków można zbudować trójkąt tylko wtedy,gdy suma dwóch krótszych odcinków jest większa od najdłuższego.

Rodzaje trójkątów

Ze względu na miarę tego największego kąta rozróżniamy trzy rodzaje trójkątów: b) a)

trójkąt ostrokątny,

który ma wszystkie kąty ostre

trójkąt prostokątny,

który ma kąt prosty i dwa ostre

c) trójkąt rozwartokątny

, który ma kat rozwarty i dwa ostre

Ze względu na boki wyróżniamy także trzy rodzaje trójkątów:

a)

trójkąt równoboczny

b)

trójkąt równoramienny

c)

trójkąt różnoboczny

W trójkącie wyróżniamy: 1.wysokość trójkąta 2. symetralna boku 3. dwusieczna kąta

Ćwiczenie 1. Czy istnieje trójkąt rozwartokątny, w którym najmniejszy kąt ma miarę 45 o ?

Symetrie i czworokąty

Figura może mieć symetrię osiową lub środkową, symetrię osiową i środkową, albo nie mieć żadnej z tych symetrii.

Rozróżniamy dwa podstawowe rodzaje symetrii: - symetria względem prostej, czyli

symetria osiowa

;

-

symetria względem punktu, czyli

środkowa

.

symetria

Symetria w czworokątach

Kwadrat • • • wszystkie boki równe • przeciwległe boki równoległe • wszystkie kąty proste • przekątne są równe, dzieląc się na połowy i są prostopadłe

symetria osiowa symetria środkowa

Prostokąt • • • przeciwległe boki równe i równoległe • wszystkie kąty proste • przekątne są równe i dzielą się na połowy

symetria osiowa symetria środkowa

Romb • • • wszystkie boki równe • przeciwległe boki równoległe • przeciwległe kąty równe • przekątne dzielą się na połowy i są prostopadłe

symetria osiowa symetria środkowa

Deltoid • • dwie pary sąsiednich boków równych • przekątne są prostopadłe

symetria osiowa

Trapez równoramienny • • podstawy równoległe

symetria osiowa

Równoległobok • • przeciwległe boki równe i równoległe • przeciwległe kąty równe • przekątne dzielą się na połowy

symetria środkowa

* Każdy równoległobok ma oś symetrii. Jest nim punkt przecięcia przekątnych.

Ćwiczenie 1. Czy istniej trapez, który ma dokładnie jeden kąt prosty?

Okrąg i koło

Kąty w kole

 Kąt

wpisany

oparty na

średnicy prosty.

okręgu jest

 Kąt

wpisany

ma

dwa razy mniejszą kąt środkowy

oparty miarę niż

na tym samym łuku.

 Kąty

wpisane

oparte

na tym samym łuku równe

.

są

Ćwiczenia 1. Oblicz kąty w podanych trójkątach

2. Korzystając z twierdzenia o kącie wpisanym, oblicz kąt L

Figury opisane czy wpisane ???

 Jeżeli wszystkie wierzchołki wielokąta leżą na okręgu, to mówimy, że wielokąt jest wpisany w okrąg albo że okrąg jest opisany na wielokącie.  Na każdym trójkącie, prostokącie, wielokącie foremnym można opisać okrąg. Jego środkiem jest punkt przecięcia symetralnych boków.

 Jeżeli wszystkie boki wielokąta są styczne do okręgu, to mówimy, że

wielokąt jest opisany na okręgu

albo że

okrąg jest wpisany w wielokąt.

 W każdy trójkąt , wielokąt foremny można wpisać okrąg. Jego środkiem jest punkt przecięcia dwusiecznych katów.

Pola, obwody i twierdzenie Pitagorasa

Pitagoras

(ok. 570-491 p.n.e) Grecki matematyk i filozof; założyciel szkoły pitagorejskiej; stworzył twierdzenie o bokach w trójkącie prostokątnym zwane twierdzeniem Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa

W trójkącie prostokątnym suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej

a 2 + b 2 = c 2

Ćwiczenia 1. Oblicz szukane boki trójkątów.

Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa w układzie współrzędnych

Odległość punktów o znanych współrzędnych obliczamy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

Na przykład odległość punktów P=(1, -2) i Q=(3, 4) wyznaczamy z trójkąta prostokątnego PRQ: [PQ] 2 =[PR] 2 +[RQ] 2 [PQ] 2 =(3-1) 2 +(4-(-2)) 2 [PQ] 2 =4+36 [PQ] 2 =40/  [P Q]=  40

Przystawanie

Figury nazywamy przystającymi, gdy mają taki sam kształt i taką samą wielkość. Po wycięciu nakładają się na siebie. Aby sprawdzić, że dwa trójkąty są podobne korzystamy z przedstawionych warunków:

Cecha BBB - bok bok bok  Trzy boki jednego trójkąta są równe odpowiednim bokom drugiego trójkąta.

Cech BKB – bok kąt bok  Dwa boki i kat zawarty między nimi w jednym trójkącie są równe odpowiednim bokom i kątowi między nimi w drugim trójkącie.

Cecha KBK- kąt bok kąt  Bok i dwa kąty leżące przy tym boku w jednym trójkącie są równe odpowiedniemu bokowi i kątom w drugim trójkącie.

Ćwiczenia 1.Sprawdź czy te trójkąty są przystające.

Z jakiej cechy skorzystałeś?

Dziękujemy za obejrzenie prezentacji przygotowanej przez uczennice klasy III e Publicznego Gimnazjum w Osięcinach : Katarzynę Sławińską i Monikę Dankiewicz