IV. Geometria

Oznaczamy:  małymi literami: proste (k, l, m, n, …), długość odcinków (a, b, c, …)  Wielkimi literami: punkty (A, B, C, …)   ,  ,  ,...

Kąt

to cześć płaszczyzny, ograniczona dwiema półprostymi wychodzącymi z jednego punktu wraz z tymi półprostymi. Dwie półproste o wspólnym początku wyznaczają na płaszczyźnie dwa kąty.

Kąty przyległe – to takie dwa kąty, które mają jedno wspólne ramię, a pozostałe ramiona tworzą prostą. Dwa kąty przyległe tworzą kąt półpełny, np.  .

i

 (     180  ),  .

i

 (     180  ).

Kąty wierzchołkowe – to takie dwa kąty, które mają wspólny wierzchołek, a ramiona jednego kata są    Dwie przecinające się proste tworzą dwie pary  katów wierzchołkowych. Kąty wierzchołkowe   

,

   Jeśli dwie proste równoległe przetniemy trzecią prostą, to otrzymamy następujące kąty: • kąty naprzemianległe wewnętrzne:  1   2

oraz

 1   2 • kąty naprzemianległe zewnętrzne:  1  2

oraz

 1   2 • kąty odpowiadające:  1   2

oraz

 1   2 ,  1   2

oraz

 1   2 .

Dwusieczna kąta

– jest to półprosta dzieląca kąt na dwa kąty przystające. Punkty leżące na dwusiecznej są równoodległe od oby ramion kąta.  

Symetralna odcinka

– to prosta prostopadła do odcinka dzieląca go na dwa przystające odcinki. Symetralna odcinka przechodzi przez jego środek. Odległości od dowolnego punktu leżącego na symetralnej do każdego z końców odcinka są równe.

1 2

a

1 2

a

Prosta styczna do okręgu

ma z okręgiem jeden punkt wspólny. Prosta styczna do okręgu tworzy z promieniem tego okręgu, poprowadzonym do punktu styczności, kąt prosty.

Sieczna

to prosta przecinająca okręg w dwóch punktach.

Kąt wpisany w okrąg

to kąt wypukły, którego wierzchołek leży na okręgu, a jego ramiona przecinają okrąg.

Kąt środkowy

w okręgu to kąt, którego wierzchołek leży w środku okręgu, a jego ramiona przecinają okrąg.

Miara kąta środkowego jest dwa razy większa niż miara kąta wpisanego opartego na tym samym łuku:

  2 

Wszystkie kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe. Kąt wpisany oparty na półokręgu jest prosty.

Trójkąt jest wpisany w okrąg

, a okrąg jest opisany na tym trójkącie, gdy wszystkie wierzchołki tego trójkąta leżą na tym okręgu.

Środek okręgu opisanego na trójkącie

znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych boków tego trójkąta.

Trójkąt jest opisany na okrąg

, a okrąg jest wpisany w ten trójkąt, gdy wszystkie boki są styczne do okręgu.

Środek okręgu wpisanego w trójkąt

znajduje się w punkcie przecięcia dwusiecznych kątów tego trójkąta.

Suma miar kątów w trójkącie wynosi

180



Środkowe w trójkącie

to odcinki łączące wierzchołki trójkąta ze środkiem przeciwległych boków.

Ważną własnością trójkątów jest tzw.

Warunek trójkąta,

nazywany także

nierównością trójkąta

można : z trzech odcinków zbudować trójkąt tylko wtedy, gdy suma długości każdych dwóch odcinków jest większa od odległości odcinka trzeciego.

CZWOROKĄT

Wszystkie kąty proste i wszystkie boki równe; przekątne są prostopadłe, równe i dzielą się na połowy Wszystkie kąty proste i dwie pary boków równe; przekątne dzielą się na połowy

kwadrat prostokąt

Dwie pary boków równych i równoległych; przekątne dzielą się na połowy

równoległobok

POLE i OBWÓD

P



a

2

P Ob

 1  2 

d

4

a

2

P



a



b Ob

 2

a

 2

b P



a



h Ob

 2

a

 2

b

Wszystkie boki równe; dwie pary boków równoległych; przekątne p, q są prostopadłe i dzielą się na połowy

romb

P



a



h P Ob

 1  2  4

a p



q

CZWOROKĄT

Dwie pary boków sąsiednich równych; przekątne p i q są prostopadłe

deltoid

Przynajmniej dwa boki równoległe

trapez

POLE I OBWÓD

P Ob

 1  2  2

a p

 

q

2

b P Ob

 1  2

a

 (

a



b

 

b

)

c



h



d

Suma miar kątów wewnętrznych w czworokącie wynosi

360 

Jeżeli sumy długości przeciwległych boków czworokąta są równe, to taki czworokąt można opisać na okręgu. Wielokąt jest wpisany w okrąg, a okrąg jest opisany na tym wielokącie, gdy wszystkie jego wierzchołki leżą na okręgu. Środek okręgu opisanego na wielokącie znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych boków tego wielokąta.

Wielokąt jest opisany na okręgu, a okręg jest wpisany w ten wielokąt, gdy wszystkie jego boki są styczne do okręgu. Środek okręgu wpisanego w wielokąt znajduje się w punkcie przecięcia dwusiecznych kątów tego wielokąta.

Wielokąt foremny

to takie wielokąt, który ma wszystkie kąty równe i wszystkie boki tej samej długości.

Suma miar katów wewnętrznych n-kąta foremnego



W każdy wielokąt foremny można wpisać koło i można opisać na nim koło.

Dwa wielokąty są przystające

odcinki są tej samej długości.

, jeżeli odpowiednie kąty są równe i odpowiednie

Dwa wielokąty są podobne

odcinki są proporcjonalne.

, jeżeli odpowiednie kąty są równe i odpowiednie Warunki, wystarczające do stwierdzenia, że trójkąty są

PRZYSTAJĄCE

nazywamy:

cechami przystawania trójkątów

:

Dwa trójkąty są przystające, jeżeli:

1.

Długości boków jednego trójkąta są równe długościom odpowiednich boków drugiego trójkąta. Albo 2. Długości dwóch boków w jednym trójkącie są równe długościom odpowiednich boków w drugim trójkącie, a miary katów zawartych pomiędzy tymi bokami są równe Albo 3. Długość jednego boku i miary katów do niego przylegających w jednym trójkącie są równe długości odpowiedniego boku i miarom kątów do niego przylegających w drugim trójkącie. Warunki, wystarczające do stwierdzenia, że trójkąty są

PODOBNE

nazywamy:

cechami podobieństwa trójkątów. Dwa trójkąty są podobne, jeżeli:

1.

Długości boków jednego trójkąta są proporcjonalne do długości odpowiednich boków w drugim trójkącie. Albo 2. Długości dwóch boków w jednym trójkącie są proporcjonalne do długości odpowiednich boków w drugim, a miary kątów zawartych między nimi są równe. Albo 3. Miary katów jednego trójkąta są równe

miarom odpowiednich kątów w drugim

trójkącie.

Ważnymi własnościami przekształcenia są: czy zachowuje ono rozwartość katów, czy zachowuje długość odcinków.

SYMETRIA OSIOWA

względem prostej k

(odbicie symetryczne względem prostej, symetria lustrzana) Figury symetryczne do siebie względem prostej k mają odpowiednie odcinki jednakowej długości i odpowiednie kąty równe. Mówimy krótko, że:

symetria osiowa nie zmienia długości odcinków i rozwartości katów.

Symetria osiowa względem tej samej osi wykonana dwukrotnie: na figurze, a potem na jej obrazie, powoduje powrót figury do jej położenie początkowego. Jeśli istnieje taka prosta, że

symetria osiowa

względem tej prostej przekształca figurę na nią samą, to mówimy, że figura jest symetrycznie osiowo.

OBRÓT

a kąt wokół punktu

Przekształcenie przez obrót nie zmienia długości odcinków i rozwartości katów.

Umówiliśmy się, że obrót wykonujemy w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Figura jest

symetryczna obrotowo

360 który ją przekształca na nią samą.

SYMETRIA ŚRODKOWA

względem punktu

(środka symetrii) Symetria środkowa nie zmienia długości odcinków i rozwartości kątów.

Symetria środkowa wykonana względem tego samego punktu dwukrotnie - na figurze, a następnie na jest obrazie - powoduje powrót figury na położenie wyjściowe. Symetria środkowa jest obrotem wokół środka Jeżeli istnieje taki punkt, że symetria środkowa względem tego punktu przekształca figurę na nią samą, to mówimy, że ta figura jest

symetryczna środkowa

.

JEDNOKŁADNOŚĆ

  punktowi A przyporządkowuje A’ należący do prostej S.A., leżącej: -Po tej samej stronie punktu S co punkt A, gdy k>0, oraz spełniający warunek: |

SA

|' 

k

 |

SA

|, -Po przeciwnej stronie punktu S niż punkt A, gdy k<0, oraz spełniający warunek: |

SA

|'  |

k

|  |

SA

|

k



k

  1 kątów. Figury jednokładne mają odpowiednie kąty równe, odpowiednie odcinki są w nich proporcjonalne i równoległe. Stosunek długości odpowiadających sobie odcinków jest równy wartości bezwzględnej skali jednokładności.

KOŁO

Pole = 

r

2 Obwód (długość okręgu)= 2 

r

WYCINEK KOŁA

Pole =  360   

r

2 Długość łuku =  360   2 

r

2 

TWIERDZENIE PITAGORASA

Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych równa jest kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

Twierdzenie odwrotne do TWIERDZENIA PITAGORASA

długością przeciwprostokątnej).

a

2 

b

2 

c

trójkąt ten jest prostokątny (a i b są długościami przyprostokątnych, c jest 2

a



b



c

przyjmując za c najdłuższy z danych boków, bo tylko ten może być przeciwprostokątną.

Stosunek długości przyprostokątnej, przyprostokątnej, przyległej do tego kąta nazywamy

tangensem kąta

 

tg

  .

Stosunek długości przyprostokątnej,  przyprostokątnej, przeciwległej do tego kąta nazywa się

cotangensem kąta

 

ctg

  .

Stosunek długości przyprostokątnej,  przeciwprostokątnej nazywa się

sinusem kąta

 

sin

  .

Stosunek długości przyprostokątnej, przeciwprostokątnej nazywa się    

Graniastosłup

to wielościan, którego dwie ściany (nazywane podstawami) są wielokątami przystającymi leżącymi w dwóch różnych płaszczyznach równoległych, a ściany boczne są równoległobokami.

Wysokością graniastosłupa

jest odcinek prostopadły do podstaw, którego oba końce leżą na płaszczyznach podstaw.

W nazwie graniastosłupa zawarta jest informacja o podstawie

, na przykład graniastosłup trójkątny ma w podstawie trójkąt. W

graniastosłupie prostym

ściany boczne są prostokątami. W

graniastosłupie prawidłowym

ściany boczne prostokątami. podstawy są wielokątami foremnymi, a

P c P P b P b

to suma pół podstaw ( -pole  2

P p



P b

Objętość (V) graniastosłupa

wysokość (h).

V

 jest iloczynem pola jego podstawy ( ) przez

p P p



h

Prostopadłościan

to graniastosłup, którego wszystkie ściany są prostokątami.

Sześcian

to prostopadłościan, którego wszystkie ściany są kwadratami. Sześcian jest

bryłą foremną.

V



abc P c

 2 (

ab



bc



ac

)

V P c



a

3 

6

a

2

Ostrosłup

to wielościan, którego podstawa jest dowolnym wielokątem, a ściany boczna trójkątami o wspólnym wierzchołku.

Wysokością ostrosłupa

jest odcinek prostopadły do podstawy, którego jeden koniec jest wierzchołkiem tego ostrosłupa.

W nazwie ostrosłupa jest zawarta informacja o podstawie

, na przykład ostrosłup trójkątny ma w podstawie trójkąt.

Objętość ostrosłupa jest jedna trzecią iloczynu jego pola podstawy i wysokości.

V

 1 3

P p



h

W

ostrosłupie prawidłowym

podstawa jest wielokątem foremnym, a ściany boczne są równoramiennymi trójkątami przystającymi.

Pole powierzchni całkowitej

P P P c



P p P b



P b

Czworościan

jest to ostrosłup, którego wszystkie ściany są trójkątami. Szczególny przypadek czworościanu to

czworościan foremny

, którego wszystkie ściany są jednakowymi trójkątami równobocznymi.

Na rysunku prosta k przecina płaszczyznę (oznaczoną literą P) w punkcie X. Gdy przez dowolny punkt A leżący na prostej k, różny od X, poprowadzimy prostą (oznaczoną l) prostopadłą do płaszczyzny i przecinającą ją w punkcie A’, to kąt AXA’ nazywamy

katem miedzy prostą k a płaszczyzną P.

Obracając figurę płaską wokół prostej

(nazywaną

osią obrotu

), otrzymujemy figurę przestrzenną nazywaną

bryła obrotową

.

Walec

to figura, powstała w wyniku obracania prostokąta dookoła prostej zawierającej jeden z jego boków. Bok ten jest

wysokością walca

, a prosta nazywa się

osią obrotu

. Boki prostokąta prostopadłe do osi obrotu zakreślają koło, będące

podstawami walca

. Bok równoległy do osi obrotu tworzy

powierzchnię boczną walca

. Każdy odcinek zawarty w powierzchni bocznej walca i prostopadły do podstawy nazywa się

tworzącą walca. Pole powierzchni całkowitej ( ) walca

c

to suma pół jego podstaw i pole powierzchni bocznej.

P c P c

  2 2

P p



r

2  

P b

2 

rh

Objętość walca

V



P p

 jest iloczynem jego pola podstawy ( ) i wysokości (h).

p h V

 

r

2

h

Stożek

jest figurą, która powstała w wyniku obracania trójkąta prostokątnego dookoła prostej zwierającej jedną z jego przyprostokątnych. Przyprostokątna ta jest

wysokością stożka

.

Przyprostokątna, która jest prostopadła do osi obrotu, zakreśla koło, będące

podstawą stożka

. Przyprostokątna trójkąta zakreśla powierzchnię nazywaną

powierzchnią boczną stożka

. Każdy odcinek zawarty w powierzchni bocznej stożka, łączący wierzchołek z podstawą, nazywamy

tworząca stożka

.

Pole powierzchni całkowitej stożka

P c

pola jego podstawy ( ) i pole powierzchni bocznej ( ):

P c



P p



P p b P c

 

r

2  

rl P b P c

 

r

2   360  

l

2

Objętość stożka (V) to jedna trzecia iloczynu pola jego podstawy ( ) i wysokości (h):

V

 1 3 

P p



h V

 1 3  

r

2 

h P p

Dwie bryły są podobne

, jeśli mają odpowiednie odcinki proporcjonalne i odpowiednie kąty przystające (podobnie jak w przypadku figur płaskich).

SKALA PODOBIEŃSTWA

k

ILE RAZY ZWIĘKSZA SIĘ LUB ZMNIEJSZA SIĘ:

Długość odcinków Pole powierzchni brył

k

k

2 Objętość brył

k

3

Koniec części IV