Transcript 10. Figury płaskie
Slide 1
Aleksander Gendarz
Przemysław Kapinos
Slide 2
Punkt
– najmniejszy, bezwymiarowy obiekt
geometryczny. Jest to jedno z podstawowych
pojęć geometrii.
Punkt ma zawsze zerowe rozmiary, dwa
punkty mogą więc różnić się tylko
położeniem. Punkty zaznacza się na
rysunku jako x (krzyżyk), kółko lub kropkę i
tradycyjnie oznacza wielkimi
literami alfabetu łacińskiego (A, B, C).
Slide 3
- jedno z podstawowych pojęć
geometrii, szczególny przypadek
nieograniczonej z obydwu stron krzywej o
nieskończonym promieniu krzywizny w
każdym punkcie.
Prosta
k
Slide 4
Półprosta
to część prostej ograniczona z
jednej strony punktem, który jest jej
początkiem.
Punkt na prostej dzieli ją na dwie półproste.
Slide 5
w pojęciu matematycznym to w
największym skrócie dokładnie część
prostej, która przechodzi przez dwa dowolne
punkty na tej prostej razem z tymi punktami.
W systemie metrycznym (odległość między
danymi punktami) odcinek o końcach A i B
definiuje się zbiorem punktów x.
Wszystkie punkty leżące od punktu A do B
należą do tego zbioru.
Odcinek
Slide 6
Symetralna odcinka – prosta prostopadła do
danego odcinka i przechodząca przez jego
środek.
Równoważnie - prosta będąca zbiorem
punktów równo oddalonych od obu końców
odcinka.
Slide 7
DWIE PÓŁPROSTE O WSPÓLNYM POCZĄTKU, które DZIELĄ
PŁASZCZYZNĘ NA DWIE CZĘŚCI. Każda z tych części wliczając półproste
to figura geometryczna nazywana kątem
Slide 8
Kąty dzielimy na:
-kąty ostre ( ma miarę kąta mniejszą od 90°)
-kąty proste (ma miarę kąta równą 90°)
-kąty rozwarte (ma miarę kąta większą niż 90° i mniejszą niż 180°)
-kąty półpełne (ma miarę kąta równą 180°)
-kąty wklęsłe (ma miarę kąta większą niż 180°, a mniejszą niż 360°)
-kąty pełne (ma miarę kata równą 360°)
Slide 9
Trójkąt – wielokąt o trzech bokach.
Odcinki tworzące łamaną nazywamy bokami trójkąta, punkty wspólne sąsiednich
boków nazywamy wierzchołkami trójkąta. Każdy trójkąt jest jednoznacznie
wyznaczony przez swoje wierzchołki.
W każdym trójkącie suma miar kątów wewnętrznych między bokami wynosi 180°.
1)Przy podziale ze względu na boki wyróżnia się:
- trójkąt różnoboczny ma każdy bok innej długości;
- trójkąt równoramienny ma przynajmniej dwa boki tej samej długości;
- trójkąt równoboczny ma wszystkie trzy boki tej samej długości; w tym przypadku też wszystkie jego
kąty są tej samej miary.
2)Przy podziale ze względu na kąty wyróżnia się:
- trójkąt ostrokątny, którego wszystkie kąty wewnętrzne są ostre
- trójkąt prostokątny to taki, w którym jeden z kątów wewnętrznych jest prosty; boki tworzące kąt prosty
nazywa się przyprostokątnymi, pozostały bok nosi nazwę przeciwprostokątnej;
- trójkąt rozwartokątny, którego jeden kąt wewnętrzny jest rozwarty.
Poszczególne wzory na pole trójkąta
Slide 10
1)Prostokąt – czworokąt, który ma wszystkie wewnętrzne kąty proste (stąd również jego nazwa). Prostokąt jest
szczególnym przypadkiem trapezu prostokątnego oraz równoległoboku.
Własności :
- przeciwległe boki są równe i równoległe,
- sąsiednie boki są prostopadłe,
- każdy z kątów jest kątem prostym,
- przekątne są równe i dzielą się na połowy,
- punkt przecięcia przekątnych jest środkiem okręgu opisanego na prostokącie,
przekątna dzieli prostokąt na dwa przystające trójkąty prostokątne
Wzór na pole prostokąta
2)Kwadrat- wieloąt foremny o czterech bokach (czworokąt foremny),
ma wszystkie wewnętrzne kąty proste.
Właściwości kwadratu :
- przeciwległe boki są równoległe.
- przekątne przecinają się w połowie.
punkt przecięcia przekątnych jest środkiem symetrii
Wzór na pole kwadratu
Slide 11
Równoległobok-szczególny przypadek trapezu:
- ma dwie przekątne
- boki równoległe są równe;
- kąty leżące naprzeciw siebie mają równe miary
- suma miar sąsiednich kątów wynosi 180°.
-przekątne dzielą się w punkcie przecięcia na połowy
-punkt przecięcia się przekątnych jest środkiem symetrii równoległoboku
Romb-równoległobok, który ma wszystkie cztery boki równej długości.
- Suma miar dwóch sąsiednich kątów wewnętrznych wynosi 180°.
- Przekątne przecinają się w połowie pod kątem prostym
oraz dzielą go na cztery przystające trójkąty prostokątne.
- Punkt przecięcia się przekątnych wyznacza środek
okręgu wpisanego w romb oraz jest środkiem symetrii rombu.
- Przekątne pokrywają się z dwusiecznymi kątów oraz osiami symetrii rombu.
Slide 12
Najważniejsze właściwości okręgu dotyczące stosunku
długości okręgu do jego średnicy - w każdym okręgu ten
stosunek jest taki sam.
𝑑ł𝑢𝑔𝑜ść 𝑜𝑘𝑟ę𝑔𝑢
=
𝑑ł𝑢𝑔𝑜ść ś𝑟𝑒𝑑𝑛𝑖𝑐𝑦
𝜋
π =
3,141592653589793238462643383279502884197169399
37…
Slide 13
Koło – zbiór wszystkich punktów płaszczyzny,
których odległość od ustalonego punktu na tej
płaszczyźnie (środka koła) nie przekracza pewnej
wartości (promienia koła).
Okrąg –zbiór wszystkich punktów na
płaszczyźnie, których odległość jest równa
promieniowi.
Promień – odcinek łączący środek okręgu z
dowolnym punktem na okręgu.
Cięciwa – odcinek łączący dwa dowolne punkty
na okręgu.
Średnica – odcinek łączący dwa dowolne punkty
na okręgu, przechodzący przez środek okręgu.
Slide 14
Wzór
na długość okręgu: 𝑂𝑏 = 2𝜋𝑟
Wzór
na pole wycinka koła: 𝑃 = 2𝜋𝑟 ∙
Wzór
na pole koła: 𝑃 = 𝜋𝑟 2
Wzór
na długość łuku: 𝑙 = 2𝜋𝑟 ∙
𝛼
360
𝛼
360
Slide 15
Aleksander Gendarz
Przemysław Kapinos
Slide 2
Punkt
– najmniejszy, bezwymiarowy obiekt
geometryczny. Jest to jedno z podstawowych
pojęć geometrii.
Punkt ma zawsze zerowe rozmiary, dwa
punkty mogą więc różnić się tylko
położeniem. Punkty zaznacza się na
rysunku jako x (krzyżyk), kółko lub kropkę i
tradycyjnie oznacza wielkimi
literami alfabetu łacińskiego (A, B, C).
Slide 3
- jedno z podstawowych pojęć
geometrii, szczególny przypadek
nieograniczonej z obydwu stron krzywej o
nieskończonym promieniu krzywizny w
każdym punkcie.
Prosta
k
Slide 4
Półprosta
to część prostej ograniczona z
jednej strony punktem, który jest jej
początkiem.
Punkt na prostej dzieli ją na dwie półproste.
Slide 5
w pojęciu matematycznym to w
największym skrócie dokładnie część
prostej, która przechodzi przez dwa dowolne
punkty na tej prostej razem z tymi punktami.
W systemie metrycznym (odległość między
danymi punktami) odcinek o końcach A i B
definiuje się zbiorem punktów x.
Wszystkie punkty leżące od punktu A do B
należą do tego zbioru.
Odcinek
Slide 6
Symetralna odcinka – prosta prostopadła do
danego odcinka i przechodząca przez jego
środek.
Równoważnie - prosta będąca zbiorem
punktów równo oddalonych od obu końców
odcinka.
Slide 7
DWIE PÓŁPROSTE O WSPÓLNYM POCZĄTKU, które DZIELĄ
PŁASZCZYZNĘ NA DWIE CZĘŚCI. Każda z tych części wliczając półproste
to figura geometryczna nazywana kątem
Slide 8
Kąty dzielimy na:
-kąty ostre ( ma miarę kąta mniejszą od 90°)
-kąty proste (ma miarę kąta równą 90°)
-kąty rozwarte (ma miarę kąta większą niż 90° i mniejszą niż 180°)
-kąty półpełne (ma miarę kąta równą 180°)
-kąty wklęsłe (ma miarę kąta większą niż 180°, a mniejszą niż 360°)
-kąty pełne (ma miarę kata równą 360°)
Slide 9
Trójkąt – wielokąt o trzech bokach.
Odcinki tworzące łamaną nazywamy bokami trójkąta, punkty wspólne sąsiednich
boków nazywamy wierzchołkami trójkąta. Każdy trójkąt jest jednoznacznie
wyznaczony przez swoje wierzchołki.
W każdym trójkącie suma miar kątów wewnętrznych między bokami wynosi 180°.
1)Przy podziale ze względu na boki wyróżnia się:
- trójkąt różnoboczny ma każdy bok innej długości;
- trójkąt równoramienny ma przynajmniej dwa boki tej samej długości;
- trójkąt równoboczny ma wszystkie trzy boki tej samej długości; w tym przypadku też wszystkie jego
kąty są tej samej miary.
2)Przy podziale ze względu na kąty wyróżnia się:
- trójkąt ostrokątny, którego wszystkie kąty wewnętrzne są ostre
- trójkąt prostokątny to taki, w którym jeden z kątów wewnętrznych jest prosty; boki tworzące kąt prosty
nazywa się przyprostokątnymi, pozostały bok nosi nazwę przeciwprostokątnej;
- trójkąt rozwartokątny, którego jeden kąt wewnętrzny jest rozwarty.
Poszczególne wzory na pole trójkąta
Slide 10
1)Prostokąt – czworokąt, który ma wszystkie wewnętrzne kąty proste (stąd również jego nazwa). Prostokąt jest
szczególnym przypadkiem trapezu prostokątnego oraz równoległoboku.
Własności :
- przeciwległe boki są równe i równoległe,
- sąsiednie boki są prostopadłe,
- każdy z kątów jest kątem prostym,
- przekątne są równe i dzielą się na połowy,
- punkt przecięcia przekątnych jest środkiem okręgu opisanego na prostokącie,
przekątna dzieli prostokąt na dwa przystające trójkąty prostokątne
Wzór na pole prostokąta
2)Kwadrat- wieloąt foremny o czterech bokach (czworokąt foremny),
ma wszystkie wewnętrzne kąty proste.
Właściwości kwadratu :
- przeciwległe boki są równoległe.
- przekątne przecinają się w połowie.
punkt przecięcia przekątnych jest środkiem symetrii
Wzór na pole kwadratu
Slide 11
Równoległobok-szczególny przypadek trapezu:
- ma dwie przekątne
- boki równoległe są równe;
- kąty leżące naprzeciw siebie mają równe miary
- suma miar sąsiednich kątów wynosi 180°.
-przekątne dzielą się w punkcie przecięcia na połowy
-punkt przecięcia się przekątnych jest środkiem symetrii równoległoboku
Romb-równoległobok, który ma wszystkie cztery boki równej długości.
- Suma miar dwóch sąsiednich kątów wewnętrznych wynosi 180°.
- Przekątne przecinają się w połowie pod kątem prostym
oraz dzielą go na cztery przystające trójkąty prostokątne.
- Punkt przecięcia się przekątnych wyznacza środek
okręgu wpisanego w romb oraz jest środkiem symetrii rombu.
- Przekątne pokrywają się z dwusiecznymi kątów oraz osiami symetrii rombu.
Slide 12
Najważniejsze właściwości okręgu dotyczące stosunku
długości okręgu do jego średnicy - w każdym okręgu ten
stosunek jest taki sam.
𝑑ł𝑢𝑔𝑜ść 𝑜𝑘𝑟ę𝑔𝑢
=
𝑑ł𝑢𝑔𝑜ść ś𝑟𝑒𝑑𝑛𝑖𝑐𝑦
𝜋
π =
3,141592653589793238462643383279502884197169399
37…
Slide 13
Koło – zbiór wszystkich punktów płaszczyzny,
których odległość od ustalonego punktu na tej
płaszczyźnie (środka koła) nie przekracza pewnej
wartości (promienia koła).
Okrąg –zbiór wszystkich punktów na
płaszczyźnie, których odległość jest równa
promieniowi.
Promień – odcinek łączący środek okręgu z
dowolnym punktem na okręgu.
Cięciwa – odcinek łączący dwa dowolne punkty
na okręgu.
Średnica – odcinek łączący dwa dowolne punkty
na okręgu, przechodzący przez środek okręgu.
Slide 14
Wzór
na długość okręgu: 𝑂𝑏 = 2𝜋𝑟
Wzór
na pole wycinka koła: 𝑃 = 2𝜋𝑟 ∙
Wzór
na pole koła: 𝑃 = 𝜋𝑟 2
Wzór
na długość łuku: 𝑙 = 2𝜋𝑟 ∙
𝛼
360
𝛼
360
Slide 15