Slide 1

Stranica: IV-1

Elektrostatika


Spojevi kondenzatora.

Stranica: IV-2

1. zadatak
Na kondenzatorsku mrežu na slici priključen je izvor napajanja koji daje
istosmjerni napon od 1200 [V]. Potrebno je odrediti ekvivalentni
(ukupni) kapacitet mreže, napone koji vladaju na pojedinim elementima
(kondenzatorima) kao i pripadne naboje. Zadano je:





C1 = 4 [F]
C2 = 6 [F]
C3 = 2 [F]
U = 1200 [V]

C1
U
C2

C3

Početna stranica

Stranica: IV-3

Uvodni pojmovi


Priključivanjem skupine kondenzatora na istosmjerni izvor
(ili izvore) električne energije uspostavljaju se naponske i
nabojske prilike na pojedinim kondenzatorima u skladu s
dva osnovna zakona i to:
alg Qikon  alg Qipoč
i

i

alg E j  alg
j


i

Qi
Ci

za svakičvor

za svaku konturu

U slučaju serijskog spoja dva prethodno nenabijena
kondenzatora vrijedi:
U1

E

+

C1
(1)

U2

E  U1  U 2
Q1

+

C2

Q2
-

za čvor(1)

 Q1  Q2  0

 1
1 
C12    
 C1 C2 

1

Početna stranica

Stranica: IV-4

Uvodni pojmovi


Za seriju prethodno nenabijenih kondenzatora općenito
n
vrijedi:
U  U
S



i

i 1

QS  Q1  Q 2    Q n
n
1
1

CS i 1 Ci


U slučaju paralelnog spoja dva prethodno nenabijena
kondenzatora vrijedi:
U12  U1  U 2

+

E

C2

+
C1Q1 U1
-

Q2 U2
-



Q12  Q1  Q2
C12  C1  C2

Za paralelu prethodno nenabijenih kondenzatora općenito
U P  U1  U 2    U n
vrijedi:
n

Q P   Qi
i 1
n

C P   Ci
i 1

Početna stranica

Stranica: IV-5

Rješenje


Ukupni (ekvivalentni) kapacitet mreže:
C23  C2  C3  6 106  2 106  8 106  8 F
1

1

 1
1 
1
1 
6
  
C   


2
.
67

10
 2.67F

6
6
8 10 
 4 10
 C1 C23 


Naponi na kondenzatorima:
Q1  Q23  Q  C U

C
2.67 106
U1  U   1200
 800V
C1
4 106
C
2.67 106
U 23  U 
 1200
 400V
C23
8 106
U 2  U3  U 23  400V

Početna stranica

Stranica: IV-6



Naboji na kondenzatorima:
Q1  C1 U1  4 106  800  3.2 103 C

Q 2  C2 U 2  6 106  400  2.4 103 C
Q3  C3 U 3  2 106  400  0.8 103 C

Početna stranica

Stranica: IV-7

2. zadatak
Na kondenzatorsku mrežu priključuje se izvor napajanja koji daje
istosmjerni napon od 1200 [V]. Potrebno je odrediti napone koji vladaju
na pojedinim elementima (kondenzatorima) kao i pripadne naboje, ako
je kondenzator C1 prethodno nabijen nabojem Q10 prikazanog
polariteta. Zadano je:





Q10

+



C1 = 4 [F]
C2 = 6 [F]
C3 = 2 [F]
Q10 = 1 [mC]
U = 1200 [V]

-



C1

U
C2

C3

Početna stranica

Stranica: IV-8

Uvodni pojmovi
Priključivanjem skupine kondenzatora na istosmjerni izvor
(ili izvore) električne energije uspostavljaju se naponske i
nabojske prilike na pojedinim kondenzatorima u skladu s
dva osnovna zakona i to:



alg Qikon  alg Qipoč
i

i

alg E j  alg
j


i

Qi
Ci

za svakičvor

za svaku konturu

U slučaju priključenja serijskog spoja dva kondenzatora
na istosmjerni izvor, pri čemu je prije toga kondenzator C1
nabijen na Q10, vrijedi:

U1

E
U2

Q10 +
C1
(1)

+

E  U1  U 2
Q1

+

C2

za čvor(1)  Q1  Q2  Q10

Q2
Početna stranica

Stranica: IV-9

Uvodni pojmovi


U slučaju priključivanja na izvor istosmjernog napajanja
serijsko-paralelnog spoja tri kondenzatora, gdje su oba
kondenzatora prethodno nabijena prema slici vrijedi:
Q1 U1

C1

+

Q10E

-

+
C2

Q30
+
+
Q2 U2
-

+
C3 Q3 U3
-

U 2  U 3  U 23
E  U1  U 23
U1 

Q1
C1

U2 

Q2
C2

U3 

Q3
C3

 Q1  Q2  Q3  Q10  Q30
Početna stranica

Stranica: IV-10

Rješenje
Nakon zatvaranja sklopke u mreži se kondenzatori nakon
nekog vremena nabiju nabojima prikazanim na slici:
+

(1)

U
C2



+

Q1

Q10

-



+ Q2
-

C1
Q3
+
-

C3

Za mrežu vrijedi:
za čvor(1)  Q1  Q2  Q3  Q10
Q 2 Q3

C2 C3
Q Q
Q Q
U  U1  U 23  1  2  1  3
C1 C2 C1 C3
U 2  U3 

Početna stranica

Stranica: IV-11



Rješenjem sustava tri jednadžbe s tri nepoznanice i
uvrštenjem poznatih vrijednosti konačni naboji na
kondenzatorima iznose:
Q1  2.86 mC

Q2  2.90 mC

Q3  0.96 mC



Naponi na kondenzatorima:
U 2  U3 

Q 2 Q3

 480V
C2 C3

U1 

Q1
 720V
C1

Početna stranica

Stranica: IV-12

3. zadatak
U mreži prema slici kondenzator C5 ima početni naboj Q50 naznačenog
predznaka. Koliku će promjenu napona U1 na kondenzatoru C1
uzrokovati zatvaranje sklopke S? Zadano:







C1 = 18 [F]
C2 = 20 [F]
C3 = 14 [F]
C4 = 16 [F]
C5 = 5 [F]
U = 12 [V]

C1

S
U
Q50

+
-

C5
C3

C2

C4

Početna stranica

Stranica: IV-13

Rješenje zadatka


Mreža prije zatvaranja sklopke može se pojednostaviti
(kondenzatori nisu prethodno nabijeni):
C1

C1

C2



U
C3

U

Cekv

C4

1
1
1


Cekv C2 C3  C4
Cekv 


C2  C3  C4 
 12F
C2  C3  C4

Budući da kondenzatori nisu prethodno nabijeni vrijedi:
Q10  Qekv 0
Q
Q
U  U C10  U Cekv0  10  ekv 0
C1
Cekv

Početna stranica

Stranica: IV-14

U  C1  Cekv 1218106 12106
Q10 

C1  Cekv
18106  12106
Q10  86.4C

Prije zatvaranja sklopke kondenzatori C1 i Cekv su nabijeni
početnim nabojem Q10, a kondenzator C5 nabojem Q50
prikazanih polariteta.



Q1

C1
+
+

Q10
U

Za mrežu nakon zatvaranja
sklopke vrijedi:
Q50

A
Q5
Qekv0
Qekv
+ +
+ +
Cekv
C5
- - -

za čvor(A)
 Q1  Q5  Qekv  Q10  Q50  Qekv 0
 Q1  Q5  Qekv  Q50
U C 5  U Cekv 

Q5 Qekv

C5 Cekv

U  U C1  U C 5 

Q1 Q5

C1 C5

Početna stranica

Stranica: IV-15



Rješenjem sustava tri jednadžbe dobije se Q5:
Q50  U  C1 36106  1218106
Q5 

Cekv
18
12
C1
1
1
5
5
C5
C5
Q5  36 As



Napon na C5:
UC5



Q5 36106


 7.2 V
6
C5
5 10

Prije zatvaranja sklopke kondenzatori C1 nabijen je na
napon UC10:
Q10 86.4 106
U C10 

 4.8 V
6
C1
1810



Nakon zatvaranja sklopke kondenzator C1 nabijen je na
napon UC1:
UC1  U  UC5  12  7.2  4.8 V



Razlika napona na C1 prije i poslije zatvaranja sklopke:
U  UC1  UC10  4.8  4.8  0 V

Početna stranica

Stranica: IV-16

4. zadatak
Središta dviju usamljenih metalnih kugli A i B polumjera RA i RB
razmaknuta su d metara, s tim da je d >> RA. Na kugle su dovedeni
naboji QA0 i QB0, a nakon toga one se međusobno povezuju vrlo
tankom metalnom niti. Odredite, za taj slučaj, iznose polja EA i EB tik uz
površinu kugli ako je  = 0.





RA = 9 [cm]
RA = 1 [cm]
QA0 = -2.4 [nC]
QB0 = +3.2 [nC]

QA0
QB0

RA
RB
d

Početna stranica

Stranica: IV-17

Rješenje zadatka


Nakon zatvaranja sklopke potencijali kugli
izjednačavaju (dolazi do preraspodjele naboja):
QA
QB

RA
RB
d

A  B

Uz referentnu točku u
beskonačnosti:
QA
QB

4     0  RA 4     0  RB

Kugle čine sustav prikazan na slici, za koji vrijedi:

CA

+

QA0

-



se

+

QA

-

beskonačnost

QB0
CB

+ +
-

QB

 QA0  QB0  QA  QB

-

beskonačnost

Početna stranica

Stranica: IV-18



Rješenjem sustava jednadžbi:
QB  QA

RB
RA

 QA0  QB0  2.4 109  3.2 109
QA 

RB
1
1
1
RA
9
QA  720 pAs
QB  80  pAs


Budući da je d >> RA el. polja nakon zatvaranja sklopke
iznose:
QA
72010-12
EA 

2
4     0  RA 4    8.85410-12  9 10-2



QB
80 10-12
EB 

2
4     0  RB 4    8.85410-12  110-2





2



2

 800V/m 
 7.2 kV/m

Početna stranica


Slide 2

Stranica: IV-1

Elektrostatika


Spojevi kondenzatora.

Stranica: IV-2

1. zadatak
Na kondenzatorsku mrežu na slici priključen je izvor napajanja koji daje
istosmjerni napon od 1200 [V]. Potrebno je odrediti ekvivalentni
(ukupni) kapacitet mreže, napone koji vladaju na pojedinim elementima
(kondenzatorima) kao i pripadne naboje. Zadano je:





C1 = 4 [F]
C2 = 6 [F]
C3 = 2 [F]
U = 1200 [V]

C1
U
C2

C3

Početna stranica

Stranica: IV-3

Uvodni pojmovi


Priključivanjem skupine kondenzatora na istosmjerni izvor
(ili izvore) električne energije uspostavljaju se naponske i
nabojske prilike na pojedinim kondenzatorima u skladu s
dva osnovna zakona i to:
alg Qikon  alg Qipoč
i

i

alg E j  alg
j


i

Qi
Ci

za svakičvor

za svaku konturu

U slučaju serijskog spoja dva prethodno nenabijena
kondenzatora vrijedi:
U1

E

+

C1
(1)

U2

E  U1  U 2
Q1

+

C2

Q2
-

za čvor(1)

 Q1  Q2  0

 1
1 
C12    
 C1 C2 

1

Početna stranica

Stranica: IV-4

Uvodni pojmovi


Za seriju prethodno nenabijenih kondenzatora općenito
n
vrijedi:
U  U
S



i

i 1

QS  Q1  Q 2    Q n
n
1
1

CS i 1 Ci


U slučaju paralelnog spoja dva prethodno nenabijena
kondenzatora vrijedi:
U12  U1  U 2

+

E

C2

+
C1Q1 U1
-

Q2 U2
-



Q12  Q1  Q2
C12  C1  C2

Za paralelu prethodno nenabijenih kondenzatora općenito
U P  U1  U 2    U n
vrijedi:
n

Q P   Qi
i 1
n

C P   Ci
i 1

Početna stranica

Stranica: IV-5

Rješenje


Ukupni (ekvivalentni) kapacitet mreže:
C23  C2  C3  6 106  2 106  8 106  8 F
1

1

 1
1 
1
1 
6
  
C   


2
.
67

10
 2.67F

6
6
8 10 
 4 10
 C1 C23 


Naponi na kondenzatorima:
Q1  Q23  Q  C U

C
2.67 106
U1  U   1200
 800V
C1
4 106
C
2.67 106
U 23  U 
 1200
 400V
C23
8 106
U 2  U3  U 23  400V

Početna stranica

Stranica: IV-6



Naboji na kondenzatorima:
Q1  C1 U1  4 106  800  3.2 103 C

Q 2  C2 U 2  6 106  400  2.4 103 C
Q3  C3 U 3  2 106  400  0.8 103 C

Početna stranica

Stranica: IV-7

2. zadatak
Na kondenzatorsku mrežu priključuje se izvor napajanja koji daje
istosmjerni napon od 1200 [V]. Potrebno je odrediti napone koji vladaju
na pojedinim elementima (kondenzatorima) kao i pripadne naboje, ako
je kondenzator C1 prethodno nabijen nabojem Q10 prikazanog
polariteta. Zadano je:





Q10

+



C1 = 4 [F]
C2 = 6 [F]
C3 = 2 [F]
Q10 = 1 [mC]
U = 1200 [V]

-



C1

U
C2

C3

Početna stranica

Stranica: IV-8

Uvodni pojmovi
Priključivanjem skupine kondenzatora na istosmjerni izvor
(ili izvore) električne energije uspostavljaju se naponske i
nabojske prilike na pojedinim kondenzatorima u skladu s
dva osnovna zakona i to:



alg Qikon  alg Qipoč
i

i

alg E j  alg
j


i

Qi
Ci

za svakičvor

za svaku konturu

U slučaju priključenja serijskog spoja dva kondenzatora
na istosmjerni izvor, pri čemu je prije toga kondenzator C1
nabijen na Q10, vrijedi:

U1

E
U2

Q10 +
C1
(1)

+

E  U1  U 2
Q1

+

C2

za čvor(1)  Q1  Q2  Q10

Q2
Početna stranica

Stranica: IV-9

Uvodni pojmovi


U slučaju priključivanja na izvor istosmjernog napajanja
serijsko-paralelnog spoja tri kondenzatora, gdje su oba
kondenzatora prethodno nabijena prema slici vrijedi:
Q1 U1

C1

+

Q10E

-

+
C2

Q30
+
+
Q2 U2
-

+
C3 Q3 U3
-

U 2  U 3  U 23
E  U1  U 23
U1 

Q1
C1

U2 

Q2
C2

U3 

Q3
C3

 Q1  Q2  Q3  Q10  Q30
Početna stranica

Stranica: IV-10

Rješenje
Nakon zatvaranja sklopke u mreži se kondenzatori nakon
nekog vremena nabiju nabojima prikazanim na slici:
+

(1)

U
C2



+

Q1

Q10

-



+ Q2
-

C1
Q3
+
-

C3

Za mrežu vrijedi:
za čvor(1)  Q1  Q2  Q3  Q10
Q 2 Q3

C2 C3
Q Q
Q Q
U  U1  U 23  1  2  1  3
C1 C2 C1 C3
U 2  U3 

Početna stranica

Stranica: IV-11



Rješenjem sustava tri jednadžbe s tri nepoznanice i
uvrštenjem poznatih vrijednosti konačni naboji na
kondenzatorima iznose:
Q1  2.86 mC

Q2  2.90 mC

Q3  0.96 mC



Naponi na kondenzatorima:
U 2  U3 

Q 2 Q3

 480V
C2 C3

U1 

Q1
 720V
C1

Početna stranica

Stranica: IV-12

3. zadatak
U mreži prema slici kondenzator C5 ima početni naboj Q50 naznačenog
predznaka. Koliku će promjenu napona U1 na kondenzatoru C1
uzrokovati zatvaranje sklopke S? Zadano:







C1 = 18 [F]
C2 = 20 [F]
C3 = 14 [F]
C4 = 16 [F]
C5 = 5 [F]
U = 12 [V]

C1

S
U
Q50

+
-

C5
C3

C2

C4

Početna stranica

Stranica: IV-13

Rješenje zadatka


Mreža prije zatvaranja sklopke može se pojednostaviti
(kondenzatori nisu prethodno nabijeni):
C1

C1

C2



U
C3

U

Cekv

C4

1
1
1


Cekv C2 C3  C4
Cekv 


C2  C3  C4 
 12F
C2  C3  C4

Budući da kondenzatori nisu prethodno nabijeni vrijedi:
Q10  Qekv 0
Q
Q
U  U C10  U Cekv0  10  ekv 0
C1
Cekv

Početna stranica

Stranica: IV-14

U  C1  Cekv 1218106 12106
Q10 

C1  Cekv
18106  12106
Q10  86.4C

Prije zatvaranja sklopke kondenzatori C1 i Cekv su nabijeni
početnim nabojem Q10, a kondenzator C5 nabojem Q50
prikazanih polariteta.



Q1

C1
+
+

Q10
U

Za mrežu nakon zatvaranja
sklopke vrijedi:
Q50

A
Q5
Qekv0
Qekv
+ +
+ +
Cekv
C5
- - -

za čvor(A)
 Q1  Q5  Qekv  Q10  Q50  Qekv 0
 Q1  Q5  Qekv  Q50
U C 5  U Cekv 

Q5 Qekv

C5 Cekv

U  U C1  U C 5 

Q1 Q5

C1 C5

Početna stranica

Stranica: IV-15



Rješenjem sustava tri jednadžbe dobije se Q5:
Q50  U  C1 36106  1218106
Q5 

Cekv
18
12
C1
1
1
5
5
C5
C5
Q5  36 As



Napon na C5:
UC5



Q5 36106


 7.2 V
6
C5
5 10

Prije zatvaranja sklopke kondenzatori C1 nabijen je na
napon UC10:
Q10 86.4 106
U C10 

 4.8 V
6
C1
1810



Nakon zatvaranja sklopke kondenzator C1 nabijen je na
napon UC1:
UC1  U  UC5  12  7.2  4.8 V



Razlika napona na C1 prije i poslije zatvaranja sklopke:
U  UC1  UC10  4.8  4.8  0 V

Početna stranica

Stranica: IV-16

4. zadatak
Središta dviju usamljenih metalnih kugli A i B polumjera RA i RB
razmaknuta su d metara, s tim da je d >> RA. Na kugle su dovedeni
naboji QA0 i QB0, a nakon toga one se međusobno povezuju vrlo
tankom metalnom niti. Odredite, za taj slučaj, iznose polja EA i EB tik uz
površinu kugli ako je  = 0.





RA = 9 [cm]
RA = 1 [cm]
QA0 = -2.4 [nC]
QB0 = +3.2 [nC]

QA0
QB0

RA
RB
d

Početna stranica

Stranica: IV-17

Rješenje zadatka


Nakon zatvaranja sklopke potencijali kugli
izjednačavaju (dolazi do preraspodjele naboja):
QA
QB

RA
RB
d

A  B

Uz referentnu točku u
beskonačnosti:
QA
QB

4     0  RA 4     0  RB

Kugle čine sustav prikazan na slici, za koji vrijedi:

CA

+

QA0

-



se

+

QA

-

beskonačnost

QB0
CB

+ +
-

QB

 QA0  QB0  QA  QB

-

beskonačnost

Početna stranica

Stranica: IV-18



Rješenjem sustava jednadžbi:
QB  QA

RB
RA

 QA0  QB0  2.4 109  3.2 109
QA 

RB
1
1
1
RA
9
QA  720 pAs
QB  80  pAs


Budući da je d >> RA el. polja nakon zatvaranja sklopke
iznose:
QA
72010-12
EA 

2
4     0  RA 4    8.85410-12  9 10-2



QB
80 10-12
EB 

2
4     0  RB 4    8.85410-12  110-2





2



2

 800V/m 
 7.2 kV/m

Početna stranica


Slide 3

Stranica: IV-1

Elektrostatika


Spojevi kondenzatora.

Stranica: IV-2

1. zadatak
Na kondenzatorsku mrežu na slici priključen je izvor napajanja koji daje
istosmjerni napon od 1200 [V]. Potrebno je odrediti ekvivalentni
(ukupni) kapacitet mreže, napone koji vladaju na pojedinim elementima
(kondenzatorima) kao i pripadne naboje. Zadano je:





C1 = 4 [F]
C2 = 6 [F]
C3 = 2 [F]
U = 1200 [V]

C1
U
C2

C3

Početna stranica

Stranica: IV-3

Uvodni pojmovi


Priključivanjem skupine kondenzatora na istosmjerni izvor
(ili izvore) električne energije uspostavljaju se naponske i
nabojske prilike na pojedinim kondenzatorima u skladu s
dva osnovna zakona i to:
alg Qikon  alg Qipoč
i

i

alg E j  alg
j


i

Qi
Ci

za svakičvor

za svaku konturu

U slučaju serijskog spoja dva prethodno nenabijena
kondenzatora vrijedi:
U1

E

+

C1
(1)

U2

E  U1  U 2
Q1

+

C2

Q2
-

za čvor(1)

 Q1  Q2  0

 1
1 
C12    
 C1 C2 

1

Početna stranica

Stranica: IV-4

Uvodni pojmovi


Za seriju prethodno nenabijenih kondenzatora općenito
n
vrijedi:
U  U
S



i

i 1

QS  Q1  Q 2    Q n
n
1
1

CS i 1 Ci


U slučaju paralelnog spoja dva prethodno nenabijena
kondenzatora vrijedi:
U12  U1  U 2

+

E

C2

+
C1Q1 U1
-

Q2 U2
-



Q12  Q1  Q2
C12  C1  C2

Za paralelu prethodno nenabijenih kondenzatora općenito
U P  U1  U 2    U n
vrijedi:
n

Q P   Qi
i 1
n

C P   Ci
i 1

Početna stranica

Stranica: IV-5

Rješenje


Ukupni (ekvivalentni) kapacitet mreže:
C23  C2  C3  6 106  2 106  8 106  8 F
1

1

 1
1 
1
1 
6
  
C   


2
.
67

10
 2.67F

6
6
8 10 
 4 10
 C1 C23 


Naponi na kondenzatorima:
Q1  Q23  Q  C U

C
2.67 106
U1  U   1200
 800V
C1
4 106
C
2.67 106
U 23  U 
 1200
 400V
C23
8 106
U 2  U3  U 23  400V

Početna stranica

Stranica: IV-6



Naboji na kondenzatorima:
Q1  C1 U1  4 106  800  3.2 103 C

Q 2  C2 U 2  6 106  400  2.4 103 C
Q3  C3 U 3  2 106  400  0.8 103 C

Početna stranica

Stranica: IV-7

2. zadatak
Na kondenzatorsku mrežu priključuje se izvor napajanja koji daje
istosmjerni napon od 1200 [V]. Potrebno je odrediti napone koji vladaju
na pojedinim elementima (kondenzatorima) kao i pripadne naboje, ako
je kondenzator C1 prethodno nabijen nabojem Q10 prikazanog
polariteta. Zadano je:





Q10

+



C1 = 4 [F]
C2 = 6 [F]
C3 = 2 [F]
Q10 = 1 [mC]
U = 1200 [V]

-



C1

U
C2

C3

Početna stranica

Stranica: IV-8

Uvodni pojmovi
Priključivanjem skupine kondenzatora na istosmjerni izvor
(ili izvore) električne energije uspostavljaju se naponske i
nabojske prilike na pojedinim kondenzatorima u skladu s
dva osnovna zakona i to:



alg Qikon  alg Qipoč
i

i

alg E j  alg
j


i

Qi
Ci

za svakičvor

za svaku konturu

U slučaju priključenja serijskog spoja dva kondenzatora
na istosmjerni izvor, pri čemu je prije toga kondenzator C1
nabijen na Q10, vrijedi:

U1

E
U2

Q10 +
C1
(1)

+

E  U1  U 2
Q1

+

C2

za čvor(1)  Q1  Q2  Q10

Q2
Početna stranica

Stranica: IV-9

Uvodni pojmovi


U slučaju priključivanja na izvor istosmjernog napajanja
serijsko-paralelnog spoja tri kondenzatora, gdje su oba
kondenzatora prethodno nabijena prema slici vrijedi:
Q1 U1

C1

+

Q10E

-

+
C2

Q30
+
+
Q2 U2
-

+
C3 Q3 U3
-

U 2  U 3  U 23
E  U1  U 23
U1 

Q1
C1

U2 

Q2
C2

U3 

Q3
C3

 Q1  Q2  Q3  Q10  Q30
Početna stranica

Stranica: IV-10

Rješenje
Nakon zatvaranja sklopke u mreži se kondenzatori nakon
nekog vremena nabiju nabojima prikazanim na slici:
+

(1)

U
C2



+

Q1

Q10

-



+ Q2
-

C1
Q3
+
-

C3

Za mrežu vrijedi:
za čvor(1)  Q1  Q2  Q3  Q10
Q 2 Q3

C2 C3
Q Q
Q Q
U  U1  U 23  1  2  1  3
C1 C2 C1 C3
U 2  U3 

Početna stranica

Stranica: IV-11



Rješenjem sustava tri jednadžbe s tri nepoznanice i
uvrštenjem poznatih vrijednosti konačni naboji na
kondenzatorima iznose:
Q1  2.86 mC

Q2  2.90 mC

Q3  0.96 mC



Naponi na kondenzatorima:
U 2  U3 

Q 2 Q3

 480V
C2 C3

U1 

Q1
 720V
C1

Početna stranica

Stranica: IV-12

3. zadatak
U mreži prema slici kondenzator C5 ima početni naboj Q50 naznačenog
predznaka. Koliku će promjenu napona U1 na kondenzatoru C1
uzrokovati zatvaranje sklopke S? Zadano:







C1 = 18 [F]
C2 = 20 [F]
C3 = 14 [F]
C4 = 16 [F]
C5 = 5 [F]
U = 12 [V]

C1

S
U
Q50

+
-

C5
C3

C2

C4

Početna stranica

Stranica: IV-13

Rješenje zadatka


Mreža prije zatvaranja sklopke može se pojednostaviti
(kondenzatori nisu prethodno nabijeni):
C1

C1

C2



U
C3

U

Cekv

C4

1
1
1


Cekv C2 C3  C4
Cekv 


C2  C3  C4 
 12F
C2  C3  C4

Budući da kondenzatori nisu prethodno nabijeni vrijedi:
Q10  Qekv 0
Q
Q
U  U C10  U Cekv0  10  ekv 0
C1
Cekv

Početna stranica

Stranica: IV-14

U  C1  Cekv 1218106 12106
Q10 

C1  Cekv
18106  12106
Q10  86.4C

Prije zatvaranja sklopke kondenzatori C1 i Cekv su nabijeni
početnim nabojem Q10, a kondenzator C5 nabojem Q50
prikazanih polariteta.



Q1

C1
+
+

Q10
U

Za mrežu nakon zatvaranja
sklopke vrijedi:
Q50

A
Q5
Qekv0
Qekv
+ +
+ +
Cekv
C5
- - -

za čvor(A)
 Q1  Q5  Qekv  Q10  Q50  Qekv 0
 Q1  Q5  Qekv  Q50
U C 5  U Cekv 

Q5 Qekv

C5 Cekv

U  U C1  U C 5 

Q1 Q5

C1 C5

Početna stranica

Stranica: IV-15



Rješenjem sustava tri jednadžbe dobije se Q5:
Q50  U  C1 36106  1218106
Q5 

Cekv
18
12
C1
1
1
5
5
C5
C5
Q5  36 As



Napon na C5:
UC5



Q5 36106


 7.2 V
6
C5
5 10

Prije zatvaranja sklopke kondenzatori C1 nabijen je na
napon UC10:
Q10 86.4 106
U C10 

 4.8 V
6
C1
1810



Nakon zatvaranja sklopke kondenzator C1 nabijen je na
napon UC1:
UC1  U  UC5  12  7.2  4.8 V



Razlika napona na C1 prije i poslije zatvaranja sklopke:
U  UC1  UC10  4.8  4.8  0 V

Početna stranica

Stranica: IV-16

4. zadatak
Središta dviju usamljenih metalnih kugli A i B polumjera RA i RB
razmaknuta su d metara, s tim da je d >> RA. Na kugle su dovedeni
naboji QA0 i QB0, a nakon toga one se međusobno povezuju vrlo
tankom metalnom niti. Odredite, za taj slučaj, iznose polja EA i EB tik uz
površinu kugli ako je  = 0.





RA = 9 [cm]
RA = 1 [cm]
QA0 = -2.4 [nC]
QB0 = +3.2 [nC]

QA0
QB0

RA
RB
d

Početna stranica

Stranica: IV-17

Rješenje zadatka


Nakon zatvaranja sklopke potencijali kugli
izjednačavaju (dolazi do preraspodjele naboja):
QA
QB

RA
RB
d

A  B

Uz referentnu točku u
beskonačnosti:
QA
QB

4     0  RA 4     0  RB

Kugle čine sustav prikazan na slici, za koji vrijedi:

CA

+

QA0

-



se

+

QA

-

beskonačnost

QB0
CB

+ +
-

QB

 QA0  QB0  QA  QB

-

beskonačnost

Početna stranica

Stranica: IV-18



Rješenjem sustava jednadžbi:
QB  QA

RB
RA

 QA0  QB0  2.4 109  3.2 109
QA 

RB
1
1
1
RA
9
QA  720 pAs
QB  80  pAs


Budući da je d >> RA el. polja nakon zatvaranja sklopke
iznose:
QA
72010-12
EA 

2
4     0  RA 4    8.85410-12  9 10-2



QB
80 10-12
EB 

2
4     0  RB 4    8.85410-12  110-2





2



2

 800V/m 
 7.2 kV/m

Početna stranica


Slide 4

Stranica: IV-1

Elektrostatika


Spojevi kondenzatora.

Stranica: IV-2

1. zadatak
Na kondenzatorsku mrežu na slici priključen je izvor napajanja koji daje
istosmjerni napon od 1200 [V]. Potrebno je odrediti ekvivalentni
(ukupni) kapacitet mreže, napone koji vladaju na pojedinim elementima
(kondenzatorima) kao i pripadne naboje. Zadano je:





C1 = 4 [F]
C2 = 6 [F]
C3 = 2 [F]
U = 1200 [V]

C1
U
C2

C3

Početna stranica

Stranica: IV-3

Uvodni pojmovi


Priključivanjem skupine kondenzatora na istosmjerni izvor
(ili izvore) električne energije uspostavljaju se naponske i
nabojske prilike na pojedinim kondenzatorima u skladu s
dva osnovna zakona i to:
alg Qikon  alg Qipoč
i

i

alg E j  alg
j


i

Qi
Ci

za svakičvor

za svaku konturu

U slučaju serijskog spoja dva prethodno nenabijena
kondenzatora vrijedi:
U1

E

+

C1
(1)

U2

E  U1  U 2
Q1

+

C2

Q2
-

za čvor(1)

 Q1  Q2  0

 1
1 
C12    
 C1 C2 

1

Početna stranica

Stranica: IV-4

Uvodni pojmovi


Za seriju prethodno nenabijenih kondenzatora općenito
n
vrijedi:
U  U
S



i

i 1

QS  Q1  Q 2    Q n
n
1
1

CS i 1 Ci


U slučaju paralelnog spoja dva prethodno nenabijena
kondenzatora vrijedi:
U12  U1  U 2

+

E

C2

+
C1Q1 U1
-

Q2 U2
-



Q12  Q1  Q2
C12  C1  C2

Za paralelu prethodno nenabijenih kondenzatora općenito
U P  U1  U 2    U n
vrijedi:
n

Q P   Qi
i 1
n

C P   Ci
i 1

Početna stranica

Stranica: IV-5

Rješenje


Ukupni (ekvivalentni) kapacitet mreže:
C23  C2  C3  6 106  2 106  8 106  8 F
1

1

 1
1 
1
1 
6
  
C   


2
.
67

10
 2.67F

6
6
8 10 
 4 10
 C1 C23 


Naponi na kondenzatorima:
Q1  Q23  Q  C U

C
2.67 106
U1  U   1200
 800V
C1
4 106
C
2.67 106
U 23  U 
 1200
 400V
C23
8 106
U 2  U3  U 23  400V

Početna stranica

Stranica: IV-6



Naboji na kondenzatorima:
Q1  C1 U1  4 106  800  3.2 103 C

Q 2  C2 U 2  6 106  400  2.4 103 C
Q3  C3 U 3  2 106  400  0.8 103 C

Početna stranica

Stranica: IV-7

2. zadatak
Na kondenzatorsku mrežu priključuje se izvor napajanja koji daje
istosmjerni napon od 1200 [V]. Potrebno je odrediti napone koji vladaju
na pojedinim elementima (kondenzatorima) kao i pripadne naboje, ako
je kondenzator C1 prethodno nabijen nabojem Q10 prikazanog
polariteta. Zadano je:





Q10

+



C1 = 4 [F]
C2 = 6 [F]
C3 = 2 [F]
Q10 = 1 [mC]
U = 1200 [V]

-



C1

U
C2

C3

Početna stranica

Stranica: IV-8

Uvodni pojmovi
Priključivanjem skupine kondenzatora na istosmjerni izvor
(ili izvore) električne energije uspostavljaju se naponske i
nabojske prilike na pojedinim kondenzatorima u skladu s
dva osnovna zakona i to:



alg Qikon  alg Qipoč
i

i

alg E j  alg
j


i

Qi
Ci

za svakičvor

za svaku konturu

U slučaju priključenja serijskog spoja dva kondenzatora
na istosmjerni izvor, pri čemu je prije toga kondenzator C1
nabijen na Q10, vrijedi:

U1

E
U2

Q10 +
C1
(1)

+

E  U1  U 2
Q1

+

C2

za čvor(1)  Q1  Q2  Q10

Q2
Početna stranica

Stranica: IV-9

Uvodni pojmovi


U slučaju priključivanja na izvor istosmjernog napajanja
serijsko-paralelnog spoja tri kondenzatora, gdje su oba
kondenzatora prethodno nabijena prema slici vrijedi:
Q1 U1

C1

+

Q10E

-

+
C2

Q30
+
+
Q2 U2
-

+
C3 Q3 U3
-

U 2  U 3  U 23
E  U1  U 23
U1 

Q1
C1

U2 

Q2
C2

U3 

Q3
C3

 Q1  Q2  Q3  Q10  Q30
Početna stranica

Stranica: IV-10

Rješenje
Nakon zatvaranja sklopke u mreži se kondenzatori nakon
nekog vremena nabiju nabojima prikazanim na slici:
+

(1)

U
C2



+

Q1

Q10

-



+ Q2
-

C1
Q3
+
-

C3

Za mrežu vrijedi:
za čvor(1)  Q1  Q2  Q3  Q10
Q 2 Q3

C2 C3
Q Q
Q Q
U  U1  U 23  1  2  1  3
C1 C2 C1 C3
U 2  U3 

Početna stranica

Stranica: IV-11



Rješenjem sustava tri jednadžbe s tri nepoznanice i
uvrštenjem poznatih vrijednosti konačni naboji na
kondenzatorima iznose:
Q1  2.86 mC

Q2  2.90 mC

Q3  0.96 mC



Naponi na kondenzatorima:
U 2  U3 

Q 2 Q3

 480V
C2 C3

U1 

Q1
 720V
C1

Početna stranica

Stranica: IV-12

3. zadatak
U mreži prema slici kondenzator C5 ima početni naboj Q50 naznačenog
predznaka. Koliku će promjenu napona U1 na kondenzatoru C1
uzrokovati zatvaranje sklopke S? Zadano:







C1 = 18 [F]
C2 = 20 [F]
C3 = 14 [F]
C4 = 16 [F]
C5 = 5 [F]
U = 12 [V]

C1

S
U
Q50

+
-

C5
C3

C2

C4

Početna stranica

Stranica: IV-13

Rješenje zadatka


Mreža prije zatvaranja sklopke može se pojednostaviti
(kondenzatori nisu prethodno nabijeni):
C1

C1

C2



U
C3

U

Cekv

C4

1
1
1


Cekv C2 C3  C4
Cekv 


C2  C3  C4 
 12F
C2  C3  C4

Budući da kondenzatori nisu prethodno nabijeni vrijedi:
Q10  Qekv 0
Q
Q
U  U C10  U Cekv0  10  ekv 0
C1
Cekv

Početna stranica

Stranica: IV-14

U  C1  Cekv 1218106 12106
Q10 

C1  Cekv
18106  12106
Q10  86.4C

Prije zatvaranja sklopke kondenzatori C1 i Cekv su nabijeni
početnim nabojem Q10, a kondenzator C5 nabojem Q50
prikazanih polariteta.



Q1

C1
+
+

Q10
U

Za mrežu nakon zatvaranja
sklopke vrijedi:
Q50

A
Q5
Qekv0
Qekv
+ +
+ +
Cekv
C5
- - -

za čvor(A)
 Q1  Q5  Qekv  Q10  Q50  Qekv 0
 Q1  Q5  Qekv  Q50
U C 5  U Cekv 

Q5 Qekv

C5 Cekv

U  U C1  U C 5 

Q1 Q5

C1 C5

Početna stranica

Stranica: IV-15



Rješenjem sustava tri jednadžbe dobije se Q5:
Q50  U  C1 36106  1218106
Q5 

Cekv
18
12
C1
1
1
5
5
C5
C5
Q5  36 As



Napon na C5:
UC5



Q5 36106


 7.2 V
6
C5
5 10

Prije zatvaranja sklopke kondenzatori C1 nabijen je na
napon UC10:
Q10 86.4 106
U C10 

 4.8 V
6
C1
1810



Nakon zatvaranja sklopke kondenzator C1 nabijen je na
napon UC1:
UC1  U  UC5  12  7.2  4.8 V



Razlika napona na C1 prije i poslije zatvaranja sklopke:
U  UC1  UC10  4.8  4.8  0 V

Početna stranica

Stranica: IV-16

4. zadatak
Središta dviju usamljenih metalnih kugli A i B polumjera RA i RB
razmaknuta su d metara, s tim da je d >> RA. Na kugle su dovedeni
naboji QA0 i QB0, a nakon toga one se međusobno povezuju vrlo
tankom metalnom niti. Odredite, za taj slučaj, iznose polja EA i EB tik uz
površinu kugli ako je  = 0.





RA = 9 [cm]
RA = 1 [cm]
QA0 = -2.4 [nC]
QB0 = +3.2 [nC]

QA0
QB0

RA
RB
d

Početna stranica

Stranica: IV-17

Rješenje zadatka


Nakon zatvaranja sklopke potencijali kugli
izjednačavaju (dolazi do preraspodjele naboja):
QA
QB

RA
RB
d

A  B

Uz referentnu točku u
beskonačnosti:
QA
QB

4     0  RA 4     0  RB

Kugle čine sustav prikazan na slici, za koji vrijedi:

CA

+

QA0

-



se

+

QA

-

beskonačnost

QB0
CB

+ +
-

QB

 QA0  QB0  QA  QB

-

beskonačnost

Početna stranica

Stranica: IV-18



Rješenjem sustava jednadžbi:
QB  QA

RB
RA

 QA0  QB0  2.4 109  3.2 109
QA 

RB
1
1
1
RA
9
QA  720 pAs
QB  80  pAs


Budući da je d >> RA el. polja nakon zatvaranja sklopke
iznose:
QA
72010-12
EA 

2
4     0  RA 4    8.85410-12  9 10-2



QB
80 10-12
EB 

2
4     0  RB 4    8.85410-12  110-2





2



2

 800V/m 
 7.2 kV/m

Početna stranica


Slide 5

Stranica: IV-1

Elektrostatika


Spojevi kondenzatora.

Stranica: IV-2

1. zadatak
Na kondenzatorsku mrežu na slici priključen je izvor napajanja koji daje
istosmjerni napon od 1200 [V]. Potrebno je odrediti ekvivalentni
(ukupni) kapacitet mreže, napone koji vladaju na pojedinim elementima
(kondenzatorima) kao i pripadne naboje. Zadano je:





C1 = 4 [F]
C2 = 6 [F]
C3 = 2 [F]
U = 1200 [V]

C1
U
C2

C3

Početna stranica

Stranica: IV-3

Uvodni pojmovi


Priključivanjem skupine kondenzatora na istosmjerni izvor
(ili izvore) električne energije uspostavljaju se naponske i
nabojske prilike na pojedinim kondenzatorima u skladu s
dva osnovna zakona i to:
alg Qikon  alg Qipoč
i

i

alg E j  alg
j


i

Qi
Ci

za svakičvor

za svaku konturu

U slučaju serijskog spoja dva prethodno nenabijena
kondenzatora vrijedi:
U1

E

+

C1
(1)

U2

E  U1  U 2
Q1

+

C2

Q2
-

za čvor(1)

 Q1  Q2  0

 1
1 
C12    
 C1 C2 

1

Početna stranica

Stranica: IV-4

Uvodni pojmovi


Za seriju prethodno nenabijenih kondenzatora općenito
n
vrijedi:
U  U
S



i

i 1

QS  Q1  Q 2    Q n
n
1
1

CS i 1 Ci


U slučaju paralelnog spoja dva prethodno nenabijena
kondenzatora vrijedi:
U12  U1  U 2

+

E

C2

+
C1Q1 U1
-

Q2 U2
-



Q12  Q1  Q2
C12  C1  C2

Za paralelu prethodno nenabijenih kondenzatora općenito
U P  U1  U 2    U n
vrijedi:
n

Q P   Qi
i 1
n

C P   Ci
i 1

Početna stranica

Stranica: IV-5

Rješenje


Ukupni (ekvivalentni) kapacitet mreže:
C23  C2  C3  6 106  2 106  8 106  8 F
1

1

 1
1 
1
1 
6
  
C   


2
.
67

10
 2.67F

6
6
8 10 
 4 10
 C1 C23 


Naponi na kondenzatorima:
Q1  Q23  Q  C U

C
2.67 106
U1  U   1200
 800V
C1
4 106
C
2.67 106
U 23  U 
 1200
 400V
C23
8 106
U 2  U3  U 23  400V

Početna stranica

Stranica: IV-6



Naboji na kondenzatorima:
Q1  C1 U1  4 106  800  3.2 103 C

Q 2  C2 U 2  6 106  400  2.4 103 C
Q3  C3 U 3  2 106  400  0.8 103 C

Početna stranica

Stranica: IV-7

2. zadatak
Na kondenzatorsku mrežu priključuje se izvor napajanja koji daje
istosmjerni napon od 1200 [V]. Potrebno je odrediti napone koji vladaju
na pojedinim elementima (kondenzatorima) kao i pripadne naboje, ako
je kondenzator C1 prethodno nabijen nabojem Q10 prikazanog
polariteta. Zadano je:





Q10

+



C1 = 4 [F]
C2 = 6 [F]
C3 = 2 [F]
Q10 = 1 [mC]
U = 1200 [V]

-



C1

U
C2

C3

Početna stranica

Stranica: IV-8

Uvodni pojmovi
Priključivanjem skupine kondenzatora na istosmjerni izvor
(ili izvore) električne energije uspostavljaju se naponske i
nabojske prilike na pojedinim kondenzatorima u skladu s
dva osnovna zakona i to:



alg Qikon  alg Qipoč
i

i

alg E j  alg
j


i

Qi
Ci

za svakičvor

za svaku konturu

U slučaju priključenja serijskog spoja dva kondenzatora
na istosmjerni izvor, pri čemu je prije toga kondenzator C1
nabijen na Q10, vrijedi:

U1

E
U2

Q10 +
C1
(1)

+

E  U1  U 2
Q1

+

C2

za čvor(1)  Q1  Q2  Q10

Q2
Početna stranica

Stranica: IV-9

Uvodni pojmovi


U slučaju priključivanja na izvor istosmjernog napajanja
serijsko-paralelnog spoja tri kondenzatora, gdje su oba
kondenzatora prethodno nabijena prema slici vrijedi:
Q1 U1

C1

+

Q10E

-

+
C2

Q30
+
+
Q2 U2
-

+
C3 Q3 U3
-

U 2  U 3  U 23
E  U1  U 23
U1 

Q1
C1

U2 

Q2
C2

U3 

Q3
C3

 Q1  Q2  Q3  Q10  Q30
Početna stranica

Stranica: IV-10

Rješenje
Nakon zatvaranja sklopke u mreži se kondenzatori nakon
nekog vremena nabiju nabojima prikazanim na slici:
+

(1)

U
C2



+

Q1

Q10

-



+ Q2
-

C1
Q3
+
-

C3

Za mrežu vrijedi:
za čvor(1)  Q1  Q2  Q3  Q10
Q 2 Q3

C2 C3
Q Q
Q Q
U  U1  U 23  1  2  1  3
C1 C2 C1 C3
U 2  U3 

Početna stranica

Stranica: IV-11



Rješenjem sustava tri jednadžbe s tri nepoznanice i
uvrštenjem poznatih vrijednosti konačni naboji na
kondenzatorima iznose:
Q1  2.86 mC

Q2  2.90 mC

Q3  0.96 mC



Naponi na kondenzatorima:
U 2  U3 

Q 2 Q3

 480V
C2 C3

U1 

Q1
 720V
C1

Početna stranica

Stranica: IV-12

3. zadatak
U mreži prema slici kondenzator C5 ima početni naboj Q50 naznačenog
predznaka. Koliku će promjenu napona U1 na kondenzatoru C1
uzrokovati zatvaranje sklopke S? Zadano:







C1 = 18 [F]
C2 = 20 [F]
C3 = 14 [F]
C4 = 16 [F]
C5 = 5 [F]
U = 12 [V]

C1

S
U
Q50

+
-

C5
C3

C2

C4

Početna stranica

Stranica: IV-13

Rješenje zadatka


Mreža prije zatvaranja sklopke može se pojednostaviti
(kondenzatori nisu prethodno nabijeni):
C1

C1

C2



U
C3

U

Cekv

C4

1
1
1


Cekv C2 C3  C4
Cekv 


C2  C3  C4 
 12F
C2  C3  C4

Budući da kondenzatori nisu prethodno nabijeni vrijedi:
Q10  Qekv 0
Q
Q
U  U C10  U Cekv0  10  ekv 0
C1
Cekv

Početna stranica

Stranica: IV-14

U  C1  Cekv 1218106 12106
Q10 

C1  Cekv
18106  12106
Q10  86.4C

Prije zatvaranja sklopke kondenzatori C1 i Cekv su nabijeni
početnim nabojem Q10, a kondenzator C5 nabojem Q50
prikazanih polariteta.



Q1

C1
+
+

Q10
U

Za mrežu nakon zatvaranja
sklopke vrijedi:
Q50

A
Q5
Qekv0
Qekv
+ +
+ +
Cekv
C5
- - -

za čvor(A)
 Q1  Q5  Qekv  Q10  Q50  Qekv 0
 Q1  Q5  Qekv  Q50
U C 5  U Cekv 

Q5 Qekv

C5 Cekv

U  U C1  U C 5 

Q1 Q5

C1 C5

Početna stranica

Stranica: IV-15



Rješenjem sustava tri jednadžbe dobije se Q5:
Q50  U  C1 36106  1218106
Q5 

Cekv
18
12
C1
1
1
5
5
C5
C5
Q5  36 As



Napon na C5:
UC5



Q5 36106


 7.2 V
6
C5
5 10

Prije zatvaranja sklopke kondenzatori C1 nabijen je na
napon UC10:
Q10 86.4 106
U C10 

 4.8 V
6
C1
1810



Nakon zatvaranja sklopke kondenzator C1 nabijen je na
napon UC1:
UC1  U  UC5  12  7.2  4.8 V



Razlika napona na C1 prije i poslije zatvaranja sklopke:
U  UC1  UC10  4.8  4.8  0 V

Početna stranica

Stranica: IV-16

4. zadatak
Središta dviju usamljenih metalnih kugli A i B polumjera RA i RB
razmaknuta su d metara, s tim da je d >> RA. Na kugle su dovedeni
naboji QA0 i QB0, a nakon toga one se međusobno povezuju vrlo
tankom metalnom niti. Odredite, za taj slučaj, iznose polja EA i EB tik uz
površinu kugli ako je  = 0.





RA = 9 [cm]
RA = 1 [cm]
QA0 = -2.4 [nC]
QB0 = +3.2 [nC]

QA0
QB0

RA
RB
d

Početna stranica

Stranica: IV-17

Rješenje zadatka


Nakon zatvaranja sklopke potencijali kugli
izjednačavaju (dolazi do preraspodjele naboja):
QA
QB

RA
RB
d

A  B

Uz referentnu točku u
beskonačnosti:
QA
QB

4     0  RA 4     0  RB

Kugle čine sustav prikazan na slici, za koji vrijedi:

CA

+

QA0

-



se

+

QA

-

beskonačnost

QB0
CB

+ +
-

QB

 QA0  QB0  QA  QB

-

beskonačnost

Početna stranica

Stranica: IV-18



Rješenjem sustava jednadžbi:
QB  QA

RB
RA

 QA0  QB0  2.4 109  3.2 109
QA 

RB
1
1
1
RA
9
QA  720 pAs
QB  80  pAs


Budući da je d >> RA el. polja nakon zatvaranja sklopke
iznose:
QA
72010-12
EA 

2
4     0  RA 4    8.85410-12  9 10-2



QB
80 10-12
EB 

2
4     0  RB 4    8.85410-12  110-2





2



2

 800V/m 
 7.2 kV/m

Početna stranica


Slide 6

Stranica: IV-1

Elektrostatika


Spojevi kondenzatora.

Stranica: IV-2

1. zadatak
Na kondenzatorsku mrežu na slici priključen je izvor napajanja koji daje
istosmjerni napon od 1200 [V]. Potrebno je odrediti ekvivalentni
(ukupni) kapacitet mreže, napone koji vladaju na pojedinim elementima
(kondenzatorima) kao i pripadne naboje. Zadano je:





C1 = 4 [F]
C2 = 6 [F]
C3 = 2 [F]
U = 1200 [V]

C1
U
C2

C3

Početna stranica

Stranica: IV-3

Uvodni pojmovi


Priključivanjem skupine kondenzatora na istosmjerni izvor
(ili izvore) električne energije uspostavljaju se naponske i
nabojske prilike na pojedinim kondenzatorima u skladu s
dva osnovna zakona i to:
alg Qikon  alg Qipoč
i

i

alg E j  alg
j


i

Qi
Ci

za svakičvor

za svaku konturu

U slučaju serijskog spoja dva prethodno nenabijena
kondenzatora vrijedi:
U1

E

+

C1
(1)

U2

E  U1  U 2
Q1

+

C2

Q2
-

za čvor(1)

 Q1  Q2  0

 1
1 
C12    
 C1 C2 

1

Početna stranica

Stranica: IV-4

Uvodni pojmovi


Za seriju prethodno nenabijenih kondenzatora općenito
n
vrijedi:
U  U
S



i

i 1

QS  Q1  Q 2    Q n
n
1
1

CS i 1 Ci


U slučaju paralelnog spoja dva prethodno nenabijena
kondenzatora vrijedi:
U12  U1  U 2

+

E

C2

+
C1Q1 U1
-

Q2 U2
-



Q12  Q1  Q2
C12  C1  C2

Za paralelu prethodno nenabijenih kondenzatora općenito
U P  U1  U 2    U n
vrijedi:
n

Q P   Qi
i 1
n

C P   Ci
i 1

Početna stranica

Stranica: IV-5

Rješenje


Ukupni (ekvivalentni) kapacitet mreže:
C23  C2  C3  6 106  2 106  8 106  8 F
1

1

 1
1 
1
1 
6
  
C   


2
.
67

10
 2.67F

6
6
8 10 
 4 10
 C1 C23 


Naponi na kondenzatorima:
Q1  Q23  Q  C U

C
2.67 106
U1  U   1200
 800V
C1
4 106
C
2.67 106
U 23  U 
 1200
 400V
C23
8 106
U 2  U3  U 23  400V

Početna stranica

Stranica: IV-6



Naboji na kondenzatorima:
Q1  C1 U1  4 106  800  3.2 103 C

Q 2  C2 U 2  6 106  400  2.4 103 C
Q3  C3 U 3  2 106  400  0.8 103 C

Početna stranica

Stranica: IV-7

2. zadatak
Na kondenzatorsku mrežu priključuje se izvor napajanja koji daje
istosmjerni napon od 1200 [V]. Potrebno je odrediti napone koji vladaju
na pojedinim elementima (kondenzatorima) kao i pripadne naboje, ako
je kondenzator C1 prethodno nabijen nabojem Q10 prikazanog
polariteta. Zadano je:





Q10

+



C1 = 4 [F]
C2 = 6 [F]
C3 = 2 [F]
Q10 = 1 [mC]
U = 1200 [V]

-



C1

U
C2

C3

Početna stranica

Stranica: IV-8

Uvodni pojmovi
Priključivanjem skupine kondenzatora na istosmjerni izvor
(ili izvore) električne energije uspostavljaju se naponske i
nabojske prilike na pojedinim kondenzatorima u skladu s
dva osnovna zakona i to:



alg Qikon  alg Qipoč
i

i

alg E j  alg
j


i

Qi
Ci

za svakičvor

za svaku konturu

U slučaju priključenja serijskog spoja dva kondenzatora
na istosmjerni izvor, pri čemu je prije toga kondenzator C1
nabijen na Q10, vrijedi:

U1

E
U2

Q10 +
C1
(1)

+

E  U1  U 2
Q1

+

C2

za čvor(1)  Q1  Q2  Q10

Q2
Početna stranica

Stranica: IV-9

Uvodni pojmovi


U slučaju priključivanja na izvor istosmjernog napajanja
serijsko-paralelnog spoja tri kondenzatora, gdje su oba
kondenzatora prethodno nabijena prema slici vrijedi:
Q1 U1

C1

+

Q10E

-

+
C2

Q30
+
+
Q2 U2
-

+
C3 Q3 U3
-

U 2  U 3  U 23
E  U1  U 23
U1 

Q1
C1

U2 

Q2
C2

U3 

Q3
C3

 Q1  Q2  Q3  Q10  Q30
Početna stranica

Stranica: IV-10

Rješenje
Nakon zatvaranja sklopke u mreži se kondenzatori nakon
nekog vremena nabiju nabojima prikazanim na slici:
+

(1)

U
C2



+

Q1

Q10

-



+ Q2
-

C1
Q3
+
-

C3

Za mrežu vrijedi:
za čvor(1)  Q1  Q2  Q3  Q10
Q 2 Q3

C2 C3
Q Q
Q Q
U  U1  U 23  1  2  1  3
C1 C2 C1 C3
U 2  U3 

Početna stranica

Stranica: IV-11



Rješenjem sustava tri jednadžbe s tri nepoznanice i
uvrštenjem poznatih vrijednosti konačni naboji na
kondenzatorima iznose:
Q1  2.86 mC

Q2  2.90 mC

Q3  0.96 mC



Naponi na kondenzatorima:
U 2  U3 

Q 2 Q3

 480V
C2 C3

U1 

Q1
 720V
C1

Početna stranica

Stranica: IV-12

3. zadatak
U mreži prema slici kondenzator C5 ima početni naboj Q50 naznačenog
predznaka. Koliku će promjenu napona U1 na kondenzatoru C1
uzrokovati zatvaranje sklopke S? Zadano:







C1 = 18 [F]
C2 = 20 [F]
C3 = 14 [F]
C4 = 16 [F]
C5 = 5 [F]
U = 12 [V]

C1

S
U
Q50

+
-

C5
C3

C2

C4

Početna stranica

Stranica: IV-13

Rješenje zadatka


Mreža prije zatvaranja sklopke može se pojednostaviti
(kondenzatori nisu prethodno nabijeni):
C1

C1

C2



U
C3

U

Cekv

C4

1
1
1


Cekv C2 C3  C4
Cekv 


C2  C3  C4 
 12F
C2  C3  C4

Budući da kondenzatori nisu prethodno nabijeni vrijedi:
Q10  Qekv 0
Q
Q
U  U C10  U Cekv0  10  ekv 0
C1
Cekv

Početna stranica

Stranica: IV-14

U  C1  Cekv 1218106 12106
Q10 

C1  Cekv
18106  12106
Q10  86.4C

Prije zatvaranja sklopke kondenzatori C1 i Cekv su nabijeni
početnim nabojem Q10, a kondenzator C5 nabojem Q50
prikazanih polariteta.



Q1

C1
+
+

Q10
U

Za mrežu nakon zatvaranja
sklopke vrijedi:
Q50

A
Q5
Qekv0
Qekv
+ +
+ +
Cekv
C5
- - -

za čvor(A)
 Q1  Q5  Qekv  Q10  Q50  Qekv 0
 Q1  Q5  Qekv  Q50
U C 5  U Cekv 

Q5 Qekv

C5 Cekv

U  U C1  U C 5 

Q1 Q5

C1 C5

Početna stranica

Stranica: IV-15



Rješenjem sustava tri jednadžbe dobije se Q5:
Q50  U  C1 36106  1218106
Q5 

Cekv
18
12
C1
1
1
5
5
C5
C5
Q5  36 As



Napon na C5:
UC5



Q5 36106


 7.2 V
6
C5
5 10

Prije zatvaranja sklopke kondenzatori C1 nabijen je na
napon UC10:
Q10 86.4 106
U C10 

 4.8 V
6
C1
1810



Nakon zatvaranja sklopke kondenzator C1 nabijen je na
napon UC1:
UC1  U  UC5  12  7.2  4.8 V



Razlika napona na C1 prije i poslije zatvaranja sklopke:
U  UC1  UC10  4.8  4.8  0 V

Početna stranica

Stranica: IV-16

4. zadatak
Središta dviju usamljenih metalnih kugli A i B polumjera RA i RB
razmaknuta su d metara, s tim da je d >> RA. Na kugle su dovedeni
naboji QA0 i QB0, a nakon toga one se međusobno povezuju vrlo
tankom metalnom niti. Odredite, za taj slučaj, iznose polja EA i EB tik uz
površinu kugli ako je  = 0.





RA = 9 [cm]
RA = 1 [cm]
QA0 = -2.4 [nC]
QB0 = +3.2 [nC]

QA0
QB0

RA
RB
d

Početna stranica

Stranica: IV-17

Rješenje zadatka


Nakon zatvaranja sklopke potencijali kugli
izjednačavaju (dolazi do preraspodjele naboja):
QA
QB

RA
RB
d

A  B

Uz referentnu točku u
beskonačnosti:
QA
QB

4     0  RA 4     0  RB

Kugle čine sustav prikazan na slici, za koji vrijedi:

CA

+

QA0

-



se

+

QA

-

beskonačnost

QB0
CB

+ +
-

QB

 QA0  QB0  QA  QB

-

beskonačnost

Početna stranica

Stranica: IV-18



Rješenjem sustava jednadžbi:
QB  QA

RB
RA

 QA0  QB0  2.4 109  3.2 109
QA 

RB
1
1
1
RA
9
QA  720 pAs
QB  80  pAs


Budući da je d >> RA el. polja nakon zatvaranja sklopke
iznose:
QA
72010-12
EA 

2
4     0  RA 4    8.85410-12  9 10-2



QB
80 10-12
EB 

2
4     0  RB 4    8.85410-12  110-2





2



2

 800V/m 
 7.2 kV/m

Početna stranica


Slide 7

Stranica: IV-1

Elektrostatika


Spojevi kondenzatora.

Stranica: IV-2

1. zadatak
Na kondenzatorsku mrežu na slici priključen je izvor napajanja koji daje
istosmjerni napon od 1200 [V]. Potrebno je odrediti ekvivalentni
(ukupni) kapacitet mreže, napone koji vladaju na pojedinim elementima
(kondenzatorima) kao i pripadne naboje. Zadano je:





C1 = 4 [F]
C2 = 6 [F]
C3 = 2 [F]
U = 1200 [V]

C1
U
C2

C3

Početna stranica

Stranica: IV-3

Uvodni pojmovi


Priključivanjem skupine kondenzatora na istosmjerni izvor
(ili izvore) električne energije uspostavljaju se naponske i
nabojske prilike na pojedinim kondenzatorima u skladu s
dva osnovna zakona i to:
alg Qikon  alg Qipoč
i

i

alg E j  alg
j


i

Qi
Ci

za svakičvor

za svaku konturu

U slučaju serijskog spoja dva prethodno nenabijena
kondenzatora vrijedi:
U1

E

+

C1
(1)

U2

E  U1  U 2
Q1

+

C2

Q2
-

za čvor(1)

 Q1  Q2  0

 1
1 
C12    
 C1 C2 

1

Početna stranica

Stranica: IV-4

Uvodni pojmovi


Za seriju prethodno nenabijenih kondenzatora općenito
n
vrijedi:
U  U
S



i

i 1

QS  Q1  Q 2    Q n
n
1
1

CS i 1 Ci


U slučaju paralelnog spoja dva prethodno nenabijena
kondenzatora vrijedi:
U12  U1  U 2

+

E

C2

+
C1Q1 U1
-

Q2 U2
-



Q12  Q1  Q2
C12  C1  C2

Za paralelu prethodno nenabijenih kondenzatora općenito
U P  U1  U 2    U n
vrijedi:
n

Q P   Qi
i 1
n

C P   Ci
i 1

Početna stranica

Stranica: IV-5

Rješenje


Ukupni (ekvivalentni) kapacitet mreže:
C23  C2  C3  6 106  2 106  8 106  8 F
1

1

 1
1 
1
1 
6
  
C   


2
.
67

10
 2.67F

6
6
8 10 
 4 10
 C1 C23 


Naponi na kondenzatorima:
Q1  Q23  Q  C U

C
2.67 106
U1  U   1200
 800V
C1
4 106
C
2.67 106
U 23  U 
 1200
 400V
C23
8 106
U 2  U3  U 23  400V

Početna stranica

Stranica: IV-6



Naboji na kondenzatorima:
Q1  C1 U1  4 106  800  3.2 103 C

Q 2  C2 U 2  6 106  400  2.4 103 C
Q3  C3 U 3  2 106  400  0.8 103 C

Početna stranica

Stranica: IV-7

2. zadatak
Na kondenzatorsku mrežu priključuje se izvor napajanja koji daje
istosmjerni napon od 1200 [V]. Potrebno je odrediti napone koji vladaju
na pojedinim elementima (kondenzatorima) kao i pripadne naboje, ako
je kondenzator C1 prethodno nabijen nabojem Q10 prikazanog
polariteta. Zadano je:





Q10

+



C1 = 4 [F]
C2 = 6 [F]
C3 = 2 [F]
Q10 = 1 [mC]
U = 1200 [V]

-



C1

U
C2

C3

Početna stranica

Stranica: IV-8

Uvodni pojmovi
Priključivanjem skupine kondenzatora na istosmjerni izvor
(ili izvore) električne energije uspostavljaju se naponske i
nabojske prilike na pojedinim kondenzatorima u skladu s
dva osnovna zakona i to:



alg Qikon  alg Qipoč
i

i

alg E j  alg
j


i

Qi
Ci

za svakičvor

za svaku konturu

U slučaju priključenja serijskog spoja dva kondenzatora
na istosmjerni izvor, pri čemu je prije toga kondenzator C1
nabijen na Q10, vrijedi:

U1

E
U2

Q10 +
C1
(1)

+

E  U1  U 2
Q1

+

C2

za čvor(1)  Q1  Q2  Q10

Q2
Početna stranica

Stranica: IV-9

Uvodni pojmovi


U slučaju priključivanja na izvor istosmjernog napajanja
serijsko-paralelnog spoja tri kondenzatora, gdje su oba
kondenzatora prethodno nabijena prema slici vrijedi:
Q1 U1

C1

+

Q10E

-

+
C2

Q30
+
+
Q2 U2
-

+
C3 Q3 U3
-

U 2  U 3  U 23
E  U1  U 23
U1 

Q1
C1

U2 

Q2
C2

U3 

Q3
C3

 Q1  Q2  Q3  Q10  Q30
Početna stranica

Stranica: IV-10

Rješenje
Nakon zatvaranja sklopke u mreži se kondenzatori nakon
nekog vremena nabiju nabojima prikazanim na slici:
+

(1)

U
C2



+

Q1

Q10

-



+ Q2
-

C1
Q3
+
-

C3

Za mrežu vrijedi:
za čvor(1)  Q1  Q2  Q3  Q10
Q 2 Q3

C2 C3
Q Q
Q Q
U  U1  U 23  1  2  1  3
C1 C2 C1 C3
U 2  U3 

Početna stranica

Stranica: IV-11



Rješenjem sustava tri jednadžbe s tri nepoznanice i
uvrštenjem poznatih vrijednosti konačni naboji na
kondenzatorima iznose:
Q1  2.86 mC

Q2  2.90 mC

Q3  0.96 mC



Naponi na kondenzatorima:
U 2  U3 

Q 2 Q3

 480V
C2 C3

U1 

Q1
 720V
C1

Početna stranica

Stranica: IV-12

3. zadatak
U mreži prema slici kondenzator C5 ima početni naboj Q50 naznačenog
predznaka. Koliku će promjenu napona U1 na kondenzatoru C1
uzrokovati zatvaranje sklopke S? Zadano:







C1 = 18 [F]
C2 = 20 [F]
C3 = 14 [F]
C4 = 16 [F]
C5 = 5 [F]
U = 12 [V]

C1

S
U
Q50

+
-

C5
C3

C2

C4

Početna stranica

Stranica: IV-13

Rješenje zadatka


Mreža prije zatvaranja sklopke može se pojednostaviti
(kondenzatori nisu prethodno nabijeni):
C1

C1

C2



U
C3

U

Cekv

C4

1
1
1


Cekv C2 C3  C4
Cekv 


C2  C3  C4 
 12F
C2  C3  C4

Budući da kondenzatori nisu prethodno nabijeni vrijedi:
Q10  Qekv 0
Q
Q
U  U C10  U Cekv0  10  ekv 0
C1
Cekv

Početna stranica

Stranica: IV-14

U  C1  Cekv 1218106 12106
Q10 

C1  Cekv
18106  12106
Q10  86.4C

Prije zatvaranja sklopke kondenzatori C1 i Cekv su nabijeni
početnim nabojem Q10, a kondenzator C5 nabojem Q50
prikazanih polariteta.



Q1

C1
+
+

Q10
U

Za mrežu nakon zatvaranja
sklopke vrijedi:
Q50

A
Q5
Qekv0
Qekv
+ +
+ +
Cekv
C5
- - -

za čvor(A)
 Q1  Q5  Qekv  Q10  Q50  Qekv 0
 Q1  Q5  Qekv  Q50
U C 5  U Cekv 

Q5 Qekv

C5 Cekv

U  U C1  U C 5 

Q1 Q5

C1 C5

Početna stranica

Stranica: IV-15



Rješenjem sustava tri jednadžbe dobije se Q5:
Q50  U  C1 36106  1218106
Q5 

Cekv
18
12
C1
1
1
5
5
C5
C5
Q5  36 As



Napon na C5:
UC5



Q5 36106


 7.2 V
6
C5
5 10

Prije zatvaranja sklopke kondenzatori C1 nabijen je na
napon UC10:
Q10 86.4 106
U C10 

 4.8 V
6
C1
1810



Nakon zatvaranja sklopke kondenzator C1 nabijen je na
napon UC1:
UC1  U  UC5  12  7.2  4.8 V



Razlika napona na C1 prije i poslije zatvaranja sklopke:
U  UC1  UC10  4.8  4.8  0 V

Početna stranica

Stranica: IV-16

4. zadatak
Središta dviju usamljenih metalnih kugli A i B polumjera RA i RB
razmaknuta su d metara, s tim da je d >> RA. Na kugle su dovedeni
naboji QA0 i QB0, a nakon toga one se međusobno povezuju vrlo
tankom metalnom niti. Odredite, za taj slučaj, iznose polja EA i EB tik uz
površinu kugli ako je  = 0.





RA = 9 [cm]
RA = 1 [cm]
QA0 = -2.4 [nC]
QB0 = +3.2 [nC]

QA0
QB0

RA
RB
d

Početna stranica

Stranica: IV-17

Rješenje zadatka


Nakon zatvaranja sklopke potencijali kugli
izjednačavaju (dolazi do preraspodjele naboja):
QA
QB

RA
RB
d

A  B

Uz referentnu točku u
beskonačnosti:
QA
QB

4     0  RA 4     0  RB

Kugle čine sustav prikazan na slici, za koji vrijedi:

CA

+

QA0

-



se

+

QA

-

beskonačnost

QB0
CB

+ +
-

QB

 QA0  QB0  QA  QB

-

beskonačnost

Početna stranica

Stranica: IV-18



Rješenjem sustava jednadžbi:
QB  QA

RB
RA

 QA0  QB0  2.4 109  3.2 109
QA 

RB
1
1
1
RA
9
QA  720 pAs
QB  80  pAs


Budući da je d >> RA el. polja nakon zatvaranja sklopke
iznose:
QA
72010-12
EA 

2
4     0  RA 4    8.85410-12  9 10-2



QB
80 10-12
EB 

2
4     0  RB 4    8.85410-12  110-2





2



2

 800V/m 
 7.2 kV/m

Početna stranica


Slide 8

Stranica: IV-1

Elektrostatika


Spojevi kondenzatora.

Stranica: IV-2

1. zadatak
Na kondenzatorsku mrežu na slici priključen je izvor napajanja koji daje
istosmjerni napon od 1200 [V]. Potrebno je odrediti ekvivalentni
(ukupni) kapacitet mreže, napone koji vladaju na pojedinim elementima
(kondenzatorima) kao i pripadne naboje. Zadano je:





C1 = 4 [F]
C2 = 6 [F]
C3 = 2 [F]
U = 1200 [V]

C1
U
C2

C3

Početna stranica

Stranica: IV-3

Uvodni pojmovi


Priključivanjem skupine kondenzatora na istosmjerni izvor
(ili izvore) električne energije uspostavljaju se naponske i
nabojske prilike na pojedinim kondenzatorima u skladu s
dva osnovna zakona i to:
alg Qikon  alg Qipoč
i

i

alg E j  alg
j


i

Qi
Ci

za svakičvor

za svaku konturu

U slučaju serijskog spoja dva prethodno nenabijena
kondenzatora vrijedi:
U1

E

+

C1
(1)

U2

E  U1  U 2
Q1

+

C2

Q2
-

za čvor(1)

 Q1  Q2  0

 1
1 
C12    
 C1 C2 

1

Početna stranica

Stranica: IV-4

Uvodni pojmovi


Za seriju prethodno nenabijenih kondenzatora općenito
n
vrijedi:
U  U
S



i

i 1

QS  Q1  Q 2    Q n
n
1
1

CS i 1 Ci


U slučaju paralelnog spoja dva prethodno nenabijena
kondenzatora vrijedi:
U12  U1  U 2

+

E

C2

+
C1Q1 U1
-

Q2 U2
-



Q12  Q1  Q2
C12  C1  C2

Za paralelu prethodno nenabijenih kondenzatora općenito
U P  U1  U 2    U n
vrijedi:
n

Q P   Qi
i 1
n

C P   Ci
i 1

Početna stranica

Stranica: IV-5

Rješenje


Ukupni (ekvivalentni) kapacitet mreže:
C23  C2  C3  6 106  2 106  8 106  8 F
1

1

 1
1 
1
1 
6
  
C   


2
.
67

10
 2.67F

6
6
8 10 
 4 10
 C1 C23 


Naponi na kondenzatorima:
Q1  Q23  Q  C U

C
2.67 106
U1  U   1200
 800V
C1
4 106
C
2.67 106
U 23  U 
 1200
 400V
C23
8 106
U 2  U3  U 23  400V

Početna stranica

Stranica: IV-6



Naboji na kondenzatorima:
Q1  C1 U1  4 106  800  3.2 103 C

Q 2  C2 U 2  6 106  400  2.4 103 C
Q3  C3 U 3  2 106  400  0.8 103 C

Početna stranica

Stranica: IV-7

2. zadatak
Na kondenzatorsku mrežu priključuje se izvor napajanja koji daje
istosmjerni napon od 1200 [V]. Potrebno je odrediti napone koji vladaju
na pojedinim elementima (kondenzatorima) kao i pripadne naboje, ako
je kondenzator C1 prethodno nabijen nabojem Q10 prikazanog
polariteta. Zadano je:





Q10

+



C1 = 4 [F]
C2 = 6 [F]
C3 = 2 [F]
Q10 = 1 [mC]
U = 1200 [V]

-



C1

U
C2

C3

Početna stranica

Stranica: IV-8

Uvodni pojmovi
Priključivanjem skupine kondenzatora na istosmjerni izvor
(ili izvore) električne energije uspostavljaju se naponske i
nabojske prilike na pojedinim kondenzatorima u skladu s
dva osnovna zakona i to:



alg Qikon  alg Qipoč
i

i

alg E j  alg
j


i

Qi
Ci

za svakičvor

za svaku konturu

U slučaju priključenja serijskog spoja dva kondenzatora
na istosmjerni izvor, pri čemu je prije toga kondenzator C1
nabijen na Q10, vrijedi:

U1

E
U2

Q10 +
C1
(1)

+

E  U1  U 2
Q1

+

C2

za čvor(1)  Q1  Q2  Q10

Q2
Početna stranica

Stranica: IV-9

Uvodni pojmovi


U slučaju priključivanja na izvor istosmjernog napajanja
serijsko-paralelnog spoja tri kondenzatora, gdje su oba
kondenzatora prethodno nabijena prema slici vrijedi:
Q1 U1

C1

+

Q10E

-

+
C2

Q30
+
+
Q2 U2
-

+
C3 Q3 U3
-

U 2  U 3  U 23
E  U1  U 23
U1 

Q1
C1

U2 

Q2
C2

U3 

Q3
C3

 Q1  Q2  Q3  Q10  Q30
Početna stranica

Stranica: IV-10

Rješenje
Nakon zatvaranja sklopke u mreži se kondenzatori nakon
nekog vremena nabiju nabojima prikazanim na slici:
+

(1)

U
C2



+

Q1

Q10

-



+ Q2
-

C1
Q3
+
-

C3

Za mrežu vrijedi:
za čvor(1)  Q1  Q2  Q3  Q10
Q 2 Q3

C2 C3
Q Q
Q Q
U  U1  U 23  1  2  1  3
C1 C2 C1 C3
U 2  U3 

Početna stranica

Stranica: IV-11



Rješenjem sustava tri jednadžbe s tri nepoznanice i
uvrštenjem poznatih vrijednosti konačni naboji na
kondenzatorima iznose:
Q1  2.86 mC

Q2  2.90 mC

Q3  0.96 mC



Naponi na kondenzatorima:
U 2  U3 

Q 2 Q3

 480V
C2 C3

U1 

Q1
 720V
C1

Početna stranica

Stranica: IV-12

3. zadatak
U mreži prema slici kondenzator C5 ima početni naboj Q50 naznačenog
predznaka. Koliku će promjenu napona U1 na kondenzatoru C1
uzrokovati zatvaranje sklopke S? Zadano:







C1 = 18 [F]
C2 = 20 [F]
C3 = 14 [F]
C4 = 16 [F]
C5 = 5 [F]
U = 12 [V]

C1

S
U
Q50

+
-

C5
C3

C2

C4

Početna stranica

Stranica: IV-13

Rješenje zadatka


Mreža prije zatvaranja sklopke može se pojednostaviti
(kondenzatori nisu prethodno nabijeni):
C1

C1

C2



U
C3

U

Cekv

C4

1
1
1


Cekv C2 C3  C4
Cekv 


C2  C3  C4 
 12F
C2  C3  C4

Budući da kondenzatori nisu prethodno nabijeni vrijedi:
Q10  Qekv 0
Q
Q
U  U C10  U Cekv0  10  ekv 0
C1
Cekv

Početna stranica

Stranica: IV-14

U  C1  Cekv 1218106 12106
Q10 

C1  Cekv
18106  12106
Q10  86.4C

Prije zatvaranja sklopke kondenzatori C1 i Cekv su nabijeni
početnim nabojem Q10, a kondenzator C5 nabojem Q50
prikazanih polariteta.



Q1

C1
+
+

Q10
U

Za mrežu nakon zatvaranja
sklopke vrijedi:
Q50

A
Q5
Qekv0
Qekv
+ +
+ +
Cekv
C5
- - -

za čvor(A)
 Q1  Q5  Qekv  Q10  Q50  Qekv 0
 Q1  Q5  Qekv  Q50
U C 5  U Cekv 

Q5 Qekv

C5 Cekv

U  U C1  U C 5 

Q1 Q5

C1 C5

Početna stranica

Stranica: IV-15



Rješenjem sustava tri jednadžbe dobije se Q5:
Q50  U  C1 36106  1218106
Q5 

Cekv
18
12
C1
1
1
5
5
C5
C5
Q5  36 As



Napon na C5:
UC5



Q5 36106


 7.2 V
6
C5
5 10

Prije zatvaranja sklopke kondenzatori C1 nabijen je na
napon UC10:
Q10 86.4 106
U C10 

 4.8 V
6
C1
1810



Nakon zatvaranja sklopke kondenzator C1 nabijen je na
napon UC1:
UC1  U  UC5  12  7.2  4.8 V



Razlika napona na C1 prije i poslije zatvaranja sklopke:
U  UC1  UC10  4.8  4.8  0 V

Početna stranica

Stranica: IV-16

4. zadatak
Središta dviju usamljenih metalnih kugli A i B polumjera RA i RB
razmaknuta su d metara, s tim da je d >> RA. Na kugle su dovedeni
naboji QA0 i QB0, a nakon toga one se međusobno povezuju vrlo
tankom metalnom niti. Odredite, za taj slučaj, iznose polja EA i EB tik uz
površinu kugli ako je  = 0.





RA = 9 [cm]
RA = 1 [cm]
QA0 = -2.4 [nC]
QB0 = +3.2 [nC]

QA0
QB0

RA
RB
d

Početna stranica

Stranica: IV-17

Rješenje zadatka


Nakon zatvaranja sklopke potencijali kugli
izjednačavaju (dolazi do preraspodjele naboja):
QA
QB

RA
RB
d

A  B

Uz referentnu točku u
beskonačnosti:
QA
QB

4     0  RA 4     0  RB

Kugle čine sustav prikazan na slici, za koji vrijedi:

CA

+

QA0

-



se

+

QA

-

beskonačnost

QB0
CB

+ +
-

QB

 QA0  QB0  QA  QB

-

beskonačnost

Početna stranica

Stranica: IV-18



Rješenjem sustava jednadžbi:
QB  QA

RB
RA

 QA0  QB0  2.4 109  3.2 109
QA 

RB
1
1
1
RA
9
QA  720 pAs
QB  80  pAs


Budući da je d >> RA el. polja nakon zatvaranja sklopke
iznose:
QA
72010-12
EA 

2
4     0  RA 4    8.85410-12  9 10-2



QB
80 10-12
EB 

2
4     0  RB 4    8.85410-12  110-2





2



2

 800V/m 
 7.2 kV/m

Početna stranica


Slide 9

Stranica: IV-1

Elektrostatika


Spojevi kondenzatora.

Stranica: IV-2

1. zadatak
Na kondenzatorsku mrežu na slici priključen je izvor napajanja koji daje
istosmjerni napon od 1200 [V]. Potrebno je odrediti ekvivalentni
(ukupni) kapacitet mreže, napone koji vladaju na pojedinim elementima
(kondenzatorima) kao i pripadne naboje. Zadano je:





C1 = 4 [F]
C2 = 6 [F]
C3 = 2 [F]
U = 1200 [V]

C1
U
C2

C3

Početna stranica

Stranica: IV-3

Uvodni pojmovi


Priključivanjem skupine kondenzatora na istosmjerni izvor
(ili izvore) električne energije uspostavljaju se naponske i
nabojske prilike na pojedinim kondenzatorima u skladu s
dva osnovna zakona i to:
alg Qikon  alg Qipoč
i

i

alg E j  alg
j


i

Qi
Ci

za svakičvor

za svaku konturu

U slučaju serijskog spoja dva prethodno nenabijena
kondenzatora vrijedi:
U1

E

+

C1
(1)

U2

E  U1  U 2
Q1

+

C2

Q2
-

za čvor(1)

 Q1  Q2  0

 1
1 
C12    
 C1 C2 

1

Početna stranica

Stranica: IV-4

Uvodni pojmovi


Za seriju prethodno nenabijenih kondenzatora općenito
n
vrijedi:
U  U
S



i

i 1

QS  Q1  Q 2    Q n
n
1
1

CS i 1 Ci


U slučaju paralelnog spoja dva prethodno nenabijena
kondenzatora vrijedi:
U12  U1  U 2

+

E

C2

+
C1Q1 U1
-

Q2 U2
-



Q12  Q1  Q2
C12  C1  C2

Za paralelu prethodno nenabijenih kondenzatora općenito
U P  U1  U 2    U n
vrijedi:
n

Q P   Qi
i 1
n

C P   Ci
i 1

Početna stranica

Stranica: IV-5

Rješenje


Ukupni (ekvivalentni) kapacitet mreže:
C23  C2  C3  6 106  2 106  8 106  8 F
1

1

 1
1 
1
1 
6
  
C   


2
.
67

10
 2.67F

6
6
8 10 
 4 10
 C1 C23 


Naponi na kondenzatorima:
Q1  Q23  Q  C U

C
2.67 106
U1  U   1200
 800V
C1
4 106
C
2.67 106
U 23  U 
 1200
 400V
C23
8 106
U 2  U3  U 23  400V

Početna stranica

Stranica: IV-6



Naboji na kondenzatorima:
Q1  C1 U1  4 106  800  3.2 103 C

Q 2  C2 U 2  6 106  400  2.4 103 C
Q3  C3 U 3  2 106  400  0.8 103 C

Početna stranica

Stranica: IV-7

2. zadatak
Na kondenzatorsku mrežu priključuje se izvor napajanja koji daje
istosmjerni napon od 1200 [V]. Potrebno je odrediti napone koji vladaju
na pojedinim elementima (kondenzatorima) kao i pripadne naboje, ako
je kondenzator C1 prethodno nabijen nabojem Q10 prikazanog
polariteta. Zadano je:





Q10

+



C1 = 4 [F]
C2 = 6 [F]
C3 = 2 [F]
Q10 = 1 [mC]
U = 1200 [V]

-



C1

U
C2

C3

Početna stranica

Stranica: IV-8

Uvodni pojmovi
Priključivanjem skupine kondenzatora na istosmjerni izvor
(ili izvore) električne energije uspostavljaju se naponske i
nabojske prilike na pojedinim kondenzatorima u skladu s
dva osnovna zakona i to:



alg Qikon  alg Qipoč
i

i

alg E j  alg
j


i

Qi
Ci

za svakičvor

za svaku konturu

U slučaju priključenja serijskog spoja dva kondenzatora
na istosmjerni izvor, pri čemu je prije toga kondenzator C1
nabijen na Q10, vrijedi:

U1

E
U2

Q10 +
C1
(1)

+

E  U1  U 2
Q1

+

C2

za čvor(1)  Q1  Q2  Q10

Q2
Početna stranica

Stranica: IV-9

Uvodni pojmovi


U slučaju priključivanja na izvor istosmjernog napajanja
serijsko-paralelnog spoja tri kondenzatora, gdje su oba
kondenzatora prethodno nabijena prema slici vrijedi:
Q1 U1

C1

+

Q10E

-

+
C2

Q30
+
+
Q2 U2
-

+
C3 Q3 U3
-

U 2  U 3  U 23
E  U1  U 23
U1 

Q1
C1

U2 

Q2
C2

U3 

Q3
C3

 Q1  Q2  Q3  Q10  Q30
Početna stranica

Stranica: IV-10

Rješenje
Nakon zatvaranja sklopke u mreži se kondenzatori nakon
nekog vremena nabiju nabojima prikazanim na slici:
+

(1)

U
C2



+

Q1

Q10

-



+ Q2
-

C1
Q3
+
-

C3

Za mrežu vrijedi:
za čvor(1)  Q1  Q2  Q3  Q10
Q 2 Q3

C2 C3
Q Q
Q Q
U  U1  U 23  1  2  1  3
C1 C2 C1 C3
U 2  U3 

Početna stranica

Stranica: IV-11



Rješenjem sustava tri jednadžbe s tri nepoznanice i
uvrštenjem poznatih vrijednosti konačni naboji na
kondenzatorima iznose:
Q1  2.86 mC

Q2  2.90 mC

Q3  0.96 mC



Naponi na kondenzatorima:
U 2  U3 

Q 2 Q3

 480V
C2 C3

U1 

Q1
 720V
C1

Početna stranica

Stranica: IV-12

3. zadatak
U mreži prema slici kondenzator C5 ima početni naboj Q50 naznačenog
predznaka. Koliku će promjenu napona U1 na kondenzatoru C1
uzrokovati zatvaranje sklopke S? Zadano:







C1 = 18 [F]
C2 = 20 [F]
C3 = 14 [F]
C4 = 16 [F]
C5 = 5 [F]
U = 12 [V]

C1

S
U
Q50

+
-

C5
C3

C2

C4

Početna stranica

Stranica: IV-13

Rješenje zadatka


Mreža prije zatvaranja sklopke može se pojednostaviti
(kondenzatori nisu prethodno nabijeni):
C1

C1

C2



U
C3

U

Cekv

C4

1
1
1


Cekv C2 C3  C4
Cekv 


C2  C3  C4 
 12F
C2  C3  C4

Budući da kondenzatori nisu prethodno nabijeni vrijedi:
Q10  Qekv 0
Q
Q
U  U C10  U Cekv0  10  ekv 0
C1
Cekv

Početna stranica

Stranica: IV-14

U  C1  Cekv 1218106 12106
Q10 

C1  Cekv
18106  12106
Q10  86.4C

Prije zatvaranja sklopke kondenzatori C1 i Cekv su nabijeni
početnim nabojem Q10, a kondenzator C5 nabojem Q50
prikazanih polariteta.



Q1

C1
+
+

Q10
U

Za mrežu nakon zatvaranja
sklopke vrijedi:
Q50

A
Q5
Qekv0
Qekv
+ +
+ +
Cekv
C5
- - -

za čvor(A)
 Q1  Q5  Qekv  Q10  Q50  Qekv 0
 Q1  Q5  Qekv  Q50
U C 5  U Cekv 

Q5 Qekv

C5 Cekv

U  U C1  U C 5 

Q1 Q5

C1 C5

Početna stranica

Stranica: IV-15



Rješenjem sustava tri jednadžbe dobije se Q5:
Q50  U  C1 36106  1218106
Q5 

Cekv
18
12
C1
1
1
5
5
C5
C5
Q5  36 As



Napon na C5:
UC5



Q5 36106


 7.2 V
6
C5
5 10

Prije zatvaranja sklopke kondenzatori C1 nabijen je na
napon UC10:
Q10 86.4 106
U C10 

 4.8 V
6
C1
1810



Nakon zatvaranja sklopke kondenzator C1 nabijen je na
napon UC1:
UC1  U  UC5  12  7.2  4.8 V



Razlika napona na C1 prije i poslije zatvaranja sklopke:
U  UC1  UC10  4.8  4.8  0 V

Početna stranica

Stranica: IV-16

4. zadatak
Središta dviju usamljenih metalnih kugli A i B polumjera RA i RB
razmaknuta su d metara, s tim da je d >> RA. Na kugle su dovedeni
naboji QA0 i QB0, a nakon toga one se međusobno povezuju vrlo
tankom metalnom niti. Odredite, za taj slučaj, iznose polja EA i EB tik uz
površinu kugli ako je  = 0.





RA = 9 [cm]
RA = 1 [cm]
QA0 = -2.4 [nC]
QB0 = +3.2 [nC]

QA0
QB0

RA
RB
d

Početna stranica

Stranica: IV-17

Rješenje zadatka


Nakon zatvaranja sklopke potencijali kugli
izjednačavaju (dolazi do preraspodjele naboja):
QA
QB

RA
RB
d

A  B

Uz referentnu točku u
beskonačnosti:
QA
QB

4     0  RA 4     0  RB

Kugle čine sustav prikazan na slici, za koji vrijedi:

CA

+

QA0

-



se

+

QA

-

beskonačnost

QB0
CB

+ +
-

QB

 QA0  QB0  QA  QB

-

beskonačnost

Početna stranica

Stranica: IV-18



Rješenjem sustava jednadžbi:
QB  QA

RB
RA

 QA0  QB0  2.4 109  3.2 109
QA 

RB
1
1
1
RA
9
QA  720 pAs
QB  80  pAs


Budući da je d >> RA el. polja nakon zatvaranja sklopke
iznose:
QA
72010-12
EA 

2
4     0  RA 4    8.85410-12  9 10-2



QB
80 10-12
EB 

2
4     0  RB 4    8.85410-12  110-2





2



2

 800V/m 
 7.2 kV/m

Početna stranica


Slide 10

Stranica: IV-1

Elektrostatika


Spojevi kondenzatora.

Stranica: IV-2

1. zadatak
Na kondenzatorsku mrežu na slici priključen je izvor napajanja koji daje
istosmjerni napon od 1200 [V]. Potrebno je odrediti ekvivalentni
(ukupni) kapacitet mreže, napone koji vladaju na pojedinim elementima
(kondenzatorima) kao i pripadne naboje. Zadano je:





C1 = 4 [F]
C2 = 6 [F]
C3 = 2 [F]
U = 1200 [V]

C1
U
C2

C3

Početna stranica

Stranica: IV-3

Uvodni pojmovi


Priključivanjem skupine kondenzatora na istosmjerni izvor
(ili izvore) električne energije uspostavljaju se naponske i
nabojske prilike na pojedinim kondenzatorima u skladu s
dva osnovna zakona i to:
alg Qikon  alg Qipoč
i

i

alg E j  alg
j


i

Qi
Ci

za svakičvor

za svaku konturu

U slučaju serijskog spoja dva prethodno nenabijena
kondenzatora vrijedi:
U1

E

+

C1
(1)

U2

E  U1  U 2
Q1

+

C2

Q2
-

za čvor(1)

 Q1  Q2  0

 1
1 
C12    
 C1 C2 

1

Početna stranica

Stranica: IV-4

Uvodni pojmovi


Za seriju prethodno nenabijenih kondenzatora općenito
n
vrijedi:
U  U
S



i

i 1

QS  Q1  Q 2    Q n
n
1
1

CS i 1 Ci


U slučaju paralelnog spoja dva prethodno nenabijena
kondenzatora vrijedi:
U12  U1  U 2

+

E

C2

+
C1Q1 U1
-

Q2 U2
-



Q12  Q1  Q2
C12  C1  C2

Za paralelu prethodno nenabijenih kondenzatora općenito
U P  U1  U 2    U n
vrijedi:
n

Q P   Qi
i 1
n

C P   Ci
i 1

Početna stranica

Stranica: IV-5

Rješenje


Ukupni (ekvivalentni) kapacitet mreže:
C23  C2  C3  6 106  2 106  8 106  8 F
1

1

 1
1 
1
1 
6
  
C   


2
.
67

10
 2.67F

6
6
8 10 
 4 10
 C1 C23 


Naponi na kondenzatorima:
Q1  Q23  Q  C U

C
2.67 106
U1  U   1200
 800V
C1
4 106
C
2.67 106
U 23  U 
 1200
 400V
C23
8 106
U 2  U3  U 23  400V

Početna stranica

Stranica: IV-6



Naboji na kondenzatorima:
Q1  C1 U1  4 106  800  3.2 103 C

Q 2  C2 U 2  6 106  400  2.4 103 C
Q3  C3 U 3  2 106  400  0.8 103 C

Početna stranica

Stranica: IV-7

2. zadatak
Na kondenzatorsku mrežu priključuje se izvor napajanja koji daje
istosmjerni napon od 1200 [V]. Potrebno je odrediti napone koji vladaju
na pojedinim elementima (kondenzatorima) kao i pripadne naboje, ako
je kondenzator C1 prethodno nabijen nabojem Q10 prikazanog
polariteta. Zadano je:





Q10

+



C1 = 4 [F]
C2 = 6 [F]
C3 = 2 [F]
Q10 = 1 [mC]
U = 1200 [V]

-



C1

U
C2

C3

Početna stranica

Stranica: IV-8

Uvodni pojmovi
Priključivanjem skupine kondenzatora na istosmjerni izvor
(ili izvore) električne energije uspostavljaju se naponske i
nabojske prilike na pojedinim kondenzatorima u skladu s
dva osnovna zakona i to:



alg Qikon  alg Qipoč
i

i

alg E j  alg
j


i

Qi
Ci

za svakičvor

za svaku konturu

U slučaju priključenja serijskog spoja dva kondenzatora
na istosmjerni izvor, pri čemu je prije toga kondenzator C1
nabijen na Q10, vrijedi:

U1

E
U2

Q10 +
C1
(1)

+

E  U1  U 2
Q1

+

C2

za čvor(1)  Q1  Q2  Q10

Q2
Početna stranica

Stranica: IV-9

Uvodni pojmovi


U slučaju priključivanja na izvor istosmjernog napajanja
serijsko-paralelnog spoja tri kondenzatora, gdje su oba
kondenzatora prethodno nabijena prema slici vrijedi:
Q1 U1

C1

+

Q10E

-

+
C2

Q30
+
+
Q2 U2
-

+
C3 Q3 U3
-

U 2  U 3  U 23
E  U1  U 23
U1 

Q1
C1

U2 

Q2
C2

U3 

Q3
C3

 Q1  Q2  Q3  Q10  Q30
Početna stranica

Stranica: IV-10

Rješenje
Nakon zatvaranja sklopke u mreži se kondenzatori nakon
nekog vremena nabiju nabojima prikazanim na slici:
+

(1)

U
C2



+

Q1

Q10

-



+ Q2
-

C1
Q3
+
-

C3

Za mrežu vrijedi:
za čvor(1)  Q1  Q2  Q3  Q10
Q 2 Q3

C2 C3
Q Q
Q Q
U  U1  U 23  1  2  1  3
C1 C2 C1 C3
U 2  U3 

Početna stranica

Stranica: IV-11



Rješenjem sustava tri jednadžbe s tri nepoznanice i
uvrštenjem poznatih vrijednosti konačni naboji na
kondenzatorima iznose:
Q1  2.86 mC

Q2  2.90 mC

Q3  0.96 mC



Naponi na kondenzatorima:
U 2  U3 

Q 2 Q3

 480V
C2 C3

U1 

Q1
 720V
C1

Početna stranica

Stranica: IV-12

3. zadatak
U mreži prema slici kondenzator C5 ima početni naboj Q50 naznačenog
predznaka. Koliku će promjenu napona U1 na kondenzatoru C1
uzrokovati zatvaranje sklopke S? Zadano:







C1 = 18 [F]
C2 = 20 [F]
C3 = 14 [F]
C4 = 16 [F]
C5 = 5 [F]
U = 12 [V]

C1

S
U
Q50

+
-

C5
C3

C2

C4

Početna stranica

Stranica: IV-13

Rješenje zadatka


Mreža prije zatvaranja sklopke može se pojednostaviti
(kondenzatori nisu prethodno nabijeni):
C1

C1

C2



U
C3

U

Cekv

C4

1
1
1


Cekv C2 C3  C4
Cekv 


C2  C3  C4 
 12F
C2  C3  C4

Budući da kondenzatori nisu prethodno nabijeni vrijedi:
Q10  Qekv 0
Q
Q
U  U C10  U Cekv0  10  ekv 0
C1
Cekv

Početna stranica

Stranica: IV-14

U  C1  Cekv 1218106 12106
Q10 

C1  Cekv
18106  12106
Q10  86.4C

Prije zatvaranja sklopke kondenzatori C1 i Cekv su nabijeni
početnim nabojem Q10, a kondenzator C5 nabojem Q50
prikazanih polariteta.



Q1

C1
+
+

Q10
U

Za mrežu nakon zatvaranja
sklopke vrijedi:
Q50

A
Q5
Qekv0
Qekv
+ +
+ +
Cekv
C5
- - -

za čvor(A)
 Q1  Q5  Qekv  Q10  Q50  Qekv 0
 Q1  Q5  Qekv  Q50
U C 5  U Cekv 

Q5 Qekv

C5 Cekv

U  U C1  U C 5 

Q1 Q5

C1 C5

Početna stranica

Stranica: IV-15



Rješenjem sustava tri jednadžbe dobije se Q5:
Q50  U  C1 36106  1218106
Q5 

Cekv
18
12
C1
1
1
5
5
C5
C5
Q5  36 As



Napon na C5:
UC5



Q5 36106


 7.2 V
6
C5
5 10

Prije zatvaranja sklopke kondenzatori C1 nabijen je na
napon UC10:
Q10 86.4 106
U C10 

 4.8 V
6
C1
1810



Nakon zatvaranja sklopke kondenzator C1 nabijen je na
napon UC1:
UC1  U  UC5  12  7.2  4.8 V



Razlika napona na C1 prije i poslije zatvaranja sklopke:
U  UC1  UC10  4.8  4.8  0 V

Početna stranica

Stranica: IV-16

4. zadatak
Središta dviju usamljenih metalnih kugli A i B polumjera RA i RB
razmaknuta su d metara, s tim da je d >> RA. Na kugle su dovedeni
naboji QA0 i QB0, a nakon toga one se međusobno povezuju vrlo
tankom metalnom niti. Odredite, za taj slučaj, iznose polja EA i EB tik uz
površinu kugli ako je  = 0.





RA = 9 [cm]
RA = 1 [cm]
QA0 = -2.4 [nC]
QB0 = +3.2 [nC]

QA0
QB0

RA
RB
d

Početna stranica

Stranica: IV-17

Rješenje zadatka


Nakon zatvaranja sklopke potencijali kugli
izjednačavaju (dolazi do preraspodjele naboja):
QA
QB

RA
RB
d

A  B

Uz referentnu točku u
beskonačnosti:
QA
QB

4     0  RA 4     0  RB

Kugle čine sustav prikazan na slici, za koji vrijedi:

CA

+

QA0

-



se

+

QA

-

beskonačnost

QB0
CB

+ +
-

QB

 QA0  QB0  QA  QB

-

beskonačnost

Početna stranica

Stranica: IV-18



Rješenjem sustava jednadžbi:
QB  QA

RB
RA

 QA0  QB0  2.4 109  3.2 109
QA 

RB
1
1
1
RA
9
QA  720 pAs
QB  80  pAs


Budući da je d >> RA el. polja nakon zatvaranja sklopke
iznose:
QA
72010-12
EA 

2
4     0  RA 4    8.85410-12  9 10-2



QB
80 10-12
EB 

2
4     0  RB 4    8.85410-12  110-2





2



2

 800V/m 
 7.2 kV/m

Početna stranica


Slide 11

Stranica: IV-1

Elektrostatika


Spojevi kondenzatora.

Stranica: IV-2

1. zadatak
Na kondenzatorsku mrežu na slici priključen je izvor napajanja koji daje
istosmjerni napon od 1200 [V]. Potrebno je odrediti ekvivalentni
(ukupni) kapacitet mreže, napone koji vladaju na pojedinim elementima
(kondenzatorima) kao i pripadne naboje. Zadano je:





C1 = 4 [F]
C2 = 6 [F]
C3 = 2 [F]
U = 1200 [V]

C1
U
C2

C3

Početna stranica

Stranica: IV-3

Uvodni pojmovi


Priključivanjem skupine kondenzatora na istosmjerni izvor
(ili izvore) električne energije uspostavljaju se naponske i
nabojske prilike na pojedinim kondenzatorima u skladu s
dva osnovna zakona i to:
alg Qikon  alg Qipoč
i

i

alg E j  alg
j


i

Qi
Ci

za svakičvor

za svaku konturu

U slučaju serijskog spoja dva prethodno nenabijena
kondenzatora vrijedi:
U1

E

+

C1
(1)

U2

E  U1  U 2
Q1

+

C2

Q2
-

za čvor(1)

 Q1  Q2  0

 1
1 
C12    
 C1 C2 

1

Početna stranica

Stranica: IV-4

Uvodni pojmovi


Za seriju prethodno nenabijenih kondenzatora općenito
n
vrijedi:
U  U
S



i

i 1

QS  Q1  Q 2    Q n
n
1
1

CS i 1 Ci


U slučaju paralelnog spoja dva prethodno nenabijena
kondenzatora vrijedi:
U12  U1  U 2

+

E

C2

+
C1Q1 U1
-

Q2 U2
-



Q12  Q1  Q2
C12  C1  C2

Za paralelu prethodno nenabijenih kondenzatora općenito
U P  U1  U 2    U n
vrijedi:
n

Q P   Qi
i 1
n

C P   Ci
i 1

Početna stranica

Stranica: IV-5

Rješenje


Ukupni (ekvivalentni) kapacitet mreže:
C23  C2  C3  6 106  2 106  8 106  8 F
1

1

 1
1 
1
1 
6
  
C   


2
.
67

10
 2.67F

6
6
8 10 
 4 10
 C1 C23 


Naponi na kondenzatorima:
Q1  Q23  Q  C U

C
2.67 106
U1  U   1200
 800V
C1
4 106
C
2.67 106
U 23  U 
 1200
 400V
C23
8 106
U 2  U3  U 23  400V

Početna stranica

Stranica: IV-6



Naboji na kondenzatorima:
Q1  C1 U1  4 106  800  3.2 103 C

Q 2  C2 U 2  6 106  400  2.4 103 C
Q3  C3 U 3  2 106  400  0.8 103 C

Početna stranica

Stranica: IV-7

2. zadatak
Na kondenzatorsku mrežu priključuje se izvor napajanja koji daje
istosmjerni napon od 1200 [V]. Potrebno je odrediti napone koji vladaju
na pojedinim elementima (kondenzatorima) kao i pripadne naboje, ako
je kondenzator C1 prethodno nabijen nabojem Q10 prikazanog
polariteta. Zadano je:





Q10

+



C1 = 4 [F]
C2 = 6 [F]
C3 = 2 [F]
Q10 = 1 [mC]
U = 1200 [V]

-



C1

U
C2

C3

Početna stranica

Stranica: IV-8

Uvodni pojmovi
Priključivanjem skupine kondenzatora na istosmjerni izvor
(ili izvore) električne energije uspostavljaju se naponske i
nabojske prilike na pojedinim kondenzatorima u skladu s
dva osnovna zakona i to:



alg Qikon  alg Qipoč
i

i

alg E j  alg
j


i

Qi
Ci

za svakičvor

za svaku konturu

U slučaju priključenja serijskog spoja dva kondenzatora
na istosmjerni izvor, pri čemu je prije toga kondenzator C1
nabijen na Q10, vrijedi:

U1

E
U2

Q10 +
C1
(1)

+

E  U1  U 2
Q1

+

C2

za čvor(1)  Q1  Q2  Q10

Q2
Početna stranica

Stranica: IV-9

Uvodni pojmovi


U slučaju priključivanja na izvor istosmjernog napajanja
serijsko-paralelnog spoja tri kondenzatora, gdje su oba
kondenzatora prethodno nabijena prema slici vrijedi:
Q1 U1

C1

+

Q10E

-

+
C2

Q30
+
+
Q2 U2
-

+
C3 Q3 U3
-

U 2  U 3  U 23
E  U1  U 23
U1 

Q1
C1

U2 

Q2
C2

U3 

Q3
C3

 Q1  Q2  Q3  Q10  Q30
Početna stranica

Stranica: IV-10

Rješenje
Nakon zatvaranja sklopke u mreži se kondenzatori nakon
nekog vremena nabiju nabojima prikazanim na slici:
+

(1)

U
C2



+

Q1

Q10

-



+ Q2
-

C1
Q3
+
-

C3

Za mrežu vrijedi:
za čvor(1)  Q1  Q2  Q3  Q10
Q 2 Q3

C2 C3
Q Q
Q Q
U  U1  U 23  1  2  1  3
C1 C2 C1 C3
U 2  U3 

Početna stranica

Stranica: IV-11



Rješenjem sustava tri jednadžbe s tri nepoznanice i
uvrštenjem poznatih vrijednosti konačni naboji na
kondenzatorima iznose:
Q1  2.86 mC

Q2  2.90 mC

Q3  0.96 mC



Naponi na kondenzatorima:
U 2  U3 

Q 2 Q3

 480V
C2 C3

U1 

Q1
 720V
C1

Početna stranica

Stranica: IV-12

3. zadatak
U mreži prema slici kondenzator C5 ima početni naboj Q50 naznačenog
predznaka. Koliku će promjenu napona U1 na kondenzatoru C1
uzrokovati zatvaranje sklopke S? Zadano:







C1 = 18 [F]
C2 = 20 [F]
C3 = 14 [F]
C4 = 16 [F]
C5 = 5 [F]
U = 12 [V]

C1

S
U
Q50

+
-

C5
C3

C2

C4

Početna stranica

Stranica: IV-13

Rješenje zadatka


Mreža prije zatvaranja sklopke može se pojednostaviti
(kondenzatori nisu prethodno nabijeni):
C1

C1

C2



U
C3

U

Cekv

C4

1
1
1


Cekv C2 C3  C4
Cekv 


C2  C3  C4 
 12F
C2  C3  C4

Budući da kondenzatori nisu prethodno nabijeni vrijedi:
Q10  Qekv 0
Q
Q
U  U C10  U Cekv0  10  ekv 0
C1
Cekv

Početna stranica

Stranica: IV-14

U  C1  Cekv 1218106 12106
Q10 

C1  Cekv
18106  12106
Q10  86.4C

Prije zatvaranja sklopke kondenzatori C1 i Cekv su nabijeni
početnim nabojem Q10, a kondenzator C5 nabojem Q50
prikazanih polariteta.



Q1

C1
+
+

Q10
U

Za mrežu nakon zatvaranja
sklopke vrijedi:
Q50

A
Q5
Qekv0
Qekv
+ +
+ +
Cekv
C5
- - -

za čvor(A)
 Q1  Q5  Qekv  Q10  Q50  Qekv 0
 Q1  Q5  Qekv  Q50
U C 5  U Cekv 

Q5 Qekv

C5 Cekv

U  U C1  U C 5 

Q1 Q5

C1 C5

Početna stranica

Stranica: IV-15



Rješenjem sustava tri jednadžbe dobije se Q5:
Q50  U  C1 36106  1218106
Q5 

Cekv
18
12
C1
1
1
5
5
C5
C5
Q5  36 As



Napon na C5:
UC5



Q5 36106


 7.2 V
6
C5
5 10

Prije zatvaranja sklopke kondenzatori C1 nabijen je na
napon UC10:
Q10 86.4 106
U C10 

 4.8 V
6
C1
1810



Nakon zatvaranja sklopke kondenzator C1 nabijen je na
napon UC1:
UC1  U  UC5  12  7.2  4.8 V



Razlika napona na C1 prije i poslije zatvaranja sklopke:
U  UC1  UC10  4.8  4.8  0 V

Početna stranica

Stranica: IV-16

4. zadatak
Središta dviju usamljenih metalnih kugli A i B polumjera RA i RB
razmaknuta su d metara, s tim da je d >> RA. Na kugle su dovedeni
naboji QA0 i QB0, a nakon toga one se međusobno povezuju vrlo
tankom metalnom niti. Odredite, za taj slučaj, iznose polja EA i EB tik uz
površinu kugli ako je  = 0.





RA = 9 [cm]
RA = 1 [cm]
QA0 = -2.4 [nC]
QB0 = +3.2 [nC]

QA0
QB0

RA
RB
d

Početna stranica

Stranica: IV-17

Rješenje zadatka


Nakon zatvaranja sklopke potencijali kugli
izjednačavaju (dolazi do preraspodjele naboja):
QA
QB

RA
RB
d

A  B

Uz referentnu točku u
beskonačnosti:
QA
QB

4     0  RA 4     0  RB

Kugle čine sustav prikazan na slici, za koji vrijedi:

CA

+

QA0

-



se

+

QA

-

beskonačnost

QB0
CB

+ +
-

QB

 QA0  QB0  QA  QB

-

beskonačnost

Početna stranica

Stranica: IV-18



Rješenjem sustava jednadžbi:
QB  QA

RB
RA

 QA0  QB0  2.4 109  3.2 109
QA 

RB
1
1
1
RA
9
QA  720 pAs
QB  80  pAs


Budući da je d >> RA el. polja nakon zatvaranja sklopke
iznose:
QA
72010-12
EA 

2
4     0  RA 4    8.85410-12  9 10-2



QB
80 10-12
EB 

2
4     0  RB 4    8.85410-12  110-2





2



2

 800V/m 
 7.2 kV/m

Početna stranica


Slide 12

Stranica: IV-1

Elektrostatika


Spojevi kondenzatora.

Stranica: IV-2

1. zadatak
Na kondenzatorsku mrežu na slici priključen je izvor napajanja koji daje
istosmjerni napon od 1200 [V]. Potrebno je odrediti ekvivalentni
(ukupni) kapacitet mreže, napone koji vladaju na pojedinim elementima
(kondenzatorima) kao i pripadne naboje. Zadano je:





C1 = 4 [F]
C2 = 6 [F]
C3 = 2 [F]
U = 1200 [V]

C1
U
C2

C3

Početna stranica

Stranica: IV-3

Uvodni pojmovi


Priključivanjem skupine kondenzatora na istosmjerni izvor
(ili izvore) električne energije uspostavljaju se naponske i
nabojske prilike na pojedinim kondenzatorima u skladu s
dva osnovna zakona i to:
alg Qikon  alg Qipoč
i

i

alg E j  alg
j


i

Qi
Ci

za svakičvor

za svaku konturu

U slučaju serijskog spoja dva prethodno nenabijena
kondenzatora vrijedi:
U1

E

+

C1
(1)

U2

E  U1  U 2
Q1

+

C2

Q2
-

za čvor(1)

 Q1  Q2  0

 1
1 
C12    
 C1 C2 

1

Početna stranica

Stranica: IV-4

Uvodni pojmovi


Za seriju prethodno nenabijenih kondenzatora općenito
n
vrijedi:
U  U
S



i

i 1

QS  Q1  Q 2    Q n
n
1
1

CS i 1 Ci


U slučaju paralelnog spoja dva prethodno nenabijena
kondenzatora vrijedi:
U12  U1  U 2

+

E

C2

+
C1Q1 U1
-

Q2 U2
-



Q12  Q1  Q2
C12  C1  C2

Za paralelu prethodno nenabijenih kondenzatora općenito
U P  U1  U 2    U n
vrijedi:
n

Q P   Qi
i 1
n

C P   Ci
i 1

Početna stranica

Stranica: IV-5

Rješenje


Ukupni (ekvivalentni) kapacitet mreže:
C23  C2  C3  6 106  2 106  8 106  8 F
1

1

 1
1 
1
1 
6
  
C   


2
.
67

10
 2.67F

6
6
8 10 
 4 10
 C1 C23 


Naponi na kondenzatorima:
Q1  Q23  Q  C U

C
2.67 106
U1  U   1200
 800V
C1
4 106
C
2.67 106
U 23  U 
 1200
 400V
C23
8 106
U 2  U3  U 23  400V

Početna stranica

Stranica: IV-6



Naboji na kondenzatorima:
Q1  C1 U1  4 106  800  3.2 103 C

Q 2  C2 U 2  6 106  400  2.4 103 C
Q3  C3 U 3  2 106  400  0.8 103 C

Početna stranica

Stranica: IV-7

2. zadatak
Na kondenzatorsku mrežu priključuje se izvor napajanja koji daje
istosmjerni napon od 1200 [V]. Potrebno je odrediti napone koji vladaju
na pojedinim elementima (kondenzatorima) kao i pripadne naboje, ako
je kondenzator C1 prethodno nabijen nabojem Q10 prikazanog
polariteta. Zadano je:





Q10

+



C1 = 4 [F]
C2 = 6 [F]
C3 = 2 [F]
Q10 = 1 [mC]
U = 1200 [V]

-



C1

U
C2

C3

Početna stranica

Stranica: IV-8

Uvodni pojmovi
Priključivanjem skupine kondenzatora na istosmjerni izvor
(ili izvore) električne energije uspostavljaju se naponske i
nabojske prilike na pojedinim kondenzatorima u skladu s
dva osnovna zakona i to:



alg Qikon  alg Qipoč
i

i

alg E j  alg
j


i

Qi
Ci

za svakičvor

za svaku konturu

U slučaju priključenja serijskog spoja dva kondenzatora
na istosmjerni izvor, pri čemu je prije toga kondenzator C1
nabijen na Q10, vrijedi:

U1

E
U2

Q10 +
C1
(1)

+

E  U1  U 2
Q1

+

C2

za čvor(1)  Q1  Q2  Q10

Q2
Početna stranica

Stranica: IV-9

Uvodni pojmovi


U slučaju priključivanja na izvor istosmjernog napajanja
serijsko-paralelnog spoja tri kondenzatora, gdje su oba
kondenzatora prethodno nabijena prema slici vrijedi:
Q1 U1

C1

+

Q10E

-

+
C2

Q30
+
+
Q2 U2
-

+
C3 Q3 U3
-

U 2  U 3  U 23
E  U1  U 23
U1 

Q1
C1

U2 

Q2
C2

U3 

Q3
C3

 Q1  Q2  Q3  Q10  Q30
Početna stranica

Stranica: IV-10

Rješenje
Nakon zatvaranja sklopke u mreži se kondenzatori nakon
nekog vremena nabiju nabojima prikazanim na slici:
+

(1)

U
C2



+

Q1

Q10

-



+ Q2
-

C1
Q3
+
-

C3

Za mrežu vrijedi:
za čvor(1)  Q1  Q2  Q3  Q10
Q 2 Q3

C2 C3
Q Q
Q Q
U  U1  U 23  1  2  1  3
C1 C2 C1 C3
U 2  U3 

Početna stranica

Stranica: IV-11



Rješenjem sustava tri jednadžbe s tri nepoznanice i
uvrštenjem poznatih vrijednosti konačni naboji na
kondenzatorima iznose:
Q1  2.86 mC

Q2  2.90 mC

Q3  0.96 mC



Naponi na kondenzatorima:
U 2  U3 

Q 2 Q3

 480V
C2 C3

U1 

Q1
 720V
C1

Početna stranica

Stranica: IV-12

3. zadatak
U mreži prema slici kondenzator C5 ima početni naboj Q50 naznačenog
predznaka. Koliku će promjenu napona U1 na kondenzatoru C1
uzrokovati zatvaranje sklopke S? Zadano:







C1 = 18 [F]
C2 = 20 [F]
C3 = 14 [F]
C4 = 16 [F]
C5 = 5 [F]
U = 12 [V]

C1

S
U
Q50

+
-

C5
C3

C2

C4

Početna stranica

Stranica: IV-13

Rješenje zadatka


Mreža prije zatvaranja sklopke može se pojednostaviti
(kondenzatori nisu prethodno nabijeni):
C1

C1

C2



U
C3

U

Cekv

C4

1
1
1


Cekv C2 C3  C4
Cekv 


C2  C3  C4 
 12F
C2  C3  C4

Budući da kondenzatori nisu prethodno nabijeni vrijedi:
Q10  Qekv 0
Q
Q
U  U C10  U Cekv0  10  ekv 0
C1
Cekv

Početna stranica

Stranica: IV-14

U  C1  Cekv 1218106 12106
Q10 

C1  Cekv
18106  12106
Q10  86.4C

Prije zatvaranja sklopke kondenzatori C1 i Cekv su nabijeni
početnim nabojem Q10, a kondenzator C5 nabojem Q50
prikazanih polariteta.



Q1

C1
+
+

Q10
U

Za mrežu nakon zatvaranja
sklopke vrijedi:
Q50

A
Q5
Qekv0
Qekv
+ +
+ +
Cekv
C5
- - -

za čvor(A)
 Q1  Q5  Qekv  Q10  Q50  Qekv 0
 Q1  Q5  Qekv  Q50
U C 5  U Cekv 

Q5 Qekv

C5 Cekv

U  U C1  U C 5 

Q1 Q5

C1 C5

Početna stranica

Stranica: IV-15



Rješenjem sustava tri jednadžbe dobije se Q5:
Q50  U  C1 36106  1218106
Q5 

Cekv
18
12
C1
1
1
5
5
C5
C5
Q5  36 As



Napon na C5:
UC5



Q5 36106


 7.2 V
6
C5
5 10

Prije zatvaranja sklopke kondenzatori C1 nabijen je na
napon UC10:
Q10 86.4 106
U C10 

 4.8 V
6
C1
1810



Nakon zatvaranja sklopke kondenzator C1 nabijen je na
napon UC1:
UC1  U  UC5  12  7.2  4.8 V



Razlika napona na C1 prije i poslije zatvaranja sklopke:
U  UC1  UC10  4.8  4.8  0 V

Početna stranica

Stranica: IV-16

4. zadatak
Središta dviju usamljenih metalnih kugli A i B polumjera RA i RB
razmaknuta su d metara, s tim da je d >> RA. Na kugle su dovedeni
naboji QA0 i QB0, a nakon toga one se međusobno povezuju vrlo
tankom metalnom niti. Odredite, za taj slučaj, iznose polja EA i EB tik uz
površinu kugli ako je  = 0.





RA = 9 [cm]
RA = 1 [cm]
QA0 = -2.4 [nC]
QB0 = +3.2 [nC]

QA0
QB0

RA
RB
d

Početna stranica

Stranica: IV-17

Rješenje zadatka


Nakon zatvaranja sklopke potencijali kugli
izjednačavaju (dolazi do preraspodjele naboja):
QA
QB

RA
RB
d

A  B

Uz referentnu točku u
beskonačnosti:
QA
QB

4     0  RA 4     0  RB

Kugle čine sustav prikazan na slici, za koji vrijedi:

CA

+

QA0

-



se

+

QA

-

beskonačnost

QB0
CB

+ +
-

QB

 QA0  QB0  QA  QB

-

beskonačnost

Početna stranica

Stranica: IV-18



Rješenjem sustava jednadžbi:
QB  QA

RB
RA

 QA0  QB0  2.4 109  3.2 109
QA 

RB
1
1
1
RA
9
QA  720 pAs
QB  80  pAs


Budući da je d >> RA el. polja nakon zatvaranja sklopke
iznose:
QA
72010-12
EA 

2
4     0  RA 4    8.85410-12  9 10-2



QB
80 10-12
EB 

2
4     0  RB 4    8.85410-12  110-2





2



2

 800V/m 
 7.2 kV/m

Početna stranica


Slide 13

Stranica: IV-1

Elektrostatika


Spojevi kondenzatora.

Stranica: IV-2

1. zadatak
Na kondenzatorsku mrežu na slici priključen je izvor napajanja koji daje
istosmjerni napon od 1200 [V]. Potrebno je odrediti ekvivalentni
(ukupni) kapacitet mreže, napone koji vladaju na pojedinim elementima
(kondenzatorima) kao i pripadne naboje. Zadano je:





C1 = 4 [F]
C2 = 6 [F]
C3 = 2 [F]
U = 1200 [V]

C1
U
C2

C3

Početna stranica

Stranica: IV-3

Uvodni pojmovi


Priključivanjem skupine kondenzatora na istosmjerni izvor
(ili izvore) električne energije uspostavljaju se naponske i
nabojske prilike na pojedinim kondenzatorima u skladu s
dva osnovna zakona i to:
alg Qikon  alg Qipoč
i

i

alg E j  alg
j


i

Qi
Ci

za svakičvor

za svaku konturu

U slučaju serijskog spoja dva prethodno nenabijena
kondenzatora vrijedi:
U1

E

+

C1
(1)

U2

E  U1  U 2
Q1

+

C2

Q2
-

za čvor(1)

 Q1  Q2  0

 1
1 
C12    
 C1 C2 

1

Početna stranica

Stranica: IV-4

Uvodni pojmovi


Za seriju prethodno nenabijenih kondenzatora općenito
n
vrijedi:
U  U
S



i

i 1

QS  Q1  Q 2    Q n
n
1
1

CS i 1 Ci


U slučaju paralelnog spoja dva prethodno nenabijena
kondenzatora vrijedi:
U12  U1  U 2

+

E

C2

+
C1Q1 U1
-

Q2 U2
-



Q12  Q1  Q2
C12  C1  C2

Za paralelu prethodno nenabijenih kondenzatora općenito
U P  U1  U 2    U n
vrijedi:
n

Q P   Qi
i 1
n

C P   Ci
i 1

Početna stranica

Stranica: IV-5

Rješenje


Ukupni (ekvivalentni) kapacitet mreže:
C23  C2  C3  6 106  2 106  8 106  8 F
1

1

 1
1 
1
1 
6
  
C   


2
.
67

10
 2.67F

6
6
8 10 
 4 10
 C1 C23 


Naponi na kondenzatorima:
Q1  Q23  Q  C U

C
2.67 106
U1  U   1200
 800V
C1
4 106
C
2.67 106
U 23  U 
 1200
 400V
C23
8 106
U 2  U3  U 23  400V

Početna stranica

Stranica: IV-6



Naboji na kondenzatorima:
Q1  C1 U1  4 106  800  3.2 103 C

Q 2  C2 U 2  6 106  400  2.4 103 C
Q3  C3 U 3  2 106  400  0.8 103 C

Početna stranica

Stranica: IV-7

2. zadatak
Na kondenzatorsku mrežu priključuje se izvor napajanja koji daje
istosmjerni napon od 1200 [V]. Potrebno je odrediti napone koji vladaju
na pojedinim elementima (kondenzatorima) kao i pripadne naboje, ako
je kondenzator C1 prethodno nabijen nabojem Q10 prikazanog
polariteta. Zadano je:





Q10

+



C1 = 4 [F]
C2 = 6 [F]
C3 = 2 [F]
Q10 = 1 [mC]
U = 1200 [V]

-



C1

U
C2

C3

Početna stranica

Stranica: IV-8

Uvodni pojmovi
Priključivanjem skupine kondenzatora na istosmjerni izvor
(ili izvore) električne energije uspostavljaju se naponske i
nabojske prilike na pojedinim kondenzatorima u skladu s
dva osnovna zakona i to:



alg Qikon  alg Qipoč
i

i

alg E j  alg
j


i

Qi
Ci

za svakičvor

za svaku konturu

U slučaju priključenja serijskog spoja dva kondenzatora
na istosmjerni izvor, pri čemu je prije toga kondenzator C1
nabijen na Q10, vrijedi:

U1

E
U2

Q10 +
C1
(1)

+

E  U1  U 2
Q1

+

C2

za čvor(1)  Q1  Q2  Q10

Q2
Početna stranica

Stranica: IV-9

Uvodni pojmovi


U slučaju priključivanja na izvor istosmjernog napajanja
serijsko-paralelnog spoja tri kondenzatora, gdje su oba
kondenzatora prethodno nabijena prema slici vrijedi:
Q1 U1

C1

+

Q10E

-

+
C2

Q30
+
+
Q2 U2
-

+
C3 Q3 U3
-

U 2  U 3  U 23
E  U1  U 23
U1 

Q1
C1

U2 

Q2
C2

U3 

Q3
C3

 Q1  Q2  Q3  Q10  Q30
Početna stranica

Stranica: IV-10

Rješenje
Nakon zatvaranja sklopke u mreži se kondenzatori nakon
nekog vremena nabiju nabojima prikazanim na slici:
+

(1)

U
C2



+

Q1

Q10

-



+ Q2
-

C1
Q3
+
-

C3

Za mrežu vrijedi:
za čvor(1)  Q1  Q2  Q3  Q10
Q 2 Q3

C2 C3
Q Q
Q Q
U  U1  U 23  1  2  1  3
C1 C2 C1 C3
U 2  U3 

Početna stranica

Stranica: IV-11



Rješenjem sustava tri jednadžbe s tri nepoznanice i
uvrštenjem poznatih vrijednosti konačni naboji na
kondenzatorima iznose:
Q1  2.86 mC

Q2  2.90 mC

Q3  0.96 mC



Naponi na kondenzatorima:
U 2  U3 

Q 2 Q3

 480V
C2 C3

U1 

Q1
 720V
C1

Početna stranica

Stranica: IV-12

3. zadatak
U mreži prema slici kondenzator C5 ima početni naboj Q50 naznačenog
predznaka. Koliku će promjenu napona U1 na kondenzatoru C1
uzrokovati zatvaranje sklopke S? Zadano:







C1 = 18 [F]
C2 = 20 [F]
C3 = 14 [F]
C4 = 16 [F]
C5 = 5 [F]
U = 12 [V]

C1

S
U
Q50

+
-

C5
C3

C2

C4

Početna stranica

Stranica: IV-13

Rješenje zadatka


Mreža prije zatvaranja sklopke može se pojednostaviti
(kondenzatori nisu prethodno nabijeni):
C1

C1

C2



U
C3

U

Cekv

C4

1
1
1


Cekv C2 C3  C4
Cekv 


C2  C3  C4 
 12F
C2  C3  C4

Budući da kondenzatori nisu prethodno nabijeni vrijedi:
Q10  Qekv 0
Q
Q
U  U C10  U Cekv0  10  ekv 0
C1
Cekv

Početna stranica

Stranica: IV-14

U  C1  Cekv 1218106 12106
Q10 

C1  Cekv
18106  12106
Q10  86.4C

Prije zatvaranja sklopke kondenzatori C1 i Cekv su nabijeni
početnim nabojem Q10, a kondenzator C5 nabojem Q50
prikazanih polariteta.



Q1

C1
+
+

Q10
U

Za mrežu nakon zatvaranja
sklopke vrijedi:
Q50

A
Q5
Qekv0
Qekv
+ +
+ +
Cekv
C5
- - -

za čvor(A)
 Q1  Q5  Qekv  Q10  Q50  Qekv 0
 Q1  Q5  Qekv  Q50
U C 5  U Cekv 

Q5 Qekv

C5 Cekv

U  U C1  U C 5 

Q1 Q5

C1 C5

Početna stranica

Stranica: IV-15



Rješenjem sustava tri jednadžbe dobije se Q5:
Q50  U  C1 36106  1218106
Q5 

Cekv
18
12
C1
1
1
5
5
C5
C5
Q5  36 As



Napon na C5:
UC5



Q5 36106


 7.2 V
6
C5
5 10

Prije zatvaranja sklopke kondenzatori C1 nabijen je na
napon UC10:
Q10 86.4 106
U C10 

 4.8 V
6
C1
1810



Nakon zatvaranja sklopke kondenzator C1 nabijen je na
napon UC1:
UC1  U  UC5  12  7.2  4.8 V



Razlika napona na C1 prije i poslije zatvaranja sklopke:
U  UC1  UC10  4.8  4.8  0 V

Početna stranica

Stranica: IV-16

4. zadatak
Središta dviju usamljenih metalnih kugli A i B polumjera RA i RB
razmaknuta su d metara, s tim da je d >> RA. Na kugle su dovedeni
naboji QA0 i QB0, a nakon toga one se međusobno povezuju vrlo
tankom metalnom niti. Odredite, za taj slučaj, iznose polja EA i EB tik uz
površinu kugli ako je  = 0.





RA = 9 [cm]
RA = 1 [cm]
QA0 = -2.4 [nC]
QB0 = +3.2 [nC]

QA0
QB0

RA
RB
d

Početna stranica

Stranica: IV-17

Rješenje zadatka


Nakon zatvaranja sklopke potencijali kugli
izjednačavaju (dolazi do preraspodjele naboja):
QA
QB

RA
RB
d

A  B

Uz referentnu točku u
beskonačnosti:
QA
QB

4     0  RA 4     0  RB

Kugle čine sustav prikazan na slici, za koji vrijedi:

CA

+

QA0

-



se

+

QA

-

beskonačnost

QB0
CB

+ +
-

QB

 QA0  QB0  QA  QB

-

beskonačnost

Početna stranica

Stranica: IV-18



Rješenjem sustava jednadžbi:
QB  QA

RB
RA

 QA0  QB0  2.4 109  3.2 109
QA 

RB
1
1
1
RA
9
QA  720 pAs
QB  80  pAs


Budući da je d >> RA el. polja nakon zatvaranja sklopke
iznose:
QA
72010-12
EA 

2
4     0  RA 4    8.85410-12  9 10-2



QB
80 10-12
EB 

2
4     0  RB 4    8.85410-12  110-2





2



2

 800V/m 
 7.2 kV/m

Početna stranica


Slide 14

Stranica: IV-1

Elektrostatika


Spojevi kondenzatora.

Stranica: IV-2

1. zadatak
Na kondenzatorsku mrežu na slici priključen je izvor napajanja koji daje
istosmjerni napon od 1200 [V]. Potrebno je odrediti ekvivalentni
(ukupni) kapacitet mreže, napone koji vladaju na pojedinim elementima
(kondenzatorima) kao i pripadne naboje. Zadano je:





C1 = 4 [F]
C2 = 6 [F]
C3 = 2 [F]
U = 1200 [V]

C1
U
C2

C3

Početna stranica

Stranica: IV-3

Uvodni pojmovi


Priključivanjem skupine kondenzatora na istosmjerni izvor
(ili izvore) električne energije uspostavljaju se naponske i
nabojske prilike na pojedinim kondenzatorima u skladu s
dva osnovna zakona i to:
alg Qikon  alg Qipoč
i

i

alg E j  alg
j


i

Qi
Ci

za svakičvor

za svaku konturu

U slučaju serijskog spoja dva prethodno nenabijena
kondenzatora vrijedi:
U1

E

+

C1
(1)

U2

E  U1  U 2
Q1

+

C2

Q2
-

za čvor(1)

 Q1  Q2  0

 1
1 
C12    
 C1 C2 

1

Početna stranica

Stranica: IV-4

Uvodni pojmovi


Za seriju prethodno nenabijenih kondenzatora općenito
n
vrijedi:
U  U
S



i

i 1

QS  Q1  Q 2    Q n
n
1
1

CS i 1 Ci


U slučaju paralelnog spoja dva prethodno nenabijena
kondenzatora vrijedi:
U12  U1  U 2

+

E

C2

+
C1Q1 U1
-

Q2 U2
-



Q12  Q1  Q2
C12  C1  C2

Za paralelu prethodno nenabijenih kondenzatora općenito
U P  U1  U 2    U n
vrijedi:
n

Q P   Qi
i 1
n

C P   Ci
i 1

Početna stranica

Stranica: IV-5

Rješenje


Ukupni (ekvivalentni) kapacitet mreže:
C23  C2  C3  6 106  2 106  8 106  8 F
1

1

 1
1 
1
1 
6
  
C   


2
.
67

10
 2.67F

6
6
8 10 
 4 10
 C1 C23 


Naponi na kondenzatorima:
Q1  Q23  Q  C U

C
2.67 106
U1  U   1200
 800V
C1
4 106
C
2.67 106
U 23  U 
 1200
 400V
C23
8 106
U 2  U3  U 23  400V

Početna stranica

Stranica: IV-6



Naboji na kondenzatorima:
Q1  C1 U1  4 106  800  3.2 103 C

Q 2  C2 U 2  6 106  400  2.4 103 C
Q3  C3 U 3  2 106  400  0.8 103 C

Početna stranica

Stranica: IV-7

2. zadatak
Na kondenzatorsku mrežu priključuje se izvor napajanja koji daje
istosmjerni napon od 1200 [V]. Potrebno je odrediti napone koji vladaju
na pojedinim elementima (kondenzatorima) kao i pripadne naboje, ako
je kondenzator C1 prethodno nabijen nabojem Q10 prikazanog
polariteta. Zadano je:





Q10

+



C1 = 4 [F]
C2 = 6 [F]
C3 = 2 [F]
Q10 = 1 [mC]
U = 1200 [V]

-



C1

U
C2

C3

Početna stranica

Stranica: IV-8

Uvodni pojmovi
Priključivanjem skupine kondenzatora na istosmjerni izvor
(ili izvore) električne energije uspostavljaju se naponske i
nabojske prilike na pojedinim kondenzatorima u skladu s
dva osnovna zakona i to:



alg Qikon  alg Qipoč
i

i

alg E j  alg
j


i

Qi
Ci

za svakičvor

za svaku konturu

U slučaju priključenja serijskog spoja dva kondenzatora
na istosmjerni izvor, pri čemu je prije toga kondenzator C1
nabijen na Q10, vrijedi:

U1

E
U2

Q10 +
C1
(1)

+

E  U1  U 2
Q1

+

C2

za čvor(1)  Q1  Q2  Q10

Q2
Početna stranica

Stranica: IV-9

Uvodni pojmovi


U slučaju priključivanja na izvor istosmjernog napajanja
serijsko-paralelnog spoja tri kondenzatora, gdje su oba
kondenzatora prethodno nabijena prema slici vrijedi:
Q1 U1

C1

+

Q10E

-

+
C2

Q30
+
+
Q2 U2
-

+
C3 Q3 U3
-

U 2  U 3  U 23
E  U1  U 23
U1 

Q1
C1

U2 

Q2
C2

U3 

Q3
C3

 Q1  Q2  Q3  Q10  Q30
Početna stranica

Stranica: IV-10

Rješenje
Nakon zatvaranja sklopke u mreži se kondenzatori nakon
nekog vremena nabiju nabojima prikazanim na slici:
+

(1)

U
C2



+

Q1

Q10

-



+ Q2
-

C1
Q3
+
-

C3

Za mrežu vrijedi:
za čvor(1)  Q1  Q2  Q3  Q10
Q 2 Q3

C2 C3
Q Q
Q Q
U  U1  U 23  1  2  1  3
C1 C2 C1 C3
U 2  U3 

Početna stranica

Stranica: IV-11



Rješenjem sustava tri jednadžbe s tri nepoznanice i
uvrštenjem poznatih vrijednosti konačni naboji na
kondenzatorima iznose:
Q1  2.86 mC

Q2  2.90 mC

Q3  0.96 mC



Naponi na kondenzatorima:
U 2  U3 

Q 2 Q3

 480V
C2 C3

U1 

Q1
 720V
C1

Početna stranica

Stranica: IV-12

3. zadatak
U mreži prema slici kondenzator C5 ima početni naboj Q50 naznačenog
predznaka. Koliku će promjenu napona U1 na kondenzatoru C1
uzrokovati zatvaranje sklopke S? Zadano:







C1 = 18 [F]
C2 = 20 [F]
C3 = 14 [F]
C4 = 16 [F]
C5 = 5 [F]
U = 12 [V]

C1

S
U
Q50

+
-

C5
C3

C2

C4

Početna stranica

Stranica: IV-13

Rješenje zadatka


Mreža prije zatvaranja sklopke može se pojednostaviti
(kondenzatori nisu prethodno nabijeni):
C1

C1

C2



U
C3

U

Cekv

C4

1
1
1


Cekv C2 C3  C4
Cekv 


C2  C3  C4 
 12F
C2  C3  C4

Budući da kondenzatori nisu prethodno nabijeni vrijedi:
Q10  Qekv 0
Q
Q
U  U C10  U Cekv0  10  ekv 0
C1
Cekv

Početna stranica

Stranica: IV-14

U  C1  Cekv 1218106 12106
Q10 

C1  Cekv
18106  12106
Q10  86.4C

Prije zatvaranja sklopke kondenzatori C1 i Cekv su nabijeni
početnim nabojem Q10, a kondenzator C5 nabojem Q50
prikazanih polariteta.



Q1

C1
+
+

Q10
U

Za mrežu nakon zatvaranja
sklopke vrijedi:
Q50

A
Q5
Qekv0
Qekv
+ +
+ +
Cekv
C5
- - -

za čvor(A)
 Q1  Q5  Qekv  Q10  Q50  Qekv 0
 Q1  Q5  Qekv  Q50
U C 5  U Cekv 

Q5 Qekv

C5 Cekv

U  U C1  U C 5 

Q1 Q5

C1 C5

Početna stranica

Stranica: IV-15



Rješenjem sustava tri jednadžbe dobije se Q5:
Q50  U  C1 36106  1218106
Q5 

Cekv
18
12
C1
1
1
5
5
C5
C5
Q5  36 As



Napon na C5:
UC5



Q5 36106


 7.2 V
6
C5
5 10

Prije zatvaranja sklopke kondenzatori C1 nabijen je na
napon UC10:
Q10 86.4 106
U C10 

 4.8 V
6
C1
1810



Nakon zatvaranja sklopke kondenzator C1 nabijen je na
napon UC1:
UC1  U  UC5  12  7.2  4.8 V



Razlika napona na C1 prije i poslije zatvaranja sklopke:
U  UC1  UC10  4.8  4.8  0 V

Početna stranica

Stranica: IV-16

4. zadatak
Središta dviju usamljenih metalnih kugli A i B polumjera RA i RB
razmaknuta su d metara, s tim da je d >> RA. Na kugle su dovedeni
naboji QA0 i QB0, a nakon toga one se međusobno povezuju vrlo
tankom metalnom niti. Odredite, za taj slučaj, iznose polja EA i EB tik uz
površinu kugli ako je  = 0.





RA = 9 [cm]
RA = 1 [cm]
QA0 = -2.4 [nC]
QB0 = +3.2 [nC]

QA0
QB0

RA
RB
d

Početna stranica

Stranica: IV-17

Rješenje zadatka


Nakon zatvaranja sklopke potencijali kugli
izjednačavaju (dolazi do preraspodjele naboja):
QA
QB

RA
RB
d

A  B

Uz referentnu točku u
beskonačnosti:
QA
QB

4     0  RA 4     0  RB

Kugle čine sustav prikazan na slici, za koji vrijedi:

CA

+

QA0

-



se

+

QA

-

beskonačnost

QB0
CB

+ +
-

QB

 QA0  QB0  QA  QB

-

beskonačnost

Početna stranica

Stranica: IV-18



Rješenjem sustava jednadžbi:
QB  QA

RB
RA

 QA0  QB0  2.4 109  3.2 109
QA 

RB
1
1
1
RA
9
QA  720 pAs
QB  80  pAs


Budući da je d >> RA el. polja nakon zatvaranja sklopke
iznose:
QA
72010-12
EA 

2
4     0  RA 4    8.85410-12  9 10-2



QB
80 10-12
EB 

2
4     0  RB 4    8.85410-12  110-2





2



2

 800V/m 
 7.2 kV/m

Početna stranica


Slide 15

Stranica: IV-1

Elektrostatika


Spojevi kondenzatora.

Stranica: IV-2

1. zadatak
Na kondenzatorsku mrežu na slici priključen je izvor napajanja koji daje
istosmjerni napon od 1200 [V]. Potrebno je odrediti ekvivalentni
(ukupni) kapacitet mreže, napone koji vladaju na pojedinim elementima
(kondenzatorima) kao i pripadne naboje. Zadano je:





C1 = 4 [F]
C2 = 6 [F]
C3 = 2 [F]
U = 1200 [V]

C1
U
C2

C3

Početna stranica

Stranica: IV-3

Uvodni pojmovi


Priključivanjem skupine kondenzatora na istosmjerni izvor
(ili izvore) električne energije uspostavljaju se naponske i
nabojske prilike na pojedinim kondenzatorima u skladu s
dva osnovna zakona i to:
alg Qikon  alg Qipoč
i

i

alg E j  alg
j


i

Qi
Ci

za svakičvor

za svaku konturu

U slučaju serijskog spoja dva prethodno nenabijena
kondenzatora vrijedi:
U1

E

+

C1
(1)

U2

E  U1  U 2
Q1

+

C2

Q2
-

za čvor(1)

 Q1  Q2  0

 1
1 
C12    
 C1 C2 

1

Početna stranica

Stranica: IV-4

Uvodni pojmovi


Za seriju prethodno nenabijenih kondenzatora općenito
n
vrijedi:
U  U
S



i

i 1

QS  Q1  Q 2    Q n
n
1
1

CS i 1 Ci


U slučaju paralelnog spoja dva prethodno nenabijena
kondenzatora vrijedi:
U12  U1  U 2

+

E

C2

+
C1Q1 U1
-

Q2 U2
-



Q12  Q1  Q2
C12  C1  C2

Za paralelu prethodno nenabijenih kondenzatora općenito
U P  U1  U 2    U n
vrijedi:
n

Q P   Qi
i 1
n

C P   Ci
i 1

Početna stranica

Stranica: IV-5

Rješenje


Ukupni (ekvivalentni) kapacitet mreže:
C23  C2  C3  6 106  2 106  8 106  8 F
1

1

 1
1 
1
1 
6
  
C   


2
.
67

10
 2.67F

6
6
8 10 
 4 10
 C1 C23 


Naponi na kondenzatorima:
Q1  Q23  Q  C U

C
2.67 106
U1  U   1200
 800V
C1
4 106
C
2.67 106
U 23  U 
 1200
 400V
C23
8 106
U 2  U3  U 23  400V

Početna stranica

Stranica: IV-6



Naboji na kondenzatorima:
Q1  C1 U1  4 106  800  3.2 103 C

Q 2  C2 U 2  6 106  400  2.4 103 C
Q3  C3 U 3  2 106  400  0.8 103 C

Početna stranica

Stranica: IV-7

2. zadatak
Na kondenzatorsku mrežu priključuje se izvor napajanja koji daje
istosmjerni napon od 1200 [V]. Potrebno je odrediti napone koji vladaju
na pojedinim elementima (kondenzatorima) kao i pripadne naboje, ako
je kondenzator C1 prethodno nabijen nabojem Q10 prikazanog
polariteta. Zadano je:





Q10

+



C1 = 4 [F]
C2 = 6 [F]
C3 = 2 [F]
Q10 = 1 [mC]
U = 1200 [V]

-



C1

U
C2

C3

Početna stranica

Stranica: IV-8

Uvodni pojmovi
Priključivanjem skupine kondenzatora na istosmjerni izvor
(ili izvore) električne energije uspostavljaju se naponske i
nabojske prilike na pojedinim kondenzatorima u skladu s
dva osnovna zakona i to:



alg Qikon  alg Qipoč
i

i

alg E j  alg
j


i

Qi
Ci

za svakičvor

za svaku konturu

U slučaju priključenja serijskog spoja dva kondenzatora
na istosmjerni izvor, pri čemu je prije toga kondenzator C1
nabijen na Q10, vrijedi:

U1

E
U2

Q10 +
C1
(1)

+

E  U1  U 2
Q1

+

C2

za čvor(1)  Q1  Q2  Q10

Q2
Početna stranica

Stranica: IV-9

Uvodni pojmovi


U slučaju priključivanja na izvor istosmjernog napajanja
serijsko-paralelnog spoja tri kondenzatora, gdje su oba
kondenzatora prethodno nabijena prema slici vrijedi:
Q1 U1

C1

+

Q10E

-

+
C2

Q30
+
+
Q2 U2
-

+
C3 Q3 U3
-

U 2  U 3  U 23
E  U1  U 23
U1 

Q1
C1

U2 

Q2
C2

U3 

Q3
C3

 Q1  Q2  Q3  Q10  Q30
Početna stranica

Stranica: IV-10

Rješenje
Nakon zatvaranja sklopke u mreži se kondenzatori nakon
nekog vremena nabiju nabojima prikazanim na slici:
+

(1)

U
C2



+

Q1

Q10

-



+ Q2
-

C1
Q3
+
-

C3

Za mrežu vrijedi:
za čvor(1)  Q1  Q2  Q3  Q10
Q 2 Q3

C2 C3
Q Q
Q Q
U  U1  U 23  1  2  1  3
C1 C2 C1 C3
U 2  U3 

Početna stranica

Stranica: IV-11



Rješenjem sustava tri jednadžbe s tri nepoznanice i
uvrštenjem poznatih vrijednosti konačni naboji na
kondenzatorima iznose:
Q1  2.86 mC

Q2  2.90 mC

Q3  0.96 mC



Naponi na kondenzatorima:
U 2  U3 

Q 2 Q3

 480V
C2 C3

U1 

Q1
 720V
C1

Početna stranica

Stranica: IV-12

3. zadatak
U mreži prema slici kondenzator C5 ima početni naboj Q50 naznačenog
predznaka. Koliku će promjenu napona U1 na kondenzatoru C1
uzrokovati zatvaranje sklopke S? Zadano:







C1 = 18 [F]
C2 = 20 [F]
C3 = 14 [F]
C4 = 16 [F]
C5 = 5 [F]
U = 12 [V]

C1

S
U
Q50

+
-

C5
C3

C2

C4

Početna stranica

Stranica: IV-13

Rješenje zadatka


Mreža prije zatvaranja sklopke može se pojednostaviti
(kondenzatori nisu prethodno nabijeni):
C1

C1

C2



U
C3

U

Cekv

C4

1
1
1


Cekv C2 C3  C4
Cekv 


C2  C3  C4 
 12F
C2  C3  C4

Budući da kondenzatori nisu prethodno nabijeni vrijedi:
Q10  Qekv 0
Q
Q
U  U C10  U Cekv0  10  ekv 0
C1
Cekv

Početna stranica

Stranica: IV-14

U  C1  Cekv 1218106 12106
Q10 

C1  Cekv
18106  12106
Q10  86.4C

Prije zatvaranja sklopke kondenzatori C1 i Cekv su nabijeni
početnim nabojem Q10, a kondenzator C5 nabojem Q50
prikazanih polariteta.



Q1

C1
+
+

Q10
U

Za mrežu nakon zatvaranja
sklopke vrijedi:
Q50

A
Q5
Qekv0
Qekv
+ +
+ +
Cekv
C5
- - -

za čvor(A)
 Q1  Q5  Qekv  Q10  Q50  Qekv 0
 Q1  Q5  Qekv  Q50
U C 5  U Cekv 

Q5 Qekv

C5 Cekv

U  U C1  U C 5 

Q1 Q5

C1 C5

Početna stranica

Stranica: IV-15



Rješenjem sustava tri jednadžbe dobije se Q5:
Q50  U  C1 36106  1218106
Q5 

Cekv
18
12
C1
1
1
5
5
C5
C5
Q5  36 As



Napon na C5:
UC5



Q5 36106


 7.2 V
6
C5
5 10

Prije zatvaranja sklopke kondenzatori C1 nabijen je na
napon UC10:
Q10 86.4 106
U C10 

 4.8 V
6
C1
1810



Nakon zatvaranja sklopke kondenzator C1 nabijen je na
napon UC1:
UC1  U  UC5  12  7.2  4.8 V



Razlika napona na C1 prije i poslije zatvaranja sklopke:
U  UC1  UC10  4.8  4.8  0 V

Početna stranica

Stranica: IV-16

4. zadatak
Središta dviju usamljenih metalnih kugli A i B polumjera RA i RB
razmaknuta su d metara, s tim da je d >> RA. Na kugle su dovedeni
naboji QA0 i QB0, a nakon toga one se međusobno povezuju vrlo
tankom metalnom niti. Odredite, za taj slučaj, iznose polja EA i EB tik uz
površinu kugli ako je  = 0.





RA = 9 [cm]
RA = 1 [cm]
QA0 = -2.4 [nC]
QB0 = +3.2 [nC]

QA0
QB0

RA
RB
d

Početna stranica

Stranica: IV-17

Rješenje zadatka


Nakon zatvaranja sklopke potencijali kugli
izjednačavaju (dolazi do preraspodjele naboja):
QA
QB

RA
RB
d

A  B

Uz referentnu točku u
beskonačnosti:
QA
QB

4     0  RA 4     0  RB

Kugle čine sustav prikazan na slici, za koji vrijedi:

CA

+

QA0

-



se

+

QA

-

beskonačnost

QB0
CB

+ +
-

QB

 QA0  QB0  QA  QB

-

beskonačnost

Početna stranica

Stranica: IV-18



Rješenjem sustava jednadžbi:
QB  QA

RB
RA

 QA0  QB0  2.4 109  3.2 109
QA 

RB
1
1
1
RA
9
QA  720 pAs
QB  80  pAs


Budući da je d >> RA el. polja nakon zatvaranja sklopke
iznose:
QA
72010-12
EA 

2
4     0  RA 4    8.85410-12  9 10-2



QB
80 10-12
EB 

2
4     0  RB 4    8.85410-12  110-2





2



2

 800V/m 
 7.2 kV/m

Početna stranica


Slide 16

Stranica: IV-1

Elektrostatika


Spojevi kondenzatora.

Stranica: IV-2

1. zadatak
Na kondenzatorsku mrežu na slici priključen je izvor napajanja koji daje
istosmjerni napon od 1200 [V]. Potrebno je odrediti ekvivalentni
(ukupni) kapacitet mreže, napone koji vladaju na pojedinim elementima
(kondenzatorima) kao i pripadne naboje. Zadano je:





C1 = 4 [F]
C2 = 6 [F]
C3 = 2 [F]
U = 1200 [V]

C1
U
C2

C3

Početna stranica

Stranica: IV-3

Uvodni pojmovi


Priključivanjem skupine kondenzatora na istosmjerni izvor
(ili izvore) električne energije uspostavljaju se naponske i
nabojske prilike na pojedinim kondenzatorima u skladu s
dva osnovna zakona i to:
alg Qikon  alg Qipoč
i

i

alg E j  alg
j


i

Qi
Ci

za svakičvor

za svaku konturu

U slučaju serijskog spoja dva prethodno nenabijena
kondenzatora vrijedi:
U1

E

+

C1
(1)

U2

E  U1  U 2
Q1

+

C2

Q2
-

za čvor(1)

 Q1  Q2  0

 1
1 
C12    
 C1 C2 

1

Početna stranica

Stranica: IV-4

Uvodni pojmovi


Za seriju prethodno nenabijenih kondenzatora općenito
n
vrijedi:
U  U
S



i

i 1

QS  Q1  Q 2    Q n
n
1
1

CS i 1 Ci


U slučaju paralelnog spoja dva prethodno nenabijena
kondenzatora vrijedi:
U12  U1  U 2

+

E

C2

+
C1Q1 U1
-

Q2 U2
-



Q12  Q1  Q2
C12  C1  C2

Za paralelu prethodno nenabijenih kondenzatora općenito
U P  U1  U 2    U n
vrijedi:
n

Q P   Qi
i 1
n

C P   Ci
i 1

Početna stranica

Stranica: IV-5

Rješenje


Ukupni (ekvivalentni) kapacitet mreže:
C23  C2  C3  6 106  2 106  8 106  8 F
1

1

 1
1 
1
1 
6
  
C   


2
.
67

10
 2.67F

6
6
8 10 
 4 10
 C1 C23 


Naponi na kondenzatorima:
Q1  Q23  Q  C U

C
2.67 106
U1  U   1200
 800V
C1
4 106
C
2.67 106
U 23  U 
 1200
 400V
C23
8 106
U 2  U3  U 23  400V

Početna stranica

Stranica: IV-6



Naboji na kondenzatorima:
Q1  C1 U1  4 106  800  3.2 103 C

Q 2  C2 U 2  6 106  400  2.4 103 C
Q3  C3 U 3  2 106  400  0.8 103 C

Početna stranica

Stranica: IV-7

2. zadatak
Na kondenzatorsku mrežu priključuje se izvor napajanja koji daje
istosmjerni napon od 1200 [V]. Potrebno je odrediti napone koji vladaju
na pojedinim elementima (kondenzatorima) kao i pripadne naboje, ako
je kondenzator C1 prethodno nabijen nabojem Q10 prikazanog
polariteta. Zadano je:





Q10

+



C1 = 4 [F]
C2 = 6 [F]
C3 = 2 [F]
Q10 = 1 [mC]
U = 1200 [V]

-



C1

U
C2

C3

Početna stranica

Stranica: IV-8

Uvodni pojmovi
Priključivanjem skupine kondenzatora na istosmjerni izvor
(ili izvore) električne energije uspostavljaju se naponske i
nabojske prilike na pojedinim kondenzatorima u skladu s
dva osnovna zakona i to:



alg Qikon  alg Qipoč
i

i

alg E j  alg
j


i

Qi
Ci

za svakičvor

za svaku konturu

U slučaju priključenja serijskog spoja dva kondenzatora
na istosmjerni izvor, pri čemu je prije toga kondenzator C1
nabijen na Q10, vrijedi:

U1

E
U2

Q10 +
C1
(1)

+

E  U1  U 2
Q1

+

C2

za čvor(1)  Q1  Q2  Q10

Q2
Početna stranica

Stranica: IV-9

Uvodni pojmovi


U slučaju priključivanja na izvor istosmjernog napajanja
serijsko-paralelnog spoja tri kondenzatora, gdje su oba
kondenzatora prethodno nabijena prema slici vrijedi:
Q1 U1

C1

+

Q10E

-

+
C2

Q30
+
+
Q2 U2
-

+
C3 Q3 U3
-

U 2  U 3  U 23
E  U1  U 23
U1 

Q1
C1

U2 

Q2
C2

U3 

Q3
C3

 Q1  Q2  Q3  Q10  Q30
Početna stranica

Stranica: IV-10

Rješenje
Nakon zatvaranja sklopke u mreži se kondenzatori nakon
nekog vremena nabiju nabojima prikazanim na slici:
+

(1)

U
C2



+

Q1

Q10

-



+ Q2
-

C1
Q3
+
-

C3

Za mrežu vrijedi:
za čvor(1)  Q1  Q2  Q3  Q10
Q 2 Q3

C2 C3
Q Q
Q Q
U  U1  U 23  1  2  1  3
C1 C2 C1 C3
U 2  U3 

Početna stranica

Stranica: IV-11



Rješenjem sustava tri jednadžbe s tri nepoznanice i
uvrštenjem poznatih vrijednosti konačni naboji na
kondenzatorima iznose:
Q1  2.86 mC

Q2  2.90 mC

Q3  0.96 mC



Naponi na kondenzatorima:
U 2  U3 

Q 2 Q3

 480V
C2 C3

U1 

Q1
 720V
C1

Početna stranica

Stranica: IV-12

3. zadatak
U mreži prema slici kondenzator C5 ima početni naboj Q50 naznačenog
predznaka. Koliku će promjenu napona U1 na kondenzatoru C1
uzrokovati zatvaranje sklopke S? Zadano:







C1 = 18 [F]
C2 = 20 [F]
C3 = 14 [F]
C4 = 16 [F]
C5 = 5 [F]
U = 12 [V]

C1

S
U
Q50

+
-

C5
C3

C2

C4

Početna stranica

Stranica: IV-13

Rješenje zadatka


Mreža prije zatvaranja sklopke može se pojednostaviti
(kondenzatori nisu prethodno nabijeni):
C1

C1

C2



U
C3

U

Cekv

C4

1
1
1


Cekv C2 C3  C4
Cekv 


C2  C3  C4 
 12F
C2  C3  C4

Budući da kondenzatori nisu prethodno nabijeni vrijedi:
Q10  Qekv 0
Q
Q
U  U C10  U Cekv0  10  ekv 0
C1
Cekv

Početna stranica

Stranica: IV-14

U  C1  Cekv 1218106 12106
Q10 

C1  Cekv
18106  12106
Q10  86.4C

Prije zatvaranja sklopke kondenzatori C1 i Cekv su nabijeni
početnim nabojem Q10, a kondenzator C5 nabojem Q50
prikazanih polariteta.



Q1

C1
+
+

Q10
U

Za mrežu nakon zatvaranja
sklopke vrijedi:
Q50

A
Q5
Qekv0
Qekv
+ +
+ +
Cekv
C5
- - -

za čvor(A)
 Q1  Q5  Qekv  Q10  Q50  Qekv 0
 Q1  Q5  Qekv  Q50
U C 5  U Cekv 

Q5 Qekv

C5 Cekv

U  U C1  U C 5 

Q1 Q5

C1 C5

Početna stranica

Stranica: IV-15



Rješenjem sustava tri jednadžbe dobije se Q5:
Q50  U  C1 36106  1218106
Q5 

Cekv
18
12
C1
1
1
5
5
C5
C5
Q5  36 As



Napon na C5:
UC5



Q5 36106


 7.2 V
6
C5
5 10

Prije zatvaranja sklopke kondenzatori C1 nabijen je na
napon UC10:
Q10 86.4 106
U C10 

 4.8 V
6
C1
1810



Nakon zatvaranja sklopke kondenzator C1 nabijen je na
napon UC1:
UC1  U  UC5  12  7.2  4.8 V



Razlika napona na C1 prije i poslije zatvaranja sklopke:
U  UC1  UC10  4.8  4.8  0 V

Početna stranica

Stranica: IV-16

4. zadatak
Središta dviju usamljenih metalnih kugli A i B polumjera RA i RB
razmaknuta su d metara, s tim da je d >> RA. Na kugle su dovedeni
naboji QA0 i QB0, a nakon toga one se međusobno povezuju vrlo
tankom metalnom niti. Odredite, za taj slučaj, iznose polja EA i EB tik uz
površinu kugli ako je  = 0.





RA = 9 [cm]
RA = 1 [cm]
QA0 = -2.4 [nC]
QB0 = +3.2 [nC]

QA0
QB0

RA
RB
d

Početna stranica

Stranica: IV-17

Rješenje zadatka


Nakon zatvaranja sklopke potencijali kugli
izjednačavaju (dolazi do preraspodjele naboja):
QA
QB

RA
RB
d

A  B

Uz referentnu točku u
beskonačnosti:
QA
QB

4     0  RA 4     0  RB

Kugle čine sustav prikazan na slici, za koji vrijedi:

CA

+

QA0

-



se

+

QA

-

beskonačnost

QB0
CB

+ +
-

QB

 QA0  QB0  QA  QB

-

beskonačnost

Početna stranica

Stranica: IV-18



Rješenjem sustava jednadžbi:
QB  QA

RB
RA

 QA0  QB0  2.4 109  3.2 109
QA 

RB
1
1
1
RA
9
QA  720 pAs
QB  80  pAs


Budući da je d >> RA el. polja nakon zatvaranja sklopke
iznose:
QA
72010-12
EA 

2
4     0  RA 4    8.85410-12  9 10-2



QB
80 10-12
EB 

2
4     0  RB 4    8.85410-12  110-2





2



2

 800V/m 
 7.2 kV/m

Početna stranica


Slide 17

Stranica: IV-1

Elektrostatika


Spojevi kondenzatora.

Stranica: IV-2

1. zadatak
Na kondenzatorsku mrežu na slici priključen je izvor napajanja koji daje
istosmjerni napon od 1200 [V]. Potrebno je odrediti ekvivalentni
(ukupni) kapacitet mreže, napone koji vladaju na pojedinim elementima
(kondenzatorima) kao i pripadne naboje. Zadano je:





C1 = 4 [F]
C2 = 6 [F]
C3 = 2 [F]
U = 1200 [V]

C1
U
C2

C3

Početna stranica

Stranica: IV-3

Uvodni pojmovi


Priključivanjem skupine kondenzatora na istosmjerni izvor
(ili izvore) električne energije uspostavljaju se naponske i
nabojske prilike na pojedinim kondenzatorima u skladu s
dva osnovna zakona i to:
alg Qikon  alg Qipoč
i

i

alg E j  alg
j


i

Qi
Ci

za svakičvor

za svaku konturu

U slučaju serijskog spoja dva prethodno nenabijena
kondenzatora vrijedi:
U1

E

+

C1
(1)

U2

E  U1  U 2
Q1

+

C2

Q2
-

za čvor(1)

 Q1  Q2  0

 1
1 
C12    
 C1 C2 

1

Početna stranica

Stranica: IV-4

Uvodni pojmovi


Za seriju prethodno nenabijenih kondenzatora općenito
n
vrijedi:
U  U
S



i

i 1

QS  Q1  Q 2    Q n
n
1
1

CS i 1 Ci


U slučaju paralelnog spoja dva prethodno nenabijena
kondenzatora vrijedi:
U12  U1  U 2

+

E

C2

+
C1Q1 U1
-

Q2 U2
-



Q12  Q1  Q2
C12  C1  C2

Za paralelu prethodno nenabijenih kondenzatora općenito
U P  U1  U 2    U n
vrijedi:
n

Q P   Qi
i 1
n

C P   Ci
i 1

Početna stranica

Stranica: IV-5

Rješenje


Ukupni (ekvivalentni) kapacitet mreže:
C23  C2  C3  6 106  2 106  8 106  8 F
1

1

 1
1 
1
1 
6
  
C   


2
.
67

10
 2.67F

6
6
8 10 
 4 10
 C1 C23 


Naponi na kondenzatorima:
Q1  Q23  Q  C U

C
2.67 106
U1  U   1200
 800V
C1
4 106
C
2.67 106
U 23  U 
 1200
 400V
C23
8 106
U 2  U3  U 23  400V

Početna stranica

Stranica: IV-6



Naboji na kondenzatorima:
Q1  C1 U1  4 106  800  3.2 103 C

Q 2  C2 U 2  6 106  400  2.4 103 C
Q3  C3 U 3  2 106  400  0.8 103 C

Početna stranica

Stranica: IV-7

2. zadatak
Na kondenzatorsku mrežu priključuje se izvor napajanja koji daje
istosmjerni napon od 1200 [V]. Potrebno je odrediti napone koji vladaju
na pojedinim elementima (kondenzatorima) kao i pripadne naboje, ako
je kondenzator C1 prethodno nabijen nabojem Q10 prikazanog
polariteta. Zadano je:





Q10

+



C1 = 4 [F]
C2 = 6 [F]
C3 = 2 [F]
Q10 = 1 [mC]
U = 1200 [V]

-



C1

U
C2

C3

Početna stranica

Stranica: IV-8

Uvodni pojmovi
Priključivanjem skupine kondenzatora na istosmjerni izvor
(ili izvore) električne energije uspostavljaju se naponske i
nabojske prilike na pojedinim kondenzatorima u skladu s
dva osnovna zakona i to:



alg Qikon  alg Qipoč
i

i

alg E j  alg
j


i

Qi
Ci

za svakičvor

za svaku konturu

U slučaju priključenja serijskog spoja dva kondenzatora
na istosmjerni izvor, pri čemu je prije toga kondenzator C1
nabijen na Q10, vrijedi:

U1

E
U2

Q10 +
C1
(1)

+

E  U1  U 2
Q1

+

C2

za čvor(1)  Q1  Q2  Q10

Q2
Početna stranica

Stranica: IV-9

Uvodni pojmovi


U slučaju priključivanja na izvor istosmjernog napajanja
serijsko-paralelnog spoja tri kondenzatora, gdje su oba
kondenzatora prethodno nabijena prema slici vrijedi:
Q1 U1

C1

+

Q10E

-

+
C2

Q30
+
+
Q2 U2
-

+
C3 Q3 U3
-

U 2  U 3  U 23
E  U1  U 23
U1 

Q1
C1

U2 

Q2
C2

U3 

Q3
C3

 Q1  Q2  Q3  Q10  Q30
Početna stranica

Stranica: IV-10

Rješenje
Nakon zatvaranja sklopke u mreži se kondenzatori nakon
nekog vremena nabiju nabojima prikazanim na slici:
+

(1)

U
C2



+

Q1

Q10

-



+ Q2
-

C1
Q3
+
-

C3

Za mrežu vrijedi:
za čvor(1)  Q1  Q2  Q3  Q10
Q 2 Q3

C2 C3
Q Q
Q Q
U  U1  U 23  1  2  1  3
C1 C2 C1 C3
U 2  U3 

Početna stranica

Stranica: IV-11



Rješenjem sustava tri jednadžbe s tri nepoznanice i
uvrštenjem poznatih vrijednosti konačni naboji na
kondenzatorima iznose:
Q1  2.86 mC

Q2  2.90 mC

Q3  0.96 mC



Naponi na kondenzatorima:
U 2  U3 

Q 2 Q3

 480V
C2 C3

U1 

Q1
 720V
C1

Početna stranica

Stranica: IV-12

3. zadatak
U mreži prema slici kondenzator C5 ima početni naboj Q50 naznačenog
predznaka. Koliku će promjenu napona U1 na kondenzatoru C1
uzrokovati zatvaranje sklopke S? Zadano:







C1 = 18 [F]
C2 = 20 [F]
C3 = 14 [F]
C4 = 16 [F]
C5 = 5 [F]
U = 12 [V]

C1

S
U
Q50

+
-

C5
C3

C2

C4

Početna stranica

Stranica: IV-13

Rješenje zadatka


Mreža prije zatvaranja sklopke može se pojednostaviti
(kondenzatori nisu prethodno nabijeni):
C1

C1

C2



U
C3

U

Cekv

C4

1
1
1


Cekv C2 C3  C4
Cekv 


C2  C3  C4 
 12F
C2  C3  C4

Budući da kondenzatori nisu prethodno nabijeni vrijedi:
Q10  Qekv 0
Q
Q
U  U C10  U Cekv0  10  ekv 0
C1
Cekv

Početna stranica

Stranica: IV-14

U  C1  Cekv 1218106 12106
Q10 

C1  Cekv
18106  12106
Q10  86.4C

Prije zatvaranja sklopke kondenzatori C1 i Cekv su nabijeni
početnim nabojem Q10, a kondenzator C5 nabojem Q50
prikazanih polariteta.



Q1

C1
+
+

Q10
U

Za mrežu nakon zatvaranja
sklopke vrijedi:
Q50

A
Q5
Qekv0
Qekv
+ +
+ +
Cekv
C5
- - -

za čvor(A)
 Q1  Q5  Qekv  Q10  Q50  Qekv 0
 Q1  Q5  Qekv  Q50
U C 5  U Cekv 

Q5 Qekv

C5 Cekv

U  U C1  U C 5 

Q1 Q5

C1 C5

Početna stranica

Stranica: IV-15



Rješenjem sustava tri jednadžbe dobije se Q5:
Q50  U  C1 36106  1218106
Q5 

Cekv
18
12
C1
1
1
5
5
C5
C5
Q5  36 As



Napon na C5:
UC5



Q5 36106


 7.2 V
6
C5
5 10

Prije zatvaranja sklopke kondenzatori C1 nabijen je na
napon UC10:
Q10 86.4 106
U C10 

 4.8 V
6
C1
1810



Nakon zatvaranja sklopke kondenzator C1 nabijen je na
napon UC1:
UC1  U  UC5  12  7.2  4.8 V



Razlika napona na C1 prije i poslije zatvaranja sklopke:
U  UC1  UC10  4.8  4.8  0 V

Početna stranica

Stranica: IV-16

4. zadatak
Središta dviju usamljenih metalnih kugli A i B polumjera RA i RB
razmaknuta su d metara, s tim da je d >> RA. Na kugle su dovedeni
naboji QA0 i QB0, a nakon toga one se međusobno povezuju vrlo
tankom metalnom niti. Odredite, za taj slučaj, iznose polja EA i EB tik uz
površinu kugli ako je  = 0.





RA = 9 [cm]
RA = 1 [cm]
QA0 = -2.4 [nC]
QB0 = +3.2 [nC]

QA0
QB0

RA
RB
d

Početna stranica

Stranica: IV-17

Rješenje zadatka


Nakon zatvaranja sklopke potencijali kugli
izjednačavaju (dolazi do preraspodjele naboja):
QA
QB

RA
RB
d

A  B

Uz referentnu točku u
beskonačnosti:
QA
QB

4     0  RA 4     0  RB

Kugle čine sustav prikazan na slici, za koji vrijedi:

CA

+

QA0

-



se

+

QA

-

beskonačnost

QB0
CB

+ +
-

QB

 QA0  QB0  QA  QB

-

beskonačnost

Početna stranica

Stranica: IV-18



Rješenjem sustava jednadžbi:
QB  QA

RB
RA

 QA0  QB0  2.4 109  3.2 109
QA 

RB
1
1
1
RA
9
QA  720 pAs
QB  80  pAs


Budući da je d >> RA el. polja nakon zatvaranja sklopke
iznose:
QA
72010-12
EA 

2
4     0  RA 4    8.85410-12  9 10-2



QB
80 10-12
EB 

2
4     0  RB 4    8.85410-12  110-2





2



2

 800V/m 
 7.2 kV/m

Početna stranica


Slide 18

Stranica: IV-1

Elektrostatika


Spojevi kondenzatora.

Stranica: IV-2

1. zadatak
Na kondenzatorsku mrežu na slici priključen je izvor napajanja koji daje
istosmjerni napon od 1200 [V]. Potrebno je odrediti ekvivalentni
(ukupni) kapacitet mreže, napone koji vladaju na pojedinim elementima
(kondenzatorima) kao i pripadne naboje. Zadano je:





C1 = 4 [F]
C2 = 6 [F]
C3 = 2 [F]
U = 1200 [V]

C1
U
C2

C3

Početna stranica

Stranica: IV-3

Uvodni pojmovi


Priključivanjem skupine kondenzatora na istosmjerni izvor
(ili izvore) električne energije uspostavljaju se naponske i
nabojske prilike na pojedinim kondenzatorima u skladu s
dva osnovna zakona i to:
alg Qikon  alg Qipoč
i

i

alg E j  alg
j


i

Qi
Ci

za svakičvor

za svaku konturu

U slučaju serijskog spoja dva prethodno nenabijena
kondenzatora vrijedi:
U1

E

+

C1
(1)

U2

E  U1  U 2
Q1

+

C2

Q2
-

za čvor(1)

 Q1  Q2  0

 1
1 
C12    
 C1 C2 

1

Početna stranica

Stranica: IV-4

Uvodni pojmovi


Za seriju prethodno nenabijenih kondenzatora općenito
n
vrijedi:
U  U
S



i

i 1

QS  Q1  Q 2    Q n
n
1
1

CS i 1 Ci


U slučaju paralelnog spoja dva prethodno nenabijena
kondenzatora vrijedi:
U12  U1  U 2

+

E

C2

+
C1Q1 U1
-

Q2 U2
-



Q12  Q1  Q2
C12  C1  C2

Za paralelu prethodno nenabijenih kondenzatora općenito
U P  U1  U 2    U n
vrijedi:
n

Q P   Qi
i 1
n

C P   Ci
i 1

Početna stranica

Stranica: IV-5

Rješenje


Ukupni (ekvivalentni) kapacitet mreže:
C23  C2  C3  6 106  2 106  8 106  8 F
1

1

 1
1 
1
1 
6
  
C   


2
.
67

10
 2.67F

6
6
8 10 
 4 10
 C1 C23 


Naponi na kondenzatorima:
Q1  Q23  Q  C U

C
2.67 106
U1  U   1200
 800V
C1
4 106
C
2.67 106
U 23  U 
 1200
 400V
C23
8 106
U 2  U3  U 23  400V

Početna stranica

Stranica: IV-6



Naboji na kondenzatorima:
Q1  C1 U1  4 106  800  3.2 103 C

Q 2  C2 U 2  6 106  400  2.4 103 C
Q3  C3 U 3  2 106  400  0.8 103 C

Početna stranica

Stranica: IV-7

2. zadatak
Na kondenzatorsku mrežu priključuje se izvor napajanja koji daje
istosmjerni napon od 1200 [V]. Potrebno je odrediti napone koji vladaju
na pojedinim elementima (kondenzatorima) kao i pripadne naboje, ako
je kondenzator C1 prethodno nabijen nabojem Q10 prikazanog
polariteta. Zadano je:





Q10

+



C1 = 4 [F]
C2 = 6 [F]
C3 = 2 [F]
Q10 = 1 [mC]
U = 1200 [V]

-



C1

U
C2

C3

Početna stranica

Stranica: IV-8

Uvodni pojmovi
Priključivanjem skupine kondenzatora na istosmjerni izvor
(ili izvore) električne energije uspostavljaju se naponske i
nabojske prilike na pojedinim kondenzatorima u skladu s
dva osnovna zakona i to:



alg Qikon  alg Qipoč
i

i

alg E j  alg
j


i

Qi
Ci

za svakičvor

za svaku konturu

U slučaju priključenja serijskog spoja dva kondenzatora
na istosmjerni izvor, pri čemu je prije toga kondenzator C1
nabijen na Q10, vrijedi:

U1

E
U2

Q10 +
C1
(1)

+

E  U1  U 2
Q1

+

C2

za čvor(1)  Q1  Q2  Q10

Q2
Početna stranica

Stranica: IV-9

Uvodni pojmovi


U slučaju priključivanja na izvor istosmjernog napajanja
serijsko-paralelnog spoja tri kondenzatora, gdje su oba
kondenzatora prethodno nabijena prema slici vrijedi:
Q1 U1

C1

+

Q10E

-

+
C2

Q30
+
+
Q2 U2
-

+
C3 Q3 U3
-

U 2  U 3  U 23
E  U1  U 23
U1 

Q1
C1

U2 

Q2
C2

U3 

Q3
C3

 Q1  Q2  Q3  Q10  Q30
Početna stranica

Stranica: IV-10

Rješenje
Nakon zatvaranja sklopke u mreži se kondenzatori nakon
nekog vremena nabiju nabojima prikazanim na slici:
+

(1)

U
C2



+

Q1

Q10

-



+ Q2
-

C1
Q3
+
-

C3

Za mrežu vrijedi:
za čvor(1)  Q1  Q2  Q3  Q10
Q 2 Q3

C2 C3
Q Q
Q Q
U  U1  U 23  1  2  1  3
C1 C2 C1 C3
U 2  U3 

Početna stranica

Stranica: IV-11



Rješenjem sustava tri jednadžbe s tri nepoznanice i
uvrštenjem poznatih vrijednosti konačni naboji na
kondenzatorima iznose:
Q1  2.86 mC

Q2  2.90 mC

Q3  0.96 mC



Naponi na kondenzatorima:
U 2  U3 

Q 2 Q3

 480V
C2 C3

U1 

Q1
 720V
C1

Početna stranica

Stranica: IV-12

3. zadatak
U mreži prema slici kondenzator C5 ima početni naboj Q50 naznačenog
predznaka. Koliku će promjenu napona U1 na kondenzatoru C1
uzrokovati zatvaranje sklopke S? Zadano:







C1 = 18 [F]
C2 = 20 [F]
C3 = 14 [F]
C4 = 16 [F]
C5 = 5 [F]
U = 12 [V]

C1

S
U
Q50

+
-

C5
C3

C2

C4

Početna stranica

Stranica: IV-13

Rješenje zadatka


Mreža prije zatvaranja sklopke može se pojednostaviti
(kondenzatori nisu prethodno nabijeni):
C1

C1

C2



U
C3

U

Cekv

C4

1
1
1


Cekv C2 C3  C4
Cekv 


C2  C3  C4 
 12F
C2  C3  C4

Budući da kondenzatori nisu prethodno nabijeni vrijedi:
Q10  Qekv 0
Q
Q
U  U C10  U Cekv0  10  ekv 0
C1
Cekv

Početna stranica

Stranica: IV-14

U  C1  Cekv 1218106 12106
Q10 

C1  Cekv
18106  12106
Q10  86.4C

Prije zatvaranja sklopke kondenzatori C1 i Cekv su nabijeni
početnim nabojem Q10, a kondenzator C5 nabojem Q50
prikazanih polariteta.



Q1

C1
+
+

Q10
U

Za mrežu nakon zatvaranja
sklopke vrijedi:
Q50

A
Q5
Qekv0
Qekv
+ +
+ +
Cekv
C5
- - -

za čvor(A)
 Q1  Q5  Qekv  Q10  Q50  Qekv 0
 Q1  Q5  Qekv  Q50
U C 5  U Cekv 

Q5 Qekv

C5 Cekv

U  U C1  U C 5 

Q1 Q5

C1 C5

Početna stranica

Stranica: IV-15



Rješenjem sustava tri jednadžbe dobije se Q5:
Q50  U  C1 36106  1218106
Q5 

Cekv
18
12
C1
1
1
5
5
C5
C5
Q5  36 As



Napon na C5:
UC5



Q5 36106


 7.2 V
6
C5
5 10

Prije zatvaranja sklopke kondenzatori C1 nabijen je na
napon UC10:
Q10 86.4 106
U C10 

 4.8 V
6
C1
1810



Nakon zatvaranja sklopke kondenzator C1 nabijen je na
napon UC1:
UC1  U  UC5  12  7.2  4.8 V



Razlika napona na C1 prije i poslije zatvaranja sklopke:
U  UC1  UC10  4.8  4.8  0 V

Početna stranica

Stranica: IV-16

4. zadatak
Središta dviju usamljenih metalnih kugli A i B polumjera RA i RB
razmaknuta su d metara, s tim da je d >> RA. Na kugle su dovedeni
naboji QA0 i QB0, a nakon toga one se međusobno povezuju vrlo
tankom metalnom niti. Odredite, za taj slučaj, iznose polja EA i EB tik uz
površinu kugli ako je  = 0.





RA = 9 [cm]
RA = 1 [cm]
QA0 = -2.4 [nC]
QB0 = +3.2 [nC]

QA0
QB0

RA
RB
d

Početna stranica

Stranica: IV-17

Rješenje zadatka


Nakon zatvaranja sklopke potencijali kugli
izjednačavaju (dolazi do preraspodjele naboja):
QA
QB

RA
RB
d

A  B

Uz referentnu točku u
beskonačnosti:
QA
QB

4     0  RA 4     0  RB

Kugle čine sustav prikazan na slici, za koji vrijedi:

CA

+

QA0

-



se

+

QA

-

beskonačnost

QB0
CB

+ +
-

QB

 QA0  QB0  QA  QB

-

beskonačnost

Početna stranica

Stranica: IV-18



Rješenjem sustava jednadžbi:
QB  QA

RB
RA

 QA0  QB0  2.4 109  3.2 109
QA 

RB
1
1
1
RA
9
QA  720 pAs
QB  80  pAs


Budući da je d >> RA el. polja nakon zatvaranja sklopke
iznose:
QA
72010-12
EA 

2
4     0  RA 4    8.85410-12  9 10-2



QB
80 10-12
EB 

2
4     0  RB 4    8.85410-12  110-2





2



2

 800V/m 
 7.2 kV/m

Početna stranica