Transcript Kombinatoorika

Kombinatoorika
Heldena Taperson
www.welovemath.ee
Liitmisreegel
Kui mingi elemendi A võib valida k erineval viisil,
elemendi B aga r erineval viisil ( sõltumata A
valikutest), siis elemendi “ kas A või B” saab
k+r
valida ..............................
erineval viisil.
Korrutamisreegel
Kui mingi elemendi A võib valida k erineval viisil,
elemendi B aga r erineval viisil ( sõltumata A
valikutest), siis elementide paari “ A ja B” saab
k r
valida ..............................
erineval viisil.
Urnis on 4 valget, 3 musta ja 2 punast kuuli.
Milline on tõenäosus, et juhuslikult võetud kuul
on kas valge või punane?
• Valge kuuli saamise tõenäosus on ...........
• Punase kuuli saamise tõenäosus on ...........
• Tõenäosus, et võetud kuul on valge või punane
on ................
Kaks laskurit Aadu ja Ats, kellel märklaua
tabamise tõenäosused on vastavalt 0,75 ja 0,84,
lasevad samasse märklauda. Kui suur on
tõenäosus, et mõlemad tabavad märki?
Esimese n positiivse täisarvu korrutise
ülesmärkimiseks kasutatakse sümbolit n! (loe: n
faktoriaal).
n!= 1 · 2 · 3 · .... ·(n-1) · n
NB! 0!=1
Permutatsioonideks nimetatakse n elemendilise
hulga elementidest n elemendilisi
järjestatud
................................
osahulki ning
permutatsioonide arvu leitakse valemi järgi
n!
Pn = n  (n –1)  (n –2)  .......= ............
Kombinatsioonideks n elemendist k kaupa
nimetatakse n elemendilise hulga k elemendilisi
osahulki ning kombinatsioonide arvu leitakse
valemi järgi
n!
C 
k!(n  k )!
k
n
Variatsioonideks n elemendist k kaupa
nimetatakse n elemendilise hulga k
elemendilisi järjestatud osahulki ning
variatsioonide arvu leitakse valemi järgi
n!
A 
(n  k )!
k
n
C nk  C nn .k
Kombinatsioonide korral kehtivad C n0  C nn  1
C n1  C nn 1  n
C
k
n 1
C
k 1
n
C
k
n
Kui Newtonibinoom vale
m is( Isaac Newton 1643 1727)
(a  b) n  Cn0 a n  Cn1 a n 1b  Cn2 a n 2b 2  ...  Cnn 1abn 1  Cnnb n võtta a  b  1, siis
Cn0  Cn1  Cn2  ...  Cnn 1  Cnn  2 n
Karupoeg Puhhil on 4 väga head sõpra. Mitu erinevat
seltskonda saab ta endale külla kutsuda?
• Kutsudes sõpru ühekaupa, saab Puhh 4 erinevat (C41  .....)
seltskonda, kutsudes sõpru kahekaupa, saab ta erinevaid
2
seltskondi C4  ....., kolmekaupa C43  ..... ja kutsudes kõik
neli korraga C44  ...... . Seega saab erinevaid seltskondi
.....+........+........+........=15
Sama tulemuseni jõuab ka arvutades 2 4  1  ............... , st
tuleb lahutada ära võimalus, et ei ole kutsutud ühtegi sõpra.