Transcript Sündmuste korrutise tõenäosus

Sündmuste summa
Sündmuste A ja B summaks nimetatakse
sündmust, mille korral toimub vähemalt
üks sündmustest A või B.
Tähistus:
AÈ B
Näited
1. Kaardipakis on 52 kaarti. Tõmmatakse üks
juhuslik kaart.
A – saadakse risti mastist kaart
B – saadakse ruutu mastist kaart
AÈ B- saadakse risti või ruutu mastist kaart
13 1
13 1
p(A) =
=
p(B) =
=
52 4
52 4
13+13 26 1
p(A È B) =
=
= = p(A)+ p(B)
52
52 2
2. Kaardipakis on 52 kaarti. Tõmmatakse üks k.
A – saadakse risti masti kaart
B – saadakse pilt (S, E, K)
AÈ B - /kirjeldada, millised kaardid sobivad/
A – saadakse risti masti kaart
B – saadakse pilt (S, E, K)
Mis on sündmuste summaks?
13
p(A) =
52
12
p(B) =
52
22
¹ p(A)+ p(B)
p(A È B) =
52
13
p(A) =
52
12
p(B) =
52
22
= p(A)+ p(B)- p(AÇ B)
p(A È B) =
52
toimuvad mõlemad sündmused;
sündmuste korrutis
Sündmuste summa tõenäosus
p(AÈ B) = p(A)+ p(B) - p(AÇ B)
A, B – teineteist mittevälistavad sündmused
p(AÈ B) = p(A)+ p(B)
A, B – teineteist välistavad
sündmused; p(AÇ B) = 0
Sündmuste korrutis
• Sündmuste korrutiseks nimetatakse
sündmust, mille korral toimuvad mõlemad
sündmused.
• Tähistus:
Näited
1. Kaardipakis on 52 kaarti. Võetakse üks kaart.
A – saadakse risti mastist kaart
B – saadakse pilt (S, E, K)
AÇ B - saadakse risti mastist pilt
13 1
p(A) =
=
52 4
12 3
p(B) =
=
52 13
3
p(A Ç B) =
= p(A)× p(B)
52
2. Kaardipakis on 52 kaarti. Võetakse üks kaart.
A – saadakse punane kaart (ärtu või ruutu)
B – saadakse ärtu või ruutu mastist emand
AÇ B - saadakse ärtu või ruutu emand
13+13 26 1
p(A) =
=
=
52
52 2
2
1
p(B) =
=
52 26
2
1
p(A Ç B) =
=
¹ p(A)× p(B)
52 26
Sõltuvad ja sõltumatud sündmused
Sõltumatud sündmused – ühe sündmuse
toimumine või mittetoimumine ei mõjuta teise
sündmuse toimumise tõenäosust.
Sõltuvad sündmused – ühe sündmuse
toimumine mõjutab teise sündmuse tõenäosust.
Tinglik tõenäosus
• Eeldatakse, et sündmus A on toimunud.
Leitakse sündmuse B tõenäosus sellel
eeldusel.
Tähistatakse: p(B | A)
/sündmuse B tinglik tõenäosus eeldusel, et
sündmus A on toimunud
või sündmuse B tinglik tõenäosus sündmuse A
suhtes/
Leiame sündmuse B tinglikud tõenäosused:
2 1
p(B | A) =
=
26 13
sündmuse B tinglik tõenäosus
sündmuse A suhtes;
A on toimunud – väljavalitud
kaart on punane;
p(B | A) = 0
sündmuse B tinglik tõenäosus
sündmuse A suhtes;
A on toimunud – väljavalitud
kaart on must;
mustade kaartide hulgast leida
ärtu või ruutu emandat ei saa;
sündmuse B tinglik tõenäosus
on null.
• Sõltumatute sündmuste korrutise tõenäosus
on sündmuste tõenäosuste korrutis:
p(A Ç B) = p(A)× p(B)
• Sõltuvate sündmuste tõenäosus:
p(AÇ B) = p(A)× p(B | A)
Näited (jätk)
3. Täringut visatakse kaks korda. Kui suur on
tõenäosus, et mõlemal korral saadakse 6 silma?
Lahendus
A – esimesel viskel saadakse 6 silma;
B – teisel viskel saadakse 6 silma.
A, B – sõltumatud sündmused
1 1 1
p(A Ç B) = p(A)× p(B) = × =
6 6 36
Näited
4. Urnis on 4 valget ja 5 musta kuuli. Võetakse kaks
kuuli (neid tagasi panemata). Kui suur on tõenäosus, et
mõlemad kuulid on valged?
Lahendus
A – esimesena võetud kuul on valge,
B – teisena võetud kuul on valge.
Sündmuse B tõenäosus sõltub sündmusest A.
4 3 1
p(A Ç B) = p(A)× p(B | A) = × =
9 8 6
Näide 4 kombinatsioonide abil
Kõikide võimaluste arv kahe kuuli võtmiseks:
9×8
n=C =
1× 2
2
9
soodsate võimaluste arv kahe valge kuuli
4×3
2
saamiseks:
m = C4 =
1× 2
Tõenäosus:
4×3
C42 1× 2 4 × 3 1
p(A) = 2 =
=
=
C9 9 ×8 9 ×8 6
1× 2