Transcript Näide 1

Tõenäosusteooria ja
matemaatiline statistika
(tõenäosus ja statistika)
Tundide jaotus
• Kokku 35 tundi (üks 11. klassi matemaatika
kursustest, nii kitsas kui ka laias
matemaatikas)
– Hindamine:
• kontrolltööd (3-4)
• praktiline töö (statistikast)
Materjalid
• VIKO:
http://viko.edu.ee
• Õpikud:
– K. Velsker, L. Lepmann, T. Lepmann “Matemaatika XI klassile”
– T. Tõnso, A. Veelmaa “ Matemaatika 12. klassile”
– O. Prinits “Matemaatilise statistika ja tõenäosusteooria
elemente keskkoolile : fakultatiivkursus” (1977)
– arvukalt Internetist leitavad allikad
võõrkeelsed:
– В.С. Лютикас “Факультативный курс по математике / теория
вероятностей“ (1990)
– C.M.Grinstead, J. Laurie Snell “Introduction to probability.”
(vt
http://www.dartmouth.edu/~chance/teaching_aids/books_artic
les/probability_book/book.html)
Ajaloost
• Tekkinud 17. sajandil seoses hasartmängudega
(kaardid, täringud)
• Antoine Gombaud’ (Chevalier de Méré)
probleemid –
kirjavahetus de Fermat’ ja Pascal’iga
De Méré probleem
• Teatud võrdsete võimalustega mängu mängitakse
kindla arvu võitudeni (näiteks 3 võiduni).
Kui mingil põhjusel mäng katkestatakse, kuidas tuleks
siis panused jaotada (kui jaotada ausalt!)?
Kui näit. esimene mängija on katkestamise
momendiks võitnud kaks ja teine mängija ühe
mängu?
Kas jagada suhtes 2:1? Või mingis muus suhtes?
Ajaloost
• Huygens – esimene tõenäosusteooria raamat 1657. a
• Bernoulli – Bernoulli valem, Bernoulli suurte arvude
seadus
• Gauss – Gaussi kõver
• Tšebõšev (ingl k Chebychev) – suurte arvude seadus
(katseliselt määratava suuruse tõelise väärtuse parimaks
lähendiks on katsetulemuste aritmeetiline keskmine, mis on
seda usaldusväärsem, mida pikema katseseeria põhjal see on
leitud)
• Kolmogorov – tõenäosusteooria aksiomaatika looja
("Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung”
(“Tõenäosusteooria põhimõisted”), 1933
Põhimõisted
• Katse – toiming, mille korraldamise protseduur on
fikseeritud; katse käigus jälgitakse, kas teatud
sündmused toimuvad või mitte
• Sündmus – katse tulemus
Näide 1
• Katseks on täringu viskamine
• Sündmused:
– saadakse 1, 2, 3, 4, 5 või 6 silma
– saadakse paarisarv silmi
– silmade arv jagub 3-ga jne
• Näide 2
• Visatakse korraga kahte täringut
• Sündmused:
– Summana saadakse 2, 3, 4, …, 12 silma
– Ühel täringul on suurem silmade arv kui teisel
– Summana saadakse vähemalt 3 silma
– Mõlemal täringul on sama silmade arv
Sündmuste liigitamine
• Näide 3
• Katseks on ühe täringu viskamine
• A – saadakse 7 silma võimatu sündmus
B – saadakse 1, 2, 3, 4, 5 või 6 silma
C – saadakse 4 silma juhuslik sündmus
kindel sündmus
• Võimatu sündmus – sündmus, mis antud
katse käigus ei saa esile tulla; tähistus Æ
• Kindel sündmus – sündmus, mis antud katses
kindlasti toimub; tähistus W
• Juhuslik sündmus – sündmus, mis antud katse
käigus võib toimuda, võib aga ka mitte
toimuda; tähistatakse A, B, C, … vahel
kasutatakse ka indekseid: A1, A2, A3, …
Põhimõisted (II)
• Vastandsündmus – seisneb sündmuse A
mittetoimumises; tähistus A (loe: A kaetud)
• Näide
Katseks on kahe täringu viskamine
A – summana saadakse vähemalt 6 silma ( ³ 6)
A - summaks on 2, 3, 4 või 5 silma (<6)
Ülesanne 1
Sündmus A
Mündi viskamisel saadakse “kiri”
Kaardipakist tõmmatakse välja kolm
kaarti, mis kõik on ärtu mastist
Kolmest vastutulijast vähemalt üks on
naine
Sündmuse kirjelduses esineb sõnapaar
“vähemalt üks” …
x<4
Vastandsündmus
A
Ülesanne 1
A
Sündmus A
Vastandsündmus
Mündi viskamisel saadakse “kiri”
Mündi viskamisel saadakse “kull”.
Kaardipakist tõmmatakse välja kolm
kaarti, mis kõik on ärtu mastist
Kolme kaardi hulgas on vähemalt üks
“mitteärtu”.
Kolmest vastutulijast vähemalt üks on
naine
Kolme vastutulija hulgas naisi pole.
Sündmuse kirjelduses esineb sõnapaar
“vähemalt üks” …
Vastandsündmuse kirjelduses tuleb
kasutada: “mitte ükski” (“mitte ühtegi”)
x<4
x ³4
Põhimõisted (III)
• Sõltumatud sündmused – kui katse
kordamisel ühe sündmuse toimumine ei
mõjuta teise sündmuse toimumist
• Sõltuvad sündmused – ühe sündmuse
toimumisest sõltub teise sündmuse
toimumine
• Näide sõltumatute sündmuste kohta
Täringut visatakse järjest kaks korda.
A – esimesel viskel saadakse 4 silma
B – teisel viskel saadakse 3 silma
Sündmused A ja B on sõltumatud, sest teise
viske tulemus ei sõltu esimese katse
tulemusest.
• Näide sõltuvate sündmuste kohta
Kaardipakist võetakse järjest kaks kaarti. Esimest
kaarti ei panda enne teise võtmist pakki tagasi.
A – esimene kaart on ärtu
B – teine kaart on samuti ärtu
Kui A toimub, siis on B toimumiseks 12 võimalust.
Kui A ei toimu, siis on B toimumiseks 13 võimalust.
Sündmuse B toimumine on sõltuv sündmuse A
toimumisest. A ja B on sõltuvad sündmused.
De Méré probleemi lahendus
(Fermat’ lahendus)
ALGSEIS:
1
2
A võidab
A – vajab 1 võitu
B – vajab 2 võitu
1
2
A võidab
B võidab
(vajalik saada veel 1
võit)
1
4
B võidab
1 1 3
+ =
2 4 4
Mängija A võit:
Mängija B võit:
1
4
1
4
Võitude suhe:
3 1 3× 4 3
: =
= = 3 :1
4 4 4 ×1 1
Nuputamiseks
Teatud võrdsete võimalustega mängu mängitakse
nelja võiduni.
Enne mängu panustab kumbki mängija 100 raha.
Katkestamise momendiks on mängija A võitnud
kolm mängu, mängija B aga ühe mängu. Kuidas
tuleks panustatud raha (200) jaotada?
/jätk/
Panuste jagamine.
Kokku on 200 raha.
Jagada tuleb suhtes 7:1.
Osade koguarv on 8. Üks osa on 200 :8 = 25
Mängija A peab saama: 7× 25 =175
mängija B peab saama: 1× 25 = 25
Põhimõised (III)
• Teineteist välistavad sündmused –
sündmused, millest ühe toimumisel on teise
sündmuse toimumine samal katsel võimatu
• Näide
Visatakse täringut.
A – saadakse 4 silma,
B – saadakse 5 silma.
Sündmused A ja B on teineteist välistavad sündmused.
• Aga:
Visatakse korraga kahte täringut.
C – saadud summa jagub 3-ga
D – saadud summa jagub 2-ga
Sündmused C ja D ei ole teineteist välistavad (näit. kui summa on
12, siis see jagub nii 2-ga kui ka 3-ga).
Ülesanne 2
• Iga sündmuse kohta märkida, kas ta on
juhuslik, võimatu või kindel sündmus.
– Täringuviskel saadakse viis silma.
– Rakveres paistab täna õhtul (7. novembril) kell
23.45 päike.
– Raamatus on 200 lehekülge. Seda raamatut
juhuslikust kohast avades avame ta 45. ja 46.
lehekülje vahelt.
– Kahe täringu koos viskamisel saadakse summaks 5
silma.
Ülesanne 2(jätk)
– Kolme täringu koos viskamisel saadakse summaks
20 silma.
– Normaaltingimustes hakkab vesi keema 100 kraadi
juures.
– Vesi hakkab keema 100 kraadi juures.
– Täna kutsutakse geograafiatunnis vastama Peeter
(Peeter on antud klassi õpilane ning täna ka koolis,
geograafiatunnis on ta kohal).
Ülesanne 2 (jätk)
– 100 aasta pärast on 100 m jooksu maailmarekord
9,2 sekundit.
– Korvis on 2 musta ja 4 valget kuulikest. Võetakse
üks kuul ning saadakse sinine kuul.
– Sajast säästulambist on kaks aastat pärast
kasutuselevõtmist töökorras vähemalt 90 lampi.
Ülesanne 3
• Iga sündmuse kohta märkida, mis on tema
vastandsündmuseks.
A – täringuviskel saadakse paarisarv silmi
B – nelja vastutulija hulgas on vähemalt üks blondiin
D – kaardipakist tõmmatud 3 kaarti on kõik ässad
E – saja detaili hulgas on vähemalt 80 kvaliteetset
detaili
F – kolme täringu viskamisel saadakse summaks
vähemalt 4
Ülesanne 4
• Kas sündmused on sõltumatud või sõltuvad?
– Täringut visatakse kaks korda.
A – esimesel viskel saadakse paarisarv silmi
B – teisel viskel saadakse 4 silma
– Korvis on 4 õuna ja 5 pirni. Võetakse kolm
puuvilja.
A – esimesena saadakse õun.
B – teisena saadakse õun.
C – kolmandana saadakse õun.
Ülesanne 4 (jätk)
• Korvis on 4 valget ja 5 punast kuulikest. Võetakse üks
kuul. Pärast tema värvi kindlakstegemist pannakse
kuulike korvi tagasi. Samuti toimitakse veel kaks
korda.
A – esimesena saadakse valge kuul
B – teisena saadakse valge kuul
C – kolmandana saadakse kolmas kuul
Kas A, B, C on sõltumatud või sõltuvad?
Ülesanne 5
• Kas sündmused A ja B on teineteist välistavad
sündmused või mitte?
– Visatakse korraga kahte täringut.
A – summana saadakse 7 silma
B – ühe täringuga saadakse 5 silma, teise
täringuga 2 silma
– Visatakse korraga kahte täringut
A – mõlema täringuga saadakse paarisarv silmi
B – summana saadakse 11 silma
Ülesanne 5 (jätk)
– Kaardipakis on 52 kaarti. Tõmmatakse 4 suvalist
kaarti.
A – saadud kaartide hulgas on 3 ässa
B – saadud kaartide hulgas on 3 ärtu mastist kaarti
– Kaardipakis on 36 kaarti. Tõmmatakse üks kaart.
A – saadud kaart on ärtu kuningas
B – saadud kaart on pildikaart
Bernoulli valem
Pn,k = C p q
k
n
k
n- k
Gaussi kõver
(normaaljaotus)
Gaussi kõver
Koduse ülesande lahendus
A võidab
1
4
A võidab
Seis on 6:3
Seis on 5:3
1
4
1
2
Seis on 5:4
A – vaja 2 võitu
1
4
1
2
A võidab
Seis on 6:4
B võidab
Algus; seis on 4:3
B – vaja 3 võitu
1
8
A võidab
Seis on 5:4
1
8
B võidab
Seis on 5:5
1
8
A võidab
Seis on 6:4
1
8
B võidab
Seis on 5:5
B võidab
Seis on 4:4
1
8
1
4
B võidab
Seis on 4:5
A võit:
1 1 1 1 1 1 11
+ + + + + =
4 8 8 16 16 16 16
B võit:
1
8
1
16
A võidab
Seis on 6:5
1
16
B võidab
Seis on 5:6
1
16
A võidab
Seis on 6:5
1
16
B võidab
Seis on 5:6
1
16
A võidab
Seis on 5:5
B võidab
Seis on 4:6
1
16
A võidab
Seis on 6:5
B võidab
Seis on 5:6
1 1 1 1
5
+ + + =
8 16 16 16 16
/jätk/
Panuste jagunemine:
11 5 11×16 11
: =
= =11: 5
16 16 16 × 5 5
Vastus.
Panused tuleb jaotada suhtes 11:5.
Tõenäosuse mõiste
Tõenäosus – sündmuse toimumise võimalikkuse
määr (arv, mis iseloomustab sündmuse
toimumise võimalikkust).
Eristatakse järgmisi tõenäosuse arvutamise
võtteid:
• klassikaline tõenäosus,
• geomeetriline tõenäosus,
• statistiline tõenäosus.
Klassikaline tõenäosus
m
p(A) =
n
p – tõenäosus
A – sündmus
m – soodsate võimaluste arv sündmuse A toimumiseks
n – kõikide võimaluste arv
Võimatu sündmuse korral p (  )  0
Kindla sündmuse korral
Juhusliku sündmuse korral
Sündmuse ja vastandsündmus:
0 £ p(A) £1
p(A) + p(A) =1
Näide 1
1. Visatakse täringut.
A – saadakse 6 silma, B – saadakse 5 silma
n= 6
m= 1
1
p(A) =
6
1
p(B) =
6
Näide 1 (lahendus)
1. Visatakse täringut.
A – saadakse 3 silma
n=6
m=1
(6 erinevat võimalikku tulemust)
(saadakse 3 silma)
m 1
p(A) = =
n 6
Näide 2
2. Visatakse korraga kahte täringut.
A – summana saadakse 8 silma
n = ……………..
m = …………….
p(A) = ……………………..
Näide 2 (idee)
2. Visatakse korraga kahte täringut.
A – summana saadakse 8 silma
Tulemused võiks esitada tabelis:
I täringul saadud silmade arv
II täringul
saadud silmade
arv
1
1
2
3
4
5
6
2
3
4
5
6
Näide 2 (lahendus)
2. Visatakse korraga kahte täringut.
A – summana saadakse 8 silma
Tulemused võiks esitada tabelis:
II täringul
saadud silmade
arv
I täringul saadud silmade arv
n = 36
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
m=5
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
m 5
p(A) = =
» 0,139
n 36
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
Näide 3
Visatakse korraga kolme täringut.
Kui suur on tõenäosus, et summana saadakse
vähemalt 4 silma?
n=…
m=…
p(A) = …
Näide 3 (idee)
Visatakse korraga kolme täringut.
Kui suur on tõenäosus, et summana saadakse
vähemalt 4 silma?
Lahendusidee: kui võimaluste arv on suur, siis tasuks
kaaluda üleminekut vastandsündmusele.
Praegu on vastandsündmuseks:
summana saadakse ………………………..
Näide 3 (lahendus)
Praegu on vastandsündmuseks:
summana saadakse ………………………..
Soodsaid võimalusi vastandsündmuse
toimumiseks m = ……
Seega
p(A) = .......
Otsitud tõenäosuse leiame seosest p(A) + p(A =1
Avaldame p(A): p(A) =1- p(A) = ............
Ülesanded tõenäosuse klassikalise
valemi rakendamisele(I)
1. Täringut visatakse 5 korda järjest. Kui suur on
tõenäosus, et neljandal katsel saadakse 5
silma?
2. Täringut visatakse 100 korda. Neist 20 korral
saadakse 5 silma. Kui suur on tõenäosus, et
101. korral saadakse samuti 5 silma?
Ülesanded tõenäosuse klassikalise
valemi rakendamisele(II)
3. Kaardipakist tõmmatakse juhuslikult üks
kaart. Kui suur on tõenäosus, et saadakse pilt
(piltideks on sõdur, emand, kuningas, äss)?
4. Kaardipakist tõmmatakse juhuslikult kaks
kaarti. Kui suur on tõenäosus, et nad
mõlemad on ärtu mastist?
Ülesanded tõenäosuse klassikalise
valemi rakendamisele(III)
5. Klassis on 15 poissi ja 10 tüdrukut.
Ajalootunnis kutsutakse vastama üks
õpilastest. Kui õpilase väljavalimine on
juhuslik, kui suur on siis tõenäosus, et
vastama kutsutakse poiss?
6. Korvis on 2 valget, 5 musta ja 6 sinist palli.
Võetakse 10 palli (neid tagasi panemata). Kui
suur on tõenäosus, et korvi jäävad vaid
valged pallid?
Ülesanded tõenäosuse klassikalise
valemi rakendamisele(IV)
7. Mustkunstniku 52-lehelises kaardipakis on vaid ärtu
ässad ning risti kuningad (mõlemaid võrdselt).
Võetakse 27 kaarti (neid tagasi panemata). Kui suur
on tõenäosus, et nende kaartide hulgas on
vähemalt üks äss?
8. Peeter ja Ants sõlmivad järgmise kihlveo.
Neutraalne isik viskab kolme täringut korraga.
Peeter võidab, kui kolme täringu summana
saadakse vähemalt 10 silma, Ants võidab
vastupidisel juhul. Kumma poisi võidu tõenäosus on
suurem?
Ülesanded tõenäosuse klassikalise
valemi rakendamisele(V)
9. Missugune on tõenäosus, et 1995. a
sündinud inimene on sündinud
a) veebruaris
b) mingi kuu viimasel päeval
10.Kaardipakist on võetud mõned kaardid.
Kui suur on tõenäosus, et
järgmisena võetav kaart on
a) ruutu mastist
b) kuningas
c) 10 või emand
Ülesanded tõenäosuse klassikalise
valemi rakendamisele(VI)
11. Urnis on 8 valget, 7 punast ja 5 sinist kuuli.
Võetakse juhuslikult üks kuul. Kui suur on
tõenäosus, et see kuul on
a) valge,
b) punane,
c) sinine
12. Urnist võetakse 3 kuuli, neid tagasi
panemata. Kui suur on tõenäosus, et need
kuulid on kõik valged?
Ülesanded tõenäosuse klassikalise
valemi rakendamisele(VII)
13. Klassis on 12 noormeest ja 18 tütarlast.
Nimekirjast valitakse juhuslikult 3 õpilast. Kui
suur on tõenäosus, et valitakse tüdrukud?
14. Urnis on valged ja punased kuulid. Valitakse
üks juhuslik kuul. Punase kuuli valimise
tõenäosus on 0,3. Kui suur on valge kuuli
valimise tõenäosus?
15.Münti visatakse üks kord.
Missugune on “kirja” saamise tõenäosus?
1
p(A) = = 0, 5
2
a)
b)
c)
d)
Millised järgmistest väidetest on tõesed
Mündi järjestikusel viskamisel tuleb igal teisel
viskel “kiri”;
kui münti visatakse kaks korda, siis emmalkummal viskel tuleb “kiri”;
kui münti visatakse 100 korda, siis 50 korral
tuleb “kiri”;
kui münti visatakse sadu kordi, siis umbes
50% visetest saadakse “kiri”
Probleemülesanne
Karbis on kuulikesed:
Võetakse kaks kuuli. Kui suur on tõenäosus, et
saadakse sama värvi kuulikesed?
I lahendus
Kui kuulikesed võeti korraga, siis on võimalused
kahe kuuli saamiseks järgmised:
Sobivaiks on esimene ja kolmas,
2
p(A) =
seega vastav tõenäosus on
3
II lahendus
Kui kuulikesi ei võetud korraga, siis on
võimalused kahe kuuli saamiseks järgmised:
Sobivaiks on esimene ja neljas,
2 1
p(A) = =
seega vastav tõenäosus on
4 2
III lahendus
Nummerdame kuulikesed:
Kui võtta kuulid korraga, siis on kahe kuuli
saamiseks järgmised võimalused:
Sama värvi on kuulid esimesel
ja kuuendal juhul, seega
2 1
p(A) = =
6 3
Kolm varianti
2
p(A) =
3
1
p(A) =
2
Milline on õige???
Kuidas saaks kontrollida?
Kas on veel võimalusi??
1
p(A) =
3
IV lahendus
Nummerdame kuulikesed:
Kui kuulid ei ole võetud korraga, siis on kahe
kuuli saamiseks järgmised võimalused:
Tõenäosus:
4 1
p(A) = =
12 3
Järeldus
Võimaluste arvu kindlakstegemisel peame
arvestame kõikide elementaarsündmustega.
Elementaarsündmused (lihtsündmused) –
•antud katse kõik võimalikud tulemused
•üksteist välistavad
•võrdvõimalikud
8. ülesanne
Peeter ja Ants sõlmivad järgmise kihlveo.
Neutraalne isik viskab kolme täringut korraga.
Peeter võidab, kui kolme täringu summana
saadakse vähemalt 10 silma, Ants võidab
vastupidisel juhul. Kumma poisi võidu tõenäosus
on suurem? Leida need tõenäosused.
Antsu võit
• 3 silma:
• 4 silma:
• 5 silma:
• 6 silma:
111
112
113
122
114
123
222
121
131
212
…
…
211
311
221
• 7 silma:
• 8 silma:
115
124
133
223
116
125
134
224
233
…
…
…
…
…
…
…
…
…
• 9 silma:
126 …
135 …
144 …
225 …
234 …
333
KOKKU: 81 soodsat võimalust;
81 27 9 3
p(A) =
=
=
= = 0, 375
216 72 24 8
Kombinatoorika
Kombinatoorika on matemaatika haru, mis uurib
etteantud hulga elementide kombineerimise
võimalusi.
Koolimatemaatikas uuritakse järgmisi võimalusi:
•permutatsioonid
•variatsioonid
•kombinatsioonid
Permutatsioonid
Permutatsioonideks nimetatakse antud hulga
elementidest moodustatud kõikvõimalikud
järjestusi.
Permutatsioonide arvu
tähistatakse sümboliga Pn
P1 = 1
P2 = 2
P3 = …
P1 = 1
P2 = 2 = 12
P3 = 6 = 123
P4 = 24 =1234
P5 = ...
P6 = …
Üldkujul: Pn = 12…n
ehk Pn = n!
faktoriaal
Erand
Permutatsioonide arv 0 elemendist tuleb
defineerida: P0 = 1
Näited
• Moodustada kõik võimalikud kolmesõnalised
laused sõnadest KEEGI, SIIN, ON.
• Mitu erinevat lauset saab moodustada
sõnadest TIHTI, TAEVAS, NÄHTI, TÄHTI.
Kirjutada need laused ning püüda nad
võimalikult kiiresti (ja veatult!) ette lugeda.
Faktoriaal kalkulaatoriga
• n! või x!
• teha kindlaks suurim
tavalise kalkulaatoriga
leitav faktoriaal
Ülesanded
1. Pere viis last reastatakse juhuslikus
järjekorras. Kui suur on tõenäosus, et lapsed
paigutuvad ritta vanuse järgi (kas nooremast
vanemani või vastupidi)?
2. Mitmel erineval viisil saab bussi siseneda
kümme reisijat? Kui kaua aega kulub
kõikvõimalike variantide “läbimängimiseks”,
kui 10 inimese sisenemine võtab aega 1
minuti ja päevas jõuab katsetada 8 tundi?
3. Isa on kirjutanud aadressid viiele ümbrikule
ja pannud need lauale.Teises hunnikus on
samas järjekorras viis kutset erinevatele
sõpradele. 5-aastane poeg tahtis isa aidata,
kui isa oli toast lahkunud. Ta võttis kutsed,
kuid need kukkusid maha. Korjanud kõik jälle
kokku, hakkas ta kutseid ükshaaval
ümbrikutesse panema. Mitu erinevat varianti
kutsete panekuks saaks nii tekkida?
4. Igal inimesel on neli vanavanemat (kaks
vanaisa ja kaks vanaema).
Mitu vanavanemate vanavanemat on igal
inimesel?
Kui palju on vanavanemate vanavanematel
vanavanemate vanavanemaid?
5. Lihtsustada avaldis:
1)
7! 6! 4!
+ +
6! 3! 2!
2)
( n +1) × n ×(n -1)!
n!
(n +1)!
3)
(n -1)!
n!
05.12.2012 11T
• Kodune ülesanne
Nr 732: 5! = 120
Nr 736:
3! = 6 võimalust
AOS OAS SAO
ASO OSA SOA
Nr 737: 7! või 12!
7! = 5040
12! = 479 001 600
Ülesanded õpikust
•
•
•
•
•
•
•
Nr 739
Nr 740
Nr 741
Nr 742
NB! Nr 743
Nr 744
Nr 745 anagrammid KALEV VELAK
Geomeetriline tõenäosus
Näide. Järve keskel on saar. Arvutuste kohaselt
tabab meteoriit päris kindlalt järve piirkonda.
Kui suur on saare tabamise tõenäosus?
Geomeetriline tõenäosus
• Näide. Järve keskel on saar. Arvutuste kohaselt
tabab meteoriit päris kindlalt järve piirkonda.
Kui suur on saare tabamise tõenäosus?
Saab leida pindalad:
S1 – saare pindala
S – järve pindala (koos saarega)
Sündmuse A (meteoriit tabab saart)
tõenäosuse leiame seosest
S1
p(A) =
S
Geom. tõenäosuse korral eeldatakse, et
piirkonna iga punkti tabamiseks on võrdsed
võimalused.
Suhtarvu leidmisel võib jagada erinevaid
mõõtmeid (pikkus, pindala, ruumala).
Geomeetriline tõenäosus (II)
Näited
Lõigust [-1; 3] valitakse juhuslikult üks arv.
– Kui suur on tõenäosus, et valitud arv on 2,5?
2,5
-1
3
0
p(A) = = 0
4
– Kui suur on tõenäosus, et valitud arv on
vähemalt 0,5 (≥0,5)?
-1
0,5
x≥0,5
3
2,5
p(A) =
= 0, 625
4
Geomeetriline tõenäosus (III)
Näide 1
Lõigust [-1; 3] valitakse juhuslikult üks arv.
– Kui suur on tõenäosus, et valitud arv on 2,5?
Lahendus
0
Geomeetrilise tõenäosuse valemi järgi p(A) = = 0
4
– Kui suur on tõenäosus, et valitud arv on
vähemalt 0,5 ?
Lahendus
2,5
= 0, 625
Geom. tõenäosuse valemi järgi p(A) =
4
Järeldus
Sündmus võib toimuda ka siis, kui tõenäosus on
null.
/Teame, et võimatu sündmuse tõenäosus on 0;
seega vastupidine väide ei kehti./
Kasutatakse ka terminit praktiliselt võimatu
sündmus.
Geomeetriline tõenäosus (IV)
• Näide 2
Ring, mille üks sektor on värvitud punast värvi,
hakkab kiiresti pöörlema ümber keskpunkti.
Kui suur on tõenäosus, et selle ringi torkamisel
nõelaga tabatakse punast osa? Sektori nurk on
300.
Geomeetriline tõenäosus (IV)
• Näide 2
Ring, mille üks sektor on värvitud punast värvi,
hakkab kiiresti pöörlema ümber keskpunkti.
Kui suur on tõenäosus, et selle ringi torkamisel
nõelaga tabatakse punast osa? Sektori nurk on
300.
Geomeetrilise tõenäosuse
valemi põhjal:
30 0 × p r 2
0
S1
1
360
p(A) = =
=
2
S
pr
12
Ülesanne 1
Kui suur on värvitud piirkonna tabamise
tõenäosus?
r
2r
2 ×pr
2 ×p r
1
=
p(A) =
2 =
2
p × ( 2r ) p × 4r 2
2
2
Ülesanne 2
Bussid väljuvad lõpp-peatusest iga poole tunni
tagant ja avavad sisenemiseks uksed viis minutit
enne väljumist.
a)Kui suur on tõenäosus, et reisija saab
peatusesse saabudes kohe bussi siseneda?
b)Kui suur on tõenäosus, et ta peab ootama
bussi pääsemist üle 10 minuti?
Ülesanne 3
Jalakäijate fooris lülitub roheline tuli sisse iga
kolme minuti tagant. Roheline tuli põleb 1
minuti ja 20 sekundit.
Kui suur on tõenäosus, et ülekäigukohale
jõudnud jalakäija
a) saab kohe teed ületada;
b) peab ootama rohelist tuld?
Statistiline tõenäosus
Tugineb Bernoulli suurte arvude seadusele.
Toimitakse nõnda:
•sooritatakse k sõltumatut katset
•tehakse kindlaks sündmuse A toimumiste arv
l
•arvutatakse nn suhteline sagedus
l
•statistiline tõenäosus: p(A) ≈
k
k
l
Statistiline tõenäosus (II)
Näide 1
Korvpallur on sooritanud iga treeningu lõpus
seeria vabaviskeid:
Visete arv
80
100
120
100
100
100
100
100
100
100
Tabamuste arv
70
85
100
80
85
90
90
95
85
90
A – korvpallur tabab vabaviske
l 870
p(A) = =
= 0,87
k 1000
Statistiline tõenäosus (II)
Näide 2
Kui suur on tõenäosus, et sünnib poiss?
Tervise Arengu Instituudi (TAI) andmetel
1992-2011
Poisse
147172
Tüdrukuid
138500
KOKKU
254741
131213
» 0, 515
Poisi sündimise tõenäosus: p(A) =
254741
Tuntud näiteid ajaloost
• Georges de Buffon (1707-1788)
viskas münti 4040 korda, vapp 2048 korral;
suhteline sagedus 0,507
• Karl Pearson (1857-1936)
viskas münti 12000 korda, vapp 6019;
suhteline sagedus 0,5016;
II seeria 24000 korda, vapp 12012 korral;
suhteline sagedus 0,5005
Klassikalise valemi järgi: p(A) = 0,5
Buffoni nõel
• Paberilehele on tõmmatud peenikesed
paralleelsed jooned (joonte vaheline kaugus
on d); visatakse nõel (pikkusega l). Kui suur on
tõenäosus, et nõel puudutab ühte sirgetest?
2l
p(A) =
pd
Ülesanded (I)
1. Korvpallur on viimase hooaja ametlikes mängudes
sooritanud kokku 2435 lähipositsiooni pealeviset,
neist tabanud aga 1629. Kui suur on tõenäosus, et
täna toimuvas mängus see korvpallur tabab oma
viienda pealeviske?
2. Visatakse ühte täringut. Kui üheksal korral järjest on
saadud 6 silma, kui suur on siis tõenäosus, et
kümnendal korral saadakse ka 6 silma?
Ülesanded (II)
3. Ukse mõõtmed on 1x2 meetrit. Ukses on aknake
mõõtmetega 2x5 detsimeetrit.
Ust pommitatakse/visatakse lumepallidega. Kui suur
on tõenäosus, et tabatakse aknaruutu?
4. Arvutisimulatsioonis imiteeritakse teatud katset. Seni
läbiviidud 109 katses on sündmus A toimunud
ligikaudu 4,4 108 korda.
Kui suur on sündmuse A toimumise tõenäosus?
Ülesanded (III)
5. Tabelis on kirjeldatud sündmuse A esiletulek paljudes
katseseeriates. Kui suur on tõenäosus, et homme
läbiviidavas katses sündmus A siiski ei toimu?
Katsete 100
arv
100
100
100
100
100
100
n
90
95
80
95
95
90
95
5. Kui suur on tõenäosus, et võrdkülgses
kolmnurgas juhuslikult valitud punkt on ühtlasi
kolmnurga siseringi punkt?
6. ülesande lahendus
h
r
a
a2 3
S=
4
1
1 a 3 a 3
r= h= ×
=
3
3 2
6
2
a
×3
S1 = p r 2 = p ×
36
S1
p × a 2 × 3 p × a 2 ×12
p
3p
p(A) = =
=
=
=
» 0, 605
2
2
S
9
a 3 36 × a 3 3 3
36 ×
4
Ülesanded (IV)
7. Urnis on 3 valget ja 5 musta kuulikest. Võetakse
järjest 3 kuulikest (neid tagasi panemata). Kui on
teada, et valgeid kuulikesi ei saadud, kui suur on siis
tõenäosus, et järgmise kuuli võtmisel saadakse siiski
valge kuul?
8. Laual on kaardid numbritega 1, 2, 3, 4, 5. Väike Mall
laob neist rea. Kui palju on erinevaid võimalusi?
Kui suur on tõenäosus, et ta laob 5-ga jaguva arvu?