Transcript Cuadratura cercului - Liceul Teoretic Eugen Pora

Cuadratura cercului
Lunga poveste a unei unei
probleme
Cele trei (patru) probleme ale lumii
antice:
dublarea cubului
trisecţiunea unghiului
cuadratura cercului
(construirea cu rigla si compasul a
heptagonului regulat)
Problema
Folosind doar rigla negradata şi compasul,
să se construiască pentru un cerc oarecare
dat, un pătrat cu aceeaşi arie ca şi cercul.
Observaţii:
Nu se pune problema existenţei unui
astfel de pătrat. Dacă cercul are aria
A, atunci pătratul cu latura A va
avea aceeaşi arie.
Cuadratura cercului este imposibilă
datorită restricţiilor de a folosi numai
rigla negradată şi compasul.
Inceputul
Primul loc in care
apare problema
cuadraturii este
Papirusul Rhind
(~1650 iC)
De fapt, in acest
papirus apare
problema calcularii
ariei unui cerc cu
un diametru dat,
dar ea poate fi
considerata un
precursor al
cuadraturii cercului.
Papirusul Rhind
Papirusul a fost gasit la Theba (Luxor) in ruinele
unei mici cladiri. A fost achizitionat in 1858 in Egipt
de catre egiptologul scotian A. Henry Rhind,
ajungand dupa moartea sa la British Museum.
Papirusul, scris in hieratica, o forma cursiva a
hieroglifelor, era compus initial dintr-o singura rola
de 5,4 metri lungime si 32 cm latime.
Papirusul Rhind contine 87 de probleme cu solutii
in care se descriu metodele de calcul ale
egiptenilor precum si probleme practice.
Scrierea acestui papirus a fost facuta de catre
scribul egiptean A’h-mose, denumit de catre
scriitorii moderni Ahmes.
Papirusul Ahmes (Rhind)
Problema 50: Un teren circular are diametrul de 9
khet. Care este aria sa? (Un khet masoara circa
50 m)
Solutia lui Ahmes: Ia 1/9 din el, adica 1; raman 8.
Fa apoi multiplicarea 8 cu 8 si obti 64. Cantitatea
aceasta, este in aria de 64 setat. (1 setat = 1 khet
patrat)
Explicatia
In notatia moderna, demonstratia aceasta
se traduce prin formula:
d

A  d  
9

2
64 2

d
81
De aici deducem ca egiptenii foloseau
pentru valoarea lui π
π = 256/81 = (4/3)4 = 3,(160493827)
Grecia antica
Daca vrem sa vorbim despre
rezolvarea cuadraturii cu rigla si
compasul, trebuie sa ne intoarcem
la grecii antici deorece acestea
erau instrumentele geometrilor
greci.
Primul grec care s-a ocupat de
aceasta problema a fost filozoful
Anaxagoras (499 – 427 iC)
Lunulele lui Hippocrates
Hipocrate din Chios (440 iC) a fost
contemporan cu Anaxagoras. (A nu fi confundat
cu Hipocrate din Cos care a trait cam in acelasi
timp si este considerat parintele medicinii)
Este cunoscut ca primul care a aranjat
propozitiile geometriei intr-un mod stiintific,
publicand secretele lui Pitagora in domeniul
geometriei.
Hipocrate ofera primul exemplu de cuadratura a
unei figuri curbilinii. (lunule)
Euclid XII 2
In capodopera sa Elementele, Euclid
(cca 300 iC), in cartea XII, propozitia
2 zice:
Cercurile sunt unul fata de celalalt ca
si patratele pe diametru.
Astazi noi am zice:
Raportul ariilor a doua cercuri este
egal cu raportul patratelor diametrelor
acestora.
Arhimede
Arhimede(287 – 212 iC) este cel care a
determinat constanta π in tratatul sau
Masurarea cercului. Sunt doar trei
propozitii in aceasta scurta lucrare (cel
putin atatea au rezistat de-a lungul
timpului). Vom analiza prima si a treia
propozitie:
Propozitia 1: Aria oricarui cerc egaleaza
aria unui triunghi dreptunghic avand o
latura cat raza cercului si cealalta egala cu
circumferinta cercului. (Catetele)
Arhimede
Propozitia 3: Raportul circumferintei
oricarui cerc fata de diametrul sau este mai
mic decat 3 1/7 (22/7) si mai mare decat
3 10/71 (223/71).
(3,140845… < π < 3, 142857…)
Acest rezultat remarcabil a fost obtinut prin
inscrierea si circumscrierea hexagoanelor
unui cerc, apoi dubland numarul laturilor
poligoanelor pana a ajuns la un poligon cu
96 de laturi.
Calculul lui π. Epoca timpurie
Prima imbunatatire a valorii lui Arhimede a fost
data de Ptolemeu din Alexandria
π = 377/120 = 3,1416... (150 dC)
480 (dC) In China, Tsu Ch’ung-chih dadea
aproximarea π = 355/113 = 3,1415929… corecta
pana la a sasea zecimala.
1150 dC matematicianul hindus Bhaskara dadea
3927/1250 ca valoare exacta si 22/7 ca inexacta,
iar 10 ca valoare de lucru
In 1579, Francois Viette a gasit π cu 9 zecimale
corecte folosindu-se de un poligon cu 393216
laturi.
Calculul lui π. Epoca moderna
Odata cu descoperirea analizei matematice au aparut o multime de
serii cu ajutorul carora se putea calcula valoarea cat mai exacta a
lui π .
In 1671 matematicianul scotian James Gregory a obtinut pentru
-1 ≤ x ≤ 1 seria:
x3 x5 x7
arctg x  x 


 ...
3
5
7
Pentru x = 1 se obtine

1 1 1
 1     ...
4
3 5 7
In 1699 Abraham Sharp foloseste seria lui Gregory pentru x =
si reuseste sa calculeze π cu 71 de zecimale.
In 1706 John Machin il calculeaza cu 100 de zecimale tot cu
ajutorul seriei lui Gregory
1
3
Irationalitatea lui π
In 1767 Johann Heinrich Lambert dovedeste
ca π este irational
1794 Adrien-Marie Legendre dovedeste ca
π2 este irational, deci π nu este radacina
patrata a unui numar rational.
Transcendenta lui π
Un numar real care este solutie a unei ecuatii
polinomiale (ex. x2 – 3x +4 = 0 sau x5 – 2x3 +5 = 0)
se numeste numar algebric. Un numar algebric
irational se poate exprima cu ajutorul radicalilor.
Numerele care nu sunt algebrice se numesc
transcendente.
Doar o parte din numerele algebrice se pot
construi cu rigla si compasul
In 1882, Ferdinand von Lindemann a dovedit ca π
este transcendent. Demonstratia sa a urmat
indeaproape pe cea a lui Charles Hermite despre
transcendenta lui e (1873).
Epoca computerelor
1949 - Primul calculator, ENIAC a calculat valoarea lui π cu
2037 zecimale.
1959 - Francois Genuys, in Paris, calculeaza pe π cu 16.167
zecimale, folosind un IBM 704.
1961 - Daniel Shanks, din Washington D.C. gaseste 100.265
zecimale cu ajutorul unui IBM 7090
1966 – M. Jean Guilloud, Paris obtine 250.000 de zecimale
1967 – Exact dupa un an, aceeasi echipa gaseste 500.000
de zecimale folosind un CDC 6600.
1973 – O echipa condusa de acelasi Guilloud calculeaza
1.000.000 de zecimale.
1981 – Matematicienii japonezi Kazunori Miyoshi si
Kazuhika Nakayama calculeaza 2.000.038 zecimale in 137
ore si 30 minute folosind un FACOM M-200.
1986 - D.H. Bailey de la NASA reuseste in 28 de ore sa
calculeze 29.360.000 zecimale
1989 – fratii Chudnovsky de la Universitatea Columbia au
calculat 480.000.000 zecimale folosind un computer CRAY-2
2002 – Takahashi si Kanada au calculat 1 241 100 000 000
de zecimale
Cuadratura cercului
Si povestea continua
Realizator prof. Mariana Grigorovici