Slide 1

1. Cine este
2. Care este valoarea
3. Istoria
4. Alte expresii
5. Cateva aproximari ale numarului
6. Stiati ca…

Numarul pi este cel mai faimos
numar al sistemului de numeratie. El
reprezinta raportul dintre circumferinta
unui cerc si diametrul sau in geometria
euclidiana si are multe intrebuintari in
matematica, fizica si inginerie. Mai este
cunoscut si drept constanta lui Arhimede.

In realitate nu exista o valoare exacta a

numarului pi(π). Numarul irational este
aproximativ egal cu 3.1415926,


Din Biblie aflam ca macheta unui bazin facut de Hiram din Tyre pentru regele
Solomon “era rotunda, avind zece coti de la o margine la alta… si o linie de treizeci
de coti ii masura circumferinta”.Implicit, era egal cu 3,din moment ce  este
raportul dintre circumferinta si diametrul cercului.
 Acum circa 4000 de ani, egiptenii au gasit primii valoarea acestui numar si l-au
exprimat ca (4/3)4, iar babilonienii i-au considerat valoarea de 3 si 1/8. Indienii
utilizau pentru p valoarea de radical din 10. Dintre aceste estimari, cea mai
apropiata de valoarea reala a fost cea furnizata de egipteni (3,1604)

In comparatie cu evreii,matimaticienii babilonieni utilizau o valoare ceva mai
buna, considerindul pe  egal cu 3,125.

Arhimede I-a calculat pe ,gasindu-I o valoare cuprinsa intre 3-10/71si 310/70(22/7),in timp ce prin 500 d.HR.,invatatii chinezi au aratat ca  se afla
undeva intre numerele 3,1415926 si 3,14152927.
In 1596,Ludolph din Koln a utilizat aceeasi metoda pentru a-i da lui o valoare cu
32 de zecimale.Rezultatul obtinut este gravat pe mormantul sau, iar nemtii il
numesc pe , chiar si in ziua de astazi, numar ludolphin.

In secolul XVII John Walllis a descoperit ca produsul π/2=
2/1*2/3*4/3*4/5*6/5*6/7 … , unde numaratorii sunt numere pare si numitorii
numere impare, fiecare numar aparand de cate doua ori, fie ca se afla la
numarator, fie ca se afla la numitor.

James Gregory si Wilhelm Gottfreid Leibniz au descoperit, pentru π/4, o suma
infinita care este si mai simpla : π/4=1/1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+ … .

La sfarsitul secolului XVII Abraham Sharp a ajuns la o valoare compusadin 71
de zecimale. In secolul XIX, a fost extins treptat ajungand in 1853, dupa
calculele facute de William Shanks timp de 15 ani la 707 zecimale.

Cel putin din sec V IHr, de pe vremea lui Anaxagora oamenii incercasera sa
construiasca un patrat care sa aiba acceasi suprafata cu un cerc dat, folosindu-se
doar de rigla si compas.

Prin 1775, numarul celor care mai incercau sa solutioneze faimoasa problema
era atat de mare incat Academia din Paris a luat hotararea de a nu mai examina
nici o lucrare pe aceasta tema.

Problema gasirii cuadraturii cercului a fost cu adevarat solutionata abia in
1882, cand matematicianul Ferdinand Lindemann a aratat ca face parte dintr-o
clasa de numere dintre a carei membri nu sunt cunoscuti decat cativa. Aceste
numere se numesc transcendente. Gasirea cuadraturii cercului fiind imposibila.

Concluzia expusa mai sus nu i-a oprit insa pe oameni sa calculeze in
continuare valoarea lui cu din ce in ce mai multe zecimale. In anii 19401950,cand calculatoarele electronice au fost accesibile unii dintre ei au utilizat
metoda de calcul a lui pentru a demostra virtutile noilor instrumente.

Prin 1949, in 70 de ore timp-computer numarul de zecimale a lui a fost
extins la 2037.

In 1988, japonezul YAsumasa Kanada, specialist in computere, ajungea la
201326000 de zecimale si planuia sa mearga mai departe. Calculul efectuat de el
in 1988 a necesitat numai 6 ore timp-computer.

 2/pi = (1.3.3.5.5.7....)/(2.2.4.4.6.6....)
 pi/4 = 1-1/3+1/5-1/7+.....
 pi/6 = tg-1(1/31/2) => pi/6 = (1/31/2)(1-

1/(3.3)+1/(5.3.3)-1(7.3.3.3.)…)

Cum problema cuadraturii cercului se reduce la
construcţia numărului pi cu rigla şi compasul
,matematicienii şi-au imaginat câteva construţii care
să aproximeze cât mai precis acest număr.
Primele aproximări s-au făcut construind segmentele
cu lungimea 22/7 (Arhimede) , 16/9 (egiptenii) şi
√10 (hinduşii).
Mult mai precise s-au dovedit următoarele
construcţii:

1. Înscriem

într-un cerc
cu raza egală cu
unitatea ,atât pătratul
cât şi triunghiul
echilateral cu metodele
cunoscute.
Suma lungimilor laturii
pătratului şi laturii
triunghiului echilateral
aproximează astfel
numărul ‫ ח‬:
l + l = 3,14626 ….

Cea mai precisă construcţie
pentru numărul ‫ ח‬,
cu rigla şi compasul , cunoscută până
acum este următoarea :
Se construiesşte segmentul
sumă AB alcătuit din segmentele AC =
9/5 şi CB = 1
Stabilim mijlocul O al acestui segment
şi cu centrul în O construim un
semicerc cu diametrul
AB.Perpendiculara în C întâlneşte
semicercul în D
Cu centrul în C construim un arc de
cerc cu raza AC care intersectează
dreapta CD , de cealaltă parte a dreptei
AB faţă de D , în punctul E . Cum
precizam, segmentul DE aproximează
foarte bine numărul ‫ ח‬.
DE = CD + CE = ACxAB +AC= AC
+ AC = 1,8 + 1,8  3,14164

2.

O foarte bună aproximaţie o datorăm construcţiei realizate de bibliotecarul
regelui polonez Ioan al III –lea .
Construim cercul cu raza de 1 (de centru O ),un diametru AB şi o tangentă în A la
acest cerc.Cu centrul în A construim un arc de cerc de raza 1care intersectează
cercul dat în punctul C şi cu centrul în C construim un arc de cerc de aceeaşi rază
1 care intersectează primul cerc construit în D . Dreapta OD taie tangenta în A
la cercul iniţial în punctul E.
Pe tangenta la A în sensul EA construim
un segment EF de trei ori mai mare decât
raza cercului iniţial .Lungimea BF a
ipotenuzei triunghiului dreptunghic AFB , reprezintă numărul ‫ ח‬. În realitate
lungimea acestui segment este 1/3 120  18 3  3,14153.

In calculul
profilului aripii unui
avion apar sute si
chiar mii de
formule care contin
numarul si ca
proiectantii din
domeniu nu au voie
sa foloseasca
pentru aproximarea
lui mai putin de 14
zecimale exacte?”


 In cazul raurilor, aparitia lui este
rezultatul unei lupte dintre ordine si haos.
Raportul egal cu PI este, cel mai adesea, gasit
pentru rauri ce curg in campii foarte putin
inclinate, cum sunt cele din Brazilia sau tundra
siberiana."

 Cercetari efectuate de-a lungul secolului 20 au scos
la iveala faptul ca Marea Piramida dovedeste
cunoasterea de catre preotii si arhitectii egipteni antici a
numarului Pi (3,14), pana la cinci zecimale; ca Arhimede
s-a inspirat din aceste calcule egipetene si ca arhitectul
antic Sostrate s-a bazat si el pe descoperirile
matematicienilor-preoti egipteni, cand a construit
“Oglinzile incendiatoare” ale Farului de la Alexandria.


Slide 2

1. Cine este
2. Care este valoarea
3. Istoria
4. Alte expresii
5. Cateva aproximari ale numarului
6. Stiati ca…

Numarul pi este cel mai faimos
numar al sistemului de numeratie. El
reprezinta raportul dintre circumferinta
unui cerc si diametrul sau in geometria
euclidiana si are multe intrebuintari in
matematica, fizica si inginerie. Mai este
cunoscut si drept constanta lui Arhimede.

In realitate nu exista o valoare exacta a

numarului pi(π). Numarul irational este
aproximativ egal cu 3.1415926,


Din Biblie aflam ca macheta unui bazin facut de Hiram din Tyre pentru regele
Solomon “era rotunda, avind zece coti de la o margine la alta… si o linie de treizeci
de coti ii masura circumferinta”.Implicit, era egal cu 3,din moment ce  este
raportul dintre circumferinta si diametrul cercului.
 Acum circa 4000 de ani, egiptenii au gasit primii valoarea acestui numar si l-au
exprimat ca (4/3)4, iar babilonienii i-au considerat valoarea de 3 si 1/8. Indienii
utilizau pentru p valoarea de radical din 10. Dintre aceste estimari, cea mai
apropiata de valoarea reala a fost cea furnizata de egipteni (3,1604)

In comparatie cu evreii,matimaticienii babilonieni utilizau o valoare ceva mai
buna, considerindul pe  egal cu 3,125.

Arhimede I-a calculat pe ,gasindu-I o valoare cuprinsa intre 3-10/71si 310/70(22/7),in timp ce prin 500 d.HR.,invatatii chinezi au aratat ca  se afla
undeva intre numerele 3,1415926 si 3,14152927.
In 1596,Ludolph din Koln a utilizat aceeasi metoda pentru a-i da lui o valoare cu
32 de zecimale.Rezultatul obtinut este gravat pe mormantul sau, iar nemtii il
numesc pe , chiar si in ziua de astazi, numar ludolphin.

In secolul XVII John Walllis a descoperit ca produsul π/2=
2/1*2/3*4/3*4/5*6/5*6/7 … , unde numaratorii sunt numere pare si numitorii
numere impare, fiecare numar aparand de cate doua ori, fie ca se afla la
numarator, fie ca se afla la numitor.

James Gregory si Wilhelm Gottfreid Leibniz au descoperit, pentru π/4, o suma
infinita care este si mai simpla : π/4=1/1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+ … .

La sfarsitul secolului XVII Abraham Sharp a ajuns la o valoare compusadin 71
de zecimale. In secolul XIX, a fost extins treptat ajungand in 1853, dupa
calculele facute de William Shanks timp de 15 ani la 707 zecimale.

Cel putin din sec V IHr, de pe vremea lui Anaxagora oamenii incercasera sa
construiasca un patrat care sa aiba acceasi suprafata cu un cerc dat, folosindu-se
doar de rigla si compas.

Prin 1775, numarul celor care mai incercau sa solutioneze faimoasa problema
era atat de mare incat Academia din Paris a luat hotararea de a nu mai examina
nici o lucrare pe aceasta tema.

Problema gasirii cuadraturii cercului a fost cu adevarat solutionata abia in
1882, cand matematicianul Ferdinand Lindemann a aratat ca face parte dintr-o
clasa de numere dintre a carei membri nu sunt cunoscuti decat cativa. Aceste
numere se numesc transcendente. Gasirea cuadraturii cercului fiind imposibila.

Concluzia expusa mai sus nu i-a oprit insa pe oameni sa calculeze in
continuare valoarea lui cu din ce in ce mai multe zecimale. In anii 19401950,cand calculatoarele electronice au fost accesibile unii dintre ei au utilizat
metoda de calcul a lui pentru a demostra virtutile noilor instrumente.

Prin 1949, in 70 de ore timp-computer numarul de zecimale a lui a fost
extins la 2037.

In 1988, japonezul YAsumasa Kanada, specialist in computere, ajungea la
201326000 de zecimale si planuia sa mearga mai departe. Calculul efectuat de el
in 1988 a necesitat numai 6 ore timp-computer.

 2/pi = (1.3.3.5.5.7....)/(2.2.4.4.6.6....)
 pi/4 = 1-1/3+1/5-1/7+.....
 pi/6 = tg-1(1/31/2) => pi/6 = (1/31/2)(1-

1/(3.3)+1/(5.3.3)-1(7.3.3.3.)…)

Cum problema cuadraturii cercului se reduce la
construcţia numărului pi cu rigla şi compasul
,matematicienii şi-au imaginat câteva construţii care
să aproximeze cât mai precis acest număr.
Primele aproximări s-au făcut construind segmentele
cu lungimea 22/7 (Arhimede) , 16/9 (egiptenii) şi
√10 (hinduşii).
Mult mai precise s-au dovedit următoarele
construcţii:

1. Înscriem

într-un cerc
cu raza egală cu
unitatea ,atât pătratul
cât şi triunghiul
echilateral cu metodele
cunoscute.
Suma lungimilor laturii
pătratului şi laturii
triunghiului echilateral
aproximează astfel
numărul ‫ ח‬:
l + l = 3,14626 ….

Cea mai precisă construcţie
pentru numărul ‫ ח‬,
cu rigla şi compasul , cunoscută până
acum este următoarea :
Se construiesşte segmentul
sumă AB alcătuit din segmentele AC =
9/5 şi CB = 1
Stabilim mijlocul O al acestui segment
şi cu centrul în O construim un
semicerc cu diametrul
AB.Perpendiculara în C întâlneşte
semicercul în D
Cu centrul în C construim un arc de
cerc cu raza AC care intersectează
dreapta CD , de cealaltă parte a dreptei
AB faţă de D , în punctul E . Cum
precizam, segmentul DE aproximează
foarte bine numărul ‫ ח‬.
DE = CD + CE = ACxAB +AC= AC
+ AC = 1,8 + 1,8  3,14164

2.

O foarte bună aproximaţie o datorăm construcţiei realizate de bibliotecarul
regelui polonez Ioan al III –lea .
Construim cercul cu raza de 1 (de centru O ),un diametru AB şi o tangentă în A la
acest cerc.Cu centrul în A construim un arc de cerc de raza 1care intersectează
cercul dat în punctul C şi cu centrul în C construim un arc de cerc de aceeaşi rază
1 care intersectează primul cerc construit în D . Dreapta OD taie tangenta în A
la cercul iniţial în punctul E.
Pe tangenta la A în sensul EA construim
un segment EF de trei ori mai mare decât
raza cercului iniţial .Lungimea BF a
ipotenuzei triunghiului dreptunghic AFB , reprezintă numărul ‫ ח‬. În realitate
lungimea acestui segment este 1/3 120  18 3  3,14153.

In calculul
profilului aripii unui
avion apar sute si
chiar mii de
formule care contin
numarul si ca
proiectantii din
domeniu nu au voie
sa foloseasca
pentru aproximarea
lui mai putin de 14
zecimale exacte?”


 In cazul raurilor, aparitia lui este
rezultatul unei lupte dintre ordine si haos.
Raportul egal cu PI este, cel mai adesea, gasit
pentru rauri ce curg in campii foarte putin
inclinate, cum sunt cele din Brazilia sau tundra
siberiana."

 Cercetari efectuate de-a lungul secolului 20 au scos
la iveala faptul ca Marea Piramida dovedeste
cunoasterea de catre preotii si arhitectii egipteni antici a
numarului Pi (3,14), pana la cinci zecimale; ca Arhimede
s-a inspirat din aceste calcule egipetene si ca arhitectul
antic Sostrate s-a bazat si el pe descoperirile
matematicienilor-preoti egipteni, cand a construit
“Oglinzile incendiatoare” ale Farului de la Alexandria.


Slide 3

1. Cine este
2. Care este valoarea
3. Istoria
4. Alte expresii
5. Cateva aproximari ale numarului
6. Stiati ca…

Numarul pi este cel mai faimos
numar al sistemului de numeratie. El
reprezinta raportul dintre circumferinta
unui cerc si diametrul sau in geometria
euclidiana si are multe intrebuintari in
matematica, fizica si inginerie. Mai este
cunoscut si drept constanta lui Arhimede.

In realitate nu exista o valoare exacta a

numarului pi(π). Numarul irational este
aproximativ egal cu 3.1415926,


Din Biblie aflam ca macheta unui bazin facut de Hiram din Tyre pentru regele
Solomon “era rotunda, avind zece coti de la o margine la alta… si o linie de treizeci
de coti ii masura circumferinta”.Implicit, era egal cu 3,din moment ce  este
raportul dintre circumferinta si diametrul cercului.
 Acum circa 4000 de ani, egiptenii au gasit primii valoarea acestui numar si l-au
exprimat ca (4/3)4, iar babilonienii i-au considerat valoarea de 3 si 1/8. Indienii
utilizau pentru p valoarea de radical din 10. Dintre aceste estimari, cea mai
apropiata de valoarea reala a fost cea furnizata de egipteni (3,1604)

In comparatie cu evreii,matimaticienii babilonieni utilizau o valoare ceva mai
buna, considerindul pe  egal cu 3,125.

Arhimede I-a calculat pe ,gasindu-I o valoare cuprinsa intre 3-10/71si 310/70(22/7),in timp ce prin 500 d.HR.,invatatii chinezi au aratat ca  se afla
undeva intre numerele 3,1415926 si 3,14152927.
In 1596,Ludolph din Koln a utilizat aceeasi metoda pentru a-i da lui o valoare cu
32 de zecimale.Rezultatul obtinut este gravat pe mormantul sau, iar nemtii il
numesc pe , chiar si in ziua de astazi, numar ludolphin.

In secolul XVII John Walllis a descoperit ca produsul π/2=
2/1*2/3*4/3*4/5*6/5*6/7 … , unde numaratorii sunt numere pare si numitorii
numere impare, fiecare numar aparand de cate doua ori, fie ca se afla la
numarator, fie ca se afla la numitor.

James Gregory si Wilhelm Gottfreid Leibniz au descoperit, pentru π/4, o suma
infinita care este si mai simpla : π/4=1/1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+ … .

La sfarsitul secolului XVII Abraham Sharp a ajuns la o valoare compusadin 71
de zecimale. In secolul XIX, a fost extins treptat ajungand in 1853, dupa
calculele facute de William Shanks timp de 15 ani la 707 zecimale.

Cel putin din sec V IHr, de pe vremea lui Anaxagora oamenii incercasera sa
construiasca un patrat care sa aiba acceasi suprafata cu un cerc dat, folosindu-se
doar de rigla si compas.

Prin 1775, numarul celor care mai incercau sa solutioneze faimoasa problema
era atat de mare incat Academia din Paris a luat hotararea de a nu mai examina
nici o lucrare pe aceasta tema.

Problema gasirii cuadraturii cercului a fost cu adevarat solutionata abia in
1882, cand matematicianul Ferdinand Lindemann a aratat ca face parte dintr-o
clasa de numere dintre a carei membri nu sunt cunoscuti decat cativa. Aceste
numere se numesc transcendente. Gasirea cuadraturii cercului fiind imposibila.

Concluzia expusa mai sus nu i-a oprit insa pe oameni sa calculeze in
continuare valoarea lui cu din ce in ce mai multe zecimale. In anii 19401950,cand calculatoarele electronice au fost accesibile unii dintre ei au utilizat
metoda de calcul a lui pentru a demostra virtutile noilor instrumente.

Prin 1949, in 70 de ore timp-computer numarul de zecimale a lui a fost
extins la 2037.

In 1988, japonezul YAsumasa Kanada, specialist in computere, ajungea la
201326000 de zecimale si planuia sa mearga mai departe. Calculul efectuat de el
in 1988 a necesitat numai 6 ore timp-computer.

 2/pi = (1.3.3.5.5.7....)/(2.2.4.4.6.6....)
 pi/4 = 1-1/3+1/5-1/7+.....
 pi/6 = tg-1(1/31/2) => pi/6 = (1/31/2)(1-

1/(3.3)+1/(5.3.3)-1(7.3.3.3.)…)

Cum problema cuadraturii cercului se reduce la
construcţia numărului pi cu rigla şi compasul
,matematicienii şi-au imaginat câteva construţii care
să aproximeze cât mai precis acest număr.
Primele aproximări s-au făcut construind segmentele
cu lungimea 22/7 (Arhimede) , 16/9 (egiptenii) şi
√10 (hinduşii).
Mult mai precise s-au dovedit următoarele
construcţii:

1. Înscriem

într-un cerc
cu raza egală cu
unitatea ,atât pătratul
cât şi triunghiul
echilateral cu metodele
cunoscute.
Suma lungimilor laturii
pătratului şi laturii
triunghiului echilateral
aproximează astfel
numărul ‫ ח‬:
l + l = 3,14626 ….

Cea mai precisă construcţie
pentru numărul ‫ ח‬,
cu rigla şi compasul , cunoscută până
acum este următoarea :
Se construiesşte segmentul
sumă AB alcătuit din segmentele AC =
9/5 şi CB = 1
Stabilim mijlocul O al acestui segment
şi cu centrul în O construim un
semicerc cu diametrul
AB.Perpendiculara în C întâlneşte
semicercul în D
Cu centrul în C construim un arc de
cerc cu raza AC care intersectează
dreapta CD , de cealaltă parte a dreptei
AB faţă de D , în punctul E . Cum
precizam, segmentul DE aproximează
foarte bine numărul ‫ ח‬.
DE = CD + CE = ACxAB +AC= AC
+ AC = 1,8 + 1,8  3,14164

2.

O foarte bună aproximaţie o datorăm construcţiei realizate de bibliotecarul
regelui polonez Ioan al III –lea .
Construim cercul cu raza de 1 (de centru O ),un diametru AB şi o tangentă în A la
acest cerc.Cu centrul în A construim un arc de cerc de raza 1care intersectează
cercul dat în punctul C şi cu centrul în C construim un arc de cerc de aceeaşi rază
1 care intersectează primul cerc construit în D . Dreapta OD taie tangenta în A
la cercul iniţial în punctul E.
Pe tangenta la A în sensul EA construim
un segment EF de trei ori mai mare decât
raza cercului iniţial .Lungimea BF a
ipotenuzei triunghiului dreptunghic AFB , reprezintă numărul ‫ ח‬. În realitate
lungimea acestui segment este 1/3 120  18 3  3,14153.

In calculul
profilului aripii unui
avion apar sute si
chiar mii de
formule care contin
numarul si ca
proiectantii din
domeniu nu au voie
sa foloseasca
pentru aproximarea
lui mai putin de 14
zecimale exacte?”


 In cazul raurilor, aparitia lui este
rezultatul unei lupte dintre ordine si haos.
Raportul egal cu PI este, cel mai adesea, gasit
pentru rauri ce curg in campii foarte putin
inclinate, cum sunt cele din Brazilia sau tundra
siberiana."

 Cercetari efectuate de-a lungul secolului 20 au scos
la iveala faptul ca Marea Piramida dovedeste
cunoasterea de catre preotii si arhitectii egipteni antici a
numarului Pi (3,14), pana la cinci zecimale; ca Arhimede
s-a inspirat din aceste calcule egipetene si ca arhitectul
antic Sostrate s-a bazat si el pe descoperirile
matematicienilor-preoti egipteni, cand a construit
“Oglinzile incendiatoare” ale Farului de la Alexandria.


Slide 4

1. Cine este
2. Care este valoarea
3. Istoria
4. Alte expresii
5. Cateva aproximari ale numarului
6. Stiati ca…

Numarul pi este cel mai faimos
numar al sistemului de numeratie. El
reprezinta raportul dintre circumferinta
unui cerc si diametrul sau in geometria
euclidiana si are multe intrebuintari in
matematica, fizica si inginerie. Mai este
cunoscut si drept constanta lui Arhimede.

In realitate nu exista o valoare exacta a

numarului pi(π). Numarul irational este
aproximativ egal cu 3.1415926,


Din Biblie aflam ca macheta unui bazin facut de Hiram din Tyre pentru regele
Solomon “era rotunda, avind zece coti de la o margine la alta… si o linie de treizeci
de coti ii masura circumferinta”.Implicit, era egal cu 3,din moment ce  este
raportul dintre circumferinta si diametrul cercului.
 Acum circa 4000 de ani, egiptenii au gasit primii valoarea acestui numar si l-au
exprimat ca (4/3)4, iar babilonienii i-au considerat valoarea de 3 si 1/8. Indienii
utilizau pentru p valoarea de radical din 10. Dintre aceste estimari, cea mai
apropiata de valoarea reala a fost cea furnizata de egipteni (3,1604)

In comparatie cu evreii,matimaticienii babilonieni utilizau o valoare ceva mai
buna, considerindul pe  egal cu 3,125.

Arhimede I-a calculat pe ,gasindu-I o valoare cuprinsa intre 3-10/71si 310/70(22/7),in timp ce prin 500 d.HR.,invatatii chinezi au aratat ca  se afla
undeva intre numerele 3,1415926 si 3,14152927.
In 1596,Ludolph din Koln a utilizat aceeasi metoda pentru a-i da lui o valoare cu
32 de zecimale.Rezultatul obtinut este gravat pe mormantul sau, iar nemtii il
numesc pe , chiar si in ziua de astazi, numar ludolphin.

In secolul XVII John Walllis a descoperit ca produsul π/2=
2/1*2/3*4/3*4/5*6/5*6/7 … , unde numaratorii sunt numere pare si numitorii
numere impare, fiecare numar aparand de cate doua ori, fie ca se afla la
numarator, fie ca se afla la numitor.

James Gregory si Wilhelm Gottfreid Leibniz au descoperit, pentru π/4, o suma
infinita care este si mai simpla : π/4=1/1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+ … .

La sfarsitul secolului XVII Abraham Sharp a ajuns la o valoare compusadin 71
de zecimale. In secolul XIX, a fost extins treptat ajungand in 1853, dupa
calculele facute de William Shanks timp de 15 ani la 707 zecimale.

Cel putin din sec V IHr, de pe vremea lui Anaxagora oamenii incercasera sa
construiasca un patrat care sa aiba acceasi suprafata cu un cerc dat, folosindu-se
doar de rigla si compas.

Prin 1775, numarul celor care mai incercau sa solutioneze faimoasa problema
era atat de mare incat Academia din Paris a luat hotararea de a nu mai examina
nici o lucrare pe aceasta tema.

Problema gasirii cuadraturii cercului a fost cu adevarat solutionata abia in
1882, cand matematicianul Ferdinand Lindemann a aratat ca face parte dintr-o
clasa de numere dintre a carei membri nu sunt cunoscuti decat cativa. Aceste
numere se numesc transcendente. Gasirea cuadraturii cercului fiind imposibila.

Concluzia expusa mai sus nu i-a oprit insa pe oameni sa calculeze in
continuare valoarea lui cu din ce in ce mai multe zecimale. In anii 19401950,cand calculatoarele electronice au fost accesibile unii dintre ei au utilizat
metoda de calcul a lui pentru a demostra virtutile noilor instrumente.

Prin 1949, in 70 de ore timp-computer numarul de zecimale a lui a fost
extins la 2037.

In 1988, japonezul YAsumasa Kanada, specialist in computere, ajungea la
201326000 de zecimale si planuia sa mearga mai departe. Calculul efectuat de el
in 1988 a necesitat numai 6 ore timp-computer.

 2/pi = (1.3.3.5.5.7....)/(2.2.4.4.6.6....)
 pi/4 = 1-1/3+1/5-1/7+.....
 pi/6 = tg-1(1/31/2) => pi/6 = (1/31/2)(1-

1/(3.3)+1/(5.3.3)-1(7.3.3.3.)…)

Cum problema cuadraturii cercului se reduce la
construcţia numărului pi cu rigla şi compasul
,matematicienii şi-au imaginat câteva construţii care
să aproximeze cât mai precis acest număr.
Primele aproximări s-au făcut construind segmentele
cu lungimea 22/7 (Arhimede) , 16/9 (egiptenii) şi
√10 (hinduşii).
Mult mai precise s-au dovedit următoarele
construcţii:

1. Înscriem

într-un cerc
cu raza egală cu
unitatea ,atât pătratul
cât şi triunghiul
echilateral cu metodele
cunoscute.
Suma lungimilor laturii
pătratului şi laturii
triunghiului echilateral
aproximează astfel
numărul ‫ ח‬:
l + l = 3,14626 ….

Cea mai precisă construcţie
pentru numărul ‫ ח‬,
cu rigla şi compasul , cunoscută până
acum este următoarea :
Se construiesşte segmentul
sumă AB alcătuit din segmentele AC =
9/5 şi CB = 1
Stabilim mijlocul O al acestui segment
şi cu centrul în O construim un
semicerc cu diametrul
AB.Perpendiculara în C întâlneşte
semicercul în D
Cu centrul în C construim un arc de
cerc cu raza AC care intersectează
dreapta CD , de cealaltă parte a dreptei
AB faţă de D , în punctul E . Cum
precizam, segmentul DE aproximează
foarte bine numărul ‫ ח‬.
DE = CD + CE = ACxAB +AC= AC
+ AC = 1,8 + 1,8  3,14164

2.

O foarte bună aproximaţie o datorăm construcţiei realizate de bibliotecarul
regelui polonez Ioan al III –lea .
Construim cercul cu raza de 1 (de centru O ),un diametru AB şi o tangentă în A la
acest cerc.Cu centrul în A construim un arc de cerc de raza 1care intersectează
cercul dat în punctul C şi cu centrul în C construim un arc de cerc de aceeaşi rază
1 care intersectează primul cerc construit în D . Dreapta OD taie tangenta în A
la cercul iniţial în punctul E.
Pe tangenta la A în sensul EA construim
un segment EF de trei ori mai mare decât
raza cercului iniţial .Lungimea BF a
ipotenuzei triunghiului dreptunghic AFB , reprezintă numărul ‫ ח‬. În realitate
lungimea acestui segment este 1/3 120  18 3  3,14153.

In calculul
profilului aripii unui
avion apar sute si
chiar mii de
formule care contin
numarul si ca
proiectantii din
domeniu nu au voie
sa foloseasca
pentru aproximarea
lui mai putin de 14
zecimale exacte?”


 In cazul raurilor, aparitia lui este
rezultatul unei lupte dintre ordine si haos.
Raportul egal cu PI este, cel mai adesea, gasit
pentru rauri ce curg in campii foarte putin
inclinate, cum sunt cele din Brazilia sau tundra
siberiana."

 Cercetari efectuate de-a lungul secolului 20 au scos
la iveala faptul ca Marea Piramida dovedeste
cunoasterea de catre preotii si arhitectii egipteni antici a
numarului Pi (3,14), pana la cinci zecimale; ca Arhimede
s-a inspirat din aceste calcule egipetene si ca arhitectul
antic Sostrate s-a bazat si el pe descoperirile
matematicienilor-preoti egipteni, cand a construit
“Oglinzile incendiatoare” ale Farului de la Alexandria.


Slide 5

1. Cine este
2. Care este valoarea
3. Istoria
4. Alte expresii
5. Cateva aproximari ale numarului
6. Stiati ca…

Numarul pi este cel mai faimos
numar al sistemului de numeratie. El
reprezinta raportul dintre circumferinta
unui cerc si diametrul sau in geometria
euclidiana si are multe intrebuintari in
matematica, fizica si inginerie. Mai este
cunoscut si drept constanta lui Arhimede.

In realitate nu exista o valoare exacta a

numarului pi(π). Numarul irational este
aproximativ egal cu 3.1415926,


Din Biblie aflam ca macheta unui bazin facut de Hiram din Tyre pentru regele
Solomon “era rotunda, avind zece coti de la o margine la alta… si o linie de treizeci
de coti ii masura circumferinta”.Implicit, era egal cu 3,din moment ce  este
raportul dintre circumferinta si diametrul cercului.
 Acum circa 4000 de ani, egiptenii au gasit primii valoarea acestui numar si l-au
exprimat ca (4/3)4, iar babilonienii i-au considerat valoarea de 3 si 1/8. Indienii
utilizau pentru p valoarea de radical din 10. Dintre aceste estimari, cea mai
apropiata de valoarea reala a fost cea furnizata de egipteni (3,1604)

In comparatie cu evreii,matimaticienii babilonieni utilizau o valoare ceva mai
buna, considerindul pe  egal cu 3,125.

Arhimede I-a calculat pe ,gasindu-I o valoare cuprinsa intre 3-10/71si 310/70(22/7),in timp ce prin 500 d.HR.,invatatii chinezi au aratat ca  se afla
undeva intre numerele 3,1415926 si 3,14152927.
In 1596,Ludolph din Koln a utilizat aceeasi metoda pentru a-i da lui o valoare cu
32 de zecimale.Rezultatul obtinut este gravat pe mormantul sau, iar nemtii il
numesc pe , chiar si in ziua de astazi, numar ludolphin.

In secolul XVII John Walllis a descoperit ca produsul π/2=
2/1*2/3*4/3*4/5*6/5*6/7 … , unde numaratorii sunt numere pare si numitorii
numere impare, fiecare numar aparand de cate doua ori, fie ca se afla la
numarator, fie ca se afla la numitor.

James Gregory si Wilhelm Gottfreid Leibniz au descoperit, pentru π/4, o suma
infinita care este si mai simpla : π/4=1/1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+ … .

La sfarsitul secolului XVII Abraham Sharp a ajuns la o valoare compusadin 71
de zecimale. In secolul XIX, a fost extins treptat ajungand in 1853, dupa
calculele facute de William Shanks timp de 15 ani la 707 zecimale.

Cel putin din sec V IHr, de pe vremea lui Anaxagora oamenii incercasera sa
construiasca un patrat care sa aiba acceasi suprafata cu un cerc dat, folosindu-se
doar de rigla si compas.

Prin 1775, numarul celor care mai incercau sa solutioneze faimoasa problema
era atat de mare incat Academia din Paris a luat hotararea de a nu mai examina
nici o lucrare pe aceasta tema.

Problema gasirii cuadraturii cercului a fost cu adevarat solutionata abia in
1882, cand matematicianul Ferdinand Lindemann a aratat ca face parte dintr-o
clasa de numere dintre a carei membri nu sunt cunoscuti decat cativa. Aceste
numere se numesc transcendente. Gasirea cuadraturii cercului fiind imposibila.

Concluzia expusa mai sus nu i-a oprit insa pe oameni sa calculeze in
continuare valoarea lui cu din ce in ce mai multe zecimale. In anii 19401950,cand calculatoarele electronice au fost accesibile unii dintre ei au utilizat
metoda de calcul a lui pentru a demostra virtutile noilor instrumente.

Prin 1949, in 70 de ore timp-computer numarul de zecimale a lui a fost
extins la 2037.

In 1988, japonezul YAsumasa Kanada, specialist in computere, ajungea la
201326000 de zecimale si planuia sa mearga mai departe. Calculul efectuat de el
in 1988 a necesitat numai 6 ore timp-computer.

 2/pi = (1.3.3.5.5.7....)/(2.2.4.4.6.6....)
 pi/4 = 1-1/3+1/5-1/7+.....
 pi/6 = tg-1(1/31/2) => pi/6 = (1/31/2)(1-

1/(3.3)+1/(5.3.3)-1(7.3.3.3.)…)

Cum problema cuadraturii cercului se reduce la
construcţia numărului pi cu rigla şi compasul
,matematicienii şi-au imaginat câteva construţii care
să aproximeze cât mai precis acest număr.
Primele aproximări s-au făcut construind segmentele
cu lungimea 22/7 (Arhimede) , 16/9 (egiptenii) şi
√10 (hinduşii).
Mult mai precise s-au dovedit următoarele
construcţii:

1. Înscriem

într-un cerc
cu raza egală cu
unitatea ,atât pătratul
cât şi triunghiul
echilateral cu metodele
cunoscute.
Suma lungimilor laturii
pătratului şi laturii
triunghiului echilateral
aproximează astfel
numărul ‫ ח‬:
l + l = 3,14626 ….

Cea mai precisă construcţie
pentru numărul ‫ ח‬,
cu rigla şi compasul , cunoscută până
acum este următoarea :
Se construiesşte segmentul
sumă AB alcătuit din segmentele AC =
9/5 şi CB = 1
Stabilim mijlocul O al acestui segment
şi cu centrul în O construim un
semicerc cu diametrul
AB.Perpendiculara în C întâlneşte
semicercul în D
Cu centrul în C construim un arc de
cerc cu raza AC care intersectează
dreapta CD , de cealaltă parte a dreptei
AB faţă de D , în punctul E . Cum
precizam, segmentul DE aproximează
foarte bine numărul ‫ ח‬.
DE = CD + CE = ACxAB +AC= AC
+ AC = 1,8 + 1,8  3,14164

2.

O foarte bună aproximaţie o datorăm construcţiei realizate de bibliotecarul
regelui polonez Ioan al III –lea .
Construim cercul cu raza de 1 (de centru O ),un diametru AB şi o tangentă în A la
acest cerc.Cu centrul în A construim un arc de cerc de raza 1care intersectează
cercul dat în punctul C şi cu centrul în C construim un arc de cerc de aceeaşi rază
1 care intersectează primul cerc construit în D . Dreapta OD taie tangenta în A
la cercul iniţial în punctul E.
Pe tangenta la A în sensul EA construim
un segment EF de trei ori mai mare decât
raza cercului iniţial .Lungimea BF a
ipotenuzei triunghiului dreptunghic AFB , reprezintă numărul ‫ ח‬. În realitate
lungimea acestui segment este 1/3 120  18 3  3,14153.

In calculul
profilului aripii unui
avion apar sute si
chiar mii de
formule care contin
numarul si ca
proiectantii din
domeniu nu au voie
sa foloseasca
pentru aproximarea
lui mai putin de 14
zecimale exacte?”


 In cazul raurilor, aparitia lui este
rezultatul unei lupte dintre ordine si haos.
Raportul egal cu PI este, cel mai adesea, gasit
pentru rauri ce curg in campii foarte putin
inclinate, cum sunt cele din Brazilia sau tundra
siberiana."

 Cercetari efectuate de-a lungul secolului 20 au scos
la iveala faptul ca Marea Piramida dovedeste
cunoasterea de catre preotii si arhitectii egipteni antici a
numarului Pi (3,14), pana la cinci zecimale; ca Arhimede
s-a inspirat din aceste calcule egipetene si ca arhitectul
antic Sostrate s-a bazat si el pe descoperirile
matematicienilor-preoti egipteni, cand a construit
“Oglinzile incendiatoare” ale Farului de la Alexandria.


Slide 6

1. Cine este
2. Care este valoarea
3. Istoria
4. Alte expresii
5. Cateva aproximari ale numarului
6. Stiati ca…

Numarul pi este cel mai faimos
numar al sistemului de numeratie. El
reprezinta raportul dintre circumferinta
unui cerc si diametrul sau in geometria
euclidiana si are multe intrebuintari in
matematica, fizica si inginerie. Mai este
cunoscut si drept constanta lui Arhimede.

In realitate nu exista o valoare exacta a

numarului pi(π). Numarul irational este
aproximativ egal cu 3.1415926,


Din Biblie aflam ca macheta unui bazin facut de Hiram din Tyre pentru regele
Solomon “era rotunda, avind zece coti de la o margine la alta… si o linie de treizeci
de coti ii masura circumferinta”.Implicit, era egal cu 3,din moment ce  este
raportul dintre circumferinta si diametrul cercului.
 Acum circa 4000 de ani, egiptenii au gasit primii valoarea acestui numar si l-au
exprimat ca (4/3)4, iar babilonienii i-au considerat valoarea de 3 si 1/8. Indienii
utilizau pentru p valoarea de radical din 10. Dintre aceste estimari, cea mai
apropiata de valoarea reala a fost cea furnizata de egipteni (3,1604)

In comparatie cu evreii,matimaticienii babilonieni utilizau o valoare ceva mai
buna, considerindul pe  egal cu 3,125.

Arhimede I-a calculat pe ,gasindu-I o valoare cuprinsa intre 3-10/71si 310/70(22/7),in timp ce prin 500 d.HR.,invatatii chinezi au aratat ca  se afla
undeva intre numerele 3,1415926 si 3,14152927.
In 1596,Ludolph din Koln a utilizat aceeasi metoda pentru a-i da lui o valoare cu
32 de zecimale.Rezultatul obtinut este gravat pe mormantul sau, iar nemtii il
numesc pe , chiar si in ziua de astazi, numar ludolphin.

In secolul XVII John Walllis a descoperit ca produsul π/2=
2/1*2/3*4/3*4/5*6/5*6/7 … , unde numaratorii sunt numere pare si numitorii
numere impare, fiecare numar aparand de cate doua ori, fie ca se afla la
numarator, fie ca se afla la numitor.

James Gregory si Wilhelm Gottfreid Leibniz au descoperit, pentru π/4, o suma
infinita care este si mai simpla : π/4=1/1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+ … .

La sfarsitul secolului XVII Abraham Sharp a ajuns la o valoare compusadin 71
de zecimale. In secolul XIX, a fost extins treptat ajungand in 1853, dupa
calculele facute de William Shanks timp de 15 ani la 707 zecimale.

Cel putin din sec V IHr, de pe vremea lui Anaxagora oamenii incercasera sa
construiasca un patrat care sa aiba acceasi suprafata cu un cerc dat, folosindu-se
doar de rigla si compas.

Prin 1775, numarul celor care mai incercau sa solutioneze faimoasa problema
era atat de mare incat Academia din Paris a luat hotararea de a nu mai examina
nici o lucrare pe aceasta tema.

Problema gasirii cuadraturii cercului a fost cu adevarat solutionata abia in
1882, cand matematicianul Ferdinand Lindemann a aratat ca face parte dintr-o
clasa de numere dintre a carei membri nu sunt cunoscuti decat cativa. Aceste
numere se numesc transcendente. Gasirea cuadraturii cercului fiind imposibila.

Concluzia expusa mai sus nu i-a oprit insa pe oameni sa calculeze in
continuare valoarea lui cu din ce in ce mai multe zecimale. In anii 19401950,cand calculatoarele electronice au fost accesibile unii dintre ei au utilizat
metoda de calcul a lui pentru a demostra virtutile noilor instrumente.

Prin 1949, in 70 de ore timp-computer numarul de zecimale a lui a fost
extins la 2037.

In 1988, japonezul YAsumasa Kanada, specialist in computere, ajungea la
201326000 de zecimale si planuia sa mearga mai departe. Calculul efectuat de el
in 1988 a necesitat numai 6 ore timp-computer.

 2/pi = (1.3.3.5.5.7....)/(2.2.4.4.6.6....)
 pi/4 = 1-1/3+1/5-1/7+.....
 pi/6 = tg-1(1/31/2) => pi/6 = (1/31/2)(1-

1/(3.3)+1/(5.3.3)-1(7.3.3.3.)…)

Cum problema cuadraturii cercului se reduce la
construcţia numărului pi cu rigla şi compasul
,matematicienii şi-au imaginat câteva construţii care
să aproximeze cât mai precis acest număr.
Primele aproximări s-au făcut construind segmentele
cu lungimea 22/7 (Arhimede) , 16/9 (egiptenii) şi
√10 (hinduşii).
Mult mai precise s-au dovedit următoarele
construcţii:

1. Înscriem

într-un cerc
cu raza egală cu
unitatea ,atât pătratul
cât şi triunghiul
echilateral cu metodele
cunoscute.
Suma lungimilor laturii
pătratului şi laturii
triunghiului echilateral
aproximează astfel
numărul ‫ ח‬:
l + l = 3,14626 ….

Cea mai precisă construcţie
pentru numărul ‫ ח‬,
cu rigla şi compasul , cunoscută până
acum este următoarea :
Se construiesşte segmentul
sumă AB alcătuit din segmentele AC =
9/5 şi CB = 1
Stabilim mijlocul O al acestui segment
şi cu centrul în O construim un
semicerc cu diametrul
AB.Perpendiculara în C întâlneşte
semicercul în D
Cu centrul în C construim un arc de
cerc cu raza AC care intersectează
dreapta CD , de cealaltă parte a dreptei
AB faţă de D , în punctul E . Cum
precizam, segmentul DE aproximează
foarte bine numărul ‫ ח‬.
DE = CD + CE = ACxAB +AC= AC
+ AC = 1,8 + 1,8  3,14164

2.

O foarte bună aproximaţie o datorăm construcţiei realizate de bibliotecarul
regelui polonez Ioan al III –lea .
Construim cercul cu raza de 1 (de centru O ),un diametru AB şi o tangentă în A la
acest cerc.Cu centrul în A construim un arc de cerc de raza 1care intersectează
cercul dat în punctul C şi cu centrul în C construim un arc de cerc de aceeaşi rază
1 care intersectează primul cerc construit în D . Dreapta OD taie tangenta în A
la cercul iniţial în punctul E.
Pe tangenta la A în sensul EA construim
un segment EF de trei ori mai mare decât
raza cercului iniţial .Lungimea BF a
ipotenuzei triunghiului dreptunghic AFB , reprezintă numărul ‫ ח‬. În realitate
lungimea acestui segment este 1/3 120  18 3  3,14153.

In calculul
profilului aripii unui
avion apar sute si
chiar mii de
formule care contin
numarul si ca
proiectantii din
domeniu nu au voie
sa foloseasca
pentru aproximarea
lui mai putin de 14
zecimale exacte?”


 In cazul raurilor, aparitia lui este
rezultatul unei lupte dintre ordine si haos.
Raportul egal cu PI este, cel mai adesea, gasit
pentru rauri ce curg in campii foarte putin
inclinate, cum sunt cele din Brazilia sau tundra
siberiana."

 Cercetari efectuate de-a lungul secolului 20 au scos
la iveala faptul ca Marea Piramida dovedeste
cunoasterea de catre preotii si arhitectii egipteni antici a
numarului Pi (3,14), pana la cinci zecimale; ca Arhimede
s-a inspirat din aceste calcule egipetene si ca arhitectul
antic Sostrate s-a bazat si el pe descoperirile
matematicienilor-preoti egipteni, cand a construit
“Oglinzile incendiatoare” ale Farului de la Alexandria.


Slide 7

1. Cine este
2. Care este valoarea
3. Istoria
4. Alte expresii
5. Cateva aproximari ale numarului
6. Stiati ca…

Numarul pi este cel mai faimos
numar al sistemului de numeratie. El
reprezinta raportul dintre circumferinta
unui cerc si diametrul sau in geometria
euclidiana si are multe intrebuintari in
matematica, fizica si inginerie. Mai este
cunoscut si drept constanta lui Arhimede.

In realitate nu exista o valoare exacta a

numarului pi(π). Numarul irational este
aproximativ egal cu 3.1415926,


Din Biblie aflam ca macheta unui bazin facut de Hiram din Tyre pentru regele
Solomon “era rotunda, avind zece coti de la o margine la alta… si o linie de treizeci
de coti ii masura circumferinta”.Implicit, era egal cu 3,din moment ce  este
raportul dintre circumferinta si diametrul cercului.
 Acum circa 4000 de ani, egiptenii au gasit primii valoarea acestui numar si l-au
exprimat ca (4/3)4, iar babilonienii i-au considerat valoarea de 3 si 1/8. Indienii
utilizau pentru p valoarea de radical din 10. Dintre aceste estimari, cea mai
apropiata de valoarea reala a fost cea furnizata de egipteni (3,1604)

In comparatie cu evreii,matimaticienii babilonieni utilizau o valoare ceva mai
buna, considerindul pe  egal cu 3,125.

Arhimede I-a calculat pe ,gasindu-I o valoare cuprinsa intre 3-10/71si 310/70(22/7),in timp ce prin 500 d.HR.,invatatii chinezi au aratat ca  se afla
undeva intre numerele 3,1415926 si 3,14152927.
In 1596,Ludolph din Koln a utilizat aceeasi metoda pentru a-i da lui o valoare cu
32 de zecimale.Rezultatul obtinut este gravat pe mormantul sau, iar nemtii il
numesc pe , chiar si in ziua de astazi, numar ludolphin.

In secolul XVII John Walllis a descoperit ca produsul π/2=
2/1*2/3*4/3*4/5*6/5*6/7 … , unde numaratorii sunt numere pare si numitorii
numere impare, fiecare numar aparand de cate doua ori, fie ca se afla la
numarator, fie ca se afla la numitor.

James Gregory si Wilhelm Gottfreid Leibniz au descoperit, pentru π/4, o suma
infinita care este si mai simpla : π/4=1/1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+ … .

La sfarsitul secolului XVII Abraham Sharp a ajuns la o valoare compusadin 71
de zecimale. In secolul XIX, a fost extins treptat ajungand in 1853, dupa
calculele facute de William Shanks timp de 15 ani la 707 zecimale.

Cel putin din sec V IHr, de pe vremea lui Anaxagora oamenii incercasera sa
construiasca un patrat care sa aiba acceasi suprafata cu un cerc dat, folosindu-se
doar de rigla si compas.

Prin 1775, numarul celor care mai incercau sa solutioneze faimoasa problema
era atat de mare incat Academia din Paris a luat hotararea de a nu mai examina
nici o lucrare pe aceasta tema.

Problema gasirii cuadraturii cercului a fost cu adevarat solutionata abia in
1882, cand matematicianul Ferdinand Lindemann a aratat ca face parte dintr-o
clasa de numere dintre a carei membri nu sunt cunoscuti decat cativa. Aceste
numere se numesc transcendente. Gasirea cuadraturii cercului fiind imposibila.

Concluzia expusa mai sus nu i-a oprit insa pe oameni sa calculeze in
continuare valoarea lui cu din ce in ce mai multe zecimale. In anii 19401950,cand calculatoarele electronice au fost accesibile unii dintre ei au utilizat
metoda de calcul a lui pentru a demostra virtutile noilor instrumente.

Prin 1949, in 70 de ore timp-computer numarul de zecimale a lui a fost
extins la 2037.

In 1988, japonezul YAsumasa Kanada, specialist in computere, ajungea la
201326000 de zecimale si planuia sa mearga mai departe. Calculul efectuat de el
in 1988 a necesitat numai 6 ore timp-computer.

 2/pi = (1.3.3.5.5.7....)/(2.2.4.4.6.6....)
 pi/4 = 1-1/3+1/5-1/7+.....
 pi/6 = tg-1(1/31/2) => pi/6 = (1/31/2)(1-

1/(3.3)+1/(5.3.3)-1(7.3.3.3.)…)

Cum problema cuadraturii cercului se reduce la
construcţia numărului pi cu rigla şi compasul
,matematicienii şi-au imaginat câteva construţii care
să aproximeze cât mai precis acest număr.
Primele aproximări s-au făcut construind segmentele
cu lungimea 22/7 (Arhimede) , 16/9 (egiptenii) şi
√10 (hinduşii).
Mult mai precise s-au dovedit următoarele
construcţii:

1. Înscriem

într-un cerc
cu raza egală cu
unitatea ,atât pătratul
cât şi triunghiul
echilateral cu metodele
cunoscute.
Suma lungimilor laturii
pătratului şi laturii
triunghiului echilateral
aproximează astfel
numărul ‫ ח‬:
l + l = 3,14626 ….

Cea mai precisă construcţie
pentru numărul ‫ ח‬,
cu rigla şi compasul , cunoscută până
acum este următoarea :
Se construiesşte segmentul
sumă AB alcătuit din segmentele AC =
9/5 şi CB = 1
Stabilim mijlocul O al acestui segment
şi cu centrul în O construim un
semicerc cu diametrul
AB.Perpendiculara în C întâlneşte
semicercul în D
Cu centrul în C construim un arc de
cerc cu raza AC care intersectează
dreapta CD , de cealaltă parte a dreptei
AB faţă de D , în punctul E . Cum
precizam, segmentul DE aproximează
foarte bine numărul ‫ ח‬.
DE = CD + CE = ACxAB +AC= AC
+ AC = 1,8 + 1,8  3,14164

2.

O foarte bună aproximaţie o datorăm construcţiei realizate de bibliotecarul
regelui polonez Ioan al III –lea .
Construim cercul cu raza de 1 (de centru O ),un diametru AB şi o tangentă în A la
acest cerc.Cu centrul în A construim un arc de cerc de raza 1care intersectează
cercul dat în punctul C şi cu centrul în C construim un arc de cerc de aceeaşi rază
1 care intersectează primul cerc construit în D . Dreapta OD taie tangenta în A
la cercul iniţial în punctul E.
Pe tangenta la A în sensul EA construim
un segment EF de trei ori mai mare decât
raza cercului iniţial .Lungimea BF a
ipotenuzei triunghiului dreptunghic AFB , reprezintă numărul ‫ ח‬. În realitate
lungimea acestui segment este 1/3 120  18 3  3,14153.

In calculul
profilului aripii unui
avion apar sute si
chiar mii de
formule care contin
numarul si ca
proiectantii din
domeniu nu au voie
sa foloseasca
pentru aproximarea
lui mai putin de 14
zecimale exacte?”


 In cazul raurilor, aparitia lui este
rezultatul unei lupte dintre ordine si haos.
Raportul egal cu PI este, cel mai adesea, gasit
pentru rauri ce curg in campii foarte putin
inclinate, cum sunt cele din Brazilia sau tundra
siberiana."

 Cercetari efectuate de-a lungul secolului 20 au scos
la iveala faptul ca Marea Piramida dovedeste
cunoasterea de catre preotii si arhitectii egipteni antici a
numarului Pi (3,14), pana la cinci zecimale; ca Arhimede
s-a inspirat din aceste calcule egipetene si ca arhitectul
antic Sostrate s-a bazat si el pe descoperirile
matematicienilor-preoti egipteni, cand a construit
“Oglinzile incendiatoare” ale Farului de la Alexandria.


Slide 8

1. Cine este
2. Care este valoarea
3. Istoria
4. Alte expresii
5. Cateva aproximari ale numarului
6. Stiati ca…

Numarul pi este cel mai faimos
numar al sistemului de numeratie. El
reprezinta raportul dintre circumferinta
unui cerc si diametrul sau in geometria
euclidiana si are multe intrebuintari in
matematica, fizica si inginerie. Mai este
cunoscut si drept constanta lui Arhimede.

In realitate nu exista o valoare exacta a

numarului pi(π). Numarul irational este
aproximativ egal cu 3.1415926,


Din Biblie aflam ca macheta unui bazin facut de Hiram din Tyre pentru regele
Solomon “era rotunda, avind zece coti de la o margine la alta… si o linie de treizeci
de coti ii masura circumferinta”.Implicit, era egal cu 3,din moment ce  este
raportul dintre circumferinta si diametrul cercului.
 Acum circa 4000 de ani, egiptenii au gasit primii valoarea acestui numar si l-au
exprimat ca (4/3)4, iar babilonienii i-au considerat valoarea de 3 si 1/8. Indienii
utilizau pentru p valoarea de radical din 10. Dintre aceste estimari, cea mai
apropiata de valoarea reala a fost cea furnizata de egipteni (3,1604)

In comparatie cu evreii,matimaticienii babilonieni utilizau o valoare ceva mai
buna, considerindul pe  egal cu 3,125.

Arhimede I-a calculat pe ,gasindu-I o valoare cuprinsa intre 3-10/71si 310/70(22/7),in timp ce prin 500 d.HR.,invatatii chinezi au aratat ca  se afla
undeva intre numerele 3,1415926 si 3,14152927.
In 1596,Ludolph din Koln a utilizat aceeasi metoda pentru a-i da lui o valoare cu
32 de zecimale.Rezultatul obtinut este gravat pe mormantul sau, iar nemtii il
numesc pe , chiar si in ziua de astazi, numar ludolphin.

In secolul XVII John Walllis a descoperit ca produsul π/2=
2/1*2/3*4/3*4/5*6/5*6/7 … , unde numaratorii sunt numere pare si numitorii
numere impare, fiecare numar aparand de cate doua ori, fie ca se afla la
numarator, fie ca se afla la numitor.

James Gregory si Wilhelm Gottfreid Leibniz au descoperit, pentru π/4, o suma
infinita care este si mai simpla : π/4=1/1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+ … .

La sfarsitul secolului XVII Abraham Sharp a ajuns la o valoare compusadin 71
de zecimale. In secolul XIX, a fost extins treptat ajungand in 1853, dupa
calculele facute de William Shanks timp de 15 ani la 707 zecimale.

Cel putin din sec V IHr, de pe vremea lui Anaxagora oamenii incercasera sa
construiasca un patrat care sa aiba acceasi suprafata cu un cerc dat, folosindu-se
doar de rigla si compas.

Prin 1775, numarul celor care mai incercau sa solutioneze faimoasa problema
era atat de mare incat Academia din Paris a luat hotararea de a nu mai examina
nici o lucrare pe aceasta tema.

Problema gasirii cuadraturii cercului a fost cu adevarat solutionata abia in
1882, cand matematicianul Ferdinand Lindemann a aratat ca face parte dintr-o
clasa de numere dintre a carei membri nu sunt cunoscuti decat cativa. Aceste
numere se numesc transcendente. Gasirea cuadraturii cercului fiind imposibila.

Concluzia expusa mai sus nu i-a oprit insa pe oameni sa calculeze in
continuare valoarea lui cu din ce in ce mai multe zecimale. In anii 19401950,cand calculatoarele electronice au fost accesibile unii dintre ei au utilizat
metoda de calcul a lui pentru a demostra virtutile noilor instrumente.

Prin 1949, in 70 de ore timp-computer numarul de zecimale a lui a fost
extins la 2037.

In 1988, japonezul YAsumasa Kanada, specialist in computere, ajungea la
201326000 de zecimale si planuia sa mearga mai departe. Calculul efectuat de el
in 1988 a necesitat numai 6 ore timp-computer.

 2/pi = (1.3.3.5.5.7....)/(2.2.4.4.6.6....)
 pi/4 = 1-1/3+1/5-1/7+.....
 pi/6 = tg-1(1/31/2) => pi/6 = (1/31/2)(1-

1/(3.3)+1/(5.3.3)-1(7.3.3.3.)…)

Cum problema cuadraturii cercului se reduce la
construcţia numărului pi cu rigla şi compasul
,matematicienii şi-au imaginat câteva construţii care
să aproximeze cât mai precis acest număr.
Primele aproximări s-au făcut construind segmentele
cu lungimea 22/7 (Arhimede) , 16/9 (egiptenii) şi
√10 (hinduşii).
Mult mai precise s-au dovedit următoarele
construcţii:

1. Înscriem

într-un cerc
cu raza egală cu
unitatea ,atât pătratul
cât şi triunghiul
echilateral cu metodele
cunoscute.
Suma lungimilor laturii
pătratului şi laturii
triunghiului echilateral
aproximează astfel
numărul ‫ ח‬:
l + l = 3,14626 ….

Cea mai precisă construcţie
pentru numărul ‫ ח‬,
cu rigla şi compasul , cunoscută până
acum este următoarea :
Se construiesşte segmentul
sumă AB alcătuit din segmentele AC =
9/5 şi CB = 1
Stabilim mijlocul O al acestui segment
şi cu centrul în O construim un
semicerc cu diametrul
AB.Perpendiculara în C întâlneşte
semicercul în D
Cu centrul în C construim un arc de
cerc cu raza AC care intersectează
dreapta CD , de cealaltă parte a dreptei
AB faţă de D , în punctul E . Cum
precizam, segmentul DE aproximează
foarte bine numărul ‫ ח‬.
DE = CD + CE = ACxAB +AC= AC
+ AC = 1,8 + 1,8  3,14164

2.

O foarte bună aproximaţie o datorăm construcţiei realizate de bibliotecarul
regelui polonez Ioan al III –lea .
Construim cercul cu raza de 1 (de centru O ),un diametru AB şi o tangentă în A la
acest cerc.Cu centrul în A construim un arc de cerc de raza 1care intersectează
cercul dat în punctul C şi cu centrul în C construim un arc de cerc de aceeaşi rază
1 care intersectează primul cerc construit în D . Dreapta OD taie tangenta în A
la cercul iniţial în punctul E.
Pe tangenta la A în sensul EA construim
un segment EF de trei ori mai mare decât
raza cercului iniţial .Lungimea BF a
ipotenuzei triunghiului dreptunghic AFB , reprezintă numărul ‫ ח‬. În realitate
lungimea acestui segment este 1/3 120  18 3  3,14153.

In calculul
profilului aripii unui
avion apar sute si
chiar mii de
formule care contin
numarul si ca
proiectantii din
domeniu nu au voie
sa foloseasca
pentru aproximarea
lui mai putin de 14
zecimale exacte?”


 In cazul raurilor, aparitia lui este
rezultatul unei lupte dintre ordine si haos.
Raportul egal cu PI este, cel mai adesea, gasit
pentru rauri ce curg in campii foarte putin
inclinate, cum sunt cele din Brazilia sau tundra
siberiana."

 Cercetari efectuate de-a lungul secolului 20 au scos
la iveala faptul ca Marea Piramida dovedeste
cunoasterea de catre preotii si arhitectii egipteni antici a
numarului Pi (3,14), pana la cinci zecimale; ca Arhimede
s-a inspirat din aceste calcule egipetene si ca arhitectul
antic Sostrate s-a bazat si el pe descoperirile
matematicienilor-preoti egipteni, cand a construit
“Oglinzile incendiatoare” ale Farului de la Alexandria.


Slide 9

1. Cine este
2. Care este valoarea
3. Istoria
4. Alte expresii
5. Cateva aproximari ale numarului
6. Stiati ca…

Numarul pi este cel mai faimos
numar al sistemului de numeratie. El
reprezinta raportul dintre circumferinta
unui cerc si diametrul sau in geometria
euclidiana si are multe intrebuintari in
matematica, fizica si inginerie. Mai este
cunoscut si drept constanta lui Arhimede.

In realitate nu exista o valoare exacta a

numarului pi(π). Numarul irational este
aproximativ egal cu 3.1415926,


Din Biblie aflam ca macheta unui bazin facut de Hiram din Tyre pentru regele
Solomon “era rotunda, avind zece coti de la o margine la alta… si o linie de treizeci
de coti ii masura circumferinta”.Implicit, era egal cu 3,din moment ce  este
raportul dintre circumferinta si diametrul cercului.
 Acum circa 4000 de ani, egiptenii au gasit primii valoarea acestui numar si l-au
exprimat ca (4/3)4, iar babilonienii i-au considerat valoarea de 3 si 1/8. Indienii
utilizau pentru p valoarea de radical din 10. Dintre aceste estimari, cea mai
apropiata de valoarea reala a fost cea furnizata de egipteni (3,1604)

In comparatie cu evreii,matimaticienii babilonieni utilizau o valoare ceva mai
buna, considerindul pe  egal cu 3,125.

Arhimede I-a calculat pe ,gasindu-I o valoare cuprinsa intre 3-10/71si 310/70(22/7),in timp ce prin 500 d.HR.,invatatii chinezi au aratat ca  se afla
undeva intre numerele 3,1415926 si 3,14152927.
In 1596,Ludolph din Koln a utilizat aceeasi metoda pentru a-i da lui o valoare cu
32 de zecimale.Rezultatul obtinut este gravat pe mormantul sau, iar nemtii il
numesc pe , chiar si in ziua de astazi, numar ludolphin.

In secolul XVII John Walllis a descoperit ca produsul π/2=
2/1*2/3*4/3*4/5*6/5*6/7 … , unde numaratorii sunt numere pare si numitorii
numere impare, fiecare numar aparand de cate doua ori, fie ca se afla la
numarator, fie ca se afla la numitor.

James Gregory si Wilhelm Gottfreid Leibniz au descoperit, pentru π/4, o suma
infinita care este si mai simpla : π/4=1/1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+ … .

La sfarsitul secolului XVII Abraham Sharp a ajuns la o valoare compusadin 71
de zecimale. In secolul XIX, a fost extins treptat ajungand in 1853, dupa
calculele facute de William Shanks timp de 15 ani la 707 zecimale.

Cel putin din sec V IHr, de pe vremea lui Anaxagora oamenii incercasera sa
construiasca un patrat care sa aiba acceasi suprafata cu un cerc dat, folosindu-se
doar de rigla si compas.

Prin 1775, numarul celor care mai incercau sa solutioneze faimoasa problema
era atat de mare incat Academia din Paris a luat hotararea de a nu mai examina
nici o lucrare pe aceasta tema.

Problema gasirii cuadraturii cercului a fost cu adevarat solutionata abia in
1882, cand matematicianul Ferdinand Lindemann a aratat ca face parte dintr-o
clasa de numere dintre a carei membri nu sunt cunoscuti decat cativa. Aceste
numere se numesc transcendente. Gasirea cuadraturii cercului fiind imposibila.

Concluzia expusa mai sus nu i-a oprit insa pe oameni sa calculeze in
continuare valoarea lui cu din ce in ce mai multe zecimale. In anii 19401950,cand calculatoarele electronice au fost accesibile unii dintre ei au utilizat
metoda de calcul a lui pentru a demostra virtutile noilor instrumente.

Prin 1949, in 70 de ore timp-computer numarul de zecimale a lui a fost
extins la 2037.

In 1988, japonezul YAsumasa Kanada, specialist in computere, ajungea la
201326000 de zecimale si planuia sa mearga mai departe. Calculul efectuat de el
in 1988 a necesitat numai 6 ore timp-computer.

 2/pi = (1.3.3.5.5.7....)/(2.2.4.4.6.6....)
 pi/4 = 1-1/3+1/5-1/7+.....
 pi/6 = tg-1(1/31/2) => pi/6 = (1/31/2)(1-

1/(3.3)+1/(5.3.3)-1(7.3.3.3.)…)

Cum problema cuadraturii cercului se reduce la
construcţia numărului pi cu rigla şi compasul
,matematicienii şi-au imaginat câteva construţii care
să aproximeze cât mai precis acest număr.
Primele aproximări s-au făcut construind segmentele
cu lungimea 22/7 (Arhimede) , 16/9 (egiptenii) şi
√10 (hinduşii).
Mult mai precise s-au dovedit următoarele
construcţii:

1. Înscriem

într-un cerc
cu raza egală cu
unitatea ,atât pătratul
cât şi triunghiul
echilateral cu metodele
cunoscute.
Suma lungimilor laturii
pătratului şi laturii
triunghiului echilateral
aproximează astfel
numărul ‫ ח‬:
l + l = 3,14626 ….

Cea mai precisă construcţie
pentru numărul ‫ ח‬,
cu rigla şi compasul , cunoscută până
acum este următoarea :
Se construiesşte segmentul
sumă AB alcătuit din segmentele AC =
9/5 şi CB = 1
Stabilim mijlocul O al acestui segment
şi cu centrul în O construim un
semicerc cu diametrul
AB.Perpendiculara în C întâlneşte
semicercul în D
Cu centrul în C construim un arc de
cerc cu raza AC care intersectează
dreapta CD , de cealaltă parte a dreptei
AB faţă de D , în punctul E . Cum
precizam, segmentul DE aproximează
foarte bine numărul ‫ ח‬.
DE = CD + CE = ACxAB +AC= AC
+ AC = 1,8 + 1,8  3,14164

2.

O foarte bună aproximaţie o datorăm construcţiei realizate de bibliotecarul
regelui polonez Ioan al III –lea .
Construim cercul cu raza de 1 (de centru O ),un diametru AB şi o tangentă în A la
acest cerc.Cu centrul în A construim un arc de cerc de raza 1care intersectează
cercul dat în punctul C şi cu centrul în C construim un arc de cerc de aceeaşi rază
1 care intersectează primul cerc construit în D . Dreapta OD taie tangenta în A
la cercul iniţial în punctul E.
Pe tangenta la A în sensul EA construim
un segment EF de trei ori mai mare decât
raza cercului iniţial .Lungimea BF a
ipotenuzei triunghiului dreptunghic AFB , reprezintă numărul ‫ ח‬. În realitate
lungimea acestui segment este 1/3 120  18 3  3,14153.

In calculul
profilului aripii unui
avion apar sute si
chiar mii de
formule care contin
numarul si ca
proiectantii din
domeniu nu au voie
sa foloseasca
pentru aproximarea
lui mai putin de 14
zecimale exacte?”


 In cazul raurilor, aparitia lui este
rezultatul unei lupte dintre ordine si haos.
Raportul egal cu PI este, cel mai adesea, gasit
pentru rauri ce curg in campii foarte putin
inclinate, cum sunt cele din Brazilia sau tundra
siberiana."

 Cercetari efectuate de-a lungul secolului 20 au scos
la iveala faptul ca Marea Piramida dovedeste
cunoasterea de catre preotii si arhitectii egipteni antici a
numarului Pi (3,14), pana la cinci zecimale; ca Arhimede
s-a inspirat din aceste calcule egipetene si ca arhitectul
antic Sostrate s-a bazat si el pe descoperirile
matematicienilor-preoti egipteni, cand a construit
“Oglinzile incendiatoare” ale Farului de la Alexandria.


Slide 10

1. Cine este
2. Care este valoarea
3. Istoria
4. Alte expresii
5. Cateva aproximari ale numarului
6. Stiati ca…

Numarul pi este cel mai faimos
numar al sistemului de numeratie. El
reprezinta raportul dintre circumferinta
unui cerc si diametrul sau in geometria
euclidiana si are multe intrebuintari in
matematica, fizica si inginerie. Mai este
cunoscut si drept constanta lui Arhimede.

In realitate nu exista o valoare exacta a

numarului pi(π). Numarul irational este
aproximativ egal cu 3.1415926,


Din Biblie aflam ca macheta unui bazin facut de Hiram din Tyre pentru regele
Solomon “era rotunda, avind zece coti de la o margine la alta… si o linie de treizeci
de coti ii masura circumferinta”.Implicit, era egal cu 3,din moment ce  este
raportul dintre circumferinta si diametrul cercului.
 Acum circa 4000 de ani, egiptenii au gasit primii valoarea acestui numar si l-au
exprimat ca (4/3)4, iar babilonienii i-au considerat valoarea de 3 si 1/8. Indienii
utilizau pentru p valoarea de radical din 10. Dintre aceste estimari, cea mai
apropiata de valoarea reala a fost cea furnizata de egipteni (3,1604)

In comparatie cu evreii,matimaticienii babilonieni utilizau o valoare ceva mai
buna, considerindul pe  egal cu 3,125.

Arhimede I-a calculat pe ,gasindu-I o valoare cuprinsa intre 3-10/71si 310/70(22/7),in timp ce prin 500 d.HR.,invatatii chinezi au aratat ca  se afla
undeva intre numerele 3,1415926 si 3,14152927.
In 1596,Ludolph din Koln a utilizat aceeasi metoda pentru a-i da lui o valoare cu
32 de zecimale.Rezultatul obtinut este gravat pe mormantul sau, iar nemtii il
numesc pe , chiar si in ziua de astazi, numar ludolphin.

In secolul XVII John Walllis a descoperit ca produsul π/2=
2/1*2/3*4/3*4/5*6/5*6/7 … , unde numaratorii sunt numere pare si numitorii
numere impare, fiecare numar aparand de cate doua ori, fie ca se afla la
numarator, fie ca se afla la numitor.

James Gregory si Wilhelm Gottfreid Leibniz au descoperit, pentru π/4, o suma
infinita care este si mai simpla : π/4=1/1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+ … .

La sfarsitul secolului XVII Abraham Sharp a ajuns la o valoare compusadin 71
de zecimale. In secolul XIX, a fost extins treptat ajungand in 1853, dupa
calculele facute de William Shanks timp de 15 ani la 707 zecimale.

Cel putin din sec V IHr, de pe vremea lui Anaxagora oamenii incercasera sa
construiasca un patrat care sa aiba acceasi suprafata cu un cerc dat, folosindu-se
doar de rigla si compas.

Prin 1775, numarul celor care mai incercau sa solutioneze faimoasa problema
era atat de mare incat Academia din Paris a luat hotararea de a nu mai examina
nici o lucrare pe aceasta tema.

Problema gasirii cuadraturii cercului a fost cu adevarat solutionata abia in
1882, cand matematicianul Ferdinand Lindemann a aratat ca face parte dintr-o
clasa de numere dintre a carei membri nu sunt cunoscuti decat cativa. Aceste
numere se numesc transcendente. Gasirea cuadraturii cercului fiind imposibila.

Concluzia expusa mai sus nu i-a oprit insa pe oameni sa calculeze in
continuare valoarea lui cu din ce in ce mai multe zecimale. In anii 19401950,cand calculatoarele electronice au fost accesibile unii dintre ei au utilizat
metoda de calcul a lui pentru a demostra virtutile noilor instrumente.

Prin 1949, in 70 de ore timp-computer numarul de zecimale a lui a fost
extins la 2037.

In 1988, japonezul YAsumasa Kanada, specialist in computere, ajungea la
201326000 de zecimale si planuia sa mearga mai departe. Calculul efectuat de el
in 1988 a necesitat numai 6 ore timp-computer.

 2/pi = (1.3.3.5.5.7....)/(2.2.4.4.6.6....)
 pi/4 = 1-1/3+1/5-1/7+.....
 pi/6 = tg-1(1/31/2) => pi/6 = (1/31/2)(1-

1/(3.3)+1/(5.3.3)-1(7.3.3.3.)…)

Cum problema cuadraturii cercului se reduce la
construcţia numărului pi cu rigla şi compasul
,matematicienii şi-au imaginat câteva construţii care
să aproximeze cât mai precis acest număr.
Primele aproximări s-au făcut construind segmentele
cu lungimea 22/7 (Arhimede) , 16/9 (egiptenii) şi
√10 (hinduşii).
Mult mai precise s-au dovedit următoarele
construcţii:

1. Înscriem

într-un cerc
cu raza egală cu
unitatea ,atât pătratul
cât şi triunghiul
echilateral cu metodele
cunoscute.
Suma lungimilor laturii
pătratului şi laturii
triunghiului echilateral
aproximează astfel
numărul ‫ ח‬:
l + l = 3,14626 ….

Cea mai precisă construcţie
pentru numărul ‫ ח‬,
cu rigla şi compasul , cunoscută până
acum este următoarea :
Se construiesşte segmentul
sumă AB alcătuit din segmentele AC =
9/5 şi CB = 1
Stabilim mijlocul O al acestui segment
şi cu centrul în O construim un
semicerc cu diametrul
AB.Perpendiculara în C întâlneşte
semicercul în D
Cu centrul în C construim un arc de
cerc cu raza AC care intersectează
dreapta CD , de cealaltă parte a dreptei
AB faţă de D , în punctul E . Cum
precizam, segmentul DE aproximează
foarte bine numărul ‫ ח‬.
DE = CD + CE = ACxAB +AC= AC
+ AC = 1,8 + 1,8  3,14164

2.

O foarte bună aproximaţie o datorăm construcţiei realizate de bibliotecarul
regelui polonez Ioan al III –lea .
Construim cercul cu raza de 1 (de centru O ),un diametru AB şi o tangentă în A la
acest cerc.Cu centrul în A construim un arc de cerc de raza 1care intersectează
cercul dat în punctul C şi cu centrul în C construim un arc de cerc de aceeaşi rază
1 care intersectează primul cerc construit în D . Dreapta OD taie tangenta în A
la cercul iniţial în punctul E.
Pe tangenta la A în sensul EA construim
un segment EF de trei ori mai mare decât
raza cercului iniţial .Lungimea BF a
ipotenuzei triunghiului dreptunghic AFB , reprezintă numărul ‫ ח‬. În realitate
lungimea acestui segment este 1/3 120  18 3  3,14153.

In calculul
profilului aripii unui
avion apar sute si
chiar mii de
formule care contin
numarul si ca
proiectantii din
domeniu nu au voie
sa foloseasca
pentru aproximarea
lui mai putin de 14
zecimale exacte?”


 In cazul raurilor, aparitia lui este
rezultatul unei lupte dintre ordine si haos.
Raportul egal cu PI este, cel mai adesea, gasit
pentru rauri ce curg in campii foarte putin
inclinate, cum sunt cele din Brazilia sau tundra
siberiana."

 Cercetari efectuate de-a lungul secolului 20 au scos
la iveala faptul ca Marea Piramida dovedeste
cunoasterea de catre preotii si arhitectii egipteni antici a
numarului Pi (3,14), pana la cinci zecimale; ca Arhimede
s-a inspirat din aceste calcule egipetene si ca arhitectul
antic Sostrate s-a bazat si el pe descoperirile
matematicienilor-preoti egipteni, cand a construit
“Oglinzile incendiatoare” ale Farului de la Alexandria.


Slide 11

1. Cine este
2. Care este valoarea
3. Istoria
4. Alte expresii
5. Cateva aproximari ale numarului
6. Stiati ca…

Numarul pi este cel mai faimos
numar al sistemului de numeratie. El
reprezinta raportul dintre circumferinta
unui cerc si diametrul sau in geometria
euclidiana si are multe intrebuintari in
matematica, fizica si inginerie. Mai este
cunoscut si drept constanta lui Arhimede.

In realitate nu exista o valoare exacta a

numarului pi(π). Numarul irational este
aproximativ egal cu 3.1415926,


Din Biblie aflam ca macheta unui bazin facut de Hiram din Tyre pentru regele
Solomon “era rotunda, avind zece coti de la o margine la alta… si o linie de treizeci
de coti ii masura circumferinta”.Implicit, era egal cu 3,din moment ce  este
raportul dintre circumferinta si diametrul cercului.
 Acum circa 4000 de ani, egiptenii au gasit primii valoarea acestui numar si l-au
exprimat ca (4/3)4, iar babilonienii i-au considerat valoarea de 3 si 1/8. Indienii
utilizau pentru p valoarea de radical din 10. Dintre aceste estimari, cea mai
apropiata de valoarea reala a fost cea furnizata de egipteni (3,1604)

In comparatie cu evreii,matimaticienii babilonieni utilizau o valoare ceva mai
buna, considerindul pe  egal cu 3,125.

Arhimede I-a calculat pe ,gasindu-I o valoare cuprinsa intre 3-10/71si 310/70(22/7),in timp ce prin 500 d.HR.,invatatii chinezi au aratat ca  se afla
undeva intre numerele 3,1415926 si 3,14152927.
In 1596,Ludolph din Koln a utilizat aceeasi metoda pentru a-i da lui o valoare cu
32 de zecimale.Rezultatul obtinut este gravat pe mormantul sau, iar nemtii il
numesc pe , chiar si in ziua de astazi, numar ludolphin.

In secolul XVII John Walllis a descoperit ca produsul π/2=
2/1*2/3*4/3*4/5*6/5*6/7 … , unde numaratorii sunt numere pare si numitorii
numere impare, fiecare numar aparand de cate doua ori, fie ca se afla la
numarator, fie ca se afla la numitor.

James Gregory si Wilhelm Gottfreid Leibniz au descoperit, pentru π/4, o suma
infinita care este si mai simpla : π/4=1/1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+ … .

La sfarsitul secolului XVII Abraham Sharp a ajuns la o valoare compusadin 71
de zecimale. In secolul XIX, a fost extins treptat ajungand in 1853, dupa
calculele facute de William Shanks timp de 15 ani la 707 zecimale.

Cel putin din sec V IHr, de pe vremea lui Anaxagora oamenii incercasera sa
construiasca un patrat care sa aiba acceasi suprafata cu un cerc dat, folosindu-se
doar de rigla si compas.

Prin 1775, numarul celor care mai incercau sa solutioneze faimoasa problema
era atat de mare incat Academia din Paris a luat hotararea de a nu mai examina
nici o lucrare pe aceasta tema.

Problema gasirii cuadraturii cercului a fost cu adevarat solutionata abia in
1882, cand matematicianul Ferdinand Lindemann a aratat ca face parte dintr-o
clasa de numere dintre a carei membri nu sunt cunoscuti decat cativa. Aceste
numere se numesc transcendente. Gasirea cuadraturii cercului fiind imposibila.

Concluzia expusa mai sus nu i-a oprit insa pe oameni sa calculeze in
continuare valoarea lui cu din ce in ce mai multe zecimale. In anii 19401950,cand calculatoarele electronice au fost accesibile unii dintre ei au utilizat
metoda de calcul a lui pentru a demostra virtutile noilor instrumente.

Prin 1949, in 70 de ore timp-computer numarul de zecimale a lui a fost
extins la 2037.

In 1988, japonezul YAsumasa Kanada, specialist in computere, ajungea la
201326000 de zecimale si planuia sa mearga mai departe. Calculul efectuat de el
in 1988 a necesitat numai 6 ore timp-computer.

 2/pi = (1.3.3.5.5.7....)/(2.2.4.4.6.6....)
 pi/4 = 1-1/3+1/5-1/7+.....
 pi/6 = tg-1(1/31/2) => pi/6 = (1/31/2)(1-

1/(3.3)+1/(5.3.3)-1(7.3.3.3.)…)

Cum problema cuadraturii cercului se reduce la
construcţia numărului pi cu rigla şi compasul
,matematicienii şi-au imaginat câteva construţii care
să aproximeze cât mai precis acest număr.
Primele aproximări s-au făcut construind segmentele
cu lungimea 22/7 (Arhimede) , 16/9 (egiptenii) şi
√10 (hinduşii).
Mult mai precise s-au dovedit următoarele
construcţii:

1. Înscriem

într-un cerc
cu raza egală cu
unitatea ,atât pătratul
cât şi triunghiul
echilateral cu metodele
cunoscute.
Suma lungimilor laturii
pătratului şi laturii
triunghiului echilateral
aproximează astfel
numărul ‫ ח‬:
l + l = 3,14626 ….

Cea mai precisă construcţie
pentru numărul ‫ ח‬,
cu rigla şi compasul , cunoscută până
acum este următoarea :
Se construiesşte segmentul
sumă AB alcătuit din segmentele AC =
9/5 şi CB = 1
Stabilim mijlocul O al acestui segment
şi cu centrul în O construim un
semicerc cu diametrul
AB.Perpendiculara în C întâlneşte
semicercul în D
Cu centrul în C construim un arc de
cerc cu raza AC care intersectează
dreapta CD , de cealaltă parte a dreptei
AB faţă de D , în punctul E . Cum
precizam, segmentul DE aproximează
foarte bine numărul ‫ ח‬.
DE = CD + CE = ACxAB +AC= AC
+ AC = 1,8 + 1,8  3,14164

2.

O foarte bună aproximaţie o datorăm construcţiei realizate de bibliotecarul
regelui polonez Ioan al III –lea .
Construim cercul cu raza de 1 (de centru O ),un diametru AB şi o tangentă în A la
acest cerc.Cu centrul în A construim un arc de cerc de raza 1care intersectează
cercul dat în punctul C şi cu centrul în C construim un arc de cerc de aceeaşi rază
1 care intersectează primul cerc construit în D . Dreapta OD taie tangenta în A
la cercul iniţial în punctul E.
Pe tangenta la A în sensul EA construim
un segment EF de trei ori mai mare decât
raza cercului iniţial .Lungimea BF a
ipotenuzei triunghiului dreptunghic AFB , reprezintă numărul ‫ ח‬. În realitate
lungimea acestui segment este 1/3 120  18 3  3,14153.

In calculul
profilului aripii unui
avion apar sute si
chiar mii de
formule care contin
numarul si ca
proiectantii din
domeniu nu au voie
sa foloseasca
pentru aproximarea
lui mai putin de 14
zecimale exacte?”


 In cazul raurilor, aparitia lui este
rezultatul unei lupte dintre ordine si haos.
Raportul egal cu PI este, cel mai adesea, gasit
pentru rauri ce curg in campii foarte putin
inclinate, cum sunt cele din Brazilia sau tundra
siberiana."

 Cercetari efectuate de-a lungul secolului 20 au scos
la iveala faptul ca Marea Piramida dovedeste
cunoasterea de catre preotii si arhitectii egipteni antici a
numarului Pi (3,14), pana la cinci zecimale; ca Arhimede
s-a inspirat din aceste calcule egipetene si ca arhitectul
antic Sostrate s-a bazat si el pe descoperirile
matematicienilor-preoti egipteni, cand a construit
“Oglinzile incendiatoare” ale Farului de la Alexandria.


Slide 12

1. Cine este
2. Care este valoarea
3. Istoria
4. Alte expresii
5. Cateva aproximari ale numarului
6. Stiati ca…

Numarul pi este cel mai faimos
numar al sistemului de numeratie. El
reprezinta raportul dintre circumferinta
unui cerc si diametrul sau in geometria
euclidiana si are multe intrebuintari in
matematica, fizica si inginerie. Mai este
cunoscut si drept constanta lui Arhimede.

In realitate nu exista o valoare exacta a

numarului pi(π). Numarul irational este
aproximativ egal cu 3.1415926,


Din Biblie aflam ca macheta unui bazin facut de Hiram din Tyre pentru regele
Solomon “era rotunda, avind zece coti de la o margine la alta… si o linie de treizeci
de coti ii masura circumferinta”.Implicit, era egal cu 3,din moment ce  este
raportul dintre circumferinta si diametrul cercului.
 Acum circa 4000 de ani, egiptenii au gasit primii valoarea acestui numar si l-au
exprimat ca (4/3)4, iar babilonienii i-au considerat valoarea de 3 si 1/8. Indienii
utilizau pentru p valoarea de radical din 10. Dintre aceste estimari, cea mai
apropiata de valoarea reala a fost cea furnizata de egipteni (3,1604)

In comparatie cu evreii,matimaticienii babilonieni utilizau o valoare ceva mai
buna, considerindul pe  egal cu 3,125.

Arhimede I-a calculat pe ,gasindu-I o valoare cuprinsa intre 3-10/71si 310/70(22/7),in timp ce prin 500 d.HR.,invatatii chinezi au aratat ca  se afla
undeva intre numerele 3,1415926 si 3,14152927.
In 1596,Ludolph din Koln a utilizat aceeasi metoda pentru a-i da lui o valoare cu
32 de zecimale.Rezultatul obtinut este gravat pe mormantul sau, iar nemtii il
numesc pe , chiar si in ziua de astazi, numar ludolphin.

In secolul XVII John Walllis a descoperit ca produsul π/2=
2/1*2/3*4/3*4/5*6/5*6/7 … , unde numaratorii sunt numere pare si numitorii
numere impare, fiecare numar aparand de cate doua ori, fie ca se afla la
numarator, fie ca se afla la numitor.

James Gregory si Wilhelm Gottfreid Leibniz au descoperit, pentru π/4, o suma
infinita care este si mai simpla : π/4=1/1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+ … .

La sfarsitul secolului XVII Abraham Sharp a ajuns la o valoare compusadin 71
de zecimale. In secolul XIX, a fost extins treptat ajungand in 1853, dupa
calculele facute de William Shanks timp de 15 ani la 707 zecimale.

Cel putin din sec V IHr, de pe vremea lui Anaxagora oamenii incercasera sa
construiasca un patrat care sa aiba acceasi suprafata cu un cerc dat, folosindu-se
doar de rigla si compas.

Prin 1775, numarul celor care mai incercau sa solutioneze faimoasa problema
era atat de mare incat Academia din Paris a luat hotararea de a nu mai examina
nici o lucrare pe aceasta tema.

Problema gasirii cuadraturii cercului a fost cu adevarat solutionata abia in
1882, cand matematicianul Ferdinand Lindemann a aratat ca face parte dintr-o
clasa de numere dintre a carei membri nu sunt cunoscuti decat cativa. Aceste
numere se numesc transcendente. Gasirea cuadraturii cercului fiind imposibila.

Concluzia expusa mai sus nu i-a oprit insa pe oameni sa calculeze in
continuare valoarea lui cu din ce in ce mai multe zecimale. In anii 19401950,cand calculatoarele electronice au fost accesibile unii dintre ei au utilizat
metoda de calcul a lui pentru a demostra virtutile noilor instrumente.

Prin 1949, in 70 de ore timp-computer numarul de zecimale a lui a fost
extins la 2037.

In 1988, japonezul YAsumasa Kanada, specialist in computere, ajungea la
201326000 de zecimale si planuia sa mearga mai departe. Calculul efectuat de el
in 1988 a necesitat numai 6 ore timp-computer.

 2/pi = (1.3.3.5.5.7....)/(2.2.4.4.6.6....)
 pi/4 = 1-1/3+1/5-1/7+.....
 pi/6 = tg-1(1/31/2) => pi/6 = (1/31/2)(1-

1/(3.3)+1/(5.3.3)-1(7.3.3.3.)…)

Cum problema cuadraturii cercului se reduce la
construcţia numărului pi cu rigla şi compasul
,matematicienii şi-au imaginat câteva construţii care
să aproximeze cât mai precis acest număr.
Primele aproximări s-au făcut construind segmentele
cu lungimea 22/7 (Arhimede) , 16/9 (egiptenii) şi
√10 (hinduşii).
Mult mai precise s-au dovedit următoarele
construcţii:

1. Înscriem

într-un cerc
cu raza egală cu
unitatea ,atât pătratul
cât şi triunghiul
echilateral cu metodele
cunoscute.
Suma lungimilor laturii
pătratului şi laturii
triunghiului echilateral
aproximează astfel
numărul ‫ ח‬:
l + l = 3,14626 ….

Cea mai precisă construcţie
pentru numărul ‫ ח‬,
cu rigla şi compasul , cunoscută până
acum este următoarea :
Se construiesşte segmentul
sumă AB alcătuit din segmentele AC =
9/5 şi CB = 1
Stabilim mijlocul O al acestui segment
şi cu centrul în O construim un
semicerc cu diametrul
AB.Perpendiculara în C întâlneşte
semicercul în D
Cu centrul în C construim un arc de
cerc cu raza AC care intersectează
dreapta CD , de cealaltă parte a dreptei
AB faţă de D , în punctul E . Cum
precizam, segmentul DE aproximează
foarte bine numărul ‫ ח‬.
DE = CD + CE = ACxAB +AC= AC
+ AC = 1,8 + 1,8  3,14164

2.

O foarte bună aproximaţie o datorăm construcţiei realizate de bibliotecarul
regelui polonez Ioan al III –lea .
Construim cercul cu raza de 1 (de centru O ),un diametru AB şi o tangentă în A la
acest cerc.Cu centrul în A construim un arc de cerc de raza 1care intersectează
cercul dat în punctul C şi cu centrul în C construim un arc de cerc de aceeaşi rază
1 care intersectează primul cerc construit în D . Dreapta OD taie tangenta în A
la cercul iniţial în punctul E.
Pe tangenta la A în sensul EA construim
un segment EF de trei ori mai mare decât
raza cercului iniţial .Lungimea BF a
ipotenuzei triunghiului dreptunghic AFB , reprezintă numărul ‫ ח‬. În realitate
lungimea acestui segment este 1/3 120  18 3  3,14153.

In calculul
profilului aripii unui
avion apar sute si
chiar mii de
formule care contin
numarul si ca
proiectantii din
domeniu nu au voie
sa foloseasca
pentru aproximarea
lui mai putin de 14
zecimale exacte?”


 In cazul raurilor, aparitia lui este
rezultatul unei lupte dintre ordine si haos.
Raportul egal cu PI este, cel mai adesea, gasit
pentru rauri ce curg in campii foarte putin
inclinate, cum sunt cele din Brazilia sau tundra
siberiana."

 Cercetari efectuate de-a lungul secolului 20 au scos
la iveala faptul ca Marea Piramida dovedeste
cunoasterea de catre preotii si arhitectii egipteni antici a
numarului Pi (3,14), pana la cinci zecimale; ca Arhimede
s-a inspirat din aceste calcule egipetene si ca arhitectul
antic Sostrate s-a bazat si el pe descoperirile
matematicienilor-preoti egipteni, cand a construit
“Oglinzile incendiatoare” ale Farului de la Alexandria.


Slide 13

1. Cine este
2. Care este valoarea
3. Istoria
4. Alte expresii
5. Cateva aproximari ale numarului
6. Stiati ca…

Numarul pi este cel mai faimos
numar al sistemului de numeratie. El
reprezinta raportul dintre circumferinta
unui cerc si diametrul sau in geometria
euclidiana si are multe intrebuintari in
matematica, fizica si inginerie. Mai este
cunoscut si drept constanta lui Arhimede.

In realitate nu exista o valoare exacta a

numarului pi(π). Numarul irational este
aproximativ egal cu 3.1415926,


Din Biblie aflam ca macheta unui bazin facut de Hiram din Tyre pentru regele
Solomon “era rotunda, avind zece coti de la o margine la alta… si o linie de treizeci
de coti ii masura circumferinta”.Implicit, era egal cu 3,din moment ce  este
raportul dintre circumferinta si diametrul cercului.
 Acum circa 4000 de ani, egiptenii au gasit primii valoarea acestui numar si l-au
exprimat ca (4/3)4, iar babilonienii i-au considerat valoarea de 3 si 1/8. Indienii
utilizau pentru p valoarea de radical din 10. Dintre aceste estimari, cea mai
apropiata de valoarea reala a fost cea furnizata de egipteni (3,1604)

In comparatie cu evreii,matimaticienii babilonieni utilizau o valoare ceva mai
buna, considerindul pe  egal cu 3,125.

Arhimede I-a calculat pe ,gasindu-I o valoare cuprinsa intre 3-10/71si 310/70(22/7),in timp ce prin 500 d.HR.,invatatii chinezi au aratat ca  se afla
undeva intre numerele 3,1415926 si 3,14152927.
In 1596,Ludolph din Koln a utilizat aceeasi metoda pentru a-i da lui o valoare cu
32 de zecimale.Rezultatul obtinut este gravat pe mormantul sau, iar nemtii il
numesc pe , chiar si in ziua de astazi, numar ludolphin.

In secolul XVII John Walllis a descoperit ca produsul π/2=
2/1*2/3*4/3*4/5*6/5*6/7 … , unde numaratorii sunt numere pare si numitorii
numere impare, fiecare numar aparand de cate doua ori, fie ca se afla la
numarator, fie ca se afla la numitor.

James Gregory si Wilhelm Gottfreid Leibniz au descoperit, pentru π/4, o suma
infinita care este si mai simpla : π/4=1/1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+ … .

La sfarsitul secolului XVII Abraham Sharp a ajuns la o valoare compusadin 71
de zecimale. In secolul XIX, a fost extins treptat ajungand in 1853, dupa
calculele facute de William Shanks timp de 15 ani la 707 zecimale.

Cel putin din sec V IHr, de pe vremea lui Anaxagora oamenii incercasera sa
construiasca un patrat care sa aiba acceasi suprafata cu un cerc dat, folosindu-se
doar de rigla si compas.

Prin 1775, numarul celor care mai incercau sa solutioneze faimoasa problema
era atat de mare incat Academia din Paris a luat hotararea de a nu mai examina
nici o lucrare pe aceasta tema.

Problema gasirii cuadraturii cercului a fost cu adevarat solutionata abia in
1882, cand matematicianul Ferdinand Lindemann a aratat ca face parte dintr-o
clasa de numere dintre a carei membri nu sunt cunoscuti decat cativa. Aceste
numere se numesc transcendente. Gasirea cuadraturii cercului fiind imposibila.

Concluzia expusa mai sus nu i-a oprit insa pe oameni sa calculeze in
continuare valoarea lui cu din ce in ce mai multe zecimale. In anii 19401950,cand calculatoarele electronice au fost accesibile unii dintre ei au utilizat
metoda de calcul a lui pentru a demostra virtutile noilor instrumente.

Prin 1949, in 70 de ore timp-computer numarul de zecimale a lui a fost
extins la 2037.

In 1988, japonezul YAsumasa Kanada, specialist in computere, ajungea la
201326000 de zecimale si planuia sa mearga mai departe. Calculul efectuat de el
in 1988 a necesitat numai 6 ore timp-computer.

 2/pi = (1.3.3.5.5.7....)/(2.2.4.4.6.6....)
 pi/4 = 1-1/3+1/5-1/7+.....
 pi/6 = tg-1(1/31/2) => pi/6 = (1/31/2)(1-

1/(3.3)+1/(5.3.3)-1(7.3.3.3.)…)

Cum problema cuadraturii cercului se reduce la
construcţia numărului pi cu rigla şi compasul
,matematicienii şi-au imaginat câteva construţii care
să aproximeze cât mai precis acest număr.
Primele aproximări s-au făcut construind segmentele
cu lungimea 22/7 (Arhimede) , 16/9 (egiptenii) şi
√10 (hinduşii).
Mult mai precise s-au dovedit următoarele
construcţii:

1. Înscriem

într-un cerc
cu raza egală cu
unitatea ,atât pătratul
cât şi triunghiul
echilateral cu metodele
cunoscute.
Suma lungimilor laturii
pătratului şi laturii
triunghiului echilateral
aproximează astfel
numărul ‫ ח‬:
l + l = 3,14626 ….

Cea mai precisă construcţie
pentru numărul ‫ ח‬,
cu rigla şi compasul , cunoscută până
acum este următoarea :
Se construiesşte segmentul
sumă AB alcătuit din segmentele AC =
9/5 şi CB = 1
Stabilim mijlocul O al acestui segment
şi cu centrul în O construim un
semicerc cu diametrul
AB.Perpendiculara în C întâlneşte
semicercul în D
Cu centrul în C construim un arc de
cerc cu raza AC care intersectează
dreapta CD , de cealaltă parte a dreptei
AB faţă de D , în punctul E . Cum
precizam, segmentul DE aproximează
foarte bine numărul ‫ ח‬.
DE = CD + CE = ACxAB +AC= AC
+ AC = 1,8 + 1,8  3,14164

2.

O foarte bună aproximaţie o datorăm construcţiei realizate de bibliotecarul
regelui polonez Ioan al III –lea .
Construim cercul cu raza de 1 (de centru O ),un diametru AB şi o tangentă în A la
acest cerc.Cu centrul în A construim un arc de cerc de raza 1care intersectează
cercul dat în punctul C şi cu centrul în C construim un arc de cerc de aceeaşi rază
1 care intersectează primul cerc construit în D . Dreapta OD taie tangenta în A
la cercul iniţial în punctul E.
Pe tangenta la A în sensul EA construim
un segment EF de trei ori mai mare decât
raza cercului iniţial .Lungimea BF a
ipotenuzei triunghiului dreptunghic AFB , reprezintă numărul ‫ ח‬. În realitate
lungimea acestui segment este 1/3 120  18 3  3,14153.

In calculul
profilului aripii unui
avion apar sute si
chiar mii de
formule care contin
numarul si ca
proiectantii din
domeniu nu au voie
sa foloseasca
pentru aproximarea
lui mai putin de 14
zecimale exacte?”


 In cazul raurilor, aparitia lui este
rezultatul unei lupte dintre ordine si haos.
Raportul egal cu PI este, cel mai adesea, gasit
pentru rauri ce curg in campii foarte putin
inclinate, cum sunt cele din Brazilia sau tundra
siberiana."

 Cercetari efectuate de-a lungul secolului 20 au scos
la iveala faptul ca Marea Piramida dovedeste
cunoasterea de catre preotii si arhitectii egipteni antici a
numarului Pi (3,14), pana la cinci zecimale; ca Arhimede
s-a inspirat din aceste calcule egipetene si ca arhitectul
antic Sostrate s-a bazat si el pe descoperirile
matematicienilor-preoti egipteni, cand a construit
“Oglinzile incendiatoare” ale Farului de la Alexandria.


Slide 14

1. Cine este
2. Care este valoarea
3. Istoria
4. Alte expresii
5. Cateva aproximari ale numarului
6. Stiati ca…

Numarul pi este cel mai faimos
numar al sistemului de numeratie. El
reprezinta raportul dintre circumferinta
unui cerc si diametrul sau in geometria
euclidiana si are multe intrebuintari in
matematica, fizica si inginerie. Mai este
cunoscut si drept constanta lui Arhimede.

In realitate nu exista o valoare exacta a

numarului pi(π). Numarul irational este
aproximativ egal cu 3.1415926,


Din Biblie aflam ca macheta unui bazin facut de Hiram din Tyre pentru regele
Solomon “era rotunda, avind zece coti de la o margine la alta… si o linie de treizeci
de coti ii masura circumferinta”.Implicit, era egal cu 3,din moment ce  este
raportul dintre circumferinta si diametrul cercului.
 Acum circa 4000 de ani, egiptenii au gasit primii valoarea acestui numar si l-au
exprimat ca (4/3)4, iar babilonienii i-au considerat valoarea de 3 si 1/8. Indienii
utilizau pentru p valoarea de radical din 10. Dintre aceste estimari, cea mai
apropiata de valoarea reala a fost cea furnizata de egipteni (3,1604)

In comparatie cu evreii,matimaticienii babilonieni utilizau o valoare ceva mai
buna, considerindul pe  egal cu 3,125.

Arhimede I-a calculat pe ,gasindu-I o valoare cuprinsa intre 3-10/71si 310/70(22/7),in timp ce prin 500 d.HR.,invatatii chinezi au aratat ca  se afla
undeva intre numerele 3,1415926 si 3,14152927.
In 1596,Ludolph din Koln a utilizat aceeasi metoda pentru a-i da lui o valoare cu
32 de zecimale.Rezultatul obtinut este gravat pe mormantul sau, iar nemtii il
numesc pe , chiar si in ziua de astazi, numar ludolphin.

In secolul XVII John Walllis a descoperit ca produsul π/2=
2/1*2/3*4/3*4/5*6/5*6/7 … , unde numaratorii sunt numere pare si numitorii
numere impare, fiecare numar aparand de cate doua ori, fie ca se afla la
numarator, fie ca se afla la numitor.

James Gregory si Wilhelm Gottfreid Leibniz au descoperit, pentru π/4, o suma
infinita care este si mai simpla : π/4=1/1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+ … .

La sfarsitul secolului XVII Abraham Sharp a ajuns la o valoare compusadin 71
de zecimale. In secolul XIX, a fost extins treptat ajungand in 1853, dupa
calculele facute de William Shanks timp de 15 ani la 707 zecimale.

Cel putin din sec V IHr, de pe vremea lui Anaxagora oamenii incercasera sa
construiasca un patrat care sa aiba acceasi suprafata cu un cerc dat, folosindu-se
doar de rigla si compas.

Prin 1775, numarul celor care mai incercau sa solutioneze faimoasa problema
era atat de mare incat Academia din Paris a luat hotararea de a nu mai examina
nici o lucrare pe aceasta tema.

Problema gasirii cuadraturii cercului a fost cu adevarat solutionata abia in
1882, cand matematicianul Ferdinand Lindemann a aratat ca face parte dintr-o
clasa de numere dintre a carei membri nu sunt cunoscuti decat cativa. Aceste
numere se numesc transcendente. Gasirea cuadraturii cercului fiind imposibila.

Concluzia expusa mai sus nu i-a oprit insa pe oameni sa calculeze in
continuare valoarea lui cu din ce in ce mai multe zecimale. In anii 19401950,cand calculatoarele electronice au fost accesibile unii dintre ei au utilizat
metoda de calcul a lui pentru a demostra virtutile noilor instrumente.

Prin 1949, in 70 de ore timp-computer numarul de zecimale a lui a fost
extins la 2037.

In 1988, japonezul YAsumasa Kanada, specialist in computere, ajungea la
201326000 de zecimale si planuia sa mearga mai departe. Calculul efectuat de el
in 1988 a necesitat numai 6 ore timp-computer.

 2/pi = (1.3.3.5.5.7....)/(2.2.4.4.6.6....)
 pi/4 = 1-1/3+1/5-1/7+.....
 pi/6 = tg-1(1/31/2) => pi/6 = (1/31/2)(1-

1/(3.3)+1/(5.3.3)-1(7.3.3.3.)…)

Cum problema cuadraturii cercului se reduce la
construcţia numărului pi cu rigla şi compasul
,matematicienii şi-au imaginat câteva construţii care
să aproximeze cât mai precis acest număr.
Primele aproximări s-au făcut construind segmentele
cu lungimea 22/7 (Arhimede) , 16/9 (egiptenii) şi
√10 (hinduşii).
Mult mai precise s-au dovedit următoarele
construcţii:

1. Înscriem

într-un cerc
cu raza egală cu
unitatea ,atât pătratul
cât şi triunghiul
echilateral cu metodele
cunoscute.
Suma lungimilor laturii
pătratului şi laturii
triunghiului echilateral
aproximează astfel
numărul ‫ ח‬:
l + l = 3,14626 ….

Cea mai precisă construcţie
pentru numărul ‫ ח‬,
cu rigla şi compasul , cunoscută până
acum este următoarea :
Se construiesşte segmentul
sumă AB alcătuit din segmentele AC =
9/5 şi CB = 1
Stabilim mijlocul O al acestui segment
şi cu centrul în O construim un
semicerc cu diametrul
AB.Perpendiculara în C întâlneşte
semicercul în D
Cu centrul în C construim un arc de
cerc cu raza AC care intersectează
dreapta CD , de cealaltă parte a dreptei
AB faţă de D , în punctul E . Cum
precizam, segmentul DE aproximează
foarte bine numărul ‫ ח‬.
DE = CD + CE = ACxAB +AC= AC
+ AC = 1,8 + 1,8  3,14164

2.

O foarte bună aproximaţie o datorăm construcţiei realizate de bibliotecarul
regelui polonez Ioan al III –lea .
Construim cercul cu raza de 1 (de centru O ),un diametru AB şi o tangentă în A la
acest cerc.Cu centrul în A construim un arc de cerc de raza 1care intersectează
cercul dat în punctul C şi cu centrul în C construim un arc de cerc de aceeaşi rază
1 care intersectează primul cerc construit în D . Dreapta OD taie tangenta în A
la cercul iniţial în punctul E.
Pe tangenta la A în sensul EA construim
un segment EF de trei ori mai mare decât
raza cercului iniţial .Lungimea BF a
ipotenuzei triunghiului dreptunghic AFB , reprezintă numărul ‫ ח‬. În realitate
lungimea acestui segment este 1/3 120  18 3  3,14153.

In calculul
profilului aripii unui
avion apar sute si
chiar mii de
formule care contin
numarul si ca
proiectantii din
domeniu nu au voie
sa foloseasca
pentru aproximarea
lui mai putin de 14
zecimale exacte?”


 In cazul raurilor, aparitia lui este
rezultatul unei lupte dintre ordine si haos.
Raportul egal cu PI este, cel mai adesea, gasit
pentru rauri ce curg in campii foarte putin
inclinate, cum sunt cele din Brazilia sau tundra
siberiana."

 Cercetari efectuate de-a lungul secolului 20 au scos
la iveala faptul ca Marea Piramida dovedeste
cunoasterea de catre preotii si arhitectii egipteni antici a
numarului Pi (3,14), pana la cinci zecimale; ca Arhimede
s-a inspirat din aceste calcule egipetene si ca arhitectul
antic Sostrate s-a bazat si el pe descoperirile
matematicienilor-preoti egipteni, cand a construit
“Oglinzile incendiatoare” ale Farului de la Alexandria.


Slide 15

1. Cine este
2. Care este valoarea
3. Istoria
4. Alte expresii
5. Cateva aproximari ale numarului
6. Stiati ca…

Numarul pi este cel mai faimos
numar al sistemului de numeratie. El
reprezinta raportul dintre circumferinta
unui cerc si diametrul sau in geometria
euclidiana si are multe intrebuintari in
matematica, fizica si inginerie. Mai este
cunoscut si drept constanta lui Arhimede.

In realitate nu exista o valoare exacta a

numarului pi(π). Numarul irational este
aproximativ egal cu 3.1415926,


Din Biblie aflam ca macheta unui bazin facut de Hiram din Tyre pentru regele
Solomon “era rotunda, avind zece coti de la o margine la alta… si o linie de treizeci
de coti ii masura circumferinta”.Implicit, era egal cu 3,din moment ce  este
raportul dintre circumferinta si diametrul cercului.
 Acum circa 4000 de ani, egiptenii au gasit primii valoarea acestui numar si l-au
exprimat ca (4/3)4, iar babilonienii i-au considerat valoarea de 3 si 1/8. Indienii
utilizau pentru p valoarea de radical din 10. Dintre aceste estimari, cea mai
apropiata de valoarea reala a fost cea furnizata de egipteni (3,1604)

In comparatie cu evreii,matimaticienii babilonieni utilizau o valoare ceva mai
buna, considerindul pe  egal cu 3,125.

Arhimede I-a calculat pe ,gasindu-I o valoare cuprinsa intre 3-10/71si 310/70(22/7),in timp ce prin 500 d.HR.,invatatii chinezi au aratat ca  se afla
undeva intre numerele 3,1415926 si 3,14152927.
In 1596,Ludolph din Koln a utilizat aceeasi metoda pentru a-i da lui o valoare cu
32 de zecimale.Rezultatul obtinut este gravat pe mormantul sau, iar nemtii il
numesc pe , chiar si in ziua de astazi, numar ludolphin.

In secolul XVII John Walllis a descoperit ca produsul π/2=
2/1*2/3*4/3*4/5*6/5*6/7 … , unde numaratorii sunt numere pare si numitorii
numere impare, fiecare numar aparand de cate doua ori, fie ca se afla la
numarator, fie ca se afla la numitor.

James Gregory si Wilhelm Gottfreid Leibniz au descoperit, pentru π/4, o suma
infinita care este si mai simpla : π/4=1/1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+ … .

La sfarsitul secolului XVII Abraham Sharp a ajuns la o valoare compusadin 71
de zecimale. In secolul XIX, a fost extins treptat ajungand in 1853, dupa
calculele facute de William Shanks timp de 15 ani la 707 zecimale.

Cel putin din sec V IHr, de pe vremea lui Anaxagora oamenii incercasera sa
construiasca un patrat care sa aiba acceasi suprafata cu un cerc dat, folosindu-se
doar de rigla si compas.

Prin 1775, numarul celor care mai incercau sa solutioneze faimoasa problema
era atat de mare incat Academia din Paris a luat hotararea de a nu mai examina
nici o lucrare pe aceasta tema.

Problema gasirii cuadraturii cercului a fost cu adevarat solutionata abia in
1882, cand matematicianul Ferdinand Lindemann a aratat ca face parte dintr-o
clasa de numere dintre a carei membri nu sunt cunoscuti decat cativa. Aceste
numere se numesc transcendente. Gasirea cuadraturii cercului fiind imposibila.

Concluzia expusa mai sus nu i-a oprit insa pe oameni sa calculeze in
continuare valoarea lui cu din ce in ce mai multe zecimale. In anii 19401950,cand calculatoarele electronice au fost accesibile unii dintre ei au utilizat
metoda de calcul a lui pentru a demostra virtutile noilor instrumente.

Prin 1949, in 70 de ore timp-computer numarul de zecimale a lui a fost
extins la 2037.

In 1988, japonezul YAsumasa Kanada, specialist in computere, ajungea la
201326000 de zecimale si planuia sa mearga mai departe. Calculul efectuat de el
in 1988 a necesitat numai 6 ore timp-computer.

 2/pi = (1.3.3.5.5.7....)/(2.2.4.4.6.6....)
 pi/4 = 1-1/3+1/5-1/7+.....
 pi/6 = tg-1(1/31/2) => pi/6 = (1/31/2)(1-

1/(3.3)+1/(5.3.3)-1(7.3.3.3.)…)

Cum problema cuadraturii cercului se reduce la
construcţia numărului pi cu rigla şi compasul
,matematicienii şi-au imaginat câteva construţii care
să aproximeze cât mai precis acest număr.
Primele aproximări s-au făcut construind segmentele
cu lungimea 22/7 (Arhimede) , 16/9 (egiptenii) şi
√10 (hinduşii).
Mult mai precise s-au dovedit următoarele
construcţii:

1. Înscriem

într-un cerc
cu raza egală cu
unitatea ,atât pătratul
cât şi triunghiul
echilateral cu metodele
cunoscute.
Suma lungimilor laturii
pătratului şi laturii
triunghiului echilateral
aproximează astfel
numărul ‫ ח‬:
l + l = 3,14626 ….

Cea mai precisă construcţie
pentru numărul ‫ ח‬,
cu rigla şi compasul , cunoscută până
acum este următoarea :
Se construiesşte segmentul
sumă AB alcătuit din segmentele AC =
9/5 şi CB = 1
Stabilim mijlocul O al acestui segment
şi cu centrul în O construim un
semicerc cu diametrul
AB.Perpendiculara în C întâlneşte
semicercul în D
Cu centrul în C construim un arc de
cerc cu raza AC care intersectează
dreapta CD , de cealaltă parte a dreptei
AB faţă de D , în punctul E . Cum
precizam, segmentul DE aproximează
foarte bine numărul ‫ ח‬.
DE = CD + CE = ACxAB +AC= AC
+ AC = 1,8 + 1,8  3,14164

2.

O foarte bună aproximaţie o datorăm construcţiei realizate de bibliotecarul
regelui polonez Ioan al III –lea .
Construim cercul cu raza de 1 (de centru O ),un diametru AB şi o tangentă în A la
acest cerc.Cu centrul în A construim un arc de cerc de raza 1care intersectează
cercul dat în punctul C şi cu centrul în C construim un arc de cerc de aceeaşi rază
1 care intersectează primul cerc construit în D . Dreapta OD taie tangenta în A
la cercul iniţial în punctul E.
Pe tangenta la A în sensul EA construim
un segment EF de trei ori mai mare decât
raza cercului iniţial .Lungimea BF a
ipotenuzei triunghiului dreptunghic AFB , reprezintă numărul ‫ ח‬. În realitate
lungimea acestui segment este 1/3 120  18 3  3,14153.

In calculul
profilului aripii unui
avion apar sute si
chiar mii de
formule care contin
numarul si ca
proiectantii din
domeniu nu au voie
sa foloseasca
pentru aproximarea
lui mai putin de 14
zecimale exacte?”


 In cazul raurilor, aparitia lui este
rezultatul unei lupte dintre ordine si haos.
Raportul egal cu PI este, cel mai adesea, gasit
pentru rauri ce curg in campii foarte putin
inclinate, cum sunt cele din Brazilia sau tundra
siberiana."

 Cercetari efectuate de-a lungul secolului 20 au scos
la iveala faptul ca Marea Piramida dovedeste
cunoasterea de catre preotii si arhitectii egipteni antici a
numarului Pi (3,14), pana la cinci zecimale; ca Arhimede
s-a inspirat din aceste calcule egipetene si ca arhitectul
antic Sostrate s-a bazat si el pe descoperirile
matematicienilor-preoti egipteni, cand a construit
“Oglinzile incendiatoare” ale Farului de la Alexandria.