Transcript Slide-uri TS 3 2006-2007

Transfigurarea schemelor bloc functionale
Se considera sistemul cu schema bloc structurala din figura de mai jos
si se cere determinarea relatiei intrare-iesire (Y(s) functie de U1(s) si
U2(s).
Rezolvarea pe baza ecuatiilor sistemului este laborioasa: se pot scrie
10 ecuatii (6 blocuri + 6 sumatoare) urmand a se elimina 9 marimi
intermediare
• sumatorul A se suprapune peste sumatorul B; dispare legatura CA si apare
legatura CB prin G1-1(s);
• sumatorul D trece la stanga sumatorului E;
• punctul de ramificare F trece in H; dispare legatura IF si apare legatura HI prin
G3-1(s);
• se obtine urmatoarea schema:
• echivalarea conexiunilor serie;
• echivalarea conexiunilor reactie;
• se obtine urmatoarea schema:
G7 ( s )  G1 ( s )G2 ( s )
G3 ( s )
G8 ( s ) 
1  G3 ( s )G4 ( s )
1
1
1
3
G9 ( s )  G ( s )G ( s )G5 ( s )
• echivalarea conexiunilor pralel;
• deplasarea sumatorului de la iesirea lui G7(s) la intrarea sa si comutarea cu
celalalt sumator;
• echivalarea conexiunii serie formate din G7(s) si G8(s);
• se obtine urmatoarea schema:
G10 ( s )  G7 ( s)G8 ( s)
G11 ( s)  G6 ( s )  G9 ( s)  G6 ( s )  G11 ( s )G31 ( s )G5 ( s )
Y ( s)  G01 ( s )U1 ( s)  G02 ( s)U 2 ( s )
G10 ( s)
G7G8
G1G2G3
G01 ( s ) 


1 1
1  G10 ( s)G11 ( s ) 1  G7G8 (G6  G1 G3 G5 ) 1  G2G5  G3G4  G1G2G3G6
G71 ( s )G10 ( s )
G8
G3
G02 ( s) 


1  G10 ( s )G11 ( s ) 1  G7G8 (G6  G11G31G5 ) 1  G2G5  G3G4  G1G2G3G6
Grafuri de fluenta
Transfigurarea schemelor bloc functionale face apel la experienta si intuitia
analistului
Pe de alta parte, prelucrarea unei scheme bloc structurale trebuie sa fie
expeditiva.
Un graf de fluenta de tip MASON este o retea formata din noduri legate prin
arce orientate.
Nodurile initial si final ale unui arc au semnificatia de marime de intrare si
marime de iesire. In aceste conditii, arcul orientat este caracterizat de
functia de transfer.
Conexiunea serie
Conexiunea paralel
Conexiunea cu reactie
Exemplu: graf asociat unui sistem algebric
 a11 y1  a12 y2  b1u1  y1

a21 y1  a22 y2  b2u2  y2
 (1  a11 ) y1  a12 y2  b1u1

 a21 y1  (1  a22 ) y2  b2u 2
Pe baza regulii lui Cramer se obtine:
1  a22
a12

 y1   b1u1   b2u2

1  a11
a21
 y2 
b2u2 
b1u1



  (1  a11 )(1  a22 )  a12 a21  1  a11  a22  a12 a21  a11a22  0
  (1  a11 )(1  a22 )  a12 a21  1  a11  a22  a12 a21  a11a22  0
Suma coeficientilor tuturor buclelor
Produsul coeficientilor buclelor care nu au
noduri comune
1  a22
a12

 y1   b1u1   b2u2

1  a11
a
 y2 
b2u2  21 b1u1



  (1  a11 )(1  a22 )  a12 a21  1  a11  a22  a12 a21  a11a22  0
Numaratorii pentru y1
Asociat lui u1 apare (1-a22)b1 care se obtine
din Δ prin pastrarea numai a coeficientilor
arcelor care nu au noduri comune cu arcul de
la u1 la y1, adica (1-a22) care se inmulteste cu
coeficientul b1 al arcului dintre u1 si y1
Asociat lui u2 apare a12b21 in care a12b2 este
coeficientul arcelor de la u2 la y1 si 1 se
obtine din Δ din care s-au eliminat coeficientii
tuturor buclelor care au noduri comune cu
nodurile situate pe calea de la u2 la y1.
In general, valoarea transmitantei Tij dintre
nodurile i si j , respectiv dintre marimile xi si xj
se obtine cu formula lui MASON:
1
Tij   (Cij ) k ( ij ) k
 k
in care:
• suma dupa k se face pentru numarul maxim de cai intre nodurile i si j (toate
arcele fiind parcurse in sensul fluentei);
• (Cij)k este transmitanta caii directe (nu se trece de doua ori prin acelasi nod), de
indice k, intre nodurile i si j;
• Δ este determinantul grafului, care se calculeaza cu formula:
N
  1   Bn 
n 1
M ,Q
B
m, q 1
m
Bq   Br Bs Bt  ...
unde Bq (de la 1 la N) sunt tranmitantele buclelor existente in graf.
REGULA DE DETERMINARE A LUI Δ
Δ=1-(suma transmitantelor tuturor buclelor)+(suma produselor transmitantelor
tuturor combinatiilor de doua bucle care nu au noduri comune)-(suma produselor
transmitantelor tuturor combinatiilor de trei bucle care nu au noduri comune)+…
• (Δ ij)k este cofactorul (relativ la Δ) al caii k. Acesta se determina din Δ eliminand
buclele care nu au noduri comune cu calea k
Exemplu 1:
Exemplu
Numarul de bucle este N=3 cu
transmitantele:
B1=-G2G5
B2=-G3G4
B3=-G1G2G3G6
Δ=1+ G2G5+G3G4+G1G2G3G4
deoarece toate buclele au noduri
comune
Caile directe sunt:
• de la U1 la Y: (C1)1=G1G2G3; rezulta (Δ1)1=1
• de la U2 la Y: (C2)1=G3; rezulta (Δ2)1=1
Rezulta functiile de transfer:
G3
Y G1G2G3
Y
G01 

, G02 

U1

U2 
Exemplu 2: aplicarea formulei lui Mason
Se cere determinarea functiei de transfer echivalente
Pentru aplicarea formulei lui Mason nu este necesar sa se deseneze graful; se
vor numerota marimile din sistem, ca in figura.
Numarul de bucle este N=3 si u transmitantele:
• 4-5-6-7-9-4 cu transmitanta B1=-G2G3G6
• 6-7-8-10-6 cu transmitanta B2=G3G4G5
• 2-3-4-5-6-7-8-11-2 cu transmitanta B3=G1G2G3G4G7
Δ=1+G2G3G6-G3G4G5+G1G2G3G4G7 deoarece toate buclele au noduri comune
Calea directa de la U la Y este 1-2-3-4-5-6-7-8 (C1)1=G1G2G3G4; rezulta Δ1=1
G1G2G3G4
G0 

Grafurile de fluenta din ultimele doua exemple fac parte dintr-o clasa
caracterizata de:
• toate buclele au noduri comune, ca urmare Δ=1-(suma transmitantelor
tuturor buclelor);
• toate caile directe au noduri comune cu toate buclele, ca urmare Δk=1,
k=1…N
Schemele bloc ale sistemelor tehnice fac parte (de regula) din aceasta clasa
de grafuri de fluenta. Pentru aplicarea formulei lui Mason in astfel de cazuri
se utilizeaza urmatoarea regula:
Functia de transfer echivalenta intre marimea de intrare si marimea de iesire
este egala cu raportul dintre suma functiilor de transfer ale cailor directe
intre cele doua marimi si 1 minus suma algebrica a functiilor de transfer ale
buclelor (care au, dupa caz, semnul “-” pentru reactia negativa si semnul “+”
pentru reactia pozitiva).