Transcript algebra7ecuatii
LECTII PE CALCULATOR
MATEMATICA
Clasa a VII-a
ALGEBRA
Semestrul II
REALIZAT DE PROF. TIT CUPRIAN SAM SARICHIOI JUDETUL TULCEA
.
ECUATII
SI
SISTEME
PROPRIETATILE EGALITATII IN
R
1. Oricare ar fi numerele reale, a, b, c, d, daca a = b si c = d, atunci
a + c = b + d
2. Oricare ar fi numerele reale, a, b, c, d, daca a = b si c = d, atunci
a – c = b – d
3. Oricare ar fi numerele reale, a, b, c, d, daca a = b si c = d, atunci
a
c = b
d
4. Oricare ar fi numerele reale, a, b, c, d, daca a = b si c = d, si c
0, d
0, atunci
a : c = b : d Daca a=b si b=a.
Daca a = b si b = c atunci a = c a + 0 = a
a + b = b + a
.
E C U A Ţ I I I N
R
Propozitia cu o variabila de forma ax + b = c se numeste ecuatie cu o necunoscuta.
Intr-o ecuatie avem ,,dreptul” de a trece termeni dintr-un membru in alt membru cu semnul schimbat.
Intr-o ecuatie avem ,,dreptul” de inmulti/imparti egalitatea cu un numar diferit de zero.
EXEMPLU: 2x + 9 = 5x + 30 2x – 5x = 30 - 9 -3x = 21
:(-3) x = -7.
Tit Cuprian – Sarichioi - 2009
.
INECUAŢII IN
R
Propozitia cu o variabila de forma ax + b < c (sau >,
,
) se numeste inecuatie cu o necunoscuta.
Intr-o inecuatie avem ,,dreptul” de a trece termeni dintr-un membru in alt membru cu semnul schimbat.
Intr-o inecuatie avem ,,dreptul” de inmulti/imparti egalitatea cu un numar diferit de zero.
ATENTIE! Cand impartim/inmultim inecuatia cu un numar negativ, sensul inegalitatii se schimba!
EXEMPLU: 5x – 8 > 7x + 4 5x – 7x > 4 + 8 -2x > 12
: (-2) x < -6
Tit Cuprian – Sarichioi - 2009
.
ECUAŢII DE FORMA
ax + b = 0
•
Propozitia cu o variabila de forma ax + b = 0 se numeste ecuatie cu o necunoscuta, unde
a
si
b
sunt EXEMPLU:
x
Rezolvati ecuatia
3
x
5 2
x
4 5
numere rationale.
•
Intr-o ecuatie avem ,,dreptul” de a trece Stabilim cmmmc al numitorilor si amplificam fractiile: Amplificam numaratorii si scriem ecuatia fara
4 )
x
3 6 )
x
5 3 ) 2
x
4 12 ) 5 12
termeni dintr-un membru
4
x
6
x
30 3
x
60
numitori: in alt membru cu semnul schimbat.
Trecem termenii dintr-un membru in alt membru cu semnul schimbat:
4
x
6
x
3
x
60 30 •
Intr-o ecuatie avem ,,dreptul” de inmulti/imparti egalitatea cu un numar diferit de zero. Procedeul este utilizat pentru eliminarea numitorilor si la final aflarea necunoscutei.
Efectuam operatiile de adunare/scadere: Impartim ecuatia prin coeficientul necunoscutei: In final, aflam radacina ecuatiei:
5
x
30 5
x
30 : ( 5 )
x
6
.
Tit Cuprian – Sarichioi - 2009
ECUATII DE FORMA ax + by + c = 0
Ecuatia de aceasta forma, in multimea numerelor reale, are o infinitate de perechi de solutii. Pentru orice valoare data a lui
x
R se obtine o valoare a lui y
R.
Multimea solutiilor acestei ecuatii in R, reprezentata intr-un sistem XOY, este o dreapta.
Fie ecuatia: 2x + 3y = 11 Daca x = 1, rezulta y = 3; A(1;3) Daca x = 4, rezulta y = 1; B(4;1)
y
In multimea numerelor naturale, o ecuatie de forma ax+by+c=0, are un numar limitat de solutii.
Fie ecuatia 2x + 3y = 21 Extragem pe y din ecuatia data, in functie de x.
y
21 2
x
3
Sa dam valori lui x
N, astfel incat sa obtinem y
N, si trecem valorile intr-un tabel simplu: A(1;3) B(4;1)
x x
y 0 7 3 5 6 3 9 1 0
Tit Cuprian – Sarichioi - 2009
.
SISTEME DE DOUA ECUATII CU DOUA NECUNOSCUTE
M E T O D A R E D U C E R I I
Daca avem spre rezolvare sistemul de doua ecuatii cu doua necunoscute:
2 7
x x
3 2
y y
19 4
Daca dorim sa aplicam metoda reducerii, atunci sa ne hotaram ce necunoscuta dorim s-o reducem (,,mai lumeste, sa scapam de ea”).
EU, m-am hotarat sa ,,scap” de
y
Identific coeficientii lui
y
!
din cele doua ecuatii si aflu c.m.m.m.c al lor.
Acestia fiind +3 si -2, c.m.m.m.c. este 6; Imi pun intrebarea: cu cat sa inmultesc cele doua ecuatii astfel incat sa obtin coeficientii lui
y,
numere opuse. Pentru asta, voi inmulti prima ecuatie cu 2 si a doua ecuatie cu 3. dupa cum vedeti:
2 7
x x
3 2
y y
19 4 3 2 4 21
x x
6 6
y y
38 12
Tragem linia si adunam cele doua ecuatii, obtinand: Rezolvand ecuatia 25 x = 50, vom afla 25x
= 50 x = 2 Continuare in pagina urmatoare:
Tit Cuprian – Sarichioi - 2009
.
M E T O D A R E D U C E R I I
Fiind dat sistemul, in continuare sa-l rezolvam tot prin metoda reducerii, de data aceasta reducand necunoscuta
x.
2 7
x x
3 2
y y
19 4
Acuma ne gandim care este c.m.m.m.c. al coeficientilor lui
x
din cele doua ecuatii; coeficientii fiind +2 si +7, c.m.m.m.c. este 14; vom inmulti prima ecuatie cu +7 si a doua ecuatie cu –2, astfel incat sa obtinem coeficientii lui
x
, numere opuse:
7 2
x x
2 3
y y
4 19 7 ( 2 ) 14
x
14
x
21
y
4
y
133 8
+ 25y = 125 Tragem linia si adunam termen cu termen, obtinand: Rezolvand ecuatia 25 y = 125, vom afla y = 5 Verificare: Se introduc valorile lui x si y in sistem:
2 7
x x
3 2
y y
19 4 2 7 2 2 3 2 5 5 19 4 4 14 15 10 19 4
Tit Cuprian – Sarichioi - 2009
.
SISTEME DE DOU ECUATII CU DOUA NECUNOSCUTE
METODA SUBSTITUŢIEI Daca avem spre rezolvare sistemul de doua ecuatii cu doua necunoscute:
2 3
x x
5
y y
Din 3x + y = 7
7 16
Alegem o ecuatie din cele doua ale sistemului, evident mai usoara din punct de vedere al coeficientilor, si scoatem o necunoscuta in functie de cealalta: y = 7 – 3x; introducem valoarea lui y in cealalta ecuatie si 2x – 5(7 –3x) = 16; 2x – 35 + 15x = 16;
rezolvam ecuatia in necunoscuta x .
17x = 16 + 35;
x
Dupa ce am aflat valoarea lui x = 3, aceasta o introducem 17x = 51; = 51:17 = 3 .
intr-una din cele doua ecuatii, care va deveni o ecuatie in necunoscuta y, si o rezolvam: 3x + y = 7
3
3 + y = 7
9 + y = 7
y = 7 – 9
y = –2.
.
Tit Cuprian – Sarichioi - 2009
REZOLVAREA DE PROBLEME CU AJUTORUL ECUATIILOR SAU A SISTEMELOR DE ECUATII
Rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuatiilor sau a sistemelor de ecuatii presupune urmatoarele etape de rezolvare: 1. Stabilirea datelor cunoscute si a celor necunoscute din problema.
2. Alegerea necunoscutei (necunoscutelor) si exprimarea celorlalte date necunoscute in functie de aceasta (acestea).
3. Alcatuirea unei ecuatii (sistem de ecuatii) cu necunoscuta (necunoscutele) aleasa (alese), folosind datele problemei.
4. Rezolvarea ecuatiei (sistemului de ecuatii).
5. Verificarea solutiei.
6. Formularea concluziei (raspunsului) problemei.
.
Tit Cuprian – Sarichioi - 2009
PROBLEMA REZOLVATA
Intr-un triunghi, ABC, masura unghiului B este dublul masurii unghiului A iar masura unghiului C este cu 25% mai mica decat masura unghiului B. Aflati masurile unghiurilor triunghiului ABC.
REZOLVARE:
1. Identificam necunoscuta principala, aceasta fiind masura unghiului A.
Notam
x
= masura unghiului A.
2. A doua necunoscuta, este masura unghiului B, care fiind dublul masurii lui A, va fi 2x. 3. A treia necunoscuta, este masura unghiului C, care este cu 25% mai mica decat masura lui B, adica este 75% din masura lui B.
Aceasta va fi 75% din 2x adica 0,75
2x = 1,5x.
4. Suma celor trei unghiuri este egala cu 180 0 . 5. Avem realizata ecuatia: x + 2x + 1,5x = 180 0 6. Rezolvarea ecuatiei: 4,5x = 180 0 x = 180 0 :4,5 x = 40 0 7. Concluzia: -masura unghiului A este egala cu 40 0 . -masura unghiului B este egala cu 80 0 . -masura unghiului C este egala cu 60 0
Tit Cuprian – Sarichioi - 2009
.
PROBLEMA REZOLVATA
Intr-un bloc sunt apartamente cu 2 si respectiv 3 camere. Daca in total sunt 11 apartamente si 26 de camere, aflati cate apartamente cu 2 camere si respectiv cu 3 camere sunt in bloc.
REZOLVARE: Notm cu x numarul de apartamente cu 2 camere si cu y numarul de apartamente cu 3 camere. Din propozitia ca in bloc sunt 11 apartamente
x + y = 11 Din propozitia ca in bloc sunt in total 26 camere
2x + 3y = 26 Punand cele doua ecuatii intr-un sistem de ecuatii, vom avea:
2
x x
y
3
y
11 26
Aplicand, de exemplu, metoda reducerii, avem:
x
2
x y
11 3
y
( 3 ) 26 3
x
3
y
33 2
x
3
y
26
–x
= –7 Deci, x = 7 apartamente cu 2 camere.
Daca in total sunt 11 apartamente, rezulta ca
Tit Cuprian – Sarichioi - 2009
y = 4 apartamente cu 3 camere.
.
SFARSIT
.