LECŢII PE CALCULATOR

MATEMATICĂ

Clasa a VII-a

ALGEBRĂ

Semestrul I

Realizat de prof. TIT CUPRIAN

Tit Cuprian – Sarichioi - 2008

MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALE

Tit Cuprian – Sarichioi - 2008

MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALE

Un numar rational se poate exprima fie printr-un cat neefectuat, m:n, fie printr-o fractie ordinara, ,

n

fie printr-o fractie zecimala finita sau periodica (catul efectuat al numerelor naturale sau intregi m si n, n



0).

AMPLIFICAREA

a

)

n m



m



a n



a

,

a

SIMPLIFICAREA

 0

m n

(

a



m

:

a

,

a n

:

a

 0

Unde a = c.m.m.d.c. a lui m si n.

Tit Cuprian – Sarichioi - 2008

Multimea numerelor rationale o notam cu Q.

Q



m m



Z n şi n



Z

* 

Q + = multimea numerelor rationale pozitive.

.

SCRIEREA NUMERELOR RAŢIONALE SUB FORMA ZECIMALĂ SAU FRACŢIONARĂ

TRANSFORMAREA UNEI FRACTII ORDINARE IN FRACTIE ZECIMALA Se face prin efectuarea catului dintre numaratorul si numitorul fractiei: EXEMPLE:

7 5  1 , 4 ; 11 3  3 , ( 3 ); 32 15  2 , 1 ( 3 )

TRANSFORMAREA UNEI FRACTII ZECIMALE IN FRACTIE ORDINARA: EXEMPLE:

1 , 8 2 , ( 3 )   10 23  2  9 18 ( 2 9  21 ( 3  9 5 7 3 2 , 1 ( 3 ) 4 , 2 ( 45 )   213  21 90 4245  42 990   192 ( 6 90 4203 990 ( 9   32 15 467 110

Tit Cuprian – Sarichioi - 2008

.

REPREZENTAREA PE AXĂ A NUMERELOR RAŢIONALE

Pentru a reprezenta pe o axa mai multe numere rationale, este indicat ca numerele rationale sa fie ordonate crescator. Pentru ordonarea acestora, aceste numere este necesar sa aiba aceeasi forma de prezentare – sub forma de fractii ordinare cu acelasi numitor. EXEMPLU: Fie multimea A = {-1,5; 3,(3); 0; -2,2; 3,3; -2,(2); 1,5} Transform numerele date in fractii ordinare:

 1 , 5   3 ; 3 , ( 3 )  10 ;  2 , 2   11 ; 3 , 3  33 ;  2 , ( 2 )  2 3 5 10

Aducem fractiile la acelasi numitor (in cazul nostru acesta este 90):

 20 ; 9 1 , 5  3 2  3 2   135 ; 90 10 3  300 90 ;  11 5   198 ; 90 33 10  297 90 ;  20 9  

Acuma, dupa comparatia numerelor , le putem reprezenta pe o axa:

200 ; 90 3 2  135 90

-2,(2) -2,2 -1,5 0 Se poate aborda si o alta strategie.

Tit Cuprian – Sarichioi - 2008

-1,5 3,3 3,(3) .

OPUSUL, INVERSUL, MODULUL UNUI NUMĂR RAŢIONAL

OPUSUL UNUI NUMAR RATIONAL Opusul lui a este –a, astfel incat a + (-a) = 0 Exemple: opusul lui 2,5 este -2,5; opusul lui -4,8 este 4,8.

INVERSUL UNUI NUMAR RATIONAL Inversul lui a este

1

a

Exemple:

Inversul lui

astfel incat

2 5

este

5 2 ;

a

 1

a

 1

Inversul

MODULUL UNUI NUMAR RATIONAL

a

   

a a

, ,

dacă dacă a

 0

a

 0

Tit Cuprian – Sarichioi - 2008

lui

EXEMPLE:



5



= 5;



-2



= 2

3

este

1 3 ;

.

ADUNAREA/SCĂDEREA NUMERELOR RAŢIONALE Adunarea/scaderea fractiilor ordinare: -Se afla numitorul comun al fractiilor date; -Se amplifica corespunzator fractiile date; -Numaratorii amplificati se aduna/scad deasupra aceleasi linii de fractie.

EXEMPLU:

3 ) 5 4  4 ) 2 3  6 ) 1 2

Adunarea/scaderea fractiilor zecimale finite:

 15  8  6 12  17 12

-Se aseaza numerele unul dedesubtul celuilalt, astfel incat virgulele sa fie una algoritmului cunoscut;

2,15+

dedesubtul celeilalte; -Se face adunarea/scaderea conform

49,30

-Virgula se pune la rezulta, ,,coborand-o’’ pe

51,45

verticala.

Tit Cuprian – Sarichioi - 2008

.

PROPRIETATILE ADUNARII IN MULTIMEA

Q

•

Adunarea este asociativa:

•

Adunarea este comutativa:

•

Elementul neutru al adunarii este 0: (a + b) + c = a + (b + c) a + b = b + a a + 0 = 0 + a = a

•

Pentru orice a exista –a, opusul lui a, astfel incat: a + (–a) = (–a) + a = 0

Tit Cuprian – Sarichioi - 20078

.

INMUL

Ţ

IREA NUMERELOR RA

Ţ

IONALE

Prin inmultirea a doua numere rationale reprezentate prin fractii ordinare se obtine o fractie ordinara unde numaratorul este produsul numaratorilor si numitorul este produsul numitorilor.

2 5  7 9  2  7 5  9  14 45

Inmultirea semnelor:

Este comutativa a



b = b



a

factor factor produs

Este asociativa a



(b



c) = (a



b)



c

+ + +

Elementul neutru este 1 a



1 = 1



a = a

+ + -

Este distributiva fata de adunare/scadere

+

a



(b+c)=a



b+a



c

Tit Cuprian – Sarichioi - 2008

.

IMPĂRŢIREA NUMERELOR RAŢIONALE

Pentru a imparti doua fractii ordinare, se inmulteste prima fractie cu a doua fractie inversata.

12 19 : 9 38  12 19  38 9  456 171

Impartirea semnelor este la fel ca la inmultirea semnelor.

( 57  8 3

TEOREMA IMPARTIRII CU REST:

d = i



c + r

r < i

Tit Cuprian – Sarichioi - 2008

Unde: d = deimpartitul i = impartitorul c = catul r = restul .

PUTEREA UNUI NUMĂR RAŢIONAL

a

Daca

b

este un numar rational, atunci

a b m



a m b m

Atunci cand exponentul este un numar negativ, avem:

  

a b

   

m

   

a b

  

m



b m a m

  

Reguli de calcul cu puteri: a m



a n =a m+n

3 2    5     2 3    7     2 3    12

a m :a n =a m-n (a m ) n =a mn (a



b) m =a m



b m

         2 3 4 5     2 3    15 :    2 3    7     2 3    8 6    7 2 3    8  2 3 4 5 42 8 

(–a) n =

   

a n

,

a n

,

daca daca n este este par impar

2 3 8

Tit Cuprian – Sarichioi - 2008

.

ORDINEA EFECTUĂRII OPERAŢIILOR ŞI FOLOSIREA PARANTEZELOR

•

Intr-un exercitiu de calcul ce contine mai multe operatii cu numere rationale se efectueaza mai intai ridicarile la putere, apoi inmultirile si impartirile in ordinea in care sunt scrise si apoi adunarile si scaderile in ordinea in care sunt scrise.

•

In exercitiile de calcul care contin paranteze se efectueaza mai intai calculele din parantezele mici (rotunde), apoi cele din parantezele mari (drepte) si apoi cele din acolade.

•

Daca in fata unei paranteze ce contine un numar rational sau o suma de numere rationale se afla simbolul ,,–”, atunci se poate elimina acesta si paranteza, scriind numerele din paranteza cu semn schimbat.

  12  10  4  9    12  10  4  9

Tit Cuprian – Sarichioi - 2008

.

ECUAŢII DE FORMA

ax + b = 0

•

Propozitia cu o variabila de forma ax + b = 0 se numeste ecuatie cu o necunoscuta, unde

a

si

b

sunt EXEMPLU:

x

Rezolvati ecuatia

3 

x

 5 2 

x

4  5

numere rationale.

•

Intr-o ecuatie avem ,,dreptul” de a trece Stabilim cmmmc al numitorilor si amplificam fractiile: Amplificam numaratorii si scriem ecuatia fara

4 )

x

3  6 )

x

 5  3 ) 2

x

4  12 ) 5  12

termeni dintr-un membru

4

x

 6

x

 30  3

x

 60

numitori: in alt membru cu semnul schimbat.

Trecem termenii dintr-un membru in alt membru cu semnul schimbat:

4

x

 6

x

 3

x

 60  30 •

Intr-o ecuatie avem ,,dreptul” de inmulti/imparti egalitatea cu un numar diferit de zero. Procedeul este utilizat pentru eliminarea numitorilor si la final aflarea necunoscutei.

Efectuam operatiile de adunare/scadere: Impartim ecuatia prin coeficientul necunoscutei: In final, aflam radacina ecuatiei:

 5

x

 30  5

x

 30 : (  5 )

x

  6

.

Tit Cuprian – Sarichioi - 2008

REZOLVAREA DE PROBLEME CU AJUTORUL ECUAŢIILOR

Etape de rezolvare a unei probleme: 1) Stabilirea datelor cunoscute si a celor necunoscute din problema.

2) Notarea unei date necunoscute cu x si exprimarea celorlalte date necunoscute in functie de x. 3) Scrierea unei ecuatii cu necunoscuta x, folosind datele problemei.

4) Rezolvarea ecuatiei.

5) Verificarea solutiei.

6) Formularea concluziei (raspunsului problemei).

REZOLVARE EXEMPLU Intr-un triunghi ABC, masura unghiului B este de doua ori mai mare decat masura unghiului A iar masura unghiului C este 75% din masura unghiului B. Aflati masura unghiului A.

1) Notam masura unghiului A cu x.

2) Din datele problemei rezulta ca masura unghiului B este egala cu 2x.

La fel din datele problemei rezulta ca masura unghiului C este 75% din 2x, adica este egala cu 1,5x .

3) Daca suma masurilor unghiurilor intr-un triunghi este egala cu 180 0 , atunci obtinem ecuatia: 4) x + 2x + 1,5x = 180 In urma rezolvarii ecuatiei, obtinem x = 40 0 .

5) Verificam solutia: 40 + 80 + 60 = 180.

Tit Cuprian – Sarichioi - 2008

.

RAPOARTE ŞI PROPORŢII

a

Raportul numerelor rationale a si b, b



0 este a:b si se scrie numesc termenii raportului.

b

a si b se Exercitiul 1.

Sa se afle valoarea raportului dintre numerele a = 12 si b = 16.

Rezolvare:

a b

 12 ( 4 16  3 4

sau

a b

 12 16  0 , 75

PROPORTIA este egalitatea a doua rapoarte. Daca avem a, b, c, d, asa incat:

a



c b d

este o proportie, cu extremii a si d si mezii b si c.

PROPRIETATEA FUNDAMENTALA A PROPORTIILOR:

a b



c

daca si numai daca a



d=b



c

d

Tit Cuprian – Sarichioi - 2008

Aflarea unui termen necunoscut dintr-o proportie:

produsul mezilor un extrem



celalalt extrem

EXEMPLU Aflati x din:

x

9  5 3

x

 9  5  3 45  15 .

3

.

.

DERIVAREA PROPORŢIILOR

Derivarea unei proportii cu aceiasi termeni a) Schimband extremii intre ei b) Schimband mezii intre ei

2 3 2 3  8  12 8 12  

c) Inversand rapoartele

2  8  3 12

Derivarea unei proportii cu alti termeni -se inmultesc/impart termenii unui raport cu acelasi numar nenul: -se inmultesc/impart numitorii/numaratorii cu acelasi numar nenul: -se aduna/scad la numaratori numitorii: -se aduna/scad la numitori numaratorii: -se egaleaza un raport cu raportul obtinut prin adunarea/scaderea numaratorilor si respectiv a numitorilor:

Tit Cuprian – Sarichioi - 2008

12 3 2 8  8  3 2 12 3 2  12 8

a b



c d



a b

 

k k



c d a b a b a b



c



d c



d c d a b



c d

   

a a b a b b

 

k b a

 

c



k



b a



c d



d c d

 

d b c d a



c

 

c d

.

ŞIRUL DE RAPOARTE EGALE

Daca avem: 1.

2.

3.

4.

a m



b n



c p a m



b n



c p a m



b n



c p a m



b n



c p

atunci: atunci: atunci: atunci:

a m



b n



c p



a



m



b



c n



p r

)

a m



s

)

b n



t

)

c p



ar



bs mr



ns



ct



pt a

(

r m



b n

(

s



c

(

t p



a m

: :

r r

 

b n

: :

s s

 

c p

:

t

:

t a m k



b n k

  

c p

 

k



a m k k

 

b k n k

 

c k p k

5.

a m



b n



c

atunci:

a m



b n



c



k

;

a



mk

;

b



nk

;

c



pk

.

p p

Observatie: Daca este nevoie ca un termen al unui raport sa fie negativ, atunci ambii termeni ai aceluiasi raport trebuie sa fie negativi !

Tit Cuprian – Sarichioi - 2008

.

DIRECTA ŞI INVERSA PROPORŢIONALITATE

Daca avem doua multimi: A = {a, b, c, d} si B = {l, m, n, p} atunci: 1.

Multimile A si B sunt in relatie de directa proportionalitate, si:

a



b



c



d

2.

Multimile A si B sunt in relatie de inversa proportionalitate, si:

a b c



d

1  1  1 1

l m n p l m

EXEMPLU: Impartiti numarul 111 in trei parti invers proportionale cu:

n

3 ; 1 2

si p

4 .

atunci se formeaza un sir de rapoarte egale, cu numitorii inverselor numerelor date:

a



b



c



a



b



c

1 2 3 1 3 1 4 3

Atunci:

a

Tit Cuprian – Sarichioi - 2008

  2 1 1 3  36   3 4 12 ;  111 37 12

b

  111  12 37 2  36  1 72 ;  36 .

c

 3  36 4  27 .

.

P R O C E N T E

p

Rapoartele de forma

100

EXEMPLE:

25 %  25 100  1 4

se noteaza cu p% si se numesc rapoarte procentuale.

40 %  40 100 ( 20  2 5 125 %  125 100 ( 25  5 4

Din propozitia p% din a = b rezulta urmatoarele tipuri de probleme: 1. Daca se cunosc p si a atunci b = p%



a

60 %

din

55  60 100  55  3300 100  33

2. Daca se cunosc p si b, atunci a este:

30 %

din a

 18 ; 30 100 

a

 18 ;

3. Daca se cunosc a si b, atunci p este: Aplicatie: 30% din cat este egal cu 18?

a

 18  100 30  1800 ( 30 30  60 .

Aplicatie: Cat % din 64 este 16 ?

Tit Cuprian – Sarichioi - 2008

p

100  64  16 ;

p

 16  100 64  1600 ( 64 64  25 .

.

O PROBLEMA CU PROCENTE

Pretul unui produs se modifica de doua ori: prima data creste cu 40% iar a doua oara scade cu 25% din noul pret. a) Daca pretul final este de 63 de lei, aflati pretul initial. b) Cu cat la suta s-a modificat pretul de la cel initial la cel final? c) Care a fost pretul dupa prima modificare de pret?

REZOLVARE Vom propune o varianta eficace de rezolvare: 1. Vom rezolva punctul b), afland procentul ce inlocuieste cele doua procente: Putem folosi formula:

p



a



b



a



b

100

unde a si b sunt valorile procentuale.

Atentie: daca sunt majorari, valorile vor fi pozitive iar daca sunt reduceri valorile vor fi negative.

p

 40  25  40  (  25 )  15  10  5 .

Asta inseamna ca pretul a crescut cu 5%.

100

2. Vom rezolva punctul a), cunoscand rezultatul de la punctul b).

Daca pretul creste cu 5%, atunci el devine 105%.

105 100 

x

 63 ;

x

 63  100 105  6300 ( 105 105  60

lei

.

3. Vom rezolva punctul c) dupa ce am aflat pretul initial: Daca pretul creste cu 40%, atunci el devine 140%

Tit Cuprian – Sarichioi - 2008

140 %

din

60  140 100  60  8400 100  84

lei

.

.

MEDIA ARITMETICĂ

Media aritmetica a doua sau mai multe numere rationale este numarul rational obtinut prin impartirea sumei numerelor respective la numarul lor.

Daca avem: a 1 , a 2 , a 3 , …., a n , atunci:

m a



a

1 

a

2 

a n

3  ...



a n

Exemplu: aflati media aritmetica a numerelor: 3; 14; 20; 23.

MEDIA PONDERATĂ

Daca se dau numerele a 1 , a 2 , a 3 , …,a n iar fiecare numar are respectiv ponderea p 1 , p 2 , p 3 , ….,p n atunci media aritmetica ponderata va fi:

m p



a

1 

p

1

p

 1

a

 2 

p

2

p

2   ...

...

 

p n a n



p n

Exemplu: aflati media ponderata a numerelor 5, 12, 15 fiecare cu ponderile 20, 12 si 8.

m a

 3  14  20  23  4 60  15 .

m p

4  5  20  12  12  15  8 20  12  8  364 40  9 , 1 .

Tit Cuprian – Sarichioi - 2008

.