Transcript www.salvatieducatia.ro Numere naturale Scaderea (curs 3) www.salvatieducatia.ro Numere naturale (scaderea) Obiectivele acestui curs sunt: 1. Sa ne familiarizam cu scaderea numerelor naturale. 2.

www.salvatieducatia.ro
Numere naturale
Scaderea
(curs 3)
www.salvatieducatia.ro
Numere naturale
(scaderea)
Obiectivele acestui curs sunt:
1. Sa ne familiarizam cu scaderea
numerelor naturale.
2. Sa intelegem si sa ne insusim
proprietatile numerelor
naturale.
www.salvatieducatia.ro
Numerele Naturale
(scaderea)
Daca ar fi sa cautam o definitie pentru scadere ar fi
ceva de genul:
oricare ar fi a si b numere naturale, a  b , exista un
numar natural c astel incat c=a-b, unde:
- c este diferenta numerelor naturale a si b
- a si b sunt termenii diferentei
- a este descazut
- b este scazator
DE RETINUT: pentru ca doua numere naturale sa se
poata scadea trebuie ca a  b
www.salvatieducatia.ro
Numerele Naturale
(scaderea)
Acum sa incercam sa ne familiarizam cu cateva
exercitii simple:
- Sa verificam daca avem abilitatile necesare pentru a
scadea 2 numere naturale formate din 1 cifra
START TEST
Trebuie sa realizam faptul ca daca nu trecem cu
usurinta acest test nu o sa putem sa ne insusim
cunostintele care urmeaza
www.salvatieducatia.ro
Numerele Naturale
(scaderea)
E bine ca v-ati descurcat cu scaderea cifrelor deoarece sta la baza
scaderii tuturor numerelor naturale in sensul ca scaderea numerelor
presupune sa scadem cifrele echivalente ale celor 2 numere naturale,
adica o sa scadem cifra unitatilor cu cifra unitatilor, cifra zecilor cu cifra
zecilor etc, obligatoriu scaderea se face de la dreapta la stanga
(unitatile, zecile etc).
Sa facem un exercitiu pentru a intelege mai bine ce vreau sa spun:
Sa calculam 64-42=?
Pentru ca diferenta sa se poata face trebuie ca 64  42
Numarul 64 are cifra unitatilor 4 si numarul 42 are cifra unitatilor 2; 42=2 care este cifra unitatilor a diferentei numerelor.
Numarul 64 are cifra zecilor 6 si numarul 42 are cifra zecilor 4; 6-4=2
care este cifra zecilor a diferentei numerelor.
Deci 64-42=22
www.salvatieducatia.ro
Numerele Naturale
(scaderea)
Mai usor este sa asezam numerele unul sub altul si sa le scadem.
Repet pentru a fi sigur ca s-a retinut: scaderea numerelor naturale se
face scazand numerele cifra cu cifra incepand din dreapta la stanga
(unitatile, zecile etc).
Sa calculam 64-42=?
Pentru ca diferenta sa se poata face trebuie ca 64  42
Asezam numerele unul sub altul
6442
22
Si scadem cifra unitatilor cu cifra unitatilor si obtinem 2, scadem cifra
zecilor cu cifra zecilor si obtinem 2.
Aceasta reprezentare este mai usor de inteles si este bine sa o folosim
in practica pentru scaderile mai complicate sau chiar simple (de obicei
greselile le facem cand suntem siguri pe noi)
www.salvatieducatia.ro
Numerele Naturale
(scaderea)
Sa incercam acum sa complicam putin exercitiul. Ce se intampla daca
atunci cand facem diferenta cifrelor (unitatilor, zecilor, etc) scazatorul
este mai mare decat descazutul?
Sa calculam 68-29=?
Pentru ca diferenta sa se poata face trebuie ca 68  29
Asezam numerele unul sub altul
6829
39
Scadem cifra unitatilor cu cifra unitatilor, 8-9, deoarece scaderea nu se
poate face o sa luam o unitate de la zeci si in momentul in care o sa
scadem cifrele unitatilor o sa tinem minte ca trebuie sa mai scadem o
unitate, o sa avem 18-9=9 care este cifra unitatilor.
Scadem cifra zecilor cu cifra zecilor si mai scadem o unitate rezultata din
scaderea cifrelor unitatilor: 6-2-1=3. Cifra zecilor a diferentei o sa fie 3.
www.salvatieducatia.ro
Numerele Naturale
(scaderea)
Acum sa incercam sa ne familiarizam cu cateva exercitii simple:
- Sa verificam daca avem abilitatile necesare pentru a scadea 2
numere naturale formate din 2 cifre si mai mici decat 20
START TEST
- Sa verificam daca avem abilitatile necesare pentru a scadea 2
numere naturale formate din 2 cifre si mai mici decat 100
START TEST
www.salvatieducatia.ro
Numerele Naturale
(scaderea)
Dupa ce am trecut si de acest test, chiar cu riscul de a va plictisi, sa
scadem 2 numere naturale compuse din 4 cifre:
Sa calculam 8745-2468=?
Pentru ca diferenta sa se poata face trebuie ca 8745  2468
Asezam numerele unul sub altul
87452468
6277
Pentru ca 5<8 nu putem scadea direct cifrele unitatilor. Luam o unitate
de la zeci si o sa tinem minte sa o scadem de la cifra zecilor a diferentei.
Avem 15-8=7, care este cifra unitatilor a diferentei.
Pentru ca 4-1<6 nu putem scadea direct cifrele zecilor. Luam o unitate
de la sute si o da tinem minte sa o scadem de la cifra sutelor a
diferentei. Avem 14-1-6=7. Cifra zecilor a diferentei este 7.
Scadem cifra sutelor cu cifra sutelor si scadem o unitate rezultata din
scaderea cifrelor zecilor: 7-4-1=2. Cifra sutelor a sumei o sa fie 2.
Scadem cifra miilor cu cifra miilor: 8-2=6. Cifra miilor a diferentei este 6.
www.salvatieducatia.ro
Numerele Naturale
(scaderea)
Acum sa facem cateva exercitii cu scaderea
numerelor naturale compuse din 4 cifre
START TEST
Trebuie sa realizam faptul ca daca nu trecem cu
usurinta acest test nu o sa putem sa ne insusim
cunostintele care urmeaza
www.salvatieducatia.ro
Numerele Naturale
(scaderea)
Daca totul a fost rezolvat cu usurinta pana acum
(au fost exercitii de nivelul claselor I-IV), putem
sa incepem sa invatam mai multe lucruri despre
scaderea numerelor naturale.
www.salvatieducatia.ro
Numerele Naturale
(scaderea)
Proprietatile scaderii numerelor naturale:
Scaderea nu este comutativa, nici asociativa si
nici nu are element neutru.
www.salvatieducatia.ro
Numerele Naturale
(scaderea)
Proprietatile scaderii numerelor naturale:
Daca a, b, c si d numere naturale:
a) Daca a = b atunci a - c = b – c, a  c , b  c
b) Daca a = b si c = d atunci a - c = b – d, a  c , b  d
c) Daca a  b atunci a  c  b  c , a  c , b  c
d) Daca a  b si b  c atunci a  c
e) Daca a  b si c  d atunci a  d  b  c
Sa incercam sa ne explicam aceste proprietati
www.salvatieducatia.ro
Numerele Naturale
(scaderea)
a) Daca a = b atunci a - c = b – c, a  c , b  c
In acest caz, cand spunem a=b trebuie sa privim acesta
egalitate ca pe o ecuatie iar regula ar fi ca egalitatea
ramane adevarata daca scadem din termenii sai acelasi
numar. Bineinteles trebuie sa adaugam si conditia ca
scaderea se se poata face: a  c , b  c
Ca sa intelegem mai bine acest lucru ar trebui sa facem
un exemplu simplu:
8=8, daca scadem 5 din fiecare termen al egalitatii o sa
avem 8-5=8-5=3
Un exemplu mai bun este:
a+4=5, daca scadem 4 la fiecare termen al egalitatii obtinem:
a+4-4=5-4
a=1
www.salvatieducatia.ro
Numerele Naturale
(scaderea)
b) Daca a = b si c = d atunci a - c = b – d, a  c , b  d
Este varianta mai evoluata a proprietatii de la
punctul a. Acesta regula spune ca putem scadea
doua egalitati.
Facem un exemplu simplu:
11-3=8 si 3-1=2 daca scadem termen cu termen
obtinem
11-3-(3-1)=8-2=6
Un exemplu mai bun este:
a+b=5
a+b-b=5-4
a=1
b=4
www.salvatieducatia.ro
Numerele Naturale
(scaderea)
c) Daca a  b atunci a  c  b  c , a  c , b  c
Daca un numar (a) este mai mic decat un numar (b), atunci
daca scadem la fiecare din aceste numere acelasi numar
inegalitatea se mentine. Bineinteles trebuie sa fie posbilil sa
facem scaderea: a  c , b  c
Facem un exemplu simplu:
3  5 si scadem la fiecare termen al inecuatiei 2 si se obtine
ca 1  3 , inegalitate adevarata
Un exemplu mai bun este:
Avem:
a  b  11 si trebuie sa demonstram ca a  c  9
b  2c
Daca scadem termenii egalitatii la termenii inegalitatii obtinem:
a  b  b  11 (2  c)
a  11  2  c
a  9  c( c  9)
www.salvatieducatia.ro
Numerele Naturale
(scaderea)
d) Daca a  b si b  c atunci a  c
Daca un numar (a) este mai mic decat un numar (b), iar
numarul natural b este mai mic decat numarul natural c
atunci a < c, relatia este foarte simpla si logica.
Totusi sa facem un exemplu:
3  5 si 5  7 atunci este evident ca 3  7
Un exemplu mai bun este:
Avem:
a  b  2 si trebuie sa demonstram ca a  c
b  c 1
Ca sa obtinem o relatie intre a si c, deci trebuie eliminat b in
inegalitate:
a  c  1 2
a  c 1
ac
este evident ca c 1  c
www.salvatieducatia.ro
Numerele Naturale
(scaderea)
e) Daca a  b si c  d atunci a  d  b  c
Si aceasta relatie este evidenta din punctul meu de vedere.
Practic avem un numar a mai mic decat un numar b si avem
un numar c mai mic decat un numar d. Este evident ca daca
scadem la prima inecuatie din numarul mic numarul mare din
a doua inecuatie o sa fie mai mic decat diferenta dintre
numarul mare din prima inecuatie si numarul mic din a doua
inecuatie.
Facem un exemplu simplu:
11  19 si 3  5 daca scadem din termenul mai mic al primei
inecuatii termenul mai mare al celei de a doua inecuatii (11-5)
si din termenul mai mare al primei inecuatii termenul mai mic
al celei de a doua inecuatii (19-3) avem:
6  16 , relatie adevarata (se vede ca diferenta intre termeni
este mai mare).
www.salvatieducatia.ro
Numerele Naturale
(scaderea)
Ordinea efectuarii operatiilor
Daca avem de adunat si scazut mai multe numere naturale si
nu exista paranteze, numerele se pot aduna si scadea in
ordinea care vrem. Unii autori spun ca trebuie sa adunam si
sa scadem in ordine, de la stanga la dreapta.
Sa facem un exemplu:
32+41-22=?
Tinand cont ca nu avem paranteze, putem sa adunam si
scadem in ordinea in care dorim. Observam ca 32 si 22 au
aceeasi cifra a unitatilor si o sa grupam numerele in asa fel
incat sa ne folosim de acest lucru.
(32-22)+41=10+41=51
Se putea calcula si de la stanga la dreapta:
32+41-22=73-22=51
www.salvatieducatia.ro
Numerele Naturale
(scaderea)
Ordinea efectuarii operatiilor cand avem parantezele
Daca avem de adunat si scazut mai multe numere naturale si exista numere
grupate intre paranteze, atunci trebuie sa efectuam operatiile din interiorul
parantezelor sau sa eliminam parantezele.
CUM SE ELIMINA PARANTEZELE?
Avem de eliminat parantezele:
a-(b+c)=?
Ca sa eliminam paranteza trebuie sa tinem cont de semnul din fata ei. Daca in
fata parantezei este minus, atunci toate numerele din interiorul parantezei isi
vor schimba semnul dupa regula:
- daca numarul din paranteza se aduna atunci acesta se va scadea dupa
eliminarea parantezei
- daca numarul din paranteza se scade atunci acesta se va aduna dupa
eliminarea parantezei
DACA SEMNUL DIN FATA PARANTEZELOR ESTE MINUS, DUPA ELIMINAREA
PARANTEZELOR NUMERELE DIN INTERIORUL PARANTEZEI ISI SCHIMBA
SEMNUL
www.salvatieducatia.ro
Numerele Naturale
(scaderea)
In cazul nostru, a-(b+c), ca sa eliminam paranteza
trebuie sa schimbam semnul lui b si c. b are semnul “+” si
c are semnul “+”, deci vor avea semnul “-”.
Observatie: Daca un numar natural nu are trecut in fata
sa nici un semn, atunci semnul acestuia este plus (a=+a)
O sa avem a-(b+c)=a-b-c
Alt exemplu, sa eliminam parantezele:
a-(b-c)=?
Semnul lui b este “+” si o sa aibe dupa eliminarea
parantezelor semnul “-” si semnul lui c este “-” si dupa
eliminarea parantezelor o sa aibe semnul “+”
a-(b-c)=a-b+c
www.salvatieducatia.ro
Numerele Naturale
(scaderea)
Este foarte important sa retinem si sa aplicam
cu usurinta regula:
DACA SEMNUL DIN FATA PARANTEZELOR ESTE
MINUS, DUPA ELIMINAREA PARANTEZELOR
NUMERELE DIN INTERIORUL PARANTEZEI ISI
SCHIMBA SEMNUL
a-(b+c)=a-b-c
a-(b-c)=a-b+c
www.salvatieducatia.ro
Numerele Naturale
(scaderea)
Ex:
8-(7-4)=?
8-(7-4)=8-3=5
8-(7-4)=8-7+4=1+4=5
12-(9+2)=12-11=1
12-(9+2)=12-9-2=3-2=1
TEST
www.salvatieducatia.ro
Numerele Naturale
(scaderea)
In cazul in care sunt mai multe paranteze
atunci se folosesc parantezele rotunde (,
parantezele drepte [ si acoladele {. Aceasta este
si ordinea in care se fac operatiile.
Adica se rezolva operatiile din interiorul
parantezelor rotunde sau se elimina si
parantezele drepte devin paranteze rotunde iar
acoladele paranteze drepte.
Sa facem un exemplu, eliminati parantezele:
a-{b+c-[d-e-(f+g)]}=?
www.salvatieducatia.ro
Numerele Naturale
(scaderea)
a-{b+c+[d-e-(f+g)]}=?
Ordinea de efectuare a operatiilor cand avem mai
multe tipuri de paranteze este: operatiile din
interiorul parantezelor rotunde, apoi operatiile din
interiorul parantezelor drepte si la sfarsit operatiile
din interiorul acoladelor.
Semnul din fata parantezei rotunde este “-” deci
numerele din interiorul parantezei isi vor schimba
semnul iar parantezele drepte devin rotunde si
acoladele paranteze drepte:
a-{b+c+[d-e-(f+g)]}= a-[b+c+(d-e-f-g)]
www.salvatieducatia.ro
Numerele Naturale
(scaderea)
a-[b+c+(d-e-f-g)] =?
Semnul din fata parantezei rotunde este “+”
deci numerele din interiorul parantezei isi vor
pastra semnul iar parantezele drepte devin
rotunde:
a-[b+c+(d-e-f-g)]=a-(b+c+d-e-f-g)
Semnul din fata parantezei rotunde este “-” deci
numerele din interiorul parantezei isi vor
schimba semnul:
a-(b+c+d-e-f-g)=a-b-c-d+e+f+g
www.salvatieducatia.ro
Numerele Naturale
(scaderea)
Cand avem de efectuat operatii cu numerele naturale si
ne avantajeaza in calcul, putem sa introducem
parantezele
Si in acest caz se aplica aceeasi regula:
Daca semnul din fata parantezei va fi “-”, numerele care
intra in interiorul parantezei vor avea semnul schimbat.
Avem, a-b+c, introduceti numerele b si c intre paranteze
avand semnul minus in fata.
Tinand cont ca in fata parantezelor semnul este minus,
numerele b si c isi vor schimba semnul cand vor fi
introduse in paranteze:
a-b+c=a-(b-c)
www.salvatieducatia.ro
Numerele Naturale
(scaderea)
Sa vedem si unde se aplica introducerea numerelor intre paranteze.
Avem de comparat rezultatul a doua calcule. Care numar este mai
mare:
a=(450-120)+20
b=450-(110-20)
O varianta de rezolvare este sa efectuam calculele si sa vedem care
numar este mai mare. Dar o sa pierdem mai mult timp (acum este un
calcul destul de simplu dar l-as fi putut face mult mai complicat).
O alta varianta ar fi sa observam ca 450 intra in componenta ambelor
calcule si o sa incercam sa determinam a si b in functie de acest
numar:
a =(450-120)+20 =450-(120-20)=450-100
ab
b=450-(110-20)=450-90
www.salvatieducatia.ro
Numerele Naturale
(scaderea)
Sa facem un exercitiu:
Eliminati parantezele:
a) a+[b-(c+d)]
b) a-{b-[c-(d-e)]}
c) a+[b-(c+d)-(e-f)]
d) a+{b-[c-(e+f)]-[g-(h-i)]}
www.salvatieducatia.ro
Numerele Naturale
(scaderea)
Eliminati parantezele:
a) a+[b-(c+d)]=a+(b-c-d)=a+b-c-d
b) a-{b-[c-(d-e)]}=a-[b-(c-d+e)]=a-(b-c+d-e)=a-b+c-d+e
c) a+[b-(c+d)-(e-f)]=a+(b-c-d-e+f)=a+b-c-d-e+f
d) a+{b-[c-(e+f)]-[g-(h-i)]}=a+[b-(c-e-f)-(g-h+i)]=
a+(b-c+e+f-g+h-i)= a+b-c+e+f-g+h-I
Pentru mine este cel mai greu sa schimb parantezele si imi aduc
aminte ca nu le schimbam cand eram de varsta voastra. Pastram
parantezele drepte si acoladele chiar daca eliminam parantezele
rotunde. Imi era mai usor sa urmaresc calculul.
www.salvatieducatia.ro
Numerele Naturale
(scaderea)
Sa ne pregatim de ecuatii.
O sa intalniti unele probleme care dupa opinia mea
sunt destinate pregatirii lucrului cu ecuatiile.
www.salvatieducatia.ro
Numerele Naturale
(scaderea)
1. Fie a, b si c numere naturale, c=a+b. Calculati c daca
a=47 si b=89.
Ceea ce trebuie sa facem este sa inlocuim valorile lui a
si b in ecuatie.
Avem c=a+b
a=47
c=47+89
c=136
b=89
www.salvatieducatia.ro
Numerele Naturale
(scaderea)
2. Fie a, b si c numere naturale. Stim ca:
a+b=575, b-c=347, a-c=114. Calculati a,b si c.
Stim ca putem sa adunam si sa scadem termenii unor egalitati si
egalitatea sa se pastreze.
Dupa cum am mai spus, daca dorim sa determinam o
necunoscuta din mai multe ecuatii, trebuie sa incercam sa
eliminam celelalte necunoscute.
Ca sa eliminam pe b scadem a doua ecuatie din prima:
a+b-(b-c)=575-347
a+b-b+c=228
a+c=228
Ca sa eliminam pe c adunam ecuatia obtinuta cu ecuatia a treia:
a+c+(a-c)=228+114
a+c+a-c=342
2a=342
a=171
www.salvatieducatia.ro
Numerele Naturale
(scaderea)
Stim ca:
a+b=575, b-c=347, a-c=114 si am determinat a=171
Inlocuim valoarea lui a in prima ecuatie:
171+b=575
Presupunem ca nu stiti sa rezolvati inca ecuatii asa ca o sa scadem 171
din ambii termeni ai ecuatiei:
171+b-171=575-171
b=404
Inlocuim valoarea lui a in a treia ecuatie si obtinem:
171-c=114
c=57
VERIFICAM REZULTATELE
a+b=171+404=575 este bine
b-c=404-57=347 este bine
a-c=171-57=114 este bine
www.salvatieducatia.ro
Numerele Naturale
(scaderea)
3. Aflati numerele naturale de doua cifre ab si bc daca ab-ba=72.
Numerele scrise sub forma ab se pot descompune astfel:
ab=10a+b (deoarece prin inmultirea cu 10 se transforma a unitati in
zeci; ex:52=5x10+2)
Daca era un numar natural de trei cifre se scria sub forma:
abc=100a+10b+c (ex: 342=3x100+4x10+2)
ab-ba=72
10a+b-(10b+a)=72
10a+b-10b-a=72 9a-9b=72
Pentru ca numere ab si bc sa aibe doua cifre trebuia ca a  0 si b  0.
Observam ca daca 9a-9b=72 atunci 9a trebuie sa fie mai mare decat
72 (nu putem sa scadem 9b dintr-un numar mai mic decat 72 si sa
obtinem 72), deci a>8 (9x8=72).
Daca a=9 atunci 9x9-9b=72
81-9b=72
9b=81-72 9b=9 b=1
Numerele cautate sunt 91 si 19
VERIFICAM REZULTATUL 91-19=72, ESTE BINE
www.salvatieducatia.ro
Numerele Naturale
(scaderea)
Elemente de logica matematica
Daca stim despre un numar a ca este cu 5 mai mare decat un numar b
atunci il putem determina pe a adunand numarul de referinta (b) cu 5:
a=b+5
Daca stim despre un numar a ca este cu 5 mai mic decat un numar b
atunci il putem determina pe a scazand din numarul de referinta (b),
numarul 5:
a=b-5
Daca stim despre un numar ca este CU cateva unitati mai mare sau
mai mic decat alt numar atunci relatia dintre cele doua numere se
poate scrie cu semnele “+” si “-”.
www.salvatieducatia.ro
Numerele Naturale
(scaderea)
Elemente de logica matematica
Exemple:
a) a este cu 9 mai mare decat 12
Daca relatia este CU 9 mai mare atunci se aduna numarul de
referinta (12) cu numar 9 si il obtinem pe a=12+9=21
b) a este cu 4 mai mic decat 19
Daca relatia este CU 4 mai mic atunci se scade din numarul de
referinta (19) numarul 4 si il obtinem pe a=19-4=15
PROBLEMA 1
PROBLEMA 2
www.salvatieducatia.ro
Numerele Naturale
(adunarea)
Incercati sa rezolvati cat mai multe probleme din culegeri
si urmati pasii si logica prezentate in acest curs.
Daca aveti probleme in rezolvarea problemelor nu este o
rusine sa va uitati la rezolvarile/rezultatele de la sfarsitul
culegerii.
Daca vedeti rezultatul sau recomandarile pentru rezolvari
o sa va fie mai usor sa rezolvati problema.
Daca tot nu puteti rezolva problema intrebati profesorul
cum se rezolva. El TREBUIE sa va raspunda.
Incercati sa invatati zilnic la matematica. Decat sa invatati
intr-o zi 7 ore si in restul sapatamanii sa nu faceti nimic la
matematica mai bine invatati cate o ora pe zi.