www.salvatieducatia.ro

NUMERE NATURALE GENERALITATI

(CURS 1)

www.salvatieducatia.ro

Numere naturale

(generalitati) Obiectivele acestui curs sunt sa cunoastem despre numerele naturale urmatorele lucruri: 1.

Cum se scriu/citesc.

2.

3.

Cum se reprezinta pe axa numerelor naturale.

Asezarea si 4.

5.

in ordine crescatoare descrescatoare a numerelor naturale.

Reprezentarea naturale.

Aproximari naturale.

si literara a rotunjirea numerelor numerelor

• www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale

(generalitati) In matematica exista 10 cifre (arabe), si anume:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Numerele naturale se scriu combinand aceste cifre arabe. Ex: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, … Ca sa avem o vizualizare cat mai buna a multimii numerelor naturale, cel mai bine este sa le reprezentam pe o axa.

www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale

(generalitati) Pentru inceput o sa desenam o linie orizontala pe care o sa incercam sa pozitionam numerele naturale.

Ce ar mai trebui reprezentat?

www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale

(generalitati) Bineinteles ca avem nevoie de un punct de plecare si acesta este 0, cel mai mic numar natural.

In acest moment avem linia pe care reprezentam numerele naturale, avem originea, dar nu avem stabilit sensul.

www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale

(generalitati) Stabilim sensul axei prin sageata de la capatul linie. Acesta va fi sensul de crestere al numerelor naturale, numit si sensul pozitiv.

Pentru a pozitiona numerele pe axa ne lipseste “unitatea de masura”.

www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale

(generalitati) Acum avem definite toate elementele necesare pentru a reprezenta numerele naturale pe o axa: - o dreapta - un sens pozitiv - o origine - o unitate de masura Ce trebuie sa facem sa vedem pozitia unui numar pe axa?

NB! Daca ni se cere sa reprezentam pe o axa numere

naturale, este obligatoriu sa desenam figura de mai sus.

www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale

(generalitati) Trebuie sa trasam unitatea de masura pe axa (in sensul pozitiv) de atatea ori cat este valoare numarului cautat.

De exemplu, numarul 2 este pozitionat la doua unitati de masura de origine, iar numarul 4 la patru unitati de masura de origine.

www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale

(generalitati) Daca avem un numar natural n, numar natural n+1 se va reprezenta in dreapta lui n, la o unitate de masura distanta. O sa spunem despre n si n+1 ca sunt numere naturale consecutive. n este predecesorul lui n+1 n+1 este succesorul lui n

www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale

(generalitati) Dupa cum ati remarcat, cu cat un numar este reprezentat mai la dreapta pe axa numerelor naturale cu atat acest numar este mai mare. Astfel putem ordona crescator si descrescator numerele naturale.

De exemplu, daca avem numerele: 237, 458, 378, 754, 213, 563 ordinea de asezare a acestora in sensul crescator este: 213, 237, 378, 458, 563, 754 si ordinea de asezare a acestora in sensul descrescator este: 754, 563, 458, 378, 237, 213

www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale

(generalitati) Sau mai putem scrie ca: 213 < 237 < 378 < 458 < 563 < 754 si 754 > 563 > 458 > 378 > 237 > 213

www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale

(generalitati) Ca sa va fie cat mai usor sa ordonati numerele naturale in sens crescator sau descrescator cel mai bine este sa analizam numerele din punct de vedere al cifrelor sale: - numarul care are cele mai multe cifre este mai mare (ex: 1213 si 543) - daca numerele au acelasi numar de cifre, se analizeaza cifrele din stanga si anume daca cifra cea mai din stanga a unui numar este mai mare cu echivalenta de la celalalt atunci acest numar este mai mare. Daca si acestea sunt egale, se trece la urmatoarea cifra.

Ex: Sa presupunem ca trebuie sa spunem care numar este mai mare dintre 220 si 234.

Observam ca cea mai din stanga cifra a numarului 220 este cifra sutelor si este 2 iar cifra sutelor de la numarul 234 este 2. Deoarece 2=2, analizam urmatoare cifra (a zecilor). Numarului 220 are cifra zecilor iar cifra zecilor de la numarul 234 este 3. Deoarece 3>2, numarul 234 > 220

Aceasta regula va este utila numai daca nu sunteti familiarizati cu comparatia numerelor naturale. Dupa ceva exercitii aceata regula o sa va intre in reflex.

www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale

(generalitati) Sa facem cateva exercitii. Spuneti care numar natural este mai mare:

213 sau 234

Cifra sutelor este 2 la ambele numere.

Cifra zecilor este 1 la 213 si 2 la 234, cum 2>1 rezulta ca 234>213 Cifra unitatilor nu mai trebuie analizata deoarece cifra zecilor a fost diferita.

453 sau 457

Cifra sutelor este 4 la ambele numere Cifra zecilor este 5 la ambele numere Cifra unitatilor este 3 la numarul 453 si 7 la numarul 457, cum 7>2 rezulta ca 457>453

75 sau 544

Cifra sutelor este 0 la numarul 75 si 5 la numarul 544, rezulta ca 544>75.

In acest caz putem aplica regula care spune ca daca un numar are mai multe cifre decat un altul atunci acesta este mai mare.

www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale

(generalitati) Care numar natural este mai mare:

1543 sau 234

Numarul 1543 are 4 cifre in componenta iar numarul 234 are 3 cifre in componenta deci 1543>234

1897 sau 1899

Cifra miilor este 1 la ambele numere Cifra sutelor este 8 la ambele numere Cifra zecilor este 9 la ambele numere Cifra unitatilor este 7 la numarul 1897 si 9 la numarul 1899, cum 9>7 rezulta ca 1899>1897

375 sau 444

Cifra sutelor este 3 la numarul 375 si 4 la numarul 444, cum 4>3 rezulta ca 444>375 Cifrele zecilor si unitatilor nu mai trebuiesc analizate deoarece cifra sutelor a fost diferita

www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale

(generalitati) Care numar natural este mai mic:

445 sau 879

Cifra sutelor este 4 la numarul 445 si 8 la numarul 879, cum 4<8 rezulta ca 445<879 Cifra zecilor si unitatilor nu mai trebuiesc analizate deoarece cifra sutelor a fost diferita

4289 sau 4257

Cifra miilor este 4 la ambele numere Cifra sutelor este 2 la ambele numere Cifra zecilor este 8 la numarul 4289 si 5 la numarul 4257, cum 5<8 rezulta 4257<4289 Cifra unitatilor nu mai trebuie analizata deoarece cifra zecilor a fost diferita

De retinut: Pentru a stabili daca un numar este mai mare sau mai mic decat un altul avem 2 reguli 1.

Analizam care numar are in componenta mai multe cifre si stim ca cel care are mai multe cifre in componenta este mai mare 2.

Daca numerele au un numar egal de cifre in componenta, analizam cifrele similare ale numerelor de la stanga la dreapta asa cum am facut in exercitiile precedente.

Cand o sa ne familiarizam cu acest tip de operatii o sa uitam cele doua reguli si ne vor parea banale sau chiar inutile dar pana atunci o sa incercam sa le aplicam.

www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale

(generalitati) Sa facem un mic exercitiu: Aranjati in ordine crescatoare urmatorele numerele: 12, 43, 17, 34, 21, 14 si in ordine descrescatoare numerele: 25, 57, 43, 58, 79, 14 dupa ce terminati, verificati raspunsul de la pagina urmatoare.

www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale

(generalitati) Numerele asezate in ordine crescatoare sunt: 12, 14, 17, 21, 34, 43 si in ordine descrescatoare: 79, 58, 57, 43, 25, 14 daca nu ati raspuns corect mai urmariti o data cu atentie cursul de pana acum.

www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale

(generalitati) Pentru a face cateva exercitii avem nevoie sa invatam sa folosim programul Excel: Cateva notiuni de Excel

www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale

(generalitati) Daca am reusit sa ne familiarizam cu acest program este timpul sa rezolvam cateva probleme (dati click pe textele de mai jos pentru a vedea textul problemei): 1. ARANJATI IN ORDINE CRESCATOARE NUMERELE NATURALE 2. ARANJATI IN ORDINE DESCRESCATOARE NUMERELE NATURALE

www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale

(generalitati) In problemele pe care o sa le rezolvam, o sa gasim reprezentarea literara a numerelor naturale. Aceasta presupune ca numerelor naturale li se substituie litere.

Ca de exemplu: - un numar natural oarecare, format din 2 cifre se reprezinta ab, (bineinteles ca in locul lui a si b poate fi oricare alta litera) si nu uitati sa puneti

conditia ca

a

 0 .

Prin aceasta reprezentare stim ca deoarece a poate lua valori de la 1 la 9 si b de la 0 la 9

www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale

(generalitati) ab poate fi orice numar natural intre 10 si 99. In problemele pe care o sa vi se ceara sa le rezolvati o sa gasiti mereu una sau mai multe conditii pe care trebuie sa le indeplineasca a si b astfel incat sa avem mai putine rezultate posibile.

De exemplu: Aflati numarul natural de doua cifre care are suma cifrelor 3.

Ce stim?

Avem un numar natural de doua cifre: ab,

a

 0 Care are suma cifrelor 3: a + b = 3

www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale

(generalitati) Daca a + b = 3 atunci cea mai mare valoare pe care o poate avea a este 3.

Mai stim ca

a

 0 Rezulta ca valorile posibile ale lui a sunt: 1, 2 si 3.

Pentru a=1, avem 1 

b

 3 

b

 2 , numarul este 12 Pentru a=2, avem 2 

b

 3 

b

 1 , numarul este 21 Pentru a=3, avem 3 

b

 3 

b

 0 , numarul este 30 Numerele naturale cautate sunt 12, 21 si 30.

Daca aveti probleme cu rezolvarea ecuatiilor, va recomand sa revedeti exercitiile recapitulative din clasele I-IV.

www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale

(generalitati) Daca am fi mai avut o conditie suplimentara in sensul ca a sa fie mai mic decat b, din rezultatele 12, 21 si 30 mai ramanea valabil numai 12 (1<2).

www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale

(generalitati) cifra zecilor cifra miilor

a b c d

a

 0 cifra sutelor cifra unitatilor Mai puteau fi: cifra zecilor de mii, a sutelor de mii etc

www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale

(generalitati) De retinut: - Un numar natural de forma aa are cifra unitatilor si zecilor egale (11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99).

- Daca doua numere naturale sunt egale, atunci cifrele unitatilor sunt egale, cifrele zecilor sunt egale etc.

ab = cd atunci a = c si b = d - numerele naturale se pot descompune asfel:

ab abc

 10   100

a

 

a b

 10 

b



c

etc

www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale

(generalitati)

Sa 1.

rezolvam cateva probleme folosind cunostintele dobandite pana cum: Scrieti toate numerele naturale: a) b) c) d) e) mai mici decat 5 nenule, mai mici decat 7 mai mici sau egale cu 4 Mai mari sau egale cu 23 si mai mici decat 29 Mai mari sau egale cu 38 si mai mici sau egale cu 41

Rezolvare

www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale

(generalitati)

2. Scrieti toate numerele naturale de trei cifre, ce se pot forma cu toate cifrele 4, 0, 7

Rezolvare

www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale

(generalitati)

3.

a) b) c) d) e) f)

Scrieti cu litere un numar natural format din:

trei cifre trei cifre distincte trei cifre, cifra sutelor si unitatilor fiind identice trei cifre, cu cifra zecilor egala cu 5 trei cifre, cu cifra zecilor mai mica decat 2 si egala cu suma cifrei sutelor si cifrei unitatilor trei cifre, avand cifra sutelor 4 si cifra unitatilor cu 2 mai mica decat cifra sutelor Rezolvare

www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale

(generalitati)

4. Care este cel mai mic si cel mai

mare numar natural scris sub forma:

a) abc b) abc, format din cifre distincte c) aab d) a1ab, format din cifre distincte e) a9bb, format din cifre distincte Rezolvare

www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale

(generalitati) a) b) c) d) e) Care este cel mai mare numar natural format din 3 cifre, care are cifra zecilor 4.

Care este cel mai mare numar natural format din 3 cifre distincte, care are cifra zecilor 9.

Care este cel mai mare numar natural format din 3 cifre distincte, care are cifra zecilor 9 si suma cifrei sutelor si cifrei unitatilor egala cu 11.

Care este cel mai mic numar natural format din 3 cifre distincte, care are cifra unitatilor 1.

Care este cel mai mic numar natural format din 3 cifre distincte, care are cifra unitatilor 1 si suma cifrelor sutelor si zecilor egala cu 14 Rezolvare

www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale

(generalitati)

6. Scrieti toate numerele naturale formate din patru cifre distincte care au suma cifrei miilor si a cifrei sutelor egala cu 4 si suma cifrei zecilor si cifrei unitatilor egala cu 4.

Rezolvare

www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale

(generalitati)

Aproximarea unui numar natural poate fi prin lipsa sau prin adaos.

Aproximarea poate fi facuta pana la zeci, sute, mii etc.

Noi trebuie sa obtinem un numar care sa contina numai cifra 0 dupa nivelul de aproximare.

Daca ar fi sa scriem literar: Aproximarea prin lipsa sau adaos a numarului abcde la nivelul miilor este af000, b poate fi egal cu f

www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale

(generalitati) Sa analizam aproximarea prin lipsa. La acest tip de aproximare pastram aceeasi valoare pentru cifra de referinta si o sa inlocuim cu zero toate cifrele care sunt la dreapta cifrei de referinta (daca se face aproximarea prin lipsa la nivelul zecilor, cifra unitatilor o sa fie 0, daca se face aproximarea prin lipsa la nivelul sutelor, cifra zecilor si unitatilor o sa fie 0 etc) Sa calculam aproximarea prin lipsa la nivelul zecilor a numarului 453. Cifra zecilor este 5 si cifra unitatilor va fi 0

453 450

Aproximarea prin lipsa la nivelul sutelor a numarului 8734. Cifra sutelor este 7 si cifra zecilor si unitatilor vor fi 0

8745 8700

www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale

(generalitati) Aproximarea prin lipsa la nivelul miilor a numarului 89453. Cifra miilor este 9 si cifrele sutelor, zecilor si unitatilor vor fi 0

89453 89000

www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale

(generalitati) Sa analizam aproximarea prin adaos. La acest tip de aproximare o sa inlocuim cu zero toate cifrele care sunt la dreapta cifrei de referinta (daca se face aproximarea prin adaos la nivelul zecilor, cifra unitatilor o sa fie 0, daca se face aproximarea prin adaos la nivelul sutelor, cifra zecilor si unitatilor o sa fie 0 etc), iar cifrei de referinta ii adaugam 1 Sa calculam aproximarea prin adaos la nivelul zecilor a numarului 453. La cifra zecilor adaugam o unitate: 5+1=6, cifra unitatilor va fi 0

453 460

Aproximarea prin adaos la nivelul sutelor a numarului 8734. La cifra sutelor adaugam o unitate: 7+1=8, cifrele zecilor si unitatilor vor fi 0

8745 8800

www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale

(generalitati) Aproximarea prin adaos la nivelul miilor a numarului 89453. Cifrele sutelor, zecilor si unitatilor vor fi 0 si la cifra miilor adaugam o unitate: 9+1=10. Pentru ca rezultatul este 10, cifra miilor va fi 0 iar la cifra zecilor de mii se adauga o unitate 8+1=9

89453 90000

Aproximarea prin adaos la nivelul sutelor a numarului 987. Cifrele zecilor si unitatilor vor fi 0, iar la cifra sutelor adaugam o unitate: 9+1=10, deci cifra sutelor va fi 0 iar la cifra miilor se adauga o unitate 0+1=1

987 1000

www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale

(generalitati) Calculati: Aproximarea in lipsa pana la zeci a numarului 5737 Aproximarea in lipsa pana la sute a numarului 5737 Aproximarea in adaos pana la zeci a numarului 5737 Aproximarea in adaos pana la sute a numarului 5737

www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale

(generalitati) Aproximarea in lipsa pana la zeci a numarului 5737 este

5730

Aproximarea in lipsa pana la sute a numarului 5737 este

5700

Aproximarea in adaos pana la zeci a numarului 5737 este

5740

Aproximarea in adaos pana la sute a numarului 5737 este

5800

www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale

(generalitati) Rotunjirea numerelor naturale este aproximarea prin lipsa sau adaos, la cea mai apropiata de valoarea numarului respectiv Exemplu: Rotunjiti la zeci numarul 4576: - Aproximarea prin lipsa pana la zeci este 4570 - Aproximarea prin adaos pana la zeci este 4580 Rotunjirea este valoare aproximarilor cea mai apropiata de de 4576, adica 4580.

Daca ultima cifra a numarului ar fi fost 5, aproximare prin lipsa si prin adaos ar fi fost egal departate. In acest caz rotunjirea se face la aproximarea prin adaos.

www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale

(generalitati) In pagina precedenta am invatat o modalitate destul de greoaie de a rotunji numerele si sper ca nu v-ati speriat. Acum o sa invat un truc care o sa va ajute sa rotunjiti numerele fara probleme.

Verificam cifra din dreapta cifrei de referinta si o comparam cu 5 si daca aceasta cifra este: - mai mica decat 5, atunci aproximam in lipsa - daca este mai mare sau egala cu 5, atunci aproximam prin adaos Exemplu: Rotunjiti la sute numarul 8739: Deoarece rotunjirea se face la sute, se compara cu 5 cifra zecilor, 3. Avem 3<5, atunci se va face aproximarea prin lipsa pana la sute pentru numarul 8739 si obtinem rezultatul 8700.

www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale

(generalitati) Sa mai facem cateva exemple cu rotunjirea numerelor: 1. Rotunjiti la sute numarul 4576.

Deoarece rotunjirea se face la sute, se compara cu 5 cifra zecilor, 7. Avem 7>5, atunci se va face aproximarea prin adaos pana la sute pentru numarul 4576 si obtinem rezultatul 4600. 2. Rotunjiti la sute numarul 8950. Deoarece rotunjirea se face la sute, se compara cu 5 cifra zecilor, 5. Avem 5=5, atunci se va face aproximarea prin adaos pana la sute pentru numarul 8950 si obtinem rezultatul 9000.

www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale

(generalitati) Folosind cunostintele dobandite pana acum, sa rezolvam cateva exercitii: CAT ESTE APROXIMAREA PRIN LIPSA PANA LA ZECI A NUMERELOR NATURALE CAT ESTE APROXIMAREA PRIN LIPSA PANA LA SUTE A NUMERELOR NATURALE CAT ESTE APROXIMAREA PRIN LIPSA PANA LA MII A NUMERELOR NATURALE CAT ESTE APROXIMAREA PRIN ADAOS PANA LA ZECI A NUMERELOR NATURALE CAT ESTE APROXIMAREA PRIN ADAOS PANA LA SUTE A NUMERELOR NATURALE CAT ESTE APROXIMAREA PRIN ADAOS PANA LA MII A NUMERELOR NATURALE CAT ESTE ROTUNJIREA PANA LA ZECI A NUMERELOR NATURALE CAT ESTE ROTUNJIREA PANA LA SUTE A NUMERELOR NATURALE CAT ESTE ROTUNJIREA PANA LA MII A NUMERELOR NATURALE

www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale

(generalitati) La finalul acestui curs ne-am insusit cunostintele de baza despre numerele naturale si o sa putem incepe sa ne “jucam” cu ele.

Important este sa dam atentie cursului si sa incercam sa intelem cat mai bine cele prezentate fara a apela la automatisme. Asa o sa va fie mai usor in viitor.

www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale

(adunarea)

Incercati sa rezolvati cat mai multe probleme din culegeri si urmati pasii si logica prezentate in acest curs.

Daca aveti probleme in rezolvarea problemelor nu este o rusine sa va uitati la rezolvarile/rezultatele de la sfarsitul culegerii.

Daca vedeti rezultatul sau recomandarile pentru rezolvari o sa va fie mai usor sa rezolvati problema.

Daca tot nu puteti rezolva problema intrebati profesorul cum se rezolva. El TREBUIE sa va raspunda.

Incercati sa invatati zilnic la matematica. Decat sa invatati intr-o zi 7 ore si in restul sapatamanii sa nu faceti nimic la matematicam mai bine invatati cate o ora pe zi.