Mandag 12. januar

DATS/ITPE 2400: Datamaskinarkitektur og Nettverk Forelesning 3: Tallsystemer, representasjon

T. M. Jonassen Institute of Computer Science Faculty of Technology, Art and Design Oslo and Akershus University College of Applied Sciences 12. Januar 2015

Oversikt

Representasjon av tegnsett

Et eksempel

Karnaugh-diagrammer (K-map)

Vi beskriver ofte en Boolesk funksjon f ved en tabell.

(

1 ,

2 , . . . ,

x n

) Karnaugh-diagrammer er en teknikk for ˚a oversette tabellen til et algebraisk uttrykk.

Karnaugh-diagrammer er en effektiv metode for ˚a forenkle uttrykk.

Basserer seg p ˚a expr (

) =

expr

· 1 =

expr

Eksempel p ˚a et Karnaugh-diagram

(

) = X

( 1 , 2 , 3 , 5 , 7 , 10 , 11 , 15 )

x f

(

) :

y z

2 0 1 1 0 0 # Ã 1 3 # Ã 1 1 0

1 1 1 0 8 0 9 0 13 0 12 0

(

) =

w z

x y

Definisjoner

Vi bruker følgende navn p ˚a ruter og naboruter i et Karnaugh-diagram: Implikant - Et produktledd Primimplikant - Et produktledd best ˚aende av et maksimalt antall naboruter. Antallet m ˚a være en potens av 2 Essensiell primimplikant - En primimplikant som inneholder minst en implikant som ikke er dekket av andre primimplikanter

Metode

Finn alle primimplikanter Identifiser de essensielle primimplikantene, disse m ˚a være med Dekk eventuelle udekkede implikanter med et minimalt antall primimplikanter Merk: Siste punkt over behøver ikke ˚a være entydig, det kan finnes flere ekvivalente valg.

Tall, representasjon og maskiner

Informasjon representeres som sekvenser av 0 og 1.

Positiv logikk: 1 - høy spenning, 0 lav spenning.

Vi m ˚a vite hvordan 01 sekvensene skal tolkes – representasjon.

Det binære systemet er viktig, men ikke særlig lesbart.

Oktal- og heksadesimal notasjon er mer kompakt.

Grunntall (radix) og siffer 1

Eksempel: Det desimale tallet 245 .

87 tolkes som 1 245 .

87 = 2 · 100 + 4 · 10 + 5 · 1 + 8 · 10 1 + 7 · 100 som skrevet p ˚a en annen m ˚ate gir 245 .

87 = 2 · 10 2 + 4 · 10 1 + 5 · 10 0 + 8 · 10 − 1 + 7 · 10 − 2 Mer generelt, det desimale tallet T gitt ved

A n

− 1

A n

− 2 · · ·

0 .

− 1

− 2 · · ·

−

tolkes som

− 1 X

A i

· 10

i i

= −

Grunntall (radix) og siffer 2

Generelt vil vi tolke et tall T i et bestemt tallsystem b (radix, basetall, grunntall) som følger. Vi skriver tallet som (

)

, alts ˚a ( siffer ) radix :

= (

A n

− 1

A n

− 2 · · ·

0 .

− 1

− 2 · · ·

−

)

hvor A

∈ { 0 , 1 , 2 , . . . ,

− 2 ,

− 1 } . Da vi vanligvis har brukt 10-tallsystemet, er det naturlig ˚a bruke dette som “standard” grunntall. Vi tolker da (

)

som

10 =

− 1 X

A i

b i i

= −

Noen viktige tallsystemer

Desimale tall. Grunntall 10, siffer 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9.

Binære tall. Grunntall 2, siffer 0 , 1.

Oktale tall. Grunntall 8, siffer 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7.

Heksadesimale tall. Grunntall 16, Siffer 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ,

, f .

Noen eksempler

Eksempel 1: Tallet S = ( 341 ) 5 er i 10-tallsystemet gitt ved

= 3 · 5 2 + 4 · 5 1 + 1 · 5 0 = 3 · 25 + 4 · 5 + 1 = 96 Eksempel 2: Tallet T = ( 2a ) 16 er i 10-tallsystemet gitt ved

= 2 · 16 1 + 10 · 16 0 = 2 · 16 + 10 = 42 Eksempel 3: Tallet U = ( 12101 ) 3 er i 10-tallsystemet gitt ved

= 1 · 3 4 + 2 · 3 3 + 1 · 3 2 + 0 · 3 1 + 1 · 3 0 = 81 + 54 + 9 + 1 = 145

En kommentar

Det er alts ˚a lett ˚a finne et tall (

)

gitt med grunntall b som et tall i 10-tallsystemet ved ˚a bruke formelen

10 =

− 1 X

A i

b i i

= −

Mer generelt har vi problemet: Gitt et tall T

, hvordan finner vi representasjonen i et annet tallsystem c, alts ˚a, T

Før vi ser p ˚a dette, skal vi se p ˚a noen spesialtilfeller.

Hele desimale tall til binære tall

Faktum: 2-potenser er lett ˚a regne ut (tell eksponent p ˚a fingerne), siden det er lett ˚a multiplisere med 2.

Dette gir oss en enkel metode for ˚a gjøre om desimale heltall til binære tall.

Finn største 2 potens mindre enn tallet, regn ut differansen, og gjør det samme med denne, og fortsett til differansen er 0. Tallet er da en sum av 2-potenser, og vi vet da de binære sifferne.

Eksempel:

= 39 = 32 + 7 = 32 + 4 + 3 = 32 + 4 + 2 + 1 = 2 5 + 2 2 + 2 1 + 2 0 s ˚a T = ( 100111 ) 2 .

Hele binære tall til oktale tall

Faktum: 8 = 2 3 . Dette betyr at tre binære siffer er ett oktalt siffer. Dette gir en enkel metode for ˚a konvertere et binært tall til et oktalt tall: Grupp ´er det binære heltallet i siffergrupper av tre binære siffer fra minst signifikante siffer mot mest signifikante siffer (høyre mot venstre), legg til 0-er p ˚a venstre side om nødvendig. Tolk hver tre-gruppe som et oktalt siffer.

Eksempel: Gitt det binære tallet T = ( 1011101 ) 2 Vi finner (T = 93 10 ).

= 1011101 2 = 001011101 2 = 001 |{z} 1 011 |{z} 3 101 |{z} 5 = ( 135 ) 8

Hele binære tall til heksadesimale tall

Faktum: 16 = 2 4 . Dette betyr at fire binære siffer er ett heksadesimalt siffer. Alts ˚a kan vi bruke samme prinsipp som brukt for konvertering til oktale tall: Grupp ´er det binære tallet i grupper p ˚a fire og fire fra minst signifikante siffer (høyre mot venstre), og legg til 0-er p ˚a venstre side om nødvendig. Tolk hver gruppe som et heksadesimalt siffer.

Eksempel: Gitt det binære tallet T (T = 349 10 ). Vi finner = ( 101011101 ) 2

= 101011101 2 = 000101011101 2 = 0001 | {z } 1 0101 | {z } 5 1101 | {z }

= ( 15d ) 16

Konvertering av binære tall med brøkdeler

Gitt et binært tall p ˚a form

a n

− 1

a n

− 2 · · ·

0 .

− 1

− 2 · · ·

−

hvor

a i

∈ { 0 , 1 } For ˚a konvertere dette tallet til et oktalt tall eller et heksadesimalt tall behandles heltallsdelen a

− 1

a n

− 2 · · ·

0 som før.

Brøkdelen a − 1

− 2 · · ·

−

behandles p ˚a følgende m ˚ate: Grupp ´er fra venstre mot høyre i grupper p ˚a tre siffer (oktalt) eller fire siffer (heksadesimalt). Legg til 0 p ˚a høyre side om nødvendig.

Fra oktalt til heksadesimalt og motsatt

For ˚a konvertere fra oktalt til heksadesimalt, eller heksadesimalt til oktalt, konverterer vi først til binært, og deretter bruker metodene vi har sett p ˚a tidligere. Ett oktalt siffer blir tre binære siffer, mens ett heksadesimalt siffer blir fire binære siffer.

Eksempel: Gitt tallet T = 4317 8 . Dette skal konverteres til et heksadesimalt tall. Konverterer til binærtall, og f ˚ar

= 4317 8 = ( 100 011 001 111 ) 2 Metoden vi har sett p ˚a tidligere gir da

= 100011001111 2 = 1000 | {z } 8 1100 | {z }

1111 | {z }

= 8cf 16 Derfor er

= 4317 8 = 8cf 16

En generell metode for omregning

For ˚a konvertere mellom to tallsystemer med radix c og b holder det ˚apenbart ˚a kunne konvertere fra 10-tallsystemet til et vilk ˚arlig tallsystem med radix b. Dette fordi formelen

10 =

− 1 X

C i

c i i

= −

konverterer T = (

C n

− 1

C n

− 2 · · ·

0 .

− 1

− 2 · · ·

−

)

10-tallsystemet T =

integer .

fraction .

Vi deler problemet i to: til Heltallsdelen T integer .

Brøkdelen T fraction .

Heltallsdelen

Vi skal konvertere heltallet T =

integer b-tallsystemet.

La T = (

A n

− 1

A n

− 2 · · ·

0 )

. Da er gitt i 10-tallsystemet til

− 1 X

A i b i i

= 0 Divisjon av T med b gir

= (

− 1 X

A i b i

) ·

− 1

= 0 =

− 1 X

A i b i

− 1 =

− 1 X

A i b i

− 1 +

b i

= 0

= 1 Tallet T siden 0 1 = ≤

P 0

− 1

= 1 ≤

b A

−

i b i

− 1 er et heltall, mens A 1. Vi finner derfor A 0 0 / b er en kvosient . Denne prossessen fortsettes p ˚a heltalsdelene inntil denne er 0. Vi har da funnet alle sifferene A 0 ,

1 , . . . ,

A n

− 1 .

Et eksempel

Vi skal finner T = 241 10 i 5-tallsystemet. Metoden v ˚ar gir: 241 : 5 = 48 + 1 5 = ⇒

0 = 1 48 : 5 = 9 + 3 5 = ⇒

1 = 3 9 : 5 = 1 + 4 5 = ⇒

2 = 4 1 : 5 = 0 + 1 5 = ⇒

3 = 1 Derfor er T = 241 10 = 1431 5 .

Brøkdelen

Vi skal konvertere brøkdelen T fraction ≈ T gitt i 10-tallsystemet til b-tallsystemet (tilnærmet lik fordi desimalutviklingen i b-tallsystemet kan være en uendelig periodisk brøk). La

= (

− 1

− 2 · · ·

−

)

. Multiplikasjon med b gir:

− 1 X

= −

m A i b i

= − 1 X

= −

m A i b i

+ 1 =

− 1 + − 2 X

A i b i

+ 1

= −

Her er A 1 P − 2

= −

m A i

et ikke negativt heltall da 0

b i

+ 1 ≤

A i

≤

− 1, mens er en ny brøkdel. Vi forsetter prossessen p ˚a de nye brøkdelene til alle A

, i = − 1 , − 2 , . . . , − m er funnet.

Et eksempel (del 1)

Vi vil finne er tilnærming av T fraction Metoden v ˚ar gir: = 0 .

721 10 i 3-tallsystemet.

0 .

721 · 3 = 2 + 0 .

163 = ⇒

− 1 = 2 0 .

163 · 3 = 0 + 0 .

489 = ⇒

− 2 = 0 0 .

489 · 3 = 1 + 0 .

467 = ⇒

− 3 = 1 Fortsetter neste slide.....

Et eksempel (del 2)

....fortsettelse, siste brøkdel var 0 .

467 0 .

467 · 3 = 1 + 0 .

401 = ⇒

− 4 = 1 0 .

401 · 3 = 1 + 0 .

203 = ⇒

− 5 = 1 0 .

203 · 3 = 0 + 0 .

609 = ⇒

− 6 = 0 Vi konkluderer med at 0 .

721 10 ≈ 0 .

201110 3 .

Binær addisjon 1

Addisjon av binære tall (eller addisjon i et annet tallsystem) gjøres p ˚a samme m ˚ate som vi er vant med fra grunnskolen, men vi m ˚a huske p ˚a at addsjonstabellene ser anderledes ut.

Eksempel: Vi har følgende addsjonstabeller for binærsystemet og 3-tallsystemet: + 0 1 0 0 1 1 1 10 + 0 1 2 0 0 1 2 1 1 2 10 2 2 10 11

Binær addisjon 2

Eksempel: Vi skal addere de to tallene T

= ( 110 ) 10 binært. Vi finner at 93 = 64 = ( 93 ) 10 + 16 + 8 og + 4 + 1 og 110 = 64 + 32 + 8 + 4 + 2, og derfor ( 93 ) 10 = ( 1011101 ) 2 og ( 110 ) 10 = ( 1101110 ) 2 . Vi adderer p ˚a vanlig m ˚ate, hvor øverste linje under viser mente: + 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 Vi ser da at T +

= ( 11001011 ) 2 = ( 203 ) 10 .

Binær multiplikasjon 1

Multiplikasjon av binære tall (eller multplikasjon i et annet tallsystem) gjøres p ˚a samme m ˚ate som vi er vant med fra grunnskolen, men vi m ˚a huske p ˚a at multiplikasjontabellene ser anderledes ut.

Eksempel: Vi har følgende multiplikasjonstabeller for binærsystemet og 3-tallsystemet: × 0 1 0 0 0 1 0 1 × 0 1 2 0 0 0 0 1 0 1 2 2 0 2 11

Binær multiplikasjon 2

Det (lille) binære multiplikasjonstabellen er spesielt enkel. Dette reduserer multiplikasjon stort sett til ˚a utføre addisjon av binære tall. Vi skal utføre multiplikasjonen T

U T

× U, hvor T = ( 27 ) 10 = ( 6 ) 10 . Siden 27 = ( 11011 ) 2 og U = 16 + 8 + 2 + 1 og 6 = 4 + 2 f ˚ar vi = ( 110 ) 2 . Vanlig multiplikasjon gir da: og 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 × 1 1 0 Vi ser da at T ×

= ( 10100010 ) 2 = ( 162 ) 10 .

Binær multiplikasjon 3

Det fins noen tall som er spesielt enkle ˚a multiplisere binært.

Vi legger merke til at T × 2 vil være et bitshift mot venstre, hvor den “tomme plassen” p ˚a høyre side erstattes av en 0.

Eksempel: Vi finner 101011101 × 10 = 1010111010 Mer generelt vil T × 2

, n ≥ 0, være n bitshift mot venstre, hvor “de tomme plassene” p ˚a høyre side fylles opp med 0-er.

Eksempel: Vi finner (T × 32 =

× 2 5 ) 101011101 × 100000 = 10101110100000 Vi skal se at dette kan gi merklige resultater.

Signed magnitude

Signed magnitude er en representasjon hvor ett bit (det mest signifikante) brukes til fortegn, 0 for + og 1 for − 1. De andre bitene brukes til størrelsen av tallet T , alts ˚a |

| .

For et n-bits tall

b n

− 1

b n

− 2 · · ·

0 brukes b

− 1 til fortegn, mens b

− 2 · · ·

0 tolkes som et ikke-negativt binært tall.

Hvis vi har n bits til r ˚adighet, har vi 2

bare representere 2

− muligheter, men vi kan 1 forskjellige tall siden 0 vil ha to representasjoner, ± 0 = 0.

Eksempel: Bitmønsteret 01101 representerer tallet 13 10 , mens 10011 representerer tallet − 3 10 .

1-er komplement

Vi kan tenke p ˚a 1-er komplement b ˚ade som en operasjon, og som en represtasjon.

Operasjonen: Gitt en bit-sekvens b

− 1

b n

− 2 · · ·

0 . Da er 1-er komplementet av denne sekvensen den sekvensen vi opn ˚ar ved ˚a bytte ut alle 1-er med 0-er, og alle 0-er med 1-ere.

Eksempel: 1-er komplementet av 00110101 er 11001010.

Representasjon: Vi ser p ˚a n bit. Mest signifikante bit representerer fortegn, 0 for + , 1 for − . Vi representerer 2

− 1 vanlige binære tall, talt fra 0 og opp til 2

− 1 − 1. Vi oppn ˚ar de tilsvarende negative tallene ved ˚a ta 1-er komplementet av det tilsvarende positive tallet av samme størrelse. Vi kan representere 2

− 1 forskjellige tall siden 0 har to representasjoner.

Eksempel: 4 10 − 4 10 ∼ 111011.

∼ 000100 som gir ved ˚a ta 1-er komplement at

2-er komplement

Vi kan tenke p ˚a 2-er komplement b ˚ade som en operasjon, og som en represtasjon.

Operasjonen: Gitt en bit-sekvens b

− 1

b n

− 2 · · ·

0 . Da f ˚ar vi 2-er komplementet av denne sekvensen ved først ˚a ta 1-er komplementet og deretter addere 1. Eventuelt mente p ˚a mest signifikante bit kastes.

Representasjon: Vi ser p ˚a n bit. Mest signifikante bit representerer fortegn, 0 for + , 1 for − . Vi representerer 2

− 1 vanlige binære tall, talt fra 0 og opp til 2

− 1 − 1. Vi oppn ˚ar de tilsvarende negative tallene ved ˚a ta 2-er komplementet av det tilsvarende positive tallet av samme størrelse. Merk at 0 bare har en representasjon.

2-er komplementet er svært viktig i forbindelse med aritmetikk, og vi kommer tilbake til denne senere.

Excess representasjon

I excess-representasjonen behandles et tall som fortegnsløst men det flyttes i verdi ved ˚a subtrahere en “bias” (som m ˚a være kjent).

Hvis vi har n bits vil sekvensen av bare 0-er være det negasjonen av “bias”, og det minste tallet vi kan representere, mens sekvensen av bare 1 vil være det største.

Eksempel: Excess-4 med tre bits (bias = 4): Desimalt: − 4 , − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 Excess-4: 000 , 001 , 010 , 011 , 100 , 101 , 110 , 111 Brukes i forbindelse med flyttall.

Om flyttall 1

Vi skal komme tilbake til flyttall senere, s ˚a vi ser bare p ˚a noen f ˚a detaljer n ˚a.

Flyttalls representasjonen kan karakteriseres ved at man skiller bit som representerer presisjon fra de bit som representerer størrelse.

Eksempel: Tallet 2 .

034 × 10 18 kan representeres ved at man har presisjonsdelen (2 .

034) som en del, og størrelsesdelen 10 18 , da representert ved eksponenten 18 som en annen del. (I tillegg kommer naturligvis fortegn).

Vi karakteriserer flyttallsrepresentasjonen ved tre deler: fortegn, eksponent og mantisse (mantisse kalles ogs ˚a signifikant).

Om flyttall 2

Vi skal innføre noen begreper: normalisert flyttall og skjult 1-er.

Normalisert flyttall: Det er mange m ˚ater ˚a skrive tallet

× 10

p ˚a, siden M =

M i

M f

, ved ˚a flytte “komma” og justere eksponenten.

Eksempel:

1901 .

1 × 10 0 = 190 .

11 × 10 1 = 19 .

011 × 10 2 = 1 .

9011 × 10 3 = 0 .

19011 × 10 4 Den normaliserte formen er formen uten heltallsdel, men første siffer etter “komma” er forskjellig fra 0.

Om flyttall 3

skjult 1-er: Hvis mantissen (signifikanten) representeres binært, (base tallet for eksponent delen er da naturligvis 2) s ˚a vil det mest signifikantet bit-et i det normaliserte flyttallet alltid være 1. Det er derfor unødvendig ˚a lagre dette, men kun ta hensyn til at det fins, ved operasjoner p ˚a tallet. P ˚a denne m ˚aten f ˚ar vi ett ekstra bit til presisjon.

Eksempel: Hvis mantissen p ˚a normalisert form er .

10110 lagres bit-mønsteret 0110.

Se læreboken for flere detaljer, spesielt om IEEE 754 standarden.

ASCII

ASCII (American Standard Code for Information Interchange) koden var opprinnlig en 7-bits kode.

Se tabell i læreboken.

Tall kommer i rekkefølge, tilsvarende bokstavene (sm ˚a) kommer i rekkefølge, og ogs ˚a de store bokstavene.

Problemer med spesialbokstaver som æ,ø, ˚a.

Kan løses med 8-bits ASCII.

EBCDIC

EBCDIC (Extended Binary Coded Decimal Interchange Code) er en 8-bits kode.

Se tabell i læreboken.

Brukt i IBM mainframe maskiner.

Tall kommer i rekkefølge, men ikke bokstavene, hvor det er “gap”.

Løser problemet med spesialtegn.

Unicode

Unicode er en 16-bits kode innført for ˚a løse problemet med mange alfabeter.

Unicode har 65536, men det er ikke nok, s ˚a denne er en delmengde av en 32-bits standard kalt Universal Character Set.

Merk at de 127 første tegn i Unicode er de samme som i ASCII.

Se tabell i læreboken.

“frastøtende” stasjonært punkt vil fjerne seg.

Iterative systemer 1

La I ⊂ R være et lukket intervall, for eksempel I = [ 0 , 1 ] , og la

−→

hvor

(

) ⊆

være en kontinuelig funksjon.

Dette gir at hvis x

2 (

) =

◦

(

) = ∈ I s ˚a vil f (

) ∈ I. Vi bruker notasjonen

(

)) , og tilsvarende for n sammensetninger av f med seg selv (iterasjon). Siden f avbilder I inn i seg selv vil

O f

(

) = {

f n

(

) } ∞

= 0 ⊂ I for et hvert x ∈ I. Vi kaller O banen til x til det iterative systemet gitt ved f .

(

) for Hvis f (

0 ) =

0 s ˚a kaller vi x

for et stasjonært punkt. Det kan vises at om f er deriverbar i en omegn om x 0 , s ˚a er x 0 “attraktivt” hvis |

′ (

0 ) | < 1 og “frastøtende” om |

′ (

0 ) | Dette betyr at baner med startpunkt nær et “attraktivt” > 1.

stasjonært punkt vil konvergere mot dette, mens baner nær et

Iterative systemer 2

Iterative systemer p ˚a en intervall I ⊂ R ved en funksjon f er egnet for datamaskinsimulering, men det hender at simulering kan lede til helt gale resultater.

Vi definerer f =

(

) som følger:

(

) = ½ 2x 2 − 2x if if 0 1 / ≤ 2

< ≤ 1 / 2

≤ 1 Det er lett ˚a se at f ([ 0 , 1 ]) = [ 0 , 1 ] og at f ( 0 ) = 0 med f ′ ( 0 ) = 2, alts ˚a er x = 0 et “frastøtende” stasjonært punkt. Vi skal bruke Mathematica til ˚a simulere dette systemet.

Noen Mathematica funksjoner 1

Vi definerer en ny funksjon f ved f[x ]:=expr If[test,expr1,expr2] returnerer sann, expr2 ellers.

expr1 hvis test er Funksjonen RandomReal[ ] returnerer et uniformt distribuert vilk ˚arlig tall i intervallet [ 0 , 1 ] .

Funksjonen NestList[g,x,n] returnerer en liste av de n første punktene under iterasjon av x ved g.

Funksjonen Drop[list,m] returnerer en liste hvor de m første elementene i list er fjernet.