Transcript Fra matematikkvansker til matematikkmestring Hvordan skal vi

16.11.2014
Fra matematikkvansker til
matematikkmestring
Stavanger 14.11.14
Else Devold
Tøyen skole, Oslo
Hvordan skal vi undervise for å
forebygge og hjelpe elever som
ikke mestrer matematikken?
1
16.11.2014
I dag vil dere få
lære hvilke områder i tallforståelse og
regneferdighetene det er viktigst at elevene
forstår
mange og ulike ideer til hvordan elevene kan
få en bedre tallforståelse.
• Aktivitetene og oppgavene passer for elever
på mellomtrinnet.
Pakket inn i litt teori om:
Matematiske samtaler
Hva er det å ha/være i
matematikkvansker?
Noen ulike typer vansker
Noen sentrale områder der
man oftest finner vansker.
2
16.11.2014
De fleste elever lærer ikke best ved å
lytte til forklaringer og regler
-de fleste lærer best ved å møte utfordringer og
problemstillinger med konkretiseringsmateriell
og
-ved å snakke med hverandre og læreren, om
hva de vil gjøre og hvordan de tenker.
Håndboken Alle Teller!
Indre tale:
Hørlig
Fra ytre til indre tale
Uhørlig
Vygotsky: Språk og tanke
Snorre Ostad: Matematikk Uten
Matematikkvansker
Stille indre tale
3
16.11.2014
Elever som er i matematikkvansker kan
beskrives på fire ulike måter
3 + 7 = 10
13 + 7 = 20
23 + 7 = 30
Statistene
Fighters
Capselever
Askepottene
Elever som er i matematikkvansker kan
beskrives på fire ulike måter
•
•
•
•
Statistene er ofte jenter, som i en filminspilling deltar de matematikktimene ved å
holde seg i bakgrunnen og gjøre så lite som mulig. De stiller ingen krav, de bråker
ikke og de ber ikke om lærerens oppmerksomhet. Det kan se ut som de arbeider,
de ha bøkene framme og blyanten i hånden, men de bruker tiden til å ta forsiktig
kontakt med hverandre eller til å være helt passiv.
Fighters er en gruppe som er nesten helt i motsetning til statistene. De stiller krav,
tar konflikter og prøver selv og bestemme hva de skal og hva de ikke skal gjøre i
timen. Fighterne er i likhet med statistene ikke aktive i forhold til å lære
matematikk.
Capselevene er tydelig umodne og helt uinteresserte i skolen og i matematikk. De
prater åpenlyst om andre ting enn matematikk i timene og gjør aldri noe
hjemmearbeid. De skaper uro, småbråker og avviser hele skolen.
Askepottene er den siste gruppen som Sjöberg observerte. Askepottene er som i
eventyret. De klarte seg godt de første skoleårene, men så stopper det helt opp.
Hele matematikken har blitt et mysterium for dem og troen på egen mestring er
helt fraværende.
Sjöberg
• Matematikkvansker sier
ikke annet et at eleven
har vansker med å løse
matematiske oppgaver
som det forventes at
elever på dette nivået
skal kunne forstå.
• Dyskalkuli brukes som
samlebetegnelse på de
som har spesifikke
lærevansker i
matematikk. En smal
definisjon på å ha store
vansker i matematikk
Sjöberg
Matematikkvansker
Dyskalkuli
4
16.11.2014
Dyskalkuli
• Dyskalkuli er en form for spesifikke
lærevansker og knyttes direkte til at årsaken til
matematikkvansken ligger i en forstyrrelse i
sentralneversystemet.
• Denne forståelsen av elevens
matematikkvansker innebærer at årsaken til
problemene ligger i eleven.
Tre ulike former for
matematikkvansker:
1. Prosedyrevansker
Vansker med framgangsmåter eller metoder. Å telle på fingrene eller bruke en algoritme for å
finne svar på en regneoppgave er to ulike prosedyrer.
2. Semantiske vansker
Semantisk betyr meningsfull.
3. Visuo-spatiale vansker
Visuo; betyr arbeidshukommelse og spatial; betyr romlig, linjers, overflater og roms forhold til
hverandre
Geary (2004)
5
16.11.2014
Prosedyrevansker
- Fortsetter å bruke de første tellestrategiene man lærte og
bytter ikke disse ut med mer minnebaserte løsninger.
- Fortsetter å telle på fingrene, skriver tall eller streker og teller
seg framover.
- Har problemer med å oppfatte og bruke sekvenser og forstår
ofte ikke prosedyrene som brukes i utregninger (algoritmer) og
gjør dermed feil når regner ut noe. Dette fører til at elevene har
hyppige regnefeil.
Denne gruppen elever har en forsinket utvikling. Det er gode prognoser for
at disse elevene skal klare å mestre matematikken hvis de får riktig og
målrettet opplæring over tid.
Visuo-spatiale problemer
• problemer med å oppfatte former og mønstre og “ting” i
forhold til hverandre.
• har sammenheng med geometri og oppfatning av rom,
form og posisjon.
• har problemer med å oppfatte illustrasjoner i mattebøker
og med å se for seg en mental tallinje. Evnen til å forestille
seg og skape mentale bilder blir vanskelig.
• Denne formen for matematikkvansker ser ikke ut til å
henge sammen med lesevansker og muligheten for
matematikkmestring er uklar, da det ofte forekommer flere
vansker i tillegg til matematikkvanskene.
Semantiske vansker
•
•
•
•
•
•
•
Problemer med å hente fram regnefakta fra minnet.
Gjør ofte feil når de bruker regnefakta, de husker ikke eller de gjetter feil.
Elever med språk og begrepsvansker kommer under denne kategorien.
Disse elevene sliter med å forstå betydningen av språket som brukes i
matematikk.
De har svak forståelse og overføringsferdigheter, noe de har lært og fint får
til i en sammenheng finner de ikke ut av i en annen sammenheng.
Tiden elevene bruker for å løse en oppgave er enten påfallende lang (de
teller og teller) eller påfallende kort (de gjetter).
Elevene i denne kategorien utvikler matematikkforståelsen på en annen
måte enn andre elever. De representerer en utviklingsforskjell og ikke
bare en forsinket utvikling.
For elever med semantiske matematikkvansker er det å bedre
språkferdighetene avgjørende for at de skal kunne mestre matematikken.
Denne typen matematikkvansker ser ut til å ofte forekomme sammen med
dysleksi.
Om ”Alle teller!”
• 10 kartleggingsprøver
• En håndbok
– Introduksjon
• Hvordan bruke boken
– Lærerveiledning til undervisningen
– Alt om kartleggingstestene
• Hva som undersøkes i hver oppgave
– Aktiviteter og kopieringsoriginaler
6
16.11.2014
Lærerveiledningen
Alle Teller! Om tall og tallbehandling
Tallforståelse
Gjenkjenne antall, Tall og telling, Posisjonssystemet,
Desimaltall, Brøk, Negative tall, Overslag
• 22 kapitler
• Hvert kapittel har underkapitler og følgende
innhold
– Henvisning til oppgaver på ulike trinn
– Introduksjon til området
– Misforståelse og misoppfatninger
– Eksempler på oppgaver
– Bakgrunn om tema
– Generelle anbefalinger
– Spesielle anbefalinger
Forstå regneoperasjoner
Representasjon, Regnefortellinger, Tallsymboler
Regning
Basisferdigheter, tabellferdigheter, hoderegning,
skriftlig utregning, Lommeregner
Misoppfatning
• Betyr at man tenker feil.
• Man tror at man kan det og at man har
forstått, men en har forstått feil.
• Dette gjelder i større grad på mellomtrinnet.
– Det som er sant for hele tall blir feil når det gjelder brøk og
desimaltall.
– Det som gjelder for små tall blir feil når tallene er
flersifrede.
Numeracy recovery
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Telleferdigheter
Tallkjennskap /Antallsforståelse
Tallsymboler
Plassverdi og posisjonssystemet
Tekstoppgaver og regnefortellinger.
Oversettelser mellom konkreter, muntlig og skriftlige
representasjoner.
7. Avledede regnestrategier i addisjon og subtraksjon.
8. Estimering, å gjøre overslag for å finne ut omtrent
hvor mye det er eller blir for å kunne vurdere om
svaret er rimelige.
9. Automatisering av tabellkunnskaper
7
16.11.2014
1. Tall og telling
Seks sentrale områder der vi ofte finner vansker
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Telleferdigheter
Tallkjennskap
Tallsymboler
Telling
Antallsforståelse
Sammenligne størrelser og andre fenomener
Regneferdigheter, de fire regneartene
Plassverdisystemet
Overslag - estimering
Telling
• Telle oppover og
nedover
• Telle med to og to
• Telle med tre og tre
• Telle med 10 og 10
• Telle med 10 fra ulike
tall
1. Telling
9
18
27
36
45
54
63
72
81
90
1,2,3 . . . . .
5, 6, 7 . . . . .
2,4,6. . . .
2, 7, 12, 17. . . . .
3, 13, 23, …...
89, 90, 91. . . .
100, 90, 80 . . . . .
8
16.11.2014
2. Antallsforståelse
Tallkjennskap; antallet er det samme uansett hvor i
mengden du begynner å telle, å kunne legge til eller
trekke fra trekke fra en (n+1/n-1).
Spille spill
•
•
•
•
Krig
Gammel jomfru
Yatzy
Terningspill
Oppfatte hva ulike tall står for.
Krever ferdigheter i rekkeoppfatning (x1, x2, x3)
Å kunne navngi tallene (15 – 51)
3. Sammenligne størrelser
• Se , telle opp og angi mengder med tallord
• Endre en mengde ved å gjøre den større eller
mindre.
• Tallenes rekkefølge, avstand og plassering på
tallinjen
9
16.11.2014
Desimeter
Centimeter
Millimeter
Gram
Hektogram
Kilogram
4. Utregning
De fire regneartene
Tellestrategier
Regnestrategier
10
16.11.2014
Utregning
Oppgavespesifikke regnestrategier
• 6 % av matematikere bruker algoritmer i
utregning.
• 80% av utregninger vi voksne gjør, gjøres i
hodet.
• 80% av utregninger på skolen gjøres på papir.
Strategier
Backup
• Undervisning i matematikkhistorie?
Tellestrategier
•
•
•
•
•
•
•
Telle alt og så alt om igjen
Telle videre fra det første tallet
Telle videre fra det største tallet
Tegnevarianten
Andre tellevarianter
Verbal telling
Tellepunkter i tallsymbol
Retrieval
Regnestrategier
•
•
•
•
•
•
Tiervenner
Gruppering og tieroverganger
Doble og legge til en eller to
Halvere og trekke fra/legge til en eller to
Automatisert addisjonstabell
Se sammenheng mellom subtraksjon og
addisjon
11
16.11.2014
Regnestrategier
• Vet svaret
• Eleven vet svaret på noen
addisjonskombinasjoner og bruker dette for
videre telling.
• Eleven vet svaret på ulike
addisjonskombinasjoner og benytter den
aktuelle kombinasjonen som utgangspunkt for
oppgaveløsingen, uten å ta i bruk telling.
Marianas addisjons-strategier
22 + 33 = 55
Et mangfold av strategier
• Tallene i oppgavene avgjør hvilke strategier
som brukes i utregningen.
Regnestrategier på 3. trinn
33 + 32 =
Det doble av 33 blir 66, så tar jeg bort 1, da blir det 65
44 + 44= 88
11 + 21=32
17 + 14 = 211
2 pluss 3 og 3 pluss 3, det blir 65
30 pluss 30 og 3 pluss 2, det blir 60 + 5 = 65
3+3 blir 6 og 3+2 blir 5 da blir det 65
www.elsedevold.no
12
16.11.2014
Det viktigste i addisjon
Å kunne legge sammen tall
med ett gjeldende siffer i
hodet
Lære tiervenner
1+9 2+8 3+7
3+5 70+20 200+400
og andre tallvenner (når du
tar bort fem fra ni har du
fire igjen)
Lære å gjenkjenne
situasjoner der man skal
legge sammen tall
Kunne hoppe med ti om
gangen fra hvilket som helst
tall
Store tall først
13
16.11.2014
Hoppe på tallinja
Addisjon
39 + 41
(40 + 40)
189 + 322
(200 + 311)
Det viktigste i subtraksjon
Å kunne finne forskjellene
mellom tall med ett
gjeldende siffer i hodet
8-5 70-30 400-100
Å gjenkjenne mange
forskjellige situasjoner der
tall skal trekkes fra
hverandre
Å kunne utnytte de gode
venner for å finne
forskjeller
10 –7 100 - 50 1000 - 200
Å kunne hoppe med ti om
gangen fra hvilket som helst
tall
ADDISJON OG
SUBTRAKSJON
14
16.11.2014
Subtraksjon
Finn forskjellen mellom
det største og det minste
tallet.
NÅR I HVERDAGEN DERES UTENOM
SKOLEN BRUKER DERE MINUS?
Subtraksjon
Subtraksjon handler om å finne
forskjellen
1000 – 389
(1011 – 400)
71 – 36
(70 – 35)
138 576 – 249649
72 – 35 =
72 – 30 – 5 = 37
(kalkulator)
Tallene kan skyves på tallinja
Større oppgave: Finne aldersforskjellen.
15
16.11.2014
Multiplikasjon
Lære utenat noen av
multiplikasjonsstykkene fra
den lille tabellen og noen
andre multiplikasjonsstykker
Kunne gjenkjenne
situasjoner der tall skal
ganges med hverandre
Bruk de gangetabellene du kan
23 x 13 =
23 x 10 + 23 x 3 = 230 + 69 = 299
4•4=16 3•9=27 4•25=100
Å kunne å håndtere en
lommeregner til
multiplikasjon
Multiplikasjon
•
•
•
•
Den lille gangetabellen
3 ½ x 140
( 7 x 70)
3,5 x 350
(35 x 35)
16
16.11.2014
192 : 4 =
Divisjon
Kunne utenat noen
gangestykker fra den lille
tabellen og eller andre
gangestykker og kunne
utnytte disse i divisjon
Lære å gjenkjenne
situasjoner der tall skal
deles med hverandre
Kunne å håndtere en
lommeregner til divisjon
Divisjon
Divisjon
Bruk de
gangetabellene du
kan
• 600 : 18
• (100 : 3) Tenk brøk og forenkling av brøker
17
16.11.2014
5. Posisjonssystemet
• Når man introduserer algoritmer forsvinner
elevenes kritiske sans.
• Å finne sin egen strategi skaper forståelse.
Posisjonssystemet
Den blokkerende misoppfatning
—er komplisert å forstå
—avgjørende for å kunne regne med tallene
under hverandre
Å forstå posisjonssystemet kan være for
matematikkforståelsen som Plumbo er for
tette rør
—enda mer komplisert når man begynner med
desimaltall
Nygaard og Zernichow
18
16.11.2014
Forstå posisjonssystemet for store tall
19
16.11.2014
Å forstå posisjonssystemet
• Å forstå posisjonssystemet er et en lang prosess
som krever mange og gjentagende erfaringer
for at det skal befeste seg som kunnskap.
• Viktig med hyppige og varierte aktiviteter som
tar i bruk ulike tilnærminger og
representasjoner for å gi ny innsikt.
POSISJONSSYSTEMET I Tangenten 4/2012
Oppgave
Hundrerplass
Spiss
Torbjørn Egner ville fylt
100 år i 2012. I hvilket
år ble han født?
Plassering
Hvis dere lever til dere blir
100 år gamle. Hvilket år vil
dere fylle 100 år?
Tierplass
Forsvar
20
16.11.2014
Lag det største tallet.
Hundre
brett
For å se
tallsystemet for
tallene opp til 100.
1137
Plassverdisystem
1000-plass
100-plass
10-plass
1-plass
plass
1 2 3 4, 5 6
plass
21
16.11.2014
Tidel = 0,1 =
Hundre
brett
For å konkretisere
hundrerdel.
Alle teller boken
side 23.
Hundreruter teller som 1
Bestem at hundreboksen = 1
• Bruk et 10x10 ruter (en hundreruter) til å
representere en hel.
• Hver rute vil da representere 0,01 =
• Hver rad eller kolonne representerer 0,1=
• Elevene får synliggjøre en rekke desimaler (0,01 0,1- 0,3 - 0,07- 0,4) på rutenettet ved å skravere
kolonner og rader.
• Det vil hjelpe til med å vise forholdene mellom
disse desimalene og deres likeverdige brøker.
22
16.11.2014
VIKTIGST?
• Forstå innholdet i matematiske begreper
– slik som; størst, gange, dele, forskjell, tidel,
posisjon .. … …
• Forstå posisjonssystemet for hele tall og
desimaltall.
• Utvikle og bruke varierte regnestrategier
23