Transcript TS DM de MATHEMATIQUES pour la rentrée A
TS DM de MATHEMATIQUES pour la rentrée
A rendre la semaine du 2 septembre 2014
Les liens pour les logiciels à télécharger sont disponibles sur le site du lycée, dans la rubrique Mathématiques : http://www.lyc-curie-nanterre.ac-versailles.fr/spip.php?rubrique132
.
Exercice 1 :
Injection d’un médicament
On injecte dans le sang d’un malade une dose de médicament. On suppose que ce médicament se répartit instantanément dans le sang et qu’il est ensuite éliminé progressivement, la concentration diminuant de 30% chaque heure. On note la concentration en mg/l, heures après l’injection ( ). On donne .
1) a)
Calculer .
b)
Quelle est la nature de la suite ?
c)
En déduire l’expression de en fonction de .
d)
On considère l’algorithme suivant : Exécuter cet algorithme sous Algobox ou sur la calculatrice. Quel est le résultat affiché par ce dernier ? Interpréter le dans les conditions de l’exercice.
2)
On souhaite maintenir la concentration du médicament au-dessus de 3 mg/l pendant 17 heures et pour cela on pratique une heure après la première injection, puis toutes
les heures, une injection de 1 mg/l du médicament. On note la valeur de la concentration, heures après l’injection ( ).
a)
Justifier que pour tout entier naturel, .
b)
Soit . Démontrer que la suite est géométrique.
c)
Déterminer en fonction de et en déduire .
d)
Quelle est la concentration du médicament 17 heures après l’injection ? Le résultat est-il satisfaisant ?
Exercice 2 :
Un volume maximal
ABCDEFGH
est un cube d’arête 6 cm. On place
M
sur [ ] , N sur [ ] et
P
sur [ ] tels que .
Le but de cet exercice est de savoir où placer le point
M
pour que le volume du parallélépipède rectangle AMRNPQTS ait un volume maximal.
Partie A : Avec un logiciel de géométrie dynamique
1) CONSTRUCTION :
Ouvrir
GeoGebra
puis le fichier à télécharger DM1_cube.ggb. Compléter cette figure puis enregistrer le fichier en le nommant DM1_NOM_Prénom. Ce fichier sera à envoyer à votre professeur, conservez le bien.
Permet de changer de point de vue.
Après chaque instruction, on veillera à appuyer sur la touche
Echap
. a) Créer un point
M
sur [ ] (
Point sur Objet/clic sur le segment qui se met en gras/renommer le point en faisant un clic droit
).
b) Créer la variable qui correspond à la longueur AM (
Dans la barre de tâches, taper l=AM
).
c) Créer le cercle de centre
A
, de direction le segment [
AB
] et de rayon (
On clique sur chaque objet dans l’ordre donné, quand ils sont sélectionnés, ils apparaissent en gras sur la figure
).
Construire le point N à l’intersection de ce cercle et du segment [AD] (
Intersection entre deux objets
).
Désactiver l’affichage du cercle (
Dans la fenêtre Algèbre
).
d) Construire de même le point
P
. e) Construire le point
R
en utilisant des droites parallèles (ou perpendiculaires) dont on désactivera l’affichage. f) Créer le parallélépipède
AMRNPQTS
(
Dans la barre de tâches, entrer prisme[A,M,R,N,P]
). Dans la fenêtre Algèbre, la valeur donnée correspond à son volume.
2) CONJECTURE
Déplacer le point
M
à la souris. Emettre une conjecture sur le volume maximal du parallélépipède
AMRNPQTS
et sur la position correspondante de
M
.
Partie B : Démonstration
Soit et le volume de
AMRNPQTS
.
1)
Quelles sont les valeurs que peut prendre ?
2)
Montrer que et donner son ensemble de définition .
3)
Calculer la fonction dérivée de sur et dresser le tableau de signes de .
4)
En déduire le tableau de variation de la fonction .
5)
Où doit-on placer M pour que
AMRNPQTS
ait un volume maximal ?
Partie C
Pour quelles valeurs de le volume est égal au dixième du volume du cube. Déterminer des valeurs approchées des solutions à près. Expliquer la démarche effectuée avec la calculatrice.
Exercice 3 :
La crue centennale
1.
Par quelle loi de probabilité le colonel Garrigues suggère-t-il de modéliser la survenue d’une crue centennale ? En donner les paramètres.
2.
Soit X la variable aléatoire qui donne le nombre d’années où survient une crue durant un siècle.
a)
Calculer , on donnera le détails des
3.
b)
calculs et les résultats arrondis au millième près. Calculer et interpréter. En quoi cela conforte-t-il le choix du modèle ?
c)
Au vu de tous ces résultats, que diriez-vous : Pour dédramatiser la situation ? Pour aller dans le sens alarmiste des deux articles ? On suppose que sur un siècle donné, aucune crue n’est survenue pendant les 90 premières années.
a)
Quelle est la probabilité que Paris connaisse une crue l’année suivante ? avant la fin du siècle ?
b)
La dernière affirmation du journaliste du JDD vous parait-elle fondée ?
Exercice 4 :
Problème ouvert
Lors d’une soirée, chaque personne serre la main de chacune des autres. Soit le nombre de poignées de mains échangées au cours de cette soirée quand il y a personnes .
1) 2)
Déterminer . Combien de poignées de mains sont échangées dans une soirée réunissant 20 personnes ? Toute trace de recherches et/ou de prises d’initiative seront prises en compte.