Transcript CI3 - CIN – Torseurs – TD

Sciences Industrielles
de l’Ingénieur
CI 3 – CIN : ÉTUDE DU COMPORTEMENT CINÉMATIQUE DES SYSTÈMES
CHAPITRE 7 – TORSEURS
TRAVAUX DIRIGÉS
D’après ressources ? ? ?
1 Carrousel au triple mouvement
Question 1
−−−→ −−−−−−−→
Exprimer Ω (2/1) et V (A ∈ 2/1).
−→
Les solides S 2 et S 1 sont en liaison pivot de centre O, d’angle β et d’axe k 21 . En conséquence en O, on a :
Corrigé
{ (2/1)} =
−−−→ ˙ −→
Ω(2/1) = β k 21
−−−−−→ −
→
V (O, 2/1) = 0
−−−→ ˙ −→
Ω(2/1) = β k 21
−−−−−→ −−−−−→ −→ −−−→
V (A, 2/1) = V (O, 2/1) + AO ∧ Ω(2/1)
=
O
A
−−−−−→
−→
−
→
−
→
V (A, 2/1) = −L i 2 ∧ β˙ k 21∗ = L β˙ j 2
Question 2
−−−→ −−−−−−−→
Exprimer Ω (3/1) et V (C ∈ 3/1).
Pour calculer la vitesse relative entre S 3 et S 1 , il faut décomposer le torseur cinématique : { (3/1)} = { (3/2)} +
{ (2/1)}
−−→
Les solides S 3 et S 2 sont en liaison pivot de centre A, d’angle γ et d’axe k 321∗ ; donc :
{ (3/2)} =
On a donc :
{ (3/1)} =
−−−→
−−→
Ω(3/2) = γ˙ k 321∗
−−−−−→ −
→
V (A, 3/2) = 0
A
−−−→
−−→
Ω(3/1) = β˙ + γ˙ k 321∗
−−−−−→
−
→
V (A, 3/1) = L β˙ j 2
A
En conséquences,
Corrigé
−−−−−→ −−−−−→ −→ −−−→
−→
−−→
−
→
−
→
V (C , 3/1) = V (A, 3/1) + C A ∧ Ω(3/1) = L β˙ j 2 + −R i 3 − h k 1∗ ∧ β˙ + γ˙ k 321∗
−−−−−→
−
→
−
→
V (C , 3/1) = L β˙ j 2 + R β˙ + γ˙ j 3
Question 3
−−−−−−−→
Exprimer V (G ∈ 4/1).
2013 – 2014
Xavier PESSOLES
1
CI 3 : CIN – TD
Ch. 7 : Torseurs – P
Sciences Industrielles
de l’Ingénieur
En prenant un peu de recul, il n’est pas forcément indispensable d’écrire entièrement le torseur cinématique. Par
−−−−−→
exemple, dans le cas de V (G , 4/1) :
−−−−−→ −−−−−→ −→ −−−→ −−−−−→ −−−−−→ −→
−−−→
V (G , 4/1) = V (C , 4/1) + G C ∧ Ω(4/1) = V (C , 4/3) +V (C , 3/1) + G C ∧ Ω(4/1)
−
→
0
−−−→ −−−→
Ω(4/3)+Ω(3/1)
−−−−−→
−
→
−
→
−
→
V (G , 4/1) = L β˙ j 2 + R β˙ + γ˙ j 3 + e k 4 ∧
On a :
−−→
−→
β˙ + γ˙ k 321∗ + ψ˙ j 43
−
→ −−→
−→
k 4 ∧ k 321∗ = − sin ψ j 43
−
→ −→
−
→
k 4 ∧ j 43 = − i 4
Corrigé
On a donc :
−−−−−→
−
→
−
→
−→
−
→
V (G , 4/1) = L β˙ j 2 + R β˙ + γ˙ j 3 − e β˙ + γ˙ sin ψ j 43 − e ψ˙ i 4
−−−−−→
−
→
V (G , 4/1) = L β˙ j 2 + R − e sin ψ
−
→
−
→
β˙ + γ˙ j 3 − e ψ˙ i 4
Le fût 1 est muni d’une poulie de diamètre D sur laquelle s’enroule une courroie qui entraîne en rotation la poulie de diamètre
D/2 liée au disque 3 lors du mouvement de 2 par rapport à 1.
On a les hypothèses suivantes :
– non glissement entre la courroie et les poulies ;
– la courroie est inextensible.
De plus le siège 4 est bloqué dans la position ψ = −π/2 par rapport au disque 3.
Question 4
En utilisant les hypothèses précédentes, montrer que γ˙ = −2β˙ .
En considérant l’hypothèse de roulement sans glissement au point I , le point I est immobile lorsqu’on considère le
mouvement de la courroie (notée c) par rapport à la poule 1 :
−−−−−→ −
→
V (I , c /1) = 0
En utilisant la décomposition du vecteur vitesse :
−−−−−→ −−−−−→ −−−−−→
V (I , c /1) = V (I , c /2) + V (I , 2/1)
En conséquence,
Corrigé
Par ailleurs,
−−−−−→
−−−−−→
V (I , c /2) = −V (I , 2/1)
−−−−−→ −−−−−→ −→ −−−→
D−
−−→ D −
→
→
V (I , 2/1) = V (O, 2/1) + IO ∧ Ω(2/1) = 0 − i c ∧ β˙ k 321∗ = β˙ j c
2
2
De même, en considérant l’hypothèse de roulement sans glissement au point J , le point J est immobile lorsqu’on
considère le mouvement de la courroie (notée c) par rapport à la poule 3 :
2013 – 2014
Xavier PESSOLES
−−−−−→ −
→
V (J , c /3) = 0
2
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En utilisant la décomposition du vecteur vitesse :
−−−−−→ −−−−−→ −−−−−→
V (J , c /3) = V (J , c /2) + V (J , 2/3)
En conséquence,
Par ailleurs,
−−−−−→
−−−−−→
V (J , c /2) = −V (J , 2/3)
−−−−−→ −−−−−→ −→ −−−→
D−
D −
−−→
→
→
V (J , 2/3) = V (A, 2/3) + JO ∧ Ω(2/3) = 0 − i c ∧ −γ˙ k 321∗ = − γ˙ j c
4
4
Corrigé
La courroie étant inextensible,
−−−−−→ −−−−−→
V (I , c /2) = V (J , c /2)
Et donc :
γ˙ = −2β˙
Question 5
−−−−−→
En déduire la nouvelle expression de V (G , 4/1) en fonction de R, L, e et β˙ .
Corrigé
On a donc ψ˙ = 0 et :
−−−−−→
−
→
−
→
V (G , 4/1) = L β˙ j 2 − β˙ (R + e ) j 3
Question 6
Exprimer l’accélération du point G dans le mouvement de 4/1 en fonction de R, L, e , β˙ si β˙ est constant.
 −−−−−→ 
−−−−−→
d V (G , 4/1)

Γ(G , 4/1) = 
dt
 −
→
d j2
−
→
¨
˙


= L β j 2 + Lβ
dt
1
 −
→
d j2


dt
1
0
 −
→
d j2

=
dt
1
Corrigé
1
0
1
−−−→ −
−→ −
→ −
→
−
→
→
+ Ω(2/1) ∧ j 2 = 0 + β˙ k 21∗ ∧ j 2 = −β˙ i 2
2
 −
→
d j3

=
dt
 −
→
d j3


dt
 −
→
d j3
−
→ ˙
¨


− β (R + e ) j 3 − β (R + e )
dt
−−−→ −
−−→ −
−
→
→ −
→
→
˙ k 321∗ ∧ j 3 = β˙ i 3
+ Ω(3/1) ∧ j 3 = 0 + (β˙ + γ)
3
−−−−−→
−
→
−
→
Γ(G , 4/1) = −L β˙ 2 i 2 − β˙ 2 (R + e ) i 3
Corrigé
Question 7
Calculer la valeur maximale de la norme de cette accélération pour β˙ = 2r a d /s , L = 5m , R = 1m , e = 1m .
On a :
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Xavier PESSOLES
−−−−−→
−
→−
→
||Γ(G , 4/1)||2 = L 2 β˙ 4 + β˙ 4 (R + e )2 + 2L β˙ 4 (R + e ) cos( i 2 , i 3 ) = L 2 β˙ 4 + β˙ 4 (R + e )2 + 2L β˙ 4 (R + e ) cos γ
3
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Corrigé
−−−−−→
||Γ(G , 4/1)||2 est maximal lorsque cos γ = 1 ; donc
−−−−−→
||Γ(G , 4/1)|| =
L 2 β˙ 4 + β˙ 4 (R + e )2 + 2L β˙ 4 (R + e ) = β˙ 2 (L + R + e ) = 28 m · s −2
Le dessin ci-dessous montre le mécanisme permettant de faire varier en fonctionnement l’angle θ1 . L’actionneur de ce
mécanisme est le vérin hydraulique 5–6.
−
→ −→
−
→
−→
−
→−
→
−→
−→
Soit F H = 2a i 7 , F E = 3a i 1 (où a est une constante positive) ; E H = x (t )i 56 et ϕ(t ) = ( i 7 , i 1 ).
Question 8
−−−−−−→
˙
Exprimer x en fonction de a et ϕ puis la vitesse de sortie de la tige du vérin, soit V (H , 6/5), en fonction de a , ϕ et ϕ.
Commençons par écrire la fermeture de chaîne cinématique dans le triangle EFH :
−→
−
→
−
→
−→ −→ −→ −
→
E F + F H + H E = 0 ⇐⇒ x (t )i 56 = 2a i 7 − 3a i 1
En élevant cette relation au carré, on a :
x (t )2 = 4a 2 + 9a 2 − 12a 2 cos φ
En conséquence,
x (t ) = a
Par ailleurs,
13 − 12 cos φ
 −→ 
−−−−−−→
d EH

V (H , 6/5) = 
dt
=
d (a
13 − 12 cos φ) −→
i 56
dt
5
6a φ˙ sin φ
Corrigé
−−−−−−→
V (H , 6/5) =
13 − 12 cos φ
−→
i 56
Corrigé
Question 9
En considérant que dans cet intervalle de temps, ϕ˙ est constante, déterminer le volume d’huile nécessaire au passage de la
position ϕ = π/9 à la position ϕ = π/3, si S est la section du piston sur laquelle agit l’huile.
Vol = S · x
π
−x
9
π
6
= 0, 187 m 3
AN : a = 2m , S = 700c m 2 .
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