Transcript Corrigé maths 2014 - Lycée Roland Garros

Classe : . . . . . . .
2nde 2013-2014
ig
é
Nom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Devoir commun de secondes
Épreuve de mathématiques
Session 2014
Co
rr
Durée de l’épreuve : 1 h 15
L’usage d’une calculatrice électronique de poche est autorisé conformément à la règlementation en vigueur.
Le sujet comporte 7 pages, y compris celle-ci ; il est à rendre avec la copie. Il est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices.
Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les
questions suivantes, à condition de l’indiquer clairement sur la copie.
Le candidat est invité à faire figurer sur sa copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse,
qu’il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part
importante dans l’apprécitaion des copies.
Le barème est donné à titre indicatif.
Avant de composer, le candidat s’assurera que son sujet comporte effectivement 7 pages.
Éléments du corrigé
&
Barème détaillé
1/7
TSVP ,→
DC 2014
Mathématiques
Éléments du corrigé
Exercice n°1 : Étude de fonctions
10 pts
Les réponses aux demandes sont à lire sur le graphique. Il n’est demandé aucune justification. Toutefois, il sera
tenu compte dans la notation, du respect des notations et de la qualité de la rédaction.
La courbe C f d’une fonction f a été représentée dans un repère orthonormal.
2
−3
−2
−1
ig
é
1
Cf
1
2
3
4
Co
rr
−1
Partie I : Images et antécédents par la fonction f
0.5 pt
1. Donner l’ensemble de définition de la fonction f .
L’ensemble de définition de la fonction f est l’ensemble [−3 ; 4].
0.5 pt
2. a. Quelle est l’image du nombre 0 par la fonction f .
L’image du nombre 0 par la fonction f est : −0, 5.
1 pt
b. Déterminer l’ensemble des antécédents de 0 par la fonction f .
L’ensemble des antécédents de 0 par la fonction f est : {−1 ; 2, 5}.
0.5 pt
3. a. Donner f (1).
f (1) = −1
1.5 pt
b. Résoudre l’équation f (x) = 1.
S = {−3 ; −1, 5 ; 4}
2/7
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DC 2014
Mathématiques
Éléments du corrigé
Partie II : Signes et variations
1 pt
1. a. Résoudre l’inéquation f (x) > 0.
f (x) > 0 si x ∈ [−3 ; −1[∪]2, 5 ; 4]
1 pt
b. Dresser un tableau de signes de f (x) sur l’intervalle [−3 ; 4].
x
−3
f (x)
+
0
−
0
4
+
ig
é
0.5 pt
2, 5
−1
2. a. Quel est le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [−2 ; 0].
Le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [−2 ; 0] est décroissant.
0.5 pt
p
p
¡ p ¢
¡ p ¢
b. Recopier et compléter les pointillés par le symbole de comparaison qui convient : − 3 < − 2, donc f − 3 . . . . . . f − 2 .
p
p
¡ p ¢
¡ p ¢
− 3 < − 2, donc f − 3 > f − 2 car sur l’intervalle [−2 ; 0] la fonction f est décroissante.
c. Dresser un tableau de variation de la fonction f sur [−3 ; 4].
Co
rr
1 pt
x
−3
−2
1
1, 5
4
1
f (x)
1
−1
Partie III : Extremum et encadrements
1 pt
1. Déterminer le minimum m et le maximum M de la fonction f sur [−3 ; 4].
Le minimum m est −1 atteint en l’abscisse 1 et le maximum M est 1, 5 atteint en l’abscisse −2 pour la fonction
f sur [−3 ; 4]
0.5 pt
2. Déterminer les valeurs a et b tels que a 6 f (x) 6 b, lorsque x ∈ [−1, 5 ; 2].
−1 6 f (x) 6 1 soit a = −1 et b = 1.
0.5 pt
3. Déterminer les valeurs c et d tels que c 6 f (x) 6 d, lorsque x ∈ [−3 ; 2].
−1 6 f (x) 6 1, 5 soit c = −1 et d = 1, 5.
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Mathématiques
Éléments du corrigé
Exercice n°2 : Probabilités et statistiques
10 pts
Algorithme
I NITIALISATION
S prend la valeur 0
T RAITEMENT
Pour
i allant de 1 à 2
°
° t pr end l a v aleur d ′ un ent i er aléat oi r e
°
°
de − 2 à 1
°
° S pr end l a v aleur S + t
Fin pour
S ORTIE
Afficher S
Tableau d’addition complété
+
−2 −1
0
1
−2 −4 −3 −2 −1
−1 −3 −2 −1
0
0
−2 −1
0
1
1
−1
0
1
2
ig
é
Partie A : Préliminaires
1. À partir de l’algorithme
0.75 pt
a. Est-ce que S peut prendre la valeur 1. Expliquer.
Oui. À partir du tableau d’addition on constate que si l’on choisit les couples 0 et 1 ou 1 et 0, alors le
résultat obtenu sera 1.
0.75 pt
b. Est-ce que S peut prendre la valeur 3. Expliquer.
Co
rr
Non. La valeur maximale de l’addition de deux nombres compris entre −2 et 1 est : 1 + 1 = 2 donc S ne
pourra prendre la valeur 3.
0.5 pt
c. Quelles valeurs peut prendre S ?
À partir du tableau d’addition on rescense les valeurs suivantes : −4 ; −3 ; −2 ; −1 ; 0 ; 1 et 2.
Partie B : Jeu
Julie et Noah ont dessiné le patron d’un tétraèdre régulier (4 triangles équilatéraux identiques) d’arête 3 cm, puis
placer de manière aléatoire sur chacune des faces les nombres -2, -1, 0 et 1.
En découpant ce patron, Julie et Noah ont fabriqué un dé tétraédrique régulier et équilibré composé de 4 faces
portant les numéros -2, -1, 0 et 1. Ils inventent un jeu qui consiste à lancer deux fois consécutivement ce dé sur une
table et à sommer les numéros situés sur la face cachée.
Un tableau d’addition est proposé ci-contre.
0.5 pt
1. a. Quelles sont les issues possibles de l’expérience aléatoire ?
Les issues possibles de l’expérience aléatoire sont : −4 ; −3 ; −2 ; −1 ; 0 ; 1 et 2.
1 pt
b. Déterminer la loi de probabilité de l’expérience aléatoire.
xi
P (xi )
−4
1
16
−3
1
8
−2
3
16
−1
1
4
0
1
2
3
16
1
8
1
16
Soit A l’événement : « obtenir une somme strictement positive ».
Soit I l’événement : « obtenir une somme impaire ».
0.5 pt
2. a. Déterminer la probabilité P (A) de réaliser l’événement A.
1
P (A) = P (1) + P (2) = 81 + 16
=
3
16
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DC 2014
0.5 pt
Mathématiques
b. Déterminer la probabilité P (I ) de réaliser l’événement I .
P (I ) = P (−3) + P (−1) + P (1) = 18 + 14 + 18 =
0.5 pt
Éléments du corrigé
1
2
= 0, 5
c. Décrire par une phrase littérale l’événement A ∩ I .
Ensemble des issues réalisant à la fois l’événement A et l’événement I , ou, obtenir une somme strictement
positive et impaire.
0.5 pt
d. Décrire par une phrase littérale l’événement A.
Ensemble des issues ne réalisant pas l’événement A, ou, obtenir une somme inférieure ou égale à 0.
e. Déterminer la probabilité de réaliser l’événement A ∩ I .
P (A ∩ I ) = P (1) =
0.75 pt
2
16
=
1
8
f. Calculer, en écrivant la formule utilisée, la probabilité de réaliser l’événement A.
³ ´
3
=
P A = 1 − P (A) = 1 − 16
0.75 pt
ig
é
0.5 pt
13
16
g. Calculer, en écrivant la formule utilisée, la probabilité de réaliser l’événement A ∪ I .
3
16
+ 12 − 81 =
9
16
Co
rr
P (A ∪ I ) = P (A) + P (I ) − P (A ∩ I ) =
Partie C : Statistiques
Julie et Noah ont consigné les résultats obtenus après de nombreux lancers dans un tableau proposé ci-après.
S
Effectifs
E. cum.
−4
5
5
−3
10
15
−2
16
31
−1
26
57
0
21
78
0.5 pt
1. Compléter le tableau avec les effecfifs cumulés croissants.
1.5 pt
2. Déterminer la médiane de cette série de valeurs, puis les quartiles.
1
15
93
2
7
100
Me = −1 ; Q 1 = −2 et Q 3 = 0.
0.5 pt
3. Déterminer la moyenne de cette série de valeurs.
Moy =
−20−30−32−26+0+15+14
100
=
−79
100
= −0, 79.
Exercice n°3 : Géométrie plane
6 pts
Dans un repère orthonormé (unité : le centimètre), on considère les points A(6; 5), B(3; −1) et C (0; 2).
La figure sur le papier millimétré ci-dessous est à compléter au fur et à mesure.
0.75 pt
1.5 pt
1. Placer les points A, B et C sur le papier millimétré ci-dessous.
2. a. Calculer les distances AB et AC .
p
p
p
p
p
p
(xB − x A )2 + (y B − y A )2 = (3 − 6)2 + (−1 − 5)2 = (−3)2 + (−6)2 = 9 + 36 = 45 = 3 5
p
p
p
p
p
p
Distance AC : (xC − x A )2 + (yC − y A )2 = (0 − 6)2 + (2 − 5)2 = (−6)2 + (−3)2 = 36 + 9 = 45 = 3 5
Distance AB :
5/7
TSVP ,→
DC 2014
0.75 pt
Mathématiques
Éléments du corrigé
b. Que peut-on en déduire pour le triangle ABC ?
Le triangle ABC est au moins isocèle car il possède au moins deux cotés de même longueur, ici les cotés
AB et AC .
1 pt
3. a. Calculer les coordonnées du milieu I de [BC ].
xI =
3+0 3
xB + xC
=
=
2
2
2
yI =
y B + yC
−1 + 2 1
=
=
2
2
2
En conséquence les coordonnées du point I milieu de [BC ] sont :
¶
3 1
;
.
2 2
b. Déterminer, par le calcul, les coordonnées du point D symétrique de A par rapport à I .
ig
é
1 pt
µ
3
1
− 6 = 3 − 6 = −3 y D = 2 × y I − y A = 2 × − 5 = 1 − 5 = −4
2
2
En conséquence les coordonnées du point D symétrique de A par rapport à I sont : D(−3 ; −4).
xD = 2 × x I − x A = 2 ×
1 pt
c. Que peut-on dire du quadrilatère ABDC ? Justifier.
Co
rr
Dans le triangle isocèle ABC de sommet principal A, la droite (AI ) est une médiane mais aussi la médiatrice du coté [BC ], donc les droites (AI ) ou (AD) et (BC ) sont perpendiculaires.
Le quadrilatère ABDC a pour diagonales les segments [AD] et [BC ] qui se coupent en leur milieu donc
ABDC est un parallélogramme. Le parallélogramme ABDC a ses diagonales [AD] et [BC] qui sont perpendiculaires donc le parallélogramme ABDC est un losange.
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TSVP ,→
DC 2014
Mathématiques
Éléments du corrigé
7
6
A
5
4
3
C
2
ig
é
1
I
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
1
−1
−1
2
3
4
5
6
7
B
−2
−3
−4
Co
rr
D
−5
−6
−7
−8
Exercice n°4 : QCM
4 pts
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chaque question, une seule réponse est correcte. Toute bonne
réponse apporte 1 point. Plusieurs réponses ou l’absence de réponse entraîne une note nulle pour la question.
1 pt
1. La forme développée et réduite de (3x − 5)(x + 3) est :
2 3x 2 − 15
2 4x − 2
1 pt
£
¤
2 (3x − 2)(2x − 3)
2 (3x − 2)(2x − 1)
4 (2x − 3)(4x − 1)
3. Soit la droite (∆) d’équation y = −2x + 2013, un seul de ces points appartient à (∆), c’est :
4 (−3 ; 2019)
1 pt
2 3x 2 − 4x + 15
2. La forme factorisée de (3x − 2)2 − (x + 1)2 est égale à :
2 (3x − 2) 3x − 2 − (x + 1)2
1 pt
4 3x 2 + 4x − 15
2 (0 ; 2011)
2 (1 ; −2015)
2 (3 ; 2010)
4. La solution de l’équation 3 − (x + 5) = 2x est :
2
4−
3
2
8
3
2−
7/7
8
3
2 -0,67