Transcript 16 TD Corrigé - PFD Recherche des lois du mouvement

16 TD Corrigé - PFD Recherche des lois du mouvement
CPGE MP
Banc d’essai vibrant
Q.1.
P
0

 ...
 ...

...

...
...
(...,...,x0 )
Pesanteur → 1
Masse m1
...
P( B,z0 )
paramètre  t
paramètre X

Pivot (B, z0 )
Glissière ( x0 )
1
0

Actionneur C1.z0

Pivot (C, z0 )
P(C,z0 )
Pesanteur → 2
G2 en P
Masse m2
2
Ressort F  k  x  x0
...

...
...

... 

... 

0 (...,...,z )
0

...
...

... 

... 

0 (...,...,z )
0
3
Pesanteur → 3
G3 en D
Masse m3
paramètre θ
Théorème de la résultante dynamique appliqué à =S1 + S2 + S3, en projection sur x0 .
R   x0 
3
 mi   Gi i / 0  x0
i 1
Soit k  x  m1   G1 1/ 0  x0  m2   G2 2 / 0  x0  m3   G3 3 / 0  x0
 G1 1/ 0  x  x0
VG1 1/ 0  x  x0
VG2 2 / 1  r   j
VG2 2 / 1  r   j  x  x0
 G2 2 / 0  x  x0  r  2  i
VG3 3 / 1  L  u
VG3 3 / 0  L  u  x  x0
 G3 3 / 0  x  x0  L  u  L 2  v



Donc kx  m1 x  m2 x  r  2 cos  t  m3 x  L cos   L 2 sin 

 m1  m2  m3  x  kx  m3L cos   m3L 2 sin   m2 r  2 cos  t
Théorème du moment dynamique appliqué à  = S3, au point C, en projection sur z0 .
MC,   z0  C,3 / 0  z0
MC,3 3  z0  Lv  m3 g  y0   z0  m3 gL sin 
G3 ,3 / 0  0 (masse ponctuelle)
C,3 / 0  z0  Lv  m3   G3 3 / 0   z0  m3 L  z0  v    G3 3 / 0  m3 L   G3 3 / 0  u  m3 L  x cos   L 
Donc m3 gL sin   m3L  x cos   L 
x cos   L  g sin   0
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Remarque : Les positions d’équilibre sont
xe  0 et sin e  0 soit e  0 et e  
Q.2.
 m1  m2  m3  x  kx  m3L
 m2 r  2 cos  t
x  L  g  0
m1  m2  m3

1

m3 L   x  k 0   x  m2 r  2 cos 


L    0 g    
0
t


M   X   K  X   F 
Q.3.
Seul le régime d’oscillations forcées nous intéresse. On cherche donc des solutions de la forme
x(t)  Acos(  t ) et  (t)  B cos(  t ) .
Donc x(t)  A 2 cos(  t ) et  (t)  B 2 cos(  t )
Nos deux équations deviennent :
  m1  m2  m3  A 2 cos(  t )  kAcos(  t )  m3 LB 2 cos(  t )  m2 r  2 cos  t
 A 2 cos(  t )  LB 2 cos(  t )  gB cos(  t )  0
   m1  m2  m3    k  A  m3L
 A 2   L 2  g  B  0
2
2
B  m2 r 
A
2
soit
B

m2 r  2 L 2  g

   m1  m2  m3   2  k  L 2  g   m3L 4
m2 r  4
   m1  m2  m3   2  k  L 2  g   m3L 4
Q.4.
x(t) = 0 si A = 0
A
 M
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
m2 r  2 L 2  g
2



 k L  g  m3 L
2
4
0
soit L 
g
2
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Marche motorisée
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Hydronettoyeur
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