Transcript 10 TD Corrigé - Evaluation des performances des systèmes asservis

10 TD Corrigé - Evaluation des performances des systèmes asservis - Précision
CPGE MP
TGV pendulaire (d’après centrale-Supélec MP)
18/01/2014
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10 TD Corrigé - Evaluation des performances des systèmes asservis - Précision
CPGE MP
Asservissement à correction proportionnelle intégrale
9 7 8 2 1 0 0 5 3 4 1 9 7 - Mo s s e r - C0 5 . q x d
14/ 12/ 09
8: 03
Pa g e
207
• cC o m p te te n u d u lie u d e la F T B O , la m a rg e d e g a in e st fo r-
2 . P o u r la fo n c tio n H ( p ) d o n n é e C ( p ) d ev ie n t :
d é m e n t c o n fo rm e a u c a h ie r d e s c h a rg e s. P a r c o n tre , o n p e u t
é te rm in e r g ra p h iq u e m e n t la va le u r m a x im a le d e K p e rm e t-
ω0 2 ( 1 + T 1 p ) ( 1 + T 2 p )
C ( p) =
ta n t d e v é rifie r la m a rg e d e p h a se .
2 a m ω0 p
1
1+
2 m ω0
P o u r sa tisfa ire le c ritè re « m a rg e d e p h a se » , il fa u t a u m in im u m tra n sla te r la F T B O d e − 2 , 5 d B , c e q u i c o n d u it à
K
10
− 2,5
so it
20
K
0,75
P o u r o b te n ir u n e fo n c tio n C ( p ) sim p le fa isa n t d
c o n sta n te T 1 , il fa u t p re n d2 re d e s c o n sta n te s v é rifi
1
m ω0 =
2 . Av e c c e tte c o rre c tio n p ro p o rtio n n e lle , la F T B O e st d ’o rd re 2
T1
e t d e c la sse 0 . S o n g a in sta tiq u e e st K a .
C o m p te te n u d e s ré su lta ts su r le s sy stè m e s à F T B O d e c la sse
D a n s c e s c o n d itio n s, C ( p ) p e u t se m e ttre so u s la
0 , l’é c a rt sta tiq u e p o u r u n e e n tré e in d ic ie lle e st :
C ( p) =
1
εs =
1 + aK
1 + T2 p
4 m 2 a T1 p
T2
0,02
C ( p) =
sta b ilité .
P a r su ite , u n e c o rre c tio n p ro p o rtio n n e lle n e p e rm e t p a s d e sa tisfa ire le c a h ie r d e s c h a rg e s.
T2
la c la s se d e la F T B O . A in si la F B T O d u sy stè m e c o rrig é e st d e
c la sse 1 .
lC o m p te te n u d e s ré su lta ts su r le s sy stè m e s à F T B O d e c la sse 1 ,
’é c a rt s ta tiq u e p o u r u n e e n tré e in d ic ie lle e st n u l. C e c o rre c te u r p e rm e t d o n c d e v é rifie r le c ritè re d e p ré c isio n in d é p e n d a m m e n t d e la va le u r d e K .
4 . L a F T B O é ta n t d e c la sse 1 , il fa u t c e tte fo is c o n sid é re r la
c o u rb e re p ré se n té e e n b le u fo n c é . O n lit d ire c te m e n t su r le d ia -
• sa n s c o rre c tio n , l’é c a rt sta tiq u e e st im p o rta n t ;
• av e c c o rre c tio n p ro p o rtio n n e lle , l’é c a rt sta tiq u e
ra p p ro c h e d e la va le u r 1 (so n a sy m p to te e st vo is
O n re m a rq u e é g a le m e n t d e s o sc illa tio n s e t u n
in té re ssa n te p a rc e q u ’elle a p o u r asy m p to te 1 . L’
p o u r u n e e n tré e in d ic ie lle e st b ie n n u l. L e sy stè m
p e n d a n t lé g è re m e n t m o in s ra p id e q u e le s d e u x
C e tte c o m p a ra is o n m e t e n é v id e n c e le p rin c ip a l in
re c te u r P I : l’a n n u la tio n d e l’é c a rt sta tiq u e p o u r u
d ic ie lle .
5 .9
1 . L a F T B F s’é c rit
g ra m m e q u e :
C ( p) =
• la m a rg e d e g a in va u t M G = + ∞ ;
• la m a rg e d e p h a s e va u t M ϕ = 2 8 ° .
d e g a in so n t sa tis fa its q u e lle q u e so it la va le u r d e K . L a se u le
K1
C ( p) =
1 +
c o n tra in te e st d o n c lié e a u re sp e c t d u c ritè re d e m a rg e d e p h a se .
P o u r av o ir u n e m a rg e d e p h a s e su p é rie u re o u é g a le à 4 0 ° , il
fau t au m in im u m tra n slater la F T B O d e − 7 d B , ce q u i co n d u it à
so it
F1 ( p )
1 + F1 ( p ) F2 ( p )
d ’o ù
5 . Av e c la c o rre c tio n P I, le s c ritè re s d e p ré c is io n e t d e m a rg e
20
K
0,45
p u is
K1K2
1 . D éterm in e r la fo rm e d u co rre cteu r, c’est réso u d re l’éq u atio n :
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1 + C ( p) H ( p)
C e tte ré so lu tio n c o n d u it à :
=
1
C ( p) =
P a r su ite
C ( p) =
1 + τ2 p
K1
1 + K1K2
1+
1
1 + K1K2
O n c o n sta te q u e le s y stè m e e st d u 1 e r o rd re .
L a c o n d itio n d e sta b ilité e st d o n c :
p2
1 + 2m p +
ω0
ω0 2
K1 (
1 + K
1 + τ2 p
5 .8
C ( p) H ( p)
T2 p
• la c o u rb e d e ré p o n se o b te n u e av e c la c o rre c tio n
3 . L a p rin c ip a le p a rtic u la rité d e c e c o rre c te u r e st d ’a u g m e n te r
−7
1
1 +
4 a T1
im p o rta n t. L a sta b ilité d u sy stè m e d im in u e ;
➤ C o rre c tio n p ro p o rtio n n e lle in té g ra le
10
1
T2
4 . À l’ex am en d es répon ses ind icielles do n nées, o n
2,45
C e tte se c o n d e c o n d itio n e st in c o m p a tib le av e c la c o n d itio n d e
K
1 +
4 m 2 a T1
3 . P o u r m = 1 , le co rre cteu r e st en tièrem e n t d éte rm
tio n d e a , T 1 e t T 2 :
S o it fin a le m e n t
K
=
Il s ’a g it d ’u n c o rre c te u r P I.
P o u r sa tisfa ire le c a h ie r d e1s c h a rg e s, il fa u t v é rifie r :
1 + aK
p
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1
1 + K1K2
7
τ2 > 0
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CPGE MP
Etude du plan horizontal réglable (PHR) de l’Airbus A340 - Corrigé
Q.1.
Régler l’angle du
PHR
Générer la consigne automatiquement
Générer la consigne manuellement
Adapter la consigne
Distribuer l’énergie de puissance
Sécuriser la distribution de l’énergie de
puissance
Calculateur
Volant
Réducteur 1
Distributeur 1
Distributeur 2
Transformer l’énergie hydraulique en
énergie mécanique
Moteur hydrau. 1
Sécuriser la transformation de
l’énergie hydraulique
Moteur hydrau. 2
Additionner les deux énergies
mécanique de rotation
Différentiel
Adapter l’énergie mécanique de
puissance
Réducteur 6
Transformer un mouvement de rotation
en translation
Modifier le PHR
Mesurer la rotation de la vis et adapter
l’angle
Comparer la rotation réelle à consigne
Vis 4
Gouverne de
profondeur
Réducteur 7
Train épicycloïdal
Q.2.
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ue(t)
+
ε1(t)
-
u(t)
correcteur +
amplificateur
θr(t)
ur(t)
potentiomètre
Moteur
électrique
CPGE MP
θm(t)
Réducteur
1
θP1(t)
Réducteur
2
Q.3. La réponse indicielle possède une tangente à l’origine de pente non nulle et tend vers une valeur
finie, on peut donc modéliser le système par une fonction de transfert du 1er ordre.
On suppose ainsi que la fonction de transfert liant la tension aux bornes du moteur à la vitesse de
rotation de son arbre de sortie peut être modélisée par un 1er ordre de gain statique K et de constante de
temps T.
Pour déterminer K, on mesure la valeur finale 250 rad/s et on sait que c’est égale à K.U, donc K=50
rad/s/V.
Pour déterminer T, on sait qu’à t=T, s(T)=63%.VF d’où T=0.01s.
Q.4. u(t) = e(t) + R.i(t)
e(t) = ke.ωm(t)
Je.
d m (t )
= Cm(t)
dt
Cm(t) = ka.i(t)
→
U(p) = E(p) + R.I(p)
→
E(p) = ke.Ωm(p)
→
Je.p Ωm(p) = Cm(p)
→
Cm(p) = ka.I(p)
I(p)
Cm(p)
U(p)
+
1/R
-
ka
1
Je. p
Ωm(p)
E(p)
ke
ka .ke
Km
 m ( p) 1 R.J e . p
1
ka .ke
1
1

 .
 .
 .
U ( p) ke 1  ka .ke
ke R.J e . p  ka .ke ke 1  R.J e . p 1   m . p
R.J e . p
ka .ke
La vitesse est la dérivée de la position : Ωm(p) = p.  m(p) d’où M ( p) 
Q.5. Km=
Km
m ( p)

U ( p)
p.1   m . p 
1
R.J e
et τm=
ke
ka .ke
Q.6. Application numérique : Km = 50 rad/(V.s) et τm = 0,01s.
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CPGE MP
Q.7.
Ue(p)
+
ε1(p)
K1
-
U(p)
M(p)
 m(p)
 P1(p)
R1
 r(p)
Ur(p)
R2
K2
Déplacement des blocs K2 et R2
Ue(p)
Q.8. T ( p) 
1
K 2 R2
+
m ( p)
 K1.K2.R2.M ( p)
2 ( p )
ε2(p)
-

K1 K2 R2 M(p)
 m(p)
R1
 P1(p)
K1.K 2 .R2 .K m
K BO

p.1   m . p 
p.1   m . p 
Avec KBO = K1.K2.R2.Km
KBO
R1
p. 1  m .p 
KBO
 ( p)
R1
K2.R2
1
Q.9. F ( p)  P1 
.
.R1 
.

KBO

1
Ue ( p)
K 2.R2
K 2.R2 p. 1  m .p   KBO
1
.p  m .p2
1
KBO
KBO
p. 1  m .p 
Q.10. KBF 
1
0
2
2.z
0


R1
K 2 .R2
m
K BO
→ 0 
K BO
m
1 0
1
1
1
→ z .
→ z .
2 K BO . m
2 K BO
K BO
Q.11. Réponse à une entrée de type échelon la plus rapide possible sans toutefois produire de
1
dépassement → z = 1 → 4.K BO . m  1 → K BO 
= 25 s-1
4. m
K BO
p 0
p.1   m . p 
→ FTBO de classe 1 → erreur statique er  0 . Le système est précis  CDCF OK
Q.12. Par définition er ()  lim p.E( p).
1
1  FTBO
avec FTBO : T ( p) 
Q.13. Graphiquement on lit pour z = 1, t5% .0  5 → t5% .
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K BO
m
 5 → t5%  0,1s  CDCF OK
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5
Q.14. On a l = 0,6m et pv = 10mm → Nv =
Q.15.
0,6
l
=
= 60 tours.
0,01
pv
N
60
N P1 1
 12 tours.
 → N P1  v 
5
5
Nv 5
Q.16. R1 
1
→ Nm  150.N P1  150  12  1800 tours.
150
Q.17. N m  1800 tours et N r  10 → R2 
10
1
.

1800 180
Ur(p)
Q.18. 10 tours → 20.π rad et l’entendue de mesure est de 24V → K 2 
Q.19. K BO = K1.K 2 .R2 .K m = 25 s-1 → K1 
Q.20. Par définition er ()  lim p.E( p).
p 0
→ erreur de trainage : er ( )  lim p.
p 0
er ( ) 
1
KBO .K2.R2
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 r(p)
K2
R2
 m(p)
24
 0,382 V/rad.
20.
25
K BO
→ K1 
 235,6 (sans unité).
1
K 2 .R2 .K m
0,382 
 50
180
1
1  FTBO
1
1
.
.
K2.R2 p2
avec T ( p) 
K BO
1
1
. 2
et E ( p) 
K 2 .R2 p
p.1   m . p 
1
→ FTBO de classe 1 →
KBO
1
p. 1  m .p 
→ erreur non nulle → C.d.C.F. non respecté.
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CPGE MP
Camera de poursuite SPEEDCAM - Corrigé
Q.1.
Vc(p)
K
ε(p)
U(p)
+
Um(p)
KA
H(p)
V(p)
Ue(p)
J
Q.2. ε(t)=u(t) – ue(t) = K.vc(t) – J.v(t) = 0 → si vc(t) = v(t) alors K = J.
Q.3. Système modélisable par un 1er ordre : H ( p) 
échelon U m ( p) 
V ( p)
Km
dont on donne la réponse à un

U m ( p) 1   m . p
u0
.
p
Identification de Km :
K m .u0
 K m .u0
p0 1   . p
s()  lim v(t )  lim p.V ( p)  lim
t  
p0
Théorème de la valeur finale
Graphiquement on lit : Km.u0=0,82V
Soit Km=
0,82
= 0,0117
70
Identification de τm (4 méthodes possibles) :




tracer la pente à l’origine pour déterminer τm (méthode 1),
calculer 63% de la valeur finale pour déterminer τm (méthode 2),
calculer 95% de la valeur finale pour déterminer 3 τm (méthode 3),
utiliser un instant quelconque t (méthode 4).
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CPGE MP
Méthode 1 :
Méthode 2 : Km.u0=0,82 → 0,63.Km.u0=0,516
Graphiquement on lit : τm ≈ 0,82s
Graphiquement on lit : τm ≈ 0,9s
Méthode 3 : Km.u0=0,82 → 0,95.Km.u0=0,78
Méthode 4 :
s(∞) – s(t)
τ
Graphiquement on lit : 3.τm ≈ 2,5s → τm ≈ 0,83s
Graphiquement on lit : τm ≈ 1s
La méthode 2 est la plus efficace. On retient τm ≈ 0,9s.
Q.4.
Vc(p)
+
K
-
KA
H(p)
V(p)
Km
K .K A .K m
V ( p)
K A .K .K m
1   m. p
1  K .K A .K m
F ( p) 



K
m
Vc ( p) 1  K .J .
1  K A .K .K c   m . p 1 
m
.p
A
1   m. p
1  K .K A .K m
K A .J .
Q.5. FT d’un système du 1er ordre avec coef fficients positifs → stable.
Q.6. t5% = 3.
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m
1 K .K A .K m
= 3.
0,9
= 1,5 s
1  0,3  200  0,0117
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Q.7. FTBO de classe 0 → Pour Vc(p) =
CPGE MP
1
1
1
1
→ er ( )  lim p. .
→ er () 
→
K
N
(
p
)
p
1

K
.
K
p 0
p
A .Km
1
.

D( p)
p
C.d.C.F. non respecté.
Q.7.
Vc(p)
+
K
-
C(p) = 1/p
KA
H(p)
V(p)
1
Km
K A .K . .
V ( p)
K A .K .K m
1
p 1   m. p
F2 ( p) 



2
m
1
Vc ( p) 1  K .K . 1 . K m
p   m . p  K A .K .K c
. p2 
.p 1
A
p 1   m. p
K A .K .K m
K A .K .K m
Q.9. FT d’un système du 2ème ordre avec coeffcients positifs → stable.
Q.10. FTBO de classe 1 → Pour Vc(p) =
1

m
→ 0 
K A .K .K m
Q.11.
0
2.z
1
1
1
→ z .
2 K A .K .K m . m
K A .K .K m
0

2
A.N. : K A 
0 
K A .K .K m
1
→ er ()  0 → C.d.C.F. ok.
p
m
1
 171
4  0,7  0,3  0,0117  0,85
2
171  0,3  0,0117
 0,84 rad/s
0,85
Pour z = 0,69 le temps de réponse réduit vaut t5% .0  3 → t5% 
3
0

3
0
 3,5 s !!
Le temps de réponse n’est pas du tout satisfaisant vis-à-vis du C.d.C.F. Il faut en fait ajouter en plus de
la boucle d’asservissement en vitesse une boucle d’asservissement en position.
Q.12. t5% <0,5 s + erreur statique nulle + système stable → C.d.C.F. ok.
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